Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις"

Ἰάειρος Μαλαξός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ µ ÂÓÈÎ ÓÓÔÈÂ Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση Έτσι οι εξισώσεις d = + t d = 5 (Β) (Β3) d e t = cos (Β) d d = 5 + (Β4) είναι όλες διαφορικές εξισώσεις Στις εξισώσεις αυτές το εξαρτάται από µία µόνο µεταβλητή, την t, γι αυτό και καλούνται συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Υπάρχουν και οι διαφορικές εξισώσεις µε µερικές παραγώγους, στις οποίες το εξαρτάται από περισσότερες µεταβλητές Στο 6ο Κεφάλαιο επιλύουµε µια διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους Τάξη της διαφορικής εξίσωσης είναι η µέγιστη τάξη της παραγώγου που περιέχει Εποµένως οι εξισώσεις (Β) και (Β) είναι πρώτης τάξης και οι εξισώσεις (Β3) και (Β4) είναι δεύτερης τάξης Η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι σχέση, η οποία δεν περιέχει παραγώγους Για παράδειγµα η λύση της εξίσωσης είναι dυ = 5υ υ = Ce 5t (Β5) (Β6) όπως εύκολα επαληθεύεται Η σταθερά C είναι αυθαίρετη και η (Β6) αποτελεί την γενική λύση της (Β5) Στη Φυσική µας ενδιαφέρει η µερική λύση της διαφορικής εξίσωσης, η οποία εξαρτάται από τις αρχικές και τις συνοριακές συνθήκες Αν πχ, 0 - γνωρίζουµε ότι ισχύει υ = για t =, η (Β6) δίδει = Ce οπότε C = e 0 Εποµένως η µερική λύση της (Β5), η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες που αναφέραµε είναι e t - = 5 0 Η ελεύθερη πτώση σώµατος στο κενό είναι διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Αν y είναι η θέση του κινητού ως προς το σηµείο από όπου αφέθηκε ελεύθερο να πέσει, η διαφορική εξίσωση της κίνησης είναι η

2 48 ª Ã π ẏ = g, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας Η γενική λύση της είναι y = gt + At + C όπου A και C είναι σταθερές, οι οποίες θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες µ ÍÈÛÒÛÂÈ appleòùë Ù ÍË ÃˆÈ fiìâóâ ÌÂÙ ÏËÙ Η εξίσωση d = f (, t) είναι εξίσωση πρώτης τάξης Θεωρούµε ότι η f (, t) είναι δυνατό να γραφτεί ως Η διαφορική εξίσωση γράφεται εποµένως: Κάθε µέλος αυτής της εξίσωσης ολοκληρώνεται ως προς τη µεταβλητή από την οποία εξαρτάται Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι όπου τα ολοκληρώµατα είναι αόριστα και η σταθερά C αυθαίρετη Παράδειγµα : gt f, t h = hd = gt hd = gt + C Να λυθεί η εξίσωση: Από τη δοθείσα, λαµβάνουµε d d = sin t = sin t

3 ƒ ƒ ª µ: π º ƒπ π ø π 49 οπότε µε ολοκλήρωση Τελικά = - cost + C Παράδειγµα : Να λυθεί η εξίσωση d = sin t + C είναι η γενική λύση της εξίσωσης dn = -λ N Η εξίσωση αυτή περιγράφει τη διάσπαση των πυρήνων ενός ραδιενεργού υλικού Το αρνητικό πρόσηµο τίθεται επειδή ο αριθµός των πυρήνων ελαττώνεται λόγω διασπάσεως, οπότε το dn είναι αρνητικό Ακολουθώντας το παράδειγµα έχουµε dn N = - λ + C απ όπου προκύπτει: lnn = - λ t + C Έστω N 0 ο αριθµός των πυρήνων του υλικού κατά τη χρονική στιγµή t = 0 Εποµένως lnn0 = C Η γενική λύση γράφεται συνεπώς: ή - λ lnn = lnn + lne t 0 - N = N e t 0 λ µ 3 ÍÈÛÒÛÂÈ appleòùë Ù ÍË ÏÔÎÏËˆÙÈÎfi apple ÁÔÓÙ Έστω η διαφορική εξίσωση dy d + Py = Q Η εξίσωση αυτή µπορεί να επιλυθεί µε τη µέθοδο των χωριζοµένων µεταβλητών, ως s d εξής Θεωρούµε ότι, οπότε s = e Pd P Η διαφορική s d lns = =

4 40 ª Ã π εξίσωση γράφεται ή ή όπου M = Qs dy d + s dy d s s y = Q ( ) + ds d y Q s = d [ d ys ] = M ( ) Η τελευταία διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται και έχει γενική λύση Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση = ys = M d + C y + y = = d = = / Στην εξίσωση αυτή P και Q Άρα s e e Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι Τελικά: οπότε ye = e d + C ye = C + e y = + Ce - µ 4 È ÊÔÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Â ÙÂË Ù ÍË ÌÂ ÛÙ ıâô Û ÓÙÂÏÂ- ÛÙ ÌÔÁÂÓ ÂÍ ÛˆÛË Η διαφορική εξίσωση d y d + α dy + α ( y ) = f d 0 (Β4)

5 ƒ ƒ ª µ: π º ƒπ π ø π 4 είναι δεύτερης τάξης και οι συντελεστές α και είναι συναρτήσεις του Αν το δεξιό µέλος της (Β4) είναι µηδέν, η εξίσωση καλείται οµογενής Στην παράγραφο αυτή µας ενδιαφέρει η µελέτη της οµογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές ηλαδή η διαφορική εξίσωση είναι: α 0 d y dy + y d α + α = d 0 0 (Β4) α α 0 όπου και είναι σταθεροί αριθµοί Έστω πως οι λύσεις της (Β4) είναι οι y και y Εύκολα αποδεικνύεται ότι λύσεις είναι και οι Ay και By όπου A και B αυθαίρετες σταθερές Επίσης λύση είναι και η y = Ay + By (Β43) Κάθε άθροισµα δύο λύσεων, συνιστά και λύση της (Β4) Η γενική λύση της (Β4) προϋποθέτει την ανεξαρτησία των y και y ύο συναρτήσεις y και y είναι γραµµικώς ανεξάρτητες σε κάποια περιοχή τιµών της, αν στην περιοχή αυτή η σχέση Ay + Ay = 0 συνεπάγεται την A = A = 0, όπου ρ σταθερά Αντικαθι- Ας θεωρήσουµε ότι η (Β4) έχει λύση την στώντας στην (Β4) προκύπτει: ρ + α ρ+ α = 0 0 y = e ρ (Β44) Η εξίσωση (Β44) λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση της (Β4) και έχει ρίζες ρ και ρ ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις α) Αν ρ πρ, η γενική λύση της (Β4) είναι β) Αν ρ = ρ = ρ, η γενική λύση της (Β4) είναι ρ y = Ae + Be ρ y = ( A + B) e ρ

6 4 ª Ã π Παράδειγµα : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y + y = 0 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι ρ + = 0 µε ρίζες ρ= ± ι Άρα η γενική λύση είναι ι y = Ae + Be -ι Αλλά ι -ι e = cos + ιsin, e = cos -ιsin Άρα + ( - ) = + y = A + B cos A B sin C cos C sin ι µε πραγµατική µορφή Πράγµατι: Εύκολα µπορεί να επαληθευτεί ότι οι συναρτήσεις y = cos, y = sin είναι γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις της δοθείσας διαφορικής εξίσωσης Παράδειγµα : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y - y + y = 0 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η ρ - ρ+ = 0 και έχει διπλή ρίζα, την ρ= Άρα η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η y = ( A + B) e Παράδειγµα 3: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y - y + y = 0 µε αρχικές συνθήκες t = 0: y = 0, y = Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η ρ - ρ+ = 0 µε ρίζες ρ, = ± ι Άρα η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι ( + ι) ( -ι) y = Ae + Be

7 ƒ ƒ ª µ: π º ƒπ π ø π 43 Από τις αρχικές συνθήκες προκύπτει A + B =0 και A+ ι B ι Συνεπώς A = = - ι, B = ι Η γενική λύση είναι ι = - ι -ι y = -ιe e -e ιe ιsin + ( - ) = Τελικά: y = e sin µ 5 È ÊÔÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Â ÙÂË Ù ÍË ÌÂ ÛÙ ıâô Û ÓÙÂÏÂ- ÛÙ ªË ÔÌÔÁÂÓÂ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Η διαφορική εξίσωση έχει τη µορφή y y f + α + α = (Β5) Αποδεικνύεται ότι η λύση της (Β5) είναι το άθροισµα δύο λύσεων Της οµογενούς, την οποία συµβολίζουµε µε y c, και της µερικής, την οποία συµβολίζουµε µε Η λύση της οµογενούς είναι η y * y * Η µορφή της µερικής λύσης εξαρτάται από το δεξιό µέλος της (Β5) Όταν προσδιορίσουµε τη µορφή της µερικής λύσης, θα την αντικαταστήσουµε στην (Β5) για να προσδιοριστούν οι σταθερές, που υπάρχουν στη µερική λύση Η γενική λύση είναι η Οι σταθερές A και B προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες Στα εγχειρίδια Μαθηµατικής Ανάλυσης περιγράφονται µέθοδοι για την ταχεία εύρεση της µερικής λύσης, όταν η f() έχει ειδικές µορφές Παράδειγµα : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: yc = Ay + By y = yc + y * - y + y = 5e t () µε συνθήκες t = 0: y =, y = 4 Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι y = yc + y * Αναζητούµε µερική λύση της µορφής

8 44 ª Ã π y * = A + Bt e -t, οπότε y * = B - A -Bt e -t και y * = - B + A + Bt e -t Θέτουµε στην () όπου y το y * και έχουµε t B A Bt A Bte - t 5e Τελικά προκύπτει B+A = 5 και B = 0 5 Άρα B = 0, A = = Η µερική λύση είναι y * e -t = 5 Η οµογενής είναι η y + y = 0 µε λύση yc = Ccost + Dsin t Άρα η γενική λύση της () είναι * 5 -t y = yc + y = Ccost + Dsin t + e 3 Εφαρµόζουµε τις συνθήκες t = 0: y =, y = 4 και βρίσκουµε C = -, D = Άρα η γενική λύση της () είναι: y = - cost + sin t + e t Παράδειγµα : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: y + y + y = + + cos µε συνθήκες = 0: y =, y = - Η οµογενής έχει χαρακτηριστική εξίσωση την Άρα η λύση της οµογενούς είναι: ( ρ+ ) = 0 µε διπλή ρίζα την ρ= - y = A + B e c - Στην εύρεση της µερικής λύσης θα µας καθοδηγήσει η µορφή του δεξιού µέλους της διαφορικής εξίσωσης Το δεξιό µέλος είναι άθροισµα πολυωνύµου και τριγωνοµετρικής συνάρτησης Αναζητούµε εποµένως ως µερική λύση την

9 ƒ ƒ ª µ: π º ƒπ π ø π 45 * y = α + β + γ + δcos + εsin * y = α + β- δsin + εcos * y = α -δcos -εsin Αντικαθιστούµε το y * και τις παραγώγους του µε τα ίσα τους στην αρχική διαφορική εξίσωση οπότε λαµβάνουµε Άρα α =, β= - 8, γ = 3, δ = 0, ε = Η γενική λύση είναι α + 4α + β+ α + β + γ = +, εcos - δsin = cos y = A + B e 8 3 sin Σ αυτήν αν εφαρµόσουµε τις αρχικές συνθήκες θα προσδιοριστούν οι σταθερές A και B Από την συνθήκη = 0, y = βρίσκουµε A = Από την συνθήκη = 0, y = - βρίσκουµε B = - Άρα η γενική λύση είναι y = - Ê + ˆ - e sin Ë

Σχετικά έγγραφα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου