Εισαγωγικές Έννοιες. Οι καλές ταλαντώσεις!

Transcript

1 Εισαγωγικές Έννοιες Οι καλές ταλαντώσεις!

2 Αντικείμενο της Δυναμικής Εισαγωγικές Έννοιες: Αντικείμενο της Δυναμικής των Κατασκευών: Ανάλυση της απόκρισης των κατασκευών που υπόκεινται σε δυναμική καταπόνηση και υπολογισμός της εντατικής και παραμορφωσιακής τους κατάστασης. Η μελέτη της δυναμικής απόκρισης των κατασκευών είναι σημαντική στο σχεδιασμό των κατασκευών, γιατί, κάτω από ορισμένες συνθήκες, η ταλαντούμενη κίνηση μπορεί να επιφέρει μεγάλες τάσεις και μετακινήσεις στην κατασκευή. Ακόμα και επαναλαμβανόμενη φόρτιση/ένταση μέτριας έντασης/μεγέθους, μπορεί να προκαλέσει αστοχία του υλικού λόγω κόπωσης αν ο αριθμός των επαναλήψεων είναι αρκετά μεγάλος. Δ02-2 Ακόμα κι όταν η δυναμική απόκριση του φέροντα οργανισμού δε θέτει σε κίνδυνο την ασφάλεια ενός κτιρίου, οι προκαλούμενες ταλαντώσεις είναι ενγένει ανεπιθύμητες καθώς προκαλούν δυσφορία και ανησυχία στους ενοίκους.

3 Δυναμικά Φορτία Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-3 Ορισμός: Δυναμικά είναι τα φορτία των οποίων το μέτρο, η διεύθυνση ή/και η θέση μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου. Παραδείγματα: δυναμικά φορτία που οφείλονται σε περιστροφική κίνηση μηχανών, σε έκρηξη, σε κίνηση οχημάτων, σε ανεμοποίηση. Η κίνηση της στήριξης ενός φορέα λόγω της σεισμικής κίνησης του εδάφους αποτελεί δυναμική διέγερση η οποία μπορεί να αναχθεί σε ισοδύναμο δυναμικό φορτίο. Είδη φορτίων Τα δυναμικά φορτία διακρίνονται σε ντετερμηνιστικά και στοχαστικά ή τυχαία. Ντετερμηνιστικά είναι τα φορτία των οποίων η χρονική μεταβολή είναι γνωστή, καιείτεμπορείναπεριγραφείαπόμια αναλυτική συνάρτηση είτε να παρασταθεί με μια σειρά από αριθμητικές τιμές σε διακριτά (ίσα) διαστήματα του χρόνου.

4 Δυναμικά Φορτία (...) Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-4 Στοχαστικά είναι τα φορτία των οποίων η χρονική μεταβολή δεν είναι γνωστή και η περιγραφή τους μπορεί να γίνει μόνο με στοχαστικές μεθόδους και χρήση στατιστικών παραμέτρων. Τα δυναμικά φορτία διακρίνονται επίσης, ανάλογα με τη φύση τηςμεταβολήςτουςμετοχρόνο, σε περιοδικά και απεριοδικά. Περιοδικά είναι τα φορτία τα οποία επαναλαμβάνονται σε κανονικά/σταθερά χρονικά διαστήματα. Το τμήμα του μεταβαλλόμενου φορτίου που επαναλαμβάνεται αποτελεί έναν κύκλο της φόρτισης και ο χρόνος που απαιτείται για να συμπληρωθεί ένας κύκλος ονομάζεται περίοδος (Τ). Τα περιοδικά φορτία μπορούν να παρασταθούν με μία περιοδική συνάρτηση: όπου n φυσικός αριθμός. pt () = pt ( + nt)

5 Δυναμικά Φορτία (...) Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-5 Το αντίστροφο της περιόδου, που εκφράζει τον αριθμό των κύκλων ανά δευτερόλεπτο, ονομάζεται συχνότητα (f) της φόρτισης. f 1 = T

6 Δυναμικό Προσομοίωμα Κατασκευής Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-6 Σε αντίθεση με τη στατική ανάλυση των κατασκευών, που ενέχει μόνο τις εσωτερικές ελαστικές δυνάμεις, η δυναμική ανάλυση είναι πολύ πιο σύνθετη, καθώς εκτός από τις ελαστικές δυνάμεις ενέχει δυνάμεις αδράνειας και δυνάμεις απόσβεσης ενέργειας. Υπ αυτήν την έννοια, η στατική ανάλυση των κατασκευών μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση της δυναμικής ανάλυσης. Πριν από οποιαδήποτε δυναμική ανάλυση, το υπό μελέτη φυσικό σύστημα πρέπει να παρασταθεί από ένα «κατάλληλο» μαθηματικό μοντέλο, με βάση το οποίο οι επιθυμητές παράμετροι απόκρισης της κατασκευής θα υπολογιστούν με ικανοποιητική ακρίβεια. Αυτό προϋποθέτει τη διατύπωση του δυναμικού προσομοιώματος της κατασκευής. Όπως και στη στατική έτσι και στη δυναμική ανάλυση των κατασκευών οι επιθυμητές παράμετροι απόκρισης της κατασκευής είναι οι μετακινήσεις (μεταφορικές μετατοπίσεις ή στροφές) και τα εσωτερικά εντατικά μεγέθη (δυνάμεις ή τάσεις). Γιατηδυναμικήανάλυσητωνκατασκευών

7 Εισαγωγικές Έννοιες: Δυναμικό Προσομοίωμα Κατασκευής (...) Δ02-7 προσφέρεται η μέθοδος των μετακινήσεων, όπου λαμβάνονται ως άγνωστοι οι συνιστώσες των μετακινήσεων της κατασκευής. Σε αντίθεση με τη Στατική, όπου η απόκριση της κατασκευής είναι συνάρτηση μίας ή περισσότερων χωρικών συντεταγμένων, στη Δυναμική η απόκριση εξαρτάται και από χωρικές και από χρονικές μεταβλητές. Συνεπώς, η δυναμική απόκρισητωνκατασκευώνδιέπεταιενγένειαπόμερικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες περιλαμβάνουν τις χωρικές και τις χρονικές μεταβλητές. Παρόλα αυτά, σε πολλές περιπτώσεις είναι δυνατό να προσομοιάσουμε την κατασκευή με ένα σύστημα άκαμπτων στερεών με απαραμόρφωτη μάζα, μία σειρά ελατηρίων (μηδενικής μάζας) που παρέχουν τις εσωτερικές ελαστικές δυνάμεις που αντιστέκονται στην προκαλούμενη παραμόρφωση και μία σειρά αποσβεστήρων (μηδενικής μάζας) που παρέχουν τις εσωτερικές δυνάμεις απόσβεσης

8 Εισαγωγικές Έννοιες: Δυναμικό Προσομοίωμα Κατασκευής (...) Δ02-8 ενέργειας. Στις περιπτώσεις αυτές, η δυναμικήαπόκρισητης κατασκευής καθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τις συνιστώσες των μετακινήσεων που καθορίζουν τη θέση των διακριτών μαζών (άκαμπτων στερεών) στο χώρο. Τέτοια συστήματα προσομοίωσης ονομάζονται διακριτά συστήματα.

9 Βαθμοί Ελευθερίας Κίνησης Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-9 Ο αριθμός των ανεξάρτητων συνιστωσών των μετακινήσεων πουαπαιτούνταιγιατοκαθορισμότηςγεωμετρίαςτου παραμορφωμένου φορέα ισούται με το βαθμό ελευθερίας κίνησης του φορέα. Η επιλογή των ανεξάρτητων συνιστωσών των μετακινήσεων δεν είναι μονοσήμαντη. Είναι ενγένει δυνατό να επιλεγούν εναλλακτικοί βαθμοί ελευθερίας, ενώ υπάρχουν περιπτώσεις όπου η χρήση γενικευμένων μετακινήσεων μπορεί να αποδειχθεί πιο αποτελεσματική. Ηδυναμικήαπόκρισηενόςδιακριτούσυστήματοςδιέπεται από ένα σύστημα Ν συνήθων διαφορικών εξισώσεων, όπου Ν οβαθμόςελευθερίαςκίνησηςτουφορέα.

10 Παράδειγμα Π2-1 Δ02-10 Σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας κίνησης u(t) m Με την παραδοχή ότι οι στύλοι του σιλό έχουν αμελητέα μάζα και ότι δεν μεταβάλλεται το μήκος τους, αρκεί η οριζόντια μετατόπιση u(t) για να προσδιοριστεί πλήρως η κίνηση του συστήματος. Σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας κίνησης u 1 (t) m 1 m 2 Ι= Ι= u 2 (t) Για τον προσδιορισμό της κίνησης του διώροφου πλαισίου απαιτείται η γνώση των δύο ανεξάρτητων μεταξύ τους οριζόντιων μετατοπίσεων u 1 (t) και u 2 (t).

11 Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-11 Παράδειγμα Δυναμικού Προσομοιώματος Κατασκευής Θεωρούμε τον πρόβολο του σχήματος του οποίου οι ίνες, κάτω από ορισμένη δυναμική φόρτιση, μπορούν να παραμορφωθούν μόνο κατά την αξονική διεύθυνση x. Η (τυχαία) διατομή ΑΑ θα υποστεί ταλάντωση γύρω από την αρχική της θέση (στηθετικήκαιαρνητικήδιεύθυνση του άξονα x). Η θέση της διατομής στο χρόνο t, δηλαδή το εύρος της ταλάντωσης, είναι συνάρτηση της θέση της διατομής, δηλαδή της απόστασης x, και του χρόνου t. Συνεπώς, η δυναμική απόκριση του προβόλου διέπεται από μία μερική διαφορική εξίσωση η οποία περιλαμβάνει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x και t.

12 Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-12 Παράδειγμα Δυναμικού Προσομοιώματος Κατασκευής (...) Παρόλα αυτά, η δοκός είναι δυνατό (και συχνά εύλογο!) να προσομοιαστεί με ένα σύστημα στερεών μαζών που αλληλοσυνδέονται με ελαστικά ελατήρια (μηδενικής μάζας). Η επιλογή του αριθμού των μαζών καθορίζει και την ακρίβεια του μαθηματικού μοντέλου. Έστω ότι επιλέγονται Ν διακριτές μάζες: τότεηδυναμικήαπόκρισητηςδοκούκαθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε την οριζόντια μετατόπιση καθεμιάς από τις Ν μάζεςσεκάθεχρονικήστιγμήt. Το σύστημα αυτό έχει Ν βαθμούς ελευθερίας και η δυναμική του απόκριση διέπεται από Ν συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Στην πλειοψηφία τους τα δομικά συστήματα προσομοιάζονται με διακριτά συστήματα αποτελούμενα από ένα σύστημα στερεών μαζών που αλληλοσυνδέονται με ελαστικά ελατήρια (μηδενικής μάζας). Πρέπει να τονιστεί όμως ότι γενικά τέτοια προσομοίωση δεν είναι παρά μόνο εξιδανίκευση της πραγματικής συμπεριφοράς, καθώς οι «στερεές» μάζες επιδεικνύουν κάποια ελαστικότητα και τα ελατήρια έχουν κάποια μάζα.

13 Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-13 Παράδειγμα Δυναμικού Προσομοιώματος Κατασκευής (...) Σε ορισμένες περιπτώσεις όμως ενδείκνυται η χρήση ενός μοντέλου όπου τόσο η μάζα όσο και η ακαμψία είναι κατανεμημένες. Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται συνεχές σύστημα και η δυναμική τους απόκριση διέπεται από μία ή περισσότερες μερικές διαφορικές εξισώσεις. Η ανάλυση των διακριτών συστημάτων είναι πολύ πιο απλή από την ανάλυση των συνεχών συστημάτων και αποτελεί τη συνήθη βάση για τη δυναμική ανάλυση των κατασκευών.

14 Παραδοχές Δυναμικής Ανάλυσης Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-14 Στηδυναμικήανάλυσητωνκατασκευώνγίνονταισυνήθως οι εξής παραδοχές: τα χαρακτηριστικά του συστήματος, δηλαδή η μάζα, ηακαμψία και η απόσβεσή του, δε μεταβάλλονται με το χρόνο. Οι παραμορφώσεις της κατασκευής είναι μικρές και το υλικό ακολουθεί γραμμική σχέση τάσεων-παραμορφώσεων. Δοθέντoς τωνπιοπάνωπαραδοχών, η κατασκευή καλείται γραμμική καιισχύειηαρχή της επαλληλίας. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, αν u 1 είναι η απόκριση της κατασκευής σε ένα εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο p 1 και u 2 είναι η απόκριση της κατασκευής σε ένα άλλο φορτίο p 2, τότε η συνολική απόκριση της κατασκευής από ταυτόχρονη εφαρμογή των p 1 και p 2 προκύπτει αθροίζοντας τις επιμέρους αποκρίσεις u 1 και u 2 ώστε u = u1+ u2

15 Παραδοχές Δυναμικής Ανάλυσης (...) Εισαγωγικές Έννοιες: Δ02-15 Για την πλειοψηφία των κατασκευών μπορεί εύλογα να γίνει η παραδοχή της αρχής της επαλληλίας, πράγμα που απλοποιεί σημαντικά την ανάλυση. Σε μερικές περιπτώσεις όμως οι παραμορφώσεις μπορεί να είναι αρκετά μεγάλες (γεωμετρική μη-γραμμικότητα) ή/και η σχέση τάσεωνπαραμορφώσεων να γίνεται μη γραμμική (μη-γραμμικότητα υλικού) καθώς παραμορφώνεται το υλικό. Και οι δύο αυτές περιπτώσεις εισάγουν μη-γραμμικότητα στο σύστημα, η οποία ενδεχομένως να πρέπει να ληφθεί υπόψη στην ανάλυση κατασκευών που παραμορφώνονται στη μεταελαστική (πλαστική) περιοχή, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση μίας ισχυρής σεισμικής διέγερσης.

16 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος

17 Εισαγωγή Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-17 Η παραμορφωμένη κατάσταση πολλών συστημάτων που υπόκεινται σε δυναμικά φορτία είναι δυνατό να περιγραφεί με τον προσδιορισμό της μετακίνησης (που είναι συνάρτηση του χρόνου) σε μία μόνο διεύθυνση. Δηλαδή, ο βαθμός ελευθερίας κίνησης του φορέα ισούται με ένα. Τα συστήματα αυτά καλούνται μονοβάθμια συστήματα. Στο σχήμα φαίνεται ένα μονοβάθμιο σύστημα το οποίο αποτελείται από μία μάζα m συγκεντρωμένη στην οροφή, ένα πλαίσιο με μηδενική μάζα που προσδίδει ακαμψία k στο σύστημα και έναν ιξώδη αποσβεστήρα (viscous damper) με συντελεστή απόσβεσης c, που είναι υπεύθυνος για την απόσβεση της ενέργειας ταλάντωσης του συστήματος. Το σύστημα αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως το μοντέλο μίας μονόροφης κατασκευής. Κάθε στοιχείο της πραγματικής κατασκευής (δοκοί, κολώνες, τοίχοι, κλπ.) συνεισφέρει στις δυνάμεις αδράνειας, ελατηρίου και απόσβεσης του συστήματος. k m c u(t) p(t)

18 Εισαγωγή (...) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-18 Το πιο κλασικό μοντέλο μονοβάθμιου συστήματος φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. u(t) k c m p(t) f s f d f Ι p(t) (a) (b) Αποτελείται από ένα στερεό σώμα μάζας m που είναι εξαναγκασμένο να κινείται κατά τον άξονα x, ένα ελατήριο με συντελεστή ακαμψίας k και έναν ιξώδη αποσβεστήρα με συντελεστή απόσβεσης c. Αυτά αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα, το υλικό σώμα (αδρανειακές δυνάμεις f I ), τις ελαστικές δυνάμεις (δυνάμεις ελατηρίου f s ) και τις δυνάμεις τριβής (απώλειες ενέργειας, δηλ. δυνάμεις απόσβεσης f d ). Αν παραστήσουμε με u(t) τη μετατόπιση του σώματος τη χρονική στιγμή t απότηθέσηισορροπίας, τότε κατά τη θεωρούμενη χρονική στιγμή ασκούνται πάνω στο σώμα οι

19 Εισαγωγή (...) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-19 ακόλουθες δυνάμεις (σχήμα (b)): Η εξωτερική δύναμη p(t) Ηελαστικήδύναμηf s Ηδύναμηαπόσβεσηςf d Η αδρανειακή δύναμη f I (για θεώρηση D Alembert)

20 Δύναμη Αδράνειας Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-20 Ηδύναμηf I είναι η δύναμη αδράνειας. Η δύναμη αυτή εξαρτάται από τη μάζα του συστήματος, m, και από την επιτάχυνση του, u&&. Η δύναμη αδράνειας δίνεται από τη σχέση: fi = mu&& Ηδύναμηf I έχει φορά αντίθετη από τη φορά της επιτάχυνσης.

21 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-21 Ελαστική Δύναμη (Δύναμη Ελατηρίου) Ηδύναμηf s είναι η δύναμη του ελατηρίου και εξαρτάται από τη μετατόπιση u. Για την περίπτωση γραμμικής συμπεριφοράς της κατασκευής, η δύναμηf s είναι ανάλογη της μετατόπισης και παριστάνεται από τη γραμμική σχέση όπου k είναι σταθερά που εκφράζει την ακαμψία του ελατηρίου, δηλαδή τη δύναμη που απαιτείται για μοναδιαία μεταβολή του μήκους του. Το k έχει μονάδες kn/m. Ηδύναμηf s εκφράζει την ελαστική δύναμη της κατασκευής, αντιτίθεται στην κίνηση και τείνει να επαναφέρει το σώμα στην αρχική του θέση. Γενικά η δύναμη f s είναι μη-γραμμική συνάρτηση του u(t), f s =f s (u), όπως φαίνεται στο σχήμα (a). Στην περίπτωση p(t) p(t) γραμμικής συμπεριφοράς της κατασκευής, k k η σχέση είναι γραμμική, όπως φαίνεται στο u(t) σχήμα (b). (a) (b) fs = ku u(t)

22 Δύναμη Απόσβεσης Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-22 Ηδύναμηf d είναι η δύναμη απόσβεσης, η οποία εκφράζει τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβής. Η δύναμη αυτή αντιτίθεται στην κίνηση, αλλά είναι πολύ δύσκολο και πολύπλοκο να βρούμε την ακριβή της έκφραση. Η πιο απλή έκφραση της δύναμης αυτής προκύπτει όταν θεωρήσουμε ιξώδη απόσβεση, κατά την οποία η δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας της κίνησης, u& : fd = cu& όπου c είναι μία σταθερά που καλείται συντελεστής απόσβεσης και μπορεί να υπολογιστεί πειραματικά. Η δύναμη απόσβεσης είναι η δύναμη η οποία κάνει το εύρος των ταλαντώσεων να φθίνει και επαναφέρει στην κατάσταση ηρεμίας ένα σύστημα που εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση. Παρόλο που συνήθως το μέγεθος της δύναμης απόσβεσης είναι μικρό σε σχέση με την αδρανειακή και ελαστική δύναμη, η δύναμηαυτή μπορεί να επηρεάσει κατά πολύ την απόκριση του συστήματος.

23 Παράδειγμα Π2-2 Δ02-23 Ως απλό παράδειγμα κατασκευής που μπορεί να u(t) m προσομοιωθεί με το μοντέλο του μονοβάθμιου I= συστήματος είναι το δίστηλο πλαίσιο του σχήματος. Το πλαίσιο αποτελείται από δύο όμοιους στύλους πακτωμένους στο έδαφος με ύψος h και ροπή αδράνειας I. Η ροπή αδράνειας του ζυγώματος είναι πολύ μεγάλη και θεωρείται πρακτικά άπειρη. Αυτό σημαίνει ότι το EI EI ζύγωμα δεν κάμπτεται και οι κεφαλές των στύλων παραμένουν άστρεπτες κατά την παραμόρφωση του πλαισίου. Ως μάζα του συστήματος θεωρούμε τη μάζα του ζυγώματος (αφού οι μάζες των στύλων συγκριτικά με τη μάζα του ζυγώματος είναι αμελητέες) συγκεντρωμένη στη στάθμη του. p(t) Οι ελαστικές δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση λόγω της εξωτερικής δύναμης p(t) είναι οι τέμνουσες δυνάμεις Q, στις κεφαλές των στύλων. 12EI Q = u() t 3 h όπου Ε είναι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού, Ι είναι η ροπή αδράνειας της διατομής των στύλων και h είναι το ύψος τους. cu& Q u(t) mu&& p(t) Q

24 Παράδειγμα Π2-2 (...) Οι τέμνουσες αυτές είναι ανάλογες της μετατοπίσεως u(t) και τείνουν να επαναφέρουν το πλαίσιο στην αρχική θέση ισορροπίας. Άρα, οι στύλοι παίζουν το ρόλο του ελατηρίου στο μοντέλο του μονοβάθμιου συστήματος με δείκτη ακαμψίας Δ02-24 u(t) m c k 12EI h = 2 3 k 12EI h = 2 3 Η αδρανειακή δύναμη δίνεται από τη σχέση fi = mu&& H δύναμη απόσβεσης δίνεται από τη σχέση fd = cu&

25 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-25 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος Με δεδομένο το δυναμικό προσομοίωμα της κατασκευής, η εξίσωση κίνησης του συστήματος, θεωρώντας γραμμική ελαστική συμπεριφορά, μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Mε εφαρμογήτουδεύτερου νόμου του Νεύτωνα u(t) k c m p(t) f s f d m p(t) όπου Σ F = p() t fs fd είναι η συνισταμένη δύναμη. Θετική φορά της εξωτερικής δύναμης p(t), της μετακίνησης ut (), της ταχύτητας ut &() και της επιτάχυνσης ut &&(), θεωρείται η θετική φορά του άξονα x. Οι ελαστικές δυνάμεις και οι δυνάμεις απόσβεσης ασκούνται με φορά αντίθετη της κίνησης επειδή ως εσωτερικές δυνάμεις αντιστέκονται στη μετακίνηση και ταχύτητα, αντίστοιχα. Σ F = mu&& (1)

26 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-26 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (...) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις των δυνάμεων αδράνειας, ελατηρίου και απόσβεσης, η εξίσωση (1) γράφεται: mu&& + cu& + ku = p() t Η πιο πάνω σχέση είναι η εξίσωση κίνησης μονοβάθμιου συστήματος και εκφράζει τη δυναμική ισορροπία του συστήματος. Η εξίσωση κίνησης είναι διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης ως προς την άγνωστη μεταβλητή u(t). Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης δίνει τη μετατόπιση του συστήματος συναρτήσει του χρόνου. Για πολυβάθμια συστήματα διατυπώνονται εξισώσεις κίνησης ισάριθμες με τους βαθμούς ελευθερίας κίνησης.

27 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ02-27 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (...) Με εφαρμογή της Αρχής D Alembert Αν θεωρήσουμε ότι ο όρος mu&& παριστάνει μία άλλη δύναμη φανταστική, πουθαονομάζουμεαδρανειακήδύναμηf I, τότε θεωρώντας τη «στατική» ισορροπία του συστήματος έχουμε: k c m u(t) p(t) f s f d f Ι p(t) Σ F = 0 p() t f f f = 0 s d I Αντικαθιστώντας τις σχέσεις των δυνάμεων αδράνειας, ελατηρίου και απόσβεσης καταλήγουμε στην ίδια εξίσωση κίνησης: mu&& + cu& + ku = p() t