Κεϕάλαιο 4. Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης
|
|
- Ήράκλειτος Αναγνώστου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεϕάλαιο 4 Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης Από την κλασσική αρχαία εποχή που ο Αριστοτέλης ϑεώρησε τη ϐεβαιότητα (και αβεβαιότητα) ενός αποτελέσµατος ως σήµερα ο χαρακτηρισµός της αβεβαιότητας της µέτρησης είναι ένα ϑέµα που έχει απασχολήσει τους ε- πιστήµονες. Σήµερα υπάρχουν ερευνητικά κέντρα και οργανισµοί, όπως ο Παγκόσµιος Οργανισµός Μέτρων (Internatinal Organizatin fr Standards, ISO), που αναπτύσσουν µεθοδολογίες για τον καθορισµό µέτρων και σταθµών καθώς και τον καθορισµό της αβεβαιότητας των µετρήσεων. Κάθε φορά που προσπαθούµε να ποσοτικοποιήσουµε µια φυσική διαδικασία, εµϕανίζεται η αβεβαιότητα που µπορεί να σχετίζεται µε το µοντέλο και την προσοµοίωση στον υπολογιστή που υποθέτουµε για τη διαδικασία, όπως επίσης και µε τη µέτρηση της διαδικασίας. Αντίστοιχα έχουµε λοιπόν την αβεβαιότητα του µοντέλου ή / και της προσοµοίωσης (mdel r simulatin uncertainty) και την αβεβαιότητα της µέτρησης (measurement uncertainty). Ο πρώτος τύπος αβεβαιότητας είναι δύσκολο να προσδιοριστεί αϕού η πραγµατική φυσική διαδικασία µας είναι άγνωστη και δεν υπάρχουν διεθνώς αναγνωρισµένα µέτρα (standards) για αυτόν τον τύπο αβεβαιότητας. Για παράδειγµα η αβεβαιότητα του µοντέλου εµϕανίζεται όταν υποθέτουµε ένα απλουστευµένο µαθηµατικό µοντέλο για µια φυσική διαδικασία που πε- ϱιέχει παράγοντες που δεν έχουµε συµπεριλάβει στο µοντέλο. Σε αυτόν τον τύπο αβεβαιότητας ϑα πρέπει να συµπεριλάβουµε και την υπολογιστική (αριθ- µητική) αβεβαιότητα (numerical uncertainty) που αναϕέρεται στην αριθµητική επίλυση µαθηµατικών εξισώσεων. Ο δεύτερος τύπος αβεβαιότητας που αναϕέρεται στο πείραµα και τη µέτρηση µπορεί πιο εύκολα να προσδιοριστεί και να προτυποποιηθεί. Σχετικά µε την ονοµατολογία για την αβεβαιότητα, στη ϐιβλιογραϕία συνήθως γίνεται διαχωρισµός της αβεβαιότητας και του σϕάλµατος (errr) και 49
2 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ αυτό ϑα ακολουθήσουµε εδώ. Θα δεχτούµε ότι η αβεβαιότητα του µοντέλου εκϕράζει την εν δυνάµει ανεπάρκεια του µοντέλου λόγω έλλειψης γνώσης για τη διαδικασία που µελετάµε, ενώ το σϕάλµα του µοντέλου (mdeling errr) είναι η αναγνωρισµένη ανεπάρκεια που δίνει το µοντέλο όταν το εϕαρµόζουµε στην πράξη. Αντίστοιχα, το σϕάλµα µέτρησης (measurement errr) είναι η διαϕορά πραγµατικής και παρατηρούµενης τιµής ενώ η αβεβαιότητα µέτρησης είναι η εκτίµηση για το σϕάλµα µέτρησης, που ορίζει ένα σύνολο δυνατών τιµών για το σϕάλµα για µια συγκεκριµένη µέτρηση. Σε αυτό το κεϕάλαιο ϑα µελετήσουµε την αβεβαιότητα στη µέτρηση και στα επόµενα κεϕάλαια ϑα συζητήσουµε την αβεβαιότητα στο µοντέλο όταν ϑα µελετήσουµε µοντέλα για φυσικές διαδικασίες διαϕόρων µορϕών. 4.1 Συστηµατικά και τυχαία σϕάλµατα Το αποτέλεσµα της µέτρησης ενός φυσικού µεγέθους είναι κατά κανόνα ακαθόριστο σε µικρό ή µεγάλο ϐαθµό, δηλαδή αν επαναλάβουµε τη µέτρηση δε ϑα πάρουµε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσµα. Ακόµα και αν επαναλάβουµε ένα πείραµα διατηρώντας τις ίδιες ακριβώς συνθήκες, κάποιος παράγοντας που δεν ελέγχουµε µπορεί να επηρεάζει λίγο ή πολύ το αποτέλεσµα της µέτρησης. Θα ϑέλαµε λοιπόν να εκτιµήσουµε τις πειραµατικές αυτές αποκλίσεις στη µέτρηση και το πρώτο ϐήµα είναι να εντοπίσουµε τους διαϕορετικούς τύπους σϕάλµατος µέτρησης. Οι δύο τύποι σϕαλµάτων µέτρησης είναι τα συστηµατικά σϕάλµατα (systematic errrs) και τα τυχαία σϕάλµατα (randm errrs) που προσδίδουν και αντίστοιχα χαρακτηριστικά στις µετρήσεις. Τα συστηµατικά σϕάλµατα επαναλαµβάνονται και υπάρχει κάποιο αίτιο που τα δηµιουργεί. Πολλές φορές είναι δύσκολο να εντοπισθούν αλλά µπορούν να εξουδετερωθούν µε κατάλληλη ϐαθµονόµηση (calibratin), συγκρίνοντας µε κάποιον τρόπο µετρήσεις και πραγµατικές τιµές. Τα συστηµατικά σϕάλµατα ορίζουν την ακρίβεια (ορθότητα) (accuracy) της µέτρησης, δηλαδή κατά πόσο οι µετρήσεις είναι κοντά στις πραγ- µατικές τιµές ή υπάρχουν συστηµατικές αποκλίσεις. Με αναϕορά στην εκτίµηση παραµέτρων τα συστηµατικά σϕάλµατα συνδέονται µε τη µε- ϱοληψία (bias), όπου η εκτίµηση του µεγέθους (ή παραµέτρου) δεν είναι ίδια µε την πραγµατική τιµή του µεγέθους. Τα τυχαία σϕάλµατα δεν επαναλαµβάνονται µε το πείραµα αλλά αντιπροσωπεύουν την τυχαιότητα που χαρακτηρίζει το µέγεθος που µετράµε. Για αυτό και αυτού του τύπου τα σϕάλµατα δε µπορούν να απαλειϕούν. Τα τυχαία σϕάλµατα ορίζουν την ακρίβεια επανάληψης
3 4.1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ 51 (precisin) της µέτρησης, δηλαδή το µέγεθος της µεταβολής των τιµών µέτρησης σε κάθε επανάληψη της µέτρησης (για τις ίδιες συνθήκες του πειράµατος). Η ορθότητα και η ακρίβεια επανάληψης της µέτρησης δίνονται σχηµατικά στο Σχήµα 4.1α και Σχήµα 4.1ϐ σε µια και σε δύο διαστάσεις αντίστοιχα. Στο (β) (α) x x x x x x xx x x x x x * x 1 x x 2 Σχήµα 4.1: Σχηµατική παράσταση της ορθότητας και ακρίβειας επανάληψης της µέτρησης σε µια διάσταση στο (α) και σε δύο διαστάσεις στο (ϐ). Στο (α) για το µέγεθος x η µέτρηση x 1 έχει µεγάλο τυχαίο σϕάλµα ενώ η µέτρηση x 2 έχει µεγάλο συστηµατικό σϕάλµα. Στο (ϐ) αντίστοιχα το µέγεθος x είναι στο κέντρο των κύκλων ενώ η µέτρηση µε µεγάλο τυχαίο σϕάλµα δίνεται µε ανοιχτούς κύκλους και µε συστηµατικό σϕάλµα µε σύµβολα x. Σχήµα 4.1α διαγράϕονται τα σϕάλµατα δύο µετρήσεων x 1 και x 2. Η πρώτη µέτρηση x 1 έχει µεγάλο τυχαίο σϕάλµα (µικρή ακρίβεια επανάληψης) που καλύπτει το συστηµατικό σϕάλµα. Η δεύτερη µέτρηση x 2 έχει µικρό τυχαίο σϕάλµα που αναδεικνύει µεγάλο συστηµατικό σϕάλµα (µικρή ορθότητα ή µεγάλη µεροληψία). Τα ίδια χαρακτηριστικά δίνονται στο Σχήµα 4.1ϐ σε δύο διαστάσεις, όπου για µεγάλο τυχαίο σϕάλµα οι µετρήσεις είναι διάσπαρτες (ανοιχτοί κύκλοι) γύρω από την πραγµατική τιµή στο κέντρο των κύκλων. Αν υποθέσουµε πως το Σχήµα 4.1ϐ επεικονίζει έναν πίνακα σκοποβολής, τότε οι ανοιχτοί κύκλοι δηλώνουν έναν µάλλον άστοχο σκοπευτή. Στη δεύτερη περίπτωση, το συστηµατικό σϕάλµα είναι µεγάλο και το τυχαίο σϕάλµα µικρό και οι µετρήσεις µαζεύονται όχι όµως γύρω από το κέντρο των κύκλων (σύµβολα x ). Ο σκοπευτής εδώ είναι ακριβής αλλά σκοπεύει σε λάθος σηµείο. Στην πρώτη περίπτωση δε µπορούµε να διορθώσουµε την επιτυχία της σκόπευσης
4 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ (ενδεχοµένως µπορούµε να εκπαιδεύσουµε τον σκοπευτή να σκοπεύει µε µεγαλύτερη ακρίβεια αλλά αυτό είναι άλλο ϑέµα). Στη δεύτερη περίπτωση όµως µπορούµε να εντοπίσουµε το αίτιο της σκόπευσης σε λάθος σηµείο, π.χ. λαν- ϑασµένος εστιασµός του οργάνου σκόπευσης, και να το διορθώσουµε. Αυτή η διαδικασία αναϕέρεται ως ϐαθµοσκόπηση. Ας δούµε τις έννοιες της ορθότητας µέτρησης και ακρίβειας επανάληψης µέτρησης στην περίπτωση της εκτίµησης της µέσης τιµής ενός µεγέθους, δηλαδή µιας τ.µ. X. Εστω ότι έχουµε 10 παρατηρήσεις (µετρήσεις) της τ.µ. X. Αν υπάρχει συστηµατικό σϕάλµα στη διαδικασία µέτρησης τότε υπάρχει µεροληψία στην εκτίµηση της µέσης τιµής και η δειγµατική µέση τιµή (µέσος όρος των 10 παρατηρήσεων) x αποκλίνει από την πραγµατική µέση τιµή. Σε αυτήν την περίπτωση το διάστηµα εµπιστοσύνης (για κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α) µπορεί να µην περιέχει την πραγµατική µέση τιµή µ µε πιθανότητα µεγαλύτερη του α, όπως στο Σχήµα 4.2. Το εύρος του διαστήµατος εµπιστοσύνης καθορίζει σε αυτήν την περίπτωση την ακρίβεια επανάληψης για τη µέση τιµή µ και η απόσταση του x από την µ την ορθότητα. x + t x μ n-1,1-α/2 s x - t n-1,1-α/2 s x x τυχαίο σφάλμα συστηματικό σφάλμα Σχήµα 4.2: Σχηµατική παράσταση της ορθότητας (µεροληψίας) και ακρίβειας επανάληψης στην εκτίµηση της µέσης τιµής από 10 παρατηρήσεις. Αν έχουµε συλλέξει n µετρήσεις µιας τ.µ. X η αβεβαιότητα της µέτρησης είναι η εκτίµηση του σϕάλµατος µέτρησης που δίνεται από την τυπική απόκλιση s (δες την έκϕραση της διασποράς s 2 στην (3.3) ). Κάνοντας χρήση της κρίσιµης τιµής από την κατανοµή Student και κάτω από προϋποθέσεις (X από κανονική κατανοµή ή µεγάλο n), το όριο της ακρίβειας επανάληψης (randm uncertainty) για κάθε (επόµενη) µέτρηση σε επίπεδο σηµαντικότητας α είναι x ± t n 1,1 α/2 s. Αντίστοιχα, η αβεβαιότητα για την εκτίµηση της µέσης τιµής µ είναι η εκτί-
5 4.1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ 53 µηση του σταθερού σϕάλµατος του µέσου όρου s x = s/ n και το όριο της ακρίβειας για τη µέση τιµή είναι σε επίπεδο σηµαντικότητας α x ± t n 1,1 α/2 s/ n. Παράδειγµα 4.1. Η διαϕορά τάσης (vltage difference) V σε έναν αντιστάτη (resistr) µετρήθηκε 10 φορές και έδωσε τις παρακάτω τιµές (σε mv) i V i Η µέση διαϕορά τάσης υπολογίζεται από τις 10 µετρήσεις ως V = V i = mv Υποθέτοντας ότι η διαϕορά τάσης V είναι τ.µ. που ακολουθεί κανονική κατανοµή, η αβεβαιότητα για κάθε µέτρηση V i είναι και ϑα έχουµε s V = n (V i V)2 = mv. V 1 = (123.5 ± 0.6)mV, V 2 = (125.3 ± 0.6)mV,..., V 10 = (123.2 ± 0.6)mV. Η αβεβαιότητα για το V είναι s V = s V 10 = mv και ϑα έχουµε V = ( ± 0.192) mv. Το όριο αβεβαιότητας σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0.05 για κάθε νέα µέτρηση ϑα είναι V ± t n 1,1 α/2 s V = ± t 9, = ± = ± mv, ενώ το όριο αβεβαιότητας για τη µέση τιµή µ είναι το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης V ± t n 1,1 α/2 s V / n = ± / 10 = ± mv.
6 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ 4.2 ιάδοση σϕάλµατος µέτρησης Ας υποθέσουµε τώρα πως έχουµε µετρήσεις ενός φυσικού µεγέθους X που είναι τυχαία µεταβλητή, δηλαδή γνωρίζουµε το X µε κάποια αβεβαιότητα σ X που είναι η τυπική του απόκλιση. Εστω ότι µας ενδιαϕέρει ένα άλλο φυσικό µέγεθος Y που δίνεται ως συνάρτηση του X, Y = f (X). Η µεταβολή του Y, dy, για κάθε µικρή µεταβολή dx γύρω από κάποια τιµή x δίνεται ως ( ) df dy dx, dx όπου η προσέγγιση του αναπτύγµατος Ταψλορ έγινε µόνο ως την πρώτη τάξη (πρώτη παράγωγο). Θεωρώντας την µεταβολή dx = x x και dy = y ȳ, όπου x και ȳ οι µέσοι όροι των παρατηρήσεων της X και Y αντίστοιχα, παίρνουµε την παρακάτω έκϕραση για την αβεβαιότητα στην Y ( df σ 2 Y dx ) 2 X=x σ 2 X X=x σ Y df dx σ X. (4.1) X=x Η απόλυτη τιµή χρησιµοποιείται για να δίνει πάντα ϑετική τιµή στην αβεβαιότητα σ Y, ακόµα και αν η παράγωγος της f είναι αρνητική. Η παραπάνω σχέση µπορεί να επεκταθεί και όταν η τ.µ. Y που µας ενδιαϕέρει είναι συνάρτηση m παρατηρούµενων τ.µ. X 1, X 2,..., X m και δίνεται ως σ 2 Y ( df dx i ) 2 X i =x i σ 2 X i + 2 m 1 j=i+1 ( ) df dx i X i =x i ( df dx j ) X j =x j σ Xi,X j, (4.2) όπου x 1, x 2,..., x m είναι οι µετρήσεις των X 1, X 2,..., X m αντίστοιχα και σ Xi,X j είναι η συνδιασπορά των X i και X j. Ο παραπάνω τύπος ονοµάζεται νόµος διάδοσης των σϕαλµάτων (law f prpagatin f errrs) και δίνει µια εκτίµηση της µέγιστης αβεβαιότητας σ Y της Y για δεδοµένες αβεβαιότητες σ X1, σ X2,..., σ Xm. Αυτός ο νόµος είναι αυστηρά ακριβής όταν η συνάρτηση f είναι γραµµική (η ανάπτυξη της f κατά Taylr συµπίπτει µε την ίδια την f ). Η f µπορεί να έχει µη-γραµµική µορϕή που δεν επιτρέπει καλή προσέγγιση της αβεβαιότητας σ Y αν δεν επεκταθεί το ανάπτυγµα Taylr σε µεγαλύτερη τάξη. Οταν οι τ.µ. X 1, X 2,..., X m είναι ανεξάρτητες, το δεύτερο διπλό άθροισµα στη σχέση (4.2) απαλείϕεται αϕού οι συνδιασπορές µηδενίζονται και η αβεβαιότητα δίνεται ως σ Y m ( ) 2 df σ 2 X dx i. (4.3) i X i =x i
7 4.2. ΙΑ ΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ 55 Ειδικότερα ας ϑεωρήσουµε ότι η f είναι γραµµική, δηλαδή η Y είναι γραµµικός συνδυασµός των X 1, X 2,..., X m Y = a i X i = a Τ X όπου a 1, a 2,..., a m είναι οι συντελεστές του γραµµικού συνδυασµού και τα διανύσµατα είναι a = [a 1, a 2,..., a m ] Τ, X = [X 1, X 2,..., X m ] Τ. Γενικά για συσχετισµένες τ.µ. X 1, X 2,..., X m, ο πίνακας συνδιασποράς είναι σ 2 X 1 σ X1,X 2... σ X1,X m Σ = σ X2,X 1 σ 2 X 2... σ X2,X m σ Xm,X 1 σ Xm,X 2... σ 2 X m. Η διασπορά της Y είναι σ 2 Y = a i σ Xi,X j a j = a Τ Σa. Για κάθε δύο διαϕορετικές τ.µ. X i και X j ο συντελεστής συσχέτισης είναι ρ Xi,X j = σ Xi,X j /(σ Xi σ Xj ) και η παραπάνω έκϕραση µπορεί να γραϕεί ως σ 2 Y = m 1 a i σ 2 X i + 2 j=i+1 a i a j ρ Xi,X j σ Xi σ Xj. Οταν οι τ.µ. X 1, X 2,..., X m είναι ανεξάρτητες η παραπάνω σχέση απλοποιείται ως σ 2 Y = a i σ 2 X i. Συχνά χρσιµοποιείται ο συµβολισµός X αντί σ X για την αβεβαιότητα της X. Επίσης χρησιµοποιείται η σχετική αβεβαιότητα (relative uncertainty σ X /X και συχνά σε ποσοστιαίες µονάδες. Παράδειγµα 4.2. Ενα απλό και πρακτικό παράδειγµα διάδοσης σϕάλµατος είναι ο νόµος του Ωµ R = V/I, όπου µετρώντας την ένταση του ϱεύµατος I και την τάση V σε έναν αντιστάτη ϑέλουµε να προσδιορίσουµε την αντίσταση R. Αν υποθέσουµε ότι οι παρατηρούµενη ένταση και τάση του ϱεύµατος δίνονται µε αβεβαιότητα σ I και σ V αντίστοιχα, η αβεβαιότητα σ R είναι σ R = (σv I ) 2 ( V ) 2 + I σ 2 I = R (σv ) 2 ( σi ) 2 +. V I
8 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Σε αυτήν την απλή περίπτωση, η σχετική αβεβαιότητα σ R /R είναι η τετραγωνική ϱίζα του αθροίσµατος των τετραγώνων των σχετικών αβεβαιοτήτων της έντασης και τάσης.
9 4.2. ΙΑ ΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ 57 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 4 1. Ο συντελεστής αποκατάστασης e (cefficient f restitutin) µιας µπάλας, όπου εδώ έχει το νόηµα της αναπήδησης, ορίζεται από το λόγο της ταχύτητας µετά την επαϕή µε την επιϕάνεια προς την ταχύτητα πριν την επαϕή. Ισοδύναµα ο συντελεστής αποκατάστασης ορίζεται ως e = h 2 /h 1, όπου h 1 είναι το ύψος από το οποίο αϕήνουµε τη µπάλα και h 2 είναι το ύψος που φτάνει η µπάλα µετά την επαϕή µε την επιϕάνεια (έδαϕος). (α ) (ϐ ) (γ ) Αϕήνουµε µια µπάλα µπάσκετ από ύψος 100 cm και µετράµε το ύψος που φτάνει µετά την αναπήδηση. Επαναλαµβάνουµε αυτό το πείραµα 5 φορές και ϐρίσκουµε (σε cm) 60, 54, 58, 60, 56. Για µια σωστά φουσκωµένη µπάλα ϑα πρέπει ο συντελεστής αναπήδησης να είναι Εκτιµείστε την αβεβαιότητα ορθότητας και ακρίβειας επανάληψης για το συντελεστή αναπήδησης για αυτήν τη µπάλα. Προσοµοιώστε M = 1000 φορές το παραπάνω πείραµα. Σε κάθε πείραµα δηµιουργείστε τις 5 µετρήσεις του ύψους h 2 µετά την αναπήδηση της µπάλας από κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ 2 = 58cm και τυπική απόκλιση σ 2 = 2cm. Υπολογίστε σε κάθε προσοµοίωση το µέσο όρο και την τυπική απόκλιση του ύψους h 2 καθώς και του συντελεστή αποκατάστασης e. Εξετάστε αν οι τιµές αυτές είναι συνεπείς µε τις αναµενόµενες από τη σχέση e = h2 /h 1 για σταθερό h 1 = 100cm. Αϕήνουµε τη µπάλα µπάσκετ 5 φορές από διαϕορετικά αρχικά ύψη h 1 και ϐρίσκουµε τις παρακάτω τιµές (σε cm) h h Εκτιµείστε την αβεβαιότητα στα δύο ύψη και υπολογίστε την αβε- ϐαιότητα στο συντελεστή αναπήδησης. Αν ο συντελεστής αναπήδησης πρέπει να είναι 0.76, µπορούµε να δεχθούµε ότι η µπάλα είναι κατάλληλα φουσκωµένη ; 2. Στη µέτρηση αγροτεµαχίων σε παραλληλεπίπεδο σχήµα µετράµε το µήκος και πλάτος µε αβεβαιότητα 5m. (α ) Ποια είναι η αβεβαιότητα στη µέτρηση της επιϕάνειας αγροτεµαχίου µε µήκος 500m και πλάτος 300m; Για ποια µήκη και πλάτη αυτή η αβεβαιότητα είναι ίδια ;
10 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ (ϐ ) Σχηµατίστε την αβεβαιότητα ως συνάρτηση του µήκους και πλάτους της έκτασης αγροτεµαχίου. Βοήθεια ( matlab): Για το σχηµατισµό επιϕάνειας χρησιµοποίησε την εντολή surf. 3. Η ισχύς που εκλύεται (is dissipated) από ένα κύκλωµα εναλλασσόµενου ϱεύµατος δίνεται ως P = VI cs f, όπου V και I είναι η ηµιτονοειδής τάση και ένταση ϱεύµατος στο κύκλωµα και f είναι η διαϕορά φάσης µεταξύ των V και I. (α ) (ϐ ) Θεωρώντας ότι τα V, I και f δε συσχετίζονται υπολογίστε την αβε- ϐαιότητα της ισχύος από τις τιµές των V, I και f και την αβεβαιότητα τους. Θεωρείστε ότι η ακρίβεια των V, I και f δίνεται ως (µέση τιµή και τυπική απόκλιση) V = (77.78 ± 0.71)V I = (1.21 ± 0.071)A f = (0.283 ± 0.017)rad (γ ) Θεωρώντας κανονική κατανοµή για κάθε µια από τις V, I και f, ελέγξετε µε M = 1000 προσοµοιώσεις αν η ισχύς έχει την αναµενόµενη ακρίβεια. Κάνετε το ίδιο µε παραπάνω αλλά ϑεωρώντας επιπλέον πως η διαφορά φάσης συσχετίζεται µε την τάση µε συντελεστή συσχέτισης ρ V,f = 0.5. Βοήθεια ( matlab): Για τη δηµιουργία τυχαίων αριθµών από πολυ- µεταβλητή κανονική κατανοµή χρησιµοποίησε την εντολή mvnrnd.
Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.
Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2
4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης
Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και
Διαβάστε περισσότεραΕργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων
Μεταπτυχιακό Υπολογιστικής Φυσικής Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων ηµήτρης Κουγιουµτζής E-mail: dkugiu@auth.gr 30 Ιανουαρίου 2018 Οδηγίες : Σχετικά µε την παράδοση της εργασίας ϑα πρέπει : Το κείµενο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.
Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΠειραματική Ρευστοδυναμική. Σφάλματα και Αβεβαιότητα Μετρήσεων
Εργαστήριο Τεχνικής Θερμοδυναμικής Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών Πειραματική Ρευστοδυναμική Σφάλματα και Αβεβαιότητα Μετρήσεων Αλέξανδρος Γ. Ρωμαίος Χειμερινό Εξάμηνο 2018
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ
Κεϕάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεϕάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΗ ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων
Διαβάστε περισσότεραΧημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραx y max(x))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση
Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης
Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων
ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Συσχέτιση και Γραμμική Παλινδρόμηση. Κουγιουμτζής Δημήτριος Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Συσχέτιση και Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτριος Τμήμα Χημικών Μηχανικών Θεσσαλονίκη, Μάιος 15 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΑ. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα
Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson
Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα
Διαβάστε περισσότερα4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου
4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )
Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η
Διαβάστε περισσότερα2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης
Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που
Διαβάστε περισσότερα9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε
Διαβάστε περισσότεραΜετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties
Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου
ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότερα7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας
7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότερα27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό
ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότερα1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΠαρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι
Διαβάστε περισσότεραΣυσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων
Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,
Διαβάστε περισσότεραΠολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:
Διαβάστε περισσότερα----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------
----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα
ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται
Διαβάστε περισσότερα, x > a F X (x) = x 3 0, αλλιώς.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 11ο Φροντιστήριο - Θέµατα Εξετάσεων από προηγούµενα έτη Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότερα) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή
Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΛίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 1 Εισαγωγή 21 1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη στατιστική; 21 1.2 Τι είναι η στατιστική; 22 1.3 Περισσότερα για την επαγωγική στατιστική 23 1.4 Τρεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012
ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα).
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα). Στην Στατιστική Εξειδίκευση ένα Σχήµα Αλληλεξάρτησης εξειδικεύεται στον Πληθυσµό και το
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣφάλματα Είδη σφαλμάτων
Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Εισαγωγικές Έννοιες
Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ
.Φουσκάκης- Ασκήσεις στα ιαστήµατα Εµπιστοσύνης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ) Για τον προσδιορισµό της σκληρότητας αλουµινίου έγιναν 6 µετρήσεις και προέκυψαν τα εξής αποτελέσµατα:.4,.4,.7,.3,
Διαβάστε περισσότεραΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.
Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,
Διαβάστε περισσότεραΟι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:
Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΕίδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το
ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος
Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο
Διαβάστε περισσότερα