12 Simulácie a prognostické modely

Transcript

1 12 Simulácie a prognosické modely Simulácie a prognosické modely Rozšírením počíačov a predovšekým ich programového vybavenia naskyá sa ekonomickým analyikom, programáorom a manažérom nová možnosť skúmania a rozborov ekonomických závislosí. Meódou je simulácia. Simuláciu možno považovať za počíačový experimen. Keďže v ekonomike nemožno vykonať yzikálny experimen, počíačová simulácia poskyuje dobré podklady pre hypoézu o vývoji skúmaného ekonomického javu. Simulácia umožňuje vyhľadávať opimálny varian riešenia, preože pre hypoeický vývoj javu je možné meniť ak vysveľujúce premenné, ako aj paramere modelu. Premenné možno v posudzovaní doplniť, možno ich vylúčiť, možno sanoviť ich významnosť, možno ich zaradiť v primeranom čase, aď. Simulačné posupy sa používajú predovšekým v akých prípadoch, keď ide o zapracovanie náhodných prvkov do riešení, výsky korých nemožno apriórne predpokladať. Simulačné meódy a posupy sú dnes už dosaočne rozpracované a je dosaok vzorových aplikačných programových riešení, akže manažér nie je núený zaoberať sa eóriou simulácie. Tú reba síce pre zosavovanie simulačných programov poznať, úlohou manažérov nie je ale eóriu simulácie ovládať Vlasnosi simulačných modelov Simulačné modely slúžia ako absrakné modelové šrukúry pre descripívne a riadiace analýzy. Descripívne modely zahrnujú komunikaívne, vysveľujúce, predpovedné modely a modely správania. Riadiace modely zahrnujú modely opimalizácie a heurisické modely. Simulačné modely využívajú ako svoj vyjadrovací prosriedok kvaniikáciu javov a ich závislosí. Kvaniaívnymi simulačnými modelmi sú lineárne a nelineárne modely, saické a dynamické modely, deerminisické a sochasické modely, eda všeky ie, koré využívame v ekonomerii. Pri deerminisických simuláciách sa nepoužívajú odhady náhodných činieľov a náhodné činiele nie sú posudzované. Pri simulácii sa pracuje sa iba s hodnoami exogénnych veličín a ich paramerami. Pre ekonomické simulácie sa využívajú predovšekým dynamické modely, u korých sa modiikujú premenné a ich paramere v časovej následnosi. Je omu ak preo, lebo ekonomika sa vyvíja v čase. Pre plánovanie by nemalo význam vyvárať saické simulačné modely. Isý význam by ieo modely mohli mať pre špekulaívne ekonomické analýzy minulých javov, u korých by sa mohlo skúmať, ako by sa daný jav vyvíjal, keby nasali iné siuácie, ako nasali. To by bolo síce veľmi poučné, ale pre budúcnosť málo významné. Lebo budúcnosť, ako sme už uviedli, je pokračovaním minulosi a súčasnosi.

2 176 Ekonomeria pre manažérov U dynamických modelov sa využívajú hodnoy premenných ako časovo posunué, vybrané z minulosi a dosadené do budúcnosi. Ide o zv. simulácie ex pos a slúžia predovšekým ako veriikácie pre overenie správania premenných modelu v budúcnosi v porovnaní s príomnosťou, korá je základným, východiskovým obdobím. Sochasické simulácie berú pri modelovaní do úvahy náhodné premenné. Pri simuláciách sa náhodné premenné generujú podľa požadovaných oriem rozdelenia z náhodných čísiel. Do simulačných ekonomerických modelov sa zapracovávajú exogénne premenné podľa skuočných hodnô a náhodné zložky podľa hodnô generovaných. Skúma sa eda vplyv náhodných veličín na reálne veličiny. Samozrejme, u dynamických simulácií v časovej posupnosi. U simulačných modelov ex pos sa skúma konzisennosť modelu s minulosťou, u simulačných modelov ex ane spoľahlivosť prognóz v porovnaní s minulosťou. Meóda Mone Carlo je všeobecnou meódou pre vorbu sochasických modelov. V ekonomerii nachádza meóda uplanenie pri konšrukcii absrakných modelov, pri korých sa exogénne premenné a ich paramere vyberajú zo skuočnosi a náhodné premenné z generovaných hodnô. Vyvorí sa niekoľko hypoeických modelov, navzájom sa porovnávajú a z výsledkov porovnávaní sa usudzuje o ich správaní. Pri výbere exogénnych veličín a ich paramerov sa posupuje rôznymi výberovými meódami a vyhľadávajú sa najvýhodnejšie riešenia Simulácie v riadení Pri uplaňovaní simulačných meód v ekonomickom modelovaní sa najčasejšie vyskyujú dva druhy simulácií: - akorová simulácia, korá vychádza zo zmien exogénnych premenných a skúma ich vplyv na premenné endogénne a - cieľová analýza, korá skúma vplyv zmien endogénnych veličín na exogénne premenné a umožní ým poukázať na naplnenie porieb cieľovej exogénnej premennej. Simulácie v riadení majú význam hlavne pri prognóze vývoja exogénnej premennej. Pri simulácii ide o vyváranie kombinácií, koré by mohli vzniknúť v budúcnosi za isých predpokladov. Jednou z najdôležiejších oázok je, koré endogénne premenné môžu byť predmeom simulácie. Jesvujú oiž i pre budúcnosť isé savy vo vývoji sakov, koré majú akmer konšanný vývoj a nie je ich možné zásadne meniť. Ide napríklad o sraegické suroviny, domáce i zahraničné invesície, ale i o ponuku práce, jej kvaliikácie, priesorové rozloženie a pod. Tieo saky majú svoj vlasný ras, časo nezávislý od vôle manažérov, ale aj eno ras je spravidla ovplyvňovaný inými ako iba ekonomickými činieľmi. U práce je o napríklad demograický vývoj, sociálna poliika šáu, u surovín poliika nadnárodných monopolov, ekonomická sila šáu, aď. Zmena u je, ale je nezávislá od požiadaviek hospodárskych plánovačov či už podnikových, či šánych. Možno eda povedať, že zmeny (kladné i záporné), či savy v jednolivých hisorických obdobiach u objekívne jesvujú. Tie však nemôžu byť predmeom simulácie, môžu byť predmeom plánovaného odhadu. Predmeom simulácie môžu byť iba premenné, na koré majú manažéri vplyv. Je porebné zdôrazniť, že simulácia umožňuje vyhľadávanie riešení aj za nepriaznivých podmienok a upozorní manažérov na poreby zmien. Z oho pohľadu iež vyplýva jedna skuočnosť, na

3 12 Simulácie a prognosické modely 177 korú sme už skôr poukazovali, že síce predmeom skúmania sú saky (endogénne premenné) v ich maeriálnej podobe, ale na ne sa viažu rozhodnuia manažérov, koré rozhodnuia maeriálnu podobu nemajú. Simulácie neslúžia sakom, ale manažérom pre ich rozhodovanie. Rozhodnuia manažérov sú ým kvaliaívnym činieľom, korý má subjekívny a nemá objekívny charaker, ale korý je pre simulačné posupy a ich aplikácie v praxi rozhodujúci. Posup pri simulácii riadiacich procesov vychádza z poznania správania sa reálnych ekonomických javov. Vývoj oho skúmaného javu sa môže znázorniť simulačným modelom. K omu je porebné: a) zosrojiť model ako súsavu maemaických a logických šrukúr a ich vzájomných závislosí, koré zodpovedajú podsaným charakerisickým znakom reálneho javu, b) vykonať algorimus,.j. posup výpoču maemaických či logických hodnô simulačného modelu akým spôsobom, aby sa zobrazil spôsob, akým reálny jav aj v skuočnosi posupuje. Podsaa simulácie nespočíva v popise či šrukúre modelu, korý ekonomický jav popisuje. Podsaa modelu spočíva v om, že model umožňuje zosavovať alernaívne vývojové riešenia ým, že alernuje významnosť jednolivých prvkov realiy zobrazenej v modeli a ich vzájomných vzťahov. Výsledkom sú nové šrukúrne riešenia, koré, ak by sa prijali, boli by z pohľadu cieľového riešenia eekívnejšie. Riadiacemu pracovníkovi sa ak poskyujú absrakné riešenia, koré po vyhodnoení sa môžu sať predmeom budúceho výrobného programu. Simulačný proces je analýzou možných riešení, nie je riešením samoným. Samoné riešenie vykonáva riadiaci pracovník v rozhodovacom procese. Na o, aby sa simulačmý model mohol zosaviť, vyžaduje sa objekívne vyhodnoenie realiy. Počíač pracuje podľa zásady garbage in garbage ou, čo znamená, že aké smei do neho vložíme, aké z neho vyjdú. Akýkoľvek dobrý program nič nemôže zmeniť ak sú údaje, koré sa spracovávajú, chybné. Najmä pre ekonomickú analýzu, korá nespočíva na hypoézach, údajová základňa i šrukúra modelu musia byť objekívne. V sručnosi uvedieme východiskové predpoklady pre savbu simulačného modelu: - objasnenie koncepcie a úlohy pre simuláciu, - prísupnosť šaisických údajov o podsae skúmaného javu pre výber premenných, - esovanie premenných, - výber vhodných maemaických, šaisických a modelových varian, - prísupnosť vyhovujúcej výpočovej echniky, - výber analyických a opimalizačných meód, - sanovenie rozhodovacích meód pre výber simulovaných alernaív, - posúdenie času a nákladov spojených so simuláciou. Využívanie simulačných meód v riadení rozširuje i možnosi využiia ekonomerických meód v riadení, ale hlavne v plánovaní. Úprimne povediac, bez simulovania vývoja ekonomických javov, ako meódy vorby i overovania budúcnosi, si sova možno predsaviť vyvorenie predsáv o budúcnosi najmä u väčších podnikov. Zdôrazniť však reba, že simulácie sa budú musieť účinne využívať i v rizikovom a krízovom manažmene, preože simulácie nielen ekonomických a spoločenských, ale aj prírodných javov sú veľmi vďačným poľom pre ich uplanenie.

4 178 Ekonomeria pre manažérov Príklad 12.1 Mone Carlo simulácia Majieľ obchodu s čokoládou a zmrzlinou sojí pred neľahkou úlohou. Na 14. ebruára, deň kedy má meniny Valenín a väčšina zaľúbených vedy oslavuje svoj sviaok, radične objednáva špeciálnu valenínsku pochúťku z čokolády. Jednu škauľku valenínskej pochúťky nakupuje za 70 Sk a predáva ju za 120 Sk. Škauľky, koré sa v eno deň nepredajú, sú predané po omo ermíne s 50%-nou zľavou. Problém spočíva v om, že ak bude dopy po pochúťke vyšší, ako jej objednané množsvo, ak obchodník príde o zisk z nedosaku škauliek. Ak naopak bude dopy po pochúťke nižší, ak obchodník príde o zisk v dôsledku diskonného predaja. Rovnica zisku v prípade, že dopy je väčší ako ponuka, je π = ( )q ak je naopak dopy menší ako ponuka, ak rovnica zisku sa vyjadrí nasledovne π = 120d 70q + 60( q d) Vsupmi simulačného modelu sú: - objednané množsvo q (rozhodovacia premenná), - rozličné úrovne príjmu a akory výdavkov (konšany), - dopy d (pravdepodobnosná premenná). Ak by bol dopy známy, ak vieme vypočíať zisk z vyššie uvedených rovníc. Preože však ide o pravdepodobnosnú premennú, musíme vybrať hodnou dopyu z rozdelenia pravdepodobnosi dopyu. Rozhodovací problém si zjednodušíme do ej miery, že predpokladáme päť úrovní dopyu, a o 40, 50, 60, 70, 80, 90 s rovnakou pravdepodobnosťou 1/6. Vykonáme simuláciu Mone Carlo pre úroveň objednaného ovaru q = 60. Desať náhodných pokusov prinieslo ieo úrovne dopyu a očakávaného zisku. Hodnou zisku v 1.pokuse vypočíame: Pokus Objednané množsvo (ks) Dopy (ks) Zisk (Sk) Tab Výsledky simulácie pre q = 60 π = 120 d 70q + 60( q d) = 60d 10q = = 2400

5 12 Simulácie a prognosické modely 179 Hodnou zisku v 4.pokuse získame π = 120 q 70q = 50q = = 3000 A podobne vypočíame osaných osem hodnô zisku v ejo simulácii. Priemerná hodnoa zisku z desiaich náhodných pokusov je 2700 Sk. Vyhodnoením simulácie dosaneme pravdepodobnosi očakávaných výnosov, koré sú v ab Zisk (Sk) Pravdepodobnosť , , ,6 Tab Rozdelenie pravdepodobnosi Pri opakovaní ýcho desiaich pokusov nám pochopieľne dosávame iné výsledky, a preo je simulácia založená na náhode. Pri vyššom poče pokusov môžeme očakávať približne rovnaký poče priaznivých javov pre všeky úrovne dopyu, preože ide o rovnomerné rozdelenie. Z výsledkov vykonanej simulácie môžeme urobiť záver, že jesvuje 40%-ná šanca, že zisk bude nižší ako 2500 Sk. Ak je cieľom obchodníka dosiahnuť zisk vyšší ako je 2500 Sk, ak musí zmeniť objednané množsvo, aby ak znížil riziko vyplývajúce z nedosaku objednaného množsva ovaru. Ak pokus zopakujeme sokrá, ak dosaneme rozdelenie počenosi očakávaného zisku uvedené v ab Takéo rozdelenie pravdepodobnosi je bližšie skuočnej očakávanej hodnoe, ako omu bolo pri desiaich pokusoch. Zisk (Sk) Počenosť Tab Rozdelenie počenosi Priemerný zisk vypočíaný simuláciou so so opakovaniami pre q = 60 je 2682 Sk. Pre konečné rozhodnuie je porebné vykonať simuláciu pre všeky úrovne objednávaného ovaru q,.j. pre hodnoy 40, 50, 60, 70, 80, 90 a vypočíať priemerný očakávaný zisk pre každú úroveň objednaného ovaru. Výsledky akejo simulácie sú v abuľke 12.4 Objednané množsvo (ks) Priemerný zisk (Sk) Tab Výsledky simulácie pre všeky úrovne objednaného ovaru Maximálny priemerný zisk dosahuje obchodník pri objednanom množsve 70 kusov valenínskej pochúťky ( π = 2936 Sk). Na omo príklade sme si ukázali princíp meódy Mone Carlo,.j. opakovaným výberom z rozdelenia pravdepodobnosi vsupných prvkov odvodiť rozdelenie pravdepodobnosi výsupných premenných v modeli.

6 180 Ekonomeria pre manažérov 12.3 Prognosické programovanie v ekonomerii Prognosika parí k základným manažérskym činnosiam. Je založená na predvídaní budúcnosi na základe analýzy minulosi. Prognosika a jej súčasť, plánovanie, je koninuálna činnosť, korá vychádza z reálnych hodnô súčasnosi a minulosi a vo orme vývojových rendov aplikuje ich pre budúcnosť. Prognosika a plánovanie je šrukúra myšlienkových pochodov o budúcnosi, premienuá do kvaniaívnych závislosí. Ako je známe, ekonomika nemá k dispozícii jeden veľmi významný násroj analýzy a ním je experimen. Ekonomika si nemôže v praxi overiť, ako sa bude hospodársvo vyvíjať a či hospodárske plány a prognózy sú splnieľné. Minulosť môže analyzovať iba využiím šaisických údajov, ale s ým vedomím, že ide predsa len o šaisiku a savba šaisických údajov nemusí plne vyhovovať požiadavkám analyika. Šaisika má čo do presnosi a objekívnosi svoje obmedzenia. Budúcnosť možno predvídať, nemožno ju predpovedať. Na národnú ekonomiku pôsobí oľko domácich a zahraničných vplyvov, že ich nemožno do prognóz ani zapracovať, ale, žiaľ, nemožno ich ani spoľahlivo predvídať. Riadenie je založené na plánovaní a prognosike. Riadiť nemožno bezcieľne. Riadenie je usmerňovanie javov do budúcnosi. Preo v ekonomickom riadení je porebné o budúcnosť sa opierať a budúcnosť modelovať. Každý plán je modelom budúcnosi. Manažérskou úlohou je, aby sa na základe minulých rendov savala budúcnosť na princípe eekívnosi relaívnej reálnosi. V pláne sa predvída budúcnosť. Pri rozmaniosi budúcnosi aj plán musí mať alernaívne riešenia. V súčasnosi je už dôsledne vypracovaná meodika sanovenia vývojových rendov. Zaoberá sa nimi samosaná vedná disciplína prognosika. Prognosické programovanie v ekonomerickom modelovaní vychádza z hypoézy o vývoji jednolivých exogénnych premenných v jednolivých ekonomerických modeloch. Prognosický ekonomerický model vychádza z pôvodného, počiaočného savu exogénnych veličín a ich paramerov a z vývojových endencií jednolivých veličín. Tvar prognosického modelu je podobný modelu odhadov endogénnych veličín. Priom odvodené veličiny reba chápať ako nové veličiny odhadované v dôsledku zmien vyplývajúcich z prognóz. Ako príklad sa môže uviesť model prognózovanej veličiny ŷ v dôsledku prognózovaných zmien exogénnej veličiny xˆ, paramera â a náhodnej veličiny û uvádzaných v zápise yˆ = ax ˆˆ + uˆ (12.1) V ekonomickej praxi exisuje rad prognosických meód. Z ýcho meód, napríklad exrapolačných alebo rendových, možno v ekonomerických modeloch uplaniť najmä ie, koré súvisia s vyjadrením vývoja exogénnych premenných, alebo so zmenou významu premennej v budúcnosi, korá je vyjadrená zmenou paramerov premenných. Keďže exogénne premenné majú rôzne posavenie v modeli i rôzny charaker, je vhodné zosaviť najskôr východiskový model, v korom sa vyjadria základné vlasnosi a významnosť premenných. Z oho modelu sa poom vychádza pri uplanení vývojových hypoéz aplikovaných z rendových alebo z exrapolačných hodnô. Spravidla sa nedocieli jednoznačné a jedno riešenie, ale získajú sa varianné riešenia. Minimálny alebo maximálny varian sa získa ým, že sa do modelu zapracujú endogénne premenné s minimálnymi alebo maximálnymi hodnoami. Reálny, či opimálny varian sa nachádza niekde medzi ýmio exrémnymi variannými riešeniami.

7 12 Simulácie a prognosické modely 181 Aplikáciou prognóz v časovo ohraničenom inervale je plánovanie. V súvislosi s plánovaním reba poznamenať, že plánovanie je významným násrojom riadenia. Preo plánované endogénne premenné musia zodpovedať prognózovaným cieľovým riešeniam. Ekonomerické prognosické a plánovacie modely nie sú len súsavou možných riešení, ale majú i zodpovedať požadovanému riešeniu a jeho možným alernaívam Exrapolácia premenných Vysveľovanými premennými v ekonomerických modeloch sú endogénne premenné. Prognóza vývoja endogénnych premenných sa odvodzuje z exrapolácií rendov jednolivých exogénnych premenných. Trend vychádza z unkcie času. Časom sa vyjadrujú vývojové endencie. Trend určuje smer pohybu ekonomického javu do budúcnosi. Je vyjadrením časového radu vývoja pohybu udalosi, pričom berie do úvahy i výkyvy, koré v rade udalosí v čase môžu vzniknúť. Pravda, výkyvy šaisicky vysvelieľné či dokázaeľné môžu byť pre budúcnosť nepredvídaeľné. Časový rad udalosi, javu y sa môže vyjadriť ako súče deerminisickej, nesochasickej unkcie času () a náhodnej veličiny ε so srednou hodnoou rovnou nule y = ( ) + ε T (12.2) eda v deiničnom odbore T. Po ormálnej sránke sa vývojový rend udáva v dvoch podobách: a) ako rad číselných údajov y ˆ, y ˆ 1 2,L, koré boli vyvorené z pôvodných údajov y1,y 2, po vylúčení všekých náhodných výkyvov, a b) v vare vzorca yˆ = ( ), =1,2,, korý je zadávaný nesochasickou unkciou času (), akiež po vylúčení náhodných výkyvov. Vylučovanie náhodných javov sa uskuočňuje zv. vyrovnávaním časového radu a o alebo meódou kĺzavých priemerov (poznaných z ekonomickej šaisiky), alebo meódou najmenších švorcov. Náhodnými vplyvmi sa u rozumejú predovšekým cyklické, sezónne, krízové a iné výkyvy. Pre prognosické účely sa na vyjadrenie vývojových endencií používajú ri ypy unkcií: - lineárna, korá vyjadruje rovnomerný ras x ˆ = a + b - exponenciálna, korá vyjadruje progresívny ras x ˆ = ( a b ) e + - logarimická, korá vyjadruje degresívny ras x ˆ = ln( a + b)

8 182 Ekonomeria pre manažérov kde a, b sú paramere unkcie, e je základ prirodzených logarimov a ln označuje prirodzený logarimus. Paramere a, b sa vypočíavajú meódou najmenších švorcov na základe časového radu x Vypočíané paramere sa použijú pre získanie vypočíaných hodnô podľa uvedených rovníc pre všeky ri unkcie. Najvhodnejšou z uvedených unkcií bude á unkcia, korá vykazuje najmenšie odchýlky medzi skuočnými a vypočíanými hodnoami. Pre každú unkciu sa preo vypočía šandardná odchýlka za všeky obdobia časového radu. Tá unkcia, korá vykáže najnižšiu hodnou šandardnej odchýlka, sane sa východiskom pre zosavenie exrapolačnej prognózy Exrapolácia paramerov Paramere regresných rovníc ekonomerického modelu sa sanovujú na základe časových radov za určié obdobie. Neznamená o ale, že ako, na základe minulého vývoja sanovené paramere, zodpovedajú aj paramerom budúceho prognózovaného obdobia a vývoju endogénnej premennej. Samoné premenné, koré sú vlasne prognózovanými ukazovaeľmi, doznávajú vývojové zmeny a, naviac, v budúcnosi sa budú meniť aj vzájomné závislosi a vzťahy s inými premennými. Lineárne regresné rovnice a o aj v prípade, že sú súčasťou komplexného ekonomerického modelu, nemôžu ieo zmeny objekívne vyjadriť. Preo je reba paramere, koré sa získali z minulosi, pre budúcnosť upraviť. Riešenie sa získava aproximáciou a o ak, že exrapolované paramere sa z pôvodných paramerov získavajú vynásobením akými koeicienmi, akými sú ras vysveľovanej k vysveľujúcim premenným za prognózované obdobie. Ide eda o exrapoláciu paramerov v relácii rasu príslušných premenných. Pre sanovenie koeiciena sa použije inenziikačný činieľ q i v vare y q i = (12.3) x i Výpoče je rochu zložiejší, ale pre pochopenie problému posačí uvedená inerpreácia. Príklad 12.2 Bodová a inervalová prognóza v lineárnom regresnom modeli Nadviažeme na riešenie príkladu 3.1, v korom sme analyzovali ýždenný predaj mlieka v závislosi od jednokovej ceny mlieka a v príklade 3.2 sme analýzu rozšírili o vplyv ďalšieho činieľa a o výdavkov na reklamu. Vyrovnanú regresnú priamku môžeme ďalej využiť na získanie bodového a inervalového odhadu závisle premennej pre danú hodnou nezávisle premennej. Manažér si želá predpovedať množsvo predaného mlieka za predpokladu, že očakávaná predajná cena za lier mlieka bude 20 Sk. Úlohu riešime dosadením za x do rovnice predaja. yˆ = 27,609 0, 977 x y ˆ = 27,609 0, ˆ = 8,069 y

9 12 Simulácie a prognosické modely 183 Týždeň Predaj za ýždeň (is. lirov) Cena v predajni (Sk/l) Tab Východiskové údaje o množsve predaného mlieka a predajnej cene mlieka Pri očakávanej cene 20 Sk/l mlieka predpokladá manažér podniku 8069 lirov predaného mlieka za ýždeň. Ide o bodovú predikciu na základe vyvoreného ekononomerického modelu, akže vypočíaná hodnoa bude ležať presne na vyrovnanej regresnej priamke. V príklade 3.1 sme merali iež priemernú odchýlku empirickej hodnoy od odhadnuej hodnoy ŷ, korá riadiaceho pracovníka inormuje o priemernej variabilie skúmaného javu. Využiie bodového odhadu v praxi predpokladá sabiliu odhadovaných paramerov modelu. Z eórie výberového skúmania vieme, že pokiaľ by sme zosavili výberový súbor z iných dvanásich pozorovaní, ak pravdepodobne by sme vypočíali odlišnú vyrovnávaciu regresnú priamku a pochopieľne aj iné hodnoy odchýlok. V súvislosi s bodovou predikciou v lineárnom regresnom modeli sa ukazujú dva zdroje neisoy, a o: - disperzia hodnô okolo výberovej vyrovnávacej priamky, - disperzia hodnô okolo vyrovnávacej priamky v základnom súbore. Pri konšrukcii inervalového odhadu vezmeme do úvahy uvedené zdroje neisoy. Vyjadríme šandardnú chybu predpovede s, korá meria variabiliu predpovedanej hodnoy y od jej empirickej hodnoy pre danú hodnou premennej x. Pri výpoče posupujeme podľa vzorca y s = s 2 + s n ( x n i= 1 x ) ( x x ) i i i 2 2 Vychádzame z hodnoy vypočíanej priemernej odchýlky rezíduí (s), ak ako sme ju vypočíali v príklade 3.1. Týmo spôsobom sme zohľadnili prvý zdroj neisoy, a o disperziu hodnô premennej okolo výberovej regresnej priamky. Pri eliminácii druhého zo zdrojov neisoy si musíme uvedomiť, že šandardná chyba predpovede závisí od hodnoy premennej x, pre očakávanú hodnou korej je uskuočnená predpoveď premennej (y ). Ako vidno zo vzorca, ak hodnoa s je najmenšia vedy, keď x = x. Čím ďalej sa nachádza očakávaná budúca hodnoa premennej x od priemeru výberového súboru, ým väčšia je šandardná chyba predpovede. i

10 184 Ekonomeria pre manažérov V šaisických modeloch je inervalový odhad premennej y daný y ˆ ± s kde je kvanil Sudenovho rozdelenia so supňami voľnosi v = n ( k +1). Ak je rozsah súboru väčší ako 30 pozorovaní, ak Sudenovo rozdelenie nahrádzame kvanilmi normovaného normálneho rozdelenia. Pre výpoče chyby predpovede porebujeme vypočíať súče všekých odchýlok jednolivých hodnô premennej x od jej arimeického priemeru. Výpočy sú obsiahnué v abuľke Priemerná hodnoa x i = 17 x 2 Týždeň i ( xi xi ) Spolu Tab Čiaskové výpočy, predpoveď vysveľovanej premennej vykonávame pre = 20, šandardná chyba rezíduí s = 1,411, resp. jej švorec s 2 =1, 991, spoľahlivosť odhadu zvolíme na úrovni 95%,.j. α = 0,05, akže po dosadení získame najprv hodnou s, x s = 1,991+ 1, (20 17) = 2,260 = 1,503 Predpoveď inervalu pre hodnou premennej y poom získame po nájdení príslušného kvanilu Sudenovho rozdelenia, 2, 228 a po dosadení dosávame rozpäie inervalu predpovede 0,05;10= y ˆ s = 8,069 ± 2,228 1,503 = 8,069 ± 3,349 ± S pravdepodobnosťou 95% sa množsvo predaného mlieka pri predpokladanej cene 20 Sk/l bude pohybovať medzi 4,72 is. až 11,418 is. lirov za ýždeň. Inerval predpovede premennej y je pomerne široký, a akúo siuáciu zapríčinil predovšekým malý rozsah výberového súboru. Ako sme už uviedli, ak pri rozsahu súboru väčšom ako 30 pozorovaní

11 12 Simulácie a prognosické modely 185 nahrádzame Sudenovo rozdelenie kvanilmi normovaného normálneho rozdelenia. 95%-nú inervalovú predikciu premennej y poom môžeme vyjadriť zjednodušene vzťahom yˆ ± 2s Manažér sa musí vysríhať používania lineárneho regresného modelu v súvislosi s predikciou premennej y za rozpäie hodnô použiých k odhadu vyrovnanej priamky. Konkréne napríklad odhad množsva predaného mlieka pri jednokovej cene 30 Sk/l by bol pre manažéra riskanný, preože nijaká z jednokových cien vo výberovom súbore sa nepribližuje hodnoe 30 Sk/l a preo je uvedená regresná priamka nevhodná na eno odhad vysveľovanej premennej V príklade 3.2 sme ďalej rozšírili model o ďalšiu vysveľujúcu premennú a ou sú výdavky na reklamu na mlieko vyjadrené v sovkách Sk. Odhadnuý regresný model má var y ˆ = 23,858 0,819x1 + 0, 106x Pri plánovanej cene 20 Sk/l mlieka a pri plánovaných výdavkoch na reklamu 2000 Sk môžeme očakávať 5,358 is. lirov predaného mlieka. ˆ + y = 23,858 0,819x1 0, 106x 2 y ˆ = 23,858 0, , y ˆ = 9,598 2 Posup pri inervalovej predikcii vo viacrozmernom lineárnom modeli vychádza zo šandardnej chyby predpovedi, korej výpoče je však komplikovanejší, a ak sa ním v ejo chvíli nebudeme zaoberať Modely exponenciálneho rasu Prognosické modely exponenciálneho ypu sú založené na analýze prírasku pozorovanej hodnoy voči východiskovému savu. Prírasok nemusí byť sály, lineárny, ale môže mať rôzny, časo nepravidelný priebeh. Napríklad výroba nového výrobku je najskôr v zábehu s menším množsvom výroby a až posupne dosiahne svojho opima. Na úrovni opima môže po určiý čas zorvať a poom, z rôznych dôvodov, môže dôjsť k poklesu a, nakoniec, k ukončeniu výroby. Je zrejmé, že krivka, vyjadrujúca priebeh výroby výrobku nebude lineárna, ale bude vyjadrená nejakou unkciou exponenciálneho ypu. V eórii a praxi sa vyvinuli príklady akýcho unkcií. V klasickom prípade rasu sa vychádza z poznaku, že prírasok poču prvkov v súbore je priamo úmerný poču jednoiek na počiaku inervalu rasu a dĺžky oho inervalu. Všeobecne sa o zapíše vzťahom N = N ) (12.4) 0 (1 + λ kde N je neznámy poče prvkov v súbore v okamihu,.j. hľadaná unkcia času, koeicien λ udáva inenziu prírasku nových prvkov súboru v priebehu jednokového inervalu ( =1) a N 0 označuje poče prvkov súboru vo východiskovom časovom okamihu =0.

12 186 Ekonomeria pre manažérov Ak by sa nahradil činieľ N 0 symbolom a a var (1+λ) symbolom b, môže sa vyššie uvedený vzťah napísať v vare N = a b (12.5) čo je všeobecný var zápisu unkcie rasu exponenciálneho ypu. Paramere uvedenej rovnice možno riešiť meódou najmenších švorcov. Uvedieme niekoľko príkladov rendových unkcií exponenciálneho ypu, pričom zdôvodnenie ich unkcií opomenieme. Logisická unkcia Inenzia rasu je rovnaká, sála, ak koeicien λ je po celý čas rasu konšanný. Ak λ>0, ak súbor sa rozrasá, ak λ<0, súbor má negaívny ras, klesá. V praxi časým javom je prípad, kedy inenzia rasu z počiaku rasie, ale po dosiahnuí kriického bodu (N i, i ) pomaly klesá až sa usáli na sauračnej úrovni s. Takýo jav vyjadruje zv. logisická unkcia varu: N = s 1 a + be (12.6) a jej graické znázornenie N s N i i Obr Logisická unkcia Na x-ovej osi sa dosadzujú hodnoy času a y-ovej osi hodnoy veľkosi súboru N. Krivka, korou sa logisická krivka popisuje, parí do skupiny zv. S kriviek. V uvedenom grae krivka pravidelne súpa až po dosiahnuie sauračnej úrovne. Gomperzová krivka Okrem logisickej krivky sa v prognosických modeloch časo používa zv. Gomperzová krivka. Ide o unkciu ypu N = a b c (12.7)

13 12 Simulácie a prognosické modely 187 Sanovením rôznych hodnô paramerov a, b, c možno prispôsobovať krivku rôznym šrukúram východiskových údajov. Paramere b a c musia byť vždy kladné. Podľa veľkosi paramerov a ich rozpäia možno určiť rôzne vary S kriviek a ich umiesnenie v jednolivých kvadranoch. Ak je porebné posunúť krivku po N-ej osi hore alebo dole, možno doplniť uvedený vzťah o adiívnu konšanu k N = k + a b c (12.8) Pre sanovenie konšanných paramerov Gomperzovej krivky sa používa zv. Kingová x meóda, korá vychádza z unkcie varu Y = A + BC. Túo meódu možno iež použiť pre a sanovenie konšanných paramerov logisickej unkcie ypu N = s /(1 + be ). Muliplikáory, akceleráory S pojmami muliplikáor, akceleráor sa sreávame predovšekým u charakerizovaní emp rasu u agregovaných modelov a uplaniť ich reba pri simulovaní rasu posudzovaného ekonomického javu. Zmienili sme sa už o nich v predchádzajúcich kapiolách, v krákosi zopakujeme ich šrukúru. K agregovaným modelom paria predovšekým národohospodárske modely. Modely empa rasu národného hospodársva sa súsreďujú na modely rasu hrubého domáceho produku alebo čisého domáceho produku. U ýcho činieľov sa skúmajú empa rasu v závislosi od invesícií, sporeby, úspor, akumulácie kapiálu a pod. Najjednoduchší vzťah, korým sa vyjadruje napr. objem národného dôchodku Y v danom období v závislosi od úspor S určených na akumuláciu (.j. na invesície I do národného hospodársva) a od nevýrobnej sporeby C sa vyjadruje vzťahom Y=S+C Nevýrobnú sporebu môžeme vyjadriť aj ako jej podiel na národnom dôchodku koeicienom k: C=kY. Ak sa S=I, poom sa môže napísať a poom Y=I+kY (12.9) 1 Y = I (12.10) 1 k Výraz (1/1-k) sa nazýva muliplikáor a charakerizuje, v uvedenom príklade, vzťah medzi národným dôchodkom a invesíciami. Invesície však neslúžia iba na obnovu sporebovaného kapiálu, ale aj na jeho ras. Prírasok národného dôchodku Y za jednoku času, povedzme za rok, sa vyjadrí vzťahom I = a (12.11) Y kde koeicien a sa nazýva akceleráor a vyjadruje porebu nových invesícií pre zvýšenie národného dôchodku o jednoku.

14 188 Ekonomeria pre manažérov Na princípe muliplikáorov a akceleráorov vypracovávali sa viaceré globálne (agregované) makroekonomické modely. Jedným z najznámejších je model rasu Domara- Harroda, korý vyjadruje ras ekonomiky za n období v porovnaní s východiskovým rokom závislosťou Y = ( 1 + ς ) n Y (12.12) n kde ς predsavuje koeicien rasu ekonomiky. 0 Teno koeicien má zasa var ς=(s/b)-µ a kde s je koeicien vyjadrujúci časť národného dôchodku vymieňanú za invesície, koeicien b vyjadruje kapiálovú náročnosť národného dôchodku (.j. veľkosť invesičného kapiálu porebného na vyvorenie jednej jednoky národného dôchodku v danom roku) a konšana µ predsavuje mieru vyraďovania kapiálu, korú je porebné nahradiť invesíciami. V danom prípade ide o sledovanie rasu národného dôchodku v každom roku samosane. Ak by sa požadovalo vyjadriť prírasok za určié obdobie koninuálne, spojio, vo výpočoch by sa nahradili hodnoy absolúnych príraskov národných dôchodkov a kapiálu ich deriváciami. Oázky 1. Vysvelie čo sú simulačné modely a aké je ich využiie v riadiacej práci. 2. Objasnie princíp meódy Mone Carlo a uveďe niekoré ďalšie spôsoby využiia v praxi. 3. Aký je vzťah medzi základnými manažérskymi činnosťami, a o plánovaním a prognosikou? 4. Vysvelie, čo je o exrapolácia. 5. Uveďe príklady zv. S-kriviek a vykonaje rozbor hospodárskych javov, na korých popis by sa hodili uvedené unkčné predpisy.