DETERMINANTE I MATRICE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DETERMINANTE I MATRICE"

Transcript

1 Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996

2 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3 etermite viših redov 6 Svojstv determit 6 Rčuske opercije s determitm 8 Primje determiti kod rješvj sustv lierih jeddži 9 III MATRICE 9 Pojm i vrste mtric 9 Rčuske opercije s mtricm 3 Trspoirje mtric 5 Posee vrste kvdrtih mtric 6 Postupk z rčuje iverzih mtric 8 Reciproč mtric i trspoir reciproč mtric 9 etljije o rgu mtrice 9 Rješvje lierih mtričih jeddži 0 Rješvje sustv lierih jeddži pomoću mtričog rčuj Rstvljje mtric u lokove 4 IV LITERATURA 6

3 I UVO etermit je u mtemtici izrz predoče kvdrtom shemom u kojoj je poredo člov u redk i stupc, i to je determit -tog red (tko postoje pr determite -og ili 3-eg red):,,,,,,,,,,,,,, etermite je prvi otkrio i proučvo G W Leiiz 693 godie ispitujući rješej sistem lierih jeddži No ksije se z otkrivč determiti smtr G Crmer koji je 750 godie do prvil rješvj jeddži pomoću determit, u međuvremeu je Leiizovo otkriće plo u zorv etermite se široko primjejuju u mtemtici tek ko K J Jcoij Nziv determite uveo je u mtemtiku K F Guss Mtric je sustv od m rojev složeih u prvokutu shemu od m redov i stupc Simolički se mtric ozčv pomoću dv pr usporedih duži: m m m, li se u ovije vrijeme ozčv i s zgrdom: ili m m m m m m etermite drugog red II ETERMINANTE ismo riješili sistem od dviju lierih jeddži s dvije epozice x + y c () x + y c () potreo je jprije izjedčiti jeddže po epozici y, te zto jeddžu () tre pomožiti s, jeddžu () s Ako ko tog zrojimo te dvije jeddže doijmo: ( ) x c c (3)

4 N isti či tre izjedčiti i po epozici x iz sistem jeddži () i (), p se doije: ( ) y c c (4) Ako pretpostvimo d je 0 iz predhode dvije jeddže se doij određeo rješeje zdog sistem, i to tko d se jeddž (3) podijeli s fktorom uz x i logo tome jeddž (4) fktorom uz y: x c c, te y c c (5) i (6) Proučimo li jeddže (5) i (6), vidi se d su im zivici isti i d su im rojici sličo grđei Možemo uvesti ovu ozku z izrz, i to: Alogo tome, možemo zpisti d je: (7) c c c i c c c c (8) i (9) c Brojik i zivik doijeih jeddži (5) i (6) se zovu determite -og red i to su ovdje, i Općeito vrijedi z svk četiri roj, rspoređe u oliku kvdrte sheme:,,,, d se rzlik koj odgovr toj shemi zove determit -og red i ovdje je t rzlik ekvivlet, zpisuje se simolički Elemeti determite (u predhodom redu) su rojevi,,, ; pri čemu prvi dio ideks elemet pokzuje roj red u kojem se elemet lzi, drugi dio ideks elemet roj stupc u kojem se lzi tj elemet Elemeti i čie glvu dijgolu determite, elemeti i sporedu dijgolu Red ili redk determite čie elemeti determite koji stoje horizotlo jed do drugog Stupc determite čie elemeti koji su vertiklo jed ispod drugog Iz dosdšjeg izlgj očigledo je d rješeje sistem može iti izržeo pomoću determit ko je determit koeficijet epozic u sustvu jeddži () i (), je determit koj stje iz ko se koeficijeti i od x domjeste rojevim c i c desim strm jeddži, te je determit koj stje iz ko se koeficijeti

5 3 i od y domjeste rojevim c i c Kočo rješeje sistem jeddži () i () od možemo zpisti u oliku: x, i y (0) i () ili opširije: x c c, y c c () i (3) etermit u ziviku je sstvlje od koeficijet epozic sistem jeddži, ovdje jeddži () i (), i zove se determit tog sistem, te se ozčv s ili s Ako uvjet 0 ije zdovolje, tj 0, od i determite i morju iti jedke uli jer i iče izrzi (5) i (6) ili kotrdiktori Zči, ko je 0, rem jed od determiti i rzličit od ule, sistem em rješej Prem tome, možemo zpisti: ) ko su koeficijeti epozic u zdom sistemu (vidjeti početk) eproporcioli, sistem je moguć i određe; ) ko su koeficijeti epozic proporcioli, sloodi človi im isu proporcioli, sistem je emoguć zog proturječj u (5) i (6); 3) ko su koeficijeti epozic i sloodi človi proporcioli ( 0), sistem je eodređe jer im eskočo rješej Jeddže (5) i (6) te () i (3) z 0 i 0 čie tzv ehomogei sustv, z 0 homogei sustv jeddži Iz prethodih zključk slijedi d ehomogei sustv im ili smo jed sustv rješej, ili uopće em rješej, ili ih im eskočo mogo Homogei sustv od dvije liere jeddže s dvije epozice im rješej rzličit od očigledih, tzv trivijlih, smo u slučju kd je determit sustv jedk uli, i td ih im eskočo mogo Vrijedost determite -og red se izrčuv tko d se ukrso može človi determite i pri tome se drugi umožk dodje prvom s protivim predzkom: + etemite trećeg red Rješvje sistem dviju lierih lgerskih jeddži s dvije epozice dovodi s do determiti drugog red, logo tome s rzmtrje sistem triju lierih jeddži s tri epozice dovodi do determiti 3-eg red Tko immo sistem: x + y + cz d (4) x + y + cz d (5)

6 4 x 3 + y 3 + cz 3 d3 (6) ismo riješili tj sistem potreo je iz jeddži (4), (5) i (6) isključiti dvije epozice, pr y i z kko slijedi Možemo (5) i (6) izrziti ko: te od pomoću logije s (3) i (4) slijedi iz (7) i (8): y + cz d x (7) y 3 + cz 3 d3 x 3 (8) c c y d x c d x c d c x c d c c d c x c d c c x, (9) c c z d x d x d d x (0) Ako ko tog pomožimo jeddžu (4) s fktorom uz y i z u izrzu (9) odoso (0), uvrstimo ztim izrze iz (9) i (0), te ko determiti koj stoji uz x izmijeimo stupce uz promjeu predzk ko i stupce u determiti koj stoji uz c, doit ćemo: x c c 3 3 c c + c d c d c c d + () 3 c3 d3 c3 d3 3 Vidimo d se fktor uz x može zpisti ko determit 3-eg red: c c c c c 3 c3 3 c3 c () Pomoću te determite se može promijeiti des str jeddže () tko d se elemeti, i 3 u determiti zmijee s d, d i d 3, p jeddž () ovko izgled: pri čemu je tkođer determit trećeg red: x, (3) Alogo tome se doiv: pomoću d c d c (4) d c y, (5)

7 5 d c d c ; (6) d c i s z 3 (7) 3 d d (8) d Iz izrz (3), (5) i (7) se mogu izrčuti x, y, z ko vrijedi d 0 Td je jedozčo rješeje sistem jeddži (4), (5) i (6): x, y te z 3 (9), (30), (3) Ako je 0, rem jed od determit, ili 3 rzličit od ule, vidi se d prem (9), (30) i (3) e može postojti rješeje Jeddže (4), (5) i (6) su od proturječe Ako je 3 0, od sistem (4), (5), (6) im eskočo mogo rješej Z izrčuvje vrijedosti determite trećeg red možemo se poslužiti Srrusovim prvilom: tre pisti determitu i uz ju deso još dv prv stupc: c c 3 3 c 3 3 c 3 Sd po shemi tvorimo produkte po tri čl i to prvo u smjeru glve dijgole, ztim produkte od tkođer po tri čl, o u smjeru suprote dijgole Produkte uzete u smjeru glve dijgole zrojimo i od tog oduzmemo zroj produkt uzetih u smjeru sporede dijgole Ako promotrimo izrz desoj stri izrz (), možemo vidjeti d su elemeti,, c pomožei determitm drugog red, koje se mogu doiti rzvijjem determite po stupcu ili po retku (u determiti trećeg red se precrt redk i stupc u kojem se lzi dotiči elemet) Z rzvijje determite se koristimo shemom predzk: po kojoj uzimmo predzke pojediih elemet kd rzvijemo determitu Ako želimo d rzvijemo determitu po pr elemetim prvog retk, td prepišemo prvi elemet tog retk i precrtmo prvi redk i prvi stupc determite, te prepisi prvi elemet možimo s preostlim dijelom determite Tko doive determit -og red se zove

8 6 sudetermit ili mior dotičog elemet Ztim prepišemo s protivim predzkom (po shemi predzk) drugi elemet prvog retk, p ko i prije možimo tj elemet s jegovom determitom (koju doijemo kd precrtmo prvi redk i drugi stupc zde determite) Nposlijetku prepišemo treći elemet prvog retk i pomožimo g s jegovom sudetermitom (koj se doiv kd se precrt prvi redk i treći stupc u zdoj determiti) Sd možemo rzviti sudetermite već prije ojšjei či (vidi etermite -og red) N logi či se rzvij determit 3-eg red po elemetim drugog i trećeg retk, odoso ilo kojeg stupc etermite viših redov etermite -tog red rješvju se isti či ko i determite trećeg red, te ih isti či možemo rzviti Shem predzk z rzvijje determite poš se logo shemi predzk determiti 3-eg red Npr shem predzk determite 4-og red: , rzvijjem determite 4-og red doivju se četiri mior trećeg red Pod vrijedosti determite -tog red,,,,,,,,,,,,,, (3) podrzumijevmo sumu ± k k, gdje je (k,k,,k k ) ek permutcij rojev,,, Sumciju tre proteguti preko svih tkvih permutcij Pojedii človi doivju predzk plus ko je dotič permutcij pr, predzk mius ko je epr Često se umjesto sheme (3) piše smo ik Nehomogei sustv od lierih jeddži s epozic im z ilo koje dese stre tih jeddži smo jed sustv rješej x, x,, x, ko je determit sustv rzličit od ule Z 0 tj sustv em rješej, ko su determite u rojicim izrz z epozice rzličite od ule, odoso im eskočo mogo rješej, ko su te determite jedke uli Homogei sustv od lierih lgerskih jeddži s epozic im rješej rzličit od očevidih (x 0, x 0,,x 0) smo u slučju, kd je determit sustv 0, i td ih im eskočo mogo Svojstv determit Njvžij svojstv determiti su: ) etermitu uvijek možemo rzviti po elemetim ilo kojeg retk i ilo kojeg stupc, te ćemo uvijek doiti istu vrijedost determite

9 7 ) etermit e mijej vrijedost, ko zmijeimo retke determite u redoslijedu ili stupce determite u redoslijedu, tj ko determitu zokreemo z 80 oko jee glve dijgole koj ide slijev deso (odoso preklopimo je preko jee glve dijgole) To slijedi iz svojstv 3) etermit, u kojoj su svi elemeti jedog retk ili jedog stupc ule, im vrijedost jedku uli Rzvijemo li tkvu determitu po elemetim oog retk ili oog stupc, u kojem su ule, doit ćemo ulu jer će se svk sudetermit možiti s ulom 4) Ako u determiti dv stupc ili dv retk međusoo zmijee položj, determit mijej predzk To svojstvo slijedi iz sheme predzk z rčuje determit, jer elemeti susjedih redk ili susjedih stupc imju suprote predzke 5) Vrijedost determite s dv jedk retk ili dv jedk stupc je jedk uli To slijedi iz svojstv 4: kd i t dv stupc ili retk zmijeil položje, determit i morl mijejti predzk (svojstvo 4), o izmjeom položj determit se e mijej tj ostje ist jer su t dv retk (stupc) jedki To zči d je, to je moguće smo z 0 6) Imju li svi elemeti jedog retk ili jedog stupc isti fktor, tj fktor pripd čitvoj determiti p g možemo izlučiti tj postviti ispred determite; rzvijemo li tkvu determitu po elemetim oog retk ili oog stupc koji sdrži tu kosttu tj stli fktor, svki mior će iti pomože tim fktorom p je jso d g možemo izlučiti ispred cijelog rzvoj determite Alogo, to zči d determitu možimo ekim rojem k 0 tko d elemete jedog retk ili jedog stupc pomožimo tim rojem 7) etermit e mijej svoje vrijedosti ko elemetim jedog retk (jedog stupc) prirojimo pripde elemete kojeg drugog retk (stupc) evetulo pomožee ilo kojom kosttom Npr pomožimo elemete drugog retk determite s ekom kosttom k 0, p ih prirojimo pripdim elemetim prvog retk: + k + k + k Rzvijemo li tko doiveu determitu po elemetim prvog retk, po svojstvu 6 možemo izlučiti kosttu k p doivmo: k Vidimo d je drug determit po svojstvu 5 jedk 0 jer im dv jedk retk, p doivmo zdu determitu 8) Vrijedost determite je jedk uli, ko su joj dv retk ili dv stupc međusoo proporciol To slijedi iz svojstv i 6 Iz jedog od tih stupc možemo izlučiti fktor pred cijelu determitu (svojstvo 6), te u determiti doijemo o stupc (retk) jedk, to (svojstvo ) zči d je vrijedost determite jedk uli

10 8 Rčuske opercije s determitm Opercije zrjj, odijj i možej izvode se d dvije determite smo ko su oje istog red ) Zrjje: Ako se dvije determite rzlikuju jviše u jedom retku (stupcu), jihov je sum jedk determiti u kojoj je oj redk (stupc) u kojem se sumdi rzlikuju jedk zroju dotičih redk (stupc) u sumdim, dok su ostli reci (stupci) isti ko kod o sumd: ) Odijje: Vrši se logo zrjju, tj jedu determitu odijmo od druge ko se rzlikuje jviše u jedom stupcu ili retku U determiti, koj je rezultt odijj, rzličitim će stupcim (recim) zdih determiti odgovrti stupc (redk) koji je jedk rzlici tih stupc (redk), dok će ostli stupci (reci) iti u sve tri determite jedki (iz ovog slijedi svojstvo 7) 3) Možeje dviju determit: Produkt dviju determit je determit kojoj je c rs -ti elemet jedk k rk ks, r,,,, s,,, gdje su rk elemeti prvog, ks elemeti drugog fktor produkt Jedostvije rečeo, c rs -ti elemet doijemo tko d elemete r-tog retk prve determite pomožimo s pripdim elemetim s-tog stupc druge i to zrojimo: ) ijeljeje: Z prikz kvocijet dviju determiti u oliku determiti e postoji prvilo Ako želimo podijeliti dvije determite, mormo jprije izrčuti jihove vrijedosti, tek od te vrijedosti podijeliti 5) Kvdrirje: o izrz z kvdrirje dolzimo ko primjeimo možeje dvije potpuo idetiče determite, p se doije:

11 i to je tzv simetrič determit u kojoj su jedki elemeti što leže simetričo sprm glve dijgole To vrijedi z determite -tog red tj z sve determite Primje determiti kod rješvj sustv lierih jeddži Ako se prisjetimo rješvj jeddži ojšjeog u poglvlju: etermite -og red: iz čeg je slijedilo: x + y c x + y c x c c c, te y c Vidjeli smo d se tj rezultt može zpisti i ko: x, i y Tkođer je vrijedilo d je:, c c x i c c y Ovkv či rješvj sustv lierih jeddži pomoću determiti je prvi primijeio Crmer, te se prvilo z izrčuvje epozic formulom x x i y y zove Crmerovo prvilo Z sustv od lierih jeddži s epozic (koje su x, x,, x ) rješej su: x, x,, x, gdje je i z i,,, x i III MATRICE Pojm i vrste mtric

12 0 Ako svrstmo m elemet u prvokutu shemu koj im m redk i stupc, doit ćemo prvokutu tlicu koj služi ko izvor z doivje rzličitih determit i zove se prvokut mtric Ko što sm već ojsio u uvodu, mtric se stvlj između dv prlel prvc ili između zgrde z rzliku od determite Mtric sm em umeričke vrijedosti, jer je smo sustv izrčutih veliči, jčešće koeficijet jeddži etermite doivee iz mtrice zovu se miori mtrice ili sudetermite mtrice i ko je mtric ozče s E od se je mior ozčv s E Npr iz mtrice c c tj c c možemo doiti tri determite drugog red tko d uzstopo izostvljmo jed od stupc, pri čemu svki put stvimo prvo mjesto oj stupc koji slijedi odmh ko izostvljeog: c c, c c, te 3 Rgom mtrice zovemo roj koji je jedk jvišem redu determite (te mtrice) koj se e pretvr u ulu Zči ko je rg mtrice jedk l, td se sve determite red (l+) te mtrice pretvrju u ulu, li postoji rem jed determit red l koj je rzličit od ule Rg mtrice pokzuje roj liero ezvisih jeddži zdog sustv Ako immo pr sustv od tri liere homogee jeddže s četiri epozice: x + y + cz + dt 0 x + y + cz + dt 0 x+ y+ cz+ dt od mtric sstvlje od svih koeficijet tog sustv glsi: c d A c d c d p iz te mtrice doivmo slijedeće determite: c d c d c d 3 3 3, c d c d c d 3 3 3, 3 d d d 3 3 3, 4 c c c Ako je rg r mtrice A jedk 3, tj ko su sve determite,, 3 i 4 rzličite od ule, ili r jed od jih rzličit od ule, od gore vedei sustv jeddži im tri liero ezvise jeddže, koje dju jedo određeo rješeje sustv Mtric A je drugog rg ko je r jed od triju determit koje stju izostvljjem jedog retk i jedog stupc, rzličit od ule O je prvog rg ko je determit koj stje izostvljjem jedog retk i dv stupc rzličit od ule

13 kle, tre glsiti d je mtric tlic rojev, determit roj prikz u oliku tlice Ko što smo već mogli primjetiti, mtric z rzliku od determite e mor imti jedk roj redk i stupc Mtrice od jedog stupc se zivju vektori, jihovi elemeti kompoete (u dojem slučju x, x i x 3 ): Mtric se može prikzti ovko: x X x x 3 A m m m m [ ij ] pri čemu su i,,, m redi rojevi redk mtrice, j,,, redi rojevi stupc mtrice Mtric koj im m redk i stupc zove se m mtric ili (m,)-mtric Ako se želi z mtricu A [ ij ] zčiti roj redk i roj stupc, od možemo zpisti i ko A [ ij ] m kle, (m,)-mtric ili (,)-mtric je m-redi vektor (mtric-redk) odoso -stupči vektor (mtric-stupc) Vektor možemo zpisti i ko: m odoso [ ] pri čemu je (m,)-redi vektor, (,)-stupči vektor Ako je roj redk mtrice jedk roju stupc, tj ko je (m) immo kvdrtu mtricu red ili krće ()-mtricu Kod kvdrtih mtric postoje dijgole mtrice u kojim su svi elemeti rzličitih ideks (i j) jedki uli (tj svi elemeti izv glve dijgole su jedki uli): Kod jih vrijedi d elemeti rzličiti od ule leže glvoj dijgoli mtrice Sklre mtrice su vrst dijgolih mtric z koje vrijedi d su im svi elemeti glvoj dijgoli jedki ( ) Sklr mtric kojoj su svi dijgoli elemeti jediice, svi ostli ule ziv se jediič mtric i ozčv se s E:

14 E Lko je zključiti d z svki postoji jed jediič mtric Tkođer, još postoji i doj trokut mtric: i gorj trokut mtric: , , koje su isto tko podvrst dijgolih mtric kle, z mtrice vrijedi: ) etermit dijgole mtrice jedk je umošku jeih elemet glvoj dijgoli: det AA 33, p stog izlzi d je determit mtrice E (jediič mtric) jedk (vidjeti determite), što se zpisuje ko: det EE ) etermit mtrice koj se sstoji od jedog roj jedk je tom roju 3) Mtric čiji su svi elemeti ul zove se ult mtric i ozčv se s 0 4) vije (m,)-mtrice su jedke ko i smo ko imju iste elemete u istom položju, dkle: A[ ik ] m, B[ ik ] m, p možemo pisti AB od i smo od, kd vrijedi: ik ik (i,, m; k,, ) Može se vidjeti d je relcij jedkosti defiir smo među mtricm koje imju isti roj redk i isti roj stupc

15 3 Tkođer, iz defiicije slijedi d relcij jedkosti im svojstvo refleksivosti, tj svk je mtric sm sei jedk,tj (AA) Ztim im svojstvo simetrije tj (AB) (BA) Im još i svojstvo trzitivosti, tj (AB) & (BC) (AC) Trokut mtric im slijedeć svojstv: ) etermit ilo kkve trokute mtrice jedk je produktu jeih elemet koji su glvoj dijgoli ) Produkt dviju gorjih ili dviju dojih trokutih mtric istog red dje gorju, odoso doju trokutu mtricu 3) Produkt gorje i doje, odoso doje i gorje trokute mtrice istog red, dje kvdrtu mtricu istog red Rčuske opercije s mtricm ) Zrjje: Pod zrojem dviju (m,)-mtric A i B podrzumijev se (m,)-mtric C Vžo je primjetiti d je moguće zrojiti smo mtrice koje imju isti roj redk i isti roj stupc Mtric doive zrjjem, i to tko d se poseo zroje svi pripdi elemeti tih mtric, im isti roj redk i isti roj stupc ko i polze mtrice kle ko: A[ ik ] m, B[ ik ] m i C[ ] ik m, od: Npr C(A+B), c ik ik + ik (i,, m; k,, ) Vžo je primjetiti d prvilo zrjj vrijedi z ilo koji (koči) roj prirojik Z zrjje mtric vrijede zkoi komutcije i socijcije ko i z oiče rojeve: (A+B)(B+A) (komutcij), A+(B+C)(A+B)+C (socijcij) okz d ovi zkoi vrijede proizlzi eposredo iz tog d ti zkoi vrijede z zrjje smih elemet ) Oduzimje: Rzlik dviju mtric je defiir logo ko zroj kle, umjesto d se elemeti zrjju oi se oduzimju, odoso elemeti suprhed se oduzimju od odgovrjućih elemet miued: C(A B), zči: c ik ik ik (i,, m; k,, )

16 4 Vrijede isti zkoi z oduzimje ko i z zrjje Vžo je još jedom glsiti d su opercije zrjj i oduzimj defiire smo među mtricm istog roj stupc i redk tj među mtricm istog olik 3) Produkt mtrice A i roj tj sklr λ: Produkt roj λ s mtricom A doiv se tko d se svi elemeti od A pomože s λ, tj: zči: BλAAλ ik λ ik (i,, m; k,, ) Z ovo možeje vrijede zkoi (λ i µ su sklri, A je mtric): λaaλ (komutcij), (λµ)aλ(µa) (socijcij) z komiciju zrjj i možej vrijede dv zko distriucije: (λ+µ)aλa+µa, λ(a+b) λa+λb 4) Možeje mtrice s mtricom: Produkt mtrice A s mtricom B defiir se smo z slučj d je roj stupc prve mtrice ik (q,)- jedk roju redk druge mtrice Nek je A[ ik ] (m,q)-mtric, B[ ] mtric Od je jihov produkt C[ c ik ] (m,)-mtric z koju vrijedi d su joj elemeti c ik određei s: c p ik is sk s (i,, m; k,, ) To zči d (i,k)-ti elemet produkt doiv možejem i-tog retk prvog fktor s k-tim stupcem drugog fktor Postupk je log možeju determiti smo što se ovdje može smo možiti retke s stupcim Z tko defiiro možeje vrijedit će zkoi: A(BC)(AB)C (socijcij), λ(ab)(λa)b, (AB)λA(Bλ) (socijcij), (Aλ)BA(λB) (socijcij), A(B+C)AB+AC, (B+C)ABA+CA (distriucij) Vžo je primjetiti d zko komutcije kod mtric općeito e vrijedi Ako je A (m,)- mtric, B (p,q)-mtric, od produkt AB im smisl smo ko je (p), produkt BA im smisl smo ko je (mq) kle, zko komutcije i vrijedio smo z kvdrte mtrice, o i td e uvijek Mtrice A i jediič mtric E su uvijek komuttive Mtrice A i B su tikomuttive ko je (AB BA) Zimljivo je i d produkt dviju mtric može iti ulmtric, d ijed fktor ije ul (vidjeti o sigulrim mtricm), pr:

17 Mtrice se mogu možiti s lijev, pr možemo jedoelemetu mtricu [ ] pomožiti zdes s jedim vektorom: ili slijev s stupčim vektorom: [ ] [ ] [ ], [ ] Još možemo primjetiti d je determit produkt dviju kvdrtih mtric jedk produktu determit tih mtric (Cuchyjev teorem) 5) Sklri produkt dvju vektor: Pod sklrim ili utrjim produktom (,) dvju vektor i (ez ozir jesu li stupči ili redi vektori) podrzumijevmo: (, ) kle, sklri produkt (,) je roj (sklr), z rzliku od produkt ~ koji je mtric 6) Potecirje mtrice: k-t potecij -mtrice A je produkt od k jedkih fktor A Tkođer, defiirmo ultu poteciju s: A 0 E, tj pod ultom potecijom -mtrice podrzumijevmo jediiču -mtricu Očito je iz defiicije možej mtric d se smo kvdrte mtrice mogu međusoo možiti s smim soom, jer iče isu ispujei uvjeti z rojeve redk i stupc Stog se i potecirje defiir smo z kvdrte mtrice Tkođer je očito d z potecirje vrijedi: p q p+ q A A A Trspoirje mtric Ako se (m,)-mtric A[ ik ] preklopi oko jee glve dijgole, jei će stupci postti recim, reci stupcim oit ćemo ovu mtricu koj je trspoir mtric s ozirom mtricu A i ozčvmo ju s A ~ N tj či se mtric A pretvr u mtricu A ~ Njee elemete ćemo ozčiti s ~ ik, tko d vrijedi: ~ ik ~ ~ ki, tj A [ ik ] [ ki ] T mtric je (,m)-mtric tj roj jeih redk je jedk roju stupc prvote mtrice, roj jeih stupc je jedk roju redk prvote mtrice

18 6 Vrijedi: ) Ako d mtricom A izvršimo dvput operciju trspoirj, mtric A ostje epromijeje ) Trspoir mtric zroj dviju mtric jedk je zroju trspoirih mtric: ~ ~ ~ A+ B A+ B ( ) 3) etermit mtrice A jedk je determiti mtrice ~ A : det AAdet ~ A A 4) Trspoir mtric produkt dviju ili više mtric jedk je produktu trspoirih mtric uzetih u ortom poretku: ~ ~ ~ AB BA, Posee vrste kvdrtih mtric ( ) ~ ~~~ ABC CBA ) Simetriče i kososimetriče mtrice: Kvdrt mtric se ziv simetrič mtric ko su jei elemeti, koji leže simetričo s ozirom glvu dijgolu, međusoo jedki (tj ij ji ) Kososimetrič mtric ili tisimetrič mtric je mtric kod koje su elemeti, simetričo rspoređei ozirom glvu dijgolu, jedki po veličii i protivi po predzku (tj ij ji ) Iz defiicije trspoirj mtric i defiicije ovih dviju vrst mtric slijedi d vrijedi: z simetriču mtricu A A ~, z kososimetriču mtricu A A ~ Produkt mtrice A i trspoire mtrice ~ A dje simetriču mtricu B: jer je: ~ AA B, ~ ( ~~ ~ ~ ~ B A A ) ( A ) A AA B Z simetriče i tisimetriče mtrice vrijedi slijedeći teorem: Svk kvdrt mtric A se može jedozčo rstviti u zroj jede simetriče mtrice A s i jede tisimetriče mtrice A, tj: A s A + A ~ i A A A ~ ) Regulre kvdrte mtrice:

19 7 Kvdrt mtric ziv se sigulrom mtricom ko je je determit jedk uli, tj det A0, esigulrom ili regulrom mtricom ko joj je determit rzličit od ule, tj det A 0 Npr trokut mtric je sigulr ko je mkr jed je elemet jedk uli 3) Ortogol mtric: Z eku kvdrtu mtricu A ćemo reći d je ortogol mtric ko je produkt te mtrice i joj trspoire mtrice ~ A jedk jediičoj mtrici E, tj ko je: ~ A A E Z ortogolu mtricu vrijedi: ) etermit ortogole mtrice jedk je (+) ili ( ) Zog svojstv determiti vrijedi: A A ~ lje, zog defiicije ortogole mtrice i zog Cuchyjevog teorem vrijedi: p je uvijek ~ ~ AA A A A A ±, ) Produkt dviju ortogolih mtric uvijek je ortogol mtric Ako su A i B dvije ortogole mtrice, vrijedi po defiiciji: ~ ~ A A E, i B B E Td dlje vrijedi: ( AB) ( AB ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ( AB) ( BA) A( BB) A ( AE) A AA E P je prem defiiciji produkt AB siguro ortogol mtric c) Algerski kofktor ekog elemet ortogole mtrice je jedk tom elemetu ili mu je protiv, prem tom d li je determit mtrice pozitiv ili egtiv, tj vrijedi relcij: A A (i,j,,, ) ij ij d) Ortogol mtric je komuttiv s svojom trspoirom mtricom, tj z svku ortogolu mtricu A uvijek vrijedi: ~ ~ A A A A, ~ zog tog što vrijedi d A A E i A ~ A E 4) Iverz kvdrt mtric: Ako se podsjetimo d reciproč vrijedost ekog roj im svojstvo d pomože s dje, logo slijedi d je iverz mtric A eke kvdrte mtrice A defiir svojstvom d pomože s A (ilo slijev, ilo zdes) dje jediiču mtricu E, tj: AA A A E

20 Iverz mtric im slijedeć svojstv: ) Sigulr mtric em iverze mtrice Regulr mtric A[ ] određeu iverzu mtricu A [ α ik ] kojoj su elemeti α ik određei s: 8 α ik A A ki, ik im jedozčo pri čemu je općeito A ik kofktor elemet ik zde mtrice A, dok je A determit mtrice A Kofktor je defiir ko i kod determit, A ik ( ) i+k ik gdje je ik sudetermit elemet ik ) etermit iverze mtrice A reciproč je vrijedost determite A mtrice A E AA A A A A, dkle: A A c) Pod potecijom A regulre mtrice A ( je prirod roj) rzumijevmo -tu poteciju iverze mtrice A : A ( A ) d) Iverz mtric produkt dviju ili više regulrih mtric jedk je produktu iverzih mtric pojediih fktor, o u orutom redoslijedu: ( ) ABC C B A e) vije -mtrice A i B se zivju djelitelji ule ko su rzličite od ulmtrice, produkt AB im je ulmtric, tj: A 0, B 0, AB0 jelitelji ule su uvijek sigulre mtrice, dokz tog teorem se provodi pomoću iverzih mtric Postupk z rčuje iverzih mtric kork Rčumo z zdu mtricu A vrijedost determite, tj det AA kork Zdu mtricu A trspoirmo d doijemo mtricu A ~ 3 kork Z svki elemet mtrice A ~ rčumo (redk po redk) pripde kofktore ili lgerske komplemete, tj sudetermite, koje doivmo tko d precrtmo stupc i redk u kojem leži dotiči elemet pri čemu uzimmo predzke plus i mius izmjeice ez ozir predzk elemet z koji rčumo kofktor

21 9 4 kork U mtrici A zmijeimo svki elemet pripdim kofktorom 5 kork Podijelimo li svki čl tko doivee mtrice s det A, doit ćemo tržeu mtricu A iverzu s ozirom polzu mtricu A 6 kork Provjerimo vrijedi li: A A A A E Reciproč mtric i trspoir reciproč mtric ) Reciproč mtric A * kvdrte mtrice A[ ik ] je mtric kofktor A ik elemet ik zde mtrice, tj: [ A ik ] A * ) Trspoir reciproč mtric ili djugir mtric ~ * A se doiv preklpjem reciproče mtrice oko glve dijgole, p vrijedi: A ~ * A, det A odoso iverz mtric kvdrte regulre mtrice A je jedk trspoiroj recipročoj mtrici ~ * A podijeljeoj s determitom A mtrice A etljije o rgu mtrice Sudetermitom red k (m,)-mtrice A, pri čemu vrijedi d (k m), (k ), ziv se determit, koj se sstoji od k elemet kojim je poredk sčuv i leže u sjecištu ekih k redk i ekih k stupc Ko što sm već reko, rgom mtrice A se ziv jveći red što g mogu imti sudetermite mtrice koje su rzličite od ule Očito je d zog kvdrtog olik determiti jveći red l sudetermite je uvijek jedk mjem roju od rojev redk m i stupc (zmo d kod kvdrte mtrice m, p je od lm) Mtric A im rg l ko je r jed od tih sudetermiti rzličit od ule No, poištvju li se sve te determite red l, tre promtrti sudetermite red (l ) Rzlik između mjeg od rojev m i, te rg mtrice r se zove defekt mtrice lje, ko mtric im rg r, td se r-red sudetermit rzličit od ule ziv temelj sudetermit Slijedeći teoremi su vezi uz rg produkt i zroj mtric: ) Rg produkt dviju ili više (općeito prvokutih) mtric e može iti veći od rg pojediih fktor ) Možejem prvokute mtrice s regulrom (kvdrtom) mtricom (ilo slijev, ilo zdes) e mijej se je rg 3) vije (m,)-mtrice su ekvivlete od i smo od ko im je isti rg vije prvokute mtrice A i B se zivju ekivletim ko se jed u drugu mogu prevesti elemetrim opercijm, tj izmjeom dvju redk ili stupc, ztim možejem redk ili stupc s ekim fktorom rzličitim od ule, te poslijetku prirjjem pomožeog retk ili stupc s ekim fktorom, ekom drugom retku ili stupcu Od pišemo A B, odoso A je ekvivleto B 4) vije (m,)-mtrice A i B ekvivlete su od i smo od, ko postoji kvdrt regulr m-mtric C i kvdrt regulr -mtric, tko d vrijedi:

22 0 CAB 5) vije (m,)-mtrice A i B imju isti rg od i smo od, ko postoje kvdrt regulr m-mtric C i kvdrt regulr -mtric tko d vrijedi: CAB 6) Ako (m,p)-mtric A im rg r, (p,)-mtric B im rg s, od z rg t jihov produkt CAB koji je (m,) mtric vrijedi: t r+s p 7) Nulitet ν kvdrte -mtrice rg r je rzlik jezi red i rg, odoso: ν r Sylvesterov zko ulitet glsi: Nulitet produkt dviju ili više kvdrtih mtric je veći ili jedk ulitetu ilo kojeg drugog fktor, mji je ili jedk zroju ulitet svih fktor okz teče idukcijom 8) Rg zroj dviju ili više mtric istog olik j jviše jedk zroj rgov pojediih sumd Rješvje lierih mtričih jeddži Pomoću do sd vedeog grdiv u stju smo riješiti mtriče jeddže olik: AXB odoso YAC, () i () logo rješvjući jeddže ko što ismo rješvli i sklre jeddže olik x i yc, dok su ovdje: A zd regulr (m,p)-mtric, B i C zde prvokute (m,) i (,p)-mtrice, te su X i Y tržee (p,) i (,m)-mtrice x postoji, ko vrijedi d je 0 od možimo slijev s (odoso - ): ( ) x x AXB možimo slijev s A - : ( A AX A B) ( X A B) YAC možimo slijev s A : ( YAA CA ) ( Y CA ) kle, postupk je formlo jedk Može se promtrti i još općeitij jeddž od ovih:

23 ili još općeitije: AXC B, (3) AXC + AXC + + A XC B (4) k k Jeddže tkvog olik se zivju liere mtriče jeddže Ako je u jeddži (), odoso B i X su jedostupči vektori, i to je B m-kompoeti, X je p-kompoeti vektor Od se jeddž () može zpisti ovko: p x p x (5) m m mp x p m Ili ko zpišemo vektore kko se iče pišu, tj mlim slovim: Ax Ako se produkt lijevoj stri jeddže (5) izmoži, doiv se: x + x + + pxp x + x + + px p x + x+ + x m m mp p m (6) Jedkost mtric u izrzu (6) zči d elemeti u istim položjim morju iti jedki, tj: x + x + + pxp x + x + + pxp x + x + + x m m mp p m (7) kle, mtrič jeddž () s ekvivlet je sustvu od m lierih jeddži s p epozic x, x,, x p Prolem rješvj tkvih jeddži ću orditi u dijelu: Rješvje sustv lierih jeddži pomoću mtričog rčuj Ako se sheme mtric A i B u jeddži () spoje u jedu mtricu tko d slijev stoje elemeti mtrice A, s des elemeti mtrice B, doivmo poveću mtricu C mtriče jeddže (): T je mtric (m,p+)-mtric Z slučj, it će: p p C (8) m m mp m m m

24 p p C (9) m m mp m Kod mtričih jeddži postoje slijedeći teoremi: ) Nek rg (m,p)-mtrice A izosi r, rg poveće mtrice C prem izrzu (9) je jedk s Od jeddž (5) (odoso Ax) im rješeje od i smo od, ko je rs No, ko je r<s ( td je užo rs ) jeddž Ax em rješej Rješeje je jedozčo određeo ko je rsp, što je moguće smo ko je m p, tj ko mtric A im rem toliko redk koliko im stupc Ako je rs<p, od postoji ( r) prmetrsko rješeje ) Jeddž Ax0, gdje je A (m,p)-mtric, 0 je m-kompoeti ulvektor, x je p-kompoeti vektor, im uvijek tzv trivijlo rješeje x0 To je rješeje jedio ko je rp, što je moguće smo ko je m p Ako je r<p, od postoji ( r)-prmetrsko rješeje koje trivijlo x0 sdržv ko specijl slučj rugi specijl slučj odgovr jeddži () kd je mp, tj kd su A, B i X kvdrte mtrice, i A je regulr mtric Rješeje se odmh doiv možeći slijev s A : A AX EX X A B 3) Nek je rg (m,p)-mtrice A jedk r, rg (m,)-mtrice B jedk t, rg poveće mtrice C prem izrzu (8) jedk s Od jeddž () im rješeje od i smo od, ko je rs Ako je r<s, jeddž () em rješej Rješeje je jedozčo određeo (im smo jedo rješeje) ko je rsp, što je moguće smo ko A im rem redk koliko im stupc Ako je rs<p, od postoji ( r)-prmetrsko rješeje 4) Jeddž: AX 0 kod koje je A (m,p)-mtric rg r, X je (p,)-mtric, 0 je (m,)-ulmtric, im uvijek trivijlo rješeje X0, tj (p,)-ulmtricu To je jedio rješeje ko je rp Ako je r<p, od postoji ( r)-prmetrsko rješeje, koje sdržv X0 ko specijl slučj 5) Ako su -mtrice A i B djelitelji ule tko d vrijedi: AB0, i ko A im rg r i ulitet µ, B im rg s i ulitet ν, od vrijedi: 0<r<, 0<s< i r+s, 0<µ<, 0<ν< i µ+ν Rješvje sustv lierih jeddži pomoću mtričog rčuj Rčuje pomoću mtric omogućv prikzivje sustv lierih jeddži u zijeom i pregledijem oliku i time zto olkšv rčuje, omogućv i određivje skupi epozic ) Sustv ehomogeih lierih jeddži Nek immo zd sustv od m ehomogeih lierih jeddži s epozic:

25 3 x + x + + x x + x + + x x + x + + x m m m m (0) Sustv ehomogeih jeddži (0) je komptiil ko postoji rem jedo rješeje {,,, } koje pretvr sve jeddže u idetitete, odoso je ikomptiil ili protivrječ ko e postoji iti jedo tkvo rješeje Komptiil sustv jeddži je određe ko postoji jedo rješeje, odoso eodređe ko postoji eskočo mogo rješej Možemo koeficijete sustv jeddži zpisti ko mtricu koeficijet sustv jeddži: A m m m Ako mtrici A dodmo stupc sloodih člov,,,, doit ćemo prošireu mtricu koeficijet sustv jeddži: B m m m m Ako se prisjetimo mtričih lierih jeddži, možemo vidjeti d jeddže sustv (0) imju rješej od i smo od, ko je rg r mtrice A jedk rgu s proširee mtrice B Ako je r<s jeddže su protivrječe p em rješej Ako je rs, što je moguće ko vrijedi d je roj jeddži m roju epozic, rješeje je jedozčo određeo ) Sustv homogeih lierih jeddži Sustv homogeih lierih jeddži im općeito olik: x + x + + x 0 x + x + + x 0 () x + x + + x 0 m m m Rg mtrice A koeficijt sustv jeddži () i rg proširee mtrice B su jedki (po svojstvim mtric), p je homogei sustv uvijek komptiil Očito je d tj sustv uvijek im ulto, tzv trivijlo rješeje x x x 0 i homogei sustv jeddži imo još rješej rzličitih od trivijlog, užo i dovoljo je d rg mtrice A koeficijet sustv jeddži ude mji od roj epozic (r<) i sustv jeddži im td eskočo mogo rješej koj se mogu zpisti ko: { } k, k,, k,

26 4 gdje je k ilo koji roj Ako sustv () im t rješej koj su rzličit od ule: { α, α,, α }, { β, β,, β },, { ω, ω,, ω }, () od im i eskočo rješej koj se mogu ovko zpisti: { k α + k β + + k ω k α + k β + + k ω },,, (3) t t gdje su k, k,, k t ilo koji rojevi rzličiti od ule Rješej (3) se zivju liere komicije rješej () Rješej () sustv jeddži () su liero ezvis ko iti jedo od jih ije lier komicij ostlih rješej Temelji sustv rješej čii t tih rješej, ko je ilo koje rješeje sustv jeddži () lier koicij ostlih rješej Uvjet postojj temeljog sustv jeddži je d rg r mtrice A koeficijet jeddži ude mji od roj epozic (r<), dok z r temelji sustv e postoji i jeddže imju smo trivijlo rješeje Ako je r<, temelji sustv se sstoji od ( r) liero ezvisih rješej Rstvljje mtric u lokove Ako immo zd sustv od pr lierih jeddži s epozic, tremo odrediti smo p epozic, mtrice možemo rstviti prvcim prlelim s stupcim i recim mtric u lokove ko mtriče elemete te zde mtrice Immo zd sustv: x + x + + x y x + x + + x y (4) x + x + + x y m m m m Tj sustv možemo zpisti ko YAX, ko ozčimo s Y mtricu y y, s X mtricu y x x, x s A mtricu koeficijet zdog sustv (4) ismo riješili zdi sistem tržeći smo prvih p epozic, možemo zpisti mtricu A u oliku:,, p, p+, p, p, p p, p+ p, A p+, p+, p p+, p+ p+,,, p, p+, A A 3 4 A A

27 5 Možemo smtrti d se mtric A sstoji od četiri mtrice A, A, A 3 i A 4 Alogo se i doiv: y x yp Y x p X Y i X y p Y + x p X + y x Sustv (4) se može prikzti ko: Y A Y A 3 4 A X A X Može se smtrti d su mtrice uutr mtric elemeti sustv p možemo pisti: lje isključujemo X iz druge jeddže: p doivmo: Y AX + AX Y A X + A X 3 4 AX Y AX A 4 3 4, ( ) X A Y A X 4 3 Ako to uvrstimo u prvu jeddžu, doivmo ko koči olik: 4 ( ) Y A A Y A A A A X, 4 3 što je sustv od p jeddži olik YAX koje e sdržvju x p+,, x IV LITERATURA r ig ANILO BLANUŠA: Viš mtemtik, I dio, prvi svezk, Tehičk kjig, Zgre 965, str ZORA BAKARIĆ: Komitorik, determit, vektorski rču, litičk geometrij prostor, Sveučilište u Zgreu, Zgre 963, str 4-3

28 6 r STANKO BILINSKI: Alitičk geometrij (s uvodom u lieru lgeru), Sveučilište u Zgreu, Zgre 963, str 5-8 Prof dr ig BORIS APSEN: Repetitorij više mtemtike, treći dio, Tehičk kjig, Zgre 994, str - Prof dr ig BORIS APSEN: Repetitorij više mtemtike, četvrti dio, Tehičk kjig, Zgre 994, str I I PRIVALOV: Alitičk geometrij, Zvod z izdvje udžeik, Srjevo 968, str Eciklopedij leksikogfskog zvod, Leksikogrfski zvod, Zgre 967, općeite defiicije mtrice i determite

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

a C 1 ( ) = = = m.

a C 1 ( ) = = = m. Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C =

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u : Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske operacije

Algebarske operacije Algebrske opercije Poglvlje m e l e 11 Potecije 1 Algebrski izrzi w w r t h e w w w w m e l e r t h e Ciljevi: - rčuti s potecijm cjelobrojog ekspoet - prepozti i rbiti formule z kvdrt biom i rzliku kvdrt

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit održan

Pismeni ispit održan Pisei ispit održ 69 4 Kostrkcij prikz skici je, pored sopstvee težie, optereće i jedko rspodeljei povreei opterećeje p /, koje ože delovti proizvoljo položj ploči Dejstvo vetr je predstvljeo kpi horizotli

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

( i,j 1,n) = b ij = a ji,

( i,j 1,n) = b ij = a ji, - 34-0 Kvadrate matrice 0 Za kvadratu matricu A reda, tj za matrica A M uvodimo defiicije: Defiicija Ako za kvadratu matricu A važi A T =A, tada se A aziva simetriča matrica Defiicija 2 Ako za kvadratu

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 I N Ž E N J E R S K A M A E M A I K A P r e d v j G L A V A 8 OURIEROVI REDOVI, OURIEROVI INEGRALI I OURIEROVA RANSORMACIJA 8.. U v o d m cresc eudo. [Gs rse šrejem.] Lsk posovc ourerov red je jed od jvžjh

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike

Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet,

Διαβάστε περισσότερα

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Numerička integracija

Numerička integracija umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie. ELEMETI LOGIKE I TEORIJE KUPOV IZJVE, VEZICI, KVTIFIKTORI eolio riječi o mtemtičoj logici. Upotrebljvt ćemo pojmove mtemtiče logie li se ećemo jom

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B . písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene

Διαβάστε περισσότερα

2.3 INVERZNA KINEMATIKA

2.3 INVERZNA KINEMATIKA Kiemtik. INVERZN KINEMIK Iveri kiemtički robem toji e i otuk oređivj vrijbi gobov koje ogovrju om oožju i orijetiji vrh miutor. Rješeje ovog robem je o fumete vžoti trformiju kretj vrh miutor i oerijkog

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα