Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti Komplexné čísla... 8

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8"

Transcript

1 Obsah 1 Číselné obory Reálne čísla a ich základné vlastnosti Komplexné čísla Číselné množiny Zobrazenie čísel v počítači Zdroje chýb Chyby aritmetických operácií Úlohy a algoritmy Nerovnice Absolútna hodnota reálneho čísla Riešenia cvičení Analytická geometria Úvod Základy teórie Súradnicová sústava Vektory Rovnice rovinných útvarov Rovnice priestorových útvarov Vzájomná poloha geometrických útvarov Uhly Vzdialenosti Cvičenia Výsledky cvičení Lineárna algebra Matice Úvod Riadkové operácie Gaussov tvar matice Výpočet Gaussovho tvaru matice Algebraické operácie s maticami Štvorcové matice; pojem inverznej matice Výpočet inverznej matice Definícia determinantu štvorcovej matice Determinant a riadkové operácie Výpočet inverznej matice pomocou determinantov Dôležité vzt ahy medzi uvedenými pojmami

2 4 OBSAH Cvičenia Riešenia Riešenie sústav lineárnych rovníc Úvod Riešenie sústav lineárnych rovníc s regulárnou maticou Cramerovo pravidlo Využitie inverznej matice Gaussova eliminačná metóda Maticové rovnice Realita riešenia sústav Homogénne sústavy Všeobecné sústavy Numerické riešenie sústav lineárnych rovníc Priame metódy Iteračné metódy Výsledky cvičení Vlastné čísla a vlastné vektory matice Úvod Vlastné čísla Vlastné vektory Výsledky cvičení Funkcie Základné pojmy Pojem funkcie, obory Rovnosť funkcií Graf funkcie Operácie s funkciami Zúženie funkcie Algebrické operácie Zložená funkcia Inverzná funkcia Globálne vlastnosti funkcií Prostá funkcia Monotónnosť Ohraničenosť Existencia maxima, minima Vlastnosti symetrie Periodické funkcie Elementárne funkcie Polynomické funkcie Racionálna funkcia Goniometrické (trigonometrické) funkcie Cyklometrické funkcie Exponenciálna funkcia Logaritmická funkcia

3 OBSAH Hyperbolické funkcie Elementárne funkcie Iné funkcie Spojitosť Spojitosť a elementárne funkcie Spojitosť a operácie s funkciami Spojitosť a graf Spojitosť a globálne vlastnosti Spojitosť a riešenie rovníc Limita funkcie Pojem limity Počítanie limít Pravidlá pre počítanie limít Niekoľko dôležitých limít Príklady Asymptoty grafu funkcie Postupnosti Cvičenia Výsledky cvičení Diferenciálny počet Derivácia Pojem a označenia Derivácie základných elementárnych funkcií Derivácia a operácie s funkciami Derivácia a algebrické operácie Derivácia zloženej funkcie Derivácia inverznej funkcie Logaritmické derivovanie Derivácia implicitnej funkcie Derivácia funkcie určenej parametrickými rovnicami Derivácie vyšších rádov Geometrický a fyzikálny význam derivácie Geometrický význam derivácie Fyzikálny význam derivácie Veta o strednej hodnote Diferenciál a diferenciály vyšších rádov Taylorova veta Približné výpočty hodnôt funkcií Použitie derivácie pri výpočte limít Monotónnosť Konvexnosť, konkávnosť, inflexné body Extrémy funkcie Priebeh funkcie Numerické riešenie nelineárnych rovníc Štartovacie metódy Spresňujúce metódy Cvičenia

4 6 OBSAH Výsledky cvičení

5 Kapitola 1 Číselné obory 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti Základné číselné množiny sú čitateľovi určite známe už zo strednej školy. Zavedieme preto len ich označenie: N- množina všetkých prirodzených čísel. Prirodzené čísla sú čísla 1, 2, 3,.... Súčet a súčin prirodzených čísel je prirodzené číslo. Z- množina všetkých celých čísel. Celé čísla sú všetky čísla, ktoré môžeme vyjadriť ako rozdiel dvoch prirodzených čísel. Súčet, súčin a rozdiel celých čísel je celé číslo. Q- množina všetkých racionálnych čísel. Racionálne čísla sú všetky čísla, ktoré je možné vyjadriť ako podiel celého a prirodzeného čísla. Súčet, rozdiel, súčin a podiel racionálnych čísel (okrem delenia nulou) je racionálne číslo. I- množina všetkých iracionálnych čísel. Iracionálne čísla sú čísla, ktoré možno vyjadriť v tvare nekonečného neperiodického desatinného zlomku. Napíklad: 3, 2, π. R- množina všetkých reálnych čísel. Zjednotenie množiny racionálnych a iracionálnych čísel tvorí množinu reálnych čísel. Z vyššie uvedeného vyplýva, že medzi jednotlivými číselnými množinami platí nasledujúci vzťah: N Z Q, Q I = R, Q I = Množina všetkých reálnych čísel má tieto základné vlastnosti: 1. Je usporiadaná: pre každé dve reálne čísla a, b platí práve jeden zo vzťahov: a = b, a < b, b < a. 2. Je všade hustá: medzi dvoma ľubovoľnými rôznymi reálnymi číslami a, b, pre ktoré platí a < b, existuje aspoň jedno reálne číslo c, pre ktoré platí: a < c < b. 3. Je uzavretá vzhľadom na operácie súčtu, súčinu, rozdielu a podielu t.j. súčet, súčin, rozdiel a podiel reálnych čísel je reálne číslo. 4. Množinu R možno jednojednoznačne zobraziť na číselnej osi t.j. každému reálnemu číslu možno priradiť jediný bod na číselnej osi a naopak. 7

6 8 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY Cvičenia 1. Na číselnej osi znázornite reálne čísla: 3; π; π; 1; 1 + 2; 5 3 ; 0, 25; Ktoré z nasledujúcich čísel sú racionálne: 5 + 0, 12; 2 8; 3( 3 + 2); (1 + 2)(1 2); 0, 12. 0, 12; 6 18 ; Usporiadajte dané trojice čísel: , π, 113 ; 13 15, 7, 16 6 ; 2, 1, 41, 1, 44; 7 3, 2, 34, 2, Napíšte kladné racionálne číslo menšie ako 0, a kladné racionálne číslo menšie ako 0, Zistite, či platia nerovnosti: > 0; > 0; π 8 + ln(2) > Komplexné čísla Množinu C všetkých usporiadaných dvojíc (a, b), kde a R, b R nazývame množinou komplexných čísel, ak pre každé dva prvky z 1 = (a, b), z 2 = (c, d) z množiny C je definovaná rovnosť, sčítanie a násobenie takto: 1. z 1 = z 2 práve vtedy, keď a = c, b = d, 2. z 1 + z 2 = (a + c, b + d), 3. z 1 z 2 = (ac bd, ad + bc). Pre sčítanie a násobenie kompexných čísel platí asociatívny a komutatívny zákon. Násobenie komplexných čísel je distributívne vzhľadom na sčítanie komplexných čísel. Nech z = (a, b) je komplexné číslo. Potom číslo a R nazývame reálnou časťou a číslo b R imaginárnou časťou komplexného čísla z. Označujeme ich takto: a = Re z, b = Im z. Komplexné číslo (a, 0) stotožňujeme s reálnym číslom a : (a, 0) = a. Komplexné číslo (0, b), kde b 0, nazývame rýdzoimaginárnym číslom. Číslo (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou a označujeme ho (0, 1) = i. Komplexné číslo z = (a, b) píšeme aj v tvare: z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + ib. Komplexné číslo a ib nazývame komplexne združeným ku komplexnému číslu a+ib. Absolútnou hodnotou alebo modulom komplexného čísla z = a + ib nazývame číslo z = a 2 + b 2. Ak pre komplexné číslo z platí: z = 1, nazývame ho komplexnou jednotkou. Každú komplexnú jednotku z možno písať v tvare: z = cos α + i sin α,

7 1.2. ČÍSELNÉ MNOŽINY 9 kde α je reálne číslo. Toto číslo označujeme aj e iα a platí: e iα = cos α + i sin α. Argumentom komplexného čísla z = a + ib, kde z 0, nazývame číslo ϕ = Arg z, pre ktoré platí: sin ϕ = b a 2 + b, cos ϕ = a 2 a 2 + b. 2 Ak z = 0, tak Arg z = 2kπ, kde k je celé číslo. Ak pre číslo ϕ platí: π ϕ π, nazývame ho hlavnou hodnotou argumentu a ozančujeme ho arg z. Každé komplexné číslo z možno vyjadriť v goniometrickom tvare: kde ϕ = arg z, alebo v exponenciálnom tvare: kde ϕ = arg z. z = z (cos ϕ + i sin ϕ), z = z e iϕ, Veta 1.1 Pre číslo i platí: i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = Číselné množiny Číselnou množinou nazývame takú množinu, ktorej všetky prvky sú čísla. Majme číselnú množinu X. Nech M je také číslo z X, že pre všetky x X platí x M. Číslo M nazývame maximum množiny X a označujeme ho max X. Nech m je také číslo z množiny X, že pre všetky x X platí m x. Číslo m nazývame minimum množiny X a označujeme ho min X. Každá konečná číselná množina má maximum a minimum. Číselná množina X sa nazýva zhora ohraničená, ak existuje také číslo B, že pre každé číslo x X platí x B. Číselná množina X sa nazýva zdola ohraničená, ak existuje také číslo b, že pre každé číslo x X platí b x. Číslo B nazývame horným ohraničením množiny X a číslo b nazývame dolným ohraničením množiny X. Množina ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená. Najmenšie horné ohraničenie množiny X sa nazýva supremum množiny X a označujeme ho sup X. Najväčšie dolné ohraničenie množiny X sa nazýva infimum množiny X a označujeme ho inf X. Majú tieto vlastnosti: 1. Pre každé x X platí sup X x, inf X x 2. Pre každé ε > 0 existujú čísla x 1 X a x 2 X, pre ktoré platí x 1 sup X ε, x 2 inf X + ε 3. Ak množina X je ohraničená zhora, tak má supremum. Ak množina X je ohraničená zdola, tak má infimum. 4. Ak sup X X, tak sup X = max X. Ak inf X X, tak inf X = min X.

8 10 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY Nech a, b sú reálne čísla a nech a < b. Množinu čísel x, pre ktoré platí : a < x < b nazývame otvoreným intervalom a označujeme ho (a, b). Pre takýto interval platí: a = inf(a, b), b = sup(a, b). Minimum a maximum neexistuje. a x b nazývame uzavretým intervalom a označujeme ho a, b. Platí: a = min a, b = inf a, b, b = max a, b = sup a, b. a < x b nazývame zľava otvoreným a sprava uzavretým intervalom a označujeme ho (a, b. Platí: a = inf(a, b, b = sup(a, b = max(a, b. Minimum neexistuje. a x < b nazývame zľava uzavretým a sprava otvoreným intervalom a označujeme ho a, b). Platí: a = min a, b) = inf a, b), b = sup a, b). Maximum neexistuje. Intervalmi nazývame aj množiny všetkých čísel x určených nerovnosťami: a x, označujeme a, ) - zľava uzavretý interval od a do nekonečna. Platí: a = min a, ) = inf a, ). Maximum a supremum neexistuje. a < x, označujeme (a, ) - zľava otvorený interval od a do nekonečna. Platí: a = inf(a, ). Minimum, maximum a supremum neexistujú. x b, označujeme (, b - sprava uzavretý interval od mínus nekonečna po b. Platí: b = max(, b = sup(, b. Minimum a infimum neexistujú. x < b, označujeme (, b) - sprava otvorený interval od mínus nekonečna po b. Platí: b = sup(, b). Maximum, minimum a infimum neexistujú. Množinu všetkých reálnych čísel môžeme označovať aj (, ). Okolím čísla a (bodu a) nazývame otvorený interval, ktorý číslo a obsahuje. Označujeme ho O(a). ε okolie bodu a je interval (a ε, a + ε), pričom ε > 0. Pre riešenie nasledujúcich príkladov, kde budeme dokazovať, že nejaké číslo je infimom alebo supremom množiny, nám bude užitočná nasledujúca veta: Veta 1.2 Archimedova vlastnosť: Pre ľubovoľné reálne číslo a existuje také prirodzené číslo n, že platí: n > a. Príklad 1. Nájdime supremum, infimum, maximum a minimum množiny M = ( 1 2, 1. Riešenie: Zo znázornenia danej množiny na číselnej osi usúdime, že supremum množiny je číslo 1 a infimum množiny M je číslo 1 2. Ukážeme, že je to tak. Čísla x, ktoré tvoria množinu M, spĺňajú nerovnicu 1 < x 1. (1.1) 2 Z toho vyplýva, že daná množina je ohraničená a číslo 1 je jedno z horných ohraničení, číslo 1 2 je jedno z dolných ohraničení. Ukážeme, že číslo 1 je najmenším horným ohraničením, t.j. sup M = 1. Musí preto spĺňať vlastnosti suprema: 1. x 1 pre každé x M. 2. Ku každému ε > 0 existuje také číslo x 1 M, pre ktoré platí x 1 1 ε. Prvé tvrdenie vyplýva z nerovnosti (1.1). Druhé tvrdenie dokážeme tak, že ak za x 1 vezmeme číslo 1 M, potom pre každé ε > 0 platí x 1 = 1 1 ε. Podobne dokazujeme, že inf M = 1 2 : < x, pre všetky x M - vyplýva z nerovnosti (1.1). 2. Ak zvolíme ε 1 2, potom číslo x 2 = 0, tak platí ε 0 = x 2. Ak zvolíme 0 < ε < 1 2, potom číslo ε 2 = x 2 je prvkom množiny M, pre ktorý platí x 2 = ε 2 < ε. Z toho vyplýva že inf M = 1 2. Číslo 1 2 nie je z množiny M, preto podľa vlastnosti 4 pre infimum množina M nemá

9 1.2. ČÍSELNÉ MNOŽINY 11 minimum. Číslo 1 = sup M je z množiny M a preto podľa vlastnosti 4 je číslo 1 = max M. Príklad 2. Nájdime supremum, infimum, maximum a minimum množiny M, kde M je množina všetkých čísel tvaru n+4 n+5, kde n je prirodzené číslo. 5 Riešenie: Vypočítame niekoľko prvkov tejto množiny: 6, 6 7, 7 8, Z toho usudzujeme, že sup M = 1 a inf M = 5 6. Dokážeme to. Vlastnosť číslo 1 je skutočne splnená: n+4 n+5 < 1 Ukážeme druhú vlastnosť: Zvolíme ε > 0. Treba nájsť prvok x 1 z množiny M tak, aby platilo: x 1 1 ε. Keďže x 1 je prvok z M, musí byť tvaru n 0+4 n 0 +5 pre nejaké n 0 N. Potom musí platiť: z čoho po úprave dostávame n n ε, n 0 5(1 ε) 4 ε Z Archimedovej vlastnosti ale takéto n 0 vždy existuje pre ľubovoľné ε. Tým je dokázaná aj druhá vlastnosť suprema, a preto 1 je naozaj supremom množiny M. Podobne dokážeme, že inf M = 5 6. Prvá vlastnosť: Z nerovnosti n 1 vyplýva 6n 5n (n + 4) 5(n + 5) n + 4 n Druhá vlastnosť: Pre každé ε treba nájsť prvok x 2 = n 1+4 n 1 +5, pre ktorý bude platiť: n 1+4 n ε. Stačí ale zvoliť n 1 = 1 a potom nerovnosť ε platí pre ľubovoľné ε > 0. Preto inf M = 5 6. Supremum množiny M nepatrí do M, preto množina nemá maximum. Infimum množiny M je prvkom tejto množiny, a preto min M = 5 6. Cvičenia 6. Znázornite nasledujúce intervaly na číselnej osi: 1, 3); (π, ); ( 5, 10 ; (, Nájdite prieniky a zjednotenia intervalov: a) 1, 3), 2, ); b) 5, 3), ( 7, 1, ( 4, 2); c) ( 123, 0, ( 123, 1 ; d) (, 3, ( 8, 15). 8. Znázornite na číselnej osi všetky x R pre ktoré platí: a )x < 4 d) x 3 g) x 2 b) 0 x 3 e) 1 < x < 3 h) 2 < x 5 c) 7 4 x 3 4 f) 3 x < 2 i) 1 2 < x 3 2.

10 12 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY 9. Nájdite maximum, minimum, supremum a infimum (ak existujú) nasledujúcich množín a) M 1 množina všetkých celých záporných čísel; b) M 2 je interval (0, 1); c) M 3 je interval 0, 1 ; d) M 4 je množina všetkých racionálnych čísel z intervalu 2, 3 ; e) M 5 je interval 1, ). 10. Nájdite maximum, minimum, supremum a infimum množiny M, ktorej prvky sú čísla tvaru n, 1 1 n, kde n je prirodzené číslo. n+2 n Nájdite maximum, minimum, supremum a infimum množiny M, ktorej prvky sú čísla tvaru, kde n je prirodzené číslo. 12. Množina M sa skladá z čísel: 0, 2; 0, 22; 0, 222; 0, 2222;.... Nájdite jej supremum. 1.3 Zobrazenie čísel v počítači. Realizácia technických výpočtov prebieha spravidla v obore reálnych čísel, ktoré, ako už vieme, predstavujú nekonečnú množinu. V súčasnosti si efektívnosť tejto práce nevieme bez výkonnej výpočtovej techniky ani predstaviť. V tejto súvislosti si ale treba uvedomiť, že množina čísel, s ktorými ľubovoľný počítač pracuje, môže byť síce veľká, ale vždy je konečná. Jej veľkosť určuje architektúra procesorovej jednotky počítača. V praktickej realizácii numerických výpočtov na počítači sa tento problém prejaví v konkrétnom softvérovom vybavení, na ktorom sa úloha realizuje. Môže to byť napríklad kompilátor nejakého programovacieho jazyka ( C, Pascal,... ) alebo už hotový užívateľský softvér ( DERIVE, MATHEMATICA, EXCEL,... ). Presnosť zobrazenia čísel je v takomto prípade daná výberom typu premennej (pri programovacích jazykoch) alebo sa dá vhodnou voľbou nastaviť na požadovaný počet desatinných miest. Akékoľvek zvyšovanie presnosti zobrazovania čísla je však obmedzené kapacitou pamäte počítača, pričom treba vziať do úvahy aj prácnosť a efektívnosť výpočtu. Každý kompilátor programovacieho jazyka má ošetrenú hornú a dolnú hranicu množiny celých čísel, s ktorými je schopný pracovať. Táto množina je spravidla dosť veľká, aby postačovala na bežné technické výpočty, ale napriek tomu je vždy ohraničená. Pokiaľ sa číslo mimo tejto množiny vyskytne vo výpočtoch, hovoríme o pretečení alebo podtečení. Množinu všetkých čísel, ktoré sa dajú zobraziť v počítači, označíme M. Dôležitou vlastnosťou množiny M je, že táto množina nie je uzavretá vzhľadom na aritmetické operácie, to znamená, že výsledok nejakej operácie s číslami tejto množiny nemusí byť číslo z množiny M. Nech γ je zobrazenie množiny reálnych čísel do množiny M. Symbolom označíme aritmetickú operáciu prevádzanú na počítači a symbolom + aritmetickú operáciu nad reálnymi číslami. Dá sa overiť, že pre väčšinu počítačov platí vzťah x y = γ(x + y), pre x, y M. Pre aritmetické operácie v množine M vo všeobecnosti neplatí asociatívny a distributívny zákon. Jedným z dôsledkov neplatnosti týchto zákonov je fakt, že matematicky úplne ekvivalentné algoritmy môžu pri realizácii na počítači dávať rozdielne výsledky. Príklad 3. Úlohou je stanoviť výpočtom na počítači súčet n=1 1 n 2 ( 1, ).

11 1.4. ZDROJE CHÝB 13 Pri sčítaní čísel v prirodzenom poradí (( ) ) +..., dostaneme výsledok s chybou väčšou, ako keď ich sčítame v opačnom poradí 1 (( ) ) pri tej istej presnosti zobrazenia čísel v počítači. V prvom prípade sa totiž od určitého n súčet už nemení. Všeobecne pri sčítaní podobných súčtov, kde sa absolútna hodnota sčítancov líši o niekoľko rádov, platí, že pre dosiahnutie vyššej presnosti musíme sčitovať od členov s najmenšou absolútnou hodnotou k členom s najvyššou absolútnou hodnotou. V praxi však tento efekt nemusí mať vždy rozhodujúci význam. 1.4 Zdroje chýb Reálny technický problém môžeme vyriešiť napríklad experimentálne (meraním) alebo pomocou matematických prostriedkov. Pri matematickom riešení problému je na začiatku nutné najskôr sformulovať matematický model daného problému, teda matematickú úlohu. Pod touto úlohou rozumieme jednoznačný a zrozumiteľný funkčný vzťah medzi danými a hľadanými objektami. Pri vytváraní matematického modelu reálneho problému musíme vždy prikročiť k určitej idealizácii skutočnosti. Rozdiel riešenia idealizovaného problému a riešenia skutočného reálneho problému nazývame chybou matematického modelu. Z veľkosti tejto chyby môžeme spätne posúdiť vhodnosť alebo nevhodnosť zvoleného matematického modelu. Postup na získanie riešenia matematickej úlohy môže byť tiež rôzny. V tejto súvislosti hovoríme o exaktných, približných a numerických metódach. Numerik optimista si zvyčajne kladie otázku, aké presné sú vypočítané výsledky, kým numerik pesimista sa spytuje, akej chyby sme sa dopustili. Tieto dve otázky sú, samozrejme, o tom istom, pretože skutočne len veľmi zriedkavo dosiahneme presné riešenie s presnými dátami. Ak na riešenie matematickej úlohy použijeme metódu, ktorá nám neposkytne presné riešenie, potom chybu, ktorej sa dopustíme voláme chybou metódy. Príkladom takejto chyby môže byť chyba, ktorej sa dopustíme, ak za limitu nekonečnej postupnosti vezmeme niektorý jej člen s dostatočne veľkým indexom. Pomocou numerických metód sa daná matematická úloha prevedie na úlohu jednoduchšiu. Numerická úloha je jasný a zrozumiteľný popis funkčného vzťahu medzi konečným počtom vstupných a výstupných dát. Numerická úloha je teda taký matematický model reálneho problému, ktorý môže byť zrealizovaný na počítači. Rozdiel riešenia matematickej a numerickej úlohy nazývame chybou aproximácie. Ide tiež o prípad chyby metódy. Príkladom takýchto chýb sú: Výpočet elementárnej funkcie (napr. sin(x)) z prvých n členov jej nekonečného Taylorovho radu. Aproximácia výpočtu určitého integrálu funkcie súčtom konečného počtu hodnôt (napr. lichobežníkové pravidlo). Riešenie diferenciálnej rovnice tým, že derivácie nahradíme ich aproximáciami (napr. diferenčnými podielmi). K posúdeniu presnosti výsledkov musíme ešte vziať do úvahy chyby vo vstupných dátach, ktoré sú dané jednak chybami merania dát a jednak sú spôsobené zobrazením vstupných údajov do množiny počítača. Príkladom takýchto chýb môžu byť napríklad nepresnosti v zadávaní fyzikálnych konštánt (tie sú ale spravidla zanedbateľné) alebo chyby v empirických hodnotách, ktoré môžu byť zdrojom vážnych chýb a treba ich starostlivo preskúmať. Keďže tieto empirické chyby bývajú obvykle náhodné,

12 14 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY ich analytické vyšetrenie býva väčšinou dosť obtiažne. Nakoniec sú to chyby zaokrúhľovacie, kde zahrňujeme všetky nepresnosti spôsobené realizáciou algoritmu v počítači, vrátane nepresného vykonávania aritmetických operácií. Podobne ako empirické chyby vo vstupných údajoch, aj zaokrúhľovacia chyba má náhodný charakter, a preto nie je ľahké ju vyšetriť. Vo výpočtoch pri hľadaní riešenia sme často nútení nahradiť číslo x jeho približnou hodnotou x. Číslo x potom nazývame aproximáciou čísla x a platí: Presné číslo = aproximácia + chyba Príklad 4. 2 = 1, chyba π = 3, chyba Tento rozdiel x x = x nazývame absolútnou chybou aproximácie x. Číslo ε( x) 0, pre ktoré platí x x ε( x), nazývame odhadom absolútnej chyby. Presné číslo x sa nachádza v intervale Číslo x ε( x) x x + ε( x). x x = x x x, x 0, nazývame relatívnou chybou aproximácie x. Relatívna chyba sa často uvádza v percentách. V praxi, najmä ak je presná hodnota neznáma, často namiesto nej v podiele používame jej aproximáciu x x = x x, x 0. (1.2) x Príklad 5. Bežná aproximácia 2 je číslo 1, 414. Potom relatívna chyba je 0, 002 = 0, , 414 Číslo δ( x), pre ktoré platí x x x ε( x) x nazývame odhadom relatívnej chyby. Vzhľadom na vzťah (1.2) platí nasledujúci odhad: = δ( x), x(1 δ( x)) x x(1 + δ( x))

13 1.5. CHYBY ARITMETICKÝCH OPERÁCIÍ. 15 Príklad 6. Pre x = π = 3, , x = 3, 14 je x = 0, , ε( x) = Ďalej x x x x 0, 0506%. Príklad 7. chyba merania? Uhol nameraný s pomocou teodolitu je v rozpätí ± 30. Aká je relatívna Riešenie: x x = % = 0, 004% Príklad 8. Obsah štvorca je 25, 16 cm 2 s presnosťou do 0, 01 cm 2. S akou relatívnou chybou môžeme určiť stranu štvorca? Riešenie: Hľadaná strana je x = 25, 16. Relatívna chyba strany štvorca je x 25, , 01 25, 16 x = 1 = 25, , 01 25, 16 = 0, Veta 1.3 Nech sú čísla x 1, x 2,..., x n aproximáciami čísel X 1, X 2,..., X n a také, že pre každú a- proximáciu najväčšia možná chyba je E. Potom najväčšia možná chyba pre sumu x i, i = 1,..., n je n.e. 1.5 Chyby aritmetických operácií. Budeme predpokladať, že vykonávame presné aritmetické operácie s nepresnými číslami, teda s a- proximáciami. Ďalej budeme predpokladať, že poznáme chyby, resp. odhady chýb týchto aproximácií. Budeme vyšetrovať, s akou presnosťou sa dá stanoviť výsledok, teda aká je jeho chyba, resp. jej odhad. Nech x i = x i + x i, x i ε i, x i x δ i, i = 1, 2, i kde ε i resp. δ i je odhad absolútnej, resp. relatívnej aproximácie x i. Ak je ū = x 1 + x 2 aproximácia súčtu u = x 1 + x 2, potom u = x 1 + x 1 + x 2 + x 2 = ū + u, kde a platí u = x 1 + x 2, u x 1 + x 2 ε 1 + ε 2.

14 16 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY Ak je v = x 1 x 2 aproximácia rozdielu v = x 1 x 2, potom v = x 1 x 2, a platí v x 1 + x 2 ε 1 + ε 2. Ak je w = x 1 x 2 aproximácia súčinu w = x 1 x 2, potom w = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 2 x 1 + x 1 x 2 = w + w, položíme w x 1 x 2 + x 2 x 1, (člen x 1 x 2 neuvažujeme), potom platí w x 1 ε 1 + x 2 ε 2. Ak je z = x 1 / x 2 aproximácia podielu z = x 1 /x 2, potom kde a platí z = x 1 + x 1 x 2 + x 2 = z + z, z = x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 ( x 2 + x 2 ) z x 2 ε 1 + x 1 ε 2 x 2 2. x 2 x 1 x 1 x 2 x 2, 2 Pre relatívne chyby môžeme z vyššie uvedených vzťahov odvodiť u u x 1 x 1 + x 2 x 1 x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 2 x 2, u u 1 x 1 + x 2 ( x 1 δ 1 + x 2 δ 2 ). v v x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2, v v 1 x 1 x 2 ( x 1 δ 1 + x 2 δ 2 ). Upozorňujeme tu na fakt, že pri odčítaní blízkych čísel má na veľkosť relatívnej chyby rozdielu 1 rozhodujúci význam číslo x 1 x 2. w w x 1 x 2 + x 2 x 1 x 1 x 2 = x 2 x 2 + x 1 x 1, w w δ 1 + δ 2.

15 1.5. CHYBY ARITMETICKÝCH OPERÁCIÍ. 17 z z x 1 x 1 x 2 x 2, z z δ 1 + δ 2. Nech je x reálne číslo, ktoré má nekonečné dekadické vyjadrenie. Hovoríme, že číslo x (d), ktoré má d desatinných miest, je správne zaokrúhlenou hodnotou čísla x, ak je zaokrúhľovacia chyba ε taká, že ε = x x (d) d Príklad 9. Nech x = 6, , potom je x (3) = 6, 744 a x (7) = 6, Ak je x ľubovoľná aproximácie presnej hodnoty x, potom hovoríme, že k-te desatinné číslo je platné, ak platí: x x k. Pri správne zaokrúhlenom čísle je teda každé miesto platné. Príklad 10. Nech je číslo 0, 1492 správne na štyri desatinné čísla. Inými slovami, to znamená, že ide o aproximáciu skutočnej hodnoty, ktorá leží niekde v intervale medzi 0, a 0, V takomto prípade aproximácia má štyri platné číslice. Podobne číslo 14, 92 má dve platné desatinné miesta a štyri platné číslice, za predpokladu, že jeho chyba neprevýši 0, 005. Príklad 11. Ak je x = π, x = 0, , potom x x x , , x x , V tomto prípade má x len štyri platné číslice a aproximácia 3, 1415 má tri platné desatinné miesta. Ak je počet platných číslic n > 1, potom za limitnú relatívnu chybu aproximácie x s prvou platnou cifrou k možno vziať číslo δ = 1 2k ( 1 10 )n 1. Ak pre odhad relatívnej chyby δ platí δ 1 2(k + 1) ( 1 10 )n 1, potom číslo x má n platných číslic. Na uvedenom príklade vidíme súvislosť medzi počtom platných číslic a relatívnou chybou aproximácie: zväčšovanie chyby sa prejaví stratou platných číslic a obrátene. Preto sa vo výpočtoch vyhýbame rozdielom blízkych čísel, pri ktorých práve ku tejto strate platných čísel dochádza. Príklad 12. Koľko platných číslic má číslo A = 3, 7563 ak relatívna chyba je 1%?

16 18 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY Riešenie: Prvá platná číslica je 3 a keďže relatívna chyba je 0, 01, potom platí 0, ( 1 10 )n 1, odkiaľ n = 2. Preto číslo A má dve platné číslice. A môžeme zapísať v tvare A = 3, 8. potom Príklad 13. Nech x 1 = 0, , x 1 = 0, 5010, x 2 = 0, , x 2 = 0, 5008, x 1 = 0, , , x 1 x 1 0, , x 2 = 0, , , Vypočítame rozdiel uvedených čísel: x 2 x 2 0, v = x 1 x 2 = 0, , v = x 1 x 2 = 0, , v 0, v v 1, Výstupná relatívna chyba je teda v porovnaní s relatívnymi chybami vstupných údajov omnoho väčšia. Príklad 14. Je daná kvadratická rovnica x 2 56x + 1 = 0 s koreňmi x 1 = a x 2 = Ak vypočítame 783 na päť platných číslic (t.j. s chybou menšou ako 0, = 27, 982), máme: x 1 = 55, 982, x 2 = 0, 018. Absolútna chyba koreňov nie je väčšia ako 0, Ale pre relatívnu chybu platí: x 1 x 1 0, ; x 2 x 2 0, Koreň x 1 je určený na päť platných číslic a koreň x 2 len na dve platné číslice. Ak chceme aj druhý koreň vypočítať presnejšie, máme dve možnosti: vypočítať 783 na desať platných číslic, čo je náročnejšie na pamäť počítača aj na čas. Koreň x 2 vypočítať iným algoritmom, čo predpokladá, že taký algoritmus poznáme; napríklad z vlastnosti koreňov pre túto rovnicu totiž platí: x 1 x 2 = 1. Preto: x 2 = 1 x 1 = 1 = 0, , 982

17 1.6. ÚLOHY A ALGORITMY 19 Cvičenia 13. Vypočítajte plochu obdĺžnika so stranami 92, 73 ± 0, 01 metrov a 94, 5 ± 0, 01 metrov. Vypočítajte relatívnu chybu výsledku a počet platných číslic. 14. Nájdite odhad relatívnej chyby výpočtu povrchu zrezaného kužeľa, ak jeho polomery majú veľkosť R = 23, 64 ± 0, 01cm, r = 17, 31 ± 0, 01cm, jeho výška je l = 10, 21 ± 0, 01cm a π = 3, Úlohy a algoritmy Medzi matematickými a aj numerickými úlohami sa stretávame aj s takými, ktorých riešenia sú veľmi citlivé na zmeny vo vstupných údajoch. Znamená to, že aj malé zmeny vo vstupných údajoch spôsobia veľké zmeny v riešeniach. Je preto užitočné rozdeliť matematické úlohy z hľadiska tejto citlivosti na dve skupiny. Úloha, ktorá má nasledujúce vlastnosti 1. má jediné riešenie 2. toto riešenie spojite závisí na vstupných údajoch, sa nazýva korektná úloha. Tento pojem sme z matematického hľadiska nedefinovali veľmi presne, pretože nie je povedané, čo je to spojite závisí. Na exaktné vysvetlenie tohoto pojmu by boli potrebné aspoň minimálne znalosti z teórie funkcionálnych priestorov a tie presahujú obsah tejto publikácie. Voľne povedané, ak množinu vstupných údajov vyberáme z nejakého okolia skutočných vstupov (dopustíme sa napríklad chyby pri meraní), potom množina výstupných údajov bude z nejakého okolia skutočného riešenia úlohy. Toto okolie však môže byť dosť veľké. Veľkú triedu nekorektných úloh tvoria nejednoznačné úlohy. Nekorektnosť úlohy býva často zapríčinená aj jej nekorektnou formuláciou. Zaujíma nás teraz veľkosť okolia výstupných údajov z druhej vlastnosti. Hovoríme, že úloha je dobre podmienená, ak malé zmeny vo vstupných údajoch vyvolajú len malé zmeny vo výstupných údajoch (riešení). Ak máme dvojicu vstupných dát x a x+ x a im odpovedajúce výstupné dáta sú y a y + y, potom číslo C p = y y x x nazývame číslo podmienenosti úlohy. V tomto vzťahu výraz. znamená normu v nejakom vhodnom priestore. Napríklad, ak je vstup aj výstup reálne číslo, je to absolútna hodnota tohoto čísla, v prípade, že ide o vektory, jedná sa o normu príslušných vektorov (pojem absolútna hodnota pozri časť 1.8). V praxi väčšinou nevieme stanoviť presne toto číslo, iba jeho odhad. Ak je odhad čísla C p 1, hovoríme o (veľmi) dobre podmienených úlohách. Pre veľké hodnoty C p hovoríme o zle podmienených úlohách. Povieme si teraz niečo o postupoch, ktorými úlohy riešime. Algoritmom numerickej metódy rozumieme jasný a jednoznačný popis konečnej postupnosti operácií, pomocou ktorých m-tici čísel z určitej množiny vstupných dát jednoznačne priradí n-ticu výstupných dát (výsledkov). Operáciami rozumieme aritmetické a logické operácie, ktoré môže vykonávať počítač.

18 20 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY Pri realizácii konkrétneho numerického algoritmu na počítači sa dopúšťame chýb v aritmetických operáciách. Tieto chyby sa objavia vždy, aj keby boli vstupné údaje presné. Preto vzniká problém, ako posúdiť citlivosť každého konkrétneho algoritmu na zaokrúhľovacie chyby včítane chýb vo vstupných údajoch. Ak sa chceme vyvarovať nezmyselných výsledkov, musíme si vyberať algoritmy málo citlivé na tieto chyby. Takéto algoritmy budeme nazývať stabilné. Medzi známymi numerickými algoritmami významnú úlohu majú tzv. iteračné procesy. Používame ich spravidla vtedy, keď potrebujeme stanoviť limitnú hodnotu vhodne zvolenej postupnosti medzivýsledkov. Spravidla ich popisuje iteračná formula, t.j. pravidlo, ako pomocou jedného (1- krokový iteračný proces) alebo viacerých (viackrokový iteračný proces) predchádzajúcich medzivýsledkov možno vypočítať nasledujúci medzivýsledok. Jednokrokový iteračný proces môžeme zapísať formulou typu x n = F (x n 1 ), n = 1, 2, 3,.... K zahájeniu tohoto iteračného procesu potrebujeme poznať len jednu hodnotu (napríklad x 0 ) a postupne vypočítame x 1 = F (x 0 ), x 2 = F (x 1 ),..., x k = F (x k 1 ),.... Členy postupnosti {x 0, x 1, x 2,...} nazývame iteráciami alebo postupnými aproximáciami. Pretože žiadny algoritmus nemôže obsahovať nekonečne veľa krokov, musíme proces určený iteračnou formulou pre nejaké n = N ukončiť. Potom x N bude len približnou hodnotou (aproximáciou). Číslo N spravidla nevyberáme dopredu, ale určujeme takzvanú zastavovaciu podmienku. Táto podmienka obyčajne znie: Pokračuj vo výpočte podľa iteračnej formuly, pokiaľ bude x k x k 1 δ, kde δ je nejaké vopred zvolené (malé) číslo. Ak sa dá iteračný proces zapísať iteračnou formulou typu x n+p = F (x n, x n+1,..., x n+p 1 ), n = 0, 1, 2,..., hovoríme o p-krokovom iteračnom procese. K zahájeniu výpočtu potrebujem poznať p hodnôt, napríklad x 0, x 1,..., x p Nerovnice Pre prácu s nerovnosťami a nerovnicami platia tieto základné vlastnosti: 1. Ak a < b a b < c, potom a < c (tranzitívnosť). 2. Ak a < b a c je ľubovoľné, potom a + c < b + c. 3. Ak a < b a c < d, potom a + c < b + d. 4. Ak a < b a m > 0, potom am < bm; ak a < b a m < 0, potom am > bm. 5. Ak a < b a c < d, kde a, b, c, d sú kladné čísla, potom ac < bd. 6. Ak 0 < ab, potom je 0 < a, 0 < b, alebo a < 0, b < Ak ab < 0, potom je 0 < a, b < 0, alebo a < 0, 0 < b.

19 1.7. NEROVNICE Ak 0 < b, b < a < b, potom je a 2 < b 2. Ak 0 < b, a 2 < b 2, je b < a < b. 9. Ak je 0 < a a a 2 < b 2, potom platí: alebo 0 < a < b alebo b < a < 0. Tieto vlastnosti ostanú v platnosti aj keď znak < nahradíme znakom. Lineárna nerovnica s jednou neznámou x má tvar: kde a 0, b sú reálne čísla a N je niektorý zo znakov <, >,,,. Kvadratická nerovnica s jednou neznámou je nerovnica tvaru: ax + b N 0, (1.3) ax 2 + bx + c N 0 (1.4) kde a 0 a N je opäť niektorý zo znakov <, >,,,. Riešením nerovnice (1.3) alebo (1.4) nazývame množinu všetkých čísel, ktoré keď dosadíme do nerovnice namiesto neznámej x dostaneme pravdivú nerovnosť medzi číslami. Systém lineárnych nerovníc s jednou neznámou má tvar a 1 x + b 1 N 0 a 2 x + b 2 N 0 a n x + b n N 0,. (1.5) kde a 1, a 2,..., a n sú rôzne od nuly. Nech riešenia jednotlivých nerovníc systému (1.5) sú M 1, M 2,..., M n. Potom riešenie systému (1.5) je M = M 1 M 2... M n. Ekvivalentnými nerovnicami nazývame také nerovnice, ktorých množiny riešení sú rovnaké množiny. Úpravy, pomocou ktorých z danej nerovnice dostaneme ekvivalentnú, nazývame ekvivalentnými úpravami. Pri riešení nerovníc používame vlastnosti a to tak, že z danej nerovnice dostávame ekvivalentné nerovnice, ktoré už vieme riešiť. Kvadratickú nerovnicu (1.4) možno riešiť úpravou na tvar Pri riešení tejto nerovnice môžu nastať tieto tri prípady: (x + b 2a )2 N b2 4ac 4a 2. (1.6) 1. D = b 2 4ac > 0, nerovnicu (1.6) môžeme riešiť napríklad úpravou na tvar a(x α)(x β) N 0, kde α, β sú korene rovnice ax 2 + bx + c = 0. Nerovnicu riešime ďalej podľa vlastností 5. a D = b 2 4ac = 0. Potom nerovnica (1.6) nemá riešenie, ak N značí <; nerovnica (1.6) má riešenie (, ), ak N značí ; nerovnica (1.6) má riešenie x = b 2a, ak N značí ; nerovnica (1.6) má riešenie všetky reálne čísla okrem čísla b 2a, ak N značí alebo >. 3. D = b 2 4ac < 0. Potom nerovnica (1.6) nemá riešenie, ak N značí < alebo ; nerovnica (1.6) má riešenie (, ), ak N značí >, alebo.

20 22 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY Príklad 15. Riešme nerovnicu: 3 x 5 < 2x 8 3 3x 1 2 Riešenie: Podľa vlastnosti 4. dostaneme po vynásobení oboch strán nerovnice číslom 30 ekvivalentnú nerovnicu: 18 6x < 20x 80 45x + 15, odkiaľ 18 6x < 25x 65. K obom stranám nerovnice pripočítame výraz 25x 18 a podľa vlastnosti 2. dostaneme 19x < 83. Vynásobením tejto nerovnice číslom 1 19 dostaneme x < Riešením tejto nerovnice sú čísla z intervalu (, ). Pri riešení sme robili len ekvivalentné úpravy, preto nájdené riešenie je aj riešením pôvodnej nerovnice. Príklad 16. Riešme nerovnicu: x 2 5x + 6 < 0. Riešenie: Pretože D = ( 5) = 1 > 0, danú nerovnicu riešime tak, že trojčlen x 2 5x + 6 rozložíme na súčin koreňových činiteľov. Korene kvadratickej rovnice x 2 5x + 6 = 0 sú čísla 2 a 3. Preto platí x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2). Dostávame (x 3)(x 2) < 0. Táto nerovnica je podľa vlastnosti 7. ekvivalentná s jedným z nasledujúcich dvoch systémov x 3 > 0, x 2 < 0 (1.7) alebo x 3 < 0, x 2 > 0 (1.8) Riešením systému (1.7) je prienik (, 2) (3, ) =. Riešením systému (1.8) je prienik (, 3) (2, ) = (2, 3). Riešením pôvodnej nerovnice preto je (2, 3) = (2, 3). Cvičenia 15. Riešte nerovnice: 16. Riešte nerovnice: a) 12 x x 4 > 0; d) x+1 x+3 < x+5 x+6 ; b) 5 2x x 7 3; e) x(x+1) (x 1)(x 2) 0; c) (x+2)(x 3) x(x 4) 0 f) x+1 x 2,5 2. a) x 2 2x + 5 < 0; d) 2x 2 2x < 0; b) x x 24 < 0; e) 6x x + 6 < 0; c) 2x 2 3x 2 0; f) 8x

21 1.8. ABSOLÚTNA HODNOTA REÁLNEHO ČÍSLA Absolútna hodnota reálneho čísla Nech a R. Absolútnu hodnotu čísla a označujeme a a rozumieme ňou číslo a = a, ak a 0; Nech a, b sú reálne čísla. Potom platí: a = a, ak a < a = max{a, a} 2. a = a 3. a a 4. a = a 2 5. ab = a b 6. a n = a n, pre každé prirodzené číslo n 7. a b = a b (b 0) 8. a + b a + b ( trojuholníková nerovnosť ) 9. a b a ± b a + b Geometrický význam absolútnej hodnoty reálneho čísla a je vzdialenosť obrazu čísla a na číselnej osi od začiatku. Vzdialenosť bodu a od bodu b na číselnej osi je preto b a. Príklad 17. Riešme rovnicu: x + 3 = 1 5. Riešenie: Najskôr rovnicu upravíme tak, aby neobsahovala absolútnu hodnotu. Uvažujeme dva prípady: a) x + 3 0, potom x + 3 = x + 3 a daná rovnica je ekvivalentná so systémom x (1.9) x + 3 = 1 5. (1.10) Riešením nerovnice (1.9) je interval 3, ). Riešením rovnice (1.10) je číslo x = Preto riešením systému (1.9), (1.10) je prienik týchto množín: 3, ) { 14 5 } = { 14 5 }. b) x + 3 < 0, potom x + 3 = (x + 3) a daná rovnica je ekvivalentná so systémom x + 3 < 0 (1.11) (x + 3) = 1 5. (1.12) Riešením nerovnice (1.11) je interval (, 3). Riešením rovnice (1.12) je číslo x = Preto riešením systému (1.11), (1.12) je prienik týchto množín: (, 3) { 16 5 } = { 16 5 }. Riešením danej rovnice sú teda čísla 14 5, 16 5.

22 24 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY Príklad 18. Riešme nerovnicu: x + 1 < x + 3 (1.13) Riešenie: Keďže množina všetkých riešení je podmnožinou reálnych čísel, budeme uvažovať všetky možné prípady, ktoré môžu nastať. Sú to tieto štyri: a) x a x + 3 0, b) x + 1 < 0 a x + 3 < 0, c) x a x + 3 < 0, d) x + 1 < 0 a x pre prípad a) platí: x + 1 = x + 1, x + 3 = x + 3. Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom nerovníc x x x + 1 < x + 3. Riešením tohoto systému sú všetky čísla x, pre ktoré platí súčasne x 1, x 3 (tretia nerovnica je splnená pre ľubovoľné reálne číslo). Riešením je teda prienik intervalov 1, ) 3, ) = 1, ). V prípade b) platí: x+1 = (x+1), x+3 = (x+3). Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom nerovníc x + 1 < 0 čiže x + 3 < 0 (x + 1) < (x + 3). x < 1, x < 3, 1 < 3. Keďže riešením poslednej nerovnice je, celý uvedený systém nemá riešenie. V prípade c) platí: x + 1 = x + 1, x + 3 = (x + 3). Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom x x + 3 < 0 x + 1 < (x + 3). Riešením tohoto systému sú všetky čísla x, pre ktoré platia súčasne všetky tri nerovnice: x 1, x < 3, x < 2; to jest prienik intervalov 1, ) (, 3) (, 2) =. V tomto prípade teda systém nemá riešenie. V prípade d) platí: x + 1 = (x + 1), x + 3 = x + 3. Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom x + 1 < 0 x (x + 1) < x + 3. Riešením tohoto systému sú všetky čísla x, pre ktoré súčasne platí: x < 1, x 3, x > 2; to jest prienik intervalov (, 1) 3, ) ( 2, ) = ( 2, 1). Riešením nerovnice (1.13) je zjednotenie intervalov 1, ) ( 2, 1) = ( 2, ).

23 RIEŠENIA CVIČENÍ 25 Cvičenia 17. Vypočítajte: 5, 24, π 1, 1 2 2, Znázornite na číselnej osi množiny všetkých x R pre ktoré platí: 19. Ako možno inak napísať podmienky? a) 1 < x < 1 ; b) x < 1 alebo x > 1? a) x 4 b) x 2 c) x 3 < 2 d) x 5 < 1 e) x f) x g) x 5 > 5 h) x + 3 < 3 i) x Riešte nerovnice: a) x + 3 x 5 ; b) 2x + 1 > x Riešte rovnice: a) x + x + 3 = 5; c) 2x 3 x = 24; b) x + x 3 = 5; d) 5x + 1 2x = Ak platí: y = 1 x a x 4 < 2, čo môžeme povedať o hodnotách y? 23. Nájdite všetky čísla x R, ktorých súčet vzdialeností od čísel 3 a 5 a) je menší ako 6; b) je väčší ako 6; c) je rovný 0. Riešenia cvičení 2. iracionálne, racionálne, iracionálne, racionálne, racionálne, iracionálne, racionálne. 3. π < < 22 7 ; < 7 < 16 6 ; 1, 44 < 2 < 1, 41; 2, 34 < 7 3 < 2, nie, nie, nie. 7. a) prienik 2, 3), zjednotenie 1, ), b) prienik ( 4, 1, zjednotenie ( 7, 3), c) prienik ( 123, 1, zjednotenie ( 123, 0, d) prienik ( 8, 3, zjednotenie (, 15). 9. max M 1 = sup M 1 = 1, infimum a minimum neexistujú. sup M 2 = 1, inf M 2 = 0, maximum a minimum neexistujú. max M 3 = sup M 3 = 1, inf M 3 = min M 3 = 0. sup M 4 = 3, inf M 4 = 2, maximum a minimum neexistujú. inf M 5 = min M 5 = 1, supremum a maximum neexistujú. 10. max M = sup M = 2, min M = inf M = max M = sup M = 3 2, inf M = 1, minimum neexistuje.

24 26 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ OBORY 12. sup M = δ = 0, 22%, n = 4, plocha = 8763 ± 2, δ = 0, 16%. 15. a) (4, 12) b) 26 5, 7) c) 2, 0) 3, 4) d) ( 9, 6) ( 3, ) e) (, 1 0, 1) (2, ) f) ( ; 2, 5) 6, ) 16. a) b) ( 73 7, 73 7) c) (, 1 2 2, ) d) (0, 1) e) ( 3 2, 2 3 ) f) 46 4, , 24, π 1, 2 2 1, a) x < 1, b) x > a) (, 1 b) (, 4) ( 2 3, ) 21. a) 1, b) 4, c) 27 a 7, d). 22. y ( 1 6, 1 2 ). 23. a), b) R, c).

25 Kapitola 2 Analytická geometria 2.1 Úvod Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary pomocou ich analytických vyjadrení. Pomocou zvolenej súradnicovej sústavy vieme každý základný geometrický útvar vyjadriť jednoznačne v tvare istej rovnice (prípadne nerovnice). Pritom vzťah medzi príslušným geometrickým útvarom a jeho rovnicou je daný nasledovným pravidlom: (P) Ľubovoľný bod X leží v danom útvare práve vtedy, ak jeho súradnice spĺňajú rovnicu útvaru. Na základe tohoto pravidla prienikom útvarov U 1 a U 2 je množina všetkých bodov, ktorých súradnice spĺňajú súčasne rovnice obidvoch týchto útvarov. 2.2 Základy teórie Súradnicová sústava Karteziánska súradnicová sústava v rovine (v priestore) je sústava dvoch (troch) navzájom na seba kolmých priamok, ktoré voláme osi súradnicovej sústavy. Všetky osi súradnicovej sústavy majú spoločný jediný bod, ktorý voláme začiatok súradnicovej sústavy a označujeme ho znakom O. Naviac, na každej osi je určená rovnaká jednotka dĺžky. Karteziánska súradnicová sústava je prostriedok, pomocou ktorého každému bodu v rovine (v priestore) vieme jednoznačne priradiť usporiadanú dvojicu (trojicu) reálnych čísel, ktoré voláme súradnice daného bodu. Spôsob priradenia je znázornený na obr. 1 (obr. 2). Fakt že bod A má súradnice a 1, a 2, a 3, budeme zapisovať A[a 1, a 2, a 3 ] alebo A = [a 1, a 2, a 3 ] Vektory Vektor je geometrický objekt, ktorý je určený dĺžkou, smerom a orientáciou. Môžeme si ho predstaviť ako orientovanú úsečku, t. j. úsečku, na ktorej je vyznačený začiatočný a koncový bod. Pritom nesmieme zabudnúť, že dve rôzne orientované úsečky, ktoré majú zhodnú dĺžku (t. j. veľkosť), smer aj orientáciu, predstavujú ten istý vektor, ide o dve rôzne umiestnenia toho istého vektora. 27

26 28 KAPITOLA 2. ANALYTICKÁ GEOMETRIA z a 3 y a 2 A[a 1, a 2 ] a 1 x A[a 1, a 2, a 3 ] a 1 x a 2 y obr. 1 obr. 2 Súradnice vektora sú súradnice jeho koncového bodu v takom umiestnení vektora, keď začiatočný bod je zhodný so začiatkom súradnicovej sústavy. Fakt, že vektor v má súradnice v 1, v 2, v 3 1 budeme zapisovať v = [v 1, v 2, v 3 ]. Teda, ak A = [a 1, a 2, a 3 ] a B = [b 1, b 2, b 3 ], tak vektor so začiatočným bodom A a koncovým bodom B má súradnice [b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ]. Preto takýto vektor budeme označovať symbolom B A. 2 Polohovým vektorom bodu A rozumieme vektor A O. Dĺžka vektora v je vzdialenosť jeho začiatočného a koncového bodu a označujeme ju v. Platí B A = d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2. (2.1) Nulový vektor je (jediný) vektor, ktorého dĺžka je 0. Budeme ho označovať 0. Nulový vektor má všetky súradnice rovné 0. Jednotkový vektor je každý vektor, ktorého dĺžka je rovná 1. Jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi x označujeme i, jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi y označujeme j, jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi z označujeme k. Vektory i, j, k tvoria bázu trojrozmerného priestoru. V ďalšom texte predpokladajme, že u = [u 1, u 2, u 3 ] a v = [v 1, v 2, v 3 ]. Skalárny násobok vektora v číslom c je vektor c v, pričom: 1. dĺžka vektora c v je c násobkom dĺžky vektora v 2. obidva vektory majú rovnaký smer 3. ak c > 0, tak v a c v majú zhodnú orientáciu ak c < 0, tak v a c v majú opačnú orientáciu ak c = 0, tak c v = 0. Namiesto c v budeme niekedy písať kratšie cv. V súradniciach: c v = [cv 1, cv 2, cv 3 ] 1 Všetky vzťahy, týkajúce sa súradníc budeme uvádzať pre trojrozmerné vektory. V prípade dvojrozmerných vektorov všetky vzťahy platia s tým, že tretie súradnice zo vzťahu vynecháme alebo považujeme za rovné 0 2 Niekedy sa stretávame aj s označením AB

27 2.2. ZÁKLADY TEÓRIE 29 Vektor ( 1) v voláme vektor opačný k vektoru v a označujeme v. V súradniciach: v = [ v 1, v 2, v 3 ]. Platí: Dva nenulové vektory sú rovnobežné práve vtedy, ak jeden z nich je skalárnym násobkom druhého. Je to práve vtedy, ak podiely ich prvých, druhých aj tretích súradníc sú zhodné. Príklad 1. Nech A = [ 3, 1, 7] a B = [2, 5, 0]. Určte dĺžku vektora B A a súradnice jednotkového vektora rovnako orientovaného v jeho smere. Riešenie: Najskôr určíme súradnice vektora B A: B A = [2 ( 3), 5 1, 0 7] = [5, 6, 7]. Podľa vzťahu 2.1 B A = ( 6) 2 + ( 7) 2 = = 110. Označme u = [u 1, u 2, u 3 ] jednotkový vektor v smere vektora B A. Keďže u je skalárnym násobkom vektora B A, existuje také reálne číslo c, že platí Naviac, vektor u má dĺžku 1 a preto platí Teda 1 = u 1 = 5c, u 2 = 6c, u 3 = 7c. u u2 2 + u2 3 = 25c2 + 36c c 2 = 110c 2. c 2 = Posledná rovnica má práve dve riešenia c = ± Hľadaný vektor dostaneme pre hodnotu c = : 5 u = [, , ]. Nakoniec poznamenajme, že jednotkový vektor v smere vektora B A s opačnou orientáciou dostaneme pre hodnotu c = Príklad 2. Pre ktoré hodnoty čísel p a q sú vektory a = [ 1, p, 4] a b = [q, 2, 3] rovnobežné? Riešenie: Podľa poznámky pred predchádzajúcim príkladom sú vektory a a b rovnobežné práve vtedy, ak platí 1 q = p 2 = 4 3 Porovnaním prvého zlomku s tretím a druhého zlomku s tretím dostávame q = 3 4 a p = 8 3.

28 30 KAPITOLA 2. ANALYTICKÁ GEOMETRIA Súčet vektorov u a v je vektor u + v, ktorý môžeme znázorniť ako uhlopriečku v rovnobežníku so stranami tvorenými vektormi u a v, pričom jeho orientácia je znázornená na obr. 3. V súradniciach: u v v u + v u obr. 3 u + v = [u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ]. Rozdiel vektorov u a v je vektor u v = u + ( v). Ak máme dva vektory u a v, tak výraz cu + dv, kde c, d sú ľubovoľné reálne čísla, je lineárna kombinácia vektorov u a v. Podobne, ak máme tri vektory u, v a w, tak výraz cu + dv + ew, kde c, d, e sú ľubovoľné reálne čísla, je lineárna kombinácia vektorov u, v a w. Čísla c, d, e v lineárnej kombinácii voláme koeficienty kombinácie. Pre každú konkrétnu hodnotu koeficientov dostávame konkrétny vektor. Platí: Ak máme dané v rovine dva nerovnobežné vektory, tak každý vektor tejto roviny sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare lineárnej kombinácie dvoch daných vektorov. Ak máme dané v priestore tri vektory, ktoré neležia všetky v jednej rovine, tak každý vektor v priestore sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare lineárnej kombinácie troch daných vektorov. V dôsledku toho každý vektor sa dá napísať v tvare lineárnej kombinácie vektorov bázy: u = u 1 i + u 2 j + u 3 k. V tomto vyjadrení sú koeficienty kombinácie zhodné so súradnicami vektora, teda platí u = u 1 i + u 2 j + u 3 k práve vtedy, ak u = [u 1, u 2, u 3 ]. (2.2) Príklad 3. Vyjadríme vektor [-3,1] ako lineárnu kombináciu vektorov [1,-1] a [2,3]. Riešenie: Hľadáme čísla c a d, pre ktoré platí [ 3, 1] = c[1, 1] + d[2, 3] = [c, c] + [2d, 3d] = [c + 2d, c + 3d]. Porovnaním prvých a porovnaním druhých súradníc dostávame sústavu dvoch rovníc s dvomi neznámymi c + 2d = 3 a c + 3d = 1. (2.3)

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

OLYMPS DOOR spol. s r.o. Návod na inštaláciu a obsluhu

OLYMPS DOOR spol. s r.o. Návod na inštaláciu a obsluhu Návod na inštaláciu a obsluhu Dôležité informácie Gratulujeme vám, že ste si vybrali výrobok firmy Nice. Prečítajte si prosím tento návod. Aby boli tieto pokyny lepšie zrozumiteľné, boli usporiadané do

Διαβάστε περισσότερα

Ján Hanák. Praktické paralelné programovanie v jazykoch C# 4.0 a C++

Ján Hanák. Praktické paralelné programovanie v jazykoch C# 4.0 a C++ Ján Hanák Praktické paralelné programovanie v jazykoch C# 4.0 a C++ Artax 2009 Autor: Ing. Ján Hanák, MVP Praktické paralelné programovanie v jazykoch C# 4.0 a C++ Recenzenti: doc. RNDr. Jozef Fecenko,

Διαβάστε περισσότερα

NÁČRT SVÄTOOTCOVSKÉHO POHĽADU NA STVORENIE ČASU. Pavol KOCHAN. Keď otvoríme Bibliu, hneď na začiatku Svätého Písma sa stretneme so

NÁČRT SVÄTOOTCOVSKÉHO POHĽADU NA STVORENIE ČASU. Pavol KOCHAN. Keď otvoríme Bibliu, hneď na začiatku Svätého Písma sa stretneme so NÁČRT SVÄTOOTCOVSKÉHO POHĽADU NA STVORENIE ČASU Pavol KOCHAN Keď otvoríme Bibliu, hneď na začiatku Svätého Písma sa stretneme so zaujímavou myšlienkou: Na počiatku Boh stvoril nebo a zem. Častokrát jej

Διαβάστε περισσότερα

Komfort za rozumné peniaze

Komfort za rozumné peniaze 5/2013 5/2013 technologicky vyspelé domy a budovy Komfort za rozumné peniaze www.idbjournal.sk ročník III ISSN 1338-3337 Slovenský elektrotechnický zväz - Komora elektrotechnikov Slovenska Slovenský elektrotechnický

Διαβάστε περισσότερα

Bezpe nos je otázkou prístupu watt - veda a technika v bezpe nosti Odborná spôsobilos v SBS

Bezpe nos je otázkou prístupu watt - veda a technika v bezpe nosti Odborná spôsobilos v SBS 1,29 EUR 2/2012 Bezpe nos je otázkou prístupu watt - veda a technika v bezpe nosti Odborná spôsobilos v SBS Policajti s novými puškami www.alarmsecuritymagazin.sk 2/2011 Alarm magazín 1 Výrobky značiek,

Διαβάστε περισσότερα

DOHODA MEDZI VLÁDOU SLOVENSKEJ REPUBLIKY A VLÁDOU CYPERSKEJ REPUBLIKY O SPOLUPRÁCI V OBLASTI ZDRAVOTNÍCTVA A LEKÁRSKYCH VIED

DOHODA MEDZI VLÁDOU SLOVENSKEJ REPUBLIKY A VLÁDOU CYPERSKEJ REPUBLIKY O SPOLUPRÁCI V OBLASTI ZDRAVOTNÍCTVA A LEKÁRSKYCH VIED DOHODA MEDZI VLÁDOU SLOVENSKEJ REPUBLIKY A VLÁDOU CYPERSKEJ REPUBLIKY O SPOLUPRÁCI V OBLASTI ZDRAVOTNÍCTVA A LEKÁRSKYCH VIED Vláda Slovenskej republiky a vláda Cyperskej republiky (ďalej len zmluvné strany),

Διαβάστε περισσότερα

Deset cvičení pro lepší použití aoristu

Deset cvičení pro lepší použití aoristu Deset cvičení pro lepší použití aoristu Co je to aorist? Aorist je minulý čas, který vyjadřuje děj, který nastal a už také skončil. V češtině velmi často odpovídá dokonavému vidu. έγραψα napsal jsem (oproti

Διαβάστε περισσότερα

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH LETECKÁ FAKULTA Zariadenia na odstránenie nestabilnej práce osových kompresorov LTKM Roman GÁŠPÁR ROČNÍKOVÝ PROJEKT 2009 TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH LETECKÁ FAKULTA

Διαβάστε περισσότερα

Masarykova univerzita. Bakal{rska diplomov{ pr{ca

Masarykova univerzita. Bakal{rska diplomov{ pr{ca Masarykova univerzita Filozofick{ fakulta Ústav klasických studií Bakal{rska diplomov{ pr{ca 2012 Martina Huskov{ Masarykova univerzita Filozofick{ fakulta Ústav klasických studií Novořecký jazyk a literatura

Διαβάστε περισσότερα

Križovatky II 2010. Recenzovaný zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie Škola alebo výchova?

Križovatky II 2010. Recenzovaný zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie Škola alebo výchova? Križovatky II 2010 Recenzovaný zborník príspevkov z medzinárodnej konferencie Škola alebo výchova? Spoluorganizátori: Diagnostické centrum Záhorská Bystrica, FICE Recenzenti: PaedDr. Rastislava Brťková,

Διαβάστε περισσότερα

Procedure 2(b) (obvious errors in a number of language versions)

Procedure 2(b) (obvious errors in a number of language versions) 090941/EU XXIV. GP Eingelangt am 13/09/12 COUNCIL OF THE EUROPEAN UNION Brussels, 13 September 2012 Interinstitutional File: 2008/0035 (COD) 13412/1/12 REV 1 JUR 468 MI 539 ENT 205 CONSOM 105 SAN 190 ECO

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΝΑΟΣ ΤΟΥ ΔΟΥΚΑ ΠΡΙΜΠΙΝΑ...

Ο ΝΑΟΣ ΤΟΥ ΔΟΥΚΑ ΠΡΙΜΠΙΝΑ... Obsah štúdie Ο ΝΑΟΣ ΤΟΥ ΔΟΥΚΑ ΠΡΙΜΠΙΝΑ... 83 Anton PAŽICKÝ SOCIÁLNO-PATOLOGICKÉ JAVY VO FUNKCIÁCH RODINY... 102 Veronika ŠTOFANÍKOVÁ LITERÁRNE VLASTNOSTI A OBSAHOVÉ ROZDELENIE KNIHY PROROKA MICHEÁŠA...

Διαβάστε περισσότερα

Supplied items SilverCrest STL 1.5 A1 multi-function speaker Mini-USB to USB cable

Supplied items SilverCrest STL 1.5 A1 multi-function speaker Mini-USB to USB cable Multi-function speaker STL 1.5 A1 Usage and safety instructions V 1.46 IAN 68596 Read this user manual carefully before using the device for the first time and observe all the instructions, even if you

Διαβάστε περισσότερα

Pasívny dom sa oplatí

Pasívny dom sa oplatí 6/2014 6/2014 technologicky vyspelé domy a budovy Pasívny dom sa oplatí www.idbjournal.sk ročník IV ISSN 1338-3337 Vážení čitatelia, ďakujeme za prejavenú dôveru a spoluprácu v uplynulom roku, prajeme

Διαβάστε περισσότερα

Strojírenské technologie I

Strojírenské technologie I Strojírenské technologie I Obor: STROJÍRENSTVÍ Ing. Daniel Kučerka, PhD., ING-PAED IGIP doc. Ing. Soňa Rusnáková, PhD., ING-PAED IGIP 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KATEDRA EKOLÓGIE A ENVIRONMENTALISTIKY Ekológia jedincov a populácii (Syllabus prednášok) Stanislav David 1 Nitra, 2010 Úvodom Syllabus prednášok

Διαβάστε περισσότερα

www.ivarcs.cz Návod pro instalaci a použití Návod pre inštaláciu a použitie IVAR.PRESS FITTING SYSTEM POTRUBÍ A PRESS FITINKY Z NEREZ A UHLÍKOVÉ OCELI

www.ivarcs.cz Návod pro instalaci a použití Návod pre inštaláciu a použitie IVAR.PRESS FITTING SYSTEM POTRUBÍ A PRESS FITINKY Z NEREZ A UHLÍKOVÉ OCELI IVAR.PRESS FITTING SYSTEM POTRUBÍ A PRESS FITINKY Z NEREZ A UHLÍKOVÉ OCELI POTRUBIE A PRESS FITINGY Z NEREZU A UHLÍKOVEJ OCELE Návod pro instalaci a použití Návod pre inštaláciu a použitie [ leden - január

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Katalógová stránka produktov a firiem www.ebudovy.sk Zaregistrujte sa aj vy!

Katalógová stránka produktov a firiem www.ebudovy.sk Zaregistrujte sa aj vy! 2/2013 2/2013 technologicky vyspelé domy a budovy Na návrhu a inštalácii solárnych systémov si treba dať záležať Vaillant www.idbjournal.sk ročník III ISSN 1338-3337 Mediálna podpora podujatia idb Journal

Διαβάστε περισσότερα

11 XV. ročník, cena 20 Kč / 1, listopad / november 2011. Czech Republic Slovak Republic

11 XV. ročník, cena 20 Kč / 1, listopad / november 2011. Czech Republic Slovak Republic 11 XV. ročník, cena 20 Kč / 1, listopad / november 2011 Czech Republic Slovak Republic Rex Maughan Rex Maughan predseda správnej rady a výkonný riaditeľ FLP Int., Inc. OBJAVTE SVOJU VÍZIU Helen Kellerovej

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

2 Komplexná ošetrovateľská starostlivosť o pacientov s ochoreniami kardiovaskulárneho systému Z. Novotná, Ľ. Majerníková

2 Komplexná ošetrovateľská starostlivosť o pacientov s ochoreniami kardiovaskulárneho systému Z. Novotná, Ľ. Majerníková 2 Komplexná ošetrovateľská starostlivosť o pacientov s ochoreniami kardiovaskulárneho systému Z. Novotná, Ľ. Majerníková Kardiovaskulárne ochorenia zaujímajú prvé miesto v príčinách mortality na celom

Διαβάστε περισσότερα

Gigaset 5005. Connections Υποδοχές σύνδεσης Připojeníi EN / EL / CZ

Gigaset 5005. Connections Υποδοχές σύνδεσης Připojeníi EN / EL / CZ EN / EL / CZ Gigaset 5005 1 8 7 2 3 6 5 4 1 Repertory keys 2 Recall key 3 Redial key 4 Handset volume control key 5 Pause key 6 Speed dial key 7 Set key 8 Mute key 1 Πλήκτρα κλήσης προορισμού 2 Πλήκτρο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora.

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora. A Utexev 9 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora 1 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Budem oboznaqatь qerez V line noe vektornoe prostranstvo

Διαβάστε περισσότερα

ANALÝZA CHRISTOLOGICKÉHO A SOTERIOLOGICKÉHO ASPEKTU TEOLÓGIE SVÄTÉHO KLIMENTA RÍMSKEHO...

ANALÝZA CHRISTOLOGICKÉHO A SOTERIOLOGICKÉHO ASPEKTU TEOLÓGIE SVÄTÉHO KLIMENTA RÍMSKEHO... Obsah štúdie ANALÝZA CHRISTOLOGICKÉHO A SOTERIOLOGICKÉHO ASPEKTU TEOLÓGIE SVÄTÉHO KLIMENTA RÍMSKEHO... 3 Vasyľ KUZMYK Η ΔΙΕΘΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΕΘΙΜΟΥ ΤΟΥ ΑΒΑΤΟΥ ΤΟΥ ΑΓΙΟΥ ΟΡΟΥΣ... 13 Alexios PANAGOPOULOS PATRISTICKÉ

Διαβάστε περισσότερα

P O O C O O C A A ӀӀ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ & ΧΡΗΣΗΣ NÁVOD K OBSLUZE BRUGSANVISNING. Automatická pračka Vaskemaskine

P O O C O O C A A ӀӀ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ & ΧΡΗΣΗΣ NÁVOD K OBSLUZE BRUGSANVISNING. Automatická pračka Vaskemaskine RU EL CS DA P O O C O O C A A ӀӀ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ & ΧΡΗΣΗΣ NÁVOD K OBSLUZE BRUGSANVISNING Automatická pračka Vaskemaskine RU. 3. :,. EL Σελίδα 3 Μεριμνώντας για τη συνεχή βελτίωση των προϊόντων μας,

Διαβάστε περισσότερα

P O O C O O C A A ӀӀ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ & ΧΡΗΣΗΣ NÁVOD K OBSLUZE BRUGSANVISNING. C pa a a a Πλυντήριο ρούχων Automatická pračka Vaskemaskine

P O O C O O C A A ӀӀ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ & ΧΡΗΣΗΣ NÁVOD K OBSLUZE BRUGSANVISNING. C pa a a a Πλυντήριο ρούχων Automatická pračka Vaskemaskine RU EL CS D P O O C O O C ӀӀ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ & ΧΡΗΣΗΣ NÁVOD K OBSLUZE BRUGSNVISNING C pa a a a Πλυντήριο ρούχων utomatická pračka Vaskemaskine RU. 3. :,. EL Σελίδα Μεριμνώντας για τη συνεχή βελτίωση

Διαβάστε περισσότερα

Žádost o práci na Kypru

Žádost o práci na Kypru Evropské služby zaměstnanosti Žádost o práci na Kypru Strategie Hledání práce na místě ( E303 ) - přes místní úřady práce - přes soukromé agentury - osobní schůzky ve velkých firmách, restauracích a hotelích

Διαβάστε περισσότερα

AIMS AND OBJECTIVES ZIELE DES PROJEKTES ZÁMERY A CIELE PROJEKTU ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ

AIMS AND OBJECTIVES ZIELE DES PROJEKTES ZÁMERY A CIELE PROJEKTU ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ International Closing Conference - Kosice - Slovakia - April 2013 1 AIMS AND OBJECTIVES The main objective of the SIGOLD project is to promote healthy and active ageing by helping 50+ workers stay involved

Διαβάστε περισσότερα

Instrucciones del instalador y el usuario Instrucţiuni pentru instalator şi pentru utilizator Οδηγίες Εγκαταστάτη και Χρήστη

Instrucciones del instalador y el usuario Instrucţiuni pentru instalator şi pentru utilizator Οδηγίες Εγκαταστάτη και Χρήστη Plynové závěsné kotle s vysokou účinností Calderas alimentadas con gas de aplicación mural y alto rendimiento Centrale murale pe gaz cu randament ridicat Υψηλής απόδοσης λέβητες αερίου επίτοιχης εγκατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

Euroset 5010. Connections Υποδοχές σύνδεσης Připojení EN / EL / CZ

Euroset 5010. Connections Υποδοχές σύνδεσης Připojení EN / EL / CZ EN / EL / CZ Euroset 5010 1 6 7 2 3 5 4 1 Repertory keys 2 Recall key 3 Last number redial key (and pause key) 4 Direct call key 5 Shift key 6 Set key 7 Mute key 1 Πλήκτρα κλήσης προορισμού 2 Πλήκτρο παράλληλης

Διαβάστε περισσότερα

Školiace a konzultačné stredisko pre odbor netesností, Piešťany. uvádza. ING. PETER ŽÚBOR, ŠKS PIEŠŤANY peter.zubor@nextra.sk

Školiace a konzultačné stredisko pre odbor netesností, Piešťany. uvádza. ING. PETER ŽÚBOR, ŠKS PIEŠŤANY peter.zubor@nextra.sk Školiace a konzultačné stredisko pre odbor netesností, Piešťany uvádza ING. PETER ŽÚBOR, ŠKS PIEŠŤANY peter.zubor@nextra.sk 1 Ing. Peter Žúbor ING. PETER ŽÚBOR, ŠKS PIEŠŤANY peter.zubor@nextra.sk 2 1.

Διαβάστε περισσότερα

www.philips.com/welcome

www.philips.com/welcome Register your product and get support at www.philips.com/welcome AC4064, AC4062, AC4054, AC4052 1 English 6 Čeština 14 Ελληνικα 22 Magyar 31 Română 39 AC4064, AC4062, AC4054, AC4052 6 English Introduction

Διαβάστε περισσότερα

Životní prostředí. Obsah. Děkujeme za výběr pračku značky Candy. Jsme si jisti, ž e vám pomůže vyprat oblečení, každý jemný kousek každý den.

Životní prostředí. Obsah. Děkujeme za výběr pračku značky Candy. Jsme si jisti, ž e vám pomůže vyprat oblečení, každý jemný kousek každý den. SL PL HR EL CS Děkujeme za výběr pračku značky Candy. Jsme si jisti, ž e vám pomůže vyprat oblečení, každý jemný kousek každý den. Váš výrobek můžete zaregistrovat na www.registercandy.com k získání rychlejšího

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες χρήσης ΣΤΕΓΝΩΤΗΡΙΟ. Περιεχόμενα IDC 75. να διαβάζεις αυτό το εγχειρίδιο οδηγιών.! Να διατηρείτε εύχερα το παρόν εγχειρίδιο ώστε να

Οδηγίες χρήσης ΣΤΕΓΝΩΤΗΡΙΟ. Περιεχόμενα IDC 75. να διαβάζεις αυτό το εγχειρίδιο οδηγιών.! Να διατηρείτε εύχερα το παρόν εγχειρίδιο ώστε να Οδηγίες χρήσης ΣΤΕΓΝΩΤΗΡΙΟ GR CZ Ελληνικά,1 Θesky,13 FA Περιεχόμενα Εγκατάσταση, 2 Που εγκαθίσταται το στεγνωτήριο Αερισμός Ηλεκτρική σύνδεση Προκαταρκτικές πληροφορίες GR AR Προειδοποιήσεις, 4 Γενική

Διαβάστε περισσότερα

CHOV OVIEC a KÔZ. Vydáva Zväz chovateľov oviec a kôz na Slovensku - družstvo pre priaznivcov chovu číslo 4 / 2012. www.zchok.sk

CHOV OVIEC a KÔZ. Vydáva Zväz chovateľov oviec a kôz na Slovensku - družstvo pre priaznivcov chovu číslo 4 / 2012. www.zchok.sk CHOV OVIEC a KÔZ Vydáva Zväz chovateľov oviec a kôz na Slovensku - družstvo pre priaznivcov chovu číslo 4 / 2012 Mnoho šťastia v čase Vianoc, v žiari svetiel stromčeka, aby zdravie, láska, pokoj zavítali

Διαβάστε περισσότερα

EGZAMIN CERTYFIKACYJNY Z JĘZYKA GRECKIEGO NA POZIOMIE B1

EGZAMIN CERTYFIKACYJNY Z JĘZYKA GRECKIEGO NA POZIOMIE B1 EGZAMIN CERTYFIKACYJNY Z JĘZYKA GRECKIEGO NA POZIOMIE B1 I. TEST PIERWSZY. ROZUMIENIE ZE SŁUCHU. (20 PKT. PYTANIA 1-10) Usłyszysz teraz dwukrotnie tekst - wywiad. Poniżej znajdziesz 10 pytań dotyczących

Διαβάστε περισσότερα

AQUA TURBO 047201-05/05

AQUA TURBO 047201-05/05 AQUA TURBO INSTRUCTIONS FOR USE GEBRAUCHSANWEISUNG GEBRUIKSAANWIJZING ISTRUZIONI PER L USO MODO DE EMPLEO MANUAL DE INSTRUÇÕES BRUKSANVISNING BRUGSANVISNING KÄYTTÖOHJE KULLANMA TALIMATI 047201-05/05 3

Διαβάστε περισσότερα

EN3853MOX CS CHLADNIČKA S MRAZNIČKOU NÁVOD K POUŽITÍ 2 EL ΨΥΓΕΙΟΚΑΤΑΨΎΚΤΗΣ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 20 HU HŰTŐ - FAGYASZTÓ HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 39

EN3853MOX CS CHLADNIČKA S MRAZNIČKOU NÁVOD K POUŽITÍ 2 EL ΨΥΓΕΙΟΚΑΤΑΨΎΚΤΗΣ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 20 HU HŰTŐ - FAGYASZTÓ HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 39 EN3853MOX CS CHLADNIČKA S MRAZNIČKOU NÁVOD K POUŽITÍ 2 EL ΨΥΓΕΙΟΚΑΤΑΨΎΚΤΗΣ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 20 HU HŰTŐ - FAGYASZTÓ HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 39 2 www.electrolux.com OBSAH 1. BEZPEČNOSTNÍ INFORMACE... 3 2. BEZPEČNOSTNÍ

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

FAVORIT 52860 Návod k použití Myčka nádobí Οδηγίες Χρήσης Πλυντήριο πιάτων

FAVORIT 52860 Návod k použití Myčka nádobí Οδηγίες Χρήσης Πλυντήριο πιάτων FAVORIT 52860 Návod k použití Οδηγίες Χρήσης Myčka nádobí Πλυντήριο πιάτων 2 Obsah Děkujeme, že jste si vybrali jeden z našich vysoce kvalitních výrobků. Přečtěte si prosím pozorně tento návod k použití,

Διαβάστε περισσότερα

Quickie Life. Návod k obsluze Návod na používanie Instrukcja użytkowania Οδηγίες χρήσης

Quickie Life. Návod k obsluze Návod na používanie Instrukcja użytkowania Οδηγίες χρήσης Quickie Life Návod k obsluze Návod na používanie Instrukcja użytkowania Οδηγίες χρήσης Informace pro zrakově postižené naleznete na naší internetové stránce. 2 Předmluva Vážený zákazníku, velmi nás těší,

Διαβάστε περισσότερα

Android Box Q4 4K. www.evolveo.eu

Android Box Q4 4K. www.evolveo.eu . Android Box Q4 4K www.evolveo.eu Vážený zákazníku, děkujeme, že jste si vybral EVOLVEO AndroidBox Q4 4K české společnosti EVOLVEO. Věříme, že Vám přinese spoustu zábavy a spokojenosti. Připojte Váš nový

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

You're reading an excerpt. Click here to read official SIEMENS GIGASET 5010 user guide http://yourpdfguides.com/dref/4570109

You're reading an excerpt. Click here to read official SIEMENS GIGASET 5010 user guide http://yourpdfguides.com/dref/4570109 You can read the recommendations in the user guide, the technical guide or the installation guide for SIEMENS GIGASET 5010. You'll find the answers to all your questions on the SIEMENS GIGASET 5010 in

Διαβάστε περισσότερα

divoké hory prekrásne pláže

divoké hory prekrásne pláže GEOGRAFIA A PODNEBIE divoké hory prekrásne pláže Najčistejšie, krištáľové a blankytné more vystupujúce k horám pokrytým snehom. Z knihy The Cretan Journal anglického cestovateľa a maliara Edwarda Leara,

Διαβάστε περισσότερα

EGZAMIN CERTYFIKACYJNY Z JĘZYKA GRECKIEGO NA POZIOMIE B2 - skrót

EGZAMIN CERTYFIKACYJNY Z JĘZYKA GRECKIEGO NA POZIOMIE B2 - skrót EGZAMIN CERTYFIKACYJNY Z JĘZYKA GRECKIEGO NA POZIOMIE B2 - skrót I. TEST PIERWSZY. ROZUMIENIE ZE SŁUCHU. (20 PKT. PYTANIA 1-10) Usłyszysz za chwilę krótki tekst informację na pewien temat. Zapoznaj się

Διαβάστε περισσότερα

Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2008 (8)

Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2008 (8) Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2008 (8) Obsah Sborník vznikl a byl vydán díky finanční podpoře Akademie věd

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο Ψηφιακών Ηλεκτρονικών

Φροντιστήριο Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Φροντιστήριο Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Άσκηση 1 Μία TTL πύλη εγγυάται να τραβάει 10 ma χωρίς να ξεπεράσει το δυναμικό εξόδου VOL(max) = 0.4 Volt και να μπορεί να δώσει 5 ma χωρίς να πέσει το δυναμικό εξόδου

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: ΥΠΟΕΡΓΟ: ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΒΟΛΟΥ» «ΔΙΚΤΥΟ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΑΓ. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Δ. ΒΟΛΟΥ» 3.866.000,00 πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Slovensko NAMEN UPORABE LASERSKA VARNOST OCHRANA ŽIVOTNÉHO PROSTREDIA SIMBOLI

Slovensko NAMEN UPORABE LASERSKA VARNOST OCHRANA ŽIVOTNÉHO PROSTREDIA SIMBOLI Ochranný otočný kryt neupínajte. Nepoužívajte poškodené alebo deformované pílové ostrie. Opotrebovanú vložku taniera vymeňte. Nepoužívajte pílové ostria, ktoré nezodpovedajú kľúčovým údajom uvedeným v

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ZVLÁŠTNÍ POZNÁMKY PRO UŽIVATELE VE VB

ZVLÁŠTNÍ POZNÁMKY PRO UŽIVATELE VE VB Obsah Vlastnosti... 4 Vážený zákazníku fi rmy SHARP... 4 Úvod... 4 Příprava... 4 Důležitá bezpečnostní upozornění... 5 Bezpečnostní opatření... 6 Zdroj energie... 6 Síťový kabel... 6 Vlhkost a voda...

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

5. Να βρείτε τον ατομικό αριθμό του 2ου μέλους της ομάδας των αλογόνων και να γράψετε την ηλεκτρονιακή δομή του.

5. Να βρείτε τον ατομικό αριθμό του 2ου μέλους της ομάδας των αλογόνων και να γράψετε την ηλεκτρονιακή δομή του. Ερωτήσεις στο 2o κεφάλαιο από τράπεζα θεμάτων 1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων που μπορεί να πάρει κάθε μία από τις στιβάδες: K, L, M, N. β) Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων που

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. y y 4 y

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙ- Ελεγχος Υποθέσεων ΙΙ (εκδ. 1.1)

Στατιστική ΙΙ- Ελεγχος Υποθέσεων ΙΙ (εκδ. 1.1) Στατιστική ΙΙ- Ελεγχος Υποθέσεων ΙΙ (εκδ. 1.1) Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 17 Ιουλίου 2013 Περιγραφή 1 2 Δίπλευρος και μονόπλευρος Ε.Υ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

INVERTER ΤΡΙΠΛΗΣ ΧΡΗΣΗΣ

INVERTER ΤΡΙΠΛΗΣ ΧΡΗΣΗΣ INVERTER ΤΡΙΠΛΗΣ ΧΡΗΣΗΣ LCD ΟΘΟΝΗ 1)ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Όταν το βοηθητικό πρόγραμμα είναι ενεργοποιημένο, ο μετατροπέας θα φορτίσει την μπαταρία σε αυτή την κατάσταση 2)ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ Σε λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2012 (12)

Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2012 (12) Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2012 (12) Obsah Sborník vznikl a byl vydán díky finanční podpoře Akademie věd

Διαβάστε περισσότερα

PDF Compressor Pro 4

PDF Compressor Pro 4 PDF Compressor Pro 4 PDF Compressor Pro 90x60 80x50 Συνολική ισχύς 17kw Απόδοση 79% Εκπομπή CO 0.2721% Θερμοκρασία αερίων 259,1 ο C Καύσιμο Ξύλο Ωριαία κατανάλωση 4-5 kg Μοτέρ δύο εισόδων 800 m 3 Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

MP+ 1.90-1.110 PLYNOVÝ ZÁVĚSNÝ KONDENZAČNÍ KOTEL. Návod na použití určený pro uživatele a instalatéra PLYNOVÝ ZÁVESNÝ KONDENZAČNÝ KOTOL

MP+ 1.90-1.110 PLYNOVÝ ZÁVĚSNÝ KONDENZAČNÍ KOTEL. Návod na použití určený pro uživatele a instalatéra PLYNOVÝ ZÁVESNÝ KONDENZAČNÝ KOTOL A MP+ 1.90-1.110 cs PLYNOVÝ ZÁVĚSNÝ KONDENZAČNÍ KOTEL Návod na použití určený pro uživatele a instalatéra sk PLYNOVÝ ZÁVESNÝ KONDENZAČNÝ KOTOL Návod na použitie určený pre používateľa a inštalatéra ro

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

VAROVÁNÍ. Bezpečnostní informace. Používání vaší TV v extrémních podmínkách může způsobit poškození vašeho přístroje.

VAROVÁNÍ. Bezpečnostní informace. Používání vaší TV v extrémních podmínkách může způsobit poškození vašeho přístroje. Obsah Obsah... 1 Bezpečnostní informace... 2 Začínáme... 3 Upozornění, funkce a příslušenství... 3 Environmentální informace... 3 Pohotovostní režim... 3 Vlastnosti... 3 Příslušenství... 3 Ovládací tlačítka

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΣΤΙΚΑ ΠΙΑΤΑ ΓΙΑ ΜΠΟΥΦΕ**

ΠΛΑΣΤΙΚΑ ΠΙΑΤΑ ΓΙΑ ΜΠΟΥΦΕ** ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΠΙΑΤΑ ΠΟΛΥΤΕΛΕΙΑΣ** ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΠΙΑΤΑ ΠΟΛΥΤΕΛΕΙΑΣ** ΠΛΑΣΤΙΚΑ ΠΙΑΤΑ ΛΕΥΚΑ ΠΛΑΣΤΙΚΑ ΠΙΑΤΑ ΛΕΥΚΑ 1-CP-204 Milan Πιάτο S Λευκό 14x14 384 1-CP-205 Milan Πιάτο Μ Λευκό 17x17 384 1-CP-206 Milan Πιάτο

Διαβάστε περισσότερα

bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-τσεχικά

bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-τσεχικά Τρώγοντας έξω : Στην είσοδο Θα ήθελα να κρατήσω ένα τραπέζι για _[αριθμός ατόμων]_ στις _[ώρα]_. (Tha íthela na kratíso éna trapézi ya _[arithmós atómon]_ στις _[óra]_.) Chtěl(a) bych si rezervovat stůl

Διαβάστε περισσότερα

b c d g The brands Ariston, Hotpoint Ariston and Hotpoint differ by sales territory.

b c d g The brands Ariston, Hotpoint Ariston and Hotpoint differ by sales territory. 1 a b c 2 d g g e f 3 B 4 C A D 5 6 7 8 A 9 A 10 11 12 13 14 15 The brands Ariston, Hotpoint Ariston and Hotpoint differ by sales territory. 16 B URČENÉ POUŽITÍ Tato pračka je určena výhradně k praní a

Διαβάστε περισσότερα

Εφόσον στα άκρα ενός στοιχείου σύνδεσης εφαρμόζεται η τάση U και εφόσον το στοιχείο

Εφόσον στα άκρα ενός στοιχείου σύνδεσης εφαρμόζεται η τάση U και εφόσον το στοιχείο Άσκηση Η4 Μέτρηση αντιστάσεων Εφόσον στα άκρα ενός στοιχείου σύνδεσης εφαρμόζεται η τάση U και εφόσον το στοιχείο σύνδεσης διαρρέεται από ρεύμα έντασης I, τότε το πηλίκο U I είναι η αντίσταση του U στοιχείου.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΜΠΕΣ LED ΛΑΜΠΕΣ CFLi (ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ 80%) ΛΑΜΠΕΣ ΑΛΟΓΟΝΟΥ ECO 30 ΛΑΜΠΕΣ V I N T A G E ΛΑΜΠΕΣ ΠΙΣΙΝΑΣ - G4 /G9 - NYKTOΣ - ΚΙΤ LED ΤΑΙΝΙΕΣ LED A 05

ΛΑΜΠΕΣ LED ΛΑΜΠΕΣ CFLi (ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ 80%) ΛΑΜΠΕΣ ΑΛΟΓΟΝΟΥ ECO 30 ΛΑΜΠΕΣ V I N T A G E ΛΑΜΠΕΣ ΠΙΣΙΝΑΣ - G4 /G9 - NYKTOΣ - ΚΙΤ LED ΤΑΙΝΙΕΣ LED A 05 ΣΕΛ. A5-A16 ΛΑΜΠΕΣ ΛΑΜΠΕΣ LED ΛΑΜΠΕΣ CFLi (ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ 80%) ΛΑΜΠΕΣ ΑΛΟΓΟΝΟΥ ECO 30 ΛΑΜΠΕΣ V I N T A G E ΛΑΜΠΕΣ ΠΙΣΙΝΑΣ - G4 /G9 - NYKTOΣ - ΚΙΤ LED ΤΑΙΝΙΕΣ LED A 05 Συσκευασίες λαμπτήρων LED / CFLi/ Eco

Διαβάστε περισσότερα

Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2010 (10)

Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2010 (10) Přednášky České společnosti novořeckých studií Διαλέξεις της Τσεχιϰής Εταιρείας Νεοελληνιϰών Σπουδών NEOGRAECA BOHEMICA Brno 2010 (10) Obsah Sborník vznikl a byl vydán díky finanční podpoře Akademie věd

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL

ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL 1. Στο Tools menu, click Solver. 2. Εάν η επιλογή Solver δεν είναι διαθέσιµη στο Tools menu, πρέπει να το

Διαβάστε περισσότερα

FAVORIT 55200 CS MYČKA NÁDOBÍ NÁVOD K POUŽITÍ 2 EN DISHWASHER USER MANUAL 23 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 44

FAVORIT 55200 CS MYČKA NÁDOBÍ NÁVOD K POUŽITÍ 2 EN DISHWASHER USER MANUAL 23 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 44 FAVORIT 55200 CS MYČKA NÁDOBÍ NÁVOD K POUŽITÍ 2 EN DISHWASHER USER MANUAL 23 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 44 2 PRO DOKONALÉ VÝSLEDKY Děkujeme vám, že jste si zvolili výrobek značky AEG. Aby vám bezchybně

Διαβάστε περισσότερα

2/18. 2. (α) Να γράψετε τις αντίστοιχες εκφράσεις στη γλώσσα PASCAL για τις πιο κάτω µαθηµατικές εκφράσεις: (ι) z=

2/18. 2. (α) Να γράψετε τις αντίστοιχες εκφράσεις στη γλώσσα PASCAL για τις πιο κάτω µαθηµατικές εκφράσεις: (ι) z= ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ Ι ΡΥΜΑΤΑ Μάθηµα: Πληροφορική Ο ΗΓΙΕΣ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Το εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από 2 µέρη Α και Β. ΜΕΡΟΣ Α Αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. Bezpečnostní opatření. Příprava. Zamýšlené použití. Zdroj energie. Umístění TV. Před instalací a používáním si pečlivě pročtěte tento návod.

Obsah. Bezpečnostní opatření. Příprava. Zamýšlené použití. Zdroj energie. Umístění TV. Před instalací a používáním si pečlivě pročtěte tento návod. Obsah Bezpečnostní opatření... 1 Informace o životním prostředí... 2 Funkce TV... 3 Sledování TV... 3 Kontrolní tlačítka a obsluha... 3 Zahrnuté příslušenství... 3 Zobrazení dálkového ovladače... 4 Použití

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

COMPUTER AIDED DESIGN AND MANUFACTURE (CAD/CAM) 1.1 CAD

COMPUTER AIDED DESIGN AND MANUFACTURE (CAD/CAM) 1.1 CAD 1 COMPUTER AIDED DESIGN AND MANUFACTURE (CAD/CAM) 1.1 CAD,,, -.,,,,,. -, (Computer Aided Design-CAD),, : -. -,. 20 / CAD/CAM KAI, (Computer Numerical Control-CNC), Computer Aided and Manufacture-CAM).

Διαβάστε περισσότερα

2 μ Gauss 1. Equation Chapter 1 Section 1 GAUSS GAUSS

2 μ Gauss 1. Equation Chapter 1 Section 1 GAUSS GAUSS 2 μ Gauss 1 Equation Chapter 1 Section 1 2 GAUSS GAUSS 2 2 μ Gauss μ μ μ μ μ μ μ. μ μ μ μ. μ μ μ μ Coulomb μ. μ 1: μ μ μ μ μ, μ. μ μ. μ μ. μ μ μ μ μμ. μμ μ μ μ. μ μ μμ μ. μ μ μ. μ μ μ μ μ. μ μ μ μ μ μ

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C.

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. 4.1 Βασικές έννοιες Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. Σχετική ατομική μάζα ή ατομικό βάρος λέγεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές είναι μεγαλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Návod k montáži, provozu a údržbě Automatická sekční vrata Οδηγίες συναρμολόγησης, λειτουργίας και συντήρησης Αυτόματη σπαστή γκαραζόπορτα

Návod k montáži, provozu a údržbě Automatická sekční vrata Οδηγίες συναρμολόγησης, λειτουργίας και συντήρησης Αυτόματη σπαστή γκαραζόπορτα TR10K004-G RE / 07.2013 CS EL Návod k montáži, provozu a údržbě Automatická sekční vrata Οδηγίες συναρμολόγησης, λειτουργίας και συντήρησης Αυτόματη σπαστή γκαραζόπορτα ČESKY... 4 EΛΛΗΝΙΚΑ.... 9... 14

Διαβάστε περισσότερα

GENEVA Sound System. Model M - L - XL GENEVA. www.apopsissound.gr 1

GENEVA Sound System. Model M - L - XL GENEVA. www.apopsissound.gr 1 GENEVA Sound System Model M - L - XL GENEVA www.apopsissound.gr 1 . : μ, μ, μ μ. μ μ. μ 1). 2). 3). 4). 5) μ. 6) μ μ μ. 7) μ. μ μ. 8) μ μ μ, μ, μ, ( μ μ μ ) μ. 9) μ μ μ μ. 10) μ μ. 11) μ μ μ μ. 12) μ,

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

Adelle PE. A versatile and elegant Slab Serif by TypeTogether. about the typeface

Adelle PE. A versatile and elegant Slab Serif by TypeTogether. about the typeface Adelle PE A versatile and elegant Slab Serif by TypeTogether about the typeface While Adelle is a slab serif typeface conceived specifically for intensive editorial use, mainly in newspapers and magazines,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Q k = ec5 ΚΟΛ. e-c.o 0 apex

Q k = ec5 ΚΟΛ. e-c.o 0 apex ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με Γ = Δ = 60, ΑΔ=12 και ΓΔ=20. Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. (Μονάδες 12) β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

www.eluxshop.hu S83430CTX2

www.eluxshop.hu S83430CTX2 CS Návod k použití 2 Chladnička s mrazničkou EL Οδηγίες Χρήσης 15 Ψυγειοκαταψύκτης HU Használati útmutató 30 Hűtő - fagyasztó PT Manual de instruções 44 Combinado S83430CTX2 2 www.aeg.com OBSAH 1. BEZPEČNOSTNÍ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Γράψτε την τετράδα των κβαντικών αριθμών που χαρακτηρίζει τα ακόλουθα ηλεκτρόνια: (α) Το εξώτατο ηλεκτρόνιο του ατόμου Rb. (β) Το ηλεκτρόνιο που κερδίζει το ιόν S

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα