Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1"

Transcript

1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d td emju dovoljo mtemtičkog zj z rzumijevje pojmov ko što su supermum, ifimum, Drouxove sume, doji i gorji Riemov itegrl - utori sredjoškolskih udžeik vješto stoje izjeći jihovo korišteje. U ovom ćemo rdu usporediti udžeike z četvrti rzred sredje škole sljedećih utor: Neve Elezović (vidi [3]) Sj Atoliš, Aet Copić, Nevek Atočić (vidi [4], [5]) Hrvoje Krljević i Zvoimir Šikić (vidi [6]) Usredotočit ćemo se sličosti i rzlike kod prikzivj sljedećih pojmov: sume, griči prijelz, primitiv fukcij, Newto-Leiizov teorem. Udžeicim je zjedičko d se svi utori odlučuju isključivo z itegrilost eprekidih fukcij segmetu. Pojm sume svki od gore vedeih utor ojšjv rzličit či, p tko N. Elezović em Drouxove sume, li koristeći pretpostvku d je fukcij eprekid smije koristiti Bolzo-Weierstrssov teorem i zključiti d svkom podsegmetu fukcij poprim miimum i mksimum. Autor umjesto Drouxovih sum koristi doju i gorju itegrlu sumu. Autorice S. Atoliš, A. Copić i N. Atočić uvode ekvidisttu sudiviziju segmet, re izrz itegrl sum fukcije segmetu, koj dje jedu proksimciju površie ispod grf fukcije. Koristeći se ituicijom, utorice vode d iz itegrlih sum teži prem površii. U udžeiku koji su pisli H. Krljević i Z. Šikić tkođer em Drouxovih sum, defiirju doje i gorje sume. Prem [3] prolem jedkosti dojeg i gorjeg Riemovog itegrl riješe je gričim prijelzom, prem [4] i [5] ekvidisttom sudivizijom segmet. 1 Ovj je člk pis osovi diplomskog rd Ive Božić (metor T. Šikić) orjeog godie Diplomskom studiju Mtemtik, smjer stvički (PMF-MO, Sveučilište u Zgreu). 2 Iv Božić, Tehičko veleučilište u Zgreu Grditeljski odjel 3 Tomislv Šikić, Fkultet elektrotehike i rčurstv Sveučilišt u Zgreu 41

2 POUČAK 48 S ozirom či kko defiirju doje i gorje sume u [6], emju prolem s dojim i gorjim Riemovim itegrlom. Uvođejem Bolojskog proces PMF- Mtemtičkom odjelu Sveučilišt u Zgreu došlo je do zčjih promje u progrmu preddiplomskog studij Mtemtik - stvički smjer. Kolegiji Mtemtičke lize 1-3 zmijejei su kolegijim Diferecijli i itegrli rču 1 i 2 [12]. Temelj litertur osovi koje su se formirli spomeuti ovi kolegiji su, uz dosdšje udžeike prof. Kurepe, i udžeici klkulus jede i više vrijli Serge Lg. Progrme kolegij su formirli dugogodišji stvici Mtemtičke lize 1 i 2, te Mtemtičke lize 3 i 4, prof. H. Šikić i prof. Š. Ugr. Stog će se u ovom člku dost prostor posvetiti i zimljivom pristupu uvođej itegrlog rču u udžeiku S. Lg, A first course i clculus [7], koji se koristi z uvodi kolegij u mtemtičku lizu mogim reomirim sveučilištim. Rd zključujemo pristupom koji se predvo u sklopu kolegij Diferecijli i itegrli rču 1 ( osovi spomeutih smjeric) u drugom (ljetom) semestru prve godie preddiplomskog studij mtemtike, smjer stvički, ko početi kolegij mtemtičke lize. Pristup im dodirih točk s svim prije vedeim udžeicim, stog se može primijeiti i u sredjoškolskoj stvi. Štoviše, uvođejem domee ifiitezimli rču u NOK-u [11] uprvo prolemtik uvođej učeik u diferecijli i itegrli rču im veliku vžost. Zvrši dio člk smtrmo zčjim z uduće mlde profesore čije će se orzovje i zje o diferecijlom i itegrlom rčuu zsivti spomeutoj kocepciji u kojoj udžeici S. Lg imju zčji trg. Stog je uspored spomeutih (i iih) sredjoškolskih udžeik te jihov komprcij s udžeicim Prof. Kurepe [1] i s ovim kolegijem Diferecijli i itegrli rču 1 [12] od presude vžosti z kvliteto uvođeje pojm itegrl u sredjim školm. Člk je podijelje u dv djel. Prvi dio odosi se komprciju sredjoškolsk udžeik ([3], [4], [5], [6]), drugi dio pokriv pristup prem kjizi S. Lg [7] i predvjim kolegiju Diferecijli i itegrli rču 1. Drugi dio člk it će ojvlje u idućem roju Poučk. 2. Od klsiče defiicije preko Riemovog teorem do Newto-Leiizove formule Nek je dio rvie omeđe grfom fukcije (pseudotrpez), ko slici 1. Iko je slici prikz grf eke eprekide fukcije, klsič defiicij će u općeitosti iti d z ogričee fukcije. Prtit ćemo otciju i pristup koji se već godim primjejuje u okviru kolegij Mtemtičk liz 1 i 2 PMF-Mtemtičkom odjelu (vidi [1], [2]). Nek je [,], <, segmet u R i ek f :, R fukcij ogriče segmetu [,]. Slik 1. 42

3 To zči d postoje m = if [,] f i M = sup [,] f tj. x,, m f( x) M. Uočimo, ko je ', ', podsegmet, od vrijedi x ', ', m m' f( x) M' M, gdje je m = if [, ] f i M = sup [, ] f. Dkle, ifimum podsegmetu je veći ili jedk ifimumu segmetu, supremum podsegmetu je mji ili jedk supremumu segmetu. Z N podijelimo segmet (izvršimo sudiviziju) [,] točkm dijelov, (1) Ndlje defii- Ozčimo s rmo sume: z po volji izre točke Broj s zovemo doj Drouxov sum, S je gorj Drouxov sum, σ je itegrl sum. U stvku će m treti sljedeće ejedkosti Nek je A skup svih dojih Drouxovih sum s, B je skup svih gorjih Drouxovih sum S, C je skup svih itegrlih sum σ fukcije f segmetu [,]. Sve te sume doivju se vrirjem roj N svim rzličitim izorim sudivizije (1) i točk t k. Iz ejedkosti (5) slijedi d su skupovi A, B, C ogričei odozdo s m(-) i odozgo s M(-). Prem ksiomu potpuosti postoje Defiicij 1. Broj I * zovemo doji Riemov itegrl fukcije f segmetu [,], roj I * zovemo gorji Riemov itegrl fukcije f segmetu [,]. Teorem 1. Nek je f :, R fukcij ogriče segmetu [,], ek su I * i I * doji i gorji Riemov itegrl fukcije f segmetu [,]. Td je (8) Defiicij 2. Z fukciju f :, R ogričeu segmetu [,] kžemo d je itegril u Riemovom smislu ili R-itegril segmetu [,] ko je (9) Td se roj I = I * = I * ziv itegrl ili R-itegrl fukcije f segmetu [,] i ozčv jedom od sljedećih ozk I = f( x) dx = f N tj či uvede je pojm Riemov itegrl. (2) (3) (4) (5) (6) (7) (10) 43

4 POUČAK 48 Teorem 2. Nek je f :, R ogriče fukcij [,] R Fukcij f je itegril [,] ko i smo ko ε > 0 postoji sudivizij segmet [,] tkv d z pripde Drouxove sume vrijedi S s< ε. Sljedeći teoremi dokzuju d su mootoost i eprekidost segmetu svojstv koj povlče itegrilost. Teorem 3. Nek je f :, R mooto fukcij [,] R. Td je o R-itegril [,]. Defiicij 3. Z fukciju f :, R kžemo d je mooto po dijelovim segmetu [,] ko postoji sudivizij tkv d je mooto fukcij z sve k=1,,. Korolr 1. Nek je f :, R po dijelovim mooto fukcij [,] R. Td je o R itegril [,]. Defiicij 4. Z fukciju f :, R kžemo d je jedoliko (uiformo) eprekid itervlu I R ko Teorem 4. Nek je f :, R eprekid fukcij itervlu [,] R. Td je o jedoliko eprekid [,]. 44 Sd iskzujemo Riemov teorem o itegrilosti eprekide fukcije. Teorem 5. Nek je f :, R eprekid fukcij [,] R. Td je o R-itegril [,]. Tkođer, postoji točk c, tkv d je Bito je istkuti d je, uz spomeuti Teorem 4, u dokz Riemovog teorem ivolvir i spomeuti Bolzo-Weierstrssov teorem i Teorem 2. Defiicij 5. Nek je I R otvore itervl i f :I R. Primitiv fukcij ili tiderivcij fukcije f skupu I je svk fukcij F :I Rs svojstvom F (x)=f(x), x I. Sljedeći teorem dje dovolje uvjete z postojje primitive fukcije. Teorem 6. Nek je I R otvore itervl i f :I Rfukcij eprekid I. Td postoji primitiv fukcij od f I. N osovi Teorem 6 dokzuje se temelji teorem Newto-Leiizov formul. Teorem 7. (Newto-Leiizov formul) Ako je f eprekid fukcij otvoreom itervlu I i ek je F ilo koj primitiv fukcij fukcije f I, od z svki segmet [,] I vrijedi f( x) dx = F( ) F( ). (11)

5 3. Prolem površie i pojm određeog itegrl Autori sredjoškolskih udžeik ([3], [4], [5], [6]) ojšjvju ovj dio grdiv rzličit či. Prem [3] utor cjeliu zvu Itegrl i primitiv fukcij zpočije prolemom površie i određeim itegrlom, dok utorice udžeik [4], [5] stvu cjeliu zvu Itegrli zpočiju eodređeim itegrlom i primitivom fukcijom. Prije ego li defiirju pojmove, motivirju učeike zimljivim primjerom sukog tker koji ispušt ftu. Učeicim je d formul rzie širej fte mrlje i od jih se trži d rčujem rzie širej fte mrlje i određivjem jezie površie ko st vreme, dođu do spozj d je rzi promjee te površie zprvo derivcij tržeog izrz z površiu. Autori udžeik [6] ovj dio grdiv dijele u dvije cjelie, zpočiju s površiom i određeim itegrlom, ztim orđuju eodređei itegrl, u defiirju pojmov često koriste pojmove iz fizike kko i učeicim priližili ovj dio grdiv, poput rzie, put, vreme Udžeik Elezović Prolem mjerej duži, površi i oujm io je osovi prolem mtemtike u jeziim zčecim. Trsformcijom prvokutik (P = ) možemo mjeriti površiu prlelogrm, trokut, mogokut. Autor glšv složeost rčuj površie ilo kojeg lik omeđeog zkrivljeom krivuljom (ko sl. 1), glšv d emju svi likovi površiu te d će se o u svom udžeiku viti smo oim likovim koji imju površiu. Horizotlim i vertiklim cijepjem svki tkv lik, koji utor ziv krivocrti trpez, možemo podijeliti dijelove (slik 2). Z rzliku od klsiče defiicije, promtr je eprekid i pozitiv fukcij f itervlu [,]. Itervl [,] podijelje je dijelov (koji e morju iti istih dulji). Nek su djeliše točke:. Nd svkim dijelom x, j 1 j postvimo dv prvokutik, jed koji leži ispod grf fukcije i drugi koji g premšuje. Nek su jihove visie: m j = miimum fukcije f itervlu x, j 1 j i M = mksimum fukcije f itervlu x, j j 1 j. Koristeći pretpostvku d je fukcij eprekid, smije koristiti Bolzo-Weierstrssov teorem i zključiti 45

6 POUČAK 48 d svkom podsegmetu fukcij poprim miimum i mksimum. Stog e tre koristiti složeije pojmove ifimum i supremum. Duljiu itervl ozčimo s Δ xj = xj xj 1. Zrjjem površi ovih prvokutik doit ćemo doju itegrlu sumu s i gorju itegrlu sumu S : Površi je ukloplje između doje i gorje sume: Uzimjući sve veći roj djeliših točk, doj sum se povećv, gorj se smjuje. Broj teži u eskočost, duljie pojediih itervl podjele teže uli. Koristeći se ituicijom u gričom slučju, doj i gorj sum imt će isti limes koji ozčvmo s I. Tj limes mor iti jedk površii krivocrtog trpez, ukoliko o postoji. Broj I određe je smo fukcijom f i e ovisi o čiu rčuj doje i gorje sume (o čiu koji smo podijelili itervl i izrli rojeve m j i M j ), zivmo g itegrlom fukcije f. Autor udžeik [3] koristi se sljedećom defiicijom. Defiicij 6. Nek je f :, R pozitiv eprekid fukcij. Zjedički limes doje i gorje sume zivmo određeim itegrlom fukcije f i ozčvmo s I = f( x) dx. O je jedk površii ispod grf fukcije, d itervlom [,]. Zk zovemo zkom itegrcije, roj dojom gricom itegrl, roj gorjom gricom itegrl, fukciju f poditegrlom fukcijom, dx ziv se diferecijl vrijle x. Diferecijl dx zmišljmo ko eskočo mli prirst Δ x, kd dulji itervl x, j 1 j teži u ulu. Td se vrijedosti m i M priližvju fukcijskoj vrijedosti u točki x x, 1 j j. j j 3.2. Udžeik - Atoliš, Copić, Atočić Autorice udžeik [4], [5] površiu P ispod grf pozitive i eprekide fukcije f rčuju itervlu [,] koji je podijelje jedkih dijelov. Rdi jedostvosti, umjesto opisih i upisih prvokutik d mlim itervlom x, j 1 j, promtrju prvokutike visie f(t j ) uklopljee između upisih i opisih prvokutik, gdje je t j proizvolj točk itervlu x, j 1 j. Površi j-tog prvokutik je Pj = f( tj) Δ x, gdje je Δ x dulji itervl x, j 1 j. Budući d je itervl [,] po- 46

7 dijelje jedkih dijelov, dulji svkog doiveog itervl je Pj = f( tj). Sum površi svih tkvih prvokutik izosi: Δ x =, Ovu sumu utorice zovu itegrl sum fukcije f itervlu [,]. O će m dti jedu proksimciju površie ispod grf fukcije f. Z dovoljo veliki roj immo mogo vrlo uskih prvokutik čij se uij vrlo mlo rzlikuje od tržee površie P. Ituitivo je jso d će z svku podjelu segmet [, ] jedkih dijelov i po volji odru točku t j iz itervl x, j 1 j, itegrl sum proksimirti površiu P te d tko doivei iz itegrlih sum (S ) teži prem površii P. Površi ispod grf fukcije u tom se slučju prirodo defiir ko roj Itegrlu sumu možemo rčuti i z proizvolju eprekidu fukciju [,], ez uvjet d je fukcij pozitiv, stog utorice koriste sljedeću defiiciju. Defiicij 7. Limes iz itegrlih sum zove se određei itegrl eprekide fukcije f itervlu [, ] i ozčv se s f( x) dx. Broj je doj gric, roj gorj gric itegrl. Uprvo je tko Isc Newto defiiro određei itegrl te tko postvio temelje z rzvoj itegrlog rču Udžeik - Krljević, Šikić Autori [6] promtrju pozitivu i eprekidu fukciju, jihov defiicij itegrl im smisl i kd f poprim egtive vrijedosti. Nstvu cjeliu zvu Itegrl fukcije segmetu orđuju sljedeći či. Površi ispod grf pozitive fukcije y = f(x) i izd segmet [, ] proksimir je dojim i gorjim summ. Doj sum z fukciju f segmetu [, ] vrijedost je D = diδxi, gdje su visie d i f(x) z svki x x, j 1 j. Gorj i= 1 sum z fukciju f [, ] je vrijedost G= giδxi, gdje je g i f( x) z svki i= 1 x x., j 1 j Površi koju želimo proksimirti z fukciju f [, ] užo je već (ili jedk) od svih dojih sum i mj (ili jedk) od svih gorjih sum. Z rčuje površie užo je postojje doje i gorje sume z fukciju f [, ], koje se po volji mlo rzlikuju. 47

8 POUČAK 48 Td z svku doju i gorju sumu fukcije f [, ] postoji jedistvei roj I s svojstvom D I G. Tj je roj površi promtrog područj i jegov je defiicij potpuo eovis o iterpretciji dojih i gorjih sum ko proksimtivih površi. Broj I potpuo je određe fukcijom f(x) i segmetom [,] i zove se itegrlom fukcije f segmetu [,], I = f( x) dx. Autori [6] koriste se sljedećom defiicijom. Defiicij 8. Ako postoji točo jed roj koji sve doje sume z f [,] rzdvj od svih gorjih sum z f [,], tj je roj određei itegrl od f [,]. I = f( x) dx Ako postoji itegrl fukcije f segmetu [,], od kžemo d je fukcij f itegril segmetu [,]. Dkle, svk fukcij e mor iti itegril. Defiicij itegrl im smisl i ko fukcij f poprim egtive vrijedosti. Jedistve vrijedost I = f( x) dx, smješte između svih dojih i svih gorjih sum z f [,], u tom slučju predstvlj reltivu površiu područj između grf fukcije f i osi x. Reltiv površi tkvog područj površi je dijel tog područj izd osi x umje z površiu dijel područj ispod osi x. 4. Primitiv fukcij. Newto-Leiizov formul 4.1. Udžeik - Elezović Ovj dio grdiv utor [3] je podijelio u tri mje stve jediice i ojšjv g sljedeći či: Nek je f proizvolj eprekid fukcij. Nek je Px ( ) = ftdt ( ). Z pozitive fukcije f, P(x) ozčv površiu ispod grf fukcije f, d itervlom x, x 0. Prirst Δ P = P( x +Δ x) P( x) jedk je površii krivocrtog trpez d itervlom xx, +Δ x : Px ( ) = ftdt ( ). x+δx x Rdi jedostvosti pretpostvimo d je fukcij tom mlom itervlu rstuć (sličo ismo zključivli d je o pdjuć). Površi Δ P ukloplje je između vrijedosti dvju prvokutik, s visim f(x) i f( x+δ x) i vrijedi p je x x0 Nek Δ x teži uli. Td f( x+δ x) teži k f(x) zog eprekidosti od f. Stog je 48

9 Defiicij 9. Derivcij određeog itegrl, vrijedi formul Derivcij određeog itegrl, kojemu je x gorj gric, jedk je poditegrloj fukciji. Autor ističe d će ov formul predstvljti temelju spou između diferecijlog i itegrlog rču. Defiicij 10. Primitiv fukcij fukcije f defiire itervlu, je fukcij F defiir istom itervlu s svojstvom F'( x) = f( x). Ako su F i G primitive fukcije iste fukcije f, od se oe rzlikuju z kosttu: F(x) = G(x) + C. Teorem 10. (Newto-Leiizov formul) Ako je F proizvolj primitiv fukcij fukcije f itervlu [, ], od vrijedi Dokz: Ozčimo s G fukciju: Kko je G (x) = f (x) z < x <, ov je fukcij primitiv z fukciju f. Nek je F proizvolj primitiv fukcij iste fukcije f. Od se F i G rzlikuju z kosttu, p vrijedi, z svki x: Uvrstimo sd z gorju gricu, jprije x =, ztim x = Slijedi d je F()=C. Defiicij 11. Nek je f po volji odr fukcij, F ek jezi primitiv fukcij. Skup svih primitivih fukcij fukcije f zivmo eodređeim itegrlom fukcije f i ozčvmo ovko: f ( x ) dx = { F + C : C R }. Po dogovoru koristimo jedostviji zpis f( x) dx = F( x) + C Udžeik - Atoliš, Copić, Atočić Nstvu cjeliu Itegrli utorice [4], [5] zpočiju defiirjem primitive fukcije i eodređeog itegrl, u stvku defiirju određei itegrl, zvršvju povezujući pojmove Newto-Leiizovom formulom. Nek je f :, R ek fukcij. Td svku fukciju F z koju vrijedi F ( x ) = f (x) zivmo primitiv fukcij ili tiderivcij fukcije f. Skup svih 49

10 POUČAK 48 primitivih fukcij de fukcije f zove se eodređei itegrl fukcije f itervlu, i ozčvmo f( x) dx = F( x) + C, C R. Teorem 9. (Newto-Leiizov formul) Nek je f eprekid fukcij itervlu [,]. Td vrijedi: gdje je F primitiv fukcij z fukciju f. f( x) dx = F( ) F( ), Dokz ovog teorem uključe je u udžeik z prirodoslovo-mtemtički progrm, dok se izostvlj u progrmu z opće, jeziče i klsiče gimzije. S ozirom d utorice u defiiciji određeog itegrl koriste ekvidisttu sudiviziju, dokz ovog teorem je mtemtički korekt Udžeik - Krljević, Šikić Autori [6] uz pomoć fiziklih veliči poput vreme, rzie i put ojšjvju učeicim jvžiju formulu itegrlog rču sljedeći či. Ako put s ovisi o vremeu t tko d je s = f(t) od derivcij fukcije f(t) opisuje Δs kko rzi ovisi o vremeu, v = f '( t) = limδ t 0, p slijedi d je Δ t Δs v = f '( t) = Δs f '( t) Δt. Δt T priliž vrijedost postje točom ekom itervlu ko je derivcij v = f '( t) kostt tom itervlu. Promotrimo gije od treutk t = do treutk t =, koje itervlu t, 1 = t0, t im kosttu rziu v 1 i tko dlje 1 sve od posljedjeg itervl t 1, t = t 1, kojemu im kosttu rziu v. U vremeu Δ t1 = t1 t0 prijeđe je put Δ s1 = v1δ t1,., u vremeu Δ t = t t 1 prijeđe je put Δ s = vδ t. Ukup put prevlje od treutk t = do treutk t = izosi f() f() = v j 1 jδt = j. Tj je izos jedk površii područj ispod grf od v = f '( t). Fukcij v = f '( t) jčešće ije po dijelovim kostt ego se kotiuiro mijej s t. Rzdijelimo segmet [,] dijelov dioeim točkm p odredimo kostte rzie d j i g j tko d ude dj f '( x) g jz t t, j 1 tj. Budući d se većom rziom u istom vremeu prevljuje veći put, zključujemo d će put Δs j prevlje u vremeu Δ t j iti veći (ili jedk) od djδ tj i mji (ili jedk) g jδ tj. Dkle, ukup put prijeđe od treutk t = do treutk t = zdovoljvt će ejedkost 50

11 Površi d j 1 jδt = j doj je sum z f '( t) [,]. Površi g j 1 jδt = j gorj je sum z f '( t) [,]. Ako je f '( t) itegril fukcij [,], td je f() f() jedistve vrijedost smješte između svih dojih i svih gorjih sum z f '( t) [, ], tj. f() f() f() t dt =. Ist formul vrijedi i kd rzmtrmo gij s egtivim rzim i o se ziv Newto-Leiizov formul. Teorem 10. gdje je F tiderivcij fukcije f (primitiv fukcij), tj. F ( x ) = f (x). Budući d se tiderivcij fukcije f(x) koristi z rčuje jeziog itegrl, o se sioimo zove eodređei itegrl fukcije i ozčv se s Fx ( ) = f( xdx ). Litertur [1] S. Kurep: Mtemtičk liz I i II, Zgre, Školsk kjig (1997) [2] B. Guljš: Mtemtičk liz I i II, Zgre, (2008), str str [3] N. Elezović: Mtemtik 4, udžeik z 4. rzred gimzije, Zgre, Elemet (2002), str str [4] S. Atoliš, A. Copić: Mtemtik 4, udžeik z prirodoslovo-mtemtičku gimziju, Zgre, Školsk kjig (2007), str str [5] S. Atoliš, A. Copić, N. Atočić: Mtemtik 4, udžeik z opće, jeziče i klsiče gimzije, Zgre, Školsk kjig (2008), str str [6] H. Krljević, Z. Šikić: Mtemtik 4, udžeik z 4. rzred gimzij i tehičkih škol, Zgre, Profil (1995), str str [7] S. Lg: A first Course i Clculus, 5th ed, Spriger (1986), str str [8] Crjc, Jukić, Scitovski : Mtemtik, Osijek (1994), str str [9] N. Uglešić: Mtemtičk liz I, Split (2000), str str [10] L. Krić, Z. Šikić: Rču - diferecijli i itegrli, I. dio, Zgre, Školsk kjig (1992) [11] Ncioli okviri kurikulum, Mtemtičko područje; [12] Difrecijli i itegrli rču 1; 51

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović

Διαβάστε περισσότερα

a C 1 ( ) = = = m.

a C 1 ( ) = = = m. Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C =

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u :

Beskonačni redovi 1.1 BROJEVNI REDOVI. Beskonačni brojevni red (numerički red, red sa konstantnim članovima) predstavlja sumu u : Besoči redovi. BROJEVNI REDOVI Besoči brojevi red umeriči red, red s osttim človim predstvlj sumu u : svih člov eog besočog brojevog iz { } Zbirove u u u u. s u, s u u, K, s u. zivmo prcijli zbirovi. Kžemo

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINANTE I MATRICE

DETERMINANTE I MATRICE Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA II

MATEMATIČKA ANALIZA II MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute slu cajne varijable

Neprekinute slu cajne varijable 5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA STATISTIKA

MATEMATIČKA STATISTIKA MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 I N Ž E N J E R S K A M A E M A I K A P r e d v j G L A V A 8 OURIEROVI REDOVI, OURIEROVI INEGRALI I OURIEROVA RANSORMACIJA 8.. U v o d m cresc eudo. [Gs rse šrejem.] Lsk posovc ourerov red je jed od jvžjh

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα