STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači"

Transcript

1 STATISTIKA KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK Primjer: svi glasači, samo neki glasači populacija uključuje sve podatke, a uzorak samo dio, slučajno izabranih kako procjeniti reprezentativni element? MJERE CENT. TENDENCIJE SREDN JA V RIJEDN OST MOD MEDIAN niz {x 1, x 2, x 3,..., x T } = (x 1 + x x T )/n srednja vrijednost x = 1 n PRIMJER 2, 4, 4, 5, 3, 5, 2, 4 sortirano 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5 srednja vrijednost n i=1 x = ( )/8 = mod, podatak koji se najčešće ponavlja 1 x i (1)

2 4 median 4 P PERCENTIL P percentil je vrijednost ispod koje se nalazi P % svih elemenata grupe Pozicija P percentila je dana kao (n+1) P / 100 naš primjer 50 percentil je na poziciji KVARTIL podjela podataka na četvrtine donji, srednji = median, gornji MJERE VARIJABILNOSTI 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 VARIJANCA I STANDARDNA DEVIJACIJA VARIJANCA:prosječni kvadrat odstupanja VARIJANCA:UZORAK 2

3 ni=1 s 2 (x i x) 2 = n 1 (2) VARIJANCA:POPULACIJA σ 2 = ni=1 (x i µ) 2 N (3) µ :srednja vrijednost populacije STANDARDNA DEVIJACIJA UZORAK s = ni=1 (x i x) 2 n 1 (4) GRUPIRANJE PODATAKA:HISTOGRAM KLASA:skup podataka unutar nekih granica distribucija frekvencija: histogram relativne i apsolutne frekvencije SKEWNESS I KURTOSIS skewness. mjera asimetrije podataka kurtosis. mjera spljoštenosti 3

4 METODE PRIKAZIVANJA PODATAKA PIE CHART: postotak površine odredjuje postotak varijable POLIGON RELATIVNIH FREKVENCIJA, započinje i završava nulom kumulativne relativne frekvencije STANDARDIZIRANA NORMALNA DISTRIBUCIJA Neka je X iz N(µ, σ). Tada se može pokazati da je varijabla Z = X µ σ (5) iz distribucije N(0, 1). Koja je korist ove transformacije? ZADATAK: Neka je srednja vrijednost visina medju studentima µ = 64.3 incha i σ 2 = 9.8. Kolika je vjerojatnost medju studentima da je visina veća od 69 incha? Bez standardizirane normalne distribucije morali bi integrirati numerički normalnu distribuciju. Medjutim vrijedi, P r(x > 69) = P r( X > ). Vrijedi, P r(z > 1.5) = 0.5 A = Poznavanjem uzorka dobivamo ocjenu srednje vrijednosti populacije medjutim kako vrijedi varijabilnost uzoraka (neki drugi dao bi drugačiju vrijednost) zanima nas i pouzdanost ocjene. Kako je srednja vrijednost iz distribucije N(µ, σ/ n), iz nje definirajmo standardiziranu varijablu Z = X µ σ/ n. Iz tablica dobivamo P r( 1.96 < Z < 1.96) = P r(x σ n > µ > X 1.96 σ n ) =

5 Dobili smo interval za koji sa 95% sigurnošću sadrži srednju vrijednost populacije. STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE kako na osnovu uzorka zaključiti o populaciji kolike su srednja vrijednost i varijanca populacije? PRIMJER: Slučajni uzorak 40 odvjetničkih ureda pokazao je da su pravne usluge po satu dane sa srednjom vrijednošću 25 dolara a sa stdev s = 3.7 dolara. Nadjite s 95 postotni interval pouzdanosti za cijelu pravnu profesiju. Neka je zadana slučajna varijabla X dana normalnom distribucijom N(µ, σ). Uzmimo uzorak i izračunajmo srednju vrijednost. Jasno, različiti uzorci daju različite srednje vrijednosti, dakle očita je uzoračka varijabilnost. U praksi ne znamo koliki su populacijski parametri. Njih iz uzorka želimo procijeniti. Uzmimo veliki broj uzoraka i za svaki izračunajmo srednju vrijednost. Jasno iz tih vrijednosti izgradimo distribuciju srednjih vrijednosti. Ako je X iz N(µ, σ) tada je distribucija srednjih vrijednosti ima srednju vrijednost µ i standardnu devijaciju σ/ n. Veći uzorak, bolja procijena populacijske srednje vrijednosti. STUPNJEVI SLOBODE Neka su zadane n varijable i f restrikcija (relacija, jednjadžbi) medju njima. Tada kažemo da ima n f stupnjeva slobode. Npr, neka su zadane 5

6 varijable X, Y i Z. Neka varijable nisu nezavisne jer zadovoljavaju slijedeću jednadžbu: X + Y + 2Z = 5. Primjetimo da bilo koje dvije varijable možemo slobodno mijenjati, ali treću ne možemo jer vrijedi ranija jednadžba. Koliko varijabli možemo slobodno mijenjati toliko je i stupnjeva slobode (degrees of freedom d.f.). SVRHA STUDENTOVE T- i CHI2- DISTRIBUCIJE Imaš uzorak, a nemaš populaciju. Iz uzorka želimo procijeniti srednju vrijednost µ ili standardnu devijaciju σ populacije. Za procijenu µ koristimo t distribuciju, a za procijenu σ koristimo χ 2 distribuciju. JEDAN REP DVA REPA DISTRIBUCIJE STUDENTOVA T-DISTRIBUCIJA U praksi najčešće ne poznamo parametre populacije, ni srednju vrijednost ni varijancu. Jedini čime raspolažemo je uzorak. Ova distribucija pomaže nam da procijenimo populacijsku srednju vrijednost odredjivanjem srednje vrijednosti i standardne devijacije uzorka. Ako je populacija normalno distribuirana, standardizirana statistika t = X µ S/ n slijedi t distribuciju s n 1 stupnjeva slobode (d.f.). (6) Stupnjevi slobode odgovaraju srupnjevima povezanima sa standardnom devijacijom uzorka. Svaka t distribucija u tablicama dana je preko d.f. (broj po- 6

7 dataka -1) U središnjem dijelu, t distribucija nalikuje standardiziranoj normalnoj distribuciji. Obje su simetrične (skewness nula). Ipak, od potonje se razlikuje u repovima (dalje od središnjeg dijela). Što je d.f. veći to t-distribucija više nalikuje normalnoj distribuciji. Primjena distribucije: Ma koju statističku varijablu imali (visina ljudi, rok trajanja auto-guma,...) možemo je standardizirati na raniji način i stoga koristiti tablice te standardizirane varijable. Sad želimo odrediti poznavanjem srednje vrijednosti uzorka gdje se nalazi srednja vrijednost populacije. Poznavanjem X i S ne možmo točno odrediti (jednim brojem) µ, ali možemo odrediti s nekom vjerojatnošću interval u kojem se nalazi µ populacije. Veća vjerojatnost, veći interval a time i naša nesigurnost u odredjivanju položaja µ. Dakle, unaprijed moramo odrediti koliko želimo biti nesigurni. Pretpostavimo da želimo 95% interval pouzdanosti za odredjivanje µ primjenom t distribucije. U tablicama uočimo iz zadnjeg reda kako područje izmedju t = 1.96 i t = 1.96 pokriva 0.95% vjerojatnosti. Koristimo distribuciju s 2 repa jer se µ može nalaziti i lijevo i desno od X. Kako se zadnji red odnosi na d.f. =, u tablici putujemo prema gore dok ne nadjemo red s našim stupnjem slobode. Ako je npr d.f. = 20 tada je t = Dakle 95% interval pouzdanosti za traženje µ iznosi s X ± t (7) n PRIMJER: 7

8 1) Proizvodjač guma želi ocijeniti prosječan broj milja koji predju neke gume prije no što se potroše. Slučajan uzorak od 32 gume (u tisućama milja) dao je vrijednosti: 32, 33, 28, 37, 29, 30, 25, 27, 39, 40, 26, 26, 27, 30, 25, 30, 31, 29, 24, 36, 25, 37, 37, 20, 22, 35, 23, 28, 30, 36, 40, 41 Nadjite 99% interval za prosječan broj milja gume. 2) U svrhu odredjivanja potrošačkih navika turista, državna agencija želi ocijeniti koliko u prosjeku turisti troše na nekom području. Slučajan uzorak od 56 turista daje 258 dolara i s = 85 dolara. Nadjite 95 postotni interval pouzdanosti za prosječni potrošeni novac na danom području. 3) Visa daje kartičarima poseban bonus u dolarima koji se mogu upotrijebiti pri kupnji poklona. Kompanija želi ocijeniti koliki je prosječan iznos plačen na taj način po kartičaru. Uzorak ima 225 člana. Pokazalo se da je za uzorak x = s = 52. Dajte 95 % interval pouzdanosti za prosječan iznos bonus dolara. χ 2 DISTRIBUCIJA Problem u kojem se primjenjuje: Kompanija planira kupiti žarulje pri čemu je nužno da žarulje budu uniformne (što sličnije u svojstvima). Iz iskustva se zna kako varijanca života 8

9 žarulja ne smije prelaziti 300sati 2. Slučajni uzorak 25 žarulja pokazao je kako je varijanca 340sati 2. Pokažite uz nivo značajnosti 0.05 da li kupljene žarulje zadovoljavaju dane zahtjeve. Neka je zadano n neovisno distribuiranih varijabli iz normalne distribucije N(0, 1). Tada je suma kvadrata χ 2 n distribucija s n stupnjeva slobode. Σ n i Z 2 i = Z Z 2 2Z Z 2 n (8) Varijablu χ 2 n dobivamo sumiranjem pozitivnih realnih brojeva pa je distribucija zadana samo za pozitivne realne brojeve. Kao i za svaku distribuciju, površina ispod krivulje distribucije je jednaka 1. S porastom n vrijednosti, maksimum distribucije pomjera se udesno (srednja vrijednost χ 2 distribucije jednaka je n). Pretpostavimo da imamo uzorak od n mjerenja: X 1, X 2,..., X n pri čemu su vrijednosti varijabli dobivene iz N(µ, σ) distribucije. Tada slijedi da je varijabla X i µ σ (9) iz standardizirane normalne distribucije N(0, 1). Iz definicije varijance uzorka dobivamo: s 2 (n 1) σ 2 = Σn i=1 (X i X) 2 σ 2 (10) Očito je desna strana definicija χ 2 n s n 1 d.f. 9

10 Vrijedi da je srednja vrijednost χ 2 jednaka d.f. a varijanca iznosi 2 d.f. Iz definicije χ 2 vidimo da ako želimo odrediti recimo 95% interval pouzdanosti pri ocjeni varijance populacije moramo pronaći dvije kritične vrijednosti na nasuprotnim stranama distribucije izmedju kojih je integral Dakle, iz tablica se nadje χ i χ Vrijedi χ < χ 2 < χ (11) iz čega slijedi da je σ 2 iz intervala Riješeni primjer: [ (n 1)s2 χ 2, (n 1)s2 χ 2 ] (12) ) Pokazalo se kako je kompanija koristila proizvodni proces u kojem je standardna devijacija jednaka 35 s. Takva varijabilnost izazivala je prekide u proizvodnji. Inženjeri tvrde da su našli novu metodu s manjom standardnom devijacijom. Dvadeset radnika pokazalo je kako je stdev vremena novog procesa s = 28s. Možemo li zaključiti da je novi proces uveo poboljšanje? H 0 : σ 2 = 1225 (13) H A : σ 2 < 1225 (14) T S = s2 (n 1) 1225 je χ 2 s n 1 d.f (15) 10

11 2) U problemu 1 iz poglavlja s t-distribucijom nadjite 99% interval pouzdanosti za varijancu broja milja koju predje guma prije no što se potroši. F DISTRIBUCIJA Distribucija se koristi za usporedjivanje varijanci dviju populacija. F distribucija je distribucija kvocijenata dviju χ 2 slučajnih neovisnih varijabli, pri čemu je u definiciji svaka χ 2 podijeljena sa svojim stupnjem slobode. Neka je χ 2 1 slučajna varijabla s k 1 stupnja slobode, a χ 2 2 druga slučajna varijabla, neovisna o prvoj, s k 2 stupnja slobode. Tada varijabla F k1,k 2 = χ2 1 /k 1 χ 2 2/k 2 (16) zadovoljava F distribuciju s k 1 i k 2 stupnja slobode. Dakle, za razliku od Student t distribucije i χ 2 distribucije koje ovise o jednom parametru (stupnju slobode), F distribucija ovisi o 2 stupnja slobode što je jasno jer joj je varijabla kvocijent dviju neovisnih χ 2 varijabli gdje je svaka dana svojim stupnjem slobode. k 1 (k 2 ) je stupanj slobode χ 2 varijable u brojniku (nazivniku) gornje jednadžbe. Kao i svaka distribucija vjerojatnosti, normirana je na 1, i nas u praksi zanima kako pronaći kritične vrijednosti takve da su integrali desno od njih jednaki npr 0.05 (0.01). F distribuciju koristimo najčešće pri testiranju jednakosti dviju populacijskih varijanci. Prisjetimo se kako je definirana χ 2 slučajna varijabla: 11

12 χ 2 = (n 1)S2 σ 2 (17) gdje je S 2 uzoračka varijanca dobivena iz normalno distribuirane populacije. Uzorak ima n elemenata pa je broj stupnjeva slobode za jedan manji. Pretpostavimo da imamo dva neovisna slučajna uzorka dobivena iz dviju normalno distribuiranih populacija. Za svaki od dvaju uzoraka izračunamo odgovarajuće varijance S 2 1 (s brojem stupnjeva slobode n 1 1), odnosno S 2 2 (s brojem stupnjeva slobode n 2 1). Definirajmo slučajnu varijablu: S 2 1 S 2 2 = χ2 1 σ2 1 /(n 1 1) χ 2 2σ 2 2/(n 2 1) (18) Kad su populacijske varijance σ 2 1 i σ2 2 jednake, gornja jednadžba postaje jednaka jednadžbi za slučajnu varijablu F distribucije s n 1 1 i n 2 1 stupnjeva slobode. Logičan test za ispitivanje jednakosti varijanci koje pripadaju dvjema normalno distribuiranim populacijama: F n1 1,n 2 1 = S2 1 S 2 2 (19) Test jednakosti dviju populacija Dva su uzorka slučajno izabrana. Testiramo (i zanima nas pokazati) da li ta 2 uzorka pripadaju različitim ili jednakim populacijama. Moguće hipoteze koje testiramo su slijedeće: Test s 2 repa: H 0 : σ1 2 = σ2 2 H 1 : σ1 2 σ2 2 12

13 Test primjenjemo kad želimo ustanoviti da li su populacije različite pri čemu varijanca populacije II može biti bilo manja bilo veća od populacije I. Test s jednim repom: H 0 : σ1 2 σ2 2 H 1 : σ1 2 > σ2 2 Ovaj test koristimo kad želimo testirati da li je σ 2 1 veće od σ2 2. Jasno u tom slučaju podrazumjeva se i da je S1 2 > S2 2. Jasno i da je odbacivanje nulte hipoteze moguće samo na desnom repu distribucije gdje su veće vrijednosti. Logično da je nužan uvjet da ćemo prihvatiti hipotezu σ 2 1 > σ 2 2 ako je S 2 1 > S 2 2. Medjutim, nije dovoljno da je S1 2 samo veće od S2 2. Mora biti i dovoljno veće. Koliko veće? To nam otkrivaju tablice F distribucije. U tablicama su dane kritične vrijednsti za nivoe značajnosti α = 0.05 i α = Primjer 1: Standardna devijacija se uzima kao mjera rizika koji pridružujemo cijenama dionica. Financijski analitičar želi testirati hipotezu da dionica A ima veći rizik od dionice B. Slučajan uzorak od 25 dnevnih cijena dionice A daje s 2 1 = 6.52, a slučajni uzorak 22 cijene dionice B daje s2 2 = Testirajte uz α = A kakav je zaključak ako uzmemo α = 0.05? 13

14 Primjer 2: Testirajmo jednakost dviju populacija. Velika robna kuća želi testirati da li je varijanca vremena čekanja u redu približno jednaka. Dva slučajna uzorka s n 1 = 14 i s 1 = 0.12 i n 2 = 9 i s 1 = 0.11 testiraju pretpostavku jednakih populacijskih varijanci. Iz tablice iščitamo desnu kritičnu vrijednost za distribuciju F k1,k 2 uz nivo značajnosti ili α = 0.05 ili α = Lijeve kritične vrijednosti za distribuciju F k1,k 2 sami izračunamo kao: 1 F k2,k 1 (20) Uočimo da u tom slučaju područje izmedju lijeve i desne kritične vrijednosti pokriva α = 0.10 = 2(0.05) jer iammo tabele samo za α = 0.05 i α = Da bi smo mogli odrediti područje F distribucije s dva repa za α = 0.05, morali bi koristiti tabele F distibucije za α = Takve najćešće nemamo. F 13,8 = 1.19 Test razlika dviju populacijskih srednjih vrijednosti Želimo recimo procijeniti na osnovu izračunatih srednjih vrijednosti da li dva uzorka pripadaju istoj populaciji ili različitima. Test koristimo za velike uzorke (broj elemenata veći od 30 za oba uzorka). H 0 : µ 1 µ 2 = 0 H 1 : µ 1 µ 2 0 mogući, ali rjedje korišten test je 14

15 H 0 : µ 1 µ 2 D H 1 : µ 1 µ 2 > D Odgovarajuća statistika je: z = X 1 X 2 (µ 1 µ 2 ) s 2 1 /n 1 + s 2 2/n 2 (21) gdje je (µ 1 µ 2 ) ralika populacijskih srdnjih vrijednosti prema nultoj hipotezi. PRIMJER: Analitičar u modnoj industriji želi procijeniti tvdnju da modeli koji nose Peru Kardena (PC) zaradjuju u prosjeku više od modela koji nose Calvin Klein (CK). Za dano vremensko razdoblje 32 PC modela zaradila su u prosjeku 4, 238 dolara sa s = 1, dolara. Slučajan uzorak 37 CK modela zaradio je u prosjeku 3, 888 dolara sa s = dolara. Što ste zaključili? 15

16 JEDNOSTAVNA REGRESIJA (DVIJE VARIJABLE) Uočavamo ponekad da postoje veze izmedju dviju ekonomskih varijabli. Na primjer, jasno je da obitelji koje više zaradjuju u prosjeku više i troše, a obitelji koje manje zaradjuju manje troše. U PROSJEKU, jer uvijek su moguće i iznimke. Zanima nas uspostaviti vezu (matematičku funkciju) medju danim varijablama. Kakva je korist u slučaju zarade i potrošnje? Jasno, različite obitelji s istom zaradom različito troše, ali nas zanima kako bi mogli predvidjati, kolika je očekivana (prosječna) potrošnja za neku obitelj koja ima odredjenu zaradu. REGRESIJSKA ANALIZA: uspostavlja veze medju promatranim varijablama Prvi je korak uočiti uzročnu vezu medju varijablama. Jasno da nema potrošnje bez primanja, dakle, zarade odredjuje potrošnju, pa primanja uzimamo kao objasnidbenu (nezavisnu) varijablu X, a potrošnju kao zavisnu Y. Pretpostavimo da imamo sve podatke (primanja i potrošnju) neke zemlje, i da smo našli vezu: E(Y ) = α + βx (22) gdje su α i β populacijski parametri. Uočimo da smo pretpostavili linearnu vezu izmedju X i Y, ali nismo rekli kako smo došli do te linearne veze. O tom poslije. Parametri populacije α i β su u praksi nepoznati jer nikad nemamo informaciju o cijeloj populaciji. Naime ta je informacija vrlo vrlo skupa. 16

17 E(Y ) se čita očekivana potrošnja, jer kao što smo rekli, obitelji istih primanja X nemaju istu potrošnju. Zato E(Y ) predstavlja prosječnu potrošnju za primanja X. Gornju jednadžbu nazivamo populacijska regresijska jednadžba. Jasno, stvarnja potrošnja neke obitelji primanja X razlikuje se od prosječne (očekivane) za obitelji tih primanja. Razlika je dana kao Y = E(Y ) + ɛ (23) odnosno Y = α + βx + ɛ (24) gdje se ɛ u statistici zove smetnja, a predstavlja razliku stvarne i prosječne potrošnje za obitelj danih primanja. Kako u praksi uvijek imamo konačno mnogo podataka (informacija) za dani slučaj recimo raspolažemo s n obitelji s dakle n različitih primanja i potrošnji. Stoga X i i Y i dobivaju indeks. X 1 su primanja prve obitelji a Y 8 je potrošnja osme obitelji. Ranija jednadžba sada glasi: Y i = α + βx i + ɛ (25) Prisjetimo se kako smo statističke distribucije (F, t i χ 2 ) uveli da bi procijenili populacijske parametre µ i σ. Sada je pitanje kako procijeniti populacijske parametre α i β. Istraživanja na populacijama su ponekad nemoguća ponekad preskupa pa definiramo slučajne uzorke (od recimo n elemenata). Uzorak od 17

18 n parova primanja i potrošnje slučajno izaberemo iz populacije. Na uzorku definiramo regresijsku jednadžbu uzorka: Y i = α + βx i (26) i ide od 1 do n, jer imamo n parova (primanje, potrošnja) u uzorku. Jasno, i na uzorku postoji razlika izmedju stvarne i očekivane potrošnje za dana primanja X i Y i = Ỹi + e i = α + βx i + e i (27) gdke s e i označavamo rezidual, kako zovemo za uzorak razliku stvarne i očekivane varijable Y. Uočimo, različiti uzorci daju različite parametre α i β. Dakle, različiti uzorci daju različite procjene populacijskih parametara α i β. METODA NAJMANJIH KVADRATA Ranije smo spomenuli kako smo pretpostavili linearnu vezu izmedju varijabli X i Y. A kako možemo izračunati parametre α i β. Kad grafički predočimo parove (X i, Y i ) jasno je ukoliko pretpostavimo pravac kao najbolju funkciju prilagodbe medju varijablama, da postoji neki od njih beskonačno, koji se najbolje slaže s podacima X i i Y i. Za svaki par (X i, Y i ) možemo izračunati rezidual e i, razliku izmedju stvarne Y i i očekivane vrijednosti E(Y i ). Najbolji je onaj pravac za koji je suma kvadrata e i najmanja. Dakle ova metoda traži minimum za Σ n i=1 (Y i α βx i ) 2 (28) 18

19 Pri minimiziranju dolazimo do slijedećih izraza: X = 1 n Σn i=1x i ; Y = 1 n Σn i=1y i (29) S xx = Σ n i=1 (X i X) 2 = Σ n i=1 X2 i (Σn i=1 X i) 2 S yy = Σ n i=1 (Y i Y ) 2 = Σ n i=1 Y 2 i (Σn i=1 Y i) 2 n S xy = Σ n i=1 (X i X)(Y i Y ) = Σ n i=1 X iy i (Σn i=1 X i)(σ n i=1 Y i) n n (30) (31) (32) PROCJENE β i α β = S xy S xx (33) α = Y β X (34) Pretpostavka je kako smetnje ɛ zadovoljavaju normalnu distribuciju čiju σ 2 moramo procijeniti: S 2 = SSE n 2 (35) gdje je SSE = Σ n i=1 e2 = S yy S2 xy S xx (36) Sa SSE označili smo sumu kvadrata. Dijelimo s n-2 jer krećemo s n podataka, ali koliko je stupnjeva slobode. Kako metoda procjenjuje 2 parametra (koji su dani podacima), dakle imamo dvije relacije medju podacima i stoga n 2 stupnja slobode. 19

20 TABLES TABLE I. Primjer X Y X 2 Y 2 xy α + βx

21 Izračunajte S xx, S yy, S xy, SSE, β i α. PRIMJER 2: Zadani su X i Y. X Y Izračunajte S xx, S yy, S xy, SSE, β i α. Grafički prikažite podatke. Kvaliteta regresije (fita) Y i Y = Ỹi Y + e i (37) Kvadriranjem Σ(Y i Y ) 2 = Σ(Ỹi Y ) 2 + Σe 2 i (38) da se vidjeti da mješoviti član iščezava SST = SSE + SSR total sum of square = explained sum of squares + sum of squares of residuals mjera kvalitete fita: što je manji član, bolji fit R 2 = SSE SST (39) R može biti izmedju 0 i 1. 21

22 Procjena regresijskih parametara Razumljivo je da različiti uzorci daju različie procjene parametara. Kad bi napravili beskonačno uzoraka i za svaki izračunali parametre α i β jasno da bi za svaki parametar mogli definirati distribuciju. Da se vidjeti da su distribucije β β σ β (40) α α standardizirane normalne distribucije N(0, 1). Vrijedi: σ α (41) gdje je σ 2 β = s 2 Σ 2 i=1(x i X) 2 (42) S 2 = Σ2 i=1e 2 i n 2 (43) 22

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1 χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike

Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu

Διαβάστε περισσότερα

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

4 Testiranje statističkih hipoteza

4 Testiranje statističkih hipoteza 4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

BILJEŠKE ZA PREDAVANJA (za internu uporabu)

BILJEŠKE ZA PREDAVANJA (za internu uporabu) 1. Statistika - Nazivlje... 2 2. Statistika podjela statističkih analiza... 2 3. Objekti, varijable, mjerne skale... 3 4. Ekstremne i nedostajuće vrijednosti podaci... 4 5. Ciljevi statističke analize...

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

REGRESIJSKA ANALIZA zavisnost (korelacija) regresijske tehnike kvantitativno zavisnost (korelaciju) linearna regresija

REGRESIJSKA ANALIZA zavisnost (korelacija) regresijske tehnike kvantitativno zavisnost (korelaciju) linearna regresija REGRESIJSKA ANALIZA REGRESIJSKA ANALIZA često imamo dvije ili više varijabli koje su inherentno povezane, odnosno postoji neka zavisnost (korelacija) među njima koju želimo istražiti regresijske tehnike

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Statističko zaključivanje jedna varijabla

Statističko zaključivanje jedna varijabla Poglavlje 5 Statističko zaključivanje jedna varijabla 5.1 Procjena distribucije, očekivanja i varijance U prethodnim poglavljima naučili smo da se veličine promatrane na jedinkama obuhvaćenim nekim istraživanjem

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Parametarski zadane neprekidne distribucije

Parametarski zadane neprekidne distribucije Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Osijek, 217. Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE

MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva Odabrana poglavlja inženjerske matematike MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE Studenti: Sara

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Statistička obrada podataka

Statistička obrada podataka Statistička obrada podataka Ana Anušić Ervin Duraković Hrvoje Maltarić Ivan Pažin Sažetak U ovom članku provodimo statističko istraživanje koje se bazira na zavisnosti uspjeha na prijamnom ispitu i prve

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingu. Generalizirani linearni model. Lavoslav Čaklović PMF-MO

Matematičke metode u marketingu. Generalizirani linearni model. Lavoslav Čaklović PMF-MO Matematičke metode u marketingu. Generalizirani linearni model Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 Jedan loš linearni model n = 1000, i = 1,..., n { 1 ako yi > 0 y Y = i = 2x i + rnorm(n) 0 inače x i = round(0.001

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost i matematička statistika

Vjerojatnost i matematička statistika Vjerojatnost i matematička statistika Ante Mimica Poslijediplomski specijalistički studij aktuarske matematike 29. siječnja 2016. Sadržaj kolegija 1. Opisna analiza podataka 2. Slučajne varijable 3. Funkcije

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

13. TESTIRANJE HIPOTEZE O NEPOZNATIM KARAKTERISTIKAMA POPULACIJE

13. TESTIRANJE HIPOTEZE O NEPOZNATIM KARAKTERISTIKAMA POPULACIJE 13. TESTIRANJE HIPOTEZE O NEPOZNATIM KARAKTERISTIKAMA POPULACIJE χ - TEST χ -test je neparametrijski test kojim se vrlo uspješno rješavaju problemi masovnih pojava kao što su: testiranje hipoteze da distribucija

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

BIOSTATISTIKA za studente medicine

BIOSTATISTIKA za studente medicine 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI MEDICINSKI FAKULTET SPLIT Katedra za znanstvenu metodologiju BIOSTATISTIKA za studente medicine 5. izdanje Voditelj Katedre: Prof. dr. Davor Eterović Autori: Davor Eterović,

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA ŽELJKO SKOKO PREDAVANJA: ČETVRTAK, 12-14 h, F25 VJEŽBE: ČETVRTAK, 14-15 h, F25 MIRKO BAĆANI KONZULTACIJE: PETAK, 11-12.30 h ili prema dogovoru e-mail: zskoko@phy.hr

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Populacija Ciljna/uzoračka populacija

Populacija Ciljna/uzoračka populacija Populacija i uzorak Sadržaj predavanja Šta je populacija, šta je uzorak a šta uzorkovanje? Statističko zaključivanje Klasifikacija uzoraka: sa i bez verovatnoće, sa i bez zamenjivanja Uzoračke raspodele

Διαβάστε περισσότερα

Regresijska zavisnost. Jednostavna regresija

Regresijska zavisnost. Jednostavna regresija Regresijska analiza 1 Regresijska analiza Regresijska zavisnost. Jednostavna regresija Regresijska se analiza koristi za donošenje zaključaka o nizu slučajnih varijabli Y 1,...,Y n koje ovise o nezavisnoj

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007. Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - ekasnost Konzistentnost. Vjeºbe - Statistika II.

Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - ekasnost Konzistentnost. Vjeºbe - Statistika II. Vjeºbe - Statistika II. dio Optimalnost u procjeni Procjenitelja ima puno, pa treba imati kriterije za usporedbu izmežu njih. Radi jednostavnosti promatramo samo jednodimenzionalne parametre θ Θ R Funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Korelacijska i regresijska analiza

Korelacijska i regresijska analiza Korelacijska i regresijska analiza Odnosi među pojavama Odnos među pojavama može biti: deterministički ili funkcionalni i stohastički ili statistički Kod determinističkoga se odnosa za svaku vrijednost

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3

1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3 Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Tipovi varijabli............................ 2 1.2 Skale mjerenja............................ 3 2 Organizacija i prikazivanje podataka 5 2.1 Sirovi podatci.............................

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα