10.16 Σχεδίαση ϕίλτρων πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης

Transcript

1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 83 ενώ η συνάρτησηp(ω δίδεται από την εξίσωση P(ω= ξ[k] cos(ωk (.298 µε τις ποσότητεςξ[k] και L να ορίζονται από τις εξισώσεις β(k για τα ϕίλτρα FIR τύπου I α(k για τα ϕίλτρα FIR τύπου II ξ[k]= και L= δ(k για τα ϕίλτρα FIR τύπου III γ(k για τα ϕίλτρα FIR τύπου IV (N/2 (N /2 (N/2 (N 3/2 για τα ϕίλτρα FIR τύπου I για ϕίλτρα FIR τύπου II για τα ϕίλτρα FIR τύπου III για τα ϕίλτρα FIR τύπου IV.6 Σχεδίαση ϕίλτρων πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης Σύµφωνα µε τα όσα αναφέραµε στα προηγούµενα κεφάλαια, η σχεδίαση ενός ϕίλτρου πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης µε τα επιθυµητά σε κάθε περίπτωση χαρακτηριστικά, στηρίζεται στον προσδιορισµό της συνάρτησης απόκρισης συχνότητας, η οποία στη γενική περίπτωση έχει τη µορφή 52 H d (e jω = h d [n] e jωn (.299 n= Εχοντας υπολογίσει αυτή τη συνάρτηση, µπορούµε στη συνέχεια να προσδιορίσουµε το διάνυσµα της κρουστικής απόκρισης του ϕίλτρου από την εξίσωση του αντίστροφου µετασχηµατισµού Fourier 53 h d [n]= +π H d (e jω e jωn dω (.3 2π π Ωστόσο, το διακριτό σήµα που ϑα προκύψει µε τον τρόπο αυτό, έχει άπειρο πλήθος στοιχείων. Εποµένως για να µπορέσει να χρησιµοποιηθεί για την αναπαράσταση ενός ϕίλτρου πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης ϑα πρέπει να το µετασχηµατίσουµε µε κάποιο τρόπο έτσι ώστε να διατηρήσουµε µόνο τα N πρώτα δείγµατά του. Υπάρχουν αρκετές µέθοδοι σχεδίασης ϕίλτρων τύπου FIR οι πιο σηµαντικές από τις οποίες παρουσιάζονται στις επόµενες σελίδες..6. Χρήση συνάρτησης παραθύρου Ο πιο εύκολος τρόπος δηµιουργίας µιας κρουστικής απόκρισης πεπερασµένου µήκους h[n], είναι ο πολλαπλασιασµός της ιδανικής κρουστικής απόκρισης άπειρου µήκους h d [n], µε µία συνάρτηση παραθύρου w[n], µήκους N δειγµάτων 54, έτσι ώστε αυτή να καταστεί ένα πεπερασµένο διακριτό σήµα. Η ϐασική ϑεωρία της 52 Υπενθυµίζουµε πως στην πράξη ενδιαφερόµαστε µόνο για αιτιατά ϕίλτρα, η κρουστική απόκριση των οποίων ορίζεται µόνο για χρονικές στιγµές n. 53 Για την περίπτωση του ιδανικού χαµηλοπερατού ϕίλτρου µε συχνότητα αποκοπήςω=ω c και συχνοτική απόκριση µε µοναδιαίο κέρδος και γραµµική ϕάση της µορφής H d (e jω = e jαω ω ω c ω c < ω π η αντίστοιχη ιδανική κρουστική απόκριση άπειρου µήκους h d [n] υπολογίζεται ως h d [n]= +π H 2π d (e jω e jωn dω= +π e jαω e jωn dω= π 2π π 2π +ωc ω c e jω(n α dω= sin[ω c(n α] π(n α Λαµβάνοντας υπ όψιν πως το ϕάσµαw(e jω όλων των συναρτήσεων παραθύρου w[n] µήκους N δειγµάτων χαρακτηρίζεται από γραµµική ϕάση W(e jω =ω(n /2, είναι προφανές πως η κατασκευή ενός ϕίλτρου FIR µε τη χρήση συνάρτησης παραθύρου, αντιστοιχεί στην τιµήα=(n /2 η οποία νοείται ως υστέρηση στο πεδίο του χρόνου. 54 Είναι ενδιαφέρον να επισηµάνουµε, πως όλες οι συναρτήσεις παραθύρου είναι συµµετρικές γύρω από τη ϑέση n=n/2, ιδιότητα, που µαθηµατικώς διατυπώνεται ως w[n]=w[n n] ( n N και επιτρέπει τη διατύπωση του ϕάσµατός τους ως µία συνάρτηση της µορφήςw(e jω =W e (e jω exp[ jω(n /2], όπουw e (e jω µία άρτια πραγµατική συνάρτηση τουω. Στην περίπτωση αυτή, εάν η επιθυµητή κρουστική απόκριση h d [n] είναι συµµετρικό σήµα της µορφής h d [N n]=h d [n], η πεπερασµένη απόκριση h[n]=h d [n]w[n] ϑα χαρακτηρίζεται επίσης από την ίδια συµµετρία και η αντίστοιχη συχνοτική απόκριση ϑα γράφεται ωςh(e jω =A e (e jω exp( jω(n /2, όπουa e (e jω µία άρτια πραγµατική συνάρτηση της συχνότηταςω. Αντίθετα, έαν η επιθυµητή κρουστική απόκριση είναι αντισυµµετρικό σήµα της µορφής h d [M n]= h d [n], η συχνότική απόκριση διατυπώνεται ωςh(e jω = ja o (e jω exp( jω(n /2 όπουa o (e jω µία περιττή συνάρτηση της συχνότηταςωκαι εποµένως χαρακτηρίζεται από σταθερή ϕασική µετατόπιση ίση µε 9. Η απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.

2 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ H d (e jλ W(e j(ω-λ H(e jω -π ω π -π π Σχήµα.89: Εξοµάλυνση της επιθυµητής συχνοτικής απόκρισηςh d (e jω λόγω της συνέλιξής της µε το ϕάσµα W(e jω του ορθογώνιου παραθύρου w[n]. εφαρµογής συναρτήσεων παραθύρου για τη γενική περίπτωση µετατροπής ενός σήµατος άπειρου µήκους x[n] στο πεπερασµένο ισοδύναµό του y[n] καθώς και η µελέτη της επίδρασης του ϕάσµατος του παραθύρουw(ω στο ϕάσµα X( jω του αρχικού σήµατος x[n], παρουσιάζονται στην Ενότητα την οποία ο αναγνώστης καλείται να µελετήσει αναλυτικά πριν την ανάγνωση των σελίδων που ακολουθούν, κάνοντας τις αντιστοιχίες x[n] h d [n], y[n] h[n],x(e jω H d (e jω καιy(e jω H(e jω. Εφαρµόζοντας τα όσα είχαµε αναφέρει σε εκείνη την ενότητα, στο γενικότερο πρόβληµα κατασκευής ενός ϕίλτρου τύπου FIR, µπορούµε να διατυπώσουµε το συµπέρασµα πως ο πολλαπλασιασµός της ιδανικής κρουστικής απόκρισης h d [n] µε την κατάλληλη σε κάθε περίπτωση συνάρτηση παραθύρου w[n], ϑα οδηγήσει στην πεπερασµένη κρουστική απόκριση h[n]=h d [n]w[n] µήκους N στοιχείων και στην προσέγγιση της ιδανικής συχνοτικής απόκρισηςh d (e jω από την πραγµατική συχνοτική απόκρισηh(e jω, η οποία χαρακτηρίζεται από τις επόµενες ιδιότητες: Η πραγµατική συχνοτική απόκριση του ϕίλτρουh(e jω =Fh[n]} ϑα προκύψει από τη συνέλιξη που ορίζεται ανάµεσα στην ιδανική συχνοτική απόκριση του ϕίλτρουh d (e jω =Fh d [n]} και το ϕάσµα της συνάρτησης παραθύρουw(e jω =Fw[n]} έτσι ώστε να µπορούµε να γράψουµε ότι H(e jω = +π H d (e jλ W(e j(ω λ dλ (.3 2π π (δείτε την Εξίσωση 9.6. Για την ιδανική περίπτωση του ορθογώνιου παραθύρου που όπως έχουµε αποδείξει οδηγεί στο µικρότερο µέσο τετραγωνικό σφάλµα προσέγγισηςε 2 σε σχέση µε όλα τα παράθυρα του ιδίου µήκους (δείτε την Εξίσωση 9.6, η πραγµατική συχνοτική απόκριση υπολογίζεται ως +π ] H(e jω = 2π π H d (e jλ sin[(ω λn/2] sin[(ω λ/2] [ exp j (ω λ N 2 (.32 και παρουσιάζεται διαγραµµατικά στο Σχήµα.89. Από το σχήµα αυτό διαπιστώµουµε πως η ιδανική συνάρτηση µεταφοράςh d (e jω έχει υποστεί εξοµάλυνση, µε αποτέλεσµα την εµφάνιση µιας Ϲώνης µετάβασης καθώς και διακυµάνσεων συγκεκριµένου πλάτους οι οποίες εξηγούνται µε τη ϐοήθεια του ϕαινοµένου Gibbs (δείτε την Ενότητα και τη συζήτηση που ακολουθεί. Η ύπαρξη αυτών των χαρακτηριστικών χαρακτηρίζει κάθε συνάρτηση µεταφοράς που σχετίζεται µε ένα πραγµατικό ϕίλτρο. Ο υπολογισµός του ϕάσµατος µιας συνάρτησης παραθύρου αναδεικνύει την ύπαρξη ενός κεντρικού λοβού το εύρος του οποίου είναι αντιστρόφως ανάλογο του µήκους του παραθύρου, καθώς και µιας σειράς παράπλευρων λοβών, το ύψος των οποίων µεταβάλλεται ανάλογα µε το πλήθος των δειγµάτων της διακριτής ακολουθίας (αυτό σηµαίνει πως η αύξηση του µήκους του παραθύρου οδηγεί στην ελάττωση του εύρους του κεντρικού λοβού και ταυτόχρονα στην αύξηση του ύψους των παράπλευρων λοβών το οποίο µεταβάλλεται µε τέτοιο τρόπο ώστε το εµβαδόν αυτών των λοβών να παραµένει σταθερό και ανεξάρτητο από την τάξη του ϕίλτρου. Σύµφωνα µε την Εξίσωση 9.62, η επίδραση του ϕάσµατος του παραθύρουw(e jω στην ιδανική συχνοτική απόκριση του ϕίλτρουh d (e jω, συνίσταται στην προσάυξηση του εύρους της ιδανικής συχνοτικής απόκρισης κατά το εύρος του ϕάσµατος παραθύρου (ϕαινόµενο που είναι γνωστό ως ϕασµατική διάχυση,

3 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 833 Ν Ν Ο μεγαλύτερος παράπλευρος λοβός N N Το εύρος του κεντρικού λοβού Σχήµα.9: Η µεταβολή του µέτρου του ϕάσµατοςw(e jω του ορθογώνιου παραθύρου για N=7 ενώ ταυτόχρονα παρατηρείται και επέκταση του ϕάσµατος του ϕίλτρου σε περιοχές συχνοτήτων στις οποίες αρχικά το µέτρο του ήταν ίσο µε το µηδέν (ϕαινόµενο που είναι γνωστό ως διαρροή και οφείλεται στην ύπαρξη των παράπλευρων λοβών. εν είναι δύσκολο να διαπιστώσει κανείς (δείτε και τη συζήτηση της Ενότητας στην οποία αυτές οι έννοιες παρουσιάζονται µε µεγαλύτερη λεπτοµέρεια πως µπορούµε να ελαττώσουµε το ϕαινόµενο της ϕασµατικής διάχυσης αυξάνοντας το µήκος του παραθύρου (δείτε την Εξίσωση 9.63, διαδικασία, που ϑα έχει όµως ως αποτέλεσµα, την αύξηση του ϐαθµού του ϕαινοµένου της διαρροής. Αυτό µε άλλα λόγια σηµαίνει πως δεν µπορούµε να µεταβάλλουµε ταυτόχρονα και µε τον επιθυµητό τρόπο, το εύρος του κεντρικού λοβού και το εύρος των παράπλευρων λοβών και για το λόγο αυτό αναγκαζόµαστε να καταφύγουµε σε κάποιο είδος συµβιβασµού, επιλέγοντας τον τύπο παραθύρου που χαρακτηρίζεται ως ο καταλληλότερος για το κάθε συγκεκριµένο πρόβληµα. Οι πιο γνωστές συναρτήσεις παραθύρου µαζί µε τα ϐασικά τους χαρακτηριστικά παρουσιάζονται στον Πίνακα 9.6, ενώ η γραφική τους παράσταση και το ϕάσµα τους παρουσιάζονται στο Σχήµα 9.4. Προκειµένου να γίνει κατανοητή η συζήτηση που ακολουθεί στη συνέχεια, ο αναγνώστης ενθαρρύνεται να µελετήσει και να κατανοήσει όλες τις µαθηµατικές λεπτοµέρειες που σχετίζονται µε αυτό το υλικό. Οπως έχει ήδη αναφερθεί, αν και το ορθογώνιο παράθυρο οδηγεί στο ελάχιστο δυνατό σφάλµα προσέγγισης και στην ελάχιστη δυνατή ϕασµατική διάχυση, δεν αποτελεί και την καλύτερη επιλογή, αφού το ϕάσµα του περιέχει παράπλευρους λοβούς µεγάλου µεγέθους. Ωστόσο, για διδακτικούς και µόνο λόγους και προκειµένου να περιγράψουµε τον τρόπο µε τον οποίο η ασυνέχεια που εµφανίζει στη ϑέση n=n επηρεάζει τα ϕασµατικά του χαρακτηριστικά, ας ϑεωρήσουµε ένα ιδανικό χαµηλοπερατό ϕίλτρο FIR η συχνοτική απόκριση του οποίου σχετίζεται µε αυτό το παράθυρο και ας µελετήσουµε τη µεταβολή του µέτρου της συνάρτησηςw(e jω η οποία παρουσιάζεται στο Σχήµα.9 για τιµή τάξης ϕίλτρου N = 7. Στο σχήµα αυτό εµφανίζεται τόσο ο κεντρικός λοβός του ϕίλτρου (το εύρος του οποίου καθορίζει και το ϐαθµό εξοµάλυνσης της συχνοτικής απόκρισης όσο και οι N παράπλευροι λοβοί το ύψος των οποίων αυξάνει µε την αύξηση της τάξης του ϕίλτρου και µε τον τρόπο που περιγράψαµε στην Ενότητα Η ελάττωση του ϐαθµού εξοµάλυνσης της συχνοτικής απόκρισης και η µεταβολή του εύρους του κεντρικού και του ύψους των παράπλευρων λοβών, µε την αύξηση της τιµής της τάξης του ϕίλτρου, παρουσιάζεται στα Σχήµατα.9 και.92. Η ύπαρξη των παράπλευρων λοβών που περιγράψαµε προηγουµένως, οδηγεί στην εµφάνιση διακυµάνσεων τόσο στην περιοχή διέλευσης του ϕίλτρου όσο και στην περιοχή αποκοπής (δείτε το Σχήµα.93 που αφορά την περίπτωση ενός χαµηλοπερατού διακριτού ϕίλτρου, αν και η κατάσταση είναι εντελώς ανάλογη και για τις υπόλοιπες τρεις κατηγορίες ϕίλτρων επιλογής συχνοτήτων. Το ϐασικό χαρακτηριστικό αυτών των διακυµάνσεων είναι ο τρόπος µεταβολής του πλάτους τους, το οποίο έχει αρκετά µεγάλη τιµή στο όριο της συχνότητας αποκοπής και ελαττώνεται σταδιακά καθώς αποµακρυνόµαστε από αυτή. Αποδεικνύεται πως το πλάτος αυτών των διακυµάνσεων εξαρτάται από το εµβαδό της επιφάνειας που ορίζεται από τους παράπλευρους λοβούς και τον οριζόντιο άξονα και παραµένει σταθερό και ανεξάρτητο της τιµής του N, αφού και το εν λόγω εµβαδό χαρακτηρίζεται από τον ίδιο τύπο εξάρτησης. Εάν αυξήσουµε την τάξη του ϕίλτρου, ϑα διαπιστώσουµε πως αυτές οι ταλαντώσεις πραγµατοποιούνται ολοένα και µε µεγαλύτερη συχνότητα, αλλά παραµένουν αµετάβλητες ως προς το πλάτος τους. Αυτό το ανεπιθύµητο ϕαινόµενο είναι το γνωστό µας ϕαινόµενο Gibbs (δείτε την Ενότητα 3.2.4

4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ η εµφάνισή του οποίου επηρεάζει τις τεχνικές σχεδίασης των ψηφιακών ϕίλτρων αφού δεν δύναται να εξαλειφθεί πλήρως (υπενθυµίζουµε πως η ύπαρξη αυτού του ϕαινοµένου οφείλεται στην αποµάκρυνση των δειγµάτων της ιδανικής κρουστικής απόκρισης h d [n] για τιµές n Nδια του πολλαπλασιασµού της µε τη συνάρτηση του ορθογώνιου παραθύρου w[n]. Προκειµένου να κατανοήσουµε αυτή τη συµπεριφορά της συχνοτικής απόκρισης του ϕίλτρου, ϑα πρέπει να λάβουµε υπ όψιν πως η επιθυµητή συνάρτηση συχνοτικής απόκρισηςh d (e jω αποτελεί το µετασχηµατισµό Fourier της επιθυµητής κρουστικής απόκρισης h d [n]. Από τη ϐασική ϑεωρία της ανάλυσης Fourier, είναι γνωστό πως η σειρά Fourier κάποιας συνάρτησης f (ω, συγκλίνει στην τιµή της συνάρτησης για όλα τα σηµεία στα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και υπό αυτή την έννοια, οποιαδήποτε συνάρτηση δύναται να ανακατασκευαστεί πλήρως προσθέτοντας µεταξύ τους όλους τους άπειρους όρους που εµφανίζονται στην αναπαράστασή της κατά σειρά Fourier. Εάν ωστόσο η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχεια σε κάποιο σηµείοω=ω, όπως συµβαίνει για παράδειγµα στη ϑέση της συχνότητας αποκοπήςω c, τότε αυτή αντιµετωπίζεται ως τµηµατικά συνεχής και η σειρά Fourier υπολογισµένη στο σηµειοω δεν συγκλίνει στην τιµή f (ω αλλά στην τιµή [ f (ω + + f (ω ]/2. Η αναπαράσταση όµως µιας συνάρτησης ως τµηµατικά συνεχής απαιτεί την αποµάκρυνση αρκετών όρων από τη σειρά Fourier η οποία όµως µην αποτελώντας πλέον ένα πλήρες σύνολο ϑα αποτιµηθεί εσφαλµένα επί του σηµείου ασυνέχειας οδηγώντας σε αποτέλεσµα µεγαλύτερο από το πραγµατικό. Λαµβάνοντας υπ όψιν πως ο πολλαπλασιασµός της ιδανικής κρουστικής απόκρισης h d [n] µε τη συνάρτηση ορθογώνιου παραθύρου ισοδυναµεί µε την αποµάκρυση ενός πολύ µεγάλου πλήθους δειγµάτων της και πως αυτή η αποµάκρυνση ϑα προκαλέσει µε τη σειρά της την αποκοπή πολλών όρων από την αναπαράστασή της κατά σειρά Fourier - η οποία δεν είναι άλλη από τη συχνοτική απόκρισηh d (e jω - η εµφάνιση του ϕαινοµένου Gibbs σε περιοχές κοντά στο σηµείο ασυνέχειαςω=ω c εξηγείται πλήρως. Η εµφάνιση όλων των παραπάνω ανεπιθύµητων χαρακτηριστικών που σχετίζονται µε τη συνάρτηση του ορ- ϑογώνιου παραθύρου, µας αναγκάζει να καταφύγουµε τελικά στη χρήση των συναρτήσεων παραθύρου που παρουσιάσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, µε την επιλογή του κατάλληλου σε κάθε περίπτωση παραθύρου να εξαρτάται από τις απαιτήσεις που υφίστανται σε κάθε περίπτωση. Το ϐασικό κοινό χαρακτηριστικό όλων αυτών των παραθύρων, είναι πως η αναπαράστασή τους στο χώρο των συχνοτήτων χαρακτηρίζεται από χαµηλότερους παράπλευρους λοβούς σε σχέση µε το ορθογώνιο παράθυρο ενώ ταυτόχρονα ο κεντρικός τους λοβός χαρακτηρί- Ϲεται από µεγαλύτερο εύρος - για την ίδια ϕυσικά τιµή της παραµέτρου N - έτσι ώστε να οδηγεί σε µεγαλύτερο ϐαθµό εξοµάλυνσης της επιθυµητής συνάρτησης συχνοτικής απόκρισηςh d (e jω. Το τελευταίο χαρακτηριστικό ϐέβαια δεν είναι επιθυµητό, αφού αυτή η εξοµάλυνση επιθυµούµε να είναι όσο το δυνατό πιο µικρή, αλλά ωστόσο το πρόβληµα αντιµετωπίζεται εύκολα µε κατάλληλη επιλογή της παραµέτρου N. Εκείνο που είναι δύσκολο να αντιµετωπιστεί στην πράξη, είναι η µείωση του λόγου εναποµείνουσας διακύµανσης ο οποίος ορίζεται ως ( εύρος του µέγιστου παράπλευρου λοβού r= % (.33 εύρος κεντρικού λοβού ή εναλλακτικά ως ( εύρος του µέγιστου παράπλευρου λοβού r=2 log db (.34 εύρος κεντρικού λοβού και ο οποίος για αρκετούς τύπους παραθύρων είναι ανεξάρτητος από την τάξη του ϕίλτρου N. Το εύρος του κεντρικού λοβού και το επίπεδο εξασθένησης του ύψους του µεγαλύτερου παράπλευρου λοβού (σε µονάδες db/octave για τις πιο γνωστές συναρτήσεις παραθύρου, παρουσιάζεται στον Πίνακα 9.6. Μ= Μ=.8.8 Η(e jω.6.4 Η(e jω π π -π π Σχήµα.9: Ελάττωση του ϐαθµού εξοµάλυνσης της πραγµατικής συχνοτικής απόκρισηςh(e jω µε την αύξηση της τάξης του ψηφιακού ϕίλτρου N

5 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 835 Μ=5 Μ=5 W(e jω W(e jω -π π -π π Σχήµα.92: Μεταβολή του εύρους και του ύψους του κεντρικού και των παράπλευρων λοβών µε την αύξηση της τάξης του ϕίλτρου N. Μεγάλο πλάτο.8 Η(e jω.6.4 Μικρό πλάτο Σχήµα.93: Οι διακυµάνσεις της συνάρτησης H(e jω που οφείλονται στην εµφάνιση του ϕαινοµένου Gibbs..6.2 Επιλογή της συνάρτησης παραθύρου και κατασκευή του διακριτού ϕίλτρου Ο τρόπος µε τον οποίο τα χαρακτηριστικά του ϕάσµατος του εφαρµοζόµενου παραθύρου επηρεάζουν την απόκριση πλάτους του προς κατασκευή ϕίλτρου, παρουσιάζεται στο Σχήµα.94. Στο σχήµα αυτό, οι σκιασµένες περιοχές υπαγορεύονται από τις προδιαγραφές σχεδίασης του ϕίλτρου οι οποίες, σε πλήρη αναλογία µε τα αναλογικά ϕίλτρα περιλαµβάνουν τα όρια των Ϲωνών διέλευσης και αποκοπήςω p καιω s, το πλάτος των διακυµάνσεων στη Ϲώνη διέλευσης A p και την ελάχιστη εξασθένηση στη Ϲώνη αποκοπής A s, µε τα δύο τελευταία µεγέθη να υπολογίζονται όπως έχουµε δει από τις τιµές των ταλαντώσεωνδ p καιδ s στις δύο παραπάνω Ϲώνες. Μελετώντας το παραπάνω σχήµα, οδηγούµαστε στις επόµενες διαπιστώσεις: (α Η ιδανική συχνότητα αποκοπήςω c διχοτοµεί επ ακριβώς τη Ϲώνη µετάβασης που ορίζεται από τις συχνότητεςω p καιω s και εποµένως µπορεί να υπολογιστεί ως ο µέσος όροςω c = (ω p +ω s /2. (ϐ Το εύρος ω της Ϲώνης µετάβασης είναι ανάλογο του εύρους του κεντρικού λοβού του ϕάσµατοςw(e jω του εφαρµοζόµενου παραθύρου ω m, αλλά πάντα µικρότερο από αυτό. Οι τιµές των παραµέτρων ω και ω m µαζί µε την ελάχιστη εξασθένηση στη Ϲώνη αποκοπής A min s για τις πιο γνωστές συναρτήσεις παραθύρου, παρουσιάζονται στον Πίνακα.5. (γ Το µέγιστο πλάτος της διακύµανσης δ στη Ϲώνη διέλευσης (σηµείο Α είναι ίσο µε το αντίστοιχο µέγιστο πλάτος της Ϲώνης απόκοπής (σηµείο Β, µε την απόσταση ανάµεσα σε αυτά τα σηµεία να ισούται µε το

6 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ εύρος ω m. Οπως έχει ήδη αναφερθεί, η τιµή του πλάτουςδείναι ανεξάρτητη του µήκους του παραθύρου και εξαρτάται µόνο από το σχήµα του (δηλαδή τον τύπο του. Η επιλογή της κατάλληλης σε κάθε περίπτωση συνάρτησης παραθύρου υπαγορεύεται από τα χαρακτη- ϱιστικά εξασθένησης που παρέχονται από αυτό και από τις εκάστοτε σε κάθε περίπτωση προδιαγραφές του προς κατασκευή ϕίλτρου. Ας ϑεωρήσουµε για παράδειγµα πως επιθυµούµε να κατασκευάσουµε έ- να ϕίλτρο FIR τύπου Ι µε τιµές συχνοτήτωνω p =.3π καιω s =.2π και πλάτος ταλαντώσεων στις Ϲώνες διέλευσης και αποκοπήςδ =δ 2 =.. Παρατηρώντας πως το πλάτος ταλάντωσηςδ 2 στη Ϲώνη αποκοπής 55 αντιστοιχεί σε τιµή A min s = 2 log δ= 4 db και ανατρέχοντας στον Πίνακα.5, διαπιστώνουµε, πως το κατάλληλο για την περίπτωσή µας διακριτό παρά- ϑυρο είναι το παράθυρο του von Hann, αφού προσφέ- Πίνακας.5: Οι τιµές των ω, ω m και A min s πιο γνωστούς τύπους διακριτών παραθύρων. Παράθυρο ω ω m A min s Ορθογώνιο 4π/N.8π/N 2 db Bartlett 8π/N 6.π/N 25 db von Hann 8π/N 6.2π/N 44 db Hamming 8π/N 6.6π/N 53 db Blackman 2π/N π/n 74 db για τους ϱει τιµή A min s ίση µε 44 db 56. Μετά τον προσδιορισµό του τύπου του παραθύρου, ϑα πρέπει να επιλέξουµε το µήκος του, διαδικασία, η οποία πραγµατοποιείται ως εξής. Αρχικά, υπολογίζουµε το εύρος της Ϲώνης διέλευσης, χρησιµοποιώντας τις τιµές των συχνοτήτωνω p καιω s που έχουν δοθεί ϑα είναι λοιπόν ω=ω s ω p =.π. Από τον παραπάνω πίνακα διαπιστώνουµε πως το εύρος της Ϲώνης διέλευσης που αντιστοιχεί στο παράθυρο του von Hann είναι ίσο µε 6.2π/N. Θα είναι λοιπόν 6.2π/N=.π από όπου προκύπτει εύκολα ότι N=8. Επο- µένως, η τάξη του ϕίλτρου είναι N = 79, αλλά επειδή το ϕίλτρο που κατασκευάζουµε είναι τύπου Ι, ϑα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την τιµή N = 8 (τα ϕίλτρα τύπου Ι χαρακτηρίζονται από άρτια τιµή τάξης. Εχοντας υπολογίσει τον τύπο και το µήκος του παραθύρου, µπορούµε στη συνέχεια να κατασκευάσουµε το επιθυµητό ϕίλτρο µε τον τρόπο που παρουσιάσαµε προηγουµένως και ο οποίος συνοψίζεται ως εξής: (α Υπολογίζουµε τη συχνότητα αποκοπήςω c = (ω p +ω s /2 και τη συχνοτική απόκριση του ιδανικού ϕίλτρου H d (e jω ω ωc = ω c < ω <π Για τις τιµές συχνοτήτων του παραδείγµατος είναιω c = (.2π+.3π/2=.25π και εποµένως ω.25π H d (e jω =.25π< ω <π (ϐ Υπολογίζουµε την ιδανική (µη αιτιατή κρουστική απόκριση άπειρου µήκους από τη σχέση h d [n]= +π H d (e jω e jωn dω= +π e jωn dω= ω c sinω c n 2π 2π π ω c n Στην προκειµένη περίπτωση είναιω c =.25π και εποµένως π h d [n]= ω c sinω c n π ω c n π =.25π sin(.25πn = sin(.25πn π.25πn πn Αν και στην προκειµένη περίπτωση ο παραπάνω υπολογισµός µπορεί να πραγµατοποιηθεί σχετικά εύκολα, στην πράξη και σε περιπτώσεις κατά τις οποίες η επιθυµητή συχνοτική απόκρισηh d (e jω χαρακτη- ϱίζεται από µεγάλο ϐαθµό πολυπλοκότητας, η ιδανική κρουστική απόκριση υπολογίζεται µε τη ϐοήθεια λογισµικού που υλοποιεί τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier. (γ Καθιστούµε την ιδανική κρουστική απόκριση αιτιατό σήµα, µετατοπίζοντάς τη χρονικά κατά N/2 δείγµατα. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, αυτή η διαδικασία ϑα οδηγήσει στο διακριτό σήµα h d [n]= sin[.25π(n 4] π(n 4 55 Από τη στιγµή που τα ϕίλτρα που προκύπτουν µε τη µέθοδο των παραθύρων χαρακτηρίζονται από διακυµάνσεις ίσου πλάτους στις Ϲώνες διέλευσης και αποκοπής, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε όποια από τις δύο επιθυµούµε, καταλήγοντας στα ίδια αποτελέσµατα. Ας σηµειωθεί ωστόσο, πως αυτό δεν είναι πάντοτε επιθυµητό χαρακτηριστικό αφού συνήθως οι προδιαγραφές στη Ϲώνη αποκοπής είναι πιο αυστηρές από εκείνες της Ϲώνης διέλευσης. 56 Ας σηµειωθεί, πως κανείς δεν µας απαγορεύει να χρησιµοποιήσουµε κάποιο παράθυρο που να οδηγεί σε µεγαλύτερη εξασθένηση στη Ϲώνη αποκοπής, όπως είναι τα παράθυρα Hamming και Blackman αυτό ωστόσο είναι κάτι που ϑα οδηγούσε σε ανεπιθύµητη αύξηση του εύρους της Ϲώνης µετάβασης.

7 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 837 A +δ -δ H(e jω H d (e jω Δω (εύρο ζώνη μετάβαση δ -δ ω c B Δω m (εύρο κεντρικού λοβού του W(e jω ω W(e j(ω-λ λ Σχήµα.94: Η εξάρτηση των χαρακτηριστικών της επιθυµητής συχνοτικής απόκρισης από το ϕάσµα του εφαρµοζόµενου παραθύρου. (δ Πολλαπλασιάζουµε την ιδανική κρουστική απόκριση µε τη συνάρτηση παραθύρου που έχουµε επιλέξει, κα- ϑιστώντας τη πεπερασµένο διακριτό σήµα. Στην προκειµένη περίπτωση, ο πολλαπλασιασµός του σήµατος h d [n] µε τη διακριτή ακολουθία του παραθύρου von Hann ϑα οδηγήσει στο αποτέλεσµα h[n]=h d [n]w[n]= [ sin[.25π(n 4] cos 2πn ] 2 π(n 4 79 n<8 (ε Υπολογίζουµε την πραγµατική συχνοτική απόκριση ως το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier της πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης h[n]. Αρχικά υπολογίζουµε το µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου H(e jω = + n= h[n]e jωn = 2π 79 n= [ sin[.25π(n 4] n 4 cos 2πn 79 ] e jωn και στη συνέχεια το διακριτό µετασχηµατισµό FourierH[k] ως τα δείγµατα της συνάρτησηςh(e jω υ- πολογισµένα στις ϑέσεις των συχνοτήτωνω=2πk/n=πk/4 (,,..., 79. Επειδή γενικά αυτοί οι υπολογισµοί είναι δύσκολο να υπολογιστούν αναλυτικά, σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις καταφεύγουµε στον υπολογισµό του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier και στη γραφική απεικόνιση των αποτελεσµάτων µε τη ϐοήθεια εφαρµογών λογισµικού, όπως είναι για παράδειγµα η εφαρµογή MATLAB. Η κρουστική απόκριση h[n] µαζί µε το µέτρο της συχνοτικής απόκρισης σχεδιασµένο σε γραµµική και λογαριθµική κλίµακα παρουσιάζονονται στο Σχήµα.95, από όπου ϕαίνεται πως οι προδιαγραφές λειτουργίας του ϕίλτρου έχουν προσεγγιστεί σε ικανοποιητικό ϐαθµό. Εάν κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει, µπορούµε να προσαρµόσουµε κατάλληλα το µήκος ή ακόµα και τον τύπο του εφαρµοζόµενου παραθύρου και σε ορισµένες περιπτώσεις και τις τιµές των συχνοτήτων λειτουργίας του ϕίλτρου και να επαναλάβουµε τη διαδικασία όσες ϕορές χρειαστεί µέχρι να επιτύχουµε την επιθυµητή ακρίβεια προσέγγισης. Ασκηση.6.. Να επαναλάβετε τη διαδικασία της προηγούµενης ενότητας χρησιµοποιώντας ως συνάρτηση παραθύρου το ορθογώνιο παράθυρο καθώς και τα παράθυρα Bartlett, Hamming και Blackman και να σχολιάσετε τα αποτελέσµατα που ϑα λάβετε όσον αφορά τα χαρακτηριστικά της απόκρισης πλάτους σε σχέση µε εκείνα που λάβαµε χρησιµοποιώντας το παράθυρο von Hann. Για τον υπολογισµό της απόκρισης πλάτους του προς κατασκευή ϕίλτρου χρησιµοποιείστε την εφαρµογή λογισµικού της αρεσκείας σας. Ασκηση.6.2. Να επαναλάβετε τη διαδικασία της προηγούµενης ενότητας για την κατασκευή ενός χαµηλοπερατού ϕίλτρου FIR µε συνάρτηση απόκρισης συχνότητας της µορφής.95<h(e jω <.5 για την περιοχή

8 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ.25 Κρουστική απόκριση Γραμμική απόκριση πλάτους Λογαριθμική απόκριση πλάτους Σχήµα.95: Η κρουστική απόκριση h[n] και το µέτρο της συχνοτικής απόκρισης σχεδιασµένο σε γραµµική και λογαριθµική κλίµακα χαµηλοπερατού ϕίλτρου µε προδιαγραφές λειτουργίαςω p =.3π,ω s =.2π και δ =δ 2 =. που έχει υλοποιηθεί µε τη ϐοήθεια του παραθύρου von Hann. τιµών ω.25π και.<h(e jω <. για την περιοχή τιµών.35π ω π. Να προσδιορίσετε τον τύπο και το µήκος του κατάλληλου παραθύρου και να σχεδιάσετε την κρουστική και συχνοτική απόκριση του ϕίλτρου που ϑα προκύψει. Ασκηση.6.3. Να σχεδιαστεί ένα ϕίλτρο FIR µε γραµµική ϕασική απόκριση και τιµή τάξης N=25 που να προσεγγίσει την ιδανική συχνοτική απόκριση H d (e jω για ω π/6 = γιαπ/6 ω π Να προσδιορίσετε τους συντελεστές του ψηφιακού ϕίλτρου και να σχεδιάσετε την απόκριση πλάτους και τη ϕασική απόκριση χρησιµοποιώντας το ορθογώνιο παράθυρο καθώς και τα παράθυρα των Bartlett και Hamming..6.3 Η µέθοδος του παραθύρου Kaiser Οπως έχει αναφερθεί στο προηγούµενο κεφάλαιο, το παράθυρο του Kaiserπαράθυρο!Kaiser προσφέρει µία αποτελεσµατική µέθοδο σχεδίασης ϕίλτρων τύπου FIR, η οποία στηρίζεται στο γεγονός πως ο λόγος εναποµείνουσας διακύµανσης επηρεάζει το πλάτος των διακυµάνσεων στις περιοχές διέλευσης και αποκοπής, ενώ η τάξη N του ϕίλτρου επηρεάζει µόνο το εύρος της περιοχής µετάπτωσης. Εποµένως, η τιµή της παραµέτρου α που εµφανίζεται στην εξίσωση ορισµού αυτού του παραθύρου, µπορεί να επιλεγεί µε τη ϐοήθεια µιας εµπειρικής σχέσης - η οποία διατυπώθηκε από τον Kaiser µετά από εκτεταµένους πειραµατισµούς - έτσι ώστε να επιτυχου- µε το επιθυµητό πλάτος διακύµανσης στις περιοχές διέλευσης και αποκοπής, ενώ στη συνέχεια µε µία δεύτερη εµπειρική εξίσωση µπορούµε να επιλέξουµε και την τάξη N του ϕίλτρου, έτσι ώστε να επιτύχουµε το επιθυµητό εύρος της περιοχής µετάπτωσης. Προκειµένου να παρουσιάσουµε τη µέθοδο του παραθύρου Kaiser για την κατασκευή ψηφιακών ϕίλτρων συγκεκριµένων προδιαγραφών, ας υποθέσουµε πως επιθυµούµε να κατασκευάσουµε ένα χαµηλοπερατό ϕίλτρο FIR τα χαρακτηριστικά του οποίου παρουσιάζονται στο Σχήµα.96 και περιλαµβάνουν την τιµή δ του πλάτους της διακύµανσης (η οποία όπως έχουµε ήδη αναφέρει είναι η ίδια για τις περιοχές διέλευσης και αποκοπής,

9 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 839 H(e jω +δ. -δ à p à s δ ω ω p ω c ω s Σχήµα.96: Εφαρµογή της µεθόδου του παραθύρου Kaiser για την κατασκευή χαµηλοπερατού ϕίλτρου. τις τιµές παραµέτρων à p και à s και τις τιµές των συχνοτήτωνω p καιω s οι οποίες οδηγούν σε τιµή συχνότητας αποκοπήςω c = (ω p +ω s /2 (αυτή η σχέση προκύπτει από τη συµµετρία που χαρακτηρίζει την προσέγγιση της ιδανικής κρουστικής απόκρισης στο σηµείο ασυνέχειας. Στην περίπτωση αυτή η εφαρµογή της µεθόδου του παραθύρου Kaiser περιλαµβάνει την πραγµατοποίηση των ακόλουθων ϐηµάτων.. Θεωρούµε το ιδανικό χαµηλοπερατό ϕίλτρο η συχνοτική απόκριση του οποίου δίδεται από τη σχέση H d (e jω = για ω ωc γιαω c < ω <π ( Υπολογίζουµε την ιδανική κρουστική απόκριση h d [n] από τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier της ιδανικής συχνοτικής απόκρισης οδηγούµενοι στο γνωστό - πλέον - αποτέλεσµα h d [n]= ω c sin(ω c n = ω c π ω c n π sinc(ω cn ( Επιλέγουµε την τιµή της παραµέτρου δ έτσι ώστε το πραγµατικό εύρος της διακύµανσης στην περιοχή διέλευσης A p να είναι µικρότερο ή ίσο του επιθυµητού εύρους à p και ταυτόχρονα η πραγµατική ελάχιστη εξασθένηση A s να είναι µεγαλύτερη ή ίση της επιθυµητής ελάχιστης εξασθένησης à s. Μια κατάλληλη τιµή για την παράµετροδείναι η όπου οι ποσότητες δ p και δ s δίδονται από τις εµπειρικές σχέσεις δ=min( δ p, δ s (.37 δ p =.5à p.5ã p+ και δ s =.5à s ( Εχοντας προσδιορισει την τιµή της παραµέτρουδ, µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή της πραγµατικής εξασθένησης A s από τη σχέση A s = 2 log (δ ( Με ϐάση την τιµή της παραµέτρου A s που υπολογίσαµε στο προηγούµενο ϐήµα, υπολογίζουµε την παράµετροατου παραθύρου Kaiser από την εµπειρική σχέση για A s 2 α=.5842(a s (A s 2 για 2 A s 5 (.3.2(A s 8.7 για A s > 5

10 84.6. ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ 6. Υπολογίζουµε την τιµή της ϐοηθητικής παραµέτρου D από τη σχέση.9222 για A s 2 D= A s 7.95 για A s > (.3 7. Επιλέγουµε την τάξη του ϕίλτρου N ως τη µικρότερη ακέραια τιµή που ικανοποιεί την ανισότητα [ ] Ω s D N + ω s ω p (.32 όπουω s η συχνότητα δειγµατοληψίας του σήµατος εισόδου και [x] το ακέραιο µέρος της πραγµατικής ποσότητας x. Εάν δεν γνωρίζουµε πληροφορίες για τη συχνότητα δειγµατοληψίας ϑεωρούµε πως η τιµή της συχνότηταςω s είναι ίση µε τη µέγιστη δυνατή συχνότητα δειγµατοληψίας η οποία σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Nyquist είναι ίση µε 2π. 8. Εχοντας υπολογίσει τις τιµές των παραµέτρων α και N κατασκευάσουµε το διακριτό σήµα w[n] από την εξίσωση ορισµού του παραθύρου Kaiser. 9. Υπολογίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ϕίλτρου από τη σχέση H(z=z (N /2 Zh d [n]w[n]} (.33. Υπολογίζουµε τη συνάρτηση συχνοτικής απόκρισης του ϕίλτρουh(e jω ως τη συνάρτηση µεταφοράςh(z υπολογισµένη στην περιφέρεια του µοναδιαίου κύκλου, δηλαδή για τιµές z=e jω. Προκειµένου να κατανοήσουµε την παραπάνω διαδικασία έστω πως επιθυµούµε να κατασκευάσουµε ένα χα- µηλοπερατό ϕίλτρο µε τιµές παραµέτρωνω p =.4π,ω s =.6π καιδ =δ 2 =.. Στην περίπτωση αυτή η εφαρµογή του αλγορίθµου του παραθύρου Kaiser ϑα πραγµατοποιηθεί µε τον ακόλουθο τρόπο: Υπολογίζουµε την τιµή της συχνότητας αποκοπής από τη σχέση ω c = ω s+ω s 2 =.4π+.6π 2 =.5π Υπολογίζουµε τις τιµές των παραµέτρωνδκαι ω καταλήγοντας στα αποτελέσµατα δ=δ =δ 2 =. και ω=ω s ω p =.6π.4π=.2π Υπολογίζουµε την τιµή της πραγµατικής εξασθένησης από τη σχέση A s = 2 log (δ= 2 log ( 3 =( 2( 3= 6 Είναι A s = 6>5 και εποµένως η τιµή της παραµέτρουαυπολογίζεται ως α=.2(a s 8.7=.2(6 8.7=.2 5.3= Υπόλογίζουµε την τιµή της παραµέτρου D από τη σχεση D= A s = = = Επειδή δεν γνωρίζουµε πληροφορίες σχετικά µε τη συχνότητα δειγµατοληψίας, χρησιµοποιούµε τη µέγιστη τιµή τηςω s = 2π. Εποµένως η τάξη του ϕίλτρου υπολογίζεται ως και εποµένως η τάξη του ϕίλτρου είναι N=37. [ ] 2π N + +[ ] 37.2π

11 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κρουστική απόκριση h[n] Αριθμό δείγματο (n Λογαριθμικό πλάτο (db π.4π.6π.8π π Ακτινική συχνότητα (ω Σχήµα.97: Η κρουστική απόκριση h[n] και η απόκριση πλάτους H(e jω για το παράδειγµα εφαρµογής της µεθόδου του παραθύρου Kaiser. Εχοντας υπολογίσει την τιµή της παραµέτρου α και την τάξη του ϕίλτρου N, µπορούµε να υπολογίσουµε το διακριτό σήµα της κρουστικής απόκρισης εφαρµόζοντας τη συνήθη µεθοδολογία. Επαναλαµβάνουµε από τη ϐασική ϑεωρία πως η εφαρµογή του ϕίλτρου τάξεως N προκαλεί υστέρηση ίση µε N/2 στην ιδανική συχνοτική απόκριση η οποία εποµένως ϑα έχει τη µορφή e H lp (e jω jωn/2 για ω <ω = c οπουδήποτε αλλού και εποµένως η ιδανική κρουστική απόκριση υπολογίζεται από τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier της παραπάνω σχέσης οδηγώντας στο αποτέλεσµα +ωc h lp [n]= 2π ω c e jωn/2 e jωn dω= sin[ω c(n (N/2] π[n (N/2] όπως εύκολα µπορεί να επαληθευτεί. Στο επόµενο ϐήµα της διαδικασίας υπολογίζουµε την πραγµατική κρουστική απόκριση από τη σχέση h[n]=h lp [n]w[n]. Χρησιµοποιώντας την εξίσωση ορισµού του παραθύρου Kaiser και τις τιµές των παραµέτρωνα= ϑα λάβουµε τελικά h[n]= sin[ω c (n 8.5] π(n 8.5 I [ ( n ] 8.5 n 37 I ( οπουδήποτε αλλού Στο τελευταίο ϐήµα της διαδικασίας µπορούµε να υπολογίσουµε τη συχνοτική απόκριση του πραγµατικού ϕίλτρου υπολογίζοντας το µετασχηµατισµό Fourier της παραπάνω σχέσης. Η κρουστική απόκριση του ϕίλτρου h[n] και το µέτρο της συνάρτησης απόκρισης συχνότηταςh(e jω παρουσιάζονται στο Σχήµα.97. Η παραπάνω διαδικασία µπορεί πάρα πολύ εύκολα να γενικευθεί έτσι ώστε να επιτρέψει τη σχεδίαση όλων των υπόλοιπων τύπων ϕίλτρων, δηλαδή υψηλοπερατά, Ϲωνοπερατά και Ϲωνοφρακτικά ϕίλτρα. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα πως επιθυµούµε να σχεδιάσουµε ένα Ϲωνοπερατό ϕίλτρο µε τιµές παραµέτρων Ã p για το λόγο εναποµείνουσας διακύµανσης στην περιοχή διέλευσης και Ã s για την εξασθένηση στην περιοχή αποκοπής, που να επιτρέπει τη διέλευση των συχνοτήτωνω p ω ω p2 και να αποκόπτει τις συχνότητεςω s ω ω s2. Η συχνοτική απόκριση του παραπάνω ψηφιακού ϕίλτρου παρουσιάζεται στο Σχήµα.98. Στο σχήµα αυτό οι συχνότητεςω c καιω c2 ορίζουν την περιοχή διέλευσης του ιδανικού Ϲωνοπερατού ϕίλτρου, ενώ η παράµετρος Ω s αναπαριστά τη συχνότητα δειγµατοληψίας του σήµατος εισόδου. Η µεθοδολογία σχεδίασης του ϕίλτρου ϑα στηριχθεί στη συνάρτηση συχνοτικής απόκρισης του ιδανικού Ϲωνοπερατού ϕίλτρου, που για το ϕίλτρο του παραπάνω τµήµατος έχει τη µορφή για ω c2 ω ω c H(e jω = για +ω c ω +ω c2 οπουδήποτε αλλού Στην περίπτωση αυτή, οι συχνότητεςω c καιω c2 δίδονται από τις σχέσειςω c =ω p (B t /2 καιω c2 =ω p2 +(B t /2 µε την ποσότητα B t ορίζεται ως B t = min[(ω p ω s, (ω s2 ω p2 ].

12 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ +δ. -δ H(e jω à p à s δ ω ω s ω c ω c2 Ω S /2 ω p ω p2 ω s2 Σχήµα.98: Εφαρµογή της µεθόδου του παραθύρου Kaiser για την κατασκευή Ϲωνοπερατού ϕίλτρου. Εχοντας υπολογίσει τις παραπάνω παραµέτρους, η µεθοδολογία σχεδιασµού του Ϲωνοπερατού ϕίλτρου ϑα πραγµατοποιηθεί όπως και προηγουµένως. Η παραπάνω µέθοδος παρουσιάζεται στην επόµενη άσκηση µε τη σχεδίαση ενός ψηφιακού ϕίλτρου που ϑα πληροί συγκεκριµένες προδιαγραφές λειτουργίας. Ασκηση.6.4. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του παραθύρου Kaiser να κατασκευάσετε ένα Ϲωνοπερατό ψηφιακό ϕίλτρο που να χαρακτηρίζεται από γενικευµένη γραµµική ϕάση και να πληροί τις εξής προδιαγραφές: H(e jω..95 H(e jω.5 H(e jω. για ω.25π για.35π ω.6π για.65π ω π (α Να προσδιορίσετε την τάξη του ϕίλτρου N και την παράµετροατου παραθύρου Kaiser (ϐ να προσδιορίσετε την τιµή της υστέρησης που προκαλείται από την εφαρµογή του ϕίλτρου και (γ να προσδιορίσετε την ιδανική κρουστική απόκριση επί της οποίας ϑα εφαρµοσθεί η συνάρτηση παραθύρου w[n] προκειµένου να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του πραγµατικού ϕίλτρου. Απάντηση: (α Από τις προδιαγραφές του ϕίλτρου προκύπτει αµέσως ότιδ=δ p =δ s =. και εποµένως η πραγµατική εξασθένηση ϑα δίδεται από τη σχέση A s = 2 log (δ= 2 log ( 2 =( 2( 2= 4 Παρατηρούµε ότι A s = 4<5 και κατά συνέπειαν η παράµετρος του ϕίλτρου υπολογίζεται ως α=.5842(a s (A s 2=.5842( (4 2= όπως εύκολα µπορεί να επαληθευτεί. Από την άλλη πλευρά, το εύρος των δύο Ϲωνών µετάπτωσης προσδιορίζεται από τις συχνότητες (ω s,ω p =(.25π,.35π και (ω p2,ω s2 =(.6π,.65π από όπου προκύπτουν οι τιµές ω =.35π.25π=.π και ω 2 =.65π.6π=.5π. Θα είναι λοιπόν ήτοι, οι συχνότητες αποκοπής υπολογίζονται ως ω=min( ω, ω 2 =min(.π,.5π=.5π ω c =ω p ω 2 =.35π.25π=.325π και ω c 2 =ω p2 + ω 2 =.6π+.25π=.625π Η τιµή της ϐοηθητικής σταθεράς D για την τιµή A s = 4 υπολογίζεται ως D= A s = = και εποµένως η τάξη του ϕίλτρου ϑα προκύψει από την εξίσωση [ ] [ ] 2πD 2π N + + +[ ] 9 ω.5π

13 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 843 από όπου προκύπτει ότι N = 9. Παρατηρούµε πως µην έχοντας πληροφορίες για τη συχνότητα της δειγµατοληψίαςω s καταφύγαµε στη χρήση της µέγιστης επιτρεπτής τιµής για αυτή τη συχνότητα που είναι η τιµή 2π. (ϐ Λαµβάνοντας υπ όψιν πως το ϕίλτρο προς σχεδίαση είναι ϕίλτρο γραµµικής ϕάσης µε τιµή τάξης M=9, η τιµή της χρονικής υστέρησης επί της κρουστικής απόκρισης που οφείλεται στην εφαρµογή του ϑα είναι ίση µε N/2 = 45 δείγµατα. (γ Από τη ϐασική ϑεωρία είναι γνωστό πως η κρουστική απόκριση του ιδανικού Ϲωνοπερατού ϕίλτρου µε περιοχή διέλευσης συχνοτήτων (ω c,ω c2 δίδεται από την εξίσωση h[n]= ω 2 π sin(nω 2 ω sin(nω nω 2 π nω Στην προκειµένη περίπτωση, οι συχνότητες αποκοπήςω c καιω c2 είναι οιω c =.325π καιω c2 =.625π. Από την άλλη πλευρά, η χρησιµοποίηση των N = 9 πρώτων δειγµάτων προκαλεί ως γνωστόν στην ιδανική κρουστική απόκριση, καθυστέρηση ίση µε N/2 = 45 δείγµατα. Εάν στην τελευταία εξίσωση χρησιµοποιήσουµε τις παραπάνω τιµές των συχνοτήτωνω c καιω c2 και ταυτόχρονα κάνουµε την αντικατάσταση n n 45 καταλήγουµε στο Ϲητούµενο αποτέλεσµα που έχει τη µορφή h[n]= sin[.625π(n 45] sin[.325π(n 45] π(n 35 Ασκηση.6.5. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του παραθύρου Kaiser να κατασκευάσετε ένα ϕίλτρο πεπε- ϱασµένης κρουστικής απόκρισης πραγµατικών τιµών και γενικευµένης γραµµικής ϕάσης που να πληροί τις ακόλουθες προδιαγραφές:.9< H(e jω <..6< H(e jω <.6.9< H(e jω < 2. για ω.2π για.3π ω.475π για.525π ω π και να προσεγγίζει τη συµπεριφορά ιδανικού ϕίλτρου πραγµατικής κρουστικής απόκρισης η επιθυµητή συχνοτική απόκριση του οποίου ϑα έχει τη µορφή για ω.25π H d (e jω = για.25π ω.5π 2 για.5π ω π Απάντηση: Η συµπεριφορά της συχνοτικής απόκρισης του πραγµατικού ϕίλτρου σε σχέση µε τη συχνοτική απόκριση του ιδανικού ϕίλτρου παρουσιάζεται µε διαγραµµατικό τρόπο στο Σχήµα.99. Από το σχήµα αυτό διαπιστώνουµε πως το ϕίλτρο προς σχεδίαση µπορεί να ϑεωρηθεί πως κατασκευάζεται ως το άθροισµα δύο απλούστερων ϕίλτρων: ενός χαµηλοπερατού ϕίλτρου που αντιστοιχεί σε µέτρο συχνοτικής απόκρισης H(e jω = και σε τιµή διακύµανσηςδκαι ενός υψηλοπερατού ϕίλτρου που χαρακτηρίζεται από µέτρο συχνοτικής απόκρισης H(e jω = 2 και από τιµή διακύµανσης 2δ. Το άθροισµα αυτών των δύο σφαλµάτων στην περιοχή συχνοτήτων.3π ω.475π δεν ϑα πρέπει να είναι µικρότερο από.6, όπως επιβάλλεται από τις προδιαγραφές του πραγµατικού ϕίλτρου. Θα είναι λοιπόν δ+2δ.6 3δ.6 δ.2 Θα είναι λοιπόνδ max =.2 και εποµένως η εξασθένηση του ϕίλτρου υπολογίζεται ως A s = 2 log (δ max = 2 log (.2= ( 2(.69897= Παρατηρούµε ότι A s < 5 και εποµένως η παράµετροςατου ϕίλτρου υπολογίζεται ως α=.5842( ( = Από τις προδιαγραφές λειτουργίας του πραγµατικού ϕίλτρου προκύπτει εύκολα ότι (ω s,ω p =(.2π,.3π και (ω p2,ω s2 =(.475π,.525π. Θα είναι λοιπόν ω =ω p ω s =.3π.2π=.π και ω 2 =ω s2 ω p2 =.525π.475π=.5π

14 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ 2..9 Η(e jω.2π.3π.475π.525π ω π.5π.π Σχήµα.99: Η συχνοτική απόκριση του πραγµατικού ϕίλτρου της Άσκησης.6.5 σε σχέση µε την απόκριση του ιδανικού ϕίλτρου. και εποµένως η τιµή της παραµέτρου ω υπολογίζεται ως Dω=min( ω, ω 2 =min(.π,.5π=.5π Από την τελευταία παράµετρο µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε τις συχνότητες αποκοπήςω c καιω c2 οι οποίες έχουν τιµές ω c =ω p ω 2 =.3π.25π=.275π και ω c 2 =ω p2 + ω 2 =.475π+.25π=.5π Η τιµή της ϐοηθητικής σταθεράς D για την τιµή A s = υπολογίζεται ως D= A s = = και εποµένως η τάξη του ϕίλτρου ϑα προκύψει από την εξίσωση [ ] [ ] 2πD 2π N + + +[ ] 73 ω.5π από όπου προκύπτει η τιµή N = 73. Για τον υπολογισµό της τιµής της τελευταίας παραµέτρου χρησιµοποιήθηκε η µέγιστη τιµή της συχνότητας δειγµατοληψίας που είναι ίση µε 2π. Μετά τον υπολογισµό των παραπάνω παραµέτρων, η διαδικασία σχεδίασης του ϕίλτρου συνεχίζεται και ολοκληρώνεται µε τον τρόπο που είδαµε στην προηγούµενη άσκηση. Ασκηση.6.6. Εστω πως επιθυµούµε να σχεδιάσουµε ένα χαµηλοπερατό ϕίλτρο πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης µε τις ακόλουθες προδιαγραφές.98< H(e jω <.2 ω.63π.< H(e jω <..65π ω π δια της εφαρµογής της συνάρτησης w[n] του παραθύρου Kaiser επί της κρουστικής απόκρισης h d [n] του ιδανικού χαµηλοπερατού ϕίλτρου η συχνότητα αποκοπής του οποίου είναι ίση µεω c =.64π. Να υπολογίσετε τις τιµές της παραµέτρουατου παραθύρου Kaiser και της τάξης του ϕίλτρου N..6.4 Η µέθοδος της δειγµατοληψίας συχνότητας Η µέθοδος της δειγµατοληψίας συχνότητας αποτελεί µία απλή και άµεσα εφαρµόσιµη µέθοδο σχεδίασης ενός ϕίλτρου τύπου FIR και συνίσταται στον προσδιορισµό των τιµών της επιθυµητής κρουστικής απόκρισηςh d (e jω

15 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 845 στις ϑέσεις k συχνοτήτων της µορφήςω k = 2πk/N όπου N είναι η τάξη του προς κατασκευή ϕίλτρου, ενώ ο δείκτης k παίρνει τις τιµές,, 2,..., L µε την τιµή της παραµέτρου L να είναι ίση µε (N /2 για άρτιες τιµές τάξης και ίση µε (N/2 για περιττές τιµές τάξης. Στην περίπτωση αυτή κατά τα γνωστά ϑα έχουµε H[k] H d [exp (j 2π ] N N k = h[n] exp ( j 2π N kn n=,, 2,..., N (.34 εξίσωση, που παραπέµπει σε διακριτό µετασχηµατισµό Fourier µήκους N σηµείων και κατά συνέπειαν, η πεπερασµένη κρουστική απόκριση του προς κατασκευή ϕίλτρου µπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση του αντίστροφου µετασχηµατισµού 57 h[n]= N N H d [exp (j 2π ] N k exp (j 2π N kn,,, 2,..., N (.3 Εάν λοιπόν προσδιορίσουµε τις τιµές N δειγµάτων της επιθυµητής συχνοτικής απόκρισης του προς κατασκευή ϕίλτρου σε ισαπέχουσες µεταξύ τους συχνότητες, µπορούµε, εφαρµόζοντας την παραπάνω σχέση να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη κρουστική απόκριση του ϑεωρούµενου ϕίλτρου. Η κρουστική απόκριση που υπολογίζεται µε τον τρόπο αυτό, σχετίζεται µε την ιδανική κρουστική απόκριση h d [n] η οποία είναι ένα µη αιτιατό σήµα άπειρου µήκους δια µέσου της σχέσεως h[n]= + h d [n+kn], n N (.36 k= (δείτε την Εξίσωση 9.9 και την επιχειρηµατολογία που αναπτύξαµε κατά την παρουσίαση του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier. Μετά τον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης ϑα πρέπει να εφαρµόσουµε επί αυτής τον παραπάνω µετασχηµατισµό για να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη απόκριση συχνότηταςh(e jω. Αυτή η διαδικασία παρουσιάζεται µε διαγραµµατικό τρόπο στο Σχήµα.. Το ϐασικό πλεονέκτηµα της παραπάνω µεθόδου είναι πως επιτρέπει την κατασκευή ϕίλτρου FIR µε αυ- ϑαίρετη συχνοτική απόκριση, ενώ η παραπάνω διαδικασία δειγµατοληψίας αφορά τόσο το µέτρο όσο και τη ϕάση της επιθυµητής συνάρτησηςh d (e jω (αν και στο Σχήµα. για λόγους απλότητας περιοριζόµαστε µόνο στο πλάτος της συχνοτικής απόκρισης. Εποµένως, οι τιµές των δειγµάτων που καθορίζουµε είναι στην πραγµατικότητα µιγαδικής ϕύσεως, ενώ εάν επιλέξουµε να χρησιµοποιήσουµε µηδενικές τιµές ϕάσης για αυτά τα δείγµατα (έτσι ώστε να εργασθούµε µε πραγµατικές τιµές και όχι µε µιγαδικές ποσότητες που σχετίζονται µε γραµµική ϕασική απόκριση, η κρουστική απόκριση που ϑα προκύψει ϑα είναι συµµετρική ως προς τη ϑέση n=και για το λόγο αυτό ϑα πρέπει να µετατοπιστεί κατά L δείγµατα έτσι ώστε να καταστεί αιτιατό σήµα. Κατά την εφαρµογή αυτής της µεθόδου ϑα πρέπει να λάβουµε ιδιαίτερη µέριµνα προκειµένου να διασφαλίσουµε πως η απόκριση πλάτους χαρακτηρίζεται από άρτια συµµετρία ενώ η απόκριση ϕάσης από περιττή συµµετρία, έτσι ώστε το ϕίλτρο που ϑα προκύψει να είναι αιτιατό και να χαρακτηρίζεται από γραµµική ϕάση και σταθερούς συντελεστές. Κατά την εφαρµογή του µετασχηµατισµού DFT επί της υπολογισθείσας κρουστικής απόκρισης µπορούµε να ελέγξουµε την ακρίβεια των αποτελεσµάτων χρησιµοποιώντας αρκετά µεγάλη τιµή για το πλήθος των δειγµάτων έτσι ώστε να αυξήσουµε τη διακριτική ικανότητα, ενω για να περιορίσουµε το µήκος του σήµατος σε N δείγµατα, µπορούµε να καταφύγουµε στη χρήση κάποιας συνάρτησης παραθύρου µε τον τρόπο που περιγράψαµε στην προηγούµενη ενότητα. Λαµβάνοντας υπ όψιν πως η κρουστική απόκριση h[n] είναι σήµα πραγµατικών τιµών, από την ιδιότητα της συµµετρίας του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier, γνωρίζουµε ότιh[k]=h [M k], ιδιότητα, που 57 Αυτή η σχέση προκύπτει εύκολα πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της προηγούµενης έκφρασης επί την εκθετική ποσότητα e j2πkm/n (m=,, 2,...,N οπότε ϑα λάβουµε H d [exp (j 2π ] N k exp (j 2π N km = exp (j 2π N N km n= h[n] exp ( j 2π N kn,, 2,...,N Αθροίζοντας ως προς k και αλλάζοντας τη σειρά άθροισης στο άθροισµα του δεύτερου µέλους, λαµβάνουµε N H d [exp (j 2π ] N k exp (j 2π N km N = exp (j 2π N N km n= h[n] exp ( j 2π N N kn = n= h[n] exp [j 2π ] N k(m n Οπως όµως έχουµε αποδείξει στην Άσκηση 6.5.4, το δεύτερο άθροισµα του δεύτερου µέλους έχει τιµή ίση µε το για m nκαι τιµή ίση µε N για m=n. Κατά συνέπειαν, το δεύτερο µέλος της παραπάνω σχέσής είναι ίσο µε Nh[m], οπότε, προχωρώντας στην αντικατάσταση του ϐωβού δείκτη από m σε n και επιλύοντας ως προς h[n] καταλήγουµε στη Ϲητούµενη έκφραση.

16 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ H d (e jω H[κ] δείγματα τη επιθυμητή απόκριση H επιθυμητή συχνοτική απόκριση ω H(e jω Ω s k Η πραγματική συχνοτική απόκριση ω Σχήµα.: ιαγραµµατική επίδειξη της µεθόδου δειγµατοληψίας συχνότητας, στην οποία η κρουστική απόκριση του προς κατασκευήν ϕίλτρου υπολογίζεται από τα δείγµατα της επιθυµητής συχνοτικής απόκρισης. σε συνδυασµό µε τις συνθήκες συµµετρίας που υφίστανται για την κρουστική απόκριση, µας επιτρέπει να υπολογίσουµε τα δείγµατα του σήµατος h[n] χρησιµοποιώντας µόνο (N+ /2 δείγµατα για περιττό N και N/2 δείγµατα για άρτιο N. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις για τη συµµετρική και την αντισυµµετρική περίπτωση ως H d (e jω = H d (e jω exp [ j ( απ 2 ω(n 2 ] (.37 µε τη σταθεράανα είναι ίση µε το για συµµετρικό σήµα και ίση µε για αντισυµµετρικό σήµα, οι τιµές των δειγµάτων της συχνοτικής απόκρισης στις ϑέσεις των τιµών συχνότηταςω k = 2πk/N υπολογίζονται ως H[k]=H d [exp (j 2π ] [ N k = H d exp (j 2π [ ( απ N ] k exp j 2 2πk ] (N (.38 N 2 Ορίζοντας τα πραγµατικά δείγµαταg[k] από τη σχέση G[k]=( k H d (e j2πk/n (,, 2,..., N και απαλείφοντας τη συνάρτηση H d (e j2πk/n από τις δύο τελευταίες σχέσεις, προκύπτει εύκολα ότι [ ( απ H[k]=G[k] exp(jπk exp j 2 2πk ] (N (.39 N 2 και κατά συνέπειαν, οι συνθήκες συµµετρίας για τα δείγµατα H[k] µετασχηµατίζονται σε αντίστοιχες συνθήκες συµµετρίας για τα δείγµαταg[k]. Για τη συµµετρική περίπτωση (α= ϑα είναιg[k]= G[N k] και [ ( ] ( N H[k]=G[k] exp(jπk exp jπk =G[k] exp j πk (.32 N N ενώ για την αντισυµµετρική περίπτωση (α = ϑα είναι G[k] = G[N k] και [ H[k]=G[k] exp(jπk exp j π ( ] N 2 jπk =G[k] exp N ( j π 2 ( exp Χρησιµοποιώντας τις τιµές των πραγµατικών δειγµάτωνg[k], η κρουστική απόκριση h[n] ϑα υπολογιστεί ως h[n]= N = N N N ( H[k] exp j 2πk = N n N N [ H[k] exp j 2πk ( n+ N 2 ( G[k] exp ] = N G[]+ N j πk ( exp j 2πk N N n = k= [ H[k] exp j πk N j 2πk ( n+ ]} N 2 (.32 (.322 Η παραπάνω έκφραση µε τη ϐοήθεια των σχέσεων συµµετρίας των δειγµάτων G[k] και εργαζόµενοι όπως στην προηγούµενη ενότητα, λαµβάνει τη µορφή h[n]= N G[]+2 ( ( 2πk G[k] cos n+ ]} N 2 k=

17 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 847 για τη συµµετρική περίπτωση και τη µορφή 2 ( ( 2πk G[k] sin n+ ] N N 2 k= h[n]= ( N ( ( 2πk ( n+ G 2 G[k] sin n+ ]} N 2 N 2 k= N περιττό N άρτιο για την αντισυµµετρική περίπτωση. Η παραπάνω µέθοδος µπορεί να γενικευθεί, δειγµατοληπτώντας την ιδανική συχνοτική απόκρισηh d (e jω στις ϑέσειςω k = 2π(k+m/M, µε την παράµετρο m να παίρνει µία από τις τιµές m=και m=/2. Στην περίπτωση αυτή, οι εξισώσεις ορισµού των συναρτήσεωνh[k] και h[n] λαµβάνουν τη µορφή H[k] H d exp [j 2π ]} N N (k+m = h[n] exp ( j 2π N (k+mn h[n] = M H d exp [j 2π ]} M N (k+m exp (j 2π N (k+mn n=,, 2,..., N (.323,, 2,..., N (.324 οι οποίες για την τιµή m=απλοποιούνται σε αυτές που παρουσιάσαµε προηγουµένως. Ολοκληρώνουµε την παρουσίαση της µεθόδου δειγµατοληψίας συχνότητας, µε την παρατήρηση πως εάν τα δείγµατα της επιθυµητής συχνοτικής απόκρισης ορίζουν µία πάρα πολύ στενή - ή ακόµη και µηδενικού πλάτους - Ϲώνη µετάβασης, τότε, η επιθυµητή συχνοτική απόκριση που ϑα προκύψει, ϑα χαρακτηρίζεται από τιµή απόσβεσης στη Ϲώνη αποκοπής η οποία δεν ϑα είναι ικανοποιητική. Ωστόσο, αυτή η συµπεριφορά µπο- ϱεί να ϐελτιωθεί, επαναπροσδιορίζοντας τα δείγµατα της συνάρτησηςh d (e jω έτσι ώστε να οδηγούν σε µία πιο οµαλή µετάβαση από τη Ϲώνη διέλευσης στη Ϲώνη αποκοπής. Με άλλα λόγια, αντί να ορίσουµε µία απότοµη µετάβαση της µορφής...,,,,,,,,,...} µπορούµε να παρεµβάλουµε ένα µεταβατικό δείγµα, έτσι ώστε π.χ. να έχουµε...,,,,.5,,,,,...} ή ακόµη και δύο µεταβατικά δείγµατα, έτσι ώστε π.χ. να έχουµε...,,,,.67,.33,,,,...}. Μετά από αυτόν τον επαναπροσδιορισµό, ϑα πρέπει ϕυσικά να επαναλάβουµε τη διαδικασία από την αρχή. Ας σηµειωθεί, πως αν και αυτή η µέθοδος οδηγεί σε καλύτερα αποτελέσµατα τα οποία µεταφράζονται σε χαµηλότερο ύψος του µέγιστου παράπλευρου λοβού στο ϕάσµα του προς κατασκευήν ϕίλτρου, ωστόσο δεν είναι σίγουρο πως αυτά ϑα προκύψουν αµέσως. Αντίθετα, είναι πολύ πιθανό να χρειαστεί να επαναλάβουµε αρκετές ϕορές αυτή τη διαδικασία, µέχρι τελικά να καταλήξουµε σε ένα ϐέλτιστο αποτέλεσµα 58. Ασκηση.6.7. Να ϐρεθεί η συχνοτική απόκριση ϕίλτρου FIR γραµµικής ϕάσης µε συµµετρική κρουστική απόκριση µήκους N = δειγµάτων όταν είναι γνωστά τα δείγµατα του µέτρου της επιθυµητής συχνοτικής απόκρισηςh d (e jω µε τιµές H d [ ( exp j 2πk ] =,, 2, 3.4 k=4 k=5, 6, 7 Λύση: Λαµβάνοντας υπ όψιν πως η κρουστική απόκριση h[n] είναι συµµετρικό σήµα ενώ η τάξη N του ϕίλτρου είναι περιττός αριθµός, η απόκριση πλάτους του ϕίλτρου σύµφωνα µε την Εξίσωση.279 ϑα έχει τη µορφή [ N H d (e jω = h 2 ] (N 3/2 + 2 n= [ ( ] N h[n] cos ω n = h[7] h[n] cos[ω(7 n] για την τιµή N=. Από την άλλη πλευρά, αφού η κρουστική απόκριση είναι συµµετρικό σήµα, ϑα ικανοποιεί τη σχέση h[n]=h[n n] η οποία, για την τιµή N= λαµβάνει τη µορφή h[n]=h[4 n]. Η δειγµατοληψία της παραπάνω συχνοτικής απόκρισης στις ϑέσεις των συχνοτήτωνω k = 2πk/ (για τις τιµές,, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ϑα οδηγήσει στην έκφραση [ H d ( exp j 2πk ] = h[7]+2 6 n= [ ] 2πk h[n] cos (7 n n= (,, 2, 3, 4, 5, 6, 7 58 Για την περιγραφή µιας διαδικασίας επιλογής των δειγµάτων της συνάρτησηςh d (e jω στη Ϲώνη µετάβασης έτσι ώστε να λάβουµε ένα ϐέλτιστο αποτέλεσµα όσον αφορά την εξασθένηση στη Ϲώνη αποκοπής, ανατρέξτε στο σύγγραµµα J.Proakis, D.Manolakis, Digital Signal Processing Principles, Algorithms and Applications, 3 rd Edition, 996, ISBN , pp

18 ΣΧΕ ΙΑΣΗ Φ ΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚ ΗΣ ΑΠ ΟΚΡΙΣΗΣ η οποία, για τις παραπάνω τιµές του k διατυπώνεται ως : h[7]+ 2 k=: h[7]+ 2 k=2: h[7]+ 2 k=3: h[7]+ 2 6 h[n]= k=4: h[7]+2 n= 6 n= 6 n= 6 n= [ ] 2π h[n] cos (7 n = k=5: h[7]+2 [ ] 4π h[n] cos (7 n = k=6: h[7]+2 [ ] 6π h[n] cos (7 n = k=7: h[7]+2 6 [ ] 8π h[n] cos (7 n =.4 6 [ ] π h[n] cos (7 n = 6 [ ] 2π h[n] cos (7 n = 6 [ ] 4π h[n] cos (7 n = Αναπτύσσοντας τα παραπάνω αθροίσµατα για τις τιµές k =,, 2, 3, 4, 5, 6, 7 διαδοχικά έχουµε } h[7]+2 h[]+h[]+h[2]+h[3]+h[4]+h[5]+h[6]+h[7] = h[7]+2 h[] cos ( 4π ( 4π + h[5] cos ( 28π ( 8π + h[5] cos ( 42π ( 2π + h[5] cos ( 56π ( 6π + h[5] cos ( 7π ( 2π + h[5] cos ( 84π ( 24π + h[5] cos ( 98π ( 28π + h[5] cos h[7]+2 h[] cos h[7]+2 h[] cos h[7]+2 h[] cos h[7]+2 h[] cos h[7]+2 h[] cos h[7]+2 h[] cos + h[] cos + h[6] cos + h[] cos + h[6] cos + h[] cos + h[6] cos + h[] cos + h[6] cos ( 2π + h[2] cos ( } 2π + h[7] = ( 24π + h[2] cos ( } 4π + h[7] = ( 36π + h[2] cos ( } 6π + h[7] = ( 48π + h[2] cos ( } 8π + h[7] =.4 ( 6π + h[2] cos + h[] cos + h[6] cos + h[] cos + h[6] cos + h[] cos + h[6] cos ( π ( 72π ( 2π ( 84π ( 4π + h[7] } = + h[2] cos + h[7] } = + h[2] cos + h[7] } = n= n= n= n= ( π + h[3] cos ( 2π + h[3] cos ( 3π + h[3] cos ( 4π + h[3] cos ( 5π + h[3] cos ( 6π + h[3] cos ( 7π + h[3] cos ( 8π + h[4] cos ( 6π + h[4] cos ( 24π + h[4] cos ( 32π + h[4] cos ( 4π + h[4] cos ( 48π + h[4] cos ( 56π + h[4] cos ( 6π ( 2π ( 8π ( 24π ( 3π ( 36π ( 42π Αντικαθιστώντας τις τιµές των συνηµιτόνων, κάνοντας τις πράξεις και αναδιατάσσοντας τους όρους, καταλήγουµε σε ένα σύστηµα 8 εξισώσεων µε 8 αγνώστους της µορφής

19 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 849 2h[]+2h[]+2h[2]+2h[3]+2h[4]+2h[5]+2h[6]+h[7] = h[].6833h[] h[2].2956h[3] h[4] h[5] h[6] + h[7] =..8279h[] h[] h[2] h[3].6833h[4].2956h[5] h[6] + h[7] =..6833h[] h[] + 2h[2] h[3].6833h[4].6833h[5] h[6] + h[7] = h[].6833h[] h[2] h[3] h[4] h[5].2956h[6] + h[7] = h[] + 2h[] h[2] h[3] + 2h[4] h[5] h[6] + h[7] =..6833h[].6833h[] + 2h[2].6833h[3] h[4] h[5].6833h[6] + h[7] =..2956h[] h[] h[2] h[3].6833h[4] h[5] h[6] + h[7] =. Η επίλυση του παραπάνω συστήµατος µπορεί να γίνει µε τη ϐοήθεια εξειδικευµένων εφαρµογών λογισµικού και η λύση που προκύπτει είναι η h[] =.429, h[] =.945, h[2] =.4, h[3] =.2234 h[4] =.9388, h[5] =.889, h[6] =.3337, h[7] = Οσον αφορά τα υπόλοιπα δείγµατα της κρουστικής απόκρισης, αυτά ϑα υπολογιστούν από τις παραπάνω τιµές, χρησιµοποιώντας τη συνθήκη συµµετρίας h[n]=h[4 n]. Τα αποτελέσµατα είναι h[8]=h[4 8]=h[6]= h[]=h[4 ]=h[4]=.9388 h[2]=h[4 2]=h[2]=+.4 h[4]=h[4 4]=h[]=.429 h[9]=h[4 9]=h[5]=.889 h[]=h[4 ]=h[3]= h[3]=h[4 3]=h[]=.945 Μετά τον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης µπορούµε να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη επιθυµητή απόκριση δια του υπολογισµού του µετασχηµατισµού Fourier του σήµατος h[n]. Εάν το αποτέλεσµα που ϑα λάβουµε δεν είναι ικανοποιητικό ϑα πρέπει να εφαρµόσουµε τη διαδικασία που παρουσιάσαµε παραπάνω. Η κρουστική απόκριση αυτής της άσκησης µαζί µε το µέτρο της υπολογισθείσας συχνοτικής απόκρισης σχεδιασµένο σε γραµµική και λογαριθµική κλίµακα, παρουσιάζονται στις εικόνες (α, (ϐ και (γ του Σχήµατος Βέλτιστα ισοκυµατικά ϕίλτρα - ο αλγόριθµος του Remez Το ϐασικό µειονέκτηµα της µεθόδου σχεδίασης ψηφιακών ϕίλτρων τύπου FIR µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης παραθύρου, είναι η έλλειψη της δυνατότητας επ ακριβούς καθορισµού των συχνοτήτων διέλευσης και αποκοπής ω p καιω s, αφού αυτές εξαρτώνται από τον τύπο του παραθύρου που χρησιµοποιείται και από την τάξη του ϕίλτρου N. Επιπλέον, η λύση που κατασκευάζεται δεν είναι η ϐέλτιστη, υπό την έννοια πως η τάξη του ϕίλτρου που προκύπτει δεν είναι η ελάχιστη δυνατή, κάτι που έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση του πλήθους των υπολογισµών και την µείωση της αποδοτικότητας και της ταχύτητας εκτέλεσης των σχετιζόµενων αλγορίθµων. Μια εναλλακτική µέθοδος σχεδίασης ϕίλτρων τύπου FIR στηρίζεται στην παραδοχή πως το σφάλµα προσέγγισης της ιδανικής από την πραγµατική απόκριση συχνότητας δεν σχετίζεται µε κάποιες συγκεκριµένες συχνότητες αλλά κατανέµεται σε όλες τις συχνότητες που ανήκουν τόσο στην περιοχή διέλευσης όσο και στην περιοχή αποκοπής. Επιπλέον, σε αντίθεση µε το απλό κριτήριο του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος στο οποίο όλες οι συχνότητες ϑεωρούνται ισοδύναµες και συσχετίζονται µε τιµή στατιστικού ϐάρους ίση µε τη µονάδα, εδώ η κάθε Ϲώνη συχνοτήτων σχετίζεται µε διαφορετική εν γένει συνάρτηση ϐάρους που καθορίζει και τη συνεισφορά της στην τιµή του τελικού σφάλµατος προσέγγισης. Αυτή η µέθοδος είναι γνωστή ως σταθµισµένη µέθοδος Chebyshev και στηρίζεται στην περιγραφή της συνάρτησης σφάλµατος µε τη ϐοήθεια ενός γραµµικού συνδυασµού συναρτήσεων συνηµιτόνου, ο οποίος στη συνέχεια ελαχιστοποιείται µε τη ϐοήθεια ενός αποδοτικού πολυµεταβλητού αλγο- ϱίθµου ϐελτιστοποίησης που είναι γνωστός ο αλγόριθµος εναλλαγής του Remez. Αν και αυτός ο αλγόριθµος χαρακτηρίζεται από µεγάλο υπολογιστικό κόστος, ωστόσο στις µέρες µας αυτό δεν αποτελεί πρόβληµα, αφού τα µοντέρνα υπολογιστικά συστήµατα χαρακτηριζονται από µεγάλη υπολογιστική ισχύ και χαµηλό κόστος. Ας σηµειωθεί, πως αυτός ο αλγόριθµος σχεδίασης ψηφιακών ϕίλτρων τύπου FIR είναι ιδιαίτερα αποδοτικός, γιατί µας επιτρέπει να προσδιορίσουµε επ ακριβώς τα όρια των Ϲωνών ενδιαφέροντος και τα σχετικά µεγέθη της συνάρτησης σφάλµατος σε κάθε µία από αυτές. Το αποτέλεσµα εφαρµογής αυτής της µεθόδου για τη σχεδίαση ϕίλτρων τύπου FIR είναι η κατασκευή ϐέλτιστων (ως προς την τάξη τους ψηφιακών ϕίλτρων που χαρακτηρίζονται από την εµφάνιση διακυµάνσεων τόσο στη Ϲώνη διέλευσης όσο και στη Ϲώνη αποκοπής. Περιοριζόµενοι στην απλή περίπτωση των χαµηλοπερατών