ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ"

Transcript

1 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΚΤΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Για την βελτίωση των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου χρησιµοποιούµε τους λεγόµενους ελεγκτές ή αντισταθµητές. Οι ελεγκτές ή αντισταθµητές είναι διάφορες διατάξεις (µε προκαθορισµένη δοµή) που τοποθετούµε στον απευθείας κλάδο (ελεγκτές σειράς) ή στον κλάδο ανάδρασης (ελεγκτές ανάδρασης) του κλειστού συστήµατος. Ο πιο διαδεδοµένος τύπος ελεγκτού είναι ο ελεγκτής σειράς, αν και σε µερικά συστήµατα (έλεγχος κινητήρων κ.λ.π.) χρησιµοποιείται κατ' ανάγκη ο ελεγκτής ανάδρασης και ειδικά ο ελεγκτής ταχύτητας. Ο σχεδιασµός του ελεγκτή έχει σκοπό να τροποποιήσει την συνάρτηση ανοικτού βρόχου G(F( ώστε το κλειστό σύστηµα να έχει επιθυµητά χαρακτηριστικά. Αφού κατ' αυτόν τον τρόπο τροποποιείται η G(F( ουσιαστικά τροποποιείται η ποσότητα +G(F( που καθορίζει τους πόλους του κλειστού συστήµατος. Με λίγα λόγια ο σχεδιασµός του ελεγκτή έχει σκοπό να µετακινήσει τους πόλους του κλειστού συστήµατος σε επιθυµητές θέσεις. Για τον σχεδιασµό ελεγκτών σειράς χρησιµοποιούµε τυποποιηµένες διατάξεις που ανάλογα µε την µορφή τους είναι ο ελεγκτής τριών όρων, ο αντισταθµητής προήγησης φάσης, ο αντισταθµητής προήγησης φάσης και ο αντισταθµητής προήγησης-καθυστέρησης φάσης Ελεγκτής τριών όρων Ο ελεγκτής τριών όρων είναι ουσιαστικά ένας αντισταθµητής σειράς αφού επεµβαίνει στον απ ευθείας κλάδο του κλειστού συστήµατος και ρυθµίζει το σήµα u( που οδηγεί τον ενεργοποιητή σε ένα σύστηµα λαµβάνοντας υπ όψη την απόκλιση(σφάλµα) e( της εισόδου από την έξοδο. Υπάρχουν πολλές µορφές υλοποίησης ενός τέτοιου ελεγκτή, οι πιο διαδεδοµένες είναι οι παρακάτω. Γενικά κάθε κλειστό σύστηµα µε ελεγκτή σειράς έχει την παρακάτω δοµή. + e( u( + G ( - F( G ( y( Η συνάρτηση µεταφοράς της υπό έλεγχο διαδικασίας είναι G (, η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή τριών όρων είναι η G (. Είναι γνωστό ότι ισχύει GG y( H y ( + G G F e( + G G H F e (, G u( + G G H F u ( Για τη συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή τριών όρων έχουµε ότι G() s + + ds + + rs d s rs όπου οι διάφορες σταθερές ορίζονται σαν Σταθερά δράσης ανάλογου ελέγχου, έχει σχέση µε την απολαβή του ανοικτού βρόχου. Σταθερά δράσης ελέγχου ολοκληρώµατος, έχει σχέση µε την κλίση που δηµιουργεί η ολοκλήρωση. d Σταθερά δράσης ελέγχου παραγώγου r Χρόνος επαναφοράς (reset tme) σε mns ή ses r d Χρόνος ρυθµού (rate tme) σε mns ή ses Οι πιο διαδεδοµένες µορφές ενός ελεγκτού τριών όρων είναι G ( οπότε έχουµε τον ανάλογο έλεγχο ή απλά Ι (Proortonal) Ελεγκτή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

2 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς + G ( + οπότε έχουµε τον ανάλογο έλεγχο και έλεγχο ολοκληρώµατος ή απλά P.Ι Ελεγκτή s r s G ( + s [ r s] οπότε έχουµε τον ανάλογο έλεγχο και έλεγχο παραγώγου ή απλά P.D Ελεγκτή d + d G() s + + ds + + rs d οπότε έχουµε τον ανάλογο έλεγχο + έλεγχο ολοκληρώµατος +έλεγχο s rs παραγώγου ή απλά P.Ι.D Ελεγκτή ή ελεγκτή τριών όρων. Ο λόγος που χρησιµοποιούµε την παραπάνω δοµή είναι λόγω των ιδιοτήτων που προσφέρει ο κάθε όρος. Ανάλογος έλεγχος Ρυθµίζει το µόνιµο σφάλµα και τείνει να το µηδενίσει αλλά ποτέ δεν το µηδενίζει παραµένει ένα µόνιµο σφάλµα ανάλογα µε τον τύπο του συστήµατος. Πιθανόν να µην µπορούµε να επιτύχουµε συγκεκριµένα όρια για το σφάλµα αφού δεν µπορούµε να αυξήσουµε το πάνω από κάποιο όριο και συγκεκριµένα την κρίσιµη απολαβή. Αν το αυξάνει έχουµε αύξηση των ταλαντώσεων και το σύστηµα σβήνει πιο αργά αφού χειροτερεύει η µεταβατική συµπεριφορά. Αν το αυξάνει έχουµε αύξηση στη φυσική συχνότητα ω n του συστήµατος και µείωση του συντελεστή απόσβεσης ζ. Συνήθως χρησιµοποιείται και ο όρος ανάλογη ζώνη ΡΒ%/ Ελεγχος ολοκληρώµατος /s Αυξάνει τον τύπο του συστήµατος µε συνέπεια να µηδενίσει το µόνιµο σφάλµα, όµως καθώς αυξάνεται το µετακινούνται οι επικρατούντες πόλοι επί του Γεωµετρικού τόπου και συνήθως πλησιάζουν τον φανταστικό άξονα µε συνέπεια να αυξάνει η φυσική συχνότητα µε απόσβεση του συστήµατος και να δηµιουργούνται ταλαντώσεις. Αυτό έχει σαν συνέπεια να µεταβάλλεται προς το χειρότερο η µεταβατική συµπεριφορά. r είναι ο χρόνος που απαιτείται ο όρος ολοκλήρωσης να γίνει ίσος µε τον ανάλογο έλεγχο για σταθερό σφάλµα. Η δράση ολοκληρώµατος καθυστερεί τον ανάλογο καθυστερεί τον ανάλογο έλεγχο κατά την ποσότητα r Η χρήση του ελέγχου αυξάνει το αποδεκτό To /r εκφράζει επαναλήψεις σε mns ή ses Αν το r ελαττωθεί πάρα πολύ τότε η ηµιτονοειδής έξοδος τείνει να κάνει ταλαντώσεις µε συχνότητα µικρότερη της κρίσιµης συχνότητας. Ο όρος του ολοκληρώµατος λόγω της εξασθένησης που εισάγει έχει σαν αποτέλεσµα να µειώνεται η φυσική συχνότητα µε απόσβεση του συστήµατος, οπότε το σύστηµα παρουσιάζει µεγάλη υπερύψωση µε αποτέλεσµα να αυξάνει ο αριθµός των ταλαντώσεων και να χειροτερεύει η µεταβατική συµπεριφορά. Ελεγχος παραγώγου d s βελτιώνει τη µεταβατική συµπεριφορά, αφού αποµακρύνει τους επικρατούντες πόλους από τον φανταστικό άξονα και χειροτερεύει την µόνιµη συµπεριφορά s Η δράση της παραγώγου ενισχύει το θόρυβο και γιαυτό βάζουµε φίλτρο και ο όρος της παραγώγου γίνεται d µε + as α.. Ο έλεγχος παραγώγου βοηθάει στις αργές διαδικασίες αφού δρα προβλεπτικά στο σφάλµα και δίνει σήµα στον ενεργοποιητή για βελτίωση της µεταβατικής συµπεριφοράς. Το r d είναι ο απαιτούµενος χρόνος που χρειάζεται ώστε η συνεισφορά του όρου της παραγώγου να γίνει ίση µε τη συνεισφορά του αναλόγου ελέγχου όταν έχουµε είσοδο ράµπας. Η δράση της παραγώγου προκαλεί προήγηση του αναλόγου ελέγχου κατά την ποσότητα r d. Αν δεν υπάρχει θόρυβος η δράση της παραγώγου µειώνει το. Η δράση του ελέγχου παραγώγισης µειώνει την µεγάλη υπερύψωση και το σύστηµα ανταποκρίνεται πιό γρήγορα. ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ P.I.D ΕΛΕΓΚΤΩΝ Οι µέθοδοι υπολογισµού των παραµέτρων ενός ελεγκτού τριών όρων είναι οι εµπειρικές µέθοδοι και οι υπολογιστικές µέθοδοι. Στις εµπειρικές µεθόδους υπολογίζουµε τις παραµέτρους έχοντας την βηµατική απόκριση τους συστήµατος ενώ τις περισσότερες φορές είναι άγνωστοι οι επιµέρους συναρτήσεις µεταφοράς του κλειστού συστήµατος. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

3 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς 3 Ο σχεδιασµός του ελεγκτή γίνεται µε την επιθυµία να έχουµε ικανοποιητική υπερύψωση, σχετικά ταχεία απόκριση και µικρό µόνιµο σφάλµα.. ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΚΑΤΑ ZIGLER-NICHOLS Αν η βηµατική απόκριση παρουσιάζει κάποια χρονική καθυστέρηση και δεν παρουσιάζονται αποσβενύµενες ταλαντώσεις στην έξοδο τότε έχουµε Για ανάλογο έλεγχο βάζουµε /ab Για ανάλογο-ολοκληρώµατος έλεγχο βάζουµε,9/ab, r 3,3a Για ανάλογο-ολοκληρώµατος-παραγώγου έλεγχο βάζουµε,/ab, r a, r d.5a Με a την εκτιµούµενη καθαρή χρονική καθυστέρηση και b τη µέγιστη κλίση της εφαπτοµένης που µπορεί να χαραχθεί στη µοναδιαία απόκριση, όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Συνήθως η µεθοδολογία αυτή χρησιµοποιείται για την περίπτωση που δεν έχουµε υπερύψωση πάνω από %. Αν η βηµατική απόκριση δεν παρουσιάζει κάποια χρονική καθυστέρηση και παρουσιάζονται αποσβενύµενες ταλαντώσεις στην έξοδο τότε έχουµε Για ανάλογο έλεγχο βάζουµε,5. Για ανάλογο-ολοκληρώµατος έλεγχο βάζουµε,45, r,83. Για ανάλογο-ολοκληρώµατος-παραγώγου έλεγχο βάζουµε,6, r,5t, r d,5t. α b Με την κρίσιµη απολαβή και T τη κρίσιµη περίοδο που µπορούµε να τα υπολογίσουµε από το γεωµετρικό τόπο ριζών για την εν λόγω διαδικασία, ή από τη βηµατική απόκριση αυξάνοντας την ενίσχυση αν είναι δυνατόν χωρίς να καταστρέψουµε το σύστηµα λόγω της υπερβολικής ενίσχυσης ( ). Για τον εµπειρικό προσδιορισµό των παραµέτρων ενός ελεγκτή τριών όρων υπάρχει πληθώρα εργασιών ανάλογα µε το είδος της διαδικασίας που έχουµε. Με τον εµπειρικό προσδιορισµό επιτυγχάνουµε προσδιορισµό των παραµέτρων για γενικές απαιτήσεις (µικρή υπερύψωση, µικρό χρόνο ανόδου, µικρό χρόνο αποκατάστασης, κ.τ.λ) και όχι συγκεκριµένες (η υπερύψωση να είναι δεδοµένη, ο χρόνος ανόδου να είναι δεδοµένος, ο χρόνος αποκατάστασης να είναι δεδοµένος, κ.τ.λ). ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ Γ.ΤΟΠΟΥ Σκοπός της παραγράφου αυτής είναι να µελετήσει ο σπουδαστής τον προσδιορισµό των παραµέτρων εν πρώτοις ενός P, P.D ελεγκτή και κατά δεύτερο ενός αντισταθµητή προήγησης φάσης, µε τη βοήθεια του Γεωµετρικού τόπου ριζών, ώστε το κλειστό σύστηµα να ικανοποιεί επιθυµητές προδιαγραφές. Θα ασχοληθούµε µε τη βελτίωση κλειστών συστηµάτων εισάγοντας ελεγκτή ή αντισταθµητή στον απ ευθείας κλάδο. Προφανώς εδώ η αντιστάθµιση περιορίζεται στο σχεδιασµό ενός φίλτρου, που σκοπό έχει να φιλτράρει το σφάλµα του συστήµατος και να µας δώσει σήµα κατάλληλο στον ενεργοποιητή της διαδικασίας. Το φιλτράρισµα αυτό έχει σκοπό να αποκόψει τα ανεπιθύµητα και ανεπηρέαστα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Θα θεωρήσουµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς της διαδικασίας είναι γνωστή και θα προσπαθήσουµε να ελέγξουµε το όλο σύστηµα ώστε να επιτύχουµε συγκεκριµένες επιθυµητές προδιαγραφές. Θα χρησιµοποιήσουµε τους γνωστούς από την προηγούµενη παράγραφο P.I.D ελεγκτές και τους αντισταθµητές προήγησης ή καθυστέρησς φάσης ( για την διευκόλυνση του αναγνώστη θα γίνεται διαχωρισµός µεταξύ ελεγκτού και αντισταθµητή). Αφού θα εργαστούµε στο πεδίο του χρόνου είναι λογικό να χρησιµοποιήσουµε µεθοδολογίες που σχετίζονται ως επί το πλείστον µε τη βηµατική απόκριση που προκύπτουν από τη µελέτη του Γεωµετρικού Τόπου Ριζών. Ως γνωστό ο Γεωµετρικός Τόπος Ριζών είναι το γράφηµα των πόλων του κλειστού συστήµατος καθώς µεταβάλλεται η απολαβή Κ του ανοικτού βρόχου. Ο προσδιορισµός των αντισταθµητών µε βάση τον Γεωµετρικό Τόπο Ριζών είναι µία γραφική µέθοδος και σκοπό έχει να προσδιορίσει το µηδενικό και τον πόλο του αντισταθµητή ώστε το κλειστό σύστηµα να έχει επιθυµητές προδιαγραφές. Όπως είναι γνωστό από τη µελέτη του Γεωµετρικού Τόπου ενός συστήµατος γνωρίζουµε ότι η οποιαδήποτε επιθυµητή προδιαγραφή (π.χ συγκεκριµένος επιθυµητός πόλος) δεν δύναται να επιτευχθεί µε ρύθµιση µόνο της απολαβής. Πράγµατι αν αυξάνουµε την απολαβή του ανοικτού συστήµατος, οι πόλοι του κλειστού συστήµατος Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

4 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς 4 βρίσκονται σε προκαθορισµένες θέσεις και συγκεκριµένα διαγράφουν το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών. Προκύπτει λοιπόν η ανάγκη να διασκευάσουµε τον Τόπο ώστε να περνά από συγκεκριµένα σηµεία στο µιγαδικό επίπεδο που προσδίδουν επιθυµητά χαρακτηριστικά στο σύστηµα. Η διασκευή του Γ.Τόπου ώστε να διέρχεται από επιθυµητά σηµεία είναι το λογικό επακόλουθο της προσθήκης πόλων και µηδενικών υπό µορφή νέου συστήµατος (του ελεγκτή) σε σειρά µε το αρχικό σύστηµα ανοικτού βρόχου. Ο προσδιορισµός των πόλων και µηδενικών των αντισταθµητών είναι θέµα διερεύνησης στη παρούσα άσκηση. Πριν προχωρήσουµε στο σχεδιασµό των ελεγκτών ή αντισταθµητών κρίνεται σκόπιµο να υπενθυµίσουµε τα εξής. Επίδραση στο Γεωµετρικό Τόπο η προσθήκη πόλου. Η προσθήκη ενός πόλου στη συνάρτηση µεταφοράς του ανοικτού βρόχου ενός κλειστού συστήµατος έχει σαν αποτέλεσµα ο Γεωµετρικός Τόπος να µετατίθεται προς τα δεξιά, τείνει να µειώσει τη σχετική ευστάθεια του συστήµατος και κάνει το σύστηµα να αποκρίνεται µε αργότερο ρυθµό. Ας θυµηθούµε επίσης ότι η προσθήκη του I (µόνο όρο ολοκληρώµατος) ελεγκτή προσθέτει πόλο στην αρχή των αξόνων κάνοντας το σύστηµα λιγότερο ευσταθές. Αν πάρουµε το σύστηµα µε GF() s σαν αρχικό χωρίς µηδενικό στον αριθµητή και στην συνέχεια ss ( + )( s+ ) θεωρήσουµε το σύστηµα µας ότι έχει σαν πόλο διαδοχικά τα, - -3 προκύπτουν οι αντίστοιχοι Γ. Τόποι Επίδραση στο Γεωµετρικό Τόπο η προσθήκη µηδενικού. Η προσθήκη ενός µηδενικού στη συνάρτηση µεταφοράς του ανοικτού βρόχου ενός κλειστού συστήµατος έχει σαν αποτέλεσµα ο Γεωµετρικός Τόπος να µετατίθεται προς τα αριστερά, τείνει να αυξήσει τη σχετική ευστάθεια του συστήµατος και κάνει το σύστηµα να αποκρίνεται µε γρηγορότερο ρυθµό. Ας θυµηθούµε επίσης ότι η προσθήκη του D (µόνο όρο παραγώγου) ελεγκτή προσθέτει µηδενικό δηµιουργώντας κάποιο βαθµό πρόβλεψης σφάλµατος που τελικά κάνει το σύστηµα ταχύτερο. Αν πάρουµε το σύστηµα µε GF() s σαν αρχικό χωρίς µηδενικό στον αριθµητή και στην συνέχεια +. ( +.5 θεωρήσουµε το σύστηµα µας ότι έχει σαν µηδενικό διαδοχικά τα /., /., /.8 προκύπτουν οι αντίστοιχοι Γ. Τόποι Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

5 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς 5 Το ερώτηµα που προκύπτει είναι πότε χρειάζεται διασκευή ο Γεωµετρικός Τόπος και µε ποίο τρόπο επιτυγχάνεται;. Η µεταβατική συµπεριφορά του κλειστού συστήµατος είναι ικανοποιητική, αλλά το µόνιµο σφάλµα είναι πολύ µεγάλο. Για να µειώσουµε το µόνιµο σφάλµα χρειάζεται αύξηση της απολαβής χωρίς όµως να µειώσουµε τη σχετική ευστάθεια σε πολύ µικρά επίπεδα.. Το σύστηµα είναι ευσταθές αλλά η µεταβατική απόκριση δεν είναι ικανοποιητική. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να µεταθέσουµε τον Γεωµετρικό Τόπο αριστερότερα, να τον αποµακρύνουµε δηλαδή από τον φανταστικό άξονα. 3. Το σύστηµα είναι ευσταθές, αλλά η µεταβατική και η µόνιµη συµπεριφορά του δεν είναι ικανοποιητική. Θα πρέπει λοιπόν ο Γεωµετρικός Τόπος να µετατεθεί προς τα αριστερά και να αυξήσουµε την απολαβή. 4. Το σύστηµα είναι ασταθές για όλες τις τιµές της απολαβής. Θα πρέπει λοιπόν να διασκευάσουµε το Γεωµετρικό Τόπο ώστε τµήµα του κάθε κλάδου του να βρίσκεται στο αριστερό ηµιεπίπεδο µε σκοπό να έχουµε τουλάχιστον υπό συνθήκη ευσταθές σύστηµα Εάν η επιθυµητή απόκριση είναι υποκρίσιµη, επιλέγουµε την απολαβή του ανοικτού συστήµατος τέτοια ώστε να έχουµε δύο µιγαδικούς επικρατούντες πόλους και τους άλλους να βρίσκονται αριστερότερα και σε αρκετή απόσταση από τους επικρατούντες. Με αυτό τον τρόπο ουσιαστικά εκµηδενίζεται η συνεισφορά των και κυριαρχεί η συνεισφορά των επικρατούντων πόλων. Ο P.D ελεγκτής και ο αντισταθµητής προήγησης φάσης, είναι ουσιαστικά ένας αντισταθµητής σειράς αφού επεµβαίνει στον απ' ευθείας κλάδο του κλειστού συστήµατος και ρυθµίζει το σήµα u( που οδηγεί τον ενεργοποιητή σε ένα σύστηµα λαµβάνοντας υπ' όψη την απόκλιση(σφάλµα) e( της εισόδου από την έξοδο. Το κλειστό σύστηµα µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση έχει την παρακάτω δοµή. + e( u( + G ( - G ( y( Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

6 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς 6 Η συνάρτηση µεταφοράς της υπό έλεγχο διαδικασίας είναι G (, η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή είναι η G (. Γενικά ισχύει GG y( H y ( + G G e( + G G H e (, G u( + G G Για τη συνάρτηση µεταφοράς του P.D ελεγκτή έχουµε ότι [ d ] G () s + s + r s d H u ( Σταθερά δράσης ανάλογου ελέγχου, έχει σχέση µε την απολαβή του ανοικτού βρόχου. d Σταθερά δράσης ελέγχου παραγώγου Για τον αντισταθµητή προήγησης έχουµε ότι s + µ + λτs G ( µε µ<π, επειδή το µηδενικό µ είναι µεγαλύτερο του πόλου π γιαυτό έχουµε και την s + π λ + Ts ονοµασία αντισταθµητής προήγησης φάσης. Συνήθως για τον υλοποίηση του αντισταθµητή προήγησης χρησιµοποιείται παθητικό δικτύωµα µε αντιστάσεις και πυκνωτές, οπότε χρησιµοποιούµε την µορφή + λτs G ( µε το αντίστοιχο δικτύωµα που απεικονίζεται δίπλα και λ + Ts R+ R RR C λ, T. Παρατηρούµε ότι το δικτύωµα λόγω κατασκευής εισάγει R R+ R εξασθένηση /λ, οπότε στην υλοποίηση ακολουθείται από ενισχυτή µε απολαβή Α για τον προσδιορισµό της αντίστοιχης απολαβής. Για τον αντισταθµητή προήγησης φάσης έχουµε ότι εισάγει ένα µηδενικό στο σηµείο -/λτ και πόλο στο σηµείο -/Τ. Υπενθυµίζουµε ότι ο αντισταθµητής προήγησης φάσης είναι στην ουσία P.D ελεγκτής µε φίλτρο. Αντιστάθµιση µε Ανάλογο Ελεγχο Είναι γνωστό από τα προηγούµενα ότι ο ανάλογος έλεγχος είναι στην ουσία καθαρός έλεγχος απολαβής. Με την αύξηση της απολαβής µπορούµε να επιτύχουµε µείωση του µόνιµου σφάλµατος, αλλά χειροτερεύει η µεταβατική συµπεριφορά. Καθώς αυξάνεται το Κ κινούνται οι πόλοι του κλειστού συστήµατος και κατά κανόνα οδεύουν προς τον φανταστικό άξονα µε συνέπεια να αυξάνονται η ιδιοσυχνότητα ω η και η ιδοσυχνότητα µε απόσβεση ω d του συστήµατος και να µειώνεται ο συντελεστής απόσβεσης ζ. Μπορούµε λοιπόν να προσδιορίσουµε επί του Γεωµετρικού Τόπου πόλους µε συγκεκριµένες προδιαγραφές µόνιµου σφάλµατος και µεταβατικής συµπεριφοράς. Ο τρόπος υπολογισµού της απαιτούµενης απολαβής για τις απαιτούµενες προδιαγραφές φαίνεται στα επόµενα παραδείγµατα. Παράδειγµα. ίνεται το κλειστό σύστηµα µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου την G (. Ζητείται να υπολογιστεί η τιµή του ανάλογου ελέγχου ώστε το κλειστό σύστηµα να έχει επικρατούντες πόλους µε συντελεστή απόσβεσης ζ,45. Αλγεβρικός Τρόπος. Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος δίνεται από την Gs () ω n Hs () + Gs () s + s+ s + ζω ns+ ω n. Εξισώνοντας τους παρανοµαστές και έχοντας ότι ζ.45 προκύπτει ότι Κ Οπότε έχουµε ότι ο απαιτούµενος ανάλογος έλεγχος για να επιτύχουµε την προδιαγραφή ζ.45 είναι Κ Θα πρέπει να τονιστεί ότι ο αλγεβρικός Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

7 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς 7 τρόπος χρησιµοποιήθηκε επειδή το προκύπτον κλειστό σύστηµα είναι καθαρό δευτεροβάθµιο και υπάρχει ευχέρεια στις πράξεις. Γεωµετρικός Τρόπος ( Χρησιµοποιείται συνήθως όταν το κλειστό σύστηµα είναι βαθµού ανώτερου του δευτέρου). Σχεδιάζουµε κατά πρώτο το Γεωµετρικό τόπο του συστήµατος. Σχεδιάζουµε την ευθεία ζ.45 (είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων και σχηµατίζει γωνία φos - ζ µε τον αρνητικό ηµιάξονα) και προσδιορίζουµε το σηµείο που τέµνει τον Τόπο. Από το διάγραµµα προσδιορίζουµε το σηµείο j που αντιπροσωπεύει τον επικρατούντα πόλο µε το επιθυµητό ζ. Μας ενδιαφέρει όµως να υπολογίσουµε και την τιµή της απολαβής Κ (στατική ακρίβεια) για την οποία οι πόλοι του κλειστού συστήµατος βρίσκονται στο εν λόγω σηµείο. Από την συνθήκη του µέτρου έχουµε ότι. Εκτελώντας τους υπολογισµούς έχουµε ότι Κ s s ) ( + s j Αντιστάθµιση µε Ανάλογο Ελεγχο+Ελεγχο Παραγώγου Παράδειγµα. ίνεται το κλειστό σύστηµα µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου την G (. Ζητείται να υπολογιστεί η τιµή του ανάλογου ελέγχου ώστε το κλειστό σύστηµα να έχει επικρατούντα πόλο το s -4+j8. Αλγεβρικός Τρόπος. Αφού επιθυµούµε το κλειστό σύστηµα να έχει πόλο το s -4+j8 θα πρέπει το εν λόγω σηµείο να ικανοποιεί τη χαρακτηριστική εξίσωση, θα πρέπει συνεπώς να έχουµε (s ) από την οποία προκύπτει ότι [ + ds] + ss ( + ) για s-4+j8. Αντικαθιστώντας έχουµε ότι [ + d( 4+ j8) ] j). Επιλύνοντας ως προς το πραγµατικό και ως προς το φανταστικό µέρος έχουµε ότι Κ -4 d -56 και 8 d -48. Τελικά προκύπτει ότι Κ d 6 και Κ 8. Συνεπώς ο ελεγκτής έχει την µορφή G(8+6s. Γεωµετρικός Τρόπος (Χρησιµοποιείται συνήθως όταν το κλειστό σύστηµα είναι βαθµού ανώτερου του δευτέρου) Σχεδιάζουµε το διάγραµµα πόλων και µηδενικών για το δοθέν σύστηµα, σηµειώνουµε επίσης επί του διαγράµµατος και τον επιθυµητό επικρατούντα πόλο s. Για να είναι το σηµείο s πόλος του κλειστού θα πρέπει ο Γεωµετρικός Τόπος του συστήµατος µετά την τοποθέτηση του ελεγκτή να διέρχεται από το εν λόγω σηµείο. Θα πρέπει τότε να ικανοποιείται η συνθήκη της φάσης και του µέτρου. Έχουµε συνεπώς για την συνθήκη της φάσης ότι G ( s ) G( s ) 8 ή G ( s ) + G( s ) 8. Όµως για τη φάση του αρχικού συστήµατος έχουµε ότι G( s ). 6 (είτε αριθµητικά είτε γεωµετρικά). Προκύπτει λοιπόν ότι ο ελεγκτής θα πρέπει να προσφέρει 4,6. Οπότε έχουµε ότι 8 (Κ + d s (Κ -4 d +j8 d ) s d tg d Επιλύοντας την έχουµε ότι 3.336d. Από την συνθήκη του µέτρου έχουµε ότι d [ + d s], ( +, ( + ) s 4+ j8 s s s 4+ j8 Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

8 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς 8 [ ( +.75], [ [ +.75( 4 + j8)] ] s 4+ j8 Τελικά προκύπτει ότι Κ οπότε Κ και d j48 s 4+ j8 Αντιστάθµιση προήγησης φάσης Η µεθοδολογία σχεδιασµού αντισταθµητή προήγησης φάσης γίνεται ως επί το πλείστον µε βάση τον Γ. Τόπο, είναι µία πολύ χρήσιµη και σχετικά εύκολη διαδικασία όταν οι προδιαγραφές του συστήµατος δίνονται σε προδιαγραφές απόκρισης όπως συντελεστής απόσβεσης ζ, φυσική συχνότητα µε απόσβεση για τους επικρατούντες πόλους του κλειστού συστήµατος, µεγίστη υπερύψωση, χρόνος ανόδου, χρόνος αποκατάστασης,κ.τ.λ. ηλαδή εν κατακλείδι δίνεται ο επικρατούν πόλος του συστήµατος. Ας εξετάσουµε την περίπτωση που το προς µελέτη σύστηµα είναι ασταθές για όλες τις τιµές της απολαβής ή δεν έχει τις επιθυµητές προδιαγραφές. Τότε είµαστε αναγκασµένοι να τροποποιήσουµε το γράφηµα του Γεωµετρικού Τόπου στην περιοχή της αρχής των αξόνων και ειδικά στην περιοχή του φανταστικού άξονα ώστε οι επικρατούντες πόλοι να βρίσκονται σε επιθυµητές θέσεις στο µιγαδικό επίπεδο. Το πρόβληµα λύνεται µε την προσθήκη πόλων ή µηδενικών στο αρχικό σύστηµα ανοικτού βρόχου µε την χρήση αντισταθµητών (φίλτρων ) σε σειρά µε το αρχικό σύστηµα Οταν η µεταβατική συµπεριφορά του συστήµατος δεν είναι ικανοποιητική το αντισταθµίζουµε µε αντισταθµητή προήγησης. Γενικά εκλέγουµε το µηδενικό του αντισταθµητού στο µεγαλύτερο πραγµατικό πόλο (εκτός εκείνου στην αρχή) και βελτιώνεται κατά πολύ η απόκριση. Αν το σύστηµα είναι τύπου τοποθετούµε το µηδενικό του αντισταθµητού στην θέση του δεύτερου µεγαλύτερου πραγµατικού πόλου. Αν θέλουµε συγκεκριµένες προδιαγραφές µεταβατικής κατάστασης προσδιορίζουµε τους πόλους του ενεργού δευτεροβάθµιου συστήµατος µε τις επιθυµητές προδιαγραφές (καθορίζουµε τους επικρατούντες πόλους) και απαιτούµε ο Γεωµετρικός Τόπος ριζών να περνά από τους επιθυµητούς πόλους. Αλγεβρικός υπολογισµός του αντισταθµητή προήγησης φάσης Από τις επιθυµητές προδιαγραφές προσδιορίζουµε την επιθυµητή θέση των επικρατούντων πόλων του κλειστού συστήµατος. Υποθέτουµε ότι ο αντισταθµητής προήγησης είναι της µορφής + λ Τs s rs G () s + µ µ + µ λ + Ts s+ π π + rs π µε λ συνήθως, και ακολουθείται από ενισχυτή µε απολαβή Α για τον προσδιορισµό της αντίστοιχης απολαβής. Με βάση τον επικρατούντα επιθυµητό πόλο s απαιτούµε για το χαρακτηριστικό πολυώνυµο να ισχύει + G( G(. οπότε έχουµε, από την τελευταία µιγαδική σχέση εξισώνοντας τα πραγµατικά και τα φανταστικά µέρη έχουµε δύο σχέσεις µε δύο αγνώστους τα r π και r µ Προσδιορίζουµε την απολαβή του ανοικτού βρόχου έχοντας υπολογίσει τη στατική ακρίβεια στον επιθυµητό πόλο. Προφανώς µετά τον σχεδιασµό του αντισταθµητή θα πρέπει να ελέγξουµε αν ικανοποιούνται οι επιθυµητές προδιαγραφές. Αν δεν ικανοποιούνται επαναλαµβάνουµε την διαδικασία σχεδιασµού τροποποιώντας την θέση του πόλου και του µηδενικού του αντισταθµητή. Αν κατά την πορεία σχεδιασµού προκύψει ότι απαιτείται σταθερά σφάλµατος µόνιµης κατάστασης µε µεγάλη τιµή, τότε χρειάζεται και ένας επιπλέον αντισταθµητής καθυστέρησης φάσης σε σειρά µε τον προϋπολογισθέντα αντισταθµητή προήγησης φάσης. Παράδειγµα. ίνεται το κλειστό σύστηµα µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου την G (. Ζητείται να υπολογιστεί η τιµή του ανάλογου ελέγχου ώστε το κλειστό σύστηµα να έχει επικρατούντα πόλο το s -4+j8. Αλγεβρικός υπολογισµός Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να σχεδιάσουµε αντισταθµητή προήγησης φάσης µε σταθερή απολαβή ανοικτού βρόχου Κ 5. Τότε για τον επικρατούντα πόλο θα έχουµε ότι Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

9 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς 9 G ( + ή G (, µε G (56+j48. + rµ s Όµως έχουµε ότι G ( 5. Τελικά r µ.856 και r π.54, οπότε µ-.454 και π-6,4945 και λ4.9 + rπ s (πηλίκο του µέτρου πόλου προς το µέτρο του µηδενικού). Η χαρακτηριστική εξίσωση του αντισταθµισµένου συστήµατος (+G (G( δίνει ρίζες στα s-.4, s-4,5+j8,. Με βάση τα προηγούµενα αποτελέσµατα θεωρούµε την αντιστάθµιση επιτυχή. Αν όµως δεν προέκυπταν αρνητικοί αριθµοί το µηδενικό και ο πόλος του συστήµατος ή το λ ήταν αριθµός πολύ µεγάλος θα έπρεπε να ξαναπροσπαθήσουµε να σχεδιάσουµε τον αντισταθµητή αλλάζοντας το Κ ή τοποθετώντας διπλό ή πολλαπλό αντισταθµητή. Γεωµετρικός υπολογισµός Από τις επιθυµητές προδιαγραφές προσδιορίζουµε την επιθυµητή θέση των επικρατούντων πόλων του κλειστού συστήµατος. Σχεδιάζουµε το διάγραµµα του Γεωµετρικού Τόπου και ελέγχουµε αν οι επιθυµητοί πόλοι του συστήµατος βρίσκονται επί του γραφήµατος. Αν όντως βρίσκονται, µε ρύθµιση της απολαβής είναι δυνατό να έχουµε τις επιθυµητές προδιαγραφές, προς τούτο υπολογίζουµε την στατική ακρίβεια στον εν λόγω πόλο και έτσι έχουµε το µέτρο της απολαβής. Αν οι επιθυµητοί επικρατούντες πόλοι δεν βρίσκονται επί του Τόπου τότε υπολογίζουµε τη φάση της συνάρτησης µεταφοράς του ανοικτού βρόχου στον επιθυµητό επικρατούντα πόλο. Υπολογίζουµε την υπολειπόµενη o γωνία φ που απαιτείται ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη της φάσης. ( G G( s ) 8 ) Τη διαφορά φάσης θα την προσφέρει ο αντισταθµητής προήγησης αν ο Γεωµετρικός Τόπος διασκευαστεί και περάσει από τους επιθυµητούς επικρατούντες πόλους Υποθέτουµε ότι ο αντισταθµητής προήγησης είναι της µορφής + λ Τs s rs G () s + µ µ + µ λ + Ts s+ π π + rs π και ακολουθείται από ενισχυτή µε απολαβή Α για τον προσδιορισµό της αντίστοιχης απολαβής. Αν δεν επιβάλλεται κάποιος περιορισµός για το σφάλµα µόνιµης κατάστασης προσδιορίζουµε τη θέση του µηδενικού και του πόλου για τον αντισταθµητή ώστε να συνεισφέρουν στην φάση του όλου συστήµατος την υπολειπόµενη γωνία φ. Αν δεν υπάρχει καµία άλλη απαίτηση τότε σχηµατίζουµε όσο πιο µικρό λ µπορούµε, συνήθως λ ~5, που έχει σαν αποτέλεσµα µεγάλη τιµή για το Κ, πράγµα επιθυµητό. Προσδιορίζουµε την απολαβή του ανοικτού βρόχου έχοντας υπολογίσει τη στατική ακρίβεια στον επιθυµητό πόλο. Προφανώς µετά τον σχεδιασµό του αντισταθµητή θα πρέπει να ελέγξουµε αν ικανοποιούνται οι επιθυµητές προδιαγραφές. Αν δεν ικανοποιούνται επαναλαµβάνουµε την διαδικασία σχεδιασµού τροποποιώντας την θέση του πόλου και του µηδενικού του αντισταθµητή. Αν κατά την πορεία σχεδιασµού προκύψει ότι απαιτείται σταθερά σφάλµατος µόνιµης κατάστασης µε µεγάλη τιµή, τότε χρειάζεται και ένας επιπλέον αντισταθµητής καθυστέρησης φάσης σε σειρά µε τον προϋπολογισθέντα αντισταθµητή προήγησης φάσης. Για τον υπολογισµό της ακριβούς θέσης του µηδενικού και του πόλου συνήθως χρησιµοποιούνται οι παρακάτω µεθοδολογίες Μεθοδολογία Dorf ίνεται το κλειστό σύστηµα µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου την G (. Ζητείται να υπολογιστεί η τιµή του ανάλογου ελέγχου ώστε το κλειστό σύστηµα να έχει επικρατούντα πόλο το s -4+j8. Σχεδιάζουµε το διάγραµµα πόλων και µηδενικών για το δοθέν σύστηµα, σηµειώνουµε επίσης επί του διαγράµµατος και τον επιθυµητό επικρατούντα πόλο s. Για να είναι το σηµείο s πόλος του κλειστού θα πρέπει ο Γεωµετρικός Τόπος του συστήµατος µετά την τοποθέτηση του ελεγκτή να διέρχεται από το εν λόγω σηµείο. Θα πρέπει τότε να ικανοποιείται η συνθήκη της φάσης και του µέτρου. Έχουµε συνεπώς για την συνθήκη της φάσης ότι G ( s ) G( s ) 8 ή G ( s ) + G( s ) 8. Όµως για τη φάση του αρχικού συστήµατος έχουµε ότι G( s ). 6 (είτε αριθµητικά είτε γεωµετρικά). Προκύπτει λοιπόν ότι ο αντισταθµητής θα πρέπει να Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

10 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς s + µ προσφέρει 4,6. Οπότε έχουµε ότι G ( s ) Σύµφωνα µε την µεθοδολογία Dorf επιλέγουµε s + π το µηδενικό του αντισταθµητή κάτω ακριβώς από τον επικρατούντα πόλο και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε τη θέση του πόλου για τον αντισταθµητή προήγησης. Τότε όµως µ-4 και G ( s ) ( s + µ ) ( s + π) 9 ( s + π) 4. 6 οπότε προκύπτει ότι π-.857, οπότε λ.77. Η συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου του αντισταθµισµένου συστήµατος δίνεται από την ( s+ 4) G () s G() s ( s+. 857) s+ ). Για τον προσδιορισµό της κατάλληλης ενίσχυσης Κ που χρειαζόµαστε για να περνά ο Γεωµετρικός Τόπος του αντισταθµισµένου από τον επιθυµητό επικρατούντα πόλο θα χρησιµοποιήσουµε την συνθήκη του µέτρου. Πράγµατι ( s + 4) G ( s ) G( s ) οπότε Κ ( s +.857) s ( Τελικά λοιπόν έχουµε για την συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου του αντισταθµισµένου συστήµατος ότι 97.4( s + 4) G ( G(. ( s +.857) Η χαρακτηριστική εξίσωση του αντισταθµισµένου συστήµατος (+G (G( δίνει ρίζες στο s-4.857, s j8.. Με βάση τα προηγούµενα αποτελέσµατα θεωρούµε την αντιστάθµιση επιτυχή. Αν όµως είχε προκύψει ότι ο αντισταθµητής έπρεπε να προσφέρει αρνητική γωνία επειδή αυτό δεν είναι εφικτό θα έπρεπε να χρησιµοποιήσουµε διπλό ή και πολλαπλό αντισταθµητή προήγησης φάσης. Για κατασκευαστικούς λόγους απαιτούµε λ ~5, αν δεν ικανοποιείται η παραπάνω απαίτηση τότε χρησιµοποιούµε διπλό ή και πολλαπλό αντισταθµητή προήγησης φάσης. Βέβαια µπορεί ο αναγνώστης να τοποθετήσει ο ίδιος σε ποια θέση επιθυµεί το µηδενικό του αντισταθµητή και στην συνέχεια µε το κριτήριο της φάσης να προσδιορίσει τη θέση του πόλου. Είναι όµως πιθανόν µε αυτή την επιλογή του να απαιτείται κατασκευή δικτυώµατος µε πάρα πολύ µεγάλες τιµές των αντιστάσεων και των πυκνωτών που ίσως να µην κατασκευάζεται ο αντισταθµητής. Στη βιβλιογραφία µπορεί ο αναγνώστης να βρει πληθώρα άλλων µεθοδολογιών µε πιο διαδεδοµένες τις Μεθοδολογία ιχοτόµου Μεθοδολογία προκαθωρισµένης γωνίας Μεθοδολογία Del Toro Σχεδιασµός P.I.D ελεγκτή. Ο P.I.D ελεγκτής χρησιµοποιείται όταν δεν έχουµε ικανοποιητική µόνιµη και µεταβατική κατάσταση για κάποιο σύστηµα. Στο σηµείο αυτό θα αναπτύξουµε µια µικτή αλγεβρική και γεωµετρική µέθοδο υπολογισµού των παραµέτρων µέσω από ένα παράδειγµα. Παράδειγµα. ίνεται κλειστό σύστηµα µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση µεταφοράς για τον 4 απ' ευθείας κλάδο την Gs (). Να σχεδιαστεί P.I.D ελεγκτής ώστε το νέο κλειστό σύστηµα ss ( + 3s+ ) να έχει σφάλµα µόνιµης κατάστασης % για συνάρτηση επιτάχυνσης, υπερύψωση % και χρόνο αποκατάστασης se. Λύση. Το αρχικό σύστηµα είναι σύστηµα τύπου οπότε θα έχουµε σφάλµα ταχύτητας e µε 4 v lm sg( άρα e v.5. Η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή θα είναι s G() s (+ rds+ / rs ), το τελικό σύστηµα µε τον ελεγκτή θα είναι σύστηµα τύπου οπότε θα έχουµε σφάλµα µόνιµης κατάστασης το Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα v v

11 Σχεδιασµός Ελεγκτών Σειράς e v µε e 4 e lm s G( G (. ( / ) + rd s+ rs, οπότε θα πρέπει σύµφωνα µε s ss ( + 3s+ ) r τις απαιτήσεις του προβλήµατος να έχουµε r., δηλαδή 5 r. Για το σύστηµα µας όµως δίνεται ζπ απαίτηση για υπερύψωση και για χρόνο αποκατάστασης. Γνωρίζουµε όµως ότι h e )., µε ζ os φ ζ και, οπότε ln(.) / π tanφ µε.733 / tanφ, οπότε tanφ.364 µε φ και 4 os φ ζ.59. Από την απαίτηση του χρόνου αποκατάστασης έχουµε t s για % οπότε ω n ζω Για τον επικρατούντα πόλο έχουµε ότι s ζωn ± jωn ζ.997 ± j.73 ± j.73. Οι πόλοι του νέου κλειστού συστήµατος προκύπτουν από την εξίσωση (+G(G (. 3 s ( ) ( s +3s + srs ) + 4 ( rs + rr d s + ) s s s r s s r 4 3 ( ) ( ( + 4 d) / τις δύο σχέσεις. Όµως επειδή 5r έχουµε ότι s s s r s s 4 3 ( ) ( ( + 4 d) Για την επίλυση του προβλήµατος µας έχουµε. την εξίσωση αυτή πρέπει να την επαληθεύει ο επικρατούν πόλος s ± j.73. Τελικά προκύπτουν δύο εξισώσεις οι Real((), Imag(() µε δύο αγνώστους το και r d. n Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Πάτρα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Ύλη µαθήµατος. Lead-Lag ελεγκτές 2. PID ελεγκτές (95%) (εκτός διαγράµµατα Nyquist-Nichols) ιακριτός & Ψηφιακός Αυτόµατος Έλεγχος ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εργαστήριο Matlab LABview : συλλογή και αποστολή

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 10 η διάλεξη Ασκήσεις Ψηφιακός Έλεγχος 1 Άσκηση1 Ασκήσεις Επιθυμούμε να ελέγξουμε την γωνία ανύψωσης μιας κεραίας για να παρακολουθείται η θέση ενός δορυφόρου. Το σύστημα της κεραίας και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο ΨΣΕ 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Γραµµικοποιήση µε ανατροφοδότηση εξόδου και έλεγχος Κινούµενου Ανεστραµµένου Εκκρεµούς Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. το οποίο περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 4 Αναλυτική σύνθεση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου Με συνθήκη µόνιµου σφάλµατος Με συνθήκη επιθυµητών πόλων Με επιθυµητό πρότυπο Καλλιγερόπουλος 4 1 Αναλυτική Σύνθεση συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t)

Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t) Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : p(t) v(t) v(t) Πίεση στό γκάζι Σήµα εισόδου t ΣΥΣΤΗΜΑ Ταχύτης του αυτοκινήτου Σήµα εξόδου t

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις 1 ου Θέματος [8 Χ 0.25= 2.0 β.] Οι απαντήσεις πρέπει υποχρεωτικά νε βρίσκονται εντός του περιγεγραμμένου χώρου G()

Ερωτήσεις 1 ου Θέματος [8 Χ 0.25= 2.0 β.] Οι απαντήσεις πρέπει υποχρεωτικά νε βρίσκονται εντός του περιγεγραμμένου χώρου G() ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Τελική εξέταση Ιουνίου Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεμάτων υπογεγραμμένη από τον εξεταστή ΕΠΩΝΥΜΟ εξεταζόμενου/ης ΟΝΟΜΑ εξεταζόμενου/ης Αριθμός Μητρώου Έτος π.χ. ΓΔΕΕκ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #6: Σχεδιασμός Ελεγκτών με Χρήση Αναλυτικής Μεθόδου Υπολογισμού Παραμέτρων Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: - ο Τµήµα (Κ-Μ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση - (I-

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #4: Ευστάθεια Συστημάτων Κλειστού Βρόχου με τη Μέθοδο του Τόπου Ριζών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #6: Σχεδιασμός ελεγκτών με χρήση αναλυτικής μεθόδου υπολογισμού παραμέτρων 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Χρονική Απόκριση Συστηµάτων Τα περισσότερα συστήµατα είναι από την φύση τους δυναµικά και παρουσιάζουν κάποιας µορφής αδράνεια

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Βαθµολογία Προβληµάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2. G(s)

Βαθµολογία Προβληµάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2. G(s) ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ 3 Σεπτεµβρίου 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεµβρίου 4 Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεµάτων (υπογεγραµµένη από τον εξεταστή) ΕΠΩΝΥΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης fak@taff.teirete.gr Χειµερινό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μ. Σφακιωτάκης Χειµερινό εξάµηνο Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος

Μ. Σφακιωτάκης Χειµερινό εξάµηνο Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 7. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ PID ΕΛΕΓΧΟΣ Μ. Σφακιωτάκης mfa@aff.ecree.gr Βασικές Αρχιτεκτονικές στη "Κλασσική" Σχεδίαση Ελεγκτών Έλεγχος on-off Ελεγκτές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης mfak@taff.teicrete.gr Χειµερινό Οκτώβριος εξάµηνο 2010-11 2017 Σύστηµα Μάζας-Ελατηρίου-Αποσβεστήρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 5 η : ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Κ-Ω ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο Ονοματεπώνυμο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις για το µάθηµα Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων

Επαναληπτικές Ασκήσεις για το µάθηµα Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων Άσκηση η α) Πώς θα µετρήσετε πρακτικά πόσο κοντά είναι ένα σήµα σε λευκό θόρυβο; Αναφέρατε 3 διαφορετικές µεθόδους (κριτήρια) για την απόφαση: "Ναι, πρόκειται για σήµα που είναι πολύ κοντά σε λευκό θόρυβο"

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 0. ) Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου γίνεται πρώτιστα στο στο πεδίο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ρυθµιστές PID. Βρόχος Ανατροφοδότησης Αναλογικός Ρυθµιστής (Ρ) Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής (Ι) ιαφορικός Ρυθµιστής (D) Ρύθµιση PID

Ρυθµιστές PID. Βρόχος Ανατροφοδότησης Αναλογικός Ρυθµιστής (Ρ) Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής (Ι) ιαφορικός Ρυθµιστής (D) Ρύθµιση PID Ρυθµιστές PID Βρόχος Ανατροφοδότησης Αναλογικός Ρυθµιστής (Ρ) Ολοκληρωτικός Ρυθµιστής (Ι) ιαφορικός Ρυθµιστής (D) Ρύθµιση PID 1 Βρόχος Ανατροφοδότησης! Θεωρούµε το βρόχο ανατροφοδότησης SP ιεργασία D G

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ)

ΑΣΚΗΣΗ Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) ΑΣΚΗΣΗ 7-2-27 Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Ακαδηµαϊκό Έτος: 27-28 ιδάσκων:γ. Π. Παπαβασιλόπουλος Επιµέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ & ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Μ. Σφακιωτάκης msfak@staff.teicrete.gr Χειµερινό εξάµηνο 18-19

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος στροφών κινητήρα DC με ελεγκτή PI, και αντιστάθμιση διαταραχής.

Έλεγχος στροφών κινητήρα DC με ελεγκτή PI, και αντιστάθμιση διαταραχής. ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Έλεγχος στροφών κινητήρα DC με ελεγκτή PI, και αντιστάθμιση διαταραχής. Α) Σκοπός: Σκοπός της παρούσας άσκησης είναι να επιδειχθεί ο έλεγχος των στροφών

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ Εφαρμ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Σεπτεµβρίου 2005 5:00-8:00 Σχεδιάστε έναν αισθητήρα ercetro

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5

Σχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5 Σχεδίαση τροχιάς Η πιο απλή κίνηση ενός βραχίονα είναι από σηµείο σε σηµείο. Με την µέθοδο αυτή το ροµπότ κινείται από µία αρχική θέση σε µία τελική θέση χωρίς να µας ενδιαφέρει η ενδιάµεση διαδροµή που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSELTHOMSON 4. ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ Η χρονική καθυστέρηση συµβαίνει κατά την µετάδοση σε διάφορα φυσικά µέσα και αποτελεί ένα βασικό στοιχείο στην επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΕ 1. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes

ΣΑΕ 1. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes ΣΑΕ Σημειώσεις από τις παραδόσεις Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes Οκτώβριος-Ιανουάριος 207 Τελευταία ενημέρωση: 3 Οκτωβρίου 207 Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βαθμολογία Προβλημάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2

Βαθμολογία Προβλημάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Ιουνίου 008 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Ιουνίου 008 Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεμάτων (υπογεγραμμένη από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα