Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :

Transcript

1 Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo d je vredost: red overget, o postoji grič s lim s u. oju zovemo zbir besočog red. U suprotom, žemo d je red diverget. Ostt red je rzli jegovog zbir i prcijlog zbir s prvih člov. : R s s u u u. i o je red overget, o očigledo teži uli d eogričeo rste: lim R.

2 Primeri: Hrmoijsi red Geometrijsi red je diverget, jer je jegov sum besoč. je overget i jegov sum je jed : q s, lim q s Ao je red overget očigledo je d jegov opšti čl u mor d teži uli d vidi., p je to eophod uslov d red bude overget, li e i dovolj uoči pr. divergeciju hrmoijsog red. Iz jedči.-. proizilzi d je potreb i dovolj uslov overgecije red d jegov ostt R teži uli d eogričeo rste. što zči d se z svi proizvoljo mli pozitiv ε, može ći tv broj N d vži: R s s < ε, N ε.b Ao je red čiji su človi psolute vredosti člov eog overgetog red.: u u u u tođe overget, od žemo d je red. psoluto overget. Ao to ije slučj od žemo d je red uslovo overget. U Tb... dte su sume eih overgetih brojevih redov. Ne svojstv psoluto overgetih redov [ Brostei ] Sbirje i oduzimje Apsoluto overgeti redovi se mogu sbirti i oduzimti čl po čl, sum rezultujućeg red jed je zbiru rzlici sum redov oji se sbirju oduzimju. Ovo vži i z uslovo overgete redove. Možeje Apsoluto overgeti redovi se mogu međusobo možiti o poliomi, sum rezultujućeg red jed je proizvodu sum. Ao se može dv overget red, br jed o jih je i psoluto overget, td je rezultujući red overget, li e obvezo i psoluto overget. Primer: Red pod redim brojem. u Tb... predstvlj rzliu. i. red u istoj tbeli. Zist:

3 To je jegov sum jed rzlici sum. i. red: s Tbel.. - Sume eih brojevih redov. 9 7 π π 7. π π 9. 9 π

4 .. Kriterijumi overgecije redov s pozitivim človim Podesetimo se dv riterijum z overgeciju brojih redov s pozitivim človim u > : Dlmberov riterijum oliči : Ne je Td, o je : <, ρ >,, ρ u lim u red je overget red je diverget rit. e dje odgovor. Košijev orei riterijum: Ne je q lim u Td, o je : <, red je overget q >, red je diverget.b, rit. e dje odgovor Primeri: Z geometrijsi red, Dlmberov riterium: ρ lim lim p je red overget, Košijev riterijum: q lim, p je red overget

5 Z hrmoijsi red, Dlmberov riterium: lim ρ lim, p em odgovor Košijev riterijum: l q lim, l q lim l lim opitlovo prv. lim, q p em odgovor Košijev itegrli riterijum Posmtrjmo red s pozitivim človim čiji je opšti čl, u f i e je fucij f defiis i epreid u itervlu c < <. Td, o je esvojstvei itegrl Dodt C, c f d overget, posmtri red je overget, o je itegrl diverget, diverget je i posmtri red. Primeri:. Z hrmoijsi red immo f i o je diverget, jer, d l. Kovergecij red se e može utvrditi Dlmberovim ili Košijevim riterijumom, pošto jihov prime dje jediiče vredosti riterijum ρ i q.,b. Red je overget, jer prime Košijevog riterijum dje: d

6 .. Altertivi redovi To su redovi čiji človi imju izmeičo pozitiv i egtiv predz: u u u > ± u m, u.6 jbicov riterijum z overgeciju ltertivog red je : lim u i u > u > u > > u >.6 Z ostt R ltertivog red vži d im z prvog odbčeog čl u i d je po psolutoj vredosti mji od jeg: R.7 s s < u Primer: Red je, u sldu s jbicovim riterijumom, overget i z ostt red vži: R < O ije psoluto, već smo uslovo overget, jer red psolutih vredosti jegovih člov je hrmoijsi red, oji je diverget.. FUNKCIJSKI REDOVI Fucijsi red red fucij je red čiji su človi fucije iste promeljive: u u u u Njegov prcijli zbir s je sum prvih člov red: u.8 s u.9 Oblst overgecije fucijsog red.8 je sup svih oih vredosti, oje pripdju zjedičoj oblsti defiisosti svih fucij, z oje overgirju dobijei brojevi redovi, tj. z oje ostt red R teži uli d eogričeo rste vidi jed..b: u 6

7 R s s < ε, > N ε,. Jso je d griči broj N u ovoj defiiciji overgecije iz { R } zvisi e smo od mlog broj ε, već i od zdte vredosti. Njpoztiji tipovi fucijsih redov su: stepei red, od og je čl red stepe fucij Pogl.. i trigoometrijsi red, čiji su človi siuse ili osiuse fucije Dodt B Rvomer overgecij Rzliujemo sledeć dv slučj overgecije fucijsog red: Rvomer uiform overgecij fucijsog red, d se može ći tv broj N oji obezbeđuje overgeciju. z bilo oju vredost iz oblsti overgecije, tj. d o e zvisi od, već smo od ε. Dle, sve fucije R, z > N leže u pojsu širie ε oo rive s u celoj oblsti overgecije red. Nervomer euiform overgecij, d se e može ći jedistve broj N tv d relcij. vži u celoj oblsti overgecije red. Td postoji br jed vredost u oblsti overgecije, z oju vži: R > ε bez obzir olio velio N se izbere. Dle, m olio N uzeli velio, ći će se br jed vredost u ojoj će fucij R, > N d "izđe" izv pojs širie ε oo rive s. Primer: Red je overget z sve vredosti < < i!!!! jegov zbir je s e vidi Tb.... O je rvomero overget u svoj očoj oblsti < c. Nime, ostt red dt je gržovom formulom jed.. z : ξ R e, ξ <! i očigledo je d u slučju oče oblsti < c vži: R c < e! c Pošto! brže rste s od c, izrz desoj stri ejedosti se može prviti mjim od ε z dovoljo velio > N, pri čemu N e zvisi od. Međutim to e vži u celoj oblsti overgecije < <, jer olio god uzeli velii broj, može se ći dovoljo velio po psolutoj vredosti, d bude: 7

8 ξ R e > ε, ξ <! Vjerštrsov Weierstrss riterijum rvomere overgecije Fucijsi red.8 overgir rvomero uiformo u zdtoj oblsti, o se može proći tv overget red s osttim človim c, d z sve vredosti u toj oblsti vži: u. c Z red Primeri: c žemo d je mjorti red z posmtri fucijsi red. Redovi si i cos su rvomero overgeti u celoj oblsti < <, jer su jihovi mjorti redovi : i overgeti. Svojstv rvomero overgetih redov Nepreidost. Ao su fucije u,,,... epreide u oblsti rvomere overgecije red.8, od je i jihov zbir s epreid fucij u toj oblsti. Ao red e overgir rvomero u eoj očoj oblsti, od jegov zbir s može imti preide u toj oblsti. Itegrcij i diferecirje. U oblsti [, b] rvomere overgecije, red se može itegrliti čl po čl: u t dt u t dt,, [, b]. Isto to, uiformo overget red se može i diferecirti čl po čl, u o se to dobij uiformo overget red. u, [, b].b 8

9 Sd vidimo zčj rvomere overgecije: o omogućuje diferecirje i itegrciju red, čl po čl. Redovi fucij više ezviso promeljivih Defiiciju fucijsog red ije tešo proširiti slučj više ezviso promeljivih, recimo: u, y u, y u, y u, y u, y. o i vede svojstv i riterijum rvomere overgecije. PRIMER. Red y, t ep. π [. π t] cos. π. se dobij o rešeje bezdimezioe diferecijle jedčie estciorog jedodimezioog preos toplote roz rv sloj velie površie [ ]: y y, t t >, < < - bezdimezio prostor oordit u prvcu preos toplote ; : središ rv sloj ; : des grič površi, t - bezdimezioo vreme, y - bezdimezio tempertur y, T tempertur u sloju ; Tp T počet uiform tempertur sloj, T T y T p T tempertur griče površie;. s gričim uslovim: y,, <. y, t, t >.b y, t, t >.c Primejujući Vjerštrsov riterijum, pozti d je posmtri red. rvomero overeget u oblsti:, t c >, gde je c ei očo mli broj. b Pozti d red zdovoljv dtu diferecijlu jedčiu i griče uslove.-.c. 9

10 Pošto je, ep. π [. π t] cos. π,, t jed mjorti red z posmtri fucijsi red je: π.. π Jso je d se o u pogledu overgecije poš o hrmoijsi red, jer, lim lim. pošto su i., evivlete besočo velie veličie,. Dodt A, d eogričeo rste. To, d bi smo dozli uiformu overgeciju posmtrog red, mormo proći drugi mjort red, oji je overget. Poćićemo od ejedosti, e <,.6 oju ćemo dozti dozvši joj evivletu ejedost dobijmo je logritmovjem: l <,.6, D bi dozli.6 primeićemo jbicov stv o osttu ltertivog red Mloreov red z fuciju l Tb..: l Prem pomeutom stvu,, < pošto je, Dle, pozli smo d je, R s s l < < l <, Medjutim, imjući u vidu d fucij l sporije rste od, d rste u oblsti > :

11 l < >, izvede ejedost vži u celoj posmtroj oblsti. Dlje, pošto je l l, dozli smo ejedost.6, time i.6. N osovu.6, možemo d tvrdimo: ep. π [. π t] cos. π,, t >. π t p je tržei mjorti red posmtrog fuciolog red u oblsti, t c > : c. π Primeom Košijevog itegrlog riterijum lo pozujemo d je red,. overget, o je c očo mli pozitiv broj, vredost ftor π c je oč, p je i posmtri mjorti red overget. To smo dozli rvomeru overgeciju dtog fucijsog red. b Potrebo je ći prcijle izvode fucijsog red. i zmeiti ih u diferecijlu jedčiu. Ao jegovu sumu ozčimo s y, t, diferecirje čl po čl, dje: y t y y. ep ep. ep [. π t] cos. π [. π t] si. π [. π t] cos. π Nismo dozli d su polzi red, o i jegovi izvodi rvomero overgeti u oblsti od iteres, t, < <, tj. d je zdovolje dovolj uslov z diferecirje redov, čl po čl. Dle, pretpostvićemo d je t opercij dozvolje posmtri uslov je dovolj li e i potreb. Sme dobijeih redov u dif. jedčiu pozuje d je o zdovolje. Preostje d požemo d fucij y, t zdovoljv i dte griče uslove. Z t, red. se svodi trigoometrijsi red: y, π cos. π..7

12 oji je overget u oblsti < i jegov sum je jed Dodt B, Primer B.:, y π cos. π,. < Treb primetiti d je sum posmtrog red jed uli z : y,, što zči d sum red s y, ije epreid itervlu [, ], jer desoj grici tog itervl im so od jediiče ultu vredost. Iz prethodo vedeog stv o epreidosti sume rvomero overgetog red, sledi d o ije rvomero overget ztvoreom itervlu [, ]... s,.8 s, :.8 : Sli. uz Primer.. - Delimiče sume s, red.7 z,. s, : Sli. uz Primer.. - Delimič sume s, red.7 z Zbog uočeog so fucije, red.7 ije rvomero overget i poluotvoreom itervlu [,. To pozuju dti grfici delimičih sum s, z,,, dobijei u Mthcd-u. Vidimo d se pri povećvju boj člov u delimičoj sumi, uočljivi pi jeom grfiu zčjo odstupje od s s,, pomer udeso grici. Može se pozti d je red.7 rvomero overget svom ztvoreom itervlu [, c ], gde je < c <.

13 Uočeo pošje posmtrog red zčjo otežv izrčuvje bezdimezioog temperturog profil y, t u mlim bezdimezioim vremeim t jer se td red. poš sličo redu.7 veom sporo overgir svojoj sumi. Nsuprot tome, z dovoljo tč izrčuvje tempertur z već bezdimezio vreme, dovoljo je izrčuti delimiču sumu red. s smo eolio člov red brzo overgir svojoj sumi. Preostlo je d dožemo d red. zdovoljv i griče uslove.b,c:, y t, y t ep. π ep [. π t] si [. π t] cos. π. STEPENI REDOVI Stepei ili potecijli redovi imju obli: ili.8.8b gde su oeficijeti i vredost ostte. Tč se ziv tč rzvoj stepeog red. Tč rzvoj z red.8 je očigledo:. Delimič sum stepeog red je poliom -tog stepe, s.9 Očigledo je d stepei red uve overgir z, d je jegov sum jed. Pored tog, red psoluto overgir u eom itervlu, < r. izv tog itervl divergir. Poluširi itervl overgecije stepeog red, r se ziv polupreči overgecije. N gricm itervl overgecije ± r stepei red može d overgir ili divergir. Stepei red je rvomero overget ztvoreoj podoblsti itervl psolute overgecije Abelov teorem: u svoj r < r.

14 Određivje polupreči overgecije Iz Dlmberovog i Košijevog riterijum slede formule z određivje polupreči overgecije: lim < < lim lim lim < < lim Dle, lim r ili. lim Primer: Z red polupreči overgecije je r lim lim lim p o overgir u itervlu - < < Ispitćemo jegovu overgeciju gricm itervl. N levoj grici, o postje ltertivi brojevi red, oji overgir uslovo. N desoj grici o postje hrmoijsi red, p divergir. Prem Abelovoj teoremi red je rvomero overget u svom itervlu r, r ] gde je r proizvolj broj između i. [ Opercije s stepeim redovim Pretpostvimo d su dv stepe red, itervlu, b < r. Dle, u tom itervlu su jihove sume ee fucije : overget u

15 , g b f Td se oi, u tom itervlu, mogu sbirti odizimti i možiti logo poliomim : ± ± b g f. b b b b c c b g f.b U svom ztvoreom poditervlu. stepei red se može diferecirti i itegrliti, čl po čl : [ ] [ ],, r r d d d d d df. [ ],,, r r d d d f.b rezultti su stepei redovi istog polupreči overgecije, r... Tjlorov red Sum besočog stepeog red, u itervlu overgecije, je e fucij f, ili drugim rečim o u itervlu overgecije defiiše eu fuciju f. f. Nmeće se obrut problem: mogu li se i o pojedie elemetre fucije,...,l si, e prizti u obliu stepeog red ili, drugim rečim, rzviti u stepei red oo ee tče. Dle, o z eu elemetru fuciju f odrediti oeficijete u rzvoju.. Očigledo je, f Ao sd diferecirmo obe stre jed.., f oeficijet dobijmo o:

16 f Koeficijet ćemo dobiti iz. izvod: f " f f! sledeći iz. izvod: f f! Uopšte, oeficijet dobijmo iz tog izvod: f f!. To se e epreid fucij f, oj im sve epreide izvode u tči može rzviti u red, f f f f f.6!!! oo tče, u itervlu u ome je o overget, tj. u ome ostt red R teži uli d. Red.6 je pozt u literturi pod imeom Tjlorov Tylor red.u specijlom slučju rzvoj oo tče, red, f f.7! se ziv Mloreov Mcluri red. U Tb... dti su rzvoji jpoztijih elemetrih fucij u Mloreov red. Tjlorov ili Mloreov red brzo overgirju, tj. ostt red brzo teži uli, o se oliči dv uzstop oeficijet red, po psolutoj vredosti, brzo približv uli, d, odoso broj člov delimičog red, eogričeo rste. 6

17 7 Tbel.. Mloreovi redovi eih fucij Fucij Rzvoj u Mloreov red Itervl ov. m!! m m m m m m z z < > < m m si 7! 7!!! < cos 6! 6!!! < e!!!! < l < l 7 7 < rct 7 7 sih 7! 7!!! < cosh 6! 6!!! < Primer: Mloreov red espoecijle fucije, e zto brže overgir od red logritmse fucije, l, jer d broj člov delimičog red rste, oliči dv uzstop oeficijet z prvi red:!! teži uli, do se z red logritmse fucije,

18 o povećv, težeći jediici. PRIMER. Izvesti Mloreove redove z fucije e i e Z fuciju e, formul. z oeficijet uz - u rzvoju dje : i itervle overgecije. p je rzvoj z e : e f e!!!!!! Polupreči overgecije.7 izvedeog red je : p je itervl overgecije: r lim lim overget u svom očom itervlu r. Red z fuciju e <. Prem Abelovoj teoremi, red je rvomero - e ćemo dobiti jedostvo smejujući umesto u rzvoju!!!! e : PRIMER. Izvesti Mloreov red z fuciju rctg, polzeći od rzvoj z fuciju m, oji je pozt pod imeom biomi red. Odrediti itervl overgecije dobijeog red. Imjući u vidu d je : rctg rctg rctg dt t tržei rzvoj ćemo dobiti itegrcijom čl po čl jed..9b red z poditegrlu fuciju.tj red ćemo izvesti polzeći od biomog red Tb..: m m m m! Z m -, z oeficijet u opštem člu immo: Dle, m m m! m m m!!!! 8

19 Preostlo je d umesto smeimo : Itegrcij dje: p je : 6 dt t dt t dt t rctg 7 7 ± Z polupreči overgecije dobijmo: r lim lim lim Dobijei red overgir u itervlu < u ome je overget polzi biomi red. Ostt Tjlorovog red. Tjlorov i Mloreov poliom Z ostt Tjlorovog red vži gržov grge formul : f R f ξ.8!! gde tč ξ leži egde između tč vredosti u ome je: i. To rzvoj.6 vži u oom itervlu lim R i td ostt R predstvlj grešu prosimcije fucije f prcijlom sumom Tjlorovog red poliom -tog stepe. Dle, f f s.9! f s R.9b Prcijl sum, s.9, je u literturi pozt pod zivom Tjlorov poliom, odoso, o je tč rzvoj, Mloreov poliom Kže se d Tjlorov 9

20 Mloreov poliom -tog stepe predstvlj prosimciju tog red fucije f u oolii tče. To primer, poliom,!! je prosimcij petog red siuse fucije z mle vredosti rgumet. Iz gržovog obli ostt Tjlorovog red.8 zljučujemo: Z dto, greš prosimcije opd po psolutoj vredosti, s povećjem red prosimcije, brzo rste imeioc s povećjem. To opdje je utolio brže uolio je brž overgecij red. Z odbri red prosimcije, greš prosimcije rste po psolutoj vredosti s udljvjem tče od tče rzvoj PRIMER. Npisti prvih člov Mloreovog red z fuciju b Izvesti prosimciju : c D li t prosimcij dje veće ili mje vredosti od tčih vredosti z. Proceiti gorju gricu psolute greše prosimcije u itervlu <. Iz biomog red, z m /, z dobijmo rzvoj čijih su prvih člov: f b Dt prosimcij se dobij o prcijl sum, zdržvjem smo prv dv čl prosimcije. red: s c Odgovore postvlje pitj ćemo dobiti, u sldu s.9,b, lizom ostt red.8: f R f ξ! / f f,, R,, ξ <. 8 ξ Pošto je ostt red egtiv, iz.9b sledi /

21 s > f tj., dt prosimcij precejuje vredosti posmtre fucije. Tržeu gricu greše ćemo dobiti usvjjem ulte vredosti z epozto ξ, pošto td greš im jveću vredost z eo, usvjjem gorje grice z : R <. 8. S obzirom d je u pitju ltertivi red, z og vži d ostt im z prvog odbčeog čl i d je po psolutoj vredosti mji od jeg, mogli smo postvljei problem rešiti brže i jedostvije, sledeći či. Z prvog odbčeog čl : je očigledo uve egtiv p je s > f. Ko gricu psolute greše uzimmo psolutu vredost prvog odbčeog čl, z griču vredost u posmtrom itervlu: R <.. PRIMER. Odrediti broj člov u Mloreovom redu z cos, čij sum obezbeđuje d proce cos dobije pomoću delimiče sume red im sigure decimle. Iz postvljeog uslov sledi d je dozvolje gric psolute greše prosimcije jed.. Pošto je u pitju ltertivi red: 6 cos!!! 6 isoristićemo osobiu d je greš prosimcije ostt red po psolutoj vredosti mj od prvog odbčeog čl. Treb imti u vidu d se vredost uosi u rdijim i d s obzirom peridičost fucije, z jveću vredost, treb uzeti π. Međutim, sledećim relcijm, osiusi tupih uglov se mogu svesti osius oštrog ugl: cos π, π < π cos cos π, π < π cosπ, π π p je jveć vredost rgumet z oju će se rčuti delimič sum osiusog red, π čime se smjuje greš prosimcije.to će prem uslovu zdt prvi odbčei čl u biti oj z og vži: i odredićemo probjem uz π. : u π! < : u :

22 Dle, eophodo je uzeti prvih člov osiusog red, odoso Mloreov poliom 8 stepe 8 ili prosimciju 8 red. ZADACI. Temperturi profil zid debljie i termiče difuzivosti, oji je bio temperturit, i u jedom mometu t se tempertur leve površie zid z podige T s, tempertur dese z održv T, opis je diferecijlom jedčiom, T T, t z s gričim uslovim: T, t T, T, t T T z, T, s t >, t >, t > < z No smee promeljivih: z < z < t τ, y T T T T, s s, polz jedči se prevodi u bezdimezioi obli, o i griči uslovi: y y, τ τ >, < <, T T, < y s y, t, t > y, t, t > Pozti d je rešeje bezdimezioe jedčie red: si π, τ y T Ts ep π τ π b Disutovti overgeciju dtog red. c Alizirti overgeciju red y, uz pomoć Mthcd-.. Nći itervle psolute overgecije z sledeće redove: b!! c d e. Dozti d je: si <, >

23 b ± l m c 7 9 π. Polzeći od Mloreovog red z cos izvesti Mloreov red z si.. Polzeći od Mloreovog red z espoecijlu fuciju, izvesti Mloreove rzvoje z fucije sius i osius hiperboliči sih i cosh, defiise o: e sih e, e cosh e.6 Izvesti Mloreov red z fuciju l polzeći od biomog red i odredi jegov itervl overgecije..7 Izvesti Mloreove redove z fucije: e b e y z z c si z y d y l z e y f y oristeći rzvoje dte u Tb....8 Izvesti Ojlerovu relciju: ϕ e i cosϕ i si ϕ, i je imgir jediic.9 Izrčuti približe vredosti z e i b, o vredosti Mloreovog e poliom. stepe z espoecijlu fuciju i proceiti grešu.. Koristeći Mloreove poliome izrčuti : Broj e dve sigure decimle, b. Potrebo je približo izrčuti l si s psolutom grešom mjom od. D li se to može izvesti oristeći prcijlu sumu Mloreovog red z fuciju l? b Izrčuti tržeu vredost o sumu prv tri čl red fucije l. Izvršiti prethodu trsformciju d bi se vredosti i 7 mogle izrčuti s željeom tčošću pomoću delimiče sume odbrog overgetog Mloreovog red.. Izvesti sledeće prosimcije :, z <<

24 b b b b b, pri >, << c t, z << u rdijim. Pozti d se veliči toplotog flus, Q roz zid cilidriče cevi dužie, uutršjeg polupeči r i spoljjeg polupreči r : π Q λ T r l r W λ toplot provodljivost mterijl T rzli tempertur spoljje i uutršje površie cevi z cevi većih uutršjih polupreči i mle debljie zid, može približo izrčuti o flus roz rv zid debljie r r : πr Q λ T r r W. Potrebo je približo izrčuti itegrl: I cos d, z mle vredosti. > Izvesti sledeće procee I I I I tržeog itegrl: I, I 6 i uporediti jihove tčosti. i I b Dti geometrijsu iterpretciju veliči I, I i I i jihovih odos. c Izrčuti u Mthcd-u, s precizošću od deciml, vredosti I, I i I z.,.,. i uporediti ih