FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Transcript

1 FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje iju vžost u prktičoj prijei, vode s do Fourierovih redov. Ie su doili po frcusko fizičru Josephu FOURIERU (768-83), vže su pri rješvju prole vezih uz oiče i prcijle diferecijle jeddže. Rzotrit ćeo osove pojove i čijeice veze uz Fourierove redove, ko i prijeu izov eke tehičke prolee u ižejerskoj prksi. 8. Periodičke fukcije. rigooetrijski izovi Z fukciju f(x) kžeo d je periodičk fukcij ko je defiir z svki x koji je eleet skup R relih rojev i ko postoji tkv pozitiv roj d vrjedi: () f(x + ) = f(x) Broj se td zove period fukcije f(x).. Njji pozitiv period fukcije f(x), koj ije kostt, češće se ziv priitivi period od f(x). Npr. priitivi periodi fukcije six i fukcije si x su p odoso p. Grfovi tkve fukcije doijju se periodički povljje grf uutr ilo kojeg itervl duljie period. Iz tog proizlzi d z ilo koji cijeli roj : f(x + ) = f(x) dkle svki višekrtik f ( x) = c g ( x) = cg ( x) + c g( x) +... ( ) od tkođer je = period te fukcije. Ako fukcije f(x) i g(x) iju period td će i fukcij h(x) = f(x) + g(x) iti period. (, kostte)

2 Stdrdi prijeri periodičih fukcij su siuse i kosiuse fukcije i poijeo d su fukcije f = c = cost tkođer periodičke fukcije u sislu defiicije, jer zdovoljvju uvjet () z svki pozitiv period. Nš prole it će prikz rzličitih fukcij s periodo p ko što su:. cos x, si x, cos x, si x,..., cos x, six x,... Redovi koji se pojvljuju uutr ovog poglvlj ogu se zpisti u oliku trigooetrijeskog t izrz: () + cos x + si x + cos x + si x +... gdje su,,,...,,, rele kostte. Ovkvi redovi se zivju trigooetrijski redovi, človi i se zivju koeficijeti trigooetrijskog red. Vidljivo je d svki čl ovog red i period p. Ako trigooetrijski red kovergir, su će iti fukcij s periodo p.

3

4 Slik. Sius i kosius fukcij i period p Periodičke fukcije koje se pojvljuju u ižejerski prolei su često koplicire i poželjo je predočiti tkve fukcije ko jedostve periodičke fukcije. Vidljivo je d se ilo koj periodičk fukcij f(x) s periodi p ože proksiirti trigooetrijski redo, koeficijeti u () ogu se izvesti u terii fukcije f(x). (Prijeri vezi uz vircije i oscilcije). 8. Fourierovi redovi. Eulerove forule Pretpostvio d je f(x) periodičk fukcij s periodo p, koju ožeo prikzti trigooetrijski redo. () f ( x) = + ( cos x + si x) = Želio odrediti koeficijete i u odgovrjuće redu (). Prvo izrčuvo koeficijet iegrirjući izrz () s oje stre od p do p: f ( x) = + ( cosx + si x) = Prcijl itegrcij dje sljedeću jedkost:

5 f ( x) = + ( cosx + si x) = Prvi dio izrz desoj stri jedk je p dok su ostli itegrli izrzi jedki uli, te provedo itegrcije doivo: () = f ( x) Područje ispod krivulje fukcije f(x) od p do p podijelje s p. Sd ćeo redo izrčuti koeficijete,..., po sličo postupku. Možit ćeo s cos x, gdje je ilo koji fiksi pozitiv roj. Slijedi: (3) f ( x) cos x = + ( cos x + si x cos x = Itegrirjući čl po čl etodo prcijle iegrcije proizlzi d je des str jedk: cos x + cos xcos x + si x cos x = Prvi itegrl i zdji itegrl jedki su uli zto jer je poditegrli izrz epr fukcij. Prijejujući svojstv prosti i eprosti fukcije drugi itegrl doivo izrz: cos x cos x = cos( + ) + cos( ) U ovoj foruli prvi itegrl s dese stre jedk je uli z svki i koji se uziju u ozir i posljedji itegrl tkođer je jedk uli kd je Proizlzi d je des str (3) jedk: (4) = f ( x)cos x ili izosi p z svki =. Kočo ožeo izrčuti koeficijete,,... u () pri čeu ožio s si x, gdje je ilo koji fiksi pozitiv roj. Itegrcijo doiveog izrz od p do p doivo: (5) f ( x)si x = + ( cos x + si x si x =

6 Itegrirjući čl po čl etodo prcijle itegrcije, vidio d je des str izrz jedk: si x + cos xsi x + si xsi x = Prvi iegrl jedk je uli. Sljedeći itegrl je poput oi koji su rztri rije i tkođer je jedk uli z svki =,,... Posljedji itegrl ože se trsforirti u izrz () i doivo: six six = cos( ) x cos( + ) x Posljedji čl ovog izrz jedk je uli. Prvi čl s dese stre jedk je uli z svki ili izosi p z svki =. Ko i u izrzu (5) i ovj je čl poože fktoro. Des str izrz (5) postje p, dkle: = f ( x)si x Upisujući ujesti u ovu forulu i u (4), zjedo ćeo doiti Euerove forule: () = f ( x) (6) () (c) = f ( x)cos x = f ( x)si x D periodičk fukcije f(x) s periodo p dt će koeficijete, i, pre (6) i ogućost olik trigooetrijskog iz: + cos x + si x + cos x + si x cos x + si x +... (7) Ovj red se ziv Fourierov red i odgovr f(x) i jee koeficijete zivo Fourierovi koeficijeti fukcije f(x).

7 Zog periodičosti poditegrlih fukcij, itegrl itegrcije u (6) ože se zjeiti s ilo koji itervlo duljie p, pr. itervl x. Iz defiicije određeog itegrl slijedi čijeic d ko je fukcije f(x) eprekiut ili so po dijelovi eprekiut itegrl te fukcije u (6) postoji i ožeo izrčuti Fourierove koeficijete z du fukciju pre (6). EOREM : Ako io periodičku fukciju f(x) s periodo p koj je djeloičo eprekid uutr itervl x i ukoliko postoji je derivcij i s lijeve i s dese s tre u svkoj točki uutr itervl itegrcije td z odgovrjuci Fourierov red kžeo d je koverget. PRIMJEDBA: Ukoliko Fourierov red odgovrjuće fukcije f(x) kovergir, ko što je ojšjeo u teoreu, red se ziv Fourierovi redo fukcije f(x) p ožeo pisti: f ( x) = + cos x + si x + cos x + si x cos x + si x +... i kžeo d f(x) predstvlj Fourierov red dotiče fukcije. Kko je ovj iz koverget i ovodoivei red it će suu jedku sui origilog red p ožeo pisti: f ( x) = + cos x + si x = 8.3 Pre i epre fukcije Fukcij g = g(x) je pr ko vrijedi d je g(x) = g(-x). ipiči prijeri pre i epre fukcije di su sljedeći grfovi: Grf ovkvih fukcij sietrič je s oziro orditu. Z fukciju h(x) kžeo d je epr ko vrijedi h(-x) = -h(x). Fukcij cos x je pr fukcij dok je si x epr fukcij. Ako je fukcij g(x) pr fukcij td vrijedi: () g( x) = g( x) Ako je fukcij h(x) epr td vrijedi :

8 () h( x) = Forule () i () proizlze iz grfov tih fukcij što se vidi s grfov fukcij g i h. Produkt fukcij q = gh, pri čeu je g pr fukcij, h epr fukcij je epr fukcij jer: [ ] q( x) = g( x) h( x) = g( x) h( x) = q( x) Stog ko je fukcij f(x) pr td f si x u (6c) posljedjeg poglvlj epr i Fourierov koeficijet =. Sličo ko je fukcij f(x) epr td je i fukcij f cos x ( ) u (6) tkođer epr, koeficijet =. Iz ovog i relcije () proizlzi EOREM. Fourierov red ilo koje pre periodičke fukcije s periodo p je kosiusi Fourierov red koji zpisujeo: (3) f ( x) ( cos x) = + s koeficijeti... = (4) = f ( x) Fourijerov red ilo koje epre periodičke fukcije period p je tzv. siusi Fourierov red koji zpisujeo: (5) = f ( x)cos x s koeficijeti = f ( x)si x pr. Fukcij f(x) u prijeru poglvlj 8 je pr fukcij i stog je prikz siusi Fourierovi izo. Dljj pojedostvljej proizlze iz sljedećeg teore 8.4 Fukcije koje iju proizvolj period Prijelz iz fukcije period p fukcije koje iju period priličo je jedostv zog togšto se ože provesti izje skle. Nie, ko je f(t) fukcij period, td

9 ožeo uvesti ovu vrijlu x tko d ov fukcij, ko fukcij od x, i period p. Ako stvio: () () () t = x proizlzi x = t + Odvde proizlzi d je x =, odgovrjući t = / što zči d je f fukcij vrijle x + s periodo p i ožeo ispisti Fourierov red u sljedeće oliku. () f ( x) = f ( x) = + ( cos x + si x) = čije koeficijete doivee iz jeddže (6) zpisujeo u ovo oliku i rčuo pre sljedeći forul () = f ( x) (6) () (c) = f ( x)cos x = f ( x)si x Možeo prijeiti i ove forule direkto li projeo period pojedostvljujeo jeddžu: x = t slijedi = dt Itervl itegrcije se jej i postje: t Pre toe uporo Eulerovih forul doivo: () (3) () / = / / / f ( t) dt = f ( t)cos dt =,...

10 (c) / = f ( t)si dt / Z Fourierove koeficijeete fukcije f(t), Fourierov red u koje je vrijl x zjeje vrijlo t i sljedeći olik: (4) f ( t) = + ( cos t + si t) = Itervl itegrcije u jeddži (3), ože se zjeiti s ilo koji itervlo duljie. Prijerice itervl t. Iz teore () u poglvlju 8.3 doivo slijedeći izrz: EOREM. Fourierov red pre fukcije f(x) period je kosiusi Fourierov red : (5) f ( t) = + cos t s koeficijeti: (6) / = = f ( t) dt / 4 = f ( t)cos tdt =,... Fourierov red epre fukcije f(t) period je siusi Fourierov red z koji vrijedi: (7) f ( t) = si t = s koeficijeti: (8) / 4 = f ( t)si tdt 8.5 Poluperiodičko prošireje red Nek fukcij f(x) i period =l. Ako je t fukcij pr iz teore () slijedi d je Fourierov red kosiusi: () f ( t) = + cos t ( f pr fukcij ) l s koeficijeti: =

11 () = f ( t) dt l l l = f ( t) cos tdt l =,... l Ako je fukcij f(x) epr fukcij doiv se Fourierov siusi red: (3) f ( t) = si t ( f epr fukcij ) l = s koeficijeti: (4) = f ( t)si tdt l l f (t) t - l l () periodičko povljje pre fukcije period l f (t) t -l l () periodičko povljje epre fukcije period l

12 Ortogole fukcije Nek su g (x) i g (x) rele fukcije koje su defiire u itervlu x i ek postoji itegrl produkt g( x) g( x) to itervlu. Itegrl ćeo ozčiti ko ( g, g ). Pre toe: () ( g, g ) g ( x) g ( x) = Z fukcije kžeo d su ortogole u itevlu x ko je itegrl () jedk uli: () ( g, g ) = g( x) g ( x) = ( ) Skup relih fukcije g( x), g( x), g3( x ),... zoveo ortogoli skup fukcij u itervlu x ko su te fukcije defiire u to itervlu i ko su jedke uli z prove rzličitih fukcije u to skupu. Ne-egtiv korije od ( g, g ) se zove or od g ( x ) i oičo se ozčv s g ; pre toe (3) = (, ) = ( ) g g g g x Osov pretpostvk. Sve fukcije koje se pojvljuju su ogričee i iju svojstvo d itegrli koji se pojvljuju postoje i d jihove ore su jedke uli. Ortogoli skup g, g... u iervlu x čije fukcije iju oru zdovoljv relciju: =,,... (4) ( g, g ) = g ( x) g ( x) = { = =,,... kv skup se ziv ortoorir skup fukcij u itervlu x. Vidljivo je d iz ortogolog skup ožeo doiti ortoorir skup djeljeje svke fukcije s jezio oro u itervlu koji rtro. Gledjući izvod Eulerove forule (6) iz poglvlj 8.

13 () = f ( x) (6) () (c) = f ( x)cos x = f ( x)si x z Fourierove koeficijete, vidio d so jedio slijedili čijeicu d je skup,cos x,si x,cos x,si x,... ortogol itervlu duljie. o upućuje ogućost prikz zde fukcije f(x) pooću ilo koje ortogole filije f x f x olik: f ( x) = c g ( x) = cg ( x) + c g( x) +... (6) ( ), ( ),... = Ako tj red kovergir i predočuje f(x) zivo g geerlizir Fourierov red fukcije f(x), jegove koeficijete zivo Fourierovi kostt fukcije f(x) s oziro tj ortogoli skup fukcij. D odredio koeficijete, ožio oje stre izrz (6) s g( x) i itegriro u itervlu x u koje su fukcije ortogole (pretpostvio d je prcijlo itegrirje dopušteo) i doivo: = = f ( x) g ( x) c g ( x) g ( x) Doijo itegrl = koji je jedk kvdrtu izos g uli jer su fukcijeeđusoo ortogole. Pre toe: (7') fg = c g,dok su ostli itegrli jedki tj, (7) c = f ( x) g ( ) x g Ako je skup fukcije ortoorir td Fourierove kostte zdovoljevju Besselovu ejedkost: (8) 3... ( ) c + c + c + f x Zto red lijevoj stri kovergir p: c pri