ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν <, τότε στο διάστημ [, ] ισχύει το θεώρημ μέσης τιμής του διφορικού λογισμού (f συνεχής στο [, ] Δ κι πργωγίσιμη στο (, ) Δ), οπότε υπάρχει (, ), έτσι f( ) f( ) ώστε: f'( ) =. Όμως γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει f () = κι φού το είνι εσωτερικό σημείο του Δ ( (, ) Δ) f( ) f( ) ισχύει ότι: = f( ) f( ) = f( ) = f( ). Αν >, τότε στο διάστημ [, ] ισχύει το θεώρημ μέσης τιμής του διφορικού λογισμού (f συνεχής στο [, ] Δ κι πργωγίσιμη στο (, ) Δ), οπότε υπάρχει (, ), έτσι f( ) f( ) ώστε: f'( ) =. Όμως γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει f () = κι φού το είνι εσωτερικό σημείο του Δ ( (, ) Δ) f( ) f( ) ισχύει ότι: = f( ) f( ) = f( ) = f( ). Συνεπώς γι οποιδήποτε, Δ, ισχύει f( ) = f( ), δηλδή, η συνάρτηση f είνι στθερή στο Δ. Β. Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου f ()- f( ) ορισμού της ν υπάρχει το όριο lim κι είνι - πργμτικός ριθμός. Το όριο υτό ονομάζετι πράγωγος της f στο κι συμβολίζετι με f ( ), δηλδή, f ()- f( ) f'( ) = lim - Γ.. Από τη θεωρί γνωρίζουμε ότι γι τους μιγδικούς z, z ισχύει: z z = z z, οπότε η πρότση είνι σωστή. β. Από τη θεωρί γνωρίζουμε ότι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, ότν f() f( ) γι κάθε A, οπότε η πρότση είνι σωστή.

2 γ. Από τη θεωρί γνωρίζουμε ότι γι κάθε κοντά στο, ισχύει συν lim =, οπότε η πρότση είνι λνθσμένη. δ. Από τη θεωρί γνωρίζουμε ότι ν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της είνι κι συνεχής στο σημείο, χωρίς ν ισχύει το ντίστροφο. Γι πράδειγμ η συνάρτηση f() =, R είνι συνεχής στο, ενώ δεν είνι y πργωγίσιμη στο, φού lim = ενώ Ο lim =. y f() = Επομένως η πρότση είνι λνθσμένη. ε. Από τη θεωρί γνωρίζουμε ότι ν η συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, β] κι ισχύει f() > γι κάθε [, β], τότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τις ευθείες =, = β κι τον άον, b είνι E( W=ς ) f()d, οπότε η πρότση είνι λνθσμένη, φού a σύμφων με υτή το εμβδό Ε(Ω) θ είνι ρνητικό δεδομένου ότι f() < γι κάθε [, β]!!! Επομένως: Πρότση β γ δ ε Απάντηση Σ Σ Λ Λ Λ ΘΕΜΑ ο. ος τρόπος Θέτουμε z = i y, όπου, y R. Τότε: z = (λ ) (λ ) i i y = (λ ) (λ ) i = λ, όπου φιρώντς κτά μέλη έχουμε: y = λ y = λ (λ ) y = λ λ y = y =. Συνεπώς οι εικόνες των μιγδικών ριθμών z, γι τις διάφορες τιμές του λ R βρίσκοντι στην ευθεί (ε) με είσωση y =.

3 ος τρόπος Αφού μς ζητούν ν ποδείουμε ότι οι εικόνες των μιγδικών z βρίσκοντι σε ευθεί, κτρχήν ψάχνουμε γι υτή την ευθεί. Γι λ =, έχουμε z = i με εικόν Γ(, ). Γι λ =, έχουμε z = 3 i με εικόν Δ(3, ). Η ευθεί που περνά πό τ σημεί ΓΔ, έχει κλίση ( ) λ = = = κι είσωση: y = ( 3) y = 3 ΓΔ 3 y =. Αρκεί λοιπόν η εικόν (λ, λ ) του μιγδικού z, ν νήκει στην ευθεί με είσωση y =, κάτι το οποίο συμβίνει φού ισχύει λ = λ. β. ος τρόπος γεωμετρικός Αφού ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είνι η ευθεί (ε) με είσωση y = κι το μέτρο του μιγδικού z είνι η πόστση της εικόνς του z πό το Ο(, ), το ελάχιστο μέτρο του z είνι η ελάχιστη πόστση του Ο πό την ευθεί (ε), η οποί δίνετι πό την κάθετη ευθεί κι ο ντίστοιχος μιγδικός πό την εικόν του σημείου Κ. y Ο 3 4 K 3 4 y A B y = Έχουμε ότι λ ε =, άρ πρέπει: λ ε λ οκ = λ οκ = λ οκ = κι φού η ευθεί ΟΚ διέρχετι πό το (, ) η είσωσή της είνι η y = λ ΟΚ y =. Γι ν βρούμε τις συντετγμένες του σημείου Κ, λύνουμε το σύστημ των εισώσεων των ευθειών (ε) κι ΟΚ, δηλδή, το y= y= y= y= y= y = = = = = y=, άρ Κ(, ) κι ο ντίστοιχος μιγδικός είνι ο z = i, = που είνι ο μιγδικός με το ελάχιστο μέτρο. ος τρόπος γεωμετρικός Η ευθεί (ε) με είσωση y = τέμνει τους άονες στ σημεί A(, ) κι Β(, ), οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ που ορίζετι είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές με ΟΑ = ΟΒ, οπότε το ύψος του ΟΚ θ είνι κι διάμεσος, δηλδή, το Κ είνι το μέσο του ΑΒ, 3

4 οπότε K, ή Κ(, ) με ντίστοιχο μιγδικό με ελάχιστο μέτρο τον z = i. 3 ος τρόπος με νισότητ Γι ν ποδείουμε ότι ο μιγδικός z έχει το ελάχιστο μέτρο ρκεί γι κάθε μιγδικό z ν ισχύει: z z z z (λ ) (λ) ( ) 4λ 4λ 4λ 4λ 8λ 8λ, η οποί ισχύει, άρ κι η ρχική. 4 ος τρόπος με τριγωνική νισότητ Γνωρίζουμε ότι: z z z z z z, δηλδή, ότι η ελάχιστη τιμή του z z είνι το z z. Όμως: (λ ) (λ )i = λ λ i i λ λi i (λ ) (λ)i ( λ ) ( λ) ( ) (λ ) (λ)i ( λ) (λ ) (λ)i λ. Γι ν είνι ο μιγδικός z εκείνος με το ελάχιστο μέτρο, θ πρέπει ν υπάρχει λ R ώστε z = λ i = ( λ ) = λ = λ λ = ± λ = ± λ = ή λ = λ = ± ή λ =. Αν: λ =, τότε z = i, όπου z z, δεκτή. λ =, τότε z = 3 i, όπου z z, πορρίπτετι. λ =, τότε z = 3i, όπου z z, πορρίπτετι. 5 ος τρόπος με χρήση συνάρτησης Το μέτρο του δοσμένου μιγδικού z, είνι: z = (λ ) (λ ). Γι ν βρούμε το μιγδικό με το ελάχιστο μέτρο ρκεί ν βρούμε εκείνο το λ R γι το οποίο η συνάρτηση f( λ ) = (λ ) (λ ) προυσιάζει ελάχιστο. Η f είνι πργωγίσιμη στο R, ως σύνθεση των πργωγίσιμων συνρτήσεων λ κι (λ ) (λ ) (πολυωνυμική), με f ( λ ) = [(λ ) (λ)] (λ ) (λ) (λ λ) 4λ f ( λ ) = = (λ ) (λ) (λ ) (λ) Τότε:. 4

5 f (λ) > 4λ > λ > κι f (λ) < 4λ < λ <. Επομένως έχουμε τον κόλουθο πίνκ μετβολών γι την f: λ f (λ) f(λ) οπότε η f προυσιάζει ολικό ελάχιστo γι λ =. Επομένως ο μιγδικός z που δίνει το ελάχιστο μέτρο είνι ο: z = ( ) ( ) i z = i. γ. Θέτουμε w = i y, όπου, y R. Τότε: w w = z y y i = i y y i= i = y= = y= y (I) = y= y = y= H δευτεροβάθμι είσωση του συστήμτος (Ι) έχει δικρίνουσ Δ = 4 () = 48 = 49 με ± 49 ± 7, = =, δηλδή, = = = 3 ή = = = 4. Συνεπώς: (, y) = (3, ) ή (, y) = (4, ), οπότε οι λύσεις της είσωσης είνι w = 3 i ή w = 4 i. ΘΕΜΑ 3 ο Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο (, ) ως διφορά των πργωγίσιμων συνρτήσεων (εκθετική) κι ln( ) (σύνθεση των πργωγίσιμων ln κι ) με f'() = ln. A. Αφού ισχύει f() f() f() γι κάθε >, η συνάρτηση f προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο =, που είνι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της (, ) κι είνι πργωγίσιμη σε υτό, οπότε πό το θεώρημ του Fermat ισχύει: f () = ln = ln = ln = = e. 5

6 B. Γι = e η συνάρτηση είνι η f() = e ln( ) γι >. Η f είνι πργωγίσιμη στο (, ) ως διφορά των πργωγίσιμων e (εκθετική) κι ln( ) (σύνθεση των πργωγίσιμων ln κι ), με πρώτη πράγωγο f'() = e. Η f είνι πργωγίσιμη στο (, ) ως διφορά των πργωγίσιμων e (εκθετική) κι (ρητή), με δεύτερη πράγωγο f''() = e. ( ). Γι > έχουμε ότι f () > (ως άθροισμ των θετικών ποσοτήτων e κι ), οπότε η συνάρτηση είνι κυρτή στο ( ) (, ). β. ος τρόπος Γι > έχουμε ότι η f είνι κυρτή, οπότε η f είνι γνησίως ύουσ. Τότε: Γι > έχουμε f () > f () f () >, δηλδή, η συνάρτηση f είνι γνησίως ύουσ στο [, ). Γι < έχουμε f () < f () f () <, δηλδή, η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ]. ος τρόπος e( ) Έχουμε f'() = e f'() =, γι >. Θέτουμε g() = e ( ), γι. Η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο [, ) ως διφορά των πργωγίσιμων e ( ) (γινόμενο εκθετικής κι πολυωνυμικής) κι (στθερή), με g () = e ( ) e g () = e ( ). Τότε: g () > γι [, ), φού e > κι >, οπότε η g είνι γνησίως ύουσ στο [, ). Επίσης: γι > ισχύει g() > g() g() >, άρ e( ) f'() = >, (, ), δηλδή, η f είνι γνησίως ύουσ στο [, ) κι γι < < ισχύει g() < g() g() <, άρ e( ) f'() = <, (, ), δηλδή, η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ]. 6

7 γ. O πίνκς μετβολών της συνάρτησης f, είνι: f () f() οπότε η συνάρτηση προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι = το f() = e ln( ) f() =. Συνεπώς f() γι κάθε (, ) ή λλιώς f() > γι κάθε (, ) (, ). Αφού β, γ (, ) (, ), ισχύουν f(β) > f(β) > κι f(γ) > f(γ) > (Ι) ος τρόπος: Λύνοντς την είσωση Γι κι, έχουμε: f( β ) f( γ ) f( β) f( γ) = ( )( ) ( )( ) = ( )(f( β) ) ( )(f( γ) ) = (f(β) ) (f(β) ) (f(γ) ) (f(γ) ) = (f(β) f(γ) ) = (f(β) ) (f(γ) ) (f ( β ) ) f ( γ ) =, φού f(β) > κι f(γ) >. f( β) f( γ) Συνεπώς η είσωση έχει μί κριβώς ρίζ, η οποί ρκεί ν νήκει στο διάστημ (, ), δηλδή, ρκεί ν ισχύει: (f ( β) ) f ( γ) < < f( β ) f( γ ) f( β ) f( γ ) < (f( β ) ) f( γ ) < [f( β ) f( γ ) ] f( β ) f( γ ) < f( β ) f( γ ) 3< f( β ) f( γ ) 4 f( β ) f( γ) < f( β ) f( γ) 3 κι f ( β ) f ( γ) 3 < f ( β ) f ( γ) 4 3 < f( β ) κι 4 3< f( γ ) < f( β ) κι < f( γ ), οι οποίες ισχύουν, άρ η είσωση έχει κριβώς μι ρίζ που νήκει στο (, ). ος τρόπος: Θέτοντς g() = ( ) (f( β) ) ( ) (f( γ) ) Θέτουμε τη συνάρτηση g() = ( ) (f( β) ) ( ) (f( γ) ), όπου [, ] κι β, γ (, ) (, ). Όμως: Η συνάρτηση g είνι συνεχής στο [, ], ως άθροισμ των συνεχών συνρτήσεων ( ) (f( β) ), ( ) (f( γ) ) (γινόμενο στθεράς κι πολυωνυμικής) g() = () (f ( β) ) () (f ( γ) ) =(f ( β) ) g() = ( ) (f ( β) ) ( ) (f ( γ) ) = f ( γ), οπότε g() g() = (f(β) )(f(γ) ) 7

8 όπου λόγω των σχέσεων (Ι) έχουμε g() g() <. Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Bolzano, άρ υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ (, ) της είσωσης g() =, οπότε g() = ( ) (f ( β) ) ( ) (f ( γ) ) =, την οποί διιρώντς με το ( )( ), φού (, ), πίρνουμε: ( ) (f( β) ) ( ) (f( γ) ) = f( β ) f( γ ) =. ( )( ) ( )( ) 3 ος f( β) f( γ) τρόπος: Θέτοντς h() = Η h() είνι πργωγίσιμη στο (, ) ως άθροισμ των f( β) f( γ) πργωγίσιμων, (ρητές) με f( β) f( γ) h'() =, οπότε λόγω των (Ι) ισχύει ότι h () <, ( ) ( ) δηλδή, η h είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ). Βρίσκουμε τ όρι: f( β ) lim =, φού lim( ) =, > κι f(β) >. f( γ) f( γ) lim = = f ( γ ) <. f( β) f( β) lim = = f ( β) > f( γ) lim =, φού lim ( ) =, < κι f(γ) >. Τότε: f( β ) f( γ ) Γι (, ) ισχύει: lim h() = lim =, δηλδή, υπάρχει (,.) έτσι ώστε h( ) >. Γι (, ) ισχύει: lim h() lim f( β) f( γ) = = δηλδή, υπάρχει (.9, ) έτσι ώστε h( ) <. Συνεπώς: Αφού η h είνι συνεχής στο [, ] (, ), ως άθροισμ των f( β ) f( γ ) συνεχών, (ρητές), h( ) h( ) <, οπότε πό το θεώρημ Bolzano υπάρχει (, ) (, ), δηλδή, (, ) ώστε h() = f( β ) f( γ ) =. 8

9 4 ος τρόπος: Μονοτονί κι σύνολο τιμών f( β ) f( γ ) Θέτουμε h() =, η οποί είνι πργωγίσιμη στο f( β) f( γ) (, ) ως άθροισμ των πργωγίσιμων, (ρητές) με f( β) f( γ) h'() =, οπότε λόγω της (Ι) ισχύει ότι h () <, ( ) ( ) δηλδή, η h είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ). Επίσης: f( β ) f( γ ) Γι (, ) ισχύει: lim h() = lim =. Γι (, ) ισχύει: lim h() lim f( β) f( γ) = =. Συνεπώς ν Α = (, ) ισχύει h(a) = (, ), δηλδή, h(a), δηλδή, υπάρχει ρίζ της h() = στο διάστημ (, ) κι φού η h είνι γνησίως φθίνουσ η ρίζ υτή είνι μονδική. ΘΕΜΑ 4 ο Έχουμε ότι: ς (t - )f (t)dt = ς [tf (t)dt - f (t)dt] = ς tf (t)dt - ς f (t)dt = H() ς tf (t)dt = ς f (t)dt H() = ς f(t)dt f(t)dt = ς (Ι). Γι t στην περιοχή του, έχουμε: ( t )( t ) ( ) ( ) ( ) t t (t ) lim lim lim lim t t t t = = = = t t t t t t t t t lim lim lim t t t = = = = = t t t t t Συνεπώς ( ) ( ) t t G() = 6 lim = 6 = 3. t Επίσης, η G() είνι συνεχής στο (, ) ως άθροισμ των συνεχών συνρτήσεων: H() που είνι συνεχής στο (, ) ως πηλίκο των συνεχών συνρτήσεων H() (tf(t) συνεχής στο (, ) οπότε. tf (t)dt πργωγίσιμη στο (, ), άρ κι συνεχής στο (, )) κι (πολυωνυμική) ς 9

10 f(t)dt, που είνι συνεχής στο (, ) φού η f είνι συνεχής στο (, ), οπότε η f(t)dt είνι πργωγίσιμη στο (, ), 3 που είνι συνεχής στο (, ) ως στθερή. Όμως: t f(t)dt H() H'() lim ======= lim = lim = lim ( f ()) = f () = lim f () f () R De L' Hospital φού η f είνι συνεχής στο [, ], δηλδή, ' H() lim G() = lim f(t)dt 3 = f(t)dt 3 = 3= G() είνι συνεχής στο. Επίσης γι (, ) ισχύει: = κι, δηλδή, η G (I) H() H() H() H() lim G() = lim f(t)dt 3 f(t)dt 3 3 G() = == = δηλδή, η f είνι συνεχής στο. Επομένως η G() είνι συνεχής στο [, ]. β. Γι (, ) η συνάρτηση G() είνι πργωγίσιμη ως άθροισμ των πργωγίσιμων συνρτήσεων: H() που είνι πργωγίσιμη στο (, ) ως πηλίκο των πργωγίσιμων συνρτήσεων H() (tf(t) συνεχής στο (, ) οπότε ς tf (t)dt πργωγίσιμη στο (, )) κι (πολυωνυμική) f(t)dt, που είνι πργωγίσιμη στο (, ) φού η f είνι συνεχής στο (, ), 3 που είνι πργωγίσιμη στο (, ) ως στθερή. Τότε γι (, ) έχουμε: H'() H() f() H() f() H() G'() = f() = = (II) γ. Έχουμε ότι: η G() είνι συνεχής στο [, ], η G() είνι πργωγίσιμη στο (, ), G() = 3 κι (I) H() H() H() G() = f (t)dt === = =G() οπότε πό το θεώρημ Rolle υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) έτσι ώστε G () =, η οποί λόγω της (II) δίνει:,

11 H( ) = Η() =. δ. ος τρόπος: με θεώρημ μέσης τιμής η G() είνι συνεχής στο [, ] [, ], φού είνι συνεχής στο [, ], η G() είνι πργωγίσιμη στο (, ) (, ), φού είνι H() πργωγίσιμη στο (, ), με G'() = οπότε πό το θεώρημ μέσης τιμής του διφορικού λογισμού υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) έτσι ώστε tf (t)dt G( ) G() H( ) G( ) G() G( ) 3 G'( ) = = = tf (t)dt H( ) = [ G( ) 3] tf(t)dt = f(t)dt 33 tf(t)dt = f(t)dt tf(t)dt = f(t)dt. f(t)dt ος τρόπος: με θεώρημ Rolle στην g() = G() f(t)dt Θέτουμε g() = G(), [, ]. η g() είνι συνεχής στο [, ] [, ], ως άθροισμ των συνεχών f(t)dt συνρτήσεων G() κι (πολυώνυμο), ότν [, ], η g() είνι πργωγίσιμη στο (, ) (, ), ως άθροισμ των πργωγίσιμων συνρτήσεων G() κι ότν (, ), με f(t)dt (πολυώνυμο), f (t)dt f (t)dt tf (t)dt f (t)dt ( β) H() g'() = G'() == = g() = G() = 3 κι

12 f(t)dt H( ) g( ) G( ) G( ) f(t)dt f(t)dt 3 f(t)dt = = = = = 3= 3= g() οπότε πό το θεώρημ Rolle υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) έτσι tf(t)dt f(t)dt ώστε g () = = tf(t)dt = f(t)dt. 3 ος τρόπος: με θεώρημ Rolle στην Θέτουμε h() = G() f(t)dt, [, ]. tf (t)dt = f (t)dt h() = G() f(t)dt η h() είνι συνεχής στο [, ] [, ], ως άθροισμ των συνεχών συνρτήσεων G() (στθερή επί συνεχής) κι f(t)dt (πολυωνυμική), ότν [, ]. η h() είνι πργωγίσιμη στο (, ) (, ), ως άθροισμ των πργωγίσιμων συνρτήσεων G() (στθερή επί συνεχής) κι f(t)dt (πολυωνυμική), ότν (, ), με ( β) H() tf (t)dt h'() = G'() f(t)dt== f(t)dt= f(t)dt h() = G() = 3 κι h( ) = G( ) f(t)dt = G( ) f(t)dt = H( ) = f (t)dt 3 f (t)dt = H( ) 3= 3= 3= h() οπότε πό το θεώρημ Rolle υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) έτσι tf (t)dt tf (t)dt ώστε h () = f(t)dt= = f(t)dt tf(t)dt = f(t)dt.

13 3