Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

2 Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες m Μέγεθος του Α Συμβολισμοί a a a a a a a a a m m2 m ( a ), i m, j M (F) m ή Το σύνολο των m πινάκων με στοιχεία από το σύνολο F M (F) F m Αν m ο πίνακας ονομάζεται Τετράγωνος ή Τετραγωνικός ή F Το σύνολο των τετράγωνων πινάκων με στοιχεία από το F R ή C Ορισμός Πίνακα ως Συνάρτηση : F, {,2,..., m}, {,2,...,} 2 2

3 Ειδικές Περιπτώσεις Πινάκων Πίνακας Γραμμή [ ] a a2 a Πίνακας Στοιχείο [ α ] Πίνακας στήλη m a a am 2 Αναπαράσταση Διανύσματος στον m Ίχνος Τετράγωνου Πίνακα tr( ) a a... a a 22 ii i Ισότητα δύο Πινάκων Πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος και τα ομοθέσια στοιχεία τους να είναι ίσα Άθροισμα Διαγώνιων Στοιχείων

4 Σύνθετος Πίνακας Πίνακας που περιέχει μικρότερους υποπίνακες ως στοιχεία του m pq 2 s s r r 2 rs m ( ) όπου οι είναι πίνακες με m m και π.χ. 35 p q r p p pq s q q

5 Σύνθετος Πίνακας Ένας πίνακας m διαμέριση ως προς τις γραμμές του: m μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετος πίνακας με a a2... a R a2 a22... a 2 R am am2... am Rm Επίσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετος πίνακας με διαμέριση ως προς τις στήλες του: a a2... a a a... a am am2... am [... ] m C C2 C

6 Άνω και Κάτω Τριγωνικός Άνω Τριγωνικός a 0 i > j m Όλα μηδέν Κάτω Τριγωνικός Κύρια Διαγώνιος a 0 i< j ( i j) m

7 Μηδενικός Διαγώνιος Ταυτοτικός Μηδενικός O m Διαγώνιος m a a 0 i j 0 i, j O Ταυτοτικός a i j, a 0 i j I Τετράγωνος Διαγώνιος I

8 Ανάστροφος Συμμετρικός Αντισυμμετρικός Ο ανάστροφος ενός mx πίνακα, είναι ο xm πίνακας που προκύπτει από τον αν τις γραμμές του τις γράψουμε ως στήλες ( ) ( ),, a a i j m Συμμετρικός Πίνακας: Αν Αντισυμμετρικός Πίνακας: Αν ji Στη διαγώνιο έχουμε αναγκαστικά 0 a a, i, j ji Ισχύει γενικά ( ) Τετράγωνος πίνακας με Τετράγωνος πίνακας με a a, i, j ji

9 Συζυγής Ερμιτιανιός Αν M m ( ) τότε ο συζυγής του ορίζεται ως ( a ), i, j 3 + 4i i 3 4i i i i Ερμιτιανός Πίνακας Αν o τετράγωνος και ισχύει ότι ( ) 3 2+ i i 2 i 7 4 i i 4+ i Η διαγώνιος περιέχει πάντοτε μόνον πραγματικούς αριθμούς M ( ) και ο Ερμιτιανός ο Συμμετρικός

10 Πρόσθεση Πινάκων Αν ( ) B, M m F Ιδιότητες τότε ( ) ( ) ( ) + B a + b a + b + B B+ + ( B+ C) ( + B) + C O+ + O + ( ) O ( + B) + B ( + B) ( ) + ( B) Πρέπει και οι δύο να έχουν το ίδιο μέγεθος Αντιμεταθετική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Μηδενικό (ή Ουδέτερο) Στοιχείο Αντίθετος Πίνακας Κάθε Τετράγωνος πίνακας γράφεται ως άθροισμα ενός Συμμετρικού και ενός Αντισυμμετρικού πίνακα: Τ Τ ( + ) + ( ) 2 2

11 Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Πίνακα M ( F) Αν και τότε m λ F ( ) ( ) λ λ a λa Ιδιότητες λ λ λ( + B) λ+ λb λµ λ µ ( ) ( ) λ + µ λ + µ ( ) λ ( ) λ ( ) Αντιμεταθετική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Αντίθετος πίνακας

12 Γινόμενο Πινάκων M ( F) Αν και τότε m k ( F) ( F) B M k C B M m Πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα να ταυτίζεται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου k c ab ab + ab ab, i, j is sj i j i2 2 j ik kj s Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων i γραμμής του Α και j στήλης του Β c a a a b b b (,,, ) (,,, ) i i2 ik j 2 j kj Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων σε μορφή πινάκων Έστω u, v N N τότε uv uv με τη διαφορά βέβαια ότι το αριστερό μέλος δίνει αριθμό ενώ το δεξιό μέλος δίνει πίνακα x

13 Γραμμικός Συνδυασμός στοιχείων ενός συνόλου Είναι μία έκφραση, η οποία κατασκευάζεται από ένα σύνολο όρων (συνήθως διανυσμάτων) πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με μία σταθερά (συνήθως πραγματικού αριθμού) και αθροίζοντας τα γινόμενα: cv + cv cv π.χ. 2α + 3b c 6 2B όπου α, bc, όπου B, M m ( ) 3 f( x) + 5 gx ( ) όπου f, g:

14 Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του Β Η i γραμμή του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β με συντελεστές τις συνιστώσες της i γραμμής του Α m k a a a a a a a a... a 2 k k m m2 mk B k b b2... b R b2 b22... b 2 R bk bk 2... bk Rk C m ar + a2r a krk a2r + a22r a2kr k B... am R+ am2r amk Rk

15 Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α Η j στήλη του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α με συντελεστές τις συνιστώσες της j στήλης του Β a a2... a k a a... a am am2... amk [... ] k m k C C2 Ck B k b b2... b b b... b bk bk 2... bk C B b C + b C b C b C + b C b C m 2 2 k k 2 2 k k

16 Παραδείγματα Γινομένου Πινάκων B C B Μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε γραμμή του C ως γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β. Για παράδειγμα για τη 2 η γραμμή θα έχουμε: [ ] + [ ] + [ ] [ ] [ ] Επίσης μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε στήλη του C ως γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α. Για παράδειγμα για τη 3 η στήλη θα έχουμε:

17 Παραδείγματα Γινομένου Πινάκων Πίνακα με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) X C X Το ίδιο μπορεί να γραφεί και σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α C X

18 Παραδείγματα Γινομένου Πινάκων Πίνακα Γραμμή με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) 3 [ 2 4 3] B [ ] [ ] C B Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) με Πίνακα Γραμμή B 3 [ 2 4 3] C B

19 Ιδιότητες Γινομένου Πινάκων Έστω οι B ( B+ C) B+ C ( B+ C) B+ C ( B) λ B λ B ( λb) ( ) ( ) BC,, B B I I O O O Τετράγωνοι, τότε Δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα (Εν γένει) Επιμεριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα Ουδέτερο στοιχείο M ( F) Αν τότε οι πίνακες και είναι συμμετρικοί m

20 Δύναμη Τετράγωνου Πίνακα Προσοχή: ( ) ( )( ) ( ) k k k B B B B B k k ( ) B + B+ B+ B + 2B+ B k Ισχύει ο Διωνυμικός Τύπος k + I I k ( )! όπου k k!( k)! + I + 2+ I π.χ. ( ) , Για Διαγώνιους πίνακες k diag( a k, a k 2,, a k )

21 Πράξεις Σύνθετων Πινάκων Έστω ( ), ( ) ( F) B B M m και λ F Βαθμωτό γινόμενο Πρόσθεση Πινάκων ( ) ( ) λ λ λ ( ) ( ) ( ) + B + B + B Προϋπόθεση: Τα μεγέθη των υποπινάκων πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να ορίζονται οι κατάλληλες πράξεις μεταξύ τους. Γινόμενο Πινάκων k B C ( C ) C B B + B B, i, j is sj i j i2 2 j ik kj s

22 Αντίστροφος Τετράγωνου Πίνακα Δεν υπάρχει πάντοτε, αλλά αν υπάρχει είναι μοναδικός Ένας πίνακας που δεν έχει αντίστροφο, ονομάζεται ιδιάζων ή ιδιόμορφος. Ιδιότητες ( ) ( B) ( λ) B ( ) ( ) k ( ) ( ), λ 0 λ k Αν τ τε και C CB B C ό C BC B (/,/,,/ ) diag a a2 a I Δεξιός Αντίστροφος Αριστερός Αντίστροφος Ο Δεξιός ή ο Αριστερός αντίστροφος, ορίζονται και για μη τετράγωνους πίνακες. Αν υπάρχει ο Αριστερός Αντίστροφος ενός τετράγωνου πίνακα τότε υπάρχει και ο Δεξιός Αντίστροφός του και μάλιστα οι δύο Αντίστροφοι ταυτίζονται. Το ίδιο ισχύει και για τον Δεξιό Αντίστροφο Αν ο Α διαγώνιος

23 Αντίστροφος Τετράγωνου Πίνακα Παραδείγματα B B Πίνακες που δεν έχουν αντίστροφο: 3 4 C D

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πίνακες και Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 27 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο απειροστικός λογισμός αποτελείται από το διαφορικό και ολοκληρωτικό

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. α

Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. α 32 1. Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 α 2 α 3 Τετράγωνο του αριθμού α ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του α. Είναι: α 2 = α α. Κύβος

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Ένα διάνυζμα παριστάνεται ως μια μονοδιάστατη λίστα. a = {x 1, x 2,..., x n } Πράξεις με δυανύσματα. b = Map[y # &, Range[3]] ή διαφορετικά

Ένα διάνυζμα παριστάνεται ως μια μονοδιάστατη λίστα. a = {x 1, x 2,..., x n } Πράξεις με δυανύσματα. b = Map[y # &, Range[3]] ή διαφορετικά ΔΙΑΝΥΣΜΑ, ΠΙΝΑΚΑ Ένα διάνυζμα παριστάνεται ως μια μονοδιάστατη λίστα a = {x 1, x 2,..., x n } Πράξεις με δυανύσματα Με την χρήση Map[f,expr] ή f /@ εφαρμόζουμε f σε κάθε στοιχείο στο πρωτο επίπεδο για

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 06, 26 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Η ανάλυση LU 2. Η ανάλυση LDM T και η ανάλυση LDL T 3. Συμμετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο E1 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στο Κεφάλαιο αυτό Ε1 γίνεται μια πολύ απλή εισαγωγή στους Καρτεσιανούς τανυστές, δηλαδή στους τανυστές σε Καρτεσιανά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement)

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Συµπίεση εικόνας (image compression) Αποκατάσταση εικόνας (Image restoration) ηµήτριος. ιαµαντίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης Ομότιμος Καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα