ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού"

Transcript

1 Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή. Πλεονέκτηµά του είναι ότι είναι απλός στην εφαρµογή και συγκλίνει σε σχετικά γρήγορο χρόνο στη βέλτιστη λύση, στο πλείστον των περιπτώσεων. Σκοπός κεφαλαίου ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Εισαγωγή και µελέτη του αλγόριθµου. Παραδείγµατα. 4.. Τυπική Mορφή Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού Για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος, πρέπει όλοι οι περιορισµοί του ΠΓΠ να είναι ισότητες. Παρόλα αυτά, συνήθως οι περιορισµοί ΠΓΠ είναι ανισότητες, ενώ οι µεταβλητές δεν είναι πάντα αυστηρά µη αρνητικές. Επίσης, η αντικειµενική συνάρτηση µετατρέπεται σε ισότητα, θεωρώντας την ίση µε το 0. Για το λόγο αυτό, το ΠΓΠ πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να αποκτήσει τυπική µορφή. Η τυπική µορφή ουσιαστικά είναι µορφή του ΠΓΠ όπου κάθε περιορισµός έχει µετατραπεί σε ισότητα. Ας εξετάσουµε λοιπόν τις δυνατές περιπτώσεις: Ας θεωρήσουµε το παρακάτω ΠΓΠ, το οποίο έχει ανισότητες τύπου. Max z=x +4x s.t. x +x 00 x +4x 86 x,x 0 Για να µετατρέψουµε το παραπάνω σε τυπική µορφή, θεωρούµε µια τεχνητή (slack) s i για κάθε περιορισµό του προβλήµατος (όπου i ο αριθµός του περιορισµού), s i 0. Συνεπώς στην παρούσα περίπτωση θεωρούµε τις τεχνητές µεταβλητές s, s 0. Η κάθε τεχνητή 44

2 αντιπροσωπεύει το αποµένον ποσό κατά το οποίο υπολείπεται ο περιορισµός ώστε από ανισότητα να µετατραπεί σε ισότητα. Συνεπώς, η τυπική µορφή του ΠΓΠ θα είναι: z-x -4x =0 s.t. x +x +s =00 x +4x +s =86 x,x,s,s 0 Αφού το αριστερό µέλος υπολείπεται του δεξιού, είναι προφανές ότι η τεχνητή θα προστεθεί στο αριστερό µέλος ώστε αυτό να εξισωθεί µε το δεξιό. H τεχνητή s αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +x να γίνει ίση µε 00. Αντίστοιχα, η τεχνητή s αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +4x να γίνει ίση µε 86. Ένα άλλο παράδειγµα, µε ανισότητες τύπου αυτή τη φορά, είναι το παρακάτω: Μin z=x +x +0x s.t. 4x +x x + 5x +8x 7 x, x, x 0 Αντίστοιχα µε πριν, θεωρούµε µια τεχνητή e i για κάθε περιορισµό του προβλήµατος (όπου i ο αριθµός του περιορισµού), e i 0. Στην παρούσα περίπτωση θεωρούµε τις τεχνητές µεταβλητές e, e 0. Η κάθε τεχνητή αντιπροσωπεύει το πλεόνασµα αυτή τη φορά του περιορισµού έναντι του δεξιού µέλους της ανίσωσης, ώστε από ανισότητα να µετατραπεί σε ισότητα. Συνεπώς, η τυπική µορφή του ΠΓΠ θα είναι: Z-x -x -0x =0 s.t. 4x +x -e = x + 5x +8x - e =7 x, x, x, e, e 0 Αφού το αριστερό µέλος πλεονάζει του δεξιού, είναι προφανές ότι η τεχνητή θα αφαιρεθεί από το αριστερό µέλος ώστε αυτό να εξισωθεί µε το δεξιό. H τεχνητή e αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση 4x +x να γίνει ίση µε. Αντίστοιχα, η τεχνητή e αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +5x +8x να γίνει ίση µε 7. 45

3 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, ας εξετάσουµε το παρακάτω ΠΓΠ Max z-0x -0x -4x s.t. x +5x 0 x +x 5 x +x +x 55 x, x, x 0 Το πρόβληµα έχει δύο περιορισµούς τύπου και έναν περιορισµό τύπου. Συνεπώς στον πρώτο και τον τρίτο περιορισµό αντιστοιχούν οι τεχνητές µεταβλητές s, s ενώ στον δεύτερο περιορισµό αντιστοιχεί η τεχνητή e. Συνεπώς η τυπική µορφή του ΠΓΠ είναι: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ z-0x -0x -4x s.t. x +5x +s =0 x + x -e =5 x +x +x +s=55 x, x, x, s, e, s 0 Στην περίπτωση περιορισµού µε ισότητα εφαρµόζεται η εξέλιξη της µεθόδου, Big-M, η οποία και περιγράφεται σε επόµενη παράγραφο. Ο περιορισµός µη αρνητικών µεταβλητών δεν µετατρέπεται σε τυπική µορφή. 4.. Προκαταρκτικά του Αλγόριθµου Ας θεωρήσουµε την παρακάτω κανονική µορφή ΠΓΠ Περιλαµβάνει n µεταβλητές (αρχικές και τεχνητές) και m περιορισµούς. Η µορφή του θα είναι: Max(min) z=c x +c x + +c n x n ή z-c x -c x - -c n x n =0 (µπορούµε να συµπεριλάβουµε στην αντικειµενική συνάρτηση τεχνητή θεωρώντας c i =0) s.t. a x +a x + + a n x n =b a x +a x + + a n x n =b a m x +a m x + + a mn x n =b m x i 0, i=,,,n 46

4 Οι περιορισµοί µπορούν να περιγραφούν µε τη βοήθεια πινάκων. Αν: a A =... a m a n... a mn x x =... x n b B =... b m Τότε οι περιορισµοί µπορούν να περιγραφούν από την εξίσωση Α x = B Βασικές και µη Βασικές Μεταβλητές Έστω το παραπάνω σύστηµα Α x = B (), n µεταβλητών και m περιορισµών (θεωρείται n m). Ορισµός: Μια βασική λύση του συστήµατος () λαµβάνεται αν n-m µεταβλητές τεθούν ίσες µε το µηδέν και το σύστηµα επιλυθεί για τις υπόλοιπες m µεταβλητές. Αυτό προϋποθέτει ότι οι υπόλοιπες m µεταβλητές έχουν µοναδική λύση. Οι n-m µεταβλητές καλούνται µη βασικές µεταβλητές (non-basic variables NBV), ενώ οι υπόλοιπες m µεταβλητές καλούνται βασικές (basic variables BV). Θέτοντας τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε µηδέν και επιλύοντας το σύστηµα (), λαµβάνονται και οι βασικές µεταβλητές και µια βασική λύση του συστήµατος (). Προφανώς, η επιλογή διαφορετικών µη βασικών µεταβλητών παρέχει και διαφορετικές βασικές λύσεις. 47

5 Ας εξετάσουµε ένα παράδειγµα: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ x -x =5 -x +x =-6 Είναι n=, m= οπότε n-m=, άρα θα διαλέξουµε µια µη βασική. Έστω ότι NBV={x }={0}. Τότε BV={x,x }={,6}. Αν όµως NBV={x }=0 τότε BV={x,x }={5,-6}. Παρόλα αυτά, υπάρχει η περίπτωση, µια οµάδα µεταβλητών να µην αποδίδει βασική λύση. Για παράδειγµα, στο παρακάτω σύστηµα: x +x +x = x +4x +x = Για NBV={x } και BV={x,x }, το σύστηµα που προκύπτει είναι το: x +x = x +4x +x = Το παραπάνω σύστηµα δεν έχει λύση συνεπώς οι x,x δεν αποτελούν λύση. ΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ορισµός: Κάθε βασική λύση της οποίας όλες οι µεταβλητές είναι µη αρνητικές είναι βασική δυνατή λύση. Λόγου χάρη, στο παράδειγµα: x -x =5 -x +x =-6 η λύση BV={x,x }={,6} είναι βασική δυνατή ενώ η BV={x,x }={5,-6} δεν είναι (αφού x <0). Για την εύρεση βέλτιστης λύσης σε ένα ΠΓΠ, πρέπει να αναζητηθεί η βέλτιστη βασική, δυνατή λύση. 48

6 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ορισµός: Για ένα ΠΓΠ µε m περιορισµούς, δύο βασικές δυνατές λύσεις είναι συµπληρωµατικές αν οι οµάδες βασικών µεταβλητών έχουν m- κοινές µεταβλητές. Λόγου χάρη στο παράδειγµα: x +x =5 x +x =6 οι βασικές λύσεις {x, x }={5,6} και {x,x }={5,} αποτελούν συµπληρωµατικές βασικές δυνατές λύσεις αφού έχουν m-=-= κοινή βασική, την x 4... Μερικά γενικά στοιχεία για ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού Για ένα ΠΓΠ µε m περιορισµούς και n µεταβλητές, µπορεί θεωρητικά να υπάρχει βασική λύση για κάθε σύνολο m-n µη βασικών µεταβλητών. Για n µεταβλητές, οι συνδυασµοί m βασικών µεταβλητών µπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση m n! = = k n ( n m)! m! Συνεπώς ένα ΠΓΠ µπορεί να έχει το πολύ k βασικές µεταβλητές ή αντίστοιχα ο µέγιστος αριθµός αναζήτησης µεταβλητών µέχρι την εύρεση της βέλτιστης είναι k. Παρόλα αυτά, ο αλγόριθµος συγκλίνει συνήθως σε λιγότερες από m επαναλήψεις. Αν λόγου χάρη ένα ΠΓΠ έχει n=0, m=0 τότε k=85 ενώ m=0, συνεπώς ο αλγόριθµος συγκλίνει εξετάζοντας το πολύ το /6 από όλες τις βασικές δυνατές µεταβλητές. 49

7 4.. O Αλγόριθµος O αλγόριθµος είναι µια σχετικά απλή αλγεβρική διαδικασία η οποία συγκλίνει συνήθως σε µικρό αριθµό επαναλήψεων. Ο βασικός αριθµός βηµάτων στην τυπική περίπτωση είναι ο παρακάτω: ) Μετατρέπουµε το ΠΓΠ σε τυπική µορφή. ) Βρίσκουµε µια δυνατή βασική λύση (bfs basic feasible solution) (αν είναι δυνατόν) από την κανονική. ) Εξετάζουµε αν η δυνατή βασική λύση είναι βέλτιστη. 4) Αν δεν είναι βέλτιστη, καθορίζουµε ποια µη βασική θα γίνει βασική και ποιά βασική θα αντικαταστήσει, ώστε να αναζητηθεί καλύτερη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση. 5) Χρησιµοποιώντας αλγεβρικές πράξεις, βρίσκουµε τη νέα δυνατή βασική λύση και επιστρέφουµε στο 5. Για την εφαρµογή του αλγόριθµου, η γραµµή 0 πρέπει να είναι στη µορφή: z-c x -..-c n x n =0 Ορισµός: Ένα ΠΓΠ έχει κανονική µορφή όταν κάθε γραµµή έχει µια µε συντελεστή και 0 ενώ αυτή η έχει συντελεστή 0 σε κάθε άλλη γραµµή. Για την επίδειξη του αλγόριθµου, θα χρησιµοποιήσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=60x +0x +0x s.t. 8x +6x +x 48 4x +x +.5x 0 x +.5x +0.5x 8 x 5 x,x,x 0 50

8 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ Π.Γ.Π. ΣΕ ΤΥΠΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: Για να µετατρέψουµε το ΠΓΠ σε κανονική µορφή, προσθέτουµε σε κάθε περιορισµό µια τεχνητή, s, s, s, s 4 (αφού όλοι οι περιορισµοί είναι της µορφής ). Η τυπική µορφή του προβλήµατος είναι: Row 0: z-60x -0x -0x =0 Row : 8x +6x +x +s =48 Row : 4x +x +.5x +s =0 Row : x +.5x +0.5x +s =8 x 5 Με απλή επισκόπηση µπορούµε να δούµε πως για x =x =x =0 µπορούµε να επιλύσουµε ως προς s, s, s, s 4 οπότε z=0, s =48, s =0, s =8, s 4 =5. (δηλαδή s i =δεξιό µέλος περιορισµού (rhs)). Τότε BV={s, s, s, s 4 } και NBV={x, x, x }. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στη γραµµή 0 (Row 0), η z έχει συντελεστή 0 οπότε θεωρούµε ως σύµβαση ότι ανήκει στη βάση. Άρα µπορεί να θεωρηθεί ότι BV={z, s, s, s, s 4 } και NBV={x, x, x }. Κάθε βασική της αρχικής βασικής λύσης (ή βάσης) έχει συντελεστή σε γραµµή όπου είναι βασική και 0 σε γραµµή όπου δεν είναι, οπότε το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή. Η θεώρηση όλων των x i =0 ως εκκίνηση για την εύρεση της πρώτης βασικής δυνατής λύσης είναι η συνήθης πρακτική για την εφαρµογή του αλγόριθµου. Πρέπει να εξετάσουµε αν η αρχική βασική δυνατή λύση αυτή είναι βέλτιστη ή αλλιώς αν µια συµπληρωµατική δυνατή βασική λύση της αρχικής µπορεί να αυξήσει το z. Παρατηρούµε ότι για την εξίσωση της αντικειµενικής συνάρτησης, αν αυξήσουµε µια µη βασική από τις x,x, x κατά µία µονάδα και διατηρήσουµε τις υπόλοιπες ίσες µε το 0, η τιµή του z θα αυξηθεί κατά 60, 0, 0. Αφού η αύξηση της x προκαλεί την µεγαλύτερη αύξηση του z, θα πρέπει να γίνει βασική. Η x θα εισαχθεί στη βάση. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι στη γραµµή 0 η x έχει τον πλέον αρνητικό συντελεστή. 5

9 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΥ ΘΑ ΕΙΣΕΛΘΕΙ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Επιλέγεται η µη βασική µε τον πλέον αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 (αν υπάρχουν περισσότερες µε τον ίδιο συντελεστή ο οποίος είναι ο πλέον αρνητικός, η επιλογή γίνεται κατά βούληση). Επιθυµούµε την µέγιστη αύξηση του x. Αλλαγή του x σηµαίνει και αλλαγή των τιµών των s, s, s, s 4. ιατηρώντας τις x, x =0, προσπαθούµε να εξετάσουµε ποια είναι η µέγιστη δυνατή αύξηση του s. Είναι s =48-8x 0 ή x 48/8=6 (Row ), s =0-4x 0 ή x 0/4=5 (Row ), s =8-x 0 ή x 8/=4 (Row ), s 4 =5 (Row 4) αφού ο τελευταίος περιορισµός είναι ανεξάρτητος του x. Για να διατηρηθούν όλες οι βασικές µεταβλητές µη αρνητικές, η µεγαλύτερη δυνατή αύξηση που µπορεί να επιτευχθεί στο x είναι η ελάχιστη των 48/8, 0/4, 8/, δηλαδή η 8/=4. Για κάθε γραµµή, η αντίστοιχη τιµή (48/8,...) δείχνει τη µέγιστη δυνατή αύξηση του x για την οποία θα παραµείνουν µη αρνητικές οι s, s, s, s 4. Η κανονική µορφή του ΠΓΠ για την αρχική βάση απεικονίζεται ως εξής: Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z -60x -0x -0x =0 z=0 Row 8x +6x +x +s =48 s =48 Row 4x +x +.5x +s =0 s =0 Row x +.5x +0.5x +s =8 s =8 Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Μπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι το πόσο µπορεί να αυξηθεί το x (οπότε και η αντικειµενική συνάρτηση) εξαρτάται από τον συντελεστή τον οποίο έχει σε κάθε γραµµή, εφόσον ο συντελεστής αυτός είναι θετικός. Παράλληλα, σε κάθε γραµµή, η τιµή της βασικής ς γινόταν αρνητική όταν η εισερχόµενη βασική υπερέβαινε την ποσότητα: εξιό µέλος γραµµής Συντελεστής εισερχόµενης ς στη βάση για την ίδια γραµµή H παραπάνω αναλογία είναι το κριτήριο για την εισαγωγή µιας µη βασικής ς στη βάση. Η γραµµή στην οποία η αναλογία έχει την µικρότερη θετική τιµή, είναι αυτή στην οποία εισέρχεται η νέα βασική στη θέση της παλαιότερης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εφόσον ο συντελεστής της εισερχόµενης ς είναι µηδέν ή αρνητικός, δεν είναι απαραίτητο και δεν υπολογίζεται η αναλογία (γιατί;). 5

10 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, για το κριτήριο έχουν υπολογιστεί οι τιµές: Row : Αναλογία για το x =48/8=6 Row : Αναλογία για το x =0/4=5 Row : Αναλογία για το x =8/=4 Row 4: Συντελεστής του x =0 οπότε δεν εξετάζεται η αναλογία. Η µικρότερη τιµή της αναλογίας είναι 4 και εµφανίζεται στη γραµµή. Συνεπώς, η x εισέρχεται στη γραµµή (Row ), στη θέση της βασικής ς s. Τότε NBV={s,x,x } και BV={z,s,s,x,s 4 }. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εφόσον η αναλογία είναι η ίδια σε δύο ή περισσότερες γραµµές και είναι η ελάχιστη, η επιλογή της γραµµής όπου θα εισέλθει η νέα βασική γίνεται τυχαία. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Χρησιµοποιώντας βασικές αλγεβρικές πράξεις (γραµµοπράξεις) έχουµε ως στόχο το να αποκτήσει η νέα η οποία εισέρχεται στη βάση, συντελεστή ίσο µε στη γραµµή όπου εισέρχεται και συντελεστή 0 σε όλες τις άλλες γραµµές (η διαδικασία ονοµάζεται στα αγγλικά Pivoting). Το αποτέλεσµα είναι ότι η νέα αντικαθιστά την παλαιά, δηλαδή η x την s και το ΠΓΠ µετατρέπεται σε νέα κανονική µορφή. Στο παράδειγµά µας θα έχουµε τις παρακάτω γραµµοπράξεις: ΓΠ: Row = ½ Row (συντελεστής για τη x στη γραµµή ) => x +0.75x +0.5x +0.5s =4 ΓΠ: Row0 =Row0 + 60Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή 0 ) => z+5x -5x +0s =40 ΓΠ: Row =Row-8Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή ) => -x +s -4s =6 ΓΠ4: Row =Row-4Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή ) => -x +0.5x +s -s =4 ΓΠ5 Row4 =Row4+0Row (αφού η x δεν υπάρχει στη γραµµή 4 ) => x +s 4 =5 H νέα κανονική µορφή θα έχει: και θα απεικονίζεται ως: NBV={s,x,x } και BV={z,s,s,x,s 4 }. 5

11 Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z -60x -0x -0x =0 z=0 Row 8x +6x +x +s =48 s =48 Row 4x +x +.5x +s =0 s =0 Row x +.5x +0.5x +s =8 s =8 Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Για την κανονική µορφή αυτή, είναι z=40, s =6, s =4, x =4, s 4 =5. (η τιµή του z προκύπτει από την Row0 το δεξιό µέλος, οι τιµές των λοιπών βασικών µεταβλητών αν θέσουµε όλες τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε 0). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η νέα κανονική µορφή δίνει βελτιωµένη λύση σε σχέση µε την προηγούµενη. Η νέα µε την παλιά κανονική µορφή έχουν συµπληρωµατικές δυνατές βασικές λύσεις, αφού έχουν m-=4- = κοινές βασικές µεταβλητές (s, s, s 4 ). ηλαδή, η διαδικασία ουσιαστικά είναι η δηµιουργία µιας καλύτερης συµπληρωµατικής βασικής δυνατής λύσης από την προηγούµενη. Εξετάζουµε στη συνέχεια αν µπορούµε να βρούµε αν κάποια από τις µη βασικές µεταβλητές µπορεί να προκαλέσει αύξηση στην τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης (του z) και να εισέλθει στη βάση. Ο συντελεστής της µη βασικής ς s είναι 0 (0 στην κανονική µορφή), συνεπώς (για x =x =0) για αύξηση κατά της s η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται. Όµοια, ο συντελεστής της µη βασικής ς x είναι 5 (5 στην κανονική µορφή), συνεπώς (για x =s =0) για αύξηση κατά της s η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται. Αντίθετα, ο συντελεστής της µη βασικής ς x (για x =s =0) είναι 5 (-5 στην κανονική µορφή), οπότε αύξηση της x κατά, προκαλεί αύξηση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης. Συνεπώς, επιθυµούµε να εισάγουµε την x στη βάση, αυξάνοντάς την τόσο όσο οι παρούσες βασικές µεταβλητές να παραµείνουν θετικές. Αυτό, όπως αναφέρθηκε και πριν, εξετάζεται µε το κριτήριο της αναλογίας. ηλαδή: Row : Η x έχει αρνητικό συντελεστή οπότε δεν υπολογίζεται αναλογία. 4 Row : = Row : = Row4 : Η x έχει µηδενικό συντελεστή οπότε δεν υπολογίζεται αναλογία. 54

12 Συνεπώς, η x θα εισέλθει στη βάση στη γραµµή (Row ), στη θέση της ς s. Εφαρµόζοντας γραµµοπράξεις: ΓΠ: Row =Row (συντελεστής για τη x στη γραµµή )=> -x +x +s -4s =8 ΓΠ: Row0 =Row0 +5Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή 0 )=> z+5x +0s +0s =80 ΓΠ: Row =Row +Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή )=> -x +s +s -8s =4 ΓΠ4: Row =Row -0.5Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή )=> x +.5x -0.5s +.5s = ΓΠ5: Row4 =Row4 +0Row (αφού η x δεν υπάρχει στη γραµµή 4 )=> x +s 4 =5 Οι νέες βασικές και µη βασικές µεταβλητές θα είναι: Και θα έχουν τιµές BV={z, s, x, x,s 4 } και NBV={s, s, x }. z=80, s =4, x (η τιµή του z προκύπτει από την Row0 το δεξιό µέλος, οι τιµές των λοιπών βασικών µεταβλητών αν θέσουµε όλες τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε 0). Η νέα κανονική µορφή θα είναι: Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z +5x +0s +0s =80 z=80 Row -x +s +s -8s =4 s =4 Row -x +x +s -4s =8 x =8 Row x +.5x -0.5s +.5s = x = Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω κανονική µορφή, οποιαδήποτε της γραµµής 0 (της αντικειµενικής συνάρτησης) και αν αυξηθεί, λόγω του προσήµου των συντελεστών αυτής, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης θα µειωθεί (να επιβεβαιωθεί ως άσκηση). Αυτό µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι έχουµε καταλήξει στη βέλτιστη λύση. 55

13 Γενικά: Η κανονική µορφή ενός ΠΓΠ αποδίδει βέλτιστο αποτέλεσµα (σε πρόβληµα µεγιστοποίησης), αν όλες οι µη κανονικές µεταβλητές έχουν µη αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 της κανονικής µορφής. Συνοπτικά τα βήµατα του αλγόριθµου είναι τα παρακάτω: Μετατρέπουµε το ΠΓΠ σε κανονική µορφή. Βρίσκουµε µια αρχική βασική δυνατή λύση. Αυτό είναι εύκολο αν όλοι οι περιορισµοί είναι οπότε η αρχική βάση είναι το σύνολο των τεχνητών µεταβλητών (όπως στο προηγούµενο παράδειγµα). Αν δεν είναι δυνατή η µε απλή εποπτεία εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης, εφαρµόζεται η µέθοδος «Big-M», η οποία αναλύεται παρακάτω (ή κάποια άλλη µέθοδος της βιβλιογραφίας). Αν όλες οι µη βασικές µεταβλητές στη γραµµή της αντικειµενικής συνάρτησης (Row 0) έχουν µη αρνητικούς συντελεστές (για πρόβληµα µεγιστοποίησης) η λύση είναι βέλτιστη. Αν υπάρχουν µεταβλητές µε αρνητικούς συντελεστές, επιλέξτε την µε τον πιο αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 για να εισέλθει στη βάση (να γίνει δηλαδή βασική ). Χρησιµοποιείστε το κριτήριο αναλογίας για να διαλέξετε τη γραµµή περιορισµών στην οποία θα εισέλθει ως βασική η και την ήδη βασική την οποία θα αντικαταστήσει. Πραγµατοποιείστε τις κατάλληλες γραµµοπράξεις για να αποκτήσει το ΠΓΠ πάλι κανονική µορφή. Επιστρέψτε στο προηγούµενο βήµα. ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ισχύει ότι: Τιµή z νέας δυνατής βασικής λύσης= τιµή z προηγούµενης δυνατής βασικής λύσης + (τιµή νέας ς που εισέρχεται στη βάση) x (συντελεστής της ς αυτής στη γραµµή 0) Απεικόνιση µε Πίνακα (Τableau ) Ο πίνακας αποτελεί µια ευκολότερη απεικόνιση της κανονικής µορφής του ΠΓΠ σε κάθε στάδιο. Περιλαµβάνει τους συντελεστές των αριστερών µελών των γραµµών και τα δεξιά µέλη, διευκολύνει δε στην πραγµατοποίηση γραµµοπράξεων και στην πιο συνοπτική επίλυση του προβλήµατος. Στη συνέχεια, οι όποιες επιλύσεις και κανονικές µορφές θα δίνονται µε πίνακες. Επίλυση µε πίνακα του προηγούµενου παραδείγµατος φαίνεται παρακάτω: 56

14 Πίνακας 5.4..α. Αρχικός πίνακας. ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Αναλογία /8= /4= /=4 ελάχιστο Πίνακας 5.4..β. Πρώτη κανονική µορφή πίνακα. Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ z x x x s s s s 4 RHS Αναλογία /0.5= /0.5=6 ελάχιστο Πίνακας 5.4..γ. Τελική µορφή πίνακα. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =5 57

15 4.4.. Προβλήµατα Ελαχιστοποίησης Τα προβλήµατα ελαχιστοποίησης λύνονται όπως και τα προβλήµατα µεγιστοποίησης µε µικρές τροποποιήσεις. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Min z=x -x s.t. x +x 4 x -x 6 x, x Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Θέτουµε w=-z και επιλύουµε το πρόβληµα ως πρόβληµα µεγιστοποίησης. Για το δοσµένο παράδειγµα, το ΠΓΠ θα γίνει: w=-z=-x +x οπότε Max w= -x +x s.t. x +x 4 x -x 6 x, x Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο Simplex µε τις εξής τροποποιήσεις: Αν όλες οι µη βασικές µεταβλητές στη γραµµή 0 έχουν µη θετικούς συντελεστές, τότε έχει βρεθεί βέλτιστη λύση στο ΠΓΠ Η µη βασική που έχει τον µεγαλύτερο θετικό συντελεστή στη γραµµή 0 εισέρχεται στη βάση σύµφωνα µε το κριτήριο αναλογίας (ως έχει) ΙΑΦΟΡΕΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ένα ΠΓΠ µπορεί να έχει περισσότερες της µιας βέλτιστες λύσεις. Με τη βοήθεια του αλγόριθµου µπορούµε να εξετάσουµε αν υπάρχουν εναλλακτικές λύσεις σε κάποιο ΠΓΠ Ας πάρουµε τον τελικό πίνακα του παραδείγµατος που χρησιµοποιήσαµε για την επίδειξη του αλγορίθµου: 58

16 Πίνακας α. Τελικός πίνακας. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =5 Για να είναι βασικές οι µεταβλητές, πρέπει να έχουν, όπως προαναφέρθηκε, µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0. Αν παρατηρήσουµε όµως τον πίνακα του παραδείγµατος, θα δούµε ότι στη γραµµή 0 υπάρχει και µια µη βασική, η x, η οποία έχει µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0. Εφόσον θελήσουµε να εισάγουµε την x στη βάση, θα εισαχθεί στη γραµµή, αντί της βασικής ς x (γιατί?). Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο παρακάτω: Πίνακας β. Τελικός πίνακας. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟΥ X ΣΤΗ ΒΑΣΗ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =.4 Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι επειδή το x έχει µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0 του πρώτου βέλτιστου πίνακα, η εισαγωγή του x στη βάση, δεν αλλάζει τη γραµµή 0. Συνεπώς όλες οι µεταβλητές στη νέα γραµµή 0 συνεχίζουν να έχουν µη αρνητικές µεταβλητές, οπότε και ο νέος πίνακας SIMPEX είναι βέλτιστος, µε z=70, s =7., x =., x =.6, s 4 =.4. Γενικά: Αν µια µη βασική στην γραµµή 0 του τελικού βέλτιστου πίνακα έχει συντελεστή 0, τότε το ΠΓΠ έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. 59

17 ΜΗ ΦΡΑΓΜΕΝΑ Π.Γ.Π. Υπάρχουν ΠΓΠ στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση δεν είναι φραγµένη από τους περιορισµούς. Τα προβλήµατα αυτά µπορούν να εντοπιστούν από τον αλγόριθµο. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=6x +0x -x -4x 4 s.t. x +x -x 5 6x +5x -x 4 0 x, x, x, x 4 0 Ο αρχικός πίνακας του προβλήµατος είναι ο παρακάτω: Πίνακας α. Αρχικός πίνακας. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= s =5 5/ s =0 0/6 Εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο, οι δύο επόµενοι πίνακες είναι οι παρακάτω: Πίνακας β. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= /6 - /6 -/6 0/ s =0/ (0/)/(/6)=0 0 5/6 0 -/6 0 /6 5/ x =5/ - Πίνακας γ. Τελικός πίνακας. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= x 4 = x =5 - Στον τελευταίο πίνακα παρατηρούµε ότι δεν είναι δυνατόν να εφαρµοστεί το κριτήριο της αναλογίας. Αν εξετάσουµε αναλυτικότερα τον πίνακα, η µόνη µη βασική που µπορεί να εισέλθει στη βάση είναι η x. 60

18 Η x σχετίζεται µε τις βασικές µεταβλητές x, x 4 ως εξής: x 4 =0+6x x =5+x Οποιαδήποτε αύξηση του x, σηµαίνει αύξηση των x, x 4, απεριόριστα, αφού τα x, x 4 θα είναι πάντα θετικά. Συνεπώς, για οποιαδήποτε τιµή του x, τα x και x 4, οπότε και το z, αυξάνουν απεριόριστα. Από το παράδειγµα προκύπτει ο εξής κανόνας για µη φραγµένα ΠΓΠ Ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης είναι µη φραγµένο αν µια µε αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 (η οποία είναι προφανώς µη βασική), έχει µη θετικό συντελεστή σε κάθε άλλη γραµµή. Γενικά, ο απλούστερος τρόπος για να εντοπιστεί κάποιο πρόβληµα αυτού του είδους είναι να καταλήξουµε σε κάποιο πίνακα όπου δεν µπορεί να εφαρµοστεί το κριτήριο αναλογίας Εκφυλισµός του Αλγόριθµου Θεωρητικά, ο αλγόριθµος µπορεί να αποτύχει στην εύρεση βέλτιστης λύσης. Παρόλα αυτά κάτι τέτοιο δεν είναι σύνηθες. Η αποτυχία βέλτιστης λύσης εξαρτάται κυρίως από την παρακάτω σχέση, η οποία συνδέει τη νέα δυνατή βασική ενός προβλήµατος µεγιστοποίησης µε την προηγούµενη αυτής (µετά από µια επανάληψη του αλγόριθµου ). Τιµή z για νέα δυνατή βασική λύση = Τιµή z προηγούµενης δυνατής βασικής λύσης (τιµή ς που εισέρχεται στη βάση) x (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0). (*) Στην παραπάνω σχέση (*), κάθε αύξηση κατά µία µονάδα της ς που εισέρχεται στη βάση αυξάνει το z κατά (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0), αφού (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0)<0 και (τιµή ς που εισέρχεται στη βάση) 0. Συνδυάζοντας αυτά µε τη σχέση (*), µπορούµε να λάβουµε τα εξής συµπεράσµατα: Αν η τιµή της εισερχόµενης ς στη βάση είναι >0, τότε η νέα τιµή z είναι µεγαλύτερη της προηγούµενης. Αν η τιµή της εισερχόµενης ς στη βάση είναι =0, τότε η νέα τιµή z είναι ίση µε την προηγούµενη. Ορισµός Αν σε κάθε µία από τις δυνατές βασικές λύσεις ενός ΠΓΠ, όλες οι µεταβλητές είναι αυστηρά θετικές, το ΠΓΠ είναι µη εκφυλισµένο. Σε ένα ΠΓΠ που είναι µη εκφυλισµένο, σύµφωνα µε την προηγούµενη περίπτωση, κάθε επανάληψη του αλγόριθµου θα αυξήσει το z. Συνεπώς, 6

19 η συνέχιση των επαναλήψεων δεν πρόκειται να επιστρέψει σε προηγούµενη βασική δυνατή λύση (γιατί?). Αφού όπως προαναφέρθηκε, ο αλγόριθµος έχει πεπερασµένο αριθµό βασικών δυνατών λύσεων και δεν πρόκειται να επαναληφθεί βασική δυνατή λύση, µπορούµε να συµπεράνουµε ότι σε ένα µη εκφυλισµένο ΠΓΠ βέλτιστη λύση θα βρεθεί (αν υπάρχει), σε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων. Παρόλα αυτά, ο αλγόριθµος µπορεί να αποτύχει στην επίλυση ενός εκφυλισµένου ΠΓΠ Ορισµός Ένα ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο όταν υπάρχει τουλάχιστον µια δυνατή βασική λύση για την οποία µια βασική ισούται µε µηδέν. Το παρακάτω ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο: Max z =5x +x s.t. x +x 0 x +x 0 x, x Παρακάτω φαίνονται οι πίνακες επίλυσης του παραδείγµατος: Πίνακες 4.4..α., β., γ. ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= s = s =0 0* Η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= s =6 6/=* x =0 - Η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= x = x = Στον αρχικό πίνακα, η βασική s είναι ίση µε το µηδέν, οπότε το ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο. Στον δεύτερο πίνακα, όπου έχει εισέλθει η x στη βάση, είναι επίσης ίση µε το µηδέν. Και στις δύο 6

20 περιπτώσεις, η τιµή του z παραµένει η ίδια. Στην τρίτη επανάληψη, επιτυγχάνεται η βέλτιστη λύση. Το γεγονός της πιθανής διατήρησης της ίδιας τιµής για την αντικειµενική συνάρτηση (όπως φαίνεται από τις δυο επαναλήψεις του παραδείγµατος), για συνεχόµενες εναλλαγές βάσεων, σε ένα εκφυλισµένο ΠΓΠ λέγεται κυκλική εναλλαγή (cycling). Παρόλα αυτά υπάρχουν τεχνικές οι οποίες µπορούν να αποτρέψουν το γεγονός αυτό, οι οποίες ξεφεύγουν από το σκοπό του κειµένου αυτού Η Μέθοδος Big-M Όπως αναλύθηκε προηγουµένως, για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος, πρέπει να έχει βρεθεί µια αρχική δυνατή βασική λύση. Παρόλα αυτά, σε περιπτώσεις όπου οι περιορισµοί είναι ισότητες ή ανισότητες του τύπου, µπορεί να είναι δύσκολη η εύρεση αρχικής δυνατής βασικής λύσης. Για τον λόγο αυτόν χρησιµοποιείται η µέθοδος Big-M η οποία προσθέτει βοηθητικές µεταβλητές για την εύρεση αρχικής λύσης. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Min z=x +x s.t. ½ x + ¼ x 4 x +x 0 x +x =0 x, x 0 Μετατρέπουµε το παραπάνω ΠΓΠ σε τυπική µορφή, προσθέτοντας µια τεχνητή s στον ο περιορισµό και µια e στον ο περιορισµό, οπότε η τυπική µορφή του ΠΓΠ είναι η: Row0: z-x -x =0 Row: ½ x +¼ x +s =4 Row: x +x -e =0 Row: x +x =0 x, x, s, e 0 Εξετάζουµε την τυπική µορφή για την εύρεση µιας βασικής δυνατής αρχικής λύσης. Από τη γραµµή, αν θεωρήσουµε x =x =0, είναι s =4 οπότε η s θα µπορούσε να θεωρηθεί βασική δυνατή. Όµως, η γραµµή για x =x =0, δίνει e =-0 που δεν είναι αποδεκτό αφού e 0. Τέλος, η γραµµή δεν δίνει πληροφορίες για αρχική βασική δυνατή λύση. Για να επιλυθεί το πρόβληµα, προσθέτουµε σε κάθε γραµµή όπου δεν είναι δυνατή η εύρεση µιας βασικής δυνατής ς µια βοηθητική a i που αντιστοιχεί στη γραµµή i όπου δεν είναι δυνατή η εύρεση δυνατής βασικής ς. 6

21 Στο παράδειγµά µας, προστίθενται οι βοηθητικές µεταβλητές a και a : z-x -x =0 ½ x +¼ x +s =4 x +x -e +a =0 x +x +a =0 Μπορούµε να λάβουµε συνεπώς µια αρχική βασική δυνατή λύση, z=0, s =4, a =0, a =0. υστυχώς όµως, η βέλτιστη λύση του νέου ΠΓΠ δεν είναι σίγουρο ότι είναι η ίδια και στο αρχικό. Για τον λόγο αυτόν, επιθυµούµε οι βοηθητικές µεταβλητές να είναι ίσες µε το µηδέν στη βέλτιστη λύση του νέου ΠΓΠ ώστε αυτό να είναι ισοδύναµο µε το αρχικό. Έτσι, στην αντικειµενική συνάρτηση του νέου ΠΓΠ, αν αυτό είναι πρόβληµα ελαχιστοποίησης, προσθέτουµε για κάθε βοηθητική έναν όρο Μa i (αν είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης προσθέτουµε έναν όρο Ma i ), όπου Μ ένας «µεγάλος» θετικός αριθµός (εξ ου και η ονοµασία Big M). Θεωρώντας ότι µια πολύ µεγάλη ποσότητα είναι συνάρτηση της βοηθητικής ς, στη βέλτιστη λύση είναι αναµενόµενο οι βοηθητικές µεταβλητές να είναι ίσες µε µηδέν. Τότε η λύση του νέου προβλήµατος είναι και λύση του αρχικού. Αν παρόλα αυτά, οι βοηθητικές µεταβλητές στον τελικό πίνακα λάβουν θετικές τιµές, το αρχικό πρόβληµα δεν έχει δυνατή λύση. Η αντικειµενική συνάρτηση θα είναι η εξής: Min z=x +x +Ma +Ma ή z-x -x -Ma -Ma =0 Τα βήµατα της µεθόδου Big-M φαίνεται παρακάτω: Τροποποιήστε τα δεξιά µέλη των περιορισµών ώστε να είναι θετικά (π.χ. πολλαπλασιάζοντας και τα δυο µέλη µε -, προσοχή στη φορά της ανισότητας και τα πρόσηµα). Μετά την τροποποίηση, εξετάστε ποιοί περιορισµοί είναι ή =. Μετατρέψτε όλες τις ανισότητες σε τυπική µορφή (προσθέστε τεχνητές µεταβλητές). Αν ένας περιορισµός i ήταν της µορφής = ή πριν τη µετατροπή του σε τυπική µορφή, προσθέστε βοηθητική a i 0. Έστω Μ ένας πολύ µεγάλος θετικός. Για πρόβληµα ελαχιστοποίησης, προσθέστε για κάθε βοηθητική a i, την ποσότητα Μa i. Για πρόβληµα µεγιστοποίησης, προσθέστε για κάθε βοηθητική a i, την ποσότητα -Μa i. Αφού κάθε βοηθητική είναι στην αρχική βάση, όλες οι βοηθητικές µεταβλητές πρέπει να εξαλειφθούν από τη γραµµή 0, ώστε να έχει το ΠΓΠ κανονική µορφή. Επιλύστε το νέο ΠΓΠ µε τον αλγόριθµο. Αν όλες οι βοηθητικές µεταβλητές είναι ίσες µε µηδέν στη βέλτιστη λύση, η βέλτιστη λύση είναι αυτή του αρχικού ΠΓΠ Αν υπάρχει κάποια θετική βοηθητική, το αρχικό ΠΓΠ δεν έχει λύση. 64

22 Θα χρησιµοποιήσουµε τα παραπάνω βήµατα για να επιλύσουµε το παράδειγµά µας: Όλοι οι περιορισµοί έχουν θετικό πρόσηµο στο δεξιό µέλος τους οπότε δεν χρειάζεται καµία τροποποίηση. Οι περιορισµοί και θα απαιτήσουν βοηθητικές µεταβλητές a, a. Επίσης, οι γραµµές και θα χρειαστούν τεχνητές µεταβλητές, s, e. Προσθέτουµε καταρχάς τις τεχνητές µεταβλητές x, x στην κανονική µορφή του ΠΓΠ: Min z= x +x Row: ½ x + ¼ x +s =4 Row: x +x e =0 Row: x +x =0 x, x, s, e 0 Προσθέτουµε βοηθητικές µεταβλητές a, a στους περιορισµούς,. Min z= x +x Row: ½ x + ¼ x + s = 4 Row: x +x e +a = 0 Row: x +x +a = 0 x, x, s, e, a, a 0 Μπορούµε συνεπώς να δούµε ότι η αρχική δυνατή βασική λύση είναι s =4, a =0 και a =0. To πρόβληµα που επιλύουµε είναι ελαχιστοποίησης, οπότε προσθέτουµε την ποσότητα Ma +Ma στην αντικειµενική συνάρτηση: Min z= x +x -Ma -Ma Οπότε η γραµµή 0 θα γίνει z-x -x -Ma -Ma =0. Οι µεταβλητές a και a πρέπει να αφαιρεθούν από τη γραµµή 0. Αυτό θα επιτευχθεί µε τη γραµµοπράξη: Row0 =Row0+M x Row + M x Row. Πράγµατι: Row0: z-x -x -Ma -Ma =0 M Row: Mx +Mx -Me +Ma =0M M Row: Mx +Mx +Ma =0M Row0 : z +(M-)x +(4M-)x -Me =0M Ο πίνακας της αρχικής κανονικής µορφής φαίνεται παρακάτω: 65

23 Πίνακας 4.4..α. Αρχικός πίνακας. z x x s e a a RHS Βασική Αναλογία M- 4M- 0 -M 0 0 0M z=0m 0 ½ ¼ s = a =0 0/ a =0 0 Αφού πρόκειται για πρόβληµα ελαχιστοποίησης, η µη βασική µε τον πιο θετικό συντελεστή πρέπει να εισέλθει στη βάση. Αφού 4Μ- >Μ-, η x πρέπει να εισέλθει στη βάση, στη γραµµή, µε βάση το κριτήριο αναλογίας. Ακολουθεί η εκτέλεση των γραµµοπράξεων για την αφαίρεση του x από τη γραµµή 0 (που είναι και η συνήθης δυσκολία στην εφαρµογή της µεθόδου Big-M). Αντικαθιστούµε τη γραµµή Row µε την Row =/ Row: Row : x + x e + a = 0 Αφαιρούµε τη x από τη γραµµή 0 µε τη γραµµοπράξη Row0 =Row0+(-4M)Row ( 4M) 4M)Row' = x + ( 4M)x ( 4M) e ( 4M) + a ( 0( 4M) = Row0 = z + (M )x + (4M )x Me = 0M (M ) (M ) ( 4M) M Row0' = z + x + e + a = Στη συνέχεια, µε την πραγµατοποίηση γραµµοπράξεων αφαιρούµε την x από τις γραµµές Row και Row και προκύπτει ο νέος πίνακας : 66

24 Πίνακας 4.4..β. Νέος πίνακας. z x x s e a a RHS M M 4M M Βασική M z = s = 7 x = 0 0 a = Αναλογία M M Στον νέο πίνακα, αφού, η x εισέρχεται στη βάση. Το κριτήριο αναλογίας δείχνει ότι η x θα εισέλθει στην γραµµή (Row ), του πίνακα, αντί της ς a. Ακολουθούν οι γραµµοπράξεις και ιδιαίτερα η αφαίρεση του x από τη γραµµή 0: Αντικαθιστούµε τη γραµµή Row µε τη γραµµή Row = Row οπότε η νέα γραµµή θα είναι: Row' : x + e a + a = Αφαιρούµε το x από τη γραµµή 0 µε τη γραµµοπράξη 5 ( M) Row0' = Row0 + Row' (M ) (M ) ( 4M) M Row0: z + x + e + a = ( M) ( M) ( M) (M ) ( M) Row = Row' = x + e + a + a 6 6 e ( M) ( M) Row0 = z + a + a = 5 5 0M = Ανάλογα, υπολογίζονται οι νέες γραµµές και οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας : 67

25 Πίνακας 4.4..γ. Νέος πίνακας. z x x s e a a RHS M 8 M 5 8 Βασική 5 z = 5 4 s = 4 5 x =5 5 x =5 Όλοι οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή 0 είναι µη θετικές και οι τιµές όλων των βοηθητικών µεταβλητών είναι ίσες µε το µηδέν, οπότε η λύση είναι βέλτιστη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ένα ΠΓΠ που επιλύεται µε την µέθοδο Big-M δεν έχει βέλτιστη λύση αν κάποια βοηθητική έχει θετική τιµή στον τελικό πίνακα. Λόγου χάρη στο παρακάτω παράδειγµα: Min z=x +x s.t. ½ x + ¼ x 4 x +x 6 x +x = 0 x, x 0 η επίλυση µε την µέθοδο Big-M δίνει τον παρακάτω τελικό πίνακα : Πίνακας 4.4..δ. Τελικός πίνακας. z x x s e a a RHS Βασική -M 0 0 -M 0-4M 0+6M Z=6M s = a = x =0 Στον παραπάνω πίνακα, όλες οι µη βασικές µεταβλητές της γραµµής 0 είναι µη θετικές, παρόλα αυτά στη βάση ανήκει η βοηθητική a =6 η οποία είναι θετική, οπότε το ΠΓΠ δεν έχει δυνατή λύση. 68

26 Εκτός της µεθόδου Big M, υπάρχουν και άλλες µέθοδοι για την επίλυση ΠΓΠ όπου δεν υπάρχει προφανής αρχική βασική δυνατή λύση, όπως η µέθοδος δύο φάσεων (Two phase Simplex method) κ.ά Μεταβλητές χωρίς περιορισµό προσήµου Κατά την εφαρµογή του αλγόριθµου, χρησιµοποιείται το κριτήριο αναλογίας για να εισαχθεί µια στη βάση. Όπως αναλύθηκε προηγουµένως, για να εφαρµοστεί το κριτήριο αναλογίας, θα πρέπει οι µεταβλητές να µην είναι αρνητικές. Έτσι, αν υπάρχουν στο πρόβληµα µεταβλητές χωρίς πρόσηµο, πρέπει να γίνει κατάλληλος µετασχηµατισµός ώστε όλες οι µεταβλητές να είναι θετικές. Για κάθε x i χωρίς πρόσηµο, ορίζουµε δυο θετικές µεταβλητές, και θέτουµε x i =x i -x i. Αντικαθιστούµε στο ΠΓΠ την αυτή µε αυτές του µετασχηµατισµού και προσθέτουµε τους περιορισµούς x i 0 και x i 0. Παρόλα αυτά, µπορεί να αποδειχθεί ότι σε µια βασική δυνατή λύση δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα x i >0 και x i >0. Έτσι έχουµε τις τρεις παρακάτω περιπτώσεις: x i '>0 και x i =0. Αυτό ισχύει όταν x i >0 οπότε x i =x i. x i '=0 και x i >0. Αυτό ισχύει όταν x i <0 οπότε x i =-x i. x i =x i =0 οπότε x i =0. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=0x -4x s.t. 5x -x 0 x 5 x 0, x χωρίς πρόσηµο (urs) Θέτουµε x =x -x οπότε το ΠΓΠ γίνεται: Max z=0x -4x +4x s.t. 5x -x +x 0 x 5 x, x,x 0 Επιλύουµε το ΠΓΠ µε την µέθοδο. Οι πίνακες ακολουθούν: 69

27 Πίνακες α, β, γ. Αρχικός Πίνακας z x x x s s RHS Βασική Αναλογία Z= s = s =5 5 η Επανάληψη z x x x s s RHS Βασική Αναλογία Z= s = x =5 - η Επανάληψη - Βέλτιστος Πίνακας z x x x s s RHS Βασική Z= x = x =5 Στους παραπάνω πίνακες µπορεί να παρατηρηθεί ότι η στήλη x είναι αντίθετη της x, κάτι που συµβαίνει γενικά σε ΠΓΠ αυτού του είδους (γιατί?). Η τελική επίλυση δίνει z=70, x =5, x =5, x =0, s =s =0, οπότε και x =- 5. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι δύο µεταβλητές x και x δεν µπορεί να είναι βασικές στον ίδιο πίνακα. Αν η x λόγου χάρη είναι βασική, θα έχει σε όλες τις γραµµές συντελεστή ίσο µε 0, εκτός αυτής της γραµµής όπου θα έχει εισέλθει στη βάση και θα έχει συντελεστή ίσο µε. Σε κάθε περίπτωση τότε η x θα έχει συντελεστές αντίθετους, δηλαδή 0 παντού και - στη γραµµή όπου η x έχει εισέλθει στη βάση, οπότε δεν µπορεί να είναι βασική. 70

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ(DEA) Η ανάλυση DEA είναι πολύ ισχυρή και ιδιαίτερα διαδεδοµένη µέθοδο,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου.

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου. Το υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης του Solow σχεδιάστηκε προκειµένου να δείξει πως η µεγέθυνση του κεφαλαίου, του εργατικού δυναµικού αλλά και οι µεταβολές στην τεχνολογία αλληλεπιδρούν σε µια οικονοµία,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΊΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ).

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ). 7. Εισαγωγή στο διπολικό τρανζίστορ-ι.σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 7. TΟ ΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ Ανάλογα µε το υλικό διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και 2. τρανζίστορ πυριτίου

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. Θα μελετήσουμε τώρα συστήματα που διεγείρονται σε ταλάντωση μέσω εξωτερικής ς που μπορεί να είναι (όπως θα δούμε παρακάτω) σταθερή, μεταβλητού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Y = C + I + G + NX. απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά

ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Y = C + I + G + NX. απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Συνολική Ζήτηση για εγχώριο προϊόν (ΑΕΠ/GDP) απαρτίζεται από Y = C + I + G + NX απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά Επενδυτικές απάνες από τα νοικοκυριά

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός κεφαλαίου. Παρουσίαση της µεθόδου SOLVER και αναλυτική περιγραφή της µεθοδολογίας.

Σκοπός κεφαλαίου. Παρουσίαση της µεθόδου SOLVER και αναλυτική περιγραφή της µεθοδολογίας. Το πρόγραµµα λογιστικών φύλλων (spreadsheet) Microsoft Excel ενσωµατώνει ρουτίνα επίλυσης προτύπων γραµµικού προγραµµατισµού. Η ρουτίνα ονοµάζεται Solver και χρησιµοποιεί το λογιστικό φύλλο του Microsoft

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΓΥΡΗΣ ΚΟΖΑΝΗ 2005 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Για τον καλύτερο προσδιορισµό των µεγεθών που χρησιµοποιούµε στις εξισώσεις, χρησιµοποιούµε τους παρακάτω συµβολισµούς

Διαβάστε περισσότερα