Μέηξεζε ηνπ ιόγνπ c p /c v ησλ αεξίσλ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέηξεζε ηνπ ιόγνπ c p /c v ησλ αεξίσλ"

Transcript

1 Άζθεζε 1 Μέηξεζε ηνπ ιόγνπ c p /c v ησλ αεξίσλ 1.1. θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ε κέηξεζε ηνπ ιφγνπ c p /c v ησλ εηδηθψλ ζεξκνηήησλ ηνπ αηκνζθαηξηθνχ αέξα θαη ε θαηάηαμή ηνπ ζε κηα απφ ηηο θαηεγνξίεο ησλ κνλαηνκηθψλ, δηαηνκηθψλ ή πνιπαηνκηθψλ αεξίσλ. 1.. Δηζαγσγή Καηαζηαηηθή εμίζσζε αεξίσλ Ζ καθξνζθνπηθή θαηάζηαζε ελφο αεξίνπ πεξηγξάθεηαη πιήξσο αλ δνζνχλ ν φγθνο V, ε ζεξκνθξαζία Σ θαη ε πίεζή ηνπ p. Σα κεγέζε απηά ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο, φηαλ ην αέξην βξίζθεηαη ζε ζεξκνδπλακηθή ηζνξξνπία, κέζσ κηαο ζρέζεο ε νπνία είλαη γλσζηή σο θαηαζηαηηθή εμίζσζε ηνπ αεξίνπ, f (p, V, T) = 0. (1.1) Ζ θαηαζηαηηθή εμίζσζε παίξλεη απιή κνξθή ζηελ πεξίπησζε ελφο ηδαληθνχ αεξίνπ. Ιδαληθό αέξην είλαη έλα αέξην ηνπ νπνίνπ ηα κφξηα έρνπλ ακειεηέεο δηαζηάζεηο, ζπκπεξηθέξνληαη σο ειαζηηθέο ζθαίξεο ζηηο ζπγθξνχζεηο θαη δελ αιιειεπηδξνχλ παξά κφλν ζηηγκηαία φηαλ ζπγθξνχνληαη. Ζ θαηαζηαηηθή εμίζσζε ησλ ηδαληθψλ αεξίσλ είλαη pv = nrt (1.) φπνπ n είλαη ν αξηζκφο ησλ γξακκνκνξίσλ ηνπ αεξίνπ ζηνλ φγθν V, ζε απφιπηε ζεξκνθξαζία Σ θαη πίεζε p θαη R είλαη κηα ζηαζεξά, γλσζηή σο παγθόζκηα ζηαζεξά ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ, ε νπνία έρεη ηελ ηηκή 8,3149 J/Κmol, γηα φια ηα ηδαληθά αέξηα. Αλ ε ζηαζεξά R δηαηξεζεί δηα ηνπ αξηζκνχ ησλ κνξίσλ αλά γξακκνκφξην (ζηαζεξά ηνπ Avogadro, Ν 0 = 6, κφξηα/mol), πξνθχπηεη ε παγθφζκηα ζηαζεξά ησλ ηδαληθψλ αεξίσλ αλά κφξην, k = R/N 0 = J/K, γλσζηή σο ζηαζεξά ηνπ Boltzmann. Αλ γίλεηαη αλαθνξά ζε έλα γξακκνκφξην, ην νπνίν θαηαιακβάλεη φγθν ίζν κε v = V/n, ηφηε ε θαηαζηαηηθή εμίζσζε είλαη: pv = RT (1.3) Oη θακπχιεο ηεο πίεζεο, p, σο ζπλάξηεζεο ηνπ κνξηαθνχ φγθνπ, v, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο ζεξκνθξαζίαο, Σ, είλαη ππεξβνιέο (ηζφζεξκεο), φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 1.1α. Γηα ηα πξαγκαηηθά αέξηα, ε θαηαζηαηηθή εμίζσζε είλαη πην ζχλζεηε, ιακβάλνληαο ππφςε ηφζν ην κέγεζνο ησλ κνξίσλ φζν θαη ηηο κεηαμχ ηνπο αιιειεπηδξάζεηο (εμίζσζε Van der Waals). Γηαπηζηψλεηαη φκσο πεηξακαηηθά φηη, ζηηο ζπλήζεηο ζπλζήθεο πίεζεο θαη ζεξκνθξαζίαο, αέξηα φπσο ην πδξνγφλν, ην άδσην, ην νμπγφλν θ.ιπ. ζπκπεξηθέξνληαη σο ηδαληθά κε πνιχ θαιή πξνζέγγηζε. Σν άζξνηζκα φισλ ησλ ελεξγεηψλ ησλ κνξίσλ ελφο αεξίνπ νλνκάδεηαη εζσηεξηθή ελέξγεηα ηνπ αεξίνπ. Ζ εζσηεξηθή ελέξγεηα ελφο αεξίνπ απνηειείηαη απφ ηηο θηλεηηθέο ελέξγεηεο ησλ κνξίσλ ηνπ θαη ζε πεξηπηψζεηο κνξίσλ κε εζσηεξηθή δνκή θαη ηηο εζσηεξηθέο ελέξγεηεο ησλ κνξίσλ ηνπ. Γηα έλα ηδαληθφ αέξην, ιφγσ ηεο απνπζίαο αιιειεπηδξάζεσλ κεηαμχ ησλ κνξίσλ ηνπ, ε εζσηεξηθή ελέξγεηα ζα είλαη αλεμάξηεηε ηνπ φγθνπ πνπ θαηαιακβάλεη ην αέξην θαη ηεο πίεζήο ηνπ. Ζ εζσηεξηθή ελέξγεηα ηνπ ηδαληθνχ αεξίνπ 107

2 ρήκα 1.1. (α) Ζ κεηαβνιή ηεο πίεζεο, p, σο ζπλάξηεζεο ηνπ κνξηαθνχ φγθνπ, v, ελφο ηδαληθνχ αεξίνπ, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο απφιπηεο ζεξκνθξαζίαο, Σ. Οη ηζφζεξκεο θακπχιεο είλαη θαη θακπχιεο ζηαζεξήο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο u γηα ην ηδαληθφ αέξην. (β) Γχν ηζφζεξκεο θακπχιεο ηδαληθνχ αεξίνπ πνπ αληηζηνηρνχλ ζε ζεξκνθξαζίεο Σ θαη Σ+dΣ, θαη ζε ηηκέο u θαη u + du ηεο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο. ην ζρήκα θαίλνληαη θαη ηξεηο δηαθνξεηηθέο κεηαβνιέο πνπ κπνξεί λα ππνζηεί ην αέξην: κηα ηζνβαξήο (ΑΒ), κηα ηζφρσξε (ΑΓ) θαη κηα γεληθή (ΓΔ). εμαξηάηαη κφλν απφ ηε ζεξκνθξαζία ηνπ. Οη ηζφζεξκεο θακπχιεο ηνπ ρ. 1.1α είλαη επνκέλσο θαη θακπχιεο ζηαζεξήο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο u Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ηδαληθνύ αεξίνπ Έζησ φηη έλα mol ηδαληθνχ αεξίνπ, πνπ βξίζθεηαη αξρηθά ζε φγθν v, ζεξκνθξαζία Σ θαη ππφ πίεζε, p, απνξξνθά πνζφηεηα ζεξκφηεηαο dq. Ζ κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ αεξίνπ, dt, ζα εμαξηεζεί απφ ηηο ζπλζήθεο θάησ απφ ηηο νπνίεο απνξξνθήζεθε, δειαδή ππφ ζηαζεξή πίεζε (ηζνβαξήο) ή ππφ ζηαζεξφ φγθν (ηζόρσξε). Αλ ε απνξξφθεζε ζεξκφηεηαο, dq, αλά mol, απφ ην αέξην ππφ ζηαζεξή πίεζε νδεγήζεη ζε αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ θαηά dt, ηφηε ν ιφγνο c p dq dt p. (1.4) νλνκάδεηαη γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ αεξίνπ ππό ζηαζεξή πίεζε. Αλ ε απνξξφθεζε ζεξκφηεηαο dq αλά mol απφ ην αέξην ππφ ζηαζεξφ φγθν νδεγήζεη ζε αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ θαηά dt, ηφηε ν ιφγνο c v dq dt v. (1.5) νλνκάδεηαη γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ αεξίνπ ππό ζηαζεξό όγθν. Ο ιφγνο ησλ δχν εηδηθψλ ζεξκνηήησλ δίλεη ηνλ αξηζκφ c p (1.6) c v 108

3 ν νπνίνο είλαη κεγαιχηεξνο ηεο κνλάδαο γηα ιφγνπο πνπ ζα εμεγεζνχλ παξαθάησ. χκθσλα κε ην πξψην αμίσκα ηεο Θεξκνδπλακηθήο, ε απνξξφθεζε ζεξκφηεηαο dq απφ κηα πνζφηεηα ελφο mol ηδαληθνχ αεξίνπ ην νπνίν επίζεο παξάγεη έξγν dw, έρεη σο απνηέιεζκα ηελ αχμεζε ηεο εζσηεξηθήο ηνπ ελέξγεηαο θαηά du, φπνπ du = dq dw (1.7) Έζησ φηη έρνπκε δχν κεηαβνιέο, κία ηζνβαξή θαη κία ηζφρσξε, πνπ έρνπλ θαη νη δχν σο ηειηθφ απνηέιεζκα ηελ αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ αεξίνπ απφ Σ ζε Σ + dσ θαη ηεο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο απφ u ζε u + du (ΑΒ θαη ΑΓ ζην ρ. 1.1β αληίζηνηρα). ηελ ηζνβαξή κεηαβνιή ε ζεξκφηεηα πνπ δίλεηαη ζην αέξην είλαη ζχκθσλα κε ηελ Δμ. (1.4) ίζε κε Δπίζεο, ην αέξην παξάγεη έξγν ίζν κε dq = c p dt (1.8) dw = pdv (1.9) φπνπ dv είλαη ε κεηαβνιή ζηνλ φγθν ηνπ. Όκσο, απφ ηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε ηνπ αεξίνπ (Δμ. 1.3), παξαγσγίδνληαο κε ζηαζεξή πίεζε, Απφ ηηο Δμ. (1.7)-(1.10) πξνθχπηεη φηη pdv= RdT (1.10) du = c p dt RdT (1.11) ηελ ηζφρσξε κεηαβνιή ην αέξην δελ παξάγεη έξγν. Δπίζεο απφ ηελ Δμ. (1.5), Dq = c v dt (1.1) Αληηθαζηζηψληαο ηελ Δμ. (1.1) θαη ζέηνληαο dw = 0 ζηελ Δμ. (1.7), παίξλνπκε du = c π dt (1.13) Αο ζεκεησζεί φηη απφ ηηο ζρέζεηο (1.5) θαη (1.13) πξνθχπηεη φηη c v du dt v. (1.14) Δπεηδή ζηηο δχν κεηαβνιέο ηα du θαη dt είλαη ηα ίδηα, νη (1.11) θαη (1.13) δίλνπλ du = c p dt RdT = c v dt (1.15) ή ηειηθά, c p c v = R (1.16) 109

4 Φαίλεηαη ακέζσο φηη c p > c v, φπσο αλακέλεηαη αλ ιεθζεί ππφςε φηη ζηελ ηζφρσξε κεηαβνιή δελ παξάγεηαη έξγν απφ ην αέξην θαη επνκέλσο, γηα ηελ ίδηα πξνζθεξφκελε ελέξγεηα, νη απμήζεηο ηεο εζσηεξηθήο ηνπ ελέξγεηαο θαη ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ είλαη κεγαιχηεξεο Βαζκνί ειεπζεξίαο θαη ζεώξεκα ηεο ηζνθαηαλνκήο ηεο ελέξγεηαο ηε ζπδήηεζε πνπ ζα αθνινπζήζεη γηα ηηο εηδηθέο ζεξκφηεηεο ησλ αεξίσλ, ζα ρξεζηκνπνηεζεί ην ζεψξεκα ηεο ηζνθαηαλνκήο ηεο ελέξγεηαο, ην νπνίν θαη ζα δηαηππσζεί εδψ ρσξίο απφδεημε. ηε ζεξκνδπλακηθή θάζε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή πνπ πξέπεη λα δνζεί γηα λα θαζνξηζηεί ε νιηθή ελέξγεηα ελφο ζπζηήκαηνο νλνκάδεηαη βαζκόο ειεπζεξίαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Έηζη, κηα ειεχζεξε ζεκεηαθή κάδα, ηεο νπνίαο ε ελέξγεηα θαζνξίδεηαη πιήξσο απφ ηξεηο ζπληζηψζεο ηεο ηαρχηεηάο ηεο, έρεη ηξεηο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Αλ ε κάδα απηή βξίζθεηαη κέζα ζε έλα δηαηεξεηηθφ πεδίν δχλακεο κέζα ζην νπνίν έρεη θαη δπλακηθή ελέξγεηα, πνπ εμαξηάηαη απφ ηηο ηξεηο ζπληεηαγκέλεο ζέζεο ηεο κάδαο, νη βαζκνί ειεπζεξίαο ηεο είλαη έμη. Αλ ε κάδα δελ είλαη ζεκεηαθή αιιά έρεη θαη εζσηεξηθή δνκή, φπσο π.ρ. έλα κφξην, ηφηε γηα λα θαζνξηζηεί ε ελέξγεηά ηνπ ρξεηάδεηαη λα δνζνχλ θαη άιιεο ζπληεηαγκέλεο πνπ πεξηγξάθνπλ απηή ηελ εζσηεξηθή δνκή θαη ν αξηζκφο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο είλαη κεγαιχηεξνο. Σν ζεψξεκα ηεο ηζνθαηαλνκήο ηεο ελέξγεηαο ζηελ θιαζηθή ζεξκνδπλακηθή δηαηππψλεηαη σο εμήο: ε θάζε κεηαβιεηή, ε νπνία ζπλεηζθέξεη έλαλ ηεηξαγσληθό όξν ζηελ ελέξγεηα ελόο ζπζηήκαηνο, αληηζηνηρεί, ζε ζεξκηθή ηζνξξνπία, κηα κέζε ελέξγεηα ίζε κε kt/. Έηζη, γηα ηελ ειεχζεξε ζεκεηαθή κάδα, ε ελέξγεηα ηεο νπνίαο είλαη ίζε κε ηελ θηλεηηθή ηεο K = ½ m (π x + π y + π z ), ε κέζε ηεο ελέξγεηα ζηε ζεξκνθξαζία, Σ, είλαη ίζε κε K m x y z kt kt kt kt. (1.17) Αλ ε κάδα είλαη ειαζηηθά ζπλδεδεκέλε ζε θάπνην ζεκείν, ψζηε λα έρεη θαη δπλακηθή ελέξγεηα ίζε κε P = ½ S x x + ½ S y y + ½ S z z κε θάπνηεο ζηαζεξέο S x, S y θαη S z, (νη νπνίεο κπνξεί λα είλαη θαη άγλσζηεο), ηφηε ζηε ζεξκνθξαζία Σ έρεη κέζε ελέξγεηα ίζε κε x y z x y z 1 1 E K P m s x s y s z 6 kt 3 kt. (1.18) Γηα ζχζηεκα πνπ απνηειείηαη απφ Ν ηέηνηεο κάδεο, ε κέζε ελέξγεηα είλαη ίζε κε 3ΝkT. Με αλάινγν ηξφπν ππνινγίδνληαη νη κέζεο ελέξγεηεο θαη άιισλ ζπζηεκάησλ ζε ζεξκνδπλακηθή ηζνξξνπία Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ησλ κνλναηνκηθώλ αεξίσλ χκθσλα κε ηελ θηλεηηθή ζεσξία ησλ αεξίσλ, ε εζσηεξηθή ελέξγεηα ελφο κνλναηνκηθνχ αεξίνπ είλαη ίζε κε ην άζξνηζκα ησλ θηλεηηθψλ ελεξγεηψλ ησλ κνξίσλ ηνπ. Απφ φζα εηπψζεθαλ ζηελ πξνεγνχκελε παξάγξαθν, ε κέζε ελέξγεηα θάζε αηφκνπ ηνπ 110

5 αεξίνπ, ζε ηζνξξνπία ζηε ζεξκνθξαζία Σ, είλαη ίζε κε 3kT/. Γηα έλα mol, ην φπνίν έρεη Ν 0 κφξηα (άηνκα εδψ), ε κέζε εζσηεξηθή ελέξγεηα είλαη: u= N 0 3kT/ = 3RT/ (1.19) Απφ ηηο ζρέζεηο (1.14) θαη (1.16) πξνθχπηνπλ νη γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκφηεηεο ηνπ ηδαληθνχ κνλαηνκηθνχ αεξίνπ θαη ν ιφγνο ηνπο, ζχκθσλα κε ηελ θιαζηθή ζεξκνδπλακηθή. c p = 5/ R c v = 3/ R γ = c p /c π = 5/3 (1.0) Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ησλ δηαηνκηθώλ αεξίσλ Έλα δηαηνκηθφ αέξην έρεη πεξηζζφηεξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο απφ έλα κνλαηνκηθφ, ιφγσ ηεο εζσηεξηθήο ηνπ δνκήο. Σν κφξην έρεη ξνπή αδξάλεηαο ε νπνία ζπλεηζθέξεη ζηελ νιηθή ελέξγεηά ηνπ ηξεηο ηεηξαγσληθνχο φξνπο ηεο κνξθήο ½ Η σ, έλαλ γηα θαζέλαλ απφ ηνπο θχξηνπο άμνλεο πεξηζηξνθήο ηνπ γχξσ απφ ην θέληξν κάδαο ηνπ (ρ. 1.). ρήκα 1.. Γηαηνκηθφ κφξην θαη νη άμνλεο πεξηζηξνθήο ηνπ. Σν δηαηνκηθφ κφξην έρεη ηξεηο βαζκνχο ειεπζεξίαο ιφγσ ηεο κεηαθνξηθήο ηνπ θίλεζεο θαη ηξεηο ιφγσ ηεο πεξηζηξνθηθήο ηνπ θίλεζεο. Αθφκε έλαο βαζκφο ειεπζεξίαο πξνθχπηεη απφ ηε δπλαηφηεηα πνπ έρνπλ ηα άηνκα ηνπ κνξίνπ λα εθηεινχλ ηαιαληψζεηο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα πνπ ηα ελψλεη. Σα δχν άηνκα δελ ηαιαληψλνληαη αλεμάξηεηα ην έλα απφ ην άιιν, αιιά ζε ζπκθσλία, έηζη ψζηε νη νξκέο ηνπο ζην ζχζηεκα θέληξνπ κάδαο ηνπο λα είλαη ίζεο θαη αληίζεηεο. πλνιηθά ινηπφλ έλα δηαηνκηθφ άηνκν έρεη επηά βαζκνχο ειεπζεξίαο. Δπεηδή θαζέλαο απφ απηνχο ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο ζπλεηζθέξεη έλαλ ηεηξαγσληθφ φξν ζηελ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, ε κέζε ελέξγεηα ηνπ κνξίνπ ζηε ζεξκνθξαζία, Σ, ζα έπξεπε λα είλαη, ζχκθσλα κε ηελ θιαζηθή ζεξκνδπλακηθή, ίζε κε 7/ kt. ηελ πξάμε φκσο ηα δηαηνκηθά αέξηα ζπκπεξηθέξνληαη ζαλ λα είραλ ιηγφηεξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο απφ ηνπο 7 πνπ αλαθέξζεθαλ, εθηφο αλ βξίζθνληαη ζε πνιχ πςειέο 111

6 ζεξκνθξαζίεο. αλ παξάδεηγκα δίλεηαη ζην ρ. 1.3 ε κεηαβνιή κε ηε ζεξκνθξαζία ηεο γξακκνκνξηαθήο εηδηθήο ζεξκφηεηαο c v ηνπ πδξνγφλνπ ππφ ζηαζεξφ φγθν. ρήκα 1.3.Ζ κεηαβνιή κε ηε ζεξκνθξαζία ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο θαη ηνπ ιφγνπ c v /R, φπνπ c v ε γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκφηεηα ηνπ κνξηαθνχ πδξνγφλνπ ππφ ζηαζεξφ φγθν. Ζ θιίκαθα ηεο ζεξκνθξαζίαο είλαη ινγαξηζκηθή. Σν πδξνγφλν είλαη ην κφλν δηαηνκηθφ αέξην πνπ παξακέλεη αέξην ζε πνιχ ρακειέο ζεξκνθξαζίεο θαη καο δίλεη πιεξνθνξίεο γηα ηε ζπκπεξηθνξά ησλ αεξίσλ απηψλ. Φαίλεηαη ζην ζρήκα φηη ην πδξνγφλν ζπκπεξηθέξεηαη ζαλ λα έρεη κφλν 3 βαζκνχο ειεπζεξίαο ζε ζεξκνθξαζίεο θάησ ησλ 50 Κ πεξίπνπ, 5 βαζκνχο ζηε ζεξκνθξαζία ησλ 500Κ θαη λα ηείλεη ζηνπο 7 βαζκνχο ζε κεγάιεο ζεξκνθξαζίεο ζηηο νπνίεο φκσο ην κφξην δηαζπάηαη. Αληίζεηα κε ηηο θιαζηθέο πξνβιέςεηο, ε εηδηθή ζεξκφηεηα κεηαβάιιεηαη κε ηε ζεξκνθξαζία. Ζ εξκελεία απηψλ ησλ παξαηεξήζεσλ δελ δίλεηαη απφ ηελ Κιαζηθή Φπζηθή αιιά απφ ηελ Κβαληνκεραληθή. χκθσλα κε ηελ Κβαληηθή Φπζηθή ε ελέξγεηα ελφο ζπζηήκαηνο ζηηο πεξηζηξνθηθέο ή ηαιαλησηηθέο ηνπ θηλήζεηο δελ κεηαβάιιεηαη κε ζπλερή ηξφπν αιιά κπνξεί λα παίξλεη ηηκέο κφλν απφ έλα ζχλνιν δηαθξηηψλ (θβαλησκέλσλ) ηηκψλ. ηε ζεξκηθή ηζνξξνπία, ζε θάπνηα ζεξκνθξαζία, ην θιάζκα ησλ κνξίσλ πνπ βξίζθνληαη ζε κηα νξηζκέλε ελεξγεηαθή ζηάζκε εμαξηάηαη ηφζν απφ ηε ζεξκνθξαζία φζν θαη απφ ηελ ελέξγεηα ηνπ κνξίνπ ζηε ζηάζκε απηή. Έηζη, γηα παξάδεηγκα, ζε ρακειέο ζεξκνθξαζίεο, ε πηζαλφηεηα λα πεξηζηξέθεηαη έλα δηαηνκηθφ κφξην γχξσ απφ ηνλ άμνλα πνπ ελψλεη ηα δχν ηνπ άηνκα είλαη ακειεηέα θαη απηφο ν βαζκφο ειεπζεξίαο κπνξεί λα ζεσξεζεί πσο είλαη «παγσκέλνο» θαη δελ ζπλεηζθέξεη ζηελ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Καζψο απμάλεηαη ε ζεξκνθξαζία, νη δηάθνξνη βαζκνί ειεπζεξίαο δηεγείξνληαη ζε κεγαιχηεξν πνζνζηφ θαη ζπλεηζθέξνπλ ζηελ εηδηθή ζεξκφηεηα ηνπ αεξίνπ. Ζ εμάξηεζε ηεο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο απφ ηε ζεξκνθξαζία είλαη επνκέλσο κηα πην πνιχπινθε ζπλάξηεζε απφ απηή ηεο θιαζηθήο ζεξκνδπλακηθήο. Ζ θιαζηθή πξφβιεςε επηηπγράλεηαη κφλν ζε πνιχ πςειέο ζεξκνθξαζίεο, εθφζνλ βέβαηα ηα κφξηα δελ δηαζπψληαη ζε κεκνλσκέλα άηνκα ζηηο ζεξκνθξαζίεο απηέο. Γηα ηνπο ιφγνπο πνπ αλαθέξζεθαλ, ηα δηαηνκηθά αέξηα έρνπλ ζηηο ζπλήζεηο ζεξκνθξαζίεο νπζηαζηηθά κφλν πέληε βαζκνχο ειεπζεξίαο, ηξεηο κεηαθνξηθήο θαη δχν πεξηζηξνθηθήο θίλεζεο. Δπνκέλσο, ε γξακκνκνξηαθή εζσηεξηθή ηνπο ελέξγεηα είλαη 11

7 u = N 0 (5/)kT = 5/ RT (1.1) θαη νη γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκφηεηεο c p, c v ηνπ ηδαληθνχ αεξίνπ θαη ν ιφγνο ηνπο είλαη, αληηζηνίρσο, c p = 7/ Rc v = 5/ Rγ= c p /c v = 7/5 (1.) Δηδηθέο ζεξκόηεηεο c p θαη c v ησλ ηξηαηνκηθώλ θαη πνιπαηνκηθώλ αεξίσλ Σα ηξηαηνκηθά κφξηα, σο πην ζχλζεηα, έρνπλ πεξηζζφηεξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο απφ ηα δηαηνκηθά. Σα άηνκα ηνπ κνξίνπ ζπλήζσο δελ βξίζθνληαη πάλσ ζε κηα επζεία φπσο ζην δηαηνκηθφ κφξην θαη εκθαλίδνπλ, επνκέλσο, κε ακειεηέα ξνπή αδξαλείαο γχξσ απφ ηξεηο άμνλεο. Τπάξρεη ινηπφλ αθφκε έλαο «ελεξγφο» βαζκφο ειεπζεξίαο ζηα ηξηαηνκηθά θαη ζηα πνιπαηνκηθά κφξηα. Γηα ηνπο ιφγνπο πνπ αλαπηχρζεθαλ ζηελ πξνεγνχκελε παξάγξαθν, ηα ηξηαηνκηθά θαη ηα πνιπαηνκηθά κφξηα εκθαλίδνληαη λα έρνπλ, ζε ζπλήζεηο ζεξκνθξαζίεο, έμε βαζκνχο ειεπζεξίαο. Δπνκέλσο, u = N 0 (6/)kT = 3RT (1.3) νπφηε νη γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκφηεηεο c p, c v ηνπ ηδαληθνχ ηξηαηνκηθνχ αεξίνπ θαη ν ιφγνο ηνπο είλαη, αληηζηνίρσο, c p = 4R c v = 3R γ = c p /c v = 4/3 (1.4α,β,γ) ύγθξηζε ζεσξεηηθώλ θαη πεηξακαηηθώλ ηηκώλ ησλ εηδηθώλ ζεξκνηήησλ ηνλ πίλαθα Η δίλνληαη νη ζεσξεηηθά πξνβιεπφκελεο θαη νη πεηξακαηηθέο ηηκέο ησλ εηδηθψλ ζεξκνηήησλ γηα δηάθνξα αέξηα, ζηε ζεξκνθξαζία ησλ 0 0 C θαη ζε αηκνζθαηξηθή πίεζε. Αμηνζεκείσηε ζπκθσλία παξαηεξείηαη κεηαμχ ησλ ζεσξεηηθψλ πξνβιέςεσλ θαη ησλ πεηξακαηηθψλ ηηκψλ γηα ηα κνλαηνκηθά αέξηα. Γηα ηα δηαηνκηθά αέξηα ε ζπκθσλία είλαη ηθαλνπνηεηηθή, ελψ ζεκαληηθέο δηαθνξέο παξαηεξνχληαη γηα ηα πνιπαηνκηθά κφξηα, γηα ηα νπνία νη ζεσξεηηθέο πξνβιέςεηο είλαη ιηγφηεξν αθξηβείο, γηα ηνπο ιφγνπο πνπ αλαθέξζεθαλ ήδε. 113

8 Πίλαθαο Ι Γξακκνκνξηαθέο εηδηθέο ζεξκόηεηεο ησλ αεξίσλ ε ζεξκνθξαζία 0 0 C θαη πίεζε 1 atm ηελ θνξπθή θάζε ζηήιεο δίλεηαη ε ζεσξεηηθή ηηκή Αέξην c p /R c v /R γ = c p /c v Μνλαηνκηθά 5/ =,5 3/ = 1,5 5/3 = 1,67 He Ar Γηαηνκηθά,5,5 7/ = 3,5 1,5 1,51 5/ =,5 1,66 1,67 7/5 = 1,4 H O N Αηκ. Αέξαο Cl Πνιπαηνκηθά 3,4 3,5 3,50 3,50 4,1 4,44,50,45,45 3,0 3 1,41 1,40 1,40 1,40 1,36 4/3 = 1,33 CO NH 3 CH 4 C 4 H 10 O 4,40 4,48 4,4 16,60 3,38 3,4 3,7 15,40 1,30 1,31 1,31 1, Αδηαβαηηθέο κεηαβνιέο ζε αέξηα Αο εμεηάζνπκε κία κεηαβνιή ζε έλα ηδαληθφ αέξην θαηά ηελ νπνία δελ δίλεηαη ή αθαηξείηαη ζεξκφηεηα απφ ην αέξην. Μηα ηέηνηα κεηαβνιή νλνκάδεηαη αδηαβαηηθή. ε κηα αδηαβαηηθή κεηαβνιή dq = 0 θαη ην πξψην ζεξκνδπλακηθφ αμίσκα (1.7) παίξλεη ηε κνξθή ε νπνία ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ Δμ. (1.9) δίλεη du = dw (1.5) du + pdv = 0 (1.6) Ζ εζσηεξηθή ελέξγεηα ελφο ηδαληθνχ αεξίνπ είλαη ζπλάξηεζε κφλν ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ θαη ε Δμ. (1.14) c v = (du/dt) v = ζηαζ. ηζρχεη γηα φιεο ηηο κεηαβνιέο θαη επνκέλσο, γεληθά, είλαη: du = c π dt. Ζ Δμ. (1.6) παίξλεη ηε κνξθή: c v dt + pdv = 0 (1.7) Απφ ηελ παξαγψγηζε ηεο θαηαζηαηηθήο εμίζσζεο (1.3), πξνθχπηεη φηη pdv + vdp = R dt = (c p c v ) dt (1.8) 114

9 Απαιείθνληαο ην dt κεηαμχ ησλ (1.7) θαη (1.8) έρνπκε: cp dp dv vdp pdv 0 ή 0 (1.9α,β) c p v ε νπνία κε νινθιήξσζε δίλεη lnp + γlnv= ζηαζ. ή ηειηθά, v pv γ = ζηαζ. (1.30) Αλ ε κεηαβνιή δελ είλαη απνιχησο αδηαβαηηθή αιιά ππάξρεη κεξηθή αληαιιαγή ζεξκφηεηαο κε ην πεξηβάιινλ, ηφηε ε Δμ. (1.30) ηξνπνπνηείηαη ζε pv α = ζηαζ. (1.30α) φπνπ 1 < α < γ. ην ρ. 1.4 δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ηζφζεξκεο (1) θαη κηαο αδηαβαηηθήο () κεηαβνιήο ηδαληθνχ αεξίνπ. Φαίλεηαη φηη ζηελ αδηαβαηηθή κεηαβνιή ε θιίζε (dp/dπ) είλαη κεγαιχηεξε (θαηά έλα παξάγνληα γ) απφ φ,ηη ζηελ ηζφζεξκε κεηαβνιή. ρήκα 1.4. Ηζφζεξκε (1) θαη αδηαβαηηθή () κεηαβνιή 1.4. Μέζνδνο Ζ κέηξεζε ηνπ ιφγνπ γ = c p /c v ησλ αεξίσλ ζα γίλεη κε ηε κέζνδν ηνπ Torruchardt. ηε κέζνδν απηή ρξεζηκνπνηείηαη ε δηάηαμε ηνπ ζρήκαηνο 1.5. Μηα θνηιφηεηα πνπ έρεη φγθν V έρεη σο κνλαδηθή έμνδν έλαλ θαηαθφξπθν γπάιηλν ζσιήλα κέζα ζηνλ νπνίν κπνξεί λα θηλείηαη αεξνζηεγψο έλα έκβνιν. Αλ κέζα ζην ζσιήλα αθήζνπκε ειεχζεξν ην έκβνιν, ηφηε απηφ ζα θαηέβεη κέρξη έλα νξηζκέλν χςνο θαη ζηε ζπλέρεηα ζα εθηειέζεη ηαιαληψζεηο γχξσ απφ θάπνηα ζέζε ηζνξξνπίαο, θαζψο ην αέξην πνπ πεξηέρεηαη ζηελ θνηιφηεηα ζπκπηέδεηαη θαη δηαζηέιιεηαη. 115

10 Αλ ε κάδα ηνπ εκβφινπ είλαη m θαη ην εκβαδφλ ηεο δηαηνκήο ηνπ ζσιήλα είλαη S, ηφηε ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ εκβφινπ ζα ηζρχεη ε ζρέζε: mg p p0 (1.31) S φπνπ p είλαη ε πίεζε ηνπ αέξα κέζα ζηελ θνηιφηεηα θαη p 0 είλαη ε αηκνζθαηξηθή πίεζε. ρήκα 1.5. Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηελ κέηξεζε ηνπ ιφγνπ γ = c p /c v ησλ αεξίσλ κε ηε κέζνδν Torruchardt Όηαλ ην έκβνιν βξίζθεηαη ζε απφζηαζε z απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ (ζεηηθή πξνο ηα πάλσ), πξνθχπηεη κηα δηαθνξά πίεζεο Γp κεηαμχ ηνπ εζσηεξηθνχ θαη ηνπ εμσηεξηθνχ ηεο θνηιφηεηαο. Ζ εμίζσζε θίλεζεο ηνπ εκβφινπ είλαη: d z m dt S p (1.3) (ην βάξνο ηνπ εκβφινπ δελ εκθαλίδεηαη ζηελ εμίζσζε γηαηί ε κεηαηφπηζε z κεηξηέηαη απφ ην ζεκείν ηζνξξνπίαο ηνπ). Αλ ε κεηαβνιή ζεσξεζεί αδηαβαηηθή (ιφγσ ηεο κηθξήο ρξνληθήο δηάξθεηαο ηνπ θαηλνκέλνπ), ηφηε ζα ηζρχεη ε ζρέζε pv γ = ζηαζ. (1.33) φπνπ V είλαη ν νιηθφο φγθνο ηεο θνηιφηεηαο θαη ε κέζε πίεζε ζηελ θνηιφηεηα, p, δίλεηαη απφ ηε Δμ. (1.31). Με παξαγψγηζε ε ζρέζε (1.33) δίλεη p dp dv (1.34) V 116

11 ή, θαηά πξνζέγγηζε, γηα κηθξέο κεηαβνιέο ΓV θαη Γp, Δπεηδή ΓV = Sz, ε ζρέζε (1.35) δίλεη p p V (1.35) V ps p z (1.36) V φπνπ p θαη V είλαη νη κέζεο ηηκέο ηεο πίεζεο θαη ηνπ φγθνπ, γχξσ απφ ηηο νπνίεο γίλνληαη νη κεηαβνιέο Γp θαη Γv, αληίζηνηρα. Ζ Δμ. (1.3) ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ (1.36) δίλεη ηελ εμίζσζε θίλεζεο ε νπνία είλαη ηεο κνξθήο d z ps 0 z dt (1.37) mv d z z 0 dt (1.38) κε ps (1.39) mv Ζ δηαθνξηθή εμίζσζε (1.38) είλαη ε εμίζσζε θίλεζεο ελφο απινχ αξκνληθνχ ηαιαλησηή, ηεο νπνίαο ε γεληθή ιχζε είλαη Z(t) = Acos(σt+ θ) (1.40) θαη πεξηγξάθεη κηα απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε γσληαθή ζπρλφηεηα σ. Δπεηδή φια ηα κεγέζε ζηελ (1.39) κπνξνχλ λα κεηξεζνχλ, ν πξνζδηνξηζκφο ηνπ γ είλαη δπλαηφο, αλ είλαη γλσζηή ε γσληαθή ζπρλφηεηα σ = π/σ απφ κεηξήζεηο ηεο πεξηφδνπ, Σ, ηεο ηαιάλησζεο ηνπ εκβφινπ. Έηζη, απφ ηηο (1.39) θαη (1.31), πξνθχπηεη 4 mv (1.41) Sp mg S 0 Καζψο ηα αξρηθά κεγέζε p 0 θαη V 0 ζπλδένληαη κε ηηο κέζεο ηηκέο p θαη V κέζσ ηεο ζρέζεο p 0 V 0 = pv, κε αληηθαηάζηαζε, ε (1.4) γίλεηαη ηειηθά 4 mp0v0 Sp0 mg (1.4) ε νπνία είλαη ε ζρέζε πνπ δίλεη ηνλ ιφγν γ = c p /c v. 117

12 1.5. Πεηξακαηηθή δηάηαμε Ζ πεηξακαηηθή δηάηαμε (ρ. 1.5), απνηειείηαη απφ έλαλ θχβν θαηαζθεπαζκέλν απφ πιεμηγθιάο, ν νπνίνο επηθνηλσλεί κε ηνλ εμσηεξηθφ ρψξν κέζσ ελφο θαηαθφξπθνπ γπάιηλνπ ζσιήλα πνπ βξίζθεηαη ζηελ επάλσ ηνπ πιεπξά. Ο ζπλνιηθφο εζσηεξηθφο φγθνο ηνπ θχβνπ θαη ηνπ ζσιήλα είλαη 1140 cm 3. ηε δηάηαμε παξέρεηαη ε δπλαηφηεηα γηα ηελ εχθνιε εμαγσγή ηνπ εκβφινπ απφ ηνλ θχβν. Ζ πξφζβαζε ζην εζσηεξηθφ ηνπ θχβνπ επηηπγράλεηαη κε ην μεβίδσκα ηνπ πψκαηνο πνπ βξίζθεηαη ζηε κηα ηνπ πιεπξά. Υξεζηκνπνηνχληαη επίζεο έλαο δπγφο, έλα κηθξφκεηξν, έλα ρξνλφκεηξν θαη έλα βαξφκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηεο αηκνζθαηξηθήο πίεζεο. Βηβιηνγξαθία 1. Κ. Γ. Αιεμφπνπινο. Γεληθή Φπζηθή. Σφκνο 4: Θεξκφηεο. (Αζήλα, 1957). Κεθ. 6.. F. W. Sears. Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics. nd ed. (Addison Wesley, Reading Mass., 1963). Κεθ. 1 θαη Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σφκνο Η, ΔΜΠ, Σνκέαο Φπζηθήο, ΔΜΦΔ, Δθδφζεηο πκκεηξία (Αζήλα 010) Δθηέιεζε εκείσζε. Ζ θαιή ιεηηνπξγία ηεο δηάηαμεο βαζίδεηαη ζηελ φζν ην δπλαηφλ θαιχηεξε εθαξκνγή ηνπ εκβφινπ ζην γπάιηλν ζσιήλα. Γηα ηνλ ιφγν απηφ ζα πξέπεη λα απνθεπρζεί θάζε παξακφξθσζε ηνπ ζρήκαηνο ηνπ εκβφινπ. Θα πξέπεη επνκέλσο ζηε δηάξθεηα ηεο άζθεζεο λα ρεηξίδεζηε ην έκβνιν κε κεγάιε πξνζνρή θαη λα ην ηνπνζεηείηε, φηαλ δε ρξεζηκνπνηείηαη, πάλσ ζην πξνζηαηεπηηθφ παλί πνπ παξέρεηαη. 1. Με κεγάιε πξνζνρή δπγίζηε ην έκβνιν. εκεηψζηε ην ζθάικα ηεο δχγηζεο. Καηά ηε δχγηζε θαη εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο, θξνληίζηε ην έκβνιν λα ηνπνζεηείηαη πάλσ ζε έλα θαζαξφ παλί.. Με ηε βνήζεηα ελφο κηθξνκέηξνπ, κεηξήζηε ηε δηάκεηξν ηνπ εκβφινπ. εκεηψζηε ην ζθάικα κέηξεζεο ηεο δηακέηξνπ, ην νπνίν είλαη εγγπεκέλν θαη ζπλνδεχεηαη κε θξάζε φπσο δελ ππεξβαίλεη ή είλαη κηθξφηεξν απφ θ.ι.π. Ο νιηθφο φγθνο V 0 ηνπ θχβνπ θαη ηνπ ζσιήλα είλαη 1140 ± cm Βεβαησζείηε φηη ην πψκα ηνπ θχβνπ είλαη ζηε ζέζε ηνπ θαη βηδσκέλν αεξνζηεγψο, γηα λα απνθεπρζνχλ βιάβεο ζην έκβνιν ζηηο κεηξήζεηο πνπ ζα αθνινπζήζνπλ. 4. Δηζάγνληαο κε πξνζνρή ην έκβνιν ζην γπάιηλν ζσιήλα, αθήζηε ην λα πέζεη ειεχζεξα θαη ακέζσο κεηξήζηε ηνλ νιηθφ ρξφλν γηα 10 πιήξεηο ηαιαληψζεηο ηνπ. 5. Μεηά απφ ηελ απφζβεζε ησλ ηαιαληψζεσλ, ην έκβνιν ζα ζπλερίζεη λα πέθηεη αξγά θαη ηειηθά ζα πέζεη κέζα ζηνλ θχβν. 6. Ξεβηδψζηε ην πψκα θαη βγάιηε ην έκβνιν απφ ηνλ θχβν. Δπαλαηνπνζεηήζηε ην πψκα ζηε ζέζε ηνπ θαη βηδψζηε ην ψζηε ε ηξχπα λα θιείζεη αεξνζηεγψο. 7. Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα 3, 4 θαη 5 άιιεο 9 θνξέο, ψζηε λα έρεηε ζπλνιηθά 10 κεηξήζεηο, απφ ηηο νπνίεο ζα βξεζνχλ 10 κέζεο ηηκέο ηεο πεξηφδνπ ηαιάλησζεο Σ ηνπ εκβφινπ. 118

13 8. Με ηε βνήζεηα ελφο βαξνκέηξνπ πδξαξγχξνπ, κεηξήζηε θαη θαηαγξάςηε ηελ αηκνζθαηξηθή πίεζε p 0. εκεηψζηε ηηο κνλάδεο ηεο πίεζεο θαη ην ζθάικα απηήο ηεο κέηξεζεο Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Απφ ηνλ ρξφλν ησλ 10 ηαιαληψζεσλ ηνπ εκβφινπ, βξείηε ηελ πεξίνδν, Σ, ηεο ηαιάλησζεο γηα θάζε κηα απφ ηηο 10 ζεηξέο κεηξήζεσλ.. Γηα ηηο 10 ηηκέο ηεο πεξηφδνπ πνπ βξήθαηε, ππνινγίζηε ηε κέζε ηηκή θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε ηεο πεξηφδνπ. Γξάςηε ην απνηέιεζκα ζε κνξθή Σ ± δσ. 3. Απφ ηε Δμ. (1.4), ππνινγίζηε ηνλ ιφγν γ = c p /c v θαη ην ζθάικα ηνπ. ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ ζθάικαηνο λα εθηηκήζεηε πνηα απφ ηα κεγέζε ζηελ (1.4) έρνπλ ακειεηέα ζθάικαηα ζε ζχγθξηζε κε ηα άιια θαη λα αγλνήζεηε ηα ζθάικαηα απηά. Γξάςηε ην ηειηθφ απνηέιεζκα ηνπ πεηξάκαηνο σο γ ± δγ. 4. Με βάζε ηελ ηηκή ηνπ γ πνπ πξνζδηνξίζαηε, θαηαηάμηε ηνλ αηκνζθαηξηθφ αέξα ζε κηα απφ ηηο ηξεηο θαηεγνξίεο ησλ κνλναηνκηθψλ, δηαηνκηθψλ ή πνιπαηνκηθψλ αεξίσλ. 119

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

Ρνπή αδξάλεηαο ζηεξεώλ ζσκάησλ

Ρνπή αδξάλεηαο ζηεξεώλ ζσκάησλ Άζθεζε 6 Ρνπή αδξάλεηαο ζηεξεώλ ζσκάησλ 6.. θνπόο ηελ άζθεζε απηή εμεηάδεηαη ε έλλνηα ηεο ξνπήο αδξάλεηαο θαη κεηξνχληαη νη ξνπέο αδξάλεηαο ηεζζάξσλ ζηεξεψλ ζσκάησλ: ελφο δίζθνπ, κηαο ζθαίξαο, ελφο θπιηλδξηθνχ

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

Μέηξεζε ηεο ζηαζεξάο ηεο παγθόζκηαο έιμεο, G, κε ηελ κέζνδν ηνπ Cavendish

Μέηξεζε ηεο ζηαζεξάο ηεο παγθόζκηαο έιμεο, G, κε ηελ κέζνδν ηνπ Cavendish Άζθεζε 3 Μέηξεζε ηεο ζηαζεξάο ηεο παγθόζκηαο έιμεο, G, κε ηελ κέζνδν ηνπ Cavendish 3.1. θνπόο θνπφο ηνπ πεηξάκαηνο είλαη ε κέηξεζε ηεο παγθφζκηαο ζηαζεξάο ηεο βαξχηεηαο (παγθφζκηαο έιμεο), G, κε ηελ κέζνδν

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνύ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνύ εθθξεκνύο

Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνύ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνύ εθθξεκνύο Άζθεζε 4 Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνύ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνύ εθθξεκνύο 4.1. θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνχ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνχ εθθξεκνχο.

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΜΟΙΩΕΙ ΦΤΙΚΗ ΛΤΚΕΙΟΤ. Κινητική θεωπία αεπίων

ΠΡΟΟΜΟΙΩΕΙ ΦΤΙΚΗ ΛΤΚΕΙΟΤ. Κινητική θεωπία αεπίων ΠΡΟΟΜΟΙΩΕΙ ΦΤΙΚΗ ΛΤΚΕΙΟΤ Κινητική θεωία αείων 1 ΠΕΡΙΕΥΟΜΕΝΑ 1. Νόμοι αείων 1. Νόκνο ην Boyle 3 2. Νόκνο ην Charles 5 3. Νόκνο ην Gay - Lussac 7 4. Κθιηθή κεηαβνιή αεξίν Δθαξκνγή 1 9 5. Δθαξκνγή 2 11 6.

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη :

Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη : Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη : Θέμα Α. Σηιρ επωηήζειρ πολλαπλήρ επιλογήρ πος ακολοςθούν ζημειώζηε ζηο γπαπηό ζαρ ηον απιθμό ηηρ επώηηζηρ και δίπλα ηην ένδειξη ηηρ ζωζηήρ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο

Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Άζθεζε Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο.1. θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξχηεηαο απφ κεηξήζεηο ηεο πεξηφδνπ ησλ ηαιαληψζεσλ

Διαβάστε περισσότερα

Τκήκα : ΓΘΕΤΘΚΗΣ Ηκ/ληα : 30 / 11 / 2016

Τκήκα : ΓΘΕΤΘΚΗΣ Ηκ/ληα : 30 / 11 / 2016 Τκήκα : ΓΘΕΤΘΚΗΣ Ηκ/ληα : 30 / 11 / Ολνκαηεπώλπκν : ΘΔΜΑ Α : Σηηο παξαθάησ εξσηήζεηο Α1 Α4 λα επηιέμεηε ηε ζσζηή απάληεζε Δηάξθεηα 3h Α1. Έλα ζύζηεκα κάδαο ειαηεξίνπ εθηειεί εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο:

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: x = 8ημ(πt+π/6) 1. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ. 2. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ απνκάθξπλζή ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΛΙΚΩΝ

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΛΙΚΩΝ Άδειεσ Χρήςησ -Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςτην άδεια χρήςησ Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά - Μη εμπορική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα 4. ΑΝΑΠΝΟΗ Η δηάζπαζε ηεο γιπθόδεο γίλεηαη κέζα ζηα θύηηαξα, νλνκάδεηαη θπηηαξηθή αλαπλνή θαη εμαζθαιίδεη ηελ ελέξγεηα πνπ είλαη απαξαίηεηε ζην θύηηαξν. Η δηάζπαζε γίλεηαη κε ηελ παξνπζία νμπγόλνπ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Σώκα Α κάδαο m 1 = 1 kg θηλείηαη κε ηαρύηεηα π 1 = 4 m/s πάλσ ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν θαη ζπγθξνύεηαη κεησπηθά θαη ειαζηηθά κε αθίλεην ζώκα Β κάδαο m = 3 kg. Σηε ζπλέρεηα,

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 ΕΙΑΓΩΓΗ: Τα δηάθνξα πιηθά, αλάινγα κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο εληόο καγλεηηθνύ πεδίνπ δηαθξίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Εςθύγπαμμη κίνηζη

1.1 Εςθύγπαμμη κίνηζη . Εςθύγπαμμη κίνηζη.. Ύλη και κίνηζη Η ύιε βξίζθεηαη ζε κία δηαξθή θίλεζε. Η θίλεζε είλαη ζρεηηθή, δελ ππάξρεη ηίπνηε ζην ζύκπαλ ην νπνίν λα είλαη αθίλεην. Οξίδεηαη ωο ηξνρηά νη δηαδνρηθέο ζέζεηο πνπ παίξλεη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΜΟΙΩΕΙ ΦΤΙΚΗ ΛΤΚΕΙΟΤ. Θερμοδσναμική

ΠΡΟΟΜΟΙΩΕΙ ΦΤΙΚΗ ΛΤΚΕΙΟΤ. Θερμοδσναμική ΠΡΟΟΜΟΙΩΕΙ ΦΤΙΚΗ ΛΤΚΕΙΟΤ Θερμοδσναμική 1 ΠΕΡΙΕΥΟΜΕΝΑ 1. Πρώτος θερμοδσναμικός νόμος 1. Αληηζηξεπηή κεηαβνιή. Με αληηζηξεπηή κεηαβνιή 5. Ιζόζεξκε αληηζηξεπηή κεηαβνιή 7 4. Ιζόρσξε αληηζηξεπηή κεηαβνιή 10

Διαβάστε περισσότερα

Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε

Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε 1 ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΑ ΑΕΡΙΑ.1 ΓΔΝΗΚΑ Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε P = RT (γηα έλα ol) Από ηε ζρέζε απηή παίξλνπκε Ζ = P / RT = 1 Γειαδή ν ιόγνο Ζ, πνπ νλνκάδεηαη παπάγονηαρ ζςμπιεζηόηηηαρ,

Διαβάστε περισσότερα

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό.

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό. ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΛΔΤΚΩΙΑ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε ηωλ παξαγόληωλ από ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε. Τιηθά - πζθεπέο: Ηιεθηξνληθή δπγαξηά, ηξνθνδνηηθό ηάζεο, ξννζηάηεο, ακπεξόκεηξν,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 61 Ον/μο:.. Β Λσκείοσ Ύλη: Ηλεκηρικό ρεύμα Το Φως Γενικής Παιδείας 22-3-2015 Θέμα 1 ο : 1. Μία ειεθηξηθή ζπζθεπή ιεηηνπξγεί γηα ρξνληθή δηάξθεηα 0,5h θαη θαηαλαιώλεη 2kWh ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

β) (βαζκνί: 2) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά έρεη κέζε ηηκή 0 θαη είλαη αληηζηξέςηκε. Δίλεηαη ην αθόινπζν απνηέιεζκα από ην EViews γηα ηε :

β) (βαζκνί: 2) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά έρεη κέζε ηηκή 0 θαη είλαη αληηζηξέςηκε. Δίλεηαη ην αθόινπζν απνηέιεζκα από ην EViews γηα ηε : 1 ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ 2 ΑΠΟ ΤΑ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 α) (βαζκνί: 3) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά είλαη ζηάζηκε, αληηζηξέςηκε θαη αθνινπζεί ην ΑR(1) ππόδεηγκα. Να βξεζνύλ ε κέζε ηηκή, ε δηαζπνξά θαη ε απηνζπζρέηηζε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex

Διαβάστε περισσότερα

6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ

6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ 6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ Σηα πιαίζηα ηεο έθηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11.

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11. Ζκεξίδα 2/11/21 ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 2.11.21 Πεγέο ελέξγεηαο Σπλ. Πξσηνγελήο Δλέξγεηα = Σ Καηαλ. Δλέξγεηα θαπζίκνπ x Σπλη.

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 2: Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: 12/5/2005

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 2: Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: 12/5/2005 Δξγαζηεξηαθή άζθεζε : Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: /5/005 ΕΙΑΓΩΓΗ Ζ εξγαζηεξηαθή άζθεζε πεξηιακβάλεη έλα πείξακα θαη ζθνπόο ηεο είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Παλεπηζηήκην Κξήηεο Τκήκα Επηζηήκεο θαη Τερλνινγίαο Υιηθώλ Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Δηδάζθσλ: Δεκήηξεο Παπάδνγινπ Email: dpapa@materials.uc.gr Άλυτες Ασκήσεις: 1. Να πξνζδηνξίζεηε αλ νη αθόινπζεο ζπλαξηήζεηο

Διαβάστε περισσότερα

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη 5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα.

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα. Καηαζηάζεηο ηεο ύιεο 1 ΔΚΦΔ ΥΑΝΗΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΟΗ ΦΤΗΚΔ ΔΠΗΣΖΜΔ ΣΖΝ ΠΡΟΥΟΛΗΚΖ ΑΓΧΓΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 1: ΔΗΑΓΧΓΖ ΚΔΦΑΛΑΗΟ 4: ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΠΔΡΗΟΓΗΚΑ ΦΑΗΝΟΜΔΝΑ Πεξηνδηθά θαηλόκελα, ιέγνληαη ηα θαηλόκελα πνπ επαλαιακβάλνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Υαξαθηεξηζηηθά κεγέζε πεξηνδηθώλ θαηλνκέλωλ Πεξίνδνο

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

Αντισταθμιστική ανάλυση

Αντισταθμιστική ανάλυση Θεσξήζηε έλαλ αιγόξηζκν Α πνπ ρξεζηκνπνηεί κηα δνκή δεδνκέλσλ Γ : Καηά ηε δηάξθεηα εθηέιεζεο ηνπ Α ε Γ πξαγκαηνπνηεί κία αθνινπζία από πξάμεηο. Παξάδεηγκα: Θπκεζείηε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο-έλσζεο Δίρακε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Ο πολσμεριζμός Πολσμεριζμός είναι η τημική ανηίδραζη καηά ηην οποία πολλά μόρια ίδιων ή διαθορεηικών οργανικών ενώζεων, ποσ ονομάζονηαι μονομερή, ενώνονηαι και ζτημαηίζοσν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplac Δηεπξύλεη ηε θιάζε ηωλ ζεκάηωλ γηα ηα νπνία κπνξεί λα επηηεπρζεί ε κεηάβαζε από ην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο. Παξέρεη ηε

Διαβάστε περισσότερα

Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο πιηθώλ

Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο πιηθώλ Άζθεζε 30 Μέηξεζε ην ζληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο ιηθώλ 31.1 θνόο ηελ άζθεζε αηή ζα κεηξήζνκε ηνλ ζληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο δύν ζηεξεώλ ζσκάησλ, ελόο θαινύ θαη ελόο θαθνύ αγσγνύ ηεο ζεξκόηεηαο,

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν

Διαβάστε περισσότερα

Μέηξεζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ελόο ζσιελνεηδνύο

Μέηξεζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ελόο ζσιελνεηδνύο Άζθεζε 11 11.1. θνπόο Μέηξεζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ελόο ζσιελνεηδνύο ηελ άζθεζε απηή ζα κεηξεζεί ην καγλεηηθφ πεδίν ελφο ζσιελνεηδνχο (θπιηλδξηθνχ πελίνπ). Θα ρξεζηκνπνηεζεί έλα δνθηκαζηηθφ πελίν, ε ρξήζε

Διαβάστε περισσότερα

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;...

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;... ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Ιζοδύναμη ανηίζηαζη ζύνδεζηρ ανηιζηαηών Η δηδαζθαιία ηεο ηζνδύλακεο αληίζηαζεο γηα ζύλδεζε αληηζηαηώλ ζε ζεηξά θαη παξάιιεια ππάξρεη ζην Αλαιπηηθό Πξόγξακκα Σπνπδώλ ζηα καζήκαηα Φπζηθήο

Διαβάστε περισσότερα

Δπαστηπιότητα 1 - ανάπτςξη, μεταγλώττιση, αποσυαλμάτωση και. εκτέλεση ππογπάμματορ

Δπαστηπιότητα 1 - ανάπτςξη, μεταγλώττιση, αποσυαλμάτωση και. εκτέλεση ππογπάμματορ 1 Δπαστηπιότητα 1 - ανάπτςξη, μεταγλώττιση, αποσυαλμάτωση και εκτέλεση ππογπάμματορ Κάζε πξσί ν Karel μππλάεη ζην θξεβάηη ηνπ όηαλ έλα ξνκπόη-εθεκεξηδνπώιεο ηνπ πεηάεη ηελ εθεκεξίδα, πνπ αλαπαξηζηάλεηαη

Διαβάστε περισσότερα

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ 1 Δίδη καμπσλών κόζηοσς Μηα θακπύιε ζπλνιηθνύ θόζηνπο είλαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο ηεο επηρείξεζεο. Μηα θακπύιε κεηαβιεηνύ θόζηνπο είλαη ε

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες.

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες. ΦΩΣΟΤΝΘΔΗ Δλαιιαθηηθή δηεξγαζία παξαγσγήο ελέξγεηαο Υξεζηκνπνηείηαη από ηνπο νλνκαδόκελνπο θσηνζπλζεηηθνύο νξγαληζκνύο Οπζηαζηηθά ε αληίζηξνθε δηεξγαζία ηεο αλαπλνήο πλίζηαηαη ζηελ δέζκεπζε ειηαθήο ελέξγεηαο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΣΑΞΗ: ΦΤΙΚΗ / Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΔΙΡΑ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 24/02/2013 ΛΤΔΙ ΘΔΜΑ A

ΜΑΘΗΜΑ / ΣΑΞΗ: ΦΤΙΚΗ / Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΔΙΡΑ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 24/02/2013 ΛΤΔΙ ΘΔΜΑ A ΜΑΘΗΜΑ / ΣΑΞΗ: ΦΤΙΚΗ / Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΔΙΡΑ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 24/02/2013 ΘΔΜΑ A ΛΤΔΙ ηις ημιηελείς προηάζεις Α 1 -Α 4 να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό ηης πρόηαζης και δίπλα ηο γράμμα ποσ ανηιζηοιτεί ζηη θράζη

Διαβάστε περισσότερα

Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: 1 Σθέδαζε Compton Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 16/1/2012

Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: 1 Σθέδαζε Compton Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 16/1/2012 Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: Σθέδαζε Compton Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 6//0 ΕΙΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΟΙΥΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ Σθνπόο ηεο άζθεζεο είλαη ε κέηξεζε ηεο κάδαο εξεκίαο ηνπ ειεθηξνλίνπ θαη ε κεηαβνιή ηεο

Διαβάστε περισσότερα

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger 1 θύιιν ζθνιηάηαο 2 πξάζα 150 γξ. bacon 150 γξ. θέηα ΓΧΓΧΝΗ 100 γξ. γξαβηέξα ΓΧΓΧΝΗ 1 θ.ζ. ειαηόιαδν Κόβνπκε ηα πξάζα ζε ιεπηέο ξνδέιεο. Κόβνπκε ην bacon

Διαβάστε περισσότερα

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB. ςνάπηηζη μεηαθοπάρ Γηα ηε κειέηε ελόο ζπζηήκαηνο κε ην Matlab απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε είλαη λα δεκηνπξγήζνπκε έλα κνληέιν, ώζηε λα εμεηάζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

Α.2 Η ελεξγόο έληαζε ελαιιαζζόµελνπ ξεύµαηνο πιάηνπο Θν είλαη: I ελ =10 2A Τν πιάηνο Θ ν ηεο έληαζεο ηζνύηαη µε:

Α.2 Η ελεξγόο έληαζε ελαιιαζζόµελνπ ξεύµαηνο πιάηνπο Θν είλαη: I ελ =10 2A Τν πιάηνο Θ ν ηεο έληαζεο ηζνύηαη µε: ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/11/14 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.1-Α.8 και δίπλα ηο γράμμα ποσ ανηιζηοιτεί

Διαβάστε περισσότερα