Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Transcript

1 Δημήτρης Διαματίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Ααστάσιος Κουπετώρης, Ιωάης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

2 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτω πευματικής ιδιοκτησίας, εφόσο η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρό έργο πευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληικής ομοθεσίας (Ν. 11/199, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθείς συμβάσεις περί πευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτροικό, μηχαικό ή άλλο) ατιγραφή, φωτοαατύπωση και ε γέει ααπαραγωγή, εκμίσθωση ή δαεισμός, μετάφραση, διασκευή, ααμετάδοση στο κοιό σε οποιαδήποτε μορφή και η ε γέει εκμετάλλευση του συόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Δημήτρης Διαματίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Ααστάσιος Κουπετώρης, Ιωάης Σταμπόλας, Άλγεβρα Α Λυκείου, β τόμος Διορθώσεις: Νάτια Κουτσουρούμπα Υπεύθυος έκδοσης: Βαγγέλης Μπακλαβάς DTP: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοτάζ: Μαρία Ποιιού-Ρέεση Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕΔΕ (Εκδόσεις Πατάκη), Δ. Διαματίδης, Γ. Ευθυμίου, Α. Κουπετώρης και Ι. Σταμπόλας, Αθήα, 14 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήα, Ιαουάριος 15 Κ.Ε.Τ Κ.Ε.Π. 1/15 ISBN (set.) ISBN (vol. ) ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 8, 14 7 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: , , , ΦΑΞ: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), 57 9 KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 11, ΤΗΛ.: , , ΦΑΞ: Web site: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

3 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 16. Αισώσεις 1ου βαθμού Επίλυση αίσωσης Επίλυση συστήματος αισώσεω Παραμετρικές αισώσεις Σύθετες αισώσεις (με απόλυτα και ρίζες) Γεικές Ασκήσεις Φύλλο εργασίας στις αισώσεις ου βαθμού Αισώσεις ου βαθμού Μορφές τριωύμου Πρόσημο τριωύμου Επίλυση αισώσεω ου βαθμού Συθήκες δευτεροβάθμιω παραμετρικώ εξισώσεω και αισώσεω Γεικές Ασκήσεις ο Κριτήριο Αξιολόγησης Αισώσεις γιόμεο και αισώσεις πηλίκο Πρόσημο γιομέου-πηλίκου Αισώσεις γιόμεο και αισώσεις πηλίκο Επααληπτικές Ασκήσεις ο Επααληπτικό Διαγώισμα Φύλλο εργασίας στις ακολουθίες Ακολουθίες * Υπολογισμός -οστού όρου ακολουθίας Εύρεση ααδρομικού τύπου από το γεικό όρο Εύρεση γεικού όρου από το ααδρομικό τύπο Αριθμητική πρόοδος Εύρεση στοιχείω αριθμητικής προόδου (Α.Π.) Απόδειξη ότι μία ακολουθία είαι Α.Π Αριθμητικός μέσος Διαδοχικοί όροι Α.Π. (δ.ό.α.π.) Αριθμητική παρεμβολή Προβλήματα Γεικές Ασκήσεις Γεωμετρική πρόοδος Εύρεση στοιχείω γεωμετρικής προόδου (Γ.Π.) Απόδειξη ότι μία ακολουθία είαι Γ.Π Διαδοχικοί όροι Γ.Π. (δ.ό.γ.π.) Γεωμετρική παρεμβολή Αατοκισμός Προβλήματα Γεικές Ασκήσεις

4 Περιεχόμεα. Επααληπτικές Ασκήσεις ο Επααληπτικό Διαγώισμα Η έοια της συάρτησης Πεδίο ορισμού συάρτησης Εύρεση τιμώ συάρτησης Σύολο τιμώ Προβλήματα Γεικές Ασκήσεις ο Κριτήριο Αξιολόγησης Φύλλο εργασίας στις καρτεσιαές συτεταγμέες και στη γραφική παράσταση συάρτησης Καρτεσιαές συτεταγμέες Καρτεσιαές συτεταγμέες Αποστάσεις σημείου από άξοες και σημείου από σημείο Κύκλος κέτρου Ο, Γεικές Ασκήσεις ο Κριτήριο Αξιολόγησης Γραφική παράσταση συάρτησης Σχετική θέση και σημεία τομής γραφικώ παραστάσεω Γεικές Ασκήσεις ο Κριτήριο Αξιολόγησης Φύλλο εργασίας στη ευθεία Η συάρτηση α β f x x Ο ρόλος τω παραμέτρω α και β της ευθείας y αx β Γραφική παράσταση ευθείας Σχετική θέση δύο ευθειώ Εύρεση τύπου ευθείας Γεικές Ασκήσεις ο Κριτήριο Αξιολόγησης Φύλλο εργασίας στη f x αx Μελέτη τω συαρτήσεω f x αx και f x αx βx γ, Η συάρτηση f x αx και οι συαρτήσεις της μορφής α Σύδεση του τύπου της συάρτησης f x αx βx γ, α, με α f x x p q... 4 με τη γραφική της ααπαράσταση Άλλες συαρτήσεις Γεικές Ασκήσεις Επααληπτικές Ασκήσεις

5 Περιεχόμεα Γεικές Επααληπτικές Ασκήσεις Σύθετα θέματα Προσομοίωση τράπεζας Τεστ Σωστού Λάθους ο Τεστ Σωστού Λάθους ο Τεστ Σωστού Λάθους ο Τεστ Σωστού Λάθους ο Τεστ Σωστού Λάθους ο Τεστ Σωστού Λάθους ο Τεστ Σωστού Λάθους Απατήσεις Τεστ Σωστού Λάθους Παράρτημα Α: Αποδείξεις θεωρημάτω και προτάσεω σχολικού βιβλίου Εδεικτικές Λύσεις Απατήσεις Λύσεις τω ασκήσεω του σχολικού βιβλίου Τυπολόγιο

6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤHN ΕΥΘΕΙΑ 1) Έστω το σημείο Α, του καρτεσιαού επιπέδου. Να βρείτε τα σημεία M x, y του επιπέδου που προκύπτου, α ξεκιώτας κάθε φορά από το σημείο Α προχωρήσουμε κ βήματα (μοάδες) παράλληλα με το άξοα x x και στη συέχεια κ παράλληλα με το άξοα y y, για κ 1,,, 1,, και α συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. (Ότα τα κ και κ είαι θετικά, εοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά τω αξόω, κι ότα είαι αρητικά, κατά τη αρητική φορά.) Βήματα κ 1 Τετμημέη x του σημείου που προκύπτει μετά από κ βήματα Τεταγμέη y του σημείου που προκύπτει μετά από κ βήματα y x 1 4

7 Φύλλο εργασίας στη ευθεία Μπορείτε α υποθέσετε σε τι είδους γραμμή θα βρίσκοται όλα τα σημεία που μπορεί α προκύψου με αυτή τη διαδικασία; Απ.:... ) Έστω το σημείο Α 1, του καρτεσιαού επιπέδου. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίακες που αφορού τα σημεία M x, y του επιπέδου που προκύπτου α ξεκιώτας από το σημείο Α προχωρήσουμε κ βήματα παράλληλα με το άξοα x x και ακ βήματα παράλληλα με το άξοα y y για τις τιμές του α που δίοται. (Ότα τα κ και ακ είαι θετικά, εοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά τω αξόω, κι ότα είαι αρητικά, κατά τη αρητική φορά.) α 1 κ x y y 1 x 1 α κ x y y 1 x ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ α κ x y y 1 x 4

8 Φύλλο εργασίας στη ευθεία ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ) Λαμβάοτας υπόψη τους πίακες του ερωτήματος (), α συμπληρώσετε το διπλαό πίακα απατώτας στις παρακάτω ερωτήσεις: α) Παρατηρώτας τη τελευταία στήλη κάθε πίακα του ερωτήματος (), μπορείτε α διατυπώσετε κάποια σχέση που α συδέει τις συτεταγμέες x και y του σημείου M; β) Ποια είαι η τεταγμέη του σημείου τομής της γραμμής με το άξοα y y; γ) Να λύσετε τη σχέση του ερωτήματος (α) ως προς y. Πώς συδέεται το αποτέλεσμα του ερωτήματος (γ) με τη τεταγμέη του σημείου τομής με το άξοα y y και με το α; Απ.:... Το αριθμό α το οομάζουμε συτελεστή διεύθυσης ή κλίση της ευθείας. α 1 1 Ερώτηση (α) Ερώτηση (β) Ερώτηση (γ) 4) Ποια σχέση συδέει τις συτεταγμέες τω σημείω Α x, y μιας ευθείας που τέμει το άξοα y y στο σημείο, β και έχει συτελεστή διεύθυσης α; Απ.:... 5) Έστω τα σημεία Α 1, και, Β του καρτεσιαού επιπέδου. α) Ποιος είαι ο συτελεστής διεύθυσης που διέρχεται από τα σημεία Α και Β; Απ.:... β) Ατικαθιστώτας τις συτεταγμέες του σημείου Β στη σχέση y αx β, α βρείτε το β. Απ.:... γ) Ποια είαι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β; Απ.:... 44

9 7 H συάρτηση f(x) = αx + β ε μια ευθεία στο καρτεσιαό επίπεδο η οποία τέμει το άξοα x x στο σημείο Α. Έστω ΟΡΙΣΜΟΣ Γωία ω που σχηματίζει η ευθεία ε με το άξοα x x λέμε τη γωία που διαγράφει η ημιευθεία Αx μέχρι α συμπέσει με τη ευθεία ε, ότα η ημιευθεία αυτή στραφεί κατά τη θετική φορά. Θετική φορά ορίζουμε τη φορά περιστροφής που είαι ατίθετη αυτής τω δεικτώ του ρολογιού. Α μια ευθεία είαι παράλληλη με το άξοα x x ή συμπίπτει με αυτό, λέμε ότι σχηματίζει με το άξοα x x γωία ω. Για τη γωιά ω που σχηματίζει μια ευθεία ε με το άξο- α x x ισχύει ω 18 ή ωπ. Κλίση ή συτελεστή διεύθυσης μιας ευθείας οομάζουμε το αριθμό λ εφω. Α λ, τότε ω 9. Α λ, τότε 9 ω 18. Α λ, τότε ω και η ευθεία είαι παράλληλη ή συμπίπτει με το άξοα x x. H γραφική παράσταση της συάρτησης α β οποία τέμει το άξοα y y στο σημείο Β, β και έχει κλίση λ α. f x x είαι ευθεία, έστω Έα σημείο Μ x, y του επιπέδου είαι σημείο της ευθείας y f x y αx β. Από δω και στο εξής η εξίσωση α εξίσωση της ευθείας ε. ε, η ε α και μόο α y x β θα οομάζεται Α ω είαι η γωία της ευθείας y αx β με το άξοα x x, ισχύει ε ω α. 45

10 Η συάρτηση f(x) = αx + β Α γωρίζουμε δύο σημεία της ευθείας Αx1, y 1 και, y y1 κλίση της είαι α x x. 1 Β x y με x1 x, τότε η Πράγματι, α y αx β είαι η εξίσωση της ευθείας, τότε ισχύει y1 αx 1 β και y y1 y αx β. Αφαιρώτας κατά μέλη, έχουμε y y1 αx x1α x x. 1 Α β, η συάρτηση f παίρει τη μορφή f x αx και η γραφική της παράσταση y αx περάει από τη αρχή τω αξόω. Ειδικότερα: Α α 1, τότε η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x γωία ω 45 και είαι η διχοτόμος τω γωιώ xoy και x Oy. Α α 1, τότε η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x γωία ω 15 και είαι η διχοτόμος τω γωιώ x Oy και y Ox. Σχετικές θέσεις δύο ευθειώ Έστω δύο ευθείες ε1: y α1x β1 και ε : y αx β οι οποίες σχηματίζου με το άξοα x x γωίες ω 1 και ω ατίστοιχα. Α α 1 α, τότε εφω1 εφω, οπότε ω1 ω. Στη περίπτωση αυτή, οι δύο ευθείες: είαι παράλληλες, α β1 β, ταυτίζοται, α β1 β. 46

11 Η συάρτηση f(x) = αx + β Α α1 α, οι ευθείες τέμοται. Ειδικότερα, α β1 β, οι ευθείες τέμοται πάω στο άξοα y y. Από τα παραπάω προκύπτει ότι οι ευθείες y αx β, α, β, είαι παράλληλες μεταξύ τους για α σταθερό και β μεταβλητό, εώ διέρχοται όλες από το ίδιο σημείο, β για β σταθερό και α μεταβλητό. Η συάρτηση f(x) = x Από το ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε: x, α x f x x x, α x Eπομέως η γραφική παράσταση της συάρτησης f x x αποτελείται από τις ημιευ θείες y x, με x, και y x, με x. 47

12 Η συάρτηση f(x) = αx + β Μ.1 Ο ρόλος τω παραμέτρω α και β της ευθείας y = αx + β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 [Μ.1.1] Για το συτελεστή διεύθυσης α (κλίση της ευθείας) ισχύει ότι: Β x y, με x 1 x, της ευθείας, τότε ο συτελεστής διεύθυσης προκύπτει από το τύπο y y1 α x x, i. [Μ.1.1.i] ότα γωρίζουμε δύο σημεία Αx1, y 1 και, 1 ii. [M1.1.ii] ότα γωρίζουμε τη γωία ω που σχηματίζει η ευθεία με το θετικό ημιάξοα x x και ζητείται ο α ή, ατίστροφα, ότα γωρίζουμε το α και ζητείται η γωία ω, χρησιμοποιούμε τη σχέση α εφω. Υπεθυμίζουμε ότι: ω εφω 1 1 iii. [M1.1.iii] α α, τότε η γωία που σχηματίζει η ευθεία με το θετικό ημιάξοα x x είαι οξεία, εώ, α α, η γωία αυτή είαι αμβλεία, και ατίστροφα. Η περίπτωση α ατιστοιχεί σε ευθεία της μορφής y β με γραφική παράσταση παράλληλη στο άξοα x x. [M.1.] Ο σταθερός όρος β εκφράζει τη τεταγμέη του σημείου τομής της ευθείας με το άξοα y y, δηλαδή η ευθεία διέρχεται πάτα από το σημείο, β. Α β, η ευθεία περάει από τη αρχή τω αξόω. n Λυμέα Θέματα 7.1 Δίοται τα σημεία, Α 1, Β, 4, Γ, 7, Δ x, x. Να βρεθού: α. ο συτελεστής διεύθυσης και το είδος της γωίας ω που σχηματίζει με το άξοα xx η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: i. A, B, ii. B, Γ, 48

13 Η συάρτηση f(x) = αx + β β. ο x, ώστε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Δ: i. α σχηματίζει με το άξοα xx οξεία γωία, ii. α έχει κλίση. Λύση [Μ.1.1.i, M.1.1.iii] α. i. Ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας AB είαι: y B ya xb xa α Άρα, α ω είαι η γωία που σχηματίζει η ευθεία AB με το άξοα x x, θα είαι ω 9, δηλαδή οξεία. ii. Ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας ΒΓ είαι: yγ y B α xγ xβ Άρα 9 ω 18, δηλαδή η γωία ω που σχηματίζει η ΒΓ με το άξοα x x είαι αμβλεία. [Μ.1.1.iii, M.1.1.ii] β. Έστω ω η γωία που σχηματίζει η ευθεία A Δ με το άξοα x x. Επειδή x 1, ορίζεται ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας A Δ και είαι: yδ yα x x α xδ xα x 1 x 1 x x 1 i. Για α είαι η ω οξεία, πρέπει α = x x. x 1 Άρα πρέπει, x. ii. Για α έχει η A Δ κλίση ίση με, πρέπει: x 1 α xx xx1 ή x x x 1 7. Δίοται οι ευθείες ε ζ η θ υ και μ,,,, με ατίστοιχες εξισώ- x σεις y 17x, y x 1, y x, y x, y 1 8 και y x x 1. 49

14 Η συάρτηση f(x) = αx + β Λύση [M.1.1.iii] α. Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης καθεμιάς από τις ευθείες και το είδος της γωίας ω που σχηματίζει αυτή με το άξοα xx. β. Ποιες από τις παραπάω ευθείες: i. διέρχοται από τη αρχή τω αξόω; ii. τέμου το άξοα yy στο σημείο, ; α. Για τη ε, α 17 Για τη ζ,, άρα η γωία ω είαι οξεία. y x1 y xy x, άρα α, επομέως η γωία είαι αμβλεία. Για τη Για τη οξεία. η, y x y x, άρα α 1, επομέως η γωία είαι αμβλεία. θ, y x y x, άρα α, επομέως η γωία είαι 1x Για τη υ, y y x 1 y x 4 y 6x, άρα α 6, δηλαδή η γωία είαι οξεία. Για τη μ, y x x1 yxxy, άρα α εφω ω. [M.1.] β. i. Όλες οι παραπάω ευθείες είαι της μορφής y αx β. Από τη αρχή τω αξόω διέρχοται όσες έχου β. Αυτό συμβαίει μόο με τις ζ και η. ii. Το άξοα y y τέμου στο, όσες από τις παραπάω ευθείες έχου β, δηλαδή οι ευθείες ε θ υ και μ. 7. Δίεται η ευθεία ε με εξίσωση y κ 1 x κ κ. Να βρεθεί ο κ ε : α. α έχει κλίση ίση με, β. α έχει κλίση και α μη συμπίπτει με το xx, γ. α σχηματίζει αμβλεία γωία με το οριζότιο άξοα, δ. α σχηματίζει με το άξοα xx γωία 45 o, ε. α περάει από τη αρχή τω αξόω, αλλά α μη συμπίπτει με το άξοα xx., ώστε η ευθεία 5

15 Η συάρτηση f(x) = αx + β Λύση [M.1.] α. Πρέπει ή 11 ή κ κ κ κ κ κ. β. Για α έχει κλίση, πρέπει: κ1 κ1 κ1ή κ1κ 4 ή κ Επίσης, για α μη συμπίπτει η ε με το x x, πρέπει εξίσωση κ κκ 1κ1κ1κ1κ1 κ1κ κ 1ή κ. Άρα κ 1 και κ. Τελικά, κ 4. [Μ.1.1.iii] κ κ. Λύουμε τη γ. Για α σχηματίζει η ε αμβλεία γωία με το οριζότιο άξοα, πρέπει α κ1 κ1 κ1κ 4. Άρα κ, 4. [Μ.1.1.ii] δ. Πρέπει εφω εφ45 εφω 1 κ 1 1 κ 1 4 κ 1 4 ή κ 1 4 κ 5 ή κ. [Μ.1.] ε. Πρέπει η εξίσωση της ε α είαι της μορφής y αx, με α. Άρα πρέπει 1 1 ή κ κ κ κ κ κ και από το ερώτημα (β) για α προκύπτει ότι κ 4 και κ. Τελικά, κ 1. 51

16 Η συάρτηση f(x) = αx + β Προτειόμεες Ασκήσεις για λύση 7.4 Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης τω παρακάτω ευθειώ: α. y x 5 β. γ. y δ. ε. ζ. x y στ. 5 x y 1 1 y x 4 1 x y 1x y η. y α β 7.5 Ποιες από τις παρακάτω ευθείες διέρχοται από τη αρχή τω αξόω; ε η ζ : y 4 7x, : y 5x, x 1 x 1 : y, θ: y, 1 : y, : y, : x, : x ι κ λ μ 7.6 Να βρεθεί η γωία που σχηματίζει με το άξοα x x καθεμία από τις παρακάτω ευθείες: x 1 α. y x β. y x γ. y δ. y ε. ζ. θ. x στ. y x η. 1 x y ι. 1 y x y y x x Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης και το είδος της γωίας που σχηματίζει με το άξοα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: α. Α, και Β, 6 1 β. Α, 1 και Β, γ., Α και Β1, δ. Α, 17 και Β, Να συμπληρωθεί με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ο παρακάτω πίακας: Εξίσωση ευθείας x y ε : y 7x1 ε : y 5x ε4 y 11x ε5 y x1 ε1 : : : 1 ε y 4 x 6 : ε7 : x y Διέρχεται από τo Ο Τέμει yy στο 1 Τέμει yy στο Σχηματίζει με x x οξεία γωία Σχηματίζει με x x αμβλεία γωία 5

17 Η συάρτηση f(x) = αx + β 7.9 Να συμπληρωθεί με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ο παρακάτω πίακας: Εξίσωση ευθείας : : : : ε1 y 5x ε y x ε y x ε4 y x ε5 : y x 8 ε6 x y : x 7 y ε : ε8 : x 4 y 6 Διέρχεται από τo Ο Τέμει yy στο Τέμει yy στο Σχηματίζει με x x οξεία γωία Σχηματίζει με x x αμβλεία γωία 7.1 Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας που περάει από τα σημεία: α. Α, και Β7, 5 β. Α 1, και Β4, γ. Α 1, και Β1, δ. Α 4, και Β, 7.11 Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης και η γωία που σχηματίζει με το άξοα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: α. Α, 5και Β, 1 β. Α 1, 7και Β 7, 1 γ. Α, 6 και Β 1, 7 δ Α 1 β, 1 και Β α, α β 7.1 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Κ α, 1 και Λ5, α α. Α η γωία που σχηματίζει η ευθεία με το άξοα x x είαι 45, α βρεθεί ο α. 7.1 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Π1, α και, Ρ. Α η γωία που σχηματίζει η ευθεία με το άξοα x x είαι 1, α βρεθεί ο α Α η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, 4 είαι θετική, α βρεθεί ο x. Γ x και Ε 1, x 7.15 Α η κλίση της ευθείας που περάει από τα σημεία Θ, x και Η x x, x είαι αρητική, α βρεθεί ο x Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία, Μ x και N x, x. Α η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία, α βρεθεί ο x Έστω ευθεία που διέρχεται από τα Σ x. Α η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία, α βρεθεί ο x. σημεία Ξ, x και, Δίοται τα σημεία: x, 1, x-, x,, - 1, x, x Α Β Γ Δ με x 1. Α η ευθεία που περάει από τα σημεία Α και Β σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία, α δείξετε ότι η ευθεία που περ- 5

18 Η συάρτηση f(x) = αx + β άει από τα σημεία Γ και Δ σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία Δίεται η ευθεία: y 1 ε : λ 1 xλ1 Να βρεθεί ο λ, ώστε η ευθεία α διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. 7. Δίεται η ευθεία: : y ε λ1 λ5 xλ λ με λ 1. Να βρεθεί: α. ο λ, ώστε η ευθεία α διέρχεται από τη αρχή τω αξόω, β. το είδος της γωίας που σχηματίζει η ευθεία με το άξοα x x για τη τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (α). 7.1 Α η ευθεία: η : y μ μ x1 σχηματίζει με το άξοα x x γωία 6, α βρεθεί ο μ. 7. Α η ευθεία: κ 5κ5 η : y x σχηματίζει με το άξοα x x γωία 15, α βρεθεί ο κ. 7. Να βρεθεί ο πραγματικός μ, ώστε η ευθεία : ζ y μ μ x μ α είαι παράλληλη στο άξοα x x. 7.4 Να βρεθεί ο πραγματικός κ, ώστε η : y κ κ 1 x κ α είαι παράλληλη στο άξοα x x. η ευθεία 7.5 Α η ευθεία: η : y α β 1αβ6 x αβ1 είαι παράλληλη στο άξοα x x, α βρεθού οι α, β. 7.6 Α η ευθεία: λ λ6 ε : y 1 λ λ λ x σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία, α βρεθεί ο λ. 7.7 Α η ευθεία: ε λ : y 5 x σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία, α βρεθεί ο λ. 7.8 Α η ευθεία: θ : y κ1 είαι η διχοτόμος του 1ου και του ου τεταρτημορίου, α βρεθεί ο κ. 7.9 Α η ευθεία: 5μ 1 θ : y x μ1 1μ είαι η διχοτόμος του ου και του 4ου τεταρτημορίου, α βρεθεί ο μ. 7. Α η ευθεία: : y ε 4λ xλ σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία και διέρχεται από το σημείο Α 1, 1 ο λ. 7.1 Α η ευθεία: x, α βρεθεί λ 4λ λ1 ε : y x λ λ σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία και διέρχεται από το σημείο A 1, βρεθεί ο λ., α 54

19 Η συάρτηση f(x) = αx + β Μ. Γραφική παράσταση ευθείας ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότα μας ζητείται α σχεδιάσουμε μια ευθεία της μορφής y αx β ή τμήμα αυτής, βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας επιλέγοτας δύο κατάλληλες τιμές για τη τετμημέη x. Πολλές φορές βολεύει α βρούμε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξοες συμπληρώοτας το παρακάτω πιακάκι: x y αx β y y β x x β α Η ζητούμεη ευθεία προκύπτει εώοτας τα δύο σημεία και είαι μοαδική, αφού, όπως γωρίζουμε από τη Ευκλείδεια Γεωμετρία, από δύο σημεία του επιπέδου διέρχεται μία και μόο ευθεία. n Λυμέα Θέματα 7. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω: α. f x x1 β. g x γ. h x ε. x 1, α x x 5, α x k x x 1 x 4 δ. q x x 5 x 1, α x x 5, α x 1 Λύση α. Η γραφική παράσταση της f είαι ευθεία της μορφής y αx β. Βρίσκουμε τα σημεία τομής της με τους άξοες: x y αx β y y β 1 x x β 1 α 55

20 Η συάρτηση f(x) = αx + β δηλαδή το σημείο τομής με το άξοα B, 1. Άρα η ευθεία είαι: x x είαι το 1, Α και με το y y το β. Η γραφική παράσταση της g είαι ευθεία της οποίας βρίσκουμε τα σημεία τομής με τους άξοες: x y αx β y y β 5 x x β α 5 5 δηλαδή το σημείο τομής με το άξοα x x είαι το Α, και με το y y το Β 5,. Άρα η ευθεία είαι: 56

21 Η συάρτηση f(x) = αx + β γ. Η γραφική παράσταση της h αποτελείται από τις ημιευθείες που προκύπτου από τη γραφική παράσταση της f για x και από τη γραφική παράσταση της g για x εξαιρουμέου του σημείου με τετμημέη f g 1, οπό- x. Επίσης, είαι τε οι δύο ημιευθείες έχου κοιή αρχή το σημείο Γ 1,. Άρα η γραφική παράσταση της h είαι: δ. Η γραφική παράσταση της q προκύπτει από τη γραφική παράσταση της h, α εξαιρέσουμε τα σημεία για τη τετμημέη x τω οποίω ισχύει 1 x. Άρα η γραφική παράσταση της q είαι: ε. Για 1 x, k x x1x4k x, εώ για x 1, k x x 1 x 4 k x x 5. 57

22 Η συάρτηση f(x) = αx + β, x 1 x 5, x 1 x ισχύει ο τύπος y, άρα ο έας κλάδος της C k είαι ημιευθεία με αρχή Άρα ο τύπος της συάρτησης k είαι k x Για 1 Κ που είαι παράλληλη στο άξοα x x. Για x 1 ισχύει ο τύπος y x 5, οπότε η γραφική παράσταση συμπίπτει με τη το 1, γραφική παράσταση της q στο διάστημα αυτό. Άρα η C k είαι: 7. Δίοται οι εξισώσεις τω ευθειώ ε : y x, η : x. α. Να σχεδιάσετε: i. τη ευθεία ε, ii. τις ευθείες ζ και η στο ίδιο σύστημα αξόω με τη Λύση ζ : y και η και τους άξοες xx και yy. γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συάρτησης f με τύπο ε. β. Να βρεθεί το εμβαδό του σχήματος που περικλείεται από τις ευθείες ζ, f x x, ότα: i. x, ii. 1 x και α βρεθεί το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που προκύπτει στη περίπτωση (ii). α. i. Βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξοες: 58

23 Η συάρτηση f(x) = αx + β Για x, Για y, y, άρα το σημείο είαι το, Α. x x, άρα το σημείο είαι το Β,. Επειδή το σημείο Β, έχει ως τετμημέη κλάσμα, ίσως δε μπορούμε εύκολα α το σχεδιάσουμε με ακρίβεια. Γι αυτό μπορούμε α βρούμε έα άλλο σημείο, π.χ. για x έχουμε y 1, δηλαδή το σημείο Γ 1,. Έχοτας δύο σημεία, σχεδιάζουμε τη ευθεία: x x και διέρχεται από το Δ, και ii. Η ευθεία ζ είαι παράλληλη στο άξοα η η είαι παράλληλη στο y y και διέρχεται από το, Ε. 59

24 Η συάρτηση f(x) = αx + β β. Το σημείο τομής τω ευθειώ ζ και η είαι το Ζ, ααζητούμε το εμβαδό είαι ορθογώιο με κορυφές Ο,, Ε,,, Ζ, και φαίεται στο παρακάτω σχήμα:. Το σχήμα του οποίου Δ, Το εμβαδό του είαι 6τετραγωικές μοάδες. γ. Η γραφική παράσταση της f είαι τμήμα της ευθείας ε. i. Πρόκειται για τη ημιευθεία με αρχή το σημείο 1, σημεία με τετμημέη x. Γ που ατιστοιχεί στα ii. Για x, y και για x έχουμε y 1, άρα η ζητούμεη 6

25 Η συάρτηση f(x) = αx + β γραφική παράσταση είαι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία Η 1, 5 και Γ 1,. Το μήκος του ευθύγραμμου αυτού τμήματος είαι: d μ. 7.4 α. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f : Λύση f x x. β. Να λύσετε τις x και x. α. Η εξίσωση της f γίεται f x στο παρακάτω σχήμα: με εξίσωση x, x. Άρα η γραφική παράσταση φαίεται x, x 61

26 Η συάρτηση f(x) = αx + β β. Οι λύσεις της εξίσωσης x είαι οι τετμημέες τω σημείω τομής της γραφικής παράστασης της f x x με τη ευθεία y. Άρα x ή x. Οι λύσεις της αίσωσης x είαι όλα τα x για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της ευθείας y, άρα x,. Προτειόμεες Ασκήσεις για λύση 7.5 Να γίει η γραφική παράσταση τω παρακάτω ευθειώ: α. y x β. y x γ. y δ. x 4 ε. x y στ. y ζ. y 4 η. x 7.6 Να σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι ευθείες: α. ε : y x1 και : y x β. ε : x y x η 1 και : x η y Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες ε : y x και : y x η 1. Τι παρατηρείτε για τη θέση τω δύο ευθειώ; 7.8 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες ε : y x, : y x και ζ : y x η 1. Τι παρατηρείτε για τη θέση τω ευθειώ; 7.9 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες: ε : y x και : y x η 1 Τι παρατηρείτε για τη θέση τω δύο ευθειώ; 7.4 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες y, y, x και x 1. Οι παραπάω ευθείες τέμοται στα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και το εμβαδό του Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες y 1, y, x 5και 6

27 Η συάρτηση f(x) = αx + β x 1. Οι παραπάω ευθείες τέμοται στα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και το εμβαδό του. 7.4 Να γίει η γραφική παράσταση τω παρακάτω ευθειώ: α. y x 5 για x 1 β. 1 y x για x 1, γ. y 4x για x δ. 4 y x για x, ε. y x για x 4 στ. 4 y x για x 1, y για x 1, x για y 14, ζ. η. 7.4 Να γίει η γραφική παράσταση 1 της γραμμής y x 1 για x, 4 και α βρεθεί το μήκος της Να γίει η γραφική παράσταση της γραμμής y x για 1 x και α βρεθεί το μήκος της Να σχεδιάσετε τη συάρτηση 19 f x x με x 15, και α βρεθεί 4 4 το μήκος της γραμμής Να σχεδιάσετε τη συάρτηση 4x 5 gx με x 1 και α βρεθεί το μήκος της γραμμής Να σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι συαρτήσεις gx x και h x. 1 f x x, 7.48 Να σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι συαρτήσεις f x1x, x gx και h x Αφού αρχικά απλοποιηθού, α σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι συαρτήσεις: 18x 8 f x, 1 1 gx x και hx 7.5 Να βρεθού τα σημεία τομής τω παρακάτω ευθειώ με τους άξοες: α. y x 6 β. y 1x 4 γ. y x δ. y x ε. y στ. x 1 ζ. 1 y x η. y x Δίεται η ευθεία : 6 ε y x. α. Να βρεθού τα σημεία τομής της με τους άξοες. β. Να σχεδιάσετε τη ευθεία. γ. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ευθεία με τους άξοες. x 7.5 Δίεται η ευθεία ζ : y. α. Να βρεθού τα σημεία τομής της με τους άξοες. β. Να σχεδιάσετε τη ευθεία. γ. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ευθεία με τους άξοες. 6

28 Γεικές Επααληπτικές Ασκήσεις 1. Δίεται η συάρτηση f x x 7x x 1 C g η οποία είαι παράλληλη στη ευθεία σημείο με τεταγμέη το 1. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β. Να απλοποιηθεί ο τύπος της f. γ. Να βρεθεί ο τύπος της g. δ. Να βρεθού τα σημεία τομής τω C f και C g.. Έστω συάρτηση : 1, και η ευθεία με γραφική παράσταση 8 6x y και τέμει το άξοα y y σε f, με f xαx βx γ και α, β, γ. Η C f τέμει το άξοα y y στο σημείο Β με τεταγμέη 1 και το άξοα x x στα σημεία Γ, Δ που έχου τετμημέες με άθροισμα α. Να βρεθεί ο γ. β. Να βρεθού οι α, β. γ. Να βρεθεί σημείο Α της C f με τεταγμέη 7. και γιόμεο 1. δ. Να βρεθού τα σημεία Β, Γ και Δ, α γωρίζουμε ότι η τετμημέη του Γ είαι θετική. ε. Έστω η ευθεία με γραφική παράσταση C g που διέρχεται από το σημείο Α και σχηματίζει με το άξοα x x γωία 45. i. Να βρεθεί ο τύπος της g. ii. Να βρεθού τα κοιά σημεία τω C f, C g. iii. Να βρεθού οι τιμές του x για τις οποίες η C f είαι κάτω από τη C g. 61

29 Σύθετα θέματα Προσομοίωση τράπεζας Δίοται οι εξισώσεις x (1) και x x 4 (). α. Να λύσετε τη (1). β. Να βρείτε τη κοιή λύση τω (1) και (). 15. Δίεται η παράσταση x 4 x Α. α. Να γράψετε τη παράσταση Α χωρίς το απόλυτο. β. Να λύσετε τη εξίσωση Α. 16. Δίεται η παράσταση x 4 x 4 Β. α. Να γράψετε τη παράσταση Β χωρίς το απόλυτο. β. Να λύσετε τη εξίσωση Β. 17. α. Να λύσετε τη εξίσωση x x 6 x 9 β. Να λύσετε τη εξίσωση x Δίεται η εξίσωση x λ4 λ5 x1, λ (1). α. Να λυθεί η (1), α λ 4. β. Α λ 4, α αποδείξετε ότι η (1) δε είαι αδύατη. γ. Α η (1) έχει διπλή ρίζα, α βρεθεί ο λ. 19. α. Να λύσετε τη εξίσωση x 15x β. Να λύσετε τη εξίσωση x 15x 16.. α. Να παραγοτοποιήσετε τις παραστάσεις: i. x 16 ii. x 4x 4 iii. x 1x β. Να λύσετε τη εξίσωση x x x x x

30 1ο Τεστ Σωστού Λάθους Α. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: 1. α α 9. α 9α. α 9α και α 4. α 9αή α 5. xyx και y 6. xyx ή y 7. xy x 8. Α xy, τότε μπορεί 9. Α 1. Α 11. x 4x4y7 1. x 4x4y7 1. x και y 1xy1 14. x και y 1xy1 15. Α 16. Α 17. Α ω ω ω ή ω 18. Α x8x 71, τότε x 8 ή x 7. x και y. x y, τότε, α ισχύει x, θα ισχύει και y. x y, τότε θα ισχύει ακριβώς μία από τις x και y. u u, τότε θα ισχύου τα u και u. u u, τότε θα ισχύει έα από τα u και u Α y 8 y 9.. Α y 9 y Α y 9 y 8.. Α y 9, τότε ισχύει y 8 και όχι y 8, επειδή το y είαι ίσο με 9 και δε μπορεί α είαι 8.. Η άρηση της πρότασης «ο α είαι θετικός αριθμός» είαι «ο α είαι αρητικός αριθμός». 4. Οι προτάσεις «ο α δε είαι θετικός αριθμός» και α είαι ισοδύαμες. 99

31 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ μ μ α α α α μ α α μ α β αβ α α α β β με β α α α α α α α α α α αβ α β α α, β β β ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ μ μ α α α ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ α α και α α α β α β α β x α x α 1 α α β β α με αβ α 1, με α Επίλυση εξισώσεω Α θ, τότε x θ x θ Α θ, τότε x θ, αδύατη Α θ, τότε x x Α θ, τότε x θ x θ ή x θ Α θ, τότε x θ x Α θ, τότε x θ x Επίλυση αισώσεω Α θ, τότε x θ θ x θ Α θ, τότε x θ, αδύατη Α θ, τότε x θ, αδύατη x x x x ΡΙΖΕΣ α α, για άρτιο θετικό α α, για α αβ α β, για α, β α α, β β για α και β α β α β, για α, β ρ μρ μ α α, για α ρ ρ α α, για α μ μ α α, για, και θετικό ακέραιο ΔΙΑΤΑΞΗ α β αγ β γ α β αγ βγ α μ ακέραιο α β αγ βγ 1 1 α β, για α, β ομόσημους α β α β α και β ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α β α αβ β αβ α αβ β α β α α βαβ β αβ α α βαβ β αβ α β α β α β α β α αβ β α β αβ α αβ β α βγ α β γ αβ αγ βγ α β α β, για α, β και θετικό ακέραιο αβ α ή β αβ α και β ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ αχ + βχ + γ =, α Δ β 4 αγ Α Δ, τότε x, β Δ 1 α Α Δ, τότε ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ (S, P) S x β 1 x α P xx γ 1 α x 1 x x1x x1x S P x x x x x x x x S PS Οι αριθμοί x 1 και x είαι ρίζες της εξίσωσης x Sx P, όπου S x1x και P xx 1 Ομόσημες: Ετερόσημες: Θετικές: ΕΞΙΣΩΣΗ x v = α Α α και περιττός, τότε x α Α α και άρτιος, τότε x α ή x α Α α και περιττός, τότε x α Α α και άρτιος, τότε αδύατη ΕΙΔΟΣ ΡΙΖΩΝ Δ P Δ P Δ P S β α x (δύο ρίζες άισες) (μια ρίζα διπλή) Α Δ, τότε η εξίσωση είαι αδύατη Ατίστροφες: Ατίθετες: Αρητικές: Δ P Δ S Δ P S 1 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Α.Π.) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Γ.Π.) α α1 1 ω (-οστός όρος) ωα α 1 (διαφορά προόδου) β α γ (αριθμητικός μέσος) S S α 1 α α1 1 ω (άθροισμα πρώτω όρω Α.Π.) α αλ 1 1 (-οστός όρος) α 1 λ (λόγος προόδου) α β αγ (γεωμετρικός μέσος) S α λ 1 1 λ 1 (άθροισμα πρώτω όρω Γ.Π.) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΒ Α Β, P P P α ΑΒ P Α 1 P Α P ΑΒ P Α P Β P ΑΒ P ΑΒ P Α P ΑΒ Α Β P Α P Β ΠΑΡΑΒΟΛΗ f (x) = αx + βχ + γ β Δ Κορυφή: K, α 4α Άξοας συμμετρίας: x β α ΕΥΘΕΙΑ y = αx + β α εφω Α y α1x β1ε1 και y α x β ε ε 1// ε α1 α ε ε αα Α x1, y1 και Β x y, τότε: σημεία της ευθείας, τότε α y y x x 1 1 γ γ,