ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΩΡΟΦΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ

Transcript

1 ΥΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΟΚΡΙΣΗΣ ΜΟΝΩΡΟΦΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Α. ΓΕΝΙΚΑ Για το μονώροφο κτήριο του οποίου ο ξυλότυπος παρουσιάζεται στο Σχήμα περιγράφεται στη συνέχεια ο υπολογισμός της σεισμικής του απόκρισης στο χώρο με την εφαρμογή της δυναμικής φασματικής μεθόδου. Η ανάλυση αυτή προϋποθέτει τη δημιουργία αριθμητικού προσομοιώματος που βασίζεται στις γενικές ακόλουθες παραδοχές: ) Η σεισμική απόκριση του προσομοιώματος είναι γραμμική ελαστική. ) Η πλάκα θεωρείται ότι δεν παραμορφώνεται στο επίπεδό της, με αποτέλεσμα να λειτουργεί ως διάφραγμα. Η θέση της καθορίζεται από τρεις μετακινήσεις, που εκφράζουν τρεις ανεξάρτητες κινήσεις: δύο μεταφορικές (κατά Χ και Υ), και μία περιστροφή (περί τον Ζ). ) Αμελείται η στροφική αδράνεια των κόμβων του συστήματος, για το λόγο αυτό οι στροφές των κόμβων είναι δυνατό να συμπυκνωθούν στατικά. v) Αμελείται η αξονική παραμόρφωση των στύλων. v) Αμελείται η δυστρεψία των δοκών και των υποστυλωμάτων. Για το λόγο αυτό, η ανάλυση μπορεί να πραγματοποιηθεί με επαλληλία ανεξάρτητων επίπεδων πλαισίων (ψευδοχωρική ανάλυση). Η εφαρμογή της μεθόδου δικαιολογείται επειδή τα πλαίσια τέμνονται κάθετα και οι δοκοί δεν οπλίζονται συνήθως έναντι στρέψης (έμμεση στρέψη). Έτσι η ρηγμάτωση λόγω στρέψης είναι αναπόφευκτη, που συνοδεύεται με τη μείωση της δυστρεψίας. v) Η στήριξη των υποστυλωμάτων στο έδαφος θεωρείται ως πάκτωση. Σχήμα. Ξυλότυπος μονώροφου κτηρίου από οπλισμένο σκυρόδεμα. Οι παραδοχές για τα φορτία, τα μηχανικά χαρακτηριστικά των υλικών και τη γεωμετρία της κατασκευής δίνονται: Κινητό φορτίο: qkn/m Σεισμική επιτάχυνση εδάφους.6g

2 Δυναμική Φασματική Μέθοδος ρόκειται για σύνηθες κτήριο κατοικιών Κατηγορία Εδάφους: Α οσοστό απόσβεσης 5% για όλες τις ιδιομορφές Συντελεστής Θεμελίωσης: θ Συντελεστής Συμπεριφοράς: q.5 Οι σεισμικές δράσεις σχεδιασμού προσδιορίζονται από τα στοιχεία αυτά και τον Ελληνικό Αντισεισμικό Κανονισμό (Ε.Α.Κ.). 7 Μέτρο Ελαστικότητας σκυροδέματος: Em.9 kpa Ύψος κτηρίου: Η4m Οι μονάδες που χρησιμοποιούνται είναι του συστήματος SI. Β. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Η κατασκευή χωρίζεται σε τέσσερα πλαίσια,,, 4 όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα. Η γεωμετρία του κάθε πλαισίου (θεωρητικό ύψος h θ, θεωρητικό άνοιγμα L θ ) υπολογίζεται σύμφωνα τον ελληνικό κανονισμό οπλισμένου σκυροδέματος. Σχήμα. Επίπεδα πλαίσια στο χώρο που συνθέτουν το κτήριο λαίσιο Οι διαστάσεις του πλαισίου φαίνονται στο Σχήμα. Lθ Ln + mn t,.5ln + mn t,.5ln L 5.4m ( ) θ h θ hn + mn t,.5hn +.5hn h θ.8m ( 4.4) ( 4.4).8m

3 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Σχήμα. Διαστάσεις πλαισίου Όμοια για τα υπόλοιπα πλαίσια:.5.4 λαίσιο : L ( 6.5.4) m θ h θ hθ.8m.5.45 λαίσιο : L ( 6.5.4) m θ h θ hθ.8m.4 λαίσιο 4: L 4 ( 6.4 ) m θ h θ hθ 4.8m Γ. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. Επιλογή Συστήματος Αναφοράς Διατύπωσης Εξισώσεων Εκλέγεται σύστημα αναφοράς Χ,Υ,Ζ με αρχή το κέντρο βάρους της πλάκας στην θέση ηρεμίας της όπως φαίνεται στο Σχήμα 4. Η χωρίς απόσβεση εξίσωση κίνησης είναι: [ m ] { } + [ k] { } [ m] { r} xg Όπου: [m] μητρώο μάζας, ( ), διαγώνιο ως προς το κεντροβαρικό σύστημα αναφοράς. [k] μητρώο ακαμψίας, ( ) {} σύστημα αναφοράς. & διάνυσμα μετακινήσεων, ( ), ως προς το εκλεγμένο (καθολικό) & & x&g εδαφική επιτάχυνση

4 4 Δυναμική Φασματική Μέθοδος {r} στατικό διάνυσμα επιρροής, (x), που ισούται με: {} r { r } x {} r { r }, για σεισμό κατά -Χ-, και, για σεισμό κατά Υ- Σχήμα 4. Κεντροβαρικό σύστημα αναφοράς. Μητρώο Μάζας Η μάζα της κατασκευής υπολογίζεται ως το άθροισμα: ) της μάζας της πλάκας ) της μάζας των δοκών ) της μισής μάζας των στύλων v) της μάζας των κινητών φορτίων Μάζα λάκας: m KN sec m 9.8 m 4.4Mg 4.4Mg 9.8 m.4mg Μάζα Δοκών: m 5.4(.4.5) ( 6 ( 6.8) ).4Mg Μάζα Στύλων: m m.96mg ( ) ( 4.4).96Mg

5 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 5 Μάζα κινητών: mv 69.Mg 9.8 m.mg v Η υπολογιστική μάζα υπολογίζεται από το συνδυασμό δράσεων με σεισμό:. G + ψ Q. Ο συντελεστής μακροχρόνιας φόρτισης ψ εξαρτάται από το είδος της κατασκευής και για κατοικίες ισούται με.. Άρα m. ( ) Mg Η πολική ροπή αδράνειας μάζας της πλάκας για περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο βάρους της υπολογίζεται με παραδοχή ομοιόμορφης κατανομής της μάζας της. Συνεπώς: I c m Mg m Το μητρώο μάζας της κατασκευής γράφεται: [ m] Μητρώο ακαμψίας Η ακαμψία της κατασκευής υπολογίζεται με επαλληλία της ακαμψίας των επιμέρους πλαισίων ως προς το εκλεγμένο καθολικό σύστημα αναφοράς. Η ροπή αδράνειας λαμβάνεται σε Στάδιο ΙΙ: για τους στύλους μπορεί να θεωρηθεί ίση με την ονομαστική της τιμή, και για τις δοκούς ίση με την μισή ονομαστική της τιμή... Ακαμψίες πλαισίων στο τοπικό τους σύστημα λαίσιο (κατά -Χ-) Ροπές αδράνειας ραβδωτών στοιχείων: I I K K m m 4 4

6 6 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Σχήμα 5. λαίσιο Υπολογισμός πλακοδοκού Δ : beff b w + α I m 6 6 I ονομ 4 Δ Ι Δ m Το μητρώο ακαμψίας του μέλους είναι το εξής: 6 6 E I [ ] 6 6 K L L L L L η θετική φορά του μέλους δίνεται στο Σχήμα 6. L L L L L L L L Σχήμα 6. Βαθμοί ελευθερίας στο τοπικό σύστημα του μέλους Μητρώο ακαμψίας μέλους Κ [ ] K K συμ. 77

7 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 7 Μητρώο ακαμψίας μέλους Δ [ ] Κ Δ Μητρώο ακαμψίας μέλους Κ [ ] K K Με επαλληλία των τριών παραπάνω μητρώων μορφώνεται το μητρώο ακαμψίας του πλαισίου στο τοπικό του σύστημα: [ ] K Συμπύκνωση μητρώου ακαμψίας πλαισίου Η στροφική αδράνεια των κόμβων του πλαισίου αμελείται, συνεπώς οι βαθμοί ελευθερίας και συμπυκνώνονται στατικά με την ακόλουθη διαδικασία: [ ] K [ cc ] [ K ce ] [ ] [ ] K ec k ee Κ Το συμπυκνωμένο μητρώο ακαμψίας του πλαισίου υπολογίζεται με την παρακάτω πράξη: * [ ] [ Κ ] [ K ] [ K ] [ K ] K cc ce Οι συμπυκνωμένοι βαθμοί ελευθερίας υπολογίζονται με την πράξη αποσυμπύκνωσης: απ [ Κ ] [ Κ ] [ ] ee K ec Εκτελώντας τις πράξεις, προκύπτουν τα παρακάτω μητρώα:.59 [ K ] * [ 9677], [ Κ ] απ ee ec.8676 Η προηγούμενη διαδικασία επαναλαμβάνεται και στα υπόλοιπα πλαίσια.

8 8 Δυναμική Φασματική Μέθοδος λαίσιο (κατά Χ-) Ε.9 7 kpα L θ 5.5m h θ.8m I Κ.5 4 /.5/ m 4 Ι Δ./ m 4 Ι Κ4.4 4 /./ m 4 Σχήμα 7. λαίσιο [ ] K *. [ Κ ] [ 787], [ Κ ] απ.4 λαίσιο (κατά Υ-) Σχήμα 8. λαίσιο Ε.9 7 kpα L θ 5.47m h θ.8m I Κ.5 4 /.5/ m 4 Ι Δ./ m 4 Ι Κ.45 4 /.4/ m 4 [ ] K *.64 [ Κ ] [ 675], [ Κ ] απ.685

9 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 9 λαίσιο 4 (κατά Υ-) Ε.9 7 kpα L θ4 5.47m h θ4.8m Ι Κ.4 4 /./ m 4 Ι Δ4./ m 4 Ι Κ4.4 4 /./ m 4 Σχήμα 9. λαίσιο 4 [ ] K *.6848 [ Κ ] [ 865], [ Κ ] απ Εύρεση μητρώου ακαμψίας όλης της κατασκευής στο Καθολικό Σύστημα Για κάθε πλαίσιο ξεχωριστά ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: Βήμα ο άνω στο πλαίσιο ορίζεται ένα αυθαίρετο προσανατολισμένο σύστημα αναφοράς, το οποίο ονομάζεται τοπικό σύστημα του πλαισίου και διέρχεται από την μέση γραμμή της δοκού. Βήμα ο Ορίζεται το διευρυμένο συμπυκνωμένο μητρώο ακαμψίας του πλαισίου στο τοπικό σύστημα, διάστασης (x). Το στοιχείο στη θέση (,) του μητρώου τοποθετείται η συμπυκνωμένη ακαμψία του υπόψη πλαισίου. Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του μητρώου είναι μηδενικά. Βήμα ο Ορίζεται το μητρώο περιστροφής [ Λ ], το οποίο εξαρτάται από τη γωνία φ του πλαισίου, η γωνία φ ορίζεται ως η γωνία που πρέπει να στραφεί ο καθολικός άξονας Χ κατά τη θετική (αριστερόστροφη) φορά μέχρι να συμπέσει με τον αντίστοιχο τοπικό άξονα του πλαισίου. Βήμα 4 ο Ορίζεται το μητρώο εκκεντρότητας [ ] e του πλαισίου ως προς το καθολικό σύστημα, το οποίο εξαρτάται από τις συντεταγμένες x και του τοπικού συστήματος του πλαισίου ως προς το καθολικό σύστημα. Για τα πλαίσια κατά -Χ- ενδιαφέρει μόνον η συντεταγμένη, και αντίστροφα.

10 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Για το πλαίσιο ισχύει: [ ] δ 9677 K * Το πλαίσιο είναι κατά -Χ-, επομένως η γωνία φ είναι ίση με το μηδέν. [ ] φ φ φ φ Λ cos sn sn cos Η συντεταγμένη του είναι.8m. [ ].8 x e Βήμα 5 ο Η συμμετοχή του πλαισίου στο καθολικό σύστημα υπολογίζεται με την πράξη: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] e e K Τ Τ Λ Κ Λ Με εκτέλεση των πράξεων προκύπτει: [ ] Κ Για το πλαίσιο (κατά Χ-φ ο ): [ ] Κ δ 787 *, [ ] Λ [ ].8 e [ ] Κ

11 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Για το πλαίσιο (κατά Υ-φ9 ο ): [ ] Κ δ 675 *, [ ] Λ [ ] 4. e [ ] Κ Για το πλαίσιο 4 (κατά φορά Υ-φ9 ο ): [ ] Κ δ 865 * 4, [ ] Λ 4 [ ]. e 4 [ ] Κ Το μητρώο ακαμψίας όλης της κατασκευής προκύπτει ως το άθροισμα των τεσσάρων καθολικών μητρώων ακαμψίας των επιμέρους πλαισίων: [ ] [ ] Κ Κ 4 j j 4. Επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών 4.. Εύρεση ιδιοσυχνοτήτων Για τον υπολογισμό των κυκλικών ιδιοσυχνοτήτων, μορφώνεται το ομογενές σύστημα: [ ] [ ] ( ) { } { } m K φ ω Η επίλυση του συστήματος απαιτεί το μηδενισμό της ορίζουσας:

12 Δυναμική Φασματική Μέθοδος [ Κ ] ω [ m] Η παραπάνω σχέση οδηγεί, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, σε εξίσωση συχνοτήτων έκτου βαθμού η οποία ανάγεται σε εξίσωση τρίτου βαθμού. Μπορεί να γίνει χρήση του γενικού τύπου: ( ω ) + β( ω ) + γ ω + δ α, όπου για διαγώνιο μητρώο μάζας: α m m m γ m β Κ m m+ K m m + K m m ( K K K ) + m ( K K K ) + m ( K K ) K δ Κ Κ Κ + Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Με αντικατάσταση προκύπτουν: α β γ.9878 δ Η επίλυση της τριτοβάθμιας εξίσωσης δίνει: ω ω ω sec (αύξουσα σειρά) Οι ιδιοπερίοδοι υπολογίζονται σύμφωνα με την σχέση Τ π/ω : T.54 T.8sec T.58 (φθίνουσα σειρά) 4. Εύρεση ιδιομορφών Οι ιδιομορφές προσδιορίζονται από την λύση του ομογενούς συστήματος ([ K] ω [ m] ) { φ } { } Θέτοντας αυθαίρετα Φ ι, οι υπόλοιπες δύο συντεταγμένες υπολογίζονται από την σχέση: φ φ K ω K m K K ω m K k

13 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Εάν η απόλυτη τιμή κάποιων συντεταγμένων της ιδιομορφής προκύψει μεγαλύτερη της μονάδας, τότε το διάνυσμα της ιδιομορφής διαιρείται με την αλγεβρική τιμή της συντεταγμένης που έχει μέγιστη απόλυτη τιμή. Στη συνέχεια πρέπει να γίνει ο έλεγχος: φ K ω m + φ { K K } Για Για ω 6.455sec ω 76.46sec προκύπτει: { φ } προκύπτει: { φ } Για ω 575.8sec προκύπτει:.8 { φ} Διατύπωση των διαφορικών εξισώσεων για σεισμό κατά Υ ως προς άξονα ο οποίος διέρχεται το ΚΒ του υποστυλώματος Κ Το μητρώο μάζας έχει μορφωθεί ως προς το κέντρο μάζας της πλάκας. μεταφέρεται λοιπόν στο ΚΒ άξονα του Κ με το μητρώο εκκεντρότητας. Ισχύει: όπου [] T e x και ο μετασχηματισμός είναι: [ m ] [ e] [ m][] e [] (.775) e 4.75 και [ m] Οπότε [ m ]

14 4 Δυναμική Φασματική Μέθοδος [ m ] Το μητρώο [ K] μετασχηματισμός είναι: [ ] [ ] [ ] [ ] διατυπώνεται ως προς το ΚΒ άξονα του υποστυλώματος Κ. Ο T K e K e [ K ] [ K ] Επίσης μετασχηματίζεται το μητρώο εξωτερικών δράσεων σύμφωνα με τη σχέση: T [][ e m]{ r } Τελικά προκύπτει στο ο μέλος: 44. && x g Συνεπώς η διαφορική εξίσωση λαμβάνει την ακόλουθη μορφή για μηδενική απόσβεση ,6 767, {} && {} 44. && x g Επίλυση προβλήματος ιδιοτιμών Επειδή το μητρώο μάζας δεν είναι διαγώνιο ακολουθείται η εξής διαδικασία: Διαγωνοποίηση μητρώου μάζας m λ I 44. λ λ λ από γενικό τύπο για μητρώο για την εύρεση των ιδιοτιμών: ( ) A ( λ ) + A ( λ ) A λ

15 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 5 όπου Α + m + m m Α : το άθροισμα των ελάσσωνων οριζουσών των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του [ m ] A δηλ και Α η ορίζουσα του πίνακα m, A m Η εξίσωση που δίνει τις ιδιοτιμές είναι: με λύσεις: λ.797 λ λ ( λ ) ( λ ) ( λ) Στη συνέχεια υπολογίζονται τα ιδιοδιανύσματα Για την η Ιδιοτιμή T T T Επιλέγεται αυθαίρετα Τ T T οπότε T T T Τελικά το ο ιδιοδιάνυσμα : { }

16 6 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Για την η Ιδιοτιμή T. T T T Για την η Ιδιοτιμή T 5.45 T T T m Για τη διαγωνοποίηση του μητρώου μάζας χρησιμοποιείται η σχέση: [ ] [ ][ ][ ] [ m ] T V T.649 Υπολογισμός της νόρμας κάθε ιδιοδιανύσματος T.854 T.944 T.9 Οπότε το κανονοικοποιημένο μητρώο [ T] είναι: [ T] για το οποίο ισχύει [ T] [ T] T [ I] και [ ] T T [ T] Οπότε [ m ] [ T] [ V] [ T] T, όπου [ V ] λ λ λ

17 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 7 Υπολογισμός πίνακα [ B ] T [ B] [ V] [ T] [ K ] [ T] [ V] V όπου [ ] Τελικά [ B] Υπολογισμός των ιδιοτιμών του κατασκευής. [ B] οι οποίες είναι τα τετράγωνα των ιδιοσυχνοτήτων της B ω I 555. ω ω ω κατά τα γνωστά υπολογίζονται τα Α, Α, Α A A 685 A Από την επίλυση της τριτοβάθμιας προκύπτουν ω 6.58 ω 76.8 ω και με αντικατάσταση στον πίνακα [Β] υπολογίζονται τα ιδιοδυανύσματα του. Οι τιμές αυτές είναι ίδιες με αυτές που υπολογίστηκαν όταν οι εξισώσεις είχαν διατυπωθί ως προς το Κ.Μ. η Ιδιοτιμή

18 8 Δυναμική Φασματική Μέθοδος η Ιδιοτιμή η Ιδιοτιμή Εύρεση των ιδιομορφών στο νέο σύστημα Από την η ιδιομορφή: { β }.4.54 [ Τ] [ V] { } β Ρ { } β Ομοίως από την η και η ιδιομορφή { β }.944 και με αναγωγή { } Ρ , με αναγωγή στη μονάδα προκύπτει.67 β.44.9

19 Δυναμική Φασματική Μέθοδος { β }.54 και με αναγωγή { } β Έλεγχος μεταξύ των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τη διατύπωση των εξισώσεων ως προς το Κ. Μάζας της κατασκευής με αυτά που προκύπτουν από τη διατύπωση των εξισώσεων ως προς τον άξονα του Κ.Β. του υποστυλώματος Κ. ρέπει { β } []{ e } { } Φ β , με αναγωγή Γενικευμένες μάζες Για κάθε ιδιομορφή η γενικευμένη μάζα M προκύπτει από την σχέση: M Τ { φ } [ m] { φ } ι Με αριθμητική αντικατάσταση προκύπτει: Μ 6.8Mgr, M 5.985Mgr, M 68.67Mgr 6. Συντελεστές συμμετοχής Για κάθε ιδιομορφή -- ο Συντελεστής Συμμετοχής υπολογίζεται από την σχέση: L T { φ } [ m] { r} όπου: {r} είναι το διάνυσμα στατικής επιρροής, το οποίο εξαρτάται από την διεύθυνση της φόρτισης. Για σεισμό κατά την διεύθυνση -Χ- : { r x } L X 8.8, L X 44., L X Για σεισμό κατά τη διεύθυνση -Υ- : { } r L Y 44., L 7. 75, L 44.

20 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 7. Δρώσες μάζες Η δρώσα μάζα της ιδιομορφής -- είναι ένα μέγεθος με μονάδες μάζας, το οποίο εκφράζει τη συμμετοχή της κάθε κανονικής μορφής στη συνολική μεταφορική μάζα του ταλαντούμενου φορέα. Το άθροισμα των δρωσών μαζών όλων των κανονικών μορφών πρέπει να ισούται με τη μεταφορική μάζα του φορέα για τις περιπτώσεις όπου ο σεισμός δρα κατά τους μεταφορικούς μόνο βαθμούς ελευθερίας. Οι δρώσες μάζες Μ eff, για κάθε ιδιομορφή - υπολογίζονται από τον τύπο: L M eff M Για σεισμό κατά την διεύθυνση -Χ- : x x M eff 5.Mgr, M eff 8.4Mgr, M eff.77mgr Σύμφωνα με τα παραπάνω, ισχύει: Mgr Για σεισμό κατά την διεύθυνση -Υ- : M x eff.97mgr eff Mgr eff 7.4Mgr, M 5.9, M Όμοια, ισχύει: Mgr 8. Σεισμικές δράσεις σχεδιασμού Επειδή Τ Τ Τ για τον Ε.Α.Κ. ισχύει ότι.5 η θ Φ d ( T) γ A q για τα δεδομένα του κτηρίου προκύπτει ότι: Φ 9. Σεισμική απόκριση της κατασκευής d m sec ( T )..6g.5 9. Επιλογή σημαντικών ιδιομορφών Ο ελάχιστος αριθμός των ιδιομορφών που λαμβάνεται υπόψη καθορίζεται εν γένει έτσι ώστε το άθροισμα των δρωσών ιδιομορφικών μαζών να μην υπολείπεται από το 9% της ταλαντούμενης μάζας του συστήματος. m44.mgr Σεισμός κατά -Χ- : x M eff 5.Mgr. m, 8.4Mg.86m Συνεπώς στο σεισμό κατά -Χ- αρκούν οι δύο πρώτες κανονικές μορφές, οι οποίες καλύπτουν το 98% της ταλαντούμενης μάζας. M x eff

21 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Σεισμός κατά -Υ- : M eff.97mg.7 m, 5.9Mg. m, 7.4Mg.6 m M eff M eff Στο σεισμό κατά -Υ- πρέπει να γίνει χρήσης και των τριών ιδιομορφών. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα χρησιμοποιούνται και οι τρεις ιδιομορφές και στις δύο διευθύνσεις για λόγους πληρότητας. αρατηρώντας τις τιμές της δρώσας μάζας προκύπτει ότι η πρώτη ιδιομορφή δεσπόζει κύρια κατά τη διεύθυνση Υ ενώ η δεύτερη ιδιομορφή δεσπόζει κατά τη διεύθυνση Χ. 9. Επαλληλία ιδιομορφικών αποκρίσεων. Στα επίπεδα συστήματα, για την εκτίμηση των μέγιστων των ιδιομορφικών αποκρίσεων, χρησιμοποιείται η μέθοδος της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS). Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής ενός μεγέθους Ζ δίνεται από τη σχέση: Z T { Z } { Z } Για τα χωρικά συστήματα όπου οι ιδιοσυχνότητες των μορφών δεν είναι καλά διαχωρισμένες, η εφαρμογή της μεθόδου SRSS προκαλεί σημαντικά σφάλματα. ροτιμότερη είναι η μέθοδος της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (CQC), η οποία διατυπώνεται παρακάτω. Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής ενός μεγέθους Ζ δίνεται από την σχέση: Z T { Z } [ E] { Z } όπου: {Ζ } είναι το διάνυσμα των ιδιομορφικών συνιστωσών του υπόψη μεγέθους. Το στοιχείο ε j του τετραγωνικού μητρώου [Ε], για των κανονικών μορφών είναι ίσο με: ( + r) 8 ζ r T ε j,,t 4 ( r ) + 4 ζ r ( + r) > Tj και ζ σε %. r Tj Για j, εj. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το μητρώο [Ε] υπολογίζεται για: j και για κοινή απόσβεση ζ όλων ω 4.77sec, ω 7.6sec, (και ζ5%) ω 4.77sec Έτσι προκύπτεί: [ Ε] αρατήρηση: Ένα οι ιδιοσυχνότητες είναι καλά διαχωρισμένες, το μητρώο [Ε] τείνει προς το μοναδιαίο και τα αποτελέσματα της μεθόδου CQC προσεγγίζουν αυτά της SRSS.

22 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 9. Επίλυση κατά -Χ- (ΕΧ) Εύρεση καθολικών ιδιομετακινήσεων. Για κάθε ιδιομορφή προκύπτει: X x L { } { φ } M Φ ( T ) d ω m rad x { }.89m 8.59m rad x { }.94.6m.8.84m rad x { }.869m Στη συνέχεια, υπολογίζεται μια εκτιμήτρια της μέγιστης απόκρισης: () SRSS: () CQC: 9.4 Επίλυση κατά -Υ- (ΕΥ) 9.m x 4 { } ± 6.4m.4rad 6.76m x 4 { } ± 9.76m.4rad Εύρεση καθολικών ιδιομετακινήσεων σχεδιασμού. L { } { φ } M Φ ( T ) d ω

23 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Για κάθε ιδιομορφή προκύπτει:.4.89m { } 8.99m rad.6m rad.8.86m m rad Στατιστικές εκτιμήσεις των μέγιστων ιδιομορφικών αποκρίσεων: { } m 4 { } 6.4m 9.44m 5.6rad 4 () SRSS : { } 4 (4) CQC : { }.m.46m 5.rad. Συνδυασμοί δράσεων σύμφωνα με τις παραγράφους Οι συνδυασμοί γίνονται με απλή άθροιση των στατιστικών εκτιμητριών της CQC. Συνδυασμός Σ: ± ( Ex +. E) m Σ { } ± ± 9.m Συνδυασμός Σ: ± ( E +. Ex) rad.m Σ { } ± ± 7.8m rad

24 4 Δυναμική Φασματική Μέθοδος. όλοι εριστροφής Κάθε διάνυσμα μετακίνησης {} ισοδυναμεί με μία περιστροφή ως προς ένα σημείο (πόλο, με συντεταγμένες Χ, Υ. Η τιμή της περιστροφής παραμένει, δηλαδή είναι αναλλοίωτη. Η χρήση του πόλου είναι χρήσιμη διότι επιτρέπει την άμεση εποπτεία της απόκρισης του κτηρίου: () Όσο πιο κοντά στην κατασκευή βρίσκεται ο πόλος, τόσο πιο περιστροφική είναι η απόκριση. Αντίστροφα, μια μεταφορική απόκριση χωρίς περιστροφή ισοδυναμεί με πόλο σε άπειρη απόσταση. () Εάν η ευθεία που ενώνει το κέντρο βάρους της διατομής ενός κατακόρυφου μέλους με τον πόλο συμπίπτει με ένα κύριο άξονα αδράνειας της δομής του μέλους, το μέλος καταπονείται μονοαξονικά. Αντίστροφα, όσο η γωνία των δύο αξόνων πλησιάζει τις 45 ο, τόσο πιο διαξονική γίνεται η φόρτιση του μέλους. Με αριθμητική αντικατάσταση προκύπτει: Χ φ 6.7m.6 φ.4, Y.5m 6 φ.94 X φ 4.8m, Y 4.7m φ X φ.8.99m, Y.459m Για τους δύο συνδυασμούς δράσεων προκύπτει αντίστοιχα: Σ 9. Σ.4 8.4m, Y 9.m.6.6 Σ 7.8 Σ. 6.6m, Y.7m X X

25 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 5 Σχήμα όλοι εριστροφής. Εκκεντρότητες Σχεδιασμού Τυχηματική εκκεντρότητα. Για την αντιμετώπιση στρεπτικών καταπονήσεων ενός κτηρίου, οφειλομένων σε παράγοντες που δεν είναι πρακτικά εφικτό να προσομοιωθούν, η μάζα m ή η σεισμική δύναμη F κάθε ορόφου κρίνεται σκόπιμο να λαμβάνεται μετατοπισμένη διαδοχικά εκατέρωθεν του κέντρου βάρους, κάθετα προς την διεύθυνση της εξεταζόμενης οριζόντιας συνιστώσας του σεισμού, σε απόσταση ίση με την τυχηματική εκκεντρότητα e τ του ορόφου.. Η τυχηματική εκκεντρότητα e τ λαμβάνεται ίση προς.5 L όπου L το πλάτος του ορόφου κάθετα προς την εξεταζόμενη διεύθυνση. Εφαρμογή δυναμικής φασματικής μεθόδου. Κατά την εφαρμογή της μεθόδου αυτής οι μάζες m των ορόφων θα μετατοπίζονται διαδοχικά εκατέρωθεν του θεωρητικού κέντρου μάζας σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο, οπότε προκύπτουν τέσσερα διαφορετικά συστήματα προς ανάλυση με την υπόψη μέθοδο. Εναλλακτικά, λόγω της εγγενούς αβεβαιότητας της τυχηματικής εκκεντρότητας, επιτρέπεται η αποτίμηση των αποτελεσμάτων της, χωρίς μετατόπιση των μαζών, μέσω πρόσθετης στατικής φόρτισης από ομόσημα στρεπτικά ζεύγη ίσα προς ± e T F σε κάθε όροφο. Η τυχηματική εκκεντρότητα e σε κάθε διεύθυνση υπολογισμού λαμβάνεται ίση προς ±.L, όπου L το πλάτος του ορόφου κάθετα προς την διεύθυνση της σεισμικής δράσης. etx.5 LX. 6.6m e T.5 L. 6.6m Τα F είναι τα σεισμικά φορτία (κατά Χ και κατά Υ ) τα οποία υπολογίζονται για κάθε ιδιομορφή -- και για κάθε διεύθυνση. Τα σεισμικά φορτία υπολογίζονται (απλοποιητικά) σαν το γινόμενο του μητρώου ακαμψίας της κατασκευής επί την στατιστική εκτίμηση των καθολικών μετακινήσεων. { F } ± [ K] { } Με αριθμητική αντικατάσταση προκύπτει: Διεύθυνση -Χ-:.KN X x { F } [ K] { }.5KN 5.7KNm

26 6 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Όμοια, για τις άλλες δύο ιδιομορφές: 96.KN { F X } 7.86KN, { F X } 9.8KN m.96kn 5.98KN 4.7KN m Από τη μέθοδο CQC προκύπτει η εκτιμήτρια της μέγιστης δράσης κατά -Χ- : Διεύθυνση -Υ- : { F X } 9.9KN ± 6.KN 67.4KN m { F } [ K] { } 7.86KN.4KN 78.KN.7KN m { F } 4.9KN, { F }.56KN m { F } 7.8KN ± 88.6KN 74.KN m Στη συνέχεια υπολογίζεται η στατική φόρτιση: 5.98KN 8.KN 7.KNm M x s M s ± ± ( ) ± 9.68KN m ( ) ± 75.6KN m Επιλέγεται η μέγιστη τιμή των 9,68 ΚΝm. Έτσι, το μητρώο με το οποίο φορτίζεται στατικά η κατασκευή γράφεται: 5. Εντατικά Μεγέθη 5.. Γενικά { P Ms } ± 9.68KNm

27 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 7 Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, τα εντατικά μεγέθη θα υπολογιστούν μόνο για το υποστύλωμα Κ και για την δοκό Δ. Η μέθοδος υπολογισμού ακολουθεί τις παρακάτω αρχές: Εκλέγεται η διεύθυνση δράσης -Χ-. Τα εντατικά μεγέθη υπολογίζονται για κάθε κανονική μορφή ξεχωριστά Τα μέγιστα εντατικά μεγέθη εκτιμούνται με χρήση της μεθόδου CQC. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται και για την άλλη διεύθυνση δράσης -Υ-. Στα τελικά εντατικά μεγέθη του συνδυασμού δράσεων με σεισμό οφείλουν να συνυπολογιστούν τα στατικά φορτία, καθώς επίσης και η πρόσθετη ροπή λόγω Τυχηματικής εκκεντρότητας, η οποία έχει στατικό χαρακτήρα και δεν συνδυάζεται παρά μόνο προστίθεται κατ απόλυτη τιμή, αφού έχει εναλλασσόμενο πρόσημο. 5.. Διαδικασία Υπολογισμού Εντατικών Μεγεθών Η μόρφωση του μητρώου ακαμψίας της κατασκευής ακολούθησε την παρακάτω πορεία: Από το μέλος στο τοπικό μητρώο ακαμψίας του πλαισίου και στη συνέχεια, μετά τη συμπύκνωση, στο καθολικό μητρώο ακαμψίας του πλαισίου. Ο υπολογισμός των εντατικών μεγεθών ακολουθεί την αντίστροφη πορεία: Η μετακίνηση του βαθμού ελευθερίας του πλαισίου υπολογίζεται από την καθολική ιδιομετακίνηση μέσω της σχέσης: { } [ Λ ] [ e ] { } π Το διάνυσμα { } εκφράζει τη μετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου. Η πρώτη συντεταγμένη του διανύσματος ταυτίζεται με τη μετακίνηση του άξονα του πλαισίου. Για τον υπολογισμό των εντατικών μεγεθών απαιτούνται οι στροφές του πλαισίου. Η αποσυμπύκνωση πραγματοποιείται επί την μετακίνηση. Άρα : { } απ () { } { } k V V Τα εντατικά μεγέθη κάθε μέλους ρ παριστάνονται από ένα διάνυσμα { ] όπου V M M 4 και Μ,4 είναι οι τέμνουσες και ροπές αντίστοιχα του μέλους στο τοπικό του σύστημα. { } [ K ] { } P, όπου: ρ ρ ρ P, { ρ } είναι το διάνυσμα των μετακινήσεων στο τοπικό σύστημα του μέλους. Οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι στοιχεία του { } Υπολογισμός των εντατικών μεγεθών του υποστυλώματος Κ του πλαισίου για σεισμό κατά -Χ- και για την η ιδιομορφή. Από τις καθολικές μετακινήσεις { } προκύπτουν:

28 8 Δυναμική Φασματική Μέθοδος η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου m.95.95rad x 4 4 { }.89.89m Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου.57m rad Χ 4 4 { }.59 (.57 ).rad Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ X KN.57KN.756KNm.4KNm η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου m.74.74rad x 4 4 { }.6.6m Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου 9.58m rad Χ 4 4 { }.59 ( 9.58 ) 7.66rad Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ X k, kN.65kN 4.88kNm 8.47kNm η Ιδιομορφή

29 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 9 Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου m rad x 4 4 { } m Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου.6m rad Χ 4 4 { }.59 (.6 ).5rad Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ X k, kN.98kN.954kNm 5.564kNm Το υποστύλωμα Κ ανήκει και στο λαίσιο. η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου m.95.95rad Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου x 4 4 { } m 4.87m Χ 4 4 { }.64 ( 4.87 ).567rad rad Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ X k, η Ιδιομορφή kN 8.84kN.969kNm 6.9kNm

30 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου m.74.74rad x 4 4 { } m Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου 8.59m rad Χ 4 4 { }.64 ( 8.59 ).8rad Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ X k, kN 47.4kN 8.96kNm 99.9kNm η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου m rad x 4 4 { } m Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου.84m rad Χ 4 4 { }.64 (.84 ).9rad Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ X k, kN.4684kN.89kNm.98kNm

31 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Υπολογισμός των τεμνουσών δυνάμεων των δοκών Δ και Δ των πλαισίων και αντίστοιχα. Δοκός Δ η Ιδιομορφή Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) της δοκού Δ kN.679kN.76659kNm.69kNm x { } 4 P Δ η Ιδιομορφή Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) της δοκού Δ x Δ kN 5.644kN 4.85kNm 9.67kNm η Ιδιομορφή Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) της δοκού Δ x Δ kN.57kN.949kNm.675kNm Δοκός Δ η Ιδιομορφή Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) της δοκού Δ 447. x { } PΔ kN.755kN 5.5kNm 6.664kNm η Ιδιομορφή Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) της δοκού Δ

32 Δυναμική Φασματική Μέθοδος x Δ kN.767kN.kNm 9.94kNm η Ιδιομορφή Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) της δοκού Δ x Δ kN.6kN.987kNm.86kNm Η αξονική δύναμη του στύλου Κ υπολογίζεται από την ισορροπία του κόμβου που ενώνει τα πλαίσια και. Η αξονική δύναμη του υποστυλώματος Κ προκύπτει αντίθετη του αθροίσματος των τεμνουσών στα άκρα των δοκών Δ και Δ. Αξονική Δύναμη Κ : η Ιδιομορφή ( )-.444 η Ιδιομορφή ( )-.47 η Ιδιομορφή ( ).995 Συγκεντρωτικά στη συνέχεια παρουσιάζονται για το υποστύλωμα Κ οι ιδιοεντάσεις η Ιδιομορφή X K.574kN.574kN.76kNm λαίσιο.44knm 8.84kN 8.84kN λαίσιο.969knm 6.9kNm.44kN Αξονική Δύναμη Υποστυλώματος

33 Δυναμική Φασματική Μέθοδος η Ιδιομορφή X K.65kN.65kN 4.88kNmλαίσιο 8.47kNm 47.4kN 47.4kN λαίσιο 8.96kNm 99.9kNm.47kN Αξονική η Ιδιομορφή X K.98kN -.98kN.954kNm λαίσιο 5.564kNm kN.4684kN λαίσιο -.89kNm -.98kNm.995kN Αξονική Δύναμη Δύναμη Υποστυλώματος Υποστυλώματος Εκτίμηση των εντατικών μεγεθών του υποστυλώματος Κ με τη μέθοδο CQC { } P X K.796kN.796kN 4.48kNm 8.86kNm 44.89kN 44.89kN kNm 4.867kNm 4.6kN Υπολογισμός των εντατικών μεγεθών του υποστυλώματος Κ για σεισμό κατά Υ λαίσιο η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου

34 4 Δυναμική Φασματική Μέθοδος.8.89m.588, 4.696rad { } 8.99m.89 Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου.588, { }.59 (.588 ).58 Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ k, η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου.8.6m { } 4.48m rad,.8 Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου { }.59 (.564 ) ,.59 Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ k, η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου

35 Δυναμική Φασματική Μέθοδος m { }.65m rad, Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου { }.59 ( 6.66 ) , Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ k, λαίσιο η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου.89m 8.797, 4.696rad { } m.89 Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου.89, { }.64 (.89 ).84 Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ k,

36 6 Δυναμική Φασματική Μέθοδος η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου 4..6m { } 4.48m -.6.8rad,.8 Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου { }.64 (.6 ) , Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ k, η Ιδιομορφή Ιδιομετακίνηση στο σύστημα αναφοράς του πλαισίου 4..86m {, }.65m rad Ιδιομετακίνηση και στροφές και του πλαισίου { }.64 (.86 ) , Ιδιοεντάσεις (τέμνουσες και ροπές) του υποστυλώματος Κ k, Υπολογισμός τεμνουσών δυνάμεων των δοκών Δ Δ των πλαισίων και αντίστοιχα

37 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 7 η Ιδιομορφή { } P 4, Δ η Ιδιομορφή { } P 4, Δ η Ιδιομορφή { } P 4, Δ η Ιδιομορφή { } Δ P 4, η Ιδιομορφή { } Δ P 4, η Ιδιομορφή { } Δ P 4,

38 8 Δυναμική Φασματική Μέθοδος Αξονική Δύναμη Υποστυλώματος Κ : η Ιδιομορφή: ( )5.48kN η Ιδιομορφή: ( )-4.5kN η Ιδιομορφή: ( )-.79kN Συγκεντρωτικά στη συνέχεια παρουσιάζονται για το υποστύλωμα Κ οι ιδιοεντάσεις.99kn -.99kN.85kNm.49kNm kN 4.864kNm 4.674kNm 5.48kN Y Y K, 9.755kN { } { } P Y K, kN 6.795kN - 9.kNm -6.96kNm.485kN -.485kN.4685kNm.9884kNm -.79kN με εφαρμογή της C.Q.C { } P Y K 4.78kN 4.78kN 9.477kNm 6.7kNm.49kN.49kN 4.99kNm 4.6kNm 5.4kN P K,.845kN -.845kN 7.96kNm.6kNm kN kN -.79kNm - 9.8kNm - 4.5kN

39 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 9 Υπολογισμός λόγω Τυχηματικής εκκεντρότητας.8484 Ms 4 { } [ k] ± ±.7 λαίσιο υποστύλωμα Κ Μετακίνηση και στροφές και του πλαισίου.8484 K Ms 4 4 { }.59 (.8484 ).87 Εντατικά μεγέθη Ms k λαίσιο υποστύλωμα Κ Μετακίνηση και στροφές και του πλαισίου.98 Ms 4 4 { }.64 (.98 ).79 K Εντατικά μεγέθη Ms k λαίσιο δοκός Δ Εντατικά μεγέθη Ms Δ

40 4 Δυναμική Φασματική Μέθοδος λαίσιο δοκός Δ Εντατικά μεγέθη Ms Δ { P Ms } K Αξονική Υποστυλώματος: -[.48-.7].59kN -.945kN.945kN -.48kNm -.55kNm.978kN -.978kN 6.874kNm 8.kNm.59kN 5.5. Υπολογισμός ιδιοεντάσεων.6kn.6kn 4.9kNm 8.4kNm.75kN,.75kN.68kNm 7.8kNm.7kN { P X K } X K.kN.kN.95kNm 5.56kNm.74kN.74kN 4.76kNm 9.5kNm.6kN

41 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 4 Εκτίμηση των μεγίστων με CQC: Σεισμός κατά -Υ- { } P X K.79kN.79kN 4.4kNm 8.87kNm.7kN.7kN 7.45kNm 4.9kNm 4.kN.99KN.84KN.99KN.84KN.85KNm 7.KNm.49KNm.6KNm 9.8KN, P 4.4KN, 9.8KN 4.4KN.9KNm 5.9KNm.89KNm.79KNm 7.4KN 7.98KN { P K } { K } { P } Εκτίμηση των μεγίστων με CQC: K 6.795KN 6.795KN 9.KNm 6.96KNm.4KN.4KN 4.5KNm 9.5KNm.5KN { } P K Ένταση λόγω τυχηματικής εκκεντρότητας. 4.7KN 4.7KN 9.48KNm 6.7KNm 6.94KN 6.94KN.56KNm 4.4KNm.8KN Το διάνυσμα της καθολικής μετακίνησης που προκύπτει από τη ροπή της τυχηματικής εκκεντρότητας υπολογίζεται από τη σχέση:

42 4 Δυναμική Φασματική Μέθοδος.96m Ms Ms 4 { } [ K] [ K] ±.7m.47 ±.95rad Η ένταση λόγω της τυχηματικής εκκεντρότητας υπολογίζεται με χρήσης του μητρώου σύνδεσης. Ms { } [ K ~ Ms P ] { ~ } K K Ένταση λόγω κατακόρυφων φορτίων 5.kN 5.kN 6.6kNm.48kNm ± 6.5kN 6.5kN 7.7kNm 5.4kNm 5.kN Υπολογίζεται η στατική ένταση λόγω κατακόρυφων φορτίων από τον συνδυασμό G+ψQ, G P. που για το υποστύλωμα Κ είναι το { } Συνδυασμός Σ G ( ) Σ G Χ Ms { Ρ } ± { Ρ } +. + Κ Κ Κ K K K K 4.kN 4.kN 55.89kNm 5.6kNm ± 4.84kN 4.84kN.6kNm 6.8kNm 6.5kN

43 Δυναμική Φασματική Μέθοδος 4 Συνδυασμός Σ G ( ) Σ G Ms { Ρ } ±. + Κ K K K K 9.55kN 9.55kN 9.kNm 7.75kNm ± 7.kN 7.kN 4.5kNm 69.kNm 4.48kN