a C 1 ( ) = = = m.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "a C 1 ( ) = = = m."

Transcript

1 Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C = 5 m -, = 5 cm = 5 m, =? Poovimo! Jeddž tke leće dje vezu između udljeosti predmet i slike od leće i fokle dljie: + =, f gdje je udljeost predmet od leće, udljeost slike od leće, f udljeost fokus (žrišt) od leće Jkost ili kovergecij leće C jest reciproč vrijedost fokle dljie C = f p vrijedi + = C Njprije ćemo ći položj slike predmet s ozirom prvu leću, kovergetu leću jkosti + dpt, udljeost : C 5 m + = C = C = = = = m C 5 m m Doiveu sliku uzet ćemo ko predmet z drugu leću p je = = m = m Sd tržimo položj slike predmet s ozirom drugu leću, divergetu leću jkosti 5 dpt, udljeost : C m + = C = C = = = = C 5 m m m m = = = 67 m 5 5 Vjež 4 Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 8 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet 56 m Zdtk 4 (Mrio, gimzij) Kugl polumjer 5 cm im temperturu 67 C Izrčujte kolik se eergij izrči iz je z 8 s ko kuglu smtrmo psolutim crim tijelom ješeje 4 r = 5 cm = 5 m, t = 67 C => T = t + 73 = = 44 K, t = 8 s, σ = W/(m K 4 ), W =? Poovimo! Toplisk eergij koju zrči površi psoluto crog tijel u jediici vreme određuje se Stef Boltzmovim zkoom: P = σ S T 4, gdje je P sg zrčej, T tempertur tijel, S površi tijel i σ Stef Boltzmov kostt: W σ = m K 4

2 W Iz defiicije sge P = slijedi: t W P t W S T 4 t površi kugle = = σ r W = σ r π T t = S = π 8 W 4 = ( 5 m) π ( 44 K ) 8 s = 487 J 48 kj m K 4 Vjež 4 Kugl polumjer 5 cm im temperturu 67 C Izrčujte kolik se eergij izrči iz je z 6 s ko kuglu smtrmo psolutim crim tijelom 8 Zdtk 43 (Sy, gimzij) Pri updu zrke svjetlosti površiu stkl (ideks lom = 5) dolzi do lom i refleksije Koliki kut ztvrju reflektir i lomlje zrk ko je updi kut 3? ješeje 43 = 5, α = 3, γ =? Primijeimo Sell Descrtesov zko lom: α β siα siα si 3 5 si β si β si β si β = = = 5 = 5 si β = β = si β 95 = 3 3 Kut γ izosi: α + γ + β = 8 γ = 8 α + β γ = γ = γ = 35 Kut γ, koji ztvrju reflektir i lomlje zrk, možemo izrčuti i ovj či: γ = β γ = γ = γ = 35 Vjež 43 Pri updu zrke svjetlosti površiu stkl (ideks lom = ) dolzi do lom i refleksije Koliki kut ztvrju reflektir i lomlje zrk ko je updi kut 3? 7 6 Zdtk 44 (Iv, gimzij) S lećom žriše dljie 6 cm, koj služi ko lup, želimo promtrti predmet duljie mm, tko d jegov virtul slik ude 5 mm Koliko mor leć iti udlje od predmet? ješeje 44 f = 6 cm, y = mm, y ' = 5 mm, =? Poovimo! Jeddž tke leće dje vezu između udljeosti predmet i slike od leće i fokle dljie: + =, f gdje je udljeost predmet od leće, udljeost slike od leće, f udljeost fokus (žrišt) od leće y ' y ' 5 mm m = = = = = 5 / ( ) = 5 y y mm čumo udljeost leće od predmet: γ

3 5 3 + = + = = = = 5 = 3 f /: 5 f 5 f 5 f 5 f 5 f 3 3 = f = 6 cm = 36 cm 5 5 Vjež 44 S lećom žriše dljie 8 cm, koj služi ko lup, želimo promtrti predmet duljie mm, tko d jegov virtul slik ude 5 mm Koliko mor leć iti udlje od predmet? 48 cm Zdtk 45 (Petr, gimzij) Koliko mor iti udlje predmet od tjeme kokvog zrcl polumjer zkrivljeosti d i povećje slike ilo 3? ješeje 45 =, m = 3, =? m = = 3 / ( ) = 3 m = 3 Udljeost predmet od tjeme kokvog zrcl izosi: = + = = = 6 = 4 /:6 = = Vjež 45 Koliko mor iti udlje predmet od tjeme kokvog zrcl polumjer zkrivljeosti d i povećje slike ilo 4? 5 8 Zdtk 46 (Petr, gimzij) Dvije kovergete leće imju žriše duljie cm i 5 cm N kojoj međusooj udljeosti treju iti d prlel sop svjetlosti izlzi ko prleli sop? ješeje 46 f = cm = m, f = 5 cm = 5 m, d =? d F F F F f f Kd dvije leće imju zjedičko žrište, td će ulzi i izlzi sop svjetlosti iti prleli d = f + f d = m + 5 m d = 5 m = 5 cm Vjež 46 Dvije kovergete leće imju žriše duljie 5 cm i cm N kojoj međusooj udljeosti treju iti d prlel sop svjetlosti izlzi ko prleli sop? d = 5 m = 5 cm 3

4 Zdtk 47 (Petr, gimzij) Prlel sop zrk svjetlosti pd kovergetu leću žriše duljie 4 cm N kojoj udljeosti iz je tre smjestiti divergetu leću žriše duljie 5 cm p d sop zrk ko prolsk kroz oje leće oste prlel? ješeje 47 f = 4 cm = 4 m, f = 5 cm = 5 m, d =? F F F F d f f zmk između leć izosi: d = f f d = 4 m 5 m d = 5 m = 5 cm Vjež 47 Prlel sop zrk svjetlosti pd kovergetu leću žriše duljie 45 cm N kojoj udljeosti iz je tre smjestiti divergetu leću žriše duljie cm p d sop zrk ko prolsk kroz oje leće oste prlel? d = 5 m = 5 cm Zdtk 48 (Kety, gimzij) Kut prizme je 4 Koliki je ideks lom prizme, ko se zrk koj pd okomito jedu plohu lomi tko d izlzi duž druge plohe prizme? Nem refleksije plohm prizme, spomeute dvije plohe rzpiju kut prizme ješeje 48 A = 4, =? A Budući d je ozčei trokut prvokut, slijedi: ε + A = 9 čumo kut α: ε + A = 9 α A α A α 4 ε + = ε + = = ε + α = 9 Ako svjetlost prelzi iz optički gušćeg sredstv u optički rjeđe sredstvo, lomi se od okomice Kut lom može iti jviše 9 Kut upd koji odgovr kutu lom 9 je α i zove se kut totle refleksije Vrijedi: siα = = = 56 siα si 4 = Vjež 48 Kut prizme je 5 Koliki je ideks lom prizme, ko se zrk koj pd okomito jedu plohu lomi tko d izlzi duž druge plohe prizme? Nem refleksije plohm prizme, spomeute dvije plohe rzpiju kut prizme 3 Zdtk 49 (Kety, gimzij) Koliki je Brewsterov kut polrizcije ko svjetlost pd iz zrk plstiču pločicu čiji griči kut refleksije izosi 37? ješeje 49 α t = 37, α B =? ε α β 4

5 Kd svjetlost prelzi iz jedog optičkog sredstv u drugo, mijej smjer Updi kut α i kut lom β vezi su jeddžom: siα si β si α si β = = Kut lom može iti jviše 9º, β t = 9º Kut upd koji odgovr kutu lom 9º je α t i zove se kut totle refleksije Dkle, griči kut totle refleksije α t je kut z koji lom više ije moguć Slijedi d je si β t = jer fukcij sius može imti jveću vrijedost si β = siα si si = αt αt = si β t = efleksijom i lomom svjetlost se polrizir Svjetlost je potpuo liero polrizir ko reflektir i lomlje zrk čie prvi kut Updi kut α B z koji je reflektir zrk polrizir zove se kut polrizcije Brewsterov [Brusterov] kut polrizcije α B određe je relcijom: tgα B = 59 tgα B = tgα B = α rctg rctg siα B = = si si 37 = si t α α t t = Vjež 49 Koliki je Brewsterov kut polrizcije ko svjetlost pd iz zrk plstiču pločicu čiji griči kut refleksije izosi 3? 63 Zdtk 5 (Amrij, gimzij) Kkvu sliku dje ikokv leć jkosti 3 m - ko se predmet visie cm lzi udljeosti 5 cm od leće? ješeje 5 C = 3 m -, y = cm = m, = 5 cm = 5 m, =?, γ =? Iz jeddže z tku leću doije se udljeost slike od leće: C 5 m + = = C = C = = = = m f C 5 m 3 m Budući d je <, slik je virtul čumo povećje: m γ = = = 4 5 m Budući d je γ >, slik je usprv Vjež 5 Kkvu sliku dje ikokv leć jkosti 3 m - ko se predmet visie cm lzi udljeosti 5 cm od leće? α β Slik je virtul i usprv Zdtk 5 (Iv, studetic) Kolik je fokl dlji ikokve leće izrđee od stkl ideks lom 6? Polumjeri zkrivljeosti sferih ploh leće izose cm i cm ješeje 5 = 6, = cm = m, = cm = m, f =? Leće širokog ru jesu divergete (ili kokve) 5

6 ikokv leć plkokv leć kovekskokv leć Fokl je dlji d jeddžom ( ) = +, f gdje je reltivi ideks lom leće (prem sredstvu u kojemu se lzi leć), i jesu polumjeri zkrivljeosti sferih ploh leće Predzk polumjer pozitiv je pri koveksoj leći Predzk polumjer egtiv je pri kokvoj leći + = + = f = ( f f + ) m ( m) ( 6 ) ( m m) leć je ikokv f m cm m, m = = = = = Vjež 5 Kolik je fokl dlji ikokve leće izrđee od stkl ideks lom 4? Polumjeri zkrivljeosti sferih ploh leće izose cm i cm 67 cm Zdtk 5 (Iv, studetic) Udljeost između predmet i zstor optičkoj klupi izosi m Između jih se lzi koveks leć fokle dljie 9 cm N kojim udljeostim leće od zstor će se jemu stvoriti oštre slike? ješeje 5 d = m, f = 9 cm = 9 m, =? d + = d = d = + = + f d f = + f = + / f ( d ) f d d = f + f d d = f + f d f d = f d = 4 / ± c + d f d = ( ) d + f d = = d, = c f d = d ± d 4 f d m ± m 4 9 m m, =, = 6

7 36 m + m m = 9 = m = m m m 36 m = Vjež 5 Udljeost između predmet i zstor optičkoj klupi izosi m Između jih se lzi koveks leć fokle dljie 6 cm N kojim udljeostim leće od zstor će se jemu stvoriti oštre slike? 8 m i m Zdtk 53 (Iv, studetic) Udljeost predmet od tjeme kovergete leće izosi 3 cm, jegove slike 3 cm Kolik je fokl dlji leće? ješeje 53 = 3 cm, = 3 cm, f =? Iz jeddže tke leće slijedi: = [ ] 3 cm = + = = 3 cm = + = f = = = 5 cm f f f Vjež 53 Udljeost predmet od tjeme kovergete leće izosi 5 cm, jegove slike 5 cm Kolik je fokl dlji leće? 5 cm Zdtk 54 (Ate, tehičk škol) Ispred kovergete leće fokle dljie f = 3 cm lzi se cm udlje predmet visok cm Odredite položj i veličiu slike ješeje 54 f = 3 cm, = cm, y = cm, =?, y =? Jeddž je tke leće + =, f gdje je udljeost predmet i udljeost slike od leće, f je fokl dlji leće čumo položj slike: f f cm 3 cm + = = = = = = 6 cm f f f f cm 3 cm Povećje, tj omjer između veličie slike i predmet, izosi: ' γ = y y = Kd je γ egtiv, slik je orut, kd je pozitiv, slik je usprv Veliči slike izosi: 7

8 Slik je uveć, usprv i virtul Pri kostrukciji slik rimo tri zrke: ' y ' 6 cm = / y y = y = cm = 6 cm y cm Zrk uspored s osi lomi se tko d prolzi fokusom leće Zrk koj prolzi fokusom lomi se tko d ide usporedo s osi 3 Zrk koj ide središtem e mijej smjer F F F F ' F F ' 3 3' Grfičko (kostrukcijom) rješeje zdtk: y ' F y F f f Vjež 54 Ispred kovergete leće fokle dljie f = 3 dm lzi se dm udlje predmet visok 3 cm Odredite položj i veličiu slike ' = 6 dm, y = 9 cm Zdtk 55 (Ate, tehičk škol) Ispred divergete leće žriše dljie f = 4 cm lzi se 6 cm udlje predmet visok 4 cm Odredite položj i veličiu slike ješeje 55 f = 4 cm, = 6 cm, y = 4 cm, =?, y =? Jeddž je tke leće + =, f gdje je udljeost predmet i udljeost slike od leće, f je fokl dlji leće Udljeost je virtule slike, ko i žriš (fokl) dlji divergete leće, egtiv čumo položj slike: 8 = 6 cm f f 6 cm 4 cm + = = = = = = 4 cm f = 4 cm f f f f 6 cm 4 cm Povećje, tj omjer između veličie slike i predmet, izosi: ' γ = y y = Kd je γ egtiv, slik je orut, kd je pozitiv, slik je usprv

9 Veliči slike izosi: Slik je umje, usprv i virtul Pri kostrukciji slik rimo tri zrke: y ' ' 4 / = y y = y = cm 4 cm = 6 cm y 6 cm Zrk uspored s osi lomi se tko d prolzi fokusom leće Zrk koj prolzi fokusom lomi se tko d ide usporedo s osi 3 Zrk koj ide središtem e mijej smjer F F F F ' F F ' 3 3' Grfičko (kostrukcijom) rješeje zdtk: y F y ' F f f Vjež 55 Ispred divergete leće žriše dljie f = 4 dm lzi se 6 dm udlje predmet visok 8 cm Odredite položj i veličiu slike ' = 4 dm, y = 3 cm Zdtk 56 (Gor, elektrotehičk škol) Kd sučeve zrke pdu vodu pod kutom 4, kut lom izosi 3 Kolik je rzi svjetlosti u vodi? (c = 3 8 m/s rzi svjetlosti u zrku (vkuumu)) ješeje 56 α = 4, β = 3, c = 3 8 m/s, v =? Updi kut α i kut lom β vezi su jeddžom α β siα c, si β = v gdje su c i v rzie svjetlosti u zrku i vodi siα c v siα c si β si β = v = c si β si m 33 8 m v = = siα s si 4 = s 9

10 Vjež 56 Kd sučeve zrke pdu stkleu ploču pod kutom 5, kut lom izosi 3 Kolik je rzi svjetlosti u stklu? (c = 3 8 m/s rzi svjetlosti u zrku (vkuumu)) 96 8 m s Zdtk 57 (Iv, studetic) N zstoru koji je m dleko od predmet leć dje dvostruko uveću sliku Odredite žrišu dljiu leće ješeje 57 + = d = m, γ =, f =? Budući d se slik vidi zstoru, rel je i doive kovergetom lećom (diverget leć dje smo virtule slike) el slik kovergete leće uvijek je orut p je povećje γ egtivo čumo udljeost predmet i slike od leće: + = d + = d d γ d γ = d ( γ ) = d = = γ = = γ γ γ Žriš dlji leće izosi: d γ d γ γ + γ d m = + = f = f = f = = = 7 m f f + d + ( γ ) ( ) y F F y' Vjež 57 N zstoru koji je 4 m dleko od predmet leć dje dvostruko uveću sliku Odredite žrišu dljiu leće 53 m Zdtk 58 (Iv, studetic) Dvije plkokve leće jedkih polumjer zkrivljeosti ( = = cm) i rzličitih ideks lom ( = 5, = 7) zlijepljee su svojim rvim plohm Kolik je žriš dlji sustv leć? ješeje 58 = = cm, = 5, = 7, f =? Žriše dljie plkokvih leć su: f, = f = Žriš dlji sustv leć izosi: f f ( ) ( ) f = f = f = f + f ( ) ( ) ( ) ( )

11 f = f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cm cm f = = = 736 cm ( ) + ( ) cm ( 7 ) + cm ( 5 ) Vjež 58 Dvije plkokve leće jedkih polumjer zkrivljeosti ( = = 3 cm) i rzličitih ideks lom ( = 5, = 7) zlijepljee su svojim rvim plohm Kolik je žriš dlji sustv leć? 479 cm Zdtk 59 (Iv, studetic) Z koliko postotk će se promijeiti rzi svjetlosti kd prijeđe iz zrk u vodu čiji je ideks lom = 4/3? ješeje 59 4 c =, =? 3 c c Budući d je rzi svjetlosti u zrku c, jezi rzi v u vodi it će: v = c Promje rzie izosi: c = c v = c = c c c 3 c eltiv pogrešk je: = = = = = ili % = % = 5% c c c 4 3 Vjež 59 Z koliko postotk će se promijeiti rzi svjetlosti kd prijeđe iz zrk u sredstvo čiji je ideks lom = 5/4? % Zdtk 6 (Dey, gimzij) Može li se jeddž sferog zrcl uporiti z rv zrcl? ješeje 6 Budući d je kod rvog zrcl polumjer zkrivljeosti =, iz jeddže sferog zrcl doije se: + = lim = + = = = Zči d je slik u rvom zrclu simetrič s predmetom i virtul (to pokzuje zk mius) y y' = Vjež 6 Predmet je od rvog zrcl udlje 5 cm Kolik je udljeost predmet od slike? 5 cm

( ) 2. određuje se izrazom S = 4 π

( ) 2. određuje se izrazom S = 4 π Zdtk 8 (Ml, gimzij) Itezitet Sučev zrčej udljeosti od.5 0 m od središt Suc izosi 00 W/m. Z koliko se smji ms Suc tijekom 365 d uz pretpostvku d se eergij koju Suce zrči u potpuosti doiv uklerim izgrjem

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 001 (Lidija, gimnazija) Predmet visok 10 cm udaljen je 40 cm od tjemena konkavnog sfernog zrcala polumjera

Zadatak 001 (Lidija, gimnazija) Predmet visok 10 cm udaljen je 40 cm od tjemena konkavnog sfernog zrcala polumjera Zdtk (Lidij, gimzij) Predmet isok m udlje je 4 m od tjeme kokog serog zrl polumjer zkriljeosti 5 m. Rčuski odredi položj i eličiu slike. Rješeje y = m, x = 4 m, r = 5 m, x' =?, y' =? Jeddž serog zrl dje

Διαβάστε περισσότερα

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10. Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Monokromatska svjetlost valne duljine 1.16 µm pada okomito na dvije planparalelne ploče koje čine = 0.

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Monokromatska svjetlost valne duljine 1.16 µm pada okomito na dvije planparalelne ploče koje čine = 0. Zaatak 08 (Nia, gimazija) Mookromatska svjetlost vale uljie.6 µm paa okomito a vije plaparalele ploče koje čie kli. Ualjeost viju susjeih tamih pruga je 0 mm. Koliki je kut meñu pločama? Rješeje 08 =.6

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac

a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac ) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)

Διαβάστε περισσότερα

γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2

γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2 Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 2 2 ( ) [ > ] ( ) 2

( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 2 2 ( ) [ > ] ( ) 2 Zadatak 8 (Dio, gimazija) Predmet i slika trebaju biti udaljei 00 cm. Gdje treba postaviti leću žariše daljie 6 cm da bi se dobila reala slika? Rješeje 8 d = 00 cm = m, f = 6 cm = 0.6 m, a =? Leće su prozira

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ )

7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ ) X. gimzij Iv Supek Zgre, Klićev 7. lipj 000. godie Mturl zdć iz mtemtike Rješej zdtk. ) Riješi jeddžu 7 Rješeje: Njprije se tre riješiti psolutih vrijedosti tko d z svki izrz uutr psolute vrijedosti odredimo

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c. Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu

Διαβάστε περισσότερα

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2 F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

O k o OPTIČKI INSTRUMENTI. Oko Tamna komora (camera obscura, pinhole camera) Povećalo (magnifier) Fotoaparat Mikroskop

O k o OPTIČKI INSTRUMENTI. Oko Tamna komora (camera obscura, pinhole camera) Povećalo (magnifier) Fotoaparat Mikroskop OPTIČKI INSTRUMENTI Oko Tmn komor (cmer obscur, pinhole cmer) Povećlo (mgniier) Fotoprt Mikroskop O k o Ljudsko oko je vjerojtno njkompleksniji optički instrument. Ono što g čini još scinntnijim je činjenic

Διαβάστε περισσότερα

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x) Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2

Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2 Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

c - brzina svjetlosti u vakuumu, v - brzina svjetlosti u sredstvu. Apsolutni indeks loma nema mjernu jedinicu i n 1.

c - brzina svjetlosti u vakuumu, v - brzina svjetlosti u sredstvu. Apsolutni indeks loma nema mjernu jedinicu i n 1. Geometrijska optika_intro Zakoni geometrijske optike, zrcala, totalna refleksija, disperzija svjetlosti, leće, oko i načini korekcije vida Zakoni geometrijske optike 1. zakon pravocrtnog širenja svjetlosti

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Optika. Geometrijska optika Zakon loma na sfernoj granici Preslikavanje lomom

Fizika 2. Optika. Geometrijska optika Zakon loma na sfernoj granici Preslikavanje lomom Fizika Optika Geometrijska optika Zako loma a seroj graici Preslikavaje lomom Zako loma a seroj graici promotrimo dva prozira sredstva koja imaju idekse loma i Graica između ta dva sredstva je sera površia

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima

Geometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima Zadaci - Geometrijska optika - Fizikalna optika - 2007/08 Geometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima ravni dioptar planparalelna ploča prizma Koja svojstva svjetlosti poznajete? Što je svjetlost

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Optika. Geometrijska optika

Fizika 2. Optika. Geometrijska optika Fizika Optika Geometrijska optika Geometrijska optika -empirijska, aproksimativa (vrijedi uz određee uvjete) -svjetlost se proučava kao pravocrta pojava koja se širi brziom c 0 =30 8 ms - u vakuumu -svojstva

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za državnu maturu

Priprema za državnu maturu Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE

PITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE PITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE 1. Opišite svjetlosne izvore. Po čemu se oni razlikuju? 2. Opiši osjetljivost oka na različite valne duljine. 3. Definiraj (i pojasni) pojmove: točkasti svjetlosni

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

2. Rotacija krutog tijela. Kinematika krutog tijela. 11. dio. Kinematika krutog tijela. 1. Translacija krutog tijela. a) Krivocrtna b) Pravocrtna

2. Rotacija krutog tijela. Kinematika krutog tijela. 11. dio. Kinematika krutog tijela. 1. Translacija krutog tijela. a) Krivocrtna b) Pravocrtna Kod kruog ijel udljeosu bilo kojih diju ok ijel osje ijekom gibj epromijeje. Kiemik kruog ijel 11. dio Kiemik gibj: ) kruog šp b) krue ploe c) kruog ijel. Rzlikujemo: ) slobodo ijelo b) eslobodo ijelo

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

F2_K1_geometrijska optika test 1

F2_K1_geometrijska optika test 1 F2_K1_geometrijska optika test 1 1. Granični lom i totalna refleksija. Izračunajte granični kut upada za sistem staklozrak, ako je indeks loma stakla 1,47. Primjena totalne refleksije na prizmi; jednakokračna

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006. šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINA I TEMPERATURA:

TOPLINA I TEMPERATURA: GEOMETRIJSKA OPTIKA 1. U staklenoj posudi s ravnim dnom nalazi se sloj vode (n v =1,33) debljine 5 cm, a na njemu sloj ulja (n u =1,2) debljine 3 cm. Iz zraka na ulje upada svjetlost pod kutom 45, prolazi

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit - RJEŠENJA

Priprema za ispit - RJEŠENJA Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

4. Leće i optički instrumenti

4. Leće i optički instrumenti 4. Leće i optički instrumenti. Ključni pojmovi Leće, Besselova metoda, dijaprojektor, mikroskop, Keplerov i Galilejev teleskop. Teorijski uvod Jednadžba leće: Žarišna daljina tanke leće, udaljenost predmeta

Διαβάστε περισσότερα

1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom

1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom Valovi 1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom y = a3 a 2 x 2, gdje je a = 1 m (x i y takoder su izraženi u metrima). Maksimum impulsa je u toči x = 0 m.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska optika. Fizika 2 Predavanje 9. Dr. sc. Damir Lelas

Geometrijska optika. Fizika 2 Predavanje 9. Dr. sc. Damir Lelas Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje 9 Geometrijska optika Dr. sc. Damir Lelas (Damir.Lelas@fesb.hr, damir.lelas@cern.ch ) Danas

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1

Zadatak 1 PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Optika. Geometrijska optika 2009/10

Fizika 2. Optika. Geometrijska optika 2009/10 Fizika Optika Geometrijska optika 009/10 1 Geometrijska optika -empirijska, aproksimativna (vrijedi uz određene uvjete) -svjetlost se proučava kao pravocrtna pojava koja se širi brzinom c 0 =310 8 ms -1

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

GIBANJE (m h) giba miruje giba giba miruje miruje h 1000 :1000 h 1 h h :1000 1

GIBANJE (m h) giba miruje giba giba miruje miruje h 1000 :1000 h 1 h h :1000 1 GIBANJE ( h) gibnje gibnje ijel je projen položj ijel ili dijelo ijel u odnou pre neko drugo ijelu z koje o ujeno (dogoorno) uzeli d iruje U odnou n liječnik: gib iruje gib iruje gib gib iruje iruje gib

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke. Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

pismeni br : Odrediti interval konvergencije reda = 11.2: Metodom varijacije konstante odrediti opće rješenje jednadžbe ( x

pismeni br : Odrediti interval konvergencije reda = 11.2: Metodom varijacije konstante odrediti opće rješenje jednadžbe ( x Piedio D.Joičić pismei b..: Odediti itel koegecije ed..: Metodom ijcije kostte odediti opće ješeje jeddžbe e.: Ičuti d, gdje je K goj poloic elipse peđe od K b točke A, do B,..: Ičuti pom okttu. I d, gdje

Διαβάστε περισσότερα