Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε
|
|
- Ἀνίκητος Γερμανού
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΑ ΑΕΡΙΑ.1 ΓΔΝΗΚΑ Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε P = RT (γηα έλα ol) Από ηε ζρέζε απηή παίξλνπκε Ζ = P / RT = 1 Γειαδή ν ιόγνο Ζ, πνπ νλνκάδεηαη παπάγονηαρ ζςμπιεζηόηηηαρ, είλαη γηα όια ηα ηδαληθά αέξηα ζηαζεξόο θαη ίζνο κε ηε κνλάδα. Απηό όκσο δελ ηζρύεη θαη ζηα θπζηθά αέξηα. Ζ πεηξακαηηθή κειέηε ησλ αεξίσλ έδεημε όηη ν Ζ εμαξηάηαη ηόζν από ηε θύζε ηνπ αεξίνπ όζν θαη από ηελ πίεζε θαη ηε ζεξκνθξαζία ηνπ. Ζ εμάξηεζε ηνπ παράγοντα σσμπιεστότητας από ηελ πίεζε γηα δηάθνξα αέξηα ζε ζηαζεξή ζεξκνθξαζία, 0 0 C, θαίλεηαη ζην σήμα 1. ε πνιύ ρακειέο πηέζεηο όια ηα αέξηα πνπ θαίλνληαη ζην σήμα 1 έρνπλ έλα παξάγνληα σήμα 1: Δμάξηεζε ηνπ παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο από ηελ πίεζε γηα δηάθνξα αέξηα ζηνπο 0 0 C.
2 ζπκπηεζηόηεηαο θνληά ζηε κνλάδα θη έηζη ζπκπεξηθέξνληαη ζρεδόλ ηδαληθά. ε πςειέο πηέζεηο όια ηα αέξηα έρνπλ Ζ 1, πνπ ζεκαίλεη όηη είλαη δπζθνιόηεξν ζπγθξηηηθά κε έλα ηδαληθό αέξην λα ζπκπηεζηνύλ (ην γηλόκελν P είλαη κεγαιύηεξν από ην RT) γηαηί ππεξηζρύνπλ νη απσζηηθέο δπλάκεηο. ε ελδηάκεζεο πηέζεηο κεξηθά αέξηα έρνπλ Ζ 1, πνπ ζεκαίλεη όηη νη ειθηηθέο δπλάκεηο ππεξηζρύνπλ θαη δηεπθνιύλνπλ ηε ζπκπίεζε. Γηα πνιιά αέξηα, όπσο γηα ην Ζ θαη ιηγόηεξν γηα ην κεζάλην, CH 4, ζεκαληηθέο απνθιίζεηο ηνπ Ζ από ηε κνλάδα παξαηεξνύληαη κόλν ζε αξθεηά κεγάιεο πηέζεηο. Απηό είλαη επράξηζην δηόηη θαλεξώλεη όηη γηα πνιιά αέξηα ππό ζπλήζεηο ζπλζήθεο ηζρύεη ηθαλνπνηεηηθά ν λόκνο ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ. Όκσο, νξηζκέλα θνηλά αέξηα, όπσο ε ακκσλία, ΝΖ, θαη ην αηζάλην, C H 4, παξνπζηάδνπλ κεγάιεο απνθιίζεηο αθόκα θαη ζε ρακειέο πηέζεηο ηνπιάρηζηνλ ζηε ζεξκνθξαζία 0 0 C. ην σήμα, δίλεηαη ην δηάγξακκα κεηαβνιήο ηνπ Ζ γηα ην κεζάλην, CH 4, κε ηελ πίεζε P ζε δηάθνξεο ζεξκνθξαζίεο. Παξαηεξνύκε όηη ζηηο ρακειέο ζεξκνθξαζίεο (π.ρ. 00 θαη 500 Κ γηα ην CH 4 ) νη θακπύιεο κεηαβνιήο ηνπ Ζ κε ηελ πίεζε P παξνπζηάδνπλ ραξαθηεξηζηηθό ειάρηζην, πέξα από ην νπνίν κε ηελ αύμεζε ηεο πίεζεο ν ζπληειεζηήο Ε αξρίδεη λα απμάλεηαη ζεκαληηθά. σήμα : Δμάξηεζε ηνπ παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο από ηελ πίεζε γηα ην κεζάλην, CH 4, ζε δηάθνξεο ζεξκνθξαζίεο Με ηελ αύμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ην ειάρηζην κεηαηνπίδεηαη ζηηο κηθξόηεξεο πηέζεηο, ελώ ζηηο κεγάιεο ζεξκνθξαζίεο (π.ρ Κ γηα ην CH 4 ) ην ειάρηζην εμαθαλίδεηαη θαη νη θακπύιεο Z-P ηείλνπλ λα γίλνπλ επζείεο. Τπάξρεη δε κηα ζεξκνθξαζία (640 Κ γηα ην CH 4 ) ζηελ νπνία ε θακπύιε Ζ-P γίλεηαη επζεία παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα ηεο πίεζεο P
3 ηνπιάρηζηνλ ζηηο ρακειέο πηέζεηο. Ζ ζεξκνθξαζία απηή νλνκάδεηαη ζημείο ηος Boyle. Πξνθαλώο θάζε θπζηθό αέξην, όηαλ βξίζθεηαη ζηε ζεξκνθξαζία ηνπ Boyle, ζπκπεξηθέξεηαη σο ηδαληθό αέξην ηνπιάρηζηνλ ζηηο ρακειέο πηέζεηο. Κάησ από ηε ζεξκνθξαζία ηνπ Boyle νη θακπύιεο Ζ-P παξνπζηάδνπλ όιεο ραξαθηεξηζηηθό ειάρηζην, ελώ πάλσ από απηή νη θακπύιεο Ζ-P ηείλνπλ λα γίλνπλ επζείεο. Γίλεηαη ινηπόλ θαλεξό όηη ε θαηαζηαηηθή εμίζσζε ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ αδπλαηεί λα πεξηγξάςεη ηε ζπκπεξηθνξά ησλ πεξηζζόηεξσλ θπζηθώλ αεξίσλ. Με εμαίξεζε ηε ζεξκνθξαζία Boyle θαη κόλν ζηελ πεξηνρή ησλ πνιύ ρακειώλ πηέζεσλ, αζπκπσηηθά δει. όηαλ P 0, ηα θπζηθά αέξηα ηείλνπλ λα απνθηήζνπλ ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά. Σν επόκελν βήκα είλαη λα ζηξέςνπκε ηελ πξνζνρή καο ζηελ ζπλνιηθή P--T ζπκπεξηθνξά ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ. Δμηζώζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ηελ P--T ζπκπεξηθνξά ησλ αεξίσλ, όπσο είλαη ε Δμ.1 γηα ηα ηδαληθά αέξηα, ιέγνληαη καηαζηαηικέρ εξιζώζειρ. Πεξηζζόηεξεο από 100 ηέηνηεο εμηζώζεηο έρνπλ πξνηαζεί κέρξη ζήκεξα. Σα ηειεπηαία ρξόληα ρξεζηκνπνηείηαη νινέλα θαη πεξηζζόηεξν ε ιεγόκελε δςναμική εξίζωζη (virial equation, virial είλαη ε ιαηηληθή ιέμε γηα ηε δύλακε). Απηή είλαη πνιύ γεληθή εμίζσζε ηεο κνξθήο B C P 1 RT (1) πνπ νη ζπληειεζηέο Β, C, εμαξηώληαη από ηε θύζε ηνπ αεξίνπ θαη ηε ζεξκνθξαζία θαη ιέγνληαη δεύηεξνο, ηξίηνο θ.ι.π. ζπληειεζηέο virial. Γεληθά, ν ζπληειεζηήο Β είλαη αξλεηηθόο ζε ρακειέο ζεξκνθξαζίεο θαη απμάλεη κε ηελ αύμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο νπόηε γίλεηαη κεδέλ θαη ύζηεξα ζεηηθόο. Ζ ζεξκνθξαζία ζηελ νπνία ν Β παίξλεη ηελ ηηκή 0 ιέγεηαη ζεξκνθξαζία Boyle, T B, γηαηί ηόηε ην αέξην ππαθνύεη κε κεγάιε πξνζέγγηζε ζην λόκν ηνπ Boyle γηα ζρεηηθά επξεία πεξηνρή πηέζεσλ. Ζ Δμ. 1 είλαη εκπεηξηθή έθθξαζε πεξηγξαθήο ηεο P--T ζπκπεξηθνξάο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ, αιιά κπνξεί λα πεξηγξάςεη ηελ πεηξακαηηθή P--T ζπκπεξηθνξά ησλ αεξίσλ κε αθξίβεηα όηαλ ρξεζηκνπνηείηαη κεγάινο αξηζκόο όξσλ ζηελ εμίζσζε απηή, θη έρνπλ αλαπηπρζεί δηάθνξνη ζεσξεηηθνί κέζνδνη ππνινγηζκνύ ησλ ζπληειεζηώλ Β, C θ.ι.π. Παξά ην γεγνλόο ινηπόλ όηη θάησ από εηδηθέο ζπλζήθεο νη απνθιίζεηο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ από ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά κπνξεί λα είλαη κηθξέο, αλ νη κειέηεο ηεο P--T ζπκπεξηθνξάο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ γίλνπλ ζε αξθεηά ρακειέο ζεξκνθξαζίεο θαη αξθεηά πςειέο πηέζεηο, όια ηα αέξηα δείρλνπλ ζεκαληηθέο απνθιίζεηο από ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά. ην σήμα θαίλνληαη κεξηθέο πεηξακαηηθέο ηζόζεξκεο γηα ην δηνμείδην ηνπ άλζξαθα, CO. Oξηζκέλε πνζόηεηα ηνπ αεξίνπ απηνύ ηνπνζεηήζεθε ζε γπάιηλν ζσιήλα θαη
4 4 ζε ζηαζεξή ζεξκνθξαζία κεηξήζεθε ν όγθνο ηνπ ζε ζπλάξηεζε κε ηελ πηέζε πνπ αζθείηαη ζε απηό π.ρ. κε έλα εκβνιν. Οη πεξίπινθεο απηέο κνξθέο ησλ ηζνζέξκσλ ηνπ ρ. εμεγνύλαη ζηε ζπλέρεηα. σήμα : Πεηξακαηηθέο ηζόζεξκεο γηα ην δηνμείδην ηνπ άλζξαθα, CO, ζε δηάθνξεο ζεξκνθξαζίεο ηε ζεξκνθξαζία π.ρ. ησλ 0 0 C ην CO ζην ζεκείν Α είλαη αέξην θαη ε αύμεζε ηεο πίεζεο ειαηηώλεη ηνλ όγθν (θακπύιε ΑΒ) θαηά πξνζέγγηζε ζύκθσλα κε ην λόκν ηνπ Boyle. Όηαλ όγθνο ηνπ δείγκαηνο κεησζεί αξθεηά, ώζηε ε θαηάζηαζε λα είλαη ε Β, ηόηε αξρίδνπλ λα εκθαλίδνληαη ζεκαληηθέο απνθιίζεηο από ην λόκν ησλ Boyle-Mariotte. ην ζεκείν πνπ γηα ηελ πεξίπησζε ηνπ CO αληηζηνηρεί ζε πίεζε 60 at, ράλεηαη θάζε νκνηόηεηα κε ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά, θαζώο ην έκβνιν κεηώλεη ηνλ όγθν ηνπ αεξίνπ ρσξίο παξάιιειε αύμεζε ηεο πίεζεο (βιέπε νξηδόληηα γξακκή CDE ζην ρ. ). Δμέηαζε ηνπ πεξηερνκέλνπ ηνπ γπάιηλνπ ζσιήλα δείρλεη όηη κόιηο πιεζηάδνπκε ζε θαηαζηάζεηο αξηζηεξά ηνπ ζεκείνπ C, εκθαλίδεηαη πγξό θη έηζη ζπλππάξρνπλ δπν δηαθνξεηηθέο θάζεηο, νη νπνίεο δηαρσξίδνληαη από κηα ζαθώο θαζνξηζκέλε επηθάλεηα (ε νπνία ζηελ πεξίπησζε πνπ ην δνρείν είλαη ζηελόο ζσιήλαο είλαη θπξηή θαη ιέγεηαη μηνίσκος). Καζώο ν όγθνο ειαηηώλεηαη από ην C πξνο ην Δ
5 5 δηα κέζνπ ηνπ D, ε πνζόηεηα ηνπ πγξνύ απμάλεηαη. Απηό νθείιεηαη ζην γεγνλόο όηη ην αέξην αληαπνθξίλεηαη κε ζπκπύθλσζε, ώζηε λα κελ παξαηεξείηαη επηπξόζζεηε αληίζηαζε ζην έκβνιν. ην ζεκείν Δ όιν ην αέξην έρεη εμαθαληζζεί, ην δείγκα έρεη πιήξσο πγξνπνηεζεί θαη ην έκβνιν βξίζθεηαη ζε επαθή κε ηελ επηθάλεηα ηνπ πγξνύ. Πεξαηηέξσ κείσζε ηνπ όγθνπ απαηηεί άζθεζε κεγάιεο πίεζεο. Απηό δείρλεη ε απόηνκε άλνδνο ηεο γξακκήο αξηζηεξά ηνπ Δ. Αθόκε θαη κηα κηθξή κεώζε ηνπ όγθνπ από ην Δ ζην F απαηηεί κεγάιε αύμεζε ηεο πίεζεο. πκπεξαζκαηηθά, ην ηκήκα ΑC ηεο ηζνζέξκνπ ησλ 0 0 C γηα ην CO παξηζηά κόλν αέξην, ελώ ην ηκήκα ΔF κόλν πγξό, ελώ θαηά κήθνο ηνπ ηκήκαηνο CΔ αέξην θαη πγξό ζπλππάξρνπλ ζε ηζνξξνπία. Ζ πνζόηεηα ηνπ πγξνύ ζε ζρέζε κε εθείλε ηνπ αεξίνπ απμάλεη όζν ν όγθνο ηνπ ζπζηήκαηνο κεηαβάιιεηαη από ην C ζην Δ. ην ζεκείν D γηα παξάδεηγκα έρνπκε πγξό/αέξην = DC/ΔD Σν γεγνλόο όηη ε CE είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα ησλ όγθσλ δείρλεη όηη ε πίεζε παξακέλεη ζηαζεξή όηαλ αέξην θαη πγξό ζπλππάξρνπλ ζε ηζνξξνπία, αλεμάξηεηα ηεο ζρεηηθήο πνζόηεηαο ηνπο. Ζ ζηαζεξή πίεζε πνπ αληηζηνηρεί ζην ηκήκα CDE είλαη ε ηάζη αημών ηνπ πγξνύ ζηε ζεξκνθξαζία, 0 0 C, ηεο ηζνζέξκνπ. Ζ θακπύιε πίεζεο όγθνπ ζε 0 0 C είλαη αλάινγε κε απηή πνπ κόιηο πεξηγξάςακε, κε κόλε δηαθνξά όηη ην νξηδόληην ηκήκα θαηά κήθνο ηνπ νπνίνπ γίλεηαη πγξνπνίεζε είλαη καθξύηεξν. Όζν κεηαθηλνύκαζηε ζε ςειόηεξεο ζεξκνθξαζίεο, ηόζν ην ηκήκα απηό γίλεηαη όιν θαη βξαρύηεξν, κέρξη όπνπ ζε 1,04 0 C θαηαιήμεη ζε απιό ζεκείν θακπήο πνπ ζεκεηώλεηαη κε αζηεξίζθν ζην ρ.. Σν ζεκείν απηό ιέγεηαη κπίζιμο ζημείο ή κπίζιμη καηάζηαζη ελώ ε ηζόζεξκε πνπ πεξλάεη από ην θξίζηκν ζεκείν ιέγεηαη κπίζιμη ιζόθεπμη θαη ε ζεξκνθξαζία ζηελ νπνία απηή αληηζηνηρεί κπίζιμη θεπμοκπαζία (ritial teperature), Τ. Ζ πίεζε ηέινο θαη ν γξακκνκνξηαθόο όγθνο ζην θξίζηκν ζεκείν ιέγνληαη κπίζιμη πίεζη (ritial pressure), P, θαη κπίζιμορ όγκορ (ritial volue),,, ελώ γεληθά νη πνζόηεηεο P, Τ θαη, ιέγνληαη κπίζιμερ ζηαθεπέρ ηνπ αεξίνπ θαη νη ηηκέο ηνπο εμαξηώληαη από ηε θύζε ηνπ αεξίνπ θαη δίλνληαη ζε πίλαθεο. Ζ θακπύιε ηέινο πνπ πεξηιακβάλεη ηα νξηδόληηα ηκήκαηα ηνπ ρ., δειαδή ε δηαρσξηζηηθή γξακκή κεηαμύ ηνπ ζθηαζκέλνπ θαη ηνπ δηαθαλνύο ηκήκαηνο ηνπ δηαγξάκκαηνο, ιέγεηαη καμπύλη ζςνύπαπξηρ. Ζ θξίζηκε ηζόζεξκε θαη ε θακπύιε ζπλύπαξμεο ρσξίδνπλ ην δηάγξακκα ηνπ ρ. ζε 4 κέξε. Πάλσ από ηελ θξίζηκε ηζόζεξκε ππάξρεη αέξην πνπ δελ κπνξεί λα πγξνπνηεζεί νζνδήπνηε κεγάιε πίεζε θη αλ εθαξκόζνπκε. Μεηαμύ ηεο θξίζηκεο ηζόζεξκεο θαη ηεο θακπύιεο ζπλύπαξμεο ππάξρεη, δεμηά κελ από ην θξίζηκν ζεκείν αηκόο (δει αέξην πνπ κπνξεί λα πγξνπνηεζεί απιά κε ζπκπίεζε), αξηζηεξά δε από ην θξίζηκν ζεκείν πγξό. Σέινο θάησ από ηελ θακπύιε ζπλύπαξμεο έρνπκε αηκό θαη πγξό ζε ηζνξξνπία. Όζν ηέινο
6 6 απνκαθξπλόκαζηε από ην θξίζηκν ζεκείν πξνο ηα πάλσ ζην δηάγξακκα ηνπ ρ. ηόζν νη ηζόζεξκνη πιεζηάδνπλ όιν θαη πεξηζζόηεξν πξνο ηηο ηζνζέξκνπο Boyle-Mariotte ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ (π.ρ. ε ηζόζεξκνο ζε 50 0 C). Κνληά ινηπόλ ζηελ θξίζηκε θαηάζηαζε νη απνθιίζεηο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ από ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά είλαη κεγάιεο, θαίλεηαη ινηπόλ όηη νη παξάγνληεο πνπ θαζνξίδνπλ ηελ απόθιηζε ελόο αεξίνπ από ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά θαζνξίδνπλ επίζεο ηηο ηηκέο ησλ θξίζηκσλ ζηαζεξώλ P, Τ θαη,. Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ αηηία ησλ απνθιίζεσλ απηώλ ζα πξέπεη λα αλαηξέμνπκε ζηηο παξαδνρέο πνπ έρνπκε θάλεη γηα ηα ηδαληθά αέξηα. Όπσο είπακε ζηα ηδαληθά αέξηα ηα ζσκαηίδηα δελ θαηαιακβάλνπλ όγθν (ζεσξνύληαη ζεκεία) θαη δελ αιιειεπηδξνύλ κεηαμύ ηνπο. ηα πξαγκαηηθά αέξηα ηα κόξηα θαηαιακβάλνπλ ζπγθεθξηκέλν όγθν θαη αιιειεπηδξνύλ (έιθνληαη) κε δπλάκεηο van der Waals κεηαμύ ηνπο. Δδώ αθξηβώο βξίζθεηαη θαη ε αηηία ησλ απνθιίζεσλ ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ από ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά. Δίλαη θαλεξό όηη όζν πην έληνλα αιιειεπηδξνύλ ηα κόξηα ελόο θπζηθνύ αεξίνπ θαη όζν κεγαιύηεξν όγθν θαηαιακβάλνπλ ζε ζρέζε κε ην ζπλνιηθό όγθν ηνπ αεξίνπ (απηό γίλεηαη ζηηο κεγάιεο πηέζεηο, όπνπ απμάλεη ε ππθλόηεηα ηνπ αεξίνπ θαη ηα κόξηα αιιειεπηδξνύλ πην έληνλα επεηδή πιεζηάδνπλ κεηαμύ ηνπο), ηόζν πην έληνλεο είλαη νη απνθιίζεηο ηνπ αεξίνπ απηνύ από ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά.. ΔΞΗΩΖ AN DER WAALS Γηα λα κπνξέζνπκε λα αλαπηύμνπκε κηα θαηαζηαηηθή εμίζσζε πνπ λα πεξηγξάθεη ηα πξαγκαηηθά αέξηα, πξέπεη λα ιάβνπκε ππόςε καο ηνπο δύν παξάγνληεο πνπ δηαθνξνπνηνύλ ηα θπζηθά από ηα ηδαληθά αέξηα, ηνλ όγθν δειαδή ησλ κνξίσλ θαη ηηο ελδνκνξηαθέο ειθηηθέο αιιειεπηδξάζεηο. Αλ ιάβνπκε ππόςε καο κόλν ηνλ όγθν ησλ κνξίσλ, ηόηε ε εμίζσζε ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ πξνθύπηεη από ηελ αληίζηνηρε εμίζσζε ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ αλ αθαηξέζνπκε από ηνλ όγθν ηνπ αεξίνπ ηνλ όγθν b πνπ θαηαιακβάλνπλ ηα κόξηα ηνπ αεξίνπ κέζα ζηνλ όγθν. Γειαδή P( -b) = RT (γηα έλα ol) ή P = RT / ( -b) () Γηα λα ιάβνπκε ηώξα ππόςε καο θαη ηηο ελδνκνξηαθέο έιμεηο ζα πξέπεη λα παξαηεξήζνπκε ηα εμήο: Δμαηηίαο ησλ ειθηηθώλ αιιειεπηδξάζεσλ κεηαμύ ησλ κνξίσλ ηνπ
7 7 αεξίνπ, θάζε κόξην πνπ πάεη λα ζπγθξνπζζεί κε ην ηνίρσκα έιθεηαη πξνο ην εζσηεξηθό ηνπ αεξίνπ κε κηα δύλακε F πνπ είλαη αλάινγε πξνο ηελ ππθλόηεηα d ηνπ αεξίνπ. πλεπώο ε πίεζε πνπ αζθεί έλα πξαγκαηηθό αέξην είλαη κηθξόηεξε από ηελ πίεζε ελόο ηδαληθνύ αεξίνπ. Δπνκέλσο γηα λα καο δώζεη ε ζρέζε (1) ηελ πίεζε ηνπ πξαγκαηηθνύ αεξίνπ ζα πξέπεη λα αθαηξέζνπκε έλαλ όξν ΓP πνπ νθείιεηαη ζηηο δηακνξηαθέο έιμεηο RT P P b Δπεηδή ε πίεζε γεληθά ελόο αεξίνπ είλαη ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο ησλ ζπγθξνύζεσλ, ν, θαη ηεο δύλακεο κε ηελ νπνία θάζε κόξην ζπγθξνύεηαη κε ηελ επηθάλεηα ηνπ δνρείνπ ζην νπνίν πεξηέρεηαη ην αέξην ζα έρνπκε ΓP = (ν, F) O van der Waals δέρζεθε όηη (ν, F) = ι νf, όπνπ ι κηα ζηαζεξά αλαινγίαο Αιιά ν= ι d θαη F = ι d, όπνπ ι θαη ι είλαη ζηαζεξέο αλαινγίαο θαη d είλαη ε ππθλόηεηα ηνπ αεξίνπ. πλεπώο ΓP = ι d = α / Δπνκέλσο ηειηθά ζα έρνπκε RT a P (γηα έλα ol) b ή P b RT n θαη P nb nrt (γηα έλα ol) () (γηα n ol αεξίνπ) (4) Οη ζρέζεηο () θαη (4) είλαη γλσζηέο σο εξιζώζειρ ηος van der Waals. Σα α θαη b ιέγνληαη επίζεο ζηαζεξέο ηνπ van der Waals θαη έρνπλ νξηζκέλεο ηηκέο γηα θάζε αέξην. Από ηελ εμίζσζε (4) πξνθύπηεη όηη νη κνλάδεο ησλ ζηαζεξώλ απηώλ είλαη α = lt at / ol b = lt / ol Σν α νλνκάδεηαη θαη ζςνηελεζηήρ ενδοπίεζηρ θαη ην b νλνκάδεηαη θαη αποκλειόμενορ όγκορ ή ζύνογκορ. Οη ζηαζεξέο α θαη b πξνζδηνξίδνληαη ζπλήζσο από ηα
8 8 θξίζηκα δεδνκέλα, όπσο ζα δνύκε παξά θάησ. Οη ηηκέο ηνπο γηα κεξηθά αέξηα δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ Πίλαθα. Πίνακαρ 1: ηαζεξέο van der Waals αέριο a, lt at / ol b, lt / ol H 0,444 0,0661 CH 4,5 0,0478 C H 4 4,471 0,05714 NH 4,170 0,0707 CO,59 0,0467 Γεληθά αέξηα πνπ έρνπλ κεγάιεο ηηκέο ζηαζεξώλ van der Waals απνθιίλνπλ πεξηζζόηεξν από ηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά θαη ζπγθεθξηκέλα αέξηα κε κεγάιεο ζρεηηθά ηηκέο α πγξνπνηνύληαη επθνιόηεξα, επεηδή ε ζηαζεξά α απνηειεί κέηξν ησλ ειθηηθώλ δπλάκεσλ κεηαμύ ησλ κνξίσλ. ηελ πξαγκαηηθόηεηα νη ηηκέο ησλ α θαη b δελ είλαη αθξηβώο ζηαζεξέο αιιά δείρλνπλ θάπνηα εμάξηεζε από ηε ζεξκνθξαζία. Από απηό ζπκπεξαίλνπκε όηη ε εμίζσζε van der Waals δελ απνηειεί πιήξε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ, αιιά παξόια απηά όπσο ζα δνύκε ζηε ζπλέρεηα δίλεη κηα πνιιή θαιή εηθόλα ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ θαη επηηξέπεη βαζεηά δηείζδπζε ζην θαηλόκελν ηεο πγξνπνίεζεο ηνπο. Από ηε ζρέζε () θάλνληαο ηηο πξάμεηο κεηαζέηνληαο όινπο ηνπο όξνπο εθηόο ηνπ P ζην δεύηεξν κέινο πξνθύπηεη P a ab RT bp (5) αλ αληηθαηαζηαζεί ην ζην δεύηεξν κέινο πξνζεγγηζηηθά κε ηελ ηδαληθή ηηκή RT/P παίξλνπκε: P a RT ab RT P RT b P (6) Σα πεηξακαηηθά δεδνκέλα ησλ ρ. 1 θαη, πνπ αλαθέξνληαη ζηε ζπκπεξηθνξά δηαθνξεηηθώλ αεξίσλ ζε ζηαζεξή ζεξκνθξαζία θαη ηνπ ίδηνπ ζε δηάθνξεο ζεξκνθξαζίεο, αληίζηνηρα, εμεγνύληαη από ηελ Δμ. (6) γξακκέλε όκσο σο εμήο: P 1 a Z RT RT RT Ζ θιίζε ηνπ Ε σο πξνο ηελ P δίλεηαη από ηε ζρέζε ab RT 1 b P P (7)
9 9 Z P T 1 b RT a RT ab RT P Όπσο θαίλεηαη από ηε ζρέζε (8), ε θιίζε ηνπ Ε σο πξνο ηελ P εμαξηάηαη, ηόζν από ηε θύζε ηνπ αεξίνπ (ιόγσ ησλ ζηαζεξώλ α θαη b πνπ ππάξρνπλ ζηελ Δμ. (8)), αιιά θαη από ηελ ζεξκνθξαζία θαη ηελ πίεζε. ε ρακειέο πηέζεηο, ε θιίζε κπνξεί λα ππνινγηζηεί πξνζεγγηζηηθά από ηνλ πξώην όξν ηνπ δεύηεξνπ κέινπο ηεο Δμ. (8). Έηζη γηα παξάδεηγκα ζηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηνπ ρ. 1 ζηε ζηαζεξή ζεξκνθξαζία 0 0 C ζε ρακειέο πηέζεηο ε Δμ. (8) πξνβιέπεη ηόζν ζεηηθέο όζν θαη αξλεηηθέο ηηκέο ηεο θιίζεο αλάινγα αλ είλαη b a/rt ή b a/rt. Πξαγκαηηθά, αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ζηαζεξέο van der Waals ηνπ Πίλαθα 1, ε ζπλζήθε b a/rt ηζρύεη κόλν γηα ην Ζ, ελώ γηα όια ηα άιια αέξηα ηνπ ρήκαηνο 1 ζηε ζεξκνθξαζία 0 0 C ηζρύεη b a/rt (δεο Πίλαθα ). Πξνθαλώο ζηηο πςειέο Πίνακαρ : Κλίσεις των καμπύλων Ζ P σε ταμηλές πιέσεις για ζεξκνθξαζία 0 0 C αέριο a, lt at / ol b, lt / ol a/rt b-a/rt H 0,444 0,0661 0,0109 0,0157 CH 4,5 0,0478 0,1006-0,0579 C H 4 4,471 0, ,1997-0,146 NH 4,170 0,0707 0,186-0,149 (8) πηέζεηο ν δεύηεξνο όξνο ηνπ δεύηεξνπ κέινπο ηεο Δμ. (8) απνθηά ζρεηηθά κεγάιεο ηηκέο θαη ε θιίζε ηνπ Ζ σο πξνο ηελ P γηλεηαη ζεηηθή, αθόκε θη αλ ην b - a/rt είλαη αξλεηηθό. πλεπώο ε εμίζσζε van der Waals είλαη ζε ζέζε λα εξκελεύζεη ηελ εηθόλα ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ πνπ βξέζεθε πεηξακαηηθά θαη θαίλεηαη ζην ρ. 1. Σα πεηξακαηηθά δεδνκέλα ηέινο ηνπ ρ., πνπ αλαθέξνληαη ζηε ζπκπεξηθνξά ελόο αεξίνπ, ηνπ CH 4, ζε δηάθνξεο ζεξκνθξαζίεο εμεγνύληαη επίζεο από ηελ εμίζσζε van der Waals κε ηε βνήζεηα ηεο ζρέζεο (8). ε κηθξέο πηέζεηο ε θιίζε ηνπ Ζ σο πξνο ηελ P εμαξηάηαη θπξίσο από ηελ ζεξκνθξαζία. ε αξθεηά ρακειή ζεξκνθξαζία ν όξνο a/rt είλαη κεγαιύηεξνο από ην b θαη ζπλεπώο ε αξρηθή θιίζε ηνπ Ζ σο πξνο ηελ P είλαη αξλεηηθή, πξαγκαηηθά γηα ηε ζεξκνθξαζία π.ρ. 00 Κ ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ζηαζεξέο van der Waals ηνπ Πίλαθα 1 βξίζθνπκε a/rt = 0,17 πξνθαλώο είλαη κεγαιύηεξν από ην b ηνπ CH 4 πνπ είλαη 0,04. Με ηελ άλνδν ηεο ζεξκνθξαζίαο ν όξνο a/rt γίλεηαη νινέλα κηθξόηεξνο ζε αξθεηά δε πςειή ζεξκνθξαζία ζα είλαη b a/rt θαη ε αξρηθή θιίζε ζα γίλεη ζεηηθή (βιέπε θακπύιε ησλ 1000 Κ ηνπ ρήκαηνο, όπνπ a/rt = 0,07). Πξνθαλώο ζε θάπνηα ελδηάκεζε ζεξκνθξαζία T B (ζεξκνθξαζία Boyle) έρνπκε b = a/rt, νπόηε ε θιίζε γίλεηαη κεδεληθή. Ζ
10 10 ζεξκνθξαζία απηή γηα ην CH 4 είλαη 640 Κ γηαηί ζηε ζεξκνθξαζία απηή a/rt = 0.04 = b. πλεπώο πξνθύπηεη όηη Τ Β = a/rb (8) Όπσο είδακε ζηε ζεξκνθξαζία Boyle έλα αέξην ζπκπεξηθέξεηαη ηδαληθά ζε επξεία ζρεηηθά πεξηνρή πηέζεσλ γηαηί ν όξνο abp/(rt) ηεο Δμ. (8) έρεη πνιύ κηθξή ηηκή (0 έσο γηα ηελ πεξηνρή πηέζεσο από 0 έσο 100 at γηα ηελ πεξίπησζε ηνπ CH 4 ) θαη ζπλεπώο δελ αιιάδεη ηε κεδεληθή θιίζε ηνπ δηαγξάκκαηνο Ζ σο πξνο ηελ P ζηε ζεξκνθξαζία Boyle. πλεπώο εμεγείηαη ε κνξθή ησλ πεηξακαηηθώλ θακπύισλ ηνπ ρ. από ηελ εμίζσζε van der Waals. Ωο ηειεπηαίν ζρόιην ηεο Δμ. (8) αλαθέξνπκε όηη γεληθά όηαλ P 0 θαη Σ ε θιίζε Ζ σο πξνο ηελ P γίλεηαη κεδεληθή θαη Ζ 1. πλεπώο ηα πξαγκαηηθά αέξηα πιήζηάδνπλ ηόζν πεξηζζόηεξν ζηελ ηδαληθή ζπκπεξηθνξά, όζν ε πίεζε είλαη ρακειόηεξε θαη ε ζεξκνθξαζία ηνπο είλαη πςειόηεξε. Από όια ηα παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη ε εμίζσζε van der Waals είλαη ζε ζέζε λα εξκελεύζεη ηε γεληθή εηθόλα ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ.. ΓΡΑΦΗΚΖ ΠΑΡΑΣΑΖ ΣΖ ΔΞΗΩΖ AN DER WAALS Από ηε ζρέζε (), κεηά ηελ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ παίξλνπκε: b RT P P b 0 P (9) Βιέπνπκε ινηπόλ όηη ε εμίζσζε van der Waals είλαη ηξίηνπ βαζκνύ σο πξνο ηνλ όγθν. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε απηήο ζε δηάγξακκα P- έρεη ηε κνξθή ηνπ σήμαηορ 4. Γηα δεδνκέλεο ηηκέο ησλ a, b, P θαη γηα ηηκέο Τ θάησ από νξηζκέλν όξην ε εμίζσζε απηή έρεη ηξεηο πξαγκαηηθέο ξίδεο. Γηα παξάδεηγκα γηα ηε ζεξκνθξαζία Τ 1 ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο P σο πξνο ην πνπ ππνινγίδεηαη από ηελ Δμ. (9) έρεη ηε κνξθή ηεο θακπύιεο Τ 1 ηνπ ρ. 4. Όπσο παξαηεξνύκε ζε νξηζκέλε πεξηνρή πηέζεσλ ππάξρνπλ ηξεηο ηηκέο όγθνπ (, θαη )γηα θάζε ηηκή ηεο P. Οη ηξεηο απηέο ηηκέο αληηζηνηρνύλ ζηηο ηξείο ξίδεο ηεο Δμ. (4), όπσο π.ρ. νη ηηκέο Β, Ζ, Γ γηα πίεζε Ρ 1. Με ηελ άλνδν ηεο ζεξκνθξαζίαο νη ηξείο ξίδεο πιεζηάδνπλ ε κία κε ηελ άιιε (π.ρ. γηα ηηο ζεξκνθξαζίεο Τ θαη Τ ) θαη ηειηθά γίλνληαη ίζεο ζηε ζεξκνθξαζία Τ. Γηα αθόκε πςειόηεξεο ζεξκνθξαζίεο δύν από ηηο ξίδεο ηεο Δμ. (4) γίλνληαη θαληαζηηθέο θαη απνκέλεη κόλν κηα πξαγκαηηθή ξίδα, δει.
11 11 ζε θάζε ηηκή ηνπ Ρ αληηζηνηρεί κόλν κηα ηηκή ηνπ όπσο γηα παξάδεηγκα ζηε ζεξκνθξαζία Τ 4. σήμα 4: Ηζόζεξκνη ζύκθσλα κε ηελ εμίζσζε wan der Waals. ύγθξηζε ησλ θακπύισλ ηνπ ρ. 4 πνπ ππνινγίζηεθαλ ζεσξεηηθά από ηελ εμίζσζε van der Waals κε θαζαξά καζεκαηηθό ηξόπν, κε ηηο πεηξακαηηθέο θακπύιεο ηνπ ρ. δείρλεη όηη ππάξρεη αμηνζεκείσηε νκνηόηεηα κεηαμύ ησλ δύν απηώλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ. Ζ κόλε νπζηώδεο δηαθνξά είλαη όηη, αληί ησλ νξηδόληησλ ηκεκάησλ ησλ θακπύισλ ηνπ ρ. (θαηά κήθνο ησλ νπνίσλ ζπκβαίλεη πγξνπνίεζε ηνπ αεξίνπ), έρνπκε εδώ ζηγκνεηδείο θακπύιεο. Γειαδή ην ηκήκα ησλ ζεσξεηηθώλ ηζόζεξκσλ ΒΔΕΖΓ δελ παξαηεξείηαη πεηξακαηηθά. Αλ ζηε ζεξκνθξαζία T 1 αξρίζνπκε λα ζπκπηέδνπκε έλα αέξην, ηόηε κε ηελ αύμεζε ηεο πίεζεο ν όγθνο ηνπ ζα ειαηηώλεηαη αθνινπζώληαο ηελ θακπύιε ΑΒ. ην ζεκείν Β ην αέξην ζα αξρίζεη λα πγξνπνηείηαη. Καζ όιε ηε δηάξθεηα ηεο πγξνπνίεζεο ε πίεζε ηνπ ζα παξακέλεη ζηαζεξή, P 1, ελώ ν όγθνο ηνπ ζα ειαηησζεί από ηελ ηηκή Β ζηελ Γ, νπόηε όιε ε πνζόηεηα ηνπ αεξίνπ ζα έρεη πγξνπνηεζεί. Από ην ζεκείν απηό θαη κεηά ε αύμεζε ηεο πίεζεο πξνθαιεί κηθξή κόλν κεηαβνιή ζηνλ όγθν (επεηδή ηα πγξά είλαη πξαθηηθά αζπκπίεζηα) κε απνηέιεζκα λα πάξνπκε ην θαηαθόξπθν ηκήκα ΓΓ. Παξόια απηά, κέξε ηνπ ζεσξεηηθνύ ηκήκαηνο ΒΔΕΖΓ έρνπλ παξαηεξεζεί θαη ζηελ πξάμε, αιιά ζε κε ζηαζεξέο θαηαζηάζεηο. Έηζη ην κέξνο ΒΔ αληηζηνηρεί ζηελ πεξίπησζε
12 1 ππέξθνξσλ αηκώλ, ελώ ην ΖΓ ζε ππέξζεξκν πγξό. Σν κέξνο ΔΕΖ δελ έρεη παξαηεξεζεί πνηέ ζηελ πξάμε, νύηε έρεη θαη θπζηθή ζεκαζία, δηόηη ζα έπξεπε κε ηελ αύμεζε ηεο πίεζεο λα είρακε αύμεζε ηνπ όγθνπ ηνπ ζπζηήκαηνο..4 ΥΔΔΗ ΚΡΗΗΜΩΝ ΓΔΓΟΜΔΝΩΝ ΚΑΗ ΣΑΘΔΡΩΝ AN DER WAALS Ζ ηζόζεξκνο Σ ηνπ ζρήκαηνο ρ. 4 αληηζηνηρεί πξνο ηελ θξίζηκε ηζόζεξκε ηνπ ρ.. Ζ αληηζηνηρία απηή κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα λα βξνύκε ζρέζεηο κεηαμύ ησλ ζηαζεξώλ a, b ηεο εμίζσζεο van der Waals θαη ησλ θξίζηκσλ κεγεζώλ ηνπ αεξίνπ Τ, Ρ,, βξίζθνληαο έηζη θαη κέζνδν ππνινγηζκνύ ησλ ζηαζεξώλ van der Waals από ηηο θξίζηκεο ζηαζεξέο. Ζ θξίζηκε ηζόζεξκε παξνπζηάδεη όπσο είπακε ζεκείν νξηδόληηαο θακπήο. πλεπώο ζην θξίζηκν ζεκείν ζα έρνπκε ( P / ) Σ = 0 (10) θαη ( P / ) Σ = 0 (11) Από ηε ζρέζε (10) θαη ηελ εμίζσζε van der Waals Παίξλνπκε P T RT b, RT P b 0, Αλ παξαγσγίζνπκε ηελ παξαπάλσ ζρέζε παίξλνπκε, RT b, (1) P T RT b, 6 0 4, 6 4, RT b θαη δηαηξώληαο ηηο δύν ζρέζεηο (1) θαη (1) θαηά κέιε πξνθύπηεη όηη, / = (, - b) / b =, / (14) θαη από ηε ζρέζε (1), βάδνληαο όπνπ b =, / πξνθύπηεη 9 8, (1) RT, (15) Από ηηο ζρέζεηο (14) θαη (15) παίξλνπκε:, = b (16)
13 1 T 8 8 (17) 9R 7 Rb, θαη από ηελ εμίζσζε van der Waals γηα ηηο θξίζηκεο ζπλζήθεο RT P b,, αληηθαζηζηώληαο ηα θαη T από ηηο ζρέζεηο (16) θαη (17) αληίζηνηρα παίξλνπκε P 1 (18) 7 b Δπίζεο γηα ηνλ θξίζηκν παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο P, / RT αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο P,, θαη T από ηηο ζρέζεηο (18), (16) θαη (17) αληίζηνηρα παίξλνπκε Ζ = P, / RT = /8 (19) Από ηελ παξαπάλσ ζρέζε θαη ηε ζρέζε (15) παίξλνπκε γηα ηνλ ζπληειεζηή α (0) P, πλνςίδνληαο όιεο ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο έρνπκε b =, / (1) 9 8 RT, P, (), = b () 8 8 T 7 Rb 7 T B 1 7 b, όπνπ Τ Β είλαη ην ζεκείν Boyle (4) P (5) θαη Ζ = /8 = 0.75 (6) Γηα πνιιά πξαγκαηηθά αέξηα ν θξίζηκνο παξάγνληαο ζπκπηεζηόηεηαο, Ζ, έρεη πξάγκαηη ζηαζεξή πεξίπνπ ηηκή, ε νπνία όκσο είλαη ζεκαληηθά κηθξόηεξε από 0,75 θαη θπκαίλεηαη κεηαμύ 0,9-0, (δεο Πίλαθα ). Απηό νθείιεηαη ζην γεγνλόο όηη ε εμίζσζε van der Waals δελ είλαη αθξηβήο θνληά ζην θξίζηκν ζεκείν. Πίνακαρ : Kξίζηκεο ζηαζεξέο αέριο P,at,, lt / ol T, K Z H 1,8 0,065, 0,05 CH 4 45,6 0, ,60 0,88 C H 4 50,5 0,14 8,10 0,70 NH 111, 0,07 405,50 0,4
14 14.5 ΑΝΖΓΜΔΝΖ ΔΞΗΩΖ AN DER WAALS Aλ ζηελ εμίζσζε ηνπ van der Waals ζέζνπκε ηηο ηηκέο ησλ α θαη b από ηηο ζρέζεηο (1) θαη () θαη ηελ R από ηε ζρέζε (19) ζα πάξνπκε: 9 RT RT RT, 9 8 RT RT P b 8, /,, 8P, 8P, 8TP, T 9T, T T T P 8,,, 8 T / T P /, 1 /, P P 8 T / T (7) / 1, /, Βιέπνπκε ινηπόλ όηη έρνπκε θαηαιήμεη ζε κηα ζρέζε ζηελ νπνία ππάξρνπλ σο κεηαβιεηέο ηα θιάζκαηα P /, T / T θαη /,. Σα θιάζκαηα απηά ιέγνληαη γεληθά P ανηγμένερ μεηαβληηέρ (redued variables) ηνπ αεξίνπ θαη ζπγθεθξηκέλα ανηγμένη πίεζη, P r = P/P, ανηγμένη θεπμοκπαζία T r = T/T θαη ανηγμένορ όγκορ r = /, (ή γηα n ol r = n /n, = /n, ) πλεπώο από ηε ζρέζε (7) πξνθύπηεη: P r 8Tr (8) 1 r r P 1 8T (9) r ή r r r Οη ζρέζεηο απηέο έρνπλ απαιιαγεί από ηηο ζηαζεξέο ηνπ van der Waals θαη νλνκάδνληαη ανηγμένερ εξιζώζειρ ηος van der Waals. Τπό ηελ αλεγκέλε κνξθή ε εμίζσζε van der Waals δελ πεξηέρεη θακηά ζηαζεξά ραξαθηεξηζηηθή ηνπ αεξίνπ. Με ηνλ ηξόπν απηό αλαθηάηαη θάπσο ε γεληθόηεηα ηεο θαηαζηαηηθήο εμίζσζεο ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ, αθνύ ε Δμ.
15 15 (9) είλαη αλεμάξηεηε από ηε θύζε ηνπ αεξίνπ. Γειαδή,όια ηα θπζηθά αέξηα αθνινπζνύλ κηα θαη ηελ απηή θαηαζηαηηθή εμίζσζε, ηελ (8) ή ηελ (9), όηαλ ε πίεζε, ν όγθνο θαη ε ζεξκνθξαζία ηνπο εθθξάδνληαη σο αλεγκέλα δεδνκέλα ή αιιηώο όια ηα θπζηθά αέξηα ζπκπεξηθέξνληαη θαηά πξνζέγγηζε νκνίκνξθα, όηαλ ε θαηάζηαζε ηνπο πεξηγξάθεηαη κε ηα αλεγκέλα κεγέζε. πλεπώο όια ηα αέξηα όηαλ βξίζθνληαη ζηελ ίδηα αλεγκέλε πίεζε θαη αλεγκέλε ζεξκνθξαζία έρνπλ ηνλ ίδην αλεγκέλν όγθν. Ζ παξαπάλσ πξόηαζε πνπ είλαη εκπεηξηθή νλνκάδεηαη απσή ηων ανηιζηοίσων καηαζηάζεων, έρεη επηβεβαησζεί πεηξακαηηθά θαη κε ηελ αλεγκέλε εμίζσζε van der Waals βξίζθεη ηελ ζεσξεηηθή ηεο εξκελεία. ην σήμα 5, θαίλεηαη ε εμάξηεζε ηνπ παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο από ηελ αλεγκέλε πίεζε. Ζ επηηπρία ηεο ρξήζεο ησλ αλεγκέλσλ δεδνκέλσλ είλαη θαλεξή αλ ζπγθξίλνπκε ην ζρήκα απηό κε ην ρ. 1, όπνπ παξόκνηα δεδνκέλα απεηθνλίδνληαη ρσξίο ηε ρξήζε αλεγκέλσλ κεηαβιεηώλ. σήμα 5: Παξάγνληαο ζπκπηεζηόηεηαο γηα 10 αέξηα ζπλαξηήζεη ηεο αλεγκέλεο πίεζεο γηα δηάθνξεο αλεγκέλεο ζεξκνθξαζίεο. Γύν από ηα αέξηα απηά, ην κεζάλην θαη ην αηζέλην (αηζπιέλην), απεηθνλίδνληαη ζην ρ. 1 ρσξίο όκσο ηε ρξήζε αλεγκέλσλ κεηαβιεηώλ Όπσο θαίλεηαη ζην ρ. 1 ε κεηαβνιή ηνπ Ε σο πξνο ηελ Ρ είλαη δηαθνξεηηθή γηα θάζε αέξην ζε κηα ζηαζεξή ζεξκνθξαζία, ελώ γηα ηελ ίδηα αλεγκέλε ζεξκνθξαζία ε κεηαβνιή ηνπ Ε σο πξνο ηελ αλεγκέλε πίεζε είλαη ε ίδηα γηα όια ηα αέξηα. Σν πεηξακαηηθό απηό δηάγξακκα
16 16 είλαη ζπλέπεηα ηεο αξρήο ησλ αληηζηνίρσλ θαηαζηάζεσλ θαη εξκελεύεηαη από ηελ εμίζσζε van der Waals. Πξάγκαηη, έζησ όηη ηα αέξηα έρνπλ ίδηα αλεγκέλε ζεξκνθξαζία T r θαη πίεζε P r. Γηα ηνλ παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο Ζ, αλ ζέζνπκε όπνπ P = P r P, = r, θαη T = T r T, ζα έρνπκε: P P P P P P r r,, r r r r Z Z 0, RT RTrT RT Tr Tr Δθόζνλ όκσο ηα αέξηα έρνπλ ίδηα T r θαη P r ζα έρνπλ ίδην θαη ην r. πλεπώο ηα αέξηα ζα έρνπλ ζηελ ίδηα αλεγκέλε ζεξκνθξαζία θαη πίεζε ηνλ ίδην παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο. Δπνκέλσο αλ θάλνπκε έλα δηάγξακκα κεηαβνιήο ηνπ Ζ κε ηελ αλεγκέλε πίεζε P r ζε δηάθνξεο αλεγκέλεο ζεξκνθξαζίεο, ηόηε όια ηα θπζηθά αέξηα πνπ ππαθνύνπλ ζην ζεώξεκα ησλ αληίζηνηρσλ θαηαζηάζεσλ, ζα δώζνπλ ηηο ίδηεο θακπύιεο. Απηό θαίλεηαη πνιύ ραξαθηεξηζηηθά ζην ρ. 5. P r T r r
17 17.6 ΣΔΛΗΚΑ ΤΜΠΔΡΑΜΑΣΑ ΓΗΑ ΣΖΝ ΔΞΗΩΖ AN DER WAALS ην θεθάιαην απηό είδακε όηη ε απινύζηαηε εμίζσζε van der Waals εξκελεύεη πνιύ ηθαλνπνηεηηθά ηα πεηξακαηηθά επξήκαηα γηα ηε ζπκπεξηθνξά ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ. Βέβαηα, πνιιέο θνξέο αλαθέξζεθε όηη ε εμίζσζε van der Waals δελ είλαη πνιύ αθξηβήο θπξίσο θνληά ζην θξίζηκν ζεκείν. Σν κεγάιν πιενλέθηεκα όκσο ηεο εμίζσζεο απηήο είλαη όηη δίλεη ζαπκάζηα εηθόλα ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ πξαγκαηηθώλ αεξίσλ θαη επηηξέπεη βαζεηά δηείζδπζε ζην θαηλόκελν ηεο πγξνπνίεζεο ηνπο, ελώ επίζεο πξνβιέπεη ηελ ύπαξμε θξίζηκνπ ζεκείνπ. Πνιιέο άιιεο εμηζώζεηο αλαπηύρζεθαλ από ηελ επνρή πνπ ν van der Waals πξόηεηλε ηελ εμίζσζε ηνπ. Μεξηθέο από απηέο είλαη πξάγκαηη πνιύ αθξηβείο. Όιεο όκσο ζρεδόλ ζηεξίδνληαη ζηηο δπν ζεκειηώδεηο ηδέεο ηνπ: α) Όηη ηα κόξηα έρνπλ κέγεζνο θαη β) όηη δπλάκεηο αζθνύληαη κεηαμύ ησλ κνξίσλ. Οη ζύγρξνλεο εμηζώζεηο πεξηιακβάλνπλ θαη ηελ εμάξηεζε ησλ ηειεπηαίσλ από ηελ απόζηαζε ησλ κνξίσλ.
18 18.7 ΤΠΟΛΟΓΗΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1. Έλα αέξην ζηνπο 50 Κ θαη ζε πίεζε 15 at έρεη γξακκνκνξηαθό όγθν 1% κηθξόηεξν από απηόλ πνπ ππνινγίδεηαη από ηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ. Να ππνινγηζηνύλ: α) ν γξακκνκνξηαθόο όγθνο ηνπ αεξίνπ, β) ν παξάγνληαο ζπκπηεζηόηεηαο γηα ηε δεδνκέλε Τ θαη P. ηηο ζπλζήθεο πνπ δόζεθαλ, πνηεο δπλάκεηο (ειθηηθέο ή απσζηηθέο) επηθξαηνύλ; (απάληεζε: α) 1, lt, β) 0.88, ειθηηθέο). O παξάγνληαο ζπκπηεζηόηεηαο ηνπ αδώηνπ ζε αλεγκέλε πίεζε 11,9 θαη αλεγκέλε ζεξκνθξαζία,17 είλαη 1,7. Να βξεζεί ζηηο παξαπάλσ ζπλζήθεο α) ν όγθνο πνπ θαηαιακβάλνπλ 14 g αδώηνπ, Ν (ΑΒ = 14) θαη β) ν αλεγκέλνο όγθνο γηα ηελ ίδηα πνζόηεηα αδώηνπ, εάλ ε θξίζηκε πίεζε απηνύ είλαη,5 at θαη ε θξίζηκε ζεξκνθξαζία ηνπ είλαη 16 Κ. (απάληεζε: α) 5,7 L, β) 0.617). Πνηα πίεζε ζα εμαζθνύζαλ 11 g Xe (AB = 11) ζε 5 0 C κέζα ζε έλα δνρείν όγθνπ 1,0 lt, αλ ην Xe ζπκπεξηθέξνληαλ α) σο ηδαληθό αέξην θαη β) σο αέξην van der Waals κε ζηαζεξέο a = 4,19 lt at / ol θαη b = 0,051 lt / ol. (απάληεζε: α) 4,4 at, β) 1,6 at) 4. Να εθηηκήζεηε ηελ πίεζε θαη ηε ζεξκνθξαζία πνπ ζα έρνπλ 1ol a) NH κε P = 111, at θαη T = 405,5 K, β) Xe κε P = 58,0 at θαη T = 89,75 K θαη γ) Ζe κε P =,6 at θαη T = 5,1K ζε θαηαζηάζεηο αληίζηνηρεο κε απηή ελόο ol Ζ ζε 5 0 C θαη πίεζε 1 at. (νη θξίζηκεο ζηαζεξέο ηνπ Ζ είλαη: P = 1,8 at θαη T =, K). (απάληεζε: α) 8.69 at, 66 Κ, β) 4,5 at, 598 Κ, γ) 0.18 at, 46,7 Κ) 5. Ο παξάγνληαο ζπκπηεζηόηεηαο Ε γηα ην CO είλαη ζε 5 0 C θαη 800 at. Πνην είλαη ην % ζθάικα, αλ ν γξακκνκνξηαθόο όγθνο ηνπ CO ππνινγηζζεί κε ηελ εμίζσζε ησλ ηδαληθώλ αεξίσλ; (απάληεζε: 4,6 %) 6. Γύν αέξηα Α θαη Β ππαθνύνπλ ζηελ εμίζσζε van der Waals. Οη ζηαζεξέο ηνπο a (lt at / ol ) είλαη 6 θαη 0,05 αληίζηνηρα, ελώ νη ζηαζεξέο b (lt / ol) είλαη 0,15 θαη 0,0 αληίζηνηρα. α) Πνηνύ αεξίνπ ηα κόξηα έρνπλ κεγαιύηεξν κέγεζνο; β) Πνηνύ αεξίνπ ε ζπκπεξηθνξά πιεζηάδεη πεξηζζόηεξν πξνο ηελ ηδαληθή, ππό θαλνληθέο ζπλζήθεο πίεζεο θαη ζεξκνθξαζίαο; γ) Τπνινγίζηε ηε ζεξκνθξαζία Boyle θάζε αεξίνπ, δ) Τπνινγίζεηε ηνλ παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο θάζε αεξίνπ ζην θξίζηκν ζεκείν. (απάληεζε: α) Α, β) Β, γ) (Τ Β ) Α = 487,8 Κ, (Τ Β ) Β = 0,5 Κ, δ) Ζ = /8
19 19 7. Ζ θξίζηκε ζεξκνθξαζία θαη ε θξίζηκε πίεζε ηνπ αεξίνπ ΝΟ είλαη 177 Κ θαη 64 at, αληίζηνηρα, ελώ ηνπ CCl 4 είλαη 550 Κ θαη 45 at, αληίζηνηρα. Πνην αέξην: α) έρεη ην κεγαιύηεξν θξίζηκν όγθν; β) έρεη ηε κηθξόηεξε ηηκή ηεο ζηαζεξάο b ηεο εμίζσζεο van der Waals; γ) έρεη ηε κηθξόηεξε ηηκή ηεο ζηαζεξάο a ηεο εμίζσζεο van der Waals; δ) ζπκπεξηθέξεηαη θαηά ηνλ πην ηδαληθό ηξόπν ζε 00 Κ θαη 10 at; (απάληεζε: α) CCl 4, β) ΝΟ, γ) ΝΟ, δ) ΝΟ.
20 0
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
Διαβάστε περισσότεραΑζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou
ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &
Διαβάστε περισσότεραiii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Διαβάστε περισσότεραH ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε
Διαβάστε περισσότεραx-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Διαβάστε περισσότεραΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
Διαβάστε περισσότεραf '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
Διαβάστε περισσότεραΓ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
Διαβάστε περισσότεραΚεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ
Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο
Διαβάστε περισσότεραΜονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
Διαβάστε περισσότεραα) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
Διαβάστε περισσότεραΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
Διαβάστε περισσότεραΘΔΜΑΤΑ ΤΔΛΙΚΩΝ ΔΞΔΤΑΣΔΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΟΦΗΜΔΙΑ - ΘΔΩΡΙΑ ΦΡΟΝΙΚΗ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 1 ώρα (14:00-15:00) Α. Φημική Θερμοδσναμική
ΘΔΜΑΤΑ ΤΔΛΙΚΩΝ ΔΞΔΤΑΣΔΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΟΦΗΜΔΙΑ - ΘΔΩΡΙΑ 2011-12 ΦΡΟΝΙΚΗ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 1 ώρα (14:00-15:00) Α. Φημική Θερμοδσναμική Βξείηε κηα εθθξαζε γηα ηνλ παξάγνληα ζπκπηεζηόηεηαο ελόο αεξίνπ πνπ αθνινπζεί ηελ
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
Διαβάστε περισσότεραΚευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ
Διαβάστε περισσότεραΕπωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
Διαβάστε περισσότεραΟνομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη :
Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη : Θέμα Α. Σηιρ επωηήζειρ πολλαπλήρ επιλογήρ πος ακολοςθούν ζημειώζηε ζηο γπαπηό ζαρ ηον απιθμό ηηρ επώηηζηρ και δίπλα ηην ένδειξη ηηρ ζωζηήρ
Διαβάστε περισσότεραΑπνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;
Διαβάστε περισσότεραΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
Διαβάστε περισσότεραΑ. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
Διαβάστε περισσότεραx x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
Διαβάστε περισσότερα(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη
Διαβάστε περισσότεραΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2
ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Διαβάστε περισσότεραΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH
ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε
Διαβάστε περισσότερα1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.
ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:
Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
Διαβάστε περισσότεραΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Διαβάστε περισσότεραMaster Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
Διαβάστε περισσότεραΦςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:
ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
Διαβάστε περισσότεραΖ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα.
Καηαζηάζεηο ηεο ύιεο 1 ΔΚΦΔ ΥΑΝΗΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΟΗ ΦΤΗΚΔ ΔΠΗΣΖΜΔ ΣΖΝ ΠΡΟΥΟΛΗΚΖ ΑΓΧΓΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 1: ΔΗΑΓΧΓΖ ΚΔΦΑΛΑΗΟ 4: ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
Διαβάστε περισσότεραΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ
Διαβάστε περισσότεραQ Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό
Διαβάστε περισσότεραΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ..
ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΘΔΜΑ Α Σηηο εκηηειείο πξνηάζεηο Α.1 Α.4 λα γξάςεηε ζην ηεηξάδην ζαο ηνλ αξηζκό ηεο πξόηαζεο θαη, δίπια, ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε θξάζε ε νπνία ηε ζπκπιεξώλεη
Διαβάστε περισσότεραπγθιίλνλ-απνθιίλνλ αθξνθύζην έρεη δηαηνκή εηζόδνπ A1
Πρόβλημα πγθιίλνλ-απνθιίλνλ αθξνθύζην έρεη δηαηνκή εηζόδνπ A1 1cm ιαηκνύ 4.4cm θαη εμόδνπ A 7cm. Αλ ε πίεζε αλαθνπήο ζηελ είζνδν ηνπ αθξνθπζίνπ είλαη 1 bar θαη ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ 46 m / s ππνινγίζηε ζηηο
Διαβάστε περισσότεραΚεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους
Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν
Διαβάστε περισσότεραΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ
ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη
Διαβάστε περισσότεραΗ/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ
Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage
Διαβάστε περισσότεραΑιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.
Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ
ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016
Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε
Διαβάστε περισσότεραΘέμα Α. Θέμα Β. Α.1 - γ Α.2 - δ Α.3 - γ Α.4 - α Α.5 α. Σ β. Λ γ. Λ δ. Λ ε. Σ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΘΚΕ ΕΞΕΣΑΕΘ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΘΟΤ ΓΕΝΘΚΟΤ ΛΤΚΕΘΟΤ ΔΕΤΣΕΡΑ 30 ΜΑΪΟΤ 016 ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΗΜΕΘΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΘΜΟΤ (ΝΕΟ ΤΣΗΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) Θέμα Α Α.1 - γ Α. - δ Α.3 - γ Α.4 - α Α.5 α. Σ β.
Διαβάστε περισσότεραΜέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010
Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 ΕΙΑΓΩΓΗ: Τα δηάθνξα πιηθά, αλάινγα κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο εληόο καγλεηηθνύ πεδίνπ δηαθξίλνληαη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ
Διαβάστε περισσότεραΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην
ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο λήκαηνο κήθνπο,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο
Διαβάστε περισσότερα1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
Διαβάστε περισσότεραΣήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ
Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΣημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)
Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΜηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Διαβάστε περισσότερα66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι
1 66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι Λεπηή νκνγελήο ξάβδνο Α κήθνπο L=1 θαη κάδαο Μ=Kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν ρωξίο ηξηβέο γύξω από νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλά από ην άθξν ηεο Α. Σην
Διαβάστε περισσότεραΚόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή
Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP
ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)
Διαβάστε περισσότεραΆζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ
Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΔξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
Διαβάστε περισσότεραImage J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων
Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων (https://weeman.inf.ethz.ch/particletracker/) Τν Plugin particle tracker κπνξεί λα αληρλεύζεη απηόκαηα ηα ζσκαηίδηα πνπ θηλνύληαη,
Διαβάστε περισσότεραΑζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis
Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ
ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα
Διαβάστε περισσότεραΕςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη
Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη Μάθημα 11 Τμήμα Μάπκεηινγκ και Διοίκηζηρ Λειηοςπγιών Τα δηαγξάκκαηα θαηάζηαζεο (state diagrams) ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα βνεζήζνπλ ηνλ πξνγξακκαηηζηή λα θαηαιάβεη
Διαβάστε περισσότεραΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2
ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ
Διαβάστε περισσότεραΠαπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ
Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ 1 Δίδη καμπσλών κόζηοσς Μηα θακπύιε ζπλνιηθνύ θόζηνπο είλαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο ηεο επηρείξεζεο. Μηα θακπύιε κεηαβιεηνύ θόζηνπο είλαη ε
Διαβάστε περισσότεραΟνομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη :
Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη : Θέμα Α. Σηιρ επωηήζειρ πολλαπλήρ επιλογήρ πος ακολοςθούν ζημειώζηε ζηο γπαπηό ζαρ ηον απιθμό ηηρ επώηηζηρ και δίπλα ηην ένδειξη ηηρ ζωζηήρ
Διαβάστε περισσότερα1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( )
1. Άζξνηζκα Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Θέινπκε λα εθθξάζνπκε ην άζξνηζκα ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ. Δπνκέλσο έρνπκε: 2. Άζξνηζκα Ξεθηλάκε κε δύν
Διαβάστε περισσότερα3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ
3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ ΘΔΩΡΖΣΗΘΟ ΤΠΟΒΑΘΡΟ: Γηα ηελ ιύζε ηωλ αζθζεωλ πνπ αθνινπζνύλ ζα ρξεηαζζνύκε: 1. Σελ (δηάζεκε) εμίζωζε ηνπ ΔΗΛΣΔΗΛ: E c. Σνλ λόκν
Διαβάστε περισσότεραηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης
Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΘΔΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03/03/2013
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03/03/013 ΘΔΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ Γηα ηηο εξσηήζεηο Α.1 έσο Α.5 λα γξάςεηε ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζσζηή απάληεζε δίπια ζηνλ αξηζκό ηεο
Διαβάστε περισσότεραB1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα
Διαβάστε περισσότεραΟνομαηεπώνςμο: Μάθημα: ΥΗΜΙΚΗ ΚΑΙ ΙΟΝΣΙΚΗ ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΜΔΥΡΙ ΔΚΙ. Δπιμέλεια διαγωνίζμαηορ: Αξιολόγηζη :
Ονομαηεπώνςμο: Μάθημα: Τλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηορ: Αξιολόγηζη : ΥΗΜΙΚΗ ΚΑΙ ΙΟΝΣΙΚΗ ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΜΔΥΡΙ ΔΚΙ ΘΔΜΑ Α Για ηις ερφηήζεις Α1 εώς Α4 να γράυεηε ζηο ηεηράδιό ζας ηον αριθμό ηης ερώηηζης και δίπλα
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε
Κβαντικοί Υπολογισμοί Πέκπηε Γηάιεμε Kπθισκαηηθό Mνληέιν Έλαο θιαζηθόο ππνινγηζηήο απνηειείηαη από αγσγνύο θαη ινγηθέο πύιεο πνπ απνηεινύλ ηνπο επεμεξγαζηέο. Σηνπο θβαληηθνύο ε πιεξνθνξία βξίζθεηαη κέζα
Διαβάστε περισσότερα