Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja"

Transcript

1 Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski dokz: Immo prvokut trokut ABC slik Iz vrh C spustimo visiu stricu AB ožište, tj. točku u kojoj visi sječe sticu ozčimo s H. Trokuti CBH, ACH i ABC su sliči > istih omjer u ovom slučju to vidimo iz dv ist kut: kod svkog immo prvi kut, te kutovi u vrhovim A kod ACH i B kod CBH su isti ko i kod ABC. Iz tog uzimmo omjere: AB AC AB BC i > AC AB AH i AC AH BC BH BC AB BH, zrojimo t izrz i doivmo: AC BC AB AH BH > vidimo d su AH i BH zrojei AB p je stvr dokz: AC BC AB.. Heroov formul s s s s c - površi trokut se može izrčuti preko jegovih c stric s ozčv pol opseg, tj. s. Ili je možemo direkto pisti: c c c. 4 Dokz - trigoometrijski: si γ - površi trokut u slučju d je trokut prvokut γ 9 si je, p vrijedi formul z prvokut trokut: Kosiusov poučk: c c cosγ > cosγ U si α cos α uvrstimo gorji cos doivmo:

2 pr > je pr c 4 c si γ cos γ 4 je površi trokut jedk kd zmijeimo si u gorjoj formuli z površiu s ovdje doiveim izrzom: 4 4 c 4 ovj zdji izrz mlo pretum i doije se QED quod ert demostrdum. 4 c 4 c 4 c, te se c c c Dokz d je irciol roj. Z dokz tre rzumjeti skupove rojev N, Z, Q i R, te smještje rojev prvc. N skup prirodih rojev,,, 3, 4,... ulu e uključujemo, iko je mogi uključuju Z skup cijelih rojev,..., -3, -, -,,,, 3,... N mu je podskup Q skup svih rciolih rojev: svki roj koji možemo zpisti pomoću rzlomk:, s time d je Z, N. pome: svki roj iz skup Z se može zpisti ko rzlomk p je Z podskup skup Q R skup relih rojev skup rciolih i irciolih rojev rojevi koji se ikko e mogu zpisti ko rzlomk Dokz d je irciol: Kotrdikcijom: Ustvrdimo suproto d možemo zpisti ko rzlomk tj. ko rciol roj: m, m, N - gdje je to potpuo skrće rzlomk jedii zjedički djelitelj m i je. Kvdrirjem izrz doivmo m i tog slijedi d je m roj svki pr roj kvdrir dje poovo pr roj ko je pr roj možemo g zpisti ko p, kvdrirjem p 4p pr roj tkođer, tj. možemo g zpisti ko m k, k N, uvrštvjem tog gore 4k doivmo d je i roj iz tog proizlzi d se rzlomk još može skrtiti s i tu dolzimo do kotrdikcije > zči d je irciol roj. N rojevom prvcu to izgled ovko: o gustoći posložei: N, Z, Q, R\Q ircioli, R. R je jgušći skup rojevom prvcu i popujv sve točke prvc. Skupovi N, Z, Q su eskočo prerojivi skupovi, dok je R eprerojiv.

3 rerojivost > ko postoji ijekcij između skup N i promtrog skup. Npr. preslikvje skup Z N: ->, ->, - -> 3, -> 4, - -> 5, 3 -> Svojstv zrjj i možej skupu R Q, Z, N. Komuttivost:. Asocijtivost: c c c c 3. Distriutivost oostr možej prem zrjju: c c c c c 4. ostojje eutrlih elemet, ule z zrjje i jediice z možeje: 5. ostojje suprotog roj i iverzog roj: 5. Tlesov poučk o proporciolosti Ukoliko su dužie AB CD AB prlelo CD vrijedi Tlesov teorem o proporciolosti: VA : VC VB : VD VA : AB VC : CD VA : VC AB : CD 6. Teoremi o sličosti trokut - osovi uvjet sličosti je d kutovi ostju sčuvi homotetij. poučk o sličosti trokut: SSS Ako su duljie svih triju stric dvju trokut proporciole, od su ti trokuti sliči: : BB : BB c : cbb. poučk o sličosti kut: SKS Ako se dv trokut podudrju u jedom kutu, strice Uuz tj kutu su proporciole, od su ti trokuti sliči: α αbb, : BB c : cbb 3. poučk o sličosti kut: KK očito je od i treći kut određe Ako se dv trokut podudrju u dv kut, od su ti trokuti sliči: α αbb, β βb 4. poučk o sličosti trokut: SSK Ako su dvije strice dvju trokut proporciole, Ukutovi suprot većoj striciu sukldi, od su ti trokuti sliči: α B αb, : BB : B B > Ukoliko je ilo koji omjer stric u gorjim poučcim o sličosti trokut jedk, tj. d su strice u omjeru iste duljie, ti trokuti su sukldi. 3

4 7. oučk o simetrli uutrjeg kut trokut. Dokz. Simetrl kut sječe suprotu stricu u omjeru jedku omjeru tom kutu susjedih stric: CD : DB AC : AB Dokz: ovučemo simetrlu s simetrlom uutršjeg kut u vrhu A kroz vrh B, p produžimo stricu AC preko vrh A d sječe ovo povučeu simetrlu kroz vrh B u točki E. rvc AB sječe dv prlel prvc BE i AD > kutovi ABE i BAD su sukldi, ztim prvc CE sječe opet ist dv prlel prvc > kutovi CAD i AEB su sukldi. ošto simetrl kroz kut u vrhu A BAC dijeli kut dv jedk dijel iz tog i prethodih zključk slijedi d su kutovi AEB i EBA isti > trokut ABE je jedkokrč. Iz Tlesovog poučk o proporciolosti 5. dokz slijedi CD : DB CA : AE > jedkokrč trokut AB AE CD : DB AC : AB dokzo. 8. Tlesov poučk o oodom kutu d promjerom kružice. Dokz. Oodi kut d promjerom kružice je prvi kut π/ ili 9. Dokz: Zmo d je zroj kutov u trokutu jed dv prv, tj. π. prem tome β π δ i α π γ, zrojimo te dvije jeddže i podijelimo s doivmo d je: β α π δ π γ β α π δ γ/ δ γ je π > β α π / prvi kut. 4

5 9. oučk o oodom i središjem kutu. Dokz. Središji kut slici kut α je dv put veći od oodog kut slici kut β d istim lukom. Dokz: Kut β i α podijelimo s poluprvcem iz točke B kroz točku A: αbb, αbb i βbb, βbb. Trokuti ABC i ADB su jedkokrči AB, AC, AD su rdijusi p slijedi d je αb B βb Bi αb B βbb. Zrojimo t dv izrz doivmo αb B αb B βbb βbb. Time smo dokzli poučk, jer αb B αb B α, βbb βbb β > α β.. Tetivi četverokut. Dokz kriterij s kutovim. Tetivi četverokut je oj četverokut kojemu se sv četiri vrh mogu opisti jedom kružicom strice su mu od tetive te kružice. rimjeri: kvdrt, prvokutik. Dv suprot kut ABC i CDA zroji dju π.. Tgecijli četverokut. Dokz kriterij s stricm. Svojstvo: kriterij s kutovim - zroj suprotih kutov tetivog četverokut je π 8 to su tzv. suplemetri kutovi. Dokz: omoću gore već dokzog poučk o oodom i središjem kutu pokžemo d je kut ABC jedk polovii β ljuičsti dio, te d je CDA jedk polovii od α zelei dio. α β čie pui kut, tj. π. Iz tog slijedi: ABC CDA π /: Četverokut je tgecijli ko mu se može upisti kružic strice su mu od tgete te kružice. Svojstvo: kriterij s stricm - zroj suprotih stric je jedk. Dokz: Središte upise kružice se lzi u sjecištu dijgol kutov. ovučemo okomice iz S strice 5

6 i doivmo 8 trokut. Sukldi su dv i dv KSK, i to SBG i SEB, SAE i SIA, SHD i SDI, SCH i SGC. Iz tog slijedi d su strice BG i EB, GC i CH, HD i DI z, IA i AE u iste duljie. su zrojee suprote strice AB CD, tj. z u jedke AD BC, tj. z u.. Diskrimit kvdrte jeddže. Kvdrt jeddž: c ± 4c Rješeje kvdrte jeddže:, Izrz pod korijeom se zove još i diskrimit kvdrte jeddže: D 4c O diskrimiti ovisi prirod rješej kvdrte jeddže: D > > jeddž im rel rješej D > jeddž im jedo dvostruko relo rješeje 3 D < > jeddž im komplekso-kojugir rješej rješej iz skup C 3. Vieteove formule. Izvod.. D D Zroj rješej kvdrte jeddže :. D D c Umožk: Z poliome -tog stupj stupjev vrijedi isto: Tip: - ovdje predzk lterir: kd je pr predzk je, kd je epr predzk je -. 3 Z poliom 3. stupj: c d c Grfovi liere i kvdrte fukcije. Kko se crtju grfovi vedeih fukcij? Grf Γf fukcije f je skup svih točk s koorditm, f, z sve iz domee Fukcije f. Z rele fukcije: 6

7 Dome područje defiicije fukcije je skup svih relih rojev z koje fukcij dje rel rješej, kodome područje vrijedosti je skup tih rješej. Vertikli test svki prvc okomit os siječe grf fukcije jviše u jedoj točki, iče to ije fukcij ko dje više rješej z jed. Horizotli test kriterij ijektivosti fukcij f je ijektiv ko prvc prlel s -osi sječe jezi grf jviše u jedoj točki. Grf liere fukcije je prvc, koeficijet smjer > fukcij rste, < fukcij pd, kostt, odsječk prvc -osi. Z crtje prvc dovoljo je odrti točke uzmemo rzličit, uvrštvjem u fukciju doivmo i to su te točke ABB,BB i BBB,BB Grf kvdrte fukcije c je prol. Koveks z >, kokv z <. Koveks, > Kokv, < Nultočke su točke grf fukcije koje doijemo tko d uvrstimo, tj. d dir - os. Crtje: odredimo predzk od, odredimo ultočke z prolu, izrčumo koordite tjeme. Uvijek si z pomoć možemo odrediti pr sumičih vrijedosti d i doili više točk kojim prolzi grf te fukcije tlic. 5. Grfovi ekspoecijle i logritmske fukcije. Svojstv potecij e trži se, li doro je zti : 4 >

8 < > > > Ekspoecijl fukcij: f, z sve u skupu R, li poprim smo vrijedosti veće od. Z postje prvc f. Ukoliko je > fukcij je strogo rstuć: f < f, z < < fukcij je strogo pdjuć f > f - t fukcij je simetrič s ozirom os s fukcijom koj im zu /. rolze ovezo točkom,. log f log Logritmsk fukcij je iverz fukcij ekspoecijloj jihovi grfovi su simetriči s ozirom prvc. rem tome dome logritm je već ili jedk i poprim sve rele vrijedosti oruto od eksp.. Nije defiir z! Ostl svojstv su tkođer orut od ekspoecijle i mogu se vidjeti slici. 6. Grfovi trigoometrijskih fukcij Fukcij f si im ultočke u kπ, k Z i period joj je π. π Mksimum fukcije je i to kπ, k Z, miimum - 3π kπ, k Z. π Fukcij f cos im ultočke u kπ, k Z i period joj je π. Mksimum fukcije je i to kπ, k Z, miimum - k π, k Z. Grf siusoide f C si ω ϕ : ϕ - položj ultočke ω 8

9 - prvce miimum i mksimum ozčimo tko d povučemo C i -C π - odredimo duljiu period, podijelimo s 4 d doijemo rzmke ω između ultočk i ekstrem. Grf fukcije možemo crtti ko siusoidu tko d dodmo pol period. Fukcije tges i kotges imju period π. π Nultočke tges su kπ, k Z, kotges kπ, k Z. Vertikle simptote prvci koji omeđuju jed period su kod tges π kπ, k Z, kod kotges kπ, k Z. 7. Svojstv logritm. Dokzi. log ksiom? ili logo:..., /, / log log log sve pod zu doivmo: log log > log log > 9

10 log log log > > log log log log Z ove preostle upotrijeite svojstv pis u 5. zdtku. log log log > log log log > log log > log log log 8. Cvlierijev pricip z geometrijsk tijel. Ako se dv tijel mogu postviti tko d jihovi presjeci s rvim prlelim jedoj zdoj rvii imju jedke površie, od t dv tijel imju jedke oujme. - pomoću tog možemo izrčuti oujm oko kompleksih tijel tko d ih presložimo u jedostvije kojim zmo izrčuti volume. 9. Izvod formule z oujm krje pirmide. Oujm pirmide možemo doiti tko d rstvimo prizmu kojoj zmo izrčuti oujm: Bv 3 iste pirmide. o Cvlierijevom pricipu, ko zmo izrčuti oujm plve pirmide slici, zmo izrčuti volume ilo koje druge pirmide s istom zom i visiom. Od tud slijedi B v opć formul volume pirmide: V. Krj pirmid je pirmid kojoj je s vrh skiut slič, mj pirmid čij je z prlel s zom velike pirmide. v visi krje pirmide od doje ze, B do gorje ze h visi mje pirmide visi velike je od v h v Bze B i su sliči likovi s koeficijetom sličosti: v su omjeri z B : v h : h > h. Oujm krje pirmide je B B v h h oujm velike mje oujm mle, tj. V. Zmijeimo h s gore 3 3 v izrčutim izrzom doivmo: V B B - što je volume krje pirmide. 3 h h, p 3

11 . Defiicije trigoometrijskih fukcij. Trigoometrijske fukcije jlkše defiirmo jediičoj kružici, li i dlje immo umu kko to izgled prvokutom trokutu: siα suprot ktet kutu α, kroz hipoteuz c / rdijus / cosα ktet uz kut α, kroz hipoteuz c / rdijus / tg α suprot kroz ktet uz kut α,, s slike vidimo d se rdi o sličim trokutim p je omjer sčuv, tj. vrijedi / r > tgα ctg α ktet uz kut α, kroz suprot ktet, tkođer se s slike vidi tgα sličost p vrijedi: /r> ctgα u slučju d imte prolem s rzumijevjem ovog projte ovo: HTUhttp://www.gimzij.frih.et/dditiol/trigo_kruzic.html UTH i pročitjte ovo: HTUhttp://e.wikipedi.org/wiki/TrigoometrUTH.. Izvod osovih idetitet kod trigoometrijskih fukcij. si cos, si cos tg i ctg. cos si Do si cos dolzimo preko itgoriog poučk.: c, dijelimo g s c : > c. Sd zmijeimo s si α i c c c c c s cos α doivmo gorji idetitet. c si tg c cos I ctg. cos si c c

12 . Izvod formule: si α β siα cos β si β cosα. Ostle dicijske formule. si α β siα cos β cosα si β cos α β cosα cos β siα si β tgα tgβ tg α β tgαtgβ ctgαctgβ ctg α β ctgα ctgβ si α β siα cos β cosα si β cos α β cosα cos β siα si β tgα tgβ tg α β tgαtgβ ctgαctgβ ctg α β ctgα ctgβ Izvod si α β siα cos β si β cosα : ostvimo prvokut trokut jed drugi ko slici. ovučemo okomicu iz vrh D stricu AB, p iz vrh C okomicu AG. Još smo tre ozčiti koji su kutovi jedki: BAC ACE CDE. DG DE EG DE CB si AD AD AD AD CB AC DE CD si cos cos si AC AD CD AD 3. Trsformcij zroj trigoometrijskih fukcij u umožk i oruto. Izvod formule: si si si cos. α β α β α β α β siα si β si cos siα si β cos si α β α β α β α β cosα cos β cos cos cosα cos β si si si α β si α β tgα tgβ tgα tgβ cosα cos β cosα cos β si β α si β α ctgα ctgβ ctgα ctgβ siα si β siα si β Izvod si si si cos : Zrojimo dvije dicijske formule: si α β siα cos β cosα si β si α β siα cos β cosα si β Doijemo: si α β si α β siα cos β Sd zmijeimo α β, α β i α, β doivmo: si si si cos. 4. oučk o siusim. siusov poučk kod kosokutog trokut Izvod. U svkom trokutu omjeri dulji stric i sius tih suprotih kutov jedki su promjeru trokutu opise kružice:

13 UU UU UU tko je c R siα si β si γ Duzi CD v ozčv visiu spušteu iz točke C. Time je trokut podijelje dv prvokut trokut. Iz slike se vidi d je v si α, što zči d je v siα, li isto v si β. Zči d vrijedi: si β siα, ili. siα si β N potpuo isti či se može c dokzti d je. si β siγ Trokut ABC je prvokut jer je AB promjer kružice. Kut pri vrhu B jedk je kutu pri vrhu D vidi poučk o oodom kutu Zto vrijedi: si β odoso R R si β 5. oučk o kosiusim. kosiusov poučk kod kosokutog trokut Izvod. Kvdrt strice u trokutu jedk je zroju kvdrt drugih dviju stric, umjeom z dvostruki umožk tih stric i kosius kut između jih: c c cosα c c cosβ c cosγ Duži CD je visi iz točke C. Iz slike čitmo d je: AD v c - BD BD c c BD BD BD c c BD BD Iz slike se vidi d je kut uz B jedk cos β zči d je BD cosβ To uvrstimo u gorju formulu i doijemo: UUU UU cuu c cosβ N isti či možemo izvesti i z ostle strice. 3

14 6. Lier komicij vektor. Ako immo vektore,, 3,... jihov jopćeitij lier komicij izgled ovko: k A A A gdje su A i sklri. 7. Liero zvisi i ezvisi vektori. Defiicij: vektor je usmjere duži AB koj im početu točku hvtište i zvršu točku krj, određe je svojom duljiom, smjerom i orijetcijom. Vektori su kolieri ko postoji sklr k tkv d je k. Lier komicij vektor i : α α - α,α - koeficijeti liere komicije u slučju d su o, l. k. Iščezv trivijl či. Dv su vektor liero ezvis ko α α i to užo slijedi iz α α. U suprotom slučju i su liero zvisi i td postoji lier komicij jedk ulvektoru, kojoj svi koeficijeti isu jedki uli. zvisi, s vektorom w su liero ezvisi u i v su i kolieri. N slici: vektori u i v su liero 8. Sklri umožk vektor. ostoje dv či rčuj sklrog umošk: Sklri umožk vektor i je reli roj izos: cos ϕ gdje je kut φ kut između vektor i. Odvde će iti: cos ϕ Rezultt sklrog umošk it će sklr. Sklri umožk vektor u Krtezijevom koorditom sustvu jedk je zroju umožk odgovrjućih, koordit vektor : Svojstv sklrog umošk: Z sve vektore, i c i svki sklr λ koji je iz skup relih rojev vrijedi. ozitivost:. Komuttivost: 3. Homogeost: λ λ 4. Distriutivost: c c c 4

15 9. Vektorski umožk vektor. Vektorski umožk je opercij možej vektor, ko i sklri umožk, smo što rezultt eće iti sklr, već vektor tj. osim rojče vrijedosti zt će mu se i smjer i orijetcij. Vektorski umožk dvju vektor ozčv se ko: čitj: ' eks ' ili vektorski s '. Ako želimo izrčuti smo rojču vrijedost, dovoljo je zti rojču vrijedost vektor i kut između t dv vektor: siϕ. Vlj zpmtiti d će smjer doiveog vektor iti okomit i vektor i vektor. Ako pk želimo zti koordite doiveog vektor u prostorom koorditom sustvu, to možemo doiti preko determite: gdje su BB, BB, i B3B vrijedosti vektor u prostorom koorditom sustvu s osim i, j, i k Npr. počevši od osi i idemo ukoso odozgo prem dolje udeso dok e dođemo do d, p doijemo ibbb3b, td idemo os j gdje će iti jb3bbb, sve dok e dođemo do osi k gdje je kbbbb. D i ilo lkše to možemo rspisti ko: Doivee rezultte zrojimo i kreemo poovo od osi i li ovj put ulijevo. Te rezultte oduzmemo od prvih rezultt p doijemo vrijedosti vektor u prostorom koorditom: 3. Olici jeddže prvc: ekspliciti, impliciti, segmeti, prmetrski i Hesseov ormli zšto?. Impliciti olik: A B C Ako impliciti olik podijelimo s koeficijetom B prevodimo u Stvimo li A C k i l doijemo: B B A B C B Ekspliciti olik: k l gdje l predstvlj udljeost točke u kojoj prvc siječe os i ishodišt s koorditm T,. k je koeficijet smjer prvc i jedk je tgα gdje je α kut koji ztvr prvc s osi. Jeddž prvc koji prolzi točkom T BB, BB glsi k. 5

16 Segmeti olik: m, gdje je m udljeost odsječk točke u kojoj prvc siječe os od ishodišt, je udljeost točke u kojoj prvc siječe os od ishodišt. N slici je to: AO m i BO. rmetrski olik: rvc određe točkom TBBBB,BB i vektorom smjer j c i c c im jeddžu t c t c, gdje je t R po volji odr reli roj. Normli olik: si β cos β d prvc je udlje z d od ishodišt, β kut koji ztvr okomic prvc s osi pozitivom dijelom. 3. Defiicij i izvod jeddže kružice. Kružic s rdijusom r i središtem u točki S, je defiir jeddžom: Zmo formulu z udljeost između dvju točk u koorditom sustvu Udljeost između središt kružice i točke kružici je rdijus te kružice. r, kvdrirjem se doije jeddž kružice r. 3. Defiicij i izvod jeddže elipse. Elips je krivulj z koje je zroj udljeosti od dviju zdih točk fokus stl i jed. Jeddž elipse: - i su poluosi. - lieri ekscetritet: e Izvod: defiicij: d d e e e d e d F F F F, 33. Defiicij i izvod jeddže hiperole. 6

17 Oruto od elipse: Skup točk z koje je rzlik udljeosti od dviju zdih točk fokus stl i jedk. Hiperol kojoj je središte točk S p, q, osi prlele s koorditim osim im p q jeddžu: Izvod isti ko i kod elipse smo drugi predzk između d i d. Ako pogledmo hiperolu, vidimo d se sve više priližv ekim zmišljeim prvcim. Ti su prvci simptote hiperole slici ozčee crveim. Asimptote hiperole imju jeddže: i. 34. Defiicij i izvod jeddže prole. Grf fukcije f c je prol. 4c Tjeme će joj se lziti u točki T,. rol je skup svih točk 4 rvie koje su jedko udljee od jedog čvrstog prvc i jede čvrste točke F koj p e leži tom prvcu. rvc se zove UrvlicU, i jedž mu je, dok su p koordite žrišt F,. 7

18 Duži AT je udlje od rvlice z p, prem defiiciji prole, t vrijedost mor iti jedk dužii FT slici ije zog tehičkih rzlog hh, Cetko, uči koristit Geogeru :, op. 4dY, ko povučemo visiu, o je vrijedost koordite, doijemo prvokut trokut p je to, p zči d p je p. p p Nko kvdrirj doijemo: p p, skrtimo to i 4 4 doijemo jeddžu prole s tjemeom u ishodištu: p. Kd je tjeme u točki VBB,BB jeddž glsi: p. 35. Jeddž tgete kroz zdu točku krivulje kružic, elips, hiperol i prol. Izvodi. Kružic: Jeddž ormle tj. prvc koji prolzi središtem kružice Sp,q i točkom T,, ko zmo T je: q q p jeddž p z prvc kroz dvije točke. q Uoči d je k. p Tget će iti okomit ormlu, p će koeficijet smjer ormle iti egtiv i oruto proporciol koeficijetu smjer tgete: kt k N će jeddž tgete koj prolzi točkom B, iti: 8

19 p ili q p. q Točk B leži kružici p će jeddž z ju vrijediti: p q r Zrojimo ove dvije jeddže i doijemo jeddžu tgete u točki kružici: p p q q r. Elips: Hiperol: p rol: 36. Jeddž tgete kroz zdu točku izv krivulje kružic, elips, hiperol i prol. Izvodi. Do ovih jeddž dolzimo tko d đemo prvc koji zdovoljv uvjet dodir s krivuljom, te d prolzi zdom točkom T,. Npišemo jeddžu tgete: k l, do k i l dolzimo tko d riješimo sustv: primjer z uvjet dodir z kružicu iče se l k l k doiv tko d se riješi sustv od jeddže krivulje i prvc tko d postoji dvostruko r k q kp l rješeje, tj. diskrimit kvdrte jeddže mor iti, pogledj. Elips: k l Hiperol: k l ril: p kl Trslcij koorditog sustv. Koorditi sustv trsltirmo z vektor OO ' pi qi i, j su jediiči vektori, p i q je pomk -, tj. -osi. Iz tog slijedi d su stre koordite jedke: ' p, ' q; ove su ' p, ' q. Jeddž eke krivulje je od F - p, - q. 38. Mtemtičk idukcij. Mtemtičku idukciju koristimo d i dokzli eku tvrdju pretpostvku i to po pricipu d pokžemo d vrijedi z zi, specifič slučj jčešće. Te dokžemo d pretpostvk vrijedi z time smo dokzli d tvrdj vrijedi z sve dljje cijele rojeve. Tri kork: Bz idukcije: provjerimo d vrijedi z roj, tj. z josoviji slučj T 9

20 ostvimo pretpostvku idukcije, tj. pretpostvimo d vrijedi T 3 Kork idukcije: dokžemo d tvrdj vrijedi z slučj, tj. T. 39. Trigoometrijski prikz kompleksog roj. olri sustv. i - defiicij imgire jediice z i - kompleks roj sstoji se od relog dijel, i imgirog z i td je z z Modul ili psolut vrijedost kompleksog roj: z z z ozčv udljeost točke T, od ishodišt koorditog sustv. N -osi se lzi imgiri dio, -osi reli dio kompleksog roj > kompleks rvi ili Gussov rvi. Kompleksi roj jlkše prikzujemo u polrom sustvu, gdje je svk točk defiir s polrim koorditm r rdijus, tj. udljeost od ishodišt i φ kut koji rdijus ztvr s pozitivim dijelom -osi kompleksog roj z. r cosϕ pogledj defiicije trig. fukcij jediičoj kružici. r cosϕ Iz tog slijedi i rcosϕ i siϕ r z, ϕ rgz rgumet od z, tj. ϕ rctg, s time d mormo još odrediti u koji kvdrt pripd jer ov jeddž im rješej s rzlikom od π u itervlu od do π odiremo rješeje koje se lzi u kvdrtu koji je određe predzcim i \ - I. II. - III. IV. 4. otecirje i korjeovje kompleksog roj Moivreov formul. Izvod. r r z r cos ϕ i si ϕ - de Moivreov formul z z rcosϕ i siϕ rcosϕ isiϕ Izvod dokžemo idukcijom 38.: cos ϕ i si ϕ rcosϕ i siϕ r z z r r cos ϕ i si ϕ cos ϕ i si ϕ cos ϕ isi ϕ cos ϕ cosϕ icos ϕ siϕ cosϕ si ϕ siϕ si ϕ r cos ϕ i si ϕ dicijske : r cos ϕ ϕ i si ϕ ϕ r cos ϕ isi ϕ. Dokzo. ϕ kπ ϕ kπ Z korjeovje z r cos isi, k,,..., izvod: iduk. 4. Teorem o uzstopom prerojvju. Ako elemet sbb možemo izrti iz skup SBB BB rzličitih či, ko tog ez ozir to koji smo elemet već izrli elemet sb Biz skup SBB BB či, ko

21 tog sb3b iz skup SB3B 3 či itd., od je ukup roj či izor sbb,sbb,...,sk jedk: N BB BB... BkB rimjer: Koliko je mogo redoslijed koje možemo podijeliti ezlkoholo c pivo Žuj Strog svim učeicim e 4. ko zmo d ih je ilo u rzredu 8 op. Isti - rijetko, li to je služe rojk? rvog možemo odrti 8 či, drugog iziremo od preostlih 7, trećeg od 6,... zdjeg smo jed či, jer je jedii preosto svi ostli su već posložei > ! 4. Vrijcije ez i s povljjem. je k, tj. zivik je! p vrijedi smo!. - vž poredk, elemeti se e povljju Vrijcije s povljjem su zprvo Krtezijev umožk skupov: *Broj rzličitih permutcij skup od elemet izosi! k k k [ k s ] V k S S... S - vž poredk, elemeti se povljju Vrijcije ez povljj: Nko što izeremo jed elemet iz skup više g e uzimmo: V k! primjer u 4. s time d k! 43. Komicije ez povljj.! C k - doivmo roj či koji od skup od elemet k k! k! možemo izvući k elemet e pzeći jihov poredk - doivmo roj rzličitih podskupov s k elemet uzetih iz skup od elemet - ije vž poredk, elemeti se e povljju 44. Biomi poučk. Opis dokz ili idukcijom ili komitoro. Defiirmo prvo fktorijele: !,!! Biomi koeficijet: *simetričosti k k! k! k k Biomi poučk:... Dokz idukcijom: Bz: iko smo mogli uvrstit i

22 retpostvljmo d vrijedi iomi poučk 3 Kork pomožimo s : zmo d je i. Grupirmo člove goreje sume koji imju iste potecije doivmo:... HTUQ.E.D.UTH 45. Aritmetički iz. Defiicij i izvod formule z zroj prvih -člov. Niz je ritmetički, ko je rzlik svkog čl i čl ispred jeg stl i izosi d: BB B- B d ili ko 3 uzstop čl čie ritmetički iz:. Broj d je rzlik diferecij ritmetičkog iz. Aritmetički iz s prvim člom BB i rzlikom d im opći čl: BB BB -d Zroj prvih člov iz može se zpisti dv či: SB B BB BB d BB d... BB -d i ko rojim od krj SBB BB BB - d BB d... BB -d Zrjjući jedkosti doije se: SBB BB BB > SBB BB BB. 46. Geometrijski iz. Defiicij i izvod formule z zroj prvih -člov. BB, BBq, BBq, BBq 3,... Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispred jeg stl: q Broj q ziv se kvocijet geometrijskog iz. Niz je određe ko mu zmo kvocijet i prvi čl. Geometrijski iz s prvim člom BB i kvocijetom q im opći čl: BB BB q - Zog tog će zroj prvih člov iz izositi: SBB BB BBq BBq... BBq - Ako pomožimo SBB s q doijemo: qsbb BBq BBq BBq 3... BBq Oduzimjem tih dviju jedkosti doijemo: SBB qsbb BB BB q odkle slijedi izrz z zroj prvih člov: q q S. 47. Limes iz. Niz je koverget ko im limes u suprotom je diverget.

23 Broj L je limes iz BB ko z svki m koliko mle roj ε > postoji prirodi roj BB tkv d z sve > B Bvrijedi L < ε, tj. još možemo zpist ko L. L lim lim L rimjer:,,,,..., lim iz kovergir u 3 4 Neogričeo rstući izovi e kovergirju, li pišemo d teži u eskočost: lim. rimjer:. Teoremi o limesim: Ako su BB i B Bkovergeti izovi vrijedi: teorem o limesu zroj i rzlike: lim ± lim ± lim 48. Derivcij. teorem o limesu umošk: lim lim lim 3 teorem o limesu kvocijet: lim lim lim 4 teorem o limesu potecije: lim lim lim 5 mootoost limes: ili < lim lim uvjet d su z svki i, lim lim lim rzličiti od Gruo govoreći derivcij fukcije pokzuje kko se mijej prirst fukcije u ekoj točki. Grfički to izgled: što što fukcij strmije rste u smjeru to je derivcij već slici zele tget, što strmije pd to je već u egtivom smjeru crve, ko je u miimumu, mksimumu ili točki ifleksije derivcij je plv tget je u loklom mksimumu. f f f f rirst z eki možemo ozčiti s što reprezetir sektu grfu fukcije f, kko se rzmk smjuje tko sekt prelzi u tgetu u točki, što je ujedo i derivcij fukcije f u toj točki f f df. lim f '. d 3

24 rimjer iz fizike je treut rzi put prevlje u vremeu. Treutč rzi je promje put u vrlo, vrlo krtkom ifiitezimlom vremeu. Do derivcij elemetrih fukcij može se doći uvrštvjem elemetre fukcije u gorju formulu, eke od tkvih derivcij su: ', ', l ', si 'cos, C ' cos 'si, e 'e... ostoje još prvil z derivirje složeih fukcij koj više-mje direkto slijede iz svojstv limes: f g 'f ' g ' f g 'f ' g f g' f f ' g f g' ' g g 49. Itegrl. TODO Dodtk zdci: - Riješi ejeddžu: > < Riješi sustv: > > > t 3 3, t 8t 3 > > t 7, 3 3 t > - Odredi površiu jedkokrčog trpez kojemu je zd dulji dijgole cm i o s većom osovicom ztvr kut 3. Spustimo visiu iz D u točku T strici AB, tu visiu izrčumo preko siα c. AT doijemo rčujući cosα c 7.3. AT*DT Zd je iz: -5, -4.8, -4.6, Kkv je to iz? Koliki je 5. čl tog iz? Koliko člov iz tre zrojiti d se doije? Niz je ritmetički jer je , d , B5 B B B d Iz vio možemo vidjeti d će roj člov ispod ule i izd iti jedk tj. simetričost s ozirom, tj. zdji čl iz će iti 5. Iz tog dolzimo d im 5 člov. 4

25 - Odredi jeddžu elipse kojoj je lieri ekscetricitet 3 i prolzi točkom,4. F F Lieri ekscetritet e 3 i jeddž elipse zdovoljv 4 p uvrstimo u 4 3, p je jeddž elipse 4 - Izrčuj domeu fukcije f log 3. Idemo redom Fukcij će imti. 5 relu domeu ko je izrz ispod korije veći ili jedk : log Slik u zdtku 5. pokzuje kko izgled grf te logritmske fukcije, p vidimo d 3 < 3 <. - Odredi jeddžu tgete hiperole, ko je tget prlel s 8 6 prvcem -. Ako je prlel zči d im isti koeficijet smjer, tj. glsi: l. Tj prvc mor dirti hiperolu u jedoj točki, tj. rješvje sustv tgete i hiperole dje smo rješeje diskrimit. Međutim, immo i gotovu formulu: uvjeti dodir prvc i hiperole: k l > iz tog slijedi d je jeddž tgete. - Koliko je...? Korijee pretvorimo u potecije p doivmo: možemo izrčuti po formuli. U poteciji doijemo geometrijski red, čiju sumu s, jer je koverget. Doivmo: q 5! 49!!! - Izrčuj:.... Dok se skrti doijemo ! 48!!!! 5*5/ U prostoriji je žrulj koliko či možemo osvijetliti sou? - Žrulj može iti ili uplje ili ugše stj, zči ***...* ^ ukupo. ^ jer prostorij ije osvijetlje ko su sve ugšee..... Gor Cetušić i Adrej Dudović revidiro. 8. 5

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

a C 1 ( ) = = = m.

a C 1 ( ) = = = m. Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C =

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINANTE I MATRICE

DETERMINANTE I MATRICE Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2. Rotacija krutog tijela. Kinematika krutog tijela. 11. dio. Kinematika krutog tijela. 1. Translacija krutog tijela. a) Krivocrtna b) Pravocrtna

2. Rotacija krutog tijela. Kinematika krutog tijela. 11. dio. Kinematika krutog tijela. 1. Translacija krutog tijela. a) Krivocrtna b) Pravocrtna Kod kruog ijel udljeosu bilo kojih diju ok ijel osje ijekom gibj epromijeje. Kiemik kruog ijel 11. dio Kiemik gibj: ) kruog šp b) krue ploe c) kruog ijel. Rzlikujemo: ) slobodo ijelo b) eslobodo ijelo

Διαβάστε περισσότερα

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz

Διαβάστε περισσότερα

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka? MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie. ELEMETI LOGIKE I TEORIJE KUPOV IZJVE, VEZICI, KVTIFIKTORI eolio riječi o mtemtičoj logici. Upotrebljvt ćemo pojmove mtemtiče logie li se ećemo jom

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u : Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 001 (Lidija, gimnazija) Predmet visok 10 cm udaljen je 40 cm od tjemena konkavnog sfernog zrcala polumjera

Zadatak 001 (Lidija, gimnazija) Predmet visok 10 cm udaljen je 40 cm od tjemena konkavnog sfernog zrcala polumjera Zdtk (Lidij, gimzij) Predmet isok m udlje je 4 m od tjeme kokog serog zrl polumjer zkriljeosti 5 m. Rčuski odredi položj i eličiu slike. Rješeje y = m, x = 4 m, r = 5 m, x' =?, y' =? Jeddž serog zrl dje

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Fibonaccijev niz u n S n

Fibonaccijev niz u n S n /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 5 FIBONACCIJEV NIZ Fiboccijev iz ZVONIMIR IKIÊ, Zgreb Fiboccijev trik Nπu rsprvu o Fiboccijevom izu poëet Êemo jedim trikom, koji moæete izvesti s grupom uëeik, koleg ili prijtelj:

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke. Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα