9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,"

ÔΠοσειδῶν Αγγελίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F f Príklad 9 Funkia F + je primiívnou funkiou k funkii ( ' ) F + f R a,, ak pre f, preože Všimnie si, že aj funkia G 5 je primiívnou funkiou k funkii f ( ' 5) G f Vea 9 Neh F je primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( a, b) Funkia primiívnou funkiou k funkii f na ( b) číslo, že pre všeky ( a, b) plaí G F +, lebo G je a, vedy a len vedy, ak eisuje aké reálne Množinu všekýh primiívnyh funkií F k funkii f na inervale ( a, b) nazývame neurčiým inegrálom funkie f na inervale ( a, b) a označujeme f d F + Meódu, ako nájsť k danej funkii neurčiý inegrál, nazývame inegrovaním 9 Inegračné vzore Základné vzore pre inegrovanie funkií dosaneme použiím (obráením) základnýh vzorov na derivovanie Vea 9 d d + 9 d og + a+ sin a d + pre a arg + a + 0 d + arog + d ln d ln 4 ed e + 5 a ad + pre a, a > 0 ln a 6 sin d os + 7 os d sin + 8 d g + os arsin + d aros + d ln + + a +, a R + a f 4 d ln f + f 9

2 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov Vzore plaia pre ie inervaly, v korýh sú funkie na pravej srane rovnosi definované O ih správnosi sa môžeme presvedčiť derivovaním Vea 9 (o inegrovaní súču a rozdielu funkií a násobku funkie) f + g d f d+ g d - - f d f d f g d f d g d Príklad 9 Vypočíaje d d d d d d d d na inervale (, ) 0 9 Subsiučná meóda a meóda per pares Z vey o deriváii zloženej funkie získame jednu z najdôležiejšíh meód inegrovania subsiučnú meódu Je založená na nasledujúom vrdení Vea 94 (prvá vea o subsiúii) Neh je funkia F () primiívna k funkii f () na inervale J T Neh má funkia ϕ na ovorenom inervale J X deriváiu ϕ a neh pre každé J X plaí ϕ JT Poom je funkia F( ϕ ) primiívna funkia k funkii f ϕ ϕ na inervale J X, j f ϕ ϕ d F ϕ + Tvrdenie vey používame nasledovne: ϕ f ϕ ϕ d f () d F [] + F ϕ + d ϕ d Celý posup si môžeme mehaniky zapamäať ako: d Ak máme subsiučnú rovniu ϕ, poom po derivovaní ϕ a po úprave d ϕ d d Všimnime si, že inegrovaná funkia má ieo vlasnosi: je súčinom dvoh funkií f ϕ a ϕ, prvá z nih je zloženou funkiou s hlavnou zložkou f a vedľajšou zložkou ϕ Druhá z nih je deriváiou vedľajšej zložky ϕ 40

3 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov Príklad 9 Vypočíaje arg d + arg arg arg d d d d + Najprv sme použili subsiúiu arg Poom sme zderivovali zvlášť jej pravú sranu a zvlášť jej ľavú sranu, čím sme získali vzťah d d Napokon sme v pôvodnom + arg inegráli d nahradili čiaeľ výrazom a zvyšok výrazom d, čím sme získali + d, korý sa rovná + Nahradením výrazom arg sme získali výsledok v arg vare + ln Príklad 94 Vypočíaje d ln ln ln d d d d 4 4 Príklad 95 Vypočíaje gd sin os gd d d d ln + ln os + os sin d d d d sin ( ) d sin sin d os+ os( ) + d d Príklad 96 Vypočíaje sin Pri inegrovaní subsiučnou meódou zvyčajne posupujeme ako: Ak máme vypočíať f ϕ ϕ d, použijeme subsiúiu ϕ ( ), ϕ d d a dosaneme f ϕ ϕ d f d F + F ϕ + Pri použií ejo meódy inegrál f ϕ ϕ d upravíme na inegrál f () d ak, že inegračnú premennú nahradíme novou premennou ϕ Je zrejmé, že eno posup má zmysel použiť len vedy, ak vieme vypočíať inegrál f d 4

4 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov Ak, naopak, máme vypočíať f () d, pričom vieme vypočíať f ϕ ϕ d, môžeme iež použiť subsiučnú meódu Pre eno prípad uvedieme novú veu, korá je však bezprosredným dôsledkom vey predhádzajúej Vea 95 (druhá vea o subsiúii) Neh funkia ϕ() má na inervale ( α, β ) deriváiu 0 ϕ, definovaná na inervale ( b) inervale ( α, β ) Neh je funkia f definovaná na inervale ( b) primiívna funkia k funkii f ϕ() ϕ na inervale ( β ) G ϕ primiívna funkia k funkii f na inervale ( a, b) ϕ a neh funkia a, je inverzná funkia k funkii ϕ() na a, Neh G () je Tvrdenie ejo vey môžeme zapísať pomoou vzora ϕ () f ( d ) f ϕ ' () ϕ () d G() + G( ϕ ) + d ϕ d () α, Poom je funkia Príklad 97 Vypočíaje 4 d sin 4 d 4 ( sin) osd 4 4sin osd d osd 4 sin os 4 sin os 4 os os d d d 4 os osd 4 os d + os d d + os d 4 + sin + arsin + sin arsin + arsin + + Pri výpoče sme použili vzore: sin + os sin os + os os 4 sin arsin (poznámka: eno vzore presahuje vedomosný rozsah ejo publikáie) Uvedomme si, že ak ; (čo je definičným oborom výrazu 4 ), poom π π ;, a preo os os Všimnime si, že na začiaku sme použili subsiúiu sin Žiaľ, neeisuje žiadna meóda, korá by nám jasne napovedala, akú subsiúiu reba pri korom inegrále použiť Ak pri výpoče jedného inegrálu použijeme rôzne subsiúie, môžeme dosať rôzne výsledky Funkie, koré dosaneme sa však líšia iba o adiívnu konšanu Správnosť výpoču overíme derivovaním výslednej funkie 4

5 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov Meóda per pares Meódu inegrovania, korú nazývame per pares, dosaneme z vey o derivovaní súčinu dvoh funkií Hovorí o om nasledujúa vea Vea 96 Neh funkie f a g majú na inervale ( a, b) deriváie f a g Neh H je primiívna funkia k funkii f g na inervale ( a, b) Poom je funkia f g H primiívnou funkiou k funkii f g na inervale ( a, b) Dôkaz: Preože podľa predpokladu H f g na inervale ( a, b), dosávame [ f g H ] f g + f g f g f g na inervale ( b) a, Tvrdenie ejo vey môžeme zapísať v vare f g d f g f g d Aby bol výpoče prehľadnejší, zvykneme požívať symboliký zápis uv d uv u vd uv, sú funkie premennej, kde Meódu per pares (j inegrovanie po časiah) používame najmä na inegrovanie súčinu dvoh funkií Úspeh použiia meódy závisí od oho, ako si zvolíme funkie u a v Nie každá voľba ýho funkií vedie k ieľu Zaručený návod na použiie ejo meódy neeisuje Uvedieme niekoľko základnýh ypov funkií, koré inegrujeme meódou per pares Inegrál z funkií varu P n f, kde P n je polynom supňa n Pokiaľ funkiu u Pn, v f Funkie u a v volíme opačne len vedy, keď f vieme inegrovať, volíme označenie funkií v per pares ako: f nevieme inegrovať Príklad 98 Vypočíaje sin d u v sin sin d ( os ) ( os ) d u v os os + os d os + sin + Príklad 99 Vypočíaje ln d u ln v ln d ( ln ) d ( ln ) d ln + u v 4 4

6 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov Inegrál niekorýh funkií, koré nie sú uvedené medzi základnými vzorami V omo prípade funkiu f zapíšeme v vare f a meódou per pares počíame inegrál oho súčinu Príklad 90 Vypočíaje argd u arg v arg d arg d arg d u v + + arg ln + + Pomoný výpoče: + d d d ln ln d d Týmo spôsobom počíame aj inegrály z funkie aď 94 Úlohy Nájdie primiívne funkie k daným funkiám f f d d d + d + 7d 4 4 d + d + 7 d ln, zo všekýh yklomerikýh funkií, d n+ n d n + f f f + g d f d+ g d f f d d 4 6 d 8 d + d n+ n d d n + f ( ) d f ( ) d f + g d f d+ g d 44

7 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov f f d d d d d n+ n d n + f f f + g d f d+ g d f + 4 sin os f d sin + os d sin d+ os d os + sin + sin d os osd sin f + g d f d+ g d f f d d d d+ 4 d 5 d+ 6 d ln ln ln 4 ln 5 ln 6 a ad f + g d f d+ g d ln a Meódou per pares nájdie primiívne funkie k daným funkiám f 6 4 sin u 4 v' sin f d 4 sin d 4 os 4os d u' 4 v os 4os + 4 os d 4os + 4sin + u v' d u v u' v d 7 f e u v' e u v' e f d e d e e d u' v e u' v e e e ed e e + ed e e + e + ed e u v' d u v u' v d 45

8 Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov Subsiučnou meódou nájdie primiívne funkie k daným funkiám 8 f sin ( + ) + f d sin ( + ) d sin d d d d d os( + ) sin d ( os) + 9 f ln ( 4) u' v ln 4 f d ln ( 4) d ln d ln d ln d d d u v' ln d ln 4 ln ln f + ( ) + f d + d d d d d d d d f sin f d sin d sind os os + d d f ln + + f d ln( + ) d ln d d d d d u' v ln ln ln ln d d d u v' ln ( + ) ln( + ) ( + ) ( ln d) ( ln ) + 46

Σχετικά έγγραφα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov