Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Transcript

1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d td emju dovoljo mtemtičkog zj z rzumijevje pojmov ko što su supermum, ifimum, Drouxove sume, doji i gorji Riemov itegrl - utori sredjoškolskih udžeik vješto stoje izjeći jihovo korišteje. U ovom ćemo rdu usporediti udžeike z četvrti rzred sredje škole sljedećih utor: Neve Elezović (vidi [3]) Sj Atoliš, Aet Copić, Nevek Atočić (vidi [4], [5]) Hrvoje Krljević i Zvoimir Šikić (vidi [6]) Usredotočit ćemo se sličosti i rzlike kod prikzivj sljedećih pojmov: sume, griči prijelz, primitiv fukcij, Newto-Leiizov teorem. Udžeicim je zjedičko d se svi utori odlučuju isključivo z itegrilost eprekidih fukcij segmetu. Pojm sume svki od gore vedeih utor ojšjv rzličit či, p tko N. Elezović em Drouxove sume, li koristeći pretpostvku d je fukcij eprekid smije koristiti Bolzo-Weierstrssov teorem i zključiti d svkom podsegmetu fukcij poprim miimum i mksimum. Autor umjesto Drouxovih sum koristi doju i gorju itegrlu sumu. Autorice S. Atoliš, A. Copić i N. Atočić uvode ekvidisttu sudiviziju segmet, re izrz itegrl sum fukcije segmetu, koj dje jedu proksimciju površie ispod grf fukcije. Koristeći se ituicijom, utorice vode d iz itegrlih sum teži prem površii. U udžeiku koji su pisli H. Krljević i Z. Šikić tkođer em Drouxovih sum, defiirju doje i gorje sume. Prem [3] prolem jedkosti dojeg i gorjeg Riemovog itegrl riješe je gričim prijelzom, prem [4] i [5] ekvidisttom sudivizijom segmet. 1 Ovj je člk pis osovi diplomskog rd Ive Božić (metor T. Šikić) orjeog godie Diplomskom studiju Mtemtik, smjer stvički (PMF-MO, Sveučilište u Zgreu). 2 Iv Božić, Tehičko veleučilište u Zgreu Grditeljski odjel 3 Tomislv Šikić, Fkultet elektrotehike i rčurstv Sveučilišt u Zgreu 41

2 POUČAK 48 S ozirom či kko defiirju doje i gorje sume u [6], emju prolem s dojim i gorjim Riemovim itegrlom. Uvođejem Bolojskog proces PMF- Mtemtičkom odjelu Sveučilišt u Zgreu došlo je do zčjih promje u progrmu preddiplomskog studij Mtemtik - stvički smjer. Kolegiji Mtemtičke lize 1-3 zmijejei su kolegijim Diferecijli i itegrli rču 1 i 2 [12]. Temelj litertur osovi koje su se formirli spomeuti ovi kolegiji su, uz dosdšje udžeike prof. Kurepe, i udžeici klkulus jede i više vrijli Serge Lg. Progrme kolegij su formirli dugogodišji stvici Mtemtičke lize 1 i 2, te Mtemtičke lize 3 i 4, prof. H. Šikić i prof. Š. Ugr. Stog će se u ovom člku dost prostor posvetiti i zimljivom pristupu uvođej itegrlog rču u udžeiku S. Lg, A first course i clculus [7], koji se koristi z uvodi kolegij u mtemtičku lizu mogim reomirim sveučilištim. Rd zključujemo pristupom koji se predvo u sklopu kolegij Diferecijli i itegrli rču 1 ( osovi spomeutih smjeric) u drugom (ljetom) semestru prve godie preddiplomskog studij mtemtike, smjer stvički, ko početi kolegij mtemtičke lize. Pristup im dodirih točk s svim prije vedeim udžeicim, stog se može primijeiti i u sredjoškolskoj stvi. Štoviše, uvođejem domee ifiitezimli rču u NOK-u [11] uprvo prolemtik uvođej učeik u diferecijli i itegrli rču im veliku vžost. Zvrši dio člk smtrmo zčjim z uduće mlde profesore čije će se orzovje i zje o diferecijlom i itegrlom rčuu zsivti spomeutoj kocepciji u kojoj udžeici S. Lg imju zčji trg. Stog je uspored spomeutih (i iih) sredjoškolskih udžeik te jihov komprcij s udžeicim Prof. Kurepe [1] i s ovim kolegijem Diferecijli i itegrli rču 1 [12] od presude vžosti z kvliteto uvođeje pojm itegrl u sredjim školm. Člk je podijelje u dv djel. Prvi dio odosi se komprciju sredjoškolsk udžeik ([3], [4], [5], [6]), drugi dio pokriv pristup prem kjizi S. Lg [7] i predvjim kolegiju Diferecijli i itegrli rču 1. Drugi dio člk it će ojvlje u idućem roju Poučk. 2. Od klsiče defiicije preko Riemovog teorem do Newto-Leiizove formule Nek je dio rvie omeđe grfom fukcije (pseudotrpez), ko slici 1. Iko je slici prikz grf eke eprekide fukcije, klsič defiicij će u općeitosti iti d z ogričee fukcije. Prtit ćemo otciju i pristup koji se već godim primjejuje u okviru kolegij Mtemtičk liz 1 i 2 PMF-Mtemtičkom odjelu (vidi [1], [2]). Nek je [,], <, segmet u R i ek f :, R fukcij ogriče segmetu [,]. Slik 1. 42

3 To zči d postoje m = if [,] f i M = sup [,] f tj. x,, m f( x) M. Uočimo, ko je ', ', podsegmet, od vrijedi x ', ', m m' f( x) M' M, gdje je m = if [, ] f i M = sup [, ] f. Dkle, ifimum podsegmetu je veći ili jedk ifimumu segmetu, supremum podsegmetu je mji ili jedk supremumu segmetu. Z N podijelimo segmet (izvršimo sudiviziju) [,] točkm dijelov, (1) Ndlje defii- Ozčimo s rmo sume: z po volji izre točke Broj s zovemo doj Drouxov sum, S je gorj Drouxov sum, σ je itegrl sum. U stvku će m treti sljedeće ejedkosti Nek je A skup svih dojih Drouxovih sum s, B je skup svih gorjih Drouxovih sum S, C je skup svih itegrlih sum σ fukcije f segmetu [,]. Sve te sume doivju se vrirjem roj N svim rzličitim izorim sudivizije (1) i točk t k. Iz ejedkosti (5) slijedi d su skupovi A, B, C ogričei odozdo s m(-) i odozgo s M(-). Prem ksiomu potpuosti postoje Defiicij 1. Broj I * zovemo doji Riemov itegrl fukcije f segmetu [,], roj I * zovemo gorji Riemov itegrl fukcije f segmetu [,]. Teorem 1. Nek je f :, R fukcij ogriče segmetu [,], ek su I * i I * doji i gorji Riemov itegrl fukcije f segmetu [,]. Td je (8) Defiicij 2. Z fukciju f :, R ogričeu segmetu [,] kžemo d je itegril u Riemovom smislu ili R-itegril segmetu [,] ko je (9) Td se roj I = I * = I * ziv itegrl ili R-itegrl fukcije f segmetu [,] i ozčv jedom od sljedećih ozk I = f( x) dx = f N tj či uvede je pojm Riemov itegrl. (2) (3) (4) (5) (6) (7) (10) 43

4 POUČAK 48 Teorem 2. Nek je f :, R ogriče fukcij [,] R Fukcij f je itegril [,] ko i smo ko ε > 0 postoji sudivizij segmet [,] tkv d z pripde Drouxove sume vrijedi S s< ε. Sljedeći teoremi dokzuju d su mootoost i eprekidost segmetu svojstv koj povlče itegrilost. Teorem 3. Nek je f :, R mooto fukcij [,] R. Td je o R-itegril [,]. Defiicij 3. Z fukciju f :, R kžemo d je mooto po dijelovim segmetu [,] ko postoji sudivizij tkv d je mooto fukcij z sve k=1,,. Korolr 1. Nek je f :, R po dijelovim mooto fukcij [,] R. Td je o R itegril [,]. Defiicij 4. Z fukciju f :, R kžemo d je jedoliko (uiformo) eprekid itervlu I R ko Teorem 4. Nek je f :, R eprekid fukcij itervlu [,] R. Td je o jedoliko eprekid [,]. 44 Sd iskzujemo Riemov teorem o itegrilosti eprekide fukcije. Teorem 5. Nek je f :, R eprekid fukcij [,] R. Td je o R-itegril [,]. Tkođer, postoji točk c, tkv d je Bito je istkuti d je, uz spomeuti Teorem 4, u dokz Riemovog teorem ivolvir i spomeuti Bolzo-Weierstrssov teorem i Teorem 2. Defiicij 5. Nek je I R otvore itervl i f :I R. Primitiv fukcij ili tiderivcij fukcije f skupu I je svk fukcij F :I Rs svojstvom F (x)=f(x), x I. Sljedeći teorem dje dovolje uvjete z postojje primitive fukcije. Teorem 6. Nek je I R otvore itervl i f :I Rfukcij eprekid I. Td postoji primitiv fukcij od f I. N osovi Teorem 6 dokzuje se temelji teorem Newto-Leiizov formul. Teorem 7. (Newto-Leiizov formul) Ako je f eprekid fukcij otvoreom itervlu I i ek je F ilo koj primitiv fukcij fukcije f I, od z svki segmet [,] I vrijedi f( x) dx = F( ) F( ). (11)

5 3. Prolem površie i pojm određeog itegrl Autori sredjoškolskih udžeik ([3], [4], [5], [6]) ojšjvju ovj dio grdiv rzličit či. Prem [3] utor cjeliu zvu Itegrl i primitiv fukcij zpočije prolemom površie i određeim itegrlom, dok utorice udžeik [4], [5] stvu cjeliu zvu Itegrli zpočiju eodređeim itegrlom i primitivom fukcijom. Prije ego li defiirju pojmove, motivirju učeike zimljivim primjerom sukog tker koji ispušt ftu. Učeicim je d formul rzie širej fte mrlje i od jih se trži d rčujem rzie širej fte mrlje i određivjem jezie površie ko st vreme, dođu do spozj d je rzi promjee te površie zprvo derivcij tržeog izrz z površiu. Autori udžeik [6] ovj dio grdiv dijele u dvije cjelie, zpočiju s površiom i određeim itegrlom, ztim orđuju eodređei itegrl, u defiirju pojmov često koriste pojmove iz fizike kko i učeicim priližili ovj dio grdiv, poput rzie, put, vreme Udžeik Elezović Prolem mjerej duži, površi i oujm io je osovi prolem mtemtike u jeziim zčecim. Trsformcijom prvokutik (P = ) možemo mjeriti površiu prlelogrm, trokut, mogokut. Autor glšv složeost rčuj površie ilo kojeg lik omeđeog zkrivljeom krivuljom (ko sl. 1), glšv d emju svi likovi površiu te d će se o u svom udžeiku viti smo oim likovim koji imju površiu. Horizotlim i vertiklim cijepjem svki tkv lik, koji utor ziv krivocrti trpez, možemo podijeliti dijelove (slik 2). Z rzliku od klsiče defiicije, promtr je eprekid i pozitiv fukcij f itervlu [,]. Itervl [,] podijelje je dijelov (koji e morju iti istih dulji). Nek su djeliše točke:. Nd svkim dijelom x, j 1 j postvimo dv prvokutik, jed koji leži ispod grf fukcije i drugi koji g premšuje. Nek su jihove visie: m j = miimum fukcije f itervlu x, j 1 j i M = mksimum fukcije f itervlu x, j j 1 j. Koristeći pretpostvku d je fukcij eprekid, smije koristiti Bolzo-Weierstrssov teorem i zključiti 45

6 POUČAK 48 d svkom podsegmetu fukcij poprim miimum i mksimum. Stog e tre koristiti složeije pojmove ifimum i supremum. Duljiu itervl ozčimo s Δ xj = xj xj 1. Zrjjem površi ovih prvokutik doit ćemo doju itegrlu sumu s i gorju itegrlu sumu S : Površi je ukloplje između doje i gorje sume: Uzimjući sve veći roj djeliših točk, doj sum se povećv, gorj se smjuje. Broj teži u eskočost, duljie pojediih itervl podjele teže uli. Koristeći se ituicijom u gričom slučju, doj i gorj sum imt će isti limes koji ozčvmo s I. Tj limes mor iti jedk površii krivocrtog trpez, ukoliko o postoji. Broj I određe je smo fukcijom f i e ovisi o čiu rčuj doje i gorje sume (o čiu koji smo podijelili itervl i izrli rojeve m j i M j ), zivmo g itegrlom fukcije f. Autor udžeik [3] koristi se sljedećom defiicijom. Defiicij 6. Nek je f :, R pozitiv eprekid fukcij. Zjedički limes doje i gorje sume zivmo određeim itegrlom fukcije f i ozčvmo s I = f( x) dx. O je jedk površii ispod grf fukcije, d itervlom [,]. Zk zovemo zkom itegrcije, roj dojom gricom itegrl, roj gorjom gricom itegrl, fukciju f poditegrlom fukcijom, dx ziv se diferecijl vrijle x. Diferecijl dx zmišljmo ko eskočo mli prirst Δ x, kd dulji itervl x, j 1 j teži u ulu. Td se vrijedosti m i M priližvju fukcijskoj vrijedosti u točki x x, 1 j j. j j 3.2. Udžeik - Atoliš, Copić, Atočić Autorice udžeik [4], [5] površiu P ispod grf pozitive i eprekide fukcije f rčuju itervlu [,] koji je podijelje jedkih dijelov. Rdi jedostvosti, umjesto opisih i upisih prvokutik d mlim itervlom x, j 1 j, promtrju prvokutike visie f(t j ) uklopljee između upisih i opisih prvokutik, gdje je t j proizvolj točk itervlu x, j 1 j. Površi j-tog prvokutik je Pj = f( tj) Δ x, gdje je Δ x dulji itervl x, j 1 j. Budući d je itervl [,] po- 46

7 dijelje jedkih dijelov, dulji svkog doiveog itervl je Pj = f( tj). Sum površi svih tkvih prvokutik izosi: Δ x =, Ovu sumu utorice zovu itegrl sum fukcije f itervlu [,]. O će m dti jedu proksimciju površie ispod grf fukcije f. Z dovoljo veliki roj immo mogo vrlo uskih prvokutik čij se uij vrlo mlo rzlikuje od tržee površie P. Ituitivo je jso d će z svku podjelu segmet [, ] jedkih dijelov i po volji odru točku t j iz itervl x, j 1 j, itegrl sum proksimirti površiu P te d tko doivei iz itegrlih sum (S ) teži prem površii P. Površi ispod grf fukcije u tom se slučju prirodo defiir ko roj Itegrlu sumu možemo rčuti i z proizvolju eprekidu fukciju [,], ez uvjet d je fukcij pozitiv, stog utorice koriste sljedeću defiiciju. Defiicij 7. Limes iz itegrlih sum zove se određei itegrl eprekide fukcije f itervlu [, ] i ozčv se s f( x) dx. Broj je doj gric, roj gorj gric itegrl. Uprvo je tko Isc Newto defiiro određei itegrl te tko postvio temelje z rzvoj itegrlog rču Udžeik - Krljević, Šikić Autori [6] promtrju pozitivu i eprekidu fukciju, jihov defiicij itegrl im smisl i kd f poprim egtive vrijedosti. Nstvu cjeliu zvu Itegrl fukcije segmetu orđuju sljedeći či. Površi ispod grf pozitive fukcije y = f(x) i izd segmet [, ] proksimir je dojim i gorjim summ. Doj sum z fukciju f segmetu [, ] vrijedost je D = diδxi, gdje su visie d i f(x) z svki x x, j 1 j. Gorj i= 1 sum z fukciju f [, ] je vrijedost G= giδxi, gdje je g i f( x) z svki i= 1 x x., j 1 j Površi koju želimo proksimirti z fukciju f [, ] užo je već (ili jedk) od svih dojih sum i mj (ili jedk) od svih gorjih sum. Z rčuje površie užo je postojje doje i gorje sume z fukciju f [, ], koje se po volji mlo rzlikuju. 47

8 POUČAK 48 Td z svku doju i gorju sumu fukcije f [, ] postoji jedistvei roj I s svojstvom D I G. Tj je roj površi promtrog područj i jegov je defiicij potpuo eovis o iterpretciji dojih i gorjih sum ko proksimtivih površi. Broj I potpuo je određe fukcijom f(x) i segmetom [,] i zove se itegrlom fukcije f segmetu [,], I = f( x) dx. Autori [6] koriste se sljedećom defiicijom. Defiicij 8. Ako postoji točo jed roj koji sve doje sume z f [,] rzdvj od svih gorjih sum z f [,], tj je roj određei itegrl od f [,]. I = f( x) dx Ako postoji itegrl fukcije f segmetu [,], od kžemo d je fukcij f itegril segmetu [,]. Dkle, svk fukcij e mor iti itegril. Defiicij itegrl im smisl i ko fukcij f poprim egtive vrijedosti. Jedistve vrijedost I = f( x) dx, smješte između svih dojih i svih gorjih sum z f [,], u tom slučju predstvlj reltivu površiu područj između grf fukcije f i osi x. Reltiv površi tkvog područj površi je dijel tog područj izd osi x umje z površiu dijel područj ispod osi x. 4. Primitiv fukcij. Newto-Leiizov formul 4.1. Udžeik - Elezović Ovj dio grdiv utor [3] je podijelio u tri mje stve jediice i ojšjv g sljedeći či: Nek je f proizvolj eprekid fukcij. Nek je Px ( ) = ftdt ( ). Z pozitive fukcije f, P(x) ozčv površiu ispod grf fukcije f, d itervlom x, x 0. Prirst Δ P = P( x +Δ x) P( x) jedk je površii krivocrtog trpez d itervlom xx, +Δ x : Px ( ) = ftdt ( ). x+δx x Rdi jedostvosti pretpostvimo d je fukcij tom mlom itervlu rstuć (sličo ismo zključivli d je o pdjuć). Površi Δ P ukloplje je između vrijedosti dvju prvokutik, s visim f(x) i f( x+δ x) i vrijedi p je x x0 Nek Δ x teži uli. Td f( x+δ x) teži k f(x) zog eprekidosti od f. Stog je 48

9 Defiicij 9. Derivcij određeog itegrl, vrijedi formul Derivcij određeog itegrl, kojemu je x gorj gric, jedk je poditegrloj fukciji. Autor ističe d će ov formul predstvljti temelju spou između diferecijlog i itegrlog rču. Defiicij 10. Primitiv fukcij fukcije f defiire itervlu, je fukcij F defiir istom itervlu s svojstvom F'( x) = f( x). Ako su F i G primitive fukcije iste fukcije f, od se oe rzlikuju z kosttu: F(x) = G(x) + C. Teorem 10. (Newto-Leiizov formul) Ako je F proizvolj primitiv fukcij fukcije f itervlu [, ], od vrijedi Dokz: Ozčimo s G fukciju: Kko je G (x) = f (x) z < x <, ov je fukcij primitiv z fukciju f. Nek je F proizvolj primitiv fukcij iste fukcije f. Od se F i G rzlikuju z kosttu, p vrijedi, z svki x: Uvrstimo sd z gorju gricu, jprije x =, ztim x = Slijedi d je F()=C. Defiicij 11. Nek je f po volji odr fukcij, F ek jezi primitiv fukcij. Skup svih primitivih fukcij fukcije f zivmo eodređeim itegrlom fukcije f i ozčvmo ovko: f ( x ) dx = { F + C : C R }. Po dogovoru koristimo jedostviji zpis f( x) dx = F( x) + C Udžeik - Atoliš, Copić, Atočić Nstvu cjeliu Itegrli utorice [4], [5] zpočiju defiirjem primitive fukcije i eodređeog itegrl, u stvku defiirju određei itegrl, zvršvju povezujući pojmove Newto-Leiizovom formulom. Nek je f :, R ek fukcij. Td svku fukciju F z koju vrijedi F ( x ) = f (x) zivmo primitiv fukcij ili tiderivcij fukcije f. Skup svih 49

10 POUČAK 48 primitivih fukcij de fukcije f zove se eodređei itegrl fukcije f itervlu, i ozčvmo f( x) dx = F( x) + C, C R. Teorem 9. (Newto-Leiizov formul) Nek je f eprekid fukcij itervlu [,]. Td vrijedi: gdje je F primitiv fukcij z fukciju f. f( x) dx = F( ) F( ), Dokz ovog teorem uključe je u udžeik z prirodoslovo-mtemtički progrm, dok se izostvlj u progrmu z opće, jeziče i klsiče gimzije. S ozirom d utorice u defiiciji određeog itegrl koriste ekvidisttu sudiviziju, dokz ovog teorem je mtemtički korekt Udžeik - Krljević, Šikić Autori [6] uz pomoć fiziklih veliči poput vreme, rzie i put ojšjvju učeicim jvžiju formulu itegrlog rču sljedeći či. Ako put s ovisi o vremeu t tko d je s = f(t) od derivcij fukcije f(t) opisuje Δs kko rzi ovisi o vremeu, v = f '( t) = limδ t 0, p slijedi d je Δ t Δs v = f '( t) = Δs f '( t) Δt. Δt T priliž vrijedost postje točom ekom itervlu ko je derivcij v = f '( t) kostt tom itervlu. Promotrimo gije od treutk t = do treutk t =, koje itervlu t, 1 = t0, t im kosttu rziu v 1 i tko dlje 1 sve od posljedjeg itervl t 1, t = t 1, kojemu im kosttu rziu v. U vremeu Δ t1 = t1 t0 prijeđe je put Δ s1 = v1δ t1,., u vremeu Δ t = t t 1 prijeđe je put Δ s = vδ t. Ukup put prevlje od treutk t = do treutk t = izosi f() f() = v j 1 jδt = j. Tj je izos jedk površii područj ispod grf od v = f '( t). Fukcij v = f '( t) jčešće ije po dijelovim kostt ego se kotiuiro mijej s t. Rzdijelimo segmet [,] dijelov dioeim točkm p odredimo kostte rzie d j i g j tko d ude dj f '( x) g jz t t, j 1 tj. Budući d se većom rziom u istom vremeu prevljuje veći put, zključujemo d će put Δs j prevlje u vremeu Δ t j iti veći (ili jedk) od djδ tj i mji (ili jedk) g jδ tj. Dkle, ukup put prijeđe od treutk t = do treutk t = zdovoljvt će ejedkost 50

11 Površi d j 1 jδt = j doj je sum z f '( t) [,]. Površi g j 1 jδt = j gorj je sum z f '( t) [,]. Ako je f '( t) itegril fukcij [,], td je f() f() jedistve vrijedost smješte između svih dojih i svih gorjih sum z f '( t) [, ], tj. f() f() f() t dt =. Ist formul vrijedi i kd rzmtrmo gij s egtivim rzim i o se ziv Newto-Leiizov formul. Teorem 10. gdje je F tiderivcij fukcije f (primitiv fukcij), tj. F ( x ) = f (x). Budući d se tiderivcij fukcije f(x) koristi z rčuje jeziog itegrl, o se sioimo zove eodređei itegrl fukcije i ozčv se s Fx ( ) = f( xdx ). Litertur [1] S. Kurep: Mtemtičk liz I i II, Zgre, Školsk kjig (1997) [2] B. Guljš: Mtemtičk liz I i II, Zgre, (2008), str str [3] N. Elezović: Mtemtik 4, udžeik z 4. rzred gimzije, Zgre, Elemet (2002), str str [4] S. Atoliš, A. Copić: Mtemtik 4, udžeik z prirodoslovo-mtemtičku gimziju, Zgre, Školsk kjig (2007), str str [5] S. Atoliš, A. Copić, N. Atočić: Mtemtik 4, udžeik z opće, jeziče i klsiče gimzije, Zgre, Školsk kjig (2008), str str [6] H. Krljević, Z. Šikić: Mtemtik 4, udžeik z 4. rzred gimzij i tehičkih škol, Zgre, Profil (1995), str str [7] S. Lg: A first Course i Clculus, 5th ed, Spriger (1986), str str [8] Crjc, Jukić, Scitovski : Mtemtik, Osijek (1994), str str [9] N. Uglešić: Mtemtičk liz I, Split (2000), str str [10] L. Krić, Z. Šikić: Rču - diferecijli i itegrli, I. dio, Zgre, Školsk kjig (1992) [11] Ncioli okviri kurikulum, Mtemtičko područje; [12] Difrecijli i itegrli rču 1; 51