ELEKTROTEHNIČKI ODJEL PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPITA IZ MATEMATIKE 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEKTROTEHNIČKI ODJEL PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPITA IZ MATEMATIKE 2"

Transcript

1 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE

2 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE SADRŽAJ. INEGRALNI RAČUN I PRIMJENE..... Priitiv fukcij i eodređei itegrl..... Metod zjee (supstitucije)..... Metod djeloiče (prcijle) itegrcije Itegrirje prvih rciolih fukcij Metod eodređeih koeficijet Itegrirje eprvih rciolih fukcij Itegrirje irciolih fukcij Itegrirje trigooetrijskih i hiperolih fukcij Itegrirje irciolih fukcij pooću trigooetrijskih i hiperolih zje Izrčuvje određeog itegrl f ( ) d Neke prijee određeog itegrl lic eodređeih itegrl Osov prvil z itegrirje NEPRAVI INEGRALI Itegrli s eskoči gric Itegrli eoeđeih fukcij Kriteriji usporede z eprve itegrle REDOVI REALNIH BROJEVA Prvil z ispitivje kovergecije red Prvilo z rčuje s redovi..... Neki posei redovi relih rojev AYLOROV I MACLAURINOV RED Osovi rzvoji u McLuriov red Korisi idetiteti ( te derivcije) FOURIEROV RED Fourierov red (e)pre fukcije Korisi idetiteti z rčuje Fourierovih koeficijet LINEARNE (NE)HOMOGENE REKURZIJE S KONSANNIM KOEFICIJENIMA Lier hooge rekurzij s kostti koeficijeti red r Lier ehooge rekurzij s kostti koeficijeti red r OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Oič diferecijl jeddž. red s sepriri vrijl Hooge oič diferecijl jeddž. red Nehooge lier oič diferecijl jeddž. red Beroullijev oič diferecijl jeddž Hooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti Nehooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti Pricip superpozicije rješej oiče diferecijle jeddže. red Metod vrijcije kostti Lplceovi trsforti lic Lplceovih trsfort DODAAK I lic derivcij eleetrih fukcij Osov prvil z derivirje Neke krkterističe griče vrijedosti izov Neke krkterističe (oostre) griče vrijedosti fukcij Neke krkterističe jedostre griče vrijedosti fukcij DODAAK II Forule iz lgere Forule iz plietrije Forule iz stereoetrije Forule iz litičke geoetrije u rvii Forule iz trigooetrije... r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

3 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE. INEGRALNI RAČUN I PRIMJENE.. Priitiv fukcij i eodređei itegrl Nek je f itegril rel fukcij jede rele vrijle. Fukciju F zivo priitiv fukcij fukcije f ko vrijedi jedkost F ' = f. Skup svih priitivih fukcij fukcije f ziv se eodređei itegrl fukcije f, te se piše: { } f ( ) d = F ( ) + C : C R. (Rdi jedostvosti, vitičste zgrde se oičo ispuštju.) U zpisu f ( ) d fukciju f zivo poditegrl fukcij, dok je d diferecijl ezvise vrijle. Vrijedi sljedeći Poučk. Nek su F i F dvije rzličite priitive fukcije fukcije f. d je D(F ) = D(F ), te postoji jedistve C R tkv d z svki D(F ) vrijedi: F () = F () + C... Metod zjee (supstitucije) Neodređei itegrl f ( ) d u eki se slučjevi ože svesti tliči itegrl koristeći sljedeći lgorit: Kork. Zijeiti t = g() ili = g (t), te d = dt, gdje je g ov itegril rel fukcij jede rele g '( ) vrijle. Kork. Zpisti polzu poditegrlu fukciju ko fukciju vrijle t, pri čeu tre uvžiti oje gorje zjee. Kork. Odrediti eodređei itegrl fukcije doivee u Korku. Doivei izrz je skup fukcij čij je ezvis vrijl t. Kork 4. U izrzu doiveo u Korku. zijeiti t s g() i pojedostviti doivei izrz. Doiveo rješeje je tržei eodređei itegrl... Metod djeloiče (prcijle) itegrcije Priijejuje se u slučjevi kd je polzi itegrl olik f( ) f( ) d, gdje su f rel fukcij jede rele vrijle koju je jedostvo derivirti, f rel fukcij jede rele vrijle koju je jedostvo itegrirti. u = f( ) v = f( ) d Kork. Odrediti u' i v iz sljedeće shee:. ' du = f ( ) d dv = f( ) d Kork. Polzi itegrl jedk je I = u v v du. Z fukciju u oičo se iziru fukcije l, rcsi, rccos, rctg i sl..4. Itegrirje prvih rciolih fukcij d ip., gdje je. + + c dt Itegrirje se provodi zjeo t = +. Doije se tliči itegrl. t + c 4 + ip. d, gdje su,. + + c Kork. Odrediti rele rojeve Č i Ć iz jedkosti + = Č ( + ) + Ć. + d Kork. d = Č l( + + c) + Ć + + c, pri čeu se posljedji itegrl svodi ip. + + c Itegirje ostlih prvih rciolih fukcij provodi se pooću etode eodređeih koeficijet, pogodi zje, djeloičo itegrcijo itd. Itegrirje eprvih rciolih fukcij svodi se zroj itegrl polio i itegrl prve rciole fukcije. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

4 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.5. Metod eodređeih koeficijet Nzivike prvih rciolih fukcij čiji je stupj re ožeo pisti ko uožk kočog roj polio. stupj i polio. stupj (tj. rstviti fktore). kve rciole fukcije ožeo rstviti prcijle rzloke, te jihovo itegrirje svesti ili tliče itegrle ili itegrle polio stupj. Neki od tipičih rstv prcijle rzloke vedei su u dojoj tlici. Izrz u ziviku ( ) ( ) Pripdi rstv A A + A ( ) A ( ) A + A + + c + + c ( + + c) A + A A + A c ( + + c) Ukup roj eđusoo rzličitih rzlok koji se pojvljuju u rstvu polze rciole fukcije prcijle rzloke jedk je zroju krtosti svih eđusoo rzličitih fktor koji se pojvljuju u rstvu zivik polze rciole fukcije..6. Itegrirje eprvih rciolih fukcij f( ) Itegrirje eprve rciole fukcije d f ( ), pri čeu je deg(f ) deg(f ), provodi se sljedeći či: Kork. Odrediti polioe Q i R tkve d je f = Q f + R, pri čeu je deg(r) < deg(f ). f( ) R( ) Kork. d = Q( ) d + d f( ) f( ) drugi itegrl prve rciole fukcije.. Prvi itegrl je itegrl polio (koji se svodi zroj tličih itegrl),.7. Itegrirje irciolih fukcij ip. + + c d ili d, gdje je + + c Ako je >, itegrirje se provodi zjeo t = +. Ako je <, od se rdikd piše u oliku ( ) p (), gdje je p polio stupj čiji je vodeći koeficijet strogo veći od ule, te se priijei zje istovjet ooj u slučju >. ip c d Kork. Odredio rele rojeve Č i Ć iz jedkosti + = Č ( + ) + Ć. Kork. + d = Č + + c + Ć d + + c + + c ip., pri čeu se posljedji itegrl svodi r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

5 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE ip. P ( ) d, gdje je P polio stupj. + + c Kork. Polzi itegrl zpisti u oliku: P ( ) d = Q ( ) + + c + α, pri + + c + + c čeu je Q - polio stupj, α rel kostt. Kork. Derivirje jedkosti iz Kork. i izjedčvje koeficijet uz iste potecije odredio epozti polio Q i kosttu α. Kork. Preostli itegrl odredio ko itegrl u ipu..8. Itegrirje trigooetrijskih i hiperolih fukcij ip. si cos d ili sh ch d, gdje su i eegtivi cijeli rojevi. Ako je epr roj, tj. roj olik = k +, od itegrl tre zpisti u oliku k si si cos d d (odoso k sh sh ch d ), p zijeiti t = cos (odoso t = ch ) uz korišteje idetitet si = cos (odoso, sh = = ch ). Ako je epr roj, tj. roj olik = k +, od itegrl tre zpisti u oliku d (odoso k cos cos si k ch ch sh d ), p zijeiti t = si (odoso t = sh ) uz korišteje idetitet cos = si (odoso, ch = = sh + ). Ako su i pri rojevi, tre priijeiti forule pretvore: si = [ cos( ) ] cos = [ + cos( ) ], odoso si cos = si( ) sh = [ ch( ) ] ch = [ ch( ) + ] sh ch = sh( ) ip. cos( ) cos( ) d, si( ) cos( ) d, si( ) si( ) d Pri itegrirju se koriste forule pretvore uošk trigooetrijskih fukcij u jihov zroj: si( ) cos( ) = { si [( + ) ] + si [( ) ] } si( ) si( ) = { cos [( ) ] cos [( + ) ] } cos( ) cos( ) = { cos [( + ) ] + cos [( ) ] } ip. R(si,cos ), gdje je R rciol fukcij t t Pri itegrirju se koristi zje t = tg, te se prijejuju idetiteti: si =, cos =, d = dt + t + t + t Ako z fukciju R vrijedi idetitet R( si, cos ) R(si, cos ), uvodi se zje t = tg, odoso = rctg t, te se prijejuju idetiteti t si =, cos =, d = dt + t + t + t. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 4

6 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.9. Itegrirje irciolih fukcij pooću trigooetrijskih i hiperolih zje.. Izrčuvje određeog itegrl f ( ) Kork. Odrediti pripdi eodređei itegrl f ( ) d. Kork. U rezulttu Kork. odrti c =. Doiv se fukcij F(). Kork. f ( ) d = F( ) F( ) (Newto Leiizov forul). Prosječ vrijedost fukcije f eprekide segetu [, ]:.. Neke prijee određeog itegrl f = f ( ) d Površi rviskog lik oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = : P = f ( ) d. Dulji luk grf krivulje y = f() izeđu točk = i = : [ '( )] d = + f d. Ouj rotcijskog tijel stlog rotcijo krivocrtog trpez oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = oko V = f ( ) d. osi : [ ] Ouj rotcijskog tijel stlog rotcijo krivocrtog trpez oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = oko V = f ( ) d osi y: [ ] y. Oplošje rotcijskog tijel stlog rotcijo krivocrtog trpez oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = oko O = f + f d. osi : ( ) [ '( )] tip itegrl ( ) ( ) ( ) trigooetrijsk zje hiperol zje R, = si t = th t R, + = tg t = sh t R, = = ch t cos t ežište rve ploče oeđee osi pscis, prvci = i =, te krivulj y = f () i y = g() tkvi d su f i g rele fukcije eprekide segetu [, ] i d z svki [, ] vrijedi ejedkost g() f (): [ f ( ) g( ) ] d { [ f ( ) ] [ g( ) ] } d =, [ f ( ) g( ) ] d [ f ( ) g( ) ] d d r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 5

7 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.. lic eodređeih itegrl f() f ( ) d ( + ), + ( + ) + + ( ) + + l + +, R + rcsi + l ±, R\{} ± +,, R + rctg,, R + l + +,, R + l +, R + l + +, R + l +,, R + rcsi, R + l + e e + si( + ), R\{} cos ( + ), R\{} tg ( + ), R\{} ctg ( + ), R\{} cos( + ) si( ) + l cos( + ) l si( ) + r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 6

8 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE lic eodređeih itegrl (stvk) f() f ( ) d, R\{} si( + ), R\{} cos( + ), R\{} + si ( ), R\{} + cos ( ) + l tg + l tg + 4 ctg( + ) tg( ) + sh( + ), R\{} ch( + ), R\{} sh( + ) ch( + ), R\{} + sh ( ), R\{} + ch ( ) th( + ), R\{} cth( + ), R\{} ch( ) + sh( ) + + l th + rctg th cth( + ), R\{} th( ) +, R\{} l ch( ) + l sh( ) + f d = f d [ ].) ( ) ( ).) f ( ) ± g( ) d = f ( ) d ± g( ) d.. Osov prvil z itegrirje [ ].) Ako je f epr fukcij itegril,, od je f ( ) d =. 4.) Ako je f pr fukcij itegril [, ], od je f ( ) d = f ( ) d. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 7

9 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE. NEPRAVI INEGRALI Neprvi itegrli su određei itegrli kod kojih poditegrl fukcij ije oeđe itervlu itegrcije ili je re jed gric eskoč. Njihovo je izrčuvje koicij izrčuvj određeih itegrl pooću Newto- Leiizove forule i izrčuvj gričih vrijedosti... Itegrli s eskoči gric Uz pretpostvku d je poditegrl fukcij oeđe protri itervli, defiir se: ip. f ( ) d = li f ( ) d ip. f ( ) d = li f ( ) d c, z ilo koji c R (oičo je pogodo uzeti c = ). ip. f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d c Ako svk od vedeih gričih vrijedosti postoji, kže se d pripdi eprvi itegrl kovergir. U suproto, kže se d eprvi itegrl divergir... Itegrli eoeđeih fukcij Nek je rel fukcij f eoeđe segetu [, ]. Ako je f eoeđe u, tj. ko je li f ( ) = ±, td se defiir: f ( ) d = li f ( ) d ε + + ε Ako je f eoeđe u, tj. ko je li f ( ) = ±, td se defiir:. ε f ( ) d = li f ( ) d ε + Ako je f eoeđe u točki c,, td se defiir:. cε f ( ) d = li f ( ) d li f ( ) d ε + + ε +. c+ ε Ako svk od vedeih gričih vrijedosti postoji, kžeo d pripdi eprvi itegrl kovergir. U suproto, kžeo d pripdi eprvi itegrl divergir... Kriteriji usporede z eprve itegrle Kriterij. Nek su R proizvolj, li fiksir kostt, te f, f i f rele fukcije tkve d z svki vrijedi ejedkost f () f () f (). d: ko itegrl f ( ) d kovergir, od i itegrl f ( ) d kovergir; ko itegrl f ( ) d divergir, od i itegrl f ( ) d divergir. (Aloge tvrdje vrijede i ko se pretpostvk zijei pretpostvko, itegrl zijei + itegrlo.) r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 8

10 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE Kriterij. Nek su f i g rele fukcije eoeđee segetu [, ] i tkve d z svki, vrijedi: f () g(). d ko itegrl g( ) d kovergir, od i itegrl f ( ) d kovergir. Prigodo prijee kriterij usporede često se koriste sljedeći rezultti: d itegrli i d kovergirju z >, divergirju z ; z svki [, itegrl Nek je ( ) N zdi iz. Niz (s ) N defiir s d kovergir z <, divergir z. ( ). REDOVI REALNIH BROJEVA = k ziv se iz djeloičih zrojev (iz prcijlih su) k = s = zdog iz. Uređei pr (( ) N, (s ) N ) ziv se red. Ujesto (( ) N, (s ) N ) koriste se ozke, itd. je koverget ukoliko iz (s ) N i griču vrijedost S. U to slučju S zivo zroje red. U Red suproto, red je diverget... Prvil z ispitivje kovergecije red Prvilo. Ako vrijedi li = A, red je diverget. Prvilo. (Cuchyjev kriterij) Ako postoji li odluke.) Prvilo. (D'Aleertov kriterij) Ako postoji li + e odluke.) = r, od je red = r, od je red koverget ko je r < ;. (Ako je r =, e diverget ko je r >. koverget ko je r < ; diverget ko je r >.. (Ako je r =, + Prvilo 4. (Reov kriterij) Ako postoji li r =, od je red diverget ko je r < ; koverget ko je r >.. (Ako je r =, e odluke.) Prvilo 5. (Leiizov kriterij) Alterirjući red ( ) kovergir ko iz ( ) N strogo pd i i griču vrijedost jedku. Ekvivleto: Ako red kovergir, od i red kovergir. Prvilo 6. (kriterij usporede) Nek su ( ) N i ( ) N izovi tkvi d z svki N vrijedi ejedkost. d: ko je koverget, od je i koverget; ko je diverget, od je i diverget. Prvilo 7. (kriterij usporede II) Nek su i redovi tkvi d je li = c >. d ko je koverget (diverget), od je i koverget (diverget). Prvilo 8. (Cuchyjev itegrli kriterij) Ako je strogo pozitiv, eprekid i ootoo pdjuć fukcij itervlu c,, od red i eprvi itegrl ( ) d istodoo ili kovergirju ili divergirju. = c c r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 9

11 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.. Prvilo z rčuje s redovi c c =, z svki c R... Neki posei redovi relih rojev Hroijski red je red. j red divergir. Dirichletov red je red = =. j red kovergir z p >, divergir z p. p Geoetrijski red je red. j red kovergir z < i u to je slučju jegov zroj jedk divergir. = S =. Z red 4. AYLOROV I MACLAURINOV RED Ozk:! =. ylorov rzvoj rele fukcije f u red oko točke = c tkve d je f eskočo ogo put derivil u c defiir je s: ( ) ( IV ) f ( c) f ''( c) f '''( c) f ( c) 4 f ( ) = ( c) = f ( c) + f '( c) ( c) + ( c) + ( c) + ( c) +... =! 6 4 Prvih + člov red tvore ylorov polio stupj (ozk: ()). Poseo, z c = i z fukciju f eskočo ogo put derivilu u doiv se McLuriov rzvoj fukcije f u red defiir s: ( ) ( IV ) f () f ''() f '''() f () 4 f ( ) = = f () + f '() =! 6 4 Prvih + člov red tvore McLuriov polio stupj (ozk: M ()). 4.. Osovi rzvoji u McLuriov red I. e =, z svki R;! = + II. si = ( ), z svki R; ( + )! = III. cos = ( ), z svki R; ( )! = ( )... ( + ) IV. ( + ) =, z svki, ;! V. = = = =, z svki N i svki, ; VI. = ( ), z svki i svki, ; N + VII. l( + ) = ( ), z svki, ; = + VIII. l =, z svki,. = Npoe: Nvedei rzvoji e vrijede z opći ylorov rzvoj rele fukcije f u red potecij oko točke c D f. U tkvi slučjevi tre koristiti defiicijsku forulu z opći čl ylorov rzvoj u red ili evetulo gotovu forulu z tu derivciju fukcije f. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

12 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 4.. Korisi idetiteti ( te derivcije) ( ) ( )! + ( + ) ( ). f ( ) = f ( ) = ; I ( k ) ( ) k= II. f ( ) = + f ( ) = ( ) ; ( ) III. f ( ) = si( + ) f ( ) = si + +, z svki N; ( ) IV. f ( ) = cos( + ) f ( ) = cos + +, z svki N; + ( ) + V. f ( ) = e f ( ) = e ; VI VII ( ). f ( ) = l( + ) f ( ) = ( ) ; VIII ( ). f ( ) ch ( ) f ( ) ( )! ( + ) sh( + ), z epre N; = + = ch( + ), z pre N; ch( + ), z epre N; = + = sh( + ), z pre N. ( ). f ( ) sh ( ) f ( ) 5. FOURIEROV RED Periodiču relu fukciju f defiiru teeljo segetu [, ] oguće je rzviti u Fourierov red ko istodoo vrijede sljedeći uvjeti (tzv. Dirichletovi uvjeti): N segetu [, ] fukcij f i jviše kočo ogo točk prekid i ti prekidi su uklojivi (tj. prve vrste). Fukcij f je ooto segetu [, ], odoso f toe segetu i jviše kočo ogo strogih ekstre. Ako je = i =, od se pripdi koeficijeti rzvoj fukcije u Fourierov red (tzv. Fourierovi koeficijeti) rčuju pre sljedeći forul: = f ( ) d, U to slučju rzvoj fukcije f u Fourierov red glsi: = f ( ) cos( ) d, = f ( ) si( ) d. [ ]. f ( ) = + cos( ) + si( ) Prvih + člov red tvore Fourierov polio stupj (ozk: F ()): = f ( ) F ( ) = + cos + si cos( ) + si( ). U opće slučju, tj. ko je f defiir segetu [, + ], gdje je teelji period fukcije f, Fourierovi koeficijeti rčuju se pre sljedeći forul: r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

13 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE U to slučju rzvoj fukcije f u Fourierov red glsi: + = f ( ) d, + = f ( ) cos d, + = f ( ) si d. f ( ) = + cos + si =. 5.. Fourierov red (e)pre fukcije Ako je fukcij f pr segetu [, + ], od z svki N vrijedi =. d se Fourierovi koeficijeti ogu rčuti pre pojedostvljei forul: = f ( ) d z i = = = f ( ) cos( ) d = ( ) z = f d 4 = f ( ) cos d L Pripdi rzvoj fukcije u Fourierov red jedk je: f ( ) = + cos( ), z = i = ; = f ( ) = + cos, z =. = Ako je fukcij f epr segetu [, + ], od z svki N vrijedi = =. Ako je = i =, od z svki k Z vrijedi i f (k ) =. d se Fourierovi koeficijeti ogu rčuti pre pojedostvljei forul: = f ( ) si( ) d (z = i = ) 4 = f ( ) si d z. = L Pripdi rzvoj fukcije u Fourierov red jedk je: f ( ) = si( ) (z = i = ); = f ( ) = si (z = ). = r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

14 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 5.. Korisi idetiteti z rčuje Fourierovih koeficijet, z epre N; I. cos( ) = ( ) =, z pre N. II. si( ) =, z sve N., z = 4 k ; III. cos =, z = k ; ( k N), z = 4 k., z = 4 k ; IV. si =, z = k; ( k N), z = 4 k. V. si( ) d = cos( ) d = si( ) cos( ) d =, z sve, N., z, N, ; VI. cos( ) cos( ) d = si( ) si( ) d =, z =. N VII. si( ) d = cos( ) + C, C R. VIII. cos( ) d = si( ) + C, C R. IX. ( + ) si( ) d = [ si( ) ( + ) cos( ) ] + C, C R. X. ( + ) cos( ) d = [ cos( ) + ( + ) si( ) ] + C, C R. XI XII. ( ) si( ) + + c d = = ( c ) cos( ) + ( + ) si( ) + C, C R.. ( ) cos( ) + + c d = = ( + ) cos( ) + ( + + c ) si( ) + C, C R. + + XIII. e si( ) d = e [ si( ) cos( ) ] + C, C R XIV. e cos( ) d = e [ si( ) + cos( ) ] + C, C R. + XV. ch( + ) cos( ) d = = e ( e + ) si( ) + ( e ) cos( ) + C, C. ( + ) R XVI. ch( + ) si( ) d = = e e + + C C + e ( + ) R XVII. sh( + ) cos( ) d = + + ( ) si( ) ( ) cos( ),. = e + e + + C C + e ( + ) XVIII. sh( + ) si( ) d = + + ( ) si( ) ( ) cos( ), R. = + + e ( + ) + + ( e ) si( ) ( e ) cos( ) + C, C R. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

15 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 6. LINEARNE (NE)HOMOGENE REKURZIJE S KONSANNIM KOEFICIJENIMA 6.. Lier hooge rekurzij s kostti koeficijeti red r o je relcij olik + α + + α r r =, pri čeu su r [] i α,, α r R kostte. Uz ju se često zdje točo r početih uvjet: = β,, r = β r, pri čeu su β,, β r R kostte. Idej rješvj:.) Riješio pripdu krkterističu jeddžu k r + α k r + + α r =. Doijeo rješej k,, k r. O e orju iti užo rzličit, p z svki i =,, r ozčio s i krtost rješej k i (tj. koliko se put to rješeje pojvljuje u gorje popisu ). Z prirode rojeve i or vrijediti jedkost i = r. h.) Opće rješeje gorje rekurzije je = ( A A ) k + ( A A ) k ( A +... r i= r r r + Ar ) k r r, pri čeu su A,, Ar R kostte, i krtost rješej k i..) Nepozte kostte A,, A r izrčuvo koristeći počete uvjete. ko doijeo Crerov sustv od r lierih jeddži s r epozic koji i jedistveo rješeje. 6.. Lier ehooge rekurzij s kostti koeficijeti red r o je relcij olik + α + + α r r = f (), pri čeu su r [], α,, α r R kostte i f rel fukcij vrijle. Uz ju se često zdje točo r početih uvjet: = β,, r = β r, pri čeu su β,, β r R kostte. Idej rješvj:.) Gore opisi postupko (korci. i.) odredi se opće rješeje pripde hoogee rekurzije..) Prtikulro rješeje te rekurzije odredi se pooću sljedeće tlice: p fukcij f () prtikulro rješeje p ko ije rješeje krkterističe jeddže: Ć polio stupj l Đ s = A p ko jest rješeje krkterističe jeddže i i krtost : = A p ko ije rješeje krkterističe jeddže: p l l = Č + Č Č l + Č l l ko jest rješeje krkterističe jeddže i i krtost : p l l = ( Č + Č Č l + Č ) l l ko ije rješeje krkterističe jeddže: p s s = ( Čs + Čs Č s + Č) ko jest rješeje krkterističe jeddže i i krtost : p s s = ( Č + Č Č s + Č ) s s O h p.) Opće rješeje polze ehoogee rekurzije je = +. 4.) Sve epozte kostte u to rješeju odredio iz početih uvjet logo ko u slučju liere hoogee O O rekurzije (u izrz z uvrštvo =, = r, te,..., O = β r = β r.) r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 4

16 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7. OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 7.. Oič diferecijl jeddž. red s sepriri vrijl Opći olik: y' = f() g(y) ili F () G (y) d + F () G (y) dy =. Opće rješeje: Oviso o oliku u kojeu je jeddž zpis, rješeje se doije itegrirje: dy G ( y) F ( ) = ( ) + ili = + g( y) G ( y) F ( ) f d C dy d C 7.. Hooge oič diferecijl jeddž. red Opći olik: Metode rješvj: y y ' = f, odoso + y + c y ' = f. + y + c y y. Jeddž olik y ' = f rješv se zjeo u =, pri čeu je u = u() ov epozt fukcij. Prito tre uvžiti d je y = u i y' = u' + u. + y + c. Jeddž olik y ' = f rješv se tko d se jprije izrču deterit + y + c. Ako je t deterit jedk, uvodi se zje u = + y + c, pri čeu je u = u() ov epozt fukcij. Prito tre izrziti + y + c ko lieru fukciju rguet u, te uvžiti d je y ' = ( u ' ). Ako je protr deterit rzličit od ule, tre riješiti sustv dviju lierih jeddži s dvije epozice (č i ć) č + ć + c = č + ć + c = p zijeiti u = č (odoso, = u + č) i v = y ć (odoso, y = v + ć i y' = v'). ko se doije ov hooge oič diferecijl jeddž. red kojoj je ezvis vrijl u, epozt fukcij v = v(u). 7.. Nehooge lier oič diferecijl jeddž. red Opći olik: Opće rješeje: y' + P() y = Q() P( ) d P( ) d y = e e Q( ) d C +, C R Npoe: Ako je Q, doiv se hooge lier oič diferecijl jeddž. red. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 5

17 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7.4. Beroullijev oič diferecijl jeddž Opći olik: y' + P() y = Q() y k, gdje je k R\{,}. Opće rješeje (u iplicito oliku): y k ( k ) P( ) d e =. ( k ) P( ) d ( k) e Q( ) d + C 7.5. Hooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti Opći olik: y'' + p y' + q y = Rješeje: Njprije se riješi krkteristič jeddž k + p k + q =. Ako su k i k rješej te jeddže, opće rješeje polze jeddže doiv se pooću sljedeće tlice: tip rješej krkterističe jeddže opće rješeje k k k, k R, k k y = C e + C e, C, C R k k, k R, k = k y = e ( C + C ), C, C R k = + i C, k k y = e C cos( ) + C si( ), C, C R = [ ] 7.6. Nehooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti Opći olik: Idej rješvj: y'' + p y' + q y = f(). Riješiti pripdu hoogeu lieru diferecijlu jeddžu. red s kostti koeficijeti. Nek je y O opće rješeje te jeddže.. Odrediti ilo koje prtikulro rješeje y P polze jeddže.. Opće rješeje polze jeddže je zroj y O + y P. lic z određivje olik prtikulrog rješej u pojedii slučjevi: olik fukcije f () (polio stupj ) i e ili e i i= si( ), cos( ) ili c si( ) + d cos( ) s e olik prtikulrog rješej p() polio stupj + r, gdje je r red jiže derivcije epozte fukcije koji se pojvljuje u jeddži, gdje je:, ko ije rješeje krkterističe jeddže; s =,ko je jedostruko rješeje krkterističe jeddže;,ko je dvostruko rješeje krkterističe jeddže. s [ cos( ) + si( )], gdje je, ko z = i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko z = i jest rješeje krkterističe jeddže. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 6

18 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE olik fukcije f () ( ) e P ( ) cos( ), P si( ), P ( ) cos( ) + P ( ) si( ), gdje su: P ( ) = polio stupj ; P ( ) = polio stupj. e cos( ), e si( ), [ cos( ) si( )] e + P ( ) e cos( ), P e si( ), [ ] e P ( ) cos( ) + P ( ) si( ), gdje su: P ( ) = polio stupj ; P ( ) = polio stupj. olik prtikulrog rješej p() ( c + c c + c ) e, gdje je: s, ko ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko je jedostruko rješeje krkterističe jeddže;, ko je dvostruko rješeje krkterističe jeddže. [ ] s Q cos( ) + R ( ) si( ),gdje su: l, ko k = + i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko k = + i jest rješeje krkterističe jeddže; l =,, { } l Q ( ) = , R ( ) = c c (polioi stupj l) l l l l l l [ ] s e M cos( ) + N si( ), gdje je:, ko k = + i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko k = + i jest rješeje krkterističe jeddže. [ ] s e Q ( ) cos( ) + R ( ) si( ), gdje su: l, ko k = + i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko k = + i jest rješeje krkterističe jeddže; l =,, { } l Q ( ) = , R ( ) = c c (polioi stupj l) l l l l l l 7.7. Pricip superpozicije rješej oiče diferecijle jeddže. red Nek je y i opće rješeje oiče diferecijle jeddže y'' + p y' + q y = f i, z svki i =,,. d je yi opće rješeje oiče diferecijle jeddže i= y'' + p y' + q y = fi. i= 7.8. Metod vrijcije kostti Osov idej etode vrijcije kostti z ehoogeu lieru oiču diferecijlu jeddžu. red je iterpretirti kostte C i C koje se pojvljuju u rješeju pripde hoogee jeddže ko rele fukcije vrijle. e fukcije se poto određuju rješvje sustv fukciolih jeddži C ( ) y + C ( ) y = ' ' C ( ) y + C ( ) y = f ( ) ' ' ' ' gdje su y i y zič rješej pripde hoogee oiče diferecijle jeddže. red. d je opće rješeje polze ehoogee liere oiče diferecijle jeddže. red s kostti koeficijeti y = C () y + C () y. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 7

19 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7.9. Lplceovi trsforti Lplceov trsfort (ozk: F(s)) eegtive rele fukcije f je rel fukcij s F( s) = f ( ) e d. Piše se: F = L( f ). Pridruživje koje reloj fukciji f pridružuje fukciju F ziv se Lplceov trsforcij. O je lier opertor, tj. z svke dvije eegtive rele fukcije f i g, te z svk dv rel roj i vrijedi jedkost: Osov svojstv Lplceovih trsfort: L( f + g) = L( f ) + L( g ). Nek je f = f () eegtiv rel fukcij i ek je F = F(s) jezi Lplceov trsfort. d vrijedi:. L( f ') = s F(s) f ().. L( f '') = s F(s) s f () f '().. L[f ( )] = F s. 4. L f = F ( s). 5. L[e f ()] = F (s ). F( s) 6. L f ( t) dt =. s Prigodo određivj Lplceov trsfort često se priijejuju sljedeći idetiteti: s I. e d = + C; s s e s s + II. e d = + C; s s e s s + s +. e d = + C; s III s e s s si( ) + cos( ) IV. si( ) e d = + C; s ( s + ) e s si( ) s cos( ). cos( ) e d = + C; s ( s + ) e V f ( ) VI. F( s) postoji li =. s e r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 8

20 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7.. lic Lplceovih trsfort fukcij f() Lplceov trsfort F(s) s s s s 6 4 s! + s e s e ( s ) e ( s ) si( ) s + s cos( ) s + s si( ) ( s + ) s cos( ) ( s + ) e si( ) ( s ) + s e cos( ) ( s ) + s ch( ) s sh( ) s r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 9

21 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 8. DODAAK I. 8.. lic derivcij eleetrih fukcij Npoe: > i c R su rele kostte. f () f '() c c c c l log l e e l si cos cos si tg cos ctg si rcsi rccos rctg rcctg ch sh th cth rsh rch rth rcth + + sh ch ch sh + t... y = f '( ) ( ) + y Jeddž tgete i orle krivulju y = f () u točki = (, y ):... y = ( ) + y f '( ) r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

22 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 8.. Osov prvil z derivirje I. ( f )' = f ' II. ( f ± g)' = f ' ± g ' f f ' g f g ' III. ( f g)' = f ' g + f g ' IV. = g g ± ' ( f g ) ( f g ) g f e = VI = [ f ± ( )] V. ' ' '. ( ) '( ) ( ) ' f e ± 8.. Neke krkterističe griče vrijedosti izov I. li ± =, z svki i svki k. k R N II k k k=. ( ) li =. k k k= III. li, z < < ; =, z > i. IV. li + = e ; V. li, z < ; =, z = ;, z > ; VI. li =, z svki > ; VII. li = Neke krkterističe (oostre) griče vrijedosti fukcij I. li = (z > ). II. li = (z < ). ± III. li ( ) = ±, z svki. IV. li = ±. ± ± l V. li + = li( + ) = e. VI. li = (z >, ). l( + ) VII. li = (z ). VIII. li rcctg = Neke krkterističe jedostre griče vrijedosti fukcij I. li tg =, li tg =. II. li ctg = li ctg =, li ctg = li ctg = III. li rctg =, li rctg =. IV. li rcctg =, li rcctg =, z, ;, z ; > V. li = li = VI. li e = li e = ;, z > ;, z, ; VII. li th = li cth =, li th = li cth =. VIII. li rcth =. ± r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

23 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE Osovi lgerski idetiteti:. ( ± y) = ± y + y.. ( ± y) = ± y + y ± y.. ( y) ( + y) = y. 4. ± y = ( ± y) ( y + y ). 9. DODAAK II. 9.. Forule iz lgere Potecije igire jediice: Z svki k Z vrijedi: i 4 k =, i 4 k + = i, i 4 k + =, i 4 k + = i. Osov svojstv ekspoecijle i logritske fukcije:. =. +. =.. = 4. = 5. ( ) =. 6. =. 7. =. log =.. log =.. log ( y) = log + log y. 4. log = log log y. y y 5. log ( ) = y log. 6. log ( ) = log. log 7. log =. log Forul z rješeje kvdrte jeddže + + c = : + 4 c 4, = c =. Vièteove forule z rješej kvdrte jeddže c + + c = : + =, =. 9.. Forule iz plietrije + + c Heroov forul z površiu trokut s stric, i c: P = s ( s ) ( s ) ( s c), s = Opseg i površi trokut: O = + + c, P = v = v = c vc ; Opseg i površi usporedik: O = ( + ), P = si ϕ (ϕ kut izeđu stric i ) Opseg i površi krug polujer r: O = r, P = r. Površi elipse s poluosi i : P = 9.. Forule iz stereoetrije Oplošje i ouj kocke strice : O = 6, V = ; 4 Oplošje i ouj kugle polujer r: O = 4 r, V = r ; Oplošje i ouj usprve prize: O = B + P, V = B h; (B površi osovke, P površi poočj, h visi prize) Oplošje i ouj usprve piride: O = B + P, V = B h ; (B površi osovke, P površi poočj, h visi piride) Oplošje i ouj usprvog kružog vljk: O = r (r + h), V = r h; (r polujer osovke, h visi vljk); Oplošje i ouj usprvog kružog stošc: O = r (r + s), V = r h; (r polujer osovke, s izvodic stošc, h visi stošc); r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

24 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE Udljeost točk A = ( A, y A) i B = ( B, y B): 9.4. Forule iz litičke geoetrije u rvii d( A, B) = ( ) + ( y y ). A B A B Olici jeddže prvc: ekspliciti: y = k + l ; (k koeficijet sjer, l odsječk osi ordit); ipliciti: A + B y + C = ; y segeti: + = ( odsječk osi pscis, odsječk osi ordit); Jeddž prvc kroz točku = (č, ć) s koeficijeto sjer k: y = k + (ć k č); ž ć Jeddž prvc kroz točke = (č, ć) i = (š, ž): y = ( č) + ć ; š č Uvjet usporedosti prvc y = k + l i y = k + l : k = k. Uvjet okoitosti prvc y = k + l i y = k + l : k k =. Udljeost točke = (č, ć) od prvc A + B y + C = : d(, p) = A č + B ć + C. A + B k Kut prvc y = k + l i y = k + l : k ϕ = rctg. + k k Jeddže krivulj. red: kružic s središte u S = (p, q) i polujero r: ( p) + (y q) = r ; elips s poluosi i : + y = ; hiperol s poluosi i : y = ; prol (ososietrič s oziro os pscis) s pretro p: y = p ; 9.5. Forule iz trigooetrije Osove trigooetrijske relcije: cos α + si siα cosα α =, tg α =, ctg α = cosα siα rigooetrij prvokutog trokut: siα = cos β =, cosα = si β =, tg α = ctg β =, ctg α = tg β = c c Izrčuvje svih vrijedosti trigooetrijskih fukcij pooću vrijedosti jede od jih: Osove cikloetrijske relcije: fukcij si cos tg ctg si cos ± cos si tg ± si ctg ( ) si si ± si ± ± tg ± + tg ± + tg cos ± cos cos cos tg ± + ctg ctg ± + ctg ctg ( ) rcsi + rccos = rctg + rcctg = rccos ± rccos y = rcsi y y ± y rcsi = rccos rctg ± rctg y = rctg y y rcsi ± rcsi y = rcsi y ± y rcctg ± rcctg y = rcctg y ± Sve ozke u trokutu su stdrde. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč

25 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE oče vrijedosti trigooetrijskih fukcij ekih krkterističih kutov ( := e postoji) kut ( ) kut (rd.) si cos tg ctg Predzci trigooetrijskih fukcij u pojedii kvdrti: I II III IV si + + cos + + tg + + ctg + + Površi trokut: P = siγ = c si β = c siα c Siusov poučk: = = = R ; siα si β siγ Kosiusov poučk: = + c c cos α, = + c c cos β, c = + cos γ. α + β β + γ γ + α + tg tg tg gesov poučk: + c, c + = =, = ; α β tg c β γ tg c γ α tg Pretvor stupjev u rdije: = rd. 8 8 Pretvor rdij u stupjeve: rd. = Adicijske forule: si( ± y) = si cos y ± cos si y cos( ± y) = cos cos y si si y tg ± tg y tg( ± y) = tg tg y ctg ctg y ctg( ± y) = ctg y ± ctg Forule redukcije: si ± = cos tg ± = ctg cos ± = si ctg ± = tg si ± = si tg ± = ± ctg ( ) ( ) ( ) ( ) Forule z trigooetrijske fukcije dvostrukog i polovičog rguet: cos ± = cos ctg ± = ± tg tg cos + tg + cos( ) + cos( ) = = + tg + cos( ) cos( ) [ ] [ ] si( ) = si cos = si = ± si = cos( ) cos = + cos( ) tg cos cos( ) = cos si = cos = ± tg ctg r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 4

26 PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE tg cos cos si tg( ) = tg = ± = = tg + cos si + cos ctg tg + cos + cos si ctg( ) = = ctg = ± = = ctg tg cos si cos Forule pretvore: uošk trigooetrijskih fukcij u jihov zroj: si cos y = [ si( + y) + si( y) ] cos cos y = [ cos( + y) + cos( y) ] si si y = [ cos( y) cos( + y) ] zroj trigooetrijskih fukcij u jihov uožk: + y y si( + y) si + si y = si cos tg + tg y = cos cos y + y y si( y) si si y = cos si tg tg y = cos cos y + y y si( + y) cos + cos y = cos cos ctg + ctg y = si si y + y y si( y) cos cos y = si si ctg ctg y = si si y oče vrijedosti cikloetrijskih fukcij z eke krkterističe vrijedosti: rcsi rccos rctg rcctg pripreio: r.sc. Boj Kovčić, viši predvč r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 5

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Skripta za usmeni ispit iz IM1

Skripta za usmeni ispit iz IM1 Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg)

Διαβάστε περισσότερα

7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ )

7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ ) X. gimzij Iv Supek Zgre, Klićev 7. lipj 000. godie Mturl zdć iz mtemtike Rješej zdtk. ) Riješi jeddžu 7 Rješeje: Njprije se tre riješiti psolutih vrijedosti tko d z svki izrz uutr psolute vrijedosti odredimo

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x) Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10. Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.

skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008.

OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008. OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY347 9. ju 008. Priroi rojevi u kup vih pozitivih elih rojev, N {,, 3,...}. Celi rojevi u kup vih pozitivih i etivih elih rojev i ule, Z {...,, 3, 0,,, 3,...}. Rioli rojevi

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINANTE I MATRICE

DETERMINANTE I MATRICE Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Srjevo, 5... I S P I

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTENCIJE α M-- uiverzl zbirk potpuo riješeih zdtk Rješej svih zdtk s kopleti postupko i uput. Koristio

Διαβάστε περισσότερα

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και έγγραφα που απαιτούνται για την εγγραφή στο ΓΕΜΗ

Στοιχεία και έγγραφα που απαιτούνται για την εγγραφή στο ΓΕΜΗ Στοιχεία και έγγραφα που απαιτούνται για την εγγραφή στο ΓΕΜΗ Σύμφωνα με την αριθμ. Κ1-941 οικ./27.4.12 και την Κ1-1484/12.6.2012 του Υπουργείου Ανάπτυξης & Ανταγωνιστικότητας πρέπει να γίνει εγγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος... ιάγραμμα περιεχομένων... Πίνακας περιεχομένων... Συντομογραφίες... Βιβλιογραφία... ΙΧ ΧΙ XV LI LV ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Έννοια και σημασία του κληρονομικού δικαίου... 1 2. Ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

a C 1 ( ) = = = m.

a C 1 ( ) = = = m. Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C =

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματική Περίοδος 2007 2013

Προγραμματική Περίοδος 2007 2013 Προγραμματική Περίοδος 2007 2013 Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Τίτλος: ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ - ΘΡΑΚΗΣ Κωδικός Ε.Π.: 9 CCI: 2007GR161PO008 ΕΠΙΣΗΜΗ ΥΠΟΒΟΛΗ Αθήνα, Μάρτιος 2006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ Μεταπτυχιακές σπουδές στον τομέα Αστικού, Αστικού Δικονομικού και Εργατικού Δικαίου ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

πρακτικού συνεδριάσεως ιοικητικού ΗΜΟΣ ΠΑΤΜΟΥ

πρακτικού συνεδριάσεως ιοικητικού ΗΜΟΣ ΠΑΤΜΟΥ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Απόσπασµα εκ του αριθµ. 19/2015 ΝΟΜΟΣ Ω ΕΚΑΝΗΣΟΥ πρακτικού συνεδριάσεως ιοικητικού ΗΜΟΣ ΠΑΤΜΟΥ Συµβουλίου ΗΜΟΤΙΚΟ ΛΙΜΕΝΙΚΟ ΤΑΜΕΙΟ ΠΑΤΜΟΥ Αριθµ. Απόφασης 201/2015

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΗΠΕΙΡΟΥ ΔΗΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΤΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Προμήθεια συστήματος υπόγειας αποθήκευσης απορριμμάτων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΗΠΕΙΡΟΥ ΔΗΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΤΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Προμήθεια συστήματος υπόγειας αποθήκευσης απορριμμάτων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΗΠΕΙΡΟΥ ΔΗΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΤΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Προμήθεια συστήματος υπόγειας αποθήκευσης απορριμμάτων Κ.Α.: 20.7135.001 Προϋπολογισμός 436.650,00 Έτος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (EE) 2019/1238 ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (EE) 2019/1238 ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ 198/1 L I ( (EE) 2019/1238 20 2019 (PEPP) ( ), 114,,, ( 1 ), ( 2 ), : (1),.. (2),., 25, :. (3),,.,,,. ( 1 ) C 81 2.3.2018,. 139. ( 2 ) 4 2019 ( ) 14 2019. EL L 198/2 25.7.2019 (4).,,. H,, ( ). (5) 2015,

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

πρακτικού συνεδριάσεως ιοικητικού ΗΜΟΣ ΠΑΤΜΟΥ

πρακτικού συνεδριάσεως ιοικητικού ΗΜΟΣ ΠΑΤΜΟΥ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Απόσπασµα εκ του αριθµ. 13/2015 ΝΟΜΟΣ Ω ΕΚΑΝΗΣΟΥ πρακτικού συνεδριάσεως ιοικητικού ΗΜΟΣ ΠΑΤΜΟΥ Συµβουλίου ΗΜΟΤΙΚΟ ΛΙΜΕΝΙΚΟ ΤΑΜΕΙΟ ΠΑΤΜΟΥ Αριθµ. Απόφασης 145/2015

Διαβάστε περισσότερα

Νέος Αναπτυξιακός Νόµος - Επενδυτικός Νόµος 3299/2004

Νέος Αναπτυξιακός Νόµος - Επενδυτικός Νόµος 3299/2004 Νέος Αναπτυξιακός Νόµος - Επενδυτικός Νόµος 3299/2004 Business Unit: CON No of Pages: 10 Authors: AR Use: External Info Date: 17/09/2007 Τηλ.: 210 6545340, Fax: 210 6545342 email: info@abele.gr - www.abele.gr

Διαβάστε περισσότερα

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

15PROC002628326 2015-03-10

15PROC002628326 2015-03-10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΔΗΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΤΩΝ Δ/ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ- ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΛΙΚΟΥ ΑΠΟΘΗΚΗΣ Διεύθυνση: Καπλάνη 7 (3 ος όροφος) Πληροφορίες: Δεσ. Μπαλωμένου Τηλ. 26513-61332

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z č e t v r t u s e d m i c u s t v e (u demsoj 009/00. godii) G L A V A N I Z O V I I R E D O V I.. Općeito o izovim Izdržti, to je temelj vrlie.

Διαβάστε περισσότερα