ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ"

Transcript

1 ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

2 Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014

3 Περιεχόµενα 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βιβλιογραφία Βιβλία 49. Ιστοσελίδες

4

5 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Ποιος είναι ο άξονας των πραγµατικών αριθµών ; Οι πραγµατικοί αριθµοί αποτελούνται από τους ϱητούς και τους άρρητους αριθµούς, οι οποίοι παριστάνονται από τα σηµεία ενός άξονα, ο οποίος ονοµάζεται άξονας των πραγµατικών αριθµών. Ερώτηση 1. Ποια µορφή µπορεί να πάρει ένας ϱητός αριθµός ; Κάθε ϱητός αριθµός µπορεί να γραφεί σε κλασµατική µορφή, δηλαδή στη µορφή : α, β όπου α, β ακέραιοι µε β 6= 0. Οπως επίσης κάθε ϱητός γράφεται ως δεκαδικός ή πεϱιοδικός αριθµός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός, µπορεί να πάρει την κλασµατική µορφή. Ερώτηση 1.3 Ποιοι αριθµοί λέγονται άρρητοι ; Οι αριθµοί που δεν γράφονται σε κλασµατική µορφή, δηλαδή, δεν είναι ούτε δεκαδικοί, ούτε περιοδικοί, λέγονται άρρητοι αριθµοί. Ερώτηση 1.4 Ποιες είναι οι ϐασικές ιδιότητες της πρόσθεσης ; i. ii. iii. iv. α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. α + ( α) = ( α) + α = 0 αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.

6 Ερώτηση 1.5 Ποιες είναι οι ϐασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασµού ; i. α β = β α αντιµεταθετική ιδιότητα ii. α (β γ) = (α β) γ προσεταιριστική ιδιότητα iii. α 1 = 1 α = α το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού. iv. α 1 α = 1 α = 1, α 0 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1. α Ερώτηση 1.6 Πως ορίζεται η αφαίρεση µε τη ϐοήθεια της πρόσθεσης ; α + ( β) = α β αφαίρεση Ερώτηση 1.7 Πως ορίζεται η διαίρεση µε τη ϐοήθεια του πολλαπλασιασµού ; α ( 1 β ) = α β διαίρεση Ερώτηση 1.8 Ποιες άλλες ιδιότητες γνωρίζετε για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό ; i. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ δηλαδή δυο ισότητες µπορούµε να τις προσθέσουµε κατά µέλη. ii. (α = β και γ = δ) α γ = β δ δηλαδή δυο ισότητες µπορούµε να τις πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη. iii. α = β α + γ = β + γ δηλαδή σε µια ισότητα µπορούµε να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό και στα δυο µέλη. iv. α = β α γ = β γ δηλαδή σε µια ισότητα µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό και τα δυο µέλη. α = 0 v. α β = 0 ή β = 0 α 0 vi. α β 0 και β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

7 Ερώτηση 1.9 Πως ορίζονται οι δυνάµεις ; Η δύναµη α ν, µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν, είναι το γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α Επίσης ορίζουµε : i. α 1 = α ii. α 0 = 1, µε α 0 iii. α ν = 1 α ν, µε α 0 α ν = α α α }{{} ν, παράγοντες Ερώτηση 1.10 Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων ; Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ 1. α µ α ν = α µ+ν 4. α ν β ν = (α β) ν α µ. α ν = α ν αµ ν 5. β ν = ( α) ν β 3. α µ ν = ( ( ) α µ) ν α ν ( ) β ν 6. = β α Πίνακας 1.1: Ιδιότητες των δυνάµεων Ερώτηση 1.11 Να δειχθεί ότι, α = β α ν = β ν ; Ισχύει και το αντίστροφο ; Αν πολλαπλασιάσουµε ν ϕορές κατά µέλη την ισότητα α = β, ϑα έχουµε α ν = β ν. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα, αφού για παράδειγµα : ( ) = = 4 αλλά. Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε ταυτότητα στην άλγεβρα ; Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές των µετα- ϐλητών. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

8 Ερώτηση 1.13 Να γράψετε τις ϐασικές αλγεβρικές ταυτότητες και να τις αποδείξετε. Αποδείξεις : ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i.(α + β) = α + αβ + β ii.(α β) = α αβ + β iii.(α β)(α + β) = α β iv.α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ) v.α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) vi.(α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 vii.(α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Πίνακας 1.: Ταυτότητες i. ii. iii. iv. v. vi. vii. (α + β) = (α + β)(α + β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β (α β) = (α β)(α β) = α αβ βα + β = α αβ + β (α β)(α + β) = α + αβ βα + β = α β (α + β)(α αβ + β ) = α 3 α β + αβ + βα αβ + β 3 = α 3 + β 3 (α β)(α + αβ + β ) = α 3 + α β + αβ βα αβ β 3 = α 3 β 3 (α + β) 3 = (α + β) (α + β) = (α + αβ + β )(α + β) = α 3 + α β + α β + αβ + β α + β 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 (α β) 3 = (α β) (α β) = (α αβ + β )(α β) = α 3 α β α β + αβ + β α β 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

9 Ερώτηση 1.14 Να αναφέρετε ποιες άλλες ταυτότητες γνωρίζετε και να τις αποδείξετε. ΑΛΛΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i.α + β = (α + β) αβ ii.α 3 + β 3 = (α + β) 3 3αβ(α + β) iii.( α β) = (α + β) και γενικά : ( α β) ν = (α + β) ν iv.(α β) = (β α) και γενικά : (α β) ν = (β α) ν v.(α + β + γ) = α + β + γ + αβ + αγ + βγ vi.(α β + γ) = α + β + γ αβ + αγ βγ vii.α ν β ν = (α β)(α ν 1 + α ν β αβ ν + β ν 1 ) viii. Αν α + β + γ = 0 α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Πίνακας 1.3: Ταυτότητες Αποδείξεις : i. ii. iii. iv. v. vi. (α + β) αβ = α + αβ + β αβ = α + β (α + β) 3 3αβ(α + β) = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 3α β 3αβ ( α β) = [ (α + β)] = (α + β) (α β) = [ (β α)] = (β α) = α 3 + β 3 (α + β + γ) = (α + β + γ)(α + β + γ) = α + αβ + αγ + βα + β + βγ + γα + γβ + γ = α + β + γ + αβ + αγ + βγ (α β + γ) = (α β + γ)(α β + γ) vii. Χωρίς απόδειξη. viii. α + β + γ = 0 α = β γ = α αβ + αγ βα + β βγ + γα γβ + γ = α + β + γ αβ + αγ βγ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

10 α 3 + β 3 + γ 3 = ( β γ) 3 + β 3 + γ 3 = [ (β + γ)] 3 + β 3 + γ 3 = (β + γ) 3 + β 3 + γ 3 = (β 3 + 3β γ + 3βγ + γ 3 ) + β 3 + γ 3 = β 3 3β γ 3βγ γ 3 + β 3 + γ 3 = 3β γ 3βγ = 3βγ( β γ) = 3αβγ Ερώτηση 1.15 Ποιες µεθόδους απόδειξης γνωρίζετε ; I. Ευθεία απόδειξη. i. Με ισότητες ii. Με ισοδυναµίες iii. Με αντιπαράδειγµα. II. Απαγωγή σε άτοπο. Ερώτηση 1.16 Να γράψετε τις ιδιότητες των αναλογιών και να τις αποδείξετε. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ i. α β = γ δ αδ = βγ αν βδ 0 ii. α β = γ δ α γ = β αν βδγ 0 δ iii. α β = γ δ α + β = γ + δ αν βδ 0 β δ iv. α β = γ δ α β = γ δ = α + γ αν βδ(β + δ) 0 β + δ Πίνακας 1.4: Αναλογίες Αποδείξεις : i. ii. α β = γ δ α β = γ δ βγ α β = γ δ βγ αδ = βγ αδ = βδ αδ γδ = βγ γδ α γ = β δ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

11 iii. α β = γ δ iv. Θέτω : α β = γ δ α β + 1 = γ δ + 1 α + β β = γ + δ δ = λ, άρα α = λβ και γ = λδ, όποτε : α + γ = λβ + λδ = λ(β + δ) Άρα λ = α + γ β + δ Οπότε : α β = γ δ α β = γ δ = α + γ β + δ Ερώτηση 1.17 Τι είναι η παραγοντοποίηση και ποιους τρόπους χρησιµοποιούµε για να παραγοντοποίησουµε µια αλγεβρική παράσταση ; Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα, µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων. Η παραγοντοποίηση µπορεί να γίνει µε τους εξής τρόπους : i. Κοινός παράγοντας Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ) Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής : (αʹ) Βρίσκουµε τον Μ.Κ.. των συντελεστών κάθε όρου (ϐʹ) Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι κοινές σε κάθε όρο. Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων. ii. Κοινός παράγοντας κατά οµάδες (Οµαδοποίηση) Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε : (αʹ) Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα (ϐʹ) Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι οι ίδιες iii. ιαφορά τεραγώνων α β = (α β)(α + β) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) = α + αβ + β, (α β) = α αβ + β εµφανίζω διάφορα τετραγώνων. iv. Αθροισµα ή ιαφορά κύβων α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ), α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων. v. Ταυτότητες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

12 Χρησιµοποιούµε από το ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες : (α + β) = α + αβ + β, (α β) = α αβ + β (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 vi. Τριώνυµο της µορφής αx βx + γ Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ. Αν : (αʹ) > 0, τότε αx βx + γ = α(x x 1 )(x x ) όπου x 1, = β + α (ϐʹ) = 0, τότε αx βx + γ = α(x x 1 ) µε x 1 = β α (γʹ) < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται. Ειδική περίπτωση : x (α + β)x + α β = (x α)(x β) x + (α + β)x + α β = (x + α)(x + β) Ερώτηση 1.18 Που χρησιµοποιούµε την παραγοντοποίηση ; i. Για να απλοποιήσουµε µια κλασµατική αλγεβρική παράσταση, κάνοντας χρήση της αγ ιδιότητας : βγ = α β ii. Να λύσουµε µια εξίσωση, κάνοντας χρήση της ιδιότητας : α β = 0 α = 0 ή β = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

13 1.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Θέµα 1.1 Να δειχθεί ότι : (α + β )(x + y ) = (αx + βy) + (αy βx) (1) Λύση 1.1 (1) α x + α y + β x + β y = α x + αxβy + β y + α y αyβx + β x 0 = 0 που ισχύει. Θέµα 1. Αν α β = 5 να υπολογίσετε το : α(α + ) + β(β ) αβ Λύση 1. α(α + ) + β(β ) αβ = α + α + β β αβ = α + β αβ + α β = (α β) + (α β) α β=5 = = 35 Θέµα 1.3 Να εξετάσετε αν ισχύει : α > α για κάθε πραγµατικό αριθµό α. Λύση 1.3 Για α = 1 έχω : 1 4 > 1 το οποίο, ΕΝ ισχύει. Άρα το α > α δεν ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό α. Θέµα 1.4 Αν ο α είναι άρρητος και ο ρ είναι ϱητός, να δείξετε ότι ο α + ρ είναι άρρητος. Λύση 1.4 Αφού το ρ είναι ϱητός, γράφεται ρ = κ λ Εστω ότι και ο α + ρ είναι ϱητός. Τότε κι αυτός γράφεται α + ρ = µ ν Άρα : α + ρ = µ ν α + κ λ = µ ν α = µ ν κ λ µλ κν α = νλ Άρα α ϱητός, το οποίο είναι άτοπο. Άρα το α + ρ είναι άρρητος. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

14 Θέµα 1.5 Το άθροισµα δυο άρρητων είναι πάντα άρρητος ; Λύση 1.5 Θεωρούµε δυο άρρητους αριθµούς, τον και το προσθέσω έχω : = 8 R Άρα το άθροισµα δυο άρρητων ΕΝ είναι πάντα άρρητος. Αν τους Θέµα 1.6 Αν ο α είναι άρτιος, να δείξετε ότι και ο α είναι άρτιος. Λύση 1.6 Εστω ότι ο α είναι περιττός, δηλαδή α = κ + 1, κ Z. Τότε : α = κ + 1 α = (κ + 1) α = 4κ + κ + 1 α = (κ + κ) + 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα ο α είναι άρτιος. α περιττός, Θέµα 1.7 Να δειχθεί ότι ο είναι άρρητος. Λύση 1.7 Εστω ότι ο είναι ϱητός, δηλαδή : = κ λ, κ, λ N και το κλάσµα κ λ είναι ανάγωγο. Τότε είναι : Άρα από : = κ λ = κ λ κ = λ κ άρτιος κ άρτιος κ = µ κ = λ (µ) = λ 4µ = λ λ = µ λ άρτιος λ άρτιος λ = ν οπότε το κλάσµα κ λ = µ ν = µ ν Άρα το είναι άρρητος. δεν είναι ανάγωγο, το οποίο είναι άτοπο. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

15 Θέµα 1.8 Να γίνουν οι παρακάτω παραγοντοποιήσεις : i. x 5 + 4x 4 y + 6x ii. 3x + αx + 3y + αy iii. x 6x + 9 iv. x 4 v. x 3 8 vi. x 5x + 6 vii. x 6x + 9 Λύση 1.8 i. x 5 + 4x 4 y + 6x = x (x 3 + x y + 3) ii. 3x + αx + 3y + αy 1ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α) ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y) iii. x 6x + 9 = x 3 x + 3 = (x 3) iv. x 4 = x = (x )(x + ) v. x 3 8 = x 3 3 = (x )(x + x + ) = (x )(x + x + 4) vi. x 5x + 6 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ = ( 5) = 5 4 = 1 > 0. Άρα ϐρίσκουµε ότι : x 1 = β + α = ( 5) = = 6 = 3 οπότε x 1 = β α = ( 5) 1 1 = 5 1 x 5x + 6 = (x 3)(x ). = 4 = vii. x 6x + 9 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ = ( 6) = = 0, άρα x 1 = β α = ( 6) 1 = 6 = 3. οπότε x 6x + 9 = (x 3). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

16 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ίνεται η παράσταση : [ (x A = y 3) ( xy 3 ) ] ( ) 4 x 3 3 : y 1 i. Να δειχθεί ότι : A = x 9 y 9 ii. να ϐρείτε την τιµή της παράστασης για x = 01 και y = [ (xy. Να ϐρείτε την τιµή της παράστασης A = 1 ) ( : x 3 y 7) ] 1 για x = 0, 4 και y =, 5 3. i Να δειχθεί ότι (α + β) (α β) = 4αβ ii Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : ( ) ( ) Να γίνουν οι παρακάτω παραγοντοποιήσεις : i. 8αβ 4α ii. 5α β 10αβγ 0αβ δ iii. 5αβ 5βα iv. (α β)(x y) (α β)(x 3y) v. α(x y) β(y x) vi. α(3α 4) (4 3α) 3 vii. α 3α + αβ 3β viii. xy + x 1 y ix. αβ(x + y ) + xy(α + β ) x. 16x y 4 4κ 4 xi. 3α 3 β 7αβ 3 xii. 9 (α + 3β) xiii. 5x + 10x + 1 xiv. α 4αβ + 4β 4 xv. x 3x + xvi. x 3x + 5. Να ϐρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης : A = [x(xy + ) x( y )] : xy όταν x = 4, 15 και y = 3, Αν α + β = 1 αβ, να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης A = (α + β)3 α 3 β Αν αx(α + x) 0, να δείξετε ότι η παράσταση A = x ( x(α + x) 1 + α α α + x 1 ), είναι ανεξάρτητη των α, x. x 8. i. Να δειχθεί ότι : (α + β )(x + y ) (αx + βy) = (αy βx) ii. Να γράψετε το γινόµενο 5 6 ως άθροισµα τετραγώνων δυο ακεραίων. 9. Αν α 1 = 5, να υπολογίσετε τα γινόµενα : α i. α + 1 α ii. α 3 1 α 3 iii. α + 1 α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

17 iv. α α Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α 3 α + α i. α α (α α) + α ii. ( α 1 iii. α 1 ) α3 + α α (α + 1) 3 α + α + 1 iv. α 1 α + 1 α 3 1 v. (x + y) (x 1 + y 1 ) x + y vi. x y x 1 y 1 x ( y x 3 + y 3 ) ( ) x 11. Να δειχθεί ότι : x y : x y y = Να δείξετε ότι : i. Αν ο α είναι ϱητός και ο ϐ άρρητος, τότε ο α+β είναι άρρητος. ii. Αν ο α είναι ϱητός, µε α 0, και ϐ άρρητος, τότε ο αβ άρρητος. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

18 1. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.19 Πως ορίζονται οι έννοιες µεγαλύτερος από ή µικρότερος από ; Ενας αριθµός α είναι µεγαλύτερος από έναν αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν το α β > 0. Σ αυτή την περίπτωση λέµε επίσης ότι και α µικρότερο από το β και γράφουµε α < β. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι : Κάθε ϑετικός αριθµός θ είναι µεγαλύτερος από το µηδέν θ > 0 Κάθε αρνητικός αριθµός α είναι µικρότερος από το µηδέν α < 0 Κάθε ϑετικός αριθµός θ είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθµό α, θ > α Άρα ο αρχικός ορισµός γράφεται ισοδύναµα : α > β α β > 0 Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι όσο µεγαλύτερος είναι ένας αριθµός, τόσο ποιο δεξιά στον άξονα των πραγµατικών αριθµών ϐρίσκεται. Ερώτηση 1.0 Τι σηµαίνει ότι ο α είναι µεγαλύτερος ή ίσος από τον β ; Οτι α > β ή α = β Ερώτηση 1.1 Τι προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της διάταξης και τον τρόπο µε τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις ; i. Αν (α > 0 και β > 0) α + β > 0 ii. Αν (α < 0 και β < 0) α + β < 0 iii. α, β οµόσηµοι α β > 0 α β > 0 iv. α, β ετερόσηµοι α β < 0 α β < 0 v. α 0 για κάθε α R Το = ισχύει µόνο για α = 0 vi. α + β = 0 α = β = 0 vii. α + β 0 α 0 ή β 0 Ερώτηση 1. Να αναφέρετε τις ιδιότητες της διάταξης. i. Αν (α > β και β > γ) α > γ ii. α > β α + γ > β + γ iii. α > β γ>0 αγ > βγ iv. α > β γ>0 α γ > β γ v. α > β γ<0 αγ < βγ vi. α > β γ<0 α γ < β γ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

19 vii. Αν (α > β και γ > δ) α + γ > β + δ viii. Αν α, β, γ, δ > 0 µε (α > β και γ > δ) αγ > βδ ix. Αν α, β > 0 και ν ϑετικός ακέραιος τότε για : α > β α ν > β ν Ερώτηση 1.3 Είναι σωστό ή λάθος, ότι : αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ ; Είναι λάθος, γιατί, 15 > 5 και 5 > 1, άλλα δεν ισχύει 15 5 > 5 1. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΕΝ διαιρούµε ανισότητες κατά µέλη. Ερώτηση 1.4 Είναι σωστό ή λάθος, ότι : αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ; Είναι λάθος, γιατί : 10 > 9 και 8 > 1, άλλα δεν ισχύει 10 8 > 9 1. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΕΝ αφαιρούµε ανισότητες κατά µέλη. Ερώτηση 1.5 Είναι σωστό ή λάθος, ότι αν :α > β α > β; Είναι λάθος, γιατί : ( 3) >, άλλα δεν ισχύει 3 >. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

20 1.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 1.1 Για να αποδείξω µια ανισότητα, τα πηγαίνω όλα στο 1ο µέλος, κάνω απαλοιφές (αν γνωρίζω το πρόσηµο αυτού που πλλαπλασιάζω), κάνω τις πράξεις, τις παραγοντοποιήσεις αν χρειάζεται και προσπαθώ να καταλήξω σε κάτι το οποίο προφανώς ισχύει. Θέµα 1.9 Αν α, β, οµόσηµοι, τότε ν.δ.ο. α > β 1 α < 1 β Λύση 1.9 Αφού α, β, οµόσηµοι, αβ > 0, τότε έχουµε : α > β α αβ > β αβ 1 β > 1 α 1 α < 1 β Θέµα 1.10 Ν.δ.ο. α + β αβ Λύση 1.10 α + β αβ α + β αβ 0 (α β) 0 που ισχύει. Θέµα 1.11 Αν α > 0, τότε ν.δ.ο.: α + 1 α Λύση 1.11 α + 1 α αα + α 1 α α α + 1 α α + 1 α 0 (α + 1) 0 που ισχύει. Θέµα 1.1 Αν α < 0, τότε ν.δ.ο.: α + 1 α Λύση 1.1 Οµοίως µε το προηγούµενο. Θέµα 1.13 Ν.δ.ο. α + αβ + β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 0

21 Λύση 1.13 α + αβ + β 0 α + αβ + β 0 α + αβ + β + α + β 0 (α + β) + α + β 0 που ισχύει. Θέµα 1.14 Ν.δ.ο. α αβ + β 0 Λύση 1.14 Οµοίως µε το προηγούµενο. Θέµα 1.15 Ν.δ.ο. α + β 0 Λύση 1.15 Είναι : α 0 και α 0, άρα αν τις προσθέσουµε κατά µέλη έχουµε το Ϲητούµενο, α + β 0 Θέµα 1.16 Ν.δ.ο. α 0 α = 0 Λύση 1.16 i. Αν α = 0 τότε και α = 0 όποτε προφανώς, α 0 ii. Αν α 0 τότε α = 0 ή α < 0 το οποίο είναι αδύνατο. Άρα έχω µόνο το α = 0. Οπότε, α 0 α = 0 Θέµα 1.17 Αν x 0 και y > 0 τότε ν.δ.ο. x + y > 0 Λύση 1.17 x 0 x + y y > 0 Θέµα 1.18 Αν x 0 και y < 0 τότε ν.δ.ο. x + y < 0 Λύση 1.18 Οµοίως µε την προηγούµενη. Θέµα 1.19 Αν x y και α > β τότε ν.δ.ο. x + α > y + β Λύση 1.19 x y x y 0 α > β α β > 0 Άρα, (x y) + (α β) > 0 (x + α) (y + β) > 0 x + α > y + β Θέµα 1.0 Αν x y και α < β τότε ν.δ.ο. x + α < y + β Λύση 1.0 Οµοίως µε την προηγούµενη. Θέµα 1.1 Ν.δ.ο. α + β > 0 α 0 ή β 0 Λύση 1.1 Αντίστροφο : i. Αν α = 0 και β 0 τότε, α = 0 και β > 0 οπότε : α + β > 0 ii. Αν β = 0 και α 0 τότε, β = 0 και α > 0 οπότε : α + β > 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

22 iii. Αν α 0 και β 0 τότε, α > 0 και β > 0 οπότε : α + β > 0 Ευθύ : Αν α + β > 0 και α = β = 0 τότε α + β = 0 το οποίο είναι άτοπο. Άρα α 0 ή β 0 Θέµα 1. Εστω : 0 < α < β i. Να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς 1, α β, β α ii. Να δείξετε ότι πάνω στον άξονα ο α β είναι ποιο κοντά στο 1, από τον β α. Λύση 1. i. Επειδή, 0 < α < β, το α β < 1 και το β α > 1 Άρα έχουµε α β < 1 < β α. ii. Αρκεί να δείξουµε ότι : 1 α β < β α 1 Το αβ > 0 άρα, µε απαλοιφή έχουµε : 1 α β < β α 1 αβ1 αβ α β < αβ β α αβ1 που ισχύει. αβ α < β αβ α + β αβ > 0 (α β) > 0 Θέµα 1.3 Αν < x < 4 και 1 < y <, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών ϐρίσκονται οι παρακάτω παραστάσεις : i. x + y ii. x 3y x iii. y 1 iv. x + 1 y Λύση 1.3 i. Είναι : < x < 4 και 1 < y < προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : 3 < x + y < 6 ii. Είναι : < x < 4 4 < x < 8 και 1 < y < 6 < 3y < 3 προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : < x 3y < 5 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! εν µπορώ να αφαιρέσω κατά µέλη. iii. Είναι : < x < 4 4 < x < 16 και 1 < y < 1 < 1 y < 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

23 πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη, έχουµε : < x y < 16 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! εν µπορώ να διαιρέσω κατά µέλη. iv. Είναι : < x < < 1 x < 1 και 1 < y < 1 < 1 y < 1 προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : < 1 x + 1 y < Άρα : 3 4 < 1 x + 1 y < 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

24 1..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να αποδείξετε ότι : i. α + 9 6α ii. (α + β ) (α + β) iii. α + α + > 0. Να αποδείξετε ότι α + β α Πότε ισχύει η ισότητα ; 3. Να αποδειχθούν οι ανισότητες : i. α + β + γ γ(α β) ii. (α + β + γ) 4β(α + γ α 4. Αν 0 α < β, να δειχθεί ότι : 1 + α < β 1 + β 5. Αν α > 1 > β, να δειχθεί ότι : α + β ( > 1 + αβ 1 6. Αν α, β > 0, να δειχθεί ότι (α + β) α + 1 ) 4 β 7. ίνεται ένα κλάσµα α µε ϑετικούς όρους και ένας ϑετικός αριθµός γ. Να αποδείξετε β ότι : i. Αν α α + γ < 1, τότε β β + γ > α β ii. Αν α > 1, τότε α + γ β β + γ < α β 8. Αν α < β < 0, να δειχθεί ότι : α < αβ α + β < β 9. Αν α > β > 0, να δειχθεί ότι : α 3 β 3 > (α β) Αν 1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθµούς x 3 και x + x 11. Αν α < β, να συγκρίνετε τους αριθµούς A = α 3 β 3 και B = αβ βα. 1. Αν ν ϕυσικός µε ν 3, να δείξετε ότι : A = 10ν + 8 3ν + 1 < 13. i. Αν x > 0, να δειχθεί ότι :x + 1 ( x ii. Αν x, y > 0, να δειχθεί ότι : 1 + x ) + y ( 1 + y x) Αν 4 < x < 5 και < y < 6, να ϐρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων είναι η τιµή της κάθε παράστασης παρακάτω : i. x + y ii. x + 3y iii. 3x y iv. xy v. xy + 4 vi. x y 15. Αν 3 < x < και 4 < y < 1, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών είναι το γινόµενο xy. 16. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y σε κάθε µια, από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Αν (x ) + (y + 1) 0 ii. Αν x + y x + 4y Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 4

25 1.3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.6 Πως ορίζεται η απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού ; Θεωρούµε έναν αριθµό α που παριστάνεται µε το σηµείο A πάνω σε έναν άξονα. Σχήµα 1.1: Απόλυτη τιµή Η απόσταση του σηµείου A από την αρχή O, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος OA, ονοµάζεται απόλυτη τιµή του αριθµού α και συµβολίζεται α. Η απόλυτη { τιµή ορίζεται από τον τύπο : α, αν α 0 α = α, αν α < 0 Ερώτηση 1.7 Ποιες είναι οι ιδιότητες των απόλυτων τιµών ; i. α = α 0 ii. α 0, α α, α α iii. α = α iv. α β = α β v. α α = β β vi. α β α + β α + β vii. α ν = α ν Ερώτηση 1.8 Ποιες ιδιότητες των απόλυτων τιµών σχετίζονται µε την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων ; i. Αν θ > 0 τότε : i. x = θ x = θ ή x = θ ii. x = α x = α ή x = α ii. Αν θ > 0 τότε : i. x < θ θ < x < θ ii. x > θ x < θ ή x > θ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 5

26 Ερώτηση 1.9 Να αποδείξετε ότι : i. α β = α β ii. α α = β β iii. α + β α + β i. ii. που ισχυει. α β = α β α β = ( α β ) α β = α β α β = α β (α β) = α β α ( α β = β ( ) α = α β β ( ) α = α β β ) που ισχύει. iii. επειδή, και τα δυο µέλη της ανίσωσης, α + β α + β, είναι ϑετικά, έχουµε : α + β α + β α + β ( α + β ) (α + β) α + α β + β α + αβ + β α + α β + β αβ αβ που ισχύει. Προφανώς η ισότητα ισχύει µόνο αν αβ > 0, δηλαδή όταν α,β οµόσηµοι. Ερώτηση 1.30 Να δειχθεί ότι το µέσο του διαστήµατος [α,β] είναι : α + β Θεωρούµε το διάστηµα [α, ϐ] και Α,Β το σηµεία που παριστάνουν στον άξονα, τα άκρα α,β. Αν Μ το σηµείο που παριστάνει στον άξονα το µέσο του [α,β] το x 0, τότε ισχύει : ΜΑ = ΜΒ εποµένως : (MA) = (MB) d(x 0, α) = d(x 0, β) ο αριθµός x 0 = α + β x 0 α = x 0 β x 0 α = β x 0, αφου α < x 0 < β x 0 = α + β x 0 = α + β που αντιστοιχεί στο µέσο του ΑΒ, ονοµάζεται και κέντρο του Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

27 διαστήµατος [α,β], ενώ ο αριθµός ρ = β α λέγεται ακτίνα του [α,β]. Ερώτηση 1.31 Να γράψετε τη ανίσωση x x 0 < ρ σε µορφή διαστήµατος και σε µορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο. Για κάθε x 0 R και ρ > 0 ισχύει : x x 0 < ρ x (x 0 ρ, x 0 + ρ) x 0 ρ < x < x 0 + ρ Ερώτηση 1.3 Να γράψετε τη ανίσωση x x 0 > ρ σε µορφή διαστήµατος και σε µορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο. Για κάθε x 0 R και ρ > 0 ισχύει : x x 0 > ρ x (, x 0 ρ) (x 0 + ρ, + ) x < x 0 ρ ή x > x 0 + ρ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

28 1.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.4 Να αποδείξετε τις ισότητες : i) α β 3 = β α + 3 α ii) α = α α Λύση 1.4 i) Οι αριθµοί α β 3 και β α + 3 είναι αντίθετοι άρα ϑα έχουν και ίσες απόλυτες τιµές, επειδή α = α. α ii) α = α α α = α που ισχύει. Θέµα 1.5 Να ϐρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών : i) α ii) α iii) α + 1 iv) α + { α, α 0 Λύση 1.5 i) Είναι α = α = α, α < 0 ii) Αν α 0 = α, τότε α = α Αν α < 0 = α <, τότε α = α + Τα παραπάνω ϑα µπορούσαµε να τα υπολογίσουµε ϕτιάχνοντας έναν πίνακα προσήµων για το α. Λύνουµε την εξίσωση α = 0 και ϐάζουµε τη λύση της πάνω σ έναν άξονα όπως ϐλέπουµε στο σχήµα πίνακας προσήµων (1). εξιά από τη λύση α = ϐάζουµε το πρόσηµο του συντελεστή του αγνώστου και αριστερά το αντίθετο. { α, α Άρα έχουµε : α = α +, α < iii) Λύνουµε την εξίσωση α + 1 = 0 = α = 1 και µε τη ϐοήθεια του πίνακα προσήµων (), έχουµε : α+1 = iv) παρατηρούµε ότι α + > 0 άρα έχουµε : α + = α + { α + 1, α < 1 α 1, α 1 Σχήµα 1.: Πίνακας προσήµων (1) Σχήµα 1.3: Πίνακας προσήµων () Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

29 Θέµα 1.6 Να απλοποιηθεί η παράσταση A = x Λύση 1.6 Λύνουµε την εξίσωση x 1 = 0 = x = 1 και ϕτιάχνουµε τον πίνακα προσήµων (3) Άρα έχουµε τις περιπτώσεις : i) Για x < 1 είναι : A = x = ( x + 1) + 3 = x = x + 5 ii) Για { x 1 είναι : A = x = (x 1) + 3 = x + 3 = x + 1 x + 5, x < 1 Άρα A = x + 1, x 1 Σχήµα 1.4: Πίνακας προσήµων (3) Θέµα 1.7 Να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση A = 3 1 x + x + 5 Λύση 1.7 Εχω δυο απόλυτα και ϑα ϕτιάξω πίνακα προσήµων για το κάθε ένα ξεχωριστά Είναι οι πίνακες (4) και (5). Ενοποιούµε τους δυο πίνακες (4) και (5), σε έναν, τον πίνακα (6) Παρατηρούµε ότι προκύπτουν τρία διαστήµατα x < 1, 1 x και x > όπου ϑα πρέπει να προσδιορίσουµε το Α στο καθένα περίπτωση 1η Για x < 1 είναι : περίπτωση η Για 1 x είναι : περίπτωση 3η Για x > είναι : A = 3(1 x) + ( x + ) + 5 = 3 + 3x x = x + 6 A = 3( 1 + x) + ( x + ) + 5 = 3 3x x = 5x + 1 A = 3( 1 + x) + (x ) + 5 = 3 3x + x = x + 4 x + 6, x < 1 Άρα A = 5x + 1, 1 x x + 4, x > Σχήµα 1.5: Πίνακας προσήµων (4) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

30 Σχήµα 1.6: Πίνακας προσήµων (5) Σχήµα 1.7: Πίνακας προσήµων (6) Θέµα 1.8 Τι συµπεράσµατα ϐγάζετε για τους x, y, w R από τη σχέση i) x + y + w = 0; ii) x + y + w > 0; Λύση 1.8 Επειδή είναι για κάθε α R είναι α 0 για να ισχύει η i) ϑα πρέπει x = y = w = 0 ενώ για να ισχύει η ii) ϑα πρέπει κάποιο από τα x, y, w να είναι 0 Θέµα 1.9 Αν x + y 3 + 3x y + 1 = 0, να ϐρείτε τα x, y. Λύση 1.9 Σύµφωνα µε τα συµπεράσµατα της προηγούµενης άσκησης, ϑα πρέπει x + y 3 = 0 3x y + 1 = 0 λύνοντας το σύστηµα ϐρίσκουµε x = 1 y = Θέµα 1.30 Να απαντήσετε στα παρακάτω i) Πότε ισχύει α + β = α + β ; ii) Να αποδειχθεί η σχέση : α β α + β. Πότε ισχύει το =; Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 30

31 Λύση 1.30 i) α + β = ( α + β ) (α + β) = ( α + β ) α + β + αβ = α + β + α β α + β + αβ = α + β + α β αβ = α β αβ 0 ii) άρα οι α, β είναι οµόσηµοι α β α + β α β α + β ( α β ) (α + β) α + β α β α + β + αβ α β αβ α β αβ αβ αβ το οποίο ισχύει, άρα ισχύει και το αρχικό το = προφανώς ισχύει όταν αβ 0 δηλαδή όταν α, β είναι ετερόσηµοι. Θέµα 1.31 Αν α β 1 και β γ, να αποδείξετε ότι α γ 3 Λύση 1.31 Είναι : α γ = α β + β γ α β + β γ 1 + = 3 Θέµα 1.3 Αν x <, να αποδείξετε ότι 3x 5x Λύση 1.3 Είναι : 3x 5x + 1 = 3x + ( 5x) + 1 3x + 5x + 1 = 3 x + 5 x = = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 31

32 Θέµα 1.33 Να δειχθεί ότι : i) Αν α + 4 α + 1 =, τότε α = x y + y x ii) Αν =, τότε x, y οµόσηµοι µε x, y 0. xy Λύση 1.33 i) α + 4 α + 1 = α + 4 α + 1 = ii) α + 4 = α + 1 α + 4 = 4 α + 1 (α + 4) = 4(α + 1) α + 8α + 16 = 4(α + α + 1)... α = 4 α = α = x y + y x xy = x y + y x = xy x y + y x = 4 xy (x y + y x ) = 4(xy) x y + xy xy + x y = 4x y xy xy = x y (x, y 0) xy = xy xy > 0 άρα x, y οµόσηµοι. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

33 1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιµές (αʹ) π 3 (ϐʹ) π 4 (γʹ) 3 π + 4 π (δʹ) 3 3. Αν 3 < x < 4 να γράψετε χωρίς απόλυτη τιµή την παράσταση A = x 3 + x 4 3. Να γράψετε χωρίς απόλυτη τιµή την παράσταση A = x 3 4 x αν : (αʹ) x < 3 (ϐʹ) x > 4 4. Αν α < β < γ να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση : Π = α β + 3 γ α β γ 5. Αν 0 < β < α να απλοποιηθεί η παράσταση : Π = 3 α β β α + α + β 5 α + β 6. Αν α β, να ϐρείτε την τιµή της παράστασης α β β α 7. Να γραφούν χωρίς απόλυτα οι παραστάσεις (αʹ) x + (ϐʹ) 3x (γʹ) 4x 3 (δʹ) x + 1 (εʹ) 3x 8. Να γραφούν χωρίς απόλυτα οι παραστάσεις (αʹ) x + x + 1 (ϐʹ) x + 3 x x (γʹ) x 3 (δʹ) x 3 x 1 7 x 5 (εʹ) 7 x + 6 x x Αν x 0 και y 0 να ϐρείτε τις τιµές που µπορεί να πάρει η παράσταση : x x + y y 10. Να αποδείξετε ότι : x y x w + w y. 11. Αν α > β, να αποδείξετε ότι α + β + α β (αʹ) α = α + β α β (ϐʹ) β = 1. Τι σηµαίνει για τους αριθµούς x και y (αʹ) η ισότητα x + y = 0; (ϐʹ) η ανισότητα x + y > 0; 13. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β R, για τους οποίους ισχύει : (αʹ) α β + 3 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

34 (ϐʹ) (α + β ) + 3α 5β + = Να ϐρεθεί ο αριθµός α, όταν : (αʹ) α α α 1 = 0 (ϐʹ) α 1 + α + 1 = ίνονται οι αριθµοί 1, α β, β α, µε 0 < α < β (αʹ) Να τους διατάξετε (ϐʹ) Να δείξετε ότι στον πραγµατικό άξονα ο α β είναι ποιο κοντά στο 1 από ότι, ο β α 16. Αν είναι : x και y 5,, να αποδείξετε ότι : (αʹ) 3x + y 11 (ϐʹ) x 3y + 11 < Αν α 1, να αποδείξετε ότι : 3α 3 + α 8 < Αν α και β 1, να αποδείξετε ότι : α 4β Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως δείχνει η πρώτη γραµµή του. Απόλυτη Τιµή Απόσταση Ανίσωση ιάστηµα x 4 d(x, 4) x 6 [, 6] x + 3 < 4 x 4 > x d(x, 5) < 1 d(x, 1) > d(x, 5) 1 d(x, 1) x < 5 ήx > 1 5 x 1 (, ) (, ] [, ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 34

35 1.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.33 Πως ορίζεται η τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού ; Η τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Άρα µπορούµε να πούµε ότι : Αν α 0, η α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x = α. Ερώτηση 1.34 Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ϱίζας; i. α = α, α R ii. α = α, α 0 iii. α β = αβ, α, β 0 iv. α β = α β, α 0, β > 0 Ερώτηση 1.35 Πως ορίζεται η ν-οστή ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού ; Η ν-οστή ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε ν α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στην ν, δίνει τον α, µε ν N. Άρα µπορούµε να πούµε ότι : Αν α 0, η ν α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x ν = α. Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Είναι 1 α = α και α = α Ερώτηση 1.36 Ποιες είναι οι ιδιότητες της ν-οστής ϱίζας; i. ν α ν = α αν α R και ν άρτιος ν ii. α ν = ν α ν = α, α 0 ν iii. α ν β = ν αβ, α, β 0 ν α α iv. ν = β ν β, α 0, β > 0 µ v. ν α = µν α, α 0 νρ vi. α µρ = ν α, α 0 vii. ν α κ = ( ν α) κ viii. ν α ν β = α ν β ix. Αν α, β 0 τότε για α < β ν α < ν β Ερώτηση 1.37 Πως ορίζεται η δύναµη µε ϱητό εκθέτη; Αν α > 0, µ Z, ν N, τότε ορίζουµε α µ ν = ν α µ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 35

36 Αν µ, ν N τότε ορίζουµε 0 µ ν = 0 Ερώτηση 1.38 Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες : ν i. α ν β = ν αβ, α, β 0 ν α α ii. ν = β ν β, α 0, β > 0 µ iii. ν α = µν α, α 0 νρ iv. α µρ = ν α, α 0 i. ii. iii. iv. που ισχύει. που ισχύει. ν α ν β = ν αβ ( ν α ν β) ν = ( ν αβ) ν ( ν α) ν ( ν β)ν = αβ αβ = αβ ν α ν β = ν α β ( ν α ν β ) ν = µ ν α = µν α ( ν α) ν ( ν β ) ν = α β α β = α β ( ν α β ) ν ( ) µν µ ν α = ( µν α ) µν [( ) µ ] ν µ ν α = α ( ν α ) ν = α που ισχύει. νρ α µρ = ν ρ α µρ = ν ρ (α µ ) ρ = ν α µ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 36

37 1.4. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1. Παραστάσεις, που περιέχουν ϱιζικά ϑα ορίζονται, όταν οι υπόρρι- Ϲες ποσότητες είναι µεγαλύτερες ή ίσες του µηδενός (α 0). (Παράδειγµα 5) Αν η παράσταση του υπόρριζου είναι στο τετράγωνο, τότε ϑα εφαρµόζουµε την ιδιότητα : α = α, α R. (Παράδειγµα 1) Για να ϐρούµε το εξαγόµενο µιας πράξης µε ϱιζικά, αναλύουµε τον κάθε υπόρριζο αριθµό σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. (Παράδειγµα ) Για να µετατρέψουµε παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητό παρονοµαστή, διακρίνουµε τις µορφές και πολλαπλασιάζουµε : Αρχική µορφή Πολλαπλασιασµός αριθµητή και παρονοµαστή µε A α α A ν ν α κ α ν κ A α β α ± β A 3 3 α ± 3 α 3 α 3 β + 3 β β (Παραδείγµατα 8, 9) Ολες οι ιδιότητες των δυνάµεων ισχύουν και στους ϱητούς εκθέτες. Το γεγονός αυτό διευκολύνει τις πράξεις µε ϱιζικά, που µπορούν να γίνουν δυνάµεις µε ϱητό εκθέτη. Αν α > 0, µ Z, ν N, τότε : α µ ν = ν α µ Θέµα 1.34 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i. A = ( ) ii. B = x 4 x + 1 iii. Γ = α 4 β α β 4 Λύση 1.34 i. ii. A = ( ) = = + Επειδή < 0, αφού <. B = x 4 x + 1 = (x 1) = x 1 Εδώ επειδή δεν γνωρίζουµε το πρόσηµο του x 1 αφήνουµε το αποτέλεσµα όπως είναι, µε το απόλυτο. iii. Γ = α 4 β α β 4 = (α β) (αβ ) = α β αβ = α β α β Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 37

38 5 5 = Θέµα 1.35 Να ϐρείτε το εξαγόµενο : Λύση 1.35 Αναλύουµε τα υπόρριζα σε γινόµενο πρώτων παραγόντων : Άρα 8 = Άρα 18 = Άρα 7 = Άρα 50 = 5 Εποµένως, αντικαθιστώντας έχουµε : = = = = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 38

39 Θέµα 1.36 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. 3 ii Λύση 1.36 Θα γράψουµε το κάθε υπόρριζο ως τέλειο τετράγωνο ενός αριθµού i. Θεωρώ το ως το διπλάσιο γινόµενο ενός αναπτύγµατος της ταυτότητας, διαφορά στο τετράγωνο (α β) = α αβ + β κι έχουµε : 3 = + 1 = = + 1 ( 1) = 1 = 1 γιατί > 1 ii. Θεωρώ το 15 ως το διπλάσιο γινόµενο ενός αναπτύγµατος της ταυτότητας, άθροισµα στο τετράγωνο (α + β) = α + αβ + β κι έχουµε : = γιατί > 0 = = ( 5 + 3) = = Θέµα 1.37 Να γράψετε µε µόνο µια ϱίζα τις παραστάσεις : i. A = ii. B = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 39

40 Λύση 1.37 i. A = = = 1 3 ii. 3 = 1 3 = = 8 3 B = = = = = = Θέµα 1.38 Για ποιες τιµές των µεταβλητών έχουν νόηµα οι παραστάσεις i. 11 x 3 ii. x 1 iii. ν 5x 5 iv. α + 8 Λύση 1.38 Για να έχουν νόηµα οι παραστάσεις µε ϱίζες, ϑα πρέπει οι υπόρριζες ποσότητες να είναι 0. i. 11 x 0 x 11 ii. iii. iv. x [, 11] x 1 0 x 1 x 1, x 1 5x 0 5x x (, 1] [1, + ) x 5 x (, 5 ] α το οποίο ισχύει για κάθε α R Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 40

41 Θέµα 1.39 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i. A = ii. B = Λύση 1.39 i. A = = 3 (3 3)(3 + 3) = = = 3 6 = 3 3 = 3 = 3 ii. B = = (7 4 3)( ) = = = 1 = 1 Θέµα 1.40 Να συγκρίνετε τους αριθµούς : 3 3 και Λύση 1.40 Επειδή οι ϱίζες είναι διαφορετικής τάξης, ϑα ϐρούµε το ε.κ.π.(,3)=6 και ϑα εφαρµόσουµε την ιδιότητα : ν α ρ = µ ν α µ ρ Είναι 3 3 = 3 3 = 6 9 και = 3. 3 = 6 8 Επειδή 6 9 > 6 8 είναι 3 3 > Θέµα 1.41 Να συγκριθούν οι αριθµοί α = και β = Λύση 1.41 Επειδή, όπως δίνονται οι αριθµοί δεν µπορούν να συγκριθούν, ϑα συγκρίνου- µε τα τετράγωνα τους. Γιατί αν α, β 0 και α β τότε α β Είναι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 41

42 α = (5 + 3) = = β = (3 + 5) = = Τώρα πρέπει να συγκρίνω τα α, β α β = ( ) = = 14 + ( ) Επειδή (5 3) = 5 3 = 75 και (3 5) = 9 5 = > > 0 οπότε α β > 0 άρα α > β άρα α > β Θέµα 1.4 Να µετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητούς παρονοµαστές i. 3 ii. iii. iv. v Λύση 1.4 i. Πολλαπλασιάζω µε το 3 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : = = 3 3 = 3 3 ii. Πολλαπλασιάζω µε το και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 4

43 1 = 1 = = iii. Πολλαπλασιάζω µε = 4 5 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : = = = iv. Πολλαπλασιάζω µε τη συζυγή παράσταση του παρονοµαστή και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : 5 1 = ( 5 + 1) ( 5 1) ( 5 + 1) = ( 5 + 1) 5 1 = ( 5 + 1) 5 1 = ( 5 + 1) 4 v. Πολλαπλασιάζω µε τη συζυγή παράσταση του παρονοµαστή 7 3 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : = 4 ( 7 3) ( 7 + 3) ( 7 3) = 4 ( 7 3) 7 3 = 4 ( 7 3) 7 3 = 4 ( 7 3) 4 = 7 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 43

44 Θέµα 1.43 Να µετατρέψετε την παράσταση σε ισοδύναµη µε ϱητό παρονοµαστή Λύση 1.43 Θα πολλαπλασιάσουµε και ϑα διαιρέσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή µε παράγοντα που ϑα µας δώσει στον παρονοµαστή διαφορά κύβων, ώστε να απλοποιηθούν οι τρίτες ϱίζες µε τους κύβους. Θα προσπαθήσουµε λοιπόν να εµφανίσουµε την ταυτότητα α 3 β 3 = (α β)(α αβ + β ) Για τη συγκεκριµένη άσκηση α = 3 3 και β = 3 άρα, ϑα πολλαπλασιάσουµε και ϑα διαιρέσουµε µε Εχουµε : = ( ) ( )( ) = ( ) = ( ) 3 = ( ) = ( ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 44

45 1.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε τις ϱίζες : (αʹ) (π 4) (ϐʹ) ( 0) (γʹ) (x 1) x (δʹ) 4. Να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης : A = α + 3αβ 5β για α = και β = Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α i. A = α x (x + 1) ii. B = x x + 1 iii. Γ = x x x x iv. ( 3 1) + ( + 1) Να δείξετε ότι : ( 3 ) + ( 3 + ) = 4 5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. A = α 4 β + α β 4 ii. B = ( ) + ( 5 1) iii Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. A = 3 ii. B = iii. Γ = 17 1 iv. = v. E = vi. Z = Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i ii. ( ) (1 + 5) iii iv. ( 8 18) ( ) v vi Να αποδείξετε ότι : i. + = 3 3 ii = 9. Να αποδείξετε ότι : 5 1 i. 75 = 10 ii = 18 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 45

46 10. Αν α = + + 3, β = + 3 και γ = + 3 να δείξετε ότι : α β γ = Για ποιες τιµές του x ορίζονται οι παραστάσεις i. x 1 ii. 1 3x iii. x + x x + 1 iv. 3 x v. x + 1 x vi. 5 + x vii. x 4 viii. x ίνεται η παράσταση A = ( x 5 x + 3) ( x 5 + x + 3) i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να αποδείξετε ότι Α= ίνεται η παράσταση A = x + x 1 + x x 1 i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να απλοποιήσετε την Α. 14. Να συγκριθούν οι αριθµοί : i. 3 και 5 3 ii. + 3 και + 7 iii. 7 και 5 + iv. 1 και 3 v. 3 + και Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις 3 i. α 3 3 ii. α 3 α y iii. 9x 3x 3 iv. α 3 β 6 γ 1 3 v. 64x x 3 y vi. y x 4 3 vii viii ix. α 3ν+µ x xi. α α 3 α 16. Να αποδείξετε ότι : α µ 4ν 3 i. = 3 9 ii = iii = iv. 3 = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 46

47 v = Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 3 i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii α 5 x 4 x 3 3 ix. 9 x 3 x xi Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 1 i. 3 4 ii. 5 3 iii. 3 1 iv. v. vi. vii. viii Να αποδείξετε ότι : 3 5 i. + = ii. 1 ( 3) 1 ( + 3) = Να αποδείξετε ότι : i = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 47

48 ii Αν α, β > 0 τότε : α α β β α β = (α + β) + αβ 1. i. Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα των (3 + 7) και (3 7) ii. Να αποδείξετε ότι : = 6. Να ϐρείτε τους αντίστροφους των αριθµών α = 3 και α = Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 7 i ii Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή i ii Να συγκρίνετε τους αριθµούς i. 5 και ii. 6 και 4 4 iii. 4 6 και Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : A = [ ] α 3 β (α β ) 1 (α 1 ) 3 3 για α = και β = 1 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 48

49 Βιβλία Ιστοσελίδες. Βιβλιογραφία.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες

50

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 15 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 7 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Πράξεις Ρητών Παραστάσεων. Θεµατικές Ενότητες:. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων µε Κοινό Παρονοµαστή.. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Αλγεβρικές Παραστάσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

( ) λ( ) ( ) ( ) 2. 3α β 27αβ 10. x x αx αy βx βy x y y x x x x. 4 x x x y x y x y y. B Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: x y x y x x y a x a x

( ) λ( ) ( ) ( ) 2. 3α β 27αβ 10. x x αx αy βx βy x y y x x x x. 4 x x x y x y x y y. B Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: x y x y x x y a x a x A Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. kx x kx x kx x kx x x 8 x 5x 10 x x x x x x. λ 5x 10x 5 x x 10 x x x κ x x κ ( x ) λ( x ). ( α 1 )( x ) α ( x ) ( α 1)( x ) α ( x ) ( α )( x ) α ( x ). 1x 1 kx

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α Λυκείου που θέλουν ένα μεθοδικό και πλήρες βοήθημα στην Άλγεβρα. Το μάθημα αυτό αποτελεί τη γέφυρα ανάμεσα στο γυμνάσιο και το

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» y y=x 2 y=(x-2) 2 y=(x-2) 2-1 0 1 2 3 x -1 Τόμος 2ος Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 9 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.9: Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Θεµατικές Ενότητες:. Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Ρητή αλγεβρική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΚΠ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

Α. ΕΚΠ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 8 Κεφάλαιο 1o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα 1.8: ΕΚΠ και ΜΚ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Θεµατικές Ενότητες: 1. ΕΚΠ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων.. ΜΚ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( ) Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα