Tejlorova formula i primene

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Tejlorova formula i primene"

Transcript

1 MATEMATIQKA GIMNAZIJA Maturski rad iz matematike Tejlorova formula i primene Uqenik Benjamin Linus Mentor mr Srđan OgƬanovi Beograd, 007

2 Sadrжaj Uvod 3 Tejlorova formula 4 Tejlorova formula za polinome 4 Tejlorova formula za proizvoʃnu funkciju 5 3 Asimptotska oznaka o i Ƭene primene 7 4 Oblici ostatka Tejlorove formule 8 5 Maklorenova formula 9 6 Tejlorov red 9 3 Primena Tejlorove formule 0 3 Aproksimacije u nekoj taqki 0 3 Maklorenov razvoj elementarnih funkcija 4 3 Razvoj funkcije f = sin 4 3 Razvoj funkcije f = cos 5 33 Razvoj funkcije f = arctg 6 34 Razvoj funkcije f = e 6 35 Razvoj funkcije f = + α 7 36 Razvoj funkcije f = ln Razvoj funkcije f = arcsin 8 38 Razvoj funkcije f = arccos 8 39 Razvoj funkcije f = tg 8 33 Pribliжna izraqunavaƭa 9 34 IzraqunavaƬe graniqnih vrednosti 35 NalaжeƬe kosih asimptota 7 36 IspitivaƬe konvergencije redova 9 Literatura 30

3 Uvod Postoje izvori da je Tejlorov razvoj otkriven jo u Indiji, u XIV veku Međutim nema saquvanih pismenih beleki tih radova Smatra se da su indijski matematiqari otkrili nekoliko Tejlorovih razvoja koji su specijalni sluqajevi, ukʃuquju i razvoje za trigonometrijske funkcije, sinus, kosinus, tangens, i arkustangens, ali samo nekoliko prvih stepena Takođe se pomiƭe, da su znali broj π i π, da aproksimiraju, pomo u 4 beskonaqnog racionalnog deʃeƭa Generalna ideja za nalaжeƭe razvoja za sve funkcije, za koje postoje, predstavʃena je u delu,,direktna i inverzna metoda prirataja, Methodus Incrementorum Directa et Inversa koje je objavio Bruk Tejlor 75 godine Danas ovi razvoji po Ƭemu nose ime, i Maklorenu, ƫutnovom 3 uqeniku i prijateʃu, koji je svoje objavio u delu,,rasprava o fluksu Treatise of Fluions 74 godine Tejlor je svoje razvoje koristio za integraciju nekih diferencijalnih jednaqina Znaqaj ovih razvoja nije u potpunosti shva en sve dok ih Ojler 4 nije primenio u diferencijalnom raqunu Tejlorova forula je snaжan alat za reavaƭe mnogih problema, uglavnom onih iz matematiqke analize, ali i numeriqke CiƩ ovog maturskog rada je da prezentuje samo neke primere primene Tejlorove formule u analizi, a i u realnom жivotu i to one koje se oslaƭaju na znaƭe koje se moжe ste i u sredƭoj koli U prvoj polovini rada paжƭa je posve ena Tejlorovoj formuli i drugim teorijskim pitaƭima koja su vezana za Ƭu, i koje je potrebno imati na umu pri reavaƭu zadataka Polako naqin obrazlagaƭa postaje sve vie okrenut problemima, qije bi reavaƭe bilo veoma teko bez Tejlorove formule i koji ustvari i ilustruju pravu snagu Tejlorove formule B Taylor , engleski matematiqar C Maclaurin , kotski matematiqar 3 I Newton , engleski matematiqar i fiziqar 4 L Euler , vajcarski matematiqar 3

4 Tejlorova formula Jo u radovima ƫutna i Lajbnica 5 prilikom uvođeƭa izvoda i diferencijala, znamo da leжi ideja o aproksimaciji, i to linearnoj, nekoj vrsti zamene date funkcije linearnom funkcijom u okolini neke taqke Tako je samo definisaƭe izvoda bilo motivisano potrebom uvođeƭa tangente grafika linearne funkcije za datu funkciju u datoj taqki Prirodno je postaviti pitaƭe moжe li se funkcija f, koja ima vie izvoda u taqki a, ili Ƭenoj okolini, aproksimirati polinomom vieg stepena od jedan Takođe ciʃ te aproksimacije je da greka bude to je mogu e maƭa Odgovor na ovo pitaƭe daje Tejlorova formula Tejlorova formula za polinome Neka je P = c n n + c n n + c n n + + c + c + c 0, c 0,c,,c n R Nađimo sada izvode ovog polinoma, sve do n tog, pa u funkciji od Ƭih izrazimo koeficijente P = c n n + c n n + c n n + + c + c + c 0 P0 = c 0 c 0 = P0 0! P = nc n n + n c n n + + 3c 3 + c + c P 0 = c c = P 0! P = nn c n n + + 6c 3 + c P 0 =!c c = P 0! P = nn n c n n c 3 P 0 = 3!c 3 c 3 = P 0 3! P n = n!c n P n 0 = n!c n c n = P n 0 n! Na kraju kada koeficijente zamenimo u funkciji od izvoda, dobijamo P = P n 0 n! n + P n 0 n! n + + P 0! + P 0! + P0 0! Sada polinom P predstavimo u obliku P = A n a n + A n a n + A n a n + + A a + A a + A 0, gde a R i a = Z, i Z R Takođe imamo da je, P = PZ 5 G W Leibnitz , nemaqki matematiqar i filozof 4

5 Zatim ponovo odredimo koeficijente u funkciji od izvoda pa zamenimo u prethodnu formulu, A 0 = P0 0! A = P 0! A = P 0! A n = P n 0 n! PZ = Pa + Z P0 = Pa A 0 = Pa 0! P Z = P a + Z P 0 = P a A = P a! P Z = P a + Z P 0 = P a A = P a P n Z = P n a + Z P n 0 = P n a A n = P n a, n!! i na kraju dobijamo, T n,a = Pa + P a! a + P a! a + + P n a n! a n + P n a a n n! Dobijeni polinom naziva se Tejlorovim polinomom n tog stepena, polinoma P u taqki a Tejlorova formula za proizvoʃnu funkciju Teorema Neka je funkcija f definisana i neprekidna zajedno sa svojih n izvoda na odseqku [a,] pri qemu moжe biti a < i a > i neka u intervalu a,, ili,a ima n + vi izvod Tada, pod tim uslovima vaжi Tejlorova formula: f = T n,a + R n,a, tj postoji taqka c a,, odnosno c, a takva da je R n,a = f T n,a = fn+ c n +! an+, gde je T n,a Tejlorov polinom pridruжen funkciji f u taqki = a, a R n,a tzv ostatak ili greka aproksimacije f = T n,a + fn+ c n +! an+ 5

6 Dokaz Neka je, a < Posmatrajmo pomo nu funkciju φ : [a,] R datu sa [ = f φt = f T n,t tn+ λ = n +! ] ft + f t t + + fn t t n n! tn+ λ n +! Parametar λ R izaberemo tako da funkcija φ zadovoʃava uslove za primenu Rolove 6 teoreme na odseqku [a,], odnosno λ tako da je: φ = f T n,a an+ λ = R n,a n +! φa = 0 an+ λ = 0 n +! Funkcija φt je oqigledno neprekidna na [a,], a unutar intervala a, ima izvod φ t = [f t f t + tf t tf t + tn f n t + n! = ] tn f n+ t + n! tn λ f n+ t n! t f t + tn λ = n! IspuƬeni su svi uslovi Rolove teoreme, pa dobijamo da postoji broj c a,, takav da je φ c = 0, tj na kraju dobijamo c n λ f n+ c = 0 λ = f n+ c, n! R n,a = fn+ c n +! an+, to je trebalo i dokazati 6 M Rolle 65-79, francuski matematiqar 6

7 3 Asimptotska oznaka o i Ƭene primene Kada se upoređuje ponaaƭe neke funkcije u okolini neke fiksne taqke konaqne ili beskonaqne, u kojoj sama funkcija ne mora biti definisana, sa ponaaƭem neke druge obiqno jednostavnije funkcije, kaжemo da se ispituje asimptotsko ponaaƭe prve funkcije u okolini te taqke Definicija Kaжemo da je funkcija f beskonaqno mala u odnosu na funkciju g kada a i piemo f = og a ako postoji okolina U taqke a, takva da je f = αg za U, a, gde je α beskonaqno mala funkcija kada a Oznaka qita se kao,,f je malo o od g kad a Specijalno, ako su f i g beskonaqno male kada teжi a, kaжemo da je f beskonaqno mala vieg reda u odnosu na g, a Teorema Neka su funkcije f i g definisane u nekoj okolini taqke a Tada je: f og = ofg a; of + of = of a; 3 oof = of a Pre nego to dokaжemo ove relacije, treba precizirati smisao nekih od Ƭih Prema definiciji of a nije oznaka za jednu funkciju, ve za skup svih onih funkcija koje su beskonaqno male u odnosu na f kad a u tom smislu treba shvatiti relaciju, ona praktiqno znaqi da je zbir dveju funkcija, beskonaqno malih u odnosu na f kad a, ponovo beskonaqno mala funkcija u odnosu na f kad a To ujedno znaqi da se ralacije u kojima se pojavʃuje simbol o ne smeju qitati,,zdesna ulevo Vaжi = o 0, ali naravno nema smisla napisati o = 0, jer ima mnogo drugih funkcija koje su,,malo o od kad 0 Dokaz Treba da dokaжemo da ako je h neka funkcija koja je beskonaqno mala u odnosu na g kad a, tada je proizvod fh beskonaqno mala u odnosu na fg kad a Ako je h = og a, onda je u nekoj okolini taqke a ispuƭeno h = αg, gde je α beskonaqno mala kad a Tada je fh = αfg pa je zaista fh = ofg a, to je i trebalo dokazati Neka je g = of i g = of a Tada je g = β f i g = β f, gde β,β 0 a, pa je g + g = β + β f, gde β + β 0 a, to znaqi da je i g + g = of a 3 Neka je g = oof kad a To znaqi da je g = oh a, gde je h proizvoʃna funkcija oblika h = of a, tj h = βf za neku beskonaqno malu funkciju β a Onda je g = γh = γβf gde γ 0 a, pa i γβ 0 a, to znaqi da je g = of a 7

8 4 Oblici ostatka Tejlorove formule Smisao Tejlorove formule je da se funkcija aproksimira polinomom Ostatak je, ustvari, greka te aproksimacije Kao to se vidi iz oblika ostatka, aproksimacija je utoliko boʃa ukoliko je taqka bliжa taqki a U tom smislu, ovo je lokalna aproksimacija, tj moжe da se koristi u dovoʃno maloj okolini taqke a Za dato i fiksno, pod određenim uslovima, greka aproksimacije se smaƭuje sa pove aƭem n Prema tome, Tejlorov polinom vieg stepena boʃe aproksimira funkciju od polinoma maƭeg stepena Ilustraciju prethodnog, pokazuju primeri sa graficima u delu 3 Ve pomenuti oblik ostatka naziva se Lagranжov 7 ostatak R n,a = fn+ c n +! an+, Lagranжov ostatak se qesto pie i u drugom obliku, ako stavimo da je c = a + θ a, gde je 0 < θ <, dobijamo R n,a = an+ f n+ a + θ a, n +! a ako jo dodamo j = a, j R konaqno dobijamo R n,a = jn+ n +! fn+ a + θj Ako u Lagranжov ostatak stavimo da je p = n +, p N, dobijamo slede e p a c n+ R n,a = f n+ c c p n! Ovaj oblik se naziva Xlemilh 8 -Roov 9 Ako stavimo p =, c = a + θ a, 0 < θ <, dobijamo Koijev 0 oblik ostatka R n,a = an+ θ n f n+ a + θ a n! Qesto se koristi i Peanov oblik ostatka R n,a = o a n, a qija vrednost zapravo i ne moжe da se izraquna Ovaj oblik ostatka se koristi kada nije ni potrebno da se on izraquna, nego je jednostavno potrebno da se pri nekim raqunaƭima u nekim zadacima naglasi da je ostatak beskonaqno mala veliqina Najvie emo ga koristiti pri raqunaƭu nekih graniqnih vrednosti, ili asimptota funkcija 7 J L Lagrange , francuski matematiqar 8 O Schlömilch 83-90, nemaqki matematiqar 9 E Roche , francuski matematiqar 0 A L Cauchy , francuski matematiqar G Peano , italijanski matematiqar 8

9 Peanov oblik ostatka zapravo ukazuje na to da vaжi R n,a a a n = 0 Teorema 3 Za ma koju funkciju R za koju je R n a = R na = R na = = R n n a = 0 vaжi a R n a n = 0 Dokaz Dokaжimo tvrđeƭe matematiqkom indukcijom Baza, n =, R a = R a = 0, R R treba da vaжi = 0, primenimo Lopitalovo pravilo i dobijamo a = 0 a a a Indukcijski korak, pretpostavimo da tvrđeƭe vaжi za n = k, tj kada je R k a = R k R k a = R k a = Rk k a = 0 da vaжi = 0 Dokaжimo da kada je a a k R k+ a = R k+ R k+ a = R k+ a = Rk k+ a = Rk+ k+ a = 0, da je = 0 a a k+ Lagranжova teorema primeƭena na funkciju R k+ na segmentu [a,], daje R k+ R k+ a = R k+c a, a < c < Kako je c a < a i R k+ a = 0, dobijamo da je R k+ = R k+c a = o a k a = o a k+, a, to je i trebalo dokazati 5 Maklorenova formula Dobila je ime po kotskom matematiqaru Maklorenu koji je prvi koristio u svom radu Maklorenova formula je specijalan sluqaj Tejlorove formule, to je Tejlorova formula kada je a = 0, tj razvoj Tejlorove formule u okolini nule f = T n,0 + R n,0 Maklorenova formula je zanimʃiva iz razloga to neke funkcije imaju neformalno govore i jednostavne izvode u nuli tako da se qesto dobija jednostavna formula - laka za kori eƭe, izvođeƭe i pam eƭe Svi pomenuti oblici ostataka Tejlorove formule su aktuelni i ovde i bi e kori eni kasnije zajedno sa Maklorenovom formulom 6 Tejlorov red Definicija Neka funkcija f ima u taqki = a konaqan n ti izvod f n za svaki prirodan broj n Beskonaqan red + k=0 f k a a k k! zove se Tejlorov red koji odgovra funkciji f u taqki a 9

10 3 Primena Tejlorove formule 3 Aproksimacije u nekoj taqki Primer Odrediti Tejlorov polinom tre eg stepena kojim se funkcija f = ln aproksimira u taqki = ReeƬe Odredimo prva tri izvoda funkcije f = ln, a zatim izraqunajmo vrednosti dobijenih izvoda u taqki =, f = ln f = 0 f = ln + f = f = ln + + = ln + 3 f = 3 f = f = Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, T 3, = f + f! + f! + f 3 + o 3 = 3! = o 3 Primer Aproksimirati funkciju f = e Tejlorovim polinomom tre eg stepena u taqki = ReeƬe Izraqunamo prva tri izvoda funkcije f = e, a zatim odredimo vrednosti dobijenih izvoda u taqki =, f = e f = 4e f = e e = e f = 0 f = e e = e 4 + f = e f = e e 4 = e f = e Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, T 3, = + f! + f! + f 3 + o 3 = 3! = 4e + 0 e + + e o 3 = = 4e e + 3e 3 + o 3 0

11 Primer 3 Odrediti Tejlorov polinom tre eg stepena funkcije f = sin u taqki = π ReeƬe Izraqunamo prva tri izvoda funkcije f = sin, a zatim odredimo vrednosti dobijenih izvoda u taqki = π, π f = sin f = π π f = sin + cos f = π f = cos sin f = π π f = 3sin cos f = 3 Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, π π π π f T 3, π = f + π f + π f +!! 3! = π + π π + = π 4 π π 3 + 3! π π 3 + o π 3 = π 3 + o π 3 = 3 + o π 3 Primer 4 Aproksimirati funkciju f = ln + sin Tejlorovim polinomom tre eg stepena u taqki = π ReeƬe Odredimo prva tri izvoda funkcije f = ln + sin, a zatim izraqunajmo vrednosti dobijenih izvoda u taqki = π, f = ln + sin fπ = 0 f = cos + sin f π = f = sin + sin cos + sin = sin sin cos + sin = = sin + + sin = + sin f π = f cos = + sin f π = Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, T 3,π = fπ + f π! π + f π! π + f π π 3 + o π 3 = 3! = π π 6 π3 + o π 3

12 Primer 5 Na i Maklorenov razvoj petog stepena funkcije f = ReeƬe Uvedemo smenu t = +, imamo da je f = = = 3 t = 3 t + t t 3 + ot 3 DaƩe je t = o 3, t 3 = 3 + o 3, ot 3 = o 3, gde smo koristili razvoj za t i t 3 do tre eg stepena Zamenom ovih izraza dobijamo f = o 3 = = o 5 Primer 6 Funkciju f = tg razviti u okolini nule do qlana sa 5 ReeƬe Primenom razvoja funkcije sin i cos dobijamo tg = sin cos = o o5 Drugi faktor se daʃe moжe razviti primenom smene t = + 4 4, o5 = t = + t + t = o4 Prema tome, tg = o o4 = o5 0 y Primer 7 Na slici je data aproksimacija trigonometrijske funkcije f = sin4 cos Maklorenovim polinomom devetog stetpena Vidimo da se ove funkcije, f i Maklorenov polinom T 9 poklapaju na ve em delu intervala,, to je dovoʃno velika okolina taqke = sin4 cos T 9 Sl

13 Primer 8 Ovde je prikazana aproksimacija funkcije f =, Tejlorovim polinomom drugog i petog stepena u taqki = Aproksimacija je utoliko boʃa ukoliko + je taqka bliжa taqki a Takođe, Tejlorov polinom vieg stepena boʃe aproksimira funkciju od Tejlorovog polinoma maƭeg stepena Ma slici levo smo funkciju f = + aproksimirali Tejlorovim polinomom drugog stepena T, dok na slici 3 desno Tejlorovim polinomom petog stepena T 5, vidimo da je ova druga aproksimacija boʃa Takođe se prime uje da su obe aproksimacije dobre u okolini taqke M, y T 5 y M M T 4 5 Sl 4 5 Sl 3 3

14 3 Maklorenov razvoj nekih elementarnih funkcija 3 Razvoj funkcije f = sin Nađimo nekoliko prvih izvoda funkcije f = sin f = cos = sin + π f = sin = sin + π f = cos = sin + 3π f = sin = sin + π = sin Sada uopteno za n ti izvod dobijamo slede e f n = f 4k+ = sin + π = sin + π + kπ za n = 4k + f 4k+ = sin + π = sin + π + kπ za n = 4k + f 4k+3 = sin + 3π = sin + 3π + kπ za n = 4k + 3 f 4k+4 = sin + π = sin + π + kπ za n = 4k + 4 daʃe je f n = pa je f 4k+ = sin + π + kπ = sin + 4k + π f 4k+ = sin + π + kπ = sin + 4k + π f 4k+3 = sin + 3π + kπ = sin + 4k + 3 π f 4k+4 = sin + π + kπ = sin + 4k + 4 π f n = sin + n π = sin + n π = sin + n π = sin + n π = sin + n π Sada nađimo vrednosti izvoda u taqki = 0 f n 0 = π f 4k+ 0 = sin = za n = 4k + f 4k+ 0 = sinπ = 0 za n = 4k + 3π f 4k+3 0 = sin = za n = 4k + 3 f 4k+4 0 = sinπ = 0 za n = 4k + 4 Dakle, Maklorenov polinom n tog stepena za funkciju f = sin glasi sin = 3 3! + 5 5! 7 7! + + n n n! + on 4

15 3 Razvoj funkcije f = cos Nađimo nekoliko prvih izvoda funkcije f = cos f = sin = cos + π f = cos = cos + π f = sin = cos + 3π f = cos = cos + π = cos Sada uopteno za n ti izvod dobijamo slede e f n = f 4k+ = cos + π = cos + π + kπ za n = 4k + f 4k+ = cos + π = cos + π + kπ za n = 4k + f 4k+3 = cos + 3π = cos + 3π + kπ za n = 4k + 3 f 4k+4 = cos + π = cos + π + kπ za n = 4k + 4 daʃe je f n = pa je f 4k+ = cos + π + kπ = cos + 4k + π f 4k+ = cos + π + kπ = cos + 4k + π f 4k+3 = cos + 3π + kπ = cos + 4k + 3 π f 4k+4 = cos + π + kπ = cos + 4k + 4 π f n = cos + n π = cos + n π = cos + n π = cos + n π = cos + n π Sada nađimo vrednosti izvoda u taqki = 0 f n 0 = π f 4k+ 0 = cos = 0 za n = 4k + f 4k+ 0 = cos π = za n = 4k + 3π f 4k+3 0 = cos = 0 za n = 4k + 3 f 4k+4 0 = cos π = za n = 4k + 4 Pa Maklorenov polinom n tog stepena za funkciju f = cos izgleda ovako cos =! + 4 4! 6 n + + n 6! n! + on+ 5

16 33 Razvoj funkcije f = arctg Odredimo Ƭene izvode u taqki = 0 Iz f = prema Lajbnicovoj formuli, za n je + sledi f + =, R, a odakle sledi + f n+ + nf n + nn f n = 0, f n+ 0 = nn f n 0 Kako je f0 = 0,f 0 =, dobijamo Sada je f n 0 = { 0, za n = k, k N, k k!, za n = k +, k N {0} f =! 3! 3 + 4! 5! k k! k +! k+ + o k+, konaqno dobijamo Maklorenov polinom n tog stepena za funkciju f = arctg arctg = k k + k+ + o k+ 34 Razvoj funkcije e Poznato je za funkciju f = e, da je f n = e, za svako n N Zato je za n N {0}, f n 0 = Pa dobijamo da Maklorenov polinom n tog stepena funkcije f = e izgleda ovako e = + +! + 3 n + + 3! n! + n n! + on 6

17 35 Razvoj funkcije f = + α Posmatrajmo ovu funkciju za α R\N i odredimo Ƭene izvode u taqki = 0 Dobijamo f = α + α f 0 = α f = αα + α f 0 = αα f = αα α + α f 0 = αα α f n = αα α n + + α n f 0 = αα α n + αα α n + Izraz a n =, podse a na poznati binomni koeficijent Usvojeno je n! α da se i u ovom sluqaju, i kada α nije prirodan broj, pie oznaka Dakle Maklorenov n polinom n tog stepena funkcije f = + α se moжe napisati na ovaj naqin + α = + α + α + + α n + o n n 36 Razvoj funkcije f = ln + Data funkcija je definisana za > Nađimo sada n ti izvod ove funkcije u taqki = 0 Iz f = + sledi f + =, a prema Lajbnicovoj formuli, za n je pa je za = 0 f n+ + = nf n, f n+ 0 = nf n 0 Kako je f 0 =, dobijamo daʃe f 0 =, f 0 =,, pa moжemo zakʃuqiti da je f n 0 = n n! Sada dobijamo da Maklorenov polinom n tog stepena funkcije f = ln + izgleda ovako ln + = + 3 n + n 3 n + on 7

18 37 Razvoj funkcije f = tg tg = n k= B k 4 k 4 k k + o k = k! = B n 4 n 4 n n + o n n! 38 Razvoj funkcije f = arcsin arcsin = n k=0 k! 4 k k! k + n+ + o n+ = = n! n n! n + n+ + o n+ arcsin = n 0 n!! n+ n!!n + 39 Razvoj funkcije f = arccos arccos = π n k=0 k! 4 k k! k + n+ + o n+ = = π n! n n! n + n+ + o n+ 8

19 33 Pribliжna izraqunavaƭa Kako je smisao primene Tejlorove formule aproksimacija funkcije polinomom, od interesa je poznavaƭe greke te aproksimacije Naravno, taqna vrednost greke je nepoznata, ali se ona moжe proceniti, polaze i od Lagranжovog ili Koijevog oblika ostatka Na primer, ako posmatramo Maklorenovu formulu sa ostatkom u Lagranжovom obliku, ciʃ procene greke je da se nađe gorƭa granica za R n = f n+ θ n+ n +!, gde ima datu vrednost ili pripada datoj okolini nule i gde je θ 0, Kod procene greke se obiqno koriste najjednostavnije nejednakosti, traжeƭem,,najgoreg sluqaja u kome oba faktora dostiжu maksimalnu apsolutnu vrednost Stoga je stvarna greka uglavnom znatno maƭa od proceƭene Primer Odrediti stepen Maklorenovog polinoma funkcije e koji omogu ava izraqunavaƭe e za,5 s taqno u 0 3 ReeƬe Neka je R n ostatak Maklorenovog polinoma Treba na i n, za koje je R n = f n+ c n +! n+ < 0 3, tj treba da vaжi e n +! n+ < 0 3, pa dobijamo 0 4 n+ < n+! Ova nejednakost je ispuƭena za najmaƭe n = 0 Primer Za koje vrednosti vaжi pribliжna formula cos grekom koja je maƭa od 0 4? sa apsolutnom ReeƬe Iz Maklorenove formule nalazimo da je cos = + cos θ 4 4, θ 0, Greka date pribliжne formule je R n 4, odakle se vidi da je traжeni uslov ispuƭen za one vrednosti za koje 4 je tj , Dobijeni rezultat je izraжen u radijanima, kada izrazimo u stepenima nalazimo da je 9

20 Primer 3 Izraqunati 3 8 sa grekom koja nije ve a od 0 4 ReeƬe Ovaj zadatak moжemo da reimo na vie naqina, ali najlaki je slede i Izvrimo transformaciju 3 8 = = = Pribliжna vrednost za 3 8 moжe se, prema tome, dobiti iz Maklorenovog razvoja funkcije f = 3 + 3, za =, daʃe dobijamo = /3 + + /3 /3 n c n 3 n+ n n + Primetimo da je maksimalna vrednost ostatka jednaka za = c =, pa je 7 /3 R n = 3 + n 3 n+ < 0 4 n NajmaƬe n za koje je nejednakost ispuƭena je n =, sada na kraju dobijamo ,03658 Primer 4 Primenom Tejlorove formule izraqunati sin 9 sa grekom ne ve om od 0 5 ReeƬe Iskoristimo Tejlorov razvoj funkcije sin u okolini nule, tj Makloreno razvoj Znamo da je gde je sin = 3 3! + 5 5! 7 7! + + n n n! + R, R = n cos θ n+ n +!, θ 0, U ovim formulama je = 9 = π Ne treba zaboraviti da se stepeni pretvaraju u 0 radijane! Nepoznati broj n određujemo iz uslova da maksimalna apsolutna vrednost ostatka R nije ve a od 0 5 Pa dobijamo da mora vaжiti π 0 n+ n +! < 0 5 IzraqunavaƬem leve strane dobijamo da nejednakost vaжi za najmaƭe n = Apsolutna vrednost greke tada je maƭa od 8 0 7, tako da je pomo u formule sin 9 π 0 π 3 3!, 0 sinus od 9 stepeni izraqunat sa zadataom taqno u u stvari, sa ve om taqno u od traжene Proverom na kalkulatoru, dobijamo da je sin 9 0,564344, dok je iz dobijene formule sin9 0,564336, to daje razliku taqno od

21 Primer 5 Kao to smo ve videli Maklorenov polinom funkcije f = arctg, izgleda ovako arctg = k k + k+ +o k+ Kada u ovu formulu zamenimo =, dobijamo jednu zanimʃivu formulu odnosno arctg = = n n +, n= π 4 = = n n + Na ovaj naqin moжemo izraqunati vrednost π, odnosno π sa proizvoʃnom taqno u 4 n= Primer 6 Pokazati kako moжe da se izraquna broj e, i dokazati da je iracionalan ReeƬe Videli smo da Maklorenov razvoj funkcije e izgleda ovako e = + +! + 3 n + + 3! n! + n n! + eθ n +! n+ Kada u ovu formulu zamenimo =, dobijamo slede u zanimʃivu formulu e = + +! + 3! + + n! + n! + e θ n +! Ako se uzme dovoʃno veliko n, ovako se broj e moжe izraqunati sa proizvoʃnom taqno u Sada da dokaжemo da je broj e iracionalan Pretpostavimo suprotno, da je broj e racionalan broj, oblika m, m,n N i n Prema prethodnoj formuli imamo da n je n! e!! = R n n! n! Odakle je R n n! prirodan broj S druge strane, iz jednakosti R n = stavʃaju i θ = 0 i θ =, n +! < R 3 n < n +!, sada nejednakost pomnoжimo sa n!, pa je daʃe n + < n! R n < 3 n +, e θ n +! se dobija odakle sledi da je 0 < n!r n < Kontradikcija ZakƩuqak je da je broj e iracionalan Raqunari i kalkulatori izraqunavaju vrednosti funkcija npr sin,cos,ln,e, Ƭihovom aproksimacijom pomo u Tejlorove formule

22 34 IzraqunavaƬe graniqnih vrednosti Primer Izraqunati e sin + 3 ReeƬe Funkcije e i sin razvijemo do tre eg stepena MnoжeƬem, i zadrжavaƭem qlanova do 3 dobijamo, + +! + 3 3! + o3 3 3! + o3 3 SređivaƬem dobijenog izraza dobijamo konaqni rezultat, = 3! 3 3! + 3 o3 3 = 3 + o3 3 = 3! + o3 3 3! 3 U ovom zadatku, kao i u sliqnim zadacima gde se primeƭuje Tejlorova formula, standardno pitaƭe je:,,kako znamo do kog stepena treba pisati Tejlorov razvoj? U stvari, to ne znamo unapred Ako je izraz oblika A B, tada B razvijamo do onog stepena posle kog bi ostali dodati sabirci pomnoжeni sa A, teжili nuli, odnosno kada imamo situaciju B, tada B razvijamo do stepena koji je A Xto je sliqno kao prethodni sluqaj, samo je A mnoжeƭe zameƭeno deʃeƭem cos + ln + Primer Odrediti 4 ReeƬe Prvo uprostimo malo es, pa emo dobiti, cos + ln + 4 DaƩe razvijemo funkcije cos i ln +, 4 4!! + o o4 4 Jednostavnim mnoжeƭem i sređivaƭem dobijamo, 4 4! o4 4 = 4! + o 4 4 = 5 4

23 Primer 3 Kori eƭem Maklorenovog razvoja na i cos cos 4 ReeƬe U ovakvim primerima treba voditi raquna ta prvo razvijamo Jedan put moжe da zakomplikuje stvari, pa treba izabrati pravi U ovom sluqaju prvo emo razviti kosinus sa argumentom, pa dobijamo, DaƩe je cos + o o4 4 cos = = o4 4 = 8 o 4 Primer 4 Odrediti realan parametar a tako da L = a ln + + konaqan Za nađeƭu vrednost parametra a na i graniqnu vrednost ReeƬe RazvijaƬem ln +, po, dobijamo ln + = + o, pa je, L = a + a + o a + Prvi qlan u zagradi,, teжi ka + Da bi graniqna vrednost bila konaqna mora negde da se pojavi sabirak, a to je mogu e ako i samo ako je a =, tj a = U tom sluqaju dobijamo L = + + o = bude Da bismo se uverili da je ovo jedino reeƭe, primetimo da je za a > qlan a dok je za a < qlan + Pa je prethodno reeƭe zaista jedinstveno +, Primer 5 Izraqunati vrednost tg sin ReeƬe Poznate razvoje tg = o 4, sin = o 4, 0, uvrstimo u poqetnu graniqnu vrednost, i dobijamo krajƭi rezultat o o 4 = o 4 = o 4 3

24 arcsin arcsin Primer 6 Uz pomo Maklorenovog razvoja odrediti 3 ReeƬe Razvijemo funkcije arcsin, do qlana 3, i zatim sredimo izraz DaƩe dobijamo konaqni rezultat, o o o 4 3 = 3 = Primer 7 Izraqunati cos sin 3 ReeƬe Kada imamo ovakav zadatak, tj situaciju f g, uradi emo slede e e ln fg, pa sada odredimo tu graniqnu vrednost Primenom prethodnog dobijamo, Izraqunajmo sada esin ln cos 3 sin ln cos = sin ln + o = = 3 3! + o3 + o = 3 + o3 Sada dobijeni rezultat zamenimo na poqetku DaƩe je, 3 e + o o3 = 3 = 3 + o3 3 = Primer 8 Odrediti vrednost π arccos ReeƬe Moжemo izvriti transformaciju ln π arccos π arccos = e Izraqunajmo sada novi es, imaju i u vidu da je pa dobijamo daʃe, ln π arccos arccos = π + o, ln + = + o, 0, = ln π + o = π + o = π Zamenom u poqetnu graniqnu vrednost, dobijamo rezultat π arccos = e π 4

25 + tg + sin Primer 9 Kori eƭem Tejlorove formule izraqunati 3 ReeƬe Prvo emo razviti funkcije tg i sin, a zatim korene, + = o o 4 3 = o o 4 3 Sada jednostavnim sređivaƭem dobijamo krajƭi rezultat, o 4 3 = o 4 3 = 4 Primer 0 Izraqunati graniqnu vrednost ln + tg ReeƬe Kada proirimo na zajedniqki imenilac dobijamo tg ln + ln + tg Sada iskoristimo poznate razvoje funkcija tg i ln +, daʃe je, + o + o = + o ln + tg + o + o = Primer Odrediti vrednost esa ReeƬe Kada +, ili, obiqno se koristi Maklorenov razvoj, pa dati es treba malo transformisati, i razviti po qlanu U ovom primeru, iz korena izvuqemo pa zatim razvijemo po qlanovima 3 i Sada je = o SređivaƬem dobijenog, konaqno dobijamo rezultat, + + o = + o 5

26 Primer Primenom Tejlorove formule, izraqunati sinsin 3 5 ReeƬe Koriste i poznate razvoje, imamo, kad 0 sinsin = sin 6 sin3 + 0 sin5 + o 5 = = o o o5 StepenovaƬem i zadrжavaƭem qlanova do 5 u prethodnoj jednakosti, dobijamo DaƩe je 3 = + /3 sinsin = o 5 + /3 + o 4 Zamenom dobijenih rezultata u poqetni es, dobijemo sinsin 3 5 = = o o = o 5 5 = 9 90 = o o 5 5 = Tejlorova formula ima ogromnu primenu kod izraqunavaƭa graniqnih vrednosti, kao to su i prethodni primeri to ilustrovali Mnogi od ovih primera ne moжe da se ree elementarnim putem, tj raznim transformacijama Neki esi su mogli da se odrede primenom Lopitalovog pravila, ali taj put je daleko teжi, i zahteva dosta raqunaƭa, i dobrog snalaжeƭa sa izvodima G F A de I Hospital , francuski matematiqar 6

27 35 NalaжeƬe kosih asimptota NalaжeƬe kosih asimptota, se svodi na raqunaƭe graniqne vrednosti funkcije kada + ili, u zavisnosti od domena funkcije Tada se obiqno vri razvoj po qlanu, dok su pre toga izvrene maƭe transformacije, i sređivaƭa Primer Izraqunati kose asimptote ako postoje funkcije f = ReeƬe Izvu i emo iz korena, i zatim izvriti razvoj po qlanu f = = = o = o [ ] 4 + o = Dakle, kosa asimptota grafika date funkcije je prava y = +, i to i za + i za Dodatni qlan 4 9 govori o tome da li se grafik nalazi,,ispod ili,,iznad dobijene asimptote Ako je qlan pozitivan, grafik je,,iznad, a ako je negativan, grafik je,,ispod dobijene asimptote Primer Izraqunati kose asimptote ako postoje funkcije f = arctg ReeƬe Iskoristimo poznati razvoj za funkciju arctg, daʃe je f = o 4 = 3 + o 3 ZakƩuqujemo da je prava y = obostrana horizontalna asimptota Kada i + grafik je,,ispod asimptote Primer 3 Na i kose asimptote ako postoje funkcije f = e ReeƬe Poto je e = + + e i + =, pa datu funkciju + moжemo napisati kao f = e, za + Posmatramo samo za +, jer za funkcija nije definisana Sada je, f = o = o Prava y = + nije kosa asimptota, jer postoji qlan, a = +, pa je zakʃuqak + da data funkcija nema kosih asimptota 7

28 Primer 4 Primenom Maklorenovog razvoja izraqunati kose asimptote ako postoje funkcije f = sin + + e ReeƬe Grupiemo sabirke na slede i naqin, f = + sin + e, i zatim razvijemo funkcije sin i e, + + o o 3 SređivaƬem izraza dobijamo, = + + o 6 o = 6 + o Sledi da je prava y = obostrana horizontalna asimptota, kada, grafik je,,iznad asimptote, a za +, grafik je,,ispod asimptote + Primer 5 Odrediti kose asimptote ako postoje funkcije f = e ReeƬe Zapiemo funkciju kao f = + e Zatim razvijemo eksponencijalnu funkciju, po, daʃe je f = o 3 Za imamo da je f = o 3, kada sredimo, dobijamo f = o Za + imamo da je f = o 3, kada sredimo, dobijamo f = o Prava y =, je leva kosa asimptota, i grafik je,,ispod asimptote, a prava y = +, je desna kosa asimptota, i grafik je takođe,,ispod asimptote Vidimo da Tejlorova formula moжe da se upotrebi i kod izraqunavaƭa kosih asimptota funkcije Kod ispitivaƭa funkcija, ovakav naqin qesto dosta olaka posao, jer moжe da se dogodi, da esi preko kojih određujemo koeficijente budu komplikovani, i teki za izraqunavaƭe U ovom sluqaju, imamo jo dodatni tre i sabirak koji pomaжe da vidimo da li je grafik,,ispod, ili,,iznad asimptote, to moжe da sluжi kao pomo za proveru nekih drugih rezultata da li su taqni 8

29 36 IspitivaƬe konvergencije redova Primer Ispitati konvergenciju reda n, ako je > 0, n+ = 3 n sin n n= ReeƬe Imamo da je n+ = 3 n n + 3 n 6 + o3 n = n 3 + o n Po Dalemberovom 3 kriterijumu je = 6 n+ n, pa je red konvergentan 3 n 6 Primer Ispitati konvergenciju reda n α sin n β ln n +, α R, β > 0 n n= ReeƬe Kako je a n = n α sin n β ln n + n α sin n n β ln + n α β n n =, dobijamo nβ α+ da je red konvergentan ako i samo ako je β α + >, tj β > α Primer 3 Ispitati konvergenciju reda ReeƬe Kako je cos n a n = cos n ln p n n ln p n = = Primer 4 Ispitati konvergenciju reda ReeƬe a n+ a n = n + o n n n +! n+ n + α n +! n! n cos n ln p n n= n + o n = n + o n, pa je n nln p Dobijamo da red konvergira ako i samo ako je p > n = n α n! + α + o n n= n! n n α n! n + n α n + α n + n + = + + α+ = n n n = + n α + n n n Po Gausovom 4 kriterijumu red konvergira ako i samo ako je α > 3 n + Primer 5 Neka je a n = n + n + + n + c n Odrediti c tako da red a n konvergira ReeƬe RacionalisaƬem, dobijamo a n = n + n + n + c n = n + n + n + c n = n + n + n 8n + α n 3 + o n 3 + c n = + 3 8n + α n +o n + c n = 8c α n n + o n Red konvergira ako i samo ako je 8c + 3 = 0, tj c = 8 3 J le R D Alambert , francuski matematiqar 4 C F Gauss , nemaqki matematiqar n= 9

30 Literatura [] Z Kadelburg, V Mi i, S OgƬanovi : Analiza sa algebrom 4, tre e dopuƭeno izdaƭe,,krug, Beograd 003 [] M Merkle, Matematiqka analiza, teorija i hiʃadu zadataka,,akademska misao, Beograd 005 [3] V Balti : Tejlorov i Maklorenov polinom, Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Beograd 004 [4] Z Kadelburg, V Mi i, S OgƬanovi : Analiza sa algebrom 3, tre e dopuƭeno izdaƭe,,krug, Beograd 003 [5] D Adnađevi, Z Kadelburg: Matematiqka analiza I, esto izdaƭe, Matematiqki fakultet, Beograd 003 [6] Qasopis,,Tangenta, Drutvo matematiqara Srbije, Kragujevac-Beograd [7] Elektronski materijal: [8] Elektronski materijal: 30

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2010/2011. Beograd, 2011.

DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2010/2011. Beograd, 2011. DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 010/011. Beograd, 011. Organizacioni odbor 53. Drжavnog takmiqenja iz matematike 1. Profesor dr Zoran Kadelburg, predsednik DMS. Marko Radovanovi,

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija ( 1)

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija ( 1) REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, 0.0.008. Pvi azed, A kategoija Kako je 5 10510 nepaan boj, sledi da je 10 510510 ( 1) 510510 1 (mod 11). Kako je 5 5 =5 5 5 5

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0:

Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0: Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0: 24.2.2015. Duxan uki 1. U kraljevstvu ima 100 mudraca. Kralj testira mudrace na slede i naqin: postroji ih u red i svakom stavi na glavu belu ili crnu kapu tako da

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA

NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA U prethodnim radovima [2] i [3] opisana je teorija linearnog programiranja. U ovom radu prikaza emo jednu od osnovnih metoda za rexavanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA Doktorska disertacija Kragujevac 2007 Sadr`aj Predgovor 2 1 Harmonijski grafovi 5 1.1 Definicija

Διαβάστε περισσότερα

Programiranje I. Smer Informatika Matematički fakultet, Beograd. Jelena Tomašević, Sana Stojanović November 16, 2005

Programiranje I. Smer Informatika Matematički fakultet, Beograd. Jelena Tomašević, Sana Stojanović November 16, 2005 Programiranje I Beleške sa vežbi Smer Informatika Matematički fakultet, Beograd Jelena Tomašević, Sana Stojanović November 16, 2005 1 1 Specifikacija sintakse programskih jezika, meta jezici Za opis programskih

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa

Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa Poglavlje 3 Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa 3 3 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa 3. Laplasova i Furijeova transformacija izlaznog signala idealnog

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

Komentari se javljaju na radnom listu kad dođemo na polje za koje su vezani ali ne utiču na ponašanje sadržaja u polju.

Komentari se javljaju na radnom listu kad dođemo na polje za koje su vezani ali ne utiču na ponašanje sadržaja u polju. 4.9 Komentar uz polje Komentari se javljaju na radnom listu kad dođemo na polje za koje su vezani ali ne utiču na ponašanje sadržaja u polju. Pritisnemo na polje mišem, desni klik miša, Insert Comment,

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA I II ARISTOTELOV UNIVERZITET U TESALONIKI INSTITUT ZA NOVOGRČKE STUDIJE Fondacija Manolisa Trijandafilidisa Manolis A. Trijandafilidis MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA Preveo i priredio

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Dragana Rankovi Stabilnost, nestabilnost i bifurkacije u modelovau neurona diferencijalnim jednaqinama sa kaxeem doktorska disertacija Beograd, 2011. Sadraj

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Desanka P. Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS)

Desanka P. Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS) Desanka P Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS) AKADEMSKA MISAO Beograd, 005 Predgovor Knjiga je nastala kao rezultat želje autora da jednu novu, vrlo atraktivnu oblast primenjene matematike približi studentima

Διαβάστε περισσότερα

DARJA POTOƒAR, FMF

DARJA POTOƒAR, FMF 7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α =

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα