ВЕРОЈАТНОСТ И СТАТИСТИКА ВО СООБРАЌАЈОТ 3. СЛУЧАЈНИ ПРОМЕНЛИВИ

Transcript

1 Предавање. СЛУЧАЈНИ ПРОМЕНЛИВИ. Еднодимензионална случајна променлива При изведување на експеримент, случајниот настан може да има многу различни реализации. Ако ги знаеме можните реализации и ако ја знаеме веројатноста со која ќе се случи секоја од можните реализации, тогаш всушност зборуваме за случајна променлива. Во случај кога бројот на можни реализации е конечен и преброив тогаш зборуваме за дискретна случајна променлива. На пример, бројот на автомобили кој поминува на пресек на пат во одреден временски интервал, или бројот на патници на час или бројот на сообраќајни незгоди во даден временски период се дискретни случајни променливи. Но има случајни променливии кои можат да ја имаат било која вредност во даден интервал. На пример, временско растојание помеѓу возила, брзина на возилата, висина и тежина на луѓето итн. се непрекинати континуирани случајни променливи... Закон за распределба на веројатности и функција на распределба на еднодимензионална случајна променлива Нека фрламе три монети и го бележиме бројот на грбови кој ќе се појави на трите монети. Бројот на грбови може да биде,, или. Иако не можеме да кажеме каков ќе биде исходот при ново фрлање на монетите, можеме да ги најдеме сите можни реализации и нивните веројатности. Кои се сите елементарни настани при фрлање на три монети? Елементарни настани ГГГ ГГП ГПГ ПГГ ГПП ПГП ППГ ППП Број на грбови Веројатности Ако случајната променлива ја дефинираме како број на грбови и ја бележиме со Х тогаш можни реализации се,, или грба. Веројатностите да се појават три, два, еден и нула грба се: Значи, случајната промелива Х број на грбови на три фрлени монети ќе се дефинира на следниот начин:

2 Случајната промелива Х број на грбови на три фрлени монети Можни реализации Веројатност за секоја реализација Во општ случај, законот на распределба на веројатностите на дискретна случајна променлива или накусо распределба на веројатностите на случајна промелива Х се дефинира како,.... Со други зборови, законот за распределба на веројатностите е правило со кое на секоја вредност на случајната променлива и се доделува некоја веројатност. При тоа многу важно е да се напомене дека распределбата на веројатностите на случајна променлива секогаш го исполнува условот Се разбира и за примерот со три монети овој услов е исполнет. Покрај на овој начин, една случајна променлива Х може да се дефинира и преку т.н функција на распределба на веројатности или кумулативен закон на распределба на веројатности која се бележи со F. Функцијата на распределба се дефинира на следниов начин < < c c F Со други зборови, функцијата на распределба се дефинира како веројатност случајната променлива да е помала од некоја точна определена вредност. Погорната равенка може да се развие и во следна форма: < za za za za F За примерот со трите монети функцијата на распределба ќе биде: < 7 za za za za F

3 Функцијата на распределба ги има следните својства: Својство : Бидејќи веројатноста е ненегативен број, за произволни вредности a и b a < b важи неравенството: a F b F т.е. функцијата на распределба е неопаѓачка функција. Својство : F и F па следува дека F. F F е невозможен настан па веројатноста е е сигурен настан па веројатноста е Задача: Автомобил поминува на улица на која има три раскрсници регулирани со светлосни знаци. Секој од тие семафори работи со ист циклус: минута зелен светло,, минути жолто светло и,7 минути црвено светло. Да се најде законот на распределба на веројатности на случајно променливата Х која го означува бројот на запирања на црвен сигнал на таа улица. Решение: Случајната променлива Х може да ги има следните вредности:,, или. Потребно е да се најдат веројатностите за секоја од овие вредности на Х, со што ќе се определи законот за распределба. Автомобилот може да поминува само во зелена фаза која изнесува минуta од вкупно минути циклус. Според тоа, на секоја од раскрсниците, веројатноста за поминување на зелено светло изнесува,а веројатноста дека ќе наиде на црвен или жолт сигнал е. Кои се веројатностите автомобилот да не застане, да застане еднаш, два пати или три пати? Според тоа, законот за распределба на веројатностите за бројот на застанувања на автомобилот на улицата со три семафоризирани раскрсници ќе биде: Случајната промелива Х број на затанувања на раскрсници Можен број на застанувања Веројатност за секоја реализација Проверка

4 ... Функција на распределба и густина на распределба на веројатностите на непрекината случајна променлива Често во пракса се среќаваме со случајно променливи кои се континуирани односно можат да ја имаат било која вредност во зададен интервал, за разлика од дискретните случајни променливи кои имаат конечен број преброиви реализации. На пример брзината на возилата, временско растојание помежу две возила на пресек на патот, време на отказ на моторот итн. се континирани случајно променливи. Функцијата на распределба F и кај непрекинатите случајно променливи се дефинира на ист начин: F < a < a Колкава ќе биде веројатноста случајно променливата да има вредности помеѓу a и b? a < < b F b F a Според оваа логика, колкава е веројатноста Х да добие вредност во интервалот < <? биде: < < F F Тогаш, средната густина на распределба на веројатностите на интервалот < < ќе < < F F Граничната вредност кога ја дава густината на распределбата на веројатноста во точка х, и таа густината на распределба која ќе ја бележиме со f се добива како прв извод од функцијата на распределба F. ' f F Значи наместо закон за распределба на веројатностите кој се користи кај дискретните случајно променливи, користиме функција на густина на веројатности кај непрекинатите случајно променливи. Пример на изглед на функцијата на густина е даден на сликата подолу. f a b Слика. Функција на густина и веројатност случајнопроменливата да земе вредности помеѓу а и в шрафираната површина

5 Како ќе се пресмета веројатноста a < < b со помош на функцијата на густина? Бидејќи функцијата на густина е прв извод од функцијата на распределба, обратно функцијата на распределба е интеграл од функцијата на густина. Така и тогаш < a F < b F a a f b a f d d b a < < b F a F b f Бараната веројатност a < < b вредностите a < b а d всушност е еднаква на површината под функцијата f <. ишрафираната површина на слика. Густината на распределба на случајнопроменлива ги има следните својства: Својство : f Својство : f d бидејќи е извод од функцијата на распределба која е неопаѓачка функција Пример: Да се определи константата а така што функцијата помеѓу a za f < > да биде густина на распределба. Потоа да се најде функцијата на распределба и да се пресмета веројатноста < <. Одговор. Според второто својство на густината на распределба ќе имаме: a a Значи функцијата на густина ќе биде: f za < > Која ќе биде функцијата на распределба?

6 F f d d Бараната веројатност ќе биде: < < d za za < za > Пример: Во табелата е дадена функцијата на распределба на случајно променливата Х. Да се определи законот на распределба на веројатностите на таа случајно променлива. F,,,7, Одговор: F F,,,,, Домашна задача: Густината на распределба на случајно променливата Х е еднаква на: f a e > < а Да се најде коефициентот а б Да се определи функцијата на распределба на Х в Да се пресмета веројатноста, случајно променливата Х да се најде во интервалот, к Решение: а За да биде густина на распределба треба да е исполнет условот f d a e d

7 Овој интеграл се решава со парцијална интергарција. udv uv vdu u dv e d du d v e a e d a e e d a e d Интегралот e d повторно ќе го решаваме со парцијална интеграција u du e d d dv e d v e e e d e Сега се враќаме на горното равенство a e d a к a Па функцијата на густина ќе биде: к f e > < б Функцијата на распределба ќе биде: F e d e d Овој интеграл се решава со парцијална интергарција. udv uv u du d vdu e dv e d v e e d

8 e e d Сега да го решиме интегралот e udv uv u du d e vdu d dv e d v e e e d повторно со парцијална интеграција d e e e e Се враќаме во почетниот интеграл e e d e e e к e e e e e e F e в Веројатноста, случајно променливата Х да се најде во интервалот, к < < F e, e e.. Параметри на центар на растурање: математичко очекување, медијана и мода Кога велиме дека просечно за еден час поминуваат возила, или просечно со автобус се превезуваат патници, всушност со еден број ги претставуваме сите вредности на случајната променлива. Бројот на возила може да биде повеќе или помалку од, или бројот на патници по автобус може да биде поголем или помал, а изнесените вредности се некоја средна вредност или центар на растурање околу која се расподелуваат вредностите на случајно променливата. Во теоријата на веројатност се дефинираат неколку параметри кои се квалификуваат како центри на растурање: математичко очекување, медијана и мода. За да се воведе поимот за математичко очекување ќе го разгледаме следниот пример: Нека еден човек организира игра со фрлање на коцка, при што тој исплатува онолку пари колку што има точки на коцката после фрлањето. Но, за да се учествува во играта потребно е да се уплати одредена сума на пари. Се поставува прашање која сума има смисла да се уплати за учество во играта.

9 Бидејќи со фрлање на коцката се добива,,,, или со веројатност од / за секој исход, при подолга низа на фрлања, на пример фрлања оној што игра би добил односно за едно фрлање во просек би добил, Според тоа, при подолга низа на фрлања, може да се очекува дека во просек би добил, денари, па толку или помалку би биле склони да платите за учество во играта и да очекувате да завршите со добивка. Сега може да се дефинира математичкото очекување на следниов начин: Ако Х е дискретна случајна променлива со следната распределба на веројатности, тогаш, математичкото очекување МХ на дискретна случајно променливата Х се пресметува како Ако се работи за непрекината случајно променлива дефинирана со густина на веројатност f, тогаш математичкот очекување се пресметува како: d f Во теоријата на веројатност често се користи и математичко очекување на функцијата кое се нарекува обичен момент од ред и се бележи со m и се пресметува на следниот начин: m за дискретна случајна променлива d f m за непрекината случајна променлива Од оваа дефиниција, може да се заклучи дека математичкото очекување е всушност обичен момент од прв ред, односно m

10 Друг параметар кој се користи како показател на центар на растурање на вредностите на случајно променлива е медијаната. Медијаната Ме се дефинира како онаа вредност на случајно променливата за која функцијата на распределба има вредност, F e < e, или со други зборови тоа е онаа вредност на случајно променливата за која веројатноста х да има помала вредност од неа е точно,. Модата е уште еден параметар на центар на растурање на случајно променлива. Ако Х е дискретна случајна променлива, тогаш модата е она вредност на случајната променлива која има најголема веројатност да се случи. Ако се работи за непрекината случајно променлива, модата е онаа вредност за која функцијата на густина има максимум. Во случај на симетрични распределби, математичкото очекување, медијаната и модата се поклопуваат. Пример: Нека случајната променлива Х е дефинирана на следниот начин:,,,,, Да се определи математичкото очекување и модата. Математичкото очекување е,,,,,, Најголема вројатност има случајно променливата да добие вредност со веројатност,, па модата е еднаква на. Пример: Ако законот на распределба на дискретна случајно променлива Х е еднаков на P λ e! λ,,,... Пуасонов закон на распределба бидејќи λ λ e λ e λ λ λe λe!!! λ λ е може да се напише како ред λ e λ λ λ е λ λ! λ λ!!... Пример: Да се најде математичкото очекување на случајната променлива Х дефинирана со густината на распределба

11 а b f < < f < < a f d d b f d d d d Пример: Случајната променлива Х има функција на распределба: cos F π Да се најдат математичкото очекување, медијаната и модата. За да го најдеме математичкото очекување прво ќе ја најдеме функцијата на густина. ' d cos s f F d π s d Интегралот го решаваме со парцијална интеграција udv uv vdu u dv s d du d v cos π π s ] π π π π s cos cos d d ' d cos s π Функцијата f F d има максимум за изводот и се изедначи на се добива: бидејќи ако се побара d d s cos Функцијата cos е еднаква на нула во интервалот од до π π π кога па модата е еднаква на. Медијаната ќе ја најдеме од равенството F e e s e f d d

12 e s d e cos cos e cos e На интервалот од до π π Ме косинусот е кога па тоа е и медијана на функцијата. Очигледно бидејќи функцијата на густина е симетрична на интервалот од до π, математичкото очекување, медијаната и модата се еднакви... Својства на математичкото очекување. Математичко очекување од константа е еднакво на таа константа C C. Математичко очекување на производ на константа со случајна променлива е еднакво на производ на константата со математичкото очекување на случајно променливата C C. Математичко очекување на збир на две случајно променливи и Y е еднакво на збир на нивните математички очекувања Y Y Последица: Ако случајно променливите,,..., имаат исто математичко очекување М... µ тогаш аритметичката средина на тие случајни промеливи исто така ќе има аритметичка средина еднаква на µ.... µ µ. Математичко очекување на производ на две независни случајно променливи и Y е еднакво на производот на нивните математички очекувања Y Y. Нееднаквост на Марков: Ако дискретна случајно променлива зема вредности,,..., кои се позитивни и такви да <,,..., и >,,..., тогаш важи неравенството: P > < нееднаквост на Марков

13 .. Параметри на растурање на случајно променлива околу центар на растурање: дисперзија и стандардно отстапување Дисперзијата е мерка на расејување на случајно променливата околу својата средина. Доколку дисперзијата е поголема, тоа значи дека расејувањето - растурањето на случајно променливата е поголемо, додека ако дисперзијата е помала, тогаш растурањето околу средната вредност е помало. Дисперзијата или варијанса во англиско говорно подрачје се дефинира како математичко очекување на квадратот од одстапувањето на случајно променливата од нејзиното математичко очекување ] ] ] ] f d за дискретно случајно променлива за непрекидна случајно променлива Често при решавање на проблеми врзани со дисперзијата корисен е уште еден облик на формулата за пресметка ] ] ] ] ] ] ] Позитивниот квадратен корен од дисперзијата се нарекува стандардно отстапување и претставува мерка на растурање околу средината изразена во иста единица мерка како и случајно променливата. Во пракаса, за да може да се споредува степенот на растурање околу центарот на повеќе различни случајно променливи, се воведува поимот на коефициент на варијација кој се дефинира како v % µ Пример: Случајно променливата Х го означува бројот на глави при фрлање на една монета. Таа случајно промелива може да има вредности или со веројатност / за секој исход, односно Математичкото очекување на оваа случајно промелива е

14 Дисперзијата ќе биде ] ] Стандардно отстапување Задача. Да се определи дисперзијата на случајни променливи кои ги имаат следните функции на густини: а f < <, b f < <, Решение: а ] d d 9 9 ] b ] d d o d d o 9 9 ].. Централен момент и својства на дисперзијата Во решавањето на практични проблеми корисно е да се дефинира централен момент од -ти ред и тоа на следниот начин ] ] µ за дискретна променлива

15 d f ] ] µ за непрекината променлива Својства на дисперзијата. Дисперзија на константна е еднаква на нула. ] C C C C C. Ако С е константа тогаш C C затоа што ] ]] ] ] C C C C C C C C. Дисперзијата на збир на две независни случајни променливи е збир на нивните дисперзии Y Y Последица: Ако независните случајни променливи,...,, имаат иста дисперзија тогаш дисперзијата на нивната аритметичката средина е.... Нееднаквост на Чебишев: Ако случајната променлива Х има конечна дисперзија, тогаш ξ ξ P Ова неравенство дава само проценка на горната граница на веројатноста случајно променливата да отстапува од математичкото очекување за некоја вредност. Пример: Нека е дадена случајно променливата Х има математичко очекување µ и дисперзија. Да се оцени веројатноста дека случајната променлива Х не отстапува од своето Решение: ξ ξ P P Пример: Нека f -

16 Да се покаже дека f е функција на густина, а потоа да се определи функцијата на распределба. Да се определи и медијаната. Решение: d f d ] ] d d Условот е задоволен што значи дека f е функција на густина. ] ] ] d d d F, < e e F e e e F e e e e e e e e e e Квадратната равенка има решение: Ме