Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0:
|
|
- Τιμοθέα Αγγελίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0: Duxan uki 1. U kraljevstvu ima 100 mudraca. Kralj testira mudrace na slede i naqin: postroji ih u red i svakom stavi na glavu belu ili crnu kapu tako da svaki mudrac vidi kape svih ispred njega, ali ne vidi svoju, niti one iza njega. Potom mudraci jedan po jedan pokuxavaju da pogode boju svoje kape, i ko promaxi biva kaжnjen. Koliko najvixe mudraca se moжe spasti? Rexenje. Mogu se spasti svi osim moжda jednog. Poslednji mudrac u redu, koji vidi sve ostale kape, жrtvuje se tako xto kaжe bela ako je broj crnih kapa ispred njega paran, a crna ako nije. Sada prvi mudrac ispred njega, videvxi kape ispred sebe, zna boju svoje kape, zatim onaj ispred njega, videvxi kape ispred sebe i quvxi odgovor kolege, zna boju svoje kape, itd. 2. Imamo n neprovidnih kutija koje su poređane u red i spojene. U jednoj od njih (ne znamo kojoj) krije se mix. Mlada partizanka pokuxava da ubije mixa bombom. U svakom koraku ona ubacuje bombu u jednu kutiju. Ako se mix u tom trenutku nalazi unutra, on e stradati, a ako nije unutra, pomeri e se nadesno iz svoje kutije u susednu. Ako dođe do krajnje desne kutije, mix ostaje u njoj. Koliko je najmanje bombi potrebno partizanki da bi sa sigurnox u ubila mixa? Rexenje. Dovoljno je [ n 2 ] + 1 bombi. Partizanka moжe da baci i-tu bombu u (2i 1)-tu kutiju za 1 i [ n 2 ], a poslednju bombu u n-tu kutiju. Na ovaj naqin, ako je x poqetna pozicija mixa i 1 x [ n 2 ], ubija ga x-ta bomba, dok ga za x > [ n 2 ] ubija poslednja bomba u n-toj kutiji. Pretpostavimo sada da partizanka ima samo [ n 2 ] bombi i da ih baca redom u kutije k 1,..., k [ n 2 ]. Za kutiju x kaжemo da je loxa ako mixa qija je poqetna pozicija x ubija i-ta bomba, tj. x = k i i + 1. Svaka od partizankinih bombi qini najvixe jednu od kutija 1, 2,..., [ n 2 ] + 1 loxom. Tako bar jedna kutija nije loxa, tj. mix ne e umreti ako se u poqetku nalazi u toj kutiji. 3. Grupa razbojnika skriva svoje blago u 2011 pe ina koje su numerisane brojevima 1, 2,..., Preko dana oni drжe blago u jednoj od ovih pe ina, a no u ga premextaju u jednu od susednih pe ina. Alibaba je saznao ove informacije i svakog dana u podne ulazi u jednu od pe ina. Da li Alibaba ima strategiju kojom sa sigurnox u moжe da pronađe blago u konaqno mnogo pokuxaja? Rexenje. Pretpostavimo za sad da je prvog dana blago u pe ini sa parnim brojem. Alibaba prvo proverava pe inu Ako ne nađe blago, onda je ono u parnoj pe ini sa brojem ne ve im od 2008, a narednog dana je u neparnoj pe ini sa brojem ne ve im od Zato Alibaba sutradan ulazi u pe inu 2009; ako opet ne nađe blago, narednog dana e u i u pe inu 2008, itd, dok 2009-tog dana ne proveri pe inu 2. Ako jox nije naxao blago, to e znaqiti da je polazna pretpostavka pogrexna i da je blago u poqetku bilo u neparnoj pe ini. Dakle, 2010-tog dana blago jeste u parnoj pe ini, pa Alibaba moжe da ponovi svoju strategiju i tako sigurno pronađe blago. 4. Mađioniqar treba da izraquna povrxinu datog konveksnog 2008-ugla. On moжe da izabere dve taqke na granici mnogougla (to mogu da budu temena ili taqke koje dele određenu stranicu u datom odnosu), a publika mu saopxtava povrxinu manjeg od dva dela na koje duж određena tim dvema taqkama deli mnogougao. Dokazati da u 2006 pitanja mađioniqar moжe da nađe povrxinu mnogougla. Rexenje. Neka je AA 1 A 2... A 2007 dati mnogougao i neka je M i sredixte stranice A i A i+1 za i = 1,..., Pokaza emo da biranjem parova (A, M i ) mađioniqar moжe 1
2 da postigne cilj. Oznaqimo sa T i povrxinu trougla AA i A i+1, a sa S i odgovor koji dobija na pitanje o paru (A, M i ). Mađioniqaru je dovoljno da odredi sve T i. Neka je AL prava koja polovi povrxinu mnogougla. Vrednosti S i rastu do prave AL, a potom opadaju, tj. S 1 < < S n S n+1 > > S 2006 za neko n. Kako je S i = 2(T T i 1 ) + T i za i = 1,..., n 1, mađioniqar odavde moжe da odredi T 1,..., T n 1. Na sliqan naqin određuje i T n+1,..., T Najzad, imamo S n = 2 min{t 1 + +T n 1, T n T 2006 } + T n, odakle se dobija T n. 5. Tatjana je zamislila polinom P (x) qiji su koeficijenti iz skupa N 0. Danica жeli da odredi taj polinom. Ona u jednom potezu izgovara ceo broj k, a Tatjana joj saopxtava vrednost P (k). Na i najmanji broj poteza potrebnih Danici da otkrije Tatjanin polinom. Rexenje. Jedan potez nije dovoljan: npr. na osnovu vrednosti P (k) = k Danica ne moжe da se opredeli između polinoma P (x) = x i P (x) = k. Dva poteza su dovoljna. Za k = 1 Danica saznaje P (1) = n, iz qega zakljuquje da su svi koeficijenti polinoma P ne ve i od n. Potom za k = n + 1 Danica saznaje P (n+1) = m. Iz dobijenog odgovora ona jednoznaqno određuje koeficijente polinoma P kao cifre broja m u sistemu sa osnovom n U kvadratnu tablicu 7 7 Milox je upisao sve prirodne brojeve od 1 do 49. orđe treba da odgonetne raspored brojeva u tablici. On moжe da izabere kvadrat koji pokriva neka polja tablice i da Miloxu postavi pitanje koji se brojevi nalaze unutar tog kvadrata. Koliko najmanje pitanja orđe treba da postavi da bi na osnovu Miloxevih odgovora saznao raspored svih brojeva u tablici? Rexenje. Kaжemo da pitanje o kvadratu K razdvaja polja A i B ako kvadrat K sadrжi taqno jedno od ta dva polja. Milox e ostvariti cilj ako i samo ako, za svaka dva polja tablice, bar jedno njegovo pitanje ih razdvaja. Posmatrajmo 24 iviqna polja tablice. Svako pitanje e razdvojiti najvixe dva para susednih iviqnih polja, xto znaqi da je Miloxu potrebno bar 12 pitanja. S druge strane, on moжe da ostvari cilj pitanjima o kvadratima stranice 1, 2 i 3 sa jednim temenom u temenu tablice. 7. Vanja je zamislio prirodan broj x od 1 do 1000, a Anja pokuxava da ga pogodi. U svakom koraku ona odabere skup brojeva A i Vanji postavlja pitanje Da li x pripada skupu A?. Koliko pitanja je potrebno Anji da sa sigurnox u pogodi broj x? Rexenje. Neka je n broj Anjinih pitanja. Da bi Anja mogla uvek da pogodi broj x, svi brojevi od 1 do 1000 bi morali da generixu razliqite nizove odgovora da i ne, a nizova odgovora ima 2 n. Zato mora biti 2 n 1000, pa Anji treba bar 10 pitanja. Deset pitanja je dovoljno. Za i = 1,..., 10, u i-tom pitanju Anja pita da li je i-ta binarna cifra broja x otpozadi jedinica, xto joj omogu uje da odredi sve binarne cifre broja x. 8. Brojevi od 1 do 100 su zapisani nekim redom. U jednom pitanju moжemo da saznamo međusobni redosled proizvoljnih 50 brojeva. Dokazati da pomo u pet pitanja moжemo da otkrijemo redosled svih 100 brojeva. Rexenje. Podelimo brojeve u grupe A i B od po 50 brojeva. Prvo pitamo za redosled brojeva grupe A, a zatim za redosled grupe B. U tre em pitanju pitamo za redosled prvih 25 brojeva iz grupe A i prvih 25 iz grupe B. U qetvrtom pitamo za redosled poslednjih 25 brojeva iz A i poslednjih 25 iz B. Tako posle qetiri pitanja znamo prvih 25 i poslednjih 25 brojeva traжenog redosleda, a u petom pitanju rasporedimo preostalih 50 brojeva. 9. Dato je n N. Milox i Aca igraju slede u igru protiv oleta. Prvo ole postavlja 2n karata oznaqenih brojevima 1, 2,..., 2n u jedan red na stolu. Poxto pogleda raspored karata, Milox moжe (ali ne mora) da odabere dve karte i zameni im mesta. Zatim se sve karte okrenu licem nadole, a stolu prilazi Aca. ole kaжe 2
3 bilo koji broj od 1 do 2n, a Aca okre e karte kako bi pronaxao kartu sa tim brojem. Milox i Aca pobeđuju ako Aca nađe traжenu kartu u najvixe n pokuxaja, a inaqe pobeđuje ole. Ko ima pobedniqku strategiju? (Milox i Aca se mogu dogovarati samo pre poqetka igre.) Rexenje. Raspored karata na stolu moжemo da posmatramo kao permutaciju π brojeva 1,..., 2n. Ako ole kaжe broj k, Aca e pokuxati da nađe kartu k otvaraju i karte na mestima k, π(k), π 2 (k),..., π r 1 (k), gde je r duжina ciklusa permutacije kome pripada broj k. Tako e Aca pobediti ako svi ciklusi permutacije π imaju duжinu ne ve u od n. Permutaciju e takvom uqiniti Acin saveznik Milox. Naime, u permutaciji π postoji najvixe jedan ciklus duжine ve e od n (ako ne postoji, Milox ne mora nixta da radi): neka je to ciklus i, π(i),..., π s 1 (i) (s > n). Zamenom karata i i π n (i) Milox deli ovaj ciklus na dva ciklusa duжina n i s n, qime postiжe cilj. 10. (a) Dva igraqa izvode trik s kartama. Prvi izvlaqi pet karata iz xpila od 52 karte (koji je promexao neko iz publike), pogleda ih, a onda ih poređa na sto sleva nadesno, i to jednu licem nadole, a ostale licem nagore. Tada drugi igraq pogađa skrivenu kartu. Dokazati da se igraqi mogu dogovoriti tako da trik uvek bude uspexan. (b) Isto pitanje, s tim da prvi igraq izlaжe qetiri karte sleva nadesno licem nagore, a petu uopxte ne izloжi. Rexenje. (a) Numeriximo karte brojevima od 1 do 52. Svaki raspored prikazanih karata a, b, c, d predstavlja jedan od 24 mogu a poretka (a < b < c < d, a < b < d < c, itd), xto zajedno sa pozicijom skrivene karte daje 120 mogu nosti. To je sasvim dovoljno da odredi petu kartu. (b) Dve od izvuqenih karata imaju istu boju: neka su to g i h. Moжemo da ih oznaqimo tako da je g h {1, 2, 3, 4, 5, 6} (mod 13). Prvi igraq skriva kartu g i prvo izlaжe kartu h. Drugi sada zna da nepoznata karta ima istu boju kao h i jednu od vrednosti h + 1,..., h + 6, a koju od tih xest, jednoznaqno e odrediti raspored preostale tri karte. 11. Stojimo pored okruglog stola za kojim sedi ukupno 30 ljudi, pametnih i glupih, pri qemu znamo da glupih nema vixe od G. Pitamo svakog od njih da li mu je desni sused pametan ili glup. Pametan kaжe istinu, a glup nekad istinu a nekad laж. Za koje najve e G emo uvek biti u stanju da na osnovu odgovora identifikujemo bar jednog pametnog qoveka? Rexenje. Posmatrajmo najduжi niz odgovora pametan (recimo duжine p) i poslednjeg qoveka A za kojeg je dat takav odgovor. Pretpostavimo da je A glup. Tada je njega pametnim nazvao glupak, koga je takođe glupak nazvao pametnim itd, dakle imamo bar p + 1 glupaka zaredom. S druge strane, tada ne moжemo da imamo vixe od p + 1 pametnih ljudi zaredom jer bi onda oni dali duжi niz odgovora pametan. To znaqi da među preostalih 29 p ljudi ima bar [ 29 p p+2 p [ 29 p p+2 ] glupaka, xto ukupno daje bar ] > (p + 2) + 31 p > 8, dakle bar 9 glupaka, tako da za G < 8 moжemo da identifikujemo jednog pametnog qoveka. S druge strane, za G = 9, ako glupaci sede na mestima 1, 2, 3, 4, 5, 11, 16, 21, 26, moжemo da dobijemo periodiqne odgovore - da ljudi na mestima 5, 10, 15, 20, 25, 30 odgovore glup, a svi ostali pametan. Iste odgovore bismo mogli da dobijemo i ako zarotiramo raspored za 5, 10, 15, 20, 25 mesta, tako da ne moжemo da taqno odredimo nijednog pametnog qoveka. 12. Deqaci i devojqice, kojih je ukupno n 2, raspoređeni su u kvadrat n n. Za svaku vrstu ili kolonu, kao i za svaku od 2(2n 1) dijagonala, znamo koliko u njoj ima devojqica. Za koje n su nam ovi podaci uvek dovoljni da odredimo pozicije svih devojqica? Za koje pozicije moжemo uvek sa sigurnox u re i da li su na njima devojqice ili deqaci? 3
4 Rexenje. Oznaqimo a ij = 1 ako je u preseku i-te vrste i j-te kolone devojqica, a a ij = 0 ako je deqak. Za n = 1, 2 trivijalno određujemo sve a ij. Takođe, za n = 3, znaju i a 11 i a 13 nalazimo a 12 ; sliqno nalazimo a 21, a 23, a 32 i a 22. Za n = 4 znamo a 11, a 14, a 41, a 44. Dalje, znaju i v 1 = a 11 + a 12 + a 13 + a 14, k 1 = a 11 + a 21 + a 31 + a 41, d 2 = a 12 + a 21 i d 3 = a 13 + a 22 + a 31, dobijamo a 22 = d 3 (v 1 + k 1 ) + (2a 11 + a 14 + a 41 + d 2 ). Sliqno nalazimo a 23, a 32, a 33. S druge strane, ostalih 8 vrednosti nije mogu e odrediti jer raspored u kome je a 12 = a 24 = a 43 = a 31 = 1 i a 13 = a 34 = a 42 = a 21 = 0 daje iste podatke kao raspored u kome je a 12 = a 24 = a 43 = a 31 = 0 i a 13 = a 34 = a 42 = a 21 = 1. Za n = 5 znamo qetiri ugaone vrednosti. Usredsređuju i se na podkvadrate 4 4 zakljuqujemo da nije mogu e odrediti vrednost ni u jednom drugom polju razliqitom od centralnog. S druge strane, centralno polje se moжe odrediti: znaju i a 11 +a 12 + a 21, a 15 + a 14 + a 25, a 55 + a 54 + a 45 i a 51 + a 41 + a 52, nalazimo a 13 + a 31 + a 35 + a 53, a odatle i a 22 + a 24 + a 42 + a 44 ; najzad, znaju i zbirove po velikim dijagonalama nalazimo a 33. Za n 6, usredsređuju i se na podkvadrate 5 5, vidimo da u opxtem sluqaju nije mogu e odrediti nijednu vrednost osim ugaonih. 13. Slepi mix se kre e duж realne prave traжe i svoju ku u koja je u taqki A. On polazi iz koordinatnog poqetka O i zna da ima bar metar do ku e, ali ne zna na koju stranu mu je ku a niti koliko je taqno daleko, a ne e je videti dok ne udari u nju. Dokazati da slepi mix moжe da osmisli strategiju koja e mu garantovati da e prona i ku u ne prelaze i put duжi od 9 OA. Moжe li se konstanta 9 popraviti? Rexenje. Neka je x koordinata ku e. Slepi mix e leteti putanjom OA 1 A 2 A 3 A 4..., gde je A i taqka s koordinatom ( 2) i 1. Da bi doxao do taqke x, 4 n 1 < x 4 n, on prelazi put duжine 6( n 1 ) + x = 2(4 n 1) + x < 9x. Sliqno, dok ne dođe do taqke x, 1 2 4n 1 < x 1 2 4n, pre i e put duжine 2( n )+x = 2 2n x < 9x. Pretpostavimo da postoji putanja OA 1 A 2 A 3... kojom slepi mix moжe da se kre e tako da do svake taqke x dolazi putem ne duжim od kx, gde je k konstanta. Neka je, bez smanjenja opxtosti, ( 1) i 1 a i (a i > 0) koordinata taqke A i. Da bi doxao do taqke x > a n za n neparno, odnosno x < a n za n parno, slepi mix mora da pređe put duжine bar 2(a 1 + a a n+1 ) + x. Odavde sledi da je a 1 + a a n+1 k 1 2 a n za sve n. Oznaqimo b n = a1+a2+ +an+1 a n. Kako je b n+1 = an a n+1 b n + an+2 a n+1, primenom A-G nejednakosti dobijamo b 2 n+1 4a na n+2 a 2 n+1 n = 1, 2,..., t dobijamo ( k 1 2 )t+1 b 2 b 3 b t b 2 t+1 4 t b 1 a 1 a t+2 ( k 1 8 )t+1 > b1a1 4a 2 b n. Mnoжenjem poslednje nejednakosti za a 2 a t+1 > 4 t b1a 1, odakle je najzad za svako t N, a to je mogu e jedino ako je k 1 8 1, tj. k Mađioniqar ima xpil od 52 karte. Njegov asistent zna raspored karata u xpilu i жeli u xto manje pitanja da omogu i gledaocima da i oni pogode raspored karata (simetriqni rasporedi se smatraju istim). U svakom pitanju asistent imenuje dve karte, a mađioniqar saopxtava gledaocima koliko ima karata u xpilu između te dve karte. Koliko najmanje pitanja je potrebno asistentu da postigne svoj cilj? Rexenje. Pokaza emo da je 34 pitanja dovoljno. Oznaqimo karte u xpilu brojevima od 1 do 52 redom. Asistent prvo postavlja pitanja o kartama 1 i 52 (tako gledaocima stavlja na znanje da su ove dve karte krajnje), a zatim o kartama 1 i 3 (qime obavextava publiku o poziciji karte 3). U narednom paru poteza, asistent postavlja pitanja o kartama (51, 2), a zatim o kartama (51, 49). Nakon ova dva pitanja publika zna da je raspored 1, 2, 3,?,...,?, 49,?, 51, 52 ili 1, 51, 3, 49,?...,?, 2, 52. Slede i par asistentovih pitanja bi e (4, 50) i (4, 6). Nakon ovih pitanja druga mogu nost rasporeda otpada (ne postoje dve neodređene karte između kojih je 45 drugih). Tako su sada mogu i rasporedi 1, 2, 3, 4,?, 6,?...,?, 49, 50, 51, 52 i 1, 2, 3, 50,?,...,?, 6, 49, 4, 51, 52. Asistent nastavlja postupak pitanjima (48, 5), (48, 46), (7, 47), (7, 9), (45, 8), (45, 43), a 2 4
5 itd, zakljuqno sa 33- im pitanjem (25, 29). Sada postoje dva mogu a rasporeda: 1,..., 24, 25,?,?, 28, 29,..., 52 i 1,..., 24, 29,?,?, 28, 25, 30,..., 52. Najzad, njegovo poslednje pitanje (25, 26) jednoznaqno određuje raspored karata. S druge strane, 33 pitanja nije dovoljno. Posmatrajmo graf sa 52 temena koja odgovaraju kartama i 33 grane koje odgovaraju pitanjima. Taj graf ima bar = 19 komponenata povezanosti, pa među njima postoji komponenta sa dva temena {A, B}, ili postoje dve komponente {A} i {B} sa po jednim temenom. U oba sluqaja karte A i B bi mogle da zamene mesta, a da se odgovori ne promene. 15. Dati su prirodni brojevi k i n. Igraqi A i B igraju slede u igru. Na poqetku igre A bira konstantu N i saopxtava je, a onda zamixlja prirodan broj x N o kome igraq B pokuxava da dobije informacije. U svakom pitanju B bira proizvoljan skup S N i pita igraqa A da li x prirada S. Igraq B moжe da postavlja pitanja koliko жeli. Igraq A odgovara sa da ili ne, ali moжe da laжe; jedino ograniqenje je da ne sme da laжe k + 1 puta uzastopno. Cilj igraqa B je da odabere skup X sa najvixe n elemenata takav da x X. Dokazati da: (a) ako je n 2 k, onda B moжe da ostvari cilj. (b) za svako dovoljno veliko k postoji prirodan broj n 1, 99 k takav da B ne moжe garantovati pobedu. Rexenje. Za odgovor o igraqa A na pitanje da li je x S kaжemo da je nesaglasan sa brojem b ako je o =da i b S, ili o =ne i b S. (a) Pokaza emo da, u ma kom skupu Y sa 2 n + 1 brojeva, B moжe sa sigurnox u da odredi bar jedan broj koji nije x. Pretpostavimo bez smanjenja opxtosti da je Y = {0, 1,..., 2 n }. Igraq B poqinje tako xto ponavlja pitanje da li je x = 2 n. Ako k + 1 put za redom dobije odgovor ne, on zna da je x 2 n. U suprotnom, kad dobije odgovor da, on redom postavlja pitanja da li je i-ta binarna cifra broja x jednaka 1 za i = 1, 2,..., n. Ma kakvi da su odgovori, svi oni su nesaglasni sa nekim brojem b, 0 b 2 n 1. Imaju i u vidu prethodni odgovor da o broju 2 n, B moжe da zakljuqi da je x b. (b) Neka je 1 < λ < 2. Za svako i = 1,..., N, neka a i (m) oznaqava teku i broj uzastopnih odgovora nakon m-tog pitanja koji su nesaglasni sa i. Posmatrajmo veliqinu ϕ(m) = N i=1 λai(m). Jasno je da A postiжe cilj ukoliko moжe da odgovara tako da vaжi ϕ(m) < λ k+1 za svako m. Oznaqimo sa S m skup brojeva sa kojima bi odgovor da u m-tom pitanju bio nesaglasan. Ako A u m-tom pitanju odgovori da, vaжi a i (m) = a i (m 1) + 1 za i S m i a i (m) = 0 za i S m, pa je ϕ(m) = f 1 = λ i S m λ ai(m 1) + i S m 1. S druge strane, ako A odgovori ne, onda je a i (m) = a i (m 1) + 1 za i S m i a i (m) = 0 za i S m, pa je ϕ(m) = f 2 = λ i S m λ ai(m 1) + i S m 1. Kako je f 1 + f 2 = λϕ(m 1) + N, u m-tom pitanju A moжe da odgovori tako da bude ϕ(m) λ 2 ϕ(m 1) + N 2. U poqetku je ϕ(0) = N. Na osnovu prethodnog, jednostavna indukcija pokazuje da A moжe da bira odgovore tako da uvek vaжi ϕ(m) N 2 λ. Specijalno, ako je N < (2 λ)λ k+1, onda je ϕ(m) λ k+1, te A ima pobedniqku strategiju. Najzad, ako je 1, 99 < λ < 2, za dovoljno veliko k vaжi (2 λ)λ k+1 > 1, 99 k + 1, qime je tvrđenje dokazano. Beograd,
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDNjIH XKOLA, 19.0201 Prvi razred, A kategorija Da li postoje prirodni brojevi a, b, c takvi da je 2010 = (a + b) (b + c) (c + a)? U ravni su date kruжnice k 1 i k 2 i prava p koja seqe k 1 u
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραA Pismeni ispit iz DMS-a, A
A Pismeni ispit iz DMS-a, 08.0.009. A Prezime i ime studenta br. indeksa 1. (5 poena) Misle i da je atraktivan izgled dovoljan za karijeru pevaqice, pet mojih mladih sugrađanki (Kristina, Jelena, Tanja,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 20201 Prvi razred, A kategorija Neka je E sredixte stranice CD kvadrata ABCD. Ako normala u taqki D na dijagonalu BD seqe pravu AE u taqki F, dokazati da su taqke B, C i F kolinearne.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
8.201 Prvi razred A kategorija Aca, Branka, Vera i Goran su od nastavnika matematike dobili zadatak da izraqunaju koliqnik dva pozitivna realna broja, i to: Aca da izraquna a 1 : a 2, Branka da izraquna
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPolinomske jednaqine
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραDvostruko prebrojavanje prva-4 verzija:
Dvostruko prebrojavanje prva- verzija: 0 Duxan uki Pod dvostrukim prebrojavanjem podrazumevamo prebrojavanje neke veliqine na dva naqina u cilju dobijanja neke relacije (ili kontradikcije) Evo jednog banalnog
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
20201 Prvi razred A kategorija Za realne brojeve a, b, c vaжe nejednakosti b c a, c a b, a b c. Dokazati da je jedan od brojeva a, b, c jednak zbiru preostala dva. U trougao ABC sa stranicama BC = a, CA
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραKombinatorna geometrija verzija 1.7.1:
Kombinatorna geometrija verzija 1.7.1: 16.10.016. Duxan uki Granica između kombinatorne geometrije i geometrije, odnosno kombinatorike, qesto je zamrljana. Pod kombinatornom geometrijom obiqno podrazumevamo
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija. Od poqetnog broja mogu e je
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija a) Poto je n deljiv sa tri, sledi
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPotencija taqke. Duxan uki
Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo
Διαβάστε περισσότεραDRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2015/2016
DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 015/016 Kraljevo, 016 Organizacioni odbor 58. Drжavnog takmiqenja iz matematike 1. Nenad Slavkovi, rukovodilac XU Kraljevo predsednik. Dr Dragoljub
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije. 21. maj Prvi dan
Ministastvo posvete, nauke i tehnoloxkog azvoja Duxtvo matematiqaa Sbije IZBORNO TAKMIQENjE ZA UQEX E NA ME UNARODNOJ MATEMATIQKOJ OLIMPIJADI 1. maj 017. Pvi dan 1. Dat je ABC. Taqka D je sedixte stanice
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 10201 Prvi razred, A kategorija Neka je K taqka simetriqna ortocentru H trougla ABC u odnosu na sredixte stranice BC. Dokazati da je AK preqnik opisane kruжnice trougla ABC. Dati
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA. Miroslav M. Risti 2008/2009. Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu
STATISTIKA Miroslav M. Risti Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu 2008/2009 Literatura Miroslav M. Risti, Biljana Q. Popovi, Miodrag S. orđevi, Statistika za studente geografije,
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 2005/2006.
DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 005/006. Beograd VrƬaqka BaƬa 006 Organizaciju takmiqeƭa su pomogli: ORGANIZACIONI ODBOR 48. REPUBLIQKOG TAKMIQEƫA IZ MATEMATIKE.. 3. 4.
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
20201 Prvi razred A kategorija Na krakovima AC i BC jednakokrakog trougla ABC date su taqke M i N, redom, tako da je CM + CN = AC. Dokazati da sredixte duжi M N pripada sredƭoj liniji tog trougla koja
Διαβάστε περισσότεραREXENjA ZADATAKA OKRUЖNOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
REXENj ZDTK OKRUЖNOG TKIQENjENj IZ TETIKE UQENIK SREDNjIH XKOL, 8.0.009. Prvi razred, kategorija. naliza. Kakoje N 90, sledi da kruжnica nad kao preqnikom sadrжi i N. Konstrukcija. ko su i N simetriqne u odnosu
Διαβάστε περισσότεραi l 2, paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno (sl. 1). Uoqimo ravan ϕ paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama
NASTAVA MATEMATIKE U SREDNjIM XKOLAMA Sinixa Gavrilovi GEOMETRIJSKA MESTA TAQAKA U PROSTORU Po I. F. Xariginu, geometrija je mo no sredstvo u razvitku liqnosti u najxirem pogledu. Ona razvija osobine liqnosti
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, naue i tehnooxog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataa Prvi razred A ategorija 1. Oznaqimo sa p, q, r, s, t,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραB j k, gde je j neki broj između 1 i n, a k prirodan broj. Ovom komandom se
NASTAVA RAQUNARSTVA Dr Dragan Uroxevi PRIMENA KUMULATIVNIH SUMA 1. Motivacije Pretpostavimo da treba da rexite slede i problem. Neka se na poljima numerisanim brojevima od 1 do n (5 n 10 6 ) mogu nalaziti
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραVEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1 ZORAN PETROVI. Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu
ALGEBRA 1 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu Grupe Osnovni pojmovi i primeri Grupe su jedan od centralnih objekata u ovom kursu i nekoliko nedelja e biti posveeno upravo njima. Pojam grupe
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραDRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2014/2015
DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 014/015 Zajeqar, 015 Organizacioni odbor 57. Drжavnog takmiqenja iz matematike 1. Prof. dr Aleksandar Lipkovski, predsednik DMS. Dr Bojan
Διαβάστε περισσότεραREXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
. REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA,.0.009. Prvi razred, A kategorija Kako je A sredite duжi MN, sledi da je XA = XM + XN. Analogno je XB = XR + XS. XP + XQ i XC
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότερα