Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
|
|
- Νατάσσα Λειβαδάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 3/4/13
2 ιαδικασία Arnoldi Υπενθύµιση Εξειδίκευση της διαδικασίας Gram-Schmidt για την κατασκευή ΟΚ ϐάσης για ένα χώρο Krylov. Παράγει ορθογώνιες ϐάσεις για τις οποίες, τα µητρώα V AV ή W AV που εµφανίζονται στις µεθόδους προβολής ϑα είναι Hessenberg ή και τριδιαγώνια.
3 Κατασκευή ΟΚ ϐάσεων για χώρους Krylov CGS-Arnoldi (κλασική Gram-Schmidt+Arnoldi) v 1 := v/ v 2 for j = 1,...,m do h ij = (Av j,v i ), i = 1,...,j w j := Av j j i=1 h ijv i h j+1,j = w j 2 if h j+1,j = 0 then Stop end if v j+1 = w j /h j+1,j end for Ο αλγόριθµος σταµατά µετά από m ϐήµατα ή όταν w j = 0. Στο τέλος της διαδικασίας, τα µητρώα V AV και W AV έχουν µορφή άνω Hessenberg. Υπολογιστικό κόστος ανά επανάληψη: 1 MV, 1 DOT και πράξεις SAXPY. Συνολικό κόστος Ω m j=1 [1 MV + (j + 1) DOT + j SAXPY] mmv + 2m 2 n
4 Παρατηρήσεις Εστω ότι ο αλγόριθµος Arnoldi εφαρµοστεί για m ϐήµατα χωρίς αστοχία. Τότε {v 1,...,v m } είναι ΟΚ ϐάση του K m (A,v).
5 Παρατηρήσεις Εστω ότι ο αλγόριθµος Arnoldi εφαρµοστεί για m ϐήµατα χωρίς αστοχία. Τότε {v 1,...,v m } είναι ΟΚ ϐάση του K m (A,v). Αναδροµική σχέση Arnoldi Εστω V m µητρώο µε στήλες v 1,...,v m και Hm το (m + 1) m άνω Hessenberg µητρώο µε µη µηδενικά στοιχεία h ij όπως αυτά ορίσθηκαν στον αλγόριθµο Arnoldi. Εστω H m το µητρώο που αποτελείται από τις πρώτες m γραµµές του Hm+1,m. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: AV m = V m H m + w m e m = V m+1 Hm V m AV m = H m.
6 Οπτικοποίηση = H m,m A V m V m v m h m+1,m H m+1,m AV m = V m+1 H m+1,m h m+1,m = H m,m + v m+1 A V m V m AV m = V m H m,m + h m+1,m v m e m T
7 Παρατηρήσεις Προσοχή data miners! Το µητρώο Hessenberg H m = V m AV m µπορεί να ερµηνευθεί ως η αναπαράσταση, ως προς τη ϐάση [v 1,...,v m ], της ορθογώνιας προβολής (των στηλών) του A επί του K m (A,v 1 ). Επίσης το V m V m AV mv m = V m H m V m ορίζεται ως το τµήµα του A στο K m(a,v 1 ). Η Arnoldi επιτελεί ϐαθµιαία (προσεγγιστική) διαστατική µείωση του A.
8 1 Η ϐάση V m είναι οι m πρώτες στήλες του Q της QR ϐασισµένης στην µέθοδο που χρησιµοποιείται (π.χ. GS, MGS) για το «µητρώο Krylov» K m = [v,av,...,a m 1 v] για m = 1,...,n. 2 Ισχύει η σχέση AV m = V m H m + w m e m = V m+1 Hm V m AV m = H m 3 Σε αριθµητική άπειρης ακρίβειας, η διαδικασία Arnoldi σταµατά πρόωρα στον ϐήµα j ανν το ελάχιστο πολυώνυµο του v ως προς A είναι ϐαθµού j. Στην περίπτωση αυτή ο K j είναι αναλλοίωτος ως προς A. 4 Πρόωρος τερµατισµός (δηλ. h j+1,j = 0 πριν το ϐήµα m) της διαδικασίας συνεπάγεται ότι η λύση έχει ϐρεθεί ακριβώς (τυχερή αστοχία lucky breakdown!) Επιπλέον, τότε, ο υπόχωρος K j (A,v 1 ) είναι αναλλοίωτος ως προς το A.
9 Ευστάθεια και υλοποίηση Τροποποιηµένος Gram-Schmidt Arnoldi (MGS) v 1 := v/ v 2 for j = 1,...,m do w j := Av j for i = 1,...,j do h ij = (w j,v i ) w j := w j h ij v i end for h j+1,j = w j 2 if h j+1,j = 0 then Stop end if v j+1 = w j /h j+1,j end for Προσοχή: Η MGS-Arnoldi είναι προτιµότερη της CGS-Arnoldi καθώς ο δείκτης κ(a) µεγαλώνει - αλλά όχι πολύ. Για πολύ µεγάλους δ.κ. προσφεύγουµε σε πιο επιθετικές τεχνικές. Householder-Arnoldi CGS ή MGS µε επανάληψη (reorthogonalization).
10 Householder-Arnoldi Αν εφαρµόζαµε Householder επί του K m : P m...p 2 P 1 K m = R = [h 0,h 2,,h m ] Q m = P 1...P m Λόγω της δοµής των διαδοχικών ανακλαστών Householder, ισχύει v j = Q m e j = P 1...P j P j+1...p m e j = P 1...P j e j ιαδικασία: παράγονται διαδοχικά τα Ϲητούµενα v j,h j - δεν υπολογίζονται άµεσα οι στήλες του K m
11 Householder-Arnoldi z 1 = v for j = 1,...,m + 1 do υπολογισµός διανύσµατος Householder w j τέτοιο ώστε (w j ) 1:j 1 = 0, (P j z j ) j+1:n = 0, όπου P j = I 2 w jw j h j 1 = P j z j v j = P 1 P 2 P j e j if j m then υπολόγισε P j P 1 Av j end if end for w j w j
12 Σύγκριση µεθόδων ΟΚ Ταχύτητα και κόστος αποθήκευσης CGS MGS MGSR Householder Ω 2m 2 n 2m 2 n 4m 2 n 4m 2 n 4 3 m3 χώρος (m + 1)n (m + 1)n (m + 1)n (m + 1)n 1 2 m2 Ακρίβεια µέσω CGS Αποδεικνύεται ότι I ˆV m ˆVm κ 2 ([r (0),AV m ])u µέσω MGS Αποδεικνύεται ότι I V m V )m κ([r (0),AV m ])u µέσω Householder Αποδεικνύεται ότι I V m V )m u Παρατηρήσεις Η CGS παραλληλοποιείται πιο εύκολα. Το κόστος της MGSR είναι το µέγιστο, δηλ. όταν χρειάζεται ΟΚ σε κάθε ϐήµα.... µειωµένο κόστος αν εφαρµόσουµε επιλεκτική ΟΚ. Η µείωση στο κόστος αποθήκευσης της Householder οφείλεται στην ϐαθµιαία µείωση του µεγέθους των διανυσµάτων Householder.
13 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov Arnoldi στην επίλυση συστηµάτων Κίνητρο Συµβολισµός Θα γράφουµε P m για τα µονικά πολυώνυµα ϐαθµού m, δηλ. πολυώνυµα µε συντελεστή του m-ϐάθµιου όρου ίσο µε 1. Παρατήρηση: Αν g(x) = det(a xi) το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A, τότε g P n g(a) = 0... άρα v R n, g(a)v = 0 ένα πολυώνυµο p P n το οποίο είναι 0 όπου και οι ιδιοτιµές του A ϑα είναι p g. Πρόβληµα προσέγγισης Arnoldi/Lanczos Τίθεται το πρόβληµα να ϐρεθεί το πολυώνυµο p P m (µονικό πολυώνυµο ϐαθµού m) τέτοιο ώστε arg min p P m p(a)v Αν η διαδικασία Arnoldi, εκκινώντας από το v, ολοκληρώσει m ϐήµατα, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του προκύπτοντος H m λύνει το παραπάνω πρόβληµα προσέγγισης.
14 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov Full Orthogonalization Method (FOM) Μέθοδος Πλήρους Ορθογωνιοποίησης Θέτουµε L m = K m (A,r (0) ) και αναζητούµε x (m) x (0) + K m ώστε r (m) K m. Από την Arnoldi για v 1 = r (0) /β όπου β := r (0) και την ορθοκανονικότητα ισχύουν Εποµένως V m r(0) = V m (βv 1 ) = βe 1, V m AV m = H m x (m) = x (0) + V m y m, όπου y m = H 1 m (βe 1 ). Προσοχή: Πρόκειται για µέθοδο Krylov ορθογώνιας προβολής. Το H m = V m AV m πρέπει να είναι αντιστρέψιµο. Αρα για να είµαστε σίγουροι, η παραπάνω µέθοδος εφαρµόζεται µόνον αν το A είναι ΣΘΟ.
15 FOM Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov r (0) = b Ax (0), β := r (0) 2, v 1 := r (0) /β. Θέτουµε 0 = H m R m m. for j = 1,...,m Υπολογισµός του w j := Av j for i = 1,...,j h ij = (w j,v i ) w j = w j h ij v i end h j+1,j = w j 2. if h j+1,j = 0 then m := j; break; end. v j+1 = w j /h j+1,j end y m := H 1 m (βe 1 ) kai x (m) = x (0) + V m y m.
16 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov Παρατηρήσεις Οικονοµικός υπολογισµός καταλοίπου: Αν r (m) είναι το υπόλοιπο που αντιστοιχεί στην προσέγγιση x (m) που υπολογίζεται από τον αλγόριθµο FOM τότε r (m) = h m+1,m e m y mv m+1 εποµένως r (m) 2 = h m+1,m e m y m. Πόσο µεγάλο m; Οσο µεγαλύτερο το m τόσο καλύτερη η προσέγγιση... αυξάνει κόστος σε πράξεις... και χώρος αποθήκευσης (λόγω του V m )
17 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov «Επανεκκίνηση» και «ατελής/ελλιπής ορθογωνιοποίηση» ύο τρόποι που έχουν προταθεί για να αντιµετωπισθέι το πρόβληµα αυτό είναι οι εξής: Επανεκκίνηση (restart) Αν σε m ϐήµατα δεν έχουµε ικανοποιητική προσέγγιση, ϑέτουµε x (0) := x (m) και ξαναρχίζουµε την διαδικασία.... σηµειώστε ότι χάνεται η µονοτονικότητα του σφάλµατος (ως προς τη νόρµα A). Ατελής ορθογωνιοποίηση διαλέγουµε κάποιο k και ορθοκανονικοποιούµε µόνο ως πρός k προηγούµενα διανύσµατα v j,...,v j k+1.
18 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov [FOM µε επανεκκίνηση] while µη ικανοποιητική λύση r (0) = b Ax (0), β := r (0) 2, v 1 := r (0) /β. Χρησιµοποιώντας τον Arnoldi επί του v 1 παράγουµε τα H m και V m. y m = Hm 1 βe 1 και x (m) = x (0) + V m y m if ικανοποιητική λύση Stop x (0) := x (m) end
19 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov Ατελής ορθογωνιοποίηση Arnoldi Εκδοχή της Arnoldi στην οποία η ΟΚ του v m+1 γίνεται µόνον ως προς τα k τελευταία v m,v m 1,...,v m k+1. v 1 := v/ v 2 for j = 1,...,m Υπολογισµός του w j := Av j for i = max{1,j k + 1},...,j h ij = (w j,v i ), w j := w j h ij v i end h j+1,j = w j 2 v j+1 = w j /h j+1,j end
20 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov Αλγόριθµος επίλυσης IOM(k) IOM(k) Τρέχουµε τον αλγόριθµο ορθογωνιοποίησης IOM(k) σε συνδυασµό µε τα σχετικά ϐήµατα της FOM: r (0) = b Ax (0), β := r (0) 2, v 1 := r (0) /β. Θέτουµε H m = 0 R m m. for j = 1,...,m Υπολογισµός του w j := Av j for i = max{1,j k + 1},...,j h ij = (w j,v i ), w j := w j h ij v i end h j+1,j = w j 2 v j+1 = w j /h j+1,j end y m := H 1 m (βe 1 ) και x (m) = x (0) + V m y m.
21 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov Παρατηρήσεις Κάθε νέο στοιχείο της ϐάσης v j+1 παράγεται αφού αφαιρέσουµε από το Av j την ΟΠ του στα {v j,...,v j k+1 }. h j+1,j v j+1 = Av j h j,j v j h j,j 1 v j 1 h j,j k+1 v j k+1 όπου αν j k + 1 < 0 τότε αντί για j k + 1 ϑέτουµε 1. Από την παραπάνω διαδικασία, το µητρώο H m Hessenberg που προκύπτει είναι και µητρώο Ϲώνης εύρους k + 1. Αρα H m = L m U m όπου L m κάτω διδιαγώνιο και U m άνω τριγωνικό µε εύρος Ϲώνης k.
22 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov L m = 1 λ 21 1 λ λ m,m 1 1 U m = η 11 η 12 η 1k 0 η 22 η η m,m
23 Επίλυση Ax = b µε µεθόδους Krylov Η διαδικασία Arnoldi προσεγγίζει και ιδιοτιµές! H m = V m AV m R m m υπολογίζονται οι τιµές (λ, y) (τιµές Ritz) για τις οποίες: r (m) = (A λi)(v m y) K m (A,r (0) ) V m (A λi)(v m y) = 0 V m AV m y = λy }{{} H m δηλαδή (λ,y) ιδιοζεύγος του H m
24 Μέθοδος GMRES Generalized Minimum Residual Method (Saad, Schultz, SISC 86) Μοιάζει µε την FOM, λύνει όµως περισσότερα προβλήµατα γιατί ανήκει στις µεθόδους πλάγιας προβολής µε L m = AK m, που απαιτούν µόνον αντιστρεψιµότητα (υπάρχουν και εξειδικέυσεις της GMRES για µη αντιστρέψιµα προβλήµατα). Κατασκευάζει προσέγγιση Εποµένως x (m) x (0) + K m, r (m) AK m. x (m) = x (0) + V m y r (m) = r (0) AV m y = βv 1 AV m y = βv m+1 e 1 AV m y = βv m+1 e 1 V m+1 Hm y = V m+1 (βe 1 Hm y).
25 Μέθοδος GMRES Εποµένως r (m) 2 = V m+1 (βe 1 Hm y) 2 = βe 1 Hm y 2 αφού οι στήλες του V m+1 ειναι ΟΚ. Εποµένως µπορούµε να διαλέξουµε y R m ώστε y m := arg min y R m βe 1 Hm y 2 που επίσης ελαχιστοποιεί το r (m) 2. Τότε το x (m) = x (0) + V m y είναι η προσέγγιση GMRES του x. Υπολογισµός καταλοίπου: Το κατάλοιπο είναι r (m) = r (0) AV m y εποµένως ο υπολογισµός του ϕαίνεται να είναι ακριβός, όµως µας ενδιαφέρει µόνον η νόρµα του υπολοίπου: r (m) 2 = βe 1 Hm y m 2 που υπολογίζεται χωρίς χρήση του V m.
26 Μέθοδος GMRES Αλγόριθµος GMRES r (0) = b Ax (0), β := r (0) 2, v 1 := r (0) /β. Θέτουµε Hm = 0 R m+1 m. for j = 1,...,m w j := Av j for i = 1,...,j h ij = (w j,v i ) w j = w j h ij v i end h j+1,j = w j 2. if h j+1,j = 0 then m := j; break; end. v j+1 = w j /h j+1,j end y m := arg min y R m βe 1 Hm y 2 x (m) = x (0) + V m y m.
27 Μέθοδος GMRES που µπορεί να γραφτεί και ως Αλγόριθµος GMRES r (0) = b Ax (0), β := r (0) 2, v 1 := r (0) /β. /* Φάση Arnoldi: Arnoldi επί του v 1 παράγει H m και V m. */ [V, Hm ] = arnoldi(m,a,v 1 ) /* Υπολογισµός διανύσµατος προσέγγισης */ y m := arg min y R m βe 1 Hm y 2 x (m) = x (0) + V m y m.
28 Μέθοδος GMRES Υλοποίηση Ο αλγόριθµος απαιτεί να λύσουµε το πρόβληµα ελαχίστων τετραγώνων y m := argmin y R m βe 1 Hm y 2. Το Hm είναι άνω Hessenberg εποµένως µπορούµε να λύσουµε το πρόβληµα 1 Εφαρµόζοντας περιστροφές Givens και µετατρέποντας το µητρώο σε άνω τριγωνικό: R m = G m G 2 G 1 Hm, όπου Rm άνω τριγωνικό και µηδε ν στην τελευταία γραµµή. Επίσης Q m = G m G 2 G 1 είναι τέτοια ώστε Q H m Q m = I και έχουµε y m := arg min y R m Q mβe 1 Rm y 2 όπου Q m e 1 = [γ 1,,γ m+1 ] T και η νόρµα του r (m) είναι το γ m+1. 2 Επιλύοντας το άνω τριγωνικό σύστηµα Q m βe 1 = R m y όπου το R m παράγεται από το Rm αν αγνοήσουµε την τελευταία γραµµή.
29 Μέθοδος GMRES Κόστος της GMRES: Arnoldi mmv + 2m 2 n Ελάχιστα τετραγώνα µε διαδοχική προσέγγιση: O(m 2 ) Προσέγγιση του x (m) 2mn
30 Μέθοδος GMRES Συµπεριφορά και «σύγκλιση» της GMRES Η GMRES συνεχίζει από οποιαδήποτε αρχική πρόβλεψη χωρίς ϐλάβη (breakdown) σε κάθε ϐήµα το κατάλοιπο µειώνεται ή παραµένει το ίδιο (ιδιότητα προσέγγισης πλάγιας προβολής) σε αριθµητική άπειρης ακρίβειας, η ακριβής λύση υπολογίζεται µετά από m = n ϐήµατα,... εκτός αν σταµατήσει νωρίτερα λόγω τυχερής ϐλάβης (lucky breakdown): οπότε ϑα έχει υπολογιστεί και η ακριβής λύση Ισοδύναµες περιπτώσεις τυχερής ϐλάβης στο ϐήµα j: Μηδενική νόρµα του νέου διανύσµατος ϐάσης που υπολογίζει η Arnoldi: w j+1 = 0. h j+1,j = 0. Ο ϐαθµός του «ελάχιστου πολυώνυµου» για το r (0) είναι j.
31 Μέθοδος GMRES ιαισθητικά: Η προσέγγιση ϑα είναι καλή όταν η ακριβής λύση µπορεί να προσεγγιστεί καλά από το χώρο x (0) + K m (A,r 0 ). Σε κάθε ϐήµα, η διάσταση του χώρου αυξάνει οπότε µέχρι το ϐήµα n ϑα έχει υπολογιστεί η ακριβής λύση. Από τις ιδιότητες της πλάγιας προβολής προκύπτει ότι ϑα υπάρχει κάποιο j n τέτοιο ώστε r (0) r (1) r (2) r (j 1) > r (j) = 0 η νόρµα του υπολοίπου δεν αυξάνει, αλλά (σε σπάνιες περιπτώσεις) µπορεί να µη µειώνεται,... µέχρι το τελευταίο ϐήµα πριν ϐρεθεί η ακριβής λύση.
32 Μέθοδος GMRES Ακραία συµπεριφορά της gmres για ορισµένα µητρώα A = Ακριβής λύση του Ax = e 1 είναι x = e 2. Αν η gmres ξεκινήσει µε r (0) = b + e 4e 1 K 4 (A,r (0) ) = [e 1,Ae 1,A 2 e 1,A 3 e 1 ] = [e 1,e 4,e 3,e 2 ] αδυνατεί να υπολογίσει καλή προσέγγιση µέχρι το τελευταίο ϐήµα!
33 Ποιά είναι η καλύτερη προσέγγιση x (m) της λύσης x = e 2 από τα: e 1 για m = 1 x (1) = [e 1 ] 0 = 0 [e 1,e 4 ] για m = 2 x (2) = [e 1,e 2 ][0,0] = 0 [e 1,e 4,e 3 ] για m = 3 x (3) = [e 1,e 4,e 3 ][0,0,0] = 0 [e 1,e 4,e 3,e 2 ] για m = 4 x (4) = [e 1,e 4,e 3,e 2 ][0,0,0,1] = e 2 Αυτό είναι το χειρότερο που µπορεί να συµβεί στη gmres µε αριθµ. άπειρης ακρίβειας.
34 Μέθοδος GMRES Παράδειγµα A =... toeplitz(zeros(20,1),[0,1,zeros(1,18)])+flip(eye(20,1))*eye(1,20) b = eye(20,1) residual stays constant for steps m=0: GMRES behavior for Ax = e 1 where A=J 20 +e 20 e 1 T 0.2 residual drops to 0 at last step
35 Μέθοδος GMRES Σύγκλιση Σε κάθε ϐήµα της gmres: e (m) = p m (A)e (0), r (m) = p m (A)r (0) όπου p m είναι ένα ειδικό πολυώνυµο ϐαθµού n (το πολυώνυµο gmres) τέτοιο ώστε p m (0) = 1. Η σύγκλιση ϑα είναι γρήγορη ανν υπάρχουν πολυώνυµα p m για τα οποία τα p m (A)r (0) να µειώνονται γρήγορα. Ικανή συνθήκη για να συµβαίνει αυτό είναι να ελλατώνεται γρήγορα το p m (A).
36 Μέθοδος GMRES Θεώρηµα Αν εφαρµόσουµε gmres σε κανονικό µητρώο (δηλ. AA = A A) τότε r (m) r (0) inf p m P m p m (0) = 1 p m (z) Λ Εποµένως για κανονικά µητρώα, η σύγκλιση καθορίζεται από τη λύση του προβλήµατος «πολυωνυµικής προσέγγισης» που συνίσταται στην εύρεση πολυωνύµου ϐαθµού m που ελαχιστοποιεί το p m (z) στο ϕάσµα του A και για το οποίο p m (0) = 1.
37 Μέθοδος GMRES Για διαγωνιοποιήσιµα µητρώα αποδεικνύεται ότι: Θεώρηµα Αν εφαρµόσουµε gmres σε διαγωνιοποιήσιµο µητρώο A τότε r (m) r (0) κ(v) inf p m P m p m (0) = 1 p m (z) Λ όπου V 1 AV = Λ. Παρατήρηση Αν το κ(v) είναι πολύ µεγάλο το παραπάνω ϕράγµα δεν είναι πια ιδιαίτερα χρήσιµο
38 Μέθοδος GMRES Μπορούµε να αποδείξουµε πολύ περισσότερα για µητρώα µε συµµετρικό µέρος M = (A + A )/2 ϑετικά ορισµένο: Θεώρηµα Αν εφαρµόσουµε gmres σε µητρώο A για το οποίο M = (A + A )/2 είναι ΣΘΟ τότε r (m) r (0) (1 (λ ) min(m)) 2 m/2 λ max (A. A) Η σύγκλιση εξαρτάται σε µεγάλο ϐαθµό: α) από την κατανοµή και ϑέσεις των ιδιοτιµών αν το µητρώο είναι σχεδόν κανονικό και ϐ) από το «γεωµετρικό τόπο των ιδιοτιµών για διαταραγµένα µητρώα A + E» (ψευδοφάσµα).
39 Μέθοδος GMRES Περισσότερα σχετικά µε τη σύγκλιση Θεώρηµα Αν υπάρχουν k ιδιοτιµές του A µε µη ϑετικό πραγµατικό µέρος και οι υπόλοιπες ιδιοτιµές ϐρίσκονται εντός δίσκου µε κέντρο το C > 0 και ακτίνα R < C τότε όπου ε (m) := min p P m p m (0) = 1 ( R C )m k max max p(λ i) λ i Λ k j=k+1:n i=1 λ i λ j λ i D = max j=k+1:n λ i λ j d = min i=1:k λ i. ( D d )k ( R C )m k
40 Μέθοδος GMRES Παραδείγµατα (Trefethen, Bau) A=2*eye(n)+0.5*randn(n)/sqrt(n); για n = 200. Im Re relative residual Eigenvalues GMRES inner step
41 Μέθοδος GMRES Παραδείγµατα (Trefethen, Bau) Â = A + D όπου D = diag[( 2 + sinθ k ) + ιcosθ k ] όπου θ k = kπ n 1 για n = 200. Im Re relative residual eigenvalues GMRES inner step
42 Μέθοδος GMRES Παραδείγµατα A = diag[sinθ k + ιcosθ k ] όπου θ k = kπ για n = 10. n 1 1 Im Re relative residual Eigenvalues equispaced on unit disk GMRES inner step
43 Μέθοδος GMRES Παρατηρήσεις Τερµατισµός και έλεγχος σύγκλισης Ο αλγόριθµος δεν εξασφαλίζει τον αυτόµατο υπολογισµό του x (m) σε κάθε ϐήµα παρά µόνον στο τέλος των m ϐηµάτων. Πότε να σταµατήσουµε; GMRES(m) µε επανεκκίνηση while µη ικανοποιητική λύση /* κύκλος GMRES: m ϐήµατα Arnoldi */ r (0) = b Ax (0), β := r (0) 2, v 1 := r (0) /β. /* Χρησιµοποιώντας Arnoldi επί του v 1 παράγουµε τα H m και V m. */ [V, Hm ] = arnoldi(m,a,v 1 ) y m := arg min y R m βe 1 Hm y 2 /* Προσέγγιση λύσης */ x (m) = x (0) + V m y m if ικανοποιητική λύση break x (0) := x (m) end
44 Μέθοδος GMRES Παρατηρήσεις Σχετικά µε την επανεκκίνηση µειώνονται οι ανάγκες σε µνήµη και έργο ανά «κύκλο» (m ϐήµατα Arnoldi)... απώλεια του ϐέλτιστου για το κατάλοιπο... πιθανότητα στασιµότητας του υπολοίπου σε µια τιµή. οπότε να µην υπάρξει σύγκλιση ή να καθυστερήσει (λίγο ως πάρα πολύ ή για πάντα/ πόσο;) εποµένως, η εύρεση του «ϐέλτιστου» m αποτελεί ενδιαφέρον πρόβληµα. Εχουν παρατηρηθεί και «περίεργες» περιπτώσεις που µε µεγαλύτερο m µπορεί να έχουµε επιβράδυνση της σύγκλισης 1 1 M. Embree, The tortoise and the hare Restart GMRES, SIAM Rev. 2003
45 Μέθοδος GMRES Παράδειγµα Αν ( 0 1 A = 1 0 ), b = ones(2,1), x (0) = 0, τότε η gmres(2) υπολογίζει την ακριβή λύση σε 2 ϐήµατα,... ενώ η gmres(1) δεν συγκλίνει: r (0) = [1,1],Ar (0) = [1, 1] η λύση ελαχιστοποιεί το b Ax όπου x r (0), εποµένως [1,1] α[1, 1] α = 0 x (1) = x (0) = 0 και δεν υπάρχει πρόοδος.
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 27/3/13 Μέθοδος ελαχίστου υπολοίπου (Minimum residual) Θέµα:
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 24/4/13 Θέµατα αριθµητικής Οι παραπάνω µέθοδοι (FOM, GMRES)
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 5/5/13 Συµµετρικός αλγόριθµος Lanczos Αν ο A = A, τότε το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( Ιουλίου 009 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ I. (εκδχ. Α. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το AB. ϐ Αν A R n n, τότε A AA. γ Αν A R και συµµετρικό
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 5 : Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 6 : Παραγοντοποίηση QR και Ελάχιστα Τετράγωνα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΟρίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72
Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17
Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα) Επαναληπτικές µέθοδοι και Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Πανεπιστήµιο Αθηνών 31 Μαρτίου 2017 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 5 - Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος
Ενότητα 5 - Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Ασκηση 1 Εστω ένα µητρώο A το οποίο χρησιµοποιούµε και µητρώο συντελεστών κάποιου γραµµικού συστήµατος A x = b 1.Πώς ϑα λύνατε το γραµµικό
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IV. Γενικές επαναληπτικές µέθοδοι Όπως είδαµε η ανάλυση της µεθόδου Guss έδειξε ότι η υπολογιστική προσπάθεια της µεθόδου για τη λύση ενός
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραGMRES(m) , GMRES, , GMRES(m), Look-Back GMRES(m). Ax = b, A C n n, x, b C n (1) Krylov.
211 9 12, GMRES,.,., Look-Back.,, Ax = b, A C n n, x, b C n (1),., Krylov., GMRES [5],.,., Look-Back [3]., 2 Krylov,. 3, Look-Back, 4. 5. 1 Algorith 1 The GMRES ethod 1: Choose the initial guess x and
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ = U1SV 1 V 2 A = [U1 U2] S = diag(σ 1,...,σ r ) R r r. και σ 1 σ r > 0. Ειδικότερα,
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 22/5/2012 ιάσπαση SVD ιάσπαση SVD Θεώρηµα Εστω το µητρώο A R m n τάξης
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)
Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ
Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 1. Υπενθύμιση έννοιας νόρμας και βασικών ιδιοτήτων της 2. Σπουδαιότητα των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 6/3/13 Σταθµισµένη νόρµα (Νόρµα ενέργειας) Οταν ένα µητρώο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 7 : ιαχείρηση Μητρώων Ειδικής οµής Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 27/2/13 Επαναληπτικές µέθοδοι και «τεχνολογία αραιών µητρώων»
Διαβάστε περισσότεραSimplex µε πίνακες Simplex µε πίνακες
Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 [ A c x = b ] Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 A x = b [ ] c Επιλογή αντιστρέψιµου υποπίνακα m m (Βάση) Συµβολισµοί
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 5 : Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)
-- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 11 Μαΐου 2016
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιδάσκων: ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 11 Μαΐου 2016 ιδάσκων: ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 22/5/13 Ιδιοτιµές: Εισαγωγικά Ισως ο πιο σηµαντικός στόχος.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 3: Παραγοντοποίηση QR Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 5 : Ορίζουσες. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 5 : Ορίζουσες Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 7 : ιαχείρηση Μητρώων Ειδικής οµής Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (24 Φεβρ. 2008, 12-3µµ) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (24 Φεβρ. 2008, 12-3µµ) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. α) Σ - Λ : Οι εντολές BLAS-2 µπορούν να υλοποιηθούν να έχουν καλύτερη επίδοση από τις BLAS-3. Απάντηση. Λάθος : Οι εντολές
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 28 Μαΐου 2015 1 / 45 Εισαγωγή Ο δυναµικός
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις
Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις. Να επιλυθεί το σύστηµα µε απαλοιφή Gauss: 3x 2x 3 +x 4 = 2x + +x 3 +3x 4 = 6 x +3 +2x 3 +4x 4 = 2x 2 +3x 3 2x 4 = 7 [ΑΠΑΝΤΗΣΗ:x 4 = 0, =, x 3 = 3, x = 2] 2. Να επιλυθεί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 18 Απριλίου 2019
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιδάσκων: ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 18 Απριλίου 2019 2019 1 / 74 Η µέθοδος του Jacobi Η µέθοδος των δυνάµεων, σε συνδυασµό µε τις
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ
Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Αλγόριθµοι Ευθυγράµµισης Τρισδιάστατων Αντικειµένων Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 20 Οκτωβρίου 2005 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραx=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).
3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα
Διαβάστε περισσότεραΠαρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος
Ενότητα 1 - Εισαγωγή Ευστράτιος Γαλλόπουλος c Ε. Γαλλόπουλος 201-2015 Ασκηση 1 Τι ονοµάζουµε υπολογιστικούς πυρήνες ; πυρήνων. Να δώσετε 3 παραδείγµατα τέτοιων Απάντηση ιαδικασίες (που µπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότερα