ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΒΙΒΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΑΘΜΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΕΚΣΚΑΦΗ

Transcript

1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΒΙΒΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΑΘΜΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΕΚΣΚΑΦΗ Αγγελική Ζορµπά, Νικόλαος Θεοδοσίου και Ελένη Φωτοπούλου Τοµέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, , Θεσσαλονίκη ΠΕΡΙΛΗΨΗ Με την παρούσα εργασία επιχειρείται η εφαρµογή της µεθόδου των γενετικών αλγορίθµων για την επίλυση του κλασσικού προβλήµατος υποβιβασµού της στάθµης του υπόγειου νερού σε εκσκαφή µε τη διάνοιξη και χρήση γεωτρήσεων άντλησης, το οποίο έχει ήδη αντιµετωπιστεί µε την εφαρµογή γραµµικού αλλά και µη γραµµικού προγραµµατισµού. Για την ανάπτυξη του µοντέλου διαχείρισης εφαρµόζεται η µέθοδος της ενσωµάτωσης του µοντέλου προσοµοίωσης στο µοντέλο βελτιστοποίησης. Η σύγκριση της αποτελεσµατικότητας των διαφορετικών µεθόδων, λαµβάνοντας υπόψη και παραµέτρους όπως ο χρόνος επίλυσης και η ακρίβεια των αποτελεσµάτων, οδηγεί σε ενδιαφέροντα συµπεράσµατα σχετικά µε τη χρήση των γενετικών αλγορίθµων ως µεθόδου βελτιστοποίησης κυρίως µη-γραµµικών προβληµάτων. COMPARISON OF GENETIC ALGORITHMS AND MATHEMATICAL PROGRAMMING FOR THE PROBLEM OF EXCAVATION DEWATERING Aggelk Zorba, Ncolaos Theodossou and Elen Fotopoulou Dvson of Hydraulcs and Envronmental Engneerng, Department of Cvl Engneerng, Arstotle Unversty of Thessalonk, Thessalonk, Greece ABSTRACT In the current paper an applcaton of the genetc algorthms method s attempted for the soluton of the classc problem of excavaton dewaterng wth the use of pumpng wells, a problem whch has already been solved wth the use of lnear and non-lnear programmng. For the development of the management model the embedded method s used n order to combne the smulaton and the optmzaton models. The comparson of the effectveness of the dfferent optmzaton methods, takng nto consderaton parameters such as the tme needed for the problem to be solved and the accuracy of the results, provde nterestng conclusons regardng the use of genetc algorthm as an optmzaton technque for non-lnear problems.

2 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εργασία αυτή έχει ως αντικείµενο τη διερεύνηση και αξιολόγηση εφαρµογών του µαθηµατικού προγραµµατισµού στη βελτιστοποίηση της λειτουργίας πηγαδιών άντλησης, µε στόχο την υποβίβαση της στάθµης του νερού σε εκσκαφή. Η βελτιστοποίηση της λειτουργίας των πηγαδιών άντλησης εστιάζεται στον προσδιορισµό της θέσης των πηγαδιών και της παροχής άντλησης σε συνδυασµό µε το βάθος άντλησης έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η ελαχιστοποίηση του κόστους. Το πρόβληµα αυτό εµφανίζεται συνήθως σε κατασκευαστικούς χώρους όπου µια εκσκαφή πρέπει να διατηρηθεί στεγνή κατά τη διάρκεια εκτέλεσης κάποιων έργων. Η συγκεκριµένη εφαρµογή χαρακτηρίζεται ως κλασσική γιατί έχει επιλεγεί ως αντικείµενο µελέτης σε πολλές εργασίες όπως αυτές των Aquado et al (1974), που εισήγαγαν και την εφαρµογή της µεθόδου της ενσωµάτωσης σύµφωνα µε την οποία, οι αναλυτικές εξισώσεις που περιγράφουν τη ροή στον υδροφορέα χρησιµοποιούνται ως περιορισµοί του µοντέλου βελτιστοποίησης (Theodossou, 2004) και των Latnopoulos et al. (1985), που προτείνουν µια ενδιαφέρουσα γραµµικοποίηση του προβλήµατος. Σηµαντική είναι επίσης και η συνεισφορά των Aquado and Remson (1980 και 1982) κυρίως στην εφαρµογή αριθµητικών µοντέλων για την επίλυση του προβλήµατος της υποβάθµισης της στάθµης του νερού σε εκσκαφή. Τέλος στην εργασία τους οι Φωτοπούλου κ.α. (1995) έλυσαν το πρόβληµα στην πλήρως µη-γραµµική του µορφή και συνέκριναν και αξιολόγησαν τα αποτελέσµατα που προέκυψαν µε αυτά των διάφορων γραµµικοποιηµένων και απλοποιηµένων εκφράσεων που αναφέρονται στην βιβλιογραφία καθορίζοντας και τα αντίστοιχα πεδία εφαρµογής τους. Στην παρούσα εργασία δίνεται ιδιαίτερη έµφαση στην σύγκριση και αξιολόγηση των αποτελεσµάτων από την εφαρµογή σύνθετων µεθόδων βελτιστοποίησης όπως είναι ο µη-γραµµικός µαθηµατικός προγραµµατισµός, η εφαρµογή του οποίου παρουσιάζεται στην εργασία των Φωτοπούλου κ.α. (1995) και η µέθοδος των γενετικών αλγορίθµων. 2. ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 2.1 ΜΟΝΤΕΛΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΒΙΒΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΑΘΜΗΣ Το πρόβληµα που εξετάζεται εντοπίζεται στην εύρεση του οικονοµικότερου τρόπου λειτουργίας του συστήµατος πηγαδιών ούτως ώστε να επιτυγχάνεται ο στόχος που είναι η υποβίβαση της στάθµης φρεάτιου υδροφορέα κάτω από το επίπεδο εκσκαφής χωρίς παράλληλα να γίνεται υπεράντληση. Η µη γραµµική εξίσωση που περιγράφει τη ροή σε φρεάτιο, οµογενή και ισότροπο υδροφορέα, υπό τη λειτουργία συστήµατος πηγαδιών, γράφεται (Bear, 1979): 2 ( x - x ) ( y - y ) n 2 + = h = + H Q ln (2.1) π Κ 1 R όπου: h η τιµή του υδραυλικού φορτίου στην υπό εξέταση θέση ελέγχου H η αρχική τιµή του υδραυλικού φορτίου πριν τη λειτουργία του πηγαδιού K ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας R η ακτίνα επιρροής n ο αριθµός των πηγαδιών που λειτουργούν στο πεδίο Q η παροχή άντλησης (θετική) ή φόρτισης (αρνητική) του -οστού πηγαδιού x, y οι συντεταγµένες της θέσεις ελέγχου x, y οι συντεταγµένες του -οστού πηγαδιού

3 2.1.1 Αντικειµενική συνάρτηση Η αντικειµενική συνάρτηση του προβλήµατος είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους άντλησης των πηγαδιών. Η µαθηµατική προσέγγιση της θεώρησης αυτής αναφέρεται στη βιβλιογραφία µε πολλές µορφές. Οι πιο συνηθισµένες είναι, η απλή γραµµική συνάρτηση που απαιτεί την ελαχιστοποίηση της συνολικής παροχής άντλησης: n Q = 1 mnmse (2.2) όπου Q η παροχή άντλησης του -οστού πηγαδιού καθώς επίσης και η µη γραµµική (τετραγωνική) συνάρτηση που συνδυάζει την παροχή άντλησης µε το βάθος άντλησης. Η µη γραµµικότητα της συνάρτησης εντοπίζεται στο γεγονός ότι η πτώση στάθµης είναι συνάρτηση της παροχής άντλησης. n [ = 1 ( mnmse Q h + d)] (2.3) όπου d h το αρχικό βάθος του υδροφόρου ορίζοντα από την επιφάνεια του εδάφους η πτώση στάθµης στα όρια του -οστού πηγαδιού ως διαφορά της αρχικής (H) και της τελικής (h) τιµής του υδραυλικού φορτίου από την εξίσωση (2.1). Αντικαθιστώντας το h από την εξίσωση (2.1), η αντικειµενική συνάρτηση (2.3) παίρνει τη µορφή: mnmse n Q 2 ( x - x ) ( y - y ) n 2 1 j + 2 j (H + d) - H + Q ln π Κ j 1 R (2.4) = 1 = Στην εργασία τους οι Latnopoulos et al. (1985) προτείνουν µια απλοποιηµένη µορφή της εξίσωσης (2.3) η οποία βασίζεται στην υπόθεση ότι η διακύµανση της πτώσης στάθµης των πηγαδιών άντλησης είναι µικρή σε σχέση µε το αρχικό υδραυλικό φορτίο. Έτσι η πτώση στάθµης σε κάθε πηγάδι θεωρείται ίση µε τη µέση πτώση στάθµης των πηγαδιών. Περισσότερες λεπτοµέρειες για τη διαµόρφωση της απλοποιηµένης µη γραµµικής µορφής της αντικειµενικής συνάρτησης µπορεί να βρει κανείς στη εργασία των Latnopoulos et al Περιορισµοί Οι περιορισµοί του προβλήµατος είναι δύο ειδών. (α) Έλεγχος στάθµης µέσα στην εκσκαφή.

4 Στόχος του προβλήµατος είναι να παραµείνει στεγνός ο πυθµένας της εκσκαφής. Αυτό εξασφαλίζεται µε τον έλεγχο της στάθµης σε ένα δίκτυο σηµείων ελέγχου. Η µαθηµατική έκφραση των περιορισµών αυτών είναι: 2 2 ( H d - D h + ) (2.5) όπου D το βάθος της εκσκαφής (β) Έλεγχος πτώσης στάθµης στα πηγάδια Για την καλύτερη λειτουργία των πηγαδιών τίθεται ως περιορισµός η πτώση στάθµης τους να µην υπερβαίνει το H/2. Η µαθηµατική έκφραση των περιορισµών αυτών είναι: h 2 H 2 2 (2.6) Οι µεταβλητές h υπολογίζονται από την εξίσωση (2.1) συναρτήσει των παροχών άντλησης, που είναι και οι µεταβλητές απόφασης του προβλήµατος. Σηµειώνεται ότι στις εξισώσεις (2.5) και (2.6) ελέγχεται το µέγεθος h 2 γιατί χωρίς να επηρεάζεται η ουσία των περιορισµών επιτυγχάνεται η γραµµικότητα τους, γεγονός πολύ σηµαντικό για την επίλυση του αλγόριθµου βελτιστοποίησης. 2.2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Για την εφαρµογή των µοντέλων προσοµοίωσης της ροής και βελτιστοποίησης που αναφέρθηκαν προηγουµένως, επιλέχθηκε η επίλυση ενός υποθετικού προβλήµατος υποβίβασης της στάθµης υδροφορέα σε εκσκαφή (σχήµα 1). Η εκσκαφή αυτή έχει διαστάσεις 200m x 300m και βάθος D=12 m. Ο υδροφορέας της περιοχής είναι φρεάτιος και η ελεύθερη του επιφάνεια βρίσκεται 2 m κάτω από την επιφάνεια του εδάφους. Ο αδιαπέρατος πυθµένας υπολογίζεται ότι βρίσκεται σε βάθος Η=100 m από την ελεύθερη στάθµη. Το έδαφος θεωρείται οµογενές και ισότροπο µε συντελεστή διαπερατότητας K=5x10-4 m/sec. Για την αντιµετώπιση του προβλήµατος αποφασίστηκε η κατασκευή έξι πηγαδιών άντλησης µέσα στο χώρο της εκσκαφής. Η επιλογή της κατασκευής των πηγαδιών αυτών µέσα στο χώρο της εκσκαφής έγινε γιατί θεωρείται ότι δεν εµποδίζουν τις περαιτέρω εργασίες µέσα σ' αυτήν και κυρίως γιατί ο όγκος του νερού που αντλείται στην περίπτωση αυτή είναι πολύ µικρότερος από τον αντίστοιχο όγκο που θα αντλούνταν αν τα πηγάδια βρίσκονταν έξω από την εκσκαφή. Για την επίλυση του προβλήµατος το πεδίο έχει διακριτοποιηθεί µε κάναβο ισοδιάστασης 20 m. Στα σηµεία ελέγχου, που ταυτίζονται µε τους 176 κόµβους του καννάβου, ελέγχεται εάν η στάθµη είναι κάτω από το επίπεδο της εκσκαφής (εξ. 2.5). Η επιλογή ενός τόσο πυκνού δικτύου σηµείων ελέγχου έγινε για να καλύψει πλήρως τις διαφορετικές κρίσιµες περιοχές που προκύπτουν από τις διαφορετικές διατάξεις των πηγαδιών.

5 ΚΑΤΟΨΗ 200 m Α Α 300 m ΤΟΜΗ Α-Α D=12 m d1=2 m ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε ΑΦΟΥΣ ΑΡΧΙΚΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΣΤΑΘΜΗ Υ ΡΟΦΟΡΕΑ H=100 m Α ΙΑΠΕΡΑΤΟΣ ΠΥΘΜΕΝΑΣ Σχήµα 1. Υποθετικό πρόβληµα υποβίβασης της στάθµης του νερού σε εκσκαφή 3. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Μία σύγχρονη µέθοδος βελτιστοποίησης κυρίως µη-γραµµικών προβληµάτων µε πολύ καλά αποτελέσµατα είναι και αυτή των γενετικών αλγορίθµων. Στη διεθνή βιβλιογραφία αναφέρονται παραδείγµατα βελτιστοποίησης υδραυλικών δικτύων (Goldberg, 1989, Dandy et al.1996, Savc et al.1997, Montesnos et al Στο χώρο της διαχείρισης υδατικών πόρων επίσης έχουν χρησιµοποιηθεί από τους (McKnney and Ln 1994,Rtzel et al.1994, Cenawsk et al. 1995, Aly et Peralta 1999, Wardlaw and Sharf 1999). Πλούσια βιβλιογραφία υπάρχει επίσης σε θέµατα που αφορούν στην λειτουργία συστηµάτων πηγαδιών σε υπόγειους υδροφορείς στα οποία εφαρµόζεται η µέθοδος των γενετικών αλγορίθµων ως µέθοδος βελτιστοποίησης. Ενδεικτικά αναφέρονται οι εργασίες των Huang and Mayer (1997), Katsfaraks et al (1999), Park and Aral (2004) και Sdropoulos and Tolkas (2004). Οι Γενετικοί Αλγόριθµοι είναι µία διαδικασία προσοµοίωσης, κατά µία έννοια, της φύσης σε ότι αφορά στην εξέλιξη των ειδών, η οποία έχει αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια προκειµένου να αντιµετωπισθούν προβλήµατα επίλυσης συστηµάτων βασισµένων στις αρχές της αποτίµησης και της κληρονοµικότητας. Μία από τις εφαρµογές τους είναι η βελτιστοποίηση µαθηµατικών µοντέλων τα οποία µπορεί να περιγράφουν ένα οποιοδήποτε πρόβληµα, είτε αυτό είναι καθαρά φυσικό, είτε είναι

6 γενικότερης µαθηµατικής λογικής είτε ακόµα αφορά σε άλλα επιστηµονικά πεδία, όπως στην βιολογία από την οποία εξάλλου ξεκίνησαν, την κοινωνιολογία, την ζωολογία, την στατιστική, την διοίκηση επιχειρήσεων κ. ά. Η βασική αρχή στην οποία στηρίζονται οι Γενετικοί Αλγόριθµοι είναι η αρχή της φυσικής επιλογής την οποία πρώτος διατύπωσε ο αρβίνος. Σύµφωνα µε αυτήν, από ένα πληθυσµό έµβιων όντων επιζούν τα υγιέστερα, αυτά τα οποία εν δυνάµει, βάσει του νόµου των πιθανοτήτων, µπορούν να ανταπεξέλθουν στις δυσκολίες και τις αντιξοότητες του περιβάλλοντος (επιβίωση στον χώρο) αλλά και του βίου τους (επιβίωση στον χρόνο). Επειδή οι Γενετικοί Αλγόριθµοι αποτελούν µια διαδικασία αποµίµησης της βιολογικής φυσικής επιλογής επικράτησε κατά την εφαρµογή τους η χρήση όρων από την Βιολογία και την Γενετική (Bäck, 1996, Mchalewcz, 1994). Έτσι, το σύνολο των δυνατών λύσεων ενός προβλήµατος στο οποίο εφαρµόζονται Γενετικοί Αλγόριθµοι αποτελεί έναν πληθυσµό «χρωµοσωµάτων» τα οποία είναι αλυσίδες συµβόλων, των «γονιδίων». Οι κυριότερες γενετικές διαδικασίες βελτιστοποίησης ενός πληθυσµού είναι τρεις: 1ον) η Αναπαραγωγή, η οποία συµβαίνει σε ολόκληρο τον πληθυσµό µε φυσική επιλογή στη βάση µιας αξίας αποτίµησης 2ον) η ιασταύρωση, η οποία συµβαίνει σε ένα ποσοστό του πληθυσµού µε τυχαία επιλογή και 3ον) η Μετάλλαξη, η οποία συµβαίνει σε µικρό ποσοστό του συνόλου των γονιδίων επίσης τυχαία. Ένα από τα σηµαντικότερα στοιχεία της µεθόδου των Γενετικών Αλγορίθµων είναι το γεγονός ότι οι πληθυσµοί παράγονται και υφίστανται τις γενετικές διαδικασίες τυχαία. Για παράδειγµα, από ένα πληθυσµό 100 χρωµοσωµάτων, θα αναπαραχθούν στην επόµενη γενιά όχι µόνον τα υγιέστερα αλλά και ασθενή, τα οποία επίσης τυχαία θα διασταυρωθούν είτε µεταξύ τους η και µε πιο υγιή, και κάποια από αυτά θα βελτιωθούν ενώ άλλα θα πεθάνουν. 3.1 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ Οι γενετικοί αλγόριθµοι χρησιµοποιούνται ευρύτατα ως µέθοδος βελτιστοποίησης, (Goldberg, 1989). Ένα µαθηµατικό µοντέλο βελτιστοποίησης περιλαµβάνει: 1) τη συνάρτηση αποτίµησης ή αντικειµενική συνάρτηση της οποίας ζητείται η βέλτιστη τιµή και 2) τους περιορισµούς στους οποίους υπόκεινται οι ανεξάρτητες µεταβλητές του προβλήµατος. Ένα σύνολο τιµών των µεταβλητών αποτελεί λύση του προβλήµατος εφόσον υπακούει στους περιορισµούς, χωρίς να είναι αναγκαστικά η βέλτιστη. Στη µέθοδο των γενετικών αλγορίθµων ένα χρωµόσωµα εκφράζει ένα σύνολο τιµών των ανεξαρτήτων µεταβλητών, οι οποίες ενδέχεται να ικανοποιούν ή να µη ικανοποιούν τους περιορισµούς. Η αξία αποτίµησης µε βάση την οποία θα αναπαραχθεί στην επόµενη γενιά είναι η τιµή που οι συγκεκριµένες µεταβλητές δίνουν στην αντικειµενική συνάρτηση. Στην περίπτωση που το χρωµόσωµα δεν αποτελεί λύση, δηλαδή δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς αποκλείεται από τις γενετικές διαδικασίες. Αυτό το πετυχαίνουµε δίνοντας µία τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση που του αντιστοιχεί είτε υπερβολικά µικρή είτε υπερβολικά µεγάλη, ανάλογα µε το αν έχουµε µοντέλο µεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης.

7 ιαδικασία εφαρµογής της µεθόδου των γενετικών αλγορίθµων Για να εφαρµοστεί η µέθοδος των γενετικών αλγορίθµων πρέπει οι µεταβλητές να έχουν τη δοµή χρωµοσωµάτων, δηλαδή να είναι αλυσίδες συµβόλων (γονίδια). Συνήθως είναι σειρές αποτελούµενες από τα ψηφία 0 και 1, σε τυχαία θέση. Το πλήθος των γονιδίων καλείται µήκος του χρωµοσώµατος. Αν θεωρήσουµε αυτή την αλυσίδα ως ένα αριθµό δυαδικής µορφής µπορούµε να τον µετατρέψουµε σε δεκαδική βάση και να έχουµε έτσι την τιµή µιας µεταβλητής. Όταν στο µοντέλο βελτιστοποίησης έχουµε περισσότερες από µία µεταβλητές τότε το µήκος του χρωµοσώµατος είναι άθροισµα των επί µέρους µηκών των αντίστοιχων µεταβλητών. Η διαδικασία αρχίζει µε τη δηµιουργία ενός πλήθους τυχαίων χρωµοσωµάτων τα οποία αποτελούν τον αρχικό πληθυσµό. Εξετάζεται η βιωσιµότητά τους, κατά πόσο δηλαδή υπακούν στους περιορισµούς του προβλήµατος και υπολογίζεται η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί στο κάθε χρωµόσωµα. Εφαρµόζεται στη συνέχεια µία µέθοδος φυσικής επιλογής µε βάση την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, µε στόχο την αναπαραγωγή του πληθυσµού στην επόµενη γενιά. Μία τέτοια µέθοδος, η οποία εφαρµόστηκε στην συγκεκριµένη εφαρµογή, είναι η µέθοδος της ρουλέτας µε τα άνισα διαστήµατα. Ο πληθυσµός που θα αναπαραχθεί θα υποστεί τις διαδικασίες της διασταύρωσης και της µετάλλαξης. Η όλη διαδικασία επαναλαµβάνεται στην επόµενη γενιά. 3.2 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Το µαθηµατικό µοντέλο είναι αυτό που περιγράφεται στην παράγραφο 2. Η αντικειµενική συνάρτηση δίνεται από τη συνάρτηση κόστους (2.3). Οι περιορισµοί αφορούν 1. στον έλεγχο της στάθµης του νερού στα 176 σηµεία του καννάβου 2. στην πτώση της στάθµης των έξι πηγαδιών η οποία θα πρέπει να µη υπερβαίνει το Η/2 (= 50 m.). Η εφαρµογή της µεθόδου των γενετικών αλγορίθµων στην προκειµένη περίπτωση χωρίστηκε σε δύο περιπτώσεις: 1. Εύρεση παροχών σε επιλεγµένες θέσεις γεωτρήσεων. Επιλέχθηκαν οι θέσεις των έξι γεωτρήσεων όπως προέκυψαν από τη βέλτιστη λύση της µεθόδου των Φωτοπούλου κ.α., (1995) και υπολογίστηκαν οι τιµές των παροχών που δίνουν το ελάχιστο κόστος. 2. Αναζήτηση των θέσεων των έξι γεωτρήσεων και των παροχών. Οι πιθανές θέσεις των 6 γεωτρήσεων αναζητούνται µεταξύ των σηµείων των οποίων οι συντεταγµένες δίνονται από τον πίνακα 1, σε οιονδήποτε συνδυασµό. Κάθε χρωµόσωµα εκφράζει τις παροχές και τις συντεταγµένες των θέσεων των έξι γεωτρήσεων. Το µήκος ενός χρωµοσώµατος δεν είναι αυστηρό. Εξαρτάται από τις αναµενόµενες τιµές των µεταβλητών, την τάξη µεγέθους τους και την επιδιωκόµενη ακρίβεια. Στη συγκεκριµένη εφαρµογή το πλήθος των γονιδίων είναι 22 για κάθε πηγάδι, δηλαδή 6X22=132 συνολικά για κάθε χρωµόσωµα. Ο αριθµός 22 προκύπτει ως άθροισµα των γονιδίων που εκφράζουν την παροχή (10 γονίδια) και των γονιδίων που εκφράζουν τις συντεταγµένες x (6 γονίδια)και y (6 γονίδια). : 1. Όπως προκύπτει από τα αποτελέσµατα της εργασίας των Φωτοπούλου κ.α. (1995) η µέγιστη αναµενόµενη παροχή είναι 0,26006 m 3 /s. Αν επιλέξουµε ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων τότε η επιδίωξή µας είναι να υπάρχουν µεταξύ των δυνατών τιµών και η παροχή 0,260. Αυτό θα επιτευχθεί µε 9 γονίδια οπότε ο

8 µέγιστος αριθµός που θα προκύψει είναι το 2 9-1=511 και διαιρώντας το µε 1000 έχουµε τιµή 0,511>0,260. Αν θεωρήσουµε 8 γονίδια τότε ο µέγιστος αριθµός είναι 2 8-1=255, διαιρώντας δε µε 1000 έχουµε 0,255 που είναι µικρότερο από το 0,260. Ωστόσο για µεγαλύτερη ακρίβεια επιλέχθηκαν 10 ψηφία για την παροχή, οπότε ο µέγιστος αριθµός που µπορούµε να επιτύχουµε είναι ο =1023. Η τιµή αυτή διαιρείται ακολούθως µε το 2000 ώστε τελικά να έχουµε µέγιστη δυνατή παροχή 0,5125 και ενδιάµεσες τιµές µε τέταρτο δεκαδικό ψηφίο το 0 ή το 5. Είναι προφανές ότι µπορούµε να κάνουµε πολλές διαφορετικές επιλογές για το µήκος των χρωµοσωµάτων. Εκτός από την ακρίβεια κριτήριο αποτελεί και ο χρόνος υπολογισµού που γίνεται πολύ µεγάλος όταν υπάρχει µεγάλη ποικιλία στις τυχαίες τιµές, δυσχεραίνοντας την προσέγγιση της βέλτιστης λύσης. 2. Ως πιθανές θέσεις των γεωτρήσεων θεωρούνται τα σηµεία ενός αρκετά πυκνού καννάβου προφανώς διαφορετικού από τον κάνναβο των πηγαδιών παρατήρησης, περίπου ανά 5 µέτρα ως προς x και ανά 3 µέτρα ως προς y. Η δηµιουργία του βασίστηκε στο εξής σκεπτικό: Επειδή η παραγωγή ν-ψήφιων αριθµών µε το δυαδικό σύστηµα δίνει τους ν ακεραίους από 0 έως 2 ν -1 απαιτείται να γίνει αντιστοίχιση των κορυφών του καννάβου µε τους συγκεκριµένους ακέραιους αριθµούς. Εποµένως ο κάνναβος θα περιέχει τόσες κορυφές όσες µπορούν να προκύψουν από µία δύναµη ν του 2. Επιλέχθηκε ν=6, οπότε ο µέγιστος αριθµός που µπορούµε να επιτύχουµε είναι ο 2 6-1=63. Η συντεταγµένη x θέλουµε να έχει ελάχιστη τιµή 300 και µέγιστη 600. Αντιστοιχούµε τους ακέραιους αριθµούς 0, 1, έως 63, σε 64 ανάλογους από 300 έως 600. ιορθώνουµε όσους συµπίπτουν µε τις θέσεις των γεωτρήσεων παρατήρησης, δηλαδή τις κορυφές του καννάβου προσθέτοντας (ή αφαιρώντας) µία µονάδα. Αντίστοιχα κατανέµουµε τους 64 αριθµούς 0,1,..63 σε ανάλογους στο διάστηµα από 200 έως 400 για τη συντεταγµένη y και διορθώνουµε ώστε καµία γεώτρηση να µη συµπέσει µε γεώτρηση παρατήρησης. συντεταγµένες x συντεταγµένες y Πίνακας 1. Πιθανές συντεταγµένες των 6 γεωτρήσεων

9 Με τις γενετικές διαδικασίες επιδιώκεται ή εξέλιξη του αρχικού πληθυσµού και η εύρεση της βέλτιστης λύσης. Η επίλυση και των δύο περιπτώσεων έγινε σε Η/Υ µε πρόγραµµα σε γλώσσα Vsual Basc. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Από τα αποτελέσµατα της επίλυσης του προβλήµατος µε γραµµικό προγραµµατισµό (εξ. 2.2) παρατηρείται ότι δε γίνεται καλή αξιοποίηση των πηγαδιών άντλησης αφού στις περισσότερες εναλλακτικές λύσεις λειτουργούν µόνο τα τέσσερα από τα έξι πηγάδια. Αυτό ήταν αναµενόµενο, γνωρίζοντας τα προβλήµατα που υπάρχουν στην επίλυση µοντέλων µε γραµµικό προγραµµατισµό. Σε αντίθεση µε το γραµµικό προγραµµατισµό, στον µη γραµµικό προγραµµατισµό τα αποτελέσµατα είναι πολύ πιο οµαλά, όσον αφορά την κατανοµή των παροχών στα έξι πηγάδια. Ένας βασικός λόγος για αυτό είναι η µορφή της αντικειµενικής συνάρτησης που χρησιµοποιείται, η οποία δεν ελαχιστοποιεί µόνο τις παροχές άντλησης αλλά και το βάθος άντλησης. Έτσι αποφεύγονται λύσεις υπεράντλησης από ορισµένα πηγάδια κάτι που φαίνεται να συµβαίνει στα αποτελέσµατα του γραµµικού προγραµµατισµού. Σηµειώνεται ότι στα έντεκα εναλλακτικά σενάρια που εξετάστηκαν, οι διατάξεις των πηγαδιών έχουν συµµετρική µορφή λόγω της συµµετρικότητας του πεδίου. Τα πηγάδια παίρνουν θέσεις στα κέντρα των στοιχείων του καννάβου. Στις θέσεις των πηγαδιών απαιτείται η πτώση στάθµης να µην υπερβαίνει το µισό του αρχικού υδραυλικού φορτίου (εξ. 2.6). Το µοντέλο βελτιστοποίησης επιλύθηκε µε το πρόγραµµα µαθηµατικού προγραµµατισµού MINOS (Murtagh and Saunders, 1987). Η υπόθεση της ισχύος της απλοποιητικής παραδοχής των Latnopoulos et al (1985) δεν ήταν δυνατό να ελεγχθεί στα πλαίσια της εργασίας τους λόγω της αδυναµίας που υπήρχε τότε στην επίλυση προβληµάτων µε έντονα µη γραµµικές αντικειµενικές συναρτήσεις (εξ. 2.4). Η εξίσωση (2.4) επιλύθηκε από την Φωτοπούλου (1993) και η σύγκριση των αποτελεσµάτων µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα του προβλήµατος µε την απλοποιητική παραδοχή έδειξαν ότι όταν ισχύει η υπόθεση της µικρής, σε σχέση µε το υδραυλικό φορτίο, πτώσης στάθµης τα αποτελέσµατα των δύο µεθόδων συγκλίνουν. Ένα δεύτερο στοιχείο καθοριστικό για τη σύγκλιση των δύο λύσεων είναι και η σωστή επιλογή της µέσης τιµής της πτώσης στάθµης. Στην εργασία των Φωτοπούλου κ.α. (1995) µετά την εφαρµογή του µοντέλου βελτιστοποίησης υπολογιζόταν, από τα αποτελέσµατα, η µέση τιµή της πτώσης στάθµης και εάν αυτή ήταν διαφορετική από την αρχική επιλογή το πρόβληµα ξαναλυνόταν µε την καινούργια τιµή. Στον πίνακα 2 παρατίθενται τα αποτελέσµατα του σεναρίου που έδωσε τη βέλτιστη λύση. Η πρώτη λύση αναφέρεται στην επίλυση του προβλήµατος µε γραµµικό προγραµµατισµό (εξ. 2.2). Φαίνεται καθαρά η κακή κατανοµή των παροχών. Στο τέλος του πίνακα υπολογίζεται το µέγεθος ΣQ( h+d) για να είναι η λύση συγκρίσιµη µε τις υπόλοιπες που χρησιµοποιούν το µέγεθος αυτό ως αντικειµενική συνάρτηση. Οι τρεις επόµενες λύσεις αναφέρονται στην επίλυση του µη γραµµικού προβλήµατος (εξ. 2.4). Στην λύση 2 δε δόθηκαν αρχικές τιµές, στη λύση 3 δόθηκαν ως αρχικές τιµές τα αποτελέσµατα από την επίλυση του γραµµικού προβλήµατος και στη λύση 4 κάποιες ενδιάµεσες τιµές. Φαίνεται ότι η λύση 2 αποτελεί τοπικό ακρότατο. Αυτό αποδεικνύεται και από τις επόµενες δύο λύσεις, στις οποίες η επιλογή αρχικών τιµών οδήγησε το πρόγραµµα σε ακόµα καλύτερα αποτελέσµατα.

10 Οι λύσεις 5 έως 7 αναφέρονται στην επίλυση του προβλήµατος χρησιµοποιώντας την παραδοχή των Latnopoulos et al. Ως h* αναφέρεται η αρχική επιλογή της µέσης πτώσης στάθµης ενώ ως Μ.Ο. h η πραγµατική τιµή της όπως υπολογίζεται από τα αποτελέσµατα. Και εδώ φαίνεται ότι η επιλογή καλής αρχικής τιµής για τη µέση πτώση στάθµης σε συνδυασµό µε την επιλογή αρχικών τιµών οδηγεί στην ίδια λύση που προέκυψε από το πλήρως µη γραµµικό πρόβληµα. Πηγάδι ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 2 ΛΥΣΗ 3 ΛΥΣΗ 4 ΛΥΣΗ 5 ΛΥΣΗ 6 ΛΥΣΗ 7 Παροχές (m 3 /s) Παροχές χωρίς αρχ. τιµές Παροχές µε αρχ. τιµές 1 Παροχές µε αρχ. τιµές 2 Παροχές χωρίς αρχ. τιµές Παροχές µε αρχ. τιµές 1 Παροχές µε αρχ. τιµές h* M.O. h ΣQ ΣQ( h+d) Πίνακας 2. Αποτελέσµατα µοντέλου βελτιστοποίησης Σηµειώνεται ότι τα παραπάνω αποτελέσµατα αναφέρονται σε µια µόνο διάταξη πηγαδιών από τις έντεκα που εξετάστηκαν συνολικά. Η διάταξη αυτή που έδωσε και τη βέλτιστη λύση είναι η : Πηγάδι 1 µε συντεταγµένες Στο σχήµα 2 φαίνεται η κατανοµή του υδραυλικού φορτίου στον υδροφορέα µε την εφαρµογή των αποτελεσµάτων του µοντέλου βελτιστοποίησης. Οι συντεταγµένες των κορυφών της εκσκαφής, που φαίνεται επίσης στο σχήµα 2, είναι : (300, 400), (600, 400), (600, 200), (300, 200) Όπως προαναφέρθηκε η εφαρµογή της µεθόδου των γενετικών αλγορίθµων στην προκειµένη περίπτωση διακρίθηκε σε δύο περιπτώσεις: 1. Εύρεση παροχών σε επιλεγµένες θέσεις γεωτρήσεων Επιλέχθηκαν οι θέσεις των έξι γεωτρήσεων όπως προέκυψαν από τη βέλτιστη λύση της µεθόδου των Φωτοπούλου κ.α. (1995) και υπολογίστηκαν οι τιµές των παροχών που δίνουν το ελάχιστο κόστος. 2. Αναζήτηση των θέσεων των έξι γεωτρήσεων και των παροχών

11 Οι πιθανές θέσεις των 6 γεωτρήσεων αναζητούνται µεταξύ των σηµείων των οποίων οι συντεταγµένες δίνονται από τον πίνακα 1, σε οιονδήποτε συνδυασµό Σχήµα 2. Κατανοµή του υδραυλικού φορτίου για τη βέλτιστη λύση Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την εφαρµογή των γενετικών αλγορίθµων παρουσιάζονται στη συνέχεια. 0 Περίπτωση 1 η ίνονται παρακάτω (πίνακας 3 και σχήµα 3) τα αποτελέσµατα που δίνουν βέλτιστη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση= 16, Η λύση επιτεύχθηκε στη 96 η γενιά στο χρωµόσωµα 56. Πηγάδι Q (m 3 /s) h (m) h+d Q h 1 0,222 85, ,2654 3, ,107 87, ,5442 1, ,211 86, ,9995 3, ,195 86, ,6275 3, ,106 87, ,3994 1, ,195 86, ,6068 3,0433 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 1,036 16,1600 Μ.Ο.( h+d) 15,4071 Πίνακας 3. Αποτελέσµατα 1 ης περίπτωσης

12 Στη φόρµα του προγράµµατος σε Vsual Basc (σχήµα 3) εµφανίζεται το διάγραµµα των τιµών της αντικειµενικής συνάρτησης [εξ.(2.4)] ανά γενιά, και αναγράφονται στο κάτω µέρος της φόρµας οι παροχές των γεωτρήσεων και η βέλτιστη τιµή, δηλ. το ελάχιστο κόστος άντλησης. Σχήµα 3. Εικόνα προγράµµατος επίλυσης 1 ης περίπτωσης Περίπτωση 2 η Στη συνέχεια (πίνακας 4 και σχήµα 4) παρατίθενται τα αποτελέσµατα για τη δεύτερη περίπτωση. Πηγάδι Q (m 3 /s) h (m) h +d Q h 1 0, , ,9392 2,52 2 0, , ,5689 3,47 3 0, , ,9072 3,01 4 0,199 85, ,1570 3,21 5 0, , ,0809 1,89 6 0, , ,5992 2,95 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 1,061 17,05 Μ.Ο.( h+d) 16,0421 Πίνακας 4. Αποτελέσµατα 2 ης περίπτωσης

13 Στη φόρµα του προγράµµατος σε Vsual Basc (σχήµα 4) εµφανίζεται το διάγραµµα των τιµών της αντικειµενικής συνάρτησης [εξ.(2.4)] ανά γενιά. Στο άνω δεξιό τµήµα της φόρµας εµφανίζονται επίσης οι κορυφές του καννάβου των 176 γεωτρήσεων καθώς επίσης και οι θέσεις των 6 γεωτρήσεων µε διακριτά χρώµατα. Αναγράφονται τέλος, στο κάτω µέρος της φόρµας οι παροχές των γεωτρήσεων και η βέλτιστη τιµή, δηλ. το ελάχιστο κόστος άντλησης. Σχήµα 4. Εικόνα προγράµµατος επίλυσης 2 ης περίπτωσης 1. Παρατηρούµε ότι επιτεύχθηκε τιµή χαµηλότερη από την αναµενόµενη από την εργασία των Φωτοπούλου κ.α. (1995). 2. Η τιµή του ελάχιστου κόστους πλησιάζει την βέλτιστη αλλά δύσκολα θα τη φτάσει. Αυτό είναι αναµενόµενο σε στοχαστικές µεθόδους. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την σύγκριση των αποτελεσµάτων των παραπάνω εφαρµογών προκύπτουν τα ακόλουθα: 1. Η πιο απλή προσέγγιση του προβλήµατος προκύπτει από την εφαρµογή του γραµµικού προγραµµατισµού. Πρόκειται για την πιο γρήγορη προσοµοίωση, τόσο από άποψη διαµόρφωσης του προβλήµατος όσο και από άποψη χρόνου επίλυσης. Φυσικά πρόκειται και για την λιγότερο ακριβή µέθοδο της οποίας τα αποτελέσµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνο για µια πρώτη αναγνώριση του προβλήµατος. 2. Η πιο σύνθετη προσέγγιση προκύπτει αντίστοιχα από την εφαρµογή του µη γραµµικού προγραµµατισµού. Η προσέγγιση αυτή έχει υψηλές απαιτήσεις όσον αφορά στην διαµόρφωση του προβλήµατος. Απαιτεί επίσης σηµαντική εµπειρία

14 ώστε να µπορέσουν να αποφευχθούν τοπικά ακρότατα και να οδηγηθεί η διαδικασία στον προσδιορισµό της ολικά βέλτιστης λύσης. 3. Η εφαρµογή της µεθόδου των γενετικών αλγορίθµων µπορεί να οδηγήσει στην βέλτιστη λύση πιο εύκολα από ότι οι άλλες µέθοδοι. Η διαδικασία διαµόρφωσης του προβλήµατος είναι απλούστερη των προηγούµενων. Φυσικά απαιτείται και πάλι εµπειρία για τον προσδιορισµό των παραµέτρων του προβλήµατος ώστε να αποφευχθούν τυχόν τοπικά ακρότατα. 4. Οι διάφορες απλουστευµένες λύσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν και να οδηγήσουν σε λύσεις γρήγορες και απλές, χρειάζεται όµως πολύ µεγάλη προσοχή στην ισχύ των παραδοχών στις οποίες βασίζονται αφού σε άλλη περίπτωση οδηγούν σε εντελώς παραπλανητικά αποτελέσµατα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Aly A. & Peralta R., 1999, Comparson of a genetc algorthm and mathematcal programmng to the desgn of groundwater cleanup systems, Water Resources Research, Vol. 35, No 8,pp Aquado, E. and I. Remson, 1980, Ground water management wth fxed charges, J. Water Resources Plannng and Management Dvson, Am. Soc. Cv. Eng., 106 (WR2), pp Aquado, E. and I. Remson, 1982, Closure of Ground water management wth fxed charges, J. Water Resources Plannng and Management Dvson, Am. Soc. Cv. Eng., 108 (WR2), pp Aquado, E., I. Remson, M. F. Pkul, and W. A. Thomas, 1974, Optmal pumpng for aqufer dewaterng, J. Hydraul. Dv. Am. Soc. Cv. Eng., 100 (HY7), pp Bäck, T., 1996, Evolutonary Algorthms n Theory and Practce. Evoluton Strateges, Evolutonary Programmng, Genetc Algorthms, Oxford Unversty Press, New York. 6. Bear, J., 1979, Hydraulcs of groundwater, McGraw-Hll, New York. 7. Cenawsk, S.E., Eheart J.W., and Ranjthan S., 1995, Usng genetc algorthms to solve a multobjectve groundwater montorng problem, Water Resources Research, Vol. 31No 2,pp Dandy, G.C., Smpson A.R., and Murphy L.J., 1996, An mproved genetc algorthm for ppe network optmzaton, Water Resources Research, Vol. 32, No 2,pp Goldberg, D., 1989, Genetc Algorthms n Search, Optmzaton and Machne Learnng, ADDISON-WESLEY Publ. Co., Inc 10. Gorelck, S.M., 1983, A revew of dstrbuted parameter groundwater management modelng methods, Water Resources Res., 19(2), pp Huang, C. and A.S. Mayer, 1997, Pump and treat optmzaton usng well locatons and pumpng rates as decson varables, Water Resources Research. 33(5), pp Katsfaraks, K.L., D. K. Karpouzos and N. Theodossou, 1999, Combned use of BEM and genetc algorthms n groundwater flow and mass transport problems, Engneerng analyss wth boundary elements, 23, pp Latnopoulos, P., D. Tolkas, and Y. Mylopoulos, 1985, Boundary element and optmzaton technques n aqufer dewaterng, Proc. IASTED Inter. Conf. on Modellng and Smulaton, Lugano. 14. Mcknney D.C. and Ln M.D., 1994, Genetc algorthm soluton of groundwater management models, Water Resources Research, Vol. 30, No 6, pp

15 15. Mchalewcz, Z., 1994, Genetc Algorthms + Data Structures = Evoluton Programs, Sprnger-Verlag. 16. Montesnos P., Garca-Guzman A.and Ayuso J.L., 1999, Water dstrbuton network optmzaton usng a modfed genetc algorthm, Water Resources Research, Vol. 35, No 11,pp Murthagh, B.A., and M.A. Saunders, 1987, MINOS 5.1 User's gude, Tech.Rep.SOL 83-20R, Dep.Oper.Res., Stanford Unv., Stanford Calforna. 18. Park, C.-H. and M.M. Aral, 2004, Mult-objectve optmzaton of pumpng rates and well placement n coastal aqufers, J. of Hydrology, 290 (1), pp Rtzel B.J., Eheart J.W., and Ranjthan S., 1994, Usng genetc algorthms to solve a multple objectve groundwater polluton contanment problem, Water Resources Research, Vol. 30, No 5, pp Savc D.A., and Walters G.A., 1997, Genetc algorthm for least-cost desgn of water dstrbuton network, Journal of Water Resources Plannng and Management, Vol.123, No.2, pp Sdropoulos, E. and D. Tolkas, 2004, Well locaton and constrant handlng n groundwater pumpng cost mnmzaton va genetc algorthms, Water, Ar and Sol Polluron: Focus, 4(4-5), pp Theodossou, N., 2004, Applcaton of non-lnear smulaton and optmsaton models n groundwater aqufer management, Water Resources Management, 18, pp Wardlaw R. and Sharf M., 1999, Evaluaton of Genetc Algorthms for Optmal Reservor System Operaton, Journal of Water Resources Plannng and Management, Vol.125, No.1, pp Φωτοπούλου, Ε., 1993, Εφαρµογή µεθόδων βελτιστοποίησης για την υποβίβαση της στάθµης του νερού σε εκσκαφή, ιπλωµατική εργασία, Θεσσαλονίκη. 25. Φωτοπούλου, Ε., Ν. Θεοδοσίου, και. Τολίκας, 1995, Εφαρµογή µεθόδων βελτιστοποίησης για την υποβίβαση της στάθµης του νερού σε εκσκαφή, 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ε.Υ.Ε, pp , Θεσσαλονίκη.