ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού"

Transcript

1 Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή. Πλεονέκτηµά του είναι ότι είναι απλός στην εφαρµογή και συγκλίνει σε σχετικά γρήγορο χρόνο στη βέλτιστη λύση, στο πλείστον των περιπτώσεων. Σκοπός κεφαλαίου ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Εισαγωγή και µελέτη του αλγόριθµου. Παραδείγµατα. 4.. Τυπική Mορφή Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού Για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος, πρέπει όλοι οι περιορισµοί του ΠΓΠ να είναι ισότητες. Παρόλα αυτά, συνήθως οι περιορισµοί ΠΓΠ είναι ανισότητες, ενώ οι µεταβλητές δεν είναι πάντα αυστηρά µη αρνητικές. Επίσης, η αντικειµενική συνάρτηση µετατρέπεται σε ισότητα, θεωρώντας την ίση µε το 0. Για το λόγο αυτό, το ΠΓΠ πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να αποκτήσει τυπική µορφή. Η τυπική µορφή ουσιαστικά είναι µορφή του ΠΓΠ όπου κάθε περιορισµός έχει µετατραπεί σε ισότητα. Ας εξετάσουµε λοιπόν τις δυνατές περιπτώσεις: Ας θεωρήσουµε το παρακάτω ΠΓΠ, το οποίο έχει ανισότητες τύπου. Max z=x +4x s.t. x +x 00 x +4x 86 x,x 0 Για να µετατρέψουµε το παραπάνω σε τυπική µορφή, θεωρούµε µια τεχνητή (slack) s i για κάθε περιορισµό του προβλήµατος (όπου i ο αριθµός του περιορισµού), s i 0. Συνεπώς στην παρούσα περίπτωση θεωρούµε τις τεχνητές µεταβλητές s, s 0. Η κάθε τεχνητή 44

2 αντιπροσωπεύει το αποµένον ποσό κατά το οποίο υπολείπεται ο περιορισµός ώστε από ανισότητα να µετατραπεί σε ισότητα. Συνεπώς, η τυπική µορφή του ΠΓΠ θα είναι: z-x -4x =0 s.t. x +x +s =00 x +4x +s =86 x,x,s,s 0 Αφού το αριστερό µέλος υπολείπεται του δεξιού, είναι προφανές ότι η τεχνητή θα προστεθεί στο αριστερό µέλος ώστε αυτό να εξισωθεί µε το δεξιό. H τεχνητή s αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +x να γίνει ίση µε 00. Αντίστοιχα, η τεχνητή s αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +4x να γίνει ίση µε 86. Ένα άλλο παράδειγµα, µε ανισότητες τύπου αυτή τη φορά, είναι το παρακάτω: Μin z=x +x +0x s.t. 4x +x x + 5x +8x 7 x, x, x 0 Αντίστοιχα µε πριν, θεωρούµε µια τεχνητή e i για κάθε περιορισµό του προβλήµατος (όπου i ο αριθµός του περιορισµού), e i 0. Στην παρούσα περίπτωση θεωρούµε τις τεχνητές µεταβλητές e, e 0. Η κάθε τεχνητή αντιπροσωπεύει το πλεόνασµα αυτή τη φορά του περιορισµού έναντι του δεξιού µέλους της ανίσωσης, ώστε από ανισότητα να µετατραπεί σε ισότητα. Συνεπώς, η τυπική µορφή του ΠΓΠ θα είναι: Z-x -x -0x =0 s.t. 4x +x -e = x + 5x +8x - e =7 x, x, x, e, e 0 Αφού το αριστερό µέλος πλεονάζει του δεξιού, είναι προφανές ότι η τεχνητή θα αφαιρεθεί από το αριστερό µέλος ώστε αυτό να εξισωθεί µε το δεξιό. H τεχνητή e αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση 4x +x να γίνει ίση µε. Αντίστοιχα, η τεχνητή e αντιπροσωπεύει την απαραίτητη ποσότητα ώστε η παράσταση x +5x +8x να γίνει ίση µε 7. 45

3 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, ας εξετάσουµε το παρακάτω ΠΓΠ Max z-0x -0x -4x s.t. x +5x 0 x +x 5 x +x +x 55 x, x, x 0 Το πρόβληµα έχει δύο περιορισµούς τύπου και έναν περιορισµό τύπου. Συνεπώς στον πρώτο και τον τρίτο περιορισµό αντιστοιχούν οι τεχνητές µεταβλητές s, s ενώ στον δεύτερο περιορισµό αντιστοιχεί η τεχνητή e. Συνεπώς η τυπική µορφή του ΠΓΠ είναι: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ z-0x -0x -4x s.t. x +5x +s =0 x + x -e =5 x +x +x +s=55 x, x, x, s, e, s 0 Στην περίπτωση περιορισµού µε ισότητα εφαρµόζεται η εξέλιξη της µεθόδου, Big-M, η οποία και περιγράφεται σε επόµενη παράγραφο. Ο περιορισµός µη αρνητικών µεταβλητών δεν µετατρέπεται σε τυπική µορφή. 4.. Προκαταρκτικά του Αλγόριθµου Ας θεωρήσουµε την παρακάτω κανονική µορφή ΠΓΠ Περιλαµβάνει n µεταβλητές (αρχικές και τεχνητές) και m περιορισµούς. Η µορφή του θα είναι: Max(min) z=c x +c x + +c n x n ή z-c x -c x - -c n x n =0 (µπορούµε να συµπεριλάβουµε στην αντικειµενική συνάρτηση τεχνητή θεωρώντας c i =0) s.t. a x +a x + + a n x n =b a x +a x + + a n x n =b a m x +a m x + + a mn x n =b m x i 0, i=,,,n 46

4 Οι περιορισµοί µπορούν να περιγραφούν µε τη βοήθεια πινάκων. Αν: a A =... a m a n... a mn x x =... x n b B =... b m Τότε οι περιορισµοί µπορούν να περιγραφούν από την εξίσωση Α x = B Βασικές και µη Βασικές Μεταβλητές Έστω το παραπάνω σύστηµα Α x = B (), n µεταβλητών και m περιορισµών (θεωρείται n m). Ορισµός: Μια βασική λύση του συστήµατος () λαµβάνεται αν n-m µεταβλητές τεθούν ίσες µε το µηδέν και το σύστηµα επιλυθεί για τις υπόλοιπες m µεταβλητές. Αυτό προϋποθέτει ότι οι υπόλοιπες m µεταβλητές έχουν µοναδική λύση. Οι n-m µεταβλητές καλούνται µη βασικές µεταβλητές (non-basic variables NBV), ενώ οι υπόλοιπες m µεταβλητές καλούνται βασικές (basic variables BV). Θέτοντας τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε µηδέν και επιλύοντας το σύστηµα (), λαµβάνονται και οι βασικές µεταβλητές και µια βασική λύση του συστήµατος (). Προφανώς, η επιλογή διαφορετικών µη βασικών µεταβλητών παρέχει και διαφορετικές βασικές λύσεις. 47

5 Ας εξετάσουµε ένα παράδειγµα: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ x -x =5 -x +x =-6 Είναι n=, m= οπότε n-m=, άρα θα διαλέξουµε µια µη βασική. Έστω ότι NBV={x }={0}. Τότε BV={x,x }={,6}. Αν όµως NBV={x }=0 τότε BV={x,x }={5,-6}. Παρόλα αυτά, υπάρχει η περίπτωση, µια οµάδα µεταβλητών να µην αποδίδει βασική λύση. Για παράδειγµα, στο παρακάτω σύστηµα: x +x +x = x +4x +x = Για NBV={x } και BV={x,x }, το σύστηµα που προκύπτει είναι το: x +x = x +4x +x = Το παραπάνω σύστηµα δεν έχει λύση συνεπώς οι x,x δεν αποτελούν λύση. ΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ορισµός: Κάθε βασική λύση της οποίας όλες οι µεταβλητές είναι µη αρνητικές είναι βασική δυνατή λύση. Λόγου χάρη, στο παράδειγµα: x -x =5 -x +x =-6 η λύση BV={x,x }={,6} είναι βασική δυνατή ενώ η BV={x,x }={5,-6} δεν είναι (αφού x <0). Για την εύρεση βέλτιστης λύσης σε ένα ΠΓΠ, πρέπει να αναζητηθεί η βέλτιστη βασική, δυνατή λύση. 48

6 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ορισµός: Για ένα ΠΓΠ µε m περιορισµούς, δύο βασικές δυνατές λύσεις είναι συµπληρωµατικές αν οι οµάδες βασικών µεταβλητών έχουν m- κοινές µεταβλητές. Λόγου χάρη στο παράδειγµα: x +x =5 x +x =6 οι βασικές λύσεις {x, x }={5,6} και {x,x }={5,} αποτελούν συµπληρωµατικές βασικές δυνατές λύσεις αφού έχουν m-=-= κοινή βασική, την x 4... Μερικά γενικά στοιχεία για ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού Για ένα ΠΓΠ µε m περιορισµούς και n µεταβλητές, µπορεί θεωρητικά να υπάρχει βασική λύση για κάθε σύνολο m-n µη βασικών µεταβλητών. Για n µεταβλητές, οι συνδυασµοί m βασικών µεταβλητών µπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση m n! = = k n ( n m)! m! Συνεπώς ένα ΠΓΠ µπορεί να έχει το πολύ k βασικές µεταβλητές ή αντίστοιχα ο µέγιστος αριθµός αναζήτησης µεταβλητών µέχρι την εύρεση της βέλτιστης είναι k. Παρόλα αυτά, ο αλγόριθµος συγκλίνει συνήθως σε λιγότερες από m επαναλήψεις. Αν λόγου χάρη ένα ΠΓΠ έχει n=0, m=0 τότε k=85 ενώ m=0, συνεπώς ο αλγόριθµος συγκλίνει εξετάζοντας το πολύ το /6 από όλες τις βασικές δυνατές µεταβλητές. 49

7 4.. O Αλγόριθµος O αλγόριθµος είναι µια σχετικά απλή αλγεβρική διαδικασία η οποία συγκλίνει συνήθως σε µικρό αριθµό επαναλήψεων. Ο βασικός αριθµός βηµάτων στην τυπική περίπτωση είναι ο παρακάτω: ) Μετατρέπουµε το ΠΓΠ σε τυπική µορφή. ) Βρίσκουµε µια δυνατή βασική λύση (bfs basic feasible solution) (αν είναι δυνατόν) από την κανονική. ) Εξετάζουµε αν η δυνατή βασική λύση είναι βέλτιστη. 4) Αν δεν είναι βέλτιστη, καθορίζουµε ποια µη βασική θα γίνει βασική και ποιά βασική θα αντικαταστήσει, ώστε να αναζητηθεί καλύτερη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση. 5) Χρησιµοποιώντας αλγεβρικές πράξεις, βρίσκουµε τη νέα δυνατή βασική λύση και επιστρέφουµε στο 5. Για την εφαρµογή του αλγόριθµου, η γραµµή 0 πρέπει να είναι στη µορφή: z-c x -..-c n x n =0 Ορισµός: Ένα ΠΓΠ έχει κανονική µορφή όταν κάθε γραµµή έχει µια µε συντελεστή και 0 ενώ αυτή η έχει συντελεστή 0 σε κάθε άλλη γραµµή. Για την επίδειξη του αλγόριθµου, θα χρησιµοποιήσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=60x +0x +0x s.t. 8x +6x +x 48 4x +x +.5x 0 x +.5x +0.5x 8 x 5 x,x,x 0 50

8 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ Π.Γ.Π. ΣΕ ΤΥΠΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: Για να µετατρέψουµε το ΠΓΠ σε κανονική µορφή, προσθέτουµε σε κάθε περιορισµό µια τεχνητή, s, s, s, s 4 (αφού όλοι οι περιορισµοί είναι της µορφής ). Η τυπική µορφή του προβλήµατος είναι: Row 0: z-60x -0x -0x =0 Row : 8x +6x +x +s =48 Row : 4x +x +.5x +s =0 Row : x +.5x +0.5x +s =8 x 5 Με απλή επισκόπηση µπορούµε να δούµε πως για x =x =x =0 µπορούµε να επιλύσουµε ως προς s, s, s, s 4 οπότε z=0, s =48, s =0, s =8, s 4 =5. (δηλαδή s i =δεξιό µέλος περιορισµού (rhs)). Τότε BV={s, s, s, s 4 } και NBV={x, x, x }. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στη γραµµή 0 (Row 0), η z έχει συντελεστή 0 οπότε θεωρούµε ως σύµβαση ότι ανήκει στη βάση. Άρα µπορεί να θεωρηθεί ότι BV={z, s, s, s, s 4 } και NBV={x, x, x }. Κάθε βασική της αρχικής βασικής λύσης (ή βάσης) έχει συντελεστή σε γραµµή όπου είναι βασική και 0 σε γραµµή όπου δεν είναι, οπότε το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή. Η θεώρηση όλων των x i =0 ως εκκίνηση για την εύρεση της πρώτης βασικής δυνατής λύσης είναι η συνήθης πρακτική για την εφαρµογή του αλγόριθµου. Πρέπει να εξετάσουµε αν η αρχική βασική δυνατή λύση αυτή είναι βέλτιστη ή αλλιώς αν µια συµπληρωµατική δυνατή βασική λύση της αρχικής µπορεί να αυξήσει το z. Παρατηρούµε ότι για την εξίσωση της αντικειµενικής συνάρτησης, αν αυξήσουµε µια µη βασική από τις x,x, x κατά µία µονάδα και διατηρήσουµε τις υπόλοιπες ίσες µε το 0, η τιµή του z θα αυξηθεί κατά 60, 0, 0. Αφού η αύξηση της x προκαλεί την µεγαλύτερη αύξηση του z, θα πρέπει να γίνει βασική. Η x θα εισαχθεί στη βάση. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι στη γραµµή 0 η x έχει τον πλέον αρνητικό συντελεστή. 5

9 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΥ ΘΑ ΕΙΣΕΛΘΕΙ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Επιλέγεται η µη βασική µε τον πλέον αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 (αν υπάρχουν περισσότερες µε τον ίδιο συντελεστή ο οποίος είναι ο πλέον αρνητικός, η επιλογή γίνεται κατά βούληση). Επιθυµούµε την µέγιστη αύξηση του x. Αλλαγή του x σηµαίνει και αλλαγή των τιµών των s, s, s, s 4. ιατηρώντας τις x, x =0, προσπαθούµε να εξετάσουµε ποια είναι η µέγιστη δυνατή αύξηση του s. Είναι s =48-8x 0 ή x 48/8=6 (Row ), s =0-4x 0 ή x 0/4=5 (Row ), s =8-x 0 ή x 8/=4 (Row ), s 4 =5 (Row 4) αφού ο τελευταίος περιορισµός είναι ανεξάρτητος του x. Για να διατηρηθούν όλες οι βασικές µεταβλητές µη αρνητικές, η µεγαλύτερη δυνατή αύξηση που µπορεί να επιτευχθεί στο x είναι η ελάχιστη των 48/8, 0/4, 8/, δηλαδή η 8/=4. Για κάθε γραµµή, η αντίστοιχη τιµή (48/8,...) δείχνει τη µέγιστη δυνατή αύξηση του x για την οποία θα παραµείνουν µη αρνητικές οι s, s, s, s 4. Η κανονική µορφή του ΠΓΠ για την αρχική βάση απεικονίζεται ως εξής: Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z -60x -0x -0x =0 z=0 Row 8x +6x +x +s =48 s =48 Row 4x +x +.5x +s =0 s =0 Row x +.5x +0.5x +s =8 s =8 Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Μπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι το πόσο µπορεί να αυξηθεί το x (οπότε και η αντικειµενική συνάρτηση) εξαρτάται από τον συντελεστή τον οποίο έχει σε κάθε γραµµή, εφόσον ο συντελεστής αυτός είναι θετικός. Παράλληλα, σε κάθε γραµµή, η τιµή της βασικής ς γινόταν αρνητική όταν η εισερχόµενη βασική υπερέβαινε την ποσότητα: εξιό µέλος γραµµής Συντελεστής εισερχόµενης ς στη βάση για την ίδια γραµµή H παραπάνω αναλογία είναι το κριτήριο για την εισαγωγή µιας µη βασικής ς στη βάση. Η γραµµή στην οποία η αναλογία έχει την µικρότερη θετική τιµή, είναι αυτή στην οποία εισέρχεται η νέα βασική στη θέση της παλαιότερης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εφόσον ο συντελεστής της εισερχόµενης ς είναι µηδέν ή αρνητικός, δεν είναι απαραίτητο και δεν υπολογίζεται η αναλογία (γιατί;). 5

10 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, για το κριτήριο έχουν υπολογιστεί οι τιµές: Row : Αναλογία για το x =48/8=6 Row : Αναλογία για το x =0/4=5 Row : Αναλογία για το x =8/=4 Row 4: Συντελεστής του x =0 οπότε δεν εξετάζεται η αναλογία. Η µικρότερη τιµή της αναλογίας είναι 4 και εµφανίζεται στη γραµµή. Συνεπώς, η x εισέρχεται στη γραµµή (Row ), στη θέση της βασικής ς s. Τότε NBV={s,x,x } και BV={z,s,s,x,s 4 }. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εφόσον η αναλογία είναι η ίδια σε δύο ή περισσότερες γραµµές και είναι η ελάχιστη, η επιλογή της γραµµής όπου θα εισέλθει η νέα βασική γίνεται τυχαία. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Χρησιµοποιώντας βασικές αλγεβρικές πράξεις (γραµµοπράξεις) έχουµε ως στόχο το να αποκτήσει η νέα η οποία εισέρχεται στη βάση, συντελεστή ίσο µε στη γραµµή όπου εισέρχεται και συντελεστή 0 σε όλες τις άλλες γραµµές (η διαδικασία ονοµάζεται στα αγγλικά Pivoting). Το αποτέλεσµα είναι ότι η νέα αντικαθιστά την παλαιά, δηλαδή η x την s και το ΠΓΠ µετατρέπεται σε νέα κανονική µορφή. Στο παράδειγµά µας θα έχουµε τις παρακάτω γραµµοπράξεις: ΓΠ: Row = ½ Row (συντελεστής για τη x στη γραµµή ) => x +0.75x +0.5x +0.5s =4 ΓΠ: Row0 =Row0 + 60Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή 0 ) => z+5x -5x +0s =40 ΓΠ: Row =Row-8Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή ) => -x +s -4s =6 ΓΠ4: Row =Row-4Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή ) => -x +0.5x +s -s =4 ΓΠ5 Row4 =Row4+0Row (αφού η x δεν υπάρχει στη γραµµή 4 ) => x +s 4 =5 H νέα κανονική µορφή θα έχει: και θα απεικονίζεται ως: NBV={s,x,x } και BV={z,s,s,x,s 4 }. 5

11 Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z -60x -0x -0x =0 z=0 Row 8x +6x +x +s =48 s =48 Row 4x +x +.5x +s =0 s =0 Row x +.5x +0.5x +s =8 s =8 Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Για την κανονική µορφή αυτή, είναι z=40, s =6, s =4, x =4, s 4 =5. (η τιµή του z προκύπτει από την Row0 το δεξιό µέλος, οι τιµές των λοιπών βασικών µεταβλητών αν θέσουµε όλες τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε 0). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η νέα κανονική µορφή δίνει βελτιωµένη λύση σε σχέση µε την προηγούµενη. Η νέα µε την παλιά κανονική µορφή έχουν συµπληρωµατικές δυνατές βασικές λύσεις, αφού έχουν m-=4- = κοινές βασικές µεταβλητές (s, s, s 4 ). ηλαδή, η διαδικασία ουσιαστικά είναι η δηµιουργία µιας καλύτερης συµπληρωµατικής βασικής δυνατής λύσης από την προηγούµενη. Εξετάζουµε στη συνέχεια αν µπορούµε να βρούµε αν κάποια από τις µη βασικές µεταβλητές µπορεί να προκαλέσει αύξηση στην τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης (του z) και να εισέλθει στη βάση. Ο συντελεστής της µη βασικής ς s είναι 0 (0 στην κανονική µορφή), συνεπώς (για x =x =0) για αύξηση κατά της s η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται. Όµοια, ο συντελεστής της µη βασικής ς x είναι 5 (5 στην κανονική µορφή), συνεπώς (για x =s =0) για αύξηση κατά της s η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται. Αντίθετα, ο συντελεστής της µη βασικής ς x (για x =s =0) είναι 5 (-5 στην κανονική µορφή), οπότε αύξηση της x κατά, προκαλεί αύξηση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης. Συνεπώς, επιθυµούµε να εισάγουµε την x στη βάση, αυξάνοντάς την τόσο όσο οι παρούσες βασικές µεταβλητές να παραµείνουν θετικές. Αυτό, όπως αναφέρθηκε και πριν, εξετάζεται µε το κριτήριο της αναλογίας. ηλαδή: Row : Η x έχει αρνητικό συντελεστή οπότε δεν υπολογίζεται αναλογία. 4 Row : = Row : = Row4 : Η x έχει µηδενικό συντελεστή οπότε δεν υπολογίζεται αναλογία. 54

12 Συνεπώς, η x θα εισέλθει στη βάση στη γραµµή (Row ), στη θέση της ς s. Εφαρµόζοντας γραµµοπράξεις: ΓΠ: Row =Row (συντελεστής για τη x στη γραµµή )=> -x +x +s -4s =8 ΓΠ: Row0 =Row0 +5Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή 0 )=> z+5x +0s +0s =80 ΓΠ: Row =Row +Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή )=> -x +s +s -8s =4 ΓΠ4: Row =Row -0.5Row (συντελεστής 0 για τη x στη γραµµή )=> x +.5x -0.5s +.5s = ΓΠ5: Row4 =Row4 +0Row (αφού η x δεν υπάρχει στη γραµµή 4 )=> x +s 4 =5 Οι νέες βασικές και µη βασικές µεταβλητές θα είναι: Και θα έχουν τιµές BV={z, s, x, x,s 4 } και NBV={s, s, x }. z=80, s =4, x (η τιµή του z προκύπτει από την Row0 το δεξιό µέλος, οι τιµές των λοιπών βασικών µεταβλητών αν θέσουµε όλες τις µη βασικές µεταβλητές ίσες µε 0). Η νέα κανονική µορφή θα είναι: Γραµµή Βασική Μεταβλητή Row 0 z +5x +0s +0s =80 z=80 Row -x +s +s -8s =4 s =4 Row -x +x +s -4s =8 x =8 Row x +.5x -0.5s +.5s = x = Row 4 x + s 4 =5 s 4 =5 Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω κανονική µορφή, οποιαδήποτε της γραµµής 0 (της αντικειµενικής συνάρτησης) και αν αυξηθεί, λόγω του προσήµου των συντελεστών αυτής, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης θα µειωθεί (να επιβεβαιωθεί ως άσκηση). Αυτό µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι έχουµε καταλήξει στη βέλτιστη λύση. 55

13 Γενικά: Η κανονική µορφή ενός ΠΓΠ αποδίδει βέλτιστο αποτέλεσµα (σε πρόβληµα µεγιστοποίησης), αν όλες οι µη κανονικές µεταβλητές έχουν µη αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 της κανονικής µορφής. Συνοπτικά τα βήµατα του αλγόριθµου είναι τα παρακάτω: Μετατρέπουµε το ΠΓΠ σε κανονική µορφή. Βρίσκουµε µια αρχική βασική δυνατή λύση. Αυτό είναι εύκολο αν όλοι οι περιορισµοί είναι οπότε η αρχική βάση είναι το σύνολο των τεχνητών µεταβλητών (όπως στο προηγούµενο παράδειγµα). Αν δεν είναι δυνατή η µε απλή εποπτεία εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης, εφαρµόζεται η µέθοδος «Big-M», η οποία αναλύεται παρακάτω (ή κάποια άλλη µέθοδος της βιβλιογραφίας). Αν όλες οι µη βασικές µεταβλητές στη γραµµή της αντικειµενικής συνάρτησης (Row 0) έχουν µη αρνητικούς συντελεστές (για πρόβληµα µεγιστοποίησης) η λύση είναι βέλτιστη. Αν υπάρχουν µεταβλητές µε αρνητικούς συντελεστές, επιλέξτε την µε τον πιο αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 για να εισέλθει στη βάση (να γίνει δηλαδή βασική ). Χρησιµοποιείστε το κριτήριο αναλογίας για να διαλέξετε τη γραµµή περιορισµών στην οποία θα εισέλθει ως βασική η και την ήδη βασική την οποία θα αντικαταστήσει. Πραγµατοποιείστε τις κατάλληλες γραµµοπράξεις για να αποκτήσει το ΠΓΠ πάλι κανονική µορφή. Επιστρέψτε στο προηγούµενο βήµα. ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ισχύει ότι: Τιµή z νέας δυνατής βασικής λύσης= τιµή z προηγούµενης δυνατής βασικής λύσης + (τιµή νέας ς που εισέρχεται στη βάση) x (συντελεστής της ς αυτής στη γραµµή 0) Απεικόνιση µε Πίνακα (Τableau ) Ο πίνακας αποτελεί µια ευκολότερη απεικόνιση της κανονικής µορφής του ΠΓΠ σε κάθε στάδιο. Περιλαµβάνει τους συντελεστές των αριστερών µελών των γραµµών και τα δεξιά µέλη, διευκολύνει δε στην πραγµατοποίηση γραµµοπράξεων και στην πιο συνοπτική επίλυση του προβλήµατος. Στη συνέχεια, οι όποιες επιλύσεις και κανονικές µορφές θα δίνονται µε πίνακες. Επίλυση µε πίνακα του προηγούµενου παραδείγµατος φαίνεται παρακάτω: 56

14 Πίνακας 5.4..α. Αρχικός πίνακας. ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Αναλογία /8= /4= /=4 ελάχιστο Πίνακας 5.4..β. Πρώτη κανονική µορφή πίνακα. Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ z x x x s s s s 4 RHS Αναλογία /0.5= /0.5=6 ελάχιστο Πίνακας 5.4..γ. Τελική µορφή πίνακα. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =5 57

15 4.4.. Προβλήµατα Ελαχιστοποίησης Τα προβλήµατα ελαχιστοποίησης λύνονται όπως και τα προβλήµατα µεγιστοποίησης µε µικρές τροποποιήσεις. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Min z=x -x s.t. x +x 4 x -x 6 x, x Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Θέτουµε w=-z και επιλύουµε το πρόβληµα ως πρόβληµα µεγιστοποίησης. Για το δοσµένο παράδειγµα, το ΠΓΠ θα γίνει: w=-z=-x +x οπότε Max w= -x +x s.t. x +x 4 x -x 6 x, x Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο Simplex µε τις εξής τροποποιήσεις: Αν όλες οι µη βασικές µεταβλητές στη γραµµή 0 έχουν µη θετικούς συντελεστές, τότε έχει βρεθεί βέλτιστη λύση στο ΠΓΠ Η µη βασική που έχει τον µεγαλύτερο θετικό συντελεστή στη γραµµή 0 εισέρχεται στη βάση σύµφωνα µε το κριτήριο αναλογίας (ως έχει) ΙΑΦΟΡΕΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Ένα ΠΓΠ µπορεί να έχει περισσότερες της µιας βέλτιστες λύσεις. Με τη βοήθεια του αλγόριθµου µπορούµε να εξετάσουµε αν υπάρχουν εναλλακτικές λύσεις σε κάποιο ΠΓΠ Ας πάρουµε τον τελικό πίνακα του παραδείγµατος που χρησιµοποιήσαµε για την επίδειξη του αλγορίθµου: 58

16 Πίνακας α. Τελικός πίνακας. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =5 Για να είναι βασικές οι µεταβλητές, πρέπει να έχουν, όπως προαναφέρθηκε, µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0. Αν παρατηρήσουµε όµως τον πίνακα του παραδείγµατος, θα δούµε ότι στη γραµµή 0 υπάρχει και µια µη βασική, η x, η οποία έχει µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0. Εφόσον θελήσουµε να εισάγουµε την x στη βάση, θα εισαχθεί στη γραµµή, αντί της βασικής ς x (γιατί?). Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο παρακάτω: Πίνακας β. Τελικός πίνακας. ΤΕΛΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟΥ X ΣΤΗ ΒΑΣΗ z x x x s s s s 4 RHS Βασική z= s = x = x = s 4 =.4 Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι επειδή το x έχει µηδενικό συντελεστή στη γραµµή 0 του πρώτου βέλτιστου πίνακα, η εισαγωγή του x στη βάση, δεν αλλάζει τη γραµµή 0. Συνεπώς όλες οι µεταβλητές στη νέα γραµµή 0 συνεχίζουν να έχουν µη αρνητικές µεταβλητές, οπότε και ο νέος πίνακας SIMPEX είναι βέλτιστος, µε z=70, s =7., x =., x =.6, s 4 =.4. Γενικά: Αν µια µη βασική στην γραµµή 0 του τελικού βέλτιστου πίνακα έχει συντελεστή 0, τότε το ΠΓΠ έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. 59

17 ΜΗ ΦΡΑΓΜΕΝΑ Π.Γ.Π. Υπάρχουν ΠΓΠ στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση δεν είναι φραγµένη από τους περιορισµούς. Τα προβλήµατα αυτά µπορούν να εντοπιστούν από τον αλγόριθµο. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=6x +0x -x -4x 4 s.t. x +x -x 5 6x +5x -x 4 0 x, x, x, x 4 0 Ο αρχικός πίνακας του προβλήµατος είναι ο παρακάτω: Πίνακας α. Αρχικός πίνακας. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= s =5 5/ s =0 0/6 Εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο, οι δύο επόµενοι πίνακες είναι οι παρακάτω: Πίνακας β. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= /6 - /6 -/6 0/ s =0/ (0/)/(/6)=0 0 5/6 0 -/6 0 /6 5/ x =5/ - Πίνακας γ. Τελικός πίνακας. z x x x x 4 s s RHS Βασική Αναλογία z= x 4 = x =5 - Στον τελευταίο πίνακα παρατηρούµε ότι δεν είναι δυνατόν να εφαρµοστεί το κριτήριο της αναλογίας. Αν εξετάσουµε αναλυτικότερα τον πίνακα, η µόνη µη βασική που µπορεί να εισέλθει στη βάση είναι η x. 60

18 Η x σχετίζεται µε τις βασικές µεταβλητές x, x 4 ως εξής: x 4 =0+6x x =5+x Οποιαδήποτε αύξηση του x, σηµαίνει αύξηση των x, x 4, απεριόριστα, αφού τα x, x 4 θα είναι πάντα θετικά. Συνεπώς, για οποιαδήποτε τιµή του x, τα x και x 4, οπότε και το z, αυξάνουν απεριόριστα. Από το παράδειγµα προκύπτει ο εξής κανόνας για µη φραγµένα ΠΓΠ Ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης είναι µη φραγµένο αν µια µε αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0 (η οποία είναι προφανώς µη βασική), έχει µη θετικό συντελεστή σε κάθε άλλη γραµµή. Γενικά, ο απλούστερος τρόπος για να εντοπιστεί κάποιο πρόβληµα αυτού του είδους είναι να καταλήξουµε σε κάποιο πίνακα όπου δεν µπορεί να εφαρµοστεί το κριτήριο αναλογίας Εκφυλισµός του Αλγόριθµου Θεωρητικά, ο αλγόριθµος µπορεί να αποτύχει στην εύρεση βέλτιστης λύσης. Παρόλα αυτά κάτι τέτοιο δεν είναι σύνηθες. Η αποτυχία βέλτιστης λύσης εξαρτάται κυρίως από την παρακάτω σχέση, η οποία συνδέει τη νέα δυνατή βασική ενός προβλήµατος µεγιστοποίησης µε την προηγούµενη αυτής (µετά από µια επανάληψη του αλγόριθµου ). Τιµή z για νέα δυνατή βασική λύση = Τιµή z προηγούµενης δυνατής βασικής λύσης (τιµή ς που εισέρχεται στη βάση) x (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0). (*) Στην παραπάνω σχέση (*), κάθε αύξηση κατά µία µονάδα της ς που εισέρχεται στη βάση αυξάνει το z κατά (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0), αφού (τιµή συντελεστή ς που εισέρχεται στη βάση, στη γραµµή 0)<0 και (τιµή ς που εισέρχεται στη βάση) 0. Συνδυάζοντας αυτά µε τη σχέση (*), µπορούµε να λάβουµε τα εξής συµπεράσµατα: Αν η τιµή της εισερχόµενης ς στη βάση είναι >0, τότε η νέα τιµή z είναι µεγαλύτερη της προηγούµενης. Αν η τιµή της εισερχόµενης ς στη βάση είναι =0, τότε η νέα τιµή z είναι ίση µε την προηγούµενη. Ορισµός Αν σε κάθε µία από τις δυνατές βασικές λύσεις ενός ΠΓΠ, όλες οι µεταβλητές είναι αυστηρά θετικές, το ΠΓΠ είναι µη εκφυλισµένο. Σε ένα ΠΓΠ που είναι µη εκφυλισµένο, σύµφωνα µε την προηγούµενη περίπτωση, κάθε επανάληψη του αλγόριθµου θα αυξήσει το z. Συνεπώς, 6

19 η συνέχιση των επαναλήψεων δεν πρόκειται να επιστρέψει σε προηγούµενη βασική δυνατή λύση (γιατί?). Αφού όπως προαναφέρθηκε, ο αλγόριθµος έχει πεπερασµένο αριθµό βασικών δυνατών λύσεων και δεν πρόκειται να επαναληφθεί βασική δυνατή λύση, µπορούµε να συµπεράνουµε ότι σε ένα µη εκφυλισµένο ΠΓΠ βέλτιστη λύση θα βρεθεί (αν υπάρχει), σε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων. Παρόλα αυτά, ο αλγόριθµος µπορεί να αποτύχει στην επίλυση ενός εκφυλισµένου ΠΓΠ Ορισµός Ένα ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο όταν υπάρχει τουλάχιστον µια δυνατή βασική λύση για την οποία µια βασική ισούται µε µηδέν. Το παρακάτω ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο: Max z =5x +x s.t. x +x 0 x +x 0 x, x Παρακάτω φαίνονται οι πίνακες επίλυσης του παραδείγµατος: Πίνακες 4.4..α., β., γ. ΑΡΧΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= s = s =0 0* Η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= s =6 6/=* x =0 - Η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ z x x s s RHS Βασική Αναλογία z= x = x = Στον αρχικό πίνακα, η βασική s είναι ίση µε το µηδέν, οπότε το ΠΓΠ είναι εκφυλισµένο. Στον δεύτερο πίνακα, όπου έχει εισέλθει η x στη βάση, είναι επίσης ίση µε το µηδέν. Και στις δύο 6

20 περιπτώσεις, η τιµή του z παραµένει η ίδια. Στην τρίτη επανάληψη, επιτυγχάνεται η βέλτιστη λύση. Το γεγονός της πιθανής διατήρησης της ίδιας τιµής για την αντικειµενική συνάρτηση (όπως φαίνεται από τις δυο επαναλήψεις του παραδείγµατος), για συνεχόµενες εναλλαγές βάσεων, σε ένα εκφυλισµένο ΠΓΠ λέγεται κυκλική εναλλαγή (cycling). Παρόλα αυτά υπάρχουν τεχνικές οι οποίες µπορούν να αποτρέψουν το γεγονός αυτό, οι οποίες ξεφεύγουν από το σκοπό του κειµένου αυτού Η Μέθοδος Big-M Όπως αναλύθηκε προηγουµένως, για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος, πρέπει να έχει βρεθεί µια αρχική δυνατή βασική λύση. Παρόλα αυτά, σε περιπτώσεις όπου οι περιορισµοί είναι ισότητες ή ανισότητες του τύπου, µπορεί να είναι δύσκολη η εύρεση αρχικής δυνατής βασικής λύσης. Για τον λόγο αυτόν χρησιµοποιείται η µέθοδος Big-M η οποία προσθέτει βοηθητικές µεταβλητές για την εύρεση αρχικής λύσης. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Min z=x +x s.t. ½ x + ¼ x 4 x +x 0 x +x =0 x, x 0 Μετατρέπουµε το παραπάνω ΠΓΠ σε τυπική µορφή, προσθέτοντας µια τεχνητή s στον ο περιορισµό και µια e στον ο περιορισµό, οπότε η τυπική µορφή του ΠΓΠ είναι η: Row0: z-x -x =0 Row: ½ x +¼ x +s =4 Row: x +x -e =0 Row: x +x =0 x, x, s, e 0 Εξετάζουµε την τυπική µορφή για την εύρεση µιας βασικής δυνατής αρχικής λύσης. Από τη γραµµή, αν θεωρήσουµε x =x =0, είναι s =4 οπότε η s θα µπορούσε να θεωρηθεί βασική δυνατή. Όµως, η γραµµή για x =x =0, δίνει e =-0 που δεν είναι αποδεκτό αφού e 0. Τέλος, η γραµµή δεν δίνει πληροφορίες για αρχική βασική δυνατή λύση. Για να επιλυθεί το πρόβληµα, προσθέτουµε σε κάθε γραµµή όπου δεν είναι δυνατή η εύρεση µιας βασικής δυνατής ς µια βοηθητική a i που αντιστοιχεί στη γραµµή i όπου δεν είναι δυνατή η εύρεση δυνατής βασικής ς. 6

21 Στο παράδειγµά µας, προστίθενται οι βοηθητικές µεταβλητές a και a : z-x -x =0 ½ x +¼ x +s =4 x +x -e +a =0 x +x +a =0 Μπορούµε να λάβουµε συνεπώς µια αρχική βασική δυνατή λύση, z=0, s =4, a =0, a =0. υστυχώς όµως, η βέλτιστη λύση του νέου ΠΓΠ δεν είναι σίγουρο ότι είναι η ίδια και στο αρχικό. Για τον λόγο αυτόν, επιθυµούµε οι βοηθητικές µεταβλητές να είναι ίσες µε το µηδέν στη βέλτιστη λύση του νέου ΠΓΠ ώστε αυτό να είναι ισοδύναµο µε το αρχικό. Έτσι, στην αντικειµενική συνάρτηση του νέου ΠΓΠ, αν αυτό είναι πρόβληµα ελαχιστοποίησης, προσθέτουµε για κάθε βοηθητική έναν όρο Μa i (αν είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης προσθέτουµε έναν όρο Ma i ), όπου Μ ένας «µεγάλος» θετικός αριθµός (εξ ου και η ονοµασία Big M). Θεωρώντας ότι µια πολύ µεγάλη ποσότητα είναι συνάρτηση της βοηθητικής ς, στη βέλτιστη λύση είναι αναµενόµενο οι βοηθητικές µεταβλητές να είναι ίσες µε µηδέν. Τότε η λύση του νέου προβλήµατος είναι και λύση του αρχικού. Αν παρόλα αυτά, οι βοηθητικές µεταβλητές στον τελικό πίνακα λάβουν θετικές τιµές, το αρχικό πρόβληµα δεν έχει δυνατή λύση. Η αντικειµενική συνάρτηση θα είναι η εξής: Min z=x +x +Ma +Ma ή z-x -x -Ma -Ma =0 Τα βήµατα της µεθόδου Big-M φαίνεται παρακάτω: Τροποποιήστε τα δεξιά µέλη των περιορισµών ώστε να είναι θετικά (π.χ. πολλαπλασιάζοντας και τα δυο µέλη µε -, προσοχή στη φορά της ανισότητας και τα πρόσηµα). Μετά την τροποποίηση, εξετάστε ποιοί περιορισµοί είναι ή =. Μετατρέψτε όλες τις ανισότητες σε τυπική µορφή (προσθέστε τεχνητές µεταβλητές). Αν ένας περιορισµός i ήταν της µορφής = ή πριν τη µετατροπή του σε τυπική µορφή, προσθέστε βοηθητική a i 0. Έστω Μ ένας πολύ µεγάλος θετικός. Για πρόβληµα ελαχιστοποίησης, προσθέστε για κάθε βοηθητική a i, την ποσότητα Μa i. Για πρόβληµα µεγιστοποίησης, προσθέστε για κάθε βοηθητική a i, την ποσότητα -Μa i. Αφού κάθε βοηθητική είναι στην αρχική βάση, όλες οι βοηθητικές µεταβλητές πρέπει να εξαλειφθούν από τη γραµµή 0, ώστε να έχει το ΠΓΠ κανονική µορφή. Επιλύστε το νέο ΠΓΠ µε τον αλγόριθµο. Αν όλες οι βοηθητικές µεταβλητές είναι ίσες µε µηδέν στη βέλτιστη λύση, η βέλτιστη λύση είναι αυτή του αρχικού ΠΓΠ Αν υπάρχει κάποια θετική βοηθητική, το αρχικό ΠΓΠ δεν έχει λύση. 64

22 Θα χρησιµοποιήσουµε τα παραπάνω βήµατα για να επιλύσουµε το παράδειγµά µας: Όλοι οι περιορισµοί έχουν θετικό πρόσηµο στο δεξιό µέλος τους οπότε δεν χρειάζεται καµία τροποποίηση. Οι περιορισµοί και θα απαιτήσουν βοηθητικές µεταβλητές a, a. Επίσης, οι γραµµές και θα χρειαστούν τεχνητές µεταβλητές, s, e. Προσθέτουµε καταρχάς τις τεχνητές µεταβλητές x, x στην κανονική µορφή του ΠΓΠ: Min z= x +x Row: ½ x + ¼ x +s =4 Row: x +x e =0 Row: x +x =0 x, x, s, e 0 Προσθέτουµε βοηθητικές µεταβλητές a, a στους περιορισµούς,. Min z= x +x Row: ½ x + ¼ x + s = 4 Row: x +x e +a = 0 Row: x +x +a = 0 x, x, s, e, a, a 0 Μπορούµε συνεπώς να δούµε ότι η αρχική δυνατή βασική λύση είναι s =4, a =0 και a =0. To πρόβληµα που επιλύουµε είναι ελαχιστοποίησης, οπότε προσθέτουµε την ποσότητα Ma +Ma στην αντικειµενική συνάρτηση: Min z= x +x -Ma -Ma Οπότε η γραµµή 0 θα γίνει z-x -x -Ma -Ma =0. Οι µεταβλητές a και a πρέπει να αφαιρεθούν από τη γραµµή 0. Αυτό θα επιτευχθεί µε τη γραµµοπράξη: Row0 =Row0+M x Row + M x Row. Πράγµατι: Row0: z-x -x -Ma -Ma =0 M Row: Mx +Mx -Me +Ma =0M M Row: Mx +Mx +Ma =0M Row0 : z +(M-)x +(4M-)x -Me =0M Ο πίνακας της αρχικής κανονικής µορφής φαίνεται παρακάτω: 65

23 Πίνακας 4.4..α. Αρχικός πίνακας. z x x s e a a RHS Βασική Αναλογία M- 4M- 0 -M 0 0 0M z=0m 0 ½ ¼ s = a =0 0/ a =0 0 Αφού πρόκειται για πρόβληµα ελαχιστοποίησης, η µη βασική µε τον πιο θετικό συντελεστή πρέπει να εισέλθει στη βάση. Αφού 4Μ- >Μ-, η x πρέπει να εισέλθει στη βάση, στη γραµµή, µε βάση το κριτήριο αναλογίας. Ακολουθεί η εκτέλεση των γραµµοπράξεων για την αφαίρεση του x από τη γραµµή 0 (που είναι και η συνήθης δυσκολία στην εφαρµογή της µεθόδου Big-M). Αντικαθιστούµε τη γραµµή Row µε την Row =/ Row: Row : x + x e + a = 0 Αφαιρούµε τη x από τη γραµµή 0 µε τη γραµµοπράξη Row0 =Row0+(-4M)Row ( 4M) 4M)Row' = x + ( 4M)x ( 4M) e ( 4M) + a ( 0( 4M) = Row0 = z + (M )x + (4M )x Me = 0M (M ) (M ) ( 4M) M Row0' = z + x + e + a = Στη συνέχεια, µε την πραγµατοποίηση γραµµοπράξεων αφαιρούµε την x από τις γραµµές Row και Row και προκύπτει ο νέος πίνακας : 66

24 Πίνακας 4.4..β. Νέος πίνακας. z x x s e a a RHS M M 4M M Βασική M z = s = 7 x = 0 0 a = Αναλογία M M Στον νέο πίνακα, αφού, η x εισέρχεται στη βάση. Το κριτήριο αναλογίας δείχνει ότι η x θα εισέλθει στην γραµµή (Row ), του πίνακα, αντί της ς a. Ακολουθούν οι γραµµοπράξεις και ιδιαίτερα η αφαίρεση του x από τη γραµµή 0: Αντικαθιστούµε τη γραµµή Row µε τη γραµµή Row = Row οπότε η νέα γραµµή θα είναι: Row' : x + e a + a = Αφαιρούµε το x από τη γραµµή 0 µε τη γραµµοπράξη 5 ( M) Row0' = Row0 + Row' (M ) (M ) ( 4M) M Row0: z + x + e + a = ( M) ( M) ( M) (M ) ( M) Row = Row' = x + e + a + a 6 6 e ( M) ( M) Row0 = z + a + a = 5 5 0M = Ανάλογα, υπολογίζονται οι νέες γραµµές και οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας : 67

25 Πίνακας 4.4..γ. Νέος πίνακας. z x x s e a a RHS M 8 M 5 8 Βασική 5 z = 5 4 s = 4 5 x =5 5 x =5 Όλοι οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή 0 είναι µη θετικές και οι τιµές όλων των βοηθητικών µεταβλητών είναι ίσες µε το µηδέν, οπότε η λύση είναι βέλτιστη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ένα ΠΓΠ που επιλύεται µε την µέθοδο Big-M δεν έχει βέλτιστη λύση αν κάποια βοηθητική έχει θετική τιµή στον τελικό πίνακα. Λόγου χάρη στο παρακάτω παράδειγµα: Min z=x +x s.t. ½ x + ¼ x 4 x +x 6 x +x = 0 x, x 0 η επίλυση µε την µέθοδο Big-M δίνει τον παρακάτω τελικό πίνακα : Πίνακας 4.4..δ. Τελικός πίνακας. z x x s e a a RHS Βασική -M 0 0 -M 0-4M 0+6M Z=6M s = a = x =0 Στον παραπάνω πίνακα, όλες οι µη βασικές µεταβλητές της γραµµής 0 είναι µη θετικές, παρόλα αυτά στη βάση ανήκει η βοηθητική a =6 η οποία είναι θετική, οπότε το ΠΓΠ δεν έχει δυνατή λύση. 68

26 Εκτός της µεθόδου Big M, υπάρχουν και άλλες µέθοδοι για την επίλυση ΠΓΠ όπου δεν υπάρχει προφανής αρχική βασική δυνατή λύση, όπως η µέθοδος δύο φάσεων (Two phase Simplex method) κ.ά Μεταβλητές χωρίς περιορισµό προσήµου Κατά την εφαρµογή του αλγόριθµου, χρησιµοποιείται το κριτήριο αναλογίας για να εισαχθεί µια στη βάση. Όπως αναλύθηκε προηγουµένως, για να εφαρµοστεί το κριτήριο αναλογίας, θα πρέπει οι µεταβλητές να µην είναι αρνητικές. Έτσι, αν υπάρχουν στο πρόβληµα µεταβλητές χωρίς πρόσηµο, πρέπει να γίνει κατάλληλος µετασχηµατισµός ώστε όλες οι µεταβλητές να είναι θετικές. Για κάθε x i χωρίς πρόσηµο, ορίζουµε δυο θετικές µεταβλητές, και θέτουµε x i =x i -x i. Αντικαθιστούµε στο ΠΓΠ την αυτή µε αυτές του µετασχηµατισµού και προσθέτουµε τους περιορισµούς x i 0 και x i 0. Παρόλα αυτά, µπορεί να αποδειχθεί ότι σε µια βασική δυνατή λύση δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα x i >0 και x i >0. Έτσι έχουµε τις τρεις παρακάτω περιπτώσεις: x i '>0 και x i =0. Αυτό ισχύει όταν x i >0 οπότε x i =x i. x i '=0 και x i >0. Αυτό ισχύει όταν x i <0 οπότε x i =-x i. x i =x i =0 οπότε x i =0. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=0x -4x s.t. 5x -x 0 x 5 x 0, x χωρίς πρόσηµο (urs) Θέτουµε x =x -x οπότε το ΠΓΠ γίνεται: Max z=0x -4x +4x s.t. 5x -x +x 0 x 5 x, x,x 0 Επιλύουµε το ΠΓΠ µε την µέθοδο. Οι πίνακες ακολουθούν: 69

27 Πίνακες α, β, γ. Αρχικός Πίνακας z x x x s s RHS Βασική Αναλογία Z= s = s =5 5 η Επανάληψη z x x x s s RHS Βασική Αναλογία Z= s = x =5 - η Επανάληψη - Βέλτιστος Πίνακας z x x x s s RHS Βασική Z= x = x =5 Στους παραπάνω πίνακες µπορεί να παρατηρηθεί ότι η στήλη x είναι αντίθετη της x, κάτι που συµβαίνει γενικά σε ΠΓΠ αυτού του είδους (γιατί?). Η τελική επίλυση δίνει z=70, x =5, x =5, x =0, s =s =0, οπότε και x =- 5. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι δύο µεταβλητές x και x δεν µπορεί να είναι βασικές στον ίδιο πίνακα. Αν η x λόγου χάρη είναι βασική, θα έχει σε όλες τις γραµµές συντελεστή ίσο µε 0, εκτός αυτής της γραµµής όπου θα έχει εισέλθει στη βάση και θα έχει συντελεστή ίσο µε. Σε κάθε περίπτωση τότε η x θα έχει συντελεστές αντίθετους, δηλαδή 0 παντού και - στη γραµµή όπου η x έχει εισέλθει στη βάση, οπότε δεν µπορεί να είναι βασική. 70

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Αλγόριθµος της Simplex

Ο Αλγόριθµος της Simplex Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Αρχικοποίηση : Επέλεξε έναν αντιστρέψιµο πίνακα B (m m) έτσι ώστε x

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC.

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. 1. Πρώτη µέθοδος περιγραφής του συστήµατος, µέσω ολοκληρωτικοδιαφορικών εξισώσεων. Έστω ένα κύκλωµα L,C,R εν σειρά µε πηγή τάσης. Το κύκλωµα αυτό το θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Σύντοµες Σηµειώσεις Γιώργος Μανής Νοέµβριος 2012 Αλγόριθµοι και Λογικά ιαγράµµατα Αλγόριθµος λέγεται µία πεπερασµένη διαδικασία καλά ορισµένων ϐηµάτων µου ακολουθείται για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μελέτες Περίπτωσης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μελέτες Περίπτωσης ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μελέτες Περίπτωσης Μελέτη Περίπτωσης για την εκτίµηση της παραγωγικότητας των γεωτρήσεων (Χρήση IR) Περίπτωση 1: Κορεσµένος Ταµιευτήρας ( < ) Γεώτρηση παράγει από ταµιευτήρα

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα