W H W H. 3=1.5εW. F =εw 2. F =0.5 εw. Παράδειγμα 6: Ικανοτικός Σχεδιασμός δοκών, υποστυλωμάτων και πεδίλων

Transcript

1 1 Παράδειγμα 6: Ικανοτικός Σχεδιασμός δοκών, υποστυλωμάτων και πεδίλων F 3=1.5εW W H F =εw W F =0.5 εw 1 Υ4 Δ1 Υ Δ1 W H Υ3 Υ1 H Π L L To τριώροφο επίπεδο πλαίσιο του σχήματος έχει (θεωρητικό) ύψος ορόφου Η=3m, θεωρητικό άνοιγμα δοκών L=5m, ύψος δοκών h b =0.5m και κεντρικό υποστύλωμα τετραγωνικό με πλευρά h c =0.4m. Τα οιονεί-μόνιμα κατακόρυφα φορτία G+ψ Q δίνουν ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο στις δοκούς Δ 1 ίσο με g+ψ q=40kn/m και συνολικό βάρος ορόφου (σε kn) W=90L (L σε m). Ο συνδυασμός 1.35G+1.5Q δίνει ομοιόμορφο φορτίο q d =65kN/m στις δοκούς Δ1. Στους ορόφους του πλαισίου ασκούνται οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις με τριγωνική καθ ύψος κατανομή όπως στο Σχήμα, με σεισμικό συντελεστή βάσης ε=0.. Η συνολική σεισμική τέμνουσα ορόφου είναι V E1 =F 1 +F +F 3 στο ισόγειο (όροφος 1) και V E = F +F 3 στον όροφο (όροφος ). Το κεντρικό υποστύλωμα κάθε ορόφου αναλαμβάνει το 50% της αντίστοιχης σεισμικής τέμνουσας ορόφου και αναπτύσσει στις διατομές κορυφής και βάσης του ίσες ροπές κάμψης, που ισούνται με την σεισμική τέμνουσά του επί το μισό του καθαρού ύψους του H n =H-h b. Τα ακραία μοιράζονται εξίσου το υπόλοιπο 50%. Δηλαδή οι σεισμικές ροπές ισούνται με M Ec1 =±0.5V E1 H n στο υποστύλωμα Υ1 και με M Ec =±0.5V E H n στο Υ, ενώ στα Υ3, Υ4 είναι το μισό των τιμών αυτών. Οι διατομές στήριξης των δοκών Δ1 στο υποστύλωμα Υ1 οπλίζονται στο μεν πάνω πέλμα για τη μεγαλύτερη από τις εξής ροπές: (1) Μ 1.35g+1.5q =q d L n /8, () M g+ψq +0.5( M Ec1 + M Ec ), όπου M g+ψq =(g+ψ q)l n /8 (L n =καθαρό άνοιγμα δοκού = L-0.9h c ), στο δε κάτω για τη ροπή 0.5( M Ec1 + M Ec )-M g+ψq (εφόσον είναι θετική). Οι διατομές στήριξης των Δ1 στο υποστύλωμα Υ3 οπλίζονται για θετική ή αρνητική

2 ροπή από το σεισμό ίση με ( M Ec3 + M Ec4 ). Η λόγω φορτίων G+ψ Q αξονική δύναμη στα υποστυλώματα ισούται με Ν 1 =5/8(3W) στο Υ1 και με Ν =5/8(W) στο Υ. Τα ακραία υποστυλώματα μοιράζονται το υπόλοιπο κατακόρυφο φορτίο. Στο κεντρικό υποστύλωμα ο σεισμός δεν προκαλεί αξονική δύναμη, ούτε τα κατακόρυφα φορτία προκαλούν ροπή κάμψης. Ζητούνται: (α) Οι οπλισμοί πάνω και κάτω πέλματος της δοκού Δ1 στη στήριξη στο Υ1 (προσεγγιστικά ως A s = M d /zf yd με z = d-d 1 ) λαμβάνοντας υπόψη και τους ελάχιστους διαμήκεις οπλισμούς δοκών. (β) Οι κατακόρυφοι οπλισμοί του Υ1 που ικανοποιούν τον ικανοτικό σχεδιασμό σε κάμψη στην κορυφή του Υ1 (διατομή κορυφής του Υ1 και βάσης του Υ), καθώς και οι κατακόρυφοι οπλισμοί (αναμονές) στη διατομή πάκτωσης του Υ1 στο πέδιλο Π, θεωρώντας το υποστύλωμα σε μονοαξονική κάμψη με αξονική δύναμη και λαμβάνοντας υπόψη τους ελάχιστους κατακόρυφους οπλισμούς υποστυλωμάτων. (γ) Η σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού του Υ1, για ικανοτικό σχεδιασμό του σε διάτμηση. (δ) Η ένταση σχεδιασμού του μεμονωμένου πεδίλου Π που στηρίζει το Υ1 (αγνοώντας τυχόν συνδετήριες δοκούς) και η διαστασιολόγηση του πεδίλου Π σε κάτοψη (με βάση τη φέρουσα ικανότητα του εδάφους) και τομή (έλεγχος ύψους, οπλισμοί), θεωρώντας μονοαξονική κάμψη και εκκεντρότητα. Δίνονται: Κατηγορία Πλαστιμότητας κατά ΕΚ8 Μέση (ΚΠ Μ), C0/5, S500. Επικάλυψη οποιουδήποτε οπλισμού στοιχείου με σκυρόδεμα: 5mm. Έδαφος: άργιλος με c u =100kPa (με συντελεστή ασφαλείας υλικού 1.4) και γ εδ =18kN/m 3. Ύψος επίχωσης πεδίλου: Μηδέν. Ύψος πεδίλου (εφόσον επαρκεί) το ελάχιστο. Λύση α) Διαμήκεις οπλισμοί δοκών: Υπολογισμός έντασης σχεδιασμού M Ec1 = 0.5V E1 H n = 0.5x(3x0.x90x5)x.5 = kNm M Ec = 0.5V E H n = 0.5x(.5x0.x90x5)x.5 = 140.6kNm M 1.35g+1.5q = 65x(5-0.4/-0.35/) /8 = kNm M g+ψq = (40/65)x = kNm Ροπές διαστασιολόγησης: Πάνω πέλμα: Μ d1 = max (174.93, ( )) = 6.34kNm Κάτω πέλμα: Μ d = x( ) = 47.04kNm Οπλισμοί: d 1 = 0.043m, d = 0.457m, z = = 0.415m

3 3 A s1 = 6.34x10 3 /(0.415x500/1.15) = 1453mm A s = 47.04x1453/6.34 = 61mm Eπιλέγεται b w = 0.3m. A s,min = 0.005x300x460 = 345mm (Φ16) Άνω πέλμα: Φ16+4Φ18(145mm ) Κάτω πέλμα: Φ16+1Φ0 (716mm ~145/ = 76mm ) Ροπές αντοχής: - M Rb = 145x0.415x500/(1.15x10 3 ) = 6kNm, + M Rb = 716x0.415x500/(1.15x10 3 ) = 19.kNm ΣΜ Rb = = 391.kNm β) Κατακόρυφοι οπλισμοί υποστυλώματος Υ1 από ικανοτικό σχεδιασμό: Αξονικές δυνάμεις: Στο Υ1 = Ν 1 = (5/8)x(3x90x5) = 843.8kN Στο Υ = Ν = (5/8)x(x90x5) = 56.5kN Ροπές σχεδιασμού οπλισμών Υ1: 1.3ΣΜ Rb = 1.3x(6+19.) = knm Οι κοινοί οπλισμοί της διατομής κορυφής του Υ1 και της διατομής βάσης του Υ διαστασιολογούνται για 0.5x1.3ΣΜ Rb = 54.3kNm και το μέσο όρο των αξονικών δυνάμεων: ( )/ = 698.6kN. Oπλισμοί Υ1, Υ για: μ d = 54.3/(0.4 3 x0000/1.5) = 0.98, ν d = 698.6/(0.4 x0000/1.5) = 0.37 Θεωρώντας υπέρ της ασφαλείας οπλισμούς μόνο στις πλευρές τις παράλληλες στο διάνυσμα της μονοαξονικής ροπής και κάθετες στο επίπεδο της κάμψης, με d 1 /h = 0.108: ω tot = 0.515, A s,tot = 0.515x400 x0x1.15/(500x1.5)=57mm Ροπή σχεδιασμού αναμονών στη βάση Υ1 (πάκτωση σε πέδιλο Π): Μ C1 = knm μ d = /(0.4 3 x0000/1.5)=0.198, ν d = 843.8/(0.4 x0000/1.5)=0.396, d 1 /h =0.108 ω tot = 0.6, A s,tot = 0.6x400 x0x1.15/(500x1.5)= 176mm Τελικοί οπλισμοί Υ1, Υ: A s,min = 0.01x400 =1600 mm στο σύνολο της διατομής. Τοποθετούνται οι ίδιοι οπλισμοί από τη βάση Υ1 (πάκτωση στο πέδιλο Π) και σε όλο το ύψος του Υ: Ανά πλευρά: 4Φ0 (157mm, A s,tot = 514mm ) Ελεγχος εάν ΣΜ Rc > 1.3ΣΜ Rb Διατομή βάσης Υ: ω tot = 0.515, d 1 /h = 0.108, ν d = 56.5//(0.4 x0000/1.5) = 0.64 μ Rd = 0.9. Διατομή κορυφής Υ1: ω tot = 0.515, d 1 /h = 0.108, ν d = 0.396, μ Rd = ΣΜ Rc = ( )x(0.4 3 x0000/1.5) = 51 knm ~ 1.3ΣΜ Rb = knm

4 4 γ) Ικανοτική τέμνουσα υποστυλώματος Υ1: Ροπή αντοχής υποστυλώματος Παρόλο που (υπέρ της ασφαλείας) ελήφθησαν υπόψη μόνον οι οπλισμοί στις πλευρές τις παράλληλες στο διάνυσμα της μονοαξονικής ροπής, οπλισμούς θεωρείται στη συνέχεια ότι οι ίδιοι οπλισμοί υπάρχουν και στις δύο κάθετες πλευρές, δηλ. ανά πλευρά 4Φ0, 1Φ0 συνολικά (A s,tot = 3770mm ω tot = 0.768). Για όπλιση ομοιόμορφη στις 4 πλευρές με ω tot = 0.768, ν d = και d 1 /h =0.108 μ Rd = M Rd,c = 0.31x(0.4 3 x0000/1.5) = 64.5kNm Θεωρώντας ότι στη βάση του υποστυλώματος αναπτύσσεται η ροπή αντοχής του αλλά λαμβάνοντας υποψη στην κορυφή του το ενδεχόμενο σχηματισμού πλαστικής άρθρωσης στις δοκούς: V CD = 1.1x( x391./51)/(3-0.5)=05.3kN Η αντίστοιχη σεισμική ροπή από την ανάλυση είναι: V E =V E1 =0.5x(3x0.x90x5)=135kN <<V CD δ) Διαστασιολόγηση πεδίλων Π: Ένταση σχεδιασμού: α CD =1.xM Rd,c /M Ec =1.x64.5/168.75=1.88 Επιλέγεται ύψος πεδίλου h = 0.5m Σεισμική τέμνουσα στη βάση πεδίλου: V E = 67.5kN Σεισμική ροπή στη βάση πεδίλου: M E = x67.5=0.5kNm Ροπή σχεδιασμού πεδίλων: Μ=α CD M E =1.88x0.5=380.7 knm Τέμνουσα σχεδιασμού πεδίλων: V d =α CD V E =1.88x67.5=18.8kN Η αξονική δύναμη δεν επηρεάζεται, καθότι ο σεισμός δεν προκαλεί αξονική δύναμη σε υποστύλωμα και πέδιλο. Άρα Ν=Ν 1 =843.8kNm Εκτίμηση διαστάσεων πεδίλων με βάση την αντοχή εδάφους. Θεωρούμε τετράγωνο πέδιλο πλευράς b: Ν tot =N+γ σκ hb = x0.5b = b e=m/n tot =380.7/( b ) Εφόσον η ροπή Μ προκύπτει από ικανοτικό σχεδιασμό και είναι α CD <q, η συνθήκη e b/3 δεν είναι δεσμευτική, αποτελεί όμως καλή βάση, καθότι για e=b/ οι τάσεις εδάφους πλησιάζουν το άπειρο. Ο έλεγχος της αντοχής εδάφους γίνεται με βάση την τιμή σχεδιασμού της c u, που ισούται, για

5 5 συντελεστή υλικού 1.4, με c ud =100/1.4=71.4kPa, και με μειωμένη επιφάνεια του πεδίλου, σε Α f= b b =b(b-e)=b (1-M/b(N+1.5b ))=b (1-x380.7/b( b )) Η τάση που δρά στη διεπιφάνεια πεδίλου-εδάφους είναι: N 1.5b b A f b (1 ) b( b ) και πρέπει να συγκριθεί με την αντοχή, που ισούται με: q+(π+)c ud (1+0.b /b)i c δηλ.(για q=hγ εδ =0.5x18=9kN/m ) με: (π+) c ud (1+0.( 1 b )) ( b ) b (1 b( b ) ) Με δοκιμές προκύπτει b=m, οπότε η δρώσα τάση είναι 389kPa και η αντοχή 395 kpa. Επισημαίνεται ότι για να θεωρείται το πέδιλο δύσκαμπτο, δεν πρέπει να προεξέχει σε κάτοψη από το υποστύλωμα περισσότερο από h=1m, προϋπόθεση που δίνει μέγιστη διάσταση πεδίλων για h=0.5m: b max =4h+h c =.4m. Τέμνουσα στο πέδιλο για τον έλεγχο επάρκειας ύψους με βάση την οριακή αντοχή σε διάτμηση. d= =0.45m s x = /=0.65m, s x= /=-0.65m N tot =893.8kN e x = M/N tot =380.7/893.8 = 0.46m>b x /6=0.333m e x /b x =0.13, s x /b x =0.35 V Sd,x =(4x893.8/9)(.5-6x )( )/(1-x0.13 )-( )( )= 109.5kN Επειδή το πέδιλο, είναι κεντρικό και η εκκεντρότητα e x λόγω ροπών μονοαξονική, περιττεύει ο έλεγχος της V Sd,x και της V Sd,y. Υπολογισμός οπλισμών s x =0.4/=0.m, s x=-0.m, s x /b x =0.1 Μ Sdx =(4x893.8x.0/7)(4-9x )( ) /(1-x0.13 )-0.5( )x.0x( ) =93.7kNm Επειδή η προεξοχή του πεδίλου από το υποστύλωμα (0.95m) ισούται περίπου με d=0.9m, το πέδιλο θεωρείται ως κοντός πρόβολος, οπότε: A s =93.7x10 3 /(0.85x0.45x500/1.15)=563mm δηλ. 8mm /m πλάτους < Α s,min =ρ min bd=675mm. Τοποθετούνται Φ1/150(754mm /m). c ud

6 6 Παράδειγμα 7: Ικανοτικός Σχεδιασμός δοκών, υποστυλωμάτων και πεδιλοδοκού Για τo τριώροφο επίπεδο πλαίσιο του προηγούμενου παραδείγματος να θεωρηθεί ότι ο σεισμός προκαλεί αξονικές δυνάμεις στα ακραία υποστυλώματα (διατομής τετράγωνης πλευράς 0.35) λόγω της ροπής ανατροπής. Τα κατακόρυφα φορτία δεν προκαλούν ροπές κάμψης στα ακραία υποστυλώματα. Ζητούνται: Η επανάληψη των ερωτημάτων (α) έως (γ) του προηγούμενου παραδείγματος για τα ακραία υποστυλώματα Υ3, Υ4, (δ) Η σεισμική τέμνουσα σχεδιασμού της δοκού Δ1 για ικανοτικό σχεδιασμό σε διάτμηση. Λύση: α) Διαμήκεις οπλισμοί Δ1 δοκού στο άκρο (στήριξη στο Υ3): Μ Ec3 =0.15V E3 H n =168.75/=84.38kNm Μ Ec4 =0.15V E4 H n =140.6/=70.31kNm Και για πάνω και για κάτω πέλμα: M d = =154.69kNm A s1 =A s =154.69x10 3 /(0.415x500/1.15)=857mm Τοποθετούνται 3Φ16+1Φ18 (857mm ) >A s,min =345mm + - Ροπές αντοχής: M Rb = M Rb = M d =154.7kNm β) Κατακόρυφος οπλισμός ακραίου υποστυλώματος από ικανοτικό σχεδιασμό: Αξονικές δυνάμεις λόγω G+ψ Q: Στο Υ3= Ν 3,g+ψq =3/16(3x90x5)=53.1kN Στο Υ4= Ν 4,g+ψq =3/16(x90x5)=168.8kN Αξονικές δυνάμεις λόγω ροπής ανατροπής από σεισμό: Οι ροπές ανατροπής λαμβάνονται στο μέσο του καθαρού ύψους ορόφου, καθότι εκεί οι λόγω σεισμού καμπτικές ροπές των υποστυλωμάτων είναι μηδέν. Οι ροπές ανατροπής ισούνται με τη ροπή των οριζοντίων σεισμικών δυνάμεων ορόφων ως προς την υπόψη στάθμη: Ροπή ανατροπής στο μέσο ύψους ισογείου: M 1 =(.5H+h b /)F 3 +(1.5H+h b /)F +(0.5H+h b /)F 1 = =7.75x1.5εW+4.75xεW+1.75x0.5εW=17.5εW=17.5x0.x(90x5)=155.5kNm Ροπή ανατροπής στο μέσο ύψους μεσαίου ορόφου: M =4.75xHxF xHxF =4.75x1.5εW+1.75x0.5εW=8εW=8x0.x(90x5)= =70kNm. Επειδή το κεντρικό υποστύλωμα είναι ακριβώς στον άξονα συμμετρίας, οι ροπές ανατροπής αναλαμβάνονται από ζεύγος αξονικών δυνάμεων (εφελκυσμού-θλίψης)

7 7 στα ακραία υποστυλώματα (με μοχλοβραχίονα L): Αξονικές δυνάμεις λόγω σεισμού: Στο Υ3= Ν 3,Ε =155.5/(x5)=155.kN Στο Υ4= Ν 4,E =70/(x5)=7kN Η λόγω σεισμού αξονική δύναμη στο υποστύλωμα είναι εφελκυστική, όταν η λόγω σεισμού ροπή κάμψης στη δοκό Δ1 προκαλεί εφελκυσμό στο κάτω πέλμα της δοκού στο άκρο που συνδέεται με το υπόψη ακραίο υποστύλωμα. Επομένως, η λόγω σεισμού εφελκυστική δύναμη στο υποστύλωμα συνδυάζεται με ανάπτυξη στη δοκό της M + Rb. Ομως είναι M + Rb =M - Rb, οπότε δεν παίζει ρόλο ποια τιμή του M Rb θα χρησιμοποιηθεί. Η διαστασιολόγηση των υποστυλωμάτων σε κάμψη γίνεται επί το δυσμενέστερο με βάση τις ελάχιστες τιμές της αξονικής δύναμης (min N). Τελικές αξονικές δυνάμεις λόγω G+ψ Q+E: minn 3 = = 97.9kN minn 4 = = 96.8kN Μέσος όρος αξονικών δυνάμεων: minn = ( )/ = 97.4kN. Ροπές σχεδιασμού Υ3, Υ4: 0.5x1.3ΣΜ Rb = 0.5 x 1.3x154.7 = 100.6kNm Ροπή σχεδιασμού αναμονών στη βάση Υ3: M c3 =84.38kNm Οπλισμοί Υ3, Υ4: μ d =100.6/( x0000/1.5)=0.175, ν d =97.4/(0.35 x0000/1.5)= Θεωρώντας υπέρ της ασφαλείας οπλισμούς μόνο στις πλευρές τις παράλληλες στο διάνυσμα της μονοαξονικής ροπής (κάθετες στο επίπεδο της κάμψης), για d 1 /h=0.1 ω tot =0.4, ρ tot = 0.4x0x1.15/(500x1.5) = 0.013, Α s,tot = 0.013x350x350 = 1507mm. Τοποθετούνται οι ίδιοι οπλισμοί από τη βάση Υ3 και σε όλο το ύψος του Υ4: 3Φ18 ανά πλευρά, δηλ. 157mm στις δύο παράλληλες πλευρές (Για όπλιση ομοιόμορφη στις 4 πλευρές, είναι 8Φ18 συνολικά, δηλ. A s,tot = 036mm ω tot = 0.54). γ) Ικανοτική τέμνουσα υποστυλώματος Υ3: Επί το δυσμενέστερο, η ικανοτική τέμνουσα του Υ3 υπολογίζεται από ροπές αντοχής για τη μεγαλύτερη αξονική δύναμη στο υποστύλωμα. maxν 3 = =408.3kN, δηλ. ν d =408.3/(0.35 x0000/1.5)=0.5, για την οποία, για ω tot = 0.54 ομοιόμορφα στις 4 πλευρές και d 1 /h=0.1: μ Rd =0.5, οπότε: M Rd,3 = 0.5x x0000/1.5 =143kNm. maxν 4 = =40.8kN, δηλ. ν d =40.8/(0.35 x0000/1.5)=0.147, για την οποία,

8 8 για ω tot = 0.54 ομοιόμορφα στις 4 πλευρές και d 1 /h=0.1: μ Rd =0.3, οπότε: M Rd,4 = 0.3x x0000/1.5 =131.5kNm. Η ροπή M Rd =143kNm θεωρείται ότι δρα στη βάση. Στην κορυφή, το υποστύλωμα έχει σχεδιασθεί ικανοτικά να μην αστοχήσει πριν από τη δοκό Δ1, ακόμα και όταν δρα η ελάχιστη τιμή αξονικής δύναμης, minn 3 =97.9kN (πολύ περισσότερο αν δρα η maxn 3 =408.3kN, η οποία αυξάνει σημαντικά τη ροπή αντοχής του υποστυλώματος, χωρίς να επηρεάζει αυτήν της δοκού). Αρα στην κορυφή η ροπή κάμψης του υποστυλώματος θα ληφθεί ίση με αυτήν που αναπτύσσεται εκεί κατά την ανάπτυξη της ροπής αντοχής της δοκού, M Rb, που είναι η M Rb επί το λόγο ΣM Rb /ΣM Rc με ΣM Rb =154.7 knm και ΣM Rc = = 74.5kNm. Αρα: V CD = 1.1x( x154.7/74.5)/(3-0.5)=98.4kN Η αντίστοιχη σεισμική ροπή από την ανάλυση είναι: V E = V E3 = 0.5x(3x0.x90x5) = 67.5kN <<V CD δ) Ικανοτική τέμνουσα δοκού Δ1: Επειδή τα υποστυλώματα έχουν σχεδιασθεί ικανοτικά να μην αστοχήσουν πριν από τις δοκούς, η ικανοτική τέμνουσα της Δ1 ληφθεί ίση με αυτήν κατά την ανάπτυξη των ροπών αντοχής της δοκού, M Rb. - + Στη στήριξη στο Υ1: M Rb = 6kNm, M Rb = 19.kNm. - + Στη στήριξη στο Υ3: M Rb = 154.7kNm, M Rb = 154.7kNm Για μέγιστες τιμές τεμνουσών κοντά στη στήριξη στο Υ3, επαλληλίζεται στις τέμνουσες αμφιέρειστης δοκού η: V CD = 1.0x( )/( )=61.4kN Για μέγιστες τιμές τεμνουσών κοντά στη στήριξη στο Υ1, επαλληλίζεται στις τέμνουσες αμφιέρειστης δοκού η: V CD = 1.0x( )/( )=90.1kN Στις διατομές στήριξης αθροίζεται στις ανωτέρω η τέμνουσα αμφιέρειστης λόγω: g+ψ q=40kn/m: V ο,g+ψq = 40x( )/=9.5kN, δίνοντας: Στη διατομή στήριξης στο Υ3: V Ε,d = =153.9kN Η αντίστοιχη σεισμική ροπή από την ανάλυση είναι: V E = 3/8x40x( )+ x154.69/( )= 136.3kN < V Ε,d =153.9kN. Στη διατομή στήριξης στο Υ1: V Ε,d = =18.6kN Η αντίστοιχη σεισμική ροπή από την ανάλυση είναι: V E = 5/8x40x( )+ x154.69/( )= 18.5kN V Ε,d =18.6kN.