Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση"

Transcript

1 Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη διάδοση του σϕάλµατος από µια τυχαία µεταβλητή X σε µια τ.µ. Y που δίνεται ως συνάρτηση της X. Σε αυτό το κεϕάλαιο ϑα διερευνήσουµε τη συσχέτιση των δύο µεταβλητών X και Y και ϑα εκτιµήσουµε τη συνάρτηση που δίνει τη Y γνωρίζοντας τη X. Επίσης ϑα επεκτείνουµε τη µελέτη για την περίπτωση που ϑέλουµε να εκτιµήσουµε τη Y γνωρίζοντας περισσότερες από µια µεταβλητές. Πρώτα ϑα µελετήσουµε τη σχέση δύο τ.µ. X και Y. Συχνά στη µελέτη ενός τεχνικού συστήµατος ή φυσικού φαινοµένου ενδιαϕερόµαστε να προσδιορίσουµε τη σχέση µεταξύ δύο µεταβλητών του συστήµατος. Για παράδειγµα στη λειτουργία µια µηχανής µας ενδιαϕέρει η σχέση του χρόνου ως την αποτυχία κάποιου στοιχείου της µηχανής και της ταχύτητας του κινητήρα (σε περιστροϕές ανά λεπτό). Θα προσδιορίσουµε και ϑα εκτιµήσουµε το συντελεστή συσχέτισης που µετράει τη γραµµική συσχέτιση δύο τ.µ.. Στη συνέχεια ϑα µελετήσουµε τη συναρτησιακή σχέση εξάρτησης µιας τ.µ. Y ως προς µια άλλη µεταβλητή X. Η σχέση αυτή είναι πιθανοκρατική και ορί- Ϲεται µε την κατανοµή της Y για κάθε τιµή της X. Για παράδειγµα η απόδοση κάποιου εργαστηριακού πειράµατος µπορεί να ϑεωρηθεί τ.µ. µε κατανοµή που µεταβάλλεται µε τη ϑερµοκρασία στην οποία πραγµατοποιείται. Συνή- ϑως µας ενδιαϕέρει η µεταβολή της µέσης τιµής (και ορισµένες φορές και η διασπορά), για αυτό και η περιγραϕή της κατανοµής της Y ως προς τη X περιορίζεται στη δεσµευµένη µέση τιµή E[Y X] και γίνεται µε τη λεγόµενη ανάλυση παλινδρόµησης. Θα µελετήσουµε πρώτα την απλή γραµµική παλινδρόµηση, δηλαδή όταν η συνάρτηση παλινδρόµησης είναι γραµµική ως προς µια τ.µ. X. Στη συνέχεια ϑα µελετήσουµε κάποιες µορϕές µη-γραµµικής παλινδρόµησης, καθώς και πολλαπλής παλινδρόµησης, όπου η Y εξαρτάται από περισσότερες από µια µεταβλητές. 59

2 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 5.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. ύο τ.µ. X και Y µπορεί να συσχετίζονται µε κάποιο τρόπο. Αυτό συµ- ϐαίνει όταν επηρεάζει η µία την άλλη, ή αν δεν αλληλοεπηρεάζονται, όταν επηρεάζονται και οι δύο από µια άλλη µεταβλητή. Για παράδειγµα ο χρόνος ως την αποτυχία ενός στοιχείου κάποιας µηχανής και η ταχύτητα του κινητή- ϱα της µηχανής µπορούν να ϑεωρηθούν σαν δύο τ.µ. που συσχετίζονται, όπου ο χρόνος αποτυχίας εξαρτάται από την ταχύτητα του κινητήρα (το αντίθετο δεν έχει πρακτική σηµασία). Μπορούµε επίσης να ϑεωρήσουµε τη συσχέτιση του χρόνου αποτυχίας και της ϑερµοκρασίας του στοιχείου της µηχανής, αλλά τώρα δεν εξαρτάται η µια από την άλλη παρά εξαρτιούνται και οι δύο από άλλες µεταβλητές, όπως η ταχύτητα του κινητήρα. Η συσχέτιση λοιπόν δεν υποδηλώνει απαραίτητα κάποια αιτιακή σχέση των δύο µεταβλητών. Η παρατήρηση ότι σε κάποια περιοχή ο πληθυσµός των πελαργών συσχετίζεται µε το πλήθος των γεννήσεων, δε σηµαίνει πως οι πελαργοί προκαλούν γεννήσεις. Στη συνέχεια ϑα ϑεωρήσουµε ότι οι δύο τ.µ. X και Y είναι συνεχείς. Για διακριτές τ.µ. µπορούµε πάλι να ορίσουµε µέτρο συσχέτισης τους αλλά δε ϑα µας απασχολήσει εδώ. Στην παράγραϕο ορίσαµε τη συνδιασπορά σ XY και το συντελεστή συσχέτισης ρ δύο τ.µ. X και Y µε διασπορά σ 2 X και σ2 Y αντίστοιχα (δες τη σχέση (2.16) για το σ XY και (2.17) για το ρ). Ο συντελεστής συσχέτισης ρ = Corr(X, Y ) αποτελεί κανονικοποίηση της συνδιασποράς σ XY και εκϕράζει τη γραµµική συσχέτιση δύο τ.µ., δηλαδή την αναλογική µετα- ϐολή (αύξηση ή µείωση) της µιας τ.µ. που αντιστοιχεί σε µεταβολή της άλλης µεταβλητής. Ο συντελεστής συσχέτισης λέγεται και συντελεστής συσχέτισης Pearson για να το διαχωρίσουµε από άλλους συντελεστές συσχέτισης, όπως του Spearman και του Kendall. Οταν ρ = ±1 η σχέση είναι αιτιοκρατική και όχι πιθανοκρατική γιατί γνωρίζοντας την τιµή της µιας τ.µ. γνωρίζουµε και την τιµή της άλλης τ.µ. ακριβώς. Οταν ο συντελεστής συσχέτισης είναι κοντά στο 1 ή 1 η γραµµική συσχέτιση των δύο τ.µ. είναι ισχυρή (συνήθως χαρακτηρίζουµε ισχυρή τη συσχέτιση όταν ρ >.9) ενώ όταν είναι κοντά στο µηδέν οι τ.µ. είναι πρακτικά ασυσχέτιστες. Οπως φαίνεται από τον ορισµό στη σχέση (2.17), ο συντελεστής συσχέτισης ρ δεν εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των X και Y και είναι συµµετρικός ως προς τις X και Y ειγµατικός συντελεστής συσχέτισης Οταν έχουµε παρατηρήσεις των δύο τ.µ. X και Y κατά Ϲεύγη {(x 1, 1 ), (x 2, 2 ),..., (x n, n )},

3 5.1. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΥΟ Τ.Μ. 61 µπορούµε να πάρουµε µια πρώτη εντύπωση για τη συσχέτιση τους από το διάγραµµα διασποράς (scatter diagram), που είναι η απεικόνιση των ση- µείων (x i, i ), i = 1,..., n, σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Στο Σχήµα 5.1 παρουσιάζονται τυπικά διαγράµµατα διασποράς για ισχυ- ϱές και ασθενείς συσχετίσεις δύο τ.µ. X και Y. Στα Σχήµατα 5.1α και 5.1δ 5 (α) 5 (β) 6 (γ) Y 1 Y 1 Y ρ = 1 r = X Y (δ) ρ = 1 r = ρ =.97 r = X Y (ε) ρ =.97 r = ρ =.8 r = X Y (ζ) ρ =.8 r = X 2 (η) X 1 (θ) X 1.5 (ι) ρ = r = ρ,r = αoριστo Y Y Y ρ = r = X X X Σχήµα 5.1: ιάγραµµα διασποράς δύο τ.µ. X και Y από n = 2 παρατηρήσεις που παρουσιάζουν ϑετική σχέση στα σχήµατα (α), (ϐ) και (γ), αρνητική σχέση στα σχήµατα (δ), (ε) και (Ϲ) και καµιά συσχέτιση στα σχήµατα (η), (ϑ) και (ι). Σε κάθε σχήµα δίνεται η πραγµατική τιµή του συντελεστή συσχέτισης ρ και η δειγµατική r. Στο (ι) ο συντελεστής συσχέτισης δεν ορίζεται. η σχέση είναι τέλεια (ρ = 1 και ρ = 1 αντίστοιχα), στα Σχήµατα 5.1ϐ και 5.1ε είναι ισχυρή (ϑετική µε ρ =.97 και αρνητική µε ρ =.97 αντίστοιχα)

4 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ και στα Σχήµατα 5.1γ και 5.1Ϲ είναι λιγότερο ισχυρή (ϑετική µε ρ =.8 και αρνητική µε ρ =.8 αντίστοιχα). Στο Σχήµα 5.1η είναι ρ = γιατί οι τ.µ. X και Y είναι ανεξάρτητες ενώ στο Σχήµα 5.1ϑ είναι πάλι ρ = αλλά οι X και Y δεν είναι ανεξάρτητες αλλά συσχετίζονται µόνο µη-γραµµικά. Τέλος για το Σχήµα 5.1ι ο συντελεστής συσχέτισης δεν ορίζεται γιατί η Y είναι σταθερή (σ Y = στον ορισµό του ρ στην (2.17) ). Η σηµειακή εκτίµηση (point estimation) του συντελεστή συσχέτισης ρ του πληθυσµού από το δείγµα των n Ϲευγαρωτών παρατηρήσεων των X και Y γίνεται µε την αντικατάσταση στη σχέση (2.17) της συνδιασποράς σ XY και των τυπικών αποκλίσεων σ X και σ Y από τις αντίστοιχες εκτιµήσεις από το δείγµα ˆρ r = s XY s X s Y. Ο αµερόληπτος εκτιµητής s XY του σ XY δίνεται όπως και ο αµερόληπτος εκτι- µητής της συνδιασποράς σ 2 X (δες σχέση 3.3) ως s XY = 1 n 1 n i=1 (x i x)( i ȳ) = 1 n 1 n x i i n xȳ, (5.1) όπου x και ȳ είναι οι δειγµατικές µέσες τιµές των X και Y. Από τα παραπάνω προκύπτει η έκϕραση του εκτιµητή r i=1 r = n i=1 x i i n xȳ ( n i=1 x i 2 n x 2) ( n i=1 2 i nȳ 2). (5.2) Είναι προϕανές πως η παραπάνω σχέση για το r δεν αλλάζει αν ϑεωρήσουµε τους µεροληπτικούς εκτιµητές των σ XY, σ X και σ Y. Το r λέγεται δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης (του Pearson (sample Pearson correlation coefficient). Καλύτερη φυσική ερµηνεία της συσχέτισης δύο τ.µ. επιτυγχάνεται µε το r 2 που λέγεται συντελεστής προσδιορισµού (coefficient of determination) (εκϕράζεται συνήθως σε ποσοστό, δηλαδή 1r 2 ). Ο συντελεστής προσδιο- ϱισµού δίνει το ποσοστό µεταβλητότητας των τιµών της Y που υπολογίζεται από τη X (και αντίστροϕα) και είναι ένας χρήσιµος τρόπος να συνοψίσουµε τη σχέση δύο τ.µ.. Στο Σχήµα 5.1 δίνεται ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης r για κάθε περίπτωση. Επειδή το δείγµα είναι µικρό (n = 2) η τιµή του r δεν είναι πάντα κοντά στην πραγµατική τιµή ρ. Αυτό συµβαίνει γιατί ο εκτιµητής r όπως δίνεται στη σχέση (5.2) είναι µια τ.µ. που εξαρτάται από τις τιµές και το πλήθος των Ϲευγών των παρατηρήσεων.

5 5.1. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΥΟ Τ.Μ Κατανοµή του εκτιµητή r Η κατανοµή του εκτιµητή r δε µπορεί εύκολα να περιγραϕτεί καθώς το r δεν έχει την ίδια κατανοµή για κάθε τιµή του πραγµατικού συντελεστή ρ. Η κατανοµή του r δεν είναι κάποια γνωστή, όπως κανονική ή άλλη κατανοµή που φθίνει εκθετικά ή µε νόµο δύναµης, αϕού φράζεται από το -1 και το 1. Για ρ =, η πυκνότητα των τιµών του r κατανέµεται συµµετρικά γύρω από το, και η µέση τιµή του είναι. Καθώς όµως το ρ αποκλίνει προς το -1 ή το 1, η κατανοµή του r γίνεται ϑετικά ή αρνητικά ασύµµετρη, αντίστοιχα. Οταν το ρ πλησιάζει το -1 ή το 1, η διασπορά του r µικραίνει για να γίνει όταν το ρ ισούται µε -1 ή 1. Η µορϕή της κατανοµής του r για κάθε τιµή του ρ εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος n αλλά και από την κατανοµή των τ.µ. X και Y. Η κατανοµή του r δίνεται αναλυτικά όταν το Ϲεύγος τ.µ. (X, Y ) ακολουθεί διµεταβλητή κανονική κατανοµή και υπάρχουν επίσης προσεγγιστικές αναλυτικές εκϕράσεις όταν η διµεταβλητή κατανοµή δεν είναι κανονική, αλλά όλες αυτές οι αναλυτικές εκϕράσεις είναι αρκετά σύνθετες και δεν παρουσιά- Ϲονται εδώ. Στο Σχήµα 5.2 δίνεται η εµπειρική κατανοµή του r για διαϕορετικές τιµές του ρ, που σχηµατίστηκε ως εξής. Για σταθερές µέσες τιµές και τυπικές αποκλίσεις των X και Y και για κάθε τιµή του συντελεστή συσχέτισης ρ, πραγµατοποιούνται M δείγµατα µεγέθους n και σε καθένα από αυτά υπολογίζεται ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης r. Από τις M τιµές του r σχηµατίζεται το κανονικοποιηµένο ιστόγραµµα (για σχετικές συχνότητες) που προσοµοιώνει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του r, f r (r). Στο Σχήµα 5.2α οι παράµετροι είναι µ X =, µ Y =, σ X = 1, σ Y = 1, M = 1 και n = 2. Παρατηρούµε πως η µορϕή της εµπειρικής f r (r) διαϕέρει για τις διαϕορετικές τιµές του ρ και εµϕανίζει συµµετρία µόνο για ρ =. Στο Σχήµα 5.2ϐ, όπου το µέγεθος των δειγµάτων πενταπλασιάστηκε (n = 1), η f r (r) γίνεται πιο συµµετρική και µε µικρότερη διασπορά (όπως αναµένεται για µεγαλύτερο δείγµα). Σηµειώνεται ότι η σύγκλιση της f r (r) στην κανονική κατανοµή που περιµένουµε σύµϕωνα µε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα είναι πιο αργή για µεγαλύτερες τιµές του ρ. Για παράδειγµα για τιµές του ρ κοντά στά όρια -1 και 1, η λοξότητα διορθώνεται όταν η κατανοµή γίνεται πολύ στενή, δηλαδή για µεγάλα δείγµατα. Η µορϕή της f r (r) αλλάζει για το ίδιο ρ όταν το δείγµα δεν προέρχεται από διµεταβλητή κανονική κατανοµή. Υποθέτοντας τα τετράγωνα των κανονικών τ.µ. X και Y, X = X 2 και Y = Y 2, µπορεί να δειχθεί ότι ρ = Corr(X, Y ) = ρ 2. Σε αυτήν την περίπτωση η µορϕή της f r (r) για την εκτίµηση του ρ διαϕέρει, όπως προκύπτει από τη σύγκριση των Σχηµάτων 5.2α και 5.2γ. Σε πολλά προβλήµατα της στατιστικής και ανάλυσης δεδοµένων προσπα-

6 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.8.7 ρ=.95 (α).6.5 ρ=.95 f r (r).4.3 ρ=.5 ρ= ρ= r ρ=.95 ρ=.5 (β) ρ= ρ=.5 ρ=.95 f r (r) r (γ) ρ=.95 f r (r) ρ= ρ= r Σχήµα 5.2: (α) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του r για διαϕορετικές τιµές του ρ, εκτιµούµενη από το ιστόγραµµα των τιµών του r υπολογισµένο σε 1 Ϲευγαρωτά δείγµατα µεγέθους n = 2 από κανονική κατανοµή µε µέσες τιµές και διασπορά 1 και για τις δύο τ.µ. X και Y. (ϐ) Οπως στο (α) αλλά για n = 1. (γ) Οπως το (α) αλλά µόνο για ϑετικό συντελεστή ρ των τετραγώνων των X και Y. Σε αυτήν την περίπτωση αυτός ο συντελεστής συσχέτισης είναι το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης των X και Y. ϑούµε να µετασχηµατίσουµε την παρατηρούµενη µεταβλητή ώστε να ακολου- ϑεί κάποια γνωστή κατανοµή, συνήθως κανονική. Εδώ η µεταβλητή είναι ο

7 5.1. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΥΟ Τ.Μ. 65 εκτιµητής r. Προτάθηκε από τον Fisher ο µετασχηµατισµός z = tanh 1 (r) =.5 ln 1 + r 1 r, (5.3) ώστε όταν το δείγµα είναι µεγάλο και από διµεταβλητή κανονική κατανοµή το z να τείνει προς την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ z E(z) = tanh 1 (ρ) και διασπορά σ 2 z Var(z) = 1/(n 3), δηλαδή η διασπορά είναι ανεξάρτητη του ρ. Μπορούµε λοιπόν να υπολογίσουµε διάστηµα εµπιστοσύνης και να κάνουµε έλεγχο υπόθεσης χρησιµοποιώντας την προσεγγιστικά κανονική κατανοµή του z ιάστηµα εµπιστοσύνης για το συντελεστή συσχέτισης Για τον υπολογισµό παραµετρικού διαστήµατος εµπιστοσύνης για το ρ, το πρώτο ϐήµα είναι ο µετασχηµατισµός του εκτιµητή r στο z από τη σχέση (5.3). Σύµϕωνα και µε το διάστηµα εµπιστοσύνης για τη µέση τιµή µιας τ.µ., υποθέτοντας ότι το z ακολουθεί προσεγγιστικά κανονική κατανοµή, το (1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το z δίνεται ως z ± z 1 α/2 1/(n 3). Το δεύτερο ϐήµα λοιπόν είναι να υπολογίσουµε από την παραπάνω σχέση αυτό το διάστηµα και ας το συµβολίσουµε [ζ l, ζ u ]. Τέλος, στο τρίτο ϐήµα παίρνουµε τον αντίστροϕο µετασχηµατισµό για τα άκρα του διαστήµατος ζ l και ζ u, που δίνονται ως r l = tanh(ζ l ) = exp(2ζ l) 1 exp(2ζ l ) + 1, r u = exp(2ζ u) 1 exp(2ζ u ) + 1 (5.4) και ορίζουν το (1 α)% διαστήµατος εµπιστοσύνης για το ρ Ελεγχος µηδενικής συσχέτισης Σε πολλά προβλήµατα µας ενδιαϕέρει να ελέγξουµε αν δύο τ.µ. συσχετί- Ϲονται. Ενας τρόπος να το επιτύχουµε είναι από τον υπολογισµό του διαστή- µατος εµπιστοσύνης του ρ. Αν το (1 α)% διαστήµατος εµπιστοσύνης του ρ, [r l, r u ] (δες σχέση (5.4)), δεν περιέχει το, τότε µπορούµε να δεχθούµε στο ίδιο επίπεδο εµπιστοσύνης ότι οι δύο τ.µ. συσχετίζονται. Αν ϑέλουµε να κάνουµε έλεγχο υπόθεσης για το ρ = τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την κατανοµή του r κάτω από τη µηδενική υπόθεση Η :

8 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Α/Α (i) Αντίσταση x i (ohm) Χρόνος αποτυχίας i (min) Πίνακας 5.1: εδοµένα αντίστασης x i και χρόνου αποτυχίας i για 2 αντιστάτες. ρ =. Για ρ =, ισχύει t = r n 2 1 r 2 t n 2, (5.5) δηλαδή η τ.µ. t που προκύπτει από τον παραπάνω µετασχηµατισµό του r ακολουθεί κατανοµή Student µε n 2 ϐαθµούς ελευθερίας. Άρα η απόϕαση του ελέγχου γίνεται µε ϐάση το στατιστικό t της σχέσης (5.5) και η p-τιµή του ελέγχου µπορεί να υπολογισθεί από την αθροιστική κατανοµή Student για την τιµή του στατιστικού από το δείγµα. Παράδειγµα 5.1. Θέλουµε να διερευνήσουµε τη συσχέτιση της αντίστασης και του χρόνου αποτυχίας κάποιου υπερϕορτωµένου αντιστάτη. Για αυτό πήραµε µετρήσεις αντίστασης (σε Ωµ, ohm) και χρόνου αποτυχίας (σε λεπτά, min) από δείγµα 2 αντιστατών, οι οποίες παρουσιάζονται στον Πίνακα 5.1. Για να ϐρούµε τον συντελεστή συσχέτισης r υπολογίζουµε πρώτα τα πα-

9 5.1. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΥΟ Τ.Μ. 67 ϱακάτω 2 i=1 x 2 i = Από τη σχέση (5.2) ϐρίσκουµε x = 38 ȳ = i=1 2 i = i=1 x i i = r = ( ) ( ) =.84. Η τιµή του συντελεστή συσχέτισης r.8 υποδηλώνει ότι η αντίσταση και ο χρόνος αποτυχίας αντιστάτη έχουν γραµµική ϑετική συσχέτιση αλλά όχι πολύ ισχυρή. Αυτό φαίνεται και από το διάγραµµα διασποράς στο Σχήµα 5.3. Η µεταβλητότητα της µιας τ.µ. (αντίσταση ή χρόνος αποτυχίας) µπορεί να 5 χρoνoς απoτυχιας (min) r= αντισταση x (ohm) Σχήµα 5.3: ιάγραµµα διασποράς για το δείγµα παρατηρήσεων αντίστασης και χρόνου αποτυχίας 2 αντιστατών του Πίνακα 5.1. εξηγηθεί από τη συσχέτιση της µε την άλλη κατά ποσοστό που δίνεται από το συντελεστή προσδιορισµού, που είναι r 2 1 = = %. Συµπεραίνουµε λοιπόν πως η γνώση της µιας τ.µ. δε µας επιτρέπει να προσδιορίσουµε την άλλη µε µεγάλη ακρίβεια. Για τον υπολογισµό του 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης του συντελεστή συσχέτισης ρ υπολογίζουµε πρώτα το µετασχηµατισµό Fisher του r από τη

10 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ σχέση (5.3), z = Τα άκρα του 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης του z είναι [.634, 1.585] και ο αντίστροϕος µετασχηµατισµός στα άκρα αυτού του διαστήµατος δίνει το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης του ρ ως [.561,.919]. Τα όρια αυτά δηλώνουν ότι για τόσο µικρό δείγµα δε µπορούµε να εκτιµήσουµε µε ακρίβεια το συντελεστή συσχέτισης. Το κάτω άκρο του 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης του ρ είναι.561 και είναι πολύ µεγαλύτερο του, άρα µπορούµε να ισχυριστούµε µε µεγάλη σιγουριά πως η αντίσταση και ο χρόνος αποτυχίας συσχετίζονται. Ο έλεγχος της υπόθεσης ρ = δίνει το Student στατιστικό t = (δες σχέση (5.5)) και p =.194, δηλαδή είναι εντελώς απίθανο η αντίσταση και ο χρόνος αποτυχίας να είναι ανεξάρτητες τ.µ. µε ϐάση το δείγµα των 2 Ϲευγαρωτών παρατηρήσεων. Πρέπει τέλος να σηµειωθεί ότι η εκτίµηση r του συντελεστή συσχέτισης µπορεί να αλλάξει σηµαντικά µε την πρόσθεση ή αϕαίρεση λίγων παρατηρήσεων γιατί το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό Συσχέτιση και γραµµικότητα Ο συντελεστής συσχέτισης Pearson ρ καθώς και ο εκτιµητής του r αναφέρονται στο µέγεθος της γραµµικής συσχέτισης µεταξύ δύο τ.µ. X και Y. Για ένα δείγµα του Ϲεύγους (X, Y ), η τιµή του r δεν αποδίδει πάντα σωστά τη συσχέτιση, καθώς η συσχέτιση τους µπορεί να µήν είναι απλά γραµµική. Στο Σχήµα 5.4 δίνονται τα διαγράµµατα διασποράς για τρία δείγµατα του Ϲεύγους (X, Y ). Ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης για τα τρία δείγµατα είναι ο ίδιος, r =.84. Για το πρώτο δείγµα στο Σχήµα 5.4α, το Ϲεύγος (X, Y ) είναι από διµεταβλητή κανονική κατανοµή και άρα το r αποδίδει σωστά το µέγεθος της συσχέτισης τους. Το δεύτερο και τρίτο δείγµα όµως δεν αντιστοιχεί σε γραµµικά συσχετισµένα X και Y. Είναι φανερό πως για το δεύτερο δείγµα στο Σχήµα 5.4ϐ η σχέση των X και Y είναι απόλυτα γραµµική (ρ = 1) για όλα τα Ϲευγάρια εκτός από ένα απόµακρο σηµείο (outlier), το οποίο µειώνει την εκτίµηση στο r =.84. Στο τρίτο δείγµα στο Σχήµα 5.4γ η συσχέτιση των X και Y είναι απόλυτη αλλά µη-γραµµική µε αποτέλεσµα η συσχέτιση τους πάλι να υποεκτιµάται. Από τα παραπάνω παραδείγµατα είναι φανερό πως ο συντελεστής συσχέτισης Pearson δεν είναι πάντα κατάλληλο µέτρο συσχέτισης. Για την αντιµετώπιση απόµακρων σηµείων άλλα µέτρα είναι πιο κατάλληλα, όπως ο εκτιµητής του συντελεστή συσχέτισης Spearman και Kendall. Οταν η συσχέτιση µπο- ϱεί να είναι µη-γραµµική άλλα µέτρα πρέπει να αναζητηθούν. Ενα τέτοιο µέτρο είναι η αµοιβαία πληροϕορία (mutual information) που µετράει την πληροϕορία που µπορούµε να έχουµε για τη µια τ.µ. γνωρίζοντας την άλλη.

11 5.2. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 69 2 (α) 2 (β) x 2 (γ) x x Σχήµα 5.4: ιαγράµµατα διασποράς δειγµάτων που δίνουν όλα τον ίδιο δειγ- µατικό συντελεστή συσχέτισης r =.84. (α) Τα X και Y είναι από διµεταβλητή κανονική κατανοµή. (ϐ) Y = X για όλα εκτός από ένα Ϲευγάρι παρατηρήσεων του δείγµατος. (γ) Y = 2.6(X.585) Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Στη συσχέτιση που µελετήσαµε παραπάνω µετρήσαµε µε το συντελεστή συσχέτισης τη γραµµική σχέση δύο τ.µ. X και Y. Στην παλινδρόµηση που ϑα µελετήσουµε στη συνέχεια σχεδιάζουµε την εξάρτηση µιας τ.µ. Y, που την ονοµάζουµε εξαρτηµένη µεταβλητή (dependent variable), από άλλες τυχαίες µεταβλητές που τις ονοµάζουµε ανεξάρτητες µεταβλητές (independent

12 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ variables). Γενικά ϑεωρούµε πως τις τιµές των ανεξάρτητων µεταβλητών τις ορίζουµε εµείς και δεν εµπεριέχουν σϕάλµατα, δεν είναι δηλαδή τυχαίες µεταβλητές. Σε πολλά πρακτικά προβλήµατα όµως αυτό είναι περισσότερο µια παραδοχή για να εϕαρµόσουµε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να εκτιµήσουµε το µοντέλο παλινδρόµησης που δίνει τη µαθηµατική έκϕραση της εξάρτησης της εξαρτηµένης από τις ανεξάρτητες µεταβλητές. Στην αρχή ϑα ϑεωρήσουµε την εξάρτηση της Y από µία µόνο ανεξάρτητη µεταβλητή X και η περίπτωση αυτή αναϕέρεται ως απλή παλινδρόµηση. Ενώ η συσχέτιση είναι συµµετρική ως προς τα X και Y, στην απλή παλινδρόµηση η εξαρτηµένη µεταβλητή Y καθοδηγείται από την ανεξάρτητη µεταβλητή X. Για αυτό και στην ανάλυση που κάνουµε παίζει ϱόλο ποιόν από τους δύο πα- ϱάγοντες που µετράµε ορίζουµε ως ανεξάρτητη µεταβλητή και ποιόν ως εξαρτηµένη. Για παράδειγµα, σε µια µονάδα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας από λιγνίτη, για να προσδιορίσουµε το κόστος της παραγωγής ενέργειας, µελετάµε την εξάρτηση του από το κόστος του λιγνίτη. Είναι φυσικό λοιπόν ως εξαρτηµένη µεταβλητή Y να ϑεωρήσουµε το κόστος παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας κι ως ανεξάρτητη µεταβλητή X το κόστος του λιγνίτη. Στο πρώτο µέρος της µελέτης ϑα ϑεωρήσουµε πως η εξάρτηση είναι γραµ- µική, δηλαδή έχουµε την περίπτωση της απλής γραµµικής παλινδρόµησης Το πρόβληµα της απλής γραµµικής παλινδρόµησης Η εξαρτηµένη τ.µ. Y ακολουθεί κάποια κατανοµή. Επειδή µας ενδιαϕέ- ϱει η συµπεριϕορά της Y για κάθε δυνατή τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής X ϑέλουµε να µελετήσουµε τη δεσµευµένη κατανοµή της Y για κάθε τιµή x της X. Με αναϕορά στη δεσµευµένη αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ϑέλουµε να προσδιορίσουµε την F Y ( X = x) για κάθε τιµή x της X. Αυτό είναι αρκετά περίπλοκο πρόβληµα που στην πράξη συχνά δε χρειάζεται να λύσου- µε. Περιορίζουµε λοιπόν τη µελέτη του προβλήµατος της παλινδρόµησης στη δεσµευµένη µέση τιµή E(Y X = x). Υποθέτοντας ότι η εξάρτηση εκϕράζεται από γραµµική σχέση έχουµε E(Y X = x) = ϐ + ϐ 1 x (5.6) και η σχέση αυτή λέγεται απλή γραµµική παλινδρόµηση της Y στη X (linear regression). Το πρόβληµα της παλινδρόµησης είναι η εύρεση των πα- ϱαµέτρων ϐ και ϐ 1 που εκϕράζουν καλύτερα τη γραµµική εξάρτηση της Y από τη X. Κάθε Ϲεύγος τιµών (ϐ, ϐ 1 ) καθορίζει µια διαϕορετική γραµµική σχέση που εκϕράζεται γεωµετρικά από ευθεία γραµµή. Η διαϕοράς ύψους ϐ είναι η τιµή του για x = και λέγεται διαϕορά ύψους (intercept) κι ο συντελεστής του x, ϐ 1, είναι η κλίση (slope) της ευθείας ή αλλιώς ο

13 5.2. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 71 συντελεστής παλινδρόµησης (regression coefficient). Αν ϑεωρήσουµε τις παρατηρήσεις {(x 1, 1 ),..., (x n, n )} και το διάγραµµα διασποράς που τις α- πεικονίζει σαν σηµεία, µπορούµε να σχηµατίσουµε πολλές τέτοιες ευθείες που προσεγγίζουν την υποτιθέµενη γραµµική εξάρτηση της E(Y X = x) ως προς X, όπως φαίνεται στο Σχήµα 5.5. = α3+ β 3 x = α2+ β 2 x = α1+ β 1 x β 2 α 2 Σχήµα 5.5: Ευθείες απλής γραµµικής παλινδρόµησης Για κάποια τιµή x i της X αντιστοιχούν διαϕορετικές τιµές i της Y, σύµφωνα µε κάποια κατανοµή πιθανότητας F Y ( i X = x i ), δηλαδή µπορούµε να ϑεωρήσουµε την i ως τ.µ. [ϑα ήταν σωστότερο να χρησιµοποιούσαµε το συµ- ϐολισµό Y i αντί i, όπου ο δείκτης i ορίζει την εξάρτηση από X = x i, αλλά ϑα χρησιµοποιήσουµε εδώ τον ίδιο συµβολισµό i για την τ.µ. και την παρατήρηση]. Η τ.µ. i για κάποια τιµή x i της X ϑα δίνεται κάτω από την υπόθεση της γραµµικής παλινδρόµησης ως i = ϐ + ϐ 1 x i + ϸ i, (5.7) όπου ϸ i είναι και αυτή τ.µ., λέγεται σϕάλµα παλινδρόµησης (regression error) και ορίζεται ως η διαϕορά της i από τη δεσµευµένη µέση τιµή της ϸ i = i E(Y X = x i ). Για την ανάλυση της γραµµικής παλινδρόµησης κάνουµε τις παρακάτω υποθέσεις : Η µεταβλητή X είναι ελεγχόµενη για το πρόβληµα που µελετάµε, δηλαδή γνωρίζουµε τις τιµές της χωρίς καµιά αµϕιβολία. x

14 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Η σχέση (5.6) ισχύει, δηλαδή η εξάρτηση της Y από τη X είναι γραµµική. E(ϸ i ) = και Var(ϸ i ) = σ 2 ϸ για κάθε τιµή x i της X, δηλαδή το σϕάλ- µα παλινδρόµησης έχει µέση τιµή µηδέν για κάθε τιµή της X και η διασπορά του είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τη X. Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναµη µε τη συνθήκη Var(Y X = x) σ 2 Y X = σ2 ϸ, δηλαδή η διασπορά της εξαρτηµένης µεταβλητής Y είναι η ίδια για κάθε τιµή της X και µάλιστα είναι σ 2 = Y X σ2 ϸ. Η τελευταία σχέση προκύπτει από τη σχέση (5.7), αϕού οι παράµετροι ϐ και ϐ 1 είναι σταθερές και το x i γνωστό. Η ιδιότητα αυτή λέγεται οµοσκεδαστικότητα και αντίθετα έχουµε ετεροσκεδαστικότητα όταν η διασπορά της Y (ή του σϕάλµατος ϸ) µεταβάλλεται µε τη X. Γενικά για να εκτιµήσουµε τις παραµέτρους της γραµµικής παλινδρόµησης µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, όπως ϑα δούµε παρακάτω, δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουµε κάποια συγκεκριµένη δεσµευµένη κατανο- µή F Y ( i X = x i ) της Y ως προς τη X. Αν ϑέλουµε όµως να υπολογίσουµε παραµετρικά διαστήµατα εµπιστοσύνης για τις παραµέτρους ή να κάνουµε παραµετρικούς στατιστικούς ελέγχους ϑα χρειαστούµε να υποθέσουµε κανονική δεσµευµένη κατανοµή για τη Y. Επίσης οι παραπάνω υποθέσεις για γραµµική σχέση και σταθερή διασπορά αποτελούν χαρακτηριστικά πληθυσµών µε κανονική κατανοµή. Συνήθως λοιπόν σε προβλήµατα γραµµικής παλινδρόµησης υποθέτουµε ότι η δεσµευµένη κατανοµή της Y είναι κανονική Y X = x N(ϐ + ϐ 1 x, σ 2 ϸ ). Αν η κατανοµή της Y δεν είναι κανονική, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κάποιο µετασχηµατισµό που την κάνει κανονική και για αυτό συχνά χρησιµοποιείται ο λογάριθµος Σηµειακή εκτίµηση παραµέτρων της απλής γραµµικής παλινδρόµησης Το πρόβληµα της απλής γραµµικής παλινδρόµησης µε τις υποθέσεις που ορίστηκαν παραπάνω συνίσταται στην εκτίµηση των τριών παραµέτρων της παλινδρόµησης : 1. της διαϕοράς ύψους της ευθείας παλινδρόµησης ϐ,

15 5.2. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ της κλίσης της ευθείας παλινδρόµησης ϐ 1, 3. της διασποράς σϕάλµατος της παλινδρόµησης σ 2 ϸ. Τα ϐ και ϐ 1 προσδιορίζουν την ευθεία παλινδρόµησης και άρα καθο- ϱίζουν τη γραµµική σχέση εξάρτησης της τ.µ. Y από τη µεταβλητή X. Η παράµετρος σ 2 ϸ προσδιορίζει το ϐαθµό µεταβλητότητας γύρω από την ευθεία παλινδρόµησης και εκϕράζει την αβεβαιότητα της γραµµικής σχέσης. Εκτίµηση των παραµέτρων της ευθείας παλινδρόµησης Η εκτίµηση των παραµέτρων ϐ και ϐ 1 γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares). Η µέθοδος λέγεται έτσι γιατί ϐρίσκει την ευθεία παλινδρόµησης µε παραµέτρους b και b 1 έτσι ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των κατακόρυϕων αποστάσεων των σηµείων από την ευθεία να είναι το ελάχιστο. Οι εκτιµήσεις των ϐ και ϐ 1 δίνονται από την ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος των τετραγώνων των σϕαλµάτων min ϐ,ϐ 1 n i=1 ϸ 2 i ή min ϐ,ϐ 1 n ( i ϐ ϐ 1 x i ) 2. (5.8) Για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα ϑέτουµε τις µερικές παραγώγους ως προς τα ϐ και ϐ 1 ίσες µε το µηδέν και καταλήγουµε στο σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους ( i ϐ ϐ 1 x i ) 2 ϐ = ( i ϐ ϐ 1 x i ) 2 ϐ 1 = i=1 n i=1 i = nϐ + ϐ 1 n i=1 x i n i=1 x i i = ϐ n i=1 x i + ϐ 1 n i=1 x 2 i από το οποίο µε αντικατάσταση του ϐ παίρνουµε την εκτίµηση για την κλίση n ϐˆ i=1(x i x)( i ȳ) 1 b 1 = n = S x. (5.9) i=1(x i x) 2 S xx Το άθροισµα που συµβολίζεται στην παραπάνω σχέση ως S x διαιρώντας µε n 1 δίνει τη δειγµατική συνδιασπορά s XY (δες σχέση (5.1)) και αντίστοιχα το S xx διαιρώντας µε n 1 δίνει τη δειγµατική διασπορά της X s XY (δες σχέση (3.3)). Με αντικατάσταση του b 1 στην πρώτη εξίσωση του παραπάνω συστήµατος παίρνουµε την εκτίµηση του σταθερού όρου ως ˆ ϐ b = n i=1 i b 1 n i=1 x i και άρα οι εκτιµήσεις των ϐ και ϐ 1 δίνονται ως n (5.1) b 1 = s XY s 2 X, b = ȳ b 1 x. (5.11)

16 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Τα b και b 1 ορίζουν την ευθεία ŷ = b + b 1 x, που λέγεται και ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. Εκτίµηση της διασποράς των σϕαλµάτων παλινδρόµησης Για κάθε δοθείσα τιµή x i µε τη ϐοήθεια της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων εκτιµούµε την τιµή ŷ i που γενικά είναι διαϕορετική από την πραγµατική τιµή i. Η διαϕορά e i = i ŷ i = i b b 1 x i είναι η κατακόρυϕη απόσταση της πραγµατικής τιµής από την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και λέγεται σϕάλµα ελαχίστων τετραγώνων ή απλά υπόλοιπο (residual). Στο Σχήµα 5.6 απεικονίζονται τα υπόλοιπα της παλινδρόµησης. = a + bx i e = ^ ^i i i i x i x Σχήµα 5.6: Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπόλοιπα Το υπόλοιπο e i είναι η εκτίµηση του σϕάλµατος παλινδρόµησης ϸ i αντικα- ϑιστώντας απλά τις παραµέτρους παλινδρόµησης µε τις εκτιµήσεις ελαχίστων τετραγώνων στον ορισµό του σϕάλµατος ϸ i = i ϐ ϐ 1 x i. Άρα η εκτίµηση της διασποράς σ 2 ϸ του σϕάλµατος (που είναι και η δεσµευµένη διασπορά της Y ως προς X) δίνεται από τη δειγµατική διασπορά s 2 ϸ των υπολοίπων e i s 2 ϸ ˆ σ 2 ϸ = 1 n 2 n ( i ŷ i ) 2, (5.12) i=1

17 5.2. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 75 όπου διαιρούµε µε n 2 γιατί από τους ϐαθµούς ελευθερίας n του µεγέ- ϑους του δείγµατος αϕαιρούµε δύο για τις δύο παραµέτρους που έχουν ή- δη εκτιµηθεί. Η δειγµατική διασπορά s 2 ϸ µπορεί να εκϕραστεί ως προς τις δειγµατικές διασπορές των X και Y και της συνδιασποράς τους, αν αντικαταστήσουµε τις εκϕράσεις των b και b 1 από την (5.11) στην παραπάνω σχέση (όπου ϑέτουµε ŷ i = b + b 1 x i ) s 2 ϸ = n 1 ( ) s 2 Y s2 XY = n 1 n 2 s 2 X n 2 (s2 Y b 2 1 s2 X) (5.13) όπου και πάλι υποθέτουµε τις αµερόληπτες εκτιµήτριες για τις διασπορές. Παρατηρήσεις 1. Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων περνάει από το σηµείο ( x, ȳ) γιατί b + b 1 x = ȳ b 1 x + b 1 x = ȳ. Άρα η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων µπορεί επίσης να οριστεί ως i ȳ = b 1 (x i x). 2. Η σηµειακή εκτίµηση των ϐ και ϐ 1 µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δεν προϋποθέτει σταθερή διασπορά και κανονική κατανοµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y για κάθε τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής X. Οταν όµως ισχύουν οι δύο αυτές συνθήκες οι εκτιµήτριες ελαχίστων τετραγώνων b και b 1 είναι οι εκτιµήτριες µεγίστης πιθανοϕάνειας (και άρα έχουν και τις επιθυµητές ιδιότητες εκτιµητριών). 3. Αν η διασπορά της Y αλλάζει µε το X, τότε η διαδικασία των ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να διορθωθεί έτσι ώστε να δίνει περισσότερο ϐάρος στις παρατηρήσεις που αντιστοιχούν σε µικρότερη διασπορά. 4. Για κάθε τιµή x της X µπορούµε να προβλέψουµε την αντίστοιχη τιµή της Y από την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων, ŷ = b + b 1 x. Εδώ πρέπει να προσέξουµε ότι η τιµή x πρέπει να ανήκει στο εύρος τιµών της X που έχουµε από το δείγµα. Για τιµές έξω από αυτό το διάστηµα η πρόβλεψη δεν είναι αξιόπιστη. Παράδειγµα 5.2. Θέλουµε να µελετήσουµε σε ένα ολοκληρωµένο κύκλω- µα την εξάρτηση της απολαβής ϱεύµατος κρυσταλλολυχνίας (τρανζίστορ) από την αντίσταση του στρώµατος της κρυσταλλολυχνίας. Στον Πίνακα 5.2 πα- ϱουσιάζονται 1 µετρήσεις της απολαβής ϱεύµατος για αντίστοιχες τιµές της αντίστασης στρώµατος της κρυσταλλολυχνίας.

18 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Α/Α (i) Αντίσταση στρώµατος x i (ohm/cm) Απολαβή ϱεύµατος i Πίνακας 5.2: εδοµένα απολαβής ϱεύµατος τρανζίστορ ( i ) για διαϕορετικές τιµές της αντίστασης στρώµατος κρυσταλλολυχνίας (x i ). Υποθέτουµε πως η απολαβή ϱεύµατος της κρυσταλλολυχνίας εξαρτάται γραµµικά από την αντίσταση του στρώµατος της και το διάγραµµα διασπο- ϱάς από το δείγµα στο Σχήµα 5.7 επιβεβαιώνει αυτήν την υπόθεση. Για να 14 = x x Σχήµα 5.7: ιάγραµµα διασποράς για τα δεδοµένα του Πίνακα 5.2 και ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. εκτιµήσουµε τις παραµέτρους b και b 1 της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων

19 5.2. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 77 υπολογίζουµε πρώτα τα παρακάτω 1 i=1 x 2 i = x = 93.9 ȳ = i=1 2 i = i=1 x i i = και χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (5.1) και (3.3) για τη δειγµατική συνδιασπο- ϱά και διασπορά αντίστοιχα, ϐρίσκουµε Οι εκτιµήσεις b 1 και b είναι s XY = s 2 X = s 2 Y = b 1 = =.63 b = = Από τη σχέση (5.13) υπολογίζουµε την εκτίµηση διασποράς των σϕαλµάτων παλινδρόµησης s 2 ϸ = 9 8 ( ) = Τα αποτελέσµατα αυτά ερµηνεύονται ως εξής : 1. b 1 : Για αύξηση της αντίστασης στρώµατος κατά µία µονάδα µέτρησης (1 ohm/cm) η απολαβή του ϱεύµατος της κρυσταλλολυχνίας αυξάνεται κατά b : Οταν δεν υπάρχει καθόλου αντίσταση στρώµατος (x = ), η απολαβή του ϱεύµατος είναι 2.53 µονάδες αλλά ϐέβαια είναι αδύνατο να ϑεωρήσουµε στρώµα χωρίς αντίσταση. ε ϑα πρέπει λοιπόν να επιχειρήσουµε προβλέψεις για τιµές της αντίστασης στρώµατος µικρότερης του 66 ohm/cm και µεγαλύτερης του 141 ohm/cm, που είναι οι ακραίες τιµές της αντίστασης του δείγµατος. 3. s 2 ϸ : Η εκτίµηση της διασποράς γύρω από την ευθεία παλινδρόµησης για κάθε τιµή της X (στο διάστηµα τιµών του πειράµατος) είναι 2.271, ή αλλιώς το τυπικό σϕάλµα της εκτίµησης της παλινδρόµησης είναι 1.57 µονάδες, που είναι σχετικά µεγάλο σε σχέση µε το επίπεδο τιµών της Y. Με ϐάση το µοντέλο παλινδρόµησης που εκτιµήσαµε µπορούµε να προ- ϐλέψουµε την απολαβή ϱεύµατος για κάθε αντίσταση στρώµατος κρυσταλλολυχνίας στο διάστηµα [66, 141] ohm/cm. Στο Σχήµα 5.7 απεικονίζεται η

20 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ πρόβλεψη της απολαβής ϱεύµατος για αντίσταση στρώµατος x = 12 ohm/cm και είναι ŷ = = Στο παραπάνω παράδειγµα η πρόβλεψη της απολαβής ϱεύµατος µπορεί να διαϕέρει σηµαντικά αν αλλάξουν οι σηµειακές εκτιµήσεις των παραµέτρων παλινδρόµησης. Στη συνέχεια ϑα µελετήσουµε την αβεβαιότητα στην εκτίµηση των παραµέτρων παλινδρόµησης και της πρόβλεψης της εξαρτηµένης µεταβλητής Σχέση του συντελεστή συσχέτισης και παλινδρόµησης Η παλινδρόµηση ορίζεται ϑεωρώντας την ανεξάρτητη µεταβλητή X ελεγχό- µενη και την εξαρτηµένη µεταβλητή Y τυχαία, ενώ για τη συσχέτιση ϑεωρούµε και τις δύο µεταβλητές X και Y τυχαίες. Για τις µεταβλητές X και Y της παλινδρόµησης, µπορούµε να αγνοήσουµε ότι η X δεν είναι τ.µ. και να ορίσουµε το συντελεστή συσχέτισης ρ όπως και πριν. Η σχέση µεταξύ του r (της εκτι- µήτριας του ρ από το δείγµα) και του b 1 (της εκτίµησης του συντελεστή της παλινδρόµησης ϐ 1 µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων) δίνεται ως εξής (συνδυάζοντας τις σχέσεις r = s XY s X s Y και b 1 = s XY s 2 X ) r = b 1 s X s Y ή b 1 = r s Y s X. (5.14) Και τα δύο µεγέθη, r και b 1, εκϕράζουν ποσοτικά τη γραµµική συσχέτιση των µεταβλητών X και Y, αλλά το b 1 εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των X και Y ενώ το r, επειδή προκύπτει από το λόγο της συνδιασποράς προς τις τυπικές αποκλίσεις των X και Y, δεν εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των X και Y και δίνει τιµές στο διάστηµα [ 1, 1]. Η σχέση των r και b 1 περιγράϕεται ως εξής : Αν η συσχέτιση είναι ϑετική (r > ) τότε η κλίση της ευθείας παλινδρό- µησης b 1 είναι επίσης ϑετική. Αν η συσχέτιση είναι αρνητική (r < ) τότε η κλίση της ευθείας παλινδρόµησης b 1 είναι επίσης αρνητική. Αν οι µεταβλητές X και Y δε συσχετίζονται (r = ) τότε η ευθεία παλινδρόµησης είναι οριζόντια (b 1 = ).

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές Κεϕάλαιο 6 Χρονοσειρές Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη σχέση ενός µεγέθους µε άλλα µεγέθη καθώς και την εξάρτηση του µεγέθους (της εξαρτηµένης τυχαίας µεταβλητής) από άλλα µεγέθη (τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΜΕΡΟΣ Β. για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς. ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/

Στατιστική ΜΕΡΟΣ Β. για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς. ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/ Στατιστική για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/ E mail: dkugiu@gen.auth.gr Απρίλιος 2010 2 Στο Μέρος Α ασχοληθήκαµε µε την τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i =

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i = Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Βασίλης Βασδέκης - Στέλιος Ψαράκης Αθήνα 005 Πείραµα Είναι µια δοκιµή ή ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρήστε το παράδειγμα που αναφέρεται στη συσχέτιση του βαθμού ικανοποίησης των εργαζομένων σε ένα εργαστήριο σε σχέση με τις οκτώ μεταβλητές που ορίστηκαν εκεί. (Χ =ηλικία, Χ =φύλο, Χ =εβδομαδιαίος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων 3 γένεση των µετακινήσεων εισαγωγή το υπό διερεύνηση θέµα: πόσες µετακινήσεις ξεκινούν από κάθε ζώνη? πόσες µετακινήσεις κάνει ένας µετακινούµενος κατά την διάρκεια µιας µέσης εβδοµάδας? Ανάλυση κατά ζώνη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις Άσκηση 1: Μία έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα 5m και µικρό 3m έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Να υπολογισθούν τα ακρότατα στην

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j. P i = p j.

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j. P i = p j. Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα