ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ

Transcript

1 Ύλη µαθήµατος. Lead-Lag ελεγκτές 2. PID ελεγκτές (95%) (εκτός διαγράµµατα Nyquist-Nichols) ιακριτός & Ψηφιακός Αυτόµατος Έλεγχος ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εργαστήριο Matlab LABview : συλλογή και αποστολή δεδοµένων (National Instruments) /8

2 ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2 /8

3 Παράδειγµα υλοποίησης ελεγκτή στο συνεχές πεδίο u e = u() t edt s = ( ) e( k) u kts l= 0 K = 3 /8

4 2 Q [ ] Μετρήσεις, όπου Q: # bits µε Q 8,6 4 /8

5 Έστω Σύστηµα G( s) = Να σχεδιαστεί ελεγκτής ( + )( s+ 5) s s α) Έτσι ώστε οι κυρίαρχοι πόλοι να έχουν απόσβεση ζ=0.4. Αν C(s)=k, o Γ.Τ.Π. είναι Έχω δύο κυρίαρχους πόλους που υπολογίζονται από την τοµή του Γ.Τ.Π. µε µια ευθεία 0s γωνίας s0( Re) = cos ζ = 66.4 o Αυτό επιτυγχάνεται για k= /8

6 Αν r(t)=(t) e ss = 0 ess = = = = Αν r(t)=t(t) ΤΡΙΓ k lim sg( s) 0,976 4,88 s 0 Root Locus 5 Για να µειωθεί το πρέπει να αυξηθεί το k. 8 e ss k Αν Cs () = τότε ο Γ.Τ.Π. είναι s Και το κλειστό σύστηµα είναι... ασταθές Imaginary Axis Real Axis 6 /8

7 Ελεγκτής καθυστέρησης φάσης Τρόπος υλοποίησης µε παθητικά στοιχεία (Α=) a R + R R 2 = > 2 T = R C 2 7 /8

8 Για να αλλάξει ριζικά ο Γ.Τ.Ρ. Θέτω τον πόλο και το µηδενικό όσο γίνεται πιο κοντά στο φανταστικό άξονα Ο µόνος περιορισµός είναι λόγω κατασκευαστικών δυσκολιών. A s+ 0,05 Π.χ. Αν Cs () = 0 s + 0,005 R = MΩ R = 8MΩ C = 0µ F 2 2 Root Locus 0.06 Ονέος Γ.Τ.Ρ. είναι zoom Imaginary Axis Real Axis 8 /8

9 Imaginary Axis Όπου για τον ίδιο συντελεστή ζ=0.4 και συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτού βρόχου A s+ 0,05 0 s+ 0,005 s s+ s ( )( ) Root Locus System: g Gain: 44. Pole: i Damping: 0.4 Overshoot (%): 25.4 Frequency (rad/sec): A Ητιµή του είναι 0 A ss+ s+ 5 s+ 0,005 = 0 s + 0,05 s=σηµ. τοµης Real Axis 9 /8

10 A Για αυτό το κέρδος έχουµε 0 e ss ΤΡΙΓ Παρατηρώ ότι.. Υπάρχει σηµαντική ελάττωση του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης για τις ίδιες τιµές των κυρίαρχων πόλων. Ο Lag ελεγκτής βελτιώνει κύρια τη µόνιµη απόκριση του συστήµατος, ενώ χειροτερεύει ανεπαίσθητα τη µεταβατική (την κάνει ανεπαίσθητα πιο αργή λόγω µεταβολής της φυσικής συχνότητας ) w n Τι γίνεται σε περίπτωση όπου ο πόλος και το µηδενικό του Lag δεν τεθούν κοντά στον φανταστικό άξονα? Π.χ. ( ) s C s = s + 0. = = 0, Imaginary Axis A( s+ ) ( + )( + )( + ) lim s s ,05 s s s s Root Locus Real Axis ΟΓ.Τ.Π αλλάζει αισθητά 0 /8

11 Ελεγκτής προήγησης φάσης (Lead) u( s) + Ts = Aa e( s) + ats Χρησιµοποιείται κύρια για τη βελτίωση της µεταβατικής απόκρισης Τρόπος υλοποίησης µε παθητικά στοιχεία ιάγραµµα πόλων-µηδενικών όπου a R R + R = 2 < 2 T = RC /8

12 Αν ζητείται η ταχύτερη απόκριση του συστήµατος αύξηση του (και διατήρηση του ζ) Αν (ακύρωση του πόλου του συστήµατος ) T =+ w n Η τοποθέτηση του πόλου στο /{ατ) Ορίζεται από τη συνθήκη της φάσης ( ) ( ) ( ) + G s = 0 G s = G s = 80 o όπου As ( + ) Ak G ( s) = = s s s s at s s s at ( + )( + 5)( + ) ( + 5)( + ) Αν το επιθυµητό σηµείο είναι το τότε πρέπειφ0 φ2 φ3 = 80 o s 2 /8

13 Ενδεικτικά ο Γ.Τ.Ρ. για C(s)=k είναι Ενώ ο Γ.Τ.Ρ. µετατοπίζεται αισθητά προς τα αριστερά (ταχύτερη απόκριση) Π.χ. για s + Cs () = k s /8

14 Αν δεν ακυρωθεί ακριβώς ο πόλος του συστήµατος στο (π.χ. ). Ο Γ.Τ.Π. είναι T =.00 Η µεγέθυνση στην περιοχή ενδιαφέροντος δείχνει ότι ένας πόλος του κλειστού Συστήµατος «οδεύει» προς το µηδενικό στο.00 4 /8

15 Αντιστάθµιση προήγησης φάσης (συνέχεια...) Χρησιµοποιείται για την ταχύτερη απόκριση του συστήµατος, µετατοπίζοντας τον Γ.Τ.Ρ προς τα αριστερά Αντί της ακύρωσης του πόλου του συστήµατος στο, γιατί δεν ακυρώνω τον πόλο στο 0? Π.χ s + ε Cs () = k, ε 0 s + at Το σύστηµα θα γίνει από τύπου τύπου 0 µε άµεση συνέπεια στο Ένεκα πιθανώς κατασκευαστικών προβληµάτων είναι δυνατόν το µηδενικό να µετατοπισθεί + στο δεξί ηµιεπίπεδο ( ε 0 ) και να υπάρχουν προβλήµατα ευστάθειας e ss 5 /8

16 Σχεδιασµός αντισταθµιστή προήγησης φάσης µε Γ.Τ.Ρ. (µέθοδος διχοτόµου) CsGs () () Αν s είναι ένας επιθυµητός πόλος του κλειστού συστήµατος + CsGs ( ) ( ) s+ zlead Όπου Cs () =, zlead < plead s+ plead Από τη συνθήκη της φάσης για το σύστηµα CsGs () ()(δες Γ.Τ.Ρ) Πρέπει φ φ φ φ φ o p z = 80 LEAD LEAD φ φ = 80 ( φ + φ + φ ) o ή p z 2 3 LEAD LEAD = φ 6 /8

17 Το µηδενικό και ο πόλος του ελεγκτή µπορούν να υπολογιστούν µε βάση τον εξής αλγόριθµο s s 0. Εύρεση διχοτόµου γωνίας s s Εύρεση 2 ηµιευθειών s s και s s 3 έτσι ώστε sss = φ 2 και 3 3. Το σηµείο τοµής της s s µε τον πραγµατικό άξονα είναι ο πόλος του ελεγκτή 4 4. Το σηµείο τοµής της s s µε τον πραγµατικό άξονα είναι το µηδενικό του ελεγκτή z LEAD 4 = sss p LEAD φ 2 o φ + 80 φ + φ = 80 Απόδειξη: plead z (άθροισµα γωνιών τριγώνου) LEAD o 7 /8

18 ( k ) ( ) P(0) Π t P p σ ct () = + 2kG e cos ωdt P( p) p Q( p) G(0) + + pkq pk dq Q = ds dc() t π = 0 Tp = P p Q p dt ω + d 2 ( ) ( ) ( 0) ( 0) w d m= p 2 G n Q ωn k = 2 ( p z ) m P ω M = + 2 k e ( p p ) k σtp 8 /8