2 Ekonometrické modelovanie

Transcript

1 Ekonomerické modelovanie 5 Ekonomerické modelovanie Na začiaok ejo kapioly bude vhodné urobiť sručný prehľad o možnosiach využiia maemaických modelov v ekonomike. Nebudeme však uvádzať všeobecné uplaňovanie maemaiky, šaisiky a iných numerických meód v ekonomike ak ako sme o už uviedli, ale súsredíme sa iba na ekonomicko maemaické modely.. Maemaické modelovanie Podľa publikácie [4] sa ekonomicko maemaické modely rozdeľujú podľa nasledujúcich kriérií: a) podľa varu maemaického modelu, b) podľa povahy modelového súboru. Do prvej skupiny sa zaraďujú modely, koré pre danú problemaiku využívajú šandardné maemaické meódy. Do ejo skupiny paria: a) maemaické programovanie, b) šrukurálna analýza, c) graficko analyické modely, d) eória hier a pod. Do druhej skupiny sa zaraďujú modely, koré majú aplikačný charaker a koré pre riešenie svojich úloh využívajú eoreicky rozpracované maemaické modely. Ide predovšekým o akéo modely: e) eórie hromadnej obsluhy (eória fron), f) eória zásob, g) eória obnovy, h) eória obchodného cesujúceho a pod. Sručne popíšeme základné charakerisiky uvedených modelov. A. Maemaické programovanie umožňuje nájsť opimálne (exrémne) riešenie problému za predpokladu, že - exisuje viac ako jedno možné riešenie, - exisuje konečný poče obmedzujúcich podmienok, - je zadané opimalizačné kriérium, podľa korého sa jednolivé riešenia hodnoia. U maemaického programovania ide o vyhľadávanie exrémnej,.j. maximálnej alebo minimálnej hodnoy funkcie n premenných, korá sa môže označiť ako x (x, x,, x n ) a považovať sa za vekor.

2 6 Ekonomeria pre manažérov Hodnoa exremizovanej hodnoy variany x je funkciou ejo variany a označuje sa ako f ( x, x,..., xn ) (.) alebo v krákosi f(x), pričom premenné x,x,,x n zosávajú v oblasi, korá je vymedzená súsavou nerovníc q i ( x, x,... xn ) bi (i,.,m) (.) x (j,,,n) j kde q i sú známe premenné, b i sú konšany a voria podmienky, koré musí variana splniť, aby bola prípusná. Podmienka nezápornosi vyplýva z ekonomickej inerpreácie maemaického modelu, korá nepripúšťa inerpreáciu zápornú, negaívnu. Úloha nájsť exrém funkcie (.) pri podmienkach (.) sa nazýva úlohou maemaického programovania. Funkcia (.) sa nazýva účelovou funkciou úlohy. Množina všekých x, korá splňuje podmienky (.) sa nazýva množinou prípusných riešení. Z maemaického hľadiska ide o vyhľadanie exrémnej hodnoy funkcie za daných podmienok. V maemaickej analýze sa oázkou vyhľadávania exrémnej funkcie na množine, korá je ohraničená súsavou rovníc, zaoberá zv. meóda Lagrangeových muliplikáorov a označuje sa varom i l, m. Vzhľadom na zložiosť výpoču je použiie ýcho muliplikáorov pri riešení maemaického programovania s ekonomickou inerpreáciou obmedzené a prakicky sa nepoužíva. Všeobecne pod pojmom maemaické programovanie sa eda rozumie využiie násrojov maemaickej analýzy pre riešenie programovaeľných úloh, koré vyžadujú vyhľadať riešenie najlepšie, najvýhodnejšie, eda opimálne. Využiím maemaickej analýzy sa dospeje k riešeniu exrémnemu,.j. akému, že za daných podmienok sa už nemôže nájsť ďalší exrém, nemôže sa nájsť lepšie riešenie. Takéo exrémne riešenia sa poom nazývajú opimálnymi. Nájdené opimálne riešenie však nemusí zodpovedať a v praxi ani nemôže vždy zodpovedať riešeniam, koré sú z pohľadu ekonomickej analýzy požadované. Napriek omu je vyhľadávanie exrémnych,.j. opimálnych riešení mimoriadne významné, lebo hospodárska analýza nedisponuje dosakom akých kvanifikačných analyických násrojov, akými sú násroje maemaickej, resp. operačnej analýzy. Významnosť využiia meód maemaického programovania spočíva aj v om, že prosrednícvom ýcho meód možno efekívnejšie riešiť využívanie obmedzených vsupných zdrojov, čo je jednou z prioriných oázok ekonomiky. Podľa oho, či veličiny, koré sa v maemaickom modelovaní používajú, majú lineárny či nelineárny charaker, či sú ieo veličiny známymi alebo náhodnými veličinami, či v nich vysupuje činieľ času, rozlišuje sa v maemaickom programovaní - lineárne programovanie, - nelineárne programovanie, - sochasické programovanie, - dynamické programovanie, - paramerické programovanie a pod.

3 Ekonomerické modelovanie 7 Lineárne programovanie sa zaoberá riešením akých úloh maemaického programovania, v korých funkcie z f ( x, x,..., xn ) a q i ( x, x,..., x ) b n x j i (i,,,m) (.3) (j,,,n) sú lineárne. Ide o meódu, korá je z maemaického programovania najrozšírenejšia a hodí sa pre mnohé nenáročné riešenia s kauzálnymi závislosťami. Riešenia sú obmedzené podmieňujúcimi podmienkami. Lineárne programovanie je meóda, pomocou korej možno získať z viac možných riešení o, koré je opimálne. Priom sa predpokladá, že programované vzťahy sú lineárne alebo ich možno za lineárne považovať. Lineárne programovanie je meóda sanovovania maxima alebo minima lineárnej funkcie za súčasného pôsobenia obmedzujúcich podmienok. Cieľom je určenie exrémnej lineárnej funkcie. Lineárne programovanie možno použiť napr. pri riadení skladového hospodársva (čas a množsvo doplňovania zásob), pri riešení zv. dopravného problému (minimálna vzdialenosť prepravy, minimálny čas, minimálne náklady), pri sanovovaní najvýhodnejších sérií vo výrobe, aď. Nelineárne programovanie rieši aké úlohy maemaického programovania, u korých aspoň jedna z funkcií f(q i ), pre i,,,m, je nelineárna. Využiie meód nelineárneho programovania je voči lineárnemu programovaniu obmedzené ým, že niekoré z vysveľujúcich premenných majú lineárny, ale iné majú nelineárny vzťah i nelineárnu vývojovú krivku vývojový rend a ak dochádza k vysveleniu vysveľovanej veličiny z nesúrodých veličín. Riešenie je síce možné, ale pri prakickom použií dochádza k endencii vyjadriť nelineárne závislosi závislosťami lineárnymi. Inerpreačná schopnosť akýcho modelov sa ým výrazne znižuje. Nelineárne programovanie pozosáva zo samosaných časí, akými sú napr. konvexné programovanie, kvadraické programovanie, geomerické programovanie a pod. Sochasické programovanie rieši aké úlohy maemaického, spravidla lineárneho programovania, u korých vysveľujúcimi veličinami sú veličiny náhodné. Ide o riešenie úloh s zv. neúplnou informáciou o vsupných, vysveľujúcich veličinách. Ťažkosť pri riešení úloh s náhodnými veličinami spočíva v om, že nemožno v modeli dosaočne spoľahlivo explicine vyjadriť hodnou premenných a preo sa ich hodnoa vyjadruje odhadom. Odhad nebýva dosť presný a šaisicky spoľahlivý. V sochasickom programovaní nejde preo o maximalizáciu určiej účelovej funkcie, preože áo je známa iba v pravdepodobnosnom zmysle, ale ide o očakávanú hodnou maemaickú nádej. Maemaický model u popisuje proces v aproximaívnej forme.

4 8 Ekonomeria pre manažérov Transformácia savu z jedného do ďalšieho supňa sa vykonáva pomocou náhodných čísiel, pomocou synézy umelo zosavenej súsavy a empiricky zisených paramerov. Tako zosavená súsava a v nej prebiehajúce procesy sa nazýva simuláciou. Súsava vyžaduje dosaočný rozsah údajov, aby chyby boli čo možno najmenšie. Simulácia sa zakladá na akom princípe, že určiá súsava a určié procesy sa vyvoria pomocou maemaických prosriedkov a o i bez zreeľa na ich exisenciu v skuočnosi. Súsava či proces je eoreicky vykonšruovaný ak, aby sa mohli zisiť hlavné vlasnosi ich správania,.j. ie vlasnosi, koré sa majú skúmať. K najsarším meódam simulácie parí meóda analógovej simulácie. K najvýznamnejším z nich parí meóda Mone-Carlo. Dynamické programovanie sa zaoberá opimalizáciou viacsupňových, časovo nadväzných procesov. Konečný výsledok je ovplyvňovaný rozhodovacími opareniami uskuočnenými na každom jednolivom supni riešenia. Dynamické programovanie možno uplaniť pri riešení súvislého sledu procesov rozmaniého ypu, pri korých dôležiú úlohu zohráva čas. Podsaným rysom dynamického programovania je okolnosť, že sa do nich zavádza čas. To sa vzťahuje aj na ransformáciu saických modelov na modely dynamické. Mnohorakosť dynamických modelov sa rieši ým, že pri riešení sa posupuje po eapách. Úlohy dynamického programovania sa rozlišujú na procesy diskréne a spojié. Procesy diskréne sú aké, u korých premenlivé veličiny nadobúdajú hodnoy len v určiých bodoch inervalu. Procesy spojié sú aké, u korých sú savové veličiny definované v inervale. Paramerické programovanie umožňuje riešiť aké úlohy, u korých niekoré veličiny sú lineárnou a iné nelineárnou funkciou jedného alebo viacerých paramerov. Sreávame sa u s prípadmi zv. celočíselného riešenia (celočíselné programovanie), riešenia iba s určiými diskrénymi hodnoami (diskréne programovanie) alebo premenné získavajú iba hodnoy (nula) alebo (zv. bivalenné premenné). B. Šrukurálna analýza, známa iež pod názvom analýza medziodvevových vzťahov, je bilančnou meódou, korou sa na princípe rovnováhy pomocou maemaického modelu charakerizujú kvaniaívne závislosi medzi jednolivými odveviami alebo odbormi národného hospodársva. Pomocou šrukurálnych analýz sa nevyhľadáva opimálne riešenie, ale vyhľadáva sa rovnováha medzi sledovanými zoskupeniami. Pod šrukúrou sa rozumie usporiadanie prvkov v súsave (syséme) a eda v šrukurálnej analýze sa skúmajú kvaniaívne závislosi premenných v súsavách ak, aby sa medzi nimi dosiahol rovnovážny sav. Je pochopieľné, že prvým predpokladom pre riešenie je definovanie súsavy (napr. národné hospodársvo, odvevie, podnik a pod.). Druhým predpokladom je rovnováha medzi vsupnými a výsupnými hodnoami premenných (napr. výroba a sporeba, ponuka a dopy a pod.). Príklad. Ovorený Leoniefov model Leoniefov model sa využíva na zobrazovanie vzťahov medzi odveviami národného hospodársva pomocou maice. Princíp modelu si objasníme na hypoeickom hospodársve, koré je zložené z roch odveví: poľnohospodársvo, priemyselná výroba a palivá. Každé odvevie predáva a kupuje od každého iného odvevia, včíane seba samého.

5 Ekonomerické modelovanie 9 Výsupy Vsupy Poľnohospodársvo Priemysel Palivá Poľnohospodársvo 6 4 Priemysel Palivá 4 6 Celková sporeba 3 4 Tab.. Transakcie medzi odveviami národného hospodársva (mld. Sk) Riadky abuľky inerpreujeme v om zmysle, že výsup z odvevia poľnohospodársva je rozdelený nasledovne: mld. Sk do vlasného odvevia, 6 mld. Sk do priemyselnej výroby, 4 mld. Sk do odvevia palív a 8 mld. Sk do konečnej sporeby. Sĺpce abuľky udávajú sporebu jednolivých odveví. Napríklad odvevie poľnohospodársva sporebuje mld. Sk z vlasného odvevia, 8 mld. Sk z odvevia priemyselnej výroby, palív za 4 mld. Sk a za prácu zaplaia 6 mld. Sk. Ak chceme získať podklady pre rozhodovanie, ak musíme maicu ransakcií previesť na maicu koeficienov (echnologickú maicu). Výsupy Vsupy Poľnohospodársvo Priemysel Palivá Poľnohospodársvo,,, Priemysel,4,, Palivá,,,3 Tab.. Prepoče koeficienov do echnologickej maice Z abuľky. je možné zapísať echnologickú maicu A (niekedy nazývaná aj Leoniefova maica) v vare, A, 4,,,,,,, 3 Maica produkcie X jednolivých odveví má sĺpcovú podobu x X x x kde x je hrubá produkcia v poľnohospodársve, x je hrubá produkcia priemyselnej výroby, x 3 je hrubá produkcia palív. Jednoky hrubej produkcie, koré nie sú určené pre osané odvevia (medzisporeba), nazývame konečný dopy alebo iež prebyok a sú dosupné pre sporebieľov, vládu a expor. 3

6 3 Ekonomeria pre manažérov Ak prebyky hrubej produkcie voria sĺpcovú maicu D, ak poom ich výšku môžeme odvodiť z rovnice X AX D resp. ( E A) X D kde E je jednoková maica. Rovnica býva označovaná aj ako echnologická rovnica pre zv. ovorený Leoniefov model. Nájdime riešenie súsavy (.j. veľkosť hrubej produkcie v jednolivých odveviach), ak je plánovaný prebyok 4 mld. Sk v poľnohospodárskej produkcii, prebyok mld. Sk v priemyselnej výrobe a prebyok palív za mld. Sk. E A,,4,,,,,,9,,4,3,,,8,,,,7 4 D Po dosadení do rovnice ( E A) X D dosávame,9,4,,,8,, x, x,7 x 3 4 Rozšírená maica ma var,9,4,,,8,,,,7 4 Gauss-Jordanovou elimináciou získame maicu akže hodnoy hrubej produkcie v jednolivých odveviach, koré vyhovujú zadaným požiadavkám na hodnoy prebykov určených na konečnú sporebu, sú: - poľnohospodársvo: x mld. Sk, - priemyselná výroba: x mld. Sk, - palivá: x 3 mld. Sk. Prvky maice prebykov musia obsahovať kladné alebo nulové hodnoy. V opačnom prípade by hodnoa hrubej produkcie jedného alebo viacerých odveví bola nedosaočná a nedokázala by uspokojiť požiadavky osaných odveví. Ekonomika nemôže sporebovať viac, ako vyprodukuje. Použiý model je koncipovaný ako ovorený Leoniefov model, preože echnologická maica nezahrňuje všeky vsupy a výsupy. Vynechaná je napríklad práca, pričom niekoré (alebo aj všeky) prebyky slúžia domácnosiam, koré sú vlasníkom oho výrobného činieľa.

7 Ekonomerické modelovanie 3 Príklad. Uzavorený Leoniefov model Uvažujeme eraz v rámci modelovaného sysému so všekými jeho vsupmi a výsupmi. Už spomínaná práca je v modeli zahrnuá v kaegórii rozpoču domácnosi. Pre eno yp modelu je charakerisické o, že suma vsupov v každom sĺpci je rovná. V akomo prípade nejesvujú prebyky, akže D, resp. X AX. Technologická rovnica má poom var: AX X a hovoríme o zv. uzavorenom Leoniefovom modeli. Nech echnologická maica popisuje ekonomiku celej krajiny, pričom x predsavuje rozpoče vlády, celkovú úroveň výsupu ziskových organizácií, x rozpoče neziskových organizácií a x 4 je rozpoče domácnosí. A x 3,, A,,4,3,,6,,4,5,,,,4 Vypočíame celkové rozpočy x, x, x, x. 3 a 4 Riešime sysém rovníc daný echnologickou rovnicou AX X, a o x + + +,,3x x3, x4 x,x +,x +,x 3 +, x4 x, x + x +,4x3 +, x4 x3, 4x +,6x +,5x3 +, 4x4 x4 Po úprave dosávame rozšírenú maicu,8,,,4,3,9,6,,6,5,,,,6 Gauss-Jordanovou elimináciou získame maicu

8 3 Ekonomeria pre manažérov Odvodíme riešenie 5 x x4 3 4 x x x3 x4 3 alebo x x x 3 5 x4 3 4 x x4 3 V získaných výsledkoch sa prejavili aj očakávané závislosi, pričom rozpočy x, x, x3 závisia od rozpočov domácnosí. Očividná je napríklad skuočnosť, že výsupy ziskových organizácií sú obmedzené ponukou práce. Ekonomika vyhovuje daným rovniciam vedy, ak rozpoče vlády je 5 3 krá rozpoče domácnosí, ak hodnoa výsupu ziskových organizácií je 4 39 krá rozpoče domácnosí, a ak rozpoče neziskových organizácií je 6 3 krá rozpoče domácnosí. C. Graficko-analyické meódy sa súsreďujú hlavne na eóriu grafov a na sieťovú analýzu. Tieo meódy sú určené pre analýzu zložiých nadväzných procesov skúmaných z hľadiska ich časového priebehu. Umožňujú posaviť kriickú cesu, korou sa reba uberať od začiaku až po ukončenie procesu. Odhaľujú kriické úseky, koré sú rozhodujúce pre včasné dokončenie posupnosi úlohy a umožňujú sanoviť časové rezervy, koré sú pre nadväzné procesy významné. Pre ieo vlasnosi je použiie graficko-analyických meód výhodne predovšekým v projekčnej, plánovacej a v riadiacej práci. Zložiosť riešení niekorých dôležiých úloh, koré vznikajú pri deľbe práce, kooperácii, organizácii a plánovaní, si vyžaduje sanoviť prehľadné a objekívne posupy. Riadenie výskumných a projekčných prác, invesičnej činnosi, monáži zložiých zariadení, rekonšrukcii a údržby a eda všade am, kde reba docieliť čo najlepšie zladenie jednolivých na seba nadväzujúcich procesov a vzájomne sa doplňujúcich činnosí, je použiie grafických meód účelné a neposrádaeľné. Pre riešenie akýcho úloh sa najlepšie hodí využiie eórie grafov, eórie sieí s využiím poču pravdepodobnosi. Vznik eórie nadväzných procesov sa dauje do päťdesiaych rokov a použili sa pri rakeovom programe v USA. Tieo meódy majú spoločný názov CPA Criical Pah Analysis - analýza kriickej cesy a ich základným znakom je zosavenie sieí a ich analýzy. Najznámejšie z nich sú: CPM Criical Pah Mehod meóda kriickej cesy, PERT Program Evaluaion and Review Technique meóda hodnoenia a preskúšania programu. Pre poreby časového (ime) plánovania a plánovania nákladov (cos) boli vyvinué programy PERT/TIME a PERT/COST, RAMPS Resource Allocaion and Muliprojec Scheduling meóda rozdelenia obmedzených zdrojov. Predpokladom použiia niekorej z meód CPA je podmienka, aby sa zložiá činnosť dala rozložiť na niekoľko čiaskových činnosí, medzi korými exisuje časová následnosť a podmienenosť, a korých komplexné riešenie vedie k splneniu danej úlohy.

9 Ekonomerické modelovanie 33 Rozdiel medzi meódami PERT a CPM spočíva v om, že CPM je meóda deerminisická a pre každú činnosť je sanovený normovaný čas rvania. U meód PERT sa pre každú činnosť sanovujú ri časy rvania: opimisický odhad, pesimisický odhad a najpravdepodobnejší čas plnenia. D. Teória hier sa zaoberá riešením konflikných siuácií, v korých vysupujú proi sebe dvaja alebo viacerí účasníci (hráči) s proichodnými záujmami. Zmyslom riešenia konflikných siuácií je nájsť pre účasníkov hry opimálne sraégie, eda pravidlá konania a rozhodovania v priebehu hry. E. Teória hromadnej obsluhy (eória fron) umožňuje maemaickými násrojmi riešiť aké úlohy, u korých vznikajú požiadavky na obsluhu. V mnohých odboroch činnosi sa sreávame s procesmi, koré obsluhu vyžadujú. Parí sem napr. obsluha kupujúcich predavačmi v obchodoch, pri plaení v samoobsluhách, predaj lískov v pokladniciach, zabezpečenie elefónnych hovorov v úsredniach (čo je pomaly už zašlou hisóriou), násup cesujúcich do dopravných prosriedkov a pod. V niekorom čase bývajú zariadenia ak preťažené, že v ich obsluhe nemožno zaviesť nijaký rymus. Požiadavky na obsluhu majú náhodný charaker a pri jej nedosaočnom zabezpečení obsluhou vznikajú pri čakaní frony (odiaľ názov eórie fron). Teória hromadnej obsluhy je založená na eórii náhodných procesov a riešenia úloh časo vyúsťujú do simulácií. Zmyslom eórie hromadnej obsluhy je nájsť aký spôsob obsluhy, pri korom sú časové sray pri čakaní na obsluhu i sray obslužného pracoviska minimálne. F. Teória zásob umožňuje prosrednícvom maemaického modelovania riešiť siuácie, koré vznikajú vo výrobnom procese pri zabezpečovaní porebného množsva surovín, palív, náhradných dielcov a iných maeriálových zásob. Teória zásob umožňuje vyhľadávanie opimálnej veľkosi zásob z pohľadu miesneho i časového. Pri analýze savu zásob ide o určenie výšky prosriedkov viazaných v zásobách a veľkosi nákladov spojených s udržiavaním zásob. Vzhľadom na viazanosť zásob na skladovací priesor sa o eórií zásob hovorí aj ako o eórii skladov. Teória zásob nie je ucelenou eóriou. Zásobovanie predsavuje zložiú a rozmaniú problemaiku a preo sa pri opimalizačných zásobovacích echnikách používajú rôzne posupy. Ak je možné porebu zásob, alebo ak je možné budúcu porebu zásob charakerizovať určiým pravdepodobnosným rozdelením, modely zásob možno rozdeliť na deerminisické a na sochasické. G. Teória obnovy rieši oázky spojené s obnovou výrobného zariadenia, koré v priebehu času mení svoj sav i svoje vlasnosi. Cieľom eórie obnovy je sanoviť opimálny spôsob opravy zariadení, ich obmenu a doplňovanie ak, aby sa zachoval ich požadovaný sav. H. Teória obchodného cesujúceho sa zaoberá oázkami opimalizácie pochôdzok obchodných zásupcov ak, aby sa pri návševách odbyových sredísk (napr. predajní) minimalizovala dĺžka pracovnej cesy. Táo meóda má široké použiie a dá sa využiť všade am, kde dochádza k pravidelným návševám pracovníkov na určié srediská (napr. opravárov, údržbárov a pod.) v určiom priesore a čase.

10 34 Ekonomeria pre manažérov. Jednoduché maemaicko-ekonomické modely Hospodársky živo je veľmi rozmaniý a ak iso rozmanié sú i meódy popisu a hodnoenia hospodárskych javov. Jednolivé sféry hospodárskeho živoa majú svoje vlasné spôsoby vyhodnocovania ukazovaeľov, korými sa charakerizujú ich špecifické činnosi. Výroba, obchod, poisťovnícvo, bankovnícvo a mnohé iné sféry hospodársva si vyvorili svoj maemaicko-šaisický apará na vyjadrovanie svojich pochodov a na vykonávanie rozborov. S ýmio meódami sa sreávame pri šúdiu odvevových a prierezových ekonomík. Na omo miese sa nimi nemožno zaoberať. V maemaickej ekonómii sa ale vyvorili modelové riešenia, koré sú východiskom zložiejších ekonomerických modelov. Paria k ním napríklad modely rasu, modely rendov, modely sezónnosi, invesičné modely, produkčné modely, inflačné modely, aď. Niekorými modelmi sa budeme zaoberať v ďalších kapiolách, iné možno budú predmeom osobného záujmu čiaeľa. Na omo miese poukážeme iba na niekoré modely rasu, koré sú pre riadiacich pracovníkov významné preo, lebo vyjadrujú dynamiku rasu v čase. Uvádzame ich iež pre ich meodické vlasnosi. Typickými pre riešenia problémov rasu sú časové rady y v vare y f ( ) + T (.4) e kde f() je funkciou času, e je náhodná veličina a T je definičný odbor premennej času (.j. dĺžka sledovaného časového obdobia). V praxi sa vyvinuli časové modely rasu s vyššou mierou spoľahlivosi a súsredili sa na problemaiku vyjadrenia endencií rasu v zv. rendoch časových radov a na ich nepravidelnosi v kraších časových úsekoch, v zv. sezónnosi. V modeloch rendov ide o vyrovnávanie skuočných veličín časových radov od náhodilých a nepravidelných javov. Tako upravený model možno pokladať za hypoézu rendu vývoja daných veličín. Z ekonomerického pohľadu nás zaujímajú predovšekým modely vývojových rendov. V šaisike sa zv. vyrovnávanie časových radov vykonáva jednoduchšími meódami, hlavne však meódou kĺzavých priemerov a meódou najmenších švorcov. y Obr.. Kĺzavý priemer

11 Ekonomerické modelovanie 35 Kĺzavý priemer sa počía podľa oho vzťahu ) y i k m k m y i+ k m + i,,, m (.5) Menovaeľ reprezenuje dĺžku obdobia, za korý sa priemer počía a kĺzavý priemer y ) je v srede úseku časového radu. Pojem kĺzavý predsavuje spôsob, akým sa priemer vypočía. Meóda najmenších švorcov inerpreuje vyrovnávanie skuočných veličín od veličín s modelovaného ypu funkcie yf(x) požiadavkou, aby súče švorcov odchýlok e i daných hodnô y i od vypočíaných hodnô bol minimálny ŷ i S n n ei i i ( y y ) i ˆ min. (.6) i K vyrovnávaniu krivkou a jej grafickému vyjadreniu sa vráime v nasledujúcich kapiolách. Pre ohodnoenie esnosi modelovanej krivky od skuočných,.j. šaisicky zisených hodnô, sa výpoče vykonáva využiím koeficienu deerminácie R. Teno koeficien udáva pomer súču švorcov odchýlok vypočíaných hodnô ŷi od ich priemeru y voči šaisickým hodnoám y i : R n i n ( yi y) i ( yˆ i y) (.7) Ak by všeky vypočíané hodnoy splývali so šaisickými pôvodnými hodnoami, vedy by koeficien deerminácie rovnal jednej, R. Ak by koeficien deerminácie dosiahol nižšiu hodnou ako,85, R <,85, vedy by sa mal zvoliť iný druh funkcie yf(x), koré eraz sručne popíšeme. Časové rady ekonomických veličín sa vyznačujú ým, že hodnoa veličiny v čase (y ) sa mení v nadväznosi na veličinu z predchádzajúceho obdobia - (y - ). Táo nadväznosť vorí endenciu rasu ekonomickej veličiny v závislosi od času f(). Pre úo závislosť možno vyvoriť v maemaickej podobe modely rendu. Ak za určié časové obdobie veličiny vykazujú v po sebe nasledujúcich obdobiach akmer rovnaké absolúne hodnoy rasu, možno pre sledovaný časový rad vyvoriť lineárny model rendu v podobe f () a + b (.8) preože model obsahuje konšanný ras paramera b

12 36 Ekonomeria pre manažérov df ( ) b (.9) d pričom parameer a predsavuje hodnou východiskovej, počiaočnej konšany. Ak sa však zosavuje časový rad podľa relaívnych príraskov veličín y y y y y c (.) a relaívny prírasok je pomerne sály, možno zosaviť model jednoduchej exponenciálnej funkcie rendu f ( ) c be (.) kde parameer b predsavuje hodnou počiaočnej konšany v čase, parameer c vyjadruje empo rasu veličiny z ejo úrovne. Modifikáciou jednoduchej exponenciálnej funkcie je všeobecná exponenciálna funkcia v vare f ( ) a + be c (.) kde parameer a vyjadruje hodnou východiskovej počiaočnej konšany. Ak diferencie absolúnych príraskov údajov ( y - y -, ) v časovom rade sú sále, konšanné, model rendu možno zosaviť ako všeobecnú kvadraickú parabolu f ( ) a + b + c (.3) d f ( ) preože c d Ak sa absolúne prírasky údajov ( y ) v časovom rade dajú určiť ako podiel konšany b a časového údaja, model rendu sa dá zosaviť vo forme logarimickej funkcie f() a + b ln (.4) preože df ( ) b d ln V ýcho modeloch sa používajú prirodzené, Napierové (hyperbolické) logarimy so základom e,788 a využíva sa á ich vlasnosť, že absolúnu zmenu logarimu veličiny možno vyjadriť ako relaívnu zmenu veličiny ln x x x

13 Ekonomerické modelovanie 37 Vzhľadom na rasúcu posupnosť času,,,n vykazuje logarimická funkcia spomaľujúci sa ras. Ak v časovom rade súčin veličiny a časového údaja má endenciu k sálosi, y y... a, možno model rendu vyjadriť hyperbolickou funkciou a f ( ) (.5) a je špecifickým prípadom mocninovej funkcie f ( ) b a (.6) a eda ln f() ln a + b ln (.7) v korej b. Derivácia mocninovej funkcie podľa času vyjadruje, že relaívne prírasky sa spomaľujú f ( ) f ( ) b Priebeh ýcho funkcií je znázornený na obr... parabolická lineárna logarimická hyperbolická Obr.. Priebeh funkcií Bližšie vysvelenie k uvedeným funkciám sa nachádza v lieraúre, napr. []. Vo všekých predchádzajúcich prípadoch sa predpokladalo, že veličiny v časových radoch majú sály, konšanný prírasok. Ak by bol prírasok nasledujúcej veličiny väčší ako predchádzajúce hodnoy, zobrazovaný súbor veličín by sa zväčšoval, rásol. V opačnom prípade, ak by bol prírasok menší, súbor by sa zmenšoval. Hyperbolická a logisická funkcia majú asympoický priebeh a pri rasúcej hodnoe konvergujú k maximálnej resp. minimálnej hodnoe. Asympoická, pre c<, je exponenciálna a modifikovaná exponeciálna funkcia a mocninová funkcia je pre b<. Lineárna, kvadraická a logarimická funkcia nemá ohraničenie.

14 38 Ekonomeria pre manažérov V praxi sa vyskyujú prípady, keď sa po posupnom rase dosiahne zv. inflexný bod. Po prekročení oho bodu dochádza k posupnému poklesu rasu veličín až dôjde k nasýeniu, saurácii javu. Teno posup vývoja sa zobrazuje zv. S krivkou a vyjadruje logisickú funkciu v vare a f ( ) (.8) + c be kde a je asympoou funkcie. Podobný priebeh ako logisická funkcia má Gomperzová krivka f ( ) c ab (.9) vo vyjadrení v logarimickom vare ln f() ln a + (ln b)c (.) a po nahradení ln f()f(), ln aa, ln bb F() A + Bc (.) čo zodpovedá varu modifikovanej všeobecnej exponenciálnej funkcii. Nevzťahuje sa však na hodnoy veličín, ale na ich logarimy. K uvedeným krivkám a ich zobrazeniu sa vráime v ďalších kapiolách. Sezónne modely sa používajú v krákodobých prognózach a ich úlohou je vziať pri vorbe modelov do úvahy výkyvy, koré sa v sledovanom období vyskyujú. Príčiny odchýlok môžu byť rôzne a preo je ich ekonomická inerpreácia dôležiá. Menej významné i náhodné výkyvy môžu nepriaznivo ovplyvniť vorbu modelov a preo je účelnejšie pri vorbe modelov ich vylúčiť. V akom prípade sa vyžaduje očisiť časové rady od sezónnych výkyvov. Pri jednoduchších modeloch možno posupovať ak, že sa využijú jednoduchšie šaisické násroje, napríklad kĺzavé priemery. Ak sú sezónne výkyvy významnejšie, reba ich vziať do úvahy. V akom prípade sa používajú zv. paramerické modely, u korých sa analýza sezónnosi robí oddelene od analýzy rendu. Paramerické modely sezónnosi sa vyvárajú adiívnym vzťahom Y s R s + S s + e s,,,t; s,,3,4 (.) kde R S e T predsavuje rendovú zložku modelu, je sezónna zložka (v našom prípade švrťročná, s má šyri obdobia, švrťroky), je reziduálna zložka a je poče rokov sledovaného obdobia. Ak model neobsahuje sezónnu zložku, z uvedeného modelu vypadne zložka S s.

15 Ekonomerické modelovanie 39 Pre paramerické modelovanie sezónnosi sa používajú ieo modely []: Model konšannej (adiívnej) sezónnosi, v korých sa predpokladá, že sezónne výkyvy v príslušných obdobiach (švrťrokoch), vyjadrené paramerami a s, sa nemenia. Model má var Y s R s + a s + e s (.3) Model proporcionálnej sezónnosi predpokladá, že sezónne výkyvy sa vyvíjajú proporcionálne k rendovej zložke časového radu Y s R s + β s R s + e s (.4) a po subsiúcii b s +β s dosaneme muliplikaívny model Y s b s R s + e s (.5) Model zmiešanej sezónnosi, v korom časť sezónnych výkyvov je konšanná a s a časť sa mení k rendovej zložke b s Y s a s + b s R s + e s (.6) Model adiívnej dynamickej sezónnosi, v korom sa paramere ypu a s rovnomerne vyvíjajú podľa rokov (zložky c s ) Y s R s + (a s + c s ) + e s (.7) Model muliplikaívnej dynamickej sezónnosi, v korom sa paramere ypu b s rovnomerne vyvíjajú podľa rokov (zložky d s ) Y s (b s + d s )R s + e s (.8) * Hodnoy sezónne očiseného radu Y sa u predchádzajúcich modelov vypočíavajú podľa vzťahu Y * Y as cs b + d s s (.9) pričom sa použijú iba paramere vybraného modelu, osané paramere sa nahradia nulou a u paramera b jednokou. Pri odhade paramerov modelovaných veličín posupuje sa ako: - pri lineárnej funkcii, kvadraickej parabole a pri logarimickej funkcii sa odhad paramerov vykonáva meódou najmenších švorcov, - pri jednoduchej exponenciále, hyperbole a mocninovej funkcii sa odhad paramerov vykonáva akiež meódou najmenších švorcov, ale až po ich logarimickej ransformácii a subsiúcii, - pri modifikovanej exponenciálnej funkcii a Gomperzovej krivke, modifikovanej na exponencionálu, sa odhad paramerov najčasejšie vykonáva ieračnými meódami alebo inými šaisickými meódami.

16 4 Ekonomeria pre manažérov Exrapoláciou,.j. predĺžením rendu do budúcnosi, sa zaoberá zv. bodová a inervalová prognóza. Bodová prognóza je bodovým odhadom veľkosi ekonomickej veličiny v čase, n+,n+,,n+t, kde T je bod horizonu prognózy. Bodová prognóza sa poom vyjadrí vzťahom ˆ aˆ + b ˆ (.3) y kde â je odhadová konšana, b ) je parameer odhadovanej veličiny v čase. Bodová hodnoa nevyjadruje pravdepodobnosť, s akou možno očakávať, že y ˆ y. Inervalová prognóza sanovuje inerval, v korom sa môže hodnoa y ) s pravdepodobnosťou ( α ) p, pričom pre empirické hodnoy plaí nachádzať y a + b + (.3) u kde u je náhodnou premenou. [Pozn.: Uvedená symbolika v ejo i v iných časiach práce sa v prevážnej väčšine preberá podľa publikácie [].] Jednoduchými maemaickými modelmi sú i zv. naivné modely y, korými sa akiež vyjadruje ras hodnoy v čase, a korý ras a) môže byť ak veľký ako predchádzajúca posledná veličina y -, s prípadnou odchýlkou w y y - + w ŷ + w (.3) kde ŷ je odhadovaná hodnoa veličiny y. b) môže byť ak veľký ako predchádzajúca posledná veličina y - zväčšená o zmeny z prechádzajúcich období y - a prípadnú odchýlku w y y - +(y - y - ) + w ŷ + w (.33) c) môže byť ak veľký ako predchádzajúca posledná veličina ale násobená empom rasu veličiny z predchádzajúcich období y y y + w ŷ + w (.34) y [Pozn.: Dolný index sa bude v ejo publikácii používať nielen pre časové, ale aj pre prierezové údaje vedy, keď pôjde o ekonomerické modely.]

17 Ekonomerické modelovanie 4.3 Maemaické modely v ekonomerii Pri vorbe ekonomerických modelov využíva sa jeden z roch ypov maemaického varu modelu,.j. jednorovnicový, viacrovnicový a simulačný model. Jednorovnicový model. V omo modeli sa vyjadruje jedna závislá premenná prosrednícvom jednej alebo viacerých nezávislých premenných. Vysveľovaná premenná veličina je veličinou endogénnou, vnúornou a jej veľkosť je závislá alebo od meraeľných vonkajších, exogénnych veličín, alebo od oneskorených vnúorných veličín a od nemeraeľnej náhodnej zložky. Jednorovnicový model má charaker regresného sochasického modelu. Sochasického preo, lebo obsahuje náhodnú zložku. Viacrovnicový model. Viacrovnicový model je súsavou nezávislých jednorovnicových sochasických modelov, koré možno chápať alebo samosane a samosane i riešiť, alebo je ho možné chápať ako jeden viacrozmerný regresný model. Jednolivé rovnice vo viacrovnicovom modeli možno chápať ako relaívne nezávislé iba vedy, ak náhodné zložky v jednolivých rovniciach navzájom nekorelujú. Simulačný model. Simulačný model sa môže vyvárať zo vzájomne závislých sochasických alebo nesochasických rovníc ým, že endogénne veličiny vyvárajú súčasne funkciu vysveľovaných i vysveľujúcich veličín. To vyvára ich simulačný charaker. V inerdependenných,.j. vzájomne závislých súsavách simulánnych rovníc jesvujú medzi endogénnymi premennými priame i nepriame väzby. V rekurzívnych súsavách jesvujú iba jednosmerné kauzálne (príčinné) väzby a náhodné zložky v jednolivých rovniciach sú navzájom nezávislé. V súvislosi s voľbou maemaického modelu pri formulovaní ekonomerického modelu je porebné poukázať eše na jednu dôležiú vec. Je ňou sanovenie znamienok a ohraničenia paramerov. Sanovenie znamienok v ekonomerickom modeli je apriórne určené a vychádza z ekonomickej analýzy predmeu modelovania vykonanej pred vyváraním modelu. Znamienko paramera môže byť kladné alebo záporne a akiež i hodnoa paramera sa vymedzuje apriórne v rámci očakávaného inervalu..3. Posup pri vorbe ekonomerických modelov Pri vyváraní ekonomerického modelu je porebné posupovať podľa isých pravidiel. Posupovať možno podľa ýcho krokov [3]:. formulácia problému,. zosavenie ekonomerického modelu, 3. kvanifikácia modelu, 4. riešenie modelu, 5. inerpreácia získaných výsledkov, 6. implemenácia výsledkov. Formulácia problému súvisí predovšekým s obsahovou analýzou skúmaného a modelovaného javu. Veľmi záleží na om, či výsledky ejo analýzy sú dosaočné a objekívne a či pre fungovanie skúmaného javu spoľahlivo označujú významné a rozhodujúce veličiny. Chyba, korá by u vznikla, mohla by znehodnoiť celý modelovaný

18 4 Ekonomeria pre manažérov výsledok. To preo, lebo model je zobrazením skúmaného javu. Ďalej si reba povšimnúť, že samoný skúmaný jav nesojí voči svojmu prosrediu izolovane. Objekivia zobrazenia javu v modeli musí v zodpovedajúcej miere zobraziť aj prosredie, v korom sa skúmaný jav nachádza a, samozrejme, musí zovšeobecniť aj prosredie, v korom sa skúmaný jav vyvíja. Nie na poslednom miese je porebné pri formulácii problému zdôvodniť cieľ, pre korý sa modelovaný jav zobrazuje. Napríklad pre plánovanie vývoja javu budú rozhodujúce iné činiele ako pre jeho využiie v operaívnom riadení. Východiskové poznaky o probléme je porebné charakerizovať i z hľadiska možnosi ich kvanifikácie, preože pri modelovaní reba všeky rozhodujúce veličiny, a o i kvaliaívne, vyjadriť v kvanifikovaeľnej podobe. Modelovaný jav sa vyjadrí vo forme vysveľovanej veličiny, ideniy. Na základe výsledku obsahovej analýzy sa definujú vysveľujúce premenné, koré vo svojej podsae charakerizujú modelovaný jav v kvaliaívnej i v kvaniaívnej podobe. Vysveľujúce premenné sa do ekonomerického modelu premienu ako nezávislé exogenné premenné. Ich úlohou bude vysveliť sledovaný jav. Ten je javom závislým od savu, charakeru a od významnosi vysveľujúcich exogenných premenných. Treba si iež povšimnúť, že u viacrovnicového modelu sa už vysvelená premenná môže sať v ďalšom kroku premennou vysveľujúcou. V akom prípade akúo premennú nazývame vnúornou, endogénnou premennou. Ak je problém definície podsay problému vyriešený, prisúpi sa k výberu vhodného ekonomerického modelu. Treba sa uisiť, že vybraný model bude zodpovedať predloženej problemaike. Ale i naopak, že definované premenné zodpovedajú šrukúre a inerpreačnej schopnosi zvoleného ekonomerického modelu a jeho maemaickej a šaisickej vierohodnosi. Ak by omu ak nebolo, model by mohol sraiť svoju inerpreačnú schopnosť, alebo by sa mohlo dospieť i k nepravdivým výsledkom. Definovať reba iba podsané zložky modelovaného javu, nepodsané reba odsrániť. Kvaliaívne, menej významné, ale i prípadné iné nedefinované premenné reba odhadnúť. Tie osané, nedefinované, sa nazývajú náhodnými veličinami. Ak sa do modelu dosávajú akéo náhodné veličiny, model nadobúda sochasický charaker. Ak je vysveľujúcich veličín viac, je reba každú veličinu opariť príslušným významom v súbore veličín a o ak, že sa ku každej veličine priradí významový parameer. Ten sa, pravda, akiež kvanifikuje. Významový parameer charakerizuje významnosť jednolivej veličiny v súbore veličín, ale súčasne vyjadruje aj správanie sa jednolivej veličiny k iným veličinám a i k vysveľovanej veličine. Teda u každého modelu je porebné definovať veličiny, koré vysveľujú ich význam voči vysveľovanej veličine a vyjadrujú ideniu veličiny v modeli. V modeli reba vyjadriť aj funkciu správania sa jednolivých veličín (zv.: behaviourálna funkcia) a i oo správanie sa vykoná paramerizáciou veličín. Vo všeobecnosi sa idenia vyjadruje ako rovnica, korá vysveľuje (definuje) jednu, vysveľovanú veličinu (premennú) pomocou iných, vysveľujúcich premenných. Komplexný hospodársky jav obsahuje viac idení, koré sa vysveľujú sériou idenických rovníc. Rovnice, koré obsahujú behaviourálne funkcie, nazývajú sa iež behaviourálne rovnice. Po kvanifikácii sa preskúma, či nejesvuje medzi vysveľujúcimi veličinami vzájomná závislosť (kolerácia) a ak áno, v akom rozsahu. Paramere veličín sa oesujú esom významnosi ak, aby sa niekorá z veličín neprecenila, iná nepodcenila. Ak sa prejde príslušným esovaním, ekonomerický model sa môže pokladať za zosavený.

19 Ekonomerické modelovanie 43 Podkladom pre kvanifikáciu premenných i paramerov sú údajové súbory, koré sa získavajú zo šaisík. Šaisické údaje reba pre modelovanie pripraviť, reba overiť ich objekiviu, ich rozmer i akosť. Pri vyváraní vhodných reprezenaívnych výberových súborov je porebné posupovať podľa šaisických zásad pre vorbu akýcho výberových súborov. Pre veľký rozsah šaisických údajov nemožno pri modelovaní použiť spravidla celý šaisický súbor a preo je nevyhnuné vyvoriť jeho reprezenaívny výber. Zosavený ekonomerický model je pripravený k svojmu riešeniu. Posupuje sa podľa meodík riešenia a využiím maemaických analyických násrojov a simulačných posupov. Výsledkom bude ošerený a overený model, korý možno aplikovať v praxi ak pre ekonomickú analýzu ex-pos, ako aj pre plánovanie ex-ane a pre riadenie špecifických procesov. Skôr je však porebné vykonať jeho inerpreáciu, vysvelenie a v rámci oho kroku vysveliť aj podmienky, za korých možno model pre jednolivé aplikácie ako model simulačný použiť. Výsledným krokom bude zosaviť aplikovaeľný projek a program, podľa korého sa bude pri aplikácii ekonomerického modelu posupovať. Ak je program algorimizovaeľný, pripraví sa jeho programová podoba pre počíačové alebo iné projekové riešenie. Ak nie je, posupuje sa podľa klasických konšrukčných, plánovacích alebo iných riadiacich echník. Bližšie sa s ouo problemaikou možno oboznámiť v publikácii [3]..3. Overovanie ekonomerického modelu Správnosť zosaveného ekonomerického modelu je pred jeho použiím porebné overiť. Model je zovšeobecnením skuočnosi a preo porebujeme zisiť, či model naozaj verne skuočnosť zobrazuje. Chyby v zobrazení by mohli znamenať chyby v inerpreácii modelu a viedli by k nepresným a nesprávnym hypoézam, koré sa z modelu vyvodzujú. Overovanie ekonomerického modelu sa vykonáva z roch hľadísk: z ekonomického, zo šaisického a z ekonomerického hľadiska. Ekonomická verifikácia spočíva v overení, či model verne zobrazuje ekonomické charakerisiky pozorovaného súboru. K charakerisikám paria kvaliaívne a kvaniaívne vlasnosi pozorovaného súboru. Kvaliou sa rozumie vyjadrenie východiskovej filozofie skúmaného javu (súboru) a jeho myšlienkové vyjadrenie. Skôr, ako sa prisúpi ku kvanifikácii činieľov vysveľujúcich skúmaný jav, je porebné preskúmať ich sémanickú, obsahovú sránku. Tú poom vyjadríme ekonomickou veličinou, korá v modeli vysupuje ako nezávislá vysveľujúca premenná. Šaisická verifikácia spočíva jednak v overovaní východiskových údajov, koré sa pri savbe modelu využívajú a jednak v overovaní reprezenaívnosi modelu voči skuočnému východiskovému savu a voči správaniu sa javu vo svojom pôvodnom prosredí. Obom problemaikám sa venujeme v ďalšej časi práce.

20 44 Ekonomeria pre manažérov Príklad.3 Formulácia a zosavenie ekonomerického modelu dopyu po ovaroch a službách Ekonomerický model parí k meodickým násrojom ekonomerie a pri jeho formulácii a zosavovaní vychádzame z poznakov ekonomickej eórie. Pomocou ekonomerického modelu sa pokúsime vyjadriť základné závislosi, s korými sa sreávame pri analýze dopyu po ovaroch a službách. Pred samoným zosavením modelu, koré spočíva v symbolickom maemaickom zápise skúmaného ekonomického vzťahu, zhrnieme východiskové poznaky o šudovanom jave a pokúsime sa pomenovať činiele, koré môžu mať vplyv na jeho priebeh. Dopy po ovaroch a službách sa definuje ako množsvo ovarov a služieb, koré sú ľudia ochoní a schopní kúpiť pri ich rôznych cenách počas nejakého sanoveného obdobia, pričom všeky osané činiele s výnimkou ceny považujeme za konšanné. Na základe ejo definície a údajov o vývoji dopyovaného množsva pri rozličných cenových úrovniach sa konšruuje individuálna a rhová krivka dopyu po konkrénych ovaroch a službách. Vzťah nepriamej úmernosi medzi cenou a dopyovaným množsvom ovaru sa nazýva zákon klesajúceho dopyu. Medzi necenové deerminany dopyu môžeme zaradiť napríklad sporebieľské návyky a preferencie, koré sú, pochopieľne, ovplyvnené ďalšími činieľmi, ako sú reklama, podpora predaja, hodnoenie kvaliy a odporúčanie šánych a súkromných spoločnosí pôsobiacich v danom odbore. Dôležiým deerminanom dopyu je dôchodok. Ak dôchodok ľudí rasie, ak je možné očakávať zvýšený dopy po produke. V ekonómii sa dopy vyjadruje zvyčajne ako funkcia disponibilného dôchodku,.j. dôchodku po odpočíaní daní a odvodov do povinných fondov. Na dopy po ovare vplýva aj cena súvisiacich produkov. Ak sa zmení cena subsiučného ovaru, ak sa očakáva zmena rovnakým smerom aj pokiaľ ide o dopy po ovare, korý máme na zreeli. Pri zmene ceny komplemenárneho ovaru sa očakáva zmena opačným smerom v dopye po ovare, korý máme na zreeli. Výsledkom znižujúcej sa ceny ovaru je ras dopyu po komplemenárnom ovare. Budúce očakávania významne vplývajú na dopy po uvažovanom ovare. Ak viacerí kupujúci očakávajú náras ceny ovaru v budúcnosi, ak ich správanie môže viesť z nárasu súčasného dopyu. Dopy po digiálnych kamerách a fooaparáoch ihneď po ich uvedení na rh pravdepodobne nebude ak vysoký, ako by si predávajúci želali, preože kupujúci očakávajú, že posupom času dôjde k zníženiu ceny ýcho ovarov. Úroveň dopyu je pochopieľne ovplyvňovaná počom kupujúcich a akiso šrukúrou populácie. Ak sa napríklad zvyšuje podiel deí na celkovej populácii, ak je predpoklad zvyšujúceho sa záujmu sporebieľov o hračky ako aj o šay a nábyok pre dei. Vzhľadom na zložiosť ekonomických javov nemožno očakávať, že sa manažérovi podarí zosaviť na prvý pokus en najvhodnejší model. Ide o zložiý proces hľadania dôležiých premenných, korého výsledkom je šaisicky významný model. Z pohľadu zosavovaeľa je podsaná aj skuočnosť, aby boli do modelu zaradené ie premenné, koré dokáže ovplyvniť a zabezpečiť ak dosiahnuie požadovanej hodnoy vysveľovanej premennej. Rovnako dôležié je sanovenie si účelu, na korý sa model zosavuje a dosupnosť a kvalia údajov, koré sú porebné na kvanifikáciu modelu.

21 Ekonomerické modelovanie 45 Cena je všeobecne považovaná za činieľ, korý významnou mierou ovplyvňuje dopy po ovaroch a službách. Ak by celková úroveň dopyu po ovare A závisela iba od jeho jednokovej ceny, ak maemaický zápis ejo závislosi by bol q f ( p ) A kde q je úroveň dopyu po ovare A, f je symbol vyjadrujúci funkčnú závislosť, p je cena za jednoku ovaru A. A Ide o deerminisický vzťah, na základe korého je príslušnej hodnoe priradená určiá (presná) hodnoa q. Uvedený vzťah upravíme na sochasický (pravdepodobnosný), korý obsahuje aj náhodnú zložku u. Tým je vyjadrená skuočnosť, že jednoková cena ovaru A ovplyvňuje celkovú úroveň dopyu po ovare A len približne (s určiou pravdepodobnosťou), a že na q pôsobia aj iné činiele. Po úprave dosávame p A q f ( p, u) A kde u je náhodná zložka. V modeli pokračujeme voľbou analyického varu modelu. Ak sa rozhodneme pre lineárnu závislosť, ak môžeme zapísať rovnicu v vare q b + b pa + u kde b je úrovňová konšana (úroveň dopyu, ak je parameer b rovný nule), b je regresný parameer. Pomocou vhodných šaisických meód možno dospieť k odhadu eoreických hodnô a b. Odhadnué paramere označujeme príslušným znakom so srieškou. b qˆ bˆ + bˆ pa + e kde ˆb je odhad úrovňovej konšany b, ˆb je odhad paramera, b e je rezíduum (nevysvelený zvyšok). Ak sa rozhodneme zaradiť do modelu aj ďalšie činiele, a o cenu saku B (záleží na vzťahu medzi A a B, či sú subsiúy alebo komplemeny), disponibilný príjem obyvaeľsva a sporebieľské preferencie, ak poom môžeme dopyovú funkciu maemaicky zapísať v vare

22 46 Ekonomeria pre manažérov q f ( p, p, Y, V, u) A B D kde p B je cena za jednoku ovaru B, Y D je disponibilný príjem obyvaeľsva, V je premenná, korá vyjadruje výdavky na reklamu ovaru A. Pôsobenie osaných, menej podsaných činieľov, zosane zahrnué v náhodnej zložke u. Ak sa napríklad domnievame, že výdavky na reklamu neovplyvňujú významne dopy po ovare A, a premennú V z modelu vynecháme, ak jej vplyv zosane zahrnuý v náhodnej zložke u. Vo fáze zosavovania modelu vyvoríme predpoklady pre následnú ekonomickú verifikáciu ým, že sanovíme očakávané znamienka odhadnuých paramerov. Smer závislosi vyjadrený znamienkami paramerov predpokladáme v zhode s ekonomickou eóriou. Ak opäť zvolíme lineárny var modelu, ak môžeme zapísať rovnicu q b + b pa + b pb + b3yd + b4v + u kde b, b, b, b b sú paramere odhadovanej regresnej rovnice, pričom 3, b 4 - je úrovňová konšana (určuje výšku dopyu pri osaných parameroch nulových), predpokladáme kladné znamienko, - má záporné znamienko, ras ceny saku A spôsobí pokles dopyu po omo ovare, b b - má kladné znamienko, ak B je subsiučný ovar k ovaru A, a záporné znamienko, ak B je komplemenárny ovar k ovaru A, - b3 je obvykle kladný, ras Y D spôsobí ras úrovne q (okrem prípadu, že A je inferiórny ovar), - b 4 má kladná znamienko, očakávame zvýšený záujem o ovar A v prípade zvyšujúcich sa výdavkov na reklamu oho ovaru. Odhadnué paramere modelu, pokiaľ sú v súlade s vyššie uvedenými podmienkami, majú svoju ekonomickú inerpreáciu. V omo prípade ich inerpreujeme ako absolúne pružnosi dopyu. Parameer b (absolúna cenová pružnosť dopyu) vyjadruje zmenu dopyovaného množsva vyvolanú zmenou ceny ovaru A o jednoku. Ide o hraničnú veličinu, korá závisí od meracích jednoiek obidvoch premenných. Hodnou paramera dosaneme ako parciálnu deriváciu modelu dopyu podľa ceny ovaru A, b q p A Parameer b je súčasťou koeficienu zv. relaívnej cenovej pružnosi ε p, pričom ε p q p A p p A resp. ε p b q q A

23 Ekonomerické modelovanie 47 Absolúna pružnosť v bode zosáva nezmenená, relaívna pružnosť dopyu sa pre rôzne úrovne mení, ide o model s variabilnou relaívnou cenovou pružnosťou. Pre parameer b plaí apriórne obmedzenie, a o ( b ). Všeobecne možno konšaovať, že dopy po ovare je ým cenovo pružnejší, čím je na rhu viac subsiúov uvažovaného ovaru. Luxusnejší ovar je všeobecne viac cenovo pružný, naopak nevyhnuný ovar je cenovo nepružný. Dlhodobé cenové pružnosi sú väčšie ako krákodobé. b Parameer inerpreujeme ako absolúnu krížovú pružnosť dopyu. Vyjadruje zmenu dopyovaného množsva vyvolanú zmenou ceny ovaru B o jednoku. Apriórne obmedzenie pre b je ( b ). Absolúna veľkosť krížovej pružnosi dopyu rasie so supňom zamenieľnosi saku ovaru A za B. Hodnou paramera dosaneme ako parciálnu deriváciu dopyového modelu podľa ceny ovaru B, b q p B b * Parameer vysupuje ako zložka koeficienu relaívnej krížovej pružnosi dopyu, akže ε p ε * p q p B p B resp. * p q ε b p B q Parameer b3 vyjadruje absolúnu bodovú príjmovú pružnosť dopyu. Vyjadruje zmenu dopyovaného množsva pri zmene disponibilného príjmu o jednoku. Apriórne obmedzenie pre b 3 je ( b3 ). Hodnou paramera získame ako parciálnu deriváciu podľa disponibilného príjmu b 3 q Y D Parameer b 3 vysupuje ako súčasť koeficienu relaívnej príjmovej pružnosi dopyu ε Y. Z ekonomickej eórie vieme, že pre luxusné ovary plaí, že ε Y, a pre nevyhnuné ovary ε Y. Určujúci význam má výška priemerného príjmu na obyvaeľa. Pre εy plaí, že ε Y q Y D Y D, q resp. YD ε Y b3 q b 4 Parameer vyjadruje priemernú zmenu dopyovaného množsva pri jednokovej zmene výdavkov na reklamu. Očakávame kladné znamienko, nakoľko zvýšenie reklamných výdavkov o jednoku spôsobí pravdepodobne náras záujmu o ovar medzi sporebieľmi ( b4 ).

24 48 Ekonomeria pre manažérov Oázky. Objasnie princípy a spôsob aplikácie šrukurálnej analýzy na úrovni národného hospodársva a na úrovni výrobného podniku.. Vymenuje základné funkcie, s korými sa sreávame pri modelovaní rendu. Určie, koré z ýcho funkcií majú asympoický charaker a koré nie. 3. Vysvelie princíp vyrovnávania časového radu meódou kĺzavého priemeru a porovnaje eno spôsob s vyrovnávaním radu meódou najmenších švorcov. Aké výhody a aké obmedzenia má využiie každej z meód? 4. Vymenuje a bližšie charakerizuje jednolivé fázy v procese vorby ekonomerického modelu. 5. Formuluje, zosave a špecifikuje jednoduchý ekonomerický model popisujúci nákladové hospodárenie výrobného podniku.