Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :"

Transcript

1 Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo d je vredost: red overget, o postoji grič s lim s u. oju zovemo zbir besočog red. U suprotom, žemo d je red diverget. Ostt red je rzli jegovog zbir i prcijlog zbir s prvih člov. : R s s u u u. i o je red overget, o očigledo teži uli d eogričeo rste: lim R.

2 Primeri: Hrmoijsi red Geometrijsi red je diverget, jer je jegov sum besoč. je overget i jegov sum je jed : q s, lim q s Ao je red overget očigledo je d jegov opšti čl u mor d teži uli d vidi., p je to eophod uslov d red bude overget, li e i dovolj uoči pr. divergeciju hrmoijsog red. Iz jedči.-. proizilzi d je potreb i dovolj uslov overgecije red d jegov ostt R teži uli d eogričeo rste. što zči d se z svi proizvoljo mli pozitiv ε, može ći tv broj N d vži: R s s < ε, N ε.b Ao je red čiji su človi psolute vredosti člov eog overgetog red.: u u u u tođe overget, od žemo d je red. psoluto overget. Ao to ije slučj od žemo d je red uslovo overget. U Tb... dte su sume eih overgetih brojevih redov. Ne svojstv psoluto overgetih redov [ Brostei ] Sbirje i oduzimje Apsoluto overgeti redovi se mogu sbirti i oduzimti čl po čl, sum rezultujućeg red jed je zbiru rzlici sum redov oji se sbirju oduzimju. Ovo vži i z uslovo overgete redove. Možeje Apsoluto overgeti redovi se mogu međusobo možiti o poliomi, sum rezultujućeg red jed je proizvodu sum. Ao se može dv overget red, br jed o jih je i psoluto overget, td je rezultujući red overget, li e obvezo i psoluto overget. Primer: Red pod redim brojem. u Tb... predstvlj rzliu. i. red u istoj tbeli. Zist:

3 To je jegov sum jed rzlici sum. i. red: s Tbel.. - Sume eih brojevih redov. 9 7 π π 7. π π 9. 9 π

4 .. Kriterijumi overgecije redov s pozitivim človim Podesetimo se dv riterijum z overgeciju brojih redov s pozitivim človim u > : Dlmberov riterijum oliči : Ne je Td, o je : <, ρ >,, ρ u lim u red je overget red je diverget rit. e dje odgovor. Košijev orei riterijum: Ne je q lim u Td, o je : <, red je overget q >, red je diverget.b, rit. e dje odgovor Primeri: Z geometrijsi red, Dlmberov riterium: ρ lim lim p je red overget, Košijev riterijum: q lim, p je red overget

5 Z hrmoijsi red, Dlmberov riterium: lim ρ lim, p em odgovor Košijev riterijum: l q lim, l q lim l lim opitlovo prv. lim, q p em odgovor Košijev itegrli riterijum Posmtrjmo red s pozitivim človim čiji je opšti čl, u f i e je fucij f defiis i epreid u itervlu c < <. Td, o je esvojstvei itegrl Dodt C, c f d overget, posmtri red je overget, o je itegrl diverget, diverget je i posmtri red. Primeri:. Z hrmoijsi red immo f i o je diverget, jer, d l. Kovergecij red se e može utvrditi Dlmberovim ili Košijevim riterijumom, pošto jihov prime dje jediiče vredosti riterijum ρ i q.,b. Red je overget, jer prime Košijevog riterijum dje: d

6 .. Altertivi redovi To su redovi čiji človi imju izmeičo pozitiv i egtiv predz: u u u > ± u m, u.6 jbicov riterijum z overgeciju ltertivog red je : lim u i u > u > u > > u >.6 Z ostt R ltertivog red vži d im z prvog odbčeog čl u i d je po psolutoj vredosti mji od jeg: R.7 s s < u Primer: Red je, u sldu s jbicovim riterijumom, overget i z ostt red vži: R < O ije psoluto, već smo uslovo overget, jer red psolutih vredosti jegovih člov je hrmoijsi red, oji je diverget.. FUNKCIJSKI REDOVI Fucijsi red red fucij je red čiji su človi fucije iste promeljive: u u u u Njegov prcijli zbir s je sum prvih člov red: u.8 s u.9 Oblst overgecije fucijsog red.8 je sup svih oih vredosti, oje pripdju zjedičoj oblsti defiisosti svih fucij, z oje overgirju dobijei brojevi redovi, tj. z oje ostt red R teži uli d eogričeo rste vidi jed..b: u 6

7 R s s < ε, > N ε,. Jso je d griči broj N u ovoj defiiciji overgecije iz { R } zvisi e smo od mlog broj ε, već i od zdte vredosti. Njpoztiji tipovi fucijsih redov su: stepei red, od og je čl red stepe fucij Pogl.. i trigoometrijsi red, čiji su človi siuse ili osiuse fucije Dodt B Rvomer overgecij Rzliujemo sledeć dv slučj overgecije fucijsog red: Rvomer uiform overgecij fucijsog red, d se može ći tv broj N oji obezbeđuje overgeciju. z bilo oju vredost iz oblsti overgecije, tj. d o e zvisi od, već smo od ε. Dle, sve fucije R, z > N leže u pojsu širie ε oo rive s u celoj oblsti overgecije red. Nervomer euiform overgecij, d se e može ći jedistve broj N tv d relcij. vži u celoj oblsti overgecije red. Td postoji br jed vredost u oblsti overgecije, z oju vži: R > ε bez obzir olio velio N se izbere. Dle, m olio N uzeli velio, ći će se br jed vredost u ojoj će fucij R, > N d "izđe" izv pojs širie ε oo rive s. Primer: Red je overget z sve vredosti < < i!!!! jegov zbir je s e vidi Tb.... O je rvomero overget u svoj očoj oblsti < c. Nime, ostt red dt je gržovom formulom jed.. z : ξ R e, ξ <! i očigledo je d u slučju oče oblsti < c vži: R c < e! c Pošto! brže rste s od c, izrz desoj stri ejedosti se može prviti mjim od ε z dovoljo velio > N, pri čemu N e zvisi od. Međutim to e vži u celoj oblsti overgecije < <, jer olio god uzeli velii broj, može se ći dovoljo velio po psolutoj vredosti, d bude: 7

8 ξ R e > ε, ξ <! Vjerštrsov Weierstrss riterijum rvomere overgecije Fucijsi red.8 overgir rvomero uiformo u zdtoj oblsti, o se može proći tv overget red s osttim človim c, d z sve vredosti u toj oblsti vži: u. c Z red Primeri: c žemo d je mjorti red z posmtri fucijsi red. Redovi si i cos su rvomero overgeti u celoj oblsti < <, jer su jihovi mjorti redovi : i overgeti. Svojstv rvomero overgetih redov Nepreidost. Ao su fucije u,,,... epreide u oblsti rvomere overgecije red.8, od je i jihov zbir s epreid fucij u toj oblsti. Ao red e overgir rvomero u eoj očoj oblsti, od jegov zbir s može imti preide u toj oblsti. Itegrcij i diferecirje. U oblsti [, b] rvomere overgecije, red se može itegrliti čl po čl: u t dt u t dt,, [, b]. Isto to, uiformo overget red se može i diferecirti čl po čl, u o se to dobij uiformo overget red. u, [, b].b 8

9 Sd vidimo zčj rvomere overgecije: o omogućuje diferecirje i itegrciju red, čl po čl. Redovi fucij više ezviso promeljivih Defiiciju fucijsog red ije tešo proširiti slučj više ezviso promeljivih, recimo: u, y u, y u, y u, y u, y. o i vede svojstv i riterijum rvomere overgecije. PRIMER. Red y, t ep. π [. π t] cos. π. se dobij o rešeje bezdimezioe diferecijle jedčie estciorog jedodimezioog preos toplote roz rv sloj velie površie [ ]: y y, t t >, < < - bezdimezio prostor oordit u prvcu preos toplote ; : središ rv sloj ; : des grič površi, t - bezdimezioo vreme, y - bezdimezio tempertur y, T tempertur u sloju ; Tp T počet uiform tempertur sloj, T T y T p T tempertur griče površie;. s gričim uslovim: y,, <. y, t, t >.b y, t, t >.c Primejujući Vjerštrsov riterijum, pozti d je posmtri red. rvomero overeget u oblsti:, t c >, gde je c ei očo mli broj. b Pozti d red zdovoljv dtu diferecijlu jedčiu i griče uslove.-.c. 9

10 Pošto je, ep. π [. π t] cos. π,, t jed mjorti red z posmtri fucijsi red je: π.. π Jso je d se o u pogledu overgecije poš o hrmoijsi red, jer, lim lim. pošto su i., evivlete besočo velie veličie,. Dodt A, d eogričeo rste. To, d bi smo dozli uiformu overgeciju posmtrog red, mormo proći drugi mjort red, oji je overget. Poćićemo od ejedosti, e <,.6 oju ćemo dozti dozvši joj evivletu ejedost dobijmo je logritmovjem: l <,.6, D bi dozli.6 primeićemo jbicov stv o osttu ltertivog red Mloreov red z fuciju l Tb..: l Prem pomeutom stvu,, < pošto je, Dle, pozli smo d je, R s s l < < l <, Medjutim, imjući u vidu d fucij l sporije rste od, d rste u oblsti > :

11 l < >, izvede ejedost vži u celoj posmtroj oblsti. Dlje, pošto je l l, dozli smo ejedost.6, time i.6. N osovu.6, možemo d tvrdimo: ep. π [. π t] cos. π,, t >. π t p je tržei mjorti red posmtrog fuciolog red u oblsti, t c > : c. π Primeom Košijevog itegrlog riterijum lo pozujemo d je red,. overget, o je c očo mli pozitiv broj, vredost ftor π c je oč, p je i posmtri mjorti red overget. To smo dozli rvomeru overgeciju dtog fucijsog red. b Potrebo je ći prcijle izvode fucijsog red. i zmeiti ih u diferecijlu jedčiu. Ao jegovu sumu ozčimo s y, t, diferecirje čl po čl, dje: y t y y. ep ep. ep [. π t] cos. π [. π t] si. π [. π t] cos. π Nismo dozli d su polzi red, o i jegovi izvodi rvomero overgeti u oblsti od iteres, t, < <, tj. d je zdovolje dovolj uslov z diferecirje redov, čl po čl. Dle, pretpostvićemo d je t opercij dozvolje posmtri uslov je dovolj li e i potreb. Sme dobijeih redov u dif. jedčiu pozuje d je o zdovolje. Preostje d požemo d fucij y, t zdovoljv i dte griče uslove. Z t, red. se svodi trigoometrijsi red: y, π cos. π..7

12 oji je overget u oblsti < i jegov sum je jed Dodt B, Primer B.:, y π cos. π,. < Treb primetiti d je sum posmtrog red jed uli z : y,, što zči d sum red s y, ije epreid itervlu [, ], jer desoj grici tog itervl im so od jediiče ultu vredost. Iz prethodo vedeog stv o epreidosti sume rvomero overgetog red, sledi d o ije rvomero overget ztvoreom itervlu [, ]... s,.8 s, :.8 : Sli. uz Primer.. - Delimiče sume s, red.7 z,. s, : Sli. uz Primer.. - Delimič sume s, red.7 z Zbog uočeog so fucije, red.7 ije rvomero overget i poluotvoreom itervlu [,. To pozuju dti grfici delimičih sum s, z,,, dobijei u Mthcd-u. Vidimo d se pri povećvju boj člov u delimičoj sumi, uočljivi pi jeom grfiu zčjo odstupje od s s,, pomer udeso grici. Može se pozti d je red.7 rvomero overget svom ztvoreom itervlu [, c ], gde je < c <.

13 Uočeo pošje posmtrog red zčjo otežv izrčuvje bezdimezioog temperturog profil y, t u mlim bezdimezioim vremeim t jer se td red. poš sličo redu.7 veom sporo overgir svojoj sumi. Nsuprot tome, z dovoljo tč izrčuvje tempertur z već bezdimezio vreme, dovoljo je izrčuti delimiču sumu red. s smo eolio člov red brzo overgir svojoj sumi. Preostlo je d dožemo d red. zdovoljv i griče uslove.b,c:, y t, y t ep. π ep [. π t] si [. π t] cos. π. STEPENI REDOVI Stepei ili potecijli redovi imju obli: ili.8.8b gde su oeficijeti i vredost ostte. Tč se ziv tč rzvoj stepeog red. Tč rzvoj z red.8 je očigledo:. Delimič sum stepeog red je poliom -tog stepe, s.9 Očigledo je d stepei red uve overgir z, d je jegov sum jed. Pored tog, red psoluto overgir u eom itervlu, < r. izv tog itervl divergir. Poluširi itervl overgecije stepeog red, r se ziv polupreči overgecije. N gricm itervl overgecije ± r stepei red može d overgir ili divergir. Stepei red je rvomero overget ztvoreoj podoblsti itervl psolute overgecije Abelov teorem: u svoj r < r.

14 Određivje polupreči overgecije Iz Dlmberovog i Košijevog riterijum slede formule z određivje polupreči overgecije: lim < < lim lim lim < < lim Dle, lim r ili. lim Primer: Z red polupreči overgecije je r lim lim lim p o overgir u itervlu - < < Ispitćemo jegovu overgeciju gricm itervl. N levoj grici, o postje ltertivi brojevi red, oji overgir uslovo. N desoj grici o postje hrmoijsi red, p divergir. Prem Abelovoj teoremi red je rvomero overget u svom itervlu r, r ] gde je r proizvolj broj između i. [ Opercije s stepeim redovim Pretpostvimo d su dv stepe red, itervlu, b < r. Dle, u tom itervlu su jihove sume ee fucije : overget u

15 , g b f Td se oi, u tom itervlu, mogu sbirti odizimti i možiti logo poliomim : ± ± b g f. b b b b c c b g f.b U svom ztvoreom poditervlu. stepei red se može diferecirti i itegrliti, čl po čl : [ ] [ ],, r r d d d d d df. [ ],,, r r d d d f.b rezultti su stepei redovi istog polupreči overgecije, r... Tjlorov red Sum besočog stepeog red, u itervlu overgecije, je e fucij f, ili drugim rečim o u itervlu overgecije defiiše eu fuciju f. f. Nmeće se obrut problem: mogu li se i o pojedie elemetre fucije,...,l si, e prizti u obliu stepeog red ili, drugim rečim, rzviti u stepei red oo ee tče. Dle, o z eu elemetru fuciju f odrediti oeficijete u rzvoju.. Očigledo je, f Ao sd diferecirmo obe stre jed.., f oeficijet dobijmo o:

16 f Koeficijet ćemo dobiti iz. izvod: f " f f! sledeći iz. izvod: f f! Uopšte, oeficijet dobijmo iz tog izvod: f f!. To se e epreid fucij f, oj im sve epreide izvode u tči može rzviti u red, f f f f f.6!!! oo tče, u itervlu u ome je o overget, tj. u ome ostt red R teži uli d. Red.6 je pozt u literturi pod imeom Tjlorov Tylor red.u specijlom slučju rzvoj oo tče, red, f f.7! se ziv Mloreov Mcluri red. U Tb... dti su rzvoji jpoztijih elemetrih fucij u Mloreov red. Tjlorov ili Mloreov red brzo overgirju, tj. ostt red brzo teži uli, o se oliči dv uzstop oeficijet red, po psolutoj vredosti, brzo približv uli, d, odoso broj člov delimičog red, eogričeo rste. 6

17 7 Tbel.. Mloreovi redovi eih fucij Fucij Rzvoj u Mloreov red Itervl ov. m!! m m m m m m z z < > < m m si 7! 7!!! < cos 6! 6!!! < e!!!! < l < l 7 7 < rct 7 7 sih 7! 7!!! < cosh 6! 6!!! < Primer: Mloreov red espoecijle fucije, e zto brže overgir od red logritmse fucije, l, jer d broj člov delimičog red rste, oliči dv uzstop oeficijet z prvi red:!! teži uli, do se z red logritmse fucije,

18 o povećv, težeći jediici. PRIMER. Izvesti Mloreove redove z fucije e i e Z fuciju e, formul. z oeficijet uz - u rzvoju dje : i itervle overgecije. p je rzvoj z e : e f e!!!!!! Polupreči overgecije.7 izvedeog red je : p je itervl overgecije: r lim lim overget u svom očom itervlu r. Red z fuciju e <. Prem Abelovoj teoremi, red je rvomero - e ćemo dobiti jedostvo smejujući umesto u rzvoju!!!! e : PRIMER. Izvesti Mloreov red z fuciju rctg, polzeći od rzvoj z fuciju m, oji je pozt pod imeom biomi red. Odrediti itervl overgecije dobijeog red. Imjući u vidu d je : rctg rctg rctg dt t tržei rzvoj ćemo dobiti itegrcijom čl po čl jed..9b red z poditegrlu fuciju.tj red ćemo izvesti polzeći od biomog red Tb..: m m m m! Z m -, z oeficijet u opštem člu immo: Dle, m m m! m m m!!!! 8

19 Preostlo je d umesto smeimo : Itegrcij dje: p je : 6 dt t dt t dt t rctg 7 7 ± Z polupreči overgecije dobijmo: r lim lim lim Dobijei red overgir u itervlu < u ome je overget polzi biomi red. Ostt Tjlorovog red. Tjlorov i Mloreov poliom Z ostt Tjlorovog red vži gržov grge formul : f R f ξ.8!! gde tč ξ leži egde između tč vredosti u ome je: i. To rzvoj.6 vži u oom itervlu lim R i td ostt R predstvlj grešu prosimcije fucije f prcijlom sumom Tjlorovog red poliom -tog stepe. Dle, f f s.9! f s R.9b Prcijl sum, s.9, je u literturi pozt pod zivom Tjlorov poliom, odoso, o je tč rzvoj, Mloreov poliom Kže se d Tjlorov 9

20 Mloreov poliom -tog stepe predstvlj prosimciju tog red fucije f u oolii tče. To primer, poliom,!! je prosimcij petog red siuse fucije z mle vredosti rgumet. Iz gržovog obli ostt Tjlorovog red.8 zljučujemo: Z dto, greš prosimcije opd po psolutoj vredosti, s povećjem red prosimcije, brzo rste imeioc s povećjem. To opdje je utolio brže uolio je brž overgecij red. Z odbri red prosimcije, greš prosimcije rste po psolutoj vredosti s udljvjem tče od tče rzvoj PRIMER. Npisti prvih člov Mloreovog red z fuciju b Izvesti prosimciju : c D li t prosimcij dje veće ili mje vredosti od tčih vredosti z. Proceiti gorju gricu psolute greše prosimcije u itervlu <. Iz biomog red, z m /, z dobijmo rzvoj čijih su prvih člov: f b Dt prosimcij se dobij o prcijl sum, zdržvjem smo prv dv čl prosimcije. red: s c Odgovore postvlje pitj ćemo dobiti, u sldu s.9,b, lizom ostt red.8: f R f ξ! / f f,, R,, ξ <. 8 ξ Pošto je ostt red egtiv, iz.9b sledi /

21 s > f tj., dt prosimcij precejuje vredosti posmtre fucije. Tržeu gricu greše ćemo dobiti usvjjem ulte vredosti z epozto ξ, pošto td greš im jveću vredost z eo, usvjjem gorje grice z : R <. 8. S obzirom d je u pitju ltertivi red, z og vži d ostt im z prvog odbčeog čl i d je po psolutoj vredosti mji od jeg, mogli smo postvljei problem rešiti brže i jedostvije, sledeći či. Z prvog odbčeog čl : je očigledo uve egtiv p je s > f. Ko gricu psolute greše uzimmo psolutu vredost prvog odbčeog čl, z griču vredost u posmtrom itervlu: R <.. PRIMER. Odrediti broj člov u Mloreovom redu z cos, čij sum obezbeđuje d proce cos dobije pomoću delimiče sume red im sigure decimle. Iz postvljeog uslov sledi d je dozvolje gric psolute greše prosimcije jed.. Pošto je u pitju ltertivi red: 6 cos!!! 6 isoristićemo osobiu d je greš prosimcije ostt red po psolutoj vredosti mj od prvog odbčeog čl. Treb imti u vidu d se vredost uosi u rdijim i d s obzirom peridičost fucije, z jveću vredost, treb uzeti π. Međutim, sledećim relcijm, osiusi tupih uglov se mogu svesti osius oštrog ugl: cos π, π < π cos cos π, π < π cosπ, π π p je jveć vredost rgumet z oju će se rčuti delimič sum osiusog red, π čime se smjuje greš prosimcije.to će prem uslovu zdt prvi odbčei čl u biti oj z og vži: i odredićemo probjem uz π. : u π! < : u :

22 Dle, eophodo je uzeti prvih člov osiusog red, odoso Mloreov poliom 8 stepe 8 ili prosimciju 8 red. ZADACI. Temperturi profil zid debljie i termiče difuzivosti, oji je bio temperturit, i u jedom mometu t se tempertur leve površie zid z podige T s, tempertur dese z održv T, opis je diferecijlom jedčiom, T T, t z s gričim uslovim: T, t T, T, t T T z, T, s t >, t >, t > < z No smee promeljivih: z < z < t τ, y T T T T, s s, polz jedči se prevodi u bezdimezioi obli, o i griči uslovi: y y, τ τ >, < <, T T, < y s y, t, t > y, t, t > Pozti d je rešeje bezdimezioe jedčie red: si π, τ y T Ts ep π τ π b Disutovti overgeciju dtog red. c Alizirti overgeciju red y, uz pomoć Mthcd-.. Nći itervle psolute overgecije z sledeće redove: b!! c d e. Dozti d je: si <, >

23 b ± l m c 7 9 π. Polzeći od Mloreovog red z cos izvesti Mloreov red z si.. Polzeći od Mloreovog red z espoecijlu fuciju, izvesti Mloreove rzvoje z fucije sius i osius hiperboliči sih i cosh, defiise o: e sih e, e cosh e.6 Izvesti Mloreov red z fuciju l polzeći od biomog red i odredi jegov itervl overgecije..7 Izvesti Mloreove redove z fucije: e b e y z z c si z y d y l z e y f y oristeći rzvoje dte u Tb....8 Izvesti Ojlerovu relciju: ϕ e i cosϕ i si ϕ, i je imgir jediic.9 Izrčuti približe vredosti z e i b, o vredosti Mloreovog e poliom. stepe z espoecijlu fuciju i proceiti grešu.. Koristeći Mloreove poliome izrčuti : Broj e dve sigure decimle, b. Potrebo je približo izrčuti l si s psolutom grešom mjom od. D li se to može izvesti oristeći prcijlu sumu Mloreovog red z fuciju l? b Izrčuti tržeu vredost o sumu prv tri čl red fucije l. Izvršiti prethodu trsformciju d bi se vredosti i 7 mogle izrčuti s željeom tčošću pomoću delimiče sume odbrog overgetog Mloreovog red.. Izvesti sledeće prosimcije :, z <<

24 b b b b b, pri >, << c t, z << u rdijim. Pozti d se veliči toplotog flus, Q roz zid cilidriče cevi dužie, uutršjeg polupeči r i spoljjeg polupreči r : π Q λ T r l r W λ toplot provodljivost mterijl T rzli tempertur spoljje i uutršje površie cevi z cevi većih uutršjih polupreči i mle debljie zid, može približo izrčuti o flus roz rv zid debljie r r : πr Q λ T r r W. Potrebo je približo izrčuti itegrl: I cos d, z mle vredosti. > Izvesti sledeće procee I I I I tržeog itegrl: I, I 6 i uporediti jihove tčosti. i I b Dti geometrijsu iterpretciju veliči I, I i I i jihovih odos. c Izrčuti u Mthcd-u, s precizošću od deciml, vredosti I, I i I z.,.,. i uporediti ih

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

( 1) ( t) DODATAK A. Tablički integrali koji se često koriste za razvoj funkcija u Furijeov red i računanje Furijeove i Laplasove transformacije

( 1) ( t) DODATAK A. Tablički integrali koji se često koriste za razvoj funkcija u Furijeov red i računanje Furijeove i Laplasove transformacije DODATAK A A DODATAK A Tbliči iegrli oji e čeo orie rvoj fucij u Furijeov red i rčuje Furijeove i Lplove rformcije ( d P I = = + ( I e P ( d C e, gde je P poliom -og red. = d Specijlo, P = I = C + e P =

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima OADP: Kompreija lie i ideo igala Ooi priipi ompreije D i 3D igala D traformaija ompaija eergije Katoaje D igala Kodoaje D igala Etimaija poreta u 3D igalima oi ad 06 traa OADP: Kompreija lie i ideo igala

Διαβάστε περισσότερα

Uniformna konvergencija funkcionalnih redova

Uniformna konvergencija funkcionalnih redova Uiforma overgecija fucioalih redova i si x Hamza Merzić Februar, 014. cos x 1 Uvod Uiforma overgecija, iao vrlo apstrata i geeralo jao tešo shvatljiv pojam, predstavlja velio olašaje u aalizi redova. To

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6.

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6. rg Vugdeij AKTUARSKA ATEATIKA - osovi ocept z stvu - Subotic 008. SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije generatrise

Funkcije generatrise Matematiqa gimazija Matursi rad Fucije geeratrise uqei Mila Novaovi IVa metor Vladimir Balti Beograd jui 004. Uvod Geeratrise su mo a alat za reavanje mogih problema, uglavom oih ombiatore prirode, ali

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006 Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

DESETA VEŽBA 1. zadatak:

DESETA VEŽBA 1. zadatak: DEETA VEŽBA zadata: Trasformator čiji su podaci: VA cu 4 W W u 5 % radi pri eom opterećeju uz fator sage φ 8 (id) ritom su omiali gubici u baru cu određei pri temperaturi od C Za radu temperaturu trasformatora

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ε Π Ι Σ Τ Ο Λ Η Δ Ι Ο Ι Κ Η Τ Η Α Υ Γ Ο Υ Σ Τ Ο Σ Μ η ν ι α ί α Ε π ι σ τ ο λ ή ι ο ι κ η τ ή 1 Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Σ ε λ ί δ ε ς Τ ο μ ή ν υ μ α τ

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit održan

Pismeni ispit održan Pisei ispit održ 69 4 Kostrkcij prikz skici je, pored sopstvee težie, optereće i jedko rspodeljei povreei opterećeje p /, koje ože delovti proizvoljo položj ploči Dejstvo vetr je predstvljeo kpi horizotli

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

# $ % & & '! "! $ % & & '

# $ % & & '! ! $ % & & ' #! "! 7 ( ) * % + ) ', ) ' -,, - ) - * -, * -, * - + ' - ) ' ) -, * ) ),, ) ). - -. ' % / * +., 0 +, )., 0.1. '. '., - '. -., 0., - + -. /. + ) / - 0. - ) - % * ', +. 1 ' * ) / * ) % / *0 % / - ) ' -.

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα