Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Transcript

1 Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

2 wwwaskisopolisgr

3 Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω []

4 []

5 Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σε έα σημείο του πεδίου ορισμού της; (4) ) Να ορίσετε πότε λέμε ότι μια συάρτηση είαι συεχής σε έα αοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε έα κλειστό διάστημα [α, β] (4,8,) 3) Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συάρτησης στο + ; (5,) 4)Πότε μια συάρτηση : A λέγεται - ; (5,5) 5)Έστω Α έα υποσύολο του Τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; (6) 6) Έστω μια συάρτηση συεχής σ έα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άω ή είαι κυρτή στο Δ; (6) 7) Έστω μία συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Τι οομάζουμε αρχική συάρτηση ή παράγουσα της στο Δ; (6,,4,6) 8) Πότε δύο συαρτήσεις, g λέγοται ίσες; (7,,6) 9) Πότε η ευθεία y λέγεται οριζότια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ; (7,6) ) Nα ορίσετε πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σ έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (5,) ) Πότε μια συάρτηση λέμε ότι είαι συεχής σε έα σημείο του πεδίου ορισμού της; (7,9,5) ) Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συάρτησης ; (9,,5) 3)Έστω μια συάρτηση συεχής σ έα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είαι κοίλη στο Δ; (,4) 4) Πότε λέμε ότι μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της; (,3) 5) Πότε λέμε ότι μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ( ); (,4) 6) Πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως φθίουσα σ έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; ( ) 7) Πότε λέμε ότι μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; () 8) Έστω συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Ποια σημεία λέγοται κρίσιμα σημεία της ; (3) 9)Πότε λέμε ότι μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; (5) Δε έχου πέσει )Τι οομάζουμε γραφική παράσταση συάρτησης; ) Τι οομάζουμε σύθεση της με τη g ; ) Πότε μία συάρτηση λέγεται γησίως μοότοη σ έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; 3)Πότε λέμε ότι μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το (); 4) Πότε μία συάρτηση είαι συεχής στο πεδίο ορισμού της ή απλώς συεχής; [3]

6 5) Τι ορίζουμε σα εφαπτομέη της Α, ; 6) Πότε έα κιητό κιείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοτά στο t; 7) Πότε μία συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ή απλώς παραγωγίσιμη ; α,β ; C στο σημείο της 8) Πότε μία συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο 9) Ποια συάρτηση οομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της 3) Α δύο μεταβλητά μεγέθη, y συδέοται με τη σχέση y (), τι οομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο 3) Πότε λέμε ότι μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A τοπικό ακρότατο; 3) Πότε το Α είαι θέση τοπικού ελαχίστου και πότε θέση τοπικού μεγίστου ; 33) Ποια σημεία μιας συάρτησης λέγοται κρίσιμα σημεία και ποιες είαι οι θέσεις πιθαώ ακροτάτω της ; 34) Πότε το σημείο Α, οομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης συάρτησης στο α,β ; ( στο μπορεί α είαι απλώς συεχής) 35) Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συάρτησης στο ; 36)Να δώσετε το ορισμό του ορισμέου ολοκληρώματος μιας συεχούς συάρτησης στο, Ερωτήσεις ) A η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σ' έα σημείο του πεδίου ορισμού της, α γραφεί η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο (, ( )) () ) Α () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίετε για τη μοοτοία της συάρτησης ; () 3)Στο παρακάτω σχήμα δίεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συάρτησης y στο διάστημα -,6 Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα ή γησίως φθίουσα () 4) Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε α προκύψου γωστές ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώματος α β d a g d a,g συεχείς συαρτήσεις στο [α,β] γ [4] g d,όπου λ,μ και a

7 () 5) Τι σημαίει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; (3,8,3,6) 6) Τι σημαίει γεωμετρικά το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού; (7) 7) Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle ( εσπεριά) 8) Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού λογισμού 9) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat )Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής (3,6) (3) (4) (6) Δε έχου πέσει ) Πως ορίζοται οι πράξεις τω συαρτήσεω; 3) Πως ορίζεται η ατίστροφη συάρτηση και τι γωρίζετε για τις γραφικές τους παραστάσεις; 4) Ποια θεωρήματα ισχύου για το όριο και τη διάταξη; 5) τω ορίω; 6) Ποια είαι τα βασικά τριγωομετρικά όρια στο ; 7) Ποιες είαι οι ιδιότητες του μη πεπερασμέου ορίου ; 8) Ποια είαι τα όρια πολυωυμικής και ρητής συάρτησης στο ; 9) Ποια είαι τα όρια της εκθετικής και της λογαριθμικής συάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού της; ) Α δύο συαρτήσεις,g είαι συεχείς στο,τότε ποιες άλλες συαρτήσεις που ορίζοται μέσω της είαι συεχείς στο ; ) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηεία του θεωρήματος Bolzano ; ) Να διατυπώσετε το θεώρημα εδιάμεσω τιμώ 3) Να διατυπώσετε για μία συεχή συάρτηση το θεώρημα ελάχιστης και μέγιστης τιμής 4) Ποια είαι η σχέση κλίσης της εφαπτομέης συάρτησης στο σημείο Α, και της παραγώγου της στο o και ποια είαι η εξίσωση της εφαπτομέης της C στο 5) Να δώσετε το συμβολισμό της ιοστής παραγώγου και πως ορίζεται σε σχέση με τη 6) Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα εός κιητού, τη χροική στιγμή t ; 7) Να διατυπώσετε το θεώρημα βάσει του εξετάζουμε τη κυρτότητα μιας συάρτησης [5] v

8 8)Ποια είαι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συάρτησης με μια εφαπτομέη της με βάση τη κυρτότητα μιας συάρτησης; 9)Ποιες είαι οι πιθαές θέσεις σημείω καμπής; Α μια συάρτηση είαι δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο ποια σχέση ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της στο ; Πότε έα σημείο είαι βέβαιο σημείο καμπής; 3) Να διατυπώσετε τους καόες DeL Hospital 3)Να διατυπώσετε τις ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώματος Α, είαι σημείο καμπής της, τότε 3) Να δώσετε τους τύπους της ολοκλήρωσης κατά παράγοτες και της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής 33) Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού Αποδείξεις ) Να αποδείξετε ότι, α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σ' έα σημείο του πεδίου ορισμού της,τότε είαι και συεχής στο σημείο αυτό (,3,7,3) ) Έστω μια συάρτηση, η οποία είαι συεχής σε έα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι : α () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ (,) α () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ (6) 3)Εστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Α F είαι μια παράγουσα της στο Δ, τότε όλες οι συαρτήσεις της μορφής:g()=f()+c, CΙR είαι παράγουσες της στο Δ και G F C, C κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρει τη μορφή: (,3,,5 4)Έστω μια συεχής συάρτηση σ' έα διάστημα [α, β] Α G είαι μια παράγουσα της στο [α, β], τότε α δείξετε ότι β α (t) dt G(β) G(α) (,8,3) 5) Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες στο o, α αποδείξετε ότι η συάρτηση +g είαι παραγωγίσιμη g g στο o και ισχύει: o o o (εσπεριό,7,9) 6)Έστω η συάρτηση () εφ Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R { / συ } και ισχύει συ (εσπεριό 3,5,ομογεείς 6)) 7) Έστω μια συάρτηση ορισμέη σ' έα διάστημα και έα εσωτερικό σημείο του Α η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είαι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, α αποδείξετε ότι (4,,6) [6]

9 8)Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Α η είαι συεχής στο και για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε α αποδείξετε ότι η είαι σταθερή σε όλο το διάστημα (4,9,4) 9)Έστω μια συάρτηση, η οποία είαι ορισμέη σε έα κλειστό διάστημα [α, β] Α η είαι συεχής στο [α, β] και α β Να δείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ τω (α) και (β) υπάρχει έας, τουλάχιστο α, β ώστε η (5,,5) [7] τέτοιος, )Έστω η συάρτηση με () Να αποδείξετε ότι η είαι παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ισχύει: () (5,9) ) Έστω η συάρτηση R και ισχύει, Ν, Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο (7 εσπεριά) ) Να αποδειχθεί ότι η συάρτηση ( ) ln, * είαι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει: ln (8) 3) Έστω μια συάρτηση παραγωγίσιμη σε έα διάστημα α,β, με εξαίρεση ίσως έα σημείο του, στο οποίο όμως η είαι συεχής Α στο α, και στο,β, τότε α αποδείξετε ότι το είαι τοπικό μέγιστο της (,6) 4) Έστω μια συάρτηση παραγωγίσιμη σε έα διάστημα οποίο, όμως, η είαι συεχής Α η διατηρεί πρόσημο στο α,, β, τότε α δε είαι τοπικό ακρότατο και η είαι γησίως μοότοη στο α,β αποδείξετε ότι το Δε έχου πέσει (4) α,β, με εξαίρεση ίσως έα σημείο στο 5) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώυμο P, ισχύει 6) Να αποδείξετε ότι για τα πολυώυμα P, Q,με Q P P lim Q Q lim P P,, ισχύει

10 7)Έστω η σταθερή συάρτηση ( ) c, c παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι c, δηλαδή 8) Έστω η συάρτηση ( ) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ), δηλαδή ( ) 9) Έστω η συάρτηση ( ) *, Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει ( ), δηλαδή ( ) )Να αποδείξετε ότι η συάρτηση ( ), είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) ln a, δηλαδή ( ) ln a )Έστω δυο συαρτήσεις, g ορισμέες σε έα διάστημα Δ Α οι, g είαι συεχείς στο Δ και ( ) g( ) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, α αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε α ισχύει: ( ) g( ) c )Έστω, δυο συαρτήσεις και g, συεχείς στο διάστημα [, ] με ( ) g( ) για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τω,g, και τις ευθείες = α και = β είαι: E ( ) ( ( ) g ( )) d 3) Έστω, μια συάρτηση g συεχής στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, του άξοα και τις ευθείες = α και = β είαι: E( ) g( ) d [8]

11 Σωστό -λάθος Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις α γράψετε στο τετράδιό σας το αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, τη έδειξη (Σ), α η πρόταση είαι σωστή, ή (Λ), α αυτή είαι λαθασμέη ) Α η είαι παραγωγίσιμη στο, τότε η είαι πάτοτε συεχής στο Σωστό Λάθος ) Α η δε είαι συεχής στο,τότε η είαι παραγωγίσιμη στο Σωστό Λάθος 3) Α η έχει δεύτερη παράγωγο στο,τότε η είαι συεχής στο Σωστό Λάθος 4) Η συάρτηση () e είαι γησίως αύξουσα στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Σωστό Λάθος 5) Η συάρτηση με ( ) 3, όπου, είαι γησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό Σωστό Λάθος 6) Α ( ) g ( ) 3 για κάθε, τότε η συάρτηση h( ) ( ) g ( ) είαι γησίως φθίουσα στο Δ Σωστό Λάθος 7) Α η συάρτηση είαι ορισμέη στο [α, β] και συεχής στο (α, β], τότε η παίρει πάτοτε στο [α, β] μία μέγιστη τιμή Σωστό Λάθος 8) Κάθε συάρτηση, που είαι - στο πεδίο ορισμού της, είαι γησίως μοότοη Σωστό Λάθος 9) Α η συάρτηση είαι ορισμέη στο, και συεχής στο,, τότε η παίρει πάτοτε στο, μία ελάχιστη τιμή Σωστό Λάθος lim lim ) Α υπάρχει το όριο της συάρτησης στο και lim τότε () κοτά στο ) Α ) Α d 3) Η εικόα, τότε κατ αάγκη θα είαι,τότε για κάθε, Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος εός διαστήματος Δ μέσω μιας συεχούς και μη σταθερής συάρτησης είαι διάστημα Σωστό Λάθος 4) Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο IR και δε είαι ατιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα,, στο οποίο η ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle 5) Έστω συάρτηση ορισμέη και παραγωγίσιμη στο διάστημα, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάτα ισχύει ότι και σημείο 6) Α η συάρτηση είαι συεχής στο διάστημα, και υπάρχει, τότε κατ αάγκη θα ισχύει Σωστό Λάθος, στο οποίο η Σωστό Λάθος, τέτοιο ώστε Σωστό Λάθος 7) Α μία συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σ' έα σημείο o, τότε είαι και συεχής στο σημείο αυτό Σωστό Λάθος [9]

12 8) Α μία συάρτηση είαι συεχής σ' έα σημείο o, τότε είαι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Σωστό Λάθος 9) Α μία συάρτηση είαι συεχής σ' έα διάστημα Δ και ισχύει () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως φθίουσα στο Δ Σωστό Λάθος ) Α υπάρχου τα όρια τω συαρτήσεω και g στο o, τότε ισχύει: lim g lim lim g ( ) ( ) ( ) ( ) o o o Σωστό Λάθος ) Έστω μία συάρτηση συεχής σε έα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είαι κυρτή στο Δ Σωστό Λάθος ) Α μια συάρτηση είαι κυρτή σε έα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάω» από τη γραφική της παράσταση Σωστό Λάθος 3) Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ και έα εσωτερικό σημείο του Δ Α η είαι παραγωγίσιμη στο και ( ), τότε η παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο Σωστό Λάθος 4) Έστω μία συάρτηση παραγωγίσιμη σ' έα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως έα σημείο του, στο οποίο όμως η είαι συεχήςα στο, και στο,, τότε το είαι τοπικό ελάχιστο της Σωστό Λάθος 5) Μία συάρτηση : είαι συάρτηση, α και μόο α για οποιαδήποτε, A ισχύει η συεπαγωγή:α, τότε ( ) () Σωστό Λάθος 6) Α δύο μεταβλητά μεγέθη, y συδέοται με τη σχέση y = (), ότα είαι μία παραγωγίσιμη συάρτηση στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο τη παράγωγο Σωστό Λάθος () lim () 7) Α υπάρχου τα όρια τω συαρτήσεω και g στο, τότε ισχύει lim, εφόσο g() lim g () 8) lim g() lim () l,,, α και μόο α lim () lim () l Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος 9) Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες στο,τότε η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( g) g 3) Έστω μια συάρτηση, η οποία είαι συεχής σε έα διάστημα Α Σωστό Λάθος σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είαι γησίως φθίουσα σε όλο το Δ Σωστό Λάθος 3) Έστω μια συεχής συάρτηση σ έα διάστημα, Α G είαι μια παράγουσα της στο,, β τότε (t)dt G(β) G(α) α Σωστό Λάθος []

13 3) Α, g είαι δύο συαρτήσεις µε πεδίο ορισμού και ορίζοται οι συθέσεις og και go, τότε αυτές οι συθέσεις είαι υποχρεωτικά ίσες Σωστό Λάθος 33) Οι γραφικές παραστάσεις C και C τω συαρτήσεω και είαι συμμετρικές ως προς τη ευθεία y που διχοτομεί τις γωίες Oy ˆ και Oy ˆ Σωστό Λάθος 34) Α υπάρχει το όριο της στο, τότε k lim () k lim () κοτά στο, µε k [], εφόσο και k Σωστό Λάθος 35) Έστω δύο συαρτήσεις, g ορισμέες σε έα διάστημα Δ Α οι, g είαι συεχείς στο και g για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε α ισχύει: g c Σωστό Λάθος 36) Μία συάρτηση λέγεται γησίως φθίουσα σε έα διάστημα του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε, µε ισχύει: Σωστό Λάθος 37) Έστω η συάρτηση H συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει () Σωστό Λάθος,, της γραφικής παράστασης 38) Ο συτελεστής διεύθυσης λ, της εφαπτομέης στο σημείο C μιας συάρτησης, παραγωγίσιμης στο σημείο του πεδίου ορισμού της είαι 39) Έστω η συάρτηση 4) Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Α η είαι συεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είαι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Σωστό, όπου H συάρτηση είαι παραγωγίσιμη και ισχύει 4) Έστω μία συάρτηση, η οποία είαι συεχής σε έα διάστημα Δ Α σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα σε όλο το Δ 4) Α η είαι συεχής στο, με και υπάρχει, ώστε Σωστό Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος σε κάθε εσωτερικό Σωστό Λάθος, τότε κατ αάγκη Σωστό lim g() 43) Α υπάρχει το lim () g() τότε κατ αάγκη υπάρχου τα lim () και Λάθος Σωστό Λάθος 44) Α η έχει ατίστροφη συάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοιό σημείο Α με τη ευθεία y =, τότε το σημείο Α αήκει και στη γραφική παράσταση της Σωστό Λάθος 45) Α lim () = και κοτά στο, τότε lim () Σωστό Λάθος

14 46) Α η είαι μια συεχής συάρτηση σε έα διάστημα Δ και α είαι έα σημείο του Δ, τότε ισχύει (t) dt () (α) για κάθε Δ α Σωστό Λάθος 47) Α μια συάρτηση είαι συεχής σε έα διάστημα Δ και δε μηδείζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είαι θετική για κάθε Δ ή είαι αρητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Σωστό Λάθος 48) Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η δε παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είαι ίση με το, λέγοται κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ Σωστό Λάθος 49) Έστω μια συάρτηση παραγωγίσιμη σ έα διάστημα, με εξαίρεση ίσως έα σημείο του o Α η είαι κυρτή στο, o και κοίλη στο, o ή ατιστρόφως, τότε το σημείο o, o είαι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της Σωστό Λάθος 5) Μία συάρτηση : λέγεται συάρτηση -, ότα για οποιαδήποτε, ισχύει η συεπαγωγή: α, τότε 5) Μία συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A ότα για κάθε A 5) Α οι συαρτήσεις, g έχου όριο στο ο και ισχύει lim > lim g [] Σωστό Λάθος, (ολικό) ελάχιστο, το Σωστό g κοτά στο ο, τότε Λάθος Σωστό Λάθος 53)Α μία συάρτηση είαι συεχής στο κλειστό διάστημα, και παραγωγίσιμη στο αοικτό (β)-(α) διάστημα (α, β) τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: ξ β α Σωστό Λάθος 54) Α, τότε ισχύει lim Σωστό Λάθος R / και 55) Έστω η συάρτηση ισχύει: () συ 56) Α υπάρχει το όριο της συάρτησης στο k 57) Α υπάρχει το 58) Ισχύει ο τύπος Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο, τότε: lim k () lim ( ) τότε ( ) κοτά στο 3 3, για κάθε 59) Ισχύει η σχέση στο [α, β] o o Σωστό Λάθος k lim () για κάθε σταθερά Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος ( ) g ( ) d ( ) g( ) ( ) g( ) d, όπου, g είαι συεχείς συαρτήσεις Σωστό Λάθος

15 6)Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες στο ο και g, τότε η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο ο και ισχύει: ( o)g ( o) ( o)g( o) o g g( ) Σωστό Λάθος 6) Για κάθε ισχύει ln Σωστό Λάθος 6) Μια συάρτηση : είαι, α και μόο α για κάθε στοιχείο y του συόλου τιμώ της η y έχει ακριβώς μία λύση ως προς εξίσωση Σωστό Λάθος 63) Έστω μια συεχής συάρτηση σ έα διάστημα, Α G είαι μια παράγουσα της στο,, τότε β (t)dt G(α) G(β) α Σωστό Λάθος 64) Έστω πραγματική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και Έστω επίσης για κάθε Α lim () τότε lim () Σωστό Λάθος 65) Α μία συάρτηση δε είαι συεχής σ' έα σημείο o, τότε δε μπορεί α είαι παραγωγίσιμη στο o Σωστό Λάθος 66) Έστω η συάρτηση με πεδίο ορισμού το,,τότε () για κάθε, Σωστό Λάθος 67) Α έα τουλάχιστο από τα όρια lim (), lim () είαι + ή, τότε η ευθεία λέγεται οριζότια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Σωστό Λάθος 68) Α συάρτηση συεχής στο, και για κάθε, ισχύει τότε d Σωστό Λάθος 69) Έστω μία συάρτηση, η οποία είαι συεχής σε έα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Α η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα στό Δ,τότε σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Σωστό Λάθος 7) Α η συάρτηση είαι συεχής στο και η συάρτηση g είαι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους go είαι συεχής στο Σωστό Λάθος 7) Α α > τότε lim α Σωστό Λάθος 7) Η εικόα (Δ) εός διαστήματος Δ μέσω μιας συεχούς συάρτησης είαι διάστημα Σωστό Λάθος 73) Α, g, g είαι συεχείς συαρτήσεις στο διάστημα [α, β], τότε o β β β ()g ()d ()d g ()d α α α Σωστό Λάθος [3]

16 74) Α η είαι μια συεχής συάρτηση σε έα διάστημα Δ και α είαι έα σημείο του Δ, τότε ισχύει (t) dt () για κάθε Δ α 75) Α μια συάρτηση είαι γησίως αύξουσα και συεχής σε έα αοικτό διάστημα σύολο τιμώ της στο διάστημα αυτό είαι το διάστημα, όπου Α= lim [4] α Σωστό Λάθος,, τότε το και Β= lim Σωστό Λάθος 76) Έστω δύο συαρτήσεις, g ορισμέες σε έα διάστημα Δ Α οι, g είαι συεχείς στο και g για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε α ισχύει: g c Σωστό Λάθος 77) Μια συάρτηση είαι -, α και μόο α κάθε οριζότια ευθεία (παράλληλη στο ) τέμει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε έα σημείο Σωστό Λάθος 78) Α υπάρχει το όριο της συάρτησης στο και lim β,τότε κοτά στο Σωστό 79) A είαι συεχής συάρτηση στο,, τότε η παίρει στο, μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Σωστό, για κάθε 8) Έστω η συάρτηση με πεδίο ορισμού το, τότε Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος 8) Η γραφική παράσταση της συάρτησης είαι συμμετρική, ως προς το άξοα, της γραφικής παράστασης της Σωστό Λάθος 8) Α,g,h είαι τρεις συαρτήσεις και ορίζεται η h h g και ισχύει h ( g ) h g (g ), τότε ορίζεται και η Σωστό Λάθος 83) Οι πολυωυμικές συαρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του έχου ασύμπτωτες Σωστό Λάθος 84) Α μια συάρτηση : A είαι, τότε για τη ατίστροφη συάρτηση ισχύει: ( ()), A και ( (y)) y, y (A) Σωστό Λάθος 85) Μια συεχής συάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθέα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της Σωστό Λάθος 86) Α μια συάρτηση είαι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άω, τότε κατ για κάθε πραγματικό αριθμό αάγκη θα ισχύει 87) Α η είαι συεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ τότε ισχύει β γ β α α γ Σωστό ()d ()d ()d Λάθος Σωστό Λάθος 88) Υπάρχου συαρτήσεις που είαι, αλλά δε είαι γησίως μοότοες Σωστό Λάθος 89) Α μια συάρτηση είαι κοίλη σ έα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους Σωστό Λάθος

17 9) Το ολοκλήρωμα β ()d είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω χωρίω που βρίσκοται πάω από α το άξοα μείο το άθροισμα τω εμβαδώ τω χωρίω που βρίσκοται κάτω από το άξοα Σωστό Λάθος,, και έας πραγματικός 9) Έστω μια συάρτηση ορισμέη σ έα σύολο της μορφής αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυαμία: lim () lim ( () ) 9) Α μια συάρτηση είαι συεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο αοιχτό διάστημα (α, β) και (α) = (β) τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: (ξ) = Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος 93) Μία συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, ότα για κάθε A 94) Α μία συάρτηση είαι συεχής σε έα διάστημα, και ισχύει για κάθε το εμβαδό του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, β Σωστό Λάθος,, τότε και το άξοα είαι Ε(Ω) ()d α Σωστό Λάθος συ 95) lim Σωστό Λάθος 96) Α μια συάρτηση είαι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άω, τότε κατ αάγκη θα ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό Σωστό Λάθος 97) Α lim () = και κοτά στο, τότε lim () Σωστό Λάθος 98) Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R / και ισχύει: () συ Σωστό Λάθος ημ 99) lim Σωστό Λάθος ) Έστω συάρτηση συεχής σε έα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Α η είαι γησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δε είαι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Σωστό Λάθος ) Α μια συάρτηση είαι γησίως φθίουσα και συεχής σε έα αοικτό διάστημα,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημα αυτό είαι το διάστημα, όπου Α= lim και Β= lim lim τότε () κοτά στο ) Α α Σωστό Σωστό β Λάθος Λάθος [5]

18 3) συ ημ, Σωστό Λάθος 4) Α,, τότε ισχύει 5) Α lim ή, τότε ( ) lim [6] Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος 6) Α συάρτηση συεχής στο, και για κάθε, ισχύει τότε d Σωστό Λάθος 7) Το πεδίο ορισμού μιας συάρτησης είαι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της γραφικής παράστασης C της συάρτησης Σωστό Λάθος 8) Για κάθε συάρτηση παραγωγίσιμη σ έα διάστημα και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι: c () c (), για κάθε Σωστό Λάθος 9) Το σύολο τιμώ μιας συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α, β] είαι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της Σωστό Λάθος ) Α lim () τότε κοτά στο Σωστό Λάθος ) Για κάθε συάρτηση η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C, που βρίσκοται πάω από το άξοα, και από τα συμμετρικά, ως προς το άξοα, τω τμημάτω της C, που βρίσκοται κάτω από το άξοα Σωστό Λάθος ) Α οι συαρτήσεις, g έχου όριο στο o, και ισχύει () g() κοτά στο o, τότε ισχύει: lim lim g Σωστό 3) Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες στο o και g( o ), τότε και η συάρτηση g είαι g g παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: g g 4) Έστω P(), Q() πολυώυμα διάφορα του μηδεικού Οι ρητές συαρτήσεις P Q Σωστό Λάθος Λάθος, με βαθμό του αριθμητή P() μεγαλύτερο τουλάχιστο κατά δύο του βαθμού του παραομαστή, έχου πλάγιες ασύμπτωτες Σωστό Λάθος ημ 5) Ισχύει ότι: lim = Σωστό Λάθος 6) Μία συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο, ότα για κάθε A A (ολικό) μέγιστο το Σωστό Λάθος 7) Α μια συάρτηση είαι γησίως μοότοη σε έα διάστημα Δ, τότε είαι και - στο διάστημα αυτό Σωστό Λάθος

19 8) Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R / και ισχύει: () ημ Σωστό Λάθος 9) Έα τοπικό μέγιστο μπορεί α είαι μικρότερο από έα τοπικό ελάχιστο Σωστό Λάθος ) Η γραφική παράσταση της συάρτησης είαι συμμετρική, ως προς το άξοα, της γραφικής παράστασης της Σωστό Λάθος ) Α είαι <α< τότε Σωστό Λάθος ) Για τη πολυωυμική συάρτηση P ( ) α α α α με α ισχύει: Σωστό Λάθος 3) Έστω μία συάρτηση παραγωγίσιμη σ' έα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως έα σημείο του, στο οποίο όμως η είαι συεχήςα στο, και στο, τότε το είαι τοπικό μέγιστο της Σωστό Λάθος 4) Ισχύει ότι: για κάθε R Σωστό Λάθος 5) Α μια συάρτηση είαι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχου σημεία της γραφικής παράστασης της με τη ίδια τεταγμέη Σωστό Λάθος 6) Α lim (), τότε lim () Σωστό Λάθος 7) Για δύο οποιεσδήποτε συαρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( g) ( ) ( ) g( ) ( )g ( ) Σωστό Λάθος 8) Α μια συάρτηση παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είαι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα Σωστό Λάθος 9) Έστω συάρτηση συεχής σε έα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Α η συάρτηση είαι γησίως φθίουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είαι υποχρεωτικά αρητική στο εσωτερικό του Δ Σωστό Λάθος α,,β Ισχύει η 3)Έστω μια συάρτηση που είαι ορισμέη σε έα σύολο της μορφής ισοδυαμία lim lim lim o 3) Έστω συάρτηση συεχής στο Α, ισχύει είαι πατού μηδέ στο διάστημα αυτό,τότε 3) Για κάθε ισχύει ημ d για κάθε Σωστό Λάθος, και η συάρτηση δε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος [7]

20 33) Α ln για κάθε, τότε για κάθε 34) Υπάρχει πολυωυμική συάρτηση βαθμού, η οποία έχει ασύμπτωτη 35) Α d, τότε κατ αάγκη θα είαι 36) Κάθε συάρτηση, για τη οποία ισχύει στο,, για κάθε, Σωστό Σωστό Σωστό,,, είαι σταθερή για κάθε Λάθος Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος 37) Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της, για τα οποία το () αήκει στο πεδίο ορισμού της g Σωστό Λάθος 38) Α είαι μια συεχής συάρτηση στο,, τότε ισχύει d d Σωστό Λάθος [8]

21 Η θεωρία του σχολικού βιβλίου σε ερωτήσεις [9]

22 []

23 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση; Έστω Α έα υποσύολο του Οομάζουμε πραγματική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (καόα), με τη οποία κάθε στοιχείο A ατιστοιχίζεται σε έα μόο πραγματικό αριθμό y Το y οομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με Για α εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : A Το γράμμα παριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του Α και λέγεται αεξάρτητη μεταβλητή, εώ το γράμμα y, που παριστάει τη τιμή της στο, λέγεται εξαρτημέη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συμβολίζεται με D Το σύολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A, λέγεται σύολο A Είαι δηλαδή: τιμώ της και συμβολίζεται με A y / y, A 3 Τι οομάζουμε γραφική παράσταση συάρτησης; Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Οy έα σύστημα συτεταγμέω στο επίπεδο M, y για τα οποία ισχύει y, δηλαδή το σύολο τω Το σύολο τω σημείω σημείω M,, A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται με C 4 Πότε δύο συαρτήσεις και g είαι ίσες; Δύο συαρτήσεις και g λέγοται ίσες ότα: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει () g() Για α δηλώσουμε ότι δύο συαρτήσεις και g είαι ίσες γράφουμε 5 Πως ορίζοται οι πράξεις τω συαρτήσεω; g Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά g, γιόμεο g και πηλίκο g δύο συαρτήσεω, g τις συαρτήσεις με τύπους ( g)() () g(), ( g)() () g(), () (g)() ()g(), () g g() Το πεδίο ορισμού τω g, g και g είαι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α και Β τω συαρτήσεω και g ατιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της g είαι το A B, εξαιρουμέω τω τιμώ του που μηδείζου το παροομαστή g, δηλαδή το σύολο A και B με g []

24 6Τι οομάζουμε σύθεση της με τη g; Α, g είαι δύο συαρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β ατιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συάρτηση με τύπο (go)() g(()) Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () αήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είαι το σύολο A { A () B} Είαι φαερό ότι η go ορίζεται α A, δηλαδή α (A) B ΣΧΟΛΙΑ Γεικά, α, g είαι δύο συαρτήσεις και ορίζοται οι go και og, τότε αυτές δ ε ε ί α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α, g, h είαι τρεις συαρτήσεις και ορίζεται η ho(go ), τότε ορίζεται και η (hog)o και ισχύει ho(go) (hog)o Τη συάρτηση αυτή τη λέμε σύθεση τω, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύθεση συαρτήσεω γεικεύεται και για περισσότερες από τρεις συαρτήσεις 7 Πότε μία συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα και πότε γησίως φθίουσα και πότε γησίως μοότοη σ έα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συάρτηση λέγεται: γησίως αύξουσα σ έα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ( ) ( ) (Σχ α) γησίως φθίουσα σ έα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ( ) ( ) (Σχ β) y ( ) ( ) Ο Δ (a) Για α δηλώσουμε ότι η είαι γησίως αύξουσα (ατιστοίχως γησίως φθίουσα) σε έα διάστημα Δ, γράφουμε Δ (ατιστοίχως Δ) Α μια συάρτηση είαι γησίως αύξουσα ή γησίως φθίουσα σ έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είαι γησίως μοότοη στο Δ y ( ) ( ) Ο Δ (β) []

25 8 Πότε λέμε ότι μια συάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο; Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ( ), ότα () ( ) για κάθε A (Σχ α) Παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), ότα () ( ) για κάθε A (Σχ β) y y ( ) () O (a) C () ( ) O (β) C 9 Πότε μια συάρτηση λέγεται -; Μια συάρτηση :A λέγεται συάρτηση, ότα για οποιαδήποτε, A ισχύει η συεπαγωγή: α, τότε ( ) ( ) Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικύεται ότι: Μια συάρτηση :A είαι συάρτηση, α και μόο α για οποιαδήποτε, A ισχύει η συεπαγωγή: α ( ) ( ), τότε ΣΧΟΛΙΑ Από το παραπάω ορισμό προκύπτει ότι μια συάρτηση είαι, α και μόο α: Για κάθε στοιχείο y του συόλου τιμώ της η εξίσωση () y έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δε υπάρχου σημεία της γραφικής της παράστασης με τη ίδια τεταγμέη Αυτό σημαίει ότι κάθε οριζότια ευθεία τέμει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε έα σημείο y y A B O O συάρτηση - συάρτηση όχι - Α μια συάρτηση είαι γησίως μοότοη, τότε προφαώς, είαι συάρτηση " " [3]

26 Πως ορίζεται η ατίστροφη συάρτηση γραφικές τους παραστάσεις; μιας συάρτησης και τι γωρίζετε για τις Έστω μια συάρτηση : A Α υποθέσουμε ότι αυτή είαι, τότε για κάθε στοιχείο y του συόλου τιμώ, (A), της υπάρχει μοαδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει ( ) y Επομέως ορίζεται μια συάρτηση g: (A) με τη οποία κάθε y (A) ατιστοιχίζεται στο μοαδικό A για το οποίο ισχύει ( ) y Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ (A) της, A (A) έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυαμία: ( ) y g( y) g(y)= y=() Αυτό σημαίει ότι, α η ατιστοιχίζει το στο y, τότε η g ατιστοιχίζει το y στο και ατιστρόφως Δηλαδή η g είαι η ατίστροφη διαδικασία της Για το λόγο αυτό η g λέγεται ατίστροφη συάρτηση της και συμβολίζεται με Επομέως έχουμε g ( ) y ( y) οπότε ( ( )), A και ( ( y)) y, y ( A) Οι γραφικές παραστάσεις C και C τω συαρτήσεω και τη ευθεία y που διχοτομεί τις γωίες Oy και Oy είαι συμμετρικές ως προς ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α μια συάρτηση είαι ορισμέη σε έα σύολο της μορφής,, lim α και μόο α lim lim lim lim lim h h lim και lim c c, τότε: Ποια θεωρήματα ισχύου για το όριο και τη διάταξη; Για το όριο και τη διάταξη ισχύου τα παρακάτω θεωρήματα ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α lim (), τότε () κοτά στο Α lim (), τότε () κοτά στο [4]

27 ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α οι συαρτήσεις,g έχου όριο στο και ισχύει () g() κοτά στο, τότε lim () lim g() Ποιες είαι οι ιδιότητες τω ορίω; Α υπάρχου τα όρια τω συαρτήσεω και g στο, τότε: lim () g lim () lim g() lim k () 3 lim ()g k lim () για κάθε σταθερά k lim () lim g() () lim g lim () lim (), εφόσο lim g lim () k k lim g lim () lim () εφόσο () κοτά στο 7 lim () lim (), 3 Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώυμο P, ισχύει lim P P Έστω P Σύμφωα με τις ιδιότητες ορίω, ισχύει:, lim P lim lim lim lim lim lim lim lim P 4 Να αποδείξετε ότι για τα πολυώυμα P,Q,με P P lim, Q Q Q, ισχύει Είαι P lim P P lim Q lim Q Q [5]

28 5 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Έστω οι συαρτήσεις,g,h Α h() () g() κοτά στο και lim h() lim g(),τότε και lim () 6 Ποια είαι τα βασικά τριγωομετρικά όρια στο ; για κάθε (η ισότητα ισχύει μόο για ) lim lim lim lim 7 Ποιες είαι οι ιδιότητες του μη πεπερασμέου ορίου ; 3 Α lim () lim () lim () lim () lim () lim () α 4 Α α 5 Α 6 Α α 7 Α 8 Α lim (), τότε () κοτά στο, εώ lim () τότε () κοτά στο lim () lim () τότε lim () τότε lim () lim () ή, τότε, εώ lim () lim () και () κοτά στο, τότε lim () και () κοτά στο, τότε lim () ή, τότε lim (), τότε lim lim () () lim, εώ () lim () [6]

29 Συέπειες lim και γεικά lim, lim και γεικά lim,, εώ lim και γεικά lim,,,, Δηλαδή δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της 8 Ποια είαι τα όρια πολυωυμικής και ρητής συάρτησης στο ; Για τη πολυωυμική συάρτηση P με, ισχύει και lim P lim lim P lim Για τη ρητή συάρτηση lim lim και,,, ισχύει: lim lim 9 Ποια είαι τα όρια της εκθετικής και της λογαριθμικής συάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού τους; Α, τότε: Α, τότε:, lim log lim, lim, lim log lim, lim και lim log και lim log 3 Πότε λέμε ότι μια συάρτηση είαι συεχής στο του πεδίου ορισμού της; Έστω μια συάρτηση και έα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είαι συεχής στο, ότα lim () ( ) 3 Πότε μια συάρτηση θα λέμε ότι είαι συεχής ; Μία συάρτηση που είαι συεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέμε ότι είαι συεχής συάρτηση 3 Πότε μια συάρτηση είαι συεχής στο (α, β); Μια συάρτηση θα λέμε ότι είαι συεχής σε έα αοικτό διάστημα,, ότα είαι συεχής σε κάθε σημείο του, [7]

30 33 Πότε μια συάρτηση είαι συεχής στο, ; Μια συάρτηση θα λέμε ότι είαι συεχής σε έα κλειστό διάστημα,, ότα είαι συεχής σε κάθε σημείο του (, ) και επιπλέο lim () ( ) και lim () ( ) 34 Α δύο συαρτήσεις,g είαι συεχείς στο χ, τότε ποιες άλλες συαρτήσεις που ορίζοται μέσω τω,g είαι συεχείς στο χ ; Α οι συαρτήσεις και g είαι συεχείς στο, τότε είαι συεχείς στο και οι συαρτήσεις: g, c, όπου c, g, g, και Επιπλέο α η συάρτηση είαι συεχής στο και η συάρτηση g είαι συεχής στο ( ), τότε η σύθεσή τους go είαι συεχής στο 35 Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και α «δώσετε» τη γεωμετρική του ερμηεία Έστω μια συάρτηση, ορισμέη σε έα κλειστό διάστημα y η είαι συεχής στο [, ] και, επιπλέο, ισχύει (β) ( ) ( ), τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε ( ) Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστο, ρίζα της O εξίσωσης () στο αοικτό διάστημα (, ) [, ] Α: (a) Γεωμετρική ερμηεία Α(α,(α)) Στο διπλαό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συεχούς συάρτησης στο [, ] Επειδή τα σημεία A(,( )) και B(, ( )) βρίσκοται εκατέρωθε του άξοα, η γραφική παράσταση της τέμει το άξοα σε έα τουλάχιστο σημείο ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Α μια συάρτηση είαι συεχής σε έα διάστημα Δ και δε μηδείζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είαι θετική για κάθε ή είαι αρητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ ) y y a β B(β,(β)) O a ()> β O a ()< β (α) (β) [8]

31 Μια συεχής συάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθέα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της y ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύει στο προσδιορισμό του προσήμου της για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμέα, ο προσδιορισμός αυτός γίεται ως εξής: α)βρίσκουμε τις ρίζες της β) Σε καθέα από τα υποδιαστήματα που ορίζου οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έα αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της στο αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είαι και το πρόσημο της στο ατίστοιχο διάστημα 36 Να διατυπώσετε το θεώρημα τω εδιάμεσω τιμώ και α το αποδείξετε Έστω μια συάρτηση, η οποία είαι ορισμέη σε έα κλειστό διάστημα [, ] Α: η είαι συεχής στο [, ] και ( ) ( ) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ τω ( ) και ( ) υπάρχει έας, τουλάχιστο (, ) τέτοιος, ώστε ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι ( ) ( ) Τότε θα ισχύει ( ) ( ) Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g() (), [, ], παρατηρούμε ότι: y η g είαι συεχής στο [, ] και g( )g( ), (β) B(β,(β)) αφού η g( ) ( ) και g( ) ( ) (a) Επομέως, σύμφωα με το θεώρημα του Bolzano, Α(α,(α)) y=η υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) ( ), οπότε ( ) O a β 37 Τι γωρίζετε για τη εικόα εός διαστήματος Δ μιας συεχούς και μη σταθερής συάρτησης; Η εικόα Δ εός διαστήματος Δ μέσω μιας συεχούς και μη σταθερής συάρτησης είαι διάστημα [9]

32 38 Να διατυπώσετε για μια συεχή συάρτηση το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Α είαι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η παίρει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχου, [, ] τέτοια, ώστε, α m ( ) και M ( ), α ισχύει ( ), m M, για κάθε ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάω θεώρημα και το θεώρημα εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μιας συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είαι το κλειστό διάστημα m,m, όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικύεται ότι: A μια συάρτηση είαι γησίως αύξουσα και συεχής σε έα αοικτό διάστημα,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημα αυτό είαι το διάστημα (, ) όπου lim () και B lim () Α, όμως, η είαι γησίως φθίουσα και συεχής στο (, ), τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημα αυτό είαι το διάστημα (B,A) ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 39 Tι ορίζουμε ως εφαπτομέη της C στο σημείο της A(,( )) ; Έστω μια συάρτηση και A(, ( )) έα σημείο της C Α υπάρχει το () ( ) και lim είαι έας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομέη της C στο σημείο της Α, τη ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφαπτομέης στο σημείο A(, ( )) είαι () ( ) y, όπου lim 4 Πότε μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σε έα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της, α υπάρχει () ( ) το lim και είαι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό οομάζεται παράγωγος της στο () ( ) ( ) lim και συμβολίζεται με Δηλαδή: [3]

33 4 Πότε έα κιητό κιείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοτά στο t ; S( t) S( t ) Ότα έα κιητό κιείται προς τα δεξιά, τότε κοτά στο t ισχύει, οπότε είαι υ ( t ) t t, S( t) S( t ) εώ, ότα το κιητό κιείται προς τα αριστερά κοτά στο t ισχύει, οπότε είαι υ ( t ) t t 4 Να αποδείξετε ότι α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο, τότε είαι και συεχής στο σημείο αυτό Για έχουμε () ( ) () ( ) ( ), οπότε () ( ) () ( ) lim[ () ( )] lim ( ) lim lim ( ) ( ) αφού η είαι παραγωγίσιμη στο Επομέως, lim () ( ), δηλαδή η είαι συεχής στο ΣΧΟΛΙΟ Α μια συάρτηση δε είαι συεχής σ έα σημείο, τότε, σύμφωα με το προηγούμεο θεώρημα, δε μπορεί α είαι παραγωγίσιμη στο Α μια συάρτηση είαι συεχής σ έα σημείο, τότε, δε ξέρουμε α είαι παραγωγίσιμη στο 43 Πότε μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α; H είαι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, ότα είαι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A 44 Πότε μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα αοικτό διάστημα, του πεδίου ορισμού της; Η είαι παραγωγίσιμη σε έα αοικτό διάστημα, του πεδίου ορισμού της, ότα είαι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο (, ) 45 Πότε μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα κλειστό διάστημα, του πεδίου ορισμού της; Η είαι παραγωγίσιμη σε έα κλειστό διάστημα, του πεδίου ορισμού της, ότα είαι ( ) ( ) ( ) ( ) παραγωγίσιμη στο, και επιπλέο ισχύει lim και lim [3]

34 46 Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα εός κιητού τη χροική στιγμή t ; Η στιγμιαία ταχύτητα εός κιητού, τη χροική στιγμή t, είαι η παράγωγος της συάρτησης θέσης s t τη χροική στιγμή t Δηλαδή t st 47 Τι οομάζεται κλίση της στο και ποια είαι η εξίσωση της εφαπτομέης της στο ; Κλίση της στο ή συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της Η εξίσωση της εφαπτομέης είαι: y [3] C στο 48 Ποια συάρτηση οομάζεται πρώτη παράγωγος μιας συάρτησης ; C, οομάζεται το Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α το σύολο τω σημείω του Α στο οποίο αυτή είαι παραγωγίσιμη Ατιστοιχίζοτας κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση : A η οποία οομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της 49 Έστω η σταθερή συάρτηση () c, c Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει (), δηλαδή ( c) Πράγματι, α είαι έα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) c c () ( ) Επομέως, lim, δηλαδή(c) 5 Έστω η συάρτηση () Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει (), δηλαδή ( ) Πράγματι, α είαι έα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) () ( ) Επομέως, lim lim, δηλαδή() 5 Έστω η συάρτηση () παραγωγίσιμη στο,, Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι και ισχύει (), δηλαδή Πράγματι, α είαι έα σημείο του, τότε για ισχύει: ( ) () ( ) ( )( ) () ( ) οπότε lim lim ( ) δηλαδή ( ),,

35 5 Έστω η συάρτηση () Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει (), δηλαδή Να αποδείξετε ότι η δε είαι παραγωγίσιμη στο Πράγματι, α είαι έα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) ( )( ), ( )( ) ( )( ) οπότε () ( ) lim lim Στο είαι, δηλαδή ( ) () () lim lim lim, δηλαδή η δε είαι παραγωγίσιμη στο 53 Α οι συαρτήσεις,g είαι παραγωγίσιμες στο, α αποδείξετε ότι η συάρτηση gείαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( g) ( ) ( ) g ( ) Για, ισχύει: ( g)() ( g)( ) () g() ( ) g( ) () ( ) g() g( ) Επειδή οι συαρτήσεις,g είαι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: ( g)() ( g)( ) () ( ) g() g( ) lim lim lim ( ) g ( ), Δηλαδή ( g) ( ) ( ) g ( ) 54 Έστω η συάρτηση (), παραγωγίσιμη στο Πράγματι, για κάθε * Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι * και ισχύει (), δηλαδή ( ) * έχουμε: () ( ) ( ) ( ) 55 Έστω η συάρτηση () εφ Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο { συ } και ισχύει (), δηλαδή (εφ) συ συ [33]

36 Πράγματι, για κάθε έχουμε: ημ (ημ) συ ημ(συ) συσυ ημημ συ ημ (εφ) συ συ συ συ συ 56 Πότε η συάρτηση διάστημα Δ; g είαι παραγωγίσιμη στο και πότε σε έα Α η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο και η είαι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( g) ( ) (g( )) g ( ) Γεικά, α μια συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ και η είαι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή, α u g, τότε g g g u u u 57 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση (), είαι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει (), δηλαδή ( ) Πράγματι, α y e ln και θέσουμε u ln y (e ) e u e u u ln, τότε έχουμε y e u Επομέως, 58 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση ln, δηλαδή () ( ) ln (), είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ln Πράγματι, α y e και θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln y (e ) e u e ln ln y e u Επομέως, 59 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση () ln, ισχύει (ln ) * είαι παραγωγίσιμη στο * και Πράγματι α, τότε (ln ) (ln ), εώ α, τότε ln ln( ), οπότε, α θέσουμε y ln( ) και u, έχουμε y ln u Επομέως, y (ln u) u ( ) και άρα (ln ) u [34]

37 6 Α δύο μεταβλητά μεγέθη,y συδέοται με τη σχέση y (), τι οομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο ; Α δύο μεταβλητά μεγέθη, y συδέοται με τη σχέση y (), ότα είαι μια συάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο τη παράγωγο ( ) 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και α το ερμηεύσετε γεωμετρικά Α μια συάρτηση είαι: συεχής στο κλειστό διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο αοικτό διάστημα (, ) και ( ) ( ) τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) y Μ(ξ,(ξ)) Α(α,(α)) Β(β,(β)) Γεωμετρικά, αυτό σημαίει ότι υπάρχει έα, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομέη της C στο M(, ( )) α είαι παράλληλη στο άξοα τω O α ξ ξ β 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και α το ερμηεύσετε γεωμετρικά Α μια συάρτηση είαι: συεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και παραγωγίσιμη στο αοικτό διάστημα (, ) τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) ( ) ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίει ότι υπάρχει έα, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(, ( )) α είαι παράλληλη της ευθείας ΑΒ y Ο M(ξ,(ξ)) A(a,(a)) a ξ ξ β Β(β,(β)) 63 Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Α η είαι συεχής στο Δ και () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, α αποδείξετε ότι: η είαι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Αρκεί α αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει ( ) ( ) Πράγματι Α, τότε προφαώς ( ) ( ) [35]

38 Α, τότε στο διάστημα [, ] η ικαοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής ( ) ( ) Επομέως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) () Επειδή το ξ είαι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ( ),οπότε, λόγω της (), είαι ( ) ( ) Α, τότε ομοίως αποδεικύεται ότι ( ) ( ) Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είαι ( ) ( ) 64 Α για μία συάρτηση είαι συεχής σε έα σύολο Α που αποτελείται από έωση διαστημάτω, είαι παραγωγίσιμη στο Α και () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Α, τότε η είαι σταθερή στο Α; Δώστε παράδειγμα Έστω η συάρτηση, ( ) Παρατηρούμε ότι, α και ( ) για κάθε, (,) (, ), ετούτοις η δε είαι σταθερή στο (,) (, ) 65Έστω δυο συαρτήσεις,g ορισμέες σε έα διάστημα Δ Α οι,g είαι συεχείς στο Δ και () g () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, α αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε α ισχύει: () g() c Η συάρτηση g είαι συεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει ( g) () () g () Επομέως, σύμφωα με το παραπάω θεώρημα, η συάρτηση g είαι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε α ισχύει () g() c, οπότε () g() c y y=g()+c y=g() O 66 Έστω μια συάρτηση, η οποία είαι σ υ ε χ ή ς σε έα διάστημα Δ Α () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα σε όλο το Δ Α () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως φθίουσα σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημα στη περίπτωση που είαι () Έστω, με Θα δείξουμε ότι ( ) ( ) Πράγματι, στο διάστημα [, ] η ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) ( ) ( ), οπότε έχουμε ( ) ( ) ( )( ) Επειδή ( ) και, έχουμε ( ) ( ), οπότε ( ) ( ) Στη περίπτωση που είαι () εργαζόμαστε ααλόγως [36]

39 ΣΧΟΛΙΟ Το ατίστροφο του παραπάω θεωρήματος δε ισχύει Δηλαδή, α η είαι γησίως αύξουσα (ατιστοίχως γησίως φθίουσα) στο Δ, η παράγωγός της δε είαι υποχρεωτικά θετική (ατιστοίχως αρητική) στο εσωτερικό του Δ 67 Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο, το τοπικό ελάχιστο και το τοπικό ακρότατο Μια συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότα υπάρχει, τέτοιο ώστε () ( ) για κάθε A (, ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το ( ) τοπικό μέγιστο της Μία συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότα υπάρχει, τέτοιο ώστε () ( ), για κάθε A (, ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, εώ το ( ) τοπικό ελάχιστο της Τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα της λέγοται τοπικά ακρότατα αυτής 68 Να διατυπώσετε και α αποδείξετε το θεώρημα του Fermat Έστω μια συάρτηση ορισμέη σ έα διάστημα Δ και έα εσωτερικό σημείο του Δ Α η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είαι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είαι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε (, ) και ( ) ( ), για κάθε (, ) () Επειδή, επιπλέο, η είαι παραγωγίσιμη στο, ισχύει () ( ) () ( ) ( ) lim lim Επομέως, α (, ), τότε, λόγω της (), θα είαι () ( ) ( ) lim α (, ), τότε, λόγω της (), θα είαι () ( ) ( ) lim () ( ), οπότε θα έχουμε () (3) () ( ), οπότε θα έχουμε Έτσι, από τις () και (3) έχουμε ( ) Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είαι αάλογη y ( ) O δ +δ [37]

40 69 Ποιες είαι οι πιθαές θέσεις τοπικώ ακροτάτω και ποια σημεία οομάζοται κρίσιμα; Οι π ι θ α έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ α κ ρ ο τ ά τ ω μιας συάρτησης σ έα διάστημα Δ είαι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδείζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δε παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ (α αήκου στο πεδίο ορισμού της) Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η δε παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είαι ίση με το μηδέ, λέγοται κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ 7 Έστω μια συάρτηση παραγωγίσιμη σ έα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως έα σημείο του,στο οποίο όμως η είαι συεχής Να αποδείξετε ότι: i) Α () στο (, ) και () στο (, ), τότε το ( ) είαι τοπικό μέγιστο της ii) Α () στο (, ) και () στο (, ), τότε το ( ) είαι τοπικό ελάχιστο της ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Επειδή ( ) για κάθε ( α, ) και η είαι συεχής στο, η είαι γησίως αύξουσα στο ( α, ] Έτσι έχουμε ( ) ( ), για κάθε ( α, ] () Επειδή ( ) για κάθε (, β) και η είαι συεχής στο, η είαι γησίως φθίουσα στο [, β) Έτσι έχουμε: ( ) ( ), για κάθε [, β) () Επομέως, λόγω τω () και (), ισχύει: ) ( ), για κάθε ( α, β), ( που σημαίει ότι το ( ) είαι μέγιστο της στο ( α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής ii) Εργαζόμαστε ααλόγως 7 Έστω μια συάρτηση παραγωγίσιμη σ έα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως έα σημείο του,στο οποίο όμως η είαι συεχής Α η () διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), α αποδείξετε ότι το ( ) δε είαι τοπικό ακρότατο και η είαι γησίως μοότοη στο (, ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι ( ), για κάθε ( α, ) (, β) Επειδή η είαι συεχής στο θα είαι γησίως αύξουσα σε κάθε έα από τα διαστήματα ( α, ] και [, β) Επομέως, για ισχύει ( ) ( ) ( ) Άρα το ( ) δε είαι τοπικό ακρότατο της Θα δείξουμε, τώρα, ότι η είαι γησίως αύξουσα στο ( α, β) Πράγματι, έστω, ( α, β) με Α, ( α, ], επειδή η είαι γησίως αύξουσα στο ( α, ], θα ισχύει ( ) ( ) Α, [, β), επειδή η είαι γησίως αύξουσα στο [, β), θα ισχύει ( ) ( ) Τέλος, α, τότε όπως είδαμε ( ) ( ) ( ) Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει ( ) ( ), οπότε η είαι γησίως αύξουσα στο ( α, β) Ομοίως, α ( ) για κάθε α, ) (, ) ( β [38]

41 7 Έστω μια συάρτηση συεχής σε έα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άω και πότε προς τα κάτω; Έστω μία συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θα λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άω ή είαι κυρτή στο Δ, α η είαι γησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είαι κοίλη στο Δ, α η είαι γησίως φθίουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 73 Με βάση ποιο θεώρημα εξετάζουμε τη κυρτότητα μιας συάρτησης ; Ισχύει το ατίστροφό του; Δώστε παράδειγμα Έστω μια συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α ( ) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι κυρτή στο Δ y Α ( ) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι κοίλη στο Δ Το ατίστροφο του θεωρήματος δε ισχύει Για παράδειγμα, 4 3 έστω η συάρτηση ( ) (Σχ 4) Επειδή η ( ) 4 είαι γησίως αύξουσα στο 4, η ( ) είαι κυρτή στο O Ετούτοις, η () δε είαι θετική στο αφού ( ) y= Ποια είαι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συάρτησης με μία εφαπτομέη της με βάση τη κυρτότητα της συάρτησης ; Α μια συάρτηση είαι κυρτή (ατιστοίχως κοίλη) σ έα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω (ατιστοίχως πάω ) από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους 75 Πότε το σημείο Α(, ( ) ) οομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της ; Έστω μια συάρτηση παραγωγίσιμη σ έα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως έα σημείο του Α η είαι κυρτή στο (, ) και κοίλη στο (, ), ή ατιστρόφως, και η C έχει εφαπτομέη στο σημείο A(, ( )), τότε το σημείο A(, ( )) οομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 76 Ποιες είαι οι πιθαές θέσεις σημείω καμπής; Α μια συάρτηση είαι δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο A(,( )) είαι σημείο καμπής της, τότε ποια σχέση ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της στο ; Πότε έα σημείο είαι βέβαιο σημείο καμπής; [39]

42 Ο ι π ι θ α έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ α μ π ή ς μιας συάρτησης σ έα διάστημα Δ είαι: i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η μηδείζεται, και ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δε υπάρχει η Α το A (, ( )) είαι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της και η είαι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε ( ) Έστω μια συάρτηση ορισμέη σ έα διάστημα ( α, β) και ( α, β) Α η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθε του και ορίζεται εφαπτομέη της C στο A (, ( )) τότε το A, ( )) είαι σημείο καμπής ( 77 Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ; Α έα τουλάχιστο από τα όρια lim (), lim () είαι ή, τότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της 78 Πότε η ευθεία y λέγεται οριζότια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (ατιστοίχως στο ); Α lim () (ατιστοίχως lim () ), τότε η ευθεία y λέγεται οριζότια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (ατιστοίχως στο ) 79 Πότε η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, (ατιστοίχως στο ); Η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, ατιστοίχως στο, α lim [ () ( )], ατιστοίχως lim [ () ( )] ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικύεται ότι: Οι πολυωυμικές συαρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δε έχου ασύμπτωτες Οι ρητές συαρτήσεις P( ) Q( ), με βαθμό του αριθμητή P () μεγαλύτερο τουλάχιστο κατά δύο του βαθμού του παροομαστή, δε έχου πλάγιες ασύμπτωτες Σύμφωα με τους παραπάω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συάρτησης ααζητούμε: Στα άκρα τω διαστημάτω του πεδίου ορισμού της στα οποία η δε ορίζεται Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δε είαι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είαι ορισμέη σε διάστημα της μορφής ( α, ), ατιστοίχως (, α) [4]

43 8 Να διατυπώσετε τους καόες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Α lim (), lim g(), {, } και υπάρχει το () () άπειρο), τότε: lim lim g() g () ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Α lim (), άπειρο), τότε: lim g(), () () lim lim g() g () {, } και υπάρχει το () lim (πεπερασμέο ή g () () lim (πεπερασμέο ή g () ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Τι οομάζετε αρχική συάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ; Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Αρχική συάρτηση ή παράγουσα της στο Δ οομάζεται κάθε συάρτηση F που είαι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () (), για κάθε 8 Να αποδείξετε ότι: Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Α F είαι μια παράγουσα της στο Δ, τότε όλες οι συαρτήσεις της μορφής G() F() c, c, είαι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρει τη μορφή G() F() c, c Κάθε συάρτηση της μορφής G() F() c, όπου c, είαι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G () (F() c) F () (), για κάθε Έστω G είαι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε για κάθε ισχύου F () () και G () (), οπότε G () F (), για κάθε Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G() F() c, για κάθε [4]

44 [4] 83 Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συάρτησης (), το άξοα τω και τις ευθείες και είαι E 3 Μια μέθοδος α προσεγγίσουμε το ζητούμεο εμβαδό είαι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημα ], [ σε ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους Δ, με άκρα τα σημεία:,,,,, Σχηματίζουμε τα ορθογώια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη τη ελάχιστη τιμή της σε καθέα από αυτά (Σχ 6) Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είαι το άθροισμα, ε, τω εμβαδώ τω παραπάω ορθογωίω Δηλαδή, το: ε ) ( ] ) ( [ ) ( ) ( Α, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώια με βάσεις τα παραπάω υποδιαστήματα και ύψη τη μέγιστη τιμή της σε καθέα απ αυτά (Σχ 7), τότε το άθροισμα Ε τω εμβαδώ τω ορθογωίω αυτώ είαι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμεου εμβαδού Είαι όμως, Ε ) ( ) )( ( Το ζητούμεο, όμως, εμβαδό Ε βρίσκεται μεταξύ τω ε και E Δηλαδή ισχύει Ε Ε ε, οπότε Ε Ε ε lim lim Επειδή 3 lim lim Ε ε, έχουμε 3 Ε v v v v O y 7 y= Ω O y y= 5 v v v v O y 6 y=

45 84 Να δώσετε το ορισμό του εμβαδού χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης με, το άξοα και τις ευθείες = α και = β Για α ορίσουμε το εμβαδό του χωρίου Ω εργαζόμαστε ως εξής: Χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ισομήκη y υποδιαστήματα, μήκους, με τα σημεία y=() Σε κάθε υποδιάστημα [, ] επιλέγουμε αυθαίρετα (ξ ) (ξ ) Ω (ξ k ) (ξ ) έα σημείο και σχηματίζουμε τα ορθογώια που έχου βάση και ύψη τα ( ) Το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω αυτώ είαι O α= ξ ξ k- ξ k Δ k βa v - ξ =β S ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] Υπολογίζουμε το lim S Αποδεικύεται ότι το lim S υπάρχει στο και είαι αεξάρτητο από τη επιλογή τω σημείω Το όριο αυτό οομάζεται εμβαδό του επιπέδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με Είαι φαερό ότι ( ) 85 Να δώσετε το ορισμό του ορισμέου ολοκληρώματος μιας συεχούς συάρτησης στο, Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ισομήκη υποδιαστήματα μήκους y y=() Στη συέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα έα [, ], για κάθε {,,, }, και σχηματίζουμε το άθροισμα O a= ξ ξ k v- ξ v v =β ξ S ( ) ( ) ( ) ( ) το οποίο συμβολίζεται, σύτομα, ως εξής: () S ( ) Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το lim ( ξκ ) Δ () υπάρχει στο και είαι κ αεξάρτητο από τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω Το παραπάω όριο () οομάζεται ορισμέο ολοκλήρωμα της συεχούς συάρτησης από το α στο β, συμβολίζεται με β d α και διαβάζεται ολοκλήρωμα της [43]

46 από το α στο β Δηλαδή, ()d lim ( ) Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμέου ολοκληρώματος προκύπτει ότι: Α () για κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμα ()d δίει το εμβαδό E( ) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της το άξοα και τις ευθείες β και Δηλαδή, d ΕΩ ( ) Επομέως Α (), τότε ()d α y O y=() α Ω β 86 Ποιες οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώματος; ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω,g σ υ ε χ ε ί ς συαρτήσεις στο [, ] και, και γεικά ()d ()d [ () g()]d ()d g()d [ () g()]d ()d g()d ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α η είαι σ υ ε χ ή ς σε διάστημα Δ και,,, τότε ισχύει ()d ()d ()d Τότε ισχύου ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Έστω μια σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έα διάστημα [, ] Α ( ) για κάθε [, ] και η συάρτηση δε είαι πατού μηδέ στο διάστημα αυτό, τότε ( ) d 87 Ποιος είαι ο τύπος της κατά παράγοτες ολοκλήρωσης; όπου β β ) g( ) d [ ( ) g( )] α, g είαι συεχείς συαρτήσεις στο [ α, β] α ( ( ) g( ) d, α β 88 Ποιος είαι ο τύπος της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής; όπου ( ( )) ( ) u ( ) u g g d u du,, g είαι συεχείς συαρτήσεις, u g(), du g( ) d και u g ( ), u g () [44]

47 9 Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού και α το αποδείξετε Έστω μια συεχής συάρτηση σ έα διάστημα [, ] Α G είαι μια παράγουσα της στο [, ], τότε ( t ) dt G ( ) G ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωα με το προηγούμεο θεώρημα, η συάρτηση F( ) ( t) dt είαι μια παράγουσα της στο [, ] Επειδή και η G είαι μια παράγουσα της στο [, ], θα υπάρχει ώστε G( ) F( ) c () Από τη (), για Επομέως, G( ) F( ) G ( ), οπότε, για, έχουμε G( ) F( ) c ( t) dt c c, οπότε cg ( ), έχουμε G( ) F( ) G( ) ( t) dt G ( ) και άρα ( t ) dt G ( ) G ( ) c τέτοιο, 9 Έστω, δυο συαρτήσεις και g, συεχείς στο διάστημα [, ] με () g() για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τω,g, και τις ευθείες = α και = β είαι: E( ) (() g())d y y=() y y=() y Ω y=g() Ω y=g() Ω O (α) Παρατηρούμε ότι O (β) β β β Ε ( Ω) Ε( Ω ) Ε( Ω ) ( ) d g( ) d ( ( ) g( )) d Επομέως, E( ) ( () g())d α α α O (γ) [45]

48 9 Έστω, δυο συαρτήσεις και g, συεχείς στο διάστημα [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τω,g, και τις ευθείες = α και = β είαι: E( ) (() g())d Επειδή οι συαρτήσεις, g είαι συεχείς στο [, ], θα υπάρχει αριθμό c τέτοιος ώστε () c g() c, για κάθε [, ] Είαι φαερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εμβαδό με το χωρίο Ω Επομέως, σύμφωα με το τύπο (), έχουμε: y y=() y Ω y=()+c Ω y=g()+c α O (α) y=g() Άρα E( ) ( () g())d ( ) ( ) [( () c) (g() c)]d ( () g())d 93 Έστω, μια συάρτηση g συεχής στο διάστημα [, ] με β g για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, του άξοα και τις ευθείες = α και = β είαι: E( ) g()d α O (β) β Επειδή ο άξοας είαι η γραφική παράσταση της συάρτησης (), έχουμε E( ) ( () g())d [ g()]d g()d Επομέως, α για μια συάρτηση g ισχύει g ( ) για κάθε y O α Ω β [ α, β], τότε E( ) g()d y=g() [46]

49 Θέματα παελλαδικώ εξετάσεω αά κεφάλαιο [47]

50 [48]

51 Δίεται η συάρτηση α) Να βρεθού τα όρια: lim, lim β) Να βρεθού τα, Συαρτήσεις Όρια 8 6, α ln 5 e e, 5, ώστε η συάρτηση α είαι συεχής στο =5 γ) Για τις τιμές τω α,β του ερωτήματος Β) α βρείτε το lim, Δίεται η συάρτηση με τύπο: ( ) 3, α) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η συάρτηση α είαι συεχής στο σημείο = β) Να υπολογίσετε τα όρια lim ( ),lim ( ) Εσπεριά 3Δίεται η συάρτηση,, όπου α είαι έας πραγματικός αριθμός α) Να βρείτε τη τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της α διέρχεται από το σημείο 3, Α 3 τότε: β) Να αποδείξετε ότι η είαι - γ) Να αποδείξετε ότι η ατίστροφη συάρτηση της είαι η, 3 3 δ) Να βρείτε τα κοιά σημεία τω γραφικώ παραστάσεω τω συαρτήσεω και Παράγωγος και Γραφική παράσταση Ομογεείς 6 4 Δίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύολο τιμώ της [49]

52 β) Να βρείτε, α υπάρχου, τα παρακάτω όρια lim ii) lim iii) lim iv) lim i) v) lim 9 Για τα όρια που δε υπάρχου α αιτιολογήσετε τη απάτησή σας γ) Να βρείτε, α υπάρχου, τα παρακάτω όρια i) lim ii) lim iii) lim 6 8 δ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η δε είαι συεχής Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας ε) Να βρείτε τα σημεία Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας του πεδίου ορισμού της για τα οποία ισχύει Επααληπτικές 6 Ρυθμός μεταβολής 5Η καταάλωση σε λίτρα αά χιλιόμετρα εός κιητήρα, ότα αυτός λειτουργεί με χιλιάδες στροφές αά λεπτό, δίεται από τη συάρτηση 3 ( ), <<5 9 3 α) Να βρείτε τη τιμή του για τη οποία έχουμε τη μικρότερη καταάλωση, καθώς επίσης και πόση είαι η καταάλωση αυτή β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της καταάλωσης του αυτοκιήτου για και για 4 (δηλαδή για στροφές αά λεπτό και 4 στροφές αά λεπτό ατίστοιχα) Εσπεριά Εφαπτομέη 6 Δίεται η συάρτηση, συεχής στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, για τη οποία ισχύει: () e lim 5 α) Να βρείτε το () β) Να δείξετε ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο σημείο = h e, α δείξετε ότι οι εφαπτόμεες τω γραφικώ παραστάσεω τω συαρτήσεω και γ) Α h στα σημεία, και, 7Έστω η συάρτηση :, με ln h ατίστοιχα είαι παράλληλες Έστω c > και έστω ότι η ευθεία y c και η C τέμοται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμεες της C στα Α και Β είαι κάθετες μεταξύ τους,, α) Να εξετάσετε α η συάρτηση είαι: i συεχής στο ii παραγωγίσιμη στο 8Έστω η συάρτηση β) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A, Εσπεριά 8 [5]

53 9Δίεται η συάρτηση :, με, η οποία είαι συεχής στο, στο, Α ισχύει 5 και 5, α αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο, β) Υπάρχει σημείο M, στο οποίο η εφαπτομέη της : 5y γ) Η συάρτηση παίρει τη τιμή 3,, α) Να αποδείξετε ότι και ότι β) Α Δίεται η συάρτηση :, με C είαι κάθετη στη ευθεία και παραγωγίσιμη 5 Εσπεριά, η οποία είαι συεχής στο, α αποδείξετε η εξίσωση έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα, γ) Α η είαι παραγωγίσιμη στο, α βρείτε τα α και β δ) Α 5 και 4 α βρείτε τη εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, Εσπεριά Δίεται η συάρτηση ( ), R α) Να βρεθεί το σύολο τιμώ της β) Να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε ( ) γ) Να υπολογίσετε το όριο im δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλω τω εφαπτομέω της γραφικής παράστασης της που διέρχοται από το σημείο (3, ) Εσπεριά 6 ΘRolle ΘΜT Συέπειες ΘΜΤ Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει για κάθε, Α και α δείξετε ότι: α) Η ευθεία y 3 τέμει τη β) υπάρχει,, τέτοιο ώστε C σ έα ακριβώς σημείο με τετμημέη, 4, M, α είαι παράλληλη γ) υπάρχει,, τέτοιο ώστε η εφαπτομέη της C στο σημείο στη ευθεία y [5]

54 , παραγωγίσιμη στο, και 3Έστω η συάρτηση :, η οποία είαι συεχής στο,, α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο, β) Να αποδείξετε ότι υπάρχου,, τέτοια ώστε : 4 4Δίεται η συάρτηση, η οποία είαι παραγωγίσιμη στο με για κάθε α) Να δείξετε ότι η είαι - β) Α η C διέρχεται από τα σημεία A,5 και B,, α λύσετε τη εξίσωση 4 8 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο έα σημείο Μ της C, στο οποίο η εφαπτομέη είαι κάθετη στη ευθεία ε: y Δίεται η παραγωγίσιμη συάρτηση : με για τη οποία ισχύει ότι: για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση g είαι σταθερή στο β) Να αποδείξετε ότι, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο έα, τέτοιο, ώστε 3, 5 Μοοτοία - Άκρότατα 6Θεωρούμε παραγωγίσιμη συάρτηση : τέτοια, ώστε: με α) Να αποδείξετε ότι e, e για κάθε β) Να μελετήσετε ως προς τη μοοτοία τη συάρτηση 7Tη χροική στιγμή t χορηγείται σ έα ασθεή έα φάρμακο Η συγκέτρωση του φαρμάκου στο αίμα t του ασθεούς δίεται από τη συάρτηση t,t,, και t ο χρόος σε ώρες Η t μέγιστη τιμή της συγκέτρωσης είαι ίση με 5 μοάδες και επιτυγχάεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου α) Να βρείτε τις τιμές τω α, β β) Με δεδομέο ότι η δράση του φαρμάκου είαι αποτελεσματική, ότα η τιμή της συγκέτρωσης είαι τουλάχιστο ίση με μοάδες, α βρείτε το χροικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά [5]

55 8Φάρμακο χορηγείται σε ασθεή για πρώτη φορά Έστω t η συάρτηση που περιγράφει τη συγκέτρωση του φαρμάκου στο οργαισμό του ασθεούς μετά από χρόο t από τη χορήγησή του, όπου 8 t Α ο ρυθμός μεταβολής της t είαι t α) Να βρείτε τη συάρτηση t β) Σε ποια χροική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέτρωση του στο οργαισμό γίεται μέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χροική στιγμή t 8υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στο οργαισμό, εώ πρι τη χροική στιγμή t η επίδρασή του στο οργαισμό έχει μηδειστεί (Δίεται ln, 4 ) 9Η τιμή Ρ (σε χιλιάδες δραχμές) εός προϊότος, t μήες μετά τη εισαγωγή του t 6 στη αγορά, δίεται από το τύπο Pt 4 5 t 4 α) Να βρείτε τη τιμή του προϊότος τη στιγμή της εισαγωγής του στη αγορά β) Να βρείτε το χροικό διάστημα, στο οποίο η τιμή του προϊότος συεχώς αυξάεται γ) Να βρείτε τη χροική στιγμή κατά τη οποία η τιμή του προϊότος γίεται μέγιστη δ) Να δείξετε ότι η τιμή του προϊότος μετά από κάποια χροική στιγμή συεχώς μειώεται, χωρίς όμως α μπορεί α γίει μικρότερη από τη τιμή του προϊότος τη στιγμή της εισαγωγής του στη αγορά Για μια συάρτηση, που είαι παραγωγίσιμη στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ για κάθε, ισχύει ότι:,όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με 3 α) Να δείξετε ότι η συάρτηση δε έχει ακρότατα β) Να δείξετε ότι η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοαδική ρίζα της εξίσωσης ( ) στο αοικτό διάστημα (,) 3 α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση,, είαι γησίως αύξουσα 3 β) Η εξίσωση έχει μία μόο ρίζα στο διάστημα, Έα τουριστικό λεωφορείο έχει α διαύσει απόσταση 65 km με σταθερή ταχύτητα km τη ώρα Σύμφωα με το Κώδικα Οδικής Κυκλοφορίας το μέγιστο όριο ταχύτητας είαι 9 km τη ώρα Τα καύσιμα κοστίζου 6 δραχμές το λίτρο, η ωριαία καταάλωση είαι 5,5 λίτρα και η αμοιβή του οδηγού είαι δραχμές τη ώρα α)να αποδείξετε ότι το συολικό κόστος Κ () της διαδρομής είαι: 8 K() 5, 9 9 β) Να βρείτε τη ταχύτητα του λεωφορείου για τη οποία το κόστος της διαδρομής γίεται ελάχιστο Εσπεριά [53]

56 3Έστω οι συαρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το Δίεται ότι η συάρτηση της σύθεσης og είαι - α) Να δείξετε ότι η g είαι - g 3 g έχει ακριβώς δύο θετικές και μία β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: αρητική ρίζα 4Δίεται μια συάρτηση ορισμέη στο με συεχή πρώτη παράγωγο, για τη οποία ισχύου οι σχέσεις: για κάθε και α) Να αποδείξετε ότι η είαι γησίως μοότοη β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει μοαδική ρίζα γ) Έστω η συάρτηση g Να αποδείξετε ότι η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμει το άξοα, σχηματίζει με αυτό γωία 45 ο 3 k,, της οποίας η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης στο 4 O, έχει συτελεστή διεύθυσης 5Δίεται η συάρτηση σημείο α) Να αποδείξετε ότι k 4 β) Να αποδείξετε ότι η έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και α βρείτε,4 υπάρχει μοαδικό σημείο ξ, στο οποίο η εφαπτομέη της γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα είαι παράλληλη στη ευθεία ΑΒ, όπου A, και 6Δίεται η συάρτηση ln ln, > ln ln, > ii Να αποδείξετε ότι η είαι γησίως φθίουσα στο διάστημα, α) i Να αποδείξετε ότι: β) Να υπολογίσετε το lim ln [54] B 4, 4 Εσπεριά 5 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοαδικός αριθμός, τέτοιος ώστε ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύολο τιμώ της συάρτησης β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της g ln στο 7 ίεται η συάρτηση 6 γ) Α η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης σημείο A,ln με και η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης h e στο σημείο B,e με ταυτίζοται, τότε α δείξετε ότι ο αριθμός α είαι ρίζα της εξίσωσης δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω g και h έχου ακριβώς δύο κοιές εφαπτόμεες 6 3 8Για κάθε k δίεται η συάρτηση k, α) Να βρεθεί η τιμή του k για τη οποία η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης στο σημείο Α(,()) είαι παράλληλη στο άξοα β) Για k = 3 i α μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα

57 ii α βρείτε το σύολο τιμώ της στο διάστημα, iii για κάθε 4,5 α αποδείξετε ότι η εξίσωση () = α 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα, Εσπεριά 6 9Δίεται μια συάρτηση, παραγωγίσιμη στο 3 3, για τη οποία ισχύει: 8 8 για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είαι - β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία μόο ρίζα στο γ) Α για τη συάρτηση g: ισχύει ότι g 3 [55],, για κάθε,α βρείτε το στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο Εσπεριά 7 3Έστω συάρτηση συεχής στο για τη οποία ισχύει για κάθε α) Να βρείτε το β) Να αποδείξετε ότι 3 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3Δίεται η συάρτηση α) Να αποδείξετε ότι 5, e για κάθε, έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο, Εσπεριά 7 ln, 4 5 και e 4 β) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο γ) Να βρείτε τα διαστήματα μοοτοίας της δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο 3 3Δίεται η συάρτηση 3,, M,, Ομογεείς 7 α) Α η παρουσιάζει ακρότατο στο, α βρείτε τη τιμή του λ β) Για i α μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα ii α βρείτε τις εξισώσεις τω εφαπτομέω της γραφικής παράστασης της που είαι παράλληλες στη ευθεία y 9 iii α αποδείξετε ότι η εξίσωση, έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα 3 33Δίεται η συάρτηση 3, α) Να αποδείξετε ότι η είαι γησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα γ) Να λύσετε τη εξίσωση 8 6,, Εσπεριά 9 δ) Να βρείτε το όριο lim Εσπεριά 34Δίεται η συάρτηση 3 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης β) Να βρείτε τη παράγωγο της : i στο διάστημα 3,3 ii στο 3

58 γ) Να βρείτε τα διαστήματα μοοτοίας της δ) Να βρείτε τα ακρότατα της Εσπεριά, όπου, ακέραιοι αριθμοί Η γραφική παράσταση της στο 5 5 σημείο της A, δέχεται εφαπτομέη της οποίας ο συτελεστής διεύθυσης είαι 8 α) Να αποδείξετε ότι και 4 β) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα γ) Να βρείτε το σύολο τιμώ της 35Δίεται η συάρτηση 3 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: k 4k 4 () είαι ισοδύαμη με τη k, k και στη συέχεια α βρείτε το πλήθος τω ριζώ της εξίσωσης () για τις διάφορες τιμές του k Εσπεριά 36Έστω συάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για τη οποία ισχύου:, lim και - 3 α) Να αποδείξετε ότι και β) Α η g, και ικαοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα,, α βρείτε το αριθμό α γ) Για α αποδείξετε ότι υπάρχει μοαδικό σημείο, τέτοιο ώστε δ) Για α αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμεου ερωτήματος Εσπεριά 37Έστω : μια παραγωγίσιμη συάρτηση για τη οποία ισχύου οι σχέσεις: α) Να βρείτε τη β) Α για κάθε και, α αποδείξετε ότι η είαι γησίως αύξουσα 4 3 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 3 μια τουλάχιστο ρίζα στο, 4 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 38Δίεται η συάρτηση με έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο, και έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο,4 Εσπεριά 3 3, α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είαι γησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η είαι γησίως φθίουσα β) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της η οποία: i) είαι παράλληλη προς τη ευθεία με εξίσωση y 4 3 και ii) η τετμημέη του σημείου επαφής της με τη γραφική παράσταση της είαι ακέραιος αριθμός g, έχει δύο θέσεις τοπικώ ελαχίστω και μία γ) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση θέση τοπικού μεγίστου Εσπεριά 4 3,, 39Δίεται η συάρτηση α) Να υπολογίσετε τη τιμή του α, ώστε η ευθεία y 4 α εφάπτεται στη γραφική παράσταση της στο σημείο A, Στη συέχεια για [56]

59 β) i Να μελετήσετε ως προς τη μοοτοία τη συάρτηση 3 ii Να λύσετε στο τη εξίσωση γ) Να υπολογίσετε το όριο 4Δίεται η συάρτηση Εσπεριά 4 lim, α) Να βρεθεί το σύολο τιμώ της β) Να αποδείξετε ότι για κάθε γ) Να υπολογίσετε το όριο lim δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλω τω εφαπτομέω της γραφικής παράστασης της που διέρχοται από το σημείο 3, Εσπεριά 5, α) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και α βρείτε το σύολο τιμώ της 4Δίεται η συάρτηση β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης g, όπου g 3 γ) Να λύσετε τη εξίσωση,, δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της 5 στο σημείο, α διέρχεται από το σημείο M, Εσπεριά 5 4Δίεται η συάρτηση, ln,, α) Να αποδείξετε ότι η είαι συεχής στο διάστημα, β) Να αποδείξετε ότι η είαι γησίως αύξουσα στο διάστημα, γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε δ) Να υπολογίσετε το όριο ισχύει e lim e ln Ομογεείς 6 [57]

60 Κυρτότητα 3 43Έστω η συάρτηση 3,, Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της έχει μόο έα σημείο καμπής, το οποίο για τις διάφορες τιμές του α αήκει σε παραβολή 44Έστω μια συάρτηση συεχής σ έα διάστημα [α,β] που έχει συεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β) Α,,,, α ισχύει και υπάρχου αριθμοί, έτσι ώστε αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει μία τουλάχιστο ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα, β)υπάρχου σημεία,, τέτοια ώστε και γ) Υπάρχει έα τουλάχιστο σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 3 45Δίεται η συάρτηση ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, α τη μελετήσετε ως προς τη μοοτοία και α βρείτε τα ακρότατά της β) Να μελετήσετε τη ως προς τη κυρτότητα και α βρείτε τα σημεία καμπής της γ) Να βρείτε το σύολο τιμώ της 4 ln,, α) Να αποδείξετε ότι η είαι συεχής στο β) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και α βρείτε το σύολο τιμώ της 46Δίεται η συάρτηση γ) Να βρείτε το πλήθος τω διαφορετικώ θετικώ ριζώ της εξίσωσης e για όλες τις τιμές του πραγματικού αριθμού α για κάθε 8 δ) Να αποδείξετε ότι,, με 47Δίεται η συάρτηση ln α) Α για κάθε, α αποδείξετε ότι e β) Για e, i α αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι κυρτή ii α αποδείξετε ότι η είαι γησίως φθίουσα στο, iii α,,,, α αποδείξετε ότι η εξίσωση και γησίως αύξουσα στο, έχει τουλάχιστο μια ρίζα στο, 9 48Δίεται η συάρτηση ln e, R α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα β) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση είαι κοίλη ln, γ) Να αποδείξετε ότι:, για κάθε Ομογεείς [58]

61 49Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα, συάρτηση με 3 και η συάρτηση g,, με g() -3,,,όπου Δίεται επιπλέο ότι η παράγωγος της είαι γησίως αύξουσα στο διάστημα, α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω και g έχου κοιό σημείο με τετμημέη και κοιή εφαπτομέη στο σημείο αυτό β) Να δείξετε ότι g και ότι η κοιή εφαπτομέη τω γραφικώ παραστάσεω τω συαρτήσεω και g στο κοιό τους σημείο με τετμημέη είαι η y 3,, έχει μοαδική ρίζα το γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση, δ) Να δείξετε ότι 3, για κάθε, 5Δίεται η συάρτηση ln, α) Να αποδσείξετε ότι η είαι γησίως αύξουσα στο κυρτότητα Εσπεριά, και α μελετήσετε τη ως προς τη β) Να βρείτε έα θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα, 4 4 α έχει μια τουλάχιστο λύση γ) Να λύσετε στο διάστημα, τη αίσωση ln 5Έστω η παραγωγίσιμη συάρτηση :, για τη οποία ισχύου: e για κάθε και e η εξίσωση Ομογεείς 3 α) Να αποδείξετε ότι, e β) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και α αποδείξετε ότι το σύολο τιμώ της είαι το διάστημα, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αριθμώ e έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο σύολο τω πραγματικώ δ) Δεδομέου ότι η συάρτηση είαι κυρτή στο διάστημα, εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της, e 3e για κάθε 5α) Να λύσετε τη εξίσωση e -,, α βρείτε τη εξίσωση της και α αποδείξετε ότι: β) Να βρείτε όλες τις συεχείς συαρτήσεις :R R που ικαοποιού τη σχέση e κάθε και α αιτιολογήσετε τη απάτησή σας γ) Α e -, α αποδειχθεί ότι η είαι κυρτή Ομογεείς 5 = - για δ) Α είαι η συάρτηση του ερωτήματος Γ3, α λυθεί η εξίσωση: 3 3 ότα, 6 [59]

62 Ασύμπτωτες- De l Hospital 53Έστω,g : συεχείς συαρτήσεις με ()-g()= - 4 για κάθε Έστω ότι η ευθεία y 3 7 είαι ασύμπτωτη της C στο g g 3 α) Να βρείτε τα όρια: i lim και ii lim () 3 β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 3 είαι ασύμπτωτη της Cg στο, -,, Α η ευθεία ε: y είαι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, α βρείτε τα α,β 54Έστω η συάρτηση,, - - e ln,, e α) Να υπολογίσετε το όριο lim β) Να βρείτε το α ώστε η α είαι συεχής στο γ) Για, τέτοια, ώστε η εφαπτομέη της γραφικής 55Δίεται η συάρτηση α δείξετε ότι υπάρχει έα τουλάχιστο A, παράστασης της συάρτησης στο 56Δίεται η συάρτηση α είαι παράλληλη στο άξοα,, όπου, ln, α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η α είαι συεχής στο πεδίο ορισμού της β) Α για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: και, τότε: i Να υπολογίσετε το lim ii Να υπολογίσετε τα όρια: lim 57Δίεται η συάρτηση, lim 4 k,,k και 3 3 α) Α η ευθεία y είαι πλάγια ασύμπτωτη της C στο, α αποδείξετε ότι και k 3 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο έα,, στο οποίο η εφαπτομέη της C είαι παράλληλη στο άξοα γ) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της C στο Εσπεριά 5 3, 4 με 8 4, 4 α) Να βρείτε τη τιμή του για τη οποία η συάρτηση είαι συεχής στο β) Για 58Δίεται η συάρτηση [6]

63 i α εξετάσετε α η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο ii α βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συάρτησης στο 6, 8 5 6, α) Να αποδείξετε ότι η αι συεχής και παραγωγίσιμη στο 59Δίεται η συάρτηση β) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 6Δίεται η συάρτηση ln, α) Να αποδείξετε ότι για κάθε [6] M, y είαι ασύμπτωτη της C στο Εσπεριά 7 β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ln, γ) Έστω η συάρτηση g k, i Να βρείτε τη τιμή του k ώστε η g α είαι συεχής ii Α k, α αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα 6 Δίεται η συάρτηση k, k α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Α η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της στο σημείο,e 8 M, είαι παράλληλη στο άξοα, α βρείτε το k γ) Για k, i Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ii Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία στο διάστημα, Εσπεριά 8 6Δίεται η συάρτηση ln ln, α) Να προσδιορίσετε τη τιμή του λ, ώστε α υπάρχει το όριο lim, και α είαι πραγματικός αριθμός β) Έστω ότι i α μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και α βρείτε το σύολο τιμώ της ii α βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της iii α αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοαδική λύση για κάθε 9,, 3, α) Α η είαι συεχής στο, α αποδείξετε ότι 5 β) Α η είαι παραγωγίσιμη στο, α αποδείξετε ότι και 4 γ) Για και 4 63Δίεται η συάρτηση, α προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συάρτησης

64 g, Εσπεριά 9 64Δίεται η συάρτηση e, α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομέη της C στο σημείο A, α είαι παράλληλη στη ευθεία y e β) Για, i α μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα ii α αποδείξετε ότι ο άξοας είαι οριζότια ασύμπτωτη της C στο 65Δίεται η συάρτηση 3, Να βρείτε: α) Τα τοπικά ακρότατα της β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της γ) Τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο δ) Το σημείο M,, παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με A, και 66Δίεται η συάρτηση 3 A,, της γραφικής παράστασης της, στο οποίο η εφαπτομέη είαι 3ln, Ομογεείς 9 B 3, 3 Εσπεριά α) Να αποδείξετε ότι η είαι κυρτή β) Να αποδείξετε ότι ο άξοας y y είαι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της,e Ομογεείς γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα 67Δίεται η συάρτηση :, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με, η οποία ικαοποιεί τη σχέση: e για κάθε α) Να αποδείξετε ότι: ln e, β) Να μελετήσετε τη συάρτηση ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln e έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα, 68Έστω η συεχής συάρτηση :,για τη οποία ισχύει: e, για κάθε e, α) Να αποδείξετε ότι, β) Να αποδείξετε ότι oρίζεται η ατίστροφη συάρτηση και α βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A, Στη συέχεια, α είαι γωστό ότι η είαι κυρτή, α αποδείξετε ότι η εξίσωση, έχει ακριβώς μία λύση lim ln ln Επααληπτικές δ) Να βρείτε το [6]

65 69Δίεται η συάρτηση α) Α είαι β) Α είαι, με,, α αποδείξετε ότι η είαι γησίως φθίουσα στο διάστημα,, α αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση στο, γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της : i έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, τη οποία και α βρείτε iiέχει οριζότια ασύμπτωτη μόο για α= και, τη οποία και α βρείτε δ) Να βρείτε τις τιμές τω α,β για τις οποίες η παρουσιάζει στο σημείο τοπικό ακρότατο, το 7 Στη συέχεια α καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού Εσπεριά 7Έστω η παραγωγίσιμη συάρτηση : για τη οποία ισχύου: ( ) ( - 3) για κάθε α) Να αποδείξετε ότι 3, και στη συέχεια ότι η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα στο R β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συάρτησης του ερωτήματος α) γ) Να λύσετε στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ τη αίσωση: δ) Να βρείτε τη τιμή του κ R ώστε: lim k Εσπεριά 3 7Δίεται η συάρτηση h με h,, Α η ευθεία με εξίσωση y είαι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο, τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) i Να εξετάσετε α η ευθεία με εξίσωση y είαι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h και στο ii Να βρείτε τη κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h 3 4 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση h έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα, 7Δίεται η παραγωγίσιμη συάρτηση :, για τη οποία ισχύου: για κάθε, 9 α) Να αποδείξετε ότι,, Εσπεριά 4 β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της γ) Να μελετήσετε ως προς τη μοοτοία τη συάρτηση, Εσπεριά 4 δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε [63]

66 για κάθε 73Δίεται η συεχής συάρτηση : για τη οποία ισχύει ότι: α) Να αποδείξετε ότι β) Να υπολογίσετε τη παράγωγο,, της συάρτησης για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η έχει στο οριζότια ασύμπτωτη τη ευθεία y, Εσπεριά 5, όπου α είαι έας πραγματικός αριθμός Α η δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα Δίεται η συάρτηση 3 4, παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο, τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα και α βρείτε τις τιμές του για κάθε, ώστε γ) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη στο της γραφικής παράστασης της συάρτησης g, 3 δ) Να υπολογίσετε το όριο lim για τις διάφορες ακέραιες τιμές του Εσπεριά 5 75Δίεται η συεχής συάρτηση : για τη οποία ισχύει ότι: ( ), για κάθε α) Να αποδείξετε ότι, ( ), β) Να υπολογίσετε τη παράγωγο ( ) της συάρτησης για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η έχει στο οριζότια ασύμπτωτη τη ευθεία y = δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα, Εσπεριά 5 76Δίεται η συάρτηση Μελέτη και γραφική παράσταση συάρτησης, α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είαι γησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η είαι γησίως φθίουσα και τα ακρότατα της β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είαι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η είαι κοίλη και α προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης γ) Να βρεθού οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της Με βάση τις απατήσεις σας στα ερωτήματα α),β), γ) α σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συάρτησης (Η γραφική παράσταση α σχεδιαστεί με στυλό) 6 [64]

67 Ολοκληρώματα 77Έστω : συεχής συάρτηση και ότι η συάρτηση Ι παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο 78Θεωρούμε συάρτηση συεχή στο 3 α) Να αποδείξετε ότι: 7 d d 3 7 β) Έστω ότι 4 d d 4 4 I t t t t dt, Να αποδείξετε 5 t t dt Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο έα,7 τέτοιο, ώστε Η συάρτηση : έχει συεχή παράγωγο και ικαοποιεί τη σχέση: e d,α,β με Να αποδείξετε ότι: α) β) Η εξίσωση 8Δίεται η συάρτηση έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο, e e, α) Να δείξετε ότι η ατιστρέφεται και α βρείτε τη έχει μοαδική ρίζα το β) Να δείξετε ότι η εξίσωση γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: 8Δίεται η συάρτηση α) Να αποδείξετε ότι d lim β) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, ότα το τείει στο γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να αποδείξετε ότι d ln 3 8Δίεται η συάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για τη οποία υποθέτουμε ότι ισχύει και ότι η είαι γησίως αύξουσα στο διάστημα, α) Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχει ξ, τέτοιος ώστε β) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση h e, > είαι συάρτηση - στο διάστημα, e 5 γ) Α h e, α υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3 I d [65]

68 3 3 α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει έα τουλάχιστο, τέτοιο, ώστε: 83Δίεται η συάρτηση g e, όπου παραγωγίσιμη στο με g d,α lim 4 β) Α 3, α υπολογίσετε το ολοκλήρωμα γ) Να βρείτε το όριο 84Θεωρούμε τη συάρτηση ln e,, α) Να αποδείξετε ότι η είαι γησίως αύξουσα στο διάστημα, β) Να βρεθού τα όρια: ln e lim lim, lim 5, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοαδική λύση στο διάστημα e e δ) Έστω 85Δίεται η συάρτηση, d d Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Π ln 5 α) Να αποδείξετε ότι 3,, lim 3 β) Α και η συάρτηση είαι συεχής στο σημείο, α αποδείξετε ότι: 3, α υπολογίσετε το ολοκλήρωμα γ) Α 3 d Έστω συάρτηση παραγωγίσιμη στο, για τη οποία ισχύει: 4e και 4 α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση h e e είαι σταθερή 3 β) Να αποδείξετε ότι e e γ) Να υπολογίσετε το ολκλήρωμα I I δ) Να βρείτε το όριο lim 87Δίεται η συάρτηση t dt Ομογεείς 7 ln, α) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα β) Να υπολογίσετε το όριο lim γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I e d Ομογεείς 8 [66]

69 88Δίεται μια συάρτηση :, η οποία είαι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικαοποιεί τις συθήκες ke,,, e και e, k α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση g 3,, ικαοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα, β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε α ισχύει: 4 6 e 4 γ) Να αποδείξετε ότι k 6 και ότι ισχύει g για κάθε, δ) Να αποδείξετε ότι 3 ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e, d 89Δίεται η συάρτηση e 9 ln, α) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία β) Να λύσετε τη εξίσωση 3 3 ln 4 γ) Να αποδείξετε ότι η έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτομέες της γραφικής παράστασης της στα σημεία καμπής της τέμοται σε σημείο του άξοα y y δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I 9Δίεται η συάρτηση : με 3 d α) Να αποδείξετε ότι η είαι - (μοάδες ) και α βρείτε τη ατίστροφή της 3 β) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: ημ 6 γ) Έα σημείο Μ κιείται κατά μήκος της καμπύλης 3 y, σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμέης τετμημέης t, α υποτεθεί ότι t για κάθε t με t και y yt Να βρείτε σε ποιο yt του Μ είαι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της δ) Α g: είαι συεχής και άρτια συάρτηση, α υπολογίσετε το ολοκλήρωμα επααληπτικές 6 Αισοτικές σχέσεις 9Δίεται η συεχής συάρτηση : για τη οποία ισχύει: lim 5 α) Να δείξετε ότι: i ii β) Να βρείτε το έτσι, ώστε: lim 3 γ) Α επιπλέο η είαι παραγωγίσιμη με συεχή παράγωγο στο και α δείξετε ότι: i για κάθε ii για κάθε, d 5 [67]

70 9Δίεται συάρτηση ορισμέη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συεχή δεύτερη παράγωγο, για τη οποία ισχύει ότι: d και lim e e για κάθε και α) Να δείξετε ότι (μοάδες 4) και β) i) Να δείξετε ότι η δε παρουσιάζει ακρότατα στο R ii) Να δείξετε ότι η είαι γησίως αύξουσα στο R γ) Να βρείτε το lim e ln δ) Nα δείξετε ότι d 6 Εύρεση τύπου συάρτησης 3 93Έστω συάρτηση συεχής στο για τη οποία ισχύει: 3 α) Να αποδείξετε ότι: t dt 45 β) Δίεται επίσης μια συάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο Να αποδείξετε ότι: g g h g lim h h γ) Α για τη συάρτηση του ερωτήματος Α και τη συάρτηση g του ρωτήματος Β, ισχύει ότι: g h g g h lim 45 και g g, τότε: h h 5 3 i α αποδείξετε ότι g ii α αποδείξετε ότι η g είαι 8 94Δίεται η συάρτηση ln, Εμβαδό επίπεδου χωρίου α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει έα μόο σημείο της C, στο οποίο η εφαπτομέη είαι παράλληλη στο άξοα β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη C, το άξοα και τη ευθεία, όπου είαι η θέση τοπικού ακρότατου της [68]

71 95Έστω η συάρτηση α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδό 4, E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συάρτησης, το άξοα και τις ευθείες και, είαι E 4ln β) Να προσδιορίσετε τη τιμή του λ για τη οποία το εμβαδό 96Έστω μια πραγματική συάρτηση με τύπο: 3 e, 3 3 E γίεται ελάχιστο, 3 α) Α η είαι συεχής, α αποδείξετε ότι α = 9 β) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης C της συάρτησης στο σημείο A 4, 4 γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συάρτησης, το άξοα και τις ευθείες και 97α) Έστω δύο συαρτήσεις h, g συεχείς στο Να, αποδείξετε ότι α g για κάθε, h, τότε και h()d g()d β) Δίεται η παραγωγίσιμη στο συάρτηση, που ικαοποιεί τις σχέσεις: και e, i Να εκφραστεί η ως συάρτηση της ii Να δείξετε ότι για κάθε iii Α Ε είαι το εμβαδό του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και το άξοα, α δείξετε ότι E α) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο που τέμει το άξοα y y β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συάρτησης γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, το άξοα τω και τις ευθείες, 98Δίεται η συάρτηση Έστω η συάρτηση α) Να μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα κοίλα και α αποδείξετε ότι η έχει ατίστροφη συάρτηση β) Να αποδείξετε ότι e για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, είαι ο άξοας συμμετρίας τω γραφικώ παραστάσεω της και της δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, το άξοα τω και τη ευθεία με εξίσωση 3 3 [69]

72 Θεωρούμε τη συάρτηση : με m 4 5,m,, m α) Να βρείτε το m ώστε για κάθε β) Α m, α υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη C, το άξοα και τις ευθείες και 4 e, όπου ln, α) Να υπολογίσετε το πραγματικό αριθμό α ώστε η συάρτηση α είαι συεχής στο β) Α για το πραγματικό αριθμό ισχύει : i Να εξετάσετε α η είαι παραγωγίσιμη στο = ii Να βρείτε τα διαστήματα μοοτοίας της iii Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της Θεωρούμε τη συάρτηση συάρτησης, το άξοα και τις ευθείες και e 5 Δίεται η συάρτηση e, α) Δείξτε ότι η είαι γησίως αύξουσα β) Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομέης της C, η οποία διέρχεται από τη αρχή τω αξόω, είαι η y e Βρείτε τις συτεταγμέες του σημείου επαφής Μ γ) Δείξτε ότι το εμβαδό E του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της [7] C,της εφαπτομέης στο Μ e και του άξοα y y, είαι E δ) Υπολογίστε το lim 5 3Θεωρούμε τη συάρτηση με α) Να αποδείξετε ότι η είαι - β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η ατίστροφη συάρτηση της και α βρείτε το τύπο της γ) i Να βρείτε τα κοιά σημεία τω γραφικώ παραστάσεω τω συαρτήσεω και με τη ευθεία y ii Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω και 6, όπου μια σταθερά με, α) Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει έα τοπικό μέγιστο, έα τοπικό ελάχιστο και έα σημείο καμπής έχει ακριβώς τρείς πραγματικές ρίζες 3 4Δίεται η συάρτηση 3 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γ) Α, είαι οι θέσεις τοπικώ ακρότατω και 3 η θέση του σημείου καμπής της, α αποδείξετε, βρίσκοται στη ευθεία y ότι τα σημεία A,,B, και 3 3 δ) Να υπολογισθεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συάρτησης και τη ευθεία y 7 5Δίεται η συάρτηση, α) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της στο σημείο,

73 β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες y και y 3 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η αισότητα Ομογεείς 8 και g α) Να αποδείξετε ότι: g, για κάθε β) Α h g, τότε: i Να αποδείξετε ότι: h e, για κάθε,e 6 ίοται οι συαρτήσεις ln, ii Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συάρτησης h, το άξοα και τις ευθείες και e e h iiiνα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I e h h d Ομογεείς 9 7Έστω η παραγωγίσιμη στο, και α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση β) Να αποδείξετε ότι συάρτηση για τη οποία ισχύου οι σχέσεις e, γ) Να αποδείξετε ότι, για κάθε g e,, είαι σταθερή δ) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, το άξοα και τη ευθεία Ομογεείς 8Έα κιητό Μ κιείται κατά μήκος της καμπύλης y, Έας παρατηρητής βρίσκεται στη θέση, εός συστήματος συτεταγμέωοy και παρατηρεί το κιητό από τη αρχή Ο, όπως φαίεται στο διπλαό σχήμα Δίεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημέης του κιητού για κάθε χροική στιγμή t, t είαι t 6 m/min α) Να αποδείξετε ότι η τετμημέη του κιητού, για κάθε χροική στιγμή t, t δίεται από το τύπο: t 6t β) Να αποδείξετε ότι το σημείο της καμπύλης μέχρι το οποίο ο παρατηρητής έχει οπτική επαφή με το κιητό είαι το A4, και, στη συέχεια, α υπολογίσετε πόσο χρόο διαρκεί η οπτική επαφή γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου Ω που διαγράφει η οπτική ακτία ΠΜ του παρατηρητή από το σημείο Ο μέχρι το σημείο Α δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει χροική στιγμή t, 4 κατά τη οποία η απόσταση dm του παρατηρητή από το κιητό γίεται ελάχιστη Να θεωρήσετε ότι το κιητό Μ και ο παρατηρητής Π είαι σημεία του συστήματος συτεταγμέω Οy Επααληπτικές [7]