ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού"

Transcript

1 Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή. Πλεονέκτηµά του είναι ότι είναι απλός στην εφαρµογή και συγκλίνει σε σχετικά γρήγορο χρόνο στη βέλτιστη λύση, στο πλείστον των περιπτώσεων. Σκοπός κεφαλαίου ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Εισαγωγή και µελέτη του αλγόριθµου. Παραδείγµατα. 4.. Τυπική Mορφή Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού Για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος, πρέπει όλοι οι περιορισµοί του ΠΓΠ να είναι ισότητες. Παρόλα αυτά, συνήθως οι περιορισµοί ΠΓΠ είναι ανισότητες, ενώ οι µεταβλητές δεν είναι πάντα αυστηρά µη αρνητικές. Επίσης, η αντικειµενική συνάρτηση µετατρέπεται σε ισότητα, θεωρώντας την ίση µε το 0. Για το λόγο αυτό, το ΠΓΠ πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να αποκτήσει τυπική µορφή. Η τυπική µορφή ουσιαστικά είναι µορφή του ΠΓΠ όπου κάθε περιορισµός έχει µετατραπεί σε ισότητα. Ας εξετάσουµε λοιπόν τις δυνατές περιπτώσεις: Ας θεωρήσουµε το παρακάτω ΠΓΠ, το οποίο έχει ανισότητες τύπου. Max z=x +4x s.t. x +x 00 x +4x 86 x,x 0 Για να µετατρέψουµε το παραπάνω σε τυπική µορφή, θεωρούµε µια τεχνητή (slack) s i για κάθε περιορισµό του προβλήµατος (όπου i ο αριθµός του περιορισµού), s i 0. Συνεπώς στην παρούσα περίπτωση θεωρούµε τις τεχνητές µεταβλητές s, s 0. Η κάθε τεχνητή 44

2 αντιπροσωπεύει το αποµένον ποσό κατά το οποίο υπολείπεται ο περιορισµός ώστε από ανισότητα να µετατραπεί σε ισότητα. Συνεπώς, η τυπική µορφή του ΠΓΠ θα είναι: z-x -4x =0 s.t. x +x +s =00 x +4x +s =86 x,x,s,s 0 Αφού το αριστερό µέλος υπολείπεται του δεξιού, είναι προφανές ότι η τεχνητή θα προστεθεί στο αριστερό µέλος ώστε αυτό να εξισωθεί µε το δεξιό. H τεχνητή s αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +x να γίνει ίση µε 00. Αντίστοιχα, η τεχνητή s αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +4x να γίνει ίση µε 86. Ένα άλλο παράδειγµα, µε ανισότητες τύπου αυτή τη φορά, είναι το παρακάτω: Μin z=x +x +0x s.t. 4x +x x + 5x +8x 7 x, x, x 0 Αντίστοιχα µε πριν, θεωρούµε µια τεχνητή e i για κάθε περιορισµό του προβλήµατος (όπου i ο αριθµός του περιορισµού), e i 0. Στην παρούσα περίπτωση θεωρούµε τις τεχνητές µεταβλητές e, e 0. Η κάθε τεχνητή αντιπροσωπεύει το πλεόνασµα αυτή τη φορά του περιορισµού έναντι του δεξιού µέλους της ανίσωσης, ώστε από ανισότητα να µετατραπεί σε ισότητα. Συνεπώς, η τυπική µορφή του ΠΓΠ θα είναι: Z-x -x -0x =0 s.t. 4x +x -e = x + 5x +8x - e =7 x, x, x, e, e 0 Αφού το αριστερό µέλος πλεονάζει του δεξιού, είναι προφανές ότι η τεχνητή θα αφαιρεθεί από το αριστερό µέλος ώστε αυτό να εξισωθεί µε το δεξιό. H τεχνητή e αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση 4x +x να γίνει ίση µε. Αντίστοιχα, η τεχνητή e αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +5x +8x να γίνει ίση µε 7. 45

3 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, ας εξετάσουµε το παρακάτω ΠΓΠ Max z-0x -0x -4x s.t. x +5x 0 x +x 5 x +x +x 55 x, x, x 0 Το πρόβληµα έχει δύο περιορισµούς τύπου και έναν περιορισµό τύπου. Συνεπώς στον πρώτο και τον τρίτο περιορισµό αντιστοιχούν οι τεχνητές µεταβλητές s, s ενώ στον δεύτερο περιορισµό αντιστοιχεί η τεχνητή e. Συνεπώς η τυπική µορφή του ΠΓΠ είναι: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ z-0x -0x -4x s.t. x +5x +s =0 x + x -e =5 x +x +x +s=55 x, x, x, s, e, s 0 Στην περίπτωση περιορισµού µε ισότητα εφαρµόζεται η εξέλιξη της µεθόδου, Big-M, η οποία και περιγράφεται σε επόµενη παράγραφο. Ο περιορισµός µη αρνητικών µεταβλητών δεν µετατρέπεται σε τυπική µορφή. 4.. Προκαταρκτικά του Αλγόριθµου Ας θεωρήσουµε την παρακάτω κανονική µορφή ΠΓΠ Περιλαµβάνει n µεταβλητές (αρχικές και τεχνητές) και m περιορισµούς. Η µορφή του θα είναι: Max(min) z=c x +c x + +c n x n ή z-c x -c x - -c n x n =0 (µπορούµε να συµπεριλάβουµε στην αντικειµενική συνάρτηση τεχνητή θεωρώντας c i =0) s.t. a x +a x + + a n x n =b a x +a x + + a n x n =b a m x +a m x + + a mn x n =b m x i 0, i=,,,n 46

4 Οι περιορισµοί µπορούν να περιγραφούν µε τη βοήθεια πινάκων. Αν: a A =... a m a n... a mn x x =... x n b B =... b m Τότε οι περιορισµοί µπορούν να περιγραφούν από την εξίσωση Α x = B Βασικές και µη Βασικές Μεταβλητές Έστω το παραπάνω σύστηµα Α x = B (), n µεταβλητών και m περιορισµών (θεωρείται n m). Ορισµός: Μια βασική λύση του συστήµατος () λαµβάνεται αν n-m µεταβλητές τεθούν ίσες µε το µηδέν και το σύστηµα επιλυθεί για τις υπόλοιπες m µεταβλητές. Αυτό προϋποθέτει ότι οι υπόλοιπες m µεταβλητές έχουν µοναδική λύση. Οι n-m µεταβλητές καλούνται µη βασικές µεταβλητές (non-basic variables NBV), ενώ οι υπόλοιπες m µεταβλητές καλούνται βασικές (basic variables BV). Θέτοντας τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε µηδέν και επιλύοντας το σύστηµα (), λαµβάνονται και οι βασικές µεταβλητές και µια βασική λύση του συστήµατος (). Προφανώς, η επιλογή διαφορετικών µη βασικών µεταβλητών παρέχει και διαφορετικές βασικές λύσεις. 47

5 Ας εξετάσουµε ένα παράδειγµα: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ x -x =5 -x +x =-6 Είναι n=, m= οπότε n-m=, άρα θα διαλέξουµε µια µη βασική. Έστω ότι NBV={x }={0}. Τότε BV={x,x }={,6}. Αν όµως NBV={x }=0 τότε BV={x,x }={5,-6}. Παρόλα αυτά, υπάρχει η περίπτωση, µια οµάδα µεταβλητών να µην αποδίδει βασική λύση. Για παράδειγµα, στο παρακάτω σύστηµα: x +x +x = x +4x +x = Για NBV={x } και BV={x,x }, το σύστηµα που προκύπτει είναι το: x +x = x +4x +x = Το παραπάνω σύστηµα δεν έχει λύση συνεπώς οι x,x δεν αποτελούν λύση. ΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ορισµός: Κάθε βασική λύση της οποίας όλες οι µεταβλητές είναι µη αρνητικές είναι βασική δυνατή λύση. Λόγου χάρη, στο παράδειγµα: x -x =5 -x +x =-6 η λύση BV={x,x }={,6} είναι βασική δυνατή ενώ η BV={x,x }={5,-6} δεν είναι (αφού x <0). Για την εύρεση βέλτιστης λύσης σε ένα ΠΓΠ, πρέπει να αναζητηθεί η βέλτιστη βασική, δυνατή λύση. 48

6 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ορισµός: Για ένα ΠΓΠ µε m περιορισµούς, δύο βασικές δυνατές λύσεις είναι συµπληρωµατικές αν οι οµάδες βασικών µεταβλητών έχουν m- κοινές µεταβλητές. Λόγου χάρη στο παράδειγµα: x +x =5 x +x =6 οι βασικές λύσεις {x, x }={5,6} και {x,x }={5,} αποτελούν συµπληρωµατικές βασικές δυνατές λύσεις αφού έχουν m-=-= κοινή βασική, την x 4... Μερικά γενικά στοιχεία για ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού Για ένα ΠΓΠ µε m περιορισµούς και n µεταβλητές, µπορεί θεωρητικά να υπάρχει βασική λύση για κάθε σύνολο m-n µη βασικών µεταβλητών. Για n µεταβλητές, οι συνδυασµοί m βασικών µεταβλητών µπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση m n! = = k n ( n m)! m! Συνεπώς ένα ΠΓΠ µπορεί να έχει το πολύ k βασικές µεταβλητές ή αντίστοιχα ο µέγιστος αριθµός αναζήτησης µεταβλητών µέχρι την εύρεση της βέλτιστης είναι k. Παρόλα αυτά, ο αλγόριθµος συγκλίνει συνήθως σε λιγότερες από m επαναλήψεις. Αν λόγου χάρη ένα ΠΓΠ έχει n=0, m=0 τότε k=85 ενώ m=0, συνεπώς ο αλγόριθµος συγκλίνει εξετάζοντας το πολύ το /6 από όλες τις βασικές δυνατές µεταβλητές. 49

7 4.. O Αλγόριθµος O αλγόριθµος είναι µια σχετικά απλή αλγεβρική διαδικασία η οποία συγκλίνει συνήθως σε µικρό αριθµό επαναλήψεων. Ο βασικός αριθµός βηµάτων στην τυπική περίπτωση είναι ο παρακάτω: ) Μετατρέπουµε το ΠΓΠ σε τυπική µορφή. ) Βρίσκουµε µια δυνατή βασική λύση (bfs basic feasible solution) (αν είναι δυνατόν) από την κανονική. ) Εξετάζουµε αν η δυνατή βασική λύση είναι βέλτιστη. 4) Αν δεν είναι βέλτιστη, καθορίζουµε ποια µη βασική θα γίνει βασική και ποιά βασική θα αντικαταστήσει, ώστε να αναζητηθεί καλύτερη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση. 5) Χρησιµοποιώντας αλγεβρικές πράξεις, βρίσκουµε τη νέα δυνατή βασική λύση και επιστρέφουµε στο 5. Για την εφαρµογή του αλγόριθµου, η γραµµή 0 πρέπει να είναι στη µορφή: z-c x -..-c n x n =0 Ορισµός: Ένα ΠΓΠ έχει κανονική µορφή όταν κάθε γραµµή έχει µια µε συντελεστή και 0 ενώ αυτή η έχει συντελεστή 0 σε κάθε άλλη γραµµή. Για την επίδειξη του αλγόριθµου, θα χρησιµοποιήσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=60x +0x +0x s.t. 8x +6x +x 48 4x +x +.5x 0 x +.5x +0.5x 8 x 5 x,x,x 0 50

8 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ Π.Γ.Π. ΣΕ ΤΥΠΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: Για να µετατρέψουµε το ΠΓΠ σε κανονική µορφή, προσθέτουµε σε κάθε περιορισµό µια τεχνητή, s, s, s, s 4 (αφού όλοι οι περιορισµοί είναι της µορφής ). Η τυπική µορφή του προβλήµατος είναι: Row 0: z-60x -0x -0x =0 Row : 8x +6x +x +s =48 Row : 4x +x +.5x +s =0 Row : x +.5x +0.5x +s =8 x 5 Με απλή επισκόπηση µπορούµε να δούµε πως για x =x =x =0 µπορούµε να επιλύσουµε ως προς s, s, s, s 4 οπότε z=0, s =48, s =0, s =8, s 4 =5. (δηλαδή s i =δεξιό µέλος περιορισµού (rhs)). Τότε BV={s, s, s, s 4 } και NBV={x, x, x }. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στη γραµµή 0 (Row 0), η z έχει συντελεστή 0 οπότε θεωρούµε ως σύµβαση ότι ανήκει στη βάση. Άρα µπορεί να θεωρηθεί ότι BV={z, s, s, s, s 4 } και NBV={x, x, x }. Κάθε βασική της αρχικής βασικής λύσης (ή βάσης) έχει συντελεστή σε γραµµή όπου είναι βασική και 0 σε γραµµή όπου δεν είναι, οπότε το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή. Η θεώρηση όλων των x i =0 ως εκκίνηση για την εύρεση της πρώτης βασικής δυνατής λύσης είναι η συνήθης πρακτική για την εφαρµογή του αλγόριθµου. Πρέπει να εξετάσουµε αν η αρχική βασική δυνατή λύση αυτή είναι βέλτιστη ή αλλιώς αν µια συµπληρωµατική δυνατή βασική λύση της αρχικής µπορεί να αυξήσει το z. Παρατηρούµε ότι για την εξίσωση της αντικειµενικής συνάρτησης, αν αυξήσουµε µια µη βασική από τις x,x, x κατά µία µονάδα και διατηρήσουµε τις υπόλοιπες ίσες µε το 0, η τιµή του z θα αυξηθεί κατά 60, 0, 0. Αφού η αύξηση της x προκαλεί την µεγαλύτερη αύξηση του z, θα πρέπει να γίνει βασική. Η x θα εισαχθεί στη βάση. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι στη γραµµή 0 η x έχει τον πλέον αρνητικό συντελεστή. 5

9 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΥ ΘΑ ΕΙΣΕΛΘΕΙ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Επιλέγεται η µη βασική µε τον πλέον αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 (αν υπάρχουν περισσότερες µε τον ίδιο συντελεστή ο οποίος είναι ο πλέον αρνητικός, η επιλογή γίνεται κατά βούληση). Επιθυµούµε την µέγιστη αύξηση του x. Αλλαγή του x σηµαίνει και αλλαγή των τιµών των s, s, s, s 4. ιατηρώντας τις x, x =0, προσπαθούµε να εξετάσουµε ποια είναι η µέγιστη δυνατή αύξηση του s. Είναι s =48-8x 0 ή x 48/8=6 (Row ), s =0-4x 0 ή x 0/4=5 (Row ), s =8-x 0 ή x 8/=4 (Row ), s 4 =5 (Row 4) αφού ο τελευταίος περιορισµός είναι ανεξάρτητος του x. Για να διατηρηθούν όλες οι βασικές µεταβλητές µη αρνητικές, η µεγαλύτερη δυνατή αύξηση που µπορεί να επιτευχθεί στο x είναι η ελάχιστη των 48/8, 0/4, 8/, δηλαδή η 8/=4. Για κάθε γραµµή, η αντίστοιχη τιµή (48/8,...) δείχνει τη µέγιστη δυνατή αύξηση του x για την οποία θα παραµείνουν µη αρνητικές οι s, s, s, s 4. Η κανονική µορφή του ΠΓΠ για την αρχική βάση απεικονίζεται ως εξής: Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z -60x -0x -0x =0 z=0 Row 8x +6x +x +s =48 s =48 Row 4x +x +.5x +s =0 s =0 Row x +.5x +0.5x +s =8 s =8 Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Μπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι το πόσο µπορεί να αυξηθεί το x (οπότε και η αντικειµενική συνάρτηση) εξαρτάται από τον συντελεστή τον οποίο έχει σε κάθε γραµµή, εφόσον ο συντελεστής αυτός είναι θετικός. Παράλληλα, σε κάθε γραµµή, η τιµή της βασικής ς γινόταν αρνητική όταν η εισερχόµενη βασική υπερέβαινε την ποσότητα: εξιό µέλος γραµµής Συντελεστής εισερχόµενης ς στη βάση για την ίδια γραµµή H παραπάνω αναλογία είναι το κριτήριο για την εισαγωγή µιας µη βασικής ς στη βάση. Η γραµµή στην οποία η αναλογία έχει την µικρότερη θετική τιµή, είναι αυτή στην οποία εισέρχεται η νέα βασική στη θέση της παλαιότερης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εφόσον ο συντελεστής της εισερχόµενης ς είναι µηδέν ή αρνητικός, δεν είναι απαραίτητο και δεν υπολογίζεται η αναλογία (γιατί;). 5

10 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, για το κριτήριο έχουν υπολογιστεί οι τιµές: Row : Αναλογία για το x =48/8=6 Row : Αναλογία για το x =0/4=5 Row : Αναλογία για το x =8/=4 Row 4: Συντελεστής του x =0 οπότε δεν εξετάζεται η αναλογία. Η µικρότερη τιµή της αναλογίας είναι 4 και εµφανίζεται στη γραµµή. Συνεπώς, η x εισέρχεται στη γραµµή (Row ), στη θέση της βασικής ς s. Τότε NBV={s,x,x } και BV={z,s,s,x,s 4 }. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εφόσον η αναλογία είναι η ίδια σε δύο ή περισσότερες γραµµές και είναι η ελάχιστη, η επιλογή της γραµµής όπου θα εισέλθει η νέα βασική γίνεται τυχαία. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Χρησιµοποιώντας βασικές αλγεβρικές πράξεις (γραµµοπράξεις) έχουµε ως στόχο το να αποκτήσει η νέα η οποία εισέρχεται στη βάση, συντελεστή ίσο µε στη γραµµή όπου εισέρχεται και συντελεστή 0 σε όλες τις άλλες γραµµές (η διαδικασία ονοµάζεται στα αγγλικά Pivoting). Το αποτέλεσµα είναι ότι η νέα αντικαθιστά την παλαιά, δηλαδή η x την s και το ΠΓΠ µετατρέπεται σε νέα κανονική µορφή. Στο παράδειγµά µας θα έχουµε τις παρακάτω γραµµοπράξεις: ΓΠ: Row = ½ Row (συντελεστής για τη x στη γραµµή ) => x +0.75x +0.5x +0.5s =4 ΓΠ: Row0 =Row0 + 60Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή 0 ) => z+5x -5x +0s =40 ΓΠ: Row =Row-8Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή ) => -x +s -4s =6 ΓΠ4: Row =Row-4Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή ) => -x +0.5x +s -s =4 ΓΠ5 Row4 =Row4+0Row (αφού η x δεν υπάρχει στη γραµµή 4 ) => x +s 4 =5 H νέα κανονική µορφή θα έχει: και θα απεικονίζεται ως: NBV={s,x,x } και BV={z,s,s,x,s 4 }. 5

11 Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z -60x -0x -0x =0 z=0 Row 8x +6x +x +s =48 s =48 Row 4x +x +.5x +s =0 s =0 Row x +.5x +0.5x +s =8 s =8 Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Για την κανονική µορφή αυτή, είναι z=40, s =6, s =4, x =4, s 4 =5. (η τιµή του z προκύπτει από την Row0 το δεξιό µέλος, οι τιµές των λοιπών βασικών µεταβλητών αν θέσουµε όλες τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε 0). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η νέα κανονική µορφή δίνει βελτιωµένη λύση σε σχέση µε την προηγούµενη. Η νέα µε την παλιά κανονική µορφή έχουν συµπληρωµατικές δυνατές βασικές λύσεις, αφού έχουν m-=4- = κοινές βασικές µεταβλητές (s, s, s 4 ). ηλαδή, η διαδικασία ουσιαστικά είναι η δηµιουργία µιας καλύτερης συµπληρωµατικής βασικής δυνατής λύσης από την προηγούµενη. Εξετάζουµε στη συνέχεια αν µπορούµε να βρούµε αν κάποια από τις µη βασικές µεταβλητές µπορεί να προκαλέσει αύξηση στην τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης (του z) και να εισέλθει στη βάση. Ο συντελεστής της µη βασικής ς s είναι 0 (0 στην κανονική µορφή), συνεπώς (για x =x =0) για αύξηση κατά της s η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται. Όµοια, ο συντελεστής της µη βασικής ς x είναι 5 (5 στην κανονική µορφή), συνεπώς (για x =s =0) για αύξηση κατά της s η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται. Αντίθετα, ο συντελεστής της µη βασικής ς x (για x =s =0) είναι 5 (-5 στην κανονική µορφή), οπότε αύξηση της x κατά, προκαλεί αύξηση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης. Συνεπώς, επιθυµούµε να εισάγουµε την x στη βάση, αυξάνοντάς την τόσο όσο οι παρούσες βασικές µεταβλητές να παραµείνουν θετικές. Αυτό, όπως αναφέρθηκε και πριν, εξετάζεται µε το κριτήριο της αναλογίας. ηλαδή: Row : Η x έχει αρνητικό συντελεστή οπότε δεν υπολογίζεται αναλογία. 4 Row : = Row : = Row4 : Η x έχει µηδενικό συντελεστή οπότε δεν υπολογίζεται αναλογία. 54

12 Συνεπώς, η x θα εισέλθει στη βάση στη γραµµή (Row ), στη θέση της ς s. Εφαρµόζοντας γραµµοπράξεις: ΓΠ: Row =Row (συντελεστής για τη x στη γραµµή )=> -x +x +s -4s =8 ΓΠ: Row0 =Row0 +5Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή 0 )=> z+5x +0s +0s =80 ΓΠ: Row =Row +Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή )=> -x +s +s -8s =4 ΓΠ4: Row =Row -0.5Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή )=> x +.5x -0.5s +.5s = ΓΠ5: Row4 =Row4 +0Row (αφού η x δεν υπάρχει στη γραµµή 4 )=> x +s 4 =5 Οι νέες βασικές και µη βασικές µεταβλητές θα είναι: Και θα έχουν τιµές BV={z, s, x, x,s 4 } και NBV={s, s, x }. z=80, s =4, x (η τιµή του z προκύπτει από την Row0 το δεξιό µέλος, οι τιµές των λοιπών βασικών µεταβλητών αν θέσουµε όλες τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε 0). Η νέα κανονική µορφή θα είναι: Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z +5x +0s +0s =80 z=80 Row -x +s +s -8s =4 s =4 Row -x +x +s -4s =8 x =8 Row x +.5x -0.5s +.5s = x = Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω κανονική µορφή, οποιαδήποτε της γραµµής 0 (της αντικειµενικής συνάρτησης) και αν αυξηθεί, λόγω του προσήµου των συντελεστών αυτής, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης θα µειωθεί (να επιβεβαιωθεί ως άσκηση). Αυτό µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι έχουµε καταλήξει στη βέλτιστη λύση. 55

13 Γενικά: Η κανονική µορφή ενός ΠΓΠ αποδίδει βέλτιστο αποτέλεσµα (σε πρόβληµα µεγιστοποίησης), αν όλες οι µη κανονικές µεταβλητές έχουν µη αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 της κανονικής µορφής. Συνοπτικά τα βήµατα του αλγόριθµου είναι τα παρακάτω: Μετατρέπουµε το ΠΓΠ σε κανονική µορφή. Βρίσκουµε µια αρχική βασική δυνατή λύση. Αυτό είναι εύκολο αν όλοι οι περιορισµοί είναι οπότε η αρχική βάση είναι το σύνολο των τεχνητών µεταβλητών (όπως στο προηγούµενο παράδειγµα). Αν δεν είναι δυνατή η µε απλή εποπτεία εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης, εφαρµόζεται η µέθοδος «Big-M», η οποία αναλύεται παρακάτω (ή κάποια άλλη µέθοδος της βιβλιογραφίας). Αν όλες οι µη βασικές µεταβλητές στη γραµµή της αντικειµενικής συνάρτησης (Row 0) έχουν µη αρνητικούς συντελεστές (για πρόβληµα µεγιστοποίησης) η λύση είναι βέλτιστη. Αν υπάρχουν µεταβλητές µε αρνητικούς συντελεστές, επιλέξτε την µε τον πιο αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 για να εισέλθει στη βάση (να γίνει δηλαδή βασική ). Χρησιµοποιείστε το κριτήριο αναλογίας για να διαλέξετε τη γραµµή περιορισµών στην οποία θα εισέλθει ως βασική η και την ήδη βασική την οποία θα αντικαταστήσει. Πραγµατοποιείστε τις κατάλληλες γραµµοπράξεις για να αποκτήσει το ΠΓΠ πάλι κανονική µορφή. Επιστρέψτε στο προηγούµενο βήµα. ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ισχύει ότι: Τιµή z νέας δυνατής βασικής λύσης= τιµή z προηγούµενης δυνατής βασικής λύσης + (τιµή νέας ς που εισέρχεται στη βάση) x (συντελεστής της ς αυτής στη γραµµή 0) Απεικόνιση µε Πίνακα (Τableau ) Ο πίνακας αποτελεί µια ευκολότερη απεικόνιση της κανονικής µορφής του ΠΓΠ σε κάθε στάδιο. Περιλαµβάνει τους συντελεστές των αριστερών µελών των γραµµών και τα δεξιά µέλη, διευκολύνει δε στην πραγµατοποίηση γραµµοπράξεων και στην πιο συνοπτική επίλυση του προβλήµατος. Στη συνέχεια, οι όποιες επιλύσεις και κανονικές µορφές θα δίνονται µε πίνακες. Επίλυση µε πίνακα του προηγούµενου παραδείγµατος φαίνεται παρακάτω: 56

14 Πίνακας 5.4..α. Αρχικός πίνακας. ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Αναλογία /8= /4= /=4 ελάχιστο Πίνακας 5.4..β. Πρώτη κανονική µορφή πίνακα. Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ z x x x s s s s 4 RHS Αναλογία /0.5= /0.5=6 ελάχιστο Πίνακας 5.4..γ. Τελική µορφή πίνακα. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =5 57

15 4.4.. Προβλήµατα Ελαχιστοποίησης Τα προβλήµατα ελαχιστοποίησης λύνονται όπως και τα προβλήµατα µεγιστοποίησης µε µικρές τροποποιήσεις. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Min z=x -x s.t. x +x 4 x -x 6 x, x Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Θέτουµε w=-z και επιλύουµε το πρόβληµα ως πρόβληµα µεγιστοποίησης. Για το δοσµένο παράδειγµα, το ΠΓΠ θα γίνει: w=-z=-x +x οπότε Max w= -x +x s.t. x +x 4 x -x 6 x, x Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο Simplex µε τις εξής τροποποιήσεις: Αν όλες οι µη βασικές µεταβλητές στη γραµµή 0 έχουν µη θετικούς συντελεστές, τότε έχει βρεθεί βέλτιστη λύση στο ΠΓΠ Η µη βασική που έχει τον µεγαλύτερο θετικό συντελεστή στη γραµµή 0 εισέρχεται στη βάση σύµφωνα µε το κριτήριο αναλογίας (ως έχει) ΙΑΦΟΡΕΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ένα ΠΓΠ µπορεί να έχει περισσότερες της µιας βέλτιστες λύσεις. Με τη βοήθεια του αλγόριθµου µπορούµε να εξετάσουµε αν υπάρχουν εναλλακτικές λύσεις σε κάποιο ΠΓΠ Ας πάρουµε τον τελικό πίνακα του παραδείγµατος που χρησιµοποιήσαµε για την επίδειξη του αλγορίθµου: 58

16 Πίνακας α. Τελικός πίνακας. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =5 Για να είναι βασικές οι µεταβλητές, πρέπει να έχουν, όπως προαναφέρθηκε, µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0. Αν παρατηρήσουµε όµως τον πίνακα του παραδείγµατος, θα δούµε ότι στη γραµµή 0 υπάρχει και µια µη βασική, η x, η οποία έχει µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0. Εφόσον θελήσουµε να εισάγουµε την x στη βάση, θα εισαχθεί στη γραµµή, αντί της βασικής ς x (γιατί?). Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο παρακάτω: Πίνακας β. Τελικός πίνακας. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟΥ X ΣΤΗ ΒΑΣΗ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =.4 Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι επειδή το x έχει µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0 του πρώτου βέλτιστου πίνακα, η εισαγωγή του x στη βάση, δεν αλλάζει τη γραµµή 0. Συνεπώς όλες οι µεταβλητές στη νέα γραµµή 0 συνεχίζουν να έχουν µη αρνητικές µεταβλητές, οπότε και ο νέος πίνακας SIMPEX είναι βέλτιστος, µε z=70, s =7., x =., x =.6, s 4 =.4. Γενικά: Αν µια µη βασική στην γραµµή 0 του τελικού βέλτιστου πίνακα έχει συντελεστή 0, τότε το ΠΓΠ έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. 59

17 ΜΗ ΦΡΑΓΜΕΝΑ Π.Γ.Π. Υπάρχουν ΠΓΠ στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση δεν είναι φραγµένη από τους περιορισµούς. Τα προβλήµατα αυτά µπορούν να εντοπιστούν από τον αλγόριθµο. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=6x +0x -x -4x 4 s.t. x +x -x 5 6x +5x -x 4 0 x, x, x, x 4 0 Ο αρχικός πίνακας του προβλήµατος είναι ο παρακάτω: Πίνακας α. Αρχικός πίνακας. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= s =5 5/ s =0 0/6 Εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο, οι δύο επόµενοι πίνακες είναι οι παρακάτω: Πίνακας β. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= /6 - /6 -/6 0/ s =0/ (0/)/(/6)=0 0 5/6 0 -/6 0 /6 5/ x =5/ - Πίνακας γ. Τελικός πίνακας. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= x 4 = x =5 - Στον τελευταίο πίνακα παρατηρούµε ότι δεν είναι δυνατόν να εφαρµοστεί το κριτήριο της αναλογίας. Αν εξετάσουµε αναλυτικότερα τον πίνακα, η µόνη µη βασική που µπορεί να εισέλθει στη βάση είναι η x. 60

18 Η x σχετίζεται µε τις βασικές µεταβλητές x, x 4 ως εξής: x 4 =0+6x x =5+x Οποιαδήποτε αύξηση του x, σηµαίνει αύξηση των x, x 4, απεριόριστα, αφού τα x, x 4 θα είναι πάντα θετικά. Συνεπώς, για οποιαδήποτε τιµή του x, τα x και x 4, οπότε και το z, αυξάνουν απεριόριστα. Από το παράδειγµα προκύπτει ο εξής κανόνας για µη φραγµένα ΠΓΠ Ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης είναι µη φραγµένο αν µια µε αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 (η οποία είναι προφανώς µη βασική), έχει µη θετικό συντελεστή σε κάθε άλλη γραµµή. Γενικά, ο απλούστερος τρόπος για να εντοπιστεί κάποιο πρόβληµα αυτού του είδους είναι να καταλήξουµε σε κάποιο πίνακα όπου δεν µπορεί να εφαρµοστεί το κριτήριο αναλογίας Εκφυλισµός του Αλγόριθµου Θεωρητικά, ο αλγόριθµος µπορεί να αποτύχει στην εύρεση βέλτιστης λύσης. Παρόλα αυτά κάτι τέτοιο δεν είναι σύνηθες. Η αποτυχία βέλτιστης λύσης εξαρτάται κυρίως από την παρακάτω σχέση, η οποία συνδέει τη νέα δυνατή βασική ενός προβλήµατος µεγιστοποίησης µε την προηγούµενη αυτής (µετά από µια επανάληψη του αλγόριθµου ). Τιµή z για νέα δυνατή βασική λύση = Τιµή z προηγούµενης δυνατής βασικής λύσης (τιµή ς που εισέρχεται στη βάση) x (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0). (*) Στην παραπάνω σχέση (*), κάθε αύξηση κατά µία µονάδα της ς που εισέρχεται στη βάση αυξάνει το z κατά (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0), αφού (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0)<0 και (τιµή ς που εισέρχεται στη βάση) 0. Συνδυάζοντας αυτά µε τη σχέση (*), µπορούµε να λάβουµε τα εξής συµπεράσµατα: Αν η τιµή της εισερχόµενης ς στη βάση είναι >0, τότε η νέα τιµή z είναι µεγαλύτερη της προηγούµενης. Αν η τιµή της εισερχόµενης ς στη βάση είναι =0, τότε η νέα τιµή z είναι ίση µε την προηγούµενη. Ορισµός Αν σε κάθε µία από τις δυνατές βασικές λύσεις ενός ΠΓΠ, όλες οι µεταβλητές είναι αυστηρά θετικές, το ΠΓΠ είναι µη εκφυλισµένο. Σε ένα ΠΓΠ που είναι µη εκφυλισµένο, σύµφωνα µε την προηγούµενη περίπτωση, κάθε επανάληψη του αλγόριθµου θα αυξήσει το z. Συνεπώς, 6

19 η συνέχιση των επαναλήψεων δεν πρόκειται να επιστρέψει σε προηγούµενη βασική δυνατή λύση (γιατί?). Αφού όπως προαναφέρθηκε, ο αλγόριθµος έχει πεπερασµένο αριθµό βασικών δυνατών λύσεων και δεν πρόκειται να επαναληφθεί βασική δυνατή λύση, µπορούµε να συµπεράνουµε ότι σε ένα µη εκφυλισµένο ΠΓΠ βέλτιστη λύση θα βρεθεί (αν υπάρχει), σε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων. Παρόλα αυτά, ο αλγόριθµος µπορεί να αποτύχει στην επίλυση ενός εκφυλισµένου ΠΓΠ Ορισµός Ένα ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο όταν υπάρχει τουλάχιστον µια δυνατή βασική λύση για την οποία µια βασική ισούται µε µηδέν. Το παρακάτω ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο: Max z =5x +x s.t. x +x 0 x +x 0 x, x Παρακάτω φαίνονται οι πίνακες επίλυσης του παραδείγµατος: Πίνακες 4.4..α., β., γ. ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= s = s =0 0* Η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= s =6 6/=* x =0 - Η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= x = x = Στον αρχικό πίνακα, η βασική s είναι ίση µε το µηδέν, οπότε το ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο. Στον δεύτερο πίνακα, όπου έχει εισέλθει η x στη βάση, είναι επίσης ίση µε το µηδέν. Και στις δύο 6

20 περιπτώσεις, η τιµή του z παραµένει η ίδια. Στην τρίτη επανάληψη, επιτυγχάνεται η βέλτιστη λύση. Το γεγονός της πιθανής διατήρησης της ίδιας τιµής για την αντικειµενική συνάρτηση (όπως φαίνεται από τις δυο επαναλήψεις του παραδείγµατος), για συνεχόµενες εναλλαγές βάσεων, σε ένα εκφυλισµένο ΠΓΠ λέγεται κυκλική εναλλαγή (cycling). Παρόλα αυτά υπάρχουν τεχνικές οι οποίες µπορούν να αποτρέψουν το γεγονός αυτό, οι οποίες ξεφεύγουν από το σκοπό του κειµένου αυτού Η Μέθοδος Big-M Όπως αναλύθηκε προηγουµένως, για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος, πρέπει να έχει βρεθεί µια αρχική δυνατή βασική λύση. Παρόλα αυτά, σε περιπτώσεις όπου οι περιορισµοί είναι ισότητες ή ανισότητες του τύπου, µπορεί να είναι δύσκολη η εύρεση αρχικής δυνατής βασικής λύσης. Για τον λόγο αυτόν χρησιµοποιείται η µέθοδος Big-M η οποία προσθέτει βοηθητικές µεταβλητές για την εύρεση αρχικής λύσης. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Min z=x +x s.t. ½ x + ¼ x 4 x +x 0 x +x =0 x, x 0 Μετατρέπουµε το παραπάνω ΠΓΠ σε τυπική µορφή, προσθέτοντας µια τεχνητή s στον ο περιορισµό και µια e στον ο περιορισµό, οπότε η τυπική µορφή του ΠΓΠ είναι η: Row0: z-x -x =0 Row: ½ x +¼ x +s =4 Row: x +x -e =0 Row: x +x =0 x, x, s, e 0 Εξετάζουµε την τυπική µορφή για την εύρεση µιας βασικής δυνατής αρχικής λύσης. Από τη γραµµή, αν θεωρήσουµε x =x =0, είναι s =4 οπότε η s θα µπορούσε να θεωρηθεί βασική δυνατή. Όµως, η γραµµή για x =x =0, δίνει e =-0 που δεν είναι αποδεκτό αφού e 0. Τέλος, η γραµµή δεν δίνει πληροφορίες για αρχική βασική δυνατή λύση. Για να επιλυθεί το πρόβληµα, προσθέτουµε σε κάθε γραµµή όπου δεν είναι δυνατή η εύρεση µιας βασικής δυνατής ς µια βοηθητική a i που αντιστοιχεί στη γραµµή i όπου δεν είναι δυνατή η εύρεση δυνατής βασικής ς. 6

21 Στο παράδειγµά µας, προστίθενται οι βοηθητικές µεταβλητές a και a : z-x -x =0 ½ x +¼ x +s =4 x +x -e +a =0 x +x +a =0 Μπορούµε να λάβουµε συνεπώς µια αρχική βασική δυνατή λύση, z=0, s =4, a =0, a =0. υστυχώς όµως, η βέλτιστη λύση του νέου ΠΓΠ δεν είναι σίγουρο ότι είναι η ίδια και στο αρχικό. Για τον λόγο αυτόν, επιθυµούµε οι βοηθητικές µεταβλητές να είναι ίσες µε το µηδέν στη βέλτιστη λύση του νέου ΠΓΠ ώστε αυτό να είναι ισοδύναµο µε το αρχικό. Έτσι, στην αντικειµενική συνάρτηση του νέου ΠΓΠ, αν αυτό είναι πρόβληµα ελαχιστοποίησης, προσθέτουµε για κάθε βοηθητική έναν όρο Μa i (αν είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης προσθέτουµε έναν όρο Ma i ), όπου Μ ένας «µεγάλος» θετικός αριθµός (εξ ου και η ονοµασία Big M). Θεωρώντας ότι µια πολύ µεγάλη ποσότητα είναι συνάρτηση της βοηθητικής ς, στη βέλτιστη λύση είναι αναµενόµενο οι βοηθητικές µεταβλητές να είναι ίσες µε µηδέν. Τότε η λύση του νέου προβλήµατος είναι και λύση του αρχικού. Αν παρόλα αυτά, οι βοηθητικές µεταβλητές στον τελικό πίνακα λάβουν θετικές τιµές, το αρχικό πρόβληµα δεν έχει δυνατή λύση. Η αντικειµενική συνάρτηση θα είναι η εξής: Min z=x +x +Ma +Ma ή z-x -x -Ma -Ma =0 Τα βήµατα της µεθόδου Big-M φαίνεται παρακάτω: Τροποποιήστε τα δεξιά µέλη των περιορισµών ώστε να είναι θετικά (π.χ. πολλαπλασιάζοντας και τα δυο µέλη µε -, προσοχή στη φορά της ανισότητας και τα πρόσηµα). Μετά την τροποποίηση, εξετάστε ποιοί περιορισµοί είναι ή =. Μετατρέψτε όλες τις ανισότητες σε τυπική µορφή (προσθέστε τεχνητές µεταβλητές). Αν ένας περιορισµός i ήταν της µορφής = ή πριν τη µετατροπή του σε τυπική µορφή, προσθέστε βοηθητική a i 0. Έστω Μ ένας πολύ µεγάλος θετικός. Για πρόβληµα ελαχιστοποίησης, προσθέστε για κάθε βοηθητική a i, την ποσότητα Μa i. Για πρόβληµα µεγιστοποίησης, προσθέστε για κάθε βοηθητική a i, την ποσότητα -Μa i. Αφού κάθε βοηθητική είναι στην αρχική βάση, όλες οι βοηθητικές µεταβλητές πρέπει να εξαλειφθούν από τη γραµµή 0, ώστε να έχει το ΠΓΠ κανονική µορφή. Επιλύστε το νέο ΠΓΠ µε τον αλγόριθµο. Αν όλες οι βοηθητικές µεταβλητές είναι ίσες µε µηδέν στη βέλτιστη λύση, η βέλτιστη λύση είναι αυτή του αρχικού ΠΓΠ Αν υπάρχει κάποια θετική βοηθητική, το αρχικό ΠΓΠ δεν έχει λύση. 64

22 Θα χρησιµοποιήσουµε τα παραπάνω βήµατα για να επιλύσουµε το παράδειγµά µας: Όλοι οι περιορισµοί έχουν θετικό πρόσηµο στο δεξιό µέλος τους οπότε δεν χρειάζεται καµία τροποποίηση. Οι περιορισµοί και θα απαιτήσουν βοηθητικές µεταβλητές a, a. Επίσης, οι γραµµές και θα χρειαστούν τεχνητές µεταβλητές, s, e. Προσθέτουµε καταρχάς τις τεχνητές µεταβλητές x, x στην κανονική µορφή του ΠΓΠ: Min z= x +x Row: ½ x + ¼ x +s =4 Row: x +x e =0 Row: x +x =0 x, x, s, e 0 Προσθέτουµε βοηθητικές µεταβλητές a, a στους περιορισµούς,. Min z= x +x Row: ½ x + ¼ x + s = 4 Row: x +x e +a = 0 Row: x +x +a = 0 x, x, s, e, a, a 0 Μπορούµε συνεπώς να δούµε ότι η αρχική δυνατή βασική λύση είναι s =4, a =0 και a =0. To πρόβληµα που επιλύουµε είναι ελαχιστοποίησης, οπότε προσθέτουµε την ποσότητα Ma +Ma στην αντικειµενική συνάρτηση: Min z= x +x -Ma -Ma Οπότε η γραµµή 0 θα γίνει z-x -x -Ma -Ma =0. Οι µεταβλητές a και a πρέπει να αφαιρεθούν από τη γραµµή 0. Αυτό θα επιτευχθεί µε τη γραµµοπράξη: Row0 =Row0+M x Row + M x Row. Πράγµατι: Row0: z-x -x -Ma -Ma =0 M Row: Mx +Mx -Me +Ma =0M M Row: Mx +Mx +Ma =0M Row0 : z +(M-)x +(4M-)x -Me =0M Ο πίνακας της αρχικής κανονικής µορφής φαίνεται παρακάτω: 65

23 Πίνακας 4.4..α. Αρχικός πίνακας. z x x s e a a RHS Βασική Αναλογία M- 4M- 0 -M 0 0 0M z=0m 0 ½ ¼ s = a =0 0/ a =0 0 Αφού πρόκειται για πρόβληµα ελαχιστοποίησης, η µη βασική µε τον πιο θετικό συντελεστή πρέπει να εισέλθει στη βάση. Αφού 4Μ- >Μ-, η x πρέπει να εισέλθει στη βάση, στη γραµµή, µε βάση το κριτήριο αναλογίας. Ακολουθεί η εκτέλεση των γραµµοπράξεων για την αφαίρεση του x από τη γραµµή 0 (που είναι και η συνήθης δυσκολία στην εφαρµογή της µεθόδου Big-M). Αντικαθιστούµε τη γραµµή Row µε την Row =/ Row: Row : x + x e + a = 0 Αφαιρούµε τη x από τη γραµµή 0 µε τη γραµµοπράξη Row0 =Row0+(-4M)Row ( 4M) 4M)Row' = x + ( 4M)x ( 4M) e ( 4M) + a ( 0( 4M) = Row0 = z + (M )x + (4M )x Me = 0M (M ) (M ) ( 4M) M Row0' = z + x + e + a = Στη συνέχεια, µε την πραγµατοποίηση γραµµοπράξεων αφαιρούµε την x από τις γραµµές Row και Row και προκύπτει ο νέος πίνακας : 66

24 Πίνακας 4.4..β. Νέος πίνακας. z x x s e a a RHS M M 4M M Βασική M z = s = 7 x = 0 0 a = Αναλογία M M Στον νέο πίνακα, αφού, η x εισέρχεται στη βάση. Το κριτήριο αναλογίας δείχνει ότι η x θα εισέλθει στην γραµµή (Row ), του πίνακα, αντί της ς a. Ακολουθούν οι γραµµοπράξεις και ιδιαίτερα η αφαίρεση του x από τη γραµµή 0: Αντικαθιστούµε τη γραµµή Row µε τη γραµµή Row = Row οπότε η νέα γραµµή θα είναι: Row' : x + e a + a = Αφαιρούµε το x από τη γραµµή 0 µε τη γραµµοπράξη 5 ( M) Row0' = Row0 + Row' (M ) (M ) ( 4M) M Row0: z + x + e + a = ( M) ( M) ( M) (M ) ( M) Row = Row' = x + e + a + a 6 6 e ( M) ( M) Row0 = z + a + a = 5 5 0M = Ανάλογα, υπολογίζονται οι νέες γραµµές και οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας : 67

25 Πίνακας 4.4..γ. Νέος πίνακας. z x x s e a a RHS M 8 M 5 8 Βασική 5 z = 5 4 s = 4 5 x =5 5 x =5 Όλοι οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή 0 είναι µη θετικές και οι τιµές όλων των βοηθητικών µεταβλητών είναι ίσες µε το µηδέν, οπότε η λύση είναι βέλτιστη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ένα ΠΓΠ που επιλύεται µε την µέθοδο Big-M δεν έχει βέλτιστη λύση αν κάποια βοηθητική έχει θετική τιµή στον τελικό πίνακα. Λόγου χάρη στο παρακάτω παράδειγµα: Min z=x +x s.t. ½ x + ¼ x 4 x +x 6 x +x = 0 x, x 0 η επίλυση µε την µέθοδο Big-M δίνει τον παρακάτω τελικό πίνακα : Πίνακας 4.4..δ. Τελικός πίνακας. z x x s e a a RHS Βασική -M 0 0 -M 0-4M 0+6M Z=6M s = a = x =0 Στον παραπάνω πίνακα, όλες οι µη βασικές µεταβλητές της γραµµής 0 είναι µη θετικές, παρόλα αυτά στη βάση ανήκει η βοηθητική a =6 η οποία είναι θετική, οπότε το ΠΓΠ δεν έχει δυνατή λύση. 68

26 Εκτός της µεθόδου Big M, υπάρχουν και άλλες µέθοδοι για την επίλυση ΠΓΠ όπου δεν υπάρχει προφανής αρχική βασική δυνατή λύση, όπως η µέθοδος δύο φάσεων (Two phase Simplex method) κ.ά Μεταβλητές χωρίς περιορισµό προσήµου Κατά την εφαρµογή του αλγόριθµου, χρησιµοποιείται το κριτήριο αναλογίας για να εισαχθεί µια στη βάση. Όπως αναλύθηκε προηγουµένως, για να εφαρµοστεί το κριτήριο αναλογίας, θα πρέπει οι µεταβλητές να µην είναι αρνητικές. Έτσι, αν υπάρχουν στο πρόβληµα µεταβλητές χωρίς πρόσηµο, πρέπει να γίνει κατάλληλος µετασχηµατισµός ώστε όλες οι µεταβλητές να είναι θετικές. Για κάθε x i χωρίς πρόσηµο, ορίζουµε δυο θετικές µεταβλητές, και θέτουµε x i =x i -x i. Αντικαθιστούµε στο ΠΓΠ την αυτή µε αυτές του µετασχηµατισµού και προσθέτουµε τους περιορισµούς x i 0 και x i 0. Παρόλα αυτά, µπορεί να αποδειχθεί ότι σε µια βασική δυνατή λύση δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα x i >0 και x i >0. Έτσι έχουµε τις τρεις παρακάτω περιπτώσεις: x i '>0 και x i =0. Αυτό ισχύει όταν x i >0 οπότε x i =x i. x i '=0 και x i >0. Αυτό ισχύει όταν x i <0 οπότε x i =-x i. x i =x i =0 οπότε x i =0. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=0x -4x s.t. 5x -x 0 x 5 x 0, x χωρίς πρόσηµο (urs) Θέτουµε x =x -x οπότε το ΠΓΠ γίνεται: Max z=0x -4x +4x s.t. 5x -x +x 0 x 5 x, x,x 0 Επιλύουµε το ΠΓΠ µε την µέθοδο. Οι πίνακες ακολουθούν: 69

27 Πίνακες α, β, γ. Αρχικός Πίνακας z x x x s s RHS Βασική Αναλογία Z= s = s =5 5 η Επανάληψη z x x x s s RHS Βασική Αναλογία Z= s = x =5 - η Επανάληψη - Βέλτιστος Πίνακας z x x x s s RHS Βασική Z= x = x =5 Στους παραπάνω πίνακες µπορεί να παρατηρηθεί ότι η στήλη x είναι αντίθετη της x, κάτι που συµβαίνει γενικά σε ΠΓΠ αυτού του είδους (γιατί?). Η τελική επίλυση δίνει z=70, x =5, x =5, x =0, s =s =0, οπότε και x =- 5. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι δύο µεταβλητές x και x δεν µπορεί να είναι βασικές στον ίδιο πίνακα. Αν η x λόγου χάρη είναι βασική, θα έχει σε όλες τις γραµµές συντελεστή ίσο µε 0, εκτός αυτής της γραµµής όπου θα έχει εισέλθει στη βάση και θα έχει συντελεστή ίσο µε. Σε κάθε περίπτωση τότε η x θα έχει συντελεστές αντίθετους, δηλαδή 0 παντού και - στη γραµµή όπου η x έχει εισέλθει στη βάση, οπότε δεν µπορεί να είναι βασική. 70

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Εξισώσεων. Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων. λύση ... = ... ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Επίλυση Εξισώσεων. Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων. λύση ... = ... ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων m m... n... n mn M n b M b m µη-οµογενείς Μπορεί να υπάρχει µία, πολλές ή καµία λύση Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 58 ΈστωΈστω το σύστηµα: 5 λύση: 7/3, 8/3 συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες κι ερµηνεία του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Γραφική επίλυση προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Παραδείγµατα.

Βασικές έννοιες κι ερµηνεία του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Γραφική επίλυση προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Παραδείγµατα. Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε µια πρώτη προσέγγιση στην µελέτη και διερεύνηση προβληµάτων του Γραµµικού Προγραµµατισµού (Γ.Π., Linear Programming, L.P) και τις µεταβολές τους. Ταυτόχρονα, παρουσιάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΛΥΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ (1/3) Ε..Ε. ΙΙ Oι ACO

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ(DEA) Η ανάλυση DEA είναι πολύ ισχυρή και ιδιαίτερα διαδεδοµένη µέθοδο,

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232 Φροντιστήριο 2

ΕΠΛ 232 Φροντιστήριο 2 Πρόβληµα ΕΠΛ Φροντιστήριο Έχετε 0 και θέλετε να τις επενδύσετε για n µήνες. Tην πρώτη µέρα κάθε µήνα έχετε µόνο µια από τις παρακάτω τρεις επιλογές:. Να αγοράσετε ένα πιστοποιητικό αποταµίευσης από την

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree)

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εργαστήριο 7 Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εισαγωγή Εκτός από τα δυαδικά δέντρα αναζήτησης (inry serh trees) που εξετάσαµε σε προηγούµενο εργαστήριο, υπάρχουν αρκετά είδη δέντρων αναζήτησης µε ξεχωριστό

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα