Φυσική. Ακαδημαϊκό έτος Διδάσκουσες Μ. Κατσικίνη Ε. Κ. Παλούρα. Τμήμα Φαρμακευτικής. Μάθημα ΦΥΣΙΚΗ

Transcript

1 Φυσική Τμήμα Φαρμακευτικής Ακαδημαϊκό έτος Διδάσκουσες Μ. Κατσικίνη Ε. Κ. Παλούρα Ε. Κ. Παλούρα, Τμήμα Φαρμακευτικής Μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Μαρία Κατσικίνη, Επίκουρη Καθηγήτρια katsiki@auth.gr τηλ: Ώρες γραφείου: 3 μμ Ελένη Κ. Παλούρα, Καθηγήτρια, paloura@auth.gr τηλ: Ώρες γραφείου: κατόπιν συνεννοήσεως με e mail ή μετά το μάθημα Ε. Κ. Παλούρα, 013 Ε. Κ. Παλούρα, 013 1

2 Χρήσιμες πληροφορίες Γραφεία: Προτεινόμενα συγγράμματα (EYΔΟΞΟΣ) ος όροφος, ανατολική πτέρυγα, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος 1&, H. D. Young (μετάφραση στα Ελληνικά), Εκδόσεις Παπαζήση. Φυσική με εφαρμογές στις Βιολογικές Επιστήμες, Κ. Α. Καμπάς κλπ Εκδόσεις Γιαχούδη, Θεσσαλονίκη (1988). Συνοδεύεται από βιβλίο ασκήσεων P. Davidovits Φυσική στη βιολογία & την ιατρική» Εκδ. Παρισιάνου Ε. Κ. Παλούρα, Υλη του μαθήματος 1. Πειραματικά σφάλματα & γραφικές παραστάσεις. Το πρόβλημα των αναλογιών στους οργανισμούς. 3. Στατική στερεού σώματος: Δυνάμεις και ροπές. 4. Έργο Ενέργεια Μεταβολισμός. 4. Μηχανική των ρευστών 5. Ταλαντώσεις Κυμάνσεις. 6. Ήχος 7. Γεωμετρική Οπτική Οπτικά όργανα Laser 8. Θερμότητα Θερμοκρασία 9. Ακτίνες Χ. 10. Βιοηλεκτρισμός. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013

3 Εισαγωγή στη θεωρία πειραματικών σφαλμάτων Ο στόχος της ενότητας «Εισαγωγή στη θεωρία πειραματικών σφαλμάτων» είναι η εξοικείωση με τον χειρισμό πειραματικών αποτελεσμάτων που θα μετρήσετε στα φοιτητικά εργαστήρια. Ειδικότερα θα συζητήσουμε: 1. τα είδη των σφαλμάτων και πως μπορούμε να «απαλλαγούμε» από αυτά. πως μπορούμε να κάνουμε γραφικές παραστάσεις που απεικονίζουν τα αποτελέσματα με εποπτικό τρόπο. Ε. Κ. Παλούρα, Εισαγωγή στη θεωρία πειραματικών σφαλμάτων Πειράματα στο φοιτητικό εργαστήριο (και όχι μόνο) Κάνουμε συστηματική παρατήρηση η& μέτρηση ηφυσικών φαινομένων Επαληθεύουμε απλούς νόμους Εκπαιδευόμαστε στην μεθοδολογία μέτρησης & ανάλυσης δεδομένων. Ειδικότερα θα συζητήσουμε τα παρακάτω θέματα: υπολογισμός της πιο σωστής τιμής μίας μέτρησης προσδιορισμός & επεξεργασία των σφαλμάτων κατασκευή γραφικών παραστάσεων συγγραφή εργασίας που περιγράφει το πείραμα, τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα συνοπτικά & περιεκτικά. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 3

4 Η επιτυχία του πειράματος στο εργαστήριο προϋποθέτει Ακριβή & λεπτομερή προγραμματισμό του πειράματος Μελετούμε τις οδηγίες στο εργαστηριακό βιβλίο πριν από το πείραμα Στο εργαστήριο κάνουμε : προσεκτική καταγραφή της πειραματικής διαδικασίας προσεκτική καταγραφή των αποτελεσμάτων, όπως τα μετρούμε, χωρίς επεξεργασία ή/και εξομάλυνση των δεδομένων στο εργαστήριο Επιδιώκουμε καλή συνεργασία μεταξύ των μελών της ομάδος. Ε. Κ. Παλούρα, Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Τι είναι το σφάλμα? είναι η αναπόφευκτη έλλειψη ακρίβειας που συνοδεύει μία πειραματική μέτρηση και που οφείλεται σε λάθη του παρατηρητή καθώς και σε «τυχαία» ή/και «συστηματικά» ά σφάλματα. Το σφάλμα είναι ποσοτικό μέγεθος Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x X όπου x& X είναι η μετρούμενη και η πραγματική (που είναι άγνωστη) τιμή αντίστοιχα. Υπάρχουν 3 ειδών σφάλματα Λάθη παρατηρητή Τυχαία σφάλματα Συστηματικά σφάλματα Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 4

5 Σφάλματα παρατηρητή 1 1. Παράλλαξη είναι η φαινομενική μετατόπιση ενός αντικειμένου το οποίο παρατηρούμε από ό διαφορετικές θέσεις παρατήρησης και μετράται από τη γωνία μεταξύ αυτών. Το οπτικό πεδίο αλλάζει ανάλογα με τη γωνία παρατήρησης Για να μετρήσουμε σωστά παρατηρούμε τα όργανα κατά μήκος της καθέτου Ε. Κ. Παλούρα, Σφάλματα παρατηρητή συνέχεια. επιλογή ακατάλληλης κλίμακας ευαισθησίας (ή περιοχής μέτρησης) που περιορίζει την ακρίβεια της μέτρησης 3. ρύθμιση του μηδενός στα όργανα: για μηδενικό σήμα εισόδου η έξοδος πρέπει να είναι μηδενική. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 5

6 Τυχαία σφάλματα προκαλούνται από άγνωστες και απρόβλεπτες αστάθειες του πειραματικού συστήματος (π.χ. μεταβολές θερμοκρασίας, τάσης δικτύου κλπ) προκαλούν διασπορά στις μετρήσεις Πραγματική τιμή αναιρούνται με επανάληψη των μετρήσεων ή/και την κατάλληλη επεξεργασία των δεδομένων x x i N i Ε. Κ. Παλούρα, Συστηματικά σφάλματα προκαλούνται από κακή ρύθμιση οργάνων ή/και λανθασμένη πειραματική διαδικασία μετατοπίζουν όλες τις μετρήσεις κατά το ίδιο Δx. Εντοπίζονται δύσκολα εντοπίζονται και μόνο με τη σύγκριση με όργανα αναφοράς) Μετρολογία ΕΙΜ (Εθνικό Ινστιτούτο μετρολογίας) Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 6

7 Επίδραση των σφαλμάτων στις μετρήσεις Τα τυχαία σφάλματα προκαλούν διασπορά στις μετρήσεις Τα συστηματικά σφάλματα, απουσία τυχαίων, μετατοπίζουν κατά την ίδια ποσότητα όλες τις μετρήσεις Ο συνδυασμός μς συστηματικών & τυχαίων σφαλμάτων προκαλεί διασπορά γύρω από την μέση τιμή. Πραγματική τιμή πραγματική τιμή Τιμή που μετράμε Ε. Κ. Παλούρα, Παράδειγμα Τυχαία σφάλματα Πείραμα μέτρηση ροής (Q) Η O σε t=4sec. μετρήσεις α/α Μέση τιμή Διασπορά μετρήσεων Aποτέλεσμα V(cm 3 ) Q Q i cm 3 5 Qmax Qmin Q cm Προσοχή!!! Μέση τιμή μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο αν μετράμε το ίδιο μέγεθος Πηγές σφαλμάτων στο σφάλματα στη χρονομέτρηση συγκεκριμένο πείραμα: σφάλματα στην ογκομέτρηση μεταβολές πίεσης στο δίκτυο Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 7

8 Ακριβείς & εύστοχες/ορθές μετρήσεις Μία μέτρηση είναι ακριβής (precise) όταν οι μετρήσεις είναι απαλλαγμένες από τυχαία σφάλματα μικρή διασπορά τιμών Μία μέτρηση είναι εύστοχη/ορθή (accurate) όταν είναι απαλλαγμένη από συστηματικά σφάλματα δίνει αποτέλεσμα κοντά στην πραγματική τιμή Οι μετρήσεις είναι εύστοχες και ακριβείς, δηλ. είναι απαλλαγμένες από τυχαία & συστηματικά σφάλματα Οι μετρήσεις είναι ακριβείς (δενυπάρχουντυχαίασφάλματα μικρή διασπορά τιμών) ενώ δεν είναι εύστοχες (υπάρχουν συστηματικά σφάλματα) Οι μετρήσεις είναι εύστοχες (δεν υπάρχουν συστηματικά σφάλματα) ενώ δεν είναι ακριβείς (υπάρχουν τυχαία σφάλματα μεγάλη διασπορά τιμών) Οι μετρήσεις δεν είναι ούτε εύστοχες ούτε ακριβείς (παρουσία τυχαίων & συστηματικών σφαλμάτων) Ε. Κ. Παλούρα, Τα πειραματικά αποτελέσματα παρουσιάζονται μαζί με το σφάλμα που τα χαρακτηρίζει Παράδειγμα : μέτρηση περιόδου εκκρεμούς από φοιτητές Τ 1 =,04±0,03 sec T =1.94±0.08 sec [,010,070] [1,860,00] Τα αποτελέσματα συμφωνούν ή όχι?? Ποια μέτρηση είναι πιο ακριβής?? Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 8

9 Σημαντικά ψηφία Σημαντικά είναι τα ψηφία που δίνουν με ακρίβεια την τιμή του μετρούμενου μεγέθους. Όμως ποια ή πόσα ψηφία θεωρούνται σημαντικά? Όλαταμη μηδενικάψηφίαείναισημαντικά, π.χ. οαριθμός13.45 έχει 5 σημαντικά ψηφία. Τα μηδενικά που υπάρχουν μεταξύ μη μηδενικών ψηφίων είναι σημαντικά, π.χ. οαριθμός101.1 έχει5 σημαντικά ψηφία. Τα μηδενικά που προηγούνται μη μηδενικών ψηφίων δεν είναι σημαντικά, π.χ. οαριθμός έχει σημαντικά ψηφία: το 1& Τα μηδενικά που έπονται του δεκαδικού κόμμα είναι σημαντικά, π.χ. το έχει 6 σημαντικά ψηφία: 1,,,3,0και 0&επομένως η μέτρηση έχει ακρίβεια 4 δεκαδικών. Σε αριθμούς που δεν έχουν το κόμμα δεν είναι σαφές το πόσα ψηφία είναι σημαντικά. Π.χ. ο αριθμός ο αριθμός έχει 4 σημαντικά. Ενώ δεν γνωρίζουμε εάν ο αριθμός 1300 έχει 4 σημαντικά ή είναι στρογγυλευμένος στην πλησιέστερη Ε. Κ. Παλούρα, 013 εκατοντάδα. 17 Παράδειγμα παράθεσης αποτελέσματος με ακρίβεια (στρογγύλεμα) σημαντικών ψηφίων (ή 0.013). 013) Επιγραμματικά : Σημαντικά είναι όλα τα ψηφία που διαβάζουμε από την κλίμακα ενός οργάνου συν ένας αριθμός κατ εκτίμηση ψηφίων. Δηλαδή το πλήθος των σημαντικών ψηφίων εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου. Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο στην τιμή μίας μέτρησης πρέπει να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους (ή στην ίδια δεκαδική θέση) με το σφάλμα μίας μέτρησης. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 9

10 Παραδείγματα 1 Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο στην τιμή μίας μέτρησης πρέπει να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους (ή στηνίδιαδεκαδικήθέση) με το σφάλμα μίας μέτρησης. x=9.8 0,0385 m X x=9,8 0,0 m Ζυγαριά ακριβείας 0,1gr gr X 3.3 gr Η τιμή αντίστασης 450,0 10% Ω. Μέτρηση μήκους με χάρακα που έχει υποδιαιρέσεις mm: σφάλμα 0,5mm Μέτρηση γωνίας με μοιρογνωμόνιο που έχει υποδιαιρέσεις σε μοίρες: σφάλμα 0,5 ο Μέτρηση χρόνου με χρονόμετρο (χειροκίνητη λειτουργία): σύνηθες σφάλμα 0,5s. Ε. Κ. Παλούρα, Παραδείγματα Μέτρηση με αναλογικά όργανα: σύνηθες σφάλμα 3% της κλίμακας (μέγεθος που αντιστοιχεί σε πλήρη απόκλιση της βελόνας). Στην κλίμακα το σφάλμα είναι 4x3%= ±0.1V Στην κλίμακα 0 0 το σφάλμα είναι ±0.6V Στην κλίμακα 0 40 το σφάλμα είναι ±1. Σχετικό και επί % σφάλμα x x Σχετικό ή κλασματικό σφάλμα Επί τοις εκατό σφάλμα x 100 x Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

11 Γενικές οδηγίες Πρόσθεση & αφαίρεση: το αποτέλεσμα έχει τόση ακρίβεια όση ο προσθετέος με τη μικρότερη ακρίβεια. Παράδειγμα: = = =111.6=111.3 Πολλαπλασιασμός & διαίρεση: ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων ισούται προς αυτόν του τελεστέου με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Παράδειγμα: d v x t 0.5 x m 65.7m Ε. Κ. Παλούρα, Παράγοντας βάρους αποτελεσμάτων Έστω ότι έχουμε σειρές μετρήσεων: Σειρά Α x 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 x 1 7 A 7 x i Σειρά Β: x 8, x 9, x 10 x B x i i8 7 i1 Ζητούμε τον μέσο όρο των αποτελεσμάτων των σειρών μετρήσεων: x x i ή x x 10 A xb i αλλά x x x 1 x A x B Συντελεστές βάρους Δηλαδή : ο ΜΟ που προκύπτει από σύνολο 7 μετρήσεων έχει «μεγαλύτερο συντελεστή βάρους» (7/10) από τον ΜΟ που προκύπτει από μόνον 3 μετρήσεις (3/10) Ε. Κ. Παλούρα, 013 Ε. Κ. Παλούρα,

12 Διάδοση σφαλμάτων Το πρόβλημα: Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή μίας εξηρτημένης μεταβλητής Z=Z(A,B,C ) που είναι συνάρτηση 1 ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών (Α, Β,C..). Παράδειγμα : υπολογισμός της πυκνότητας (ρ) κύβου και του σφάλματος Δρ όταν μετρούμε πειραματικά την μάζα (m Δm) & τις διαστάσεις (a Δa). Τι μετράμε πειραματικά? Τις ανεξάρτητες μεταβλητές με τα αντίστοιχα σφάλματα: Α ΔΑ, Β ΔΒ, C ΔC... Πως «μετράμε»/ ά υπολογίζουμε το Ζ? Από τη συνάρτηση Z=Z(A,B,C ) Όμως πως τα σφάλματα ΔΑ, ΔΒ, ΔC επηρεάζουν το σφάλμα ±ΔΖ?? Με άλλα λόγια: Πως «διαδίδονται»/επηρεάζουν τα πειραματικώς προσδιορισμένα σφάλματα ΔΑ, ΔΒ, ΔC το ΔΖ?? Ε. Κ. Παλούρα, Διάδοση σφαλμάτων Το διαδιδόμενο σφάλμα υπολογίζεται με τρόπους: με παραγώγιση ήμεχρήσητυπολογίου Συνάρτηση 1 μεταβλητής d Z Z(A) A d A o Συνάρτηση περισσοτέρων μεταβλητών Z Z(A,B,...) B Παράδειγμα 1 ο Z A n na n1 n1 na A n A Ε. Κ. Παλούρα, Z A n Z Ε. Κ. Παλούρα, 013 1

13 Διάδοση σφαλμάτων: τυπολόγιο Ε. Κ. Παλούρα, Γενικές οδηγίες επί των σφαλμάτων το σφάλμα δίδεται με 1 ή σημαντικά ψηφία σφάλματασε σε διαφορές & αθροίσματα: αγνοήστε τα σφάλματα που είναι μικρότερα του 1/3 του μεγίστου σφάλματος. σφάλματα σε γινόμενα & πηλίκα: αγνοήστε τα σχετικά σφάλματα που είναι μικρότερα του 1/3 του μεγίστου σχετικού σφάλματος. Ιδιαίτερη προσοχή : όταν υπολογίζετε τη δύναμη μετρηθείσης ποσότητας όταν μετράτε τη διαφορά περίπου ίσων μεγεθών. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

14 Παράδειγμα : υπολογισμός σφάλματος Να υπολογίσετε τη διαφορά θ των γωνιών θ 1 & θ που μετρήθηκαν πειραματικά και βρέθηκαν ίσες προς: θ 1 =(73±3) ο, θ =(65±3) ο, αντίστοιχα. H θ=θ 1 θ είναι της μορφής x=a B x Επομένως θ =(θ 1 θ )±Δθ=(73 65)± θ=(8±4) ο Προσοχή: το σφάλμα ανέχεται στο 50% του τελικού αποτελέσματος πρέπει οι μετρήσεις να γίνουν με υψηλή ακρίβεια. Ε. Κ. Παλούρα, Παράδειγμα 3: υπολογισμός σφάλματος Να υπολογίσετε το σφάλμα στον υπολογισμό του όγκου κύβου με ακμή =(6±0.5)mm Ο όγκος είναι: 3 3 V l V ( 16 V ) mm Η συνάρτηση είναι της μορφής Επομένως x ka n x x A n A V l V 0.5 ΔV=0,5V=54 54 mm V l V 6 V=(16±54) mm 3 Προσοχή!!! ενώ το σφάλμα στην μέτρηση του μήκους είναι 8%, το διαδιδόμενο σφάλμα ανέρχεται στο 5% της τελικής τιμής! χρειάζεται μεγάλη ακρίβεια στις μετρήσεις Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

15 Σφάλματα μέρος ο Ε. Κ. Παλούρα, Ιστόγραμμα ή πολύγωνο συχνοτήτων Το ιστόγραμμα είναι γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων μίας μέτρησης που δείχνει εποπτικά την συχνότητα επανάληψης μίας τιμής. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

16 Παράδειγμα ιστογράμματος Πείραμα : μέτρηση της μάζας μεταλλικού ελάσματος 4 φορές με την ίδια ζυγαριά. Ποια είναι η επικρατούσα τιμή?? Μέτρηση της μάζας (gr) μεταλλικού ελάσματος 8, Κατανομή: Το σύνολο των μετρήσεων Συχνότητα επανάληψης (f): Ε. Κ. Παλούρα, Παρατηρήσεις συμπεράσματα Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα επανάληψης είναι η 8,148 Οι τιμές που αποκλίνουν πολύ από αυτή την τιμή έχουν μικρή συχνότητα επανάληψης. Κατανομή Ονομάζεται το σύνολο των μετρήσεων Συχνότητα επανάληψης (f): Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

17 Οδηγίες για την κατασκευή ιστογράμματος 1. Βρίσκουμε το εύρος R των τιμών του συνόλου των x i (x max x min ). Διαιρούμε το R σε αυθαίρετο /κατάλληλο αριθμό ισομήκων διαστημάτων R k : R R k 3. Βρίσκουμε τη συχνότητα επανάληψης f k των τιμών x k σε κάθε διάστημα R k : N f k 4. Γραφική παράσταση :xr k (διάστημα που επιλέξαμε), yf k (συχνότητα επανάληψης) Αριθμ μός φοιτητών Βαθμοί φοιτητών σε κλίμακα Ε. Κ. Παλούρα, Κανονική ή κωδωνοειδής κατανομή ή καμπύλη Gauss Αύξηση του πλήθους των μετρήσεων ελάττωση του διαστήματος R και συνεχής κατανομή τιμών Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική γύρω απότομέσοόροόπου έχει τη μέγιστη τιμή στο Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

18 Η κανονική κατανομή Η κανονική κατανομή είναι μία συνάρτηση πιθανότητας που δίνει την σχετική συχνότητα εμφάνισης μίας τιμής x i και χαρακτηρίζεται από την μέση τιμή & την τυπική απόκλιση. Βρίσκει πολύ εκτεταμένες εφαρμογές στη στατιστική, τις φυσικές επιστήμες, την επεξεργασία εικόνας & σήματος & στις επιστήμες της συμπεριφοράς (π.χ. ψυχολογία). H κανονική κατανομή f(x) δίνεται από τη σχέση: f (x) s 1 exp x x i s όπου s η τυπική απόκλιση Χαρακτηρίζεται από τον μέσο όρο και την τυπική απόκλιση x N x i i1 N s N 1 Ε. Κ. Παλούρα, N i1 x x i Τυπική απόκλιση/standard deviation Standard deviation of the sample Δίνει πιο σωστά αποτελέσματα όταν η κατανομή είναι κανονική. Όταν το δείγμα είναι μικρό τείνει να υποεκτιμήσει την τιμή του s s N i1 x x i N Samplestandard deviation (Bessel s correction) Όταν N = 1 το s δεν ορίζεται. Χρησιμοποιείται όταν το δείγμα είναι υποσύνολο ενός μεγαλύτερου συνόλου s N i1 N 1 Ε. Κ. Παλούρα, x x i Ε. Κ. Παλούρα,

19 Φυσική σημασία της τυπικής απόκλισης s Η τυπική απόκλιση s δίνει την ακρίβεια μίας μέτρησης που ανήκει στην κατανομή και είναι μέτρο του εύρους της κατανομής Αυξανομένου του s αυξάνει το εύρος της καμπύλης ή όσο λιγότερο ακριβείς είναι οι μετρήσεις τόσο αυξάνει το s και το εύρος της καμπύλης. Η φυσική σημασία της τυπικής απόκλισης 68.30% των μετρήσεων βρίσκονται εντός των ορίων x s 95.5% των μετρήσεων βρίσκονται εντός των ορίων x s Ε. Κ. Παλούρα, x Ιδιότητες της κανονικής κατανομής Είναι συμμετρική γύρω από το x έχει μέγιστη τιμή στο x τα σημεία καμπής εμφανίζονται στα σημεία xxs Μεταβολή της κατανομής με την τυπική απόκλιση s του συνόλου των μετρήσεων Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

20 Επίσης ορίζονται: 1. Η αβεβαιότητα στον μέσο όρο s x s που μειώνεται αργά αυξανομένου του Ν λόγω της εξάρτησης 1 N Επομένως η μείωση του s x επιτυγχάνεται με βελτίωση της ακρίβειας των μετρήσεων. Το αποτέλεσμα παρατίθεται ως : 3. Το σχετικό σφάλμα στο μέσο όρο: 4. Το ποσοστιαίο σφάλμα: x s x r r% s x x sx 100 x Ε. Κ. Παλούρα, N Ασύμμετρες κατανομές Οι ασύμμετρες κατανομές χαρακτηρίζονται από Τον μέσο όρο (mean) Την επικρατούσα τιμή (mode)μέγιστη συχνότητα εμφάνισης Τον median (διάμεσος) που χωρίζει την καμπύλη σε ίσα εμβαδά. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 0

21 Παράδειγμα: Η ασύμμετρη κατανομή βαθμών σε 3 διαφορετικές τάξεις. Επίδραση της ασυμμετρίας της κατανομής στις τιμές των mode, median, mean. Στην κανονική κατανομή οι τιμές τους συμπίπτουν Ε. Κ. Παλούρα, Γραφικές παραστάσεις Χρησιμοποιούμε γραφικές παραστάσεις διότι: Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων είναι εποπτική Καθιστά ευκολότερη τη διατύπωση του νόμου που διέπει το φαινόμενο Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 1

22 Παράδειγμα: έκταση σύρματος Cu συναρτήσει της μάζας που το εκτείνει Ισχύει ο νόμος του Δx m Δx Hook?(F= kx) m (kg) (mm) (kg) (mm) Μεταβολή μήκου υς (Δx) (mm) Όριο ελαστικότητος?? Μάζα (kg) Ε. Κ. Παλούρα, Γραφικές παραστάσεις Για τις γραφικές παραστάσεις και την προσομοίωση των αποτελεσμάτων προτιμούμε την ευθεία γραμμή διότι: είναι εύκολος ο έλεγχος των αποκλίσεων από τη γραμμική συμπεριφορά είναι εύκολη η προέκταση σε περιοχές τιμών που δεν μετρήθηκαν (interpolation, extrapolation) είναι εύκολος ο προσδιορισμός της κλίσης & της τεταγμένης επί την αρχή, δηλ της εξίσωσης της ευθείας. interpolation extrapolation Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013

23 Εξίσωση ευθείας y a x 0 a 1 Κλίση της ευθείας y y y a0 x x x 1 1 Τεταγμένη επί την αρχή a y y 1 1 y1 x1 x x1 Ε. Κ. Παλούρα, Παρουσίαση αποτελεσμάτων με τη μορφή γραφικών παραστάσεων Σχήμα 1: Γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για το κινητό που εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση 1, 1 0,8 άξονας τεταγμένων ανεξάρτητη μεταβλητή Error barsγραμμές σφάλματος Τυπικό σφάλμα στο Μ.Ο. u (km/min) 0,6 0,4 Πειραματικό σημείο με συντεταγμένες (x,y) 0, 0 Καμπύλη ηy y=f(x) -0, t(min) άξονας τετμημένων ανεξάρτητη μεταβλητή Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 3

24 Διευκρίνιση:Τυπική απόκλιση/standard deviation Standard deviation of the sample Δίνει πιο σωστα αποτελέσματα όταν η κατανομή είναι κανονική. Όταν το δείγμα είναι μικρό τείνει να υποεκτιμήσει την τιμή του s s N i1 x x i N Samplestandard deviation (Bessel s correction) Όταν N = 1 το s δεν ορίζεται. Χρησιμοποιείται όταν το δείγμα είναι υποσύνολο ενός μεγαλύτερου συνόλου s N i1 N 1 Ε. Κ. Παλούρα, x x i Θεωρία ελαχίστων τετραγώνων 1 Linear regression/least square fitting Η θεωρία ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζει την αναλυτική έκφραση της πιο σωστής ευθείας y=a+bx που περιγράφει ομάδα δεδομένων (x i,y i ). Ηκλίση της ευθείας και η τεταγμένη επί την αρχή υπολογίζονται από τους παρακάτω τύπους: xi yi xi xi y A i x i y i x i y B i όπου x i x i Η θεωρία ελαχίστων τετραγώνων Σ (απόσταση σημείου από ευθεία) =ελάχιστο Οι υπολογισμοί γίνονται πολύ εύκολα με Η/Υ Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 4

25 Θεωρία ελαχίστων τετραγώνων Επίσης υπολογίζοντα τα σφάλματα στην τεταγμένη επί την αρχή (σ Α ) και την κλίση (σ Β ) από τις σχέσεις: x A y και B y Το μέτρο της ποιότητας της προσομοίωσης σ y (δηλ. του πόσο απέχουν τα πειραματικά σημεία από την ευθεία) ή συντελεστής αυτοσυσχετισμού ( 1 σ y 1). y 1 N y A Bx i i Ε. Κ. Παλούρα, Οδηγίες για την κατασκευή γραφικών παραστάσεων Ονομασία αξόνων : σύμβολα & μονάδες Η ανεξάρτητη μεταβλητή κατά μήκος του άξονα x και η εξηρτημένη κατά τον y. Κατάλληλη επιλογή περιοχής τιμών που καλύπτει ο κάθε άξονας Ευδιάκριτα σύμβολα Η «καλύτερη ευθεία» ( ευθεία ελαχίστων τετραγώνων) είναι ποιοτική και πρέπει να είναι ομαλή Τα σφάλματα πρέπει να σημειώνονται επάνω στο σχήμα. λάθος λάθος Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 5

26 Μία σωστή γραφική παράσταση Ε. Κ. Παλούρα, Αλλαγή μεταβλητών (ημι)λογαριθμικοί άξονες Στόχος: η μετατροπή των μεταβλητών ώστε η γραφική παράσταση να είναι ευθεία γραμμή (y=a+bx) Όταν το y είναι συνάρτηση δύναμης του 10 ήτουe e (e=.718) τότε χρειάζεται να λογαριθμήσουμε για να μετατρέψουμε τη συνάρτηση (και τη γραφική της παράσταση) σε γραμμική μεταξύ των (logy, x) kx y D10 log( y) log( D) kx kx y De ln( y ) ln( D ) kx ή log y log D kxloge k log y log D x.303 όπου Ε. Κ. Παλούρα, 013 y log(y), x x y ln(y), () x x loge Ε. Κ. Παλούρα, 013 6

27 kx y D10 log( y) log( D) kx y log(y), x x Πόση είναι η κλίση της ευθείας» kx y De ln( y) ln( D) kx y ln(y), x x Πόση είναι η κλίση της ευθείας? log y log D kxloge Πόση είναι η κλίση της ευθείας? ή k log y log D x.303 Ε. Κ. Παλούρα, Χιλιοστομετρικό χαρτί Οι υποδιαιρέσεις κατά μήκος των αξόνων ισαπέχουν. Ορίζουμε την κλίμακα και το μοναδιαίο διάνυσμα ανάλογα με την περιοχή τιμών των x και y. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 7

28 Ημιλογαριθμικό χαρτί Στον λογαριθμικό (log) άξονα οι υποδιαιρέσεις δεν ισαπέχουν Η απόσταση μεταξύ των γραμμών στον log άξονα είναι ανάλογη των λογαρίθμων των αριθμών επομένως τοποθετούμε τις τιμές των y χωρίς να τις λογαριθμίσουμε.. Ο log άξονας επιλέγεται όταν η μεταβλητή παίρνει τιμές σε ευρεία περιοχή τιμών. Ε. Κ. Παλούρα, Ημιλογαριθμικό χαρτί : έχει ένα γραμμικό και έναν λογαριθμικό (log) άξονα Ο log άξονας δεν έχει 0 και οι υποδιαιρέσεις δεν ισαπέχουν Ορίζουμε πρώτα τις περιοχές του log άξονα. Κατόπιν βρίσκουμε τις επί μέρους τιμές Τους άξονες τους βαθμολογούμε ανάλογα με την περιοχή τιμών των δδ δεδομένων χ y Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 8

29 Ημιλογαριθμικό χαρτί Α Παρατηρούμε ότι στην περιοχή Α του γραφήματος οι τιμές του y διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους αλλά στην γραμμική κλίμακα του άξονα y δεν βλέπουμε τις διαφορές. Για να δούμε τις διαφορές θα έπρεπε να αυξήσουμε πολύ το μήκος του άξονα y. Όταν μετατρέψουμε τον άξονα Y σε λογαριθμικό οι διαφορές των y i αναδεικνύονται σαφώς. Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 9

30 Στο λογαριθμικό άξονα τοποθετούμε τις τιμές των y χωρίς να τις λογαριθμήσουμε. Όμως για να υπολογίσουμε την εξίσωση της ευθείας εφαρμόζουμε θεωρία ελαχίστων τετραγώνων στα ζεύγη τιμών (x i, logy i ) Και η κλίση της ευθείας δίνεται από τη σχέση: Ε. Κ. Παλούρα, Λογαριθμικό χαρτί Χρησιμοποιείται όταν τόσο οι τιμές του x όσο και του y μεταβάλλονται σε ευρεία περιοχή τιμών Τους άξονες τους βαθμολογούμε ανάλογα με την περιοχή τιμών των δεδομένων Εκθετική συνάρτησηλογαριθμικό χαρτί Στους λογαριθμικούς άξονες τοποθετούμε τις τιμές των x, y χωρίς να τις λογαριθμήσουμε. n y Cx y log( y) log( C) nlog( x) y = A+ B x log(y), log(x) x Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

31 Παράδειγμα 1 λογαριθμικό χαρτί Λογαριθμίζουμε την εκθετική συνάρτηση & κάνουμε τη γραφική παράσταση σε άξονες log log Εφαρμόζουμε θεωρία ελαχίστων τετραγώνων για logx, logy Η κλίση της ευθείας είναι log y log y 1 log x log x1 Ε. Κ. Παλούρα, Παράδειγμα λογαριθμικό χαρτί X Y Η γραφική παράσταση σε γραμμική κλίμακα δεν μας δίνει καμία πληροφορία για την μορφή της καμπύλης για τις τιμές του x [ ] Μεγάλο εύρος τιμών! log log κλίμακες Y log(y) = * log(x) logy=alogx+b 1 Ε. Κ. Παλούρα, X Ε. Κ. Παλούρα,

32 Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικό χαρτί khz) f(k A(x, logy ) A(x 1, logy 1 ) V (Volt) log y log y ί 1 x x1 Γραφική παράσταση σε λογαριθμικό χαρτί Y B(logx, logy ) A(logx 1, logy 1 ) 1 10 X log y log y ί 1 log x log x1 Ε. Κ. Παλούρα, Μετασχηματισμός αξόνων 1 Ελεύθερη πτώση k s o y = a x + β Κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο 1 t A y = a x + β 0 Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα, 013 3

33 Μετασχηματισμός αξόνων Ε. Κ. Παλούρα, Ευχαριστώ για την προσοχή σας!!! Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,

34 y=ae kx logy=loga+kxloge logyy, xx, a o =kloge=k/.303, a 1 =loga kx y De όπου ln( y) ln( D) kx ή log y log D kxloge 1 loge e.303 k log y log D x.303 Ε. Κ. Παλούρα, Ε. Κ. Παλούρα,