5 3 (iii) Όταν έχει εστίες τα σηµεία Ε ( 5, 0), Ε( 5, 0) και διέρχεται από το 5 = = 144, C : β = α = 5 3 α =.6 64 = 1. y = α β. ( γ 2 (5.

Transcript

1 . Ασκήσεις σχοικού ιίου σείδς A Οµάδς. Ν είτε την εξίσωση της υπεοής σε κθεµιά πό τις πκάτω πειπτώσεις : (i) Ότν έχει εστίες τ σηµεί Ε (, 0), Ε(, 0) κι κουφές τ σηµεί Α(5, 0) κι Α ( 5, 0). (ii) Ότν έχει εστίες τ σηµεί Ε (0, 0), Ε(0, 0) κι εκκεντότητ 5 (iii) Ότν έχει εστίες τ σηµεί Ε ( 5, 0), Ε( 5, 0) κι διέχετι πό το σηµείο Μ(, ) (iv) Ότν έχει σύµπτωτες τις ευθείες κι (i) το σηµείο Μ(, ) Είνι κι 5, οπότε (ii) Είνι 0 (iii) 0 Έστω C : κι ε 5, οπότε , C : Μ(, ) C ( Γι Γι 0 > 5 έχουµε ( (5 κι διέχετι πό , C : 6 6 ) ) ) ( ) (5 ) ( ± 6 0 ή δεν υπάχει υπεοή. ( (5 (5 ) ) 5, ά C : ) )

2 (iv) Έστω C :, οπότε C : Μ(, ) C 6 ( ) Ά C : Έστω C :, οπότε C : Μ(, ) C Ά δεν υπάχει τέτοι υπεοή ( ) < 0 άτοπο.

3 . Ν είτε τις εστίες, την εκκεντότητ κι τις σύµπτωτες της υπεοής : (i) 9 6 (ii) (iii) (i) ,, 9 6 Εστίες : Ε (5, 0), Ε(5, 0) Εκκεντότητ : ε Ασύµπτωτες :,, (ii),, 8 Εστίες : Ε (, 0), Ε(, 0) Εκκεντότητ : ε Ασύµπτωτες :,,, (iii) ,, Εστίες : Ε (, 0), Ε(, 0) Εκκεντότητ : ε 5 Ασύµπτωτες :, 5, 5

4 . Ν είτε την εκκεντότητ της υπεοής, της οποίς η σύµπτωτη σχηµτίζει µε τον άξον ωνί 0ο. Ο συντεεστής διεύθυνσης της σύµπτωτης θ είνι εφ0ο ε. Αν η εφπτοµένη της υπεοής στην κουφή Α(, 0) τέµνει την σύµπτωτη στο σηµείο Γ, ν ποδείξετε ότι (ΟΕ) (ΟΓ). Η εφπτοµένη της υπεοής στο Α(, 0) έχει εξίσωση. Η ι δίνει. Ά Γ(, ) (ΟΕ) (ΟΓ) (ΟΕ ) (ΟΓ ) + που ισχύει.

5 5 5. Έστω η υπεοής C : M, ε η εφπτοµένη της σε έν σηµείο της Μ (, ) κι ζ η κάθετη της ε στο Μ. Αν η ε διέχετι πό το σηµείο M (0, ) κι η ζ διέχετι πό το σηµείο M (, 0), ν ποδείξετε ότι η εκκεντότητ της υπεοής είνι ίση µε. ε C : Ο ε : M M ζ M (0, ) ε 0 ( ) ζ ε ζ ε ζ ζ : ζ ζ ( ) M (, 0) ζ 0 Μ στην υπεοή + ( ( ) ( ) ) ε ( ) + ε

6 6 6. Ν ποδείξετε ότι κάθε ευθεί που είνι πάηη πος µι πό τις σύµπτωτες της υπεοής τέµνει την υπεοή σε έν µόνο σηµείο. Ποιο είνι το σηµείο τοµής της ευθείς κι της υπεοής Μι σύµπτωτη είνι. Μι πάηος της είνι + µ () ; Η υπεοή άφετι () Σύστηµ των (), () ι ν έχουµε τ κοινά σηµεί τους. () µ +µ + µ+µ µ µ + µ ( ) µ µ µονδική ύση, ά µονδικό σηµείο τοµής. Σύστηµ των εξισώσεων () κι () () ( ) ( + ) + () Ά. 0. Σηµείο τοµής το Κ ( ), 0

7 7 7. Ν είτε τις εξισώσεις των εφπτοµένων της υπεοής (i) είνι πάηες πος την ευθεί + (ii) είνι κάθετες στην ευθεί (iii) διέχοντι πό το σηµείο Μ(, 0) οι οποίες: (i) Έστω ε : ζητούµενη εφπτοµένη πάηη στην ευθεί +, όπου Μ (, ) το σηµείο επφής ε Μ στην υπεοή ( ) 6 ή Γι, η, ά ε : Γι, η, ά ε : + + (ii) Έστω ε : ζητούµενη εφπτοµένη κάθετη στην ευθεί, όπου Μ (, ) το σηµείο επφής ε ( ) ( ) Μ στην υπεοή ( ) δύντη. Ά δεν υπάχει εφπτοµένη κάθετη στη ευθεί (iii) Έστω ε : ζητούµενη εφπτοµένη, που ν διέχετι πό το σηµείο Μ(, 0), όπου Μ (, ) το σηµείο επφής. Μ(, 0) ε 0 Μ στην υπεοή 6

8 8 Ά ε : ή + ή + ή Β Οµάδς. Αν E είνι η ποοή της εστίς Ε της υπεοής πάνω στην σύµπτωτη, ν ποδείξετε ότι (i) (O E ), (ii) (E E ) (i) E E στην σύµπτωτη EE. Ο Ε Ε E E : 0 ( ) (O E ) d(0, E E ) (ii) Ασύµπτωτη ζ : (E E ) d(e, ζ) 0 +

9 9. Έστω ε κι ε οι εφπτόµενες της υπεοής ζ Α Γ Ο Γ Α Ε Μ στις κουφές της Α κι Α. Αν Γ κι Γ είνι τ σηµεί στ οποί µι τίτη εφπτοµένη της υπεοής τέµνει τις ε κι ε, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι (i) (ΑΓ)(Α Γ ) κι (ii) ο κύκος µε διάµετο ΓΓ διέχετι πό τις εστίες της υπεοής. ε ε ζ : Συντετµένες του Γ : Γι, η ζ δίνει (i) (ΑΓ) (Α Γ ) Ά Γ(, ) ( ) Οµοίως ίσκουµε Γ (, ( ) ( +) ( ) ισχύει φού ( ) ( +) ) ή M στην υπεοή (ii) Ο κύκος µε διάµετο το ΓΓ διέχετι πό την εστί Ε(, 0) της έειψης Γ ˆΕΓ 90 ο ΕΓ ΕΓ ΕΓ ΕΓ 0 ( )( ) + ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) 0 0 ( +) 0) 0 0

10 0 + 0 που ισχύει φού M στην έειψη. Έστω M (, ), M (, ) Μ Μ δύο σηµεί του δεξιού κάδου της υπεοής. Αν η ευθεί M M τέµνει τις σύµπτωτες στ σηµεί M (, ) κι M (, ), ν ποδείξετε ότι ( M M ) ( M M ) Ότν M M Λόω συµµετίς της υπεοής κι των συµπτώτων ως πος τον άξον, θ είνι ( M M ) ( M M ). Ο Μ Μ Ότν M M Ακεί ν ποδείξουµε ότι τ τµήµτ M M, M M έχουν το ίδιο µέσο. Έστω + µ η ευθεί M. M. Οι συντετµένες των M, M είνι οι ύσεις του συστήµτος των + µ () κι () ( ( + µ ) ( ) + µ + µ ) µ µ ( µ µ + Έστω Κ το µέσο του τµήµτος M M. Τότε K + µ ( ) µ 0 () ) 0 έχει ίζες,. () Οι συντετµένες του M είνι η ύση του συστήµτος των + µ (), () () ( + µ) + µ µ µ ( ) Οµοίως µ µ + Έστω Λ το µέσο του τµήµτος M M. Τότε

11 Λ ( + ) ( µ µ ) + µ ( ) + µ + + (), (5) K Λ (6) µ µ Επειδή τ σηµεί M, M, M, M, Κ, Λ νήκουν στην ευθεί + µ, θ είνι + µ, + µ, + µ, + µ, Κ Κ + µ, Λ Λ + µ (5) Λ ( + ) ( + µ + + µ) [( + ) + µ] [( Λ ) + µ] Λ + µ Κ + µ Κ δηδή Λ Λ (7) Από τις (6), (7) Κ Λ.

12 . Από έν σηµείο M (, ) της υπεοής K φένουµε πάηες πος τις σύµπτωτες. Ν ποδείξετε ότι το εµδόν του σχηµτιζόµενου πηόµµου είνι στθεό. Έστω M ΚΟΛ το πηόµµο. M Κ στην σύµπτωτη Ο Λ Μ ΜΚ. Εξίσωση της M Κ : ( ) () Εξίσωση της OK : () Σύστηµ των (), () ι ν ούµε τις συντετµένες του Κ. Βάσει της (), η () άφετι ( ) () Κ Κ + + Ά Κ ( + ) ( + ) ( + ) ( M ΚΟΛ) (KO M ) det(οκ, ΟΜ ( + ) ( + ) Είνι στην υπεοή ( + ) ( + )( ( + ) ( ) ( + ) ) ( ) δηδή στθεό., φού το M νήκει

13 5. Ν ποδείξετε ότι το συνηµίτονο µις πό τις ωνίες των συµπτώτων της υπεοής δίνετι πό τον τύπο συνφ ε. ε Θεωούµε το διάνυσµ u (, ) στην σύµπτωτο κι το διάνυσµ v (, ) στην σύµπτωτο. συν( v, u ) u v u v ( ε) ( ε) ( ε ) ε ( ) ε ε ε ε Είνι ε ε

14 6. Έστω οι υπεοές C : C Α C Α Ο A (,0) Α (,0) κι C :, >. Αν Α, Α κι Α, Α είνι οι κουφές των C κι C, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι, πό το Α δεν άοντι εφπτόµενες στη C, ενώ πό το Α άοντι εφπτόµενες στη C. Έστω ότι, πό το Α άετι εφπτοµένη ε : Α ε Αά > > > Ά δεν υπάχει τέτοι εφπτοµένη. Έστω ζ : όπου (, ) το σηµείο επφής. Α ζ Αά 0 ( ) στη C..0 () () > > άτοπο. εφπτοµένη της C που άετι πό το Α, ( ) Ά ±. ηδή, υπάχει σηµείο επφής (, ), ά υπάχει εφπτοµένη.