24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

Transcript

1 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá sa nazýva deskriptívna geometria. Vypracovala viacero takých metód, z ktorých najjednoduchšia, a pritom dostatočne názorná, je rovnobežné premietanie. Rovnobežné premietanie je určené nejakou rovinou π a priamkou s, ktorá pretína π práve v jednom bode. Rovina π sa nazýva priemetňou, priamka s určuje smer premietania. Priemet X ľubovoľného bodu X získame takto: Bodom X vedieme priamku s X rovnobežne s priamkou s; X je priesečník priamky s X s priemetňou. Pri konštrukcii rovnobežných priemetov priestorových útvarov využívame tieto vlastnosti rovnobežného premietania: 1. Obrazom priamky je priamka alebo bod. 2. Obrazom dvoch rovnobežných priamok sú dve rovnobežné priamky alebo dva body. 3. Ak sa rovnobežné priamky p, q zobrazia do priamok, tak obrazom úsečiek AB, CD, ktoré v tomto poradí ležia na priamkach p, q, sú úsečky A B, C D, pričom AB : CD AB : CD 4. Geometrické útvary ležiace v rovinách rovnobežných s priemetňou (hovoríme im priečelné roviny) sa zobrazia do útvarov s nimi zhodných. Útvary neležiace v priečelných rovinách sa pri rovnobežnom premietaní skresľujú. Voľné rovnobežné premietanie - Za rovnobežný priemet útvaru U budeme považovať množinu všetkých bodov, ktoré vzniknú ako prienik priamky prechádzajúcej bodom útvaru a rovnobežnú so smerom premietania a roviny do ktorej daný útvar premietam (priemetňa). - Za rovnobežné premietanie môžeme považovať slnečné osvetlenie. Smerom premietania potom bude slnečný lúč, priemetňou môžeme označiť chodník a rovnobežným priemetom bude potom tieň vrhnutý na chodníku. - Rovnobežným priemetom bodu je bod. - Rovnobežným priemetom roviny je: a) celá priemetňa b) priamka- ak je rovina rovnobežná so smerom premietania - Rovnobežným priemetom priamky je priamka alebo bod (ak je priamka rovnobežná so smerom premietania). - Rovnobežným priemetom dvoch rovnobežných priamok je : a) Priamka - ak sa tieto dve priamky kryjú b) Dva body- ak sú tieto priamky rovnobežné so smerom premietania c) Dve rovnobežné priamky - Rovnobežným priemetom dvoch rôznobežných priamok je : a) priamka - ak sa tieto dve priamky kryjú b) priamka a bod c) dve rôznobežné priamky - Rovnobežným priemetom dvoch mimobežných priamok sú : a) Dve rovnobežky b) Priamka a bod c) Dve rôznobežné priamky - Pri RP sa zachováva rovnobežnosť

2 - RP obrazca ležiaceho v rovine rovnobežnej s priemetňou je obrazec s ním zhodný - RP kružnice je: a) kružnica b) elipsa c) úsečka

3 Vo voľnom rovnobežnom premietaní (VRP) je daný obraz kocky s hranou dĺžky a. Znázornite obrazy troch kružníc, ktoré sú vpísané do prednej, bočnej a hornej steny kocky. Riešenie: Vieme že: Každá stena kocky je štvorec. Kružnica vpísaná do štvorca má stred v strede tohto štvorca a polomer polovicu strany tohto štvorca. Kružnica vpísaná do štvorca sa ho dotýka v stredoch jeho strán. Obrazom kružnice v bočnej a vrchnej stene bude ELIPSA.

4 Poznámka: Obraz kocky sme zvolili vzhľadom na jednoduchosť riešenia. Je nutné si uvedomiť, že kocka môže byť vo VRP zobrazená aj inak. Niekoľko príkladov: Vo voľnom rovnobežnom premietaní znázornite valec s polomerom podstavy r a výškou v. Valec znázornime tak, že ho vpíšeme do pravidelného 4-bokého hranola. Obrazom dolnej podstavy valca bude elipsa, ktorú zostrojíme rovnako ako elipsu vpísanú do hornej steny kocky. Obrazom hornej podstavy valca je opäť elipsa vpísaná do hornej podstavy hranola Vo voľnom rovnobežnom premietaní znázornite kužeľ s polomerom podstavy r a výškou v.

5 Kužeľ znázornime tak, že ho vpíšeme do pravidelného 4-bokého ihlana Vo voľnom rovnobežnom premietaní znázornite guľu s polomerom r. Pre jednoduchosť znázorňujeme vo VRP guľu ako kružnicu s polomerom r.