Hypotézy a intervaly spoľahlivosti stručná teória a vzorce

Transcript

1 Hypoézy a inervaly spoľahlivosi srčná eória a vzorce Obsah Úvod Základný a výberový súbor... Overovanie hypoéz... 3 Posp pri overovaní hypoézy... 4 súbor: Tes o rozpyle σ : Porovnanie σ s číslom... 6 súbor: Tes o srednej hodnoe μ: Porovnanie μ s číslom... 6 Tes o srednej hodnoe, ak poznáme rozpyl σ... 6 Tes o srednej hodnoe, ak nepoznáme rozpyl σ... 7 súbory: Porovnanie rozpylov súborov (F es)... 8 súbory: Porovnanie sredných hodnô súborov... 8 Porovnanie sredných hodnô, ak poznáme rozpyly a... 8 Porovnanie sredných hodnô, ak nepoznáme rozpyly Porovnanie sredných hodnô, ak nepoznáme rozpyly a, ale sa rovnajú... 9 a, ale sa nerovnajú... 9 Párový es (závislé súbory):... 0

2 Úvod Základný a výberový súbor základný súbor x - arimeický priemer z vybraných objekov s x výberový rozpyl (iež len z vybraných objekov) μ - sredná hodnoa (priemerná hodnoa všekých objekov) σ rozpyl (iež zo všekých objekov) výberový súbor Predsavme si napríklad siáci, že nejaká firma chce vedieť názor ľdí na Slovensk. Bolo by veľmi prácne, aj drahé opýať sa každého človeka na Slovensk na jeho názor. Namieso oho v agenúre robia náhodný výber ľdí zo Slovenska. Náhodný o znamená, že sa nevyberú ľdia z jedného mesa, ani rovnako sarí, či s rovnako školo aď. Namieso všekých obyvaeľov Slovenska (základný súbor) sa eda opýame iba nejakých pár isíc ľdí (výberový súbor). Keďže ľdí sme do výber zahrnli náhodne, je veľmi pravdepodobné, že názor vo výberovej skpine bde skoro rovnaký ako v celom súbore. Hovoríme om, že paramere výber (výberového súbor) sú dobrým odhadom paramerov celého súbor. Konkréne: Prieskmom zisíme, že vo výberovej vzorke je priemerná mzda 758 er. Ak sme výber robili náhodným výberom, aj priemerná mzda všekých občanov Slovenska bde približne 758 er. Koľko, presne nevieme, ale vo väčšine prípadov nám sačí akýo odhad. Prípadne môžeme šaisickými meódami overiť, či je priemerný pla na Slovensk rovný napr. 800 er.

3 Overovanie hypoéz Ak chceme overiť srednú hodno alebo rozpyl základného súbor, sanovíme si zv. nlovú H 0 a alernaívn hypoéz H. H 0 nazývame nlovo hypoézo, je vždy rovnosťo: - je v vare parameer základného súbor (sredná hodnoa μ alebo rozpyl σ ) = nejaké číslo H je alernaívna hypoéza, môže byť 3 ypov: - obojsranná alernaíva, napr. H : σ (môžeme písať aj v vare: σ <> ) parameer základného súbor (sredná hodnoa μ alebo rozpyl σ ) nejakém čísl, - jednosranná pravosranná alernaíva, napr. H : σ > 9 parameer základného súbor (sredná hodnoa μ alebo rozpyl σ ) > nejaké číslo - jednosranná ľavosranná alernaíva, napr. H : σ < 9 parameer základného súbor (sredná hodnoa μ alebo rozpyl σ ) < nejaké číslo Pri overovaní hypoéz požívame v šaisike akýo posp: - vypočíame zv. esovaci šaisik, á má pre každý yp hypoézy iný vzorec - zisíme z abľky zv. kriické hodnoy, resp. kriické inervaly = obor zamienia - ak vypočíaná esovacia šaisika parí do kriickej oblasi (obor zamienia), ak zamieneme nlovú hypoéz H 0 a za pravdivú vyhlásime alernaívn hypoéz H - v opačnom prípade vyhlásime, že nlovú hypoéz H 0 sa nepodarilo zamienť, a eda plaí - Príklad: Máme za úloh oesovať, či priemerná hodnoa v celom základnom súbore je 8. Vypočíame priemernú hodno zo zadaného výber. Vypočíame esovaci šaisik. Zisíme, že esovacia šaisika parí do kriického obor. Vyhlásime eda, že sredná hodnoa základného súbor s najväčšo pravdepodobnosťo (presnejšie s 95 %-no pravdepodobnosťo) nie je 8. 3

4 Posp pri overovaní hypoézy. Výpoče arimeického priemer a rozpyl z údajov zo zadania.. Posavíme hypoézy. Nlová hypoéza je vždy rovnosť. Alernaívna môže byť jednosranná( > alebo <) alebo obojsranná nerovnosť ( ). 3. Vypočíame esovaci premennú. 4. Nájdeme v abľkách kriické hodnoy. Požívame 4 ypy abliek: a. Tabľka normálneho rozdelenia N(0,) b. Tabľka chí-kvadrá rozdelenia χ c. Tabľka Sdenovho rozdelenia T-rozdelenie d. Tabľka F-rozdelenia 5. Porovnáme esovaci premennú a kriickú hodno. Ak esovacia premenná v kriickom obore, zamieame nlovú hypoéz H 0 a prijímame alernaívn H. V opačnom prípade prijmeme H 0. Kriické obory: Poznámka: kriický obor je inerval od kriickej hodnoy (alebo dvoch kriických hodnô) smerom von od nly. Pre obojsrannú hypoéz: <> - obory zamienia sú pod q a nad q Pre ľavosrannú hypoéz: < - obor zamienia je pod q d Pre pravosrannú hypoéz: > - obor zamienia je nad q h 4

5 5

6 súbor: Tes o rozpyle σ : Porovnanie σ s číslom Možnosi porovnania: H 0 : σ = číslo H 0 : σ = číslo H 0 : σ = číslo H : σ číslo H : σ < číslo H : σ > číslo Tesovacia premenná: Kriické hodnoy: - z abľky Chí-kvadrá rozdelenia a ; n ; n ; n ; n CHIINV(α/;n-) a CHIINV(-α/;n-) CHIINV(α;n-) CHIINV(-α;n-) Inervaly spoľahlivosi: n n obojsranný:. s ;. s n n ľavosranný: n. s ; n n pravosranný: ;. s n súbor: Tes o srednej hodnoe μ: Porovnanie μ s číslom Možnosi porovnania: H 0 : μ = číslo H 0 : μ = číslo H 0 : μ = číslo H : μ číslo H : μ < číslo H : μ > číslo Vzorec pre esovaci šaisik (a požiá abľka) záleží od oho, či poznáme rozpyl σ základného súbor alebo nie. Z abľky vypočíame iba výberový rozpyl. Rozpyl σ poznáme, ak je vedený v zadaní. Tes o srednej hodnoe, ak poznáme rozpyl σ Tesovacia premenná: Kriické hodnoy: - z abľky Normálneho rozdelenia N(0,) 6

7 a / / = - kvanily: NORMSINV(α/) a NORMSINV(-α/) -NORMSINV(-α) NORMSINV(-α) p-hodnoa: *( - NORMSDIST(ABS(U))) NORMSDIST(ABS(U)) Poznámka: pre kvanily normálneho rozdelenia plaí:, eda napr. 0,9 = - 0, Inervaly spoľahlivosi: obojsranný: x. ; x. n ľavosranný: x. ; n pravosranný: x ;. n n - kvanily sú z N(0,) rozdelenia Tes o srednej hodnoe, ak nepoznáme rozpyl σ Tesovacia premenná: Kriické hodnoy: - z abľky Sdenovho T- rozdelenia / a / = - -TINV(α;n-) a TINV(α;n-) - TINV(*α;n-) TINV(*α;n-) Poznámka: Ak je poče prvkov viac ako 30, kriické hodnoy možno zisťovať aj z N(,0) abľky namieso T-rozdelenia. Pri vysokom poče prvkov sú kvanily oboch abliek akmer rovnaké. Inervaly spoľahlivosi: s obojsranný: x. ; x. n s n ľavosranný: s. ; n x 7

8 pravosranný: ; x. s n - kvanily sú z - rozdelenia súbory: Porovnanie rozpylov súborov (F es) Možnosi porovnania: H 0 : H 0 : H 0 : H : H : H : Tesovacia premenná: Kriické hodnoy: - z abľky Fisherovho F-rozdelenia F n ; m a F n ; m F n ; m n ; m / / FINV(-α/;n-;m-) a FINV(α/;n-;m-) FINV(-α;n-) FINV(α;n-) F Poznámka: n poče prvkov v v súbore X, m je poče prvkov v súbore Y Ak v abľke nemáme nejakú kriickú hodno, môžeme vyžiť rovnosť: súbory: Porovnanie sredných hodnô súborov Možnosi porovnania: H 0 : μ = μ H 0 : μ = μ H 0 : μ = μ H : μ μ H : μ < μ H : μ > μ Tak ako pri jednom súbore, aj rozdelenie esovacej šaisiky (a požiej abľky) záleží od oho, či poznáme rozpyly základných súborov alebo nie. Z abľky vypočíame iba výberové rozpyly. Rozpyly poznáme, ak sú vedené v zadaní. Porovnanie sredných hodnô, ak poznáme rozpyly a Tesovacia premenná: 8

9 Kriické hodnoy: - z abľky Normálneho rozdelenia N(0,) a / / = - NORMSINV(α/) a NORMSINV(-α/) -NORMSINV(-α) NORMSINV(-α) Porovnanie sredných hodnô, ak nepoznáme rozpyly a, ale sa rovnajú Tesovacia premenná: Kriické hodnoy: - z abľky Sdenovho T- rozdelenia / a / = - -TINV(α;m+n-) a TINV(α;m+n-) - TINV(*α;m+n-) TINV(*α;m+n-) Porovnanie sredných hodnô, ak nepoznáme rozpyly a, ale sa nerovnajú Tesovacia premenná: Kriické hodnoy: - z abľky Sdenovho T- rozdelenia namieso α je.α... Poznámka: Ak je poče prvkov viac ako 30, kriické hodnoy možno zisťovať aj z N(,0) abľky namieso T-rozdelenia (ako keby sme rozpyl poznali). Pri vysokom poče prvkov sú kvanily oboch abliek akmer rovnaké. 9

10 Párový es (závislé súbory): Tesovacia šaisika: T d s d n Kriické hodnoy: - z abľky Sdenovho T- rozdelenia / a / = - -TINV(α;n-) a TINV(α;n-) - TINV(*α;n-) TINV(*α;n-) 0