I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1"

Transcript

1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz i jegove overgecije i griče vrijedosti jedi su od jvžijih mtemtičih pojmov oji svoju primjeu imju u rzim područjim mtemtie o što su pr. diferecijli i itegrli rču. Z iz relih brojev overgecij i grič vrijedost defiirju se sljedeći či. Defiicij... Z iz ( ) u R žemo d je overget (u R) o postoji reli broj ( R) tv d z svi rel broj ε > 0 postoji prirod broj 0 tv d z sve prirode brojeve veće od 0 vrijedi < ε. (..) U tom slučju broj zovemo grič vrijedost ( ili limes *), gric ) iz ( ) i pišemo lim( ) ( ili lim ili, rće, lim ). Tođe td još žemo d iz ( ) overgir ili d teži d() i pišemo ( ). Z iz oji ije overget žemo d je diverget ili d divergir. Kd overgetom izu ( ) vršimo griči prelz / prijelz. pridružujemo griču vrijedost, govorimo d Defiicij... Kžemo d iz ( ) u R im griču vrijedost (ili d overgir besočosti) i pišemo lim o z svi broj M R postoji prirod broj 0, tv d je > M z svi prirod broj veći od 0. Sličo se defiir i grič vrijedost lim. U ovim slučjevim že se i d je iz ( ) određeo diverget ili d divergir besočosti. U sldu s opštom defiicijom specijlih tipov podsupov uređeog sup, pod (otvoreim) itervlom s rjevim i b (, b R, < b) podrzumijevmo sup (, b) : { x R < x < b }, pod odsječom ili segmetom s rjevim i b podrzumijevmo sup [, b] { x R x b }. *) limes (lt.) - gric

2 55 Tođe često posmtrmo supove obli [, b) { x R x < b }, (, b] { x R < x b }, oji se poed zovu polusegmet, odoso poluitervl. Poed ćemo svi od ov četiri tip specijlih podsupov sup R zvti rzm i ozčvti s, b. Dlje, pod ooliom tče (odoso broj) x 0 R podrzumijevmo bilo oji podsup sup R oji sdži otvorei itervl sup R ojem t tč pripd. Specijlo, svi otvorei itervl u R oji sdrži tču x 0 R zovemo ooli (u R) tče x 0 i ozčvmo s U(x 0 ) ili O(x 0 ). Pri tome, z svi ε > 0 ooliu tče x 0 dtu s ( x 0 ε, x 0 ε ) { x 0 R : x x 0 < ε } zovemo ε - ooli tče x 0. Očito je d sv ooli tče x 0 sdrži eu jeu ε - ooliu, p je u rdu s oolim uvije dovoljo posmtrti ε - oolie. Tče sup R rzličite od i, tj. sve tče sup R, zovemo očim, do tče i zovemo besočim tčm sup R. Oolie (u R) tč u R se defiirju logo o i oolie (u R) tč u R. No, često se posmtrju oolie tč ± oje e uljučuju tče i, tj. posmtrju se oolie u R tč iz R. Nime, td se pod oolim tče, odoso tče, podrzumijevju supovi obli (, ) {x R : x < } i (, ] {x R : x }, (*) odoso (b, ) {x R : x > b } i [b, ) {x R : x b }. (**) Primijetimo d se td mlo odstup od opšte defiicije oolie, jer se tče ± e uljučuju u sopstvee oolie. Mi se pridržvmo opšte defiicije pojm oolie i z tče ±, tj. pod ooliom tče podrzumijevt ćemo supove obli [, ] : { x R : x } i [, ) : { x R : x < }; ( < ), pod ooliom tče supove obli [b, ] : { x R : b x } i (b, ] : { x R : b < x }; ( b < ). Npomeimo d z sup A R oji ije ogriče odozgo ( tođe z sup A R oji sdrži tču ) uzimmo d je sup A :. Alogo, z sup A R oji ije ogriče odozdo ( i z svi sup A R ojem pripd tč ) uzimmo po defiiciji d je if A :. To omogućv d se teorem o supremumu (odoso teorem o ifimumu) formuliše ovj či : Svi eprz sup u R im supremum (odoso, ifimum) (u R). Ao sup ije ogriče, žemo d je eogriče. Supovi (*) i (**) su (besoči) eogričei rzmci.

3 56 Uzimjući u obzir defiicije pojmov ooli očih i besočih tč sup R, defiicije... i... pojmov oče i besoče griče vrijedosti iz u R mogu se objediiti u jedu defiiciju sljedeći či. Defiicij..3. Ne je ( ) iz u R i e je R. Kžemo d je grič vrijedost ili limes iz ( ) i pišemo lim o z svu ooliu U tče postoji 0 N tv d > 0 povlči U. U slučju d je R (tj. d je oč broj), z iz ( ) žemo d je overget, u slučju d je - ili ili d grič vrijedost e postoji, žemo d iz ( ) divergir (u slučju d je limes iz ( ) besoč žemo d tj iz divergir u užem smislu, u slučju d limes od ( ) e postoji, žemo d iz ( ) divergir u širem smislu ili d oscilir). Defiicij..3. pojm limes iz u R se proširuje i izove omplesih brojev, izove fucij i uopšte izove elemet u metričim prostorim (p i u tzv. topološim prostorim), uz odgovrjuće zčeje pojm oolie tč u tvim prostorim. *) Iz defiicije limes iz slijedi d iz ( ) teži o su mu človi proizvoljo blizu tči čim je dovoljo veli. U tom slučju se još že d se u svoj oolii tče lze svi človi iz počev od eog ili soro svi človi iz (tj. svi osim, evetulo, jih očo mogo). Primjer... Niz je overget i vrijedi lim jer osovu 0, Arhimedovog siom z svi ε > 0 postoji 0 N tv d je 0 < < ε, p je tim 0 prije 0 < < ε z svi > 0. Primjer... Ispitjmo overgeciju iz ( q ), (q R). ) Ao je q 0, od je q 0 z svi, p je lim Ne je 0 < q <. Td je q /(h) z ei h R q 0.. Prem Beroullijevoj ejedosti immo / h q < < h odle, sličo o u primjeru..., slijedi d je lim q 0. Slučj < q < 0 rzmtr se logo. Dle, lim q 0 o je q <. ) Z q je q z svi N, p je lim q lim. 3) Ao je q >, od je 0< /q <. Ne je M R proizvolj rel broj. N osovu ) je 0 < (/q) < /M z sve dovoljo velie prirode brojeve, p je q > M z dovoljo velie, tj. td prem defiiciji besoče griče vrijedosti iz immo d je lim q. 4) Z q dobijemo iz,,,,,,. Človi iz s prim idesom su, človi s eprim idesom su. U svoj ε - oolii broj lze se svi človi iz s eprim idesom, u svoj ε - oolii broj lze se svi človi iz s prim idesom. Zto lim ( ) e postoji, p je iz ( ) diverget u širem smislu (oscilirjući). *) Jso, u opštijim situcijm em smisl govoriti o divergeciji u užem smislu, odoso posmtrti besoče limese izov.,

4 57 5) Ao je q <, od z sve pre vrijedi q > M, z sve epre je q < M, gdje je M(>0) proizvolj rel broj, dovoljo velii prirodi broj. To zči d postoji besočo člov iz ( q ) v sve oolie bilo og elemet R p tj iz em limes. Defiicij..4. Z iz (α ) u R žemo d je ul iz ili besočo ml veliči (ili ifiiteziml ) u odosu d o je lim α 0. Npr.,, ( ),, ( ) su ul izovi. Z iz ( ) žemo d je ogriče odozgo [ogriče odozdo] o je sup { : N } ogriče odozgo (odozdo). Z iz oji je ogriče i odozdo i odozgo žemo d je ogriče. Jedostvo se dozuju sljedeć osov svojstv gričih vrijedosti izov u R: (i) Ao iz im griču vrijedost, o je jedozčo određe. (ii) Svi overget iz je ogriče. (iii) Jedost lim, gdje je R, vrijedi o α, pri čemu je (α ) ul iz. (iv) Zbir i rzli dv ul iz su ul izovi. (v) Proizvod ogričeog iz i ul iz je ul iz. (vi) (Vez između lgebrsih opercij u supu R i gričog prelz). Ne su ( ) i (b ) overgeti izovi i e je lim i lim b b. Td je: ) lim ( ± b b, b) lim ( b b (odle je lim ( α ) α, ) ± b ) α R ); c) lim o je b 0. b (vii) (Svojstv limes oj su u vezi s relcijom poret u R). ) Ao je lim, lim b b i < b, od je < b počev od eog. Specijlo, o je lim < b, od je < b počev od eog. Alogo vži d se z < zmijei zom >. ) Ao je z svi N (ili počev od eog ) b i izovi ( ) i (b ) imju griču vrijedost, od je i lim Alogo vži lim b. d se z zmijei zom. 3) ( Teorem o dv ždr / policjc ili Sedvič teorem ili Teorem o ulješteju.) Ne su ( ), (b ) i (c ) tri iz (u R), tv d je : b c z svi N (ili počev od eog ); lim lim c R. Td je lim b. (viii) Ao je lim 0, od je lim 0. Doz: ( i ) Pretpostvimo, suproto tvrđeju, d ei iz ( ) im dvije griče vrijedosti, b i e su, pr., obje oče. Ne je ε : b /. Td se ε - oolie e sijeu, p je očito emoguće d i u jedoj i u drugoj budu soro svi človi posmtrog iz ( ). Time je doz ( i ) zvrše. ( vii ) Svojstvo ) se dozuje sličo o i ( i ), svojstvo ) slijedi iz čijeice d o bi bilo lim > lim b, od bi prem ) slijedilo > b, počev od eog, suproto pretpostvci.

5 58 Dožimo svojstvo 3) (oje se često oristi u zdcim). Ne je U proizvolj ooli tče R. Td z veće od eog N vži U, z veće od eog N vži c U. No, o sv ooli U bilo oče, bilo besoče tče im sljedeće svojstvo U, c U, b c b U, to zljučujemo d je b U z svi > 0, gdje je 0 : mx {, }. Otud slijedi d je lim.. b Dozuje se d vrijede sljedeće relcije o osovim limesim u teoriji ozov: lim ; m m 3. lim b b 4.lim 0 5. lim 0,! 6. lim. m m lim ( N, >); ( C) ; lim : e z svi R ; 0, m / bm,,, m <, m, gdje je ostt e Eulerov broj oji im decimli rzvoj e, , što ćemo sije objsiti. 7. lim log γ 0, Broj γ zove se Eulerov ostt. b b Dožimo, pr., d je lim. Ne je :. Td je > 0 z >. Koristeći se biomim rzvojem u ojem su svi sbirci pozitivi, dobijemo ( ) ( ) >. 0 Otud je 0 < < 0 ( ), p vrijedi 0 ( ), odle je lim 0, tj. lim. Zdt... Izrčuti limes iz ( ) o je : m > m > < 0; > 0, (,3 ), < e <, e lim, 3 3 ) ; b) ; c) ; d) Podizovi. Tče gomilj 3 b b m m 3 4!!. 3!!! Defiicij.3.. Ne je : N N,, iz prirodih brojev tv d je < < < < i e je : N A iz elemet proizvoljog sup A ( Ø). Td z iz : N A s človim ( N) žemo d je podiz (ili djelimiči iz) iz ( ).

6 59 Iz ove defiicije eposredo slijedi čijeic d o iz ( ) u R im griču vrijedost, od i bilo oji jegov podiz ( ) im griču vrijedost. No, primjer iz ((- ) ) pozuje d mogu postojti overgeti podizovi iz oji em griču vrijedost. Defiicij.3.. Z tču R žemo d je tč gomilj (ili tč gomilvj) sup A ( R) o u svoj oolii tče postoji br jed tč sup A rzličit od sme tče. Lo se vidi d se tč gomilj sup A ( R) može evivleto defiirti i o tč R u čijoj svoj oolii postoji besočo mogo tč sup A. Primjeom Ctorovog siom i Arhimedovog siom, dozuje se sljedeć teorem. Teorem.3.. ( Bolzo *) Weierstrssov **) teorem z supove ). Svi besoči ogričei sup u R im br jedu tču gomilj u R. Svi besoči sup u R im br jedu tču gomilj u R. Defiicij.3.3. Z tču R žemo d je tč gomilj (ili tč gomilvj) iz u R o postoji podiz ( ) tog iz oji teži d. Primijetimo d postoji rzli između pojm limes i pojm tče gomilj eog iz, te d immo i vžu rzliu između pojm tče gomilj iz ( ) i tče gomilj sup jegovih vrijedosti { N }. To, pr., iz (( ) ) im dvije tče gomilj i to i, sup jegovih vrijedosti { ( ) N }{, } je oč p em tč gomilj. Sljedeć teorem dje jedostv odgovor pitje o egzisteciji tč gomilj izov relih brojev, dozuje se osovu teoreme.3.. (ili eposredo po logiji o i t teorem). Teorem.3.. (Bolzo Weierstrssov teorem z izove). (i) Svi ogriče iz relih brojev im br jedu tču gomilj u R. (ii) Svi iz relih brojev im br jedu tču gomilj u R. Dožimo sljedeći stv : Stv.3.. Sup T( ) tč gomilj iz ( ) relih brojev im msimum i miimum u R. Doz: Prem teoremi.3.. sup T( ) je eprz, p im supremum i ifimum u R. Ao je tj sup oč, od je jegov supremum ujedo i msimum, ifimum ujedo i miimum. Ao je T( ) besoč sup i o jegov supremum i ifimum e bi bili ujedo jegov msimum i miimum, od bi, prem rterizciji supremum i ifimum, oi bili tče gomilj sup T( ). Ko očito sup T( ) sdrži sve svoje *) Berhrd Bolzo (78 848) češi mtemtičr, logičr i filozof. **) Krl Weierstrss (85 897) jemči mtemtičr.

7 60 tče gomilj, supremum i ifimum sup T( ) bi pripdli supu T( ), suproto pretpostvci. Time je doz stv.3.. zvrše. Defiicij.3.4. Njveć (jmj) tč gomilj iz ( ) relih brojev zove se gorji limes ili limes superior (doji limes ili limes iferior) iz ( ) i ozčv s lim ili lim sup ( lim ili lim if ). Primijetimo d pojmove iz defiicije.3.4. treb rzliovti od pojmov sup{ N } i if { N }. Lo se dozuju sljedeće jedostve čijeice: ( i ) Niz ( ) im griču vrijedost o lim lim, tj. o im smo jedu tču gomilj. ( ii) Niz ( ) overgir o je lim lim oč broj. (iii) Niz ( ) im griču vrijedost o svi jegov podiz im griču vrijedost Primjer.3.. Niz ( ) čiji je opšti čl : im dvije tče gomilj, tj. T( ) {0, }. Ovdje se rdi o izu 0,, 0,, 0,,, tj. i - 0 z svi N. U svoj ε - oolii tče 0 lze se svi človi iz s eprim idesom, u svoj ε - oolii tče lze se svi človi iz s prim idesom. Otud je lim, lim 0, p lim e postoji. Zdt.3.. Z sve α R, odredite lim, lim i lim (u slučjevim d postoji) o je iz ( ) dt opštim člom cos ( ) :. α α ( cos ) Zdt.3.. Z sve α R, odredite (o postoji) limes iz l( α) : lim. Rezultt: l(α) 0 z α <. si Zdt.3.3. Ne je ( ) iz oji divergir, (b ) iz čiji je opšti čl dt s Ustovite d je iz (b ) ifiiteziml. b : si cos. ( ).4. Cuchyjev pricip overgecije. Mootoi izovi. Broj e Često je od iteres ispitivje overgecije iz bez efetivog lžej jegovog limes. A ustoviti d li ei iz overgir je od fudmetlog zčj u rzim oblstim primjee teorije izov, o što su umerič liz, utomtso uprvljje, obrd sigl, teorij sistem i dr. Jed od či z ispitivje overgecije izov, oristeći se smo pozvjem smog iz, e zjući uprijed ojoj bi to gričoj vrijedosti o overgiro, dje Cuchyjev riterij overgecije. Defiicij.4.. Z iz ( ) u R žemo d je Cuchyjev ili fudmetl o z svi ε > 0 postoji ides 0 N tv d je m < ε čim su idesi m i veći od 0.

8 6 Lo se dozuje d Cuchyjevi izovi imju ov svojstv: (i) Svi overget iz je Cuchyjev. (ii) Svi Cuchyjev iz je ogriče. (iii) Ao Cuchyjev iz im overget podiz, o je i sm overget. No, vrijedi i obrt izjve (i), tj. vrijedi sljedeć teorem oj se ziv Cuchyjevim pricipom overgecije *). Teorem.4.. Svi Cuchyjev iz u R je overget (u R). Doz: Ne je ( ) Cuchyjev iz u R. Td je o ogriče, p iz Bolzo Weierstrssove teoreme slijedi d postoji podiz ( ) tog iz oji overgir u R. N osovu svojstv (iii) Cuchyjevog iz slijedi d je iz ( ) overget (u R), što je treblo i dozti. Primjer.4.. Primjeom Cuchyjevog riterijum dožimo d je iz ( ) diverget o je Dovoljo je dozti d tj iz ije Cuchyjev, tj. dovoljo je dozti logiču egciju uslov iz defiicije Cuchyjevog iz: ( ) ije Cuchyjev ( ε > 0) ( 0 N) ( m, N) (m, 0 i m ε ). U šem primjeru stvimo ε ½, m. Td je z svi N, p iz ( ) ije Cuchyjev. Defiicij.4.. Z iz ( ) u R žemo d je eopdjući o je z svi N, d je rstući (strogo rstući) o je < z svi N. Alogo se defiir erstući i opdjući (strogo opdjući) izovi. Jedim imeom izove vede četiri tip zovemo mootoi izovi. Z mootoe izove vži sljedeći veom jedostv riterij overgecije : Svi mooto i ogriče iz u R je i overget u R. Zprvo, vrijedi sljedeć teorem: Teorem.4.. (i) m i. i > ( ε ) Ne je ( ) eopdjući iz u R. Td ( ) overgir u R o je ogriče odozgo. (ii) Svi eopdjući iz u R im griču vrijedost u R. Aloge izjve vrijede i z erstuće izove. Doz: (i) Dovoljo je dozti d eopdjući i odozgo ogriče iz ( ) u R im oču griču vrijedost. Prem teoremi o supremumu postoji : sup{ N }<, odle slijedi d z svi ε > 0 postoji 0 N tv d je - ε < 0. No, o je iz eopdjući, otud je - ε < z svi > 0, tj. < ε z svi > 0, p je iz ( ) overget i lim. *) Umjesto ovog teorem često se dje Cuchyjev riterij overgecije z izove u R oji glsi : Niz ( ) u R je overget u R o je Cuchyjev.

9 6 (ii) Ao eopdjući iz ( ) ije ogriče, to zči d se z svi M R može ći 0 N tv d je > M. No, zbog svojstv mootoosti; otud slijedi d je tođe > M z svi > 0. Time je pozo d iz ( ) u R im griču vrijedost u R i lim. Primjer.4.. Dožimo d je iz ( ) relih brojev defiir opštim člom :, ( N), overget. U tu svrhu dovoljo je dozti d je ovj iz (strogo) rstući i ogriče odozgo. N osovu Berulijeve ejedosti immo (z svi ): tj. odle slijedi d je iz ( ) (strogo) rstući. Dožimo d je iz ( ) ogriče odozgo. Z primjeom Newtoove biome formule dobijemo Iz ejedosti! -, ( ), i formule z zbir prvih člov geometrijsog iz dobijemo tj. iz ( ) je ogriče odozgo. Otud slijedi d iz ( ) im oču griču vrijedost. Tu griču vrijedost (prem Euleru) zovemo broj e. Dle, Lo se dozuje d je broj e (oji se još zove i Eulerov broj) irciol broj, Hermite je 873. godie dozo d je broj e č i trscedet, tj. e zdovoljv ivu lgebrsu jedčiu 0 x x - 0, ( 0 0), s rciolim oeficijetim. Broj e im velii zčj u mtemtičoj lizi i jeim primjem, često i prirodo se uzim z bzu logritmu ( prirodi logritm l). Primjer.4.3. ) b) z sve α,β R i z svi iz ( ) u R tv d je 0,, > > ( ) ( )....!! , 3! < <, ). ( 3), (, lim : < < e e e αβ β α e e e e lim ; lim lim lim.

10 63.5. Pojm i e svojstv (besočog) red Predmet proučvj ovog i redih prgrf ove glve je uglvom teorij umeričih (brojih) redov. O se oslj teoriju izov i (ituitivo, opiso) može se reći d je tj predmet sumirje besočog broj očih sbir. To sumirje privlči pžju uči još od tičog dob, oji su u tom postupu otrili više prdos (o što je prdos grčog filozof Zeo iz Eleje, oji je tvrdio d strijel e može d leti, odoso d Brzoogi Ahil utrujući se s bićem oje je jsporije, orjčom, eće je moći dostići, o je o pošl prije jeg *). Besočim redom smo se zprvo već formlo služili predstvljjući rele brojeve besočim decimlim brojevim, pr. d smo stvljli ⅓ 0,333, jer u decimlom zpisu (ozci) to e zči drugo ego, dle, simbol oji im obli zbir u ome broj (očih) sbir rste bez rj. Budući d smo se dosd susretli smo s summ očog broj sbir, uvodimo tim čiom pisj ssvim ov simbol ome treb jso i tčo odrediti zčeje d izbjegemo bezbrojim zmm što se riju svome oru d se uputimo u rjeve besočo veliog. Ne je zdo besočo mogo (iz) relih brojev,,,, i pomoću jih pis simboliči izrz u obliu zbir:. (.5.) Tj simbol ziv se besočim (relim) redom s opštim člom, ili besočim redom ome su brojevi,,,, človi **), ili rće (relim) redom (ili redom u R). D tom simbolu dmo zčeje, prirodo je d postupmo ovo. Ozčimo prvi čl tog izrz s s, zbir s s, itd., tj. stvimo: s :, s :,, s :, ; (.5.) sberimo dle zde brojeve,,,, počevši od prvog čl po čl. To dolzimo do iz (s ) prcijlih zbirov ili prcijlih sum (odsječ) zdog red (.5.): s, s,, s, (.5.3) ome su človi zbirovi od sve većeg, li uvije očog broj člov,, uzetih redom o se u simbolu (.5.) pojvljuju. Simbol besočog red : ili rće (.5.4) smo je drug oz z besoči iz prcijlih zbirov (s ). No, u ovije vrijeme se običo pojm (besočog) red uvodi ovj formliji (preciz) či (jer red ije obič sum svojih člov i pri sumirju besočog broj sbir pojvljuju se ee ove osobie u odosu oč slučj ***) ): *) Ko zmo d strijel ip leti, odoso d je Ahil mogo dostići orjču, Zeoov prdos ćemo objsiti rju ovog prgrf. **) Tče jegovom rju zče d dodvju ovih člov em rj. ***) D red ije obič sum svojih člov vidimo pr. iz poušj sumirj člov iz ((-) - ) tri rzličit či: ) ( ) ( ) ( ) 0; ) ( ) ( ) ; 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

11 64 Ne je ( ) iz relih brojev. Td je z svi N defiir sum: : s... (.5.5) prvih člov iz ( ) to d z svi ( N \{}) vrijedi s s. (.5.6) Prirod je idej d se sum s svih člov iz ( ) defiiše o lim s. Alogo se postup i u proizvoljom ormirom vetorsom prostoru X (ormiri vetorsi prostor je uređe pr ( X, ) oji se sstoji od vetorsog prostor X d poljem Φ relih ili omplesih brojev i orme X, tj. preslivj : X R, gdje je R sup relih brojev, oje zdovoljv uslove: (N ) x 0; (N ) x 0 x 0 X (ulvetor u X ); (N 3) λ x λ x, (λ Φ, x X ); (N 4) x x x x ). Ao želimo sumirti sve člove iz ( ) iz X, pridružujemo izu ( ) ov iz (s, N), gdje je s dto relcijom (.5.5) i govorimo o redu s človim i prcijlim summ s. Defiicij.5.. Ne je dt iz ( ) u R (ili, opštije, u ormirom vetorsom prostoru X ) i e je s z svi N. Besoči red ili, rće, red u R ( ili, opštije, u proizvoljom ormirom vetorsom prostoru X ) je uređe pr (( ), (s )) oji se sstoji od dv iz ( ), (s ) (, s R, odoso,, s X ); su človi red, s ( N) te prcijle sume red. Niz (s ) zivmo izom prcijlih sum dtog red. Sm red se rće ozčv ili ili. *) (.5.7) Z se že d je -ti čl red, o je specificir zvisost od, od se ziv opšti čl red. Iz defiicije.5.. slijedi d su dv red jed o imju jede člove s istim idesom. Oz z red sugeriše sumirje, primjejiv je jer je iz (s ) prcijlih sum (tog red) određe izom ( ). Red se često ozčv i ispisivjem eolio prvih člov, pr. 3. Ao su elemeti (človi) red reli ili omplesi brojevi, žemo d je tj red umeriči ili broji (s osttim človim); redove čiji su človi fucije zivmo fuciolim redovim. Defiicij.5.. Ne je ( ) iz u R (ili, opštije, iz ormirog vetorsog prostor X ). Kžemo d je iz ( ) sumbil u R ( odoso, u X ) ili d je red overget ( u R, odoso, u X ) o je iz prcijlih sum (s ) red overget ( u R, odoso, u X ). Limes s : lim s ziv se sum red i ozčv se s s. (.5.8) *) Grčo slovo je početo slovo ltise riječi sum. Prv upotreb oze z sumciju pripisuje se Euleru.

12 65 Ao red ije overget, že se d je diverget. Rdi veće jsoće u ovom poglvlju rzliujemo simbole i z red od simbol z sumu red, što često ije slučj u literturi *). Poed su človi red umerisi počevši od 0, ili od eog (fisirog) prirodog broj r (>). Td se sum red ozčv s 0, odoso. r Ndlje ćemo se (o drugčije e zčimo) ogričiti redove u R (redove relih brojev, redove s osttim človim). Ao iz (s ) prcijlih sum red u R im oč ili besoč limes s, od se že d tj red im sumu i d mu je sum sum jed s. Ao iz (s ) em limes u R, od se že d red em sume (i oče i besoče). U sldu s defiicijom.5.., z red se že d je overget (u R) o im oču sumu, u suprotom se že d je red ( R) diverget (u R). Prem tome, red u R je diverget (u R) u sljedeć dv slučj: Red im sumu s li je s ili i td još žemo d je red određeo diverget ili diverget u užem smislu; Red em ivu sumu (i u R) i td još žemo d je red oscilirjući ili d je diverget u širem smislu.. Ao je red overget, od sum prvih p člov s p predstvlj približu vrijedost z sumu s tog red. Zprvo, iz lim p s p s, immo d z svi ε > 0 postoji prirod broj 0 ( 0 (ε)) tv d je s s p < ε z svi p 0, p se sum overgetog red može izrčuti s proizvoljim stepeom tčosti pomoću prcijlih sum red. Ao je red overget, od se lo vidi d je overget i red p (.5.9) p. z svi p N i vrijedi jedost p Z sumu p že se d je ostt red poslije p-tog čl. No, i z sm red (.5.9), bez obzir d li je red overget ili diverget, že se d je ostt red poslije p-tog čl ili p-ti ostt red, što ćemo i mi govoriti. Obruto, o red p overgir z ei p N, od overgir i red. Zprvo, vrijedi sljedeć tvrdj: Tvrdj.5.. (i) Ne je p proizvolj fisir prirod broj. Td red overgir o i smo o overgir red p, tj. red i jegov ostt p su eviovergeti (ob red su ili overegt ili diverget). Osim tog, u slučju overgecije ovih redov z jhove sume s i r p, respetivo, vrijedi s s p r p, gdje je s p p-t prcijl sum red. (ii) Ao je red overget, od sum r p jegovog p-tog ostt teži uli d p. *) No, u redim odjeljcim (prgrfim) ovog poglvlj ip često, umjesto, oristimo simbol (posebo u slučjevim d je 0, 0 N 0 ). 0,

13 66 Doz: (i) Ne je s p p-t prcijl sum red. Ozčimo s s ' -tu prcijlu sumu ostt p red poslije p-tog čl, tj. s ' p p p ( N). Td očito vrijedi s p s p s ', odoso s ' s p s p, gdje je s p i. (*) (Sum s, p s ' s p s p poed se zove odresom red. ) Pretpostvimo sd d red overgir i d mu je sum jed s. Td s p s, ( ), p iz (*) slijedi d s ' s p s p s s p, ( ). Zči, red (.5.9) je overget i sum mu je jed s s p. Ao tu sumu ozčimo s r p, vrijedit će, dle, r p s s p, tj. s s p r p (*)'. Pretpostvimo sd d je red (.5.9) overget s sumom r p. To zči d s ' r p, ( ). No, odvde i iz (*) slijedi d s p s p r p,. Prem tome, red je overget i vrijedi, o mu sumu ozčimo s s, d je s s p r p, tj. poovo vrijedi (*)'. (ii) Ne je red overget s sumom s. Td je i (.5.9) overget red. Ao mu sumu ozčimo s r p, od vrijedi s s p r p. No, ovdje je p fisir li proizvolj prirod broj. Ao pustimo d p dobit ćemo d s p s. Iz s s p r p sd slijedi r p s s p s s 0, p, p je doz tvrdje.5.. zvrše. Red (.5.9) stje iz red odbcivjem prvih p člov. No, mi možemo smtrti d je red sto iz red (.5.9) to što smo tom redu dodli p ovih prvih člov. Otud osovu tvrdje.5.. slijedi d odbcivje ili dodvje očo mogo člov red e utiče overgeciju tog red, li u opštem slučju utiče jegovu sumu. Iz tvrdje.5.. može se zljučiti d je red overget o sum r p ostt red poslije p-tog čl teži uli d p. To zči d se sum overgetog red može prosimirti prcijlim summ, pri čemu greš te prosimcije teži uli d broj člov oji se sumirju rste. Teorem.5.. (Potreb uslov z overgeciju, ili test -tog čl). Ao je red overget, od iz ( ) jegovih člov overgir uli, tj. lim 0. Doz: Ne je oč grič vrijedost N osovu pretpostve teoreme, immo d postoji i d je S druge stre je s s, ( > ), p je Q.E.D. D vedei eophod uslov overgecije red ije i dovolj, pozuje sljedeći primjer: Primjer.5.. Opšti čl red očito teži uli d. Međutim, z prcijlu sumu s :. lim s : s. lim lim ( s s ) lim s lim s s s Očigledo, d, p je lim s, tj. red divergir (u užem smislu). p i s : vži relcij s. 0.

14 67 Teorem.5.. (Cuchyjev riterijum z overgeciju redov) *). Red overgir o i smo o z svi ε > 0 postoji 0 N tv d iz > 0, p N slijedi p < ε. Simboliči, overgir [( ε >0) ( 0 N) (, p N ) ( > 0 p < ε )]. Doz: Slijedi eposredo iz Cuchyjevog pricip overgecije z izove relih brojev (tj. iz čijeice d je svi Cuchyjev iz u R overget). Q.E.D. Z dte redove i b, red ( b ) ziv se jihovim zbirom, red ( b ) rzliom tih redov. red Vrijedi sljedeć tvrdj: Tvrdj.5.. (i) Ao red overgir, od overgir i red α, (α R). Pri tome je sum α jed proizvodu ostte α i sume red, tj. (ii) Ao redovi i b overgirju, od overgirju i redovi ( b ) i ( b ) i jihove sume su jede zbiru i rzlici, respetivo sum redov i b. Doz: (i) Ne je s :, S : α α α. Iz egzistecije griče vrijedosti lim s : s slijedi lim S lim αs α lim s α s. (ii) Ne je s ', s '' b b b S ( ± b ) ( ± b ) ( ± b ). Td je lim S lim i Q.E.D. Primjer.5.. Red q -, ( 0, q 0), ziv se geometrijsim redom. Prcijl sum s tog red predstvlj sumu prvih člov geometrijse progresije i dt je s s : q q -, odoso s ( q ), q s q,, q. Z q < je lim q 0, p td geometrijsi red q - im oču sumu s dtu s s lim s, q tj. overget je. Ao je q, geometrijsi red divergir i to u određeom smislu z q, oscilir z q. Nime, z q > je lim q ; z q < grič vrijedost lim q e postoji; z q je s, p je lim s sg ; do z q grič vrijedost lim q e postoji. *) Opšti Koši Bolzov riterij z overgeciju redov, ili, pricip overgecije z redove. lim s ' s', α lim s '' α s' ', ' '' ' '' [( ) ± ( b b b )] lim s ± lim s s ±. s.

15 68 Specijlo, z, q geometrijsi red im obli. Z jegove prcijle sume immo, ± 0, jediic p dti red oscilir između 0 i. s o je epr, o je pr prirod broj, Primjer.5.3. (Zeoov prdos). Prem vijesti oju je sčuvo Aristotel u svom djelu Fizi (j. VI. 9.) slijedi d je pojm besočog geometrijsog red s oličiom q : ½ pozvo grči filozof Zeo iz Eleje (5. st. pr..e.) i jime se služio u pobijju svojih protivi. Slič je geometrijsi red osov i tzv. Zeoov prdos oji se sstoji u sljedećem : Brzoogi Ahil utrujući se orjčom eće je moći dostići, o je o pošl prije jeg. Jer do Ahil protrči put s 0 što g je to jsporije biće već prošlo do čs d Ahil počije trčti, pomut će se orjč dlje z ei dio put, pr. z s 0 / 0. Do Ahil prođe tj dio put, poml se orjč z isti dio put s 0 / 0, tj. z dljih s 0 / 0. Z vrijeme do Ahil i tj dio prolzi predovl je orjč još z s 0 / 0 3 i to se stvlj to dlje (sl..5.). Budući d Ahil mor svi put preći još oj dio put što g je orjč eposredo prije tog prošl, eće je o po Zeou id dostići. Sl..5.. s0 s0 s0 ( s s0, s s s0 s0 s0 s3 s0,...) Put što g prelzi Ahil predoče je ime besočim geometrijsim redom oji (prem svremeom čiu izržvj u uci) overgir i im sumu 0 s ( s 0 li ome Ahil e može doći rj zbog besočog broj člov. No, o Ahil trči epreido, e sstvljjući svoj put iz člov geometrijsog red, dostići će o orjču uprvo u tči 0 9. Nime, o uzmemo d su ob retj jedoli i ozčimo s s cio Ahilov put, dle do tče gdje Ahil dostige orjču, put što g orjč pređe od čs d Ahil počije trčti s s', bit će s s 0 s', li o Ahil trči deset put brže, dužie s 0 putev se odose o brzie, to je s 0 s 0 s', tj. s'. Prem tome, cio Ahilov put s izosi : 0 0 s0 ( ) s. 9 9 s 0 U prethodim rzmtrjim mi smo polzeći od red formirli iz jegovih prcijlih sum, tj. iz (S ), odoso (formlije) u smoj defiiciji pojm red smo uljučili i iz (S ). No, o m je uprijed dt ei iz (S ) lo m je formirti red od og je iz (S ) iz prcijlih sum. To je red: S (S S ) (S 3 S ) (S S - ). Prvi čl ovog red je S, drugi S S, treći S 3 S itd. Pitje overgecije red jjedostvije je izučvti od tzv. pozitivih redov. Zbog tog mi prelzimo rzmtrje prvo tvih redov. 0 s ),,

16 69.6. Pozitivi redovi Posmtrjmo red. (.6.) Z red (.6.) žemo d je pozitiv ili d je red s pozitivim človim (ili red s eegtivim človim) o je 0 z svi N, ili (opštije) o postoji prirod broj 0 N tv d je 0 z svi 0. Ne je S (,, ) -t prcijl sum red (.6.) i e je red (.6.) pozitiv. Td immo d je: S S Zbog 0 z svi 0 (z ei 0 N) immo odvde d je S S z svi 0. Vidimo dle d je iz ( S ) prcijlih sum pozitivog red (.6.) eopdjući z 0. Iz teoreme o limesu mootoog iz, zljučujemo dle, d je iz (S ) overget o je ogriče odozgo. Ao p iz (S ) ije ogriče odozgo, od vrijedi: lim S. N osovu ovog možemo formulisti sljedeći vž i jedostv stv: Stv.6.. Pozitivi red (.6.) je overget o je iz (S ) jegovih prcijlih sum ogriče odozgo. Ao iz (S ) ije ogriče odozgo, od je pozitivi red (.6.) diverget i vrijedi. N osovu stv.6.. možemo zljučiti d svi pozitivi red im sumu (oču ili besoču). T sum je oč o je iz prcijlih sum tog red ogriče. Veći riterij z overgeciju ili divergeciju pozitivih redov zsov je idireto jedostvom stvu.6.. Primjeom stv.6.. dozuje se d je red, gdje je α fis rel broj, overget o je α >, diverget o je α. Ovj red se ziv hiperhrmoijsi red. Ao je α, dobijemo tzv. hrmoijsi red. Stvovi o overgeciji pozitivih redov dobijei poređejem redov Posmtrjmo sd dv pozitiv red red (.6.) (tj. red ) i red b. (.6.) Prvi riterij upoređivj dt ćemo u obliu sljedeće teoreme: Teorem.6.. Pretpostvimo d postoji prirodi broj 0, tv d z člove redov (.6.) i (.6.) vže ejedosti *) b z sve 0. Td iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.), iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.) *) ili ejedosti b z svi N i z svi R. S α

17 70 (U ovom slučju žemo d je red b mjort red, d je red miort red b.) Doz: N osovu tvrdje.5.. bez ogričej opštosti, možemo pretpostviti d je 0. Prcijle sume red (.6.), odoso red (.6.), ozčimo s s ', odoso s ''. Ne je '' lim s s' ' R. Iz ejedosti b ( N) slijedi d je s ' s '' s''. Dle, iz (s ' ) ' je eopdjući i ogriče odozgo, te postoji lim s. Drugo tvrđeje teoreme je evivleto prvom, o jegov otrpozicij. Teorem.6.. Ne postoji lim K, 0 K, gdje su i b človi b redov (.6.) i (.6.). Ao je K <, od iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.). Ao je K > 0, iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.). (Ao je O(b ) i b O( ) ( ) ili ~ b ( ) ili o postoji lim : K, 0 < K <, od se redovi i b eviovergeti.) *) b Teorem.6.3. ejedosti: Ne z člove redov (.6.) i (.6.) z ei 0 N vže z 0. Td iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.), iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.). b b Kriterijumi overgecije pozitivih redov Osim gorjih stvov, u cilju ispitivj overgecije redov s pozitivim človim oriste se i ei stvovi oji dju dovolje uslove z overgeciju, odoso divergeciju, tzv. riterijumi (testovi) overgecije. Nvešćemo eolio tvih riterijum, oji se izvode iz poredbeih riterijum (osovih riterijum overgecije) i oji su često efisiji u primjem. Stv.6.. (Dlmberov **) riterijum) /Cuchy-Del. rtio test /. (Jč form riterij). Ao z red (.6.) postoji 0 N i q R, to d je q < z 0, od o overgir. Ao p postoji 0 ' N, to d je z 0 ', od red (.6.) divergir. (Slbij / grič form riterij). Ne z člove red (.6.) postoji lim : l. Td z l < red (.6.) overgir, z l > o divergir. (Z l ovj riterijum je eodlučiv.) *) Ao vrijedi O*, ( ), od z p > pozitivi red overgir, z p isti red p divergir. Npomeimo d (općeito) zpis f(x) O* (g(x)) (x ) (gdje je R) ozčv d z f ( x) fucije f i g vrijedi lim x, (0 ). ( ) < < g x **) J. le R. D Alembert (77 783) - frcusi mtemtičr i filozof.

18 7 3 (Njjč form riterij). Ao je lim <, od red (.6.) overgir, o je red (.6.) divergir. *) lim >, Doz: Iz ejedosti q 0, dobijemo,,...,, q 0 0 q 0 0 q 0 Ko red q 0 overgir, to overgir i red 0. Dle, overgir i red (.6.). Ao je z svi 0 ', od opšti čl e teži uli, p red (.6.) divergir osovu teoreme.5.. Ne je lim l < i 0 < ε < l. Ozčimo q : l ε. Td postoji 0 N to d je < q < z svi 0. N osovu dozog dijel ovog stv dobijemo d red (.6.) overgir. Ao je lim l >, td je počev od eog 0 ' N, p tvrđeje poovo slijedi iz prvog dijel stv. 3 Ne je ε >0, tv d je ε < q. Td postoji 0 0 (ε ) N, tv d vrijedi i 0 < < q ε, i 0,...,. i 0 Otud je 0 < Ko red (qε ) < ( q ε ). overgir, to overgir i red. 0 ( q ε) Primjer.6.3. Red ( ) ( ) 3 overgir, jer je lim Hrmoijsi red divergir, red overgir. Z ob red je lim, p se o jihovoj overgeciji osovu Dlmberovog riterijum e može reći išt. (U tvim slučjevim ovj riterijum je eodlučiv / red može d overgir ili d divergir /. ) Alogo se dozuje d vrijedi i sljedeći riterij: Stv.6.3. (Košijev / orijei / riterijum) /Root test/, (8). º Ao z red (.6.) postoji 0 N i q R, to d je q < z 0, od o overgir. Ao postoji 0 ' N to d je z 0 ', od red (.6.) divergir. *) U slučjevim, d Dlmberov i Košijev riterijum e dju odgovor, od primjejujemo precizije riterijume, oji se zsivju upoređivju red ojeg ispitujemo s drugim poztim redovim (o što su hrmoijsi i hiperhrmoijsi, pomoću ojih se može dobiti i, pr., Rbeov i logritmsi riterij) čij je overgecij sporij od geometrijse progresije. Iče, z red žemo d je sporije overget ego red ' o z sumu r ostt red i z sumu r ' ostt red ' vrijedi relcij lim ( r / r ' ) 0.

19 7 º Ne postoji lim : l. Td z l < red (.6.) overgir, z l > o divergir. 3º Ao je lim : l, od l < overgir, l > (jopštiji obli Cuchyjevog riterijum orije). Primjer.6.4. º Red overgir jer je lim. º Sličo o u primjeru.6.3. pozuje se d u slučju d je lim, e možemo išt reći o overgeciji red (.6.) osovu Košijevog riterijum. (U ovom slučju Cuchyjev riterijum orije je eodlučiv.) Dozuje se d vže i sljedeć tri riterij z pozitive redove. *) ) Ao, počevši od eog, vži ejedost r >, odoso, od red (.6.) overgir, odoso divergir. Ao je lim r, od red (.6.) overgir, odoso divergir, z r>, odoso r< (Rbeov **) riterijum), (83). ) Pretpostvimo d se odos člov red (.6.) može pisti u obliu µ θ λ, (.6.3.) α µ (što je evivleto s relcijom λ O, ( ) ), gdje su λ, µ i α (>) α ostte, (θ ) je ogriče iz u R. Td: ) Z λ > (odoso λ < ) red (.6..) overgir (odoso divergir) (što slijedi eposredo iz Dlmberovog riterijum). b) Z λ, µ > (odoso λ, µ < ) red (.6..) overgir (odoso divergir) (što slijedi eposredo iz Rbeovog riterijum). c) Z λ, µ, red (.6..) divergir (ovo se dozuje osovu tzv. Kummerovog riterijum, čiju formulciju ovdje ećemo voditi). Ovo je tzv. Gusov ***) riterijum, oji se običo oristi o je λ, jer z λ overgecij red se može ispitti Dlmberovim ili Košijevim orijeim riterijumom. O im širou oblst primjee, li o ip ije uiverzl, jer rzvoj (.6.3.) e mor uvije d postoji (ije uvije moguć). 3) (Itegrli riterijum) Ne je f(x) eegtiv i erstuć rel fucij [, ) ( R) z ei > 0 i e je f(). Td red ( ) overgir o i smo o overgir esvojstvei itegrl ****) f ( x) dx, tj. ovj red i ovj itegrl su eviovergeti. *) Rbeov i Gussov riterij, i ei drugi riteriji (o što je Bertrdov riterij), izvode se iz Kummerovog riterijum, oji predstvlj jed opšti riterij (p o tv im teorijsi zčj). **) J. L. Rbe (80 859) - švjcrsi mtemtičr. ***) C. F. Guss ( ), jemči mtemtičr, fizičr i stroom (oji je prvi dozo osovi teorem lgebre u svojoj dotorsoj disertciji i to o mldić od godie; po mogim Gus je jveći mtemtičr svih vreme). ****) Pojm esvojstveog itegrl ćemo uvesti pri rju ovog urs.

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u : Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie. ELEMETI LOGIKE I TEORIJE KUPOV IZJVE, VEZICI, KVTIFIKTORI eolio riječi o mtemtičoj logici. Upotrebljvt ćemo pojmove mtemtiče logie li se ećemo jom

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6.

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6. rg Vugdeij AKTUARSKA ATEATIKA - osovi ocept z stvu - Subotic 008. SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Uniformna konvergencija funkcionalnih redova

Uniformna konvergencija funkcionalnih redova Uiforma overgecija fucioalih redova i si x Hamza Merzić Februar, 014. cos x 1 Uvod Uiforma overgecija, iao vrlo apstrata i geeralo jao tešo shvatljiv pojam, predstavlja velio olašaje u aalizi redova. To

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

1 ELEMENTI KOMBINATORIKE

1 ELEMENTI KOMBINATORIKE Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 1 ELEMENTI KOMBINATORIKE 3 1.1 UVOD................................... 3 1.2 PRINCIPI PREBROJAVANJA...................... 8 1.3 PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA................. 10 1.3.1

Διαβάστε περισσότερα

Fibonaccijev niz u n S n

Fibonaccijev niz u n S n /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 5 FIBONACCIJEV NIZ Fiboccijev iz ZVONIMIR IKIÊ, Zgreb Fiboccijev trik Nπu rsprvu o Fiboccijevom izu poëet Êemo jedim trikom, koji moæete izvesti s grupom uëeik, koleg ili prijtelj:

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006 Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα