Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1"

Transcript

1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

2 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex tableαu) για τη διαδικασία επίλυσης Πραγματοποιούνται «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών που οδηγούν στη διαμόρφωση των διαδοχικών πινάκων simplex Κάθε πίνακας simplex αντιστοιχεί σε μία κορυφή της εφικτής περιοχής Πρακτικά, ελέγχονται οι βασικές εφικτές λύσεις και αποκαλύπτεται η άριστη, πραγματοποιώντας «άλματα» μεταξύ γειτονικών κορυφών (ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων) Ενσωματώνει τη διαδικασία Gauss - Jordan στη φάση βελτίωσης της τρέχουσας λύσης 2

3 Γενική μορφή του μοντέλου Maximize/Minimize με περιορισμούς a a z = c x + c x + L+ 11 x1 + a12 x2 + L + a1 n xn = / 21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = / / b / b. a x + a x + + a x / = / m1 1 m2 2 L mn και x 1 0, x 2 0, L, xn 0. n b 1 2 m c x n n 3

4 Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης Maximize με περιορισμούς a x + a x + L + a z = c x + c x + L a1 n xn b1 21x1 + a22x2 + L + a2n xn b2 a x + a x + L + a m1 και 1 m mn x 1 0, x 2 0, L, xn 0. 2 x n 2 b m c n x n 4

5 Κανονική μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maximize Z = 150X X2 Με περιορισμούς: 1) Χ1 + Χ2 < 550 (διαθέσιμο γάλα) 2) Χ1 + 3Χ2 < 1000 (εργασία σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ2 < 2000 (δυναμικότητα συστήματος ψύξης) 4) Χ1 < 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) και Χ1, Χ2 > 0 (μη αρνητικότητα) 5

6 Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Maximize με περιορισμούς x + a x + L + a a1 n xn + s1 = b1 a21x1 + a22 x2 + L + a2n xn + s2 = b2 a m1 x 1 + a x + L+ m2 z = c x + c x + L + 2 a mn και x 1 0, x 2 0, L, xn 0, 1 1 x n s m = b m c n x n s 1 0, s 2 0, L, sm 0 6

7 Τυποποιημένη μορφή του πρότυπου παραδείγματος Maximize Με περιορισμούς: z = 150 x + s x 1 + x2 + 1s = x + 3x s 0 0 x + 5x s = = x s 4 = x1, x2, s1, s2, s3, s x2 + 0s1 + 0s2 + 0s

8 8

9 9

10 Σύστημα m εξισώσεων και n+m αγνώστων (n μεταβλητές απόφασης και m χαλαρές μεταβλητές) Στόχος: επίλυση του συστήματος, εντοπίζοντας τη βασική εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Το σύστημα είναι αόριστο Στο πρότυπο παράδειγμα: Εξισώσεις: m=4 - Αγνωστοι: n+m=2+4=6 Στη μέθοδο simplex εκχωρείται το μηδέν σε n από τις μεταβλητές και επιλύουμε ως προς τις υπόλοιπες 10

11 Στο παράδειγμα (1): Αν θέσουμε x 2 = 0 και s 4 = 0 θα πάρουμε: x s1 = x + + 1s = 2x s3 = x = Άρα, x 1 = 400 οπότε s 1 = 150, s 2 = 600 και s 3 = Ακραίο σημείο Β(400, 0), δηλαδή είναι η βασική εφικτή λύση: ( s4 x, x, s, s, s, ) = (400, 0,150, 600,1200, 0) Ζ =? 11

12 Στο παράδειγμα (2): Αν θέσουμε x 1 = 0 και s 1 = 0 τότε: 0 + x = x 2 + 1s2 = x + 1s = 0 + 1s 4 = 400 Δηλαδή θα πάρουμε την βασική (αλλά μη εφικτή) λύση: ( 4 x 1, x2, s1, s2, s3, s ) = (0,550, 0, - 650, - 750, που αντιστοιχεί στο ακραίο σημείο Λ(0,550), Ζ=? 400) 12

13 Υπενθύμιση: Ποιος είναι ο στόχος της μεθόδου simplex: Προφανώς να εντοπίσει την άριστη λύση Πώς? Ελέγχοντας τις βασικές εφικτές λύσεις, (δηλαδή τα ακραία σημεία-κορυφές της εφικτής περιοχής) εντοπίζει εκείνη την κορυφή που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί ανάλογα) την αντικειμενική συνάρτηση. Τις ελέγχει όλες μία προς μία? ΟΧΙ! 13

14 Δηλαδή πιο συγκεκριμένα? Ξεκινά από μία βασική εφικτή λύση (την αρχή των αξόνων) Πραγματοποιεί άλμα από μία τρέχουσα κορυφή σε μία καλύτερη γειτονική κορυφή. Αλλάζει το σύνολο των βασικών μεταβλητών (αλλάζουν οι n μηδενικές μεταβλητές) και βρίσκει μία νέα βασική εφικτή λύση από το σύστημα των εξισώσεων Με διαδοχικές μεταβολές της βάσης (δηλαδή με διαδοχικά άλματα) εντοπίζει τελικά τη βέλτιστη λύση που δίνει την άριστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση χωρίς να χρειάζεται να τις ελέγξει όλες. 14

15 Σχηματικά: 15

16 Πιο αναλυτικά: Ξεκινάει από κάποια αρχική βασική εφικτή λύση (initial basic feasible solution) πρέπει n μεταβλητές να πάρουν μηδενικές τιμές (ποιες?) Μηδενισμός των μεταβλητών απόφασης (αρχή των αξόνων δηλαδή χαλαρές μεταβλητές ίσες με τα δεξιά μέλη των περιορισμών) = ΒΑΣΗ Προσοχή! Οι μεταβλητές της βάσης εμφανίζονται σε μία μόνο εξίσωση η καθεμία και με συντελεστή μονάδα, κάτι που διατηρείται σε όλα τα βήματα της μεθόδου Κάθε επανάληψη παριστάνεται από έναν πίνακα simplex Στο πρότυπο παράδειγμα: Αρχική βασική εφικτή λύση: ( s4 x, x, s, s, s, ) = (0, 0, 550,1000, 2000, 400) και Ζ = 0 16

17 17

18 Κορυφή Α(0, 0)

19 Σύνοψη της διαδικασίας (μετά τον καθορισμό της αρχικής βασικής εφικτής λύσης) Βήμα 1 ο : Εντοπίζεται η εισερχόμενη μη βασική μεταβλητή Βήμα 2 ο : Εντοπίζεται η εξερχόμενη βασική μεταβλητή Βήμα 3 ο : Με «στοιχειώδεις» πράξεις μεταξύ των γραμμών του τρέχοντος πίνακα προκύπτει ο επόμενος πίνακας simplex όπου αντικατοπτρίζονται οι μεταβολές, που πρακτικά οδηγούν στην επόμενη κορυφή Βήμα 4 ο : Μετά το άλμα, ελέγχεται η νέα (τρέχουσα) βασική εφικτή λύση ως προς την αριστότητά της. Αν είναι η βέλτιστη τότε STOP, ELSE goto Βήμα

20 Πιο αναλυτικά: H μετακίνηση σε μία καλύτερη βασική εφικτή λύση: Επιτυγχάνεται με την έξοδο μίας βασικής μεταβλητής από τη βάση και την είσοδο μίας μη βασικής στη βάση, που «οδηγεί» σε μία γειτονική κορυφή (της εφικτής περιοχής). Κάθε φορά, μία μόνο μη βασική μεταβλητή εισέρχεται σε βάρος μίας μόνο βασικής η οποία αποχωρεί από τη βάση, βελτιώνοντας έτσι την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (Ζ). 20

21 Πώς υλοποιείται αυτή η μετακίνηση αλγεβρικά? Μετακίνηση = μεταβολή του συνόλου των βασικών μεταβλητών δηλαδή της βάσης. Υπενθύμιση (για 100 ή φορά): Mία μη βασική μεταβλητή επιλέγεται για να εισέλθει και μία βασική επιλέγεται για να εξέλθει από τη βάση. Ο επόμενος πίνακας simplex προκύπτει με τη βοήθεια των σειρών «z j» και «c j - z j» στις οποίες καταχωρούνται σημαντικές πληροφορίες που αφορούν τη διαδικασία επιλογής. 21

22 Στο παράδειγμα (1): Από τον αρχικό πίνακα (δ17), ας υποθέσουμε ότι η μεταβλητή x 1 θα γίνει βασική (και θα της δώσουμε αυθαίρετα την τιμή x 1 = 1) ενώ η x 2 θα παραμείνει μη βασική. Ποια επίδραση θα έχει αυτή η απόφαση στους περιορισμούς? 1 ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: Αφού x 1 + x 2 + s 1 = 550 και επειδή το x 2 παραμένει 0, πρέπει να μειωθεί η s 1 κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s 1 = 550, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι x s 1 = 550, δηλαδή = 550. Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α πρέπει να γίνει ανταλλαγή με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου (δηλαδή της s 1 ) με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθεί ένα λίτρο γάλα με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s

23 Στο παράδειγμα (2): 2ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: Αφού x 1 + 3x 2 + s 2 = 1000 και επειδή το x 2 παραμένει 0, πρέπει να μειωθεί η s 2 κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s 2 = 1000, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι x 1 + 3*0 + s 2 = 1000, δηλαδή = Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα του αχρησιμοποίητου πόρου s 2 με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθεί και ένα λεπτό εργασίας, με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s

24 Στο παράδειγμα (3): 3ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: Αφού 2x 1 + 5x 2 + s 3 = 2000 και επειδή το x 2 παραμένει 0, πρέπει να μειωθεί η s 3 κατά δύο μονάδες (αρχική τιμή s 3 = 2000, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι 2x 1 + 5*0 + s 3 = 1000, δηλαδή 2*1 + 5* = Άρα, για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό και το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με δύο μονάδες του αχρησιμοποίητου πόρου s 3 με άλλα λόγια πρέπει να καταναλωθούν και δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών, με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s

25 Στο παράδειγμα (4): 4ος περιορισμός: Αν x 1 = 1 και x 2 = 0 τότε: για κάθε μονάδα που αυξάνεται η x 1 μειώνεται κατά μία μονάδα η s 4 που εκφράζει τη ζήτηση που μένει ανικανοποίητη. Άρα, αφού x 1 + s 4 = 400 και επειδή το x 2 παραμένει μηδενικό, (οπότε δεν επηρεάζει τον 4 ο περιορισμό), πρέπει η s 4 να μειωθεί κατά μία μονάδα (αρχική τιμή s 4 = 400, βασική μεταβλητή) ώστε να ισχύει ότι x 1 + s 4 = 400, δηλαδή = 400. Συνεπώς: για να παραχθεί μία μονάδα προϊόντος τύπου Α, εκτός από το ένα λίτρο γάλα που είδαμε στον πρώτο περιορισμό και το ένα λεπτό εργασίας που είδαμε στο δεύτερο περιορισμό και οι δύο μονάδες δυναμικότητας μηχανών που είδαμε στον τρίτο περιορισμό πρέπει να γίνει ανταλλαγή και με μία μονάδα «μη ικανοποιηθείσας» ζήτησης s 4 με άλλα λόγια πρέπει να μειωθεί η s 4 κατά μία μονάδα προϊόντος, ώστε να συνεχίσει να είναι αληθής ο 4 ος περιορισμός, με άλλα λόγια η x 1 εισέρχεται σε βάρος της s

26 Δηλαδή: στον πρώτο περιορισμό όπου η x 1 έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s 1 επίσης μονάδα, μία μοναδιαία αύξηση της x 1 μειώνει την s 1 με ρυθμό 1 προς 1 (άρα κατά μία μονάδα). στο δεύτερο περιορισμό όπου η x 1 έχει συντελεστή τη μονάδα, και η s 2 επίσης μονάδα, μοναδιαία αύξηση της x 1 μειώνει την s 2 με ρυθμό 1 προς 1 (άρα κατά μία μονάδα) τρίτος περιορισμός: συντελεστής της x 1 είναι 2, και της s 3 είναι μονάδα άρα ο ρυθμός μείωσης της s 3 για κάθε μονάδα αύξησης της x 1 είναι 1 προς 2 τέταρτος περιορισμός: ο ρυθμός μείωσης της s 4 είναι ίσος με τη μονάδα. 26

27 Ανακεφαλαίωση Μία βασική μεταβλητή μειώνεται, μέσω της ανταλλαγής (exchange, θυσίας) που πρέπει να γίνει, ώστε να καταστεί δυνατή η αύξηση της τιμής της μη βασικής μεταβλητής, η οποία αποσπά πόρους από αυτήν για να εισέλθει. Οι τεχνολογικοί συντελεστές των μεταβλητών ονομάζονται και συντελεστές ανταλλαγής ή αντικατάστασης ή υποκατάστασης (exchange or substitution coefficients). 27

28 Γενικό Συμπέρασμα: Η είσοδος μίας μη βασικής μεταβλητής στη βάση (στη βασική εφικτή λύση) μειώνει, σύμφωνα με τους συντελεστές ανταλλαγής κάθε περιορισμού, κάθε μία από τις ήδη βασικές μεταβλητές. Με άλλα λόγια, ο ρυθμός μείωσης (αύξησης) βασικής (μη βασικής) μεταβλητής λόγω της εισόδου της μη βασικής, προκύπτει από τους τεχνολογικούς συντελεστές των δύο μεταβλητών Τι συνέπειες έχουν αυτές οι ανταλλαγές στο Ζ? Που βρίσκονται αυτές οι συνέπειες? 28

29 Πού βρίσκονται οι συνέπειες; Τελικά, πώς επιλέγεται η εισερχόμενη μεταβλητή? Επιλέγεται αυτή με τη μεγαλύτερη θετική τιμή στη σειρά c j z j (δηλαδή η μη βασική μεταβλητή που εμφανίζει τον μεγαλύτερο ρυθμό βελτίωσης της αντικειμενικής συνάρτησης). Στο πρότυπο παράδειγμα είναι η μεταβλητή x 2 αφού η αντίστοιχη τιμή στη σειρά c j z j είναι ίση με 200 (και είναι μεγαλύτερη από το 150 που είναι η αντίστοιχη τιμή για την x 1 ). Η στήλη της εισερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται αξονική στήλη (pivot column). 29

30 Γιατί στη σειρά c j z j βρίσκονται οι ρυθμοί βελτίωσης του Z? Ο ρόλος της σειράς «z j» κάτω από κάθε μεταβλητή Περιέχει τη συνολική επιδείνωση που προκύπτει στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μονάδα αύξησης της μεταβλητής. Δηλαδή, για τις x 1 και x 2 από τον αρχικό πίνακα: z = 0(1) + 0(1) + 0(2) + 0(1) = 1 z = 0(1) + 0(3) + 0(5) + 0(0) = Πρακτικά πώς προκύπτουν τα παραπάνω από τον πίνακα simplex (δ17)?? 30

31 Για τις υπόλοιπες (τις βασικές) μεταβλητές είναι: z = 0(1) + 0(0) + 0(0) + 0(0) = 3 z = 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0) = 4 z = 0(0) + 0(0) + 0(1) + 0(0) = 5 z = 0(0) + 0(0) + 0(0) + 0(1) = Εχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί για τις βασικές; 31

32 Το περιεχόμενο της σειράς «c j z j» Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται με ρυθμό z j λόγω της εισόδου της j μεταβλητής στη βάση. Η τιμή της αντικειμενικής ταυτόχρονα αυξάνεται με ρυθμό που υπαγορεύεται από τον αντικειμενικό συντελεστή της εν λόγω μεταβλητής, c j Άρα, o καθαρός ρυθμός μεταβολής που προκύπτει για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα προκύπτει από τη διαφορά c j z j 32

33 Στο πρότυπο παράδειγμα: Για τις στήλες των μεταβλητών x 1 και x 2 : c1 z1 = = c2 z2 = = ενώ (για την x 1 ) (για την x2 ) c z j j = 0 0 = 0 για τις s 1, s 1 s 1 s 1 ) για τις βασικές (τις χαλαρές) μεταβλητές 33

34 Επιλέγεται /

35 Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (1) Διαιρούμε το δεξιό μέλος κάθε περιορισμού με το συντελεστή της εισερχόμενης μεταβλητής από την αξονική στήλη (εφόσον αυτός μεγαλύτερος του μηδενός) Το πηλίκο που βρίσκουμε δίνει τη μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή καθώς αποχωρεί πλήρως (μηδενίζεται) η βασική μεταβλητή που αντιστοιχεί στο κάθε περιορισμό χωρίς η τελευταία να αναγκαστεί να γίνει αρνητική. Ας δούμε πώς: 1 ος Περιορισμός: x 1 + x 2 + s 1 = 550. Αφού η x 1 παραμένει μη βασική, θα είναι 1*0+x 2 +s 1 = 550 (λίτρα). Αφού φεύγει η s 1, θέτοντας s 1 = 0 και λύνοντας ως προς x 2 έχουμε x 2 = 550/1 = 550. Άρα, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη x 2 καθώς εξέρχεται από τη βάση η s 1, είναι 550. Δηλαδή, το γάλα επαρκεί για να παραχθούν μέχρι 550 τεμάχια τύπου Β. Οποιαδήποτε τιμή της x 2 μεγαλύτερη από 550, θα καταστήσει την s 1 αρνητική (ανέφικτη λύση). 35

36 Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (2) 2 ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη x 2 αν επιλέξουμε να εξέλθει η s 2 από τη βάση, είναι 1000/3. Με άλλα λόγια, με βάση τη διαθέσιμη εργασία μπορούν να παραχθούν το πολύ 1000/3 τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή μεγαλύτερη από 1000/3 θα καταστήσει την s 2 αρνητική και τη λύση ανέφικτη. Άρα x 2 = 1000/3 36

37 Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (3) 3 ος Περιορισμός: Με όμοιο τρόπο, η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη x 2 με εξερχόμενη την s 3, είναι 400. Δηλαδή, με βάση τη δυναμικότητα των μηχανών, μπορούν να παραχθούν το πολύ 400 τεμάχια παγωτού τύπου Β. Κάθε τιμή μεγαλύτερη από 400 θα καταστήσει την s 3 αρνητική (και τη λύση ανέφικτη). Άρα x 2 = 2000/5 =

38 Διαδικασία επιλογής της εξερχόμενης μεταβλητής (4) 4 ος Περιορισμός: Στον τέταρτο περιορισμό δεν υπάρχει η μεταβλητή x 2 (ο τεχνολογικός συντελεστής α 42 είναι μηδέν) Κατά συνέπεια, όποια τιμή και να πάρει εισερχόμενη στη βάση x 2, δεν πρόκειται να επηρεάσει την τιμή της βασικής μεταβλητής s 4. Αν για μια εισερχόμενη μεταβλητή ο τεχνολογικός της συντελεστής σε έναν περιορισμό είναι αρνητικός, ΠΟΙΕΣ ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ? 38

39 Αξιολόγηση και επιλογή εξερχόμενης Το μικρότερο πηλίκο είναι x 2 = 1000/3 και είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή x 2 χωρίς να παραβιάζεται κανένας από τους περιορισμούς (δηλαδή??) Η εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή της οποίας ο περιορισμός έδωσε το ελάχιστο πηλίκο και είναι η s 2. Η γραμμή της εξερχόμενης μεταβλητής s 2 ονομάζεται αξονική σειρά (pivot row). Το κοινό στοιχείο αξονικής σειράς και αξονικής στήλης ονομάζεται αξονικό στοιχείο ή πιλότος ή οδηγός (pivot) 39

40 40

41 Η κατασκευή του επόμενου πίνακα Νέα σειρά στη θέση της αξονικής σειράς = (προηγούμενη αξονική σειρά) / αξονικό στοιχείο και για όλες τις άλλες σειρές: Νέα σειρά = (προηγούμενη σειρά) (συντελεστής της εισερχόμενης στη προηγούμενη σειρά)* (νέα αξονική σειρά) 41

42 Επομένως: Σειρά της μεταβλητής s 2 : Η νέα σειρά στη θέση της αξονικής θα προκύψει διαιρώντας τα στοιχεία της με το αξονικό στοιχείο (=3) και είναι εκείνη που θα έχει τη x 2 ως βασική στον επόμενο πίνακα simplex. Σειρά της μεταβλητής s 1 : (1, 1, 1, 0, 0, 0, 550) - 1 * (1/3, 1, 0, 1/3, 0, 0, 1000/3) δηλαδή (2/3, 0,1,-1/3, 0, 0, 650/3). Σειρά της μεταβλητής s 3 : (2, 5, 0, 0, 1, 0, 2000) - 5 * (1/3, 1, 0, 1/3, 0, 0, 1000/3) δηλαδή (1/3, 0, 0,-5/3, 1, 0, 1000/3). Σειρά της μεταβλητής s 4???? 42

43 43

44 Τελικά σε ποια κορυφή μετακινήθηκε? Νέα Βασική Εφικτή Λύση: ( 4 x 1, x2, s1, s2, s3, s ) = (0,1000 / 3,650 / 3,0,1000 / 3, 400) Αντιστοιχεί στην κορυφή: Ε(0, 1000/3), άρα έγινε άλμα από το σημείο Α στο σημείο Ε. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι τώρα: z= 150*(0) + 200*(1.000/3) z= /3 44

45 45

46 46

47 Έλεγχος Αριστότητας (βήμα 4 ο ) Nέα στοιχεία της σειράς z j (στήλη του x 1 ) = z 1 = 0(2/3) +200(1/3) +0(1/3) +0(1) =200/3 (στήλη του x 2 ) = z 2 = 0(0) +200(1) +0(0) +0(0) =200 (στήλη του s 1 ) = z 3 = 0(1) +200(0) +0(0) +0(0) =0 (στήλη του s 2 ) = z 4 = 0(-1/3) +200(1/3) +0(-5/3) +0(0) =200/3 (στήλη του s 3 ) = z 5 = 0(0) +200(0) +0(1) +0(0) =0 (στήλη του s 4 ) = z 6 = 0(0) +200(0) +0(0) +0(1) =0 47

48 Νέα στοιχεία της της σειράς c j - z j (για το x 1 ) = /3 = 250/3 (για το x 2 ) = = 0 (για το s 1 ) = 0-0 = 0 (για το s 2 ) = 0-200/3 = -200/3 (για το s 3 ) = 0-0 = 0 (για το s 4 ) = 0-0 = 0 Υπάρχει θετικό στοιχείο στη σειρά c j - z j?? 48

49 49

50 Τέταρτο Βήμα: Έλεγχος τρέχουσας λύσης ως προς την αριστότητα. Από τη σειρά c j - z j προκύπτει ότι αν εισέλθει η x 1 τότε θα υπάρξει η μεγαλύτερη δυνατή βελτίωση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 250/3 (χμ) ανά τεμάχιο προϊόντος. Για τις ήδη βασικές μεταβλητές η βελτίωση αυτή είναι μηδενική ενώ για την s 2 η τιμή είναι αρνητική (γιατί??). Άρα, υπάρχει περιθώριο περαιτέρω βελτίωσης του συνολικού κέρδους, εφόσον εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x 1 (δηλαδή, η τρέχουσα λύση δεν είναι άριστη) ΟΛΟΚΛΗΡΩΘΗΚΕ (επιτέλους!) ΜΙΑ ΠΛΗΡΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 50

51 Δεύτερη επανάληψη της διαδικασίας 51

52 Η μετακίνηση στον επόμενο πίνακα Αξονική: (2/3, 0, 1, -1/3, 0, 0, 650/3)/(2/3) = (1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) Δεύτερη σειρά: (1/3, 1, 0, 1/3, 0, 0, 1000/3) (1/3)*(1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) = (0, 1, -1/2, 1/2, 0, 0, 225) Τρίτη σειρά: (1/3, 0, 0, -5/3, 1, 0, 1000/3) (1/3)*(1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) = (0, 0, -1/2,-3/2, 1, 0, 225) Τέταρτη σειρά: (1, 0, 0, 0, 0, 1, 400) (1)*(1, 0, 3/2, -1/2, 0, 0, 325) = (0, 0, -3/2, 1/2, 0, 1, 75) 52

53 Έλεγχος αριστότητας και ολοκλήρωση 53

54 54

55 Ανακεφαλαίωση Βέλτιστη λύση: ( x1, x2, s1, s2, s3, s4) = (325, 225,0,0, 225, 75) Αριστη τιμή: z= Παράγει 325 μονάδες από το προϊόν Α, 225 από το Β. Καταναλώνεται όλη η ποσότητα γάλακτος (s 1 = 0), Χρησιμοποιείται όλος ο χρόνος εργασίας (s 2 = 0), Υπάρχει αδρανής παραγωγική δυναμικότητα (s 3 = 225) Δεν παράγει τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα για το πρώτο προϊόν Α αλλά 75 μονάδες λιγότερες (s 4 = 75). Η λύση αντιστοιχεί στο σημείο Δ (325, 225). 55

56 Επίλυση με το WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) 56

57 Επίλυση με το WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος = τελικός πίνακας simplex) 57

58 Η άριστη λύση με το WinQSB 58

59 Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ1 (ή της Χ2). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) ξεπεράσει τις 200χμ (450χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) μειωθεί περισσότερο από τις 66,6667χμ (150χμ) προς τ αριστερά; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Πόση είναι τελικά η κατανάλωση πόρων στο άριστο σχέδιο ; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του κόστους ευκαιρίας; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για μία ακόμη μονάδα γάλακτος (ή εργασίας, ή δυναμικότητας, ή ζητούμενης ποσότητας) και για πόσες μονάδες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ, στα δεξιά άκρα των διαστημάτων εφικτότητας των περιορισμών C3 και C4; Ποια βασική αρχή διέπει τα διαστήματα που βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας; 59

60 Lindo (μοντέλο) 60

61 Lindo (επίλυση) 61

62 Lindo (αναφορά επίλυσης 1) 62

63 Lindo (αναφορά επίλυσης 1) (1775, + ) 63

64 Excel (δεδομένα και παράθυρο επίλυσης) 64

65 Excel (Αναφορά απάντησης) 65

66 Excel (Αναφορά ευαισθησίας) 66

67 Το διαφημιστικό Σχέδιο της Pro-Lux Minimize z=1.5x x 2 Με περιορισμούς: συνολικό κόστος (εκατομμύρια χμ) και 0.3x + 0.2x x x2 x 1 1, x2 0 x γυναίκες ( άτομα) άνδρες ( άτομα) ελάχιστο πλήθος βραδινά μηνύματα 67

68 Τυποποιημένη Μορφή του μοντέλου Min z = 1.5x + e Με περιορισμούς: x2 + 0e1 + 0e x x 1e = x + 025x -1e = x - 1e = και x, x, e, e, e

69 Η γραφική επίλυση 69

70 Είσοδος τεχνητών μεταβλητών (artificial variables) Min z = 1.5x e + Ma + Ma + Ma x2 + 0e1 + 0e Με περιορισμούς: Αρχική βάση 0.3x x2 1e1 + α1 = x x2-1e2 + α2 = 9 x - 1e + α = όπου x1, x2, e1, e2, e3, a1, a2, a

71 Επίλυση με τη μέθοδο simplex 1. Μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού. Επιλέγεται ως εισερχόμενη βασική μεταβλητή εκείνη που έχει το πιο αρνητικό στοιχείο στη σειρά c j - z j. Τερματισμός όταν όλα τα στοιχεία στη σειρά c j - z j είναι θετικά ή μηδέν. 2. Μετασχηματισμός σε πρόβλημα μεγιστοποίησης (??) 71

72 Ισοδύναμο πρόβλημα μεγιστοποίησης Maximize z = 1. 5x1 2.5x2 0e1 0e2 0e3 Ma1 Ma2 Ma3 Με περιορισμούς: 0.3x x2 1e1 + α1 0.05x x2-1e 2 + α2 x 1e + α 1 = 1 = = όπου x, x, e, e, e, a, a, a

73 Επίλυση με τις κατάλληλες μεταβολές στα κριτήρια εισόδου και τερματισμού Σε ποιο σημείο αντιστοιχεί?? 73

74 (x 1, x 2, e 1, e 2, e 3, a 1, a 2, a 3 )= (0, 20, 0, 0, 0,11, 4, 0) (x 1, x 2, e 1, e 2, e 3 )= (0, 20,-5, -4, 0) Δ (0, 20) 74

75 Μετακίνηση στο Δ 75

76 0 0 (x 1, x 2, e 1, e 2, e 3, a 1, a 2, a 3 )= (0, 36, 0, 0, 16, 7.8, 0, 0) (x 1, x 2, e 1, e 2, e 3 )= (0, 36, -7.8, 0, 16) Ε (0, 36) 76

77 Μετακίνηση στο Ε 77

78 78

79 Μετακίνηση στο Γ 79

80 80

81 Μετακίνηση στο Α 81

82 Η άριστη λύση στο LINDO Αναφορά Απάντησης LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) NO. ITERATIONS= 2 82

83 Αναφορά Ευαισθησίας στο Lindo RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X X RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY 83

84 Επίλυση με το WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) 84

85 Επίλυση με το WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Ολοκλήρωση της πρώτης φάσης με την κατασκευή του τρίτου πίνακα που ακολουθεί Τρίτος πίνακας simplex Τέταρτη επανάληψη (τρίτος τέταρτος πίνακας) 85

86 Επίλυση με το WinQSB (2) Τέταρτος πίνακας = τελικός πίνακας simplex 86

87 Η άριστη λύση με το WinQSB 87

88 Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή ; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της Χ1 (ή της Χ2). Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) ξεπεράσει τις 3,75χμ (7,5χμ) προς τα δεξιά; Τι θα συμβεί αν ο συντελεστής της X1 (Χ2) μειωθεί περισσότερο από 0,5χμ (1χμ) προς τ αριστερά; Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι μη δεσμευτικοί ; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για να προσεγγίσει ακόμη γυναίκες (περιορισμός C1) και μέχρι πόσα επιπλέον άτομα ισχύει η ανάλυση αυτή; Ομοίως για επιπλέον άνδρες Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του περιορισμού C3. Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (δηλαδή του - ); 88

89 Εργαστήριο Πέλλα Δεδομένα Καλλιτεχνικός γύψος = kg (πρέπει να καταναλωθούν) Κεφάλαια = χμ (κόστος εργασίας) Μοναδιαίο κόστος εργασίας = χμ/ώρα Έκτακτη παραγγελία η οποία προϋποθέτει τουλάχιστον 72 τεμάχια τύπου Α περισσότερα από τα Β) Κατανάλωση Πόρων Προϊόν Α: 1.5 ώρα, 25 kg γύψο, άλλα κόστη = χμ, Προϊόν Β: 2.5 ώρες, 15 kg γύψος, κόστος = χμ, Τιμή πώλησης Α = χμ Τιμή πώλησης Β = χμ 89

90 Γενική Μορφή του μοντέλου +0s 2 +0e 3 -Ma 1 -Ma 3 +a 1 +s 2 -e 3 + a 3 90

91 Γραφική επίλυση (ποια είναι η εφικτή περιοχή;) Ζ Θ Ε Δ Γ Η Α Ι Β 91

92 Επίλυση με τη μέθοδο simplex (WinQSB -1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) 92

93 Επίλυση με τη μέθοδο simplex (WinQSB -2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Τρίτος πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex 93

94 H άριστη λύση με το WinQSB 94

95 Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών Ποιο είναι το φυσικό νόημα του αριστερού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X1 που είναι ίσο με Μ (- ); Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X2 που είναι ίσο με Μ (+ ); Πώς σχολιάζετε την απαίτηση να καταναλωθεί οπωσδήποτε όλη η ποσότητα γύψου (ζημιογόνος, επικερδής και γιατί) με βάση τη συγκυρία; Τελικά ποια ποσότητα γύψου φαίνεται ότι θα συνέφερε να καταναλωθεί με βάση τη συγκυρία; Σχολιάστε αναλυτικά το διάστημα ευαισθησίας του διαθέσιμου κεφαλαίου για το κόστος εργασίας. Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας και για πόσες ώρες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (- ) στο αριστερό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του περιορισμού C3; 95

96 Έστω, ότι ο πρώτος περιορισμός γίνεται: Ζ Θ Ε Δ Α Ι Β Γ Η 96

97 Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simplex (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) 97

98 Επίλυση παραλλαγής με τη μέθοδο simplex (2) Δεύτερος πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex 98

99 Άριστη λύση της παραλλαγής (WinQSB) 99

100 Τυπικά ερωτήματα (ανάλυση ευαισθησίας) Σχολιάστε αναλυτικά τα διαστήματα ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών Ποιο είναι το φυσικό νόημα του δεξιού άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X2 που είναι ίσο με Μ (+ ); Τι θα συμβεί αν το δεξιό άκρου του διαστήματος για το συντελεστή της X1 αυξηθεί και γίνει ακριβώς ίσο με 11,7; Τελικά πόσα περισσότερα τεμάχια τύπου 1 κατασκευάζονται ; Γιατί ; Συγκρίνετε με την προηγούμενη άριστη λύση και σχολιάστε. Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για την αγορά ενός επιπλέον κιλού γύψου ; Πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η επιχείρηση για επιπλέον ώρες εργασίας και για πόσες ώρες ακόμη; Ποιο είναι το φυσικό νόημα του Μ (+ ) στο δεξιό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του περιορισμού C1; Ποιο είναι το φυσικό νόημα της αρνητικής σκιώδους τιμής του περιορισμού C3; 100

101 Πρόβλημα με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Max z = x x με περιορισμούς με 1) 25x x2 7, 500 2) 3x 1 + 5x2 1, 060 3) x x 1 2 x, x

102 Γραφική Επίλυση (μοντέλο με εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις) 102

103 Ποιο σημείο αντιστοιχεί στην άριστη λύση του παραπάνω πίνακα (Ε ή Γ)? 103

104 Επίλυση στο WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) 104

105 Επίλυση στο WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex) 105

106 H άριστη λύση στο WinQSB Από πού διακρίνω ότι υπάρχει εναλλακτική άριστη λύση ; (η ερώτηση δεν αναφέρεται στο προφανές μήνυμα με τα 2 θαυμαστικά!!) 106

107 Εύρεση της εναλλακτικής κορυφής

108 Τελικός πίνακας simplex της εναλλακτικής

109 Ο τελικός πίνακας simplex της εναλλακτικής στο WinQSB H εναλλακτική άριστη λύση (κορυφή) στο WinQSB 109

110 Καμία εφικτή λύση (infeasibility) z = x x Max 2 με περιορισμούς 25x + 15x 9, x + 5x 1 2 x x 1 2 1, με x, x

111 Γραφική Επίλυση (καμία εφικτή λύση) Ζ Θ Δ Ε Γ Α Ι Η 111

112 Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Max z = 10.5x e Ma Ma x2 + 0e1 + 0s με περιορισμούς 25x + 15x e + a = 9, x + 5x + s = x x e + a = , με x1, x2, e1, a1, s2, e3, a

113 113

114 Σε ποιο σημείο του σχήματος αντιστοιχεί? 114

115 Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πίνακας πρώτος) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος πίνακας δεύτερος) 115

116 Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex Τρίτη επανάληψη (δεύτερος τρίτος πίνακας) Τέταρτoς πίνακας simplex = τελικός πίνακας simplex (γιατί?) 116

117 Μη φραγμένο πρόβλημα (unbounded problem) Maximize z με περιορισμούς x 1 50 x x x 1, x2 0 = 500 x1 200 x

118 Γραφική Επίλυση (μη φραγμένο) 118

119 -M α s

120 120

121 ?? 121

122 Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (1) Αρχικός πίνακας simplex Πρώτη επανάληψη (αρχικός πρώτος πίνακας) Πρώτος πίνακας simplex Δεύτερη επανάληψη (πρώτος δεύτερος πίνακας) 122

123 Επίλυση με τη μέθοδο simplex στο WinQSB (2) Δεύτερος πίνακας simplex (αδύνατο να προχωρήσει η διαδικασία) Αναφορά του WinQSB για το μη φραγμένο πρόβλημα 123

124 Αναφορά του LINDO για το μη φραγμένο πρόβλημα UNBOUNDED VARIABLES ARE: X2 SLK 2 X1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) E+08 VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) NO. ITERATIONS= 1 SUFFICIENT SET (COLS), CORRECT ONE OF: X2 X1 124

125 Άλλες ειδικές περιπτώσεις 1. Μεταβλητές που δεν περιορίζονται ως προς τις τιμές X j R (μετασχηματισμός) 2. Ισοβάθμιση στην εισερχόμενη (c j - z j ) 3. Ισοβάθμιση στην εξερχόμενη (πηλίκα, εκφυλισμένες) 125

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα Επαναληπτικές Ασκήσεις Επιχειρησιακή Έρευνα 2016-17 1 η Άσκηση Έστω το παρακάτω πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμού: min 6A + 4B subject to 2Α + Β 12 Α + Β 10 Β 4 Α, Β, 0 1. Διατυπώστε την τυπική μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Οι στρατηγικές χρηματοοικονομικής δομής αναφέρονται στην επιλογή των μέσων χρηματοδότησης επενδυτικών προγραμμάτων, λειτουργιών της παραγωγής και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix)

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Εισάγει στην αγορά για την επόµενη χειµερινή περίοδο έξι νέα είδη γυναικείων ενδυµάτων µε µεγάλες προοπτικές πωλήσεων Η ζήτηση για τα

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Προγραµµατισµός τεσσάρων διαφορετικών προϊόντων Σιτάρι, σόγια, βρώµη καικαλαµπόκι Μέγιστη συνολική έκταση 1.500 στρέµµατα Ακριβώς 100 στρέµµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ (C) 2002 ΧΙΟΣ Παράδειγμα 8: Πρόβλημα ελαχίστης Διαδρομής (Shortest path problem)... 4 LINDO: Integer Linear

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων http://users.uom.gr/~acg 1 Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό (LP) Εντοπισμός της βέλτιστης κατανομής περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (resource allocation problems) Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ Παραδείγματα 3 5 : Προβλήματα μεταφοράς (transportation problems)... 3 Παράδειγματα 3-5: Linear Programming

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π.

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π. Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) 8 6 1 48 Κατασκευή (ώρες) 2 1.5 0.5 8 Φινίρισμα (ώρες) 4 2 1.5 20 Τιμή Πώλησης 60,000

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Case 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ εκαετές πρόγραµµα επενδύσεων Οκτώ επενδυτικές ευκαιρίες Έντοκα γραµµάτια δηµοσίου, κοινές µετοχές εταιρειών, οµόλογα οργανισµών κ.ά. H επένδυση

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μέρος ΙΙ Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Μαθηματικά Μοντέλα Εισαγωγή Μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ. (Human Resources Scheduling Human Resources Programming)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ. (Human Resources Scheduling Human Resources Programming) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ (Human Resources Scheduling Human Resources Programming) Management Ανθρώπινων Πόρων Κεφάλαιο 1 Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

Data Envelopment Analysis

Data Envelopment Analysis Data Envelopment Analysis Η μέθοδος των «Βέλτιστων Προτύπων Αποδοτικότητας», γνωστή στην διεθνή βιβλιογραφία ως «Data Envelopment Analysis», εφαρμόζεται για τον υπολογισμό της σχετικής αποδοτικότητας και

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Μία επιχείρηση κατασκευάζει τρία προϊόντα, έστω α, β και γ, τα οποία πουλάει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής Εφαρμογές ΓΠ - Επίλυση με Χρήση Υπολογιστή ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής (Product mix)

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα