ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

Transcript

1 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] κι ισχύει: 7 f( d=. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: f(ξ=ξ 6. 7 Θ. Rolle στην F(= f( d στο διάστηµ [, ] 7. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [-, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (-, τέτοιο, ώστε: ξ ξ f(d=( -ξ f(ξ. ( Θ. Rolle στην F(=( - f(d 4. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο R γι την οποί ισχύει: 5 f(4-d+ f(+d=. ( Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, 9 τέτοιο, ώστε: f(ξ=. Αλλγή µετλητής στην ( κι εφρµογή του Θ. Rolle στην F(= στο διάστηµ [, 9] 5. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο R γι την οποί ισχύει: f(4 d= 4 f( d ( Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (8, 6 τέτοιο, ώστε: f(ξ=. 6. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g συνεχείς στο [, ] µε f( g( <. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει µονδικό ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f( g(d=κ f( g(d, κ>. ξ 7 f(d. (Όµοι µε την 7 ( Θ. Bolzano στην F(= f(g(d-κ a f(g(d κι µελέτη µονοτονίς της F( 7. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g συνεχείς στο [, ] µε f(< κι g(> γι κάθε [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει µονδικός ξ (, τέτοιος, ώστε ν ισχύει: ξ ξ f(d= g(d. ( Όµοι µε την 7 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

2 ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, τέτοιο, ώστε ξ f(d = ξ f(ξ. 9. ίνετι η συνάρτηση f πργωγίσιµη στο R κι η g(= f(d. Αν υπάρχουν *, R τέτοι, ώστε f(4+= κι f(9+=, ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε g (ξ=. Από το σύστηµ των δύο σχέσεων ρίσκω ότι: f(4=f(9 κι εφρµόζω Θ. Rolle στην. g (=f( στο διάστηµ [, ]. ίνετι η συνάρτηση g, πργωγίσιµη κι κυρτή στο R. Αν g(d 4 f(=e +4 +e, R, ν ποδείξετε ότι η f έχει έν το πολύ κρίσιµο σηµείο. ( είχνω ότι η εξίσωση f (= έχει το πολύ µί ρίζ µε τη οήθει της f. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει: f(d=, ν ποδείξετε ότι:, τέτοιο, ώστε: f(ξ=ξ.. υπάρχει ξ ( 4 + =+. Η εξίσωση f(d, έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (,. 4. Θ. Rolle στην g(= f(d- στο [, ],. Θ. Bolzano στην h(= + -- f(d στο [, ].. ίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο [, 5]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, 5 ξ 4 5 τέτοιο, ώστε ν ισχύει: f(d= f(d+ f(d+ f(d. 4 ( Εφρµόζω Θ. µέγιστης-ελάχιστης τιµής στη συνάρτηση F(= f(d στο [, 5].. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: [, ] Rγι την οποί ισχύει: f(d. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=λ f(d, λ (,. ( Θ. bolzano γι την h(= f(d-λ f(d στο [, ] 4. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: [, ] Rκι η συνάρτηση g(=(- ( f(d- - f(d. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, τέτοιο, ώστε: (- f(ξ= f(d. ( Θ. Rolle γι την g(=(- f(d- ( - f(d στο [, ] ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

3 ίνετι η συνάρτηση f πργωγίσιµη στο διάστηµ [6, 7] µε f (< γι κάθε στο [6, 7] κι 7 f( d =. Ν ποδείξετε ότι : 6. f(6 f(7<.. Η εξίσωση f(= έχει µί, κριώς, ρίζ στο διάστηµ (6, 7. Θ. Rolle στην Φ(= f(d στο [6, 7] κι Θ. Bolzano στην f στο ίδιο διάστηµ 6 6. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: R R γι την οποί ισχύει:. Η γρφική της πράστση δέχετι στο σηµείο Α(, f( εφπτόµενη πράλληλη στην ευθεί ψ= κι. ( f( d - f(d γι κάθε R. Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτόµενης της C f στο σηµείο Α. 7. ίνετι η πργωγίσιµη συνάρτηση f: R R. Αν <<γ κι f(+d f( d γι κάθε R µε f (γ=, (ψ=- ν ποδείξετε ότι: υπάρχει µί τουλάχιστον πιθνή θέση σηµείου κµπής γι την f στο διάστηµ (, γ. ( Θ. Ferma στην h(= f(+d f( d,, πό το οποίο πέρνω: f(=f(... R 8. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι γι κάθε R ισχύει: + e + f(d λ (++ κι f(-= - ν ρείτε την τιµή της πρµέτρου λ R. (λ= 9. Ν ποδείξετε ότι: u u. ( (. ( ( e -u du= e d du. f( - d= f(udu d, όπου f συνεχής στο R.. ίνοντι οι συνεχείς στο R συνρτήσεις f κι g γι τις οποίες ισχύει: u g(= f(d du, h(= f(udu- uf(udu. o o Ν ποδείξετε ότι: g=h.. Ν υπολογίσετε τ όρι:. e lnd+ e lnd lim, -. e - συνd-- lim. (.,. + ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

4 ίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο R µε f(=, f ( κι f( γι κάθε * R. N ποδείξετε ότι: f(d lim =. f(. Ν ρεθούν τ κι R µε >, ώστε ν ισχύει: d + lim =-44. ηµ- (=, =7 4. Ν µελετήσετε ως προς την µονοτονί κι τ κρόττ την συνάρτηση µε τύπο: - f(= d κι ν ποδείξετε ότι f( γι κάθε R.. e ίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο [, ] µε f(< γι κάθε R κι γι την οποί ισχύει: f(d=-4. Ν ρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης g(= f(d, [,]. 6. Ν ρείτε τ σηµεί κµπής της συνάρτησης f που ορίζετι πό τον τύπο: ln. f(= ( - e d,. f(= d, (, + 7. Ν µελετηθεί ως προς την µονοτονί η συνάρτηση µε τύπο: ηµ e d f(=,. ηµ e d ([-4, ] ηµ ηµ Το πρόσηµο της f ( εξρτάτι πό το πρόσηµο της g(= e d- e d, R Μελετούµε το πρόσηµο της g ( µεσω της g ( κι πό εκεί ρίσκουµε το πρόσηµο της g(. 8. Ν υπολογίσετε το όριο: lim d. Από τη σχέση +... κι ολοκληρώνοντς κτά µέλη ( χ+ πέρνουµε τελικά d κι κτόπιν κρ. πρεµολής. χ + + (+ + ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

5 Ν υπολογίσετε το όριο: lim ηµ d, >. ηµ ηµ ηµ Θεωρώ την F(= d= d- d κι εφρµόζω Θ.Μ.Τ. στη συνάρτηση ηµu ηµξ g(= du στο [, ] κι πό εκεί πέρνω F(=, ξ (,. Αν ξ κ.τ.λ... u ξ. Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης f(=ln-, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι =e. e -5 Ε(Ω= τ.µ.. Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης f(= - κι τον άξον χ χ. (Ε(Ω=9 τ.µ.. Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική +,< πράστση της συνάρτησης f(=, τον άξον χ χ κι τις ευθείες ln+, =- κι =. ( Ε(Ω=(ln+ τ.µ.. Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f(=e +, g(= ++ κι τις ευθείες =- e -e+ κι =. Ε(Ω= τ.µ. e 4. Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική - πράστση της συνάρτησης f( =, της πλάγις σύµπτωτής της στο + κι των ευθειών = κι =e. (E(Ω= τ.µ. +, 5. ίνετι η συνάρτηση f(=. ++, >. Ν ρείτε τις τιµές των κι ώστε η f ν είνι συνεχής κι οι εφπτόµενες της γρφικής της πράστσης στ σηµεί Μ(, f( κι Ν,f ν είνι κάθετες.. Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι =. (. = -, = -,. Ε(Ω=5/ τ.µ. 6. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g δύο φορές πργωγίσιµες στο διάστηµ (, + γι τις οποίες ισχύει: f ( = g (, (, +. Αν f(=g( κι ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

6 f(e=+g(e, ν ρείτε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f κι g κι τις ευθείες: = κι =e. (Ε(Ω= τ.µ. 7. Ν ρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης h(=-ln(+, [, ] κι ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f(= κι g(=ln(+ κι τις ευθείες = κι =. f(α=[, -ln], Ε(Ω= -ln τ.µ. 8.. Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης f(= -, την εφπτόµενή της στο σηµείο o =6 κι τον άξον χ χ.. Ν ρείτε την ευθεί =κ που χωρίζει το προηγούµενο χωρίο σε δύο άλλ Ε 59 χωρί µε λόγο εµδών =. 8. Ε(Ω= τ.µ.. = Ε Ν υπολογιστεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης f(=- κι τον άξον χ χ.. Ν ρείτε ευθεί της µορφής ψ=λ, που χωρίζει το προηγούµενο χωρίο σε δύο Ε 4 άλλ χωρί µε λόγο εµδών =. Ε(Ω=,. ψ= Ε ίνετι η συνάρτηση f(= +.. Ν ρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f.. Ν υπολογίσετε το εµδόν Ε( του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f, την ευθεί ψ= κι τις ευθείες = κι =, >. - γ. Ν ρείτε το lim Ε (.. =,. ψ=, γ. Ε(= + 4. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g:r Rγι τις οποίες ισχύει: f(d= -++ g(d, R. Έστω επίσης ότι η εξίσωση f(= έχει δυο ρίζες ρ κι ρ µε ρ <<ρ. Α. Ν ποδείξετε ότι: i. H εξίσωση g(= έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (ρ, ρ. ii. Υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (ρ, ρ τέτοιο, ώστε g (ξ=-. Β. Αν η συνάρτηση g είνι κυρτή στο R, ν ποδείξετε ότι: i. Η f είνι κυρτή στο R. ii. H f έχει έν µόνο ελάχιστο στο R, το οποίο προυσιάζετι στο o =ξ του ερωτήµτος Αii. Γ. Ν υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f κι g κι τον άξον ψ ψ. 4. Έστω η συνάρτηση f(= ln, >.. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν µόνο σηµείο της C f στο οποίο η εφπτόµενη είνι πράλληλη στον άξον χ χ.. Ν υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f, τον ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

7 άξον χ χ κι την ευθεί = o, όπου o η θέση του τοπικού κρόττου της f. -. είχνω ότι η εξίσωση f (= έχει µονδική ρίζ την =e Ε(Ω= - e ln d= - e τ.µ ίνετι η πργωγίσιµη συνάρτηση f:[-, ] Rµε f(=, γι την οποί ισχύει: f(d γι κάθε [-, ]. N ποδείξετε ότι:. f(=.. Υπάρχει (, τέτοιο, ώστε: f(d=. γ. Υπάρχει o (, τέτοιο, ώστε: f( =. δ. Υπάρχει εφπτόµενη της γρφικής πράστσης της f που σχηµτίζει µε τους άξονες ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο. 44. ίνετι ο µιγδικός ριθµός z µε z = κι η συνάρτηση f(= z+z, R. Αν το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f,τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = είνι ίσο µε 7/ τ.µ., ν ποδείξετε ότι z R ίνετι η συνάρτηση f µε f(= +, όπου η µέγιστη τιµή της πράστσης z +z, όπου z =--4i κι z =. Ν υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f κι την 4 συµµετρική της ως προς τον άξον χ χ. Είνι =7. Ε= - ( +4d= Αν γι τον µιγδικό ριθµό z ισχύει: z-i = z+-i,. Ν ρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z στο µιγδικό επίπεδο.. Αν κ είνι η ελάχιστη τιµή του z κι g(= f(d, όπου 7 5 4κ = - +κ, =, κι η f είνι συνεχής συνάρτηση στο (, + µε f(d= f(d, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f(=f(4 έχει τουλάχιστον 4 µί ρίζ στο διάστηµ, ψ+7=,. κ= κι =, =4. Aπό Θ. Rolle στην g( στο διάστηµ υτό προκύπτει το ζητούµενο. 47. ίνοντι οι συνεχείς στο R συνρτήσεις f κι g γι τις οποίες ισχύει: f(d- g(d-, R. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f(=g(+4, έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

8 - 8 - διάστηµ (,. Θ. Ferma στην h(= f(d- g(d- + πό όπου πέρνω: f(-g(=6 κι έπειτ Θ. Bolzano στην φ(= f(-g(-4 στο διάστηµ (, 48. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R µε f(= κι <f (< γι κάθε >, ν ποδείξετε ότι: ( f (d< f(d γι κάθε >. 49. ίνετι η συνάρτηση f: R R η οποί είνι δύο φορές πργωγίσιµη µε f (> γι κάθε R. Αν η f προυσιάζει κρόττο στο o = µε τιµή κι ισχύει: f(-+f(=7, ν ρείτε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης f, τν άξον χ χ κι τις ευθείες = - κι =. ( Από την f (> προκύπτει: f Zστο R...f (>. E(Ω=7 5. Έστω οι συνρτήσεις f κι g που είνι συνεχείς στο [, ]. Ν ποδείξετε ότι: ( ( ( f(g(d f( d+ g( d. *.*.*.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.*.* *.*.* * Ερωτήσεις τύπου «Σωστό Λάθος». Κάθε συνεχής συνάρτηση f ορισµένη στο, έχει κριώς µί πράγουσ F στο.. Aν F είνι µί ρχική της f στο διάστηµ, τότε f (=F(.. Μί συνεχής συνάρτηση f έχει στο άπειρες ρχικές, οι οποίες έχουν στο o πράλληλες εφπτόµενες. 4. Αν F κι G είνι πράγουσες της f στο, F(-G(=c. 5. H στθερά ολοκλήρωσης c φορά διάστηµ κι όχι ένωση διστηµάτων. f( g ( d=g( f(d. 6. Ισχύει: ( ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

9 Ισχύει: f( g(d= f(d g(d. 8. Ισχύει: d=ln(-+c, ν < Ισχύει: f(g (d=f(g (- f (g (d.. Ισχύει: f (g (d+ f (g(d=f (g(.. Ισχύει: f(g( g (d= f(udu, όπου u=g( κι du=g (d.. Οι πρστάσεις f(d κι f(udu πριστάνουν το ίδιο σύνολο.. Οι πρστάσεις f(d κι f(ud πριστάνουν το ίδιο σύνολο. 4. Η πρότση: λf(d=λ f(d ισχύει γι κάθε λ R.. 5. Αν F κι G είνι ρχικές των συνρτήσεων f κι g ντίστοιχ κι Η είνι ρχική της f+g, τότε Η=F+G. 6. Έστω µί πργωγίσιµη συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.. Αν ολοκληρώσουµε την f κι µετά πργωγίσουµε το ποτέλεσµ, προκύπτει πάλι η f.. Αν πργωγίσουµε πρώτ κι ολοκληρώσουµε µετά, προκύπτει πάλι η f. 7. Iσχύει: 8. Ισχύει: ( f(d f(d+ f(d=. 9. Ισχύει: ( g( f(d =f(. =f(g(. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

10 Ισχύει: ( h( f(d g( =f(h(h (+f(g(g (.. Ισχύει: 4 cd= cd. -. Αν > κι f( στο R, τοτε: f(d.. Αν < κι f(d τότε f( στο [, ]. 4. Αν f(d= g(d τότε f(=g( στο [, ]. 5. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι γι κάθε, R ισχύει: f(d=, τότε είνι f(= γι κάθε R. 6. Αν f(d=4 κι f(d=, τότε η f πίρνει κι ρνητικές τιµές στο διάστηµ [, ]. 7. Ισχύει: 8. Ισχύει: (-(-d, ν < d. 9. Αν F(= 5+ d, τότε F (5=.. Αν η C f έχει στ σηµεί Α(, f( κι Β(, f( πράλληλες εφπτόµενες κι είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο R, τότε f (d=.. Αν η f είνι συνεχής στο Rκι ισχύει: γ f(d= f(d, τότε =γ.. Αν η f είνι συνεχής στο κι c, τότε d d c f(d=f(, γι κάθε.. Αν f συνεχής στο R,, τότε: G (=f(. F(= f(d κι G(= F(udu 4. H συνάρτηση ln F(= e d είνι στθερή στο διάστηµ [, +. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ:

11 Η συνάρτηση F(= -dπρουσιάζει κρόττο στο o = F(+ Αν F(= +d, τότε: lim =4. 7. Aν f(= d +, τότε f (π=. ηµ 8. Ισχύει: ηµ d lim =. 9. Έστω ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι το f( δεν είνι πντού µηδέν στο [, ]. Αν f(d=, τότε υπάρχει o (, τέτοιο, ώστε: f( o =. 4. Έστω f κι g δύο συνρτήσεις συνεχείς στο [, ]. Α ισχύει: f(d< g(d, τότε γι κάποιο o (, ισχύει: f( o <g( o. *.*.*.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.*.* *.*.*.* * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ: