I. Теорија на грешки

Transcript

1 I. Теорија на грешки I.. Вовед. Еден отпорник со назначена вредност од 000 Ω, измерен е со многу точна постапка и добиена е вредност од 000,9Ω. Да се одреди номиналната вредност на, конвенционално точната вредност, апсолутната и релативната грешка, како и корекцијата. Номиналната вредност е: N 000 Ω Конвенционално точната вредност е: T 000, 9 Ω Апсолутната грешка е: Δ N T ,9 0, 9Ω Δ 0,9 Релативна грешка е: g % ,09% 000 N Корекција: За да се добие конвенционално точната вредност при мерење со мерки треба да се изврши корекција. Корекцијата е вредност која треба да се додаде на измерената вредност за да се добие конвенционално точната вредност на мерената големина. Корекцијата е еднаква на апсолутната грешка со спротивен знак. k Δ ( 0,9) 0, 9Ω. Да се одредат максималните релативни грешки што ги прави амперметарот при мерење на струја од A и A, ако неговата класа на точност е, 5, а мерното подрачје е I mp A. За потребите на практичната мерна техника се дефинира Δ X - максимална апсолутна грешка која има дефинирани граници помеѓу кои мора да се наоѓа резултатот на мерењето. ΔX kl. toc.% g g 00 Xmp kl. toc Xmp,5 Δ X 0,045[ A] Класата на точност на инструментите е граничната релативна грешка изразена во %. При било која положба на стрелката на инструментот е дефинирана максималната релативна грешка. ΔX g ± 00 ± 4,5% A ΔX g ± 00 ±,5% A. Со волтметар со U MP 00V и класа на точност 0, 5 измерени се напони од U 50V и U 00V. Да се пресметаат максималните грешки за двата мерени напони? (Реш: g,0 % и g 0,5% ) ± ± 4. Колку изнесуваат максималната апсолутна и релативна грешка на волтметар, ако е измерен напон 6V на мерно подрачје 0 V, ако граничната релативна грешка на инструментот е ± %? Теорија на грешки

2 (Реш: Δ U V и ±,7 % ) ±0, g g 5. Колку изнесува максималната апсолутна и релативна грешка на дигитален волтметар со 4 ½ дигити, за мерно подрачје од U mp 6 mv и резолуција од 0,mV, ако максимално дозволената грешка на инструментот е: Δ ± A % ± B ± 0,5% ± dg, pv dg Δ каде што : A pv % 00, а B dg е грешката во дигити дадена од производителот. mp Тогаш апсолутната грешка од покажаната вредност Apv % 0,5% Δ mp 6 mv,6mv Вкупната апсолутна грешка ќе биде: A pv (,6mV + 0, mv ) ±, 8mV Δ ± Δ Δ kl. toc ± 00 ± 0,5% mp се пресметува според изразот: 6. Напонски делител составен од 00 kω и 00 kω приклучен е на влезен напон од U 00V. Делителот е прикажан на сликата. Сл... Напонски делител U a) Колку изнесува излезниот напон од делителот во случај кога истиот е мерен со волтметар со карактеристична отпорност 000Ω /V при мерно подрачје од 00V? U b) Колку изнесува излезниот напон од делителот во случај ако истиот е мерен со волтметар чија карактеристична отпорност изнесува 0000 Ω /V при мерно подрачје од 00V? c) да се одредат грешките под а) и б)? Теорија на грешки

3 U U ; + v + v a) U k 000 Ω / V mp 00V Ω v k U mp V 00 kω V v kω + 00 v 50 U U 00 60V b) U k 0000 Ω / V mp 00V Ω v k U mp V 000kΩ V v ,4 kω v 95,4 U U 00 96, 77V + 95, c) 00 U U 00 00V Δ U Δ U U 40V Δ δ U U Δ δ U % 96,77 00, 00,% 7. Потребно е да се измери напонот на отпорникот 50 kω во колото дадено во задача 6. За мерење на истиот може да се користат два волтметри чии што карактеристични отпорности се k 000 Ω / V, k 0000 Ω / V. Двата волтметри се користат на мерно подрачје од U mp 50V. Да се одреди: ( 00 kω) a) Вредноста на напонот што ја покажуваат секој од волтметрите? b) Релативната грешка во проценти? (Реш: a) U 0V; U 48,4V ; b) δ 40%; δ,% ) Теорија на грешки

4 8. Oтпорник со назначена вредност од 0 Ω мерен е пати, добиените вредности се дадени во табелата. Да се пресметаат: аритметичката средина на поединечните мерења, стандардната девијација на поединечните мерења и стандардната девијација на аритметичката средина? [ Ω] 9,70 9,80 9,99 9,75 9,7 9,78 9,8 9,95 9,87 9,89 9,9 9,95 9,80 7,95 9,8408 Ω - средна вредност на поединечнo мерењe ( ) ± 0,0984 Ω ± - стандардна девијација на поединечно мерење % ± 00 ± 0,9475% - стандарна девијација на поединечно мерење [%] ± ± 0, Ω - стандардна девијација на аритметичка средина % ± 00 ± 0,667 % - стандардна девијација на аритметичката средина [%] 9. Со прецизен мерен инструмент направени се 6 мерења на капацитетот на кондензатор под исти околности, добиени се следните вредности: 0, μf ; 0,08μF ; 0,09 μf, 0, μf ; 0,0 μf и 0,095μF. Колку изнесува средната вредност на кондензаторот, стандардната девијација на поединечното мерење и стандардната девијација на аритметичката средина? C [ μ F ] 0, 0,08 0,09 0, 0,0 0,095 60,605 C C 6 ( 0, + 0,08 + K 0,095) 0,008 μf ± C ( C C) ± 6, F 6 C ± ± 6,6F % ± 00 ± 0,6% C C % ± 00 ± 0,0656% C Теорија на грешки 4

5 I.. Теорија на веројатност 0. Константен напон со номинална вредност од 00V, во краток временски интервал е измерен 50 пати. Некои резултати во текот на мерењето се повториле пати, измерените вредности и фреквенцијата на повторените вредности се дадени во следната таблица: [ V ] 99,7 99,8 99,9 00,0 00, 00, 00, Да се најде средната вредност на поединечните мерења и добиените резултати претстават графички? K + + K k k k k k 4999,6 99, [ V ] k X(V) Сл... Графички приказ на фреквенцијата на измерените вредности - хистограм / X(V) Сл... Графички приказ на релативната фреквенција на измерените вредности Теорија на грешки 5

6 Δ Δ Ако во секој даден интервал до + релативната фреквенција е константна величина, се добива хистограм. Притоа се дефинира големина на густина на релативната фреквенција според изразот: W W V Δ Δ Сл... Преод од хистограм во непрекината функција на густина на веројатност. Колкава е веројатноста да се наоѓа во интервалот од ( σ ) до ( + σ ). Густината на веројатност при нормална Гаусова распределба е определена со: Сл...4 Гаусова распределба се воведува смена W ( ) ( ) σ l σ π y и нека σ ; + σ, тогаш σ y σ σ σ Теорија на грешки 6

7 y + σ σ Се добива нормализирана функција на густина на веројатност y σ ϕ ( y) l - нормализирана функција на густина на веројатност π u t Φ π ( u) l dt Φ( u) Φ 0 u Φ ( ) ( u) ( σ < < + σ ) Φ ( ) Φ ( ) ( ) P Φ Φ () 0, 4 - се отчитува од таблица. Резултатот ќе биде во границите P ( σ < < + σ ) 0,4 0, 686 P ( σ < < + σ ) 68,6% - ± σ со веројатност од P 68,6%.. При производство на еден вид отпорници, утврдено е дека за нивната номинална вредност важи Гаусовата распределба. Серија од отпорниците земена како примерок на целата популација е измерена и добиена, 65Ω со стандардна девијација σ 0,00Ω. Ако границите на доверливост се,609ω и,6ω, колку отпорници нема да го задоволат подрачјето на доверливост од вкупно произведени 0000 отпорници? Од границите на интервалот на доверливост се наоѓа веројатноста со која се измерени отпорниците: t σ + t σ m ; t σ σ m,00 Од таблица. за Гаусовата распределба за t, 00 вредноста на интегралот Φ изнесува ( t) Φ 0,47 Веројатноста е P Φ 0,9546 (95,46%) Бројот на отпорниците надвор од интервалот на доверливост е: ( ) 0,9546 0,045 0, отпорници. При производство на еден вид отпорници, утврдено е дека за нивната номинална вредност важи Гаусовата распределба. Серија од отпорниците земена како примерок на целата популација е измерена и добиена, 7 kω и σ 0, 0kΩ. Ако дозволените граници на толеранција изнесуваат ± 0,5%, да се пресмета колку отпорници во производствениот процес нема да го задоволат критериумот при производство на серија од 0000 отпорници. Теорија на грешки 7

8 (Решение: 770 отпорници) 4. Од една серија кондензатори со иста номинална вредност, се контролираат 000 примероци _ при тоа е добиена средна вредност C 0,0μF и стандардна девијација σ 0,0μF. Ако интервалот на доверливост е помеѓу 0,00 μ F и 0,06 μ F колку кондензатори ќе бидат надвор од дадениот интервал? (Решение: 7 кондензатори) 5. При повторливи мерења на отпорноста добиени се резултати дадени во табелата. Да се пресметаат:,,, и интервалот на доверба за веројатност P 68%, користејќи ја Студентовата распределба? X [ Ω ] 47, 47,74 47,95 47,76 47,47 47, 47,8 47,68 47,45 47,58 47,8Ω ± ( ) ± 0,0707 Ω ± ± 0, 0Ω Интервал на доверба: t + + t За 0 треба Студентова распределба при оцена на интервалот за доверба P 68% 47,8Ω, 0,0707Ω t t,06 од табела. 0, 4 47,9Ω 47, 5Ω 6. Константна струја е мерена во неизменети услови 0 пати, при што се добиени следниве вредности. Ако конвенционално точната вредност изнесува I ktv 6, 6 ma да се најдат апсолутната грешка и границите на доверба (доверливост) со веројатност од P99% I [ ma] 6,7 6,8 6,6 6,8 6, 6,4 6,6 6,00 6,5 6,50 Теорија на грешки 8

9 Решение: ( Δ I I I ktv 0,08 ma; 6,649 ma I 6, 55 ma ) 7. При 0 последователни мерења, извршени при еднакви услови, на капацитивноста на еден кондензатор добиени се вредностите: 50,05F ; 48,9 F ; 49,F ; 50,56 F ; 49,75F ; 48,55F ; 48,0 F ; 50, F ; 49,0 F ; 48,64 F. Пресметајте ги вредностите на најверојатната вредност на капацитивноста, стандардната девијација на поединечните мерења и стандардната девијација на аритметичката средина. Одредете го подрачјето на доверливост на капацитивноста за веројатност од 68,6% и 95%. ( t,06; t, ). P 68,6% P 95% _ _ (Решение: за P 68,% 49,076 C 49,5784 ; за P 95 % 48,6896 C 49, 906 ) 8. Од произведена серија на 5000 кондензатори со назначена вредност C 0 F случајно се избрани 00 кондензатори и измерена е нивната капацитивност со точен метод. При тоа се добиени следните резултати: C [ F ] 9,85 9,9 9,95 0,0 0,05 0, 0,5 0, Да се пресметаат: а) аритметичката сред ина на поединечните мерења, б) стандардната девијација на поединечните мерења во F и проценти, в) стандарната девијација на аритметичката средина во F и проценти, г) границите на доверливост за веројатно сти од P 50% и P 95%, и д) границите на доверливост на стандардната девијација σ за веројатност P 95%? (Забелешка: резултатите да се заокружуваат на втора децимала.) (Решение: C 0,045F; ± 0,07 F; % ± 0,7%; ± 0,05F; ± 0,05%; C C C C% P 50%; 9,98 C 0,07; P 95%; 9,89 C 0, 6 и 0,06 σ 0, 08) 9. При повеќекратно мерење на некоја физичка величина добиени се следните резултати: Резултати,8,0,,4,6,8 Σ Фреквенција на мерење Да се пресмета: средната вредност; стандардната девијација и подрачјето на доверба во кое со веројатност од P 99% се наоѓа познатата вредност на мерената големина? Со веројатност од P 99% да се одредат границите на доверба помеѓу кои се наоѓа стандардната девијација? ,6 ( ) + ( ) + ( ) 6 6 ± K ± 0,006 Теорија на грешки 9

10 За P 0, 99 вредноста на интегралот Φ е Φ Φ 0,495 од таблица. за Гаусовата распределба на вредноста на Φ одговара P t,575 Границите на доверба (сигурност) на стандардната распределба. Стандардната девијација е во опсегот: девијација обично се наоѓа со т.н. χ - Ако се замени ε < σ < ε + σ ε q, каде ε е мала величина се добива: ( q) < σ < ( + q) Во таблицата. дадени се вредностите q за различни веројатности P за различен број мерења. ( q) 0, 065 ( + q) 0, Во табелата дадени се резултатите од мерењата на серија од 0 отпорници. Да се определат границите на доверливост за веројатност од 99%, контролирајќи ја притоа исполнетоста на критериумот на Грабс за откривање на груби грешки и исполнетоста на хипотезата за нормална Гаусова распределба [ Ω] 9,5 9,7 9,8 9,6 9,84 9,5 0,70 9, 9,4 0,0 95,5 α 95,5 9, 55Ω ( ),849 ± 0, Ω ± ,0; p 99 % 0,99; 0 W 0,78 - од таблица α G G 0,70 9,55 0,4987,09 m 9,55 9,4 G 0,84 0,4987 α 0,0; 0 G,66 - од таблица 5 a > G ; G a G - исполнет е критериумот на Грабс a > Теорија на грешки 0

11 [ Ω] a a + ( + ) 9,4 0,579 0,70,56 0, ,6 0,9 0,0 0,85 0,7975 9, 0,4 9,84 0,6 0, ,5 04 9,5 0,8 0, ,7 0,099 9,8 0, 0, ,8 9,7 7 9,5 9,5 8 9,84 9, 9 0,0 9,6 0 0,70 9,4 0,4987 0,487 Ω b 5 a (оценка на дисперзијата) 0 ; l 5 ( ), 448 b,448 W 0,807> W 0,78 α (од таблица ) ( ) 9 0,487 хипотезата за нормална распределба се прифаќа Значи за P α 0,99; k 0 t, 7 (табела.) Δ 0,4987 ± t 9,55±,7 0 9,55 0,4999 9, 05Ω, m 9,55 + 0,4999 0, 0509 Ω I.. Грешки при индиректни мерења. Отпорноста на еден отпорник се мери со U I метода. Класата на точност на употребените амперметар и волтметар е %. Да се одреди граничната вредност на максималната релативна грешка на мерната отпорност ако мерниот напон е 80V, а струјата 40mA, ако мерните подрачја на инструментите се 00V и 50mA. Ако индиректно мерената големина е y f (,,..., ), каде се директно мерени,, K големини, изразот за гранична вредност на максималната апсолутна грешка на индиректно мерената големина е: f f f Δy ± Δ + Δ + K + Δ Δy ± f Гранична вредност на максимална релативна грешка: Δ Теорија на грешки

12 g Δy y y% 00 kl. toc. Δ U U mp 00 ±, 0V Δ I 50± 0,5mA 00 Δ ± Δ U + ΔI U I U U I I I U Δ ± Δ U + ΔI I I Δ ΔU ΔI δ % ± 00 ± + 00 U I δ % ±,5%. Напонот на краевите на отпорникот е познат со максимална релативна грешка од ± %, а отпорноста на отпорникот е позната со максимална релативна грешка од ±,5%. Колкава е граничната вредност на релативната грешка на моќноста која се троши во отпорникот? (Решение: δ ± 5,5 % ) P. Колку изнесува граничната вредност на максималната апсолутна и релативна грешка (сигурни граници на грешки) за дадената комбинација на отпори, ако се познати kω % ; 0 kω %? Да се пресметаат и статистичката апсолутна и релативна ± ± грешка (или статистички граници на грешка)? Сл... Редно - паралелно комбинација на отпорници ; + 6k + ( + ) Ω ; ( + ) Апсолутните грешки се: Δ δ 0, 0kΩ 00, Δ Δ δ 0, kω, 00 Теорија на грешки

13 Сигурните граници на грешка изнесуваат: Δ ± Δ + Δ + Δ ± Δ + Δ + Δ ( + ) ( + ) Статистичката апсолутна грешка е: ± 0,0 + 0, + 0, ± 0,kΩ ( 0 + 0) ( 0 + 0) Δ δ % ± 00 ±,8% Δy δ f Δ Δ ± 0, 074 kω Δ ± 00,9% % ± 4. Да се пресметаат апсолутната и релативната грешка (сигурни граници на грешка) за комбинацијата на отпори прикажана на сликата. Вредностите на отпорите се: 00 Ω %, 00 Ω % и 400 Ω 0,5% ± ± ± Сл... Паралелно-редна комбинација на отпорници (Решение: Δ ± 0,785 Ω ; δ ± 0,9% ) 5. Отпорностите во трите гранки на Витстоновиот мост се познати со релативна грешка од 0,%. Колкава е граничната вредност на релативната грешка на отпорот, добиен при ± рамнотежна состојба на мостот. Сл.... Витстонов мост Теорија на грешки

14 Од условот за рамнотежа во мостот се добива непознатата отпорност според релацијата 4 За апсолутната грешка на непознатата отпорност се користат изразите кои важат при индиректни мерења. Δ ± Δ + Δ + Δ 4, ; ; Δ ± Δ + Δ + Δ 4 δ % Δ ± 4 00 ± Δ Δ 00 + ± δ δ 0,% δ + + ± 4 4 Δ Ако според Томсоновиот образец важи ω LC и ако се познати релативните грешки кои се прават при мерење на индуктивитетот и капацитетот: ΔL / L и Δ C / C, колкава ќе биде граничната вредност на релативната грешка? ω ω Δ ω ± Δ L + ΔC L C ω ω L L LC C C LC ΔL ΔC Δ ω ± + LC L C Δω LC ΔL ΔC ΔL ΔC gω ± + ± + ω / LC L C L C 7. Колку изнесуваат сигурните граници на грешка при мерење моќност на потрошувач, ако амперметарот покажал струја I 4, 54 A, а волтметарот U 0V? Класата на инструментите е 0,, а загубите да се занемарат. Мерните подрачја на инструментите се 6 A и 50V? Сл...4. Мерење на моќност Теорија на грешки 4

15 P UI P P ΔP ± ΔU + ΔI U I P P I ; U U I Δ P ± I ΔU + U ΔI δ p % { } ΔP ± 00 P δ p% I ΔU + U ΔI ΔU ΔI ± 00 ± UI U I ΔU δu % 00% U mp ΔI δ I % 00% I mp δ ΔU U U % mp 00 δ I ΔI 00 I % mp δ p% δu% Ump δi% Imp 50 6 ± + ± 0, + 0, ± 0,57% U I 0 4,54 δ p% ± 0,57% 8. Два кондензатори со капацитет C μf и C 0, μf и стандардни девијации % и 5% соодветно, поврзани се сериски. Да се пресмета вредноста на стандардната девијација при сериска комбинација на кондензаторите а потоа стандардната девијација на паралелната комбинација? Стандардната девијација на функција од -променливи кои се директно мерливи големини се определува со изразот: y ± C f CC 0, C + C + 0, за y f ( K ),,K 0,667μF C C c ± + C C ( ) ( ) C C C + C CC 0,0778 C C + C ( ) ( ) C C C + C CC 0,69444 C C + C Теорија на грешки 5

16 c % C 0,0 μf 00% 00 % C 5 0, 0,0μF ( ) ( ) ± 0, , 0 + 0, , 0 ± 6,95F C C % ± 00 ± 4,7% C Стандардната девијација на паралелната комбинација на кондензатори изнесува %,8 c p % 9. Колку изнесува процентуалната стандардна девијација на комбинацијата од отпори прикажани на сликата, ако отпорниците се: 00 Ω ; 00 Ω и 00 Ω со стандардни девијации 0,%; 0,% и 0,5% респективно? Сл...5 Редно паралелна комбинација на отпорници ( ) ± ( + + ) ( + + ) ; ; % ± 00 ± 0,7% ( + ) ( + + ) 0. За мерните податоци (,0;,6;,4; 4,0 и 5,) и y (,;,0;,4;,5 и,5), каде се вредности на влезниот сигнал а соодветно покажување на мерниот уред. Да се одреди оптималната права користејќи ја методата на најмали квадрати? y y a+ b методата на најмали квадрати е наједноставна за линеарна зависност y - измерени вредности f () - функција на дадената мерена величина ( ) [ ( ) ] F f y f ( ) a+ b Теорија на грешки 6

17 F a F b ( ) ( ) F F F a + b y 0 0 a b ( a b y)... 5( a5 b y5) b a y ( ) ( ) a + b y a + b y b + a y y ( ) y a, b y ( ) y 5 5, 5 y,6 5 y 44, ,6,8 9,5,8 7,86 680,5 5,464 a 0,54 b 0,878 90,8,04 59,76 59,76 59,76 Оптималната права ќе биде: y 0,54 + 0, 878 Графичкиот приказ е даден на сликата: Сл...6 Оптимална права За да се одреди грешката на линеарност потребно е да се одредат растојанијата ε, ε y a b Грешката на линеарност се дефинира како: g ε % ± y ε ( ) + 0, ± 00 ± 9,8% 5 g ε % ± 9,8 % Теорија на грешки 7

18 Теорија на грешки 8

19 Теорија на грешки 9

20 Теорија на грешки 0

21 Теорија на грешки