Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja
|
|
- Ὑπατος Θεοδοσίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp:// UTH Geometrijski dokz: Immo prvokut trokut ABC slik Iz vrh C spustimo visiu stricu AB ožište, tj. točku u kojoj visi sječe sticu ozčimo s H. Trokuti CBH, ACH i ABC su sliči > istih omjer u ovom slučju to vidimo iz dv ist kut: kod svkog immo prvi kut, te kutovi u vrhovim A kod ACH i B kod CBH su isti ko i kod ABC. Iz tog uzimmo omjere: AB AC AB BC i > AC AB AH i AC AH BC BH BC AB BH, zrojimo t izrz i doivmo: AC BC AB AH BH > vidimo d su AH i BH zrojei AB p je stvr dokz: AC BC AB.. Heroov formul s s s s c - površi trokut se može izrčuti preko jegovih c stric s ozčv pol opseg, tj. s. Ili je možemo direkto pisti: c c c. 4 Dokz - trigoometrijski: si γ - površi trokut u slučju d je trokut prvokut γ 9 si je, p vrijedi formul z prvokut trokut: Kosiusov poučk: c c cosγ > cosγ U si α cos α uvrstimo gorji cos doivmo:
2 pr > je pr c 4 c si γ cos γ 4 je površi trokut jedk kd zmijeimo si u gorjoj formuli z površiu s ovdje doiveim izrzom: 4 4 c 4 ovj zdji izrz mlo pretum i doije se QED quod ert demostrdum. 4 c 4 c 4 c, te se c c c Dokz d je irciol roj. Z dokz tre rzumjeti skupove rojev N, Z, Q i R, te smještje rojev prvc. N skup prirodih rojev,,, 3, 4,... ulu e uključujemo, iko je mogi uključuju Z skup cijelih rojev,..., -3, -, -,,,, 3,... N mu je podskup Q skup svih rciolih rojev: svki roj koji možemo zpisti pomoću rzlomk:, s time d je Z, N. pome: svki roj iz skup Z se može zpisti ko rzlomk p je Z podskup skup Q R skup relih rojev skup rciolih i irciolih rojev rojevi koji se ikko e mogu zpisti ko rzlomk Dokz d je irciol: Kotrdikcijom: Ustvrdimo suproto d možemo zpisti ko rzlomk tj. ko rciol roj: m, m, N - gdje je to potpuo skrće rzlomk jedii zjedički djelitelj m i je. Kvdrirjem izrz doivmo m i tog slijedi d je m roj svki pr roj kvdrir dje poovo pr roj ko je pr roj možemo g zpisti ko p, kvdrirjem p 4p pr roj tkođer, tj. možemo g zpisti ko m k, k N, uvrštvjem tog gore 4k doivmo d je i roj iz tog proizlzi d se rzlomk još može skrtiti s i tu dolzimo do kotrdikcije > zči d je irciol roj. N rojevom prvcu to izgled ovko: o gustoći posložei: N, Z, Q, R\Q ircioli, R. R je jgušći skup rojevom prvcu i popujv sve točke prvc. Skupovi N, Z, Q su eskočo prerojivi skupovi, dok je R eprerojiv.
3 rerojivost > ko postoji ijekcij između skup N i promtrog skup. Npr. preslikvje skup Z N: ->, ->, - -> 3, -> 4, - -> 5, 3 -> Svojstv zrjj i možej skupu R Q, Z, N. Komuttivost:. Asocijtivost: c c c c 3. Distriutivost oostr možej prem zrjju: c c c c c 4. ostojje eutrlih elemet, ule z zrjje i jediice z možeje: 5. ostojje suprotog roj i iverzog roj: 5. Tlesov poučk o proporciolosti Ukoliko su dužie AB CD AB prlelo CD vrijedi Tlesov teorem o proporciolosti: VA : VC VB : VD VA : AB VC : CD VA : VC AB : CD 6. Teoremi o sličosti trokut - osovi uvjet sličosti je d kutovi ostju sčuvi homotetij. poučk o sličosti trokut: SSS Ako su duljie svih triju stric dvju trokut proporciole, od su ti trokuti sliči: : BB : BB c : cbb. poučk o sličosti kut: SKS Ako se dv trokut podudrju u jedom kutu, strice Uuz tj kutu su proporciole, od su ti trokuti sliči: α αbb, : BB c : cbb 3. poučk o sličosti kut: KK očito je od i treći kut određe Ako se dv trokut podudrju u dv kut, od su ti trokuti sliči: α αbb, β βb 4. poučk o sličosti trokut: SSK Ako su dvije strice dvju trokut proporciole, Ukutovi suprot većoj striciu sukldi, od su ti trokuti sliči: α B αb, : BB : B B > Ukoliko je ilo koji omjer stric u gorjim poučcim o sličosti trokut jedk, tj. d su strice u omjeru iste duljie, ti trokuti su sukldi. 3
4 7. oučk o simetrli uutrjeg kut trokut. Dokz. Simetrl kut sječe suprotu stricu u omjeru jedku omjeru tom kutu susjedih stric: CD : DB AC : AB Dokz: ovučemo simetrlu s simetrlom uutršjeg kut u vrhu A kroz vrh B, p produžimo stricu AC preko vrh A d sječe ovo povučeu simetrlu kroz vrh B u točki E. rvc AB sječe dv prlel prvc BE i AD > kutovi ABE i BAD su sukldi, ztim prvc CE sječe opet ist dv prlel prvc > kutovi CAD i AEB su sukldi. ošto simetrl kroz kut u vrhu A BAC dijeli kut dv jedk dijel iz tog i prethodih zključk slijedi d su kutovi AEB i EBA isti > trokut ABE je jedkokrč. Iz Tlesovog poučk o proporciolosti 5. dokz slijedi CD : DB CA : AE > jedkokrč trokut AB AE CD : DB AC : AB dokzo. 8. Tlesov poučk o oodom kutu d promjerom kružice. Dokz. Oodi kut d promjerom kružice je prvi kut π/ ili 9. Dokz: Zmo d je zroj kutov u trokutu jed dv prv, tj. π. prem tome β π δ i α π γ, zrojimo te dvije jeddže i podijelimo s doivmo d je: β α π δ π γ β α π δ γ/ δ γ je π > β α π / prvi kut. 4
5 9. oučk o oodom i središjem kutu. Dokz. Središji kut slici kut α je dv put veći od oodog kut slici kut β d istim lukom. Dokz: Kut β i α podijelimo s poluprvcem iz točke B kroz točku A: αbb, αbb i βbb, βbb. Trokuti ABC i ADB su jedkokrči AB, AC, AD su rdijusi p slijedi d je αb B βb Bi αb B βbb. Zrojimo t dv izrz doivmo αb B αb B βbb βbb. Time smo dokzli poučk, jer αb B αb B α, βbb βbb β > α β.. Tetivi četverokut. Dokz kriterij s kutovim. Tetivi četverokut je oj četverokut kojemu se sv četiri vrh mogu opisti jedom kružicom strice su mu od tetive te kružice. rimjeri: kvdrt, prvokutik. Dv suprot kut ABC i CDA zroji dju π.. Tgecijli četverokut. Dokz kriterij s stricm. Svojstvo: kriterij s kutovim - zroj suprotih kutov tetivog četverokut je π 8 to su tzv. suplemetri kutovi. Dokz: omoću gore već dokzog poučk o oodom i središjem kutu pokžemo d je kut ABC jedk polovii β ljuičsti dio, te d je CDA jedk polovii od α zelei dio. α β čie pui kut, tj. π. Iz tog slijedi: ABC CDA π /: Četverokut je tgecijli ko mu se može upisti kružic strice su mu od tgete te kružice. Svojstvo: kriterij s stricm - zroj suprotih stric je jedk. Dokz: Središte upise kružice se lzi u sjecištu dijgol kutov. ovučemo okomice iz S strice 5
6 i doivmo 8 trokut. Sukldi su dv i dv KSK, i to SBG i SEB, SAE i SIA, SHD i SDI, SCH i SGC. Iz tog slijedi d su strice BG i EB, GC i CH, HD i DI z, IA i AE u iste duljie. su zrojee suprote strice AB CD, tj. z u jedke AD BC, tj. z u.. Diskrimit kvdrte jeddže. Kvdrt jeddž: c ± 4c Rješeje kvdrte jeddže:, Izrz pod korijeom se zove još i diskrimit kvdrte jeddže: D 4c O diskrimiti ovisi prirod rješej kvdrte jeddže: D > > jeddž im rel rješej D > jeddž im jedo dvostruko relo rješeje 3 D < > jeddž im komplekso-kojugir rješej rješej iz skup C 3. Vieteove formule. Izvod.. D D Zroj rješej kvdrte jeddže :. D D c Umožk: Z poliome -tog stupj stupjev vrijedi isto: Tip: - ovdje predzk lterir: kd je pr predzk je, kd je epr predzk je -. 3 Z poliom 3. stupj: c d c Grfovi liere i kvdrte fukcije. Kko se crtju grfovi vedeih fukcij? Grf Γf fukcije f je skup svih točk s koorditm, f, z sve iz domee Fukcije f. Z rele fukcije: 6
7 Dome područje defiicije fukcije je skup svih relih rojev z koje fukcij dje rel rješej, kodome područje vrijedosti je skup tih rješej. Vertikli test svki prvc okomit os siječe grf fukcije jviše u jedoj točki, iče to ije fukcij ko dje više rješej z jed. Horizotli test kriterij ijektivosti fukcij f je ijektiv ko prvc prlel s -osi sječe jezi grf jviše u jedoj točki. Grf liere fukcije je prvc, koeficijet smjer > fukcij rste, < fukcij pd, kostt, odsječk prvc -osi. Z crtje prvc dovoljo je odrti točke uzmemo rzličit, uvrštvjem u fukciju doivmo i to su te točke ABB,BB i BBB,BB Grf kvdrte fukcije c je prol. Koveks z >, kokv z <. Koveks, > Kokv, < Nultočke su točke grf fukcije koje doijemo tko d uvrstimo, tj. d dir - os. Crtje: odredimo predzk od, odredimo ultočke z prolu, izrčumo koordite tjeme. Uvijek si z pomoć možemo odrediti pr sumičih vrijedosti d i doili više točk kojim prolzi grf te fukcije tlic. 5. Grfovi ekspoecijle i logritmske fukcije. Svojstv potecij e trži se, li doro je zti : 4 >
8 < > > > Ekspoecijl fukcij: f, z sve u skupu R, li poprim smo vrijedosti veće od. Z postje prvc f. Ukoliko je > fukcij je strogo rstuć: f < f, z < < fukcij je strogo pdjuć f > f - t fukcij je simetrič s ozirom os s fukcijom koj im zu /. rolze ovezo točkom,. log f log Logritmsk fukcij je iverz fukcij ekspoecijloj jihovi grfovi su simetriči s ozirom prvc. rem tome dome logritm je već ili jedk i poprim sve rele vrijedosti oruto od eksp.. Nije defiir z! Ostl svojstv su tkođer orut od ekspoecijle i mogu se vidjeti slici. 6. Grfovi trigoometrijskih fukcij Fukcij f si im ultočke u kπ, k Z i period joj je π. π Mksimum fukcije je i to kπ, k Z, miimum - 3π kπ, k Z. π Fukcij f cos im ultočke u kπ, k Z i period joj je π. Mksimum fukcije je i to kπ, k Z, miimum - k π, k Z. Grf siusoide f C si ω ϕ : ϕ - položj ultočke ω 8
9 - prvce miimum i mksimum ozčimo tko d povučemo C i -C π - odredimo duljiu period, podijelimo s 4 d doijemo rzmke ω između ultočk i ekstrem. Grf fukcije možemo crtti ko siusoidu tko d dodmo pol period. Fukcije tges i kotges imju period π. π Nultočke tges su kπ, k Z, kotges kπ, k Z. Vertikle simptote prvci koji omeđuju jed period su kod tges π kπ, k Z, kod kotges kπ, k Z. 7. Svojstv logritm. Dokzi. log ksiom? ili logo:..., /, / log log log sve pod zu doivmo: log log > log log > 9
10 log log log > > log log log log Z ove preostle upotrijeite svojstv pis u 5. zdtku. log log log > log log log > log log > log log log 8. Cvlierijev pricip z geometrijsk tijel. Ako se dv tijel mogu postviti tko d jihovi presjeci s rvim prlelim jedoj zdoj rvii imju jedke površie, od t dv tijel imju jedke oujme. - pomoću tog možemo izrčuti oujm oko kompleksih tijel tko d ih presložimo u jedostvije kojim zmo izrčuti volume. 9. Izvod formule z oujm krje pirmide. Oujm pirmide možemo doiti tko d rstvimo prizmu kojoj zmo izrčuti oujm: Bv 3 iste pirmide. o Cvlierijevom pricipu, ko zmo izrčuti oujm plve pirmide slici, zmo izrčuti volume ilo koje druge pirmide s istom zom i visiom. Od tud slijedi B v opć formul volume pirmide: V. Krj pirmid je pirmid kojoj je s vrh skiut slič, mj pirmid čij je z prlel s zom velike pirmide. v visi krje pirmide od doje ze, B do gorje ze h visi mje pirmide visi velike je od v h v Bze B i su sliči likovi s koeficijetom sličosti: v su omjeri z B : v h : h > h. Oujm krje pirmide je B B v h h oujm velike mje oujm mle, tj. V. Zmijeimo h s gore 3 3 v izrčutim izrzom doivmo: V B B - što je volume krje pirmide. 3 h h, p 3
11 . Defiicije trigoometrijskih fukcij. Trigoometrijske fukcije jlkše defiirmo jediičoj kružici, li i dlje immo umu kko to izgled prvokutom trokutu: siα suprot ktet kutu α, kroz hipoteuz c / rdijus / cosα ktet uz kut α, kroz hipoteuz c / rdijus / tg α suprot kroz ktet uz kut α,, s slike vidimo d se rdi o sličim trokutim p je omjer sčuv, tj. vrijedi / r > tgα ctg α ktet uz kut α, kroz suprot ktet, tkođer se s slike vidi tgα sličost p vrijedi: /r> ctgα u slučju d imte prolem s rzumijevjem ovog projte ovo: HTUhttp:// UTH i pročitjte ovo: HTUhttp://e.wikipedi.org/wiki/TrigoometrUTH.. Izvod osovih idetitet kod trigoometrijskih fukcij. si cos, si cos tg i ctg. cos si Do si cos dolzimo preko itgoriog poučk.: c, dijelimo g s c : > c. Sd zmijeimo s si α i c c c c c s cos α doivmo gorji idetitet. c si tg c cos I ctg. cos si c c
12 . Izvod formule: si α β siα cos β si β cosα. Ostle dicijske formule. si α β siα cos β cosα si β cos α β cosα cos β siα si β tgα tgβ tg α β tgαtgβ ctgαctgβ ctg α β ctgα ctgβ si α β siα cos β cosα si β cos α β cosα cos β siα si β tgα tgβ tg α β tgαtgβ ctgαctgβ ctg α β ctgα ctgβ Izvod si α β siα cos β si β cosα : ostvimo prvokut trokut jed drugi ko slici. ovučemo okomicu iz vrh D stricu AB, p iz vrh C okomicu AG. Još smo tre ozčiti koji su kutovi jedki: BAC ACE CDE. DG DE EG DE CB si AD AD AD AD CB AC DE CD si cos cos si AC AD CD AD 3. Trsformcij zroj trigoometrijskih fukcij u umožk i oruto. Izvod formule: si si si cos. α β α β α β α β siα si β si cos siα si β cos si α β α β α β α β cosα cos β cos cos cosα cos β si si si α β si α β tgα tgβ tgα tgβ cosα cos β cosα cos β si β α si β α ctgα ctgβ ctgα ctgβ siα si β siα si β Izvod si si si cos : Zrojimo dvije dicijske formule: si α β siα cos β cosα si β si α β siα cos β cosα si β Doijemo: si α β si α β siα cos β Sd zmijeimo α β, α β i α, β doivmo: si si si cos. 4. oučk o siusim. siusov poučk kod kosokutog trokut Izvod. U svkom trokutu omjeri dulji stric i sius tih suprotih kutov jedki su promjeru trokutu opise kružice:
13 UU UU UU tko je c R siα si β si γ Duzi CD v ozčv visiu spušteu iz točke C. Time je trokut podijelje dv prvokut trokut. Iz slike se vidi d je v si α, što zči d je v siα, li isto v si β. Zči d vrijedi: si β siα, ili. siα si β N potpuo isti či se može c dokzti d je. si β siγ Trokut ABC je prvokut jer je AB promjer kružice. Kut pri vrhu B jedk je kutu pri vrhu D vidi poučk o oodom kutu Zto vrijedi: si β odoso R R si β 5. oučk o kosiusim. kosiusov poučk kod kosokutog trokut Izvod. Kvdrt strice u trokutu jedk je zroju kvdrt drugih dviju stric, umjeom z dvostruki umožk tih stric i kosius kut između jih: c c cosα c c cosβ c cosγ Duži CD je visi iz točke C. Iz slike čitmo d je: AD v c - BD BD c c BD BD BD c c BD BD Iz slike se vidi d je kut uz B jedk cos β zči d je BD cosβ To uvrstimo u gorju formulu i doijemo: UUU UU cuu c cosβ N isti či možemo izvesti i z ostle strice. 3
14 6. Lier komicij vektor. Ako immo vektore,, 3,... jihov jopćeitij lier komicij izgled ovko: k A A A gdje su A i sklri. 7. Liero zvisi i ezvisi vektori. Defiicij: vektor je usmjere duži AB koj im početu točku hvtište i zvršu točku krj, određe je svojom duljiom, smjerom i orijetcijom. Vektori su kolieri ko postoji sklr k tkv d je k. Lier komicij vektor i : α α - α,α - koeficijeti liere komicije u slučju d su o, l. k. Iščezv trivijl či. Dv su vektor liero ezvis ko α α i to užo slijedi iz α α. U suprotom slučju i su liero zvisi i td postoji lier komicij jedk ulvektoru, kojoj svi koeficijeti isu jedki uli. zvisi, s vektorom w su liero ezvisi u i v su i kolieri. N slici: vektori u i v su liero 8. Sklri umožk vektor. ostoje dv či rčuj sklrog umošk: Sklri umožk vektor i je reli roj izos: cos ϕ gdje je kut φ kut između vektor i. Odvde će iti: cos ϕ Rezultt sklrog umošk it će sklr. Sklri umožk vektor u Krtezijevom koorditom sustvu jedk je zroju umožk odgovrjućih, koordit vektor : Svojstv sklrog umošk: Z sve vektore, i c i svki sklr λ koji je iz skup relih rojev vrijedi. ozitivost:. Komuttivost: 3. Homogeost: λ λ 4. Distriutivost: c c c 4
15 9. Vektorski umožk vektor. Vektorski umožk je opercij možej vektor, ko i sklri umožk, smo što rezultt eće iti sklr, već vektor tj. osim rojče vrijedosti zt će mu se i smjer i orijetcij. Vektorski umožk dvju vektor ozčv se ko: čitj: ' eks ' ili vektorski s '. Ako želimo izrčuti smo rojču vrijedost, dovoljo je zti rojču vrijedost vektor i kut između t dv vektor: siϕ. Vlj zpmtiti d će smjer doiveog vektor iti okomit i vektor i vektor. Ako pk želimo zti koordite doiveog vektor u prostorom koorditom sustvu, to možemo doiti preko determite: gdje su BB, BB, i B3B vrijedosti vektor u prostorom koorditom sustvu s osim i, j, i k Npr. počevši od osi i idemo ukoso odozgo prem dolje udeso dok e dođemo do d, p doijemo ibbb3b, td idemo os j gdje će iti jb3bbb, sve dok e dođemo do osi k gdje je kbbbb. D i ilo lkše to možemo rspisti ko: Doivee rezultte zrojimo i kreemo poovo od osi i li ovj put ulijevo. Te rezultte oduzmemo od prvih rezultt p doijemo vrijedosti vektor u prostorom koorditom: 3. Olici jeddže prvc: ekspliciti, impliciti, segmeti, prmetrski i Hesseov ormli zšto?. Impliciti olik: A B C Ako impliciti olik podijelimo s koeficijetom B prevodimo u Stvimo li A C k i l doijemo: B B A B C B Ekspliciti olik: k l gdje l predstvlj udljeost točke u kojoj prvc siječe os i ishodišt s koorditm T,. k je koeficijet smjer prvc i jedk je tgα gdje je α kut koji ztvr prvc s osi. Jeddž prvc koji prolzi točkom T BB, BB glsi k. 5
16 Segmeti olik: m, gdje je m udljeost odsječk točke u kojoj prvc siječe os od ishodišt, je udljeost točke u kojoj prvc siječe os od ishodišt. N slici je to: AO m i BO. rmetrski olik: rvc određe točkom TBBBB,BB i vektorom smjer j c i c c im jeddžu t c t c, gdje je t R po volji odr reli roj. Normli olik: si β cos β d prvc je udlje z d od ishodišt, β kut koji ztvr okomic prvc s osi pozitivom dijelom. 3. Defiicij i izvod jeddže kružice. Kružic s rdijusom r i središtem u točki S, je defiir jeddžom: Zmo formulu z udljeost između dvju točk u koorditom sustvu Udljeost između središt kružice i točke kružici je rdijus te kružice. r, kvdrirjem se doije jeddž kružice r. 3. Defiicij i izvod jeddže elipse. Elips je krivulj z koje je zroj udljeosti od dviju zdih točk fokus stl i jed. Jeddž elipse: - i su poluosi. - lieri ekscetritet: e Izvod: defiicij: d d e e e d e d F F F F, 33. Defiicij i izvod jeddže hiperole. 6
17 Oruto od elipse: Skup točk z koje je rzlik udljeosti od dviju zdih točk fokus stl i jedk. Hiperol kojoj je središte točk S p, q, osi prlele s koorditim osim im p q jeddžu: Izvod isti ko i kod elipse smo drugi predzk između d i d. Ako pogledmo hiperolu, vidimo d se sve više priližv ekim zmišljeim prvcim. Ti su prvci simptote hiperole slici ozčee crveim. Asimptote hiperole imju jeddže: i. 34. Defiicij i izvod jeddže prole. Grf fukcije f c je prol. 4c Tjeme će joj se lziti u točki T,. rol je skup svih točk 4 rvie koje su jedko udljee od jedog čvrstog prvc i jede čvrste točke F koj p e leži tom prvcu. rvc se zove UrvlicU, i jedž mu je, dok su p koordite žrišt F,. 7
18 Duži AT je udlje od rvlice z p, prem defiiciji prole, t vrijedost mor iti jedk dužii FT slici ije zog tehičkih rzlog hh, Cetko, uči koristit Geogeru :, op. 4dY, ko povučemo visiu, o je vrijedost koordite, doijemo prvokut trokut p je to, p zči d p je p. p p Nko kvdrirj doijemo: p p, skrtimo to i 4 4 doijemo jeddžu prole s tjemeom u ishodištu: p. Kd je tjeme u točki VBB,BB jeddž glsi: p. 35. Jeddž tgete kroz zdu točku krivulje kružic, elips, hiperol i prol. Izvodi. Kružic: Jeddž ormle tj. prvc koji prolzi središtem kružice Sp,q i točkom T,, ko zmo T je: q q p jeddž p z prvc kroz dvije točke. q Uoči d je k. p Tget će iti okomit ormlu, p će koeficijet smjer ormle iti egtiv i oruto proporciol koeficijetu smjer tgete: kt k N će jeddž tgete koj prolzi točkom B, iti: 8
19 p ili q p. q Točk B leži kružici p će jeddž z ju vrijediti: p q r Zrojimo ove dvije jeddže i doijemo jeddžu tgete u točki kružici: p p q q r. Elips: Hiperol: p rol: 36. Jeddž tgete kroz zdu točku izv krivulje kružic, elips, hiperol i prol. Izvodi. Do ovih jeddž dolzimo tko d đemo prvc koji zdovoljv uvjet dodir s krivuljom, te d prolzi zdom točkom T,. Npišemo jeddžu tgete: k l, do k i l dolzimo tko d riješimo sustv: primjer z uvjet dodir z kružicu iče se l k l k doiv tko d se riješi sustv od jeddže krivulje i prvc tko d postoji dvostruko r k q kp l rješeje, tj. diskrimit kvdrte jeddže mor iti, pogledj. Elips: k l Hiperol: k l ril: p kl Trslcij koorditog sustv. Koorditi sustv trsltirmo z vektor OO ' pi qi i, j su jediiči vektori, p i q je pomk -, tj. -osi. Iz tog slijedi d su stre koordite jedke: ' p, ' q; ove su ' p, ' q. Jeddž eke krivulje je od F - p, - q. 38. Mtemtičk idukcij. Mtemtičku idukciju koristimo d i dokzli eku tvrdju pretpostvku i to po pricipu d pokžemo d vrijedi z zi, specifič slučj jčešće. Te dokžemo d pretpostvk vrijedi z time smo dokzli d tvrdj vrijedi z sve dljje cijele rojeve. Tri kork: Bz idukcije: provjerimo d vrijedi z roj, tj. z josoviji slučj T 9
20 ostvimo pretpostvku idukcije, tj. pretpostvimo d vrijedi T 3 Kork idukcije: dokžemo d tvrdj vrijedi z slučj, tj. T. 39. Trigoometrijski prikz kompleksog roj. olri sustv. i - defiicij imgire jediice z i - kompleks roj sstoji se od relog dijel, i imgirog z i td je z z Modul ili psolut vrijedost kompleksog roj: z z z ozčv udljeost točke T, od ishodišt koorditog sustv. N -osi se lzi imgiri dio, -osi reli dio kompleksog roj > kompleks rvi ili Gussov rvi. Kompleksi roj jlkše prikzujemo u polrom sustvu, gdje je svk točk defiir s polrim koorditm r rdijus, tj. udljeost od ishodišt i φ kut koji rdijus ztvr s pozitivim dijelom -osi kompleksog roj z. r cosϕ pogledj defiicije trig. fukcij jediičoj kružici. r cosϕ Iz tog slijedi i rcosϕ i siϕ r z, ϕ rgz rgumet od z, tj. ϕ rctg, s time d mormo još odrediti u koji kvdrt pripd jer ov jeddž im rješej s rzlikom od π u itervlu od do π odiremo rješeje koje se lzi u kvdrtu koji je određe predzcim i \ - I. II. - III. IV. 4. otecirje i korjeovje kompleksog roj Moivreov formul. Izvod. r r z r cos ϕ i si ϕ - de Moivreov formul z z rcosϕ i siϕ rcosϕ isiϕ Izvod dokžemo idukcijom 38.: cos ϕ i si ϕ rcosϕ i siϕ r z z r r cos ϕ i si ϕ cos ϕ i si ϕ cos ϕ isi ϕ cos ϕ cosϕ icos ϕ siϕ cosϕ si ϕ siϕ si ϕ r cos ϕ i si ϕ dicijske : r cos ϕ ϕ i si ϕ ϕ r cos ϕ isi ϕ. Dokzo. ϕ kπ ϕ kπ Z korjeovje z r cos isi, k,,..., izvod: iduk. 4. Teorem o uzstopom prerojvju. Ako elemet sbb možemo izrti iz skup SBB BB rzličitih či, ko tog ez ozir to koji smo elemet već izrli elemet sb Biz skup SBB BB či, ko
21 tog sb3b iz skup SB3B 3 či itd., od je ukup roj či izor sbb,sbb,...,sk jedk: N BB BB... BkB rimjer: Koliko je mogo redoslijed koje možemo podijeliti ezlkoholo c pivo Žuj Strog svim učeicim e 4. ko zmo d ih je ilo u rzredu 8 op. Isti - rijetko, li to je služe rojk? rvog možemo odrti 8 či, drugog iziremo od preostlih 7, trećeg od 6,... zdjeg smo jed či, jer je jedii preosto svi ostli su već posložei > ! 4. Vrijcije ez i s povljjem. je k, tj. zivik je! p vrijedi smo!. - vž poredk, elemeti se e povljju Vrijcije s povljjem su zprvo Krtezijev umožk skupov: *Broj rzličitih permutcij skup od elemet izosi! k k k [ k s ] V k S S... S - vž poredk, elemeti se povljju Vrijcije ez povljj: Nko što izeremo jed elemet iz skup više g e uzimmo: V k! primjer u 4. s time d k! 43. Komicije ez povljj.! C k - doivmo roj či koji od skup od elemet k k! k! možemo izvući k elemet e pzeći jihov poredk - doivmo roj rzličitih podskupov s k elemet uzetih iz skup od elemet - ije vž poredk, elemeti se e povljju 44. Biomi poučk. Opis dokz ili idukcijom ili komitoro. Defiirmo prvo fktorijele: !,!! Biomi koeficijet: *simetričosti k k! k! k k Biomi poučk:... Dokz idukcijom: Bz: iko smo mogli uvrstit i
22 retpostvljmo d vrijedi iomi poučk 3 Kork pomožimo s : zmo d je i. Grupirmo člove goreje sume koji imju iste potecije doivmo:... HTUQ.E.D.UTH 45. Aritmetički iz. Defiicij i izvod formule z zroj prvih -člov. Niz je ritmetički, ko je rzlik svkog čl i čl ispred jeg stl i izosi d: BB B- B d ili ko 3 uzstop čl čie ritmetički iz:. Broj d je rzlik diferecij ritmetičkog iz. Aritmetički iz s prvim člom BB i rzlikom d im opći čl: BB BB -d Zroj prvih člov iz može se zpisti dv či: SB B BB BB d BB d... BB -d i ko rojim od krj SBB BB BB - d BB d... BB -d Zrjjući jedkosti doije se: SBB BB BB > SBB BB BB. 46. Geometrijski iz. Defiicij i izvod formule z zroj prvih -člov. BB, BBq, BBq, BBq 3,... Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispred jeg stl: q Broj q ziv se kvocijet geometrijskog iz. Niz je određe ko mu zmo kvocijet i prvi čl. Geometrijski iz s prvim člom BB i kvocijetom q im opći čl: BB BB q - Zog tog će zroj prvih člov iz izositi: SBB BB BBq BBq... BBq - Ako pomožimo SBB s q doijemo: qsbb BBq BBq BBq 3... BBq Oduzimjem tih dviju jedkosti doijemo: SBB qsbb BB BB q odkle slijedi izrz z zroj prvih člov: q q S. 47. Limes iz. Niz je koverget ko im limes u suprotom je diverget.
23 Broj L je limes iz BB ko z svki m koliko mle roj ε > postoji prirodi roj BB tkv d z sve > B Bvrijedi L < ε, tj. još možemo zpist ko L. L lim lim L rimjer:,,,,..., lim iz kovergir u 3 4 Neogričeo rstući izovi e kovergirju, li pišemo d teži u eskočost: lim. rimjer:. Teoremi o limesim: Ako su BB i B Bkovergeti izovi vrijedi: teorem o limesu zroj i rzlike: lim ± lim ± lim 48. Derivcij. teorem o limesu umošk: lim lim lim 3 teorem o limesu kvocijet: lim lim lim 4 teorem o limesu potecije: lim lim lim 5 mootoost limes: ili < lim lim uvjet d su z svki i, lim lim lim rzličiti od Gruo govoreći derivcij fukcije pokzuje kko se mijej prirst fukcije u ekoj točki. Grfički to izgled: što što fukcij strmije rste u smjeru to je derivcij već slici zele tget, što strmije pd to je već u egtivom smjeru crve, ko je u miimumu, mksimumu ili točki ifleksije derivcij je plv tget je u loklom mksimumu. f f f f rirst z eki možemo ozčiti s što reprezetir sektu grfu fukcije f, kko se rzmk smjuje tko sekt prelzi u tgetu u točki, što je ujedo i derivcij fukcije f u toj točki f f df. lim f '. d 3
24 rimjer iz fizike je treut rzi put prevlje u vremeu. Treutč rzi je promje put u vrlo, vrlo krtkom ifiitezimlom vremeu. Do derivcij elemetrih fukcij može se doći uvrštvjem elemetre fukcije u gorju formulu, eke od tkvih derivcij su: ', ', l ', si 'cos, C ' cos 'si, e 'e... ostoje još prvil z derivirje složeih fukcij koj više-mje direkto slijede iz svojstv limes: f g 'f ' g ' f g 'f ' g f g' f f ' g f g' ' g g 49. Itegrl. TODO Dodtk zdci: - Riješi ejeddžu: > < Riješi sustv: > > > t 3 3, t 8t 3 > > t 7, 3 3 t > - Odredi površiu jedkokrčog trpez kojemu je zd dulji dijgole cm i o s većom osovicom ztvr kut 3. Spustimo visiu iz D u točku T strici AB, tu visiu izrčumo preko siα c. AT doijemo rčujući cosα c 7.3. AT*DT Zd je iz: -5, -4.8, -4.6, Kkv je to iz? Koliki je 5. čl tog iz? Koliko člov iz tre zrojiti d se doije? Niz je ritmetički jer je , d , B5 B B B d Iz vio možemo vidjeti d će roj člov ispod ule i izd iti jedk tj. simetričost s ozirom, tj. zdji čl iz će iti 5. Iz tog dolzimo d im 5 člov. 4
25 - Odredi jeddžu elipse kojoj je lieri ekscetricitet 3 i prolzi točkom,4. F F Lieri ekscetritet e 3 i jeddž elipse zdovoljv 4 p uvrstimo u 4 3, p je jeddž elipse 4 - Izrčuj domeu fukcije f log 3. Idemo redom Fukcij će imti. 5 relu domeu ko je izrz ispod korije veći ili jedk : log Slik u zdtku 5. pokzuje kko izgled grf te logritmske fukcije, p vidimo d 3 < 3 <. - Odredi jeddžu tgete hiperole, ko je tget prlel s 8 6 prvcem -. Ako je prlel zči d im isti koeficijet smjer, tj. glsi: l. Tj prvc mor dirti hiperolu u jedoj točki, tj. rješvje sustv tgete i hiperole dje smo rješeje diskrimit. Međutim, immo i gotovu formulu: uvjeti dodir prvc i hiperole: k l > iz tog slijedi d je jeddž tgete. - Koliko je...? Korijee pretvorimo u potecije p doivmo: možemo izrčuti po formuli. U poteciji doijemo geometrijski red, čiju sumu s, jer je koverget. Doivmo: q 5! 49!!! - Izrčuj:.... Dok se skrti doijemo ! 48!!!! 5*5/ U prostoriji je žrulj koliko či možemo osvijetliti sou? - Žrulj može iti ili uplje ili ugše stj, zči ***...* ^ ukupo. ^ jer prostorij ije osvijetlje ko su sve ugšee..... Gor Cetušić i Adrej Dudović revidiro. 8. 5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότερα7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ )
X. gimzij Iv Supek Zgre, Klićev 7. lipj 000. godie Mturl zdć iz mtemtike Rješej zdtk. ) Riješi jeddžu 7 Rješeje: Njprije se tre riješiti psolutih vrijedosti tko d z svki izrz uutr psolute vrijedosti odredimo
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραPREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:
PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,
Διαβάστε περισσότεραNacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA
Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks
Διαβάστε περισσότεραPREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom
Διαβάστε περισσότερα7. ELEMENTARNE FUNKCIJE
Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραγ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότεραa C 1 ( ) = = = m.
Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C =
Διαβάστε περισσότεραPoučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPITA IZ MATEMATIKE 2
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE SADRŽAJ. INEGRALNI RAČUN I PRIMJENE..... Priitiv fukcij i eodređei itegrl.....
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραskupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραDETERMINANTE I MATRICE
Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραSkripta za usmeni ispit iz IM1
Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg)
Διαβάστε περισσότεραUvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1
Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα( ) 2. određuje se izrazom S = 4 π
Zdtk 8 (Ml, gimzij) Itezitet Sučev zrčej udljeosti od.5 0 m od središt Suc izosi 00 W/m. Z koliko se smji ms Suc tijekom 365 d uz pretpostvku d se eergij koju Suce zrči u potpuosti doiv uklerim izgrjem
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO
UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Srjevo, 5... I S P I
Διαβάστε περισσότεραKONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.
KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo
Διαβάστε περισσότεραSvojstvene vrednosti matrice
6 Svojstvee vredosti mtrice 6. LINERN TRNSFORMCIJ VEKTOR ko je... eki skup promeljivih y y... y drugi skup promeljivih koje su s prvim veze ekim relcijm: ili u vektorskoj formi: (... ) i y f... i i y f()
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMetode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Διαβάστε περισσότεραOBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008.
OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY347 9. ju 008. Priroi rojevi u kup vih pozitivih elih rojev, N {,, 3,...}. Celi rojevi u kup vih pozitivih i etivih elih rojev i ule, Z {...,, 3, 0,,, 3,...}. Rioli rojevi
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραI N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα2. Rotacija krutog tijela. Kinematika krutog tijela. 11. dio. Kinematika krutog tijela. 1. Translacija krutog tijela. a) Krivocrtna b) Pravocrtna
Kod kruog ijel udljeosu bilo kojih diju ok ijel osje ijekom gibj epromijeje. Kiemik kruog ijel 11. dio Kiemik gibj: ) kruog šp b) krue ploe c) kruog ijel. Rzlikujemo: ) slobodo ijelo b) eslobodo ijelo
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραMališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ
Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραx y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z č e t v r t u s e d m i c u s t v e (u demsoj 009/00. godii) G L A V A N I Z O V I I R E D O V I.. Općeito o izovim Izdržti, to je temelj vrlie.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραKinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
Διαβάστε περισσότεραPrimjene odreženog integrala
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότερα