Ατομική και Μοριακή Φυσική

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ατομική και Μοριακή Φυσική"

Transcript

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Το άτομο του Υδρογόνου Λιαροκάπης Ευθύμιος

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Cmmns. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ. Η εξίσωση του Schrödinger για το άτομο του υδρογόνου Στο άτομο του υδρογόνου έχουμε ένα ηλεκτρόνιο που κινείται γύρω από ένα πρωτόνιο. Αφού m p >>m e μπορούμε να υποθέσουμε ότι το πρωτόνιο είναι ακίνητο και να ασχοληθούμε μόνο με το ηλεκτρόνιο. Η διόρθωση που απαιτείται όμως για την κίνηση του πυρήνα μπορεί εύκολα να γίνει με τη χρήση μιας ισοδύναμης μάζας για το κινούμενο σωματίδιο, της ανηγμένης μάζας. Στην προκειμένη περίπτωση, η εξίσωση του Schrödinger αφορά την κίνηση ενός ηλεκτρονίου γύρω από ένα κέντρο έλξης με δυναμικό αυτό του ηλεκτροστατικού πεδίου Culmb. Η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι Vr k e () (k στο CGS και k στο SI) (.) r 4πε όπου -e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου και r η απόστασή του από τον πυρήνα. Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrödinger είναι: ψ+ Vψ E ψ (.) μ mm e p όπου μ είναι η ανηγμένη μάζα ηλεκτρονίου-πρωτονίου. Ας σημειωθεί ότι me + mp m p 836 m e και επομένως με καλή προσέγγιση είναι μ m e. Οι (.) και (.) δίνουν μ ψ + E + ke ψ (.3) r οι λύσεις της οποίας είναι οι κυματοσυναρτήσεις του ατόμου του υδρογόνου... Η εξίσωση του Schrödinger σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες Δεδομένου ότι υπάρχει σφαιρική συμμετρία στο δυναμικό (εξαρτάται μόνο από την απόσταση από το κέντρο και όχι από την κατεύθυνση, επειδή η δύναμη Culmb είναι κεντρική), η μαθηματική ανάλυση απλοποιείται πολύ αν χρησιμοποιηθούν σφαιρικές πολικές συντεταγμένες (r,θ,φ), οι οποίες συνδέονται με τις καρτεσιανές μεσω των σχέσεων: x r sinθ csφ y r sinθ sinφ z r csθ (.4) όπως φαίνεται στο Σχ... Σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες, ο λαπλασιανός τελεστής γράφεται ως: r + θ sin + r r r r sin θ θ θ r sin θ φ (.5) -

4 Σχ.. Οι σφαιρικές πολικές συντεταγμένες. Ετσι, η εξίσωση του Schrödinger γίνεται: ψ r θ ψ ψ μ E ke + sin ψ (.6) r r r r sin θ θ θ r sin θ φ r Θα ψάξουμε να βρούμε λύσεις με χωριζόμενες μεταβλητές, δηλαδή της μορφής ψ(r,θ,φ) R(r) Υ(θ,φ), όπου R(r) είναι μια συνάρτηση του r μόνο και Υ(θ,φ) μια συνάρτηση των θ και φ μόνο. Τότε, με αντικατάσταση στην (.6), προκύπτει η R μr r E ke Y Y θ + + R r r r + sin + Y sin θ θ θ sin θ φ (.7) η οποία, με χωρισμό των μεταβλητών δίνει τις εξισώσεις R μr r E ke + + λ R r r r (.8) και Y Y sin θ + λ (.9) Y sin θ θ θ sin θ φ αφού η εξίσωση (.7) αποτελείται από δύο όρους που περιέχουν διαφορετικές μεταβλητές. Το λ είναι μια σταθερά ανεξάρτητη των μεταβλητών r,θ,φ. Από τις δύο αυτές εξισώσεις προκύπτουν τελικά, η ακτινική εξίσωση : d r dr μ E ke λ + + R (.) r dr dr r r και η γωνιακή εξίσωση: sin θ Y Y + + λy (.) sin θ θ θ sin θ φ Εστω τώρα ότι και η Υ(θ,φ) μπορεί να χωριστεί σε δύο συναρτήσεις, Y(θ,φ) Θ(θ) Φ(φ) (.) όπου η Θ(θ) είναι μια συνάρτηση του θ μόνο και η Φ(φ) μια συνάρτηση του φ μόνο. Τότε η (.) δίνει sin θ d dθ d Φ sin θ + + λsin θ Θ dθ d θ Φ d φ (.3) που αποτελείται από δύο μέρη, το καθένα από τα οποία εξαρτάται μόνο από μια μεταβλητή. Ετσι, χωρίζεται σε δύο εξισώσεις, -

5 sin θ d dθ d Φ sin θ + λsin θ ν Θ dθ d θ (.4) Φ dφ όπου ν είναι μια σταθερά. Επομένως, d dθ ν sin θ + λ Θ (.5) sin θdθ d θ sin θ και d Φ + ν (.6) Φ dφ.. Η Λύση της γωνιακής εξίσωσης Η λύση της (.6), κατά τα γνωστά, είναι της μορφής Φ(φ) A exp ( ± i νϕ ) (.7) Επειδή η συνάρτηση Φ πρέπει να είναι περιοδική με περίοδο π, θα πρέπει να έχει την ίδια τιμή για γωνία φ και για φ+kπ, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος. Επεται ότι και Φ(φ) Φ(φ+kπ) (.8) exp( ± i νϕ) exp[ ± i ν( ϕ + kπ) ] ή exp [ ikπ ν ] (.9) ±. Αρα ν m (ακέραιος αριθμός). (.) Επειδή νm, η (.7) γίνεται: Φ m ( ϕ) e π imϕ (m,±,±,...). (.) Ο παράγων Α επιλέχθηκε ίσος με / π, έτσι ώστε οι κυματοσυναρτήσεις Φ(φ) να είναι κανονικοποιημένες για το διάστημα τιμών φ < π της μεταβλητής φ. Αντικαθιστώντας την τιμή ν m στην Εξ.(.5), προκύπτει η διαφορική εξίσωση d dθ m sin θ + λ Θ (.) sin θ dθ d θ sin θ Η εξίσωση αυτή έχει λύσεις μόνον όταν η σταθερά λ είναι της μορφής λ l(l+) για ακέραιο l και -l m l (.3) οι δε συναρτήσεις Θ(θ) είναι πολυώνυμα του sinθ ή του csθ, γνωστά ως (συναρτημένα) πολυώνυμα του Legendre. Οι λύσεις Θ(θ)Φ(φ) της γωνιακής εξίσωσης χαρακτηρίζονται από τους ακέραιους l και m. Συμβολίζονται με Y m l (θ,φ) και είναι γνωστές ως σφαιρικές αρμονικές. Με τους περιορισμούς (.3), οι λύσεις για l και είναι: l m Y (.4) 4 π l m+ Y 3 + e i ϕ sin θ (.5) π 3 m Y cs θ (.6) π -3

6 3 m- sin i Y θe ϕ (.7) π Οι συντελεστές των Y m l (θ,φ) είναι τέτοιοι ώστε οι συναρτήσεις να είναι κανονικοποιημένες για τις μεταβλητές θ και φ, οι οποίες παίρνουν τιμές στα διαστήματα θ π και φ < π. Ετσι, η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στη στερεά γωνία dω sinθ dθ dφ που βρίσκεται μεταξύ θ και θ+dθ και μεταξύ φ και φ+dφ (βλ. Σχ..), είναι: και m m dp( θϕ, ) Y ( θϕ, ) dω sin θy ( θϕ, ) dθdϕ (.8) l l π π m m Yl (, θϕ) dω sin θdθ Yl (, θϕ) dϕ (.9) σϕαιρα ή, ισοδύναμα, π m π sin θ Yl ( θϕ, ) dθ γιατί η Y m l (, θϕ) είναι συνάρτηση του θ μόνον. (.3)..3 Η λύση της ακτινικής εξίσωσης Η αντικατάσταση της τιμής της σταθεράς λ (+) στην (.) δίνει: d r dr μ E ke ( + ) + + R r dr dr r r Ορίζοντας τα μεγέθη 8 E a μ μke ke μ ρar, C a E και για δέσμιες καταστάσεις, για τις οποίες E E, η (.3) γράφεται πιο απλά ως: d ρ ρ ρ dr C l( l+ ) + R d dρ ρ 4 ρ Η εξίσωση αυτή έχει φυσικά αποδεκτές λύσεις μόνον όταν η σταθερά C είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός, έστω (.3) (.3) (.33) C n (n,,3,...) και < n. (.34) Αυτές οι συνθήκες, σε συνδυασμό με την (.3), δίνουν n,,3,... n- - m (.35) οι οποίες καθορίζουν πλήρως τις επιτρεπόμενες τιμές των κβαντικών αριθμών n, και m. Τότε, οι λύσεις της (.33) είναι της μορφής R ρ + + n ( ) ( ρ) Be β ρ + βρ + β ρ β ρ nl n l (.36) -4

7 που είναι βαθμού n- στο ρ (εκτός από τον εκθετικό όρο). Ο όρος στην παρένθεση εκφράζεται από τα πολυώνυμα Laguerre, οι δε συντελεστές β εξαρτώνται από τους ακεραίους n και. Μερικές λύσεις R nl (r) είναι: R R R r () r exp / (.37) a a 3 r r () r / exp a a ( a ) 3 r r () r / exp 3 a a ( a ) 3 (.38) (.39) όπου η ποσότητα a ονομάζεται ακτίνα του Bhr. kμe Ας σημειωθεί ότι ο αριθμός n' n - - εκφράζει τον αριθμό των κόμβων της συνάρτησης R (r). Οι συντελεστές των R n( r) είναι τέτοιοι ώστε οι λύσεις R n( r)y m (, θϕ) να είναι κανονικοποιημένες για θ π, φ < π και r <. Επειδή δε οι συναρτήσεις Y m (, θϕ ) είναι κανονικοποιημέμες ως προς θ και φ, προκύπτει ότι η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο μεταξύ r και r+dr είναι ίση με r Rn( r) dr...4 Ενέργειες, εκφυλισμός Η κβάντωση της σταθεράς C, (.34) οδηγεί σε κβάντωση της ενέργειας στο άτομο του υδρογόνου. Για ακέραιο n (C), η τελευταία από τις σχέσεις (.3) δίνει ke E n μ 4 ke και E n μ 4 (.46) n n που είναι η ίδια σχέση για τις ενεργειακές στάθμες με αυτήν που προκύπτει από την κβάντωση του Bhr. Παρατηρούμε ότι οι επιτρεπόμενες στάθμες ενέργειας είναι διάκριτες, εξαρτώνται μόνο από τον κβαντικό αριθμό n και είναι άπειρες το πλήθος. Η διαφορά En En+ μεταξύ διαδοχικών ενεργειακών σταθμών μειώνεται με το n. Τέλος, παρατηρούμε ότι σε κάθε τιμή του n αντιστοιχούν πολλές τιμές του. Δεδομένου ότι n-, έπεται ότι το μπορεί να πάρει n τιμές. Για κάθε τιμή του υπάρχουν + τιμές του m (αφού - m ). Επομένως, ο συνολικός αριθμός ενεργειακών σταθμών που αντιστοιχούν σε κάποιο n (δηλαδή έχουν την ίδια τιμή της ενέργειας ή, όπως λέγεται, είναι εκφυλισμένς στάθμες) είναι, n n n nn ( ) ( + ) + + n n (.47) l l l Αν λάβουμε υπόψη επίσης και τις δύο καταστάσεις του σπιν ή ιδίας στροφορμής του ηλεκτρονίου (οι οποίες είναι οι ± /), θα έχουμε τελικά n καταστάσεις με την ίδια ενέργεια. Οι καταστάσεις αυτές μπορούν να διαχωριστούν, δηλαδή να έχουν διαφορετικές ενέργειες, μέσα σε ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο. Οι -5

8 αριθμοί n, n',, m λέγονται αντίστοιχα ολικός, ακτινικός, τροχιακός και μαγνητικός κβαντικός αριθμός...5 Στροφορμή Η στροφορμή ενός ηλεκτρονίου που περιφέρεται γύρω από έναν πυρήνα, διατηρείται. Αναλύοντας την ταχύτητα της κεντρικής κίνησης σε μια ακτινική συνιστώσα και μια εφαπτομενική, προκύπτει κατά τα γνωστά από τη Μηχανική ότι v ( v dr r ) r + ( v θθ ) dt r + ( ω r) θ (.48) Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι επομένως mv m dr m r m dr L + ω + (.49) dt dt mr όπου L mωr είναι η στροφορμή του ηλεκτρονίου. Η ολική του ενέργεια είναι: E m dr L Vr m dr L ke + + ( ) + (.5) dt mr dt mr r Βλέπουμε ότι, εκείνος ο όρος στην ολική ενέργεια ο οποίος εξαρτάται από την εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας, είναι αντιστρόφως ανάλογος του τετραγώνου της απόστασης και εξαρτάται από τη στροφορμή L. Από την Εξ.(.3) βλέπουμε ότι ο όρος που αντιστοιχεί στον κλασικό όρο L είναι ο ( + ) και επομένως (λαμβάνοντας υπόψη και τη διόρθωση m mr μr μ) προκύπτει ότι: L ( + ) (.5) Επομένως, η στροφορμή, που στο κλασικό μοντέλο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στην τροχιά του σωματιδίου, έχει μέτρο L ( + ) (.5) δηλαδή χαρακτηρίζεται από τον κβαντικό αριθμό που ονομάζεται τροχιακός και ο οποίος παίρνει ακέραιες μη-αρνητικές τιμές (,,,...n-). Επομένως αν μετρήσουμε την τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου, αυτή μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές ( + ). Π.χ. δεν θα υπάρχει στροφορμή με τιμή 7, γιατί δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός, που το (+) να δίνει την τιμή 7. Βλέπουμε λοιπόν ότι υπάρχει μια κβάντωση της στροφορμής, όπως και στη θεωρία του Bhr, με την διαφορά ότι η στροφορμή εκεί είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του. Για μεγάλες τιμές του παρατηρούμε ότι ( + ). Δεδομένης της εξαιρετικά μικρής τιμής του, η κβάντωση της στροφορμής δεν γίνεται αντιληπτή στα μακροσκοπικά σώματα. Η προβολή του διανύσματος της στροφορμής σε άξονα, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της σταθεράς, δηλαδή L m, όπου - m. Επειδή οι στάθμες με την ίδια τιμή του m διαχωρίζονται υπό την επίδραση εξωτερικού μαγνητικού πεδίου (φαινόμενο Zeeman), που καθορίζει και τον άξονα προβολής της στροφορμής, το m λέγεται μαγνητικός κβαντικός αριθμός. -6

9 ..6 Τελεστές στροφορμής Οι εξισώσεις ιδιοτιμών για τα δύο μεγέθη L και L z είναι: L ψl L ψl (.53) LzψLz LzψLz (.54) όπου ψ L και ψ Lz είναι ιδιοσυναρτήσεις των L και L z αντίστοιχα. Οι τελεστές L z και L θα βρεθούν σύμφωνα, με όσα αναφέρθηκαν στο Κεφ.4, από τους κλασικούς ορισμούς των δύο μεγεθών. Συγκεκριμένα, από τον ορισμό της στροφορμής, L r p (.55) προκύπτουν οι συνιστώσες της στροφορμής και οι αντίστοιχοι τελεστές: L x y p z - z p y Lx ypz zpy (.56) L y z p x - x p z Ly zpx xpz (.57) L z x p y - y p x Lz xpy ypx (.58) Επειδή: x x y y z z και p x i py i p i x y z έπεται ότι z Lx i y z (.59) z y L y i z x (.6) x z Lz i x y (.6) y x Αποδεικνύεται εύκολα ότι [ L L ] il x, y z, [ L L ] il y, z xκαι [ L L ] il z, x y. Επίσης ότι L, L z, [ L, L x ] και [ L, L y ]. Οι παραπάνω σχέσεις υπονοούν ότι δεν είναι δυνατόν να παρατηρηθούν ταυτόχρονα παρά μόνο η συνολική στροφορμή και η μία συνιστώσα της σε κάποιον άξονα. r θ ϕ Από τον κανόνα παραγώγισης + + z z r z θ z ϕ και τις αντίστοιχες παραστάσεις για τα x και y, καθώς και τις σχέσεις x r sinθ csφ y r sinθ sinφ z r csθ βρίσκουμε ότι L x i sin ϕ ct θcsϕ θ ϕ L y i + csϕ ct θsin ϕ θ ϕ L z i ϕ (.6) (.63) (.64) -7

10 και τελικά, επειδή L Lx + Ly + Lz, έχουμε L Lx + Ly + Lz sin θ + (.65) sin θ θ θ sin θ ϕ Οι (.53) και (.65) δίνουν: sin θ + sin θ θ θ sin θ ϕ ψ ψ L L L (.66) Ομως, από την (.), sin θ + Y(,) θϕ λ Y (, θϕ) sin θ θ θ sin θ ϕ όπου λ (+). Σύγκριση αυτής της εξίσωσης με την (.66) δείχνει ότι η Υ(θ,φ) είναι ιδιοσυνάρτηση της L, με ιδιοτιμές τις (+) σε συμφωνία με την (.5). Για την L z, με L z i ϕ έχουμε LY z (,) θϕ i Y(, θϕ) (.67) ϕ ή, απλοποιόντας την Θ(θ), L Φ( ϕ) z i ϕ Φ( ϕ ) (.68) imϕ Ομως, η (.) δίνει Φ m ( ϕ) e (m,±,±,...±l ) π imϕ imϕ και επομένως, Lz e i e π ϕ π και τελικά: L z m (m,±,±,...±l ) (.69) όπως έχει ήδη αναφερθεί. Οι Y(θ,φ) και Φ(φ) είναι επομένως ιδιοσυναρτήσεις της L z, με ιδιοτιμές m. Οι διάφοροι προσανατολισμοί του διανύσματος της στροφορμης L (το οποίον έχει μέτρο ( + ) ) ώστε η προβολή του στον άξονα z να είναι ίση με L z m με (m,±,±,...±l ). Αυτό υποδηλώνει ότι αν μετρηθεί το μέτρο της στροφορμής και βρεθεί ίσο με ( + ) για κάποια τιμή του, τότε μια επόμενη μέτρηση της προβολής της στροφορμής σε κάποιο άξονα (π.χ. τον z), δεν μπορεί παρά να δώσει κάποια από τις τιμές της.69. Αποδεικνύεται ότι αυτή είναι η μέγιστη πληροφορία που μπορούμε να έχουμε για την στροφορμή. Κάθε προσπάθεια μέτρησης κάποιας άλλης συνιστώσας (π.χ. L x ) θα αλλοιώσει την τιμή της L z και το σύστημα θα βρεθεί σε μια νέα κατάσταση που θα περιγράφεται από τις τιμές της συνολικής στροφορμής L και της συνιστώσας L x. Ετσι το L z θα είναι απροσδιόριστο. Μια απλουστευτική αναπαράσταση από την κλασική φυσική είναι εκείνη του στρόβου που περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του με κάποια στροφορμή L και μεταπίπτει γύρω από κάποιο άξονα z υπό την επίδραση του βαρυτικού πεδίου -8

11 (προβολή στροφορμής L z ), έχοντας μη-ορισμένες τις άλλες δύο τιμές της στροφορμής L x και L y.. T σπιν του ηλεκτρονίου και η άθροιση των στροφορμών Οπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή, τα σωματίδια έχουν μια εσωτερική ιδιότητα, το σπιν, που στην κλασική Μηχανική ισοδυναμεί (από άποψη στροφορμής) με μια περιστροφή τους γύρω από άξονα. Για την περίπτωση του ηλεκτρονίου, το σπιν χαρακτηρίζεται από ένα κβαντικό αριθμό που έχει τιμή s/. Στο σπιν του ηλεκτρονίου αντιστοιχεί στροφορμή S, το μέτρον της οποίας δίνεται από μια σχέση αντίστοιχη της (.5), δηλαδή 3 S s( s+ ) (.7) και η προβολή της σε άξονα έχει μια από τις τιμές ±/. Οπως θα δούμε παρακάτω, στο Κεφάλαιο της Στατιστικής Φυσικής, οι στατιστικές ιδιότητες των σωματιδίων επηρεάζονται από την τιμή του σπιν τους. Ετσι, όσα σωματίδια (όπως το ηλεκτρόνιο) έχουν ημιακέραιη τιμή του σπιν (/, 3/, 5/,... ) ονομάζονται φερμιόνια και υπακούουν τη στατιστική των Fermi-Dirac. Οσα δε από τα σωματίδια έχουν ακέραιες τιμές στο σπιν (,,,...), λέγονται μποζόνια και υπακούουν τη στατιστική των Bse-Einstein. Επειδή το σπιν αποτελεί ένα είδος στροφορμής, μπορεί να προστεθεί διανυσματικά με το διάνυσμα της τροχιακής στροφορμής L, ώστε να υπολογιστεί η συνολική στροφορμή του ηλεκτρονίου σε κάθε στοιβάδα. Ο τρόπος πρόσθεσης των δύο στροφορμών ξεκινά από την άθροιση των αντίστοιχων κβαντικών αριθμών και s. Επειδή ο δεύτερος κβαντικός αριθμός παίρνει τιμές ±/, ενώ ο πρώτος ακέραιες μόνο, η συνολική στροφορμή εκφράζεται από τους κβαντικούς αριθμούς ± /. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα ηλεκτρόνια στην εξωτερική στοιβάδα, θα πρέπει να προστεθούν οι επί μέρους στροφορμές των ηλεκτρονίων της εξωτερικής στιβάδας, για να βρεθεί η συνολική στροφορμή του ατόμου, επειδή η συνολική στροφορμή των ηλεκτρονίων των εσωτερικών κατειλημμένων στοιβάδων είναι μηδέν. Υπάρχουν δύο τρόποι να γίνει αυτό: είτε να προστεθούν χωριστά οι τροχιακές στροφορμές και χωριστά τα σπιν και μετά να συντεθούν οι δύο στροφορμές (L και S αντίστοιχα), είτε να προστεθούν η τροχιακή στροφορμή και το σπιν (l και s) του κάθε ηλεκτρονίου και μετά να προστεθούν οι συνολικές αυτές στροφορμές για όλα τα ηλεκτρόνια. Η πρώτη περίπτωση είναι η πιο συνηθισμένη και οφείλεται στο γεγονός ότι η ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση των ηλεκτρονίων είναι μεγαλύτερη από τη μαγνητική αλληλεπίδραση στροφορμής και σπιν. Η δεύτερη περίπτωση, όπου ισχύει η αντίθετη σχέση για τις αλληλεπιδράσεις, συναντάται στα πιο βαριά άτομα. Σε όλες τις περιπτώσεις, θα πρέπει να προστεθούν δύο ή περισσότερες στροφορμές, τροχιακές ή σπιν. Οταν πρέπει να προστεθούν οι στροφορμές l, l, l 3,..., που αντιστοιχούν σε τροχιακούς κβαντικούς αριθμούς,, 3,... τότε η συνολική στροφορμή θα είναι το διανυσματικό άθροισμα των επί μέρους στροφορμών, δηλαδή L l + l + l (.7) Η παραπάνω άθροιση, όμως, πρέπει να γίνει με τέτοιον τρόπο ώστε ο τροχιακός κβαντικός αριθμός της συνολικής στροφορμής να είναι ένας ακέραιος -9

12 αριθμός. Ο αριθμός αυτός θα προκύψει από όλους τους δυνατούς συνδυασμούς τιμών των τροχιακών κβαντικών αριθμών του κάθε ηλεκτρονίου. Αποδεικνύεται εύκολα ότι l + l l l (l+ ) (l + )(l + ). Ετσι, αν προστεθούν οι στροφορμές δύο ηλεκτρονίων που χαρακτηρίζονται από τροχιακούς κβαντικούς αριθμούς και 3 αντίστοιχα, τότε ο συνολικός τροχιακός κβαντικός αριθμός l θα μπορεί να είναι l + ή, στη συγκεκριμένη περίπτωση, 4, δηλαδή, 3, ή 4. Η κατασκευή παρουσιάζεται στο Σχ... Είναι φανερό ότι για κάθε τιμή του συνολικού τροχιακού κβαντικού αριθμού, το μέτρον της συνολικής στροφορμής δίνεται από την (.5), ενώ η προβολή της στροφορμής στον άξονα συμμετρίας είναι m (όπου - m ). Σχ.. Άθροιση δύο στροφορμών και 3. Οταν προστίθενται και τα σπιν των ηλεκτρονίων, τότε η συνολική στροφορμή του συστήματος παίρνει ακέραιες ή ημιακέραιες τιμές ανάλογα από το αν ο αριθμός των ηλεκτρονίων που προστίθενται είναι άρτιος ή περιττός. Περισσότερες όμως λεπτομέρειες για το θέμα της πρόσθεσης των στροφορμών θα δοθούν παρακάτω..3 Οι στοιβάδες του ατόμου του υδρογόνου Οι ενεργειακές στοιβάδες, που χαρακτηρίζονται από τον ολικό κβαντικό αριθμό n,,3,4,..., συμβολίζονται με τα κεφαλαία γράμματα K,L,M,N,... αντίστοιχα. Επειδή ισχύει η σχέση (.35), n- ο τροχιακός κβαντικός αριθμός μπορεί να πάρει n τιμές. Η στοιβάδα με ονομάζεται στοιβάδα s. Η επόμενη p (), η άλλη d (), και ακολουθούν οι f, g, h, κλπ. Οι στοιβάδες συμβολίζονται με τους κβαντικούς αριθμούς nl (π.χ. s, s, p, 3s, 3p, 3d, κλπ), ενώ ένας εκθέτης ορίζει τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάθε στοιβάδα (π.χ. s, p, κ.λ.π.). Οι κυματοσυναρτήσεις όμως συμβολίζονται και με τους τρεις κβαντικούς αριθμούς n, και m ως δείκτες, δηλαδη ψ nm. Ετσι έχουμε διαδοχικά τις στοιβάδες και τις κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων σε αυτές: K n (s) m ψ -

13 L n (s) m ψ (p) m{-,, +} ψ -, ψ, ψ M n3 (3s) m ψ 3 (3p) m{-,, +} ψ 3-, ψ 3, ψ 3 (3d) m{-, -,, +, +} ψ 3-,ψ 3-,ψ 3,ψ 3,ψ 3 Δεδομένου ότι υπάρχουν οι δύο καταστάσεις για το σπιν, στην κά θε μια από τις παραπάνω καταστάσεις μπορούν να τοποθετηθούν δύο ηλεκτρόνια με αντίθετα σπιν (±/). Ετσι, στις υποστοιβάδες s, p, d, f,... μπορούν να υπάρχουν μέχρι, 6,, 4,... ηλεκτρόνια αντίστοιχα, και στις στοιβάδες K, L, M,..., 8, 8,... ηλεκτρόνια (όπως προκύπτουν από τα αθροίσματα:, +6, +6+, +6++4, κτλ). Παρακάτω δίνονται αναλυτικά, για τις χαμηλότερες στοιβάδες, οι κυματοσυναρτήσεις ψ nm και γραφικά οι συναρτήσεις R n( r) καθώς και οι αντίστοιχες ακτινικές πυκνότητες πιθανότητας P(r). Η συνάρτηση P(r) ορίζεται έτσι Pr () r R n () r ώστε η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε αποστάσεις από τον πυρήνα μεταξύ r και r+dr να είναι P(r)dr. Η κλίμακα του μήκους καθορίζεται από την ακτίνα του Bhr: a (.7) kμe Οι συνολικές κυματοσυναρτήσεις για ορισμένες τιμές των κβαντικών αριθμών n,l,m παρουσιάζονται παρακάτω. s ψ r 3 / exp Y ( θϕ, ) (.73) a a s ψ r r / exp Y ( θϕ, ) (.74) a a ( a ) 3 p ψ r,, exp r Y ( θϕ, ) 3 a a ( a ),, 3 / (.75) 3s ψ 3 r + θϕ 33 ( ) r r / exp Y (, ) (.76) a a 3 a 3 a 3 3 3p 4 r,, ψ 3,, ( ) 3 / exp 93a a 6 a 3 a r r Y (.77) 3d r exp r a 3a ψ 3,,,, 3 / ( a ) Y,,,, (.78) -

14 Σχ..3 Η ακτινική συνιστώσα των κυματοσυναρτήσεων R () r, καθώς και η συνάρτηση κατανομής rr nl () r nl Χαρακτηριστικά των ιδιοσυναρτήσεων Από τα σχήματα φαίνεται ότι ο αριθμός των κόμβων της ακτινικής εξάρτησης R n( r) είναι n--. -

15 Από την μορφή της ακτινικής εξάρτησης προκύπτει εύκολα ότι μόνο οι καταστάσεις s με στροφορμή μηδέν (l) δεν μηδενίζονται στο κέντρο του πυρήνα ( ψ () ). 3 Z Επίσης προκύπτει ότι ψ () n Rn () 3 3 4π πan, όπου 4πε a me είναι η ακτίνα του Bhr. l Για l R nl είναι ανάλογο του r για μικρές τιμές του r. Στην αντικατάσταση r r [δηλαδή αν (, r θ, ϕ) (, r π θ, ϕ+ π) ] η ακτινική συνάρτηση Rnl () r παραμένει αναλλοίωτη, ενώ η γωνιακή εξάρτηση l Ylm( θ, ϕ) Ylm( π θ, ϕ+ π) ( ) Ylm ( θ, ϕ). Δηλαδή η κυματοσυνάρτηση έχει parity (-) l. Για l περιττό (άρτιο) αλλάζει (δεν αλλάζει) πρόσημο με στην αντιστροφή των αξόνων. Οι αναλυτικές γραφικές παραστάσεις για την γωνιακή εξάρτηση δίνονται στα σχήματα που ακολουθούν: Y 4π (.79) Y 3 cs θ (.8) π Y Y Y, 3 ± e i ϕ sin θ 4 π 5 π, e i sin θ ± ϕ, 5 ± e i ϕ sin θcsθ π (.8) (.8) (.83) 5 ( 3 cs θ ) (.84) 4 π Y Παραδείγματα ορισμένων συναρτήσεων της γωνιακής εξάρτησης παρουσιάζονται στο Σχ..4. Από το γινόμενο των δύο συναρτήσεων R n( r) και Y m (, θϕ ), βρίσκουμε τις κυματοσυναρτήσεις και από αυτές την κατανομή των ηλεκτρονίων στο χώρο. -3

16 Σχ..4Η γωνιακή εξάρτηση για διάφορες τιμές της στροφορμής και της προβολής της στροφορμής, κβαντικών αριθμών l,m. Μέσες τιμές αποστάσεων Με πράξεις αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύουν οι εξής μέσες τιμές της απόστασης r και δυνάμεων αυτής. n l( l+ ) r a nlm + Z n 4 n 3 l( l+ ) /3 r a nlm Z + n n 7 35 r a ( l )( l ) ( l )( l ) l( l ) nlm Z n 7 9 9n Z r a n r nlm Z a n ( l+ /) 3 nlm 3 Z r a n l( l+ /)( l+ ) nlm Επίσης ότι για την δυναμική ενέργεια V έχουμε V T nlm n nlm, για την κινητική Τ ότι E n E. Επομένως ανάμεσα στην δυναμική και την κινητική ενέργεια ισχύει ότι T V, που αποτελεί μια ειδική περίπτωση του virial θεωρήματος -4

17 Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Επίδραση του πυρήνα στα ατομικά φάσματα Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα με δύο ηλεκτρόνια Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δώσει μια πλήρη μαθηματική- κβαντομηχανική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό

Διάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöding για το κεντρικό δυναμικό Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 k V ) Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κύριος κβαντικός αριθμός (n)

Κύριος κβαντικός αριθμός (n) Κύριος κβαντικός αριθμός (n) Επιτρεπτές τιμές: n = 1, 2, 3, Καθορίζει: το μέγεθος του ηλεκτρονιακού νέφους κατά μεγάλο μέρος, την ενέργεια του τροχιακού τη στιβάδα στην οποία κινείται το ηλεκτρόνιο Όσομεγαλύτερηείναιητιμήτουn

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 39 Τα άτομα από την σκοπιά της κβαντικής μηχανικής Το άτομο του Υδρογόνου: Η εξίσωση του Schrödinger και οι κβαντικοί αριθμοί ΟΙ κυματοσυναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ) Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα

Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το πιο απλό κβαντομηχανικό ρεαλιστικό σύστημα, το οποίο λύνεται ακριβώς, είναι το άτομο του Υδρογόνου (1 πρωτόνιο και 1 ηλεκτρόνιο) Το δυναμικό στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Ατομική Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Common.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D)

Ατομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D) Ατομική δομή Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (1D) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2 2m 2 ψ + V r ψ = Εψ Τελεστής Λαπλασιανής για σφαιρικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαια (από το βιβλίο Serway-Jewett) και αναρτημένες παρουσιάσεις

Κεφάλαια (από το βιβλίο Serway-Jewett) και αναρτημένες παρουσιάσεις Ύλη μαθήματος «Σύγχρονη Φυσική» Κεφάλαια (από το βιβλίο Serway-Jewett) και αναρτημένες παρουσιάσεις Σ2-Σελίδες: 673-705, (όλο το κεφάλαιο από το βιβλίο) και η παρουσίαση Σ2 που έχει αναρτηθεί στο e-class

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ IV. ΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ IV. ΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ IV. ΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο ατομικό πρότυπο του Bohr ο κύριος κβαντικός αριθμός (n) εισάγεται αυθαίρετα, για τον καθορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η πιθανότερη ακτίνα, *, στην οποία θα βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 6 Περιστροφική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 6 Περιστροφική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 6 Περιστροφική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paua

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 2: Σύστημα δύο σωματιδίων-αρχή της αντιστοιχίας. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 2: Σύστημα δύο σωματιδίων-αρχή της αντιστοιχίας. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 2: Σύστημα δύο σωματιδίων-αρχή της αντιστοιχίας Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η σύντομη παρουσίαση μελέτης της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Στατιστική Φυσική Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Στατιστική Φυσική Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Στατιστική Φυσική Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Αλληλεπίδραση μονοηλεκτρονικού ατόμου με εξωτερικό ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο Λιαροκάπης Ευθύμιος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 15 Δεκ

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger

υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4.1 Κλασσική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Θεωρούµε την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου µε µάζα m e και ϕορτίο q e = e µε έναν πυρήνα µε ϕορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΑΓΩΓΑ ΥΛΙΚΑ: ΘΕΩΡΙΑ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

ΗΜΙΑΓΩΓΑ ΥΛΙΚΑ: ΘΕΩΡΙΑ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΜΙΑΓΩΓΑ ΥΛΙΚΑ: ΘΕΩΡΙΑ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Μέρος 1 ο : Στοιχεία Θεωρίας Ημιαγωγών Ενότητα 3 η : Κβάντωση ενέργειας. Γεώργιος Λιτσαρδάκης Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυρήνας του Ατόμου

Ο Πυρήνας του Ατόμου 1 Σκοποί: Ο Πυρήνας του Ατόμου 15/06/12 I. Να δώσει μία εισαγωγική περιγραφή του πυρήνα του ατόμου, και της ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο για να παραμείνει δέσμιο μέσα στον πυρήνα. II. III.

Διαβάστε περισσότερα

το ένα με ηλεκτρικό φορτίο Ζe και το άλλο με e. Η χαμιλτονιανή του συστήματος (στο πλαίσιο της προσέγγισης Coulomb) μπορεί να έλθει στη μορφή

το ένα με ηλεκτρικό φορτίο Ζe και το άλλο με e. Η χαμιλτονιανή του συστήματος (στο πλαίσιο της προσέγγισης Coulomb) μπορεί να έλθει στη μορφή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΑΤΟΜΑ, Σελ. 19 έως 14 του βιβλίου ΚΣ ENOTHTA 1 Η, 13 ο VIDEO, 15/11/013, Από 55λ έως 1ω,5λ (τέλος), Σελ. 19 έως 13 του βιβλίου ΚΣ: ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Της ΒΑΣΙΚΉΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΥΔΡΟΓΟΝΟΕΙΔΟΥΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 7: Εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει και να επιλύσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6: Ατομική Δομή Συμμετρία Εναλλαγής

Διάλεξη 6: Ατομική Δομή Συμμετρία Εναλλαγής Συμμετρία Εναλλαγής Σε μονοηλεκτρονιακά άτομα ιόντα η κατάσταση του ηλεκτρονίου καθορίζεται από τέσσερις κβαντικούς αριθμούς {n, l, m l, m s } ή {n, l, j, m j }. Σε πολυηλεκτρονιακά άτομα πόσα ηλεκτρόνια

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων Εξίσωση του chrodger H H H µ µ m e e 4πε r Ζe 4πε r για το άτοµο του υδρογόνου για τα υδρογονοειδή άτοµα He Ζe 4πε r < j Ζe 4πε r j για πολυηλεκτρονικά άτοµα µ m m m e

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Θεωρία Προσεγγίσεων Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Ατομική Δομή. Σύζευξη Σπιν-Τροχιάς

Διάλεξη 5: Ατομική Δομή. Σύζευξη Σπιν-Τροχιάς Σύζευξη Σπιν-Τροχιάς Θεωρούμε το άτομο του υδρογόνου με το ηλεκτρόνιο να «περιστρέφεται» γύρω από τον πυρήνα. Ισοδύναμα θεωρούμε τον πυρήνα να περιστρέφεται γύρω από το ηλεκτρόνιο. Στο σύστημα αυτό η μαγνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # (2): Άτομο Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Στόχος : Να εξηγήσουμε την επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου στις Ε- Ειδικώτερα: Το δυναμικό του κρυστάλλου 1. εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 25 Περιεχόµενα 6ης ενότητας Φαινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί Κβαντικοί αριθμοί Στην κβαντομηχανική εισάγονται τρεις κβαντικοί αριθμοί για τον καθορισμό της κατανομής του ηλεκτρονιακού νέφους (ατομικού τροχιακού). Οι κβαντικοί αυτοί αριθμοί προκύπτουν από την επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης (28-11- 2018) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο 1 Spin και πάριτυ ενός πυρήνα (J και πάριτυ: J p ) Σπιν πυρήνα, J = ολικό τροχιακό σπίν

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 12: Συνάρτηση Green από ιδιοσυναρτήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την συνάρτηση Green από

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7ο. Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία

Μάθημα 7ο. Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία Μάθημα 7ο Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία h m U(x,y,z, t) ih t (x, y,z,t) (x, y,z)e iet / h H E Γενική & Ανόργανη Χημεία 06-7 Ewin Schöinge Η ανεξάρτητη από τον χρόνο εξίσωση Schöinge U m H E E

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Προς τους φοιτητές:

Σημειώσεις ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Προς τους φοιτητές: 1 Σημειώσεις ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προς τους φοιτητές: Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για να διευκολύνουν τη μελέτη θεμάτων της ατομικής φυσικής που μελετώνται στα πλαίσια του κατ επιλογήν μαθήματος «Ατομική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή 11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό κατά dθ dw F ds = F R dθ

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 25 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρόβιλη Άκυκλη Ροή

Εισαγωγή στην Αστρόβιλη Άκυκλη Ροή ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Ριζιώτης Βασίλης Εισαγωγή στην Αστρόβιλη Άκυκλη Ροή Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +)

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +) ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 33: Εφαρμογές στο άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 33: Εφαρμογές στο άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 33: Εφαρμογές στο άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει κάποιες εφαρμογές που αφορούν

Διαβάστε περισσότερα