ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΤΡΩΝ

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΤΡΩΝ Η άλγεβρα πινάκων μας επιτρέπει: Να γράψουμε με περιεκτικό τρόπο ένα μεγάλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων Να ελέγξουμε την ύπαρξη λύσης σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τη χρησιμοποίηση της ορίζουσας και, Μέσω μίας μεθόδου που μας δίνει, να βρούμε τη λύση ενός γραμμικού συστήματος, εάν υπάρχει Η άλγεβρα πινάκων είναι εφαρμόσιμη μόνο σε γραμμικά συστήματα εξισώσεων

2 Έστω ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων α x +α x + +α x =d α x +α x + +α x =d α x +α x + +α x =d Σύνολο των συντελεστών α ij Σύνολο των μεταβλητών x Σύνολο των σταθερών όρων A x x x d x d d d Το σύστημα μπορεί τώρα να γραφτεί με την βοήθεια πινάκων ως: Αx=d

3 Ο Πίνακας ή Μήτρα ορίζεται ως μία διάταξη αριθμών τοποθετημένων σε γραμμές και σε στήλες Ο πίνακας γράφεται ως εξής: A ij Η παραπάνω διάταξη αριθμών ονομάζεται πίνακας ή μήτρα γραμμών και στηλών Εάν = έχουμε πίνακα γραμμή στήλη Εάν = τότε έχουμε τον τετραγωνικό πίνακα και τα στοιχεία α, α, α θα αποτελούν την κύρια διαγώνιο του πίνακα ενώ τα στοιχεία α -, α - αποτελούν τα στοιχεία της δευτερεύουσας διαγωνίου

4 ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Μοναδιαίος Πίνακας Άνω τριγωνικός 9 8 A Κάτω τριγωνικός 9 8 A Διαγώνιος Πίνακας 4 A Ανάστροφος Πίνακας A T A Συμμετρικός Πίνακας ως προς την κύρια διαγώνιο αν ισχύει α ij =α ji

5 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ Πρόσθεση και Αφαίρεση Πινάκων Δύο πινάκες μπορούν να προστεθούν εάν και μόνο εάν έχουν την ίδια διάσταση A, και, Β ij ij A B Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό k k ka k k k k k

6 Πολλαπλασιασμός Πινάκων Έστω δύο πίνακες Αx και Βcxd Μπορεί να γίνει ο πολλαπλασιασμός των δύο πινάκων εάν και μόνο εάν =c Το γινόμενο των δύο πινάκων είναι ένας νέος πίνακας F διαστάσεων xd του οποίου τα στοιχεία δίνονται από την σχέση: f Παράδειγμα: ij d id * dj AB

7 Διαδικασία Πολλαπλασιασμού A,, B ΑΒ=C=[c c, c ] c = + c = + c = + ΠΡΟΣΟΧΗ c c c ΑΒ ΒΑ k k k k k k k k k AB BA

8 ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ, ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Αριθμητική Άλγεβρα Μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης Μεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Επιμεριστική ιδιότητα α+β=β+α αβ=βα α+β+γ=α+β+γ αβγ=αβγ αβ+γ=αβ+αγ Άλγεβρα Πινάκων Μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης Μεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού δεν ισχύει Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Επιμεριστική ιδιότητα Α+Β=Β+Α ΑΒ ΒA Α+Β+Γ=Α+Β+Γ ΑΒΓ=ΑΒΓ ΑΒ+Γ=ΑΒ+ΑΓ

9 ΤΑΥΤΟΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Πάντα τετραγωνικός πίνακας ΙΑ=ΑΙ=Α,, Έ ό Η παρουσία ή η απουσία ενός ταυτοτικού πίνακα δεν αλλοιώνει το γινόμενο δύο πινάκων p p B A B AI B I Το τετράγωνο ενός ταυτοτικού πίνακα είναι ίσο με τον ίδιο k I ά,, Αυτοδύναμος Πίνακας

10 ΜΗΔΕΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Σε αντίθεση με τον ταυτοτικό πίνακα, ένας μηδενικός πίνακας μπορεί δεν περιορίζεται να είναι μόνο τετραγωνικός Ιδιότητες μηδενικών Πινάκων,, ή,, q q p A A A

11 ΙΔΙΟΡΡΥΘΜΙΕΣ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ ΒΑ αβ= τότε α= ή β= για τους πίνακες δεν ισχύει το ανάλογο 4 4 ά cd=ce με c τότε d=e το ίδιο δεν ισχύει για τους πίνακες E D CE CD E D C, 4 8,, 9 6

12 ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Δύο πίνακες είναι ανάστροφοι όταν οι γραμμές και οι στήλες τους αντιμετατίθενται δηλαδή η πρώτη γραμμή του ενός είναι η πρώτη στήλη του άλλου κοκ Συμβολίζεται με Α ή Α Τ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Εάν υπάρχει συμβολίζεται με Α - και ορίζεται μόνο εάν ο Α είναι τετραγωνικός πίνακας και σε αυτή την περίπτωση ικανοποιεί την συνθήκη: ΑΑ - =Α - Α=Ι Εάν ένας πίνακας δεν έχει αντίστροφο καλείται ιδιάζων Οι Α και Α - είναι μεταξύ τους αντίστροφοι Δύο αντίστροφοι πίνακες έχουν ακριβώς την ίδια διάσταση και το γινόμενο τους είναι ένας ταυτοτικός πίνακας της αυτής διάστασης Εάν ο αντίστροφος υπάρχει τότε είναι μοναδικός ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ:

13 Πεπερασμένες Αλυσίδες Mrkov Οι αλυσίδες Mrkov χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν ή να εκτιμήσουν διαχρονικές τάσεις Κάθε στοιχείο του πίνακα Mrkov είναι η πιθανότητα μετάβασης από την μία κατάσταση τοποθεσία εργασία κτλ σε μία άλλη Υπάρχει επίσης ένα διάνυσμα που περιέχει την αρχική κατανομή των διαφόρων καταστάσεων

14 Πεπερασμένες Αλυσίδες Mrkov Αν συμβολίσουμε με Α t και Β t τους πληθυσμούς της Α και Β επιχείρησης αντίστοιχα σε κάποια χρονική στιγμή t, ορίζουμε τις πιθανότητες μετάβασης ως εξής: P AA = Η πιθανότητα ένας υπάλληλος της Α να παραμένει στην Α P AΒ = Η πιθανότητα ένας υπάλληλος της Α να μεταβεί στην Β P ΒA = Η πιθανότητα ένας υπάλληλος της Β να μεταβεί στην Α P ΒΒ = Η πιθανότητα ένας υπάλληλος της Β να παραμένει στην Β Αν παραστήσουμε την κατανομή των υπαλλήλων στους δύο κλάδους την χρονική στιγμή ως διανυσματική μορφή: και τις πιθανότητες μετάβασης σε μορφή πίνακα Τότε η κατανομή των υπαλλήλων στους δύο κλάδους την επόμενη χρονική περίοδο t+ είναι: X X X

15 Πεπερασμένες Αλυσίδες Mrkov Για να βρούμε την κατανομή των υπαλλήλων μετά από δύο περιόδους: Γενικώς για περιόδους ισχύει:

16 Απορροφόσες Αλυσίδες Mrkov Εκτείνοντας το υπόδειγμα προσθέτοντας μία Τρίτη επιλογή: Οι υπάλληλοι μπορούν να εγκαταλείψουν την εταιρεία τομέα με P AΕ = Η πιθανότητα ένας υπάλληλος της Α να επιλέξει την έξοδο P ΒΕ = Η πιθανότητα ένας υπάλληλος της Β να επιλέξει την έξοδο P ΕΑ, Ρ ΕΒ και Ρ ΕΕ είναι οι πιθανότητες ένας υπάλληλος που είναι τώρα στην κατάσταση Ε να πάει στην Α, Β ή Ε, αντίστοιχα και είναι ίσες με,, και αντίστοιχα Με άλλα λόγια, καθένας που φεύγει δεν επιστρέφει Αυτοί οι περιορισμοί συνεπάγεται ότι η εταιρείας ποτέ δεν αντικαθιστά έναν υπάλληλο που φεύγει δεν υπάρχουν νέες προσλήψεις