ПРОЕКТИРАЊЕ И РЕАЛИЗАЦИЈА НА ПРЕДВИДУВАЧКИ УПРАВУВАЧ БАЗИРАН НА МОДЕЛ СО МИНИМАКС ОПТИМИЗАЦИЈА

Transcript

1 РЕПУБЛИКА МАКЕДОНИЈА УНИВЕРЗИТЕТ Св. КИРИЛ И МЕТОДИЈ - СКОПЈЕ ФАКУЛТЕТ ЗА ЕЛЕКТРОТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИСКИ ТЕХНОЛОГИИ Горан С. Стојановски ПРОЕКТИРАЊЕ И РЕАЛИЗАЦИЈА НА ПРЕДВИДУВАЧКИ УПРАВУВАЧ БАЗИРАН НА МОДЕЛ СО МИНИМАКС ОПТИМИЗАЦИЈА - МАГИСТЕРСКИ ТРУД Скопје, 2009 година

2 Ментор: Вонр. Проф. Д-р Миле Станковски Универзитет Св. Кирил и Методиј Скопје Факултет за електротехника и информациски технологии Институт за автоматика и системско инженерство Членови на комисијата: Претседател: Проф. Д-р Георги М. Димировски Dogus University, Faculty of Engineering, Department of Computer Engineering Istanbul, R. of Turkey Универзитет Св. Кирил и Методиј Скопје Факултет за електротехника и информациски технологии Институт за автоматика и системско инженерство Проф. Д-р Татјана Колемишевска-Гугуловска Универзитет Св. Кирил и Методиј Скопје Факултет за електротехника и информациски технологии Институт за автоматика и системско инженерство Дата на одбрана: Дата на промоција: Научна област: Автоматика и системско инженерство

3 ГОРАН С. СТОЈАНОВСКИ ПРОЕКТИРАЊЕ И РЕАЛИЗАЦИЈА НА ПРЕДВИДУВАЧКИ УПРАВУВАЧ БАЗИРАН НА МОДЕЛ СО МИНИМАКС ОПТИМИЗАЦИЈА АПСТРАКТ: Науката постојано е во потрага по нови, како и унапредување на постојните техники на автоматско управување кои се користат во индустријата. Точно во индустријата, како најкористена техника за управување во се издвојува управувањето со предвидување на база на модел, па подобрувањата на оваа техника не само што придонесуваат за нејзин теоретски развиток, туку лесно може да се имплементираат на веќе постоечките постројки. Во овој труд е покажано како може да се проектира управувач со предвидување за 20 MW индустриска печка кој ќе користи мин-макс оптимизација за да се справува со нарушувањата. Tука е изложена една аналитичка постапка за проектирање на управувачи и е презентирана една ново изработена алатка за управување со предвидување базирано на модел. КЛУЧНИ ЗБОРОВИ: Управување со предвидување, мин-мах оптимизација, управување со индустриски печки, робустно управување

4 GORAN S. STOJANOVSKI DESIGN AND IMPLEMETATION OF A MODEL PREDICTIVE CONTROLLER USING MIN-MAX OPTIMIZATION ABSTRACT: Every day the science is in search for new techniques, as well as improving the old techniques for automatic control of industry plants. One of the most used control technique in industry is model predictive control, therefor any improvements made on this technique, represent not only theoretical result, but can be easily implemented on the existing plants. In this thesis, it is shown how to design model predictive controller for a 20 MW industrial tunnel furnace, with min-max optimization for direct output disturbances handling. Additionally we present an analytical method for designing model predictive controllers, and one open source tool for easy use of MPC, created as a part of this thesis. KEY WORDS: Model predictive control, min-max optimization, control of industrial furnaces, robust control

5 I. ЛИСТА НА КОРИСТЕНИ КРАТЕНКИ Кратенка Значење на англиски CGPC Continuous-time Generalized Predictive Control Значење на македонски Континуално генерализирано управување со предвидување DMC Dynamic Matrix Control Управување со динамички матрици EPSAC Extended Prediction Self Adaptive Control Само-адаптивно управување со проширено предвидување GPC Generalized Predictive Control Генерализирано управување со предвидување MAC Model Algorithmic Control Модел алгоритамско управување MATLAB Matrix Laboratory - MIMO Multiple Input Multiple Output Повеќе влезови повеќе излези MPC Model Predictive Control Управување со предвидување базирано на модел MPHC Model Predictive Heuristic Control Евристичко управување со предвидување базирано на модел PFC Predictive Functional Control Функционално управување со предвидување SISO Single Input Single Output Еден влез еден излез SQP Sequential Quadratic Programming Секвенцијално квадратно програмирање i

6 II. ЛИСТА НА КОНВЕНЦИИ Ознака ( U, U ) ( u, u ) ( y, y ) N N y Опис на македонски јазик Ограничувања на вредноста на управувачкиот сигнал Ограничувања на максималната брзина на промена на управувачкиот сигнал Ограничувања на вредноста на управуваната величина Почеток на хоризонтот на предвидување Крајна вредност на хоризонтот на предвидување N = N N Должина на хоризонтот на предвидување y N u Хоризонт на управување ( A, B, C, D ) Системски матрици на моделот во простор на состојби J ( ) Функција на цена на управувачот со предвидување y δ λ u W Тежинска матрица на управуваните величини Тежинска матрица на брзината на промена на управувачките величини Тежинска матрица на управувачките величини yˆ( t + k t) Предвидување за вредноста на излезот y во временскиот момент t+k, направено во временски момент t. θ z A( z ) Параметар кој ја претставува несигурноста на моделот на системот Оператор кој воведува временско доцнење од една периода Полином - именител на преносната функција B( z ) h i g i Полином - броител на преносната функција Низа од тежински фактори при импулсен одѕив Низа од тежински фактори при отскочен одѕив ii

7 III. ЛИСТА НА СЛИКИ Слика 2- Генерална поделба на алгоритмите за управување со предвидување... 0 Слика 3- Основната концептуална архитектура за синтеза на управување со предвидување базирано на модел (Clarke и др., 987a, b): идните влезови ги претставуваат управувачките дејства... 5 Слика 3-2 Илустрација на идејата и принципот на управувањето со предвидување базирано на модел (Clarke и др., 987a, b) Слика 3-3 Импулсен и отскочен одѕив... 8 Слика 3-4 Слободен и принуден одѕив Слика 3-5 Избор на референтна траекторија Слика 3-6 Hammerstein и Wiener модел Слика 4- Методологија на проектирање на управувач со предвидување Слика 4-2 Дијаграм на состојби на еден управувач со предвидување Слика 4-3 Софтверска алатка за управување со предвидување Слика 4-4 Панел за избор на модел и внесување на параметри во модел Слика 4-5 Основен панел за внесување на параметри... 6 Слика 4-6 Панели за избор на а) периода, б) број на В/И и в) комуникација Слика 4-7 Панел за внесување на ограничувања Слика 4-8 Панел за преглед на резултатите за време на работата на управувачот Слика 4-9 Работен режим на алатката со грешно внесена периода Слика 5- Погонот за топло преобликување на цевки во профили Слика 5-2 Шема на напојување н печката со флуиди Слика 5-3 Зависност на цврстината на челикот од температурата Слика 5-4 Структурен блок на повеќевеличинскиот систем на гасната печка Слика 5-5 Структурен блок дијаграм на системот при возбуда на првата зона и снимање на одѕивите на трите излеза Слика 5-6 Блок шема на еден од системите за управување на температура по зона... 8 Слика 5-7 Блок дијаграм за едноконтурно управување на температурата... 8 Слика 5-8 Комплетна структура на децентрализираното управување на печката Слика 5-9 Одѕив на системот на единечна отскочна возбуда Слика 5-0 Структурна блок шема на УПБМ Слика 5- Отскочен одѕив на основниот управувач со предвидување базиран на модел Слика 5-2 Облик на управувачкиот сигнал при следење на отскочна функција за секој влез Слика 5-3 Време на смирување при управување со системот на гасна индустриска печка во зависност од предвидувачкиот и управувачкиот хоризонт Слика 5-4 Надвишување на температура при управување со системот на гасна индустриска печка во зависност од предвидувачкиот и управувачкиот хоризонт Слика 5-5 Норма за потрошената енергија при управување со системот на гасна индустриска печка во зависност од предвидувачкиот и управувачкиот хоризонт Слика 5-6 Споредба на перформансите на управувањето со и без ограничувања... 9 iii

8 Слика 5-7 Споредба на управување со предвидување при различни тежински матрици во функцијата на цена Слика 5-8 Облик на управувачките сигнали при управување со предвидување во две конфигурации на тежинските матрици Слика 5-9 Одѕив на респрегнатиот систем при користење на ПИД управувач Слика 5-20 Одѕив на системот при користење на мин-макс УПБМ Слика 5-2 Управување на температура на индустриска печка Слика 5-22 Управувачки сигнали разложени по излезите од системот Слика 5-23 Управување на индустриска печка при дејство на директни нарушувања на излезите Слика 5-24 Вредност на управувачките сигнали при експериментот iv

9 IV. СОДРЖИНА. ВОВЕД ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Анализа на избрани трудови од областа на управување со предвидување базирано на модел ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Идејата на управувањето со предвидување Составни елементи на управувач со предвидување базиран на модел Модел за предвидување Функција на цена Механизам за добивање на управувачкиот сигнал Преглед на најзначајните алгоритми за управување со предвидување Управување со динамички матрици Модел алгоритамско управување Функционално предвидувачко управување Проширено, адаптивно управување со предвидување Генерализирано управување со предвидување Нелинеарно управување со предвидување Преглед на нелинеарно управување со предвидување Управување со предвидување нелинеарни спроти линеарни модели Модели на нелинеарни системи Решение на проблемот на нелинеарно управување со предвидување Робусно управување со предвидување базирано на модел Несигурности на модел на конечен импулсен одѕив Опишување на несигурностите со помош на матрични фракции Глобални несигурности Функција на цена Квадратна функција на цена Норма норма ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ v

10 4.. Проширен модел во просторот на состојби Проектирање на управувач со предвидување Опис на карактеристиките на управувачкиот софтвер Панел за избор на модел на системот Основен панел за внесување на параметри Дополнителни панели за внесување на параметри Панел за внесување на ограничувања на влезовите и излезите Панел за преглед на резултатите Работен режим на софтверот за управување со предвидување Вредност и влијание на алатката за управување со предвидување базирано на модел ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА Инженерско технички опис на 20MW индустриска печка Погонот за производство на топло валани профили Технички опис Функционирање на печката Барања, ограничувања и критериуми за работниот режим за печката Процес на загревање на цевки, барања и ограничувања за температурата на загревање Барања и ограничувања во врска со процесот на запалување и загревање на печката Експериментална идентификација на моделот на индустриска печка Детерминистичка идентификација Класично управување на индустриската печка Проектирање на управувач со предвидување базиран на модел за индустриска печка Проектирање на основниот управувач со предвидување базиран на модел за моделот на индустриска печка Избор на должина на хоризонтот на управување и предвидување Модел со глобални несигурности и ограничувања Минимакс алгоритам за управување со предвидување Споредба со други конвенционални начини на управување ЗАКЛУЧОК И МОЖНОСТ ЗА ИДНИ ИСТРАЖУВАЊА КОРИСТЕНА ЛИТЕРАТУРА vi

11 8. ПРИЛОГ Прилог А Прилог Б Прилог В Прилог Г Прилог Д vii

12 ГЛАВА ВОВЕД. ВОВЕД Силната конкуренција на светските пазари има потреба од производи со врвен квалитет за што помала цена. Секоја компанија која излегува на светскиот пазар со своите производи тежнее кон тоа да работи што е можно поекономично. Економичноста најмногу се постигнува со намалување на трошоците на производство во кои добар дал зазема потрошената енергија. Во индустриските производни погони во кои се застапени топлинските процеси, најголем дел од трошоците на производство се издатоците за енергија која се троши во топлинските постројки. Во најчест случај такви постројки се индустриските печки кои вообичаено работат на нафта, мазут, природен гас или на пропан-бутан гас. Со воведување на современи системи и методи на автоматско управување со индустриските печки се зголемува нивната ефективност, намалувајќи ја потрошувачката на енергија, а со тоа и цената на производите, што повлекува и поголема конкуренција на светските пазари. Квалитетот на производите исто така е многу значаен фактор за нивната конкурентна способност на пазарот. Квалитетот на производите третирани во топлинските постројки во најголема мерка зависи од начинот на третман и варијациите на температурата која е пропишана со технологијата на производство. Големи варијации предизвикуваат неизедначеност во квалитетот, дури и појава на големи количини на отпад. Заради тоа воведувањето на посовремени системи на управување во постројките и усовршување на управувачките системи, алгоритми и модели во постојните има големо оправдување. Во овој труд е презентирано решeние на двете претходно поставени прашања:. подобрување на квалитетот на производите и 2. зголемување на економичноста во работењето со намалувањето на потрошувачката на енергија преку воведување на поусовршено автоматско управување. Овие модели и алгоритми за управување со предвидување се применливи како при градба на нови постројки така и за надградување и модернизирање на веќе постоечките. Овој магистерски труд е организиран во 6 глави. На почетокот е направен преглед на достигнувања во областа на управувањето со предвидување базирано на модел (УПБМ). Прегледот опфаќа избор од значајни објавени трудови во оваа област и краток преглед на индустриските апликации кои користат алгоритми за управување со предвидување базирано на модел. Потоа, во третата глава е објаснета структурата на линеарните и нелинеарните управувачи со предвидување и нивните составни делови. И покрај тоа што основната идеја за алгоритмите за управување со предвидување е иста, постојат разлики во

13 ГЛАВА ВОВЕД зависност од изборот на моделот на системот, функцијата на цена, нарушувањата на системот и слично. Во четвртото поглавје е презентирана методологија за градење на управувач со предвидување базиран на модел и е прикажана една практична реализација на ваков управувач, при што постапката е систематизирана и детално објаснета. Управувачот кој е проектиран во оваа магистерска теза може да се употребува за управување со реални индустриски процеси, за кои има познат модел. Во петтото поглавје е презентирана една напредна техника во алгоритмите за управување со предвидување - мин-мах оптимизацијата на функцијата на цена. Овој алгоритам е применет над сложена индустриска печка со три влезови и три излези. Резултатите добиени од управувањето со предвидување на база на модел, со користење на мин-мах оптимизација се споредени со резултати од класичен ПИД управувач кој користи распрегнување за да ги елиминира непосакуваните влијанија помеѓу влезовите и излезите. При анализата, особено внимание се посветува на потрошувачката на енергија на печката. Во последната глава е презентиран заклучокот од овој магистерски труд, како и предлог насоки во кои треба да се движат идните истражувања на оваа област. Голем дел од програмскиот код кој е искористен за проектирање на овие управувачи е презентиран во прилозите, на крај од овој труд. Таму јасно се гледа реализацијата на алгоритмите во програмскиот пакет MATLAB. 2

14 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ 2. ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Управувањето со предвидување базирано на модел (анг. Model Predictive Control - MPC) за прв пат се појавило на крајот на седумдесеттите години од минатиот век (Cutler и Remaker 979, 980; Richalet и др. 978) и до сега на ова поле е постигнат значителен напредок. Во последните неколку декади сме сведоци на големиот развој на теоријата на управување и управувачките алгоритми. Сепак секој од овие алгоритми си го наоѓа своето место во зависност од неговите карактеристики, па некои се употребуваат повеќе од другите. Првите теории за управување со предвидување датираат во раните шеесетти години од минатиот век, сепак првите имплементации на управувачки алгоритми со предвидување се случуваат во осумдесеттите години после објавувањето на првите трудови за управување со динамички матрици (анг. Dynamic Matrix Control - DMC) (Cutler и Remaker 979, 980) и потоа, објавувањето на првото детално излагање за генерализираното управување со предвидување (анг. Generalized Predictive Control - GPC) (Clarke и др. 987a, b; Clarke и Mohtadi 989). И покрај тоа што денес се класифицирани во иста подгрупа на управувачки алгоритми, целите кои биле разгледувани при развивањето на овие алгоритми се сосема различни. Управување со динамички матрици е проектирано за да може да се справува со комплексните повеќевеличински модели со структурни ограничувања, кои најчесто се користат за моделирање на процеси во нафтената и хемиската индустрија. Пред да биде воведен овој алгоритам, управувањето на овие постројки се правело со помош на управувачи во затворена јамка комбинирани со распрегнувачи, компензатори на временски доцнења и слично. Работата на овој управувач се базира на конечен импулсен одѕив (анг. Finite Impulse Response - FIR), кој лесно може да се добие без никакви познавања за моделот на постројката. Од друга страна целта на генерализираното управување со предвидување е да се реализира адаптивно управување кое ќе дава подобри резултати од дотогаш познатите алгоритми со посебен осврт на стохастичките процеси и можните нарушувања на системот. Сепак, главната теоретска основа која се наоѓа зад овие два различни начини на управување со предвидување е еднаква да се оптимизира управувањето со постројката во иднина преку итеративно симулирање на нејзиното однесување на моделот на системот кој го користиме. Во првиот случај тоа е модел на конечен импулсен одѕив, а во вториот случај тоа е одѕив на отскочна возбуда. 3

15 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Управувањето со предвидување базирано на модел претставува збир од управувачки алгоритми кои го искористуваат знаењето за моделот на системот на тој начин што управувачот го предвидува излезот од системот. При секој управувачки интервал управувачот со предвидување се обидува да даде низа од управувачки дејства, кој во иднина ќе произведе оптимално однесување на излезот од системот врз основа на одредени критериуми за перформанси. Изворно, управувањето со предвидување е проектирано со цел да се реши проблемот на управување кај електрични централи и рафинерии, сепак, со текот на развојот на технологијата, а пред се на процесирачката моќ на компјутерите, денес управувањето со предвидување се користи во сите области каде се преминува компјутерска технологија. Оваа управувачка методологија, најчесто се користи во индустријата за преработка на храна, петро-хемиската индустрија, автоматизацијата на процеси и постројки и управувањето на летала. Суштината на управувањето со предвидување на база на модел се состои во оптимизацијата на однесувањето на постројката во иднина, во однос на управувачкиот сигнал. Во продолжение, покрај името управување со предвидување ќе се користи и кратенката УПБМ, која значи управување со предвидување базирано на модел. Користењето на линеарни, нелинеарни, хибридни и модели со временско доцнење е мотивирана од потребата да се подобри квалитетот на предвидувањето на влезовите и излезите (Allgöwer и др. 999; Zhao 200; Jing и Dimirovski 2006). Алгоритмите за нелинеарно управување со предвидување не користат специфични техники на управување, туку ги користат методите развиени за линеарните алгоритми за УПБМ, што претставува оптимизација на функцијата на цел, која најчесто подлежи на одредени ограничувања (Ansari и Tade 2000; Scales 985). Разликата помеѓу линеарните и нелинеарните алгоритми за УПБМ е во тоа што вторите користат нелинеарен модел на процесот за предвидување на неговото однесување. Сепак, линеарните дискретно временски модели сеуште се најраспространети во пракса (Camacho и Bordons 2004; Brosilow и Joseph; Maciejowski 2002), најчесто во апликации на управувачи во енергетиката (Marlin 2000; Meadows и Rawlings 997; Ogata 2002). Управувањето со предвидување базирано на модел е успешно применето на индустриски процеси, бидејќи управувачкиот и економскиот критериум можат да бидат вгнездени во една функција на цена, која ќе се користи за пресметување на вредноста на управувачкото дејство (Richalet 993). Главните предности на УПБМ (De Kayser 99, De Prada и Valentin 996) се презентирани во продолжение: - Едноставно справување со повеќевеличински системи; - За да се компензираат мерените* нарушувања доволно е управување во отворена јамка; * Под мерено нарушување подразбираме некој пречен сигнал, кој делува на системот, а неговото влијание може да се претстави во моделот на системот. Интензитетот на ова нарушување може да се измери со помош на сензор и тој податок треба соодветно да се искористи како влезен сигнал во моделот на системот. 4

16 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ - Динамичките процеси кои во својата структура имаат големи времиња на доцнење, имаат не-минимална фаза или пак се нестабилни, можат успешно да се управуваат; - Ограничувањата се вклучени во самата природа на управувачот. 2.. Анализа на избрани трудови од областа на управување со предвидување базирано на модел Пред триесет години, поточно во 978 година, Richalet и др. го презентираа алгоритамот за евристичко управување со предвидување базирано на модел (model predictive heuristic control - MPHC) или модел алгоритамско управување (анг. model algorithmic control - MAC). Само две години подоцна, Cutler и Ramaker (980), го предложија алгоритамот за управување со динамички матрици (анг. dynamic matrix control - DMC). Во двата алгоритми се користи модел на процесот (добиен со одѕивот на процесот) за да се предвиди неговото однесување. Управувачкото дејство се добива со минимизација на грешката во предвидување, при дадените ограничувања на процесот. Следниот чекор го направил Ydstie (984), кога го предложил алгоритамот за адаптивно управување со проширен хоризонт (анг. extended horizon adaptive control - EHAC). Овој метод се обидува да ги задржи вредностите на излезите блиску до референтните точки после времето на доцнење на процесот и дозволува примена на различни стратегии. Потоа De Keyser и Van Cuawenberghe (985) го предлагаат алгоритамот за само-адаптивно управување со проширено предвидување (анг. extended prediction self-adaptive control - EPSAC). Овој алгоритам претпоставува дека управувачкиот сигнал останува константен од временскиот момент t па натаму. Campo и Morari (987) и Alwright (994) го надградиле концептот на управување со предвидување преку внесување на несигурности во моделите. Главната цел на овие алгоритми е оптимизација на функцијата на цел за најнеповолните ситуации на несигурните параметри во моделот. Во 987 година Clarke и др. (987a, b) го предлагаат алгоритамот генерализирано управување со предвидување (скратено - ГУП) во два дела. Управувачот е заснован на квадратна функција на цена, која ја вклучува грешката во предвидувањето и идната управувачка енергија. Овој алгоритам овозможува управување со нестабилни постројки и променливи временски доцнења, при што покажува подобри резултати во однос на управувачите со генерализирана минимална варијанса и управувачи со нагодување на полови. Како што споменавме претходно, алгоритмите за управување со предвидување овозможуваат едноставно инкорпорирање на ограничувањата, дури и во случај на повеќевеличински системи (Garcia и др. 989). Garcia и Morshedi (986) предложиле квадратно решение за DMC алгоритамот во присуство на ограничувања. Во 988, GPC алгоритамот беше презентиран од страна на Tsang и Clarke (988) каде што се инкорпорирани ограничувања на управувачкиот сигнал за две периоди на земање на примероци. Camacho (993) решил сличен проблем со ограничувања на 5

17 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ управувачкиот сигнал и управуваните излези. Во овој случај, со цел да се намали времето потребно за извршување на пресметките, решението се добива со претворање на проблемот на квадратна оптимизација во проблем на линеарна оптимизација. De Madrid и др (994) предлагаат користење на динамичко програмирање со цел да се намали времето потребно за извршување на алгоритамот. Zafirou (990) година прави придонес во областа на управување со предвидување со проектирање на управувач за повеќевеличински хемиски процеси со тврди ограничувања. Веднаш после него, Camacho и Quero (99) предложиле едноставен алгоритам за адаптивен GPC управувач за индустриски процеси. Предложениот управувач е заснован на модел на системот од прв ред и како резултат на тоа е поедноставена пресметката на управувачко дејство. Понатаму, Demircioglu и Clarke (992) предлагаат континуален глобален управувач со предвидување (continuoustime general predictive control - CGPC) кој гарантира стабилизација на процесот, додека Mosca и Zhang (992) предлагаат стабилен алгоритам за управување со предвидување. Во смисла на затворени системи со управувач со предвидување, Hashimoto и др. (988) презентираат услови за стабилност за повеќевеличински системи. Gyu Byun и Hyun Kwon (988) ги изведуваат условите за стабилност на алгоритмите EHAC и GPC. Во 993 година, Rawlings и Muske (993) заклучиле дека доколку може да се добие решение за проблем на управување со предвидување во присуство на ограничувања, тогаш системот со повратна врска ќе биде стабилен. Потоа Rossiter и др. (995), ги презентираат потребните и доволните услови за стабилност на системот при присуство на ограничувања. Во истиот труд, тие предлагаат GPC алгоритам за работа во присуство на ограничувања и нарушувања. Следната година Boucher и др. (996) предлагаат унифицирана процедура за GPC алгоритамот со ограничувања од типот на равенства и неравенства, базиран на квадратно програмирање. Подоцна, презентиран е метод за решавање на GPC алгоритамот во случај на ограничувања за кои не може да се најдат решенија во конечно време, за повеќевеличински системи од страна на Alvarez и De Prada (997). Неизбежно е да се забележи дека оваа област е се уште атрактивна за нови истражувања. Овие области најчесто се однесуваат на примена на алгоритмите за управување со предвидување во присуство на ограничувања така што процесот ќе се оптимизира со цел да се постигне поголема продуктивност, да се зголеми квалитетот на производите и да се намалат цените. На пример, развиен е систем за економична оптимизација кој се користи за пресметување на оптималните траектории на ниво на регулирање и надгледување (Cipriano и др. 995). Алгоритамот работи според методите за управување со предвидување. Понатамошните истражувања се дадени од страна на Munoz и Cipriano (999) кои објасниле една еконономична оптимална управувачка стратегија, која вклучува оперативни ограничувања на варијаблите. Оваа управувачка стратегија се состои од две ниво: ниво на регулација засновано на повеќевеличински управувачи со предвидување и глобален економичен оптимизатор гој ги генерира референтните вредности за управувачите. На сличен начин, De Prada и Valentin (996) опишале 6

18 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ управувачка стратегија со предлагање на економична функција на цена со која се пресметуваат вредностите на управувачкото дејство на постројка за преработка на шеќер. Неколку публикации појавени во последниве години детално се осврнуваат на управувањето со предвидување и презентираат добра теоретска основа за запознавање со овој метод на управување. Исто така во последните изданија се претставени голем број на техники на практична имплементација на управувач со предвидување, како и справување со проблемите кои можат да настанат при овој процес. Rawlings, 2000, напишал еден од најкомплетните воведни трудови во областа на управувањето со предвидување базирано на модел. Сепак доколку сакаме да зборуваме за покомплетен преглед на управувањето со предвидување на нелинеарни системи и проценување на поместувачкиот хоризонт, најдобро е да се осврнеме на публикацијата Allgöwer и др. (999), каде е презентиран и развојот на теоријата на управувањето со предвидување, како и техники за нумеричко решавање на овие проблеми. Уште една публикација, Mayne и др. (2000), но во овој случај, со посебен осврт кон однесувањето на управувањето со предвидување во затворена јамка. Се разбира, постојат и други значајни прегледни трудови на достигнувања во областа на управување со предвидување базирано на модел (Garcia и др. 989; Marlin 2000; Meadows и Rawlings 997; Rawlings 2000, Rawlings и др. 994). Управувањето со предвидување ја доживува својата експанзија во деведесеттите години и уште повеќе во последниве десет години, за што зборуваат и бројните публикации на трудови и книги од оваа област (Agachi и др. 2005; Allgöwer и Zheng 2000; Camacho и Bordons 2004; Kwon и Han 2005; Maciejowski 2002). Со зголемувањето на литературата се зголемува и бројот на апликации во кои се користат алгоритми за управување со предвидување, па како се приспособува овој концепт за конкретен проблем, така произлегуваат и нови, модифицирани верзии на управувањето со предвидување базирано на модел. Во последниве години, профилот на апликации на кои се имплементира управување со предвидување, драстично се промени, исто како што се промени и бројот на публикувани трудови од оваа област. За илустрација можеме да ги земеме работилниците на кои се дискутира за управувањето со предвидување. На работилницата одржана во 998 година, во Аскона, со наслов Работилница за нелинеарно управување со предвидување, под водство на Frank Allgöwer и Alex Zheng, преовладува управувањето на индустриските процеси со помош на предвидувачки алгоритми. Од друга страна, на Интернационална работилница за вреднување и идни истражувања на нелинеарното управување со предвидување, која се одржа во 2008 година во Павиа, Италија, под водство на Lalo Magni, Davide Raimondo и Frank Allgöwer, управувањето на индустриските процеси е значително намалено и сега преовладуваат нови проблеми. Доколку направиме преглед на објавените трудови на познатите светски конференции кои во својот наслов имаат управување со предвидување на база на модел ќе забележиме значителен раст во последниве години. Само фактот дека четири од десетте најцитирани трудови во списанието Automatica, во издание на 7

19 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ издавачката куќа Elsavier, се од областа на управување со предвидување (Списокот е претставен со Табела, а трудовите од областа на управување со предвидување се со реден број 2, 3, 6 и 9), го истакнува значајното место што тоа го зазема во светот на управувачките алгоритми. Табела Преглед на најмногу цитирани трудови во списанието Automatica Ред. Бр. Број на цитирања Наслов, издание, страници. 26 Modeling by shortest data description, Volume 4, Issue 5, 978, Pp Constrained model predictive control: Stability and optimality, Volume 36, Issue 6, 2000, Pp Generalized predictive control-part I. The basic algorithm, Volume 23, Issue 2, 987, Pp Fault diagnosis in dynamic systems using analytical and knowledge-based redundancy. A survey and some new results, Volume 26, Issue 3, 990, Pp A survey of models, analysis tools and compensation methods for the control of machines with friction, Volume 30, Issue 7, 994, Pp Model predictive control: Theory and practice-a survey, Volume 25, Issue 3, 989, Pp Neural networks for control systems - A survey, Volume 28, Issue 6, 992, Pp Process fault detection based on modeling and estimation methods-a survey, Volume 20, Issue 4, 984, Pp Control of systems integrating logic, dynamics, and constraints, Volume 35, Issue 3, 999, Pp All controllers for the general control problem: LMI existence conditions and state space formulas, Volume 30, Issue 8, 994, Pp Rissanen, J. Автори Mayne, D.Q., Rawlings, J.B., Rao, C.V., Scokaert, P.O.M. Clarke, D.W., Mohtadi, C., Tuffs, P.S. Frank, P.M. Armstrong-Hélouvry, B., Dupont, P., De Wit, C.C. García, C.E., Prett, D.M., Morari, M. Hunt, K.J., Sbarbaro, D., Zbikowski, R., Gawthrop, P.J. Isermann, R. Bemporad, A., Morari, M. Iwasaki, T., Skelton, R.E. Доколку направиме пребарување на познатите конференции од областа на системите на управување со различни клучни зборови не неколку референтни конференции и издавачи се добиваат резултатите прикажани во Табела 2. Важно е да 8

20 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ се наспомене дека првите шест резултати кои се однесуваат на IFAC PAPERS online, Science Direct и SCIRUS претставуваат интернет пребарувања на бази од податоци во кои има голем број на трудови од различни конференции и списанија (на пример во IFAC PAPERS online се наоѓаат сите трудови кои се презентирани на конференции или објавени во списанија под спонзорство на IFAC или некоја од неговите членки). Во интернет базата SCIRUS, вклучени се и резултатите од Science Direct, како и од некои други извори. Вторите осум резултати се добиени со пребарување на материјали на дадените конференции. Соодветно и добиените резултати со овие пребарувања се значително помали во однос на резултатите од интернет базите. За илустрација на American Control Conference 2006 вкупно биле презентирани 022 трудови, па бројот на трудови кои во својот наслов содржат управување со предвидување базирано на модел, претставува 8,9% од вкупниот број на презентирани трудови на конференцијата. Табела 2 Резултати од пребарување по клучните зборови во областа на управувањето со предвидување Извор Клучен збор Резултати IFAC PAPERS online Model Predictive Control 8,562 IFAC PAPERS online MPC 242 Science Direct Model Predictive Control 40,863 Science Direct MPC,73 SCIRUS Model Predictive Control 562,655 SCIRUS MPC 338,276 6 th IFAC World Congress Model Predictive Control 52 6 th IFAC World Congress MPC 22 7 th IFAC World Congress Model Predictive Control th IFAC World Congress MPC 80 American Control Conference 2006 Model Predictive Control 9 American Control Conference 2006 MPC th IEEE Conference on Decision and Control th IEEE Conference on Decision and Control 2007 Model Predictive Control 7 MPC 56 Во денешно време алгоритмите за управување со предвидување ги делиме на две основни подгрупи ) линеарно управување со предвидување и 2) нелинеарно управување со предвидување. Една подетална поделба е прикажана на Слика 2-. Подетално објаснување на истата се наоѓа во Tatjewski и Lawrynczuk (2006). Кога имаме случај на линеарно управување со предвидување основното решение на проблемот се добива со помош на линеарен квадратен регулатор (анг. Linear Quadratic Regulator - LQR). Според тоа оптималната управувачка низа за дадениот 9

21 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ процес се добива со воведување на линеарна повратна врска по состојбите на системот. Вредностите на ова засилување може да се добијат како решение на алгебарската Рикатиева равенка. Ваквото решение ни гарантира стабилно управување во затворена јамка. Сепак, со воведување на ограничувања проблемот станува премногу сложен за имплементација во реално време. Во овој случај се воведува конечен хоризонт на предвидување и конечен хоризонт на управување, наместо бесконечни хоризонти, со што решението на проблемот станува достапно во реално време. Слика 2- Генерална поделба на алгоритмите за управување со предвидување Како главни теми за дискусија и истражувања во областа на линеарното управување со предвидување се јавуваат можноста за наоѓање на решение на алгоритамот за оптимизација; проблемот на утврдување на зависноста за тоа кога низата од пресметани управувачки дејства ја гарантира стабилноста на системот во затворена јамка; и прашањето каков ќе биде излезот од системот доколку на него се применат решенијата од оптимизацијата на системот во затворена јамка. Доколку проблемот поставен за оптимизација не може да се реши, управувачот ќе престане да добива нови вредности, што е недозволиво. Наједноставно решение на овој проблем е така нареченото омекнување на ограничувањата, при што доколку алгоритамот не може да најде решение со егзактните ограничувања, може да ги наруши во одредени граници. Сепак ова решение не е најдобро бидејќи со воведувањето на меки ограничувања, оптимизацијата може да ги пречекори тврдите и во случај кога постои решение. Втората тема од интерес во оваа област е стабилноста, при што се уште не може да докаже при каков влезен сигнал затворениот систем е стабилен, па голем дел од истражувањата се посветуваат на докажување на тоа под кои услови, оптимизацијата на управувањето со предвидување ни гарантира стабилно однесување на затворениот систем. 0

22 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Третата тема на која се уште се истражува кај линеарното управување со предвидување е испитувањата на стабилноста на системот, доколку на него се примени целата низа од управувачки сигнали добиена со алгоритамот за оптимизација, бидејќи при нормална работа ние пресметуваме вредности за управувачкото дејство над цел управувачки хоризонт, ја применуваме само првата вредност, а потоа ги повторуваме пресметките. Во случај кога имаме бесконечен хоризонт, вредностите за управувачкото дејство не треба да се разликуваат помеѓу пресметките, сепак во реалноста мора да избереме конечна големина на хоризонт. Последните истражувања зборуваат за тоа дека доколку земеме предвидувачки хоризонт кој е многу поголем во однос на управувачкиот, се избегнува појавата на т.н. краткорочна управувачка политика. Кога имаме случај на нелинеарно управување со предвидување, структурата на проблемот останува иста само што сега линеарниот модел на системот се заменува со нелинеарен. Доколку за линеарните управувачи кажавме дека главни прашања и теми за истражување се решливоста на проблемот на оптимизација, стабилноста на затворениот систем и разликите помеѓу симулациите во отворена јамка и однесувањето на затворениот систем, кај нелинеарните системи, во овие подрачја се направени само почетни истражувања. Дополнително, при работа со нелинеарни модели не може да се најде нумеричко решение доколку користиме бесконечен хоризонт. Дополнително решавањето на проблемот со конечен хоризонт е многу скапо и бара од нас да ја намалиме бројката на идни состојби кои ги оптимизираме за да може да се добие резултат во реално време. И покрај тоа што во областа на нелинеарно управување со предвидување се направени истражување на неколку методи, единствена која денес реално наоѓа примена во индустријата е методата со линеаризација на нелинеарниот модел. Инженерите кои се занимаваат со автоматско управување со предвидување се повеќе истражуваат во областите со нелинеарни модели и се обидуваат да добијат задоволителни резултати без линеаризација, но засега тоа единствено успева на одредени лабораториски примери и се уште не е развиено до таа мерка за да се применува на реални проблеми. Се разбира, независно од претходната поделба постои уште една област во која истражувањата во управувањето со предвидување се актуелни. Тоа е робустноста на управувачите со предвидување. Знаејќи дека овие управувачи се засновани на точен модел на системот, промена на некоја карактеристика на системот, и во општ случај моделот на системот, ќе резултира со грешки во управувањето. Робустноста на овие управувачи треба да обезбеди тие да реализираат стабилно управување во одредени граници околу моделот кој се користи во управувачот. Најчесто кога се користи зборот робустен се мисли на најлошото (нај неквалитетното) однесување на системот кое може да се случи под дејство на една поворка од управувачки сигнали. Покрај тоа што во последните години значително се развила теоријата за управувањето со предвидување, паралелно со тој раст во последниве години развиени се голем број на индустриски апликации, поточно софтвер за управување

23 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ на индустриски процеси. Впрочем доколку немало индустриска побарувачка за овој тип на управувачки алгоритми, сигурно и дека нивното брзо развивање би било дискутабилно. Бројот на индустриски апликации на управувачите со предвидување во 997 година изнесувал 2200, а оваа бројка растела со голема брзина (Qin и Badgwell 997). Во ова време повеќе од половина од постоечките апликации биле во полето на петро-хемиската индустрија и рафинериите. Тука може да се наведе дека производството на нафта во САД од 980 до 2000 г. се зголемило за околу 20% иако бројот на нафтени копови е намален за околу 40%. Табела 3 Преглед на индустриски предвидувачки управувачи кои се користат КОМПАНИЈА ИМЕ НА ПРОИЗВОДОТ ОПИС Aspen Tech DMC Dynamic Matrix Control Adersa IDCOM Identification and Command HIECON PFC Hierarchical Constraint Control Predictive Functional Control Honeywell Profimatics RMPCT Robust Model Predictive Control Technology PCT Predictive Control Technology Setpoint Inc. SMCA Setpoint Multivariable Control Architecture IDCOM-M Multivariable Treiber Controls OPC Optimum Predictive Control Shell Global SMOC-II Shell Multivariable Optimizing Control ABB Pavillion Technologies Inc. 3dMPC PP Process Perfecter Simulation Sciences Connoisseur Control and Identification Package Како што е детално објаснето од Muske и Rawlings (993), постоечките алгоритми за управување со предвидување кои се користат во индустријата имаат одредени ограничување, од кои најзначајните се: Голем број на параметри во моделот: Најголем број од комерцијалните производи го користат импулсниот или отскочниот одѕив за модел на системот. На пример доколку сакаме да претставиме процес од прв ред, со помош на преносна функција, потребни ни се само три параметри (засилување, временска константа и време на доцнење), од друга страна, за да го претставиме овој систем преку моделот со отскочен одѕив, потребни се повеќе од 30 параметри за да се опише истата динамика. Нагодување на параметрите: Процедурата за нагодување на управувачот не е јасно дефинирана, бидејќи се уште не е разјаснето каква 2

24 ГЛАВА 2 ПРЕГЛЕД НА ДОСТИГНУВАЊАТА ВО ОБЛАСТА НА УПРАВУВАЊЕТО СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ е точната зависност помеѓу нагодувањето на параметрите и однесувањето на системот во затворена јамка. Ова важи уште повеќе во случај кога имаме систем со ограничувања. Точно заради ова пред употреба на овие управувачи се троши голем дел од времето на симулирање на системот кој го управуваме. Можноста за системот на најде решение во конечно време, се уште претставува една од најпредизвикувачките точки во областа на предвидувачко управување. Под-оптималност на динамичката оптимизација: Голем дел од комерцијалните управувачи со предвидување, за да го забрзаат времето на решавање, нудат под-оптимални решенија на минимизирањето на функцијата на цена. Ова може да се оправда при работа со процеси со брза динамика, каде решението и не може да се добие во конечно време (конкретно, тоа е времето помеѓу две управувачки дејства времето на земање на примероци на системот), но за апликациите при управување со процеси е неприфатливо освен во случај кога би се докажало дека подоптималното решение секогаш дава резултати блиски до оптималното. Несигурност на моделот: И покрај тоа што алатките за идентификација на системите обезбедуваат процени на несигурноста на моделот, само еден од претходно наведените производи (RMPCT) ги користи овие информации при пресметување на управувачкото дејство. Кај другите управувачи, доколку сакаме да се зголеми робустноста, треба соодветно да се нагодат, иако се уште не е доволно позната зависноста помеѓу перформансите на управувачот и неговата робустност. Претпоставка на постојано нарушување: Во моментов можеби и нема подобро решение од тоа да претпоставиме дека надворешните нарушувања во иднина ќе останат константни, сепак, доколку успееме да го моделираме нарушувањето, секако дека би добиле значително подобри резултати. Технологијата постојано се менува и напредува, па на овие проблеми постојано се работи и се пронаоѓаат нови и подобри решенија. Преглед на досега направеното во областа на имплементација на управувањето со предвидување може да се пронајде во Ohshima и др. (995), и Qin и Badgwell (997, 2000, 2003). Следната генерација на проблеми сигурно ќе биде покомплексна и поголема. Како отворени теми за дискусија се уште претставуваат идентификацијата на процесните системи, проценувањето и предвидувањето на немерените нарушувања, систематското разгледување на грешката при моделирање (која сега не се разгледува) и несигурноста на параметрите. Во краен случај, мораме да наведеме дека скоро сите досегашни реални имплементации на управување со предвидување се остварени базирано на линеарен модел на систем, па во иднина останува можност за истражување на една сосем отворена, а и тоа како предизвикувачка и корисна гранка управување со предвидување базирано на нелинеарен модел на систем. 3

25 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА 3. ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Во ова поглавје се претставени теоретските основи на управувањето со предвидување базирано на модел, како и дел од комерцијално најупотребуваните алгоритми. Сепак, на почеток мора да се претстави идејата која е основен мотив на управувањето со предвидување, од каде ќе произлезат основните елементи на еден ваков управувачки систем, како и нивната меѓусебна поврзаност. 3.. Идејата на управувањето со предвидување Управувањето со предвидување базирано на модел (види Слика 3-), според првичните идеи на Campo и Morari (987); Clarke и др. (987 a, b, 989), Cutler и Ramaker (980); De Kayser и Cauwenberghe (985); Richalet и др. (978), концептуално мора да ги содржи следниве елементи: - Математички модел на процесот, кој се користи за да се предвидува однесувањето на управуваните променливи за време на хоризонтот на предвидување; - Дефинирани идни референтни траектории за секој управуван излез; - Множеството од управувачки сигнали се пресметува со оптимизирање на функцијата на цена во однос на грешката и вредностите на управувачкиот сигнал.; - Мора да се направат претпоставки за структурата на управувачкиот сигнал (на пример дека тој ќе биде константен од завршувањето на управувачкиот хоризонт па се до крајот на предвидувачкиот хоризонт); - Се користи концептот на поместувачки хоризонт; ова значи дека од пресметаните вредности за управувачките дејства се аплицира само првата во дадениот временски момент. Потоа и предвидувачкиот и управувачкиот хоризонт се поместуваат за една позиција на напред. 4

26 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Слика 3- Основната концептуална архитектура за синтеза на управување со предвидување базирано на модел (Clarke и др., 987a, b): идните влезови ги претставуваат управувачките дејства Понатаму, како што е илустрирано на Слика 3-2, режимот на работа на управувач со предвидување базиран на модел се состои од следниве чекори (Camacho и Bordons 2004): - Вредностите на излезите на хоризонтот на предвидување N y се предвидуваат во секој временски момент t со користење на моделот на процесот. Овие предвидени излези y ˆ( t + j) се пресметуваат врз основа на познатите вредности за претходните влезови и излези, до временскиот момент t и од управувачките сигнали кои ќе се применат во иднина u ( t + j), за време на траење на управувачкиот хоризонт N u ; - Идните управувачки сигнали u ( t + j) се пресметуваат со оптимизација на даден критериум кој обезбедува процесот да се донесе најблиску што може до референтната траекторија. Овој критериум најчесто има форма на квадратна функција од грешката помеѓу предвидените излези и референтната траекторија. Во многу случаи во функцијата на цел се вклучени и управувачките величини.; - Управувачкиот сигнал u (t) е применет на процесот. Потоа, во следниот момент на земање на примероци t +, вредностите за сите мерени излези од процесот се познати до тој момент t +, а познати се и вредностите на управувачките сигнали до моментот t. Како што претходно објаснивме управувањето со предвидување во суштина претставува повторлива (итеративна) оптимизација на модел на постројката над конечен временски хоризонт. Во даден временски момент t, се зема примерок од излезите на постројката (величините кои сакаме да ги управуваме), потоа се пресметува за кое управувачко дејство функцијата на цена има минимална вредност 5

27 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА (со помош на нумерички алгоритам за минимизација), за конечен временски хоризонт [t,t + T]. Вообичаено се користи брз, реално временски математички механизам (најчесто како Ојлер-Лагранжова равенка), за да се пресмета управувачкото дејство кое ќе резултира со потребната, минимална функција на цена до временскиот момент t + T. И покрај тоа што може да се пресметуваат поголем број на управувачки дејства, секогаш го применуваме само првото, по што, повторно се зема примерок од излезите на постројката и целиот процес се повторува, но сега хоризонтот на предвидување се поместува за една периода на семплирање нанапред. Бидејќи хоризонтот на предвидување се поместува при секој чекор на управувањето со предвидување, тоа уште се вика и управување со поместувачки хоризонт (Receding Horizon Control RHC). Се разбира дека овој алгоритам на управување не спаѓа во оптимално управување, и во однос на ова прашање тој се одделил од почетната замисла при управувањето со предвидување, но тоа не претставува никаков проблем, бидејќи алгоритмот спроведува многу квалитетно управување. Слика 3-2 Илустрација на идејата и принципот на управувањето со предвидување базирано на модел (Clarke и др., 987a, b). Голем број на академски истражувања се посветиле на тоа како да се најдат брзи методи за решавање на Ојлер-Лагранжова равенка, да се докаже глобалната стабилност на управувањето со предвидување при локална оптимизација, како и 6

28 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА генерално за да се подобрат досега познатите методи за управување со предвидување 3.2. Составни елементи на управувач со предвидување базиран на модел Врз основа на описот на работата на еден управувач со прeдвидување базиран на модел, можеме да заклучиме дека постојат некои делови кои истиот мора да ги содржи независно од алгоритмот кој се користи за пресметка на идните вредности, па така, основните составни делови на секој управувач со предвидување се: Модел на системот за предвидување Функција на цена Механизам за добивање на вредноста за управувачот Модел за предвидување Значително е да се спомене дека моделот на процесот игра одлучувачка улога во проектирањето на управувач со предвидување базиран на модел (Brosilow и Joseph 2002; Camacho и Bordons 2004; Maciejowski 2002; Meadows и Rawlings 997). Ова значи дека колку моделот е подобар, толку подобри перформанси ќе има управувачот проектиран на база на тој модел. Користењето ан линеарни, не-линеарни, хибридни како и модели со временско доцнење во алгоритмите за управување со предвидување е мотивирано од потребната за подобрување на квалитетот на предвидувањата на влезовите и излезите (Allgöwer и др. 999; Dimirovski и др. 200, 2004; Jing и Dimirovski 2006; Zhao 200). Моделот на системот претставува основа на управувањето со предвидување, од проста причина што тој се користи за да се проценат вредностите на излезот во иднина yˆ( t + k t). Комплетно решение за управување со предвидување базирано на модел, вклучува и механизми за идентификација и одбирање на најпогодниот модел на системот кој потполно ќе ја вклучува неговата динамика, а исто така да може да ги изврши математичките пресметки во конечно време. Во различни алгоритми за управување со предвидување се користат различни математички претставувања на моделот на системот, но сите тие, ја даваат зависноста на излезните променливи од управуваните влезови и мерените нарушувања. Покрај моделот на процесот кој сакаме да го управуваме, многу е важно да се проектира и да се користи и модел на нарушувања, кој е независен од моделот на процесот и во себе ги сумира својствата и карактеристиките на немерените нарушувања, шумот и грешките во моделот. И двата дела на моделот на системот кои претходно ги наведовме се потребни за правилно и квалитетно управување со предвидување. Најпопуларните линеарни модели кои се користат во УПБМ се: модел на импулсен одѕив, модел на отскочен одѕив, дискретна преносна функција и моделот во простор на состојби. 7

29 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Модел на процесот Во алгоритмите за управување со предвидување се искористени сите до сега познати форми за опишување на модел на процес, сепак, постојат неколку модели кои се најчесто користени. Точно на овие модели ќе им посветиме малку повеќе внимание во продолжение. Импулсен одѕив. Овој модел, кој е познат и како конволуциски модел, или тежински модел (низа од тежински фактори), се користи во MAC и како специјален случај во GPC. Влезно-излезната зависност е дадена со следнава равенка y( t) = hu i ( t i) (3.) i= 0 каде со h i се претставени примероците семплирани од излезот на системот, кога системот е возбуден со импулсен влез (Слика лево). Оваа сума во реалноста е ограничена на само N вредности, при што се добива каде H( z ) = h z + h z + + h z 2 N 2 N N ( ) = i ( ) = ( ) ( ) i= 0 y t hu t i H z u t (3.2), а z го претставува оператор кој воведува доцнење од една периода. Како негативна страна на овој метод се наведува големиот број на параметри потребни за дефинирање на модел на процесот, бидејќи во општ случај, N претставува голема бројка (од ред на неколку десеттини, вообичаено 40-50). При користење на овој модел предвидените вредности за излезот се добиваат со следнава равенка: N yˆ( t + k t) = hu i ( t + k i t) = H ( z ) u( t + k t) i= (3.3) Слика 3-3 Импулсен и отскочен одѕив 8

30 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Овој метод е многу често користен во индустријата поради тоа што е интуитивен и преку него јасно се гледа зависноста помеѓу секој излез и манипулирана влезна величина. Тука мора да се забележи дека доколку системот е повеќевеличински, на секој излез ќе влијаат m влезови според следнава равенка: m N kj k y j ( t) = hi u ( t i) (3.4) k = i= Како главна предност на овој метод во однос на другите е тоа што не се потребни никакви претходни познавања за системот, па според тоа многу се олеснува и процесот на идентификација. Исто така со помош на овој начин на моделирање, многу лесно се опишува комплексната динамика на процесите. Отскочен одѕив. Модел на процес опишан со помош на отскочен одѕив се користи во алгоритмот за управување со динамички матрици. Начинот на моделирање е скоро целосно еднаков како во претходниот случај, со таа разлика што во овој случај процесот се возбудува со отскочен сигнал. За стабилни системи конечниот одѕив може да се претстави со следнава равенка: N ( ) 0 ( ) 0 ( = + i = + )( ) ( ) i= y t y g u t i y G z z u t (3.5) каде со g i се претставени примероците земани од излезот на системот при отскочен одѕив, а u( t) = u( t) u( t ). Предвидените вредности за излезот се добиваат според: N yˆ( t + k t) = gi u( t + k i t) (3.6) i= Бидејќи еден импулс можеме да го претставиме како разлика помеѓу две отскочни функции кои се јавуваат на растојание од една периода на земање на примероци, за линеарни системи важи: h g g ; g h i i i i i j= i = = (3.7) па според тоа, овој начин на претставување на моделот на процесот, ги има истите предности и негативности, како и претходниот. Преносна функција како модел. Преносната функција како модел за предвидување на процесот се користи во генерализираното управување со предвидување, како и во голем број на други алгоритми. Во овој случај се користи концептот на преносна функција G=B/A, така што излезот од системот е претставен со равенките (3.8). 9

31 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА A z y t B z u t ( ) ( ) = ( ) ( ), A( z ) = + a z + a z + + a z 2 na 2 na B( z ) = b z + b z + + b z 2 nb 2 nb (3.8) Од тука следи дека предвидените излези за процесот се добиваат со помош на следниот израз: B( z ) yˆ( t + k t) = u( t + k t) (3.9) A( z ) Овој начин на претставување на моделот на процесот е употреблив и во случаи кога имаме нестабилен систем, а уште една добра карактеристика е тоа што се потребни релативно мал број на параметри за да се опише процесот. Се разбира во овој случај мораме да имаме претходно познавање на процесот, кое во најлош случај треба да се однесува на редот на полиномите A и B. Модел во простор на состојби. Се користи во поголем број на алгоритми за управување со предвидување од кои најзначителен е PFC (Predictive Functional Control). Моделот во простор на состојби ја има следнава математичка репрезентација: x( t) = Ax( t ) + Bu( t ) y( t) = Cx( t) (3.0) каде x е состојбена променлива на системот, а матриците A, B и C ја опишуваат динамиката на системот. Предвидувањето на идните вредности со помош на овој модел е презентирано од Astorm и Wittenmark (984), се добива како: k k i yˆ ( t + k t) = Cxˆ ( t + k t) = C A x( t) + A Bu( t + k i t) (3.) i= и има голема предност во однос на другите техники поради тоа што може да се искористи за предвидување на повеќевеличински процеси, без да се прават дополнителни промени. Во овој случај, управувачкиот закон претставува линеарна комбинација од состојбените вектори, и покрај тоа што во одредени случаи, состојбените променливи немаат реална физичка репрезентација. Математичките пресметки може дополнително да се усложнат доколку некоја од состојбите променливи не е набљудлива, при што мора да се постави обсервер за да добиеме повратна информација за овие состојби. Други типови за претставување на модел. Нелинеарните модели многу поверодостојно ја презентираат динамиката на сложените процеси, но она што ги прави релативно проблематични за употреба е тоа што значително го усложнуваат процесот на оптимизација. Како најчесто користени техники за работа со нелинеарни модели се невронските мрежи (Tan и De Keyser 994) и фази логиката (Skrjanc и Matko 994). Детален опис на нелинеарното управување со предвидување може да се пронајде во (Qin и Badgwell 2000). 20

32 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Модел на нарушувањата Изборот на модел кој ќе ги претставува нарушувањата во системот е исто толку важен како и изборот на модел на нарушувања. Во практиката најчесто се употребува CARIMA (Controlled Auto-Regressive and Integrated Moving Average) моделот, во кој нарушувањата се претставени со каде полиномот D( z ) C z n( t) = (3.2) ( ) e( t) D( z ) во себе вклучува интегратор шум со средна вредност нула, а вредноста на полиномот да биде еднаква на еден Слободен и принуден одѕив = z, e( t ) претставува бел C( z ), вообичаено се зема Слободниот и принудниот одѕив претставуваат карактеристични поими кои редовно се користат при работа со алгоритми за управување со предвидување. Овие поими помагаат при дефинирањето на идејата за разделување на управувачката секвенца на два дела: u( t) = u ( t) + u ( t) (3.3) f сигналот u ( t ) ги претставува минатите управувачки дејства, и неговата вредност е f константна и еднаква на последната вредност на манипулираната влезна променлива. Ова значи дека: u ( t j) = u( t j); j =,2,... f u ( t + j) = u( t ); j = 0,,2,... f Од друга страна сигналот uc ( t ) треба да биде еднаков на нула за сите минати временски моменти, а еднаков на идните управувачки дејства во идните временски моменти. Овој сигнал се дефинира на следниов начин: u ( t j) = 0; j =,2,... c u ( t + j) = u( t + j) u( t ); j = 0,,2,... c Предвидувањето на излезната секвенца сега е разделено на два дела (Слика 3-4). Едниот од нив се нарекува слободен одѕив (y f(t)), и го претставува предвидувањето на излезот во случај кога влезната променлива е еднаква на u f(t), а другиот одѕив се нарекува принуден одѕив (y c(t)), и го претставува предвидувањето на излезот во случај кога влезната променлива е еднаква на u c(t). Слободниот одѕив го претставува однесувањето на системот врз основа на неговата моментална состојба, додека принудениот одѕив го претставува влијанието на идните управувачки дејства. c 2

33 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Слика 3-4 Слободен и принуден одѕив Функција на цена Различни алгоритми за управување со предвидување предлагаат различни функции на цена за добивање управувачкиот закон. Сепак, независно од обликот функцијата на цена најчесто обезбедува излезот од системот y да следи некој референтен сигнал w и во исто време, треба да дава отпор на промените во управувачкото дејство Δu. Математичката презентација на функцијата на цена во општ случај е дадена со следнава равенка: N y j= N j= 22 Nu 2 2 J ( N, N, N ) = δ ( j)[ yˆ ( t + j t) w( t + j)] + λ( j)[ u( t + j )] y u (3.4) Во продолжение накратко ќе појасниме за секој од елементите кои се употребуваат при правењето на функцијата на цена. Нив ги делиме на три категории и тоа параметри, референтна траекторија и ограничувања. Параметри: N и N y ги претставуваат минималната и максималната вредност на хоризонтот при пресметување на функција на цена, а N u го претставува хоризонтот на управувачко дејство, кој генерално е пократок од максималниот хоризонт на предвидување. Значењето на N и N y е во тоа што тие ги одредуваат границите во кои сакаме излезот најдобро да ја следи референтната патека. Ова значи дека доколку земеме голема вредност за N, тоа го правиме бидејќи во случајот грешките во првите неколку чекори не се од голема важност за управувањето. Земање на поголема вредност за N е практично во случај кога управуваме процеси со мртво време (време на доцнење), и во кои нема логика долната граница на хоризонтот за предвидување да се земе со помала вредност од времето на чисто доцнење. Коефициентите δ(j) и λ(j) претставуваат секвенци од броеви со кои се нагодува работата на управувачот со предвидување, односно се нагодува кои грешки повеќе да ги казнува а кои помалку. На пример доколку ја земеме низата од коефициенти δ(j) и ја направиме истата да опаѓа експоненцијално, јасно е дека функцијата на цена повеќе ќе реагира на грешките во почетните моменти отколку на оние што ќе се случат после извесен период, во овој случај имаме

34 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА побрз одѕив. Во спротивно, доколку овие вредности ги поставиме така што тие ќе нараснуваат експоненцијално, функцијата на цена повеќе ќе реагира на подоцнежните грешки, што ни гарантира поквалитетна стационарна состојба на излезот. Референтна траекторија: Една од најголемите предности на управувањето со предвидување е тоа што алгоритамот ја знае траекторијата од претходно, па според тоа тој може да реагира пред промената во референтната вредност реално да настане. Оваа информација се користи за да се намали проблемот на задоцнети излези. Референтната патека е однапред позната за многу процеси како на пример во роботиката, серво управувањето и најголем дел од индустриските процеси. Во алгоритамот за минимизирање (3.4), најголем број од методите користат референтна траекторија w( t + k), која не мора да е еднаква со реалната траекторија на системот. Математичката зависност помеѓу реалната и траекторијата која се користи во алгоритамот е дадена со следнава равенка: w( t) = y( t) w( t + k) = αw( t + k ) + ( α) r( t + k) k = N (3.5) каде α има вредност помеѓу еден и нула. На Слика 3-5 е прикажана зависноста на обликот на траекторијата од изборот на параметарот α, при константна реална траекторија r( t + k). Конкретно на сликата е прикажан обликот на траекторијата за две различни вредности на параметарот алфа. Со користење на мали вредности за параметарот (пример w ), се добива брзо следење на референтната траекторија. Од друга страна со избирање на големи вредности за параметарот (пример w 2 ), се добива помазен одѕив. Слика 3-5 Избор на референтна траекторија Ограничувања: Практично гледано, при проектирањето на управувач, задолжително треба да се земат во предвид ограничувањата на кои подлежи системот. Извршните елементи имаат ограничен опсег на работа како и брзина на промена на вредност. Сензорите имаат опсег во кој можат да ги мерат соодветните величини. Уште една причина за ограничување на некои 23

35 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА променливи во системот е безбедноста. При работа со температури и притисоци, секогаш имаме некои критични вредности кои не смеат да се надминат. Од тука јасно се гледа оправданоста за воведување на ограничувања во математичката дефиниција на управувач со предвидување. Во однос на ова прашање, алгоритмите кои постигнале успех, и најчесто се користат се делат на два типа. Во првата група ги имаме алгоритмите кои во својата структура ги земаат во предвид ограничувањата и така ја вршат оптимизацијата (DMC, MAC), а во втората група спаѓаат алгоритмите кои се справуваат со ограничувањата после оптимизацијата (GPC). Како основни карактеристики кои се разгледуваат се ограничувањето на големината и чекорот на промена на влезниот сигнал, како и крајните вредности на излезниот сигнал: U u( t) U t u u( t) u( t ) u t y y( t) y t со додавање на овие ограничувања во функцијата на цена, за минимизирањето се потребни посложени математички операции, па решението не може да се добие експлицитно како што беше во случајот без ограничувања Механизам за добивање на управувачкиот сигнал За да се добијат вредностите за управувачкото дејство u( t + k t) потребно е да се минимизира функцијата на цена од равенката (3.4). За да се направи ова минимизирање вредностите за предвидените излези yˆ( t + k t) се пресметуваат како функција од минатите вредности на влезовите и излезите и идните вредности на управувачкото дејство. Доколку моделот на системот е линеарен, за пресметување на секвенцата од идни вредности на управувачкиот сигнал се користи квадратниот критериум. Сепак, независно од методот, пресметувањето на овие вредности не е едноставно бидејќи секогаш има N y-n + независни променливи (оваа вредност вообичаено се движи од 0 до 50). За да се намали степенот на слобода, може да се воведе одредено структурирање на управувачкиот закон. Покажано е дека ваквото структурирање на управувачкото дејство ја подобрува робустноста на системот и во општ случај неговото поведение. Подобрувањето се однесува најмногу во однос на слободното еволуирање на управувачкиот сигнал (при неструктурирано управување), кое многу често доведува до управувачки сигнали на големи фреквенции кои се непосакувани и во најлош случај, до нестабилност на системот. Управувачката структура која се предлага во најголем дел од овие алгоритми се состои во тоа што за вредности поголеми од вредноста на управувачкиот хоризонт, промената на управувачкото дејство е нула (3.6). u( t + j ) = 0 j > Nu (3.6) 24

36 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Како што е претходно нагласено, во присуство на ограничувања, нема експлицитно решение на проблемот на минимизирање, па затоа мора да се употребат методи за квадратно програмирање Преглед на најзначајните алгоритми за управување со предвидување Како што е претходно објаснето, пресметувањето на управувачкиот сигнал на управувањето со предвидување се состои од оптимизирање на некој функција на цена, составена од предвидените идни излези од процесот и идните управувачки сигнали. Во областа на управувањето со предвидување, функцијата на цел најчесто има квадратен облик. N y u 2 2 δ ( )[ ( ) ˆ( / )] λ( )[ ( ) ] (3.7) J = j w t + j y t + j t + i u t + i j= N i= Во овој случај симболите δ ( j) и λ (i) претставуваат тежински коефициенти за нагодување на карактеристиките на функцијата на цена; w ( t + j) ја претставува референтната траекторија; N и на предвидување; и 25 N N y го означуваат почетокот и крајот на хоризонтот N u го претставува хоризонтот на управување. Во индустријата, сите технолошки постројки подлежат на ограничувања. На пример, извршните елементи имаат ограничен опсег на делување и предодредена брзина на промена на управувачкиот сигнал. Во алгоритмите за УПБМ, вообичаено се разгледуваат ограничувањата во амплитудата на влезовите и излезите, како и ограничувањето во брзината на промена на влезовите: - Ограничувањето на големината на управувачките сигнали, за време на управувачкиот хоризонт i =,..., N : u U u( t + i ) U, t (3.8) - Ограничувањето на максималната промена во управувачкото дејство при еден чекор, за време на управувачкиот хоризонт i =,..., N, u u( t + i ) u (3.9) min - Ограничувањето на големината на управуваната величина за време на предвидувачкиот хоризонт j =,...,N, min y max max y yˆ( t + j) y (3.20) Управувачкото дејство се добива со минимизирање на функцијата (3.7) земајќи ги во предвид ограничувањата во системот, претставени со равенките (3.8)-(3.20). За оваа цел, предвидувањата за управувачките вредности се пресметуваат како функција од минатите вредности на управувачките дејства и мерените излези од процесот. Во случаи кога нема ограничувања лесно се добива аналитичкото решение u

37 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА на системот, но во нивно присуство, најчесто се воведува нумеричка оптимизација и принципот на динамичко математичко програмирање. Во продолжение ќе демонстрираме дел од најупотребуваните алгоритми за предвидувачко управување и ќе ги презентираме нивните главни карактеристики Управување со динамички матрици Како што претходно наведовме, DMC алгоритамот е предложен од Cutler и Ramaker 0, после што беше прифатен во индустријата и често применуван, посебно во САД. Овој алгоритам го користи моделот на отскочен одѕив за предвидување. Уште повеќе, нарушувањата се сметаат за константни за време на предвидувачкиот хоризонт и еднакви на нарушувањето во временскиот момент t, поточно: nˆ ( t + j) = nˆ ( t) = y( t) yˆ ( t). (3.2) Врз основа на моделот предложен со (3.6), се добива дека предвидувањето на процесот е дадено со: k = j k = k k (3.22) k= k= j+ yˆ ( t + j) = g u( t + j k) + g u( t + j k) + nˆ ( t + j). Со заменување на (3.2) во (3.22) се добива k = j k= k= (3.23) yˆ( t + j) = g u( t + j k) + g u( t + j k) + y( t) g u( t k). k k k k= k = j+ k = Сега, треба да се забележи дека дел од одѕивот не зависи од управувачките дејства во иднина f ( t + j), и тој дел е претставен во продолжение: k = k = k = (3.24) f ( t + j) = y( t) + g u( t + j k) g u( t k) = y( t) + g g u( t k). k k j+ k k k = j+ k = k = j+ Кога процесот кој го управуваме е асимптотски стабилен. што е случај со термичките процеси во индустриските печки, тежинските фактори g се стремат кон тоа да имаат константна вредност, поточно: g j+ k gk 0 за некое k > N. (3.25) Ако постои дел од одѕивот кој не зависи од идните управувачки дејства, тој е претставен со следниов израз: k = N f ɶ ( t + j) = y( t) + g j+ k gk u( t k). (3.26) k = j+ според ова, равенката за предвидување станува следна: k = j yˆ( t + j) = gk u( t + j k) + fɶ ( t + j). (3.27) k = k 26

38 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА па за да се добијат предвидувањата помеѓу N и изрази N y, се формира следнава низа од yˆ( t + N ) = g u( t + N ) + g u( t + N 2) + + g u( t) + fɶ ( t + N ), 2 N yˆ( t + N + ) = g u( t + N ) + g u( t + N ) + + g u( t) + fɶ ( t + N + ), 2 N , yˆ( t + N ) = g u( t + N ) + g u( t + N 2) + + g u( t) + fɶ ( t + N ), y y 2 y N y y (3.28) за предвидувањата во рамките на хоризонтот на предвидување. Исто така мора да се спомне дека управувачките вредности, за време поголемо од хоризонтот на управување, се земаат за константни така што: u( t + j ) = 0 j > N u. (3.29) Сега можеме да ги воведеме векторите T yˆ = yˆ ( t + N) yˆ ( t + N + ) yˆ ( t + N + 2)... yˆ ( t + N y ), T u = u( t) u( t + ) u( t + 2)... y( t + N u ), [ ˆ ] (3.30) (3.3) T f ɶ = f ɶ ( t + ) f ɶ ( t + 2) f ɶ ( t + 3)... f ɶ ( t + N y ), (3.32) па равенката за предвидување може да се запише во следнава матрична форма ŷ = G u + fɶ (3.33) каде [ ] [ G] gn g N g g g g g N + N 2 = gn + 2 gn + g3 g2 g 0 0 g g g N y N y + N y Nu + N y N y Nu + (3.34) Во однос на оптимизацијата, алгоритамот за УДМ ја користи функцијата на цел непроменета, со вредност за δ ( j) =. Затоа во матрична форма функцијата на цел е изразена со следната равенка: T J = w yˆ w yˆ + λ u u. T ( ) ( ) Со воведување на изразот (3.33) во оваа равенка се добива: T ( [ ] ) [ ] T ( ) λ. (3.35) J = w G u fɶ w G u fɶ + u u (3.36) После што, со минимизација на равенката J = 0 u 27

39 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА добиваме T u = G G + I G ( w fɶ ). (3.37) T ([ ] [ ] λ ) [ ] Управувачкиот закон ја минимизира функцијата на цена J. Во даден временски момент се извршува само првиот елемент од векторот u, за потоа целата процедура да се повтори во наредниот момент на земање на примероци. Оптимизацијата, која во случајов е нумеричка (Garcia и Morshedi 986), заради присуството на ограничувања, се извршува во секој момент на земање на примероци, по што вредноста на управувачкото дејство u(t) се испраќа до процесот. Негативностите на овој алгоритам за управување со предвидување се тоа што моделот на процесот има релативно голем број на параметри, како и тоа што овој алгоритам е практично неупотреблив при работа со нестабилни процеси Модел алгоритамско управување Овој начин на управување (Richalet и др. 987), уште е познат и како евристичко управување со предвидување. Алгоритамот на управување е многу сличен на тој што се користи при управувањето со динамички матрици. Разликите се во тоа што овој метод го користи моделот добиен со импулсен одѕив на системот, во кој се јавува вредноста на управувачкиот сигнал u(t), наспроти вредноста на промената на управувачкото дејство Δu(t). Друга разлика е тоа што овој метод воопшто не го користи концептот на управувачки хоризонт, односно ги пресметува идните вредности на управувачот се додека ги предвидува и вредностите на излезните величини. Референтната траекторија во овој алгоритам е претставена како функција од прв ред која ги поврзува моменталната вредност и посакуваната вредност на излезот според равенката (3.5). Процените за нарушувањата може да се добијат според следниов рекурзивен израз: nˆ ( t + k t) = αnˆ ( t + k t) + ( α)( y ( t) yˆ ( t t)) (3.38) каде nˆ( t t ) = 0. α претставува параметар кој може да се нагодува (неговата вредност се движи помеѓу нула и еден) и значајно влијае на брзината на одѕивот на системот и неговата робустност (Garcia и др. 989). За дополнување на овој алгоритам можат да се искористат неколку методи оптимизирање во присуство на ограничувања кои се презентирани од Rawlings и Muske (993). m Функционално предвидувачко управување Овој управувач е првично развиен од Richalet (992) и е наменет за работа со процеси кои имаат брза динамика. Како тип на модел го користи моделот во просторот на состојби, при што е овозможено и користење на внатрешни нелинеарни модели. Овој алгоритам има две карактеристики во кои се разликува од другите. Тоа се користењето на коинцидентни точки (анг. coincidence points) и употребата на носечки функции (анг. basis functions). 28

40 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Концептот на коинцидентни точки се користи за да се намалат потребните пресметки со тоа што ќе разгледуваме само едно подмножество од предвидувачкиот хоризонт. Посакуваните и предвидените идни излези треба да имаат исти вредности (да коинцидираат) само во овие точки, а не по должината на целиот хоризонт. Управувачот го параметризира управувачкиот сигнал со помош на множество од носечки функции полиноми, со што се овозможува да се добие сложен профил на управувачкиот сигнал, со мал број на параметри. Во зависност од изборот на овие функции полиноми, ќе зависи и однесувањето на овој управувач Проширено, адаптивно управување со предвидување Имплементацијата на овој метод во многу се разликува од досега предложените алгоритми. За потребите на предвидувањето тука се користи модел на системот во облик на преносна функција A( z ) y( t) = B( z ) u( t d) + v( t) (3.39) каде d го претставува доцнењето на системот, а v(t) е збир од нарушувањата кои делуваат на процесот. Овој модел може да се дополни со D z ( ) d( t), каде d(t) го претставува мерените нарушувања. Една од најважните карактеристики на овој алгоритам е тоа што структурата на управувачкиот закон е многу едноставна, поради тоа што сметаме дека вредноста на управувачкиот сигнал за време на управувачкиот хоризонт ќе биде еднаква како во временскиот момент t, односно дека Δu(t+k)=0 за k>0. Управувачкиот хоризонт е намален на еден чекор, па затоа пресметките значително се олеснуваат. За да се добие вредноста на управувачкото дејство се користи следнава функција на цена: каде N 2 δ ( k)[ w( t + k) P( z ) yˆ ( t + k t)] (3.40) k = d P( z ) е полином со статичко засилување со вредност еден, а δ ( k) го претставува тежинскиот фактор. Управувачкиот сигнал може да се пресмета аналитички (што е главната предност во однос на другите методи), со помош на следнава равенка: u( t) = N k = d h δ k w t k P z yˆ t k t k ( )[ ( + ) ( ) ( + )] N k = d δ ( k) h 2 k (3.4) каде h k претставува вредност од дискретниот импулсен одѕив на системот Генерализирано управување со предвидување Доколку внимателно се прегледа литературата се забележува дека генерализираното управување со предвидување е најкористен метод во реалните апликација на предвидувачко управување. Алгоритамот за ГУП предложен од Clarke и др. (987a, b) 29

41 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА користи линеарен модел кој е употреблив за голем број на индустриски процеси каде нарушувањата не се стационарни. Предвидувањата на излезите кои се вршат во генерализираното управување со предвидување, се засноваат на CARIMA моделот на систем: d e( t) A( z ) y( t) = B( z ) z u( t ) + C( z ) (3.42) каде немерените нарушувања се претставени со бел шум, обоен со C( z ). Овој полином нема позната вредност, па се користи за нагодување на управувачот за тој да биде отпорен на надворешни нарушувања, како и за подобрување на робустноста на управувачот. Во случајов, периода, односно вредност нула, и z z v( t) = v( t ) и претставува оператор кој воведува доцнење од една = z, каде e( t ) претставува бел шум со средна A A( z ) = + a z + + a z (3.43) n na B B( z ) = + b z + + b z (3.44) n nb Оптималното предвидување се добива со решавање на Диофантовата равенка (3.45), чии решенија се доста ефективни при работа со рекурзивни алгоритми. каде E j и j Ej A( z ) z Fj, = + (3.45) F j се полиноми единствено дефинирани за даден A( z ) и должина на хоризонтот на предвидување j. Полиномите имаат степен j и n A, соодветно. Понатаму, доколку ја помножиме равенката на процесот (3.42) со j ( ) ( ) j ( ) ( ) j ( ) j Ej z се добива E A z y t + j = E B z u t + j + E e t + j (3.46) Па така, со користење на (3.44) во оваа равенка, и забележување дека идните вредности за шумот имаат средна вредност нула, за предвидување j чекори, вредноста на предвидениот излез ќе биде така што yˆ( t + j) = G u( t + j) + F y( t) (3.47) j j G j = EjB( z ). (3.48) Сега да претпоставиме вредноста на j се менува од до N. За поедноставување на равенките, нека за секоја вредност на j симболите f u ( t + j) ги одредуваат компонентите на предвидените излези yˆ( t + j) што се познати во временскиот момент t. Според тоа лесно може да се изведе следнава секвенца: 30

42 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА [ ] f ( t + ) = G g u( t + )) + F y( t), u 0 f u ( t + 2) = G g20 g2z u( t + 2) + F2 y( t), 2 f u ( t + 2) = G g30 g3z g32z u( t + 3) + F3 y( t),,,, (3.49) Доколку претходно изведените равенки ги запишеме во конвенционален матрична форма, така што ќе добиеме зависност помеѓу предвидувањата за управуваните вредности како функција од промените во управувачкото дејство: yˆ = G u + f, (3.50) каде [ u ] u [ G u ] g g2 g g g g... 0, gn... y N g y N y N g y 2 N y N g y 3 N y 0 = N y Nu T yˆ = yˆ ( t + ) yˆ ( t + 2) yˆ ( t + 3)... yˆ ( t + N y ), T u = u( t) u( t + ) u( t + 2)... y( t + N u ), [ ˆ ] T f u = f u ( t + ) f u ( t + 2) f u ( t + 3)... f u ( t + N y ). (3.5) (3.52) (3.53) (3.54) Во алгоритамот за ГУП, при пресметувањето на вредностите за управувачкиот сигнал, вообичаено е да се зема дека δ ( j) = и N =. Според тоа критериумот за оптимизирање со помош на ГУП е претставен со следнава равенка: j= N i= N y u 2 2 [ ( ) ˆ( / )] λ( )[ ( ) ] (3.55) J = w t + j y t + j t + i u t + i j= i= ако го воведеме векторот на референтни вредности w = w( t + ) w( t + 2) w( t + 3)... w( t + N ) T y (3.56) и ако ги искористиме резултатите од (3.50)-(3.54), скаларниот израз (3.55) може да се трансформира во соодветна матрична форма како подолу: J = G u + f w G u + f w + u u T T ([ u ] u ) ([ u ] u ) λ. тогаш, со решавање на минимумот на функцијата на цена J во однос на значи решавање на векторската равенка се добива (3.57) u, што J = 0 u (3.58) 3

43 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА T ([ ] [ ] λ ) [ ] T u = G G + I G ( w f ). u u u u (3.59) Овој управувачки закон ја минимизира функцијата на цел. Во даден временски момент само првиот елемент на u се извршува, за во следната периода на земање на примероци, да се повтори целата процедура. Од самиот почеток, алгоритамот за генерализирано управување со предвидување е еден од најпопуларните алгоритми за управување со предвидување. Како и сите алгоритми кои за модел за предвидување користат преносна функција, генерализираното управување со предвидување е погодно за употреба на адаптивно управување со користење на алгоритам за работна (on-line) идентификација Нелинеарно управување со предвидување Сите методи кои претходно ги разгледавме се развиени врз една иста претпоставка дека процесот со кој работат е линеарен. Тоа се прави бидејќи линеарната идентификација на процесите е многу едноставна, како и поради тоа што најголем дел од процесите и постројките работат во околина на некоја работна точка, каде што можеме да ги сметаме за линеарни. Во индустријата, каде овие алгоритми имаат најголема примена, скоро и да нема линеарни процеси, па истите се користат за водење на некој процес и негово одржување на некоја зададена вредност, без брзи и фреквентни промени. Уште повеќе, управувањето со помош на линеарни модели и квадратна функција на цена е детално проучено и се користи во многу реални индустриски алатки за управување со предвидување. Ваквото управување може да обезбеди конвергенција на алгоритамот до решение за управувачкото дејство, за време помало од периодата на земање на примероци. Како што претходно наведовме, пред да биде воведено нелинеарното управување со предвидување, моделите на процесот се линеаризираат во околина на работната точка, и оваа постапка се уште се спроведува. Но, постојат процеси кои имаат многу изразени нелинеарности, па оваа линеаризација во околината на работната точка нема да ги даде посакуваните резултати, постојат процеси кои подлежат на постојани вклучувања и исклучувања, а со тоа поминуваат голем дел од времето во преоден режим (далеку од стационарната состојба). За управување на вакви процеси, линеарен управувачки закон нема да биде многу ефективен, па се развиваат нелинеарни управувачи со предвидување, со цел да се подобри ефективноста или за да се стабилизира системот. И покрај тоа што во пракса не постојат голем број на имплементации на управување со предвидување базирано на нелинеарен модел (поопширно види во Babuska и др. 999; Qin и Badgwell 2000), потенцијалот на овие алгоритми е огромен поради фактот што управувањето со предвидување се уште не е навлезено во областите кои претходно ги наведовме, како и во случаи каде користењето на линеарни управувачи со предвидување не дава задоволителни резултати. 32

44 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Преглед на нелинеарно управување со предвидување Како дополнување на основното моделирање, со помош на математички функции, секогаш можеме да добиеме модел на системот во форма на нелинеарен фази систем или невронска мрежа. Во продолжение ќе ги разгледаме општите карактеристики на нелинеарните модели. Да разгледаме еден општ нелинеарен модел: y( t) = f y( t ), y( t 2),, y( t ny ), u( t ), u( t 2),, u( t nu ) (3.60) каде f претставува нелинеарна функција од нејзините аргументи. Мора да се забележи дека во најголем број на случаи не може да се најде аналитичко решение, па проблемот на оптимизација се решава со методи на нумеричка оптимизација. Во продолжение ќе презентираме неколку познати методи за работа со нелинеарните модели. Практично, алгоритмите за управување со предвидување базирани на нелинеарни модели, како фази системите и невронските мрежи се развиле во последниве години. Во продолжение посебен осврт ќе дадеме на фази системите како нелинеарен модел во управувањето со предвидување УПБМ на база на фази релациони модели Valente de Oliveira и Lemos (994) предлагаат фази базиран управувач со предвидување, кој користи фази-релационен модел за да ги направи предвидувањата. Од друга страна, Czogala и Pedrycz (98) први ги вовеле и имаат значаен придонес во употребата на фази реалационите модели во оваа област. Овие модели се дефинирани со следниов израз: Y ( t) = R U ( t ) U ( t 2) U ( t n ) Y ( t ) Y ( t 2) Y ( t n ). (3.6) Овде, Y го претставува излезот од фази моделот, U( t j) и Y ( t j) ги претставуваат припадностите кон фази множествата на влезовите во фази моделот, R ја претставува релационата фази матрица ( процес ), и симболот претставува оператор за композиција, каков што е <max-min>. Од тука, добиениот излез од фази моделот е претставен со равенката (3.62). u y i= M a ( ) iyi t i= ( ) =, i= M Y ( ) i = i t Y t (3.62) каде: Y i (t) е i-тиот елемент на фази излезот Y, и a j е вредност така што излезот има степен на припадност еден за фази подмножеството со индекс i, и M го претставува бројот на фази подмножества. Треба да се забележи дека Valente de Oliveira и Lemos (994) предлагаат фази релационен модел, кој се идентификува во работен режим (on-line) од податоците за затворениот систем. Управувачката акција се пресметува во секоја периода на земање на примероци со помош на нелинеарен метод на оптимизација. Сличен придонес кон управувачите со предвидување, базирани на фази-релационен модел е презентиран од Postlethwaite (996). 33

45 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Фази-алгоритми за управување со предвидување базирани на Такаги-Сугено модел Постојат трудови кои обработуваат фази управувачи со предвидување, базирани на Такаги-Сугено моделите. До сега предложени се решенија за работа со алгоритамот на управување со динамички матрици и покажана е едноставноста во имплементирањето на овие алгоритми. Во овие решенија, по правило, коефициентите на импулсниот одѕив се пресметуваат со помош на Т-С фази модел, а потоа се применува стандардниот DMC алгоритам. Развиени се и управувачи кои го користат механизмот на генерализираното управување со предвидување со фази модели на системот. Предложените управувачи со предвидување, за да ја пресметаат промената на управувачкото дејство, користат адаптивен алгоритам со нагодување на засилувањата за функциите на припадност, со цел да се справат со промени во параметрите на моделот или со надворешни нарушувања. Во некои трудови, и проблемот на оптимизација се решава со помош на фази логика. Тоа се прави на следниов начин: Проблемот на оптимизација на база на фази правила ги разгледува функцијата на цел J и нејзината промена J како влезови и промената на управувачкото дејство u како излез од оптимизаторот. За илустрација, едно фази правило на овој оптимизатор може да се претстави со следниот израз: Ако J е позитивно и J е негативно Тогаш u е нула. Во 995, Cipriano и Ramos предлагаат ГУП базиран управувач кој користи Такаги- Сугено фази модели. Алгоритамот користи ГУП функција на оптимизација и фази модел за предвидување на однесувањето на системот. Во овој труд, за секое правило на фази моделот се добива линеарен ГУП управувач. Затоа, фази управувачот ги има истите премиси како и фази моделот на системот, а последиците (излезот), се вредностите на управувачката акција. Според ова, треба да се разгледа следнава фази структура на фази правилата: R :Ако y( t )е A и y( t n )е A i i y iny и u( t )е B и u( t n )е B i u inu [ ] Тогаш u = f u( t ), u( t 2),, y( t), y( t ), y( t 2),. i i (3.63) Во случајов функцискиот оператор f i го претставува ГУП управувачкиот закон, соодветно за правилото со број i. Главниот недостаток на предложениот управувачки метод е тоа што алгоритамот има потреба од нагодување на параметрите за секое правило за различни управувачи. Исто така, предложениот фази-гуп управувач не обезбедува глобално оптимално решение за функцијата на цел, бидејќи познато е дека Т-С моделите имаат локални минимуми. Roubus и др. (998) предлагаат фази управувач со предвидување, кој за претставување на постројката користи линеаризација на Такаги-Сугено фази моделот. Во овој случај разгледуваниот фази модел со кој ја претставуваме постројката го има следниов облик: 34

46 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА R :Ако x ( t)е A и x ( t) is A и x ( t)е A i i 2 i2 n in i i i i i Тогаш x ( t + ) = A x ( t). + B u( t) + C. (3.64) каде вкупниот број на правила е конечен, на пример M. Според тоа, создавањето на еквивалентен временски променлив линеарен модел може да се престави на следниов начин: i x ( t + ) = A x ( t). + B u( t) + C, [ ] i i [ ] i [ ] i i= M i= M i= M 35 (3.65) i i i i i i [ A] = ωi A, [ B] = ωib, [ C] = ωic. (3.66) i= i= i= Во овој случај, ω i го претставува нормализираниот степен на припадност (степен на исполнување) на правилото R i. Треба да се забележи дека за секој период на земање на примероци, линеарниот модел се добива со евалуирање на премисите или степенот на исполнување. Потоа се проектира линеарен управувач со предвидување за добиениот линеарен модел, па во следниот период на земање на примероци, повторно се пресметува моделот. Предностите на овој метод се во тоа што е едноставен за употреба на повеќевеличински процеси и потребна е помала пресметковна моќ за добивање на управувачкото дејство. Во сличен труд, Kim и Huh (998) покажале дека предвидувањата со линеаризиран фази модел не се задолжително оптимални предвидувања. Понатаму, Huaguang и Bien (998) опишале сличен управувач со предвидување, заедно со анализа на стабилноста на затворениот систем. Espinosa и Vandewalle (999 a), предлагаат нов алгоритам за фази управување со предвидување. Овој алгоритам, за предвидување, го користи следниот модел yˆ ( t + j) = yˆ ( t + j) + yˆ ( t + j). (3.67) free Во оваа равенка, yˆ free ( t + j) зависи од минатите вредности на влезовите и излезите и yˆ forced ( t + j) зависи од идните вредности на управувачкото дејство. Во овој случај, слободниот одѕив се добива со симулирање на фази модел со константна вредност за влезот во идните временски моменти, еднаква на вредноста на последната вредност на влезот u ( t ). Од друга страна, принудениот одѕив се пресметува со помош на равенката за конволуција: каде со k = j k = 0 forced yˆ forced ( t + j) = gk u( t + j k ), (3.68) g k се претставени коефициентите добиени со симулација на фази моделот, во дадениот временски момент. Според ова, предвидувањето со фази моделот, во матричен облик се пресметува според следнава равенка: yˆ = yˆ + G u, (3.69) free [ ]

47 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА каде аналитичкото решение на управувачот со предвидување е слично на она што беше добиено со алгоритамот ГУП. Espinosa и Vandewalle (999 b) го прошириле алгоритамот за управување со предвидување базиран на Т-С фази системи на повеќевеличински системи. Hadjili и Wertz (999), како и Espinosa и Vandewalle опишале сличен управувач со предвидување, каде се разгледува следниот изведен фази модел. заедно со k = n k = n y u y( t) = aɶ ( t) y( t k) + b ɶ k ( t) u( t k) + cɶ ( t) (3.70) k k = k = i = M i M i M i = i = i k = ω ɶ i k k = ωi k k = ωi i= i= i= aɶ ( t) ( t) a, b ( t) ( t) b, cɶ ( t) ( t) c. (3.7) Во случајов, со ω (t) е претставен нормализираниот степен на припадност (степен на исполнување) на правилото i R i, бројот на правила е M, и a, b, c се параметрите на последицата. Потоа може да се изведе предвидувањето на j чекори нанапред со помош на следниве равенки k = ny k = n k = j u yˆ( t + j + ) = aɶ ( t) y( t k + ) + bɶ ( t) u( t k + ) + gɶ ( t) u( t + k), (3.72) k, j k, j k, j k = k = k = i = M i M i M i = i = i k, j ( ) = ω ( ),, ɶ i k j k, j ( ) = ωi ( ) k, j, k, j ( ) = ωi ( ) k, j i= i= i= aɶ t t a b t t b gɶ t t g (3.73) за временскиот момент j каде j = до j = N y. Овој фази предиктор, кој е изведен независно од Hadjili и Wertz (999) и од Espinosa и Vandewalle (999), ги користи степените на задоволување за N идните временски точки. Потоа се разгледува аналитичкото решение на ГУП за добиените предвидувања. Низ трудовите на Babuska и др. (999) и Van der Veen (999) се предлага сличен повеќе чекорен предвидувач. Најпрво, фази моделот се линеаризира во дадениот временски момент. Потоа, добиената вредност за управувачкиот сигнал се користи за да се пресмета y ( t +), а после тоа, нелинеарниот модел повторно се линеаризира околу новата работна точка. Оваа процедура се повторува се додека не се стигне до управувачкиот хоризонт t + N. Ова предвидување е попрецизно и корисно кога y работиме со поголем хоризонт на предвидување. Сепак, за реализација на овој метод потребна е многу голема пресметковна моќ, според тоа и поголемо време за пресметување на истиот. Babuska и др. (999) и Van der Veen и др. (999) исто така опишуваат алгоритам за оптимизација со разгранување, кој го решава проблемот на глобална оптимизација на управувачот со предвидување базиран на фази модели. i k i k y i k 36

48 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Истовремено, но сепак независно, во 999 година, Nounou и Passino (999) формулираат уште еден нов фази предвидувачки алгоритам. Во овој алгоритам управувачката акција се пресметува од правилото кое има највисок степен на припадност во моментот на земање примерок. Овој алгоритам се покажал како поуспешен во однос на алгоритмите предложени од Cipriano и Ramos (994) и Roubus и др. (998) Управување со предвидување нелинеарни спроти линеарни модели Јасно е дека основната предност на нелинеарното управување со предвидување во однос на линеарното, е тоа што првото во пресметките ја зема во предвид и нелинеарноста на процесите. Но за да може да се искористи овој нелинеарен управувач. Потребна е алатка или алгоритам кој ќе изврши идентификација, или аналитичка пресметка, со цел да се добие нелинеарниот модел на процесот во облик погоден за работа. Во основната дефиниција на управувањето со предвидување нема ништо што би го оневозможило воведувањето на нелинеарни модели. Сепак овој процес не е едноставен и во него се уште има многу отворени прашања како: Можноста за градење на нелинеарен модел на процес, од емпириски податоци. Се уште не постојат доволно техники за идентификација на нелинеарни модели. Користењето на невронски мрежи генерално не се покажало како успешно решение за нелинеарното управување. Уште поголем проблем е тоа што не сите процеси можат доследно да се репрезентираат со помош на невронски мрежи. Проблемот на оптимизација е неконвексен и е многу посложен од квадратното програмирање (кое се користи за добивање на решенија при користење на линеарни модели). Сега се јавуваат проблеми поврзани со локални минимуми на функциите, кои резултираат со полош квалитет на управувањето или во краен случај и нестабилност на системот. Проблемот на оптимизацијата се пренесува и на комплексноста на математичките пресметки за решавање на управувањето со предвидување на нелинеарни модели. Значително се зголемува времето за наоѓање на решение, што ја ограничува употребата на овие алгоритми за бавни процеси. Недоволен број на резултати при испитување на стабилноста и робустноста на нелинеарните модели. Некои од овие проблеми се делумно решени во досега познатите алгоритми за нелинеарно управување со предвидување, но сепак сите тие остануваат предмет на постојани истражување за што сведочат големиот број на објавени трудови (Chen и Allgöwer 995; Chen 2004; Findeisen и Allgöwer 200; Herceg и др. 2006; Kothare и др. 996; Marlin 2000; Piche и др. 2000; Rawlings и др. 994; Shim и др. 2003; Veluvolu и Soh 2007; Wen и Jung 2004; Young и др. 200; Zhao и др. 999; Zhou и др. 200) во последните неколку години. 37

49 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Модели на нелинеарни системи Развивањето на нелинеарни модели кои ќе бидат погодни за употреба во управувањето со предвидување е сложена задача и не постои некој генерален начин на моделирање на нелинеарните процеси. Голем дел од успехот на стандардното управување со предвидување се должи на тоа што многу едноставно можеме да дојдеме до линеарен математички модел со некоја од претходно дискутираните методи. Од друга страна добивањето на нелинеарен модел е значително потешко, независно дали се користат експериментални влезно/излезни податоци или физичките закони за претворање на енергијата. Доколку разликата во однесувањето на линеарниот и нелинеарниот модел не е премногу голема, можат да се направат напори да се подобри линеарното управување, со цел да ја задоволи динамиката на нелинеарниот модел на процесот. Едно од овие решенија е да се линеаризира процесот во неколку работни точки, а не само во стационарната состојба. Со ова се добиваат поголем број на линеарни модели на системот и се извршува алгоритам на закажано линеарно управување со предвидување. Во овој алгоритам секогаш кога системот е во околина на работна точка, за предвидување се користи моделот добиен со линеаризација во таа работна точка. Кога системот ќе се оддалечи од почетната состојба и ќе се доближи до некоја друга работна точка, ќе се избере друг модел за предвидување во алгоритамот. Вообичаено, моделите се менуваат како што се менува и зададената патека на системот. Друго решение на овој проблем е комбинирањето на еден, чисто линеарен модел, со нелинеарна функција, која ги претставува нелинеарните карактеристики на реалниот процес. Претходните решенија се релативно успешни, но повторно, се покажале како неупотребливи кога работиме со процеси кои имаат изразени и силни нелинеарности. Во тие случаи потребно е да користиме модел кој ја опишува нелинеарноста на системот. Постојат три основни категории на модели кои се користат за опишување на процеси со нелинеарна динамика, тоа се емпириските модели, фундаменталните модели и моделите на сива кутија Емпириски модели Најголема математичка пречка за развојот на нелинеарните управувачи е тоа што за нив не важи принципот на суперпозиција. Точно поради ова, добивањето на модел од влезно излезните податоци станува многу тешко. Најпрво бројот на податоци кој треба да ги имаме за да направиме идентификација е многу поголем во однос на бројот кој ни е потребен за идентификација на линеарни системи. Сепак најзначаен проблем со кој се соочува секој инженер при идентификација на нелинеарен процес, е тоа каков тип на модел да избере, можностите кои притоа ги имаат инженерите се следни: Влезно излезни модели, кои нудат математичка зависност (се разбира, нелинеарна) помеѓу влезовите и излезите на процесот. Најчесто користени вакви модели се: 38

50 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА o Volterra модели, кои се добиваат со комбинација на статичка нелинеарност и линеарна динамика на моделот и се делат на два подмодели Хамерштајн (Hammerstein), во кој статичката нелинеарност му претходи на линеарниот модел и Виенер моделот (Wiener) каде редоследот на овие два блока е обратен (Слика 3-6). Начинот на функционирање на овие модели не е премногу сложен, па оние кои се заинтересирани можат да се консултираат со Boucher и др. (996) и Levin 996. o Локални мрежи од модели, каде главната идеја е да се раздели моделот на процесот на повеќе локални модели, во некои делови каде тие можат да се земат како линеарни, а потоа, комплетниот модел се добива со комбинирање на ваквите модели со помош на линеарни и нелинеарни функции (Townsend и Irvin 200). o Невронски мрежи, претставуваат доста атрактивна алатка бидејќи со нив може да се направи апроксимација на некоја нелинеарна функција, при што корисникот може да го нагодува степенот на таа функција. Ова во комбинација со методите за тренирање на мрежите, резултирање се голем успех и неколку реализирани решенија за управување со предвидување (De Kayser 99; Piche и др. 2000; Zhao и др 999), додека теоретските основи на управувањето со предвидување базирано на модел од невронска мрежа може да се пронајде во Lawrynczuk (2007) и Tan и De Keyser (994). Модел во просторот на состојби, кој треба да се прошири со цел зависноста на состојбите и излезот од системот да бидат нелинеарни функции. Овој модел е многу корисен доколку ни се познати диференцијалните равенки на процесот кој сакаме да го управуваме. Нелинеарна идентификација, која се уште претставува предизвик за истражувачите бидејќи секој нелинеарен модел е единствен и не се познати методи кои даваат добри резултати на големо множество од нелинеарни процеси Фундаментални модели Слика 3-6 Hammerstein и Wiener модел Бидејќи во текот на работата истражувачите имале тешкотии да добијат емпириски модели на нелинеарните процеси кои се основани на емпириски податоци, се наметнало користењето на модели добиени чисто од математичките зависности во процесите. За големи индустриски системи овие модели се големи и тешки за изведување, а е потребно и големо познавање од потесната област на процесот. Сепак за некои области има развиено вакви модели (најчесто за да може да се симулираат процесите), па истите модели успешно се применуваат и за предвидување. 39

51 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Предноста на фундаментални модели е во тоа што за да се добијат потребен е значително помал број на податоци во однос на емпириските модели, бидејќи тука зависностите се добиени со помош на законите за конверзија на енергијата Модели сива кутија Овој тип на модели е развиен со комбинирање на претходните два и користење на нивните добри карактеристики. Постојат два начини за развивање на ваквите модели (Buyun и Kwon 988). Првиот начин е да развиеме емпириски модели за зависностите за кои немаме математичка равенка во фундаменталниот модел на процесот. Вториот начин е да се користи фундаментален модел за да се опише процесот, а потоа разликите помеѓу однесувањето на процесот и моделот, да се опишат со помош на емпириски нелинеарен модел. Важно е да се знае дека оваа техника се уште не е искористена за нелинеарно управување со предвидување Решение на проблемот на нелинеарно управување со предвидување Откако го објаснивме проблемот на нелинеарното моделирање, се префрлуваме на уште еден, сериозен проблем со кој се судира управувањето со предвидување на база на нелинеарен модел проблемот на нелинеарната оптимизација. Како што претходно посочивме, сега проблемот на оптимизација не е повеќе конвексен, па за негово решавање се потребни посложени математички пресметки. Уште поважно е тоа што во овој случај, алгоритамот не може да гарантира дека ќе дојде до оптималното решение, посебно во работа со конечни времиња. Проблемот кој сакаме да го решиме е еднаков со оној во линеарното управување со предвидување да се најде вредноста на управувачката секвенца u, која ќе го доведе процесот во посакуваниот режим на работа. Функцијата на цена која ја минимизираме го има следниов општ облик: N M M q q q s y s u δ λ (3.74) W j= j= j= J = y( t + j) y + u( t + j) + u( t + j) u каде вредноста на q може да биде и еден и два, во зависност од типот на нормата, y u додека δ, λ и W се матриците со тежински коефициенти. Во алгоритамот за минимизација, мора да се вклучат и ограничувањата на управувачкиот и мерениот сигнал. За да се реши овој проблем најчесто се користат техники на секвенционално квадратно програмирање (SQP). Ова е итеративна техника, во која при секој чекор се прави апроксимирање на нелинеарните изрази од функција на цена и тие се заменуваат со квадратни, со што проблемот се сведува на квадратен, а нелинеарните ограничувања се заменуваат со линеарни. Практично имаме различна квадратна функција на цена при секој чекор од оптимизацијата. Во последно време има голем напредок во ефикасните алгоритми за нелинеарно програмирање, но и покрај овој напредок, како и рапидното зголемување на сметачката моќ на компјутерите и управувачката опрема, најголем дел од 40

52 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА проблемите на нелинеарното управување со предвидување се уште се само делумно решени, или не се воопшто решени Робусно управување со предвидување базирано на модел Колку и да сме добри во моделирањето, математичките модели никогаш не можат во целост да го претстават однесувањето на процесот. Во процесот на градење на моделот секогаш се прават претпоставки, во најголем дел се прави линеаризација на некој сегмент, ако не и на целиот процес, намалување на редот на системот со цел да се намалат пресметките и слично. Според тоа математичките модели, посебно моделите кои се користат за управување со предвидување, само приближно ги опишуваат процесите. Најголем дел од управувачите базирани на модел имаат потреба од модел со фиксна структура и параметри (номинален модел), кој се употребува за време на управувањето. Доколку овој модел е точен наместо приближен и доколку нема надворешни пречки при работењето на процесот тогаш тој ќе може да се управува нанапред. Но заради тоа што моделот кој го користиме не е целосно точен и фактот дека секогаш постојат надворешни пречки, мора да го воведеме принципот на повратна врска. Целта на робусното управување е да се проектира управувач кој ќе го одржува системот во стабилна состојба и покрај тоа што моделот кој го користиме не е идеален и тоа што на процесот постојано делуваат надворешни пречки. И покрај тоа што повратната врска имплицитно се справува со неточностите во моделот, во литературата, поимот робусно управување се користи за опишување на управувачки системи кои експлицитно се справуваат со разликите помеѓу моделот на процесот и реалниот процес. Постојат повеќе начини на моделирање на несигурностите во системот кои зависност од техниката која се користи за проектирање на управувачите. Најмногу користени методи се методата на несигурности во фреквентен одѕив, како и параметарските несигурности во преносните функции. Во овие методи се претпоставува дека постои одредена фамилија на модели и дека моделот на процесот е еден модел од оваа фамилија (не знаеме точно кој). Во првиот случај земаме дека процесот е линеарен со фреквентен одѕив во одредени граници на несигурност, додека во вториот случај земаме дека процесот е линеарен и од ист ред како и фамилијата на процеси со параметарска несигурност. Управувачката структура во управувањето со предвидување е таква што во секој чекор се пресметуваат вредностите на излезот кои ќе се добијат во иднина идните траектории. Доколку во основниот концепт на управувањето со предвидување, наместо еден модел, внесеме фамилија од модели, наместо една траекторија ќе добиеме множество од траектории во кои процесот ќе се најде со применување на една низа од управувачки дејства, секоја добиена само преку еден модел од множеството во зависност од несигурностите. Логично е да се очекува дека доколку имаме голема несигурност при моделирањето ќе добиеме големо множество од можни траектории, и во спротивно, доколку имаме мала несигурност, ова множество ќе биде исто така мало. 4

53 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Најопшт начин на кој може да биде поставен овој проблем е следниов: да разгледаме еден процес чија математичка репрезентација е следнава: каде y( t) y( t + ) = f ( y( t), y( t n ), u( t), u( t n ), z( t), z( t n ), ψ) (3.75) y u z Y и u( t) U, ги претставуваат влезовите и излезите на системот, ψ Ψ е вектор на параметри кои ни се несигурни, а z( t) Ζ претставува вектор од случајни променливи за нарушувањата и/или несигурностите. Сега да го разгледаме множеството од модели за процесот, опишано со равенката: yˆ( t + ) = fˆ ( y( t), y( t n ), u( t), u( t n ), θ ) (3.76) каде yˆ( t + ) е вектор на предвидени вредности за излезот во временскиот момент t + добиен со помош на моделот; ˆf е векторска функција, вообичаено поедноставување на функцијата f ; n n a и na nb n n b ги претставуваат броевите на минати влезови и излези кои се користат за пресметување со помош на моделот; и θ е вектор на несигурности поврзани со дадената постројка или процес. Величините кои влијаат на динамиката на постројката но не се разгледуваат во овој модел заради поедноставување, или заради некој друга причина, се означуваат со z( t ). Динамиката на постројката (3.75) е целосно опишана со фамилијата од модели (3.76), доколку за секое y( t), y( t n ) Y, u( t), u( t n ) U, z( t), z( t n ) Z и ψ Ψ, постои вектор на параметри θi Θ така што y f ( y( t), y( t n ), u( t), u( t n ), z( t), z( t n ), ψ ) y u z = fˆ ( y ( t ), y ( t n ), u ( t ), u ( t n ), θ ) na nb i Начинот на кој најчесто се дефинирани параметарот на несигурност θ и неговото множество на можни вредности Θ, најчесто зависи од структурата на f и ˆf, како и од степенот на сигурност на моделот. Во продолжение накратко ќе бидат објаснети најчесто користените вакви структури при управување со предвидување. u z Несигурности на модел на конечен импулсен одѕив Доколку имаме некоја постројка со m влезови и n излези, конечниот импулсен одѕив е претставен со помош на N реални матрици (n x m) H t. Елементот со индекс (i,j) од матрицата H t го претставува i-тиот излез од постројката кога на неа била применета импулсна влезна функција на влезната променлива u j. Во овој случај логично е да се претпостави дека коефициентите на конечниот импулсен одѕив, кои се мерат експериментално, не се комплетно точни и може да ги претставиме како функција од параметрите на несигурност. За да се опише зависноста на коефициентите може да се употребат различни типови функции, но најчесто се зема дека коефициентот на конечниот импулсен одѕив е може да има 42

54 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА вредност од некое ограничено множество ( H ) ( H ) ( H ), што значи дека ( H ) ( Θ ) = ( Hm ) + Θ, каде Θ е дефинирана со t ij t ij t i j t ij t ij t ij ( Hm ) ( H ) Θ ( H ) ( Hm ) t ij t ij ti j t ij t ij а Hm t го претставува номиналниот одѕив. Димензијата на векторот на параметри на несигурност се пресметува со изразот N ( m n). Во случај кога N е 40, а работиме со постројка која има 5 влеза и 5 излези, бројот на вакви параметри е 000, што е преголема бројка за да се реши минимакс проблемот во конечно време. Во овој случај, при моделирањето на несигурностите не е земено во предвид дека тие може да имаат одредена структура. Доколку ова подобро се разгледа, со структурирањето на нарушувањата, можеме значително да го намалиме множеството на параметри. Еден од првите начини да се структурираат овие параметри е со помош на линеарна функција од обликот: H q t = Gt θ j j j= Ова всушност значи дека целата постројка може да биде претставена како линеарна комбинација од q стабилни, линеарни и временски непроменливи постројки со непознати тежини θ j. Овој пристап е корисен кога имаме нелинеарна постројка, а линеарните модели се добиени со линеаризација во различни работни точки. А во продолжени ќе покажеме и дека тој е исклучително успешен при решавање на проблеми за робустноста на управувачите со предвидување. Тука треба да се појасни дека уште по генералниот начин на претставување на несигурностите ( H ) ( Θ ) = ( H ) + Θ може да се опише на овој начин доколку важи: каде t ij t ij t i j н м H ( Θ ) = ( H ) + Θ H t t ij ti j ij и= ј= H ij е матрица во која само елементот со индекси (i, j)е еднаков на еден, а сите други елементи се еднакви на нула. Сега предвидуваните излези можат да се пресметаат според следнава равенка: N y( t + i) = ( Hm + θ ) u( t + j i) i= додека номиналниот предвиден излез е: N ym( t + i) = Hm u( t + j i) Опсегот на излезната променлива сега се движи во границите дефинирани со: i= i i i 43

55 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА N min θ u( t + j i) и max θ u( t + j i) θ Θ i θ Θ i= i= N i Опишување на несигурностите со помош на матрични фракции Во случај кога постројката има m влезови и n излези, за да ја опишеме може да се користи дискретен модел од следниов облик: каде A( z ) и A( z ) y( t) = B( z ) u( t ) (3.77) B( z ) се матрици од полиноми со соодветни големини. Во тој случај несигурноста на параметрите може да се опише со следниве изрази: ( A ) ( A ) ( A ) и ( B ) ( B ) ( B ) k ij k ij k ij k ij k ij k ij Овие изрази можат да се презапишат како ( A ) = ( A ) + θ и ( B ) = ( B ) + θ. 44 k ij k ij ak ij k ij k ij bk ij Бројот на параметри потребен за вака да се опише несигурноста ан системот е n n n + ( n + ) n m. При ваква репрезентација, несигурностите околу извршните a b елементи и времето на реакција (мртво време) во процесот, ќе се појават во коефициентите на полиномот B( z ), додека оние поврзани со временските константи најчесто се поврзуваат со коефициентите на полиномот A z ( ). Ако коефициентите на овие полиноми се добиени со идентификација на множество од влезно/излезни променливи, тогаш коваријансната матрица ни кажува колкава несигурност имаат параметрите. Најчест случај во индустријата е кога секој од овие елементи се претставува со статичко засилување, временска константа и соодветно време на реакција (мртво време). Границите во кои ќе се движат параметрите на полиномите A( z ) и B( z ) можат да се добијат од границите на статичкото засилување и временските константи. Од друга страна, несигурностите поврзани со времето на реакција (мртво време) се многу покомплицирани за справување. Доколку границите на несигурност на времето на реакција (мртво време) се поголеми од една периода на земање на примероци, тогаш во несигурноста ќе спаѓа и редот на полиномот, па некои негови коефициенти ќе може да се менуваат во нула и обратно, од нула да добиваат вредности. Доколку границите на несигурност се помали од времето на земање на примероци, тогаш основната структура на моделот не мора да се менува, но и во двата случаи несигурностите поврзани со времето на чисто доцнење (мртво време) се преточуваат во големи несигурности на коефициентите на полиномната матрица B( z ). Равенките за предвидените излези можат да бидат претставени преку зависност од несигурните параметри, но во тој случај изразите би биле премногу сложени. Ваквите равенки се практично неупотребливи бидејќи добиениот израз за минимизација не може да се реши во конечно време. Сепак во случај кога несигурностите влијаат само на полиномот B( z ), равенката за предвидените излези може да се поедностави до

56 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА тој степен да проблемот на оптимизација може да се реши во реално време. Несигурностите на овој полином можат да се претстават на повеќе начини, но најупотребуван е описот со помош на матрици на несигурност ( Bi = Bni + θi ). Во случај кога постројката може да се опише како линеарна комбинација од q познати линеарни временски непроменливи постројки со непознати коефициенти θ, полиномната матрица може да се претстави како: Полиномните матрици A( z ) и B( z ) P z i( ) q ( ) θipi ( z ) i= B z = претставуваат функции од полиномните матрици кои ги претставуваат матричните фракции за секоја постројка одделно. Во случај кога имаме множество од дијагонални матрици полиномните матрици P z i( ) може да се изразат како: q i ( ) = j ( ) i ( ) j=, i j P z A z B z i A( z ) Глобални несигурности Главната идеја при моделирањето со глобални несигурности е тоа дека сите грешки кои ги правиме при моделирањето се глобални и можеме да ги претставиме во еден вектор на параметри, така што постројката може да се опише со следното множество од модели: yˆ( t + ) = fˆ ( y( t), y( t n ), u( t), u( t n )) +θ ( t) при што димензијата на векторот на глобални несигурности е еднаква на n. na Доколку користиме модел на импулсен одѕив, предвидениот излез во временскиот момент t+j во присуство на параметарски и времени несигурности се пресметува со помош на следниве равенки: θ N yˆ( t + j) = ( Hm + θ ) u( t + j i) i= N yˆ( t + j) = ( Hm ) u( t + j i) + θ ( t + j) θ i= i i N Според ова ( t + j) = Σ i= 0 iu( t + j i), а во случај кога u( t ) е ограничен (што практично секогаш е случај), може да се пресметаат ограничувањата на i-тата компонента ( θ, θ ) од векторот θ ( t + j) според следните равенки: i i nb i i 45

57 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА N θ = min θ u( t + j i) i u( ) U, θi Θ i = 0 N θ = max θ u( t + j i) i u( ) U, θi Θ i = 0 Бројот на параметри на несигурност е намален од N x (m x n) на n, но пристапот во овој случај е малку поконзервативен поради тоа што во овој случај ги ограничуваме несигурностите во системот со минимална и максимална граница. Во секој случај, овој начин на претставување на несигурностите на системот е многу поприроден и тука директно од равенката се гледа квалитетот на предвидувањето. За систем претставен со матрични фракции моделот на несигурности може да биде претставен како: каде θ( t) Θ е ограничено со e( t) θ ( t) e ( t). ti ti Aɶ ( z ) y( t) = B( z ) u( t ) + θ( t) (3.78) Големата предност на овој опис е тоа што во него не се бара системот да биде линеарен (што беше случај при моделирање со параметарската и фреквентна несигурност), туку доволно е системот да може приближно да се опише со линеарен модел, во смисла сите можни траектории на системот да бидат вклучени во подрачјето на несигурностите кое зависи од границите θ ( t) и θ ( t). Во науката се уште се полемизира околу тоа дали овој начин на моделирање на несигурностите не одговара повеќе на надворешни нарушувања отколку на структурните несигурности, поради начинот на кој тие делуваат во моделот на системот. Моделот кој е презентиран со равенката (3.78) претставува проширување на концептот на интегрирана грешка, кој се користи во CARIMA моделите. Заради тој факт, со тек на времето опсегот на несигурностите ќе се проширува. Една прегледна илустрација на овој проблем е презентирана во Boucher и др. (996) Функција на цена Целта на функцијата на цена е да обезбеди математички апарат со кој ќе се пресметаат идните вредности на управувањето u( t), u( t + ), u( t + N u ), на таков начин да j-тиот предвиден излез y( t + j t) се доведе најблиску до w( t + j). Начинот на кој системот ќе се приближува до посакуваната траекторија се нагодува со помош на функцијата на цена J која зависи од моменталните и идните управувачки вредности и од несигурностите. Доколку несигурностите кои ги воведовме во системот се стохастички, најчесто се минимизира функцијата за најочекуваната состојба на несигурностите. Во случај кога во системот имаме експлицитно добиени ограничени несигурности, можат да се пресметаат границите (екстремните вредности) на предвидените траектории. Па доколку наместо на најочекуваниот случај направиме минимизирање на најлошите можни случаи, ќе добиеме по робусно управување. Ова се постигнува со решавање на : 46

58 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА min max J ( u, θ ) u U θ Θ Функцијата што треба да ја минимизираме е максимум од некоја норма (функција) која ни кажува колку добро излезите од процесот ги следат нивните референтни траектории. Во зависност од потребите на системот, можат да се употребат различни равенки на норма Квадратна функција на цена Доколку предвидувањата за идните вредности на системот можеме да ги добиеме според равенката y = Guu + Gθθ + f (3.79) каде θ = [ θ( t + ), θ ( t + 2),, θ ( t + N)] T го претставува векторот на идни несигурности, y го претставува векторот на предвидени излези, f го претставува слободниот одѕив (што во овој случај значи одѕив кој зависи од минатите излези, до временскиот момент t) и минатите влезови, а u ги претставува моменталните и идните управувачки дејства. Да го разгледаме следниов квадратен критериум за конечен хоризонт: N y j= N j= Nu 2 2 J ( N, N, N ) = [ yˆ ( t + j t) w( t + j)] + λ[ u( t + j )] y u (3.80) Со комбинирање на равенките (3.79) и (3.80) функцијата на цена може да се запише како T T J = ( G u + G θ + f w) ( G u + G θ + f w) + λu u u θ = u M u + M u + M + M θ + θ M θ + θ M u T T T uu u θ θθ eu u θ (3.8) Каде w е вектор кој ја содржи низата на референтни сигнали w = w t + N w t + N y [ ( ),, ( )] T Функцијата J ( u, θ ) може да се изрази како квадратна функција од θ за секоја вредност на управувачкиот сигнал u θ = θ θ + θ + (3.82) ' ' J ( u, ) T Mθθ M e( u) M u каде ' T M e Mθ u Mθ = + и ' T M M M uu u M uuu = + +. Да дефинираме множество од максимални вредности на функцијата на цена како: Матрицата M t θθ Gθ Gθ Jm( u) = max J( u, θ) θ Θ = е позитивно дефинитна заради тоа што G θ претставува долно триаголна матрица со сите елементи на главната дијагонала еднакви на еден. Бидејќи матрицата M θθ е позитивно дефинитна, функцијата е стриктно конвексна и максимумот на функцијата J ќе биде достигнат во една од граничните точки на политопот Θ (анг. polytope конечен регион во n-димензионален простор, 47

59 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА ограничен со хипер рамнини). Доказот за ова и подетални објаснувања може да се најдат во (Bazaraa и Shetty 979). За дадена вредност на управувачкиот сигнал u проблемот на максимизација се ( ) решава така што се одредува која од 2 N n гранични точки на политопот Θ доведува до максимална вредност на функцијата J ( u, θ ). Лесно се забележува дека Jm( u ) претставува квадратна (piecewise) функција од u. Сега да го поделиме доменот на u на неколку различни региони U p, така што така што максимумот на J ( u, θ ) е добиен за граничната точка θ p. За регионот функцијата Jm( u ) е дефинирана како: Jm( u) = u t M u + M ( θ ) u + M θ * * uu u p p u U, p U p каде M = M + θ M и * t u u p u M = M + M θ + θ M θ. * t θ p p θθ p Со избирање на вредност за параметарот λ која е поголема од нула, се обезбедува матрицата M да биде позитивно дефинитна. Според Bazaraa и Shetty (979) од тука uu произлегува дека функцијата е конвексна, и дека сите локални решенија на проблемот на оптимизација се еднакви на глобалните решенија на овој проблем. Со користење на оваа функција на цена се избегнува еден од најголемите проблеми при нелинеарното програмирање, а тоа се локалните минимуми. Сепак, времето кое е потребно за да се направи минимизацијата над целото множество од гранични точки на политопот, најчесто е премногу големо за да може да се примени во реални апликации. Ова време, заедно со комплексноста на математичките пресметки може да се намали со користење на некоја друга функција на цена Норма - Во трудот на Campo и Morari (987) е покажано дека со користење на - нормата, минимакс проблемот може да се сведе на проблем од линеарно програмирање, кој може да се реши со голем број на познати алгоритми и бара значително помалку пресметковни ресурси. Овој алгоритам, првично е развиен за модел на импулсен одѕив, а подоцна се покажало дека многу лесно може да се преуреди за да важи и за моделот со матрични фракции. Функцијата на цел сега е опишана со следниов израз: J ( u, θ ) = max y ˆ( t + j t ) w ( t ) = max max y ˆ ( t + j t ) w ( t ) j= N j= N i= n i i (3.83) Доколку ја искористиме равенката за предвидување y = Guu + Gθθ + f и дефинираме g( u, θ ) = y w, проблемот на пронаоѓање на управувачкото дејство можеме да го изразиме како: Доколку го дефинираме µ *( u) како min max max g ( u, θ ) u U θ Θ i= n N i 48

60 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА µ * ( u) = max max g ( u, θ ) θ Θ i= n N и ако може да се најде позитивен реален број µ кој задоволува µ g ( u, θ ) µ, θ Θ за i = n N, јасно е дека µ е горна граница на функцијата µ *( u). Проблемот сега се преформулира како наоѓање на најмалата горна граница од µ за некоја вредност на управувачкиот сигнал u U, за сите вредности на θ Θ. Доколку сакаме да ги вклучиме и ограничувањата на управуваната величина, проблемот на оптимизација го добива следниов облик: i i min µ µ, u така што: µ gi ( y, θ ) µ за i =,, n N yi wi gi ( y, θ ) yi wi θ Θ Со ова го трансформиравме управувачкиот проблем така што добивме функција на цена кој е линеарна во однос на променливите µ и u, и има конечен (преброив) број на ограничувања. Дополнително, ако сакаме да додадеме и ограничување на вредноста на управувачкиот сигнал ( U, U ) и неговата брзина на промена ( u, u ), проблемот можеме да го дополниме до следниот облик: min µ µ, u така што: µ Guu + Gθ θ + f w µ Guu Gθθ f + w θ ε y Guu + Gθθ + f y Guu Gθθ f u u u u U Tu + u( t ) U Tu u( t ) Каде претставува ( N n) m, која е формирана од N m m матрици, а T, претставува долно триаголна матрица, чии елементи (оние кои се различни од нула) се m m идентични матрици. Останува уште да го дооформиме обликот на овој израз во форма која ќе биде лесна за пресметување: каде min c t x така што Ax b, x 0 x m Nu u u t t t t t t t t t x = c = [0,,0,] A = [ A,, A N, A ] [ 2 u b = b,, b N, b ] 2 u µ Матриците од горниот израз 49

61 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Gu Guu Gθθ i f + w I 0 u u Gu Guu Gθθ i f w + + Ai = Au = T 0 bi = bu = U + Tu + u( t ) Gu 0 y Guu Gθθ i f T 0 U Tu u( t ) G u 0 y + Guu + Gθθ i + f кадеθ i е i-тата гранична точка од 2 n N гранични точки во множеството ε. Во овој случај, бројот на променливи во линеарниот проблем ( m N u + ) е многу n N помал од бројот на ограничувања ( 4 n N 2 + 3m N u ), што многу го олеснува решавањето на дуалниот проблем на линеарно програмирање. Сепак тука мора да нагласиме дека бројот на ограничувања може осетно да се намали заради специјалната форма на матрицата А. Ако добро ја разгледаме j-тата колона за секој од изразите на ограничување Ai x bi, поради тоа што A = A2 = = A2 N, единственото ограничување кое ќе биде важно (и ќе ги опфаќа сите други ограничувања) е онаа редица која има најмала вредност за b i. Според тоа можеме да ги елиминираме сите останати 2 n ограничувања и новата вредност на бројот на ограничувања ќе биде 4 n N + 3m Nu норма Претходно разгледаната - норма ги задоволува барањата на инженерите во однос на робустноста при проектирање на управувачите, но таа експлицитно ги обработува само максималните вредности на нарушувањата. Малку поинаков пристап од тоа нуди -нормата која е поприфатлива за мерење на перформансите на даден управувач. Allwright (994) покажал како претходниот метод може да се доведе до - норма, доколку процесот е опишан со помош на конечен импулсен одѕив. Функцијата на цел е дадена со следниот израз: каде N и Ny n J( u, θ) = y ( t + j t, θ) w ( t + j) + λ u ( t + j ) Nu (3.84) i i i j= N i= j= i= N y ги претставуваат почетокот и крајот на хоризонтот на предвидување, а N u ја претставува вредноста на хоризонтот на управување. Ако за секое θ Θ може да се најде множество µ i 0 и βi 0 така што ќе биде исполнето: тогаш γ претставува горна граница на ( y ( t j) w ( t j) ) µ + + µ i i i i β u ( t + j ) β i i i n N m Nu 0 Σ i= i + Σi= i µ λ β γ m Ny n µ *( u) = max y ( t + j, θ) w ( t + j) + λ u ( t + j ) Nu i i i θ ε j= N i= j= i= со ова проблемот може да се редуцира до барање на минимум на горната граница γ. m 50

62 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА Ако сега овој модел го дополниме со глобални несигурности и ограничувања на управувачките сигнали ( U, U ) и нивната брзина на промена ( u, u ) формулација за проблемот со линеарно програмирање е дадена во продолжение: min µ µ, u така што: µ Guu + Gθθ + f w µ Guu Gθθ f + w θ ε y Guu + Gθθ + f y Guu Gθθ f β u β u u u u u U Tu + u( t ) U Tu u( t ) t γ µ + λβ 5, новата Овој проблем може да се трансформира во вообичаената форма на линеарното програмирање: каде каде матриците ја имаат следнава форма: min c t x така што Ax b, x 0 x u u m Nu n N m Nu µ t x = c = [0,,0,0,,0,0,,0,] β γ A = [ A,, A, A ] b = [ b,, b, b ] t t t t t t t t N 2 u N 2 u Gu I 0 0 Gu u Gθθ i f + w Gu I 0 0 Guu Gθθ i f w + + Ai = bi = Gu y Guu Gθθ i f Gu y + Guu + Gθθ i + f I u u I 0 I 0 u I 0 I 0 u A u = T bu = U Tu u( t ) T U + Tu + u( t ) 0,,,, 0 n N m Nu

63 ГЛАВА 3 ТЕОРЕТСКИ ОСНОВИ НА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА и кадеθ i е i-тата гранична точка од 2 n N гранични точки во множеството ε. Бројот на променливи во овој проблем на линеарно програмирање е 2 m N + n N +, а бројот n N на ограничувања е 4 n N m N u +. Како и претходно и тука бројот на ограничувањата е многу поголем од бројот на променливи, што значи дека за решавање на овој проблем ќе биде потребна помала пресметковна моќ. И тука на ист начин како и во нормата - може да се намали бројот на ограничувања заради специјалната форма на матрицата А. Ако добро ја разгледаме j- тата колона за секој од изразите на ограничување Ai x bi, поради тоа што A = A = = A, единственото ограничување кое ќе биде важно е онаа редица која 2 2 N има најмала вредност за b i. Според тоа можеме да ги елиминираме сите останати 2 N ограничувања и новата вредност на бројот на ограничувања ќе биде 4 n N + 5 m N u +. Во пракса -нормата како функција на цена е најупотребувана заради комбинацијата на добри перформанси и релативно малата потребна пресметковна моќ. u 52

64 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ 4. ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Алатките за управување со предвидување кои во денешно време се користат во индустријата се многу малку. Уште повеќе, речиси и да нема некоја стандардна алатка за управување со предвидување која е широко достапна и со која може да се испробува овој алгоритам. Целта на ова поглавје е да се покаже како може да се проектира управувач со предвидување базиран на модел во неколку чекори. Предложената методологија е презентирана на Слика 4-, каде можат да се забележат сите чекори кои се потребни при проектирањето на управувач со предвидување базирано на модел. За реализација на управувачкиот алгоритам ќе ја користиме работната околина на програмскиот пакет MATLAB. Пред да ја изложиме методологијата за проектирање на управувач со предвидување, потребно е да ги презентираме математичките основи на кои таа ќе се темели. Во конкретниов случај ќе користиме проширен дискретен модел во просторот на состојби. 4.. Проширен модел во просторот на состојби Класичниот модел во простор на состојби кој се користи при дизајн на управувачи со предвидување е детално образложен во глава Во продолжение ќе воведеме проширен (или дополнет) модел во просторот на состојби. При изведувањето на математичката репрезентација на овој модел ќе биде користен систем со еден влез и еден излез, заради поедноставување на равенките. Се разбира, по аналогија, проширениот модел на системот со еден влез и еден излез, лесно може да се преуреди на начин што со него ќе може да се претставуваат и повеќевеличински системи. Дискретен модел во простор на состојби на еден SISO процес може да се претстави со следниве равенки: x ( k + ) = A x ( k) + B u( k), (4.) m m m m y( k) = C x ( k), (4.2) каде u ја претставува управувачката променлива; y е излезот од процесот; и x m го претставува векторот на состојбени променливи со димензија n. Сега ќе го промениме овој модел и во него ќе интегрираме интегратор со цел да го олесниме проектирањето на управувач со предвидување. m m 53

65 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Со одземање на вредностите од двете страни на изразот (4.) во два соседни моменти се добива: x ( k + ) x ( k) = A ( x ( k) x ( k )) + B ( u( k) u( k )). m m m m m m Слика 4- Методологија на проектирање на управувач со предвидување Сега можеме да ја дефинираме разликата на состојбениот вектор како: x ( k + ) = x ( k + ) x ( k); x ( k) = x ( k) x ( k ), m m m m m m 54

66 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ и промената на управувачкото дејство како u( k) = u( k) u( k ). Овие променливи ги претставуваат нараснувањата на состојбените променливи x m(k) и на влезот во системот u(k). Доколку ги замениме овие изрази во првичната равенка се добива: x ( k + ) = A x ( k) + B u( k), (4.3) m m m m Како влез во новиот модел на состојби се јавува промената на влезниот сигнал u( k). Следниот чекор е да се поврзи излезот од системот y( k ) со состојбените променливи xm ( k). За да се направи тоа се избира нов вектор на состојбени променливи T x( k) = [ x ( k) y( k)] Доколку ја преуредиме равенката (4.2), така што: m T y( k + ) y( k) = C ( x ( k + ) x ( k)) = C x ( k + ) = m m m m m = C A x ( k) + C B u( k) m m m m m (4.4) Сега да ги составиме равенките (4.3) и (4.4) во еден систем, по што го добиваме следниов модел во простор на состојби: x( k + ) A x( k ) B T xm ( k + ) Am om xm ( k) Bm u( k) y( k ) = Cm Am y( k) + CmB + m C xm ( k) y( k) = [ om ], y( k) (4.5) n каде o m = [ ]. Тројството (A, B, C) го нарекуваме проширен модел во простор на состојби и во продолжение ќе го користиме за проектирање на управувачи со предвидување. Скрипта за префрлање од обичен во проширен модел во простор на состојби е приложена во Прилог А Проектирање на управувач со предвидување После дефинирањето на математичкиот модел на системот, потребно е да се пресметаат идните управувачки вредности кои би го стабилизирале системот. Квалитетот на овие идни управувачки дејства се цени во рамните на некој хоризонт (прозорец) на предвидување. Во овој случај претпоставуваме дека временскиот момент во кој се врши оптимизацијата е k, а хоризонтот на оптимизација е N p, изразен во број на чекори. Исто така се претпоставува и дека во временскиот момент k i, k i>0, состојбениот вектор x(k i), е мерлив. Траекторијата на системот е целосно одредена од u( k ), u( k + ),, u( k + N ), i i i C 55

67 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ каде N C се нарекува хоризонт на управување и го претставува бројот на параметри кои ќе ги користиме за да го постигнеме саканото управување со системот. Идните состојби на системот ги означуваме како x( k + k ), x( k + 2 k ), x( k + m k ),, x( k + N k ). i i i i i i i P i Врз основа на проширениот модел во простор на состојби, може да се пресметаат идните вредности на состојбите, со помош на множеството од идни вредности на управувачкото дејство на следниов начин: x( k + k ) = Ax( k ) + B u( k ) i i i i x( k + 2 k ) = Ax( k + k ) + B u( k + ) i i i i i = ( ) + ( ) + ( + ) 2 A x ki AB u ki B u ki NP NP NP 2 ( i + P i ) = ( i ) + ( i ) + ( i + ) x k N k A x k A B u k A B u k NP NC + + A B u( k + N + ). Од тука многу лесно можат да се добијат равенките за предвидените излези: i C y( k + k ) = CAx( k ) + CB u( k ) i i i i y k k CA x k CAB u k CB u k 2 ( i + 2 i ) = ( i ) + ( i ) + ( i + ) y k N k CA x k CA B u k CA B u k NP NP NP 2 ( i + P i ) = ( i ) + ( i ) + ( i + ) Ако сега ги дефинираме векторите NP NC = + + CA B u( k + N ). (4.6) Y = [ y( k + k ) y( k + 2 k ) y( k + 3 k ) y( k + N k )] U = [ u( k ) u( k + ) u( k + 2) u( k + N )] i i i i i i i i P i i i i i C Каде во овој случај (SISO систем) димензијата на Y е N C, а димензијата на ΔU е N C. Ако се преуреди равенката (4.6) во компактна форма, се добива каде: 56 C Y = Fx( k ) + Φ U, (4.7) 3 2 F = CA Φ = CA B CAB CB i CA CB CA CAB CB 0 0 ; 0 N P N P N P 2 N P 3 N P N C CA CA B CA B CA B CA B Ако сакаме да го управуваме сигналот мора да ни е позната состојбата во која сакаме да го доведеме истиот, односно неговата референтна траекторија r(k). Во алгоритмите за управување со предвидување, функцијата на цена има задача да го оптимизира управувањето, односно да пресмета за кои вредности на влезниот T T

68 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ сигнал, излезот од системот ќе има најмало отстапување од референтниот сигнал. Да претпоставиме дека векторот за референтната траекторија содржи податоци за некоја поставена точка (има константна вредност): N P y T ( δ ) = [ ] r( k i ) Сега може да ја дефинираме функцијата на цена како J = ( δ y Y) T ( δ y Y) + U T λ U, (4.8) каде првиот израз е задолжен за минимизирање на разликата помеѓу излезот од постројката и референтната траекторија, додека вториот израз обезбедува механизам за управување со големината на промена на управувачкиот сигнал. λ претставува дијагонална матрица во формата λ = rw I NC N, ( r 0) C w >, каде r w се користи како параметар за нагодување на перформансите на затворениот систем. Во случаи кога не ни е важно колкава ќе биде промената на грешката, можеме да замениме вредност r w = 0 во функцијата на цена, по што ќе отпадне вториот дел од равенката. Од друга страна, доколку работиме со процес кој не може брзо на ја менува вредноста на управувачкото дејство, или од некој причина тоа не ни е дозволено, тогаш за r w се избира некоја голема вредност. За да се најде оптималната вредност на ΔU потребно е да се минимизира функцијата на цена. Со помош на равенката (4.7), функцијата на цена може да се претстави како: y T y T T y T T J = ( δ Fx( k )) ( δ Fx( k )) 2 U Φ ( δ Fx( k )) + U ( Φ Φ + λ) U. (4.9) i i i Ако побараме прв извод од равенката за функцијата на цена, се добива: J U = 2 Φ T ( δ y Fx( k )) + ( Φ T Φ + λ) U, i (4.0) Со решавање на условот за минимум на функцијата на цена J U = 0, се добива оптималниот сигнал на управување ( T = Φ Φ + λ) Φ T ( δ y ( )) (4.) U Fx k i T Под претпоставка дека детерминантата на матрицата ( Φ Φ + λ) е различна од нула, се добива реален број. Пример за пресметување на оптималната вредност на управувачкиот сигнал, според претходно дадените равенки може да се најде во Прилог Б. Во случај на работа со повеќевеличински системи равенката (4.5) го добива обликот од равенка (4.2), каде вредноста еден која фигурираше за системите со еден влез и еден излез сега се заменува со матрица q q, каде q го претставува бројот на излези од I системот кој треба да биде помал или еднаков на бројот на влезови во системот m. 57

69 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ T xm ( k + ) Am om xm ( k) Bm u( k) y( k ) = Cm Am I q q y( k) + CmB + m xm ( k) y( k) = om Iq q, y( k) (4.2) Доколку на ист начин како и за системот со еден влез и еден излез се пресмета оптималната вредност на управувачкиот сигнал за повеќевеличинскиот систем, ќе ја добиеме следнава равенка за промената на управувачкото дејство: N c T T y T u( ki ) = [ Im om om ]( φ φ + λ) ( φ δ r( ki ) φ Fx( ki )) (4.3) = K r( k ) K x( k ), y i mpc i 4.3. Опис на карактеристиките на управувачкиот софтвер После дефинирањето на основните карактеристики и математички инструменти за реализирање на еден управувач со предвидување, потребно е да се направи концептуалниот дијаграм на состојби во процесот на управување. Во нашиот случај графиконот на состојби за управувачот е презентиран на Слика 4-2. Слика 4-2 Дијаграм на состојби на еден управувач со предвидување 58

70 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ И покрај тоа што во овој графикон состојбите се последователни при работа со управувачот, не мора да се внесат сите податоци кои се наведени во графиконот. Ова особено важи при компјутерски симулации, каде не мора да се внесуваат ограничувања, но тоа е препорачливо бидејќи резултатите од управувањето можат значително да се разликуваат во зависност од тоа дали се избрани ограничувања при симулациите или не. Сепак она што е многу важно кај секој софтвер за управување е прегледноста и интуитивноста при работата со него. Не секој инженер во индустријата е детално запознаен со алгоритмите со кои работи дадената алатка, па за поедноставување, потребно е да се направи едноставен и прегледен интерфејс за корисници кој нема да бара од инженерите големи познавања во алгоритмите на управување и ќе им овозможи брзо и едноставно привикнување на алатката. Во овој труд е направена комерцијална алатка за управување со предвидување. Кодот за оваа алатка комплетно е реализиран во програмскиот пакет MATLAB. Изгледот на алатката за управување со предвидување е претставен на Слика 4-3. Алатката е поделена на седум организациски делови и сите тие ќе бидат детално објаснети во продолжение. Слика 4-3 Софтверска алатка за управување со предвидување Панел за избор на модел на системот За почеток ќе ја објасниме функцијата на панелот за избор и конфигурирање на модел, бидејќи целата теорија на управување со предвидување на база на модел се темели на познат (или најверојатен) модел на системот. Впрочем, за да можеме да ги 59

71 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ искористиме овие алгоритми мора да имаме некаков модел на системот. Во оваа алатка се разгледуваат два начини на внесување на модел на системот. Тоа е со помош на преносна функција или со помош на модел во просторот на состојби. Панелот за избор и конфигурирање на моделот е претставен на Слика 4-4. Најпрво од паѓачкото мени се избира дали сакаме да работиме со преносна функција или со модел во простор на состојби, а после тоа, во зависност од нашиот избор, ги внесуваме системските матрици или полиномите на преносната функција. Треба да се наспомене дека при внесување на полиномите, постои само едно поле за внесување на целата преносна функција (која може да има повеќе влезови и повеќе излези), па потребно е да се внимава така што информациите за влезовите се пишуваат во иста редица, сите ограничени со средни загради и меѓу себе одделени со запирка, а податоците за излезите се одделени во нова редица. Според тоа, доколку сакаме да провериме дали точно сме ги внесле податоците (на пример за преносната функција помеѓу вториот влез и првиот излез) ги проверуваме соодветниот ред за излезот и соодветната колона за влезот (во нашиот пример редица еден, колона два num=[0.9], den=[ -0.8]) во полиномите на преносната функција. Слика 4-4 Панел за избор на модел и внесување на параметри во модел Во случај кога работиме со модел во просторот на состојби, потребно е да се внесат системските матрици A, B, C и D од моделот на системот, кои претходно се пресметани или идентификувани. Матрицата A е квадратна со број на редици и колони колку што има состојбени променливи. Бројот на влезови во системот е дефиниран со колоните на матрицата B, а бројот на излези од системот е дефиниран со бројот на редици во матрицата C. Матрицата D ја претставува зависноста на излезите од надворешните нарушувања. Сепак, кога работиме со модел во просторот на состојби, потребно е состојбените променливи на системот да бидат мерливи, или најмалку набљудливи. Независно од тоа дали се пополнети и полињата за преносна функција или матриците во просторот на состојби, програмот работи со оној дел кој е посочен од паѓачкото мени, а ги игнорира непотребните полиња. Исто така пред да започне со работа процесот проверува дали се конзистентни податоците во однос на бројот на влезови и излези. 60

72 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Основен панел за внесување на параметри После моделот на системот, мора да се внесат одредени параметри кои се суштински и неизбежни при работата со алгоритмите за управување со предвидување базирано на модел. Затоа панелот на кој се наоѓаат овие параметри е наречен основен панел за внесување на параметри. На овој панел се внесува бројот на чекори за кои сакаме да работи апликацијата, при што времето кое таа ќе работи е еднакво на бројот на чекори помножен со периодата на семплирање. Кога работиме со симулации препорачливо е оваа вредност да си избере така што ќе биде разумно мала, односно доволна за системот да се стабилизира во близина на зададените вредности. Избирање на голем број на чекори при компјутерски симулации е непотребно бидејќи алатката, за симулирање го користи истиот модел кој го користи и за предвидување на идните вредности на управуваните величини. Потоа мора да се внесат и вредностите за должината на хоризонтот на предвидување и должината на хоризонтот на управување. Во овој случај треба да се внимава хоризонтот на управување да биде помал од хоризонтот на предвидување, бидејќи не е потребно алгоритамот да ги пресметува идните управувачки дејства за време кое е подолго од времето на оптимизирање на функцијата на цена. Слика 4-5 Основен панел за внесување на параметри Во овој панел се наоѓа најважниот параметар за управувачот со предвидување (ако не го сметаме моделот на системот), а тоа е периодата на семплирање на системот. Пред да се внесе вредност на периодата на семплирање, препорачливо е да се направи тестирање на минималната дозволена периода на семплирање, кое се прави врз база на симулации и пресметки на максималното време (во секунди) потребно за да се изврши еден чекор од алгоритамот. За управувачот да знае кон кои вредности да ги води излезите на системот, потребно е да се внесат и референтни вредности. Треба да се постават онолку референтни вредности колку што има излези од системот. Истите се внесуваат во средни загради 6

73 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ одделени со знакот ;. На крај треба е да се избере дали ќе се работи на симулација или на реално поврзување со системот. Кога се работи за симулација управувачот не мора да ги почитува периодите на земање примероци (во реални временски мерки), бидејќи сите времиња ќе бидат симулирани, па процесот се одвива релативно брзо. Од друга страна кога се работи на реална апликација, исклучително е важна синхронизацијата со мерните уреди на теренот и времињата на читање на податоци и праќање на нови вредности за управувачите дејства. Заради тоа управувачот користи временски точки и не започнува со следниот чекор во итеративното извршување на алгоритамот се додека не заврши моменталната временска точка. Во овој панел се наоѓаат и полињата за внесување на тежинските матрици за y управуваните величини - δ и за брзината на промена на управувачкиот сигнал - λ. Со помош на овие вредности може да се нагодува функцијата на цена на управувачот Дополнителни панели за внесување на параметри Во продолжение ќе бидат претставени три панели кои не се задолжителни при симулации со оваа алатка, а се потребни или корисни при апликативно користење на алатката. Менито за пресметување на минималната дозволена периода е прикажано на Слика 4-6 а). Со притискање на копчето пресметај, се извршува брза симулација на алгоритамот, врз основа на внесениот модел и параметри. Овие пресметки се прават така што при симулацијата на затворениот систем, управувачот во секој чекор го забележува времето потребно за пресметување на нова вредност на управувачкиот сигнал. После завршувањето на симулациите, се избира најголемото време за извршување на алгоритамот и истото се зголемува за 20%. Добиеното време ја претставува минималната дозволена периода на семплирање. Програмскиот код со кој се извршува пресметувањето на оваа вредност е даден во Прилог В. Слика 4-6 Панели за избор на а) периода, б) број на В/И и в) комуникација Менито за избор на број на влезни и излезни променливи (Слика 4-6 б)) служи за проверка на тоа дали внесените преносни функции или внесените системски матрици имаат еднаков број на влезови и излези како и овде наведените вредности. При внесување на системските матрици B и C, или при внесувањето преносните функции овие полиња автоматски ги преземаат новите вредности за бројот на влезови и излези и информираат во случај на впишување на неконзистентни податоци. 62

74 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Во случај на имплементација на алгоритамот на оваа алатка во реално време, потребно е да се избере начинот на комуникација со мерните уреди и извршните елементи. Оваа алатка подржува три типови на комуникација од панелот Слика 4-6 в) и тоа: сериска комуникација со помош на RS-232 кабел USB комуникација со помош на стандарден компјутерски USB кабел Ethernet комуникација управување преку компјутерска мрежа Сите три типови на комуникација подразбираат дека овој управувачки софтвер комуницира со некој интелигентен уред кој може да толкува пораки за читање и примање на податоци. На почеток на секој управувачки чекор, во зависност од тоа кој комуникациски тип е избран се испраќа порака на соодветната порта за исчитување на вредностите на мерените величини (излезите, а ако има потреба и состојбените променливи и мерените нарушувања). После прилагодувањето на овие податоци се извршува алгоритамот на компјутерот и тој ја пресметува следната вредност за управувачките променливи која треба да се испрати до извршните елементи. Кога овие вредности се спремени, веднаш се испраќаат на уредот кој ги менува вредностите на извршните елементи. Пред да започне следниот циклус се чека да помине времето на временскиот интервал (бидејќи алгоритамот е побрз од една периода на земање на примероци). Во случај да се користи Ethernet комуникацијата, потребно е компјутерот и уредот кој ги управува извршните елементи да имаат единствени IP адреси во мрежата. Во овој случај исто така постои можност за управување на повеќе процеси со помош на истиот управувач Панел за внесување на ограничувања на влезовите и излезите Управувањето со предвидување вообичаено прикажува одлични резултати при симулациите, но таквите перформанси не може да се повторат при управување на реални процеси. Најчесто тоа се должи на фактот што инженерот на системот не ги внесол комплетните карактеристики на елементите употребени за автоматизација на постројката. Поточно, кога се прави модел на системот мора да се земат во предвид и елементите на автоматизација кои ќе се користат при реализација на управувачкиот алгоритам, како и физичките ограничувања на управуваните величини. Со цел да се избегнат такви превиди во проектирањето, оваа алатка нуди можност за специфицирање на ограничувања на управувачкиот сигнал, брзината на промена на управувачкиот сигнал и ограничувањата на управуваните величини. Ограничувањата на управувачкиот сигнал се резултат на неможноста да се направат идеални извршни елементи. Доколку овој сигнал претставува некоја електрична величина напон, јасно е дека има граници до кои може да се менува неговата вредност. За величините кои се неелектрични овој заклучок уште повеќе држи, па во случај кога влезна величина ни претставува отвореноста на некој вентил, ограничувањето е отвореноста на тој вентил во аглови степени (0-360 ) или во проценти (0%-00%). Ограничувањата на брзината на промена на управувачкото 63

75 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ дејство зависат од динамиката на извршниот елемент, а ограничувањата на управуваните величини, најчесто се физички (пример : нивото на некој резервоар не може да биде поголемо од неговата висина или помало од нула; пример 2: Ако некоја роботска рака има препрека со големина од 0 степени, таа не може да има позиција помала од 0 или поголема од 350 степени). Панелот кој ни дозволува да внесуваме ограничувања е прикажан на Слика 4-7. Покрај полињата за внесување на ограничувања, постојат и копчиња со кои можеме да нагодуваме дали алгоритамот во пресметките да ги вклучува и овие ограничувања или да ги пресметува идните вредности без ограничувања. Слика 4-7 Панел за внесување на ограничувања Доколку системот има реални ограничувања кои не се земени во предвид, управувачот ќе оптимизира грешна функција на цена, со што се добиваат погрешни вредности управувачкото дејство (најчесто се добиваат вредности кои се надвор од доменот на таа управувачка величина). Овие вредности не можат да се реализираат од страна на извршниот елемент и се нарушуваат резултатите добиени со предвидувањето во моделот на системот. Последиците од ваквото управување се прикажани преку илустративен пример во глава Панел за преглед на резултатите Од кога ќе се пополнат потребните податоци, може да се започне со симулирање или реална апликација на управувачот. Освен разликата во времето на извршување, нема поголеми разлики при двата мода на работа. Прегледот на резултатите и од симулациите и од режимот на работа во реално време се прикажуваат на десната работна површина како што е прикажано на Слика 4-8 за еден едноставен систем со два влезови и два излези. Во моменталната изведба алатката подржува работа со процеси кои имаат најмногу три влезови и најмногу три излези. Во делот каде се прикажуваат вредностите на излезните променливи, со зелена боја е означена вредноста на референтната траекторија која корисникот ја внесува, а со сина боја се означени вредностите добиени од мерните елементи поставени во процесот (или вредностите добиени со симулација врз основа на моделот на системот). За влезовите на графиконите има само една крива која ја претставува вредноста на зададеното управувачко дејство. 64

76 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Вредностите на хоризонталната оска на графиконите се реални и претставени во секунди. Значи доколку за некој процес времето на земање на примероци е една минута, потребно е да внесете 60 секунди. Слика 4-8 Панел за преглед на резултатите за време на работата на управувачот 4.4. Работен режим на софтверот за управување со предвидување На Слика 4-9 е прикажан работен режим на алатката за управување со предвидување. За дадениот пример избран е модел во простор на состојби, со три влезови и три излези. После пресметувањето на минималната вредност на периодата на земање на примероци добиена е вредност од 0,4853 секунди. На конкретниот пример, периодот на земање на примероци внесен од корисникот бил помал од оваа вредност, па програмот автоматски ја менува оваа вредност во минималната пресметана вредност и го обележува ова поле со црвена боја за да ми даде до знаење на корисникот дека автоматски направил промена. Во зависност од бројот на параметри во моделот на системот и изборот на вредностите за управувањето, минималното време кое му е потребно на алгоритамот знае да варира, но во нашите мерење најчесто се движи од 0.5 секунди до 0.5 секунди, што е задоволително за најголемиот број на процеси во индустријата. Алгоритамот во MATLAB кој ја претставува основата на оваа алатка е презентиран како Прилог Г. 65

77 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ Слика 4-9 Работен режим на алатката со грешно внесена периода Кога алатката работи на десната страна, каде се наоѓа панелот на презентирање на резултатите во реално време се исцртуваат графиконите за управувачките сигнали и управуваните величини во системот Вредност и влијание на алатката за управување со предвидување базирано на модел За да можеме да го разбереме значењето на алатката за управување со предвидување базирано на модел, мора уште еднаш, накратко да се навратиме на веќе постоечките вакви алатки. За сите алатки од овој тип, карактеристично е тоа што се наменети за конкретна индустрија (петро-хемиска, процесна, индустрија за производство на енергија и сл.) и за справување со одреден тип на проблеми. Заради специфичноста на алгоритмите, речиси и да нема можност за употреба на алатка наменета за една област, во некоја друга. Предноста на алатката за управување со предвидување базирано на модел која е проектирана како дел од овој магистерски труд е тоа што таа е интуитивна и лесно употреблива за секаков тип на процес, а посебно за помали едноставни постројки со број на влезни и излезни величини помал од десет. Тоа треба да овозможи популаризирање на овие алгоритми и охрабрување на истражувачите и инженерите во индустрија да преминат од класични кон интелигентни методи на автоматско управување. Уште една предност на оваа алатка, како и на целата класа на алгоритми за управување со предвидување базирано на модел е тоа што со нив може ефикасно да се планира и намали потрошувачката на енергенси во индустријата. Ограничувањата 66

78 ГЛАВА 4 ПРОЕКТИРАЊЕ НА СОФТВЕРСКА АЛАТКА ЗА УПРАВУВАЊЕ СО ПРЕДВИДУВАЊЕ БАЗИРАНО НА МОДЕЛ на вредностите на управувачкиот сигнал и неговата брзина на промена се само дел од начините на планирање на потрошувачката. Уште поважен дел е тоа што со помош на тежинските матрици, директно може да се менува и нагодува влијанието на управувачкиот сигнал во функцијата на цена. Во случај кога работиме со процес кој има голема потрошувачка на енергија можеме да ја зголемиме вредноста на тежинската матрица за управувачките сигнали λ а да ја намалиме вредноста на y тежинската матрица за управуваните величини δ. Со тоа ќе го нагодиме управувачот да ја штеди енергијата на сметка на побавен одѕив и мали нарушувања во стационарен режим. Намалувањето на вредноста на управувачкиот сигнал, во најголем дел од индустриските постројки значи директно намалување на цената на конечниот производ. 67

79 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА 5. ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА Индустриските печки се објекти кои многу често се среќаваат во индустриските погони од најразличен вид. Печките се важен дел од најразлични производствени погони како што се индустријата за стакло, цементната индустрија, ќерамичката индустрија, а посебно металургиските производни погони. Во металургијата индустриските печки служат за загревање на металите поради третман во тек на пластичната обработка. Такви се потисните печки во железарниците. Во индустријата за производство на заварени цевки и профили потребно е заварената челична цевка да се загрее на одредена температура пред да се третира во валавничкиот стан за преобликување. Овој термички третман обично се прави во индустриски печки кои како гориво користат нафта, мазут, природен или пропанбутан гас. Примената на правоаголни и квадратни челични профили во градежништвото, бродоградбата и други области ја наметна потребата од нивно поекономично производство. Лиените и извлекуваните профили кои досега имаа голема примена се доста скапи, поради што се пријде кон производство на заварени профили кои се добиваат со преобликување на заварени цевки во правоаголни и квадратни профили. Во последниве години во светот владее тренд од се поголема примена на овој вид на профили при што поради нивните добри технички карактеристики и моќност за оптоварување може да се намалат нивните димензии со што се намалува и нивната тежина. Оваа е посебно важно за профилите од 00х00тт до 400х400тт со дебелина од 4 до 6тт кои се произведуваат на топло и имаат одлични технички карактеристики бидејќи се ослободени од внатрешни напрегања. Термичкиот третман на цевките во печката е важен дел од процесот на производство на профили бидејќи нивните карактеристики во многу зависат како од материјалот, така и од термичкиот третман во печката. Заради тоа управувањето со процесите во печката, посебно со температурата, е многу значајна задача. Поради релативно големата должина на печката во која треба да се одржува униформност на температурата, присуството на временско доцнење и нелинеарност на поголем број на компонентите во системот, управувањето е доста усложнето. Поради големата моќност што ја има гасната печка за загревање на цевките потребно е да се воведе што пооптимално управување, за да се намали потрошувачката на гас. Во таа смисла, овој текст дава придонес со примена на методи на управување со предвидување базирани на модел и повеќевеличински третман на процесите во печката. 68

80 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА 5.. Инженерско технички опис на 20MW индустриска печка 5... Погонот за производство на топло валани профили Погонот за преобликување на челични цевки во правоаголни и квадратни профили е дел од фабриката за средни цевки (со дијаметар од ф59-ф508mm) и е изграден 980 год. Опремата е на фирмата "SELAS" од Франција. На Слика 5- е претставен погонот за преобликување на цевките. Влезот на цевките во производствениот процес може да биде од две места и тоа прво ако доаѓаат директно од линијата за производство на цевки преку ростот од каде се уфрлуваат на конвеерот 2 и второ ако шаржирањето е од складот, преку ростот 3 се уфрлуваат на почетниот дел на конвеерот 2. Слика 5- Погонот за топло преобликување на цевки во профили Со овој конвеер цевките се внесуваат во печката за загревање 4. Таа се состои од два дела и тоа првиот дел кој служи за загревање на цевките и вториот 5 кој служи за одржување на температурата. Ако се врши нормализациско жарење на цевките заради отпуштање на внатрешните напрегања, зоната за одржување на печката 5 е откриена и цевките од печката одат на попречниот конвеер 6 кој ги носи на влезот на линијата за аѓустирање (доработка, дотерување). Ако од цевките се прават профили, зоната за одржување е во функционална состојба и цевките излегувајќи од неа влегуваат во валавничките станови 7. Постојат шест валавнички стана за преформирање на цевките каде тие поминувајќи низ нив постепено се преформираат од цевка во правоаголни или квадратни профили. На излезот од валавничкиот стан профилот е прифатен од излезниот конвеер 8 кој ги поставува профилите на мостот за ладење 9. На мостот профилите се редат прилепено еден до друг попречно за да не дојде до искривување на истите поради деформациите кои настануваат поради ладењето. Овде профилите се задржуваат доста долго време бидејќи тој може да собере голем број на профили, што значи тие се ладат по неколку часови. Оладените профили одат на машината за исправување 0 која се состои од една 35T преса со која се врши исправување на искривените места. Откако ќе се изврши исправувањето профилите се разделуваат на два роста од каде се носат до машините за отсечување на краевите. Краевите на профилите се сечат бидејќи се деформирани поради тоа што почетокот и крајот на цевката при поминувањето и загревањето низ печката се 69

81 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА загреваат повеќе и доаѓа до нивна поголема деформација во валавничкиот стан (краевите на профилот се свиткуваат на внатре). Вообичаено е да се сечат 00-50mm. Откако профилите ќе се исечат на краевите се групираат на конвеерот 2 кој ги пренесува низ една мала гасна печка 3 која во зависност дали тие ќе се пескарат или бојадисуваат ги суши и загрева на некоја одредена ниска температура. Од оваа печка профилите поминуваат низ пескара 4 каде се врши пескарење со челична сачма (механичко чистење на површината на профилите). Со помош на конвеерот 5 профилите влегуваат во комората за бојадисување 6 каде по потреба се врши бојадисување на профилите со најразлични бои во зависност од нивната намена. Ваквите профили одат на ростот 7 каде се врши пакување во соодветни пакети кои се мерат со вагата 8 и излегуваат како готов производ на излезниот конвеер Технички опис Печката има две намени: Загревање на цевките на температура од 20 С до 980 С максимум, за да потоа бидат трансформирани во профили со правоаголен и квадратен пресек (Станува збор за температури на цевката на излез од печката). Обезбедување на комплетно нормализационо жарење на цевки на температура од 520 до 900 С на излез од печката. Гранични димензии на цевките кои се третираат: Надворешен дијаметар на цевките кои се профилираат 68 до 508mm Надворешен дијаметар на цевките кои се нормализираат mm Должина на цевките 6 до 2,2m. Извор на енергија: Пропан-бутан гас (=3.2 КWh/Nm 3 ) *Природен гас (= 9.6 КWh/Nm 3 ) Циклус на загревање: Влез на цевки на 20 С - излез на истите на 980 С Гранични брзини на линијата во печката: Минимум = 2 m/min Максимум = 4 m /mm Номинална продукција: 2,3 Т/h на цевки ф 68,3 mm со ѕид 5,6 mm, должина 0m, 2 Т/h на цевки ф 323,8 mm со ѕид 8mm, должина 0m, 25,5 Т/h на цевки ф 457,2 mm со ѕид 8mm, должина 0m, Забелешка: Овие количини важат за континуирано напојување на печката со цевки, при средно растојание од еден метар помеѓу цевките. Термички карактеристики: Инсталирана моќност: 20 МW 70

82 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА Потрошувачка: При производство од 2 T/h со цевки ф 323,8 со дебелина на ѕидот 8 mm, = 3,2 МW/h Конструкција на печката Печката се состои од десет идентични келии со должина од 2225 mm. Секоја ќелија е обложена со слој од 230mm огноотпорен бетон FURNACAST со 50 mm слој на изолација DIATISOL SHT. Огноотпорната облога е зацврстена за лим со дебелина од 5 mm кој е зајакнат со профили и ослонет на оклоп. Секоја ќелија има по еден валец кој е влечен од ланец и кој обезбедува пренос на цевките кои се третираат. Секоја ќелија има излез за продуктите на согорување (гасови), кој е обложен со 50 mm огноотпорен бетон и 50 mm изолација. Овие излези за гасови делумно се затворени со плочи со дебелина од 20 mm направени од огноотпорен бетон. Плочите се направени во вид на цигли кои се подвижни со што се нагодува флуксот на гасовите кои излегуваат од ќелијата. Секоја ќелија на долниот дел има по еден метален пепелник обложен со огноотпорен бетон и 20 mm изолационен материјал. Влезот и излезот на печката се затвораат со еден прстен кој има отвор спрема дијаметарот на цевката која се третира. Тунелот за одржување се состои од шест ќелии со должина од 2225 mm. Овие келии се направени од два дела и тоа горен и долен. Долниот дел е изработен од изолационен огноотпорен бетон а горниот дел е обложен со 230 mm влакнести паноа и е прицврстена на еден држач од лим со дебелина 5 mm засилен со профили и ослонет на оклоп. Горниот дел е подвижен и може да се демонтира во тек на циклусот на нормализација. И во овие ќелии има по еден валец кој преку еден верижен пренос е влечен од еден еднонасочен моторен погон Термичка опрема Греењето на цевките е обезбедено за време на нивниот премин низ секцијата печка на постројката. Оваа секција е поделена на три грејни зони: зона I = келии до 4 зона II = келии 5 до 7 зона III = келии 8 до 0 Греењето се обезбедува преку 8 горачи SELAS DNS за секоја ќелија. Овие горачи имаат максимален капацитет од 300 КW Во Прилог Б се дадени карактеристиките и опис на овој тип горачи. Одржувањето на температурата во зоната на одржување е обезбедено со гасовите од третата зона кои поминуваат низ овој тунел. Сепак како дополнување на оваа е предвиден по еден горач SELAS DNS по ќелија. Оваа четврта грејна зона се напојува со воздух и гас од зоната III, но поседува и автономна регулација. Инсталираната моќност за зоната за одржување е 600 КW. За да се обезбеди зголемување на температурата на цевката која се третира во печката поделбата на инсталираната моќност по зоните е приближно ваква: Зона I = 45% 7

83 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА Зона II = 30% Зона III = 25% Функционирање на печката Како што беше споменато погоре печката е поделена на три зони и четвртата зона за одржување Слика 5-2. Секоја зона работи како сепаратна целина за напојување со потребните енергенси (гас, воздух и мешавина воздух-гас). Од сликата се гледа дека првата зона се состои од четири ќелии кои се групирани две по две за довод на гас а имаат единствени доводи на воздух и мешавина. Втората и третата зона се составени од по три ќелии и имаат по еден довод на гас, воздух и мешавина. Зоната за одржување се состои од шест ќелии кои се напојуваат од сопствен довод на енергенси. Слика 5-2 Шема на напојување н печката со флуиди Гасот доаѓа од складот за гас и се распоредува во сите зони. Воздухот потребен за согорување во печката се зема со посебни вентилатори (V, V2 и VЗ) од атмосферата во близината на печката. Мешачката група (GСС) која ја подготвува мешавината воздух-гас потребна за пилот горачите зема гас од главниот вод за гас, и воздух со помош на посебен компресор од околината. Електро-пнеуматските позициони серво вентили (VR, VR2, VR3 и VR4) се управувани од системите за управување и регулација на секоја зона поодделно и го регулираат протокот на воздухот по зони. Регулационите вентили за односот гас-воздух D, D2, DЗ, D4 и D5) се наоѓаат на водовите за гас и се управувани од протокот на воздухот во секоја зона поодделно. Бидејќи првата зона се состои од четири келии, таа се напојува со два вода за гас со двата регулатора D и D2. Останатите зони имаат по еден регулатор. 72

84 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА 5.2. Барања, ограничувања и критериуми за работниот режим за печката Процесот на загревање на челични цевки поради нивно преобликување, мора да задоволува повеќе барања, во прв ред барањата во врска со температурата на загревање на челикот, а потоа барањата во врска со опремата на печката, како за нејзина работа, така и потребните сигурносни услови, бидејќи горивото кое се употребува во одредена концентрација е високо експлозивно, па поради тоа мора да се постават строги ограничувања кои мора да се почитуваат во текот на целиот процес на работа Процес на загревање на цевки, барања и ограничувања за температурата на загревање Преработка во пластична состојба во повеќето случаи (за одредени производи) не е можна во ладна состојба. Заради тоа металите (цевки) се загреваат за да им се зголеми пластичноста. Со загревање се намалува цврстината на металот (σ m), а зголемува пластичноста и со тоа се создаваат услови за преработка со најмалку употребена работа. Основни параметри при загревањето се: температура на загревањето, атмосфера во печката и начин на предавање на топлината. При правилно загревање треба да се постигне температура на загревање и рамномерност на загревањето т.е. прогревање по цел пресек на цевката. Освен тоа при загревањето, оксидацијата на металот треба да се сведе на минимум, а со тоа би се избегнала декарбонизација на површината на металната цевка и појава на макро пукнатини. Температура на загревањето на различни челици (квалитети) е различна, а способноста на преработката зависи од температурата и состав на челикот. Температурата на загревање се доближува до горната област на температурниот интервал за пластичност на самиот метал. Со загревање на повисоки (неоптимални) температури челикот постанува крут поради прегорување и согорување, а со загревање на пониски температури се зголемува отпорот кон деформација. Во последните провлекувања може да се случи температурата да падне под долната граница на интервалот на пластичноста. Тогаш на рабовите на производот може да се јават пукнатини, а структурата на челикот да биде нехомогена. Тоа пак повлекува недефинирани механички карактеристики на производот (σ m, σ 0, δ и др.). На дијаграмот на Слика 5-3 е прикажано зависноста на цврстина на челикот во зависност од висина на температурата на загревање. Цврстината расте во температурен интервал С, а после зголемувањето на температурата нагло опаѓа, така што на температура од С се ближи кон нула. Поради зголемување на цврстина (σ m) челични цевки не смеат да се преобликуваат на температура од С, поради крутост може да настанат пукнатини во самиот челик. 73

85 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА Слика 5-3 Зависност на цврстината на челикот од температурата Ако металот се загрева под самата точка на топење (539 С за челик) во атмосфера богата со О 2, металот со дифузија може да прими кислород при што се образуваат оксиди на граница на зрната во структурата на металот. На овој начин металот согорува (металните врски слабеат) и оваа појава неповолно се одразува врз самиот метал, неупотреблив е и може да послужи за повторно топење. овој поим во металургијата е познат под името прегорен челик. Цевката за топла преработка треба да биде рамномерно загреана т.е. да има рамномерна температура по целиот пресек инаку ќе има нерамномерно издолжување на разни делови заради различен отпор кон деформациите. Нерамномерно загревање и дополнителна преработка доведуваат до нерамномерно отврднување и омекнување, нехомогена структура, а со тоа влошени физичко-механички карактеристики. Прекратко загревање неповолно влијае на квалитетот на производот, предизвикувајќи оштетување на металот и инсталацијата на печката. Исто така предолго загревање на металот е штетно. Со долго загревање се прегреваат надворешните површини на производот. Со зголемување на температурата на загревање металот добива крупна структура која исто така придонесува за влошување на механичките карактеристики. Прегреан челик поради крупна структура тешко го менува обликот, односно преобликувањето е отежнато. Заради горе споменатово, за секој материјал строго е пропишана температурата на загревање, која не смее да варира повеќе од ±0 С од зададената. Според своите карактеристики, ваквите термички системи се најпогодни за управување со помош на алгоритмите за управување со предвидување базирано на модел. (Dimirovski и др. 200, 2004). Во термичките системи, каков што претставува и 74

86 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА повеќе зонската индустриска печка постојат сложени процеси на конверзија на енергија кои се идеални во услови кога сакаме да воведеме напредни алгоритми за управување и набљудувачки стратегии. Дополнително, огромните суми кои индустријата ги троши за обезбедување на енергетски ресурси претставуваат дополнителен мотив во имплементацијата на ваквите интелигентни алгоритми во индустриските процеси Барања и ограничувања во врска со процесот на запалување и загревање на печката Во основа, ограничувањата кои се поставени пред погонот на гасната печка доаѓаат од сигурноста при работа со гасно гориво кое е експлозивно при определени услови. Заради тоа сите компоненти во системот се со соодветна сигурносна конструкција, како и обезбеденост од повраток на пламен кое се спречува со анти-пламени вентили. Друго ограничување е високата температура на процесот. Оваа температура се одржува во одредени граници но постојат две сигурносни нивоа. Првото ниво е на 300 С при што моќноста се намалува за 50% така што од осум горачи по ќелија четири се гасат, а четири остануваат во процес со што доаѓа до пад на температурата. Второто ниво е на 320 С при чие достигање комплетно се исклучува доводот на гас и печката се гаси. Поради големите температурни загуби сите елементи на печката и во околината се загреваат до енормни граници и мора да бидат ладени, што во овој случај е решено со проток на вода. Водата доаѓа од рециркулациона станица а поради сигурност има и помошно сигурносно напојување од градски водовод. Напојувањето со електрична енергија исто така мора да биде константно. Во случај на прекин на довод на електрична енергија обезбедено е резервно напојување со дизел агрегат, при што печката преминува во посебен сигурносен работен режим, при кој ракувачот одлучува дали ќе ги вади цевките од печката или ќе останат во т.н. режим на нишање (бавно движење на цевките во печката напред-назад). Во никој случај не смее да престане ладењето со вода Експериментална идентификација на моделот на индустриска печка Експерименталната идентификација на индустриската печка која ќе ја управуваме е направена од Станковски (997). Во продолжение, само на кратко ќе ги изложиме основните поставки и постапката на идентификација. Гасната печка може да се претстави како повеќевеличински систем, при што влезен вектор претставува протокот на гас во секоја од зоните, а излезен вектор претставува температура во секоја од зоните. Ова е шематски претставено на Слика 5-4. Како што се гледа од Слика 5-4 влезни величини се трошоците за гориво за секоја зона поодделно. Излезни величини се температурите на секоја зона, кои се мерат со 75

87 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА оптички радијациони пирометри за првите три зони, и со термо сонди (Ni-Cr-Ni) за зоната на одржување. Како пречни величини се јавуваат неколку величини, во прв ред брзината на движење на цевките низ печката која зависи од брзината на конвеерот кој ги движи, која во суштина е константна, но можни се одредени варијации во текот на работата. Втора пречна величина е протокот на материјалот низ печката, т.е. варијација на димензиите на цевките кои се загреваат, и тоа варијација во дебелината на ѕидот на цевката, варијација во обликот и дијаметарот на истата, како и на нивната должина. Трета пречна величина е растојанието помеѓу цевките, кое треба да биде околу еден метар но кое варира дури и по 0-20%. Една друга величина исто така претставува пречка во процесите во печката а тоа е односот на воздухот и гасот на излезот од горачите, кој најмногу може да варира од притисоците во водовите за воздухот и гасот. Постојат и други пречни величини кои влијаат на работата на печката, како на пример амбиентната температура, (посебно кога цевките доаѓаат од надворешниот склад, разликата на температурата на цевките на влезот во печката во летен и зимски период е С; во лето кога се загреани на температура над 40 С или во зимски период кога се на температура под нулата). Амбиентната температура влијае и на зрачењето на печката во околината. Слика 5-4 Структурен блок на повеќевеличинскиот систем на гасната печка Системот од Слика 5-4 се карактеризира со четири влеза и четири излеза што значи постојат шеснаесет патеки или канали кои ги поврзуваат динамиките на влезовите со излезите. Некои од овие врски се доста јаки - посебно директните, додека влијанието на четвртиот канал е доста слаб. Врз база на досегашното искуство за проучувањето на динамичкото поведение на печката доволно е да се проучува системот со три влеза и три излеза, и тоа трите влеза во првите три зони, т.е. протоците на гасот во првите три зони како влезни величини, а излезите се температурите во првите три зони. Уште повеќе што намената на печката покрај 76

88 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА загревањето на цевки за преобликување, е и загревање на цевките заради нормализација на внатрешните напрегања. Во тој случај печката работи како систем со три влеза и три излеза, со што четвртиот влез Q 4 и четвртиот излез Θ 4 (претставени со испрекинати линии на Слика 5-4) не постојат. Во понатамошното излагање ќе се ограничиме на проучување на повеќевеличински систем со три влеза и три излеза Детерминистичка идентификација Детерминистичкиот приод на идентификување на системите е еден од најмногу применуваните. Детерминистичките методи може да бидат аналитички и експериментални. Аналитичките методи овозможуваат добивање на динамичките карактеристики - диференцијалните равенки на попростите објекти, или за добивање на статичките карактеристики - алгебарски равенки на посложени објекти. Експерименталните детерминистички методи на идентификација се применуваат за добивање на динамичките карактеристики на објектите при што влезовите се возбудуваат со специјални детерминистички возбудни сигнали. При методите на преодните карактеристики-отскочна или импулсна карактеристика на влезот се доведува отскочен или импулсен возбуден сигнал. Додека пак при методите на фреквентните карактеристики на влезот на системите се доведува синусоидален сигнал. Постојат и други методи на идентификација при кои возбудните сигнали се менуваат со константна брзина. Овде ќе биде изложено наоѓање на преодните карактеристики на повеќевеличинскиот систем на гасната печка. Врз основа на структурниот блок дијаграм и третман на системот како систем 3X3 т.е. систем со три влеза и три излеза, т.е. кога имаме девет патеки или канали правени се експерименти во погонски услови при што се снимани одѕивите, температурите на трите зони, при возбудување на само еден влез. На почетокот е возбудуван само првиот влез, т.е. отворен е само првиот серво вентил за проток на гас, со што горат само горачите на првата зона, и се снимаат температурите на сите три зони. Блок шемата на системот во тој случај изгледа како на Слика 5-5. Изведувањето на експериментот на снимањето на преодната и импулсната карактеристика е сврзано за одредени тешкотии, што е посебно изразено при сложени системи каков што е системот на гасната печка. За да се снимаат преодните карактеристики потребно е да се изберат соодветни влезни сигнали за да системот не дојде во услови на заситување или до некоја хавариска состојба. Ова е посебно важно за системи кои работат со гас кој е запалив и експлозивен. Затоа експериментирањето мора во детали да биде испланирано, со учество на сите лица кои се сврзани со процесот на работа на печката. 77

89 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА Слика 5-5 Структурен блок дијаграм на системот при возбуда на првата зона и снимање на одѕивите на трите излеза Втора работа на која треба да се внимава при погонско снимање на преодните карактеристики е да се намали нивото на пречките за да снимената преодна карактеристика биде што пореална. Во нашиов случај се преземени следниве мерки:. Пречките од варијацијата на брзината на премии на цевките низ печката не е можно сосема да се избегнат. Еден од изворите на варијациите е варирањето на групниот референтниот сигнал за еднонасочните мотори на конвеерот кој ги транспортира цевките низ печката, заради што е одбран најдобар можен извор за напојување на тој сигнал. 2. Пречките за проток на масата (т.е. варијација во димензиите на цевките) низ печката не зависат од субјективниот фактор и на нив многу малку може да се влијае. 3. Пречките на варијациите во протокот на воздух и гас зависат од регулационите вентили како и од притисоците во инсталациите за воздух и гас. Проверени се и очистени вентилите и регулаторите на притисок во овие инсталации. 4. Пречките кои би се јавиле поради различно растојание помеѓу цевките на конвеерот во добар дел се избегнати со рамномерно редење на цевките на ростот пред конвеерот. 5. Пречките кои би се јавиле поради различна амбиентна температура не се аплицираат при извршените мерења бидејќи во деновите на снимање немаше големи варијации на температурата. После завршувањето на експериментите за идентификација на моделот на индустриска печка (Станковски 997), потребно е да го дефинираме конечно добиениот модел на системот. Сепак, бидејќи со овој модел се претставува цела фамилија на модели за загревни печки, пожелно е на почеток да ги изнесеме најкарактеристичните особености на системот на загревна печка. Прво: Овие системи се карактеризираат со доста спора динамика т.е. големи временски константи изразени во минути. Второ: Во динамиката на овие процеси доста е изразен и феноменот на временското доцнеше, кој е значителен во однос на временските константи на процесот, Временското доцнење е резултат на самата природа на термичките процеси, 78

90 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА а во случајот на долга гасна печка посебно треба да се истакне и транспортното доцнење, кое е присутно во неглавните патеки на системот (на пример влијание на првата врз третата зона и обратно влијанието на третата зона врз првата). Трето: Добар дел од индустриските постројки се наменети за производство на цела гама производи, кои се со различни карактеристики, како во својата структура така и во количината на масата која се подложува на третман во текст на производниот процес, т.е. постројката се подложува на различно оптоварување. Таков е случајот на гасната печка која е наменета за термички третман на челични цевки со димензии од ф 59 до ф 508 со дебелина на ѕид од 4 до 6mm, кое претставува голем распон на масата која се третира во самата печка. Заради тоа моделот со кој се заменува системот мора да одговара на процесите кои се случуваат при третман на сите профили на цевки. Ако сакаме да направиме дизајнирање на систем за управување на постројката треба да воведеме една усреднета матрицата на преносната функција, која ќе одговара на системот во целиот опсег. Усреднетите вредности на матрицата на преносната функција донекаде се совпаѓаат со особините на постројката при третман на цевка со пречник од 323mm и дебелина на ѕид од 8mm. Имајќи ги во предвид резултатите добиени при идентификацијата и снимања направени при различно оптоварување на постројката (загревање на цевки со различен дијаметар) може да го кажеме следново; Матрицата на стационарното засилување на преносните патеки го има следниов облик: K = каде вредностите се изразени во [ С/МJ/min]. Имајќи го во предвид оптоварувањето на печката, т.е. загревање на челични цевки со различни димензии, вредностите на стационарното засилување се менуваат обратно пропорционално, т.е. за цевки со поголема маса (со поголем дијаметар и поголема дебелина на ѕид) засилувањето е помало, бидејќи за да се постигне иста температура потребна е поголема количина на топлина а тоа повлекува да треба да согори поголема количина на гас, што значи потребен е поголем проток. Додека пак за цевки со помали димензии потребна е помала количина на топлина и коефициентот на стационарното засилување е поголем. Од овде се гледа дека вредноста на стационарното зајакнување во директните патеки е најголемо, во првите соседни патеки е помало за една третина, додека во крајните патеки е нешто поголема од една десетина од засилувањето во директните патеки. Но сепак овие вредности укажуваат дека интеракциите помеѓу патеките е 79

91 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА доста голема за да се занемари, и да се дизајнира SISO независно управување за секоја зона поодделно. Матрицата на временското доцнење имајќи го во предвид погоре кажаното може да се апроксимира со една матрица во која се наоѓаат вредностите за временското доцнење кои не претставуваат усреднување помеѓу максималното и минималното временско доцнење за разни оптоварувања туку вредности поблиску до максималните. Ова е направено поради фактот дека при присуството на поголеми временски доцнења во системите е многу понеповолен случај за управување. Врз основа на снимките за преодните карактеристики направени со термоелементите и стохастичката идентификација, вредностите за временските доцнења по патеките се дадени во матрицата: τ = каде вредностите во матрицата се изразени во минути. Динамичкото поведение на преносните патеки на системот е апериодично,а динамиката на сите патеки на повеќевеличинскиот систем е скоро иста. Имајќи ги во предвид гореспоменатите карактеристики на системот на гасната печка (моделот треба да одговара за поголема гама на производи) земаме дека тој има иста динамика која претставува некакво усреднување помеѓу моделите за максимално и минимално оптоварување. Заради тоа матрицата на преносната функција за повеќевеличинскиот систем гасна печка има облик:.2s 2.5s 5s 2e 8e.25e (6.22s + )(0.7 s + ) (6.22s + )(0.7 s + ) (6.22s + )(0.7 s + ) 2.5s.2s 2.5s 8e 2e 8e G( s) = (6.22s + )(0.7 s + ) (6.22s + )(0.7 s + ) (6.22s + )(0.7 s + ) 5s 2.5s.2s.25e 8e 2e (6.22s + )(0.7 s + ) (6.22s + )(0.7 s + ) (6.22s + )(0.7s + ) (5.) Оваа матрица на преносна функција ќе ја сметаме како резултат на идентификацијата на системот на гасната печка и ќе ја користиме како претставник на системот за кој треба да се дизајнира соодветно управување Класично управување на индустриската печка Задачата на управување со процесите во гасната печка е решена на класичен начин - со едноконтурен систем на PID управување по температурата. Печката за загревање е поделена на три зони кои имаат сопствени системи за управување по температурата. И четвртата зона за одржување има исто така автономен систем за управување по температурата. Подолу ќе објасниме еден од системите за управување по температура кој е претставен на Слика 5-6 и Слика

92 ГЛАВА 5 ПРАКТИЧНА ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА НА ММ-УПБМ ЗА УПРАВУВАЊЕ НА ИНДУСТРИСКА ПЕЧКА Референтната температура Θ ref се задава на блокот кој го содржи и PID регулаторот. Мерењето на тековната температура во зоната на печката се врши како што беше кажано погоре со радијационен пирометар, чиј излезен напонски сигнал се трансформира во струен со mv/mа трансмитерот. Овој сигнал Θ ref се споредува со референтниот сигнал а грешката се носи во РID регулаторот кој преку станицата рачно/автоматски делува на управувачките органи со управувачкиот струен сигнал u=4-20mа. Управувачките органи опишани погоре го регулираат протокот на гориво Q, со чие согорување се ослободува топлина од која директно зависи температурата Θ. Дадениов систем може да работи во два режими и тоа во отворена и затворена контура, како што се гледа од Слика 5-7. Во отворена контура системот работи кога контактот од преклопникот во станицата за рачно/автоматски е поставен на рачно. Тогаш е прекината врската со РID регулаторот и системот се возбудува со сигнал од потенциометарот од оваа станица. Значи во оној случај немаме повратен сигнал по температура. Слика 5-6 Блок шема на еден од системите за управување на температура по зона Слика 5-7 Блок дијаграм за едноконтурно управување на температурата 8