3 ο ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΣΡΑ Ι ΣΑ ΜΕΣΡΑ ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΣΑΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3 ο ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΣΡΑ Ι ΣΑ ΜΕΣΡΑ ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΣΑΗ"

Transcript

1 3 ο ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΣΡΑ Ι ΣΑ ΜΕΣΡΑ ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΣΑΗ Πολλζσ φορζσ μασ είναι ιδιαίτερα χριςιμο να περιγράφουμε ζνα ςφνολο αρικμθτικϊν δεδομζνων από ζναν μοναδικό αρικμό. Σζτοιου είδουσ αρικμοί ονομάηονται αρικμθτικά περιγραφικά μζτρα. Ζνα αρικμθτικό περιγραφικό μζτρο που υπολογίηεται από τον πλθκυςμό ονομάηεται παράμετροσ του πλθκυςμοφ και ζχει μία μοναδικι τιμι. τθν πράξθ, επειδι ςχεδόν ποτζ δεν γίνεται θ καταγραφι ολόκλθρου του πλθκυςμοφ, θ πραγματικι τιμι μιασ παραμζτρου είναι άγνωςτθ. Ονομάηουμε ςτατιςτικι ι ςτατιςτικό ενόσ δείγματοσ κάκε αρικμθτικό περιγραφικό μζτρο που υπολογίηεται από ζνα δείγμα. Η τιμι μιασ ςτατιςτικισ μεταβάλλεται από δείγμα ςε δείγμα, ςε κάκε περίπτωςθ όμωσ, αυτι θ δειγματικι τιμι είναι μια εκτίμθςθ τθσ αντίςτοιχθσ, άγνωςτθσ αλλά πραγματικισ, τιμισ τθσ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό. Ζχουμε διάφορεσ κατθγορίεσ αρικμθτικϊν περιγραφικϊν μζτρων, κυριότερεσ των οποίων είναι τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ, τα μζτρα μεταβλθτότθτασ, τα μζτρα ςσ κζςθσ και τα μζτρα γραμμικισ ςχζςθσ. 3.1 Σα Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ Σα τρία ποιό ςθμαντικά μζτρα κεντρικισ τάςθσ (αρικμθτικόσ μζςοσ, διάμεςοσ και επικρατοφςα τιμι) μασ πλθροφοροφν με διαφορετικό τρόπο το κακζνα για το «κζντρο» τθσ κατανομισ των τιμϊν μιασ μεταβλθτισ. Λζγοντασ «κζντρο» εννοοφμε εκείνο το ςθμείο γφρω από το οποίο περιμζνουμε να ςυγκεντρϊνεται μεγάλο ποςοςτό (μάηα) των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. Από τθν άποψθ αυτι, θ τιμι ενόσ μζτρου κεντρικισ τάςθσ, κεωροφμε ότι είναι θ ποιό αντιπροςωπευτικι του πλθκυςμοφ Ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ Αρικμθτικόσ Μζςοσ ενόσ υνόλου Αρικμϊν Για ζνα ςφνολο αρικμϊν ο αρικμθτικόσ μζςοσ ορίηεται να είναι το πθλίκο του ακροίςματοσ των αρικμϊν προσ το πλικοσ τουσ. Για παράδειγμα, ζςτω ότι μασ δίνονται οι εννζα αρικμοί Ο αρικμθτικόσ τουσ μζςοσ είναι μονάδεσ μζτρθςθσ. Σι όμωσ ακριβϊσ μασ δείχνει ο αρικμθτικόσ μζςοσ;

2 18 3 ο Μάκθμα Παίρνουμε μία αβαρι ράβδο με μικοσ max mn = = 13, και εννζα (όςα και οι αρικμοί μασ) ίςα βαρίδια. τθ ςυνζχεια τοποκετοφμε αυτά τα βαρίδια ςτισ κζςεισ των αρικμϊν. Σότε, θ ράβδοσ κα ιςορροπιςει ςτο ςθμείο 24. Γιατί ςυμβαίνει αυτό; Ασ υπολογίςουμε τισ αποκλίςεισ (αποςτάςεισ) από το 24 των πζντε αρικμϊν που βρίςκονται αριςτερά του (αρνθτικζσ αποκλίςεισ): = 4, = 4, = 3, = 2, = 1. Σο άκροιςμα των αρνθτικϊν αποκλίςεων είναι 14. Τπολογίηουμε ςτθ ςυνζχεια τισ αποκλίςεισ από το 24 των τριϊν αρικμϊν που βρίςκονται δεξιά του (κετικζσ αποκλίςεισ) = 2, = 3, = 9. Σο άκροιςμα των κετικϊν αποκλίςεων είναι υχνότερθ Σιμι = 20 ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΟ Μζςο ζκταςθσ ςτο 26.5 ΜΕΟ Ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ ενόσ ςυνόλου αρικμϊν είναι το ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ Βλζπουμε λοιπόν ότι ο αρικμθτικόσ μζςοσ ενόσ ςυνόλου αρικμϊν είναι εκείνο το «κεντρικό» ςθμείο για το οποίο το άκροιςμα των αρνθτικϊν αποκλίςεων από αυτό (ςε απόλυτθ τιμι) είναι ίςο με το άκροιςμα των κετικϊν αποκλίςεων και είναι το ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ. Παρατθροφμε ακόμθ ότι ο παραπάνω αρικμθτικόσ μζςοσ δεν βρίςκεται ςτο μζςο τθσ ζκταςθσ που καταλαμβάνουν οι αρικμοί και δεν είναι θ τιμι με τθ μεγαλφτερθ ς εμφάνιςθσ, αλλά οφτε χωρίηει το πλικοσ των αρικμϊν ςε δφο ίςα μζρθ (ςτα αριςτερά του αφινει 5 τιμζσ ενϊ ςτα δεξιά του αφινει 3 τιμζσ). Ζνασ αρικμθτικόσ μζςοσ, μπορεί να βρίςκεται ι να μθν βρίςκεται ςτο μζςο ενόσ ςυνόλου τιμϊν, να είναι ι να μθν είναι θ ςυχνότερθ τιμι, να χωρίηει ι να μθ χωρίηει το ςφνολο των τιμϊν ςε δφο ίςα μζρθ. Αρικμθτικόσ Μζςοσ ςτον Πλθκυςμό ( ) Ζςτω ζνασ πλθκυςμόσ μεγζκουσ, και μία μεταβλθτι του που παίρνει τισ τιμζσ. Σότε, ο αρικμθτικόσ μζςοσ (arthmtc man) ι απλά μζςοσ ι μζςθ τιμι τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό ςυμβολίηεται με και ορίηεται να είναι το πθλίκο Αρικμθτικόσ Μζςοσ ςτο Δείγμα ( X ) X X X N 1 2 N Κακϊσ ο αρικμθτικόσ μζςοσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό είναι μία παράμετροσ, θ τιμι του παραμζνει γενικά άγνωςτθ. Αυτι θ άγνωςτθ τιμι εκτιμάται από ζνα δείγμα με τον υπολογιςμό του αρικμθτικοφ μζςου ςτο δείγμα. Μαρίνα Σφρπθ

3 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 19 Ζςτω ζνασ δείγμα μεγζκουσ, και μία μεταβλθτι του που παίρνει τισ τιμζσ. Σότε, ο αρικμθτικόσ μζςοσ τθσ μεταβλθτισ ςτο δείγμα ι απλά δειγματικι μζςθ τιμι ςυμβολίηεται με X, υπολογίηεται από το ςτατιςτικό και είναι μία εκτίμθςθ του μ. X X X X n 1 2 n Τπολογιςμόσ του Αρικμθτικοφ Μζςου ςε Ομαδοποιθμζνα Δεδομζνα Για τον υπολογιςμό του αρικμθτικοφ μζςου ςε ομαδοποιθμζνα δεδομζνα δεχόμαςτε ότι κάκε παρατιρθςθ μιασ κλάςθσ αντιπροςωπεφεται από το κζντρο τθσ. Ζτςι ζχουμε το παρακάτω ςτατιςτικό. f x X ι n όπου f, x,, n f 1 X n f x θ απόλυτθ ς τθσ κλάςθσ, το κζντρο τθσ κλάςθσ, το μζγεκοσ του δείγματοσ Παράδειγμα 1 - Τπολογιςμόσ Δειγματικοφ Αρικμθτικοφ Μζςου και Ερμθνεία. Παρακάτω βλζπουμε τουσ πίνακεσ ςυχνοτιτων για τθν κατανομι των ωρϊν φπνου εργαηομζνων και φοιτθτϊν. Εργαηόμενοι Φοιτθτζσ ϊρεσ φπνου Κζντρα , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,25 ΤΝΟΛΑ , Τπολογιςμόσ δειγματικοφ αρικμθτικοφ μζςου ϊρεσ φπνου εργαηομζνων xf X h 7h 0.26h 7h h 7h 60mn 7h 15.6mn n Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

4 20 3 ο Μάκθμα Τπολογιςμόσ δειγματικοφ αρικμθτικοφ μζςου ϊρεσ φπνου φοιτθτϊν xf X 2 6.7h 6h 0.7h 6 h h 6h 60 mn 6h 42mn n Κακϊσ, οι δειγματικοί αρικμθτικοί μζςοι είναι οι εκτιμιςεισ των πραγματικϊν, αλλά άγνωςτων, αρικμθτικϊν μζςων ςτον πλθκυςμό, λζμε ότι: «Ο μζςοσ χρόνοσ φπνου των εργαηομζνων εκτιμάται ςε (ι είναι περίπου) 7h και 15 mn», ενώ «Ο μζςοσ χρόνοσ φπνου των φοιτθτών εκτιμάται ςε (ι είναι περίπου) 6h και 42mn}. Παρατθριςεισ 1. Τί είδουσ πλθροφορία μασ δίνει θ εκτίμθςθ ενόσ αρικμθτικοφ μζςου; ( α ) Ωσ ζνα από τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ, ο μζςοσ είναι αντιπροςωπευτικόσ του πλθκυςμοφ. Ζτςι, αν κάποιοσ μασ πλθροφοριςει ότι το μζςο μθνιαίο ειςόδθμα των εργαηομζνων εκτιμάται ςε 1000, τότε ζχουμε βάςιμουσ λόγουσ να χαρακτθρίςουμε ωσ χαμθλά αμειβόμενο κάποιον που παίρνει 600 και ωσ υψθλά αμειβόμενο κάποιον που παίρνει 1400, κακϊσ και ςτισ δφο περιπτϊςεισ ζχουμε τιμζσ αρκετά απομακρυςμζνεσ από το μζςο (αντιπροςωπευτικό) ειςόδθμα. ( β ) τθ Θεωρία των Πικανοτιτων εκτόσ από τον όρο μζςθ τιμι που χρθςιμοποιοφμε ςτθ τατιςτικι, χρθςιμοποιοφμε ακόμθ τουσ όρουσ αναμενόμενθ τιμι, ι μακθματικι ελπίδα ι προςδοκία. Αυτό ςθμαίνει πωσ όταν επιλζξουμε τυχαία ζνα αντικείμενο από τον πλθκυςμό και μετριςουμε κάποιο χαρακτθριςτικό του, περιμζνουμε (ελπίηουμε, προςδοκοφμε) ότι θ μζτρθςθ αυτι δεν κα είναι ιδιαίτερα απομακρυςμζνθ από τον μζςο που ζχουμε εκτιμιςει. Για παράδειγμα, αν κάποιοσ μασ πει ότι το μζςο κζρδοσ για ζνα τυχερό παιχνίδι εκτιμικθκε ςε 50 τότε, ςτθν περίπτωςθ που παίξουμε, προςδοκοφμε να κερδίςουμε ζνα ποςό, ασ ποφμε ( γ ) Αναφζραμε παραπάνω ότι ο αρικμθτικόσ μζςοσ είναι το ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ. Αυτό ςθμαίνει ότι, αν όλοι οι εργαηόμενοι κοιμόταν ίδιο χρόνο αν δθλαδι το ςφνολο των εργαηομζνων ιταν απολφτωσ ομοιογενζσ ωσ προσ αυτό το χαρακτθριςτικό του, τότε όλοι οι εργαηόμενοι κα κοιμόταν περίπου 7h και 15mn. 2. Σφγκριςθ των αρικμθτικών μζςων δφο πλθκυςμών και εξαγωγι ςυμπεραςμάτων. το παραπάνω παράδειγμα, από τθ ςφγκριςθ των δειγματικϊν αρικμθτικϊν μζςων, φαίνεται ότι οι εργαηόμενοι κοιμοφνται περιςςότερο από τουσ φοιτθτζσ. Παρόλο που αυτι θ διαφορά είναι ενδεικτικι τθσ κατάςταςθσ που επικρατεί δεν μπορεί να διατυπωκεί ωσ τελικό ςυμπζραςμα. Σα ςυμπεράςματα ςτθ τατιςτικι εξάγονται από τουσ Ελζγχουσ των Τποκζςεων και όχι από τθν απλι ςφγκριςθ των εκτιμιςεων κάποιων αρικμθτικϊν μζτρων. 3. Πλεονεκτιματα του Αρικμθτικοφ Μζςου ωσ Μζτρο Κεντρικισ Τάςθσ τον υπολογιςμό του λαμβάνονται ειςζρχονται όλεσ οι παρατθριςεισ του δείγματοσ. Παράγεται μία μοναδικι τιμι. Τπολογίηεται εφκολα. Μαρίνα Σφρπθ

5 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 21 Όταν οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό ακολουκοφν τθν ονομαηόμενθ Κανονικι Κατανομι τότε ο δειγματικόσ αρικμθτικόσ μζςοσ X είναι θ βζλτιςτθ εκτίμθςθ του αρικμθτικοφ μζςου,, τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό. Χρθςιμοποιείται για περεταίρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. 4. Μειονεκτιματα του Αρικμθτικοφ Μζςου Επθρεάηεται πολφ από ακραίεσ παρατθριςεισ. Ζτςι, αν για παράδειγμα αντί των αρικμϊν ζχουμε τουσ αρικμοφσ τότε ο αρικμθτικόσ μζςοσ ςτο δεφτερο ςφνολο κα είναι (αντί 24 που είχαμε ςτο πρϊτο ςφνολο) και κα ζρκει ποιο κοντά ςτο μζςο τθσ απόςταςθσ των αρικμϊν (που τϊρα βρίςκεται το 23.5). Όταν θ κατανομι των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ εμφανίηει ζντονθ κετικι ι αρνθτικι αςυμμετρία, τότε ο αρικμθτικόσ μζςοσ είναι ακατάλλθλοσ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ, με τθν ζννοια που περιγράψαμε παραπάνω δθλαδι δεν μπορεί να κεωρθκεί ωσ αντιπροςωπευτικόσ του ςυνόλου των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ Η Διάμεςοσ Διάμεςοσ ενόσ υνόλου Αρικμϊν Η διάμεςοσ (mdan) ενόσ πεπεραςμζνο ςυνόλου αρικμϊν είναι εκείνθ θ τιμι που αφινει αριςτερά τθσ και δεξιά τθσ το ίδιο πλικοσ αρικμϊν, όταν όλοι οι αρικμοί του ςυνόλου διαταχτοφν ςε αφξουςα ι φκίνουςα ςειρά. Για παράδειγμα, ζςτω ότι μασ δίνονται οι εννζα αρικμοί Αν τουσ διατάξουμε ςε αφξουςα ςειρά κα ζχουμε Επομζνωσ θ διάμεςοσ του παραπάνω ςυνόλου αρικμϊν είναι το ΔΙΑΜΕΟ Η διάμεςοσ είναι εκείνο το «κεντρικό» ςθμείο που αφινει αριςτερά του και δεξιά του το ίδιο πλικοσ τιμϊν. τον παραπάνω υπολογιςμό τθσ διαμζςου το πλικοσ των αρικμϊν είναι 9, και ζτςι το 24 αφινει ςτα αριςτερά του και ςτα δεξιά του από 4 τιμζσ. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

6 22 3 ο Μάκθμα Όταν το πλικοσ των αρικμϊν είναι άρτιο τότε δεν είναι δυνατόν να αφιςουμε αριςτερά και δεξιά τθσ διαμζςου το ίδιο πλικοσ αρικμϊν. ε μια τζτοια περίπτωςθ υπολογίηουμε τθ διάμεςο ωσ το θμιάκροιςμα των δφο τιμϊν που αφινουν αριςτερά και δεξιά τουσ το ίδιο πλικοσ αρικμϊν. Ζςτω ότι ζχουμε τουσ δζκα αρικμοφσ Αν τουσ διατάξουμε ςε αφξουςα ςειρά, κα ζχουμε Και θ διάμεςοσ κα είναι. Τπολογιςμόσ τθσ Διαμζςου ( M ) ςε Ομαδοποιθμζνα Δεδομζνα Κακϊσ θ διάμεςοσ είναι το ςθμείο που πρζπει να αφινει ςτα αριςτερά του τισ μιςζσ παρατθριςεισ, καταλαβαίνουμε ότι κα ανικει ςτθν πρϊτθ κλάςθ τθσ οποίασ θ ς ακροιςτικι ς ζχει φτάςει ςτο 0.5 τουλάχιςτον. Για ομαδοποιθμζνα δεδομζνα, θ εκτίμθςθ τθσ διαμζςου ςυμβολίηεται με M και υπολογίηεται από το ςτατιςτικό M 0.5 F F F Σο κάτω άκρο τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο. F F Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο Η Ακροιςτικι τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο Η Ακροιςτικι τθσ προθγοφμενθσ από τθν κλάςθ που περιζχει τθ διάμεςο. Παράδειγμα 3 Εκτίμθςθ και Ερμθνεία τθσ Διαμζςου Εργαηόμενοι Φοιτθτζσ ϊρεσ φπνου Εφροσ Ακροιςτικι Ακροιςτικι ,5 0,004 0, ,5 0,048 0, ,5 0,151 0, ,5 0,340 0, ,5 0,631 0, ,5 0,843 0, ,5 0,956 0, ,5 1,000 1,00 ΤΝΟΛΑ Μαρίνα Σφρπθ

7 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 23 Τπολογιςμόσ τθσ διαμζςου Εργαηόμενοι Η διάμεςοσ για τουσ εργαηόμενουσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ *7.0, 7.5) αφοφ είναι θ πρϊτθ κλάςθ ςτθν οποία θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το 0.5 M F F F Σουλάχιςτον το 50% των εργαηομζνων, εκτιμάται ότι κοιμοφνται το πολφ μζχρι 7h και 44mn. Τπολογιςμόσ τθσ διαμζςου Φοιτθτζσ Η διάμεςοσ για τουσ φοιτθτζσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ *6.5, 7) αφοφ είναι θ πρϊτθ κλάςθ ςτθν οποία θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το 0.5 M 0.5 F F F Σουλάχιςτον το 50% των φοιτθτϊν, εκτιμάται ότι κοιμοφνται το πολφ μζχρι 6h και 40 mn. Παρατθριςεισ 1. Τί είδουσ πλθροφορία μασ δίνει θ εκτίμθςθ τθσ διαμζςου; Όταν μασ δίνεται θ εκτίμθςθ τθσ διαμζςου γνωρίηουμε ότι «τουλάχιςτον οι μιςζσ παρατθριςεισ είναι μικρότερεσ ι ίςεσ αυτισ τθσ τιμισ» ι, ιςοδφναμα, ότι «τουλάχιςτον οι μιςζσ παρατθριςεισ είναι μεγαλφτερεσ ι ίςεσ». Σουλάχιςτον 50% παρατθριςεισ M Σουλάχιςτον 50% παρατθριςεισ M Παρόλο που θ ακριβισ ερμθνεία τθσ διαμζςου είναι αυτι που αναφζρεται παραπάνω, ςυνικωσ θ παρουςίαςθ αυτοφ του μζτρου γίνεται ποιό απλουςτευμζνα με τθν παράλειψθ τθσ λζξθσ «τουλάχιςτον», ι των εκφράςεων «το πολφ» ι «το λιγότερο. Ζτςι, για τθν παρουςίαςθ των αποτελεςμάτων ςτο παραπάνω παράδειγμα κα μποροφμε να γράψουμε ποιο απλά: «Οι μιςοί από τουσ εργαηόμενουσ, κοιμοφνται λιγότερο από 7h και 44mn, περίπου» ι ιςοδφναμα «Οι μιςοί από τουσ εργαηόμενουσ, κοιμοφνται περιςςότερο από 7h και 44mn, περίπου» Αντίςτοιχα για τουσ φοιτθτζσ, κα μποροφςαμε να γράψουμε «Οι μιςοί από τουσ φοιτητέσ, κοιμοφνται λιγότερο από 6h και 40mn, περίπου» ι ιςοδφναμα «Οι μιςοί από τουσ φοιτθτζσ, κοιμοφνται περιςςότερο από 6h και 45mn, περίπου» Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

8 24 3 ο Μάκθμα 2. Πλεονεκτιματα τθσ Διαμζςου ωσ Μζτρο Κεντρικισ Τάςθσ Η εκτίμθςθ τθσ διαμζςου παράγει μία μοναδικι τιμι. Τπολογίηεται εφκολα. Δεν επθρεάηεται από ακραίεσ τιμζσ. Ζτςι, αν για παράδειγμα αντί των αρικμϊν ζχουμε τουσ αρικμοφσ τότε θ διάμεςοσ κα παραμείνει ςτο 23. Είναι θ βζλτιςτθ εκτιμιτρια τθσ διαμζςου ςτον πλθκυςμό και, όπωσ κα δοφμε παρακάτω, αν θ κατανομι των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ είναι ςυμμετρικι είναι επίςθσ και αμερόλθπτθ εκτιμιτρια του αρικμθτικοφ μζςου. Όταν θ κατανομι των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ εμφανίηει ζντονθ κετικι ι αρνθτικι αςυμμετρία, τότε θ διάμεςοσ κεωρείται καταλλθλότερθ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ από ότι ο μζςοσ. 3. Μειονεκτιματα τθσ Διαμζςου τον υπολογιςμό τθσ δεν ειςζρχονται όλεσ οι παρατθριςεισ του δείγματοσ. Δεν χρθςιμοποιείται για περαιτζρω ςτατιςτικι ανάλυςθ Επικρατοφςα Σιμι Επικρατοφςα Σιμι ενόσ υνόλου Αρικμϊν Η Επικρατοφςα Σιμι (md)ενόσ πεπεραςμζνου ςυνόλου αρικμϊν ορίηεται να είναι θ τιμι που εμφανίηεται τισ περιςςότερεσ φορζσ. Για παράδειγμα, ζςτω ότι μασ δίνονται οι εννζα αρικμοί Η Επικρατοφςα Σιμι του παραπάνω ςυνόλου αρικμϊν είναι το Διάμεςοσ = 23 ΕΠΙΚΡΑΣΟΤΑ ΣΙΜΗ Αρικμθτικόσ Μζςοσ = 24 Η επικρατοφςα τιμι είναι εκείνο το «κεντρικό» ςθμείο που ζχει τθ μεγαλφτερθ ς εμφάνιςθσ Μαρίνα Σφρπθ

9 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 25 Τπολογιςμόσ τθσ Επικρατοφςασ Σιμισ ( M ) ςε Ομαδοποιθμζνα Δεδομζνα Κακϊσ ςτα ομαδοποιθμζνα δεδομζνα δεχόμαςτε ότι κάκε παρατιρθςθ μιασ κλάςθσ αντιπροςωπεφεται από το κζντρο τθσ, μποροφμε επικρατοφςα τιμι να αναφζρουμε το κζντρο τθσ επικρατοφςασ κλάςθσ. Θα ςυμβολίηουμε τθν Επικρατοφςα Σιμι ςτο δείγμα μεm. Παράδειγμα 6 Εκτίμθςθ και Ερμθνεία τθσ Επικρατοφςασ Σιμισ Εργαηόμενοι Φοιτθτζσ Κζντρα ϊρεσ φπνου (%) (%) ,25 0,41 7, ,75 4,37 14, ,25 10,30 19, ,75 18,95 25, ,25 29,08 15, ,75 21,17 8, ,25 11,29 5, ,75 4,45 2,84 ΤΝΟΛΑ Η επικρατοφςα κλάςθ για τουσ εργαηόμενουσ είναι θ * ) με κζντρο 7.25 και τότε M Επομζνωσ, Το μεγαλφτερο ποςοςτό των εργαηομζνων κοιμοφνται 7h και 15mn, περίπου. Η επικρατοφςα κλάςθ για τουσ φοιτθτζσ είναι θ * ) με κζντρο 6.25 και τότε M 6.25 Επομζνωσ, Το μεγαλφτερο ποςοςτό των φοιτθτών κοιμοφνται περίπου 6h και 15mn. 2 Παρατθριςεισ 1. Τί είδουσ πλθροφορία μασ δίνει θ εκτίμθςθ τθσ επικρατοφςασ τιμισ; Η επικρατοφςα κλάςθ ςυγκεντρϊνει το μεγαλφτερο ποςοςτό παρατθριςεων και κεωροφμε το κζντρο τθσ ωσ τθν επικρατζςτερθ τιμι ςτον πλθκυςμό. 2. Πλεονεκτιματα τθσ Επικρατοφςασ Τιμισ ωσ Μζτρο Κεντρικισ Τάςθσ Είναι θ βζλτιςτθ εκτιμιτρια τθσ επικρατοφςασ τιμισ του πλθκυςμοφ ε μια ςυμμετρικι και μονοκόρυφθ είναι επίςθσ αμερόλθπτθ εκτιμιτρια του αρικμθτικοφ μζςου και τθσ διαμζςου. 3. Μειονεκτιματα τθσ Επικρατοφςασ Τιμισ τον υπολογιςμό τθσ δεν ειςζρχονται όλεσ οι παρατθριςεισ του δείγματοσ και δεν παράγεται πάντα μοναδικι τιμι, κακϊσ μπορεί να ζχουμε δφο ι και περιςςότερεσ κλάςεισ με τθν ίδια μζγιςτθ ς. Δεν χρθςιμοποιείται για περαιτζρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

10 26 3 ο Μάκθμα Άςκθςθ 1 - Λυμζνθ Παρακάτω βλζπετε τα ομαδοποιθμζνα ςτοιχεία για τθ βακμολογία 40 φοιτθτϊν ςε ζνα τεςτ δεξιότθτασ ςτθ τατιςτικι, το ακαδθμαϊκό ζτοσ Βακμολογία ςε μονάδεσ [ ) Κζντρο x f Ακροιςτικι Φ P Ακροιςτικι F P ( % ) Ακροιςτικι F ,050 0,050 5,00 5, ,100 0,150 10,00 15, ,175 0,325 17,50 32, ,250 0,575 25,00 57, ,325 0,900 32,50 90, ,100 1,00 10,00 100,00 ΤΝΟΛΑ 40 1,00 100,00 ( % ) ( α ) Τπολογιςμόσ του Δειγματικοφ Αρικμθτικοφ Μζςου X Βακμολογία ςε μονάδεσ [ ) Κζντρο x ΤΝΟΛΑ f X xf n 40 μονάδεσ ΤΜΠΕΡΑΜΑ: Για το ακαδθμαϊκό ζτοσ , θ μζςθ βακμολογία των φοιτθτών ςτο τεςτ δεξιότθτασ ςτθ Στατιςτικι, εκτιμάται ςε (ι είναι περίπου)75 μονάδεσ. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: τον υπολογιςμό του δειγματικοφ αρικμθτικοφ μζςου ςυμμετζχουν μόνον τα κζντρα των κλάςεων. Ο υπολογιςμόσ του δειγματικοφ μζςου απευκείασ από τισ τιμζσ του δείγματοσ μασ δίνει X μονάδεσ. Ωςτόςο, αυτι θ απϊλεια των 0.06 μονάδων ςτθν ακρίβεια τθσ εκτίμθςθσ κεωρείται αμελθτζα. Επιπλζον δεν κα πρζπει να ξεχνάμε ότι πρόκειται για μία εκτίμθςθ που προκφπτει από τθ χριςθ ενόσ και μόνο δείγματοσ και ότι θ επιλογι ενόσ δεφτερου, τρίτου κ.λπ. δείγματοσ κα μασ ζδιναν μία δεφτερθ, τρίτθ, κ.ο.κ. εκτίμθςθ, διαφορετικι από αυτιν του πρϊτου δείγματοσ. Μαρίνα Σφρπθ

11 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 27 ( β ) Τπολογιςμόσ τθσ Διαμζςου M Βακμολογία ςε μονάδεσ [ ) Εφροσ Ακροιςτικι , , , , , ,00 ΤΝΟΛΑ F Η διάμεςοσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ *70, 80) αφοφ είναι θ πρϊτθ κλάςθ ςτθν οποία θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το F M a F F ΤΜΠΕΡΑΜΑ: Κατά το ακαδθμαϊκό ζτοσ το 50% των φοιτθτών, πζτυχε ςτο μάκθμα τθσ Στατιςτικισ βακμολογία, μικρότερθ από, περίπου, 77 μονάδεσ. Ιςοδφναμα μποροφμε να ποφμε ότι,.. το 50% των φοιτθτών, πζτυχε ςτο μάκθμα τθσ Στατιςτικισ βακμολογία,μεγαλφτερθ από, περίπου, 77 μονάδεσ. ( γ ) Τπολογιςμόσ τθσ Επικρατοφςασ Σιμισ M τον πίνακα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων παρατθροφμε ότι επικρατοφςα είναι θ κλάςθ *80, 90). Σο κζντρο 85 αυτισ τθσ κλάςθσ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ωσ εκτίμθςθ τθσ επικρατοφςασ τιμισ ςτο ςφνολο των φοιτθτϊν. ΤΜΠΕΡΑΜΑ: Το ακαδθμαϊκό ζτοσ , το μεγαλφτερο ποςοςτό των φοιτθτών ( 32,5%) πζτυχε ςτο μάκθμα τθσ Στατιςτικισ βακμολογία 85 μονάδεσ, περίπου. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Η αξία αυτισ τθσ διαπίςτωςθσ, εξαρτάται φυςικά και από τθν τιμι του ποςοςτοφ. Μία τιμι ι κλάςθ μπορεί να είναι θ επικρατοφςα ςε ςφγκριςθ με τισ υπόλοιπεσ αυτό όμωσ δεν ςθμαίνει κατ ανάγκθ ότι είναι και «ιςχυρι». Ζτςι ςτα παραπάνω, για τθν επικρατοφςα τιμι αυτό το «μεγαλφτερο ποςοςτό» (32.5%) αντιςτοιχεί ςε λιγότερο από το 1/3 των φοιτθτϊν. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

12 28 3 ο Μάκθμα Άςκθςθ 2 Παρακάτω βλζπετε τισ μθνιαίεσ αποδοχζσ των 30 εργαηομζνων μιασ βιοτεχνίασ Για τα παραπάνω δεδομζνα δίνεται επίςθσ ότι: X 995, M 775, M Ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων και ο εργοδότθσ κάνουν ζχουν μια δθμόςια ςυηιτθςθ για τθ διαμόρφωςθ των μθνιαίων αποδοχϊν. ( α ) Ποιό από τα τρία αρικμθτικά μζτρα κζςθσ κα χρθςιμοποιιςει ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων για να ιςχυριςτεί ότι οι μιςκοί είναι χαμθλοί και πϊσ κα διατυπϊςει το επιχείρθμά του; ( β ) Μπορείτε επιςθμάνεται κάποια «ανακρίβεια» ι «παράλειψθ» ςτον ιςχυριςμό του; ( γ ) Ποιό μζτρο κα χρθςιμοποιιςει ο εργοδότθσ για να υπεραςπιςτεί τθ κζςθ του και πωσ κα διατυπϊςει το επιχείρθμά του; ( δ ) Μπορείτε να κάποια «ανακρίβεια» ι «παράλειψθ» ςτον ιςχυριςμό του; ( ε ) Τποκζςτε ότι το μόνο μζτρο που μποροφν να χρθςιμοποιιςουν τόςο ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων όςο και ο εργοδότθσ είναι θ διάμεςοσ. Να απαντιςετε ςτα παρακάτω ερωτιματα χρθςιμοποιϊντασ μόνο τθν τιμι τθσ διαμζςου (δθλαδι, χωρίσ να παρατθριςετε τα δεδομζνα). Ποιά από τισ παρακάτω φράςεισ πιςτεφετε ότι κα χρθςιμοποιιςει ο εργοδότθσ; Ποιά ο εκπρόςωποσ των εργαηομζνων; Α. «Σουλάχιςτον οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό το πολφ 775» Β. «Οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό κάτω από 775» Γ. «Σουλάχιςτον οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό από 775 και άνω» Δ. «Οι μιςοί εργαηόμενοι παίρνουν μιςκό πάνω από 775» Μαρίνα Σφρπθ

13 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ Μορφζσ Ιςτογραμμάτων και χετικζσ Θζςεισ των Μζτρων Κεντρικισ Σάςθσ Ζχουμε ιδθ δει, ότι τα ονομαηόμενα μζτρα κεντρικισ τάςθσ δεν ικανοποιοφν πάντα τθ «διαιςκθτικι αντίλθψθ» του κζντρου ενόσ ςυνόλου αρικμϊν και βζβαια ςε πάρα πολλζσ περιπτϊςεισ δεν ταυτίηονται μεταξφ τουσ. Σί ακριβϊσ ςυμβαίνει όταν ζχουμε τζτοιου είδουσ αποκλίςεισ; Πϊσ αποτυπϊνονται αυτζσ πάνω ςτα ιςτογράμματα των ςυχνοτιτων και τί πλθροφορίεσ μποροφμε να αποςπάςουμε κοιτάηοντασ ζνα ιςτόγραμμα ςχετικϊν ςυχνοτιτων; Σα βαςικά είδθ ιςτογραμμάτων ςχετικϊν ςυχνοτιτων είναι τα ςυμμετρικά, αυτά που εμφανίηουν αρνθτικι αςυμμετρία και αυτά που εμφανίηουν κετικι ςυμμετρία υμμετρικά Ιςτογράμματα και θ Κανονικι Κατανομι Μια κατανομι τιμϊν ονομάηεται ςυμμετρικι όταν το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων τθσ είναι ςυμμετρικό ωσ προσ ζναν κατακόρυφο άξονα. X M M X M M X M M τισ ςυμμετρικζσ κατανομζσ, ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ, θ Διάμεςοσ και θ Επικρατοφςα Σιμι ςυμπίπτουν Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

14 30 3 ο Μάκθμα Η ςυμμετρία είναι, γενικά, μια επικυμθτι κατάςταςθ κακϊσ τα τρία μζτρα κεντρικισ τάςθσ είναι ίςα μεταξφ τουσ και ικανοποιοφν τθν «διαιςκθτικι αντίλθψθ» του κζντρου ενόσ ςυνόλου αρικμϊν. Ειδικότερα, ςτθ τατιςτικι επικυμοφμε να ζχουμε ιςτογράμματα που είναι ςυμμετρικά, μονοκόρυφα ι δικόρυφα ςτο κζντρο τθσ κατανομισ, και των οποίων το ςχιμα μοιάηει με καμπάνα, όπωσ τα δφο πρϊτα από τα παραπάνω ιςτογράμματα. Όταν το ιςτόγραμμα μιασ κατανομισ τιμϊν ζχει ι πλθςιάηει πολφ προσ αυτό το χαρακτθριςτικό ςχιμα, τότε λζμε ότι οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ακολουκοφν τθν Κανονικι Κατανομι. Όλθ θ ανάπτυξθ τθσ τατιςτικισ, όπωσ θ παραγωγι τφπων για τθν εκτίμθςθ αρικμθτικϊν μζτρων, διαςτθμάτων εμπιςτοςφνθσ, ςτατιςτικϊν ελζγχων και πολλά άλλα ςτθρίηονται ςτθν προχπόκεςθ ότι οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό ακολουκοφν τθν Κανονικι Κατανομι. Παραβίαςθ αυτισ τθσ κεμελιϊδουσ προχπόκεςθσ ακυρϊνει ςτθν πράξθ τισ διαδικαςίεσ και οδθγεί ςε εςφαλμζνα ςυμπεράςματα. Κακϊσ δεν είναι λίγεσ οι φορζσ όπου θ Κανονικι Κατανομι απουςιάηει, θ τατιςτικι επεξεργάηεται και προτείνει τισ κατάλλθλεσ, ανάλογα με τθν κάκε περίπτωςθ, μεκόδουσ για τθν επεξεργαςία των δεδομζνων Ιςτογράμματα με Αρνθτικι Αςυμμετρία Λζμε πωσ μία κατανομι τιμϊν εμφανίηει αρνθτικι αςυμμετρία όταν το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων εμφανίηεται εκτεταμζνο ςτο αριςτερό του ςκζλοσ. Ο λόγοσ εμφάνιςθσ τθσ αρνθτικισ αςυμμετρίασ είναι ότι υπάρχουν κάποιεσ πολφ μικρζσ τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. Αυτό όμωσ ζχει ςαν ςυνζπεια ο αρικμθτικόσ μζςοσ, που επθρεάηεται από τθν παρουςία ακραίων τιμϊν, να «τραβιζται» προσ τα αριςτερά τθσ διαμζςου. χετικζσ Θζςθσ των Μζτρων Κεντρικισ Σάςθσ ςε Κατανομι με αρνθτικι αςυμμετρία. Όπωσ αναφζρκθκε και παραπάνω, ςτθν περίπτωςθ ζντονθσ αρνθτικισ αςυμμετρίασ ο μζςοσ είναι ακατάλλθλοσ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ, και ςε μια τζτοια περίπτωςθ προτείνεται θ χριςθ τθσ διαμζςου και, ίςωσ, ςε κάποιεσ περιπτϊςεισ τθσ επικρατοφςασ τιμισ. Μαρίνα Σφρπθ

15 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ Ιςτογράμματα με Θετικι Αςυμμετρία Λζμε πωσ μία κατανομι τιμϊν εμφανίηει κετικι αςυμμετρία όταν το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων εμφανίηεται εκτεταμζνο ςτο δεξιό του ςκζλοσ. Ο λόγοσ εμφάνιςθσ τθσ κετικισ αςυμμετρίασ είναι ότι υπάρχουν κάποιεσ πολφ μεγάλεσ τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. Αυτό όμωσ ζχει ςαν ςυνζπεια ο αρικμθτικόσ μζςοσ, που επθρεάηεται από τθν παρουςία ακραίων τιμϊν, να «τραβιζται» προσ τα δεξιά τθσ διαμζςου. χετικζσ Θζςθσ των Μζτρων Κεντρικισ Σάςθσ ςε Κατανομι με αρνθτικι αςυμμετρία. Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

16 32 3 ο Μάκθμα Άςκθςθ 3 - Λυμζνθ Από τα δεδομζνα μιασ ςωματομετρικισ και ιατρικισ ζρευνασ ςε κορίτςια θλικίασ 7 χρόνων τθσ Ελλθνικισ υπαίκρου, και πιραμε τον παρακάτω πίνακα και τα ιςτογράμματα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων. Πεδινά χωριά Ορεινά χωριά Βάροσ (Kgr) Κζντρο x f Ακροιςτικι F xf Κζντρο x f Ακροιςτικι ,13 4 0, ,40 9 0, ,63 4 0, ,77 2 0, ,90 0 0, ,97 1 1, ,00 0 1,00 F xf ΤΝΟΛΑ ,67 23,33 13,33 13,33 13,33 6,67 3, Πεδινά Χωριά Ιςτόγραμμα χετικϊν υχνοτιτων ( % ) Ορεινά Χωριά Ιςτόγραμμα χετικϊν υχνοτιτων ( % ) ( α ) Ποιά είναι θ μεταβλθτι που μελετάμε, και ποιοί οι δφο πλθκυςμοί; ( β ) Να υπολογίςετε και να ερμθνεφςετε τα X, M, M και για τουσ δφο πλθκυςμοφσ. Όπου χρειάηεται ςυμπλθρϊςτε τον πίνακα με τουσ απαιτοφμενουσ υπολογιςμοφσ. ( γ ) Σί κα μποροφςατε να πείτε για τθν του βάρουσ των κοριτςιϊν θλικίασ 7 ετϊν ςτα πεδινά χωριά; Χρθςιμοποιείςτε τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ που εκτιμιςατε και το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων. ( δ ) Σί κα μποροφςατε να πείτε για τθν του βάρουσ των κοριτςιϊν θλικίασ 7 ετϊν ςτα ορεινά χωριά; Χρθςιμοποιείςτε τα μζτρα κεντρικισ τάςθσ που εκτιμιςατε και το ιςτόγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων. Μαρίνα Σφρπθ

17 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 33 Λφςθ ( α ) Μεταβλθτι: X : Βάροσ Πλθκυςμόσ 1: Σα κορίτςια θλικίασ 7 ετϊν των πεδινϊν χωριϊν. Πλθκυςμόσ 2: Σα κορίτςια θλικίασ 7 ετϊν των πεδινϊν χωριϊν. ( β ) Βάροσ (Kgr) Κζντρο x f Πεδινά χωριά Ακροιςτικι F xf Κζντρο x Ορεινά χωριά f Ακροιςτικι , , , , , , , , , , , , , ,00 0 F xf ΤΝΟΛΑ Τπολογιςμόσ και ερμθνεία του αρικμθτικοφ μζςου X, για τα πεδινά χωριά xf 642 X 21.4 n 30 υμπζραςμα: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα πεδινά χωριά εκτιμάται ςε 21.4 Kgr. Ιςοδφναμα μποροφμε να ποφμε ότι: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα πεδινά χωριά είναι περίπου 21.4 Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία του αρικμθτικοφ μζςου X, για τα ορεινά χωριά xf 396 X 19.8 n 20 υμπζραςμα: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα ορεινά χωριά εκτιμάται ςε 19.8 Kgr. Ιςοδφναμα μποροφμε να ποφμε ότι: Το μζςο βάροσ των κοριτςιών θλικίασ 7 ετών από τα ορεινά χωριά είναι περίπου 19.8 Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ διαμζςου M για τα πεδινά χωριά Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

18 34 3 ο Μάκθμα Η διάμεςοσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ 20 22, κακϊσ ςε αυτιν θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί το για πρϊτθ φορά Σο κάτω άκρο τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο. 2 Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο F 0.63 Η Ακροιςτικι τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο F Η Ακροιςτικι τθσ προθγοφμενθσ από τθν κλάςθ που περιζχει τθ διάμεςο. Επομζνωσ M 0.5 F F F υμπζραςμα: Το 50% των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μικρότερο από, περίπου, Kgr Ιςοδφναμα, μποροφμε να ποφμε ότι: Το 50% των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μεγαλφτερο από, περίπου, Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ διαμζςου M για τα ορεινά χωριά Η διάμεςοσ κα βρίςκεται ςτθν κλάςθ 18 20, κακϊσ ςε αυτιν θ ς ακροιςτικι ς ζχει υπερβεί για πρϊτθ φορά το Σο κάτω άκρο τθσ κλάςθσ που περιζχει τθ διάμεςο. 2 Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο F 0.65 Σο πλάτοσ τθσ τάξθσ που περιζχει τθ διάμεςο F Η Ακροιςτικι τθσ προθγοφμενθσ από τθν κλάςθ που περιζχει τθ διάμεςο. Επομζνωσ M 0.5 F F F υμπζραςμα: Το 50% των κοριτςιών από τα ορεινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μικρότερο από, περίπου, Kgr. Ιςοδφναμα, μποροφμε να ποφμε ότι: Το 50% των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ότι ζχουν βάροσ μεγαλφτερο από, περίπου, Kgr. Μαρίνα Σφρπθ

19 Μζτρα Κεντρικισ Σάςθσ 35 Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ επικρατοφςασ τιμισ M για τα πεδινά χωριά Η κλάςθ 18 20, είναι θ κλάςθ με τθ μεγαλφτερθ ς, και το κζντρο τθσ είναι 19. Επομζνωσ M 19 υμπζραςμα: Το μεγαλφτερο ποςοςτό ( 27%) των κοριτςιών από τα πεδινά χωριά, ζχουν βάροσ περίπου 19 Kgr. Τπολογιςμόσ και ερμθνεία τθσ επικρατοφςασ τιμισ M για τα ορεινά χωριά Η κλάςθ 18 20, είναι θ κλάςθ με τθ μεγαλφτερθ ς, και το κζντρο τθσ είναι 19. Επομζνωσ M 19 υμπζραςμα: Το μεγαλφτερο ποςοςτό των κοριτςιών από τα ορεινά χωριά ( 45%), ζχουν βάροσ περίπου 19 Kgr. ( γ ) Σο διάγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων για τα πεδινά χωριά φαίνεται να εμφανίηει κετικι αςυμμετρία, κάτι που επιβεβαιϊνεται από τισ ςχετικζσ κζςεισ των μζτρων κεντρικισ τάςθσ, κακϊσ M 19 M X 21.4 ( δ ) Σο διάγραμμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων για τα ορεινά φαίνεται να εμφανίηει κετικι αςυμμετρία, κάτι που επιβεβαιϊνεται από τισ ςχετικζσ κζςεισ των μζτρων κεντρικισ τάςθσ, κακϊσ M 19 M X 19.8 Σθμειώςεισ Μεκοδολογίασ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium V Στατιςτική Συμπεραςματολογία Ι Σημειακζσ Εκτιμήςεισ Διαςτήματα Εμπιςτοςφνησ Στατιςτική Συμπεραςματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο τθσ Στατιςτικισ Συμπεραςματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1 ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων)

Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1 ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων) 1)Πώσ ορύζεται η Στατιςτικό επιςτόμη; Στατιςτικι είναι ζνα ςφνολο αρχϊν και μεκοδολογιϊν για: το ςχεδιαςμό τθσ διαδικαςίασ ςυλλογισ δεδομζνων τθ ςυνοπτικι και αποτελεςματικι παρουςίαςι τουσ τθν ανάλυςθ

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Ο Σ Ο Σ Τ Ι Κ Ε Σ Μ Ε Θ Ο Δ Ο Ι ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ & ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΕΙΑΣ

Ρ Ο Σ Ο Σ Τ Ι Κ Ε Σ Μ Ε Θ Ο Δ Ο Ι ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ & ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΕΙΑΣ Ρ Ο Σ Ο Σ Τ Ι Κ Ε Σ Μ Ε Θ Ο Δ Ο Ι ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ & ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΕΙΑΣ Τι κάνει η Στατιςτική Στατιςτικι (Statistics) Μετατρζπει αρικμθτικά δεδομζνα ςε

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη

Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ 1. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν όρια ςτο x πραγματικοφσ αρικμοφσ, δθλαδι lim f( x) l 1 και lim g( x) l 2 με l 1, l 2 IR, τότε lim

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο 1, Παράγραφοι 1.1, 1.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1 ο ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο 1, Παράγραφοι 1.1, 1.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1 ο ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο 1, Παράγραφοι 1.1, 1.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιςτικι είναι ο κλάδοσ των μακθματικϊν που αςχολείται με τθ ςυλλογι, τθν οργάνωςθ, τθν παρουςίαςθ και τθν ανάλυςθ αρικμθτικϊν

Διαβάστε περισσότερα

Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ

Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Για τθν ανάδειξθ του κζματοσ κα λφνουμε κάποια προβλιματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι

ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ ςφμφωνα με το πρότυπο ΙΕΕΕ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ζχει χρθςιμοποιθκεί ευρζωσ ςε πραγματικοφσ υπολογιςτζσ. Το πρότυπο αυτό κακορίηει δφο βαςικζσ μορφζσ κινθτισ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα πρόβλθμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ βρίςκεται ςτθν κανονικι μορφι όταν:

Ένα πρόβλθμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ βρίςκεται ςτθν κανονικι μορφι όταν: Μζθοδος Simplex Η πλζον γνωςτι και περιςςότερο χρθςιμοποιουμζνθ μζκοδοσ για τθν επίλυςθ ενόσ γενικοφ προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ, είναι θ μζκοδοσ Simplex θ οποία αναπτφχκθκε από τον George Dantzig.

Διαβάστε περισσότερα

Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2

Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Δρ. Χρήζηος Ηλιούδης Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Εφαρμογζσ (ςε οποιαδιποτε περίπτωςθ δεν χρειάηονται αρνθτικοί αρικμοί) Καταμζτρθςθ. Διευκυνςιοδότθςθ.

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium I

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium I Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Statisticum collegium I Τι κάνει η Στατιςτική Στατιςτικι (Statistics) Μετατρζπει αρικμθτικά δεδομζνα ςε χριςιμθ πλθροφορία. Εξάγει ςυμπεράςματα για ζναν πλθκυςμό. Τισ περιςςότερεσ φορζσ,

Διαβάστε περισσότερα

ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων

ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων κεφάλαιο 7 Α ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων αςικζσ ζννοιεσ Γραμμικά, λζγονται τα ςυςτιματα εξιςϊςεων ςτα οποία οι άγνωςτοι εμφανίηονται ςτθν πρϊτθ δφναμθ. Σα γραμμικά ςυςτιματα με δφο εξιςϊςεισ και δφο

Διαβάστε περισσότερα

Μάκθςθ Κατανομϊν Πικανότθτασ και Ομαδοποίθςθ

Μάκθςθ Κατανομϊν Πικανότθτασ και Ομαδοποίθςθ Μάκθςθ Κατανομϊν Πικανότθτασ και Ομαδοποίθςθ Κϊςτασ Διαμαντάρασ Τμιμα Πλθροφορικισ ΤΕΙ Θεςςαλονίκθσ 1 Μάκθςθ κατανομισ πικανότθτασ Σε όλθ τθν ανάλυςθ μζχρι τϊρα ζγινε ςιωπθρά θ παραδοχι ότι γνωρίηουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα

Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα Αυτζσ οι οδθγίεσ ζχουν ςτόχο λοιπόν να βοθκιςουν τουσ εκπαιδευτικοφσ να καταςκευάςουν τισ δικζσ τουσ δραςτθριότθτεσ με το μοντζλο του Άβακα. Παρουςίαςη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f. .. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8

Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Κάκε μεταβλθτι ςχετίηεται με μία κζςθ ςτθν κφρια μνιμθ του υπολογιςτι. Κάκε κζςθ ςτθ μνιμθ ζχει τθ δικι τθσ ξεχωριςτι διεφκυνςθ. Με άμεςθ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΣΟΤ ΔΙΔΑΚΣΙΚΟΤ ΕΡΓΟΤ ΣΩΝ ΤΠΟΧΡΕΩΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ ΕΑΡΙΝΟΤ ΕΞΑΜΗΝΟΤ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΤ ΕΣΟΤ

ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΣΟΤ ΔΙΔΑΚΣΙΚΟΤ ΕΡΓΟΤ ΣΩΝ ΤΠΟΧΡΕΩΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ ΕΑΡΙΝΟΤ ΕΞΑΜΗΝΟΤ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΤ ΕΣΟΤ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΣΟΤ ΔΙΔΑΚΣΙΚΟΤ ΕΡΓΟΤ ΣΩΝ ΤΠΟΧΡΕΩΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ ΕΑΡΙΝΟΤ ΕΞΑΜΗΝΟΤ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΤ ΕΣΟΤ 2010-2011 Κατά τθ διάρκεια παρακολοφκθςθσ των μακθμάτων του εαρινοφ εξαμινου του ακαδθμαϊκοφ ζτουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣΗ» ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΘΕΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2018 ΑΕΠΠ

ΥΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣΗ» ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΘΕΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2018 ΑΕΠΠ ΥΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣΗ» ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΘΕΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2018 ΘΕΜΑ Α ΑΕΠΠ Α1. Για κακεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ να χαρακτθρίςετε με ΣΩΣΤΟ ι ΛΑΘΟΣ 1. Η ζκφραςθ

Διαβάστε περισσότερα

Ζρευνα ικανοποίθςθσ τουριςτϊν

Ζρευνα ικανοποίθςθσ τουριςτϊν Ζρευνα ικανοποίθςθσ τουριςτϊν Ammon Ovis_Ζρευνα ικανοποίθςθσ τουριςτϊν_ Ραδιοςτακμόσ Flash 96 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Σο δείγμα περιλαμβάνει 332 τουρίςτεσ από 5 διαφορετικζσ θπείρουσ. Οι περιςςότεροι εξ αυτϊν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ. Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ. Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal Παράγραφοσ 8.2 Βαςικοί τφποι δεδομζνων Σα δεδομζνα ενόσ προγράμματοσ μπορεί να: είναι αποκθκευμζνα εςωτερικά ςτθν μνιμθ είναι αποκθκευμζνα εξωτερικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΣΗΣΑ 1: ΓΝΩΡIΖΩ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εργονομία

ΕΝΟΣΗΣΑ 1: ΓΝΩΡIΖΩ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εργονομία ΕΝΟΣΗΣΑ 1: ΓΝΩΡIΖΩ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΗ Εργονομία, ωςτι ςτάςθ εργαςίασ, Εικονοςτοιχείο (pixel), Ανάλυςθ οκόνθσ (resolution), Μζγεκοσ οκόνθσ Ποιεσ επιπτϊςεισ μπορεί να ζχει θ πολφωρθ χριςθ του υπολογιςτι ςτθν

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων. Α Σάξη. Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1. 6 Ομαδοποίθςθ, Μοτίβα,

Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων. Α Σάξη. Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1. 6 Ομαδοποίθςθ, Μοτίβα, Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων Α Σάξη Α/ Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτεσ Επιτυχίασ Ώρεσ Α Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1 Αλ1.1 υγκρίνουν και ταξινομοφν αντικείμενα ςφμφωνα με κάποιο χαρακτθριςτικό/κριτιριο/ιδιότθτά Ομαδοποίθςθ,

Διαβάστε περισσότερα

Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό. Διάλεξθ 10

Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό. Διάλεξθ 10 Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό Διάλεξθ 10 Γενικό Σχιμα Μετατροπζασ Αναλογικοφ ςε Ψθφιακό Ψθφιακό Τθλεπικοινωνιακό Κανάλι Μετατροπζασ Ψθφιακοφ ςε Αναλογικό Τα αναλογικά ςιματα μετατρζπονται ςε

Διαβάστε περισσότερα

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ (Number System) Αξία (value) παράςταςθ Οι αξίεσ (π.χ. το βάροσ μιασ ποςότθτασ μιλων) μποροφν να παραςτακοφν με πολλοφσ τρόπουσ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων

Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων c AM (t) x(t) ΤΕΙ Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σειρά Β Ειςηγητήσ: Δρ Απόςτολοσ Γεωργιάδησ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων Θζμα 1 ο (1 μον.) Ζςτω περιοδικό ςιμα πλθροφορίασ με περίοδο.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιςτικζσ δοκιμζσ. Συνεχι δεδομζνα. Γεωργία Σαλαντι

Στατιςτικζσ δοκιμζσ. Συνεχι δεδομζνα. Γεωργία Σαλαντι Στατιςτικζσ δοκιμζσ Συνεχι δεδομζνα Γεωργία Σαλαντι Τι κζλουμε να ςυγκρίνουμε; Δφο δείγματα Μζςθ αρτθριακι πίεςθ ςε δφο ομάδεσ Πικανότθτα κανάτου με δφο διαφορετικά είδθ αντικατακλιπτικϊν Τθν μζςθ τιμι

Διαβάστε περισσότερα

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1 Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2 ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ'

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΣΗΣΑ 1: ΓΝΩΡIΖΩ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Σο Τλικό του Τπολογιςτι

ΕΝΟΣΗΣΑ 1: ΓΝΩΡIΖΩ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Σο Τλικό του Τπολογιςτι ΕΝΟΣΗΣΑ 1: ΓΝΩΡIΖΩ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Σο Τλικό του Τπολογιςτι Τλικό υπολογιςτι (Hardware), Προςωπικόσ Τπολογιςτισ (ΡC), υςκευι ειςόδου, υςκευι εξόδου, Οκόνθ (Screen), Εκτυπωτισ (Printer), αρωτισ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΣΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΣΟΡΕ ΕΡΓΑΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟΤ HEARTSTONE ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ ΛΟΤΚΟΠΟΤΛΟ ΑΜ:

ΑΤΣΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΣΟΡΕ ΕΡΓΑΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟΤ HEARTSTONE ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ ΛΟΤΚΟΠΟΤΛΟ ΑΜ: ΑΤΣΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΣΟΡΕ ΕΡΓΑΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟΤ HEARTSTONE ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ ΛΟΤΚΟΠΟΤΛΟ ΑΜ: 2008030075 ΕΙΑΓΩΓΗ Το Heartstone είναι ζνα ψθφιακό παιχνίδι καρτϊν που διεξάγιεται πάνω ςτο Battle.net, ζναν διακομιςτι τθσ εταιρίασ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΖσ ΒΆΕΩΝ ΔΕΔΟΜΖΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΣΥΟΤ. Ειρινθ Φιλιοποφλου

ΕΦΑΡΜΟΓΖσ ΒΆΕΩΝ ΔΕΔΟΜΖΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΣΥΟΤ. Ειρινθ Φιλιοποφλου ΕΦΑΡΜΟΓΖσ ΒΆΕΩΝ ΔΕΔΟΜΖΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΣΥΟΤ Ειρινθ Φιλιοποφλου Ειςαγωγι Ο Παγκόςμιοσ Ιςτόσ (World Wide Web - WWW) ι πιο απλά Ιςτόσ (Web) είναι μία αρχιτεκτονικι για τθν προςπζλαςθ διαςυνδεδεμζνων εγγράφων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ. 7 θ Διάλεξθ Διαχείριςθ Μνιμθσ Μζροσ Γ

ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ. 7 θ Διάλεξθ Διαχείριςθ Μνιμθσ Μζροσ Γ ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ 7 θ Διάλεξθ Διαχείριςθ Μνιμθσ Μζροσ Γ ελιδοποίθςθ (1/10) Σόςο θ κατάτμθςθ διαμεριςμάτων ςτακεροφ μεγζκουσ όςο και θ κατάτμθςθ διαμεριςμάτων μεταβλθτοφ και άνιςου μεγζκουσ δεν κάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Slide 1. Εισαγωγή στη ψυχρομετρία

Slide 1. Εισαγωγή στη ψυχρομετρία Slide 1 Εισαγωγή στη ψυχρομετρία 1 Slide 2 Σφντομη ειςαγωγή ςτη ψυχρομετρία. Διάγραμμα Mollier (πίεςησ-ενθαλπίασ P-H) Σο διάγραμμα Mollier είναι μία γραφικι παράςταςθ ςε ζναν άξονα ςυντεταγμζνων γραμμϊν

Διαβάστε περισσότερα

17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ

17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ Προγραμματιςμόσ Μεκόδων Επίλυςθσ Προβλθμάτων 17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ Ιωάννθσ Κατάκθσ Πολυδιάςτατοι πίνακεσ o Μζχρι τϊρα μιλοφςαμε για μονοδιάςτατουσ πίνακεσ ι int age[5]= 31,28,31,30,31; o Για παράλλθλουσ

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση

Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Η θεωρητική μελζτη που ακολουθεί πραγματοποιήθηκε με αφορμή την εργαςτηριακή άςκηςη μζτρηςησ του ςυντελεςτή θερμικήσ αγωγιμότητασ του αλουμινίου, ςτην οποία διαγωνίςτηκαν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία) ΦΥΕ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 007-008 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία παράδοςησ: Νοεμβρίου 007 (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 0 μονάδεσ θ κάκε μία) Άςκηςη α) Να υπολογιςκεί θ προβολι του πάνω ςτο διάνυςμα όταν: (.

Διαβάστε περισσότερα

Αςφάλεια και Προςταςία Δεδομζνων

Αςφάλεια και Προςταςία Δεδομζνων Αςφάλεια και Προςταςία Δεδομζνων Κρυπτογράφθςθ υμμετρικι και Αςφμμετρθ Κρυπτογραφία Αλγόρικμοι El Gamal Diffie - Hellman Σςιρόπουλοσ Γεώργιοσ ΣΙΡΟΠΟΤΛΟ ΓΕΩΡΓΙΟ 1 υμμετρικι Κρυπτογραφία υμμετρικι (Κλαςικι)

Διαβάστε περισσότερα

3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1) Τίτλοσ τθσ ζρευνασ: «Ποια είναι θ επίδραςθ τθσ κερμοκραςίασ ςτθ διαλυτότθτα των ςτερεϊν ςτο νερό;» 2) Περιγραφι του ςκοποφ τθσ ζρευνασ: Η ζρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικόσ Δείκτησ Τιμών Καταναλωτή (ΔΤΚ) Γενικοφ ΔΤΚ. Εκπαίδευςη Αλκοολοφχα ποτά & Καπνό Χρηςιμοποιήςαμε τα λογιςμικά Excel, PowerPoint & Piktochart.

Γενικόσ Δείκτησ Τιμών Καταναλωτή (ΔΤΚ) Γενικοφ ΔΤΚ. Εκπαίδευςη Αλκοολοφχα ποτά & Καπνό Χρηςιμοποιήςαμε τα λογιςμικά Excel, PowerPoint & Piktochart. Τι είναι ο Γενικόσ Δείκτησ Τιμών Καταναλωτή (ΔΤΚ); Ροιεσ από τισ ομάδεσ που μελετά ο δείκτθσ εμφανίηουν τουσ υψθλότερουσ, ποιεσ τουσ χαμθλότερουσ μζςουσ ετιςιουσ υποδείκτεσ τθν περίοδο 2008-2018; Οι υποδείκτεσ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοριςμοί μιασ Β.Δ. ςτθν Access(1/3)

Περιοριςμοί μιασ Β.Δ. ςτθν Access(1/3) Περιοριςμοί μιασ Β.Δ. ςτθν Access(1/3) Το όνομα ενόσ πίνακα, όπωσ και κάκε άλλου αντικειμζνου, μπορεί να ζχει μζγεκοσ ζωσ 64 χαρακτιρεσ. Το όνομα ενόσ πεδίου μπορεί να ζχει μζγεκοσ ζωσ 64 χαρακτιρεσ. Κάκε

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑ2. t=t 1 +T/2. t=t 1 +3T/4. t=t 1 +T ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ).

Απάντηση ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑ2. t=t 1 +T/2. t=t 1 +3T/4. t=t 1 +T ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ). Απάντηση ΘΕΜΑ1 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ). ΘΕΜΑ2 Α)Ανάκλαςθ ςε ακίνθτο άκρο. Το προςπίπτον κφμα ςε χρόνο Τ/2 κα ζχει μετακινθκεί προσ τα δεξιά κατά 2 τετράγωνα όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Για

Διαβάστε περισσότερα

Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ

Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ ΕΚΦΕ Αχαρνών Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 9_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ Εφαρμογζσ τθσ Αρχισ του Αρχιμιδθ & τθσ ςυνκικθσ

Διαβάστε περισσότερα

3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ

3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ 3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ 1 2 3 4 5 6 7 Παραπάνω φαίνεται θ χαρακτθριςτικι καμπφλθ μετάβαςθσ δυναμικοφ (voltage transfer characteristic) για ζναν αντιςτροφζα,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Σελίδα 1

Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Σελίδα 1 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Σελίδα 1 Στόχοσ τησ εργαςίασ είναι η ςτατιςτική ανάλυςη δεδομζνων που αφοροφν τουσ βαθμοφσ πτυχίου των φοιτητών του ΤΕΜ (ΠΚ). Θ εργαςία χωρίηεται ςε δφο μζρθ: (Α) πρϊτο μζροσ

Διαβάστε περισσότερα

Megatron ERP Βάςη δεδομζνων Π/Φ - κατηγοριοποίηςη Databox

Megatron ERP Βάςη δεδομζνων Π/Φ - κατηγοριοποίηςη Databox Megatron ERP Βάςη δεδομζνων Π/Φ - κατηγοριοποίηςη Databox 03 05 ΙΛΤΔΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Α.Ε. αρμά Ιηαμπζλλα Βαρλάμθσ Νίκοσ Ειςαγωγι... 1 Σι είναι το Databox...... 1 Πότε ανανεϊνεται...... 1 Μπορεί να εφαρμοςτεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων

Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Πίνακεσ Διζγερςησ των FF Όπωσ είδαμε κατά τθ μελζτθ των FF, οι χαρακτθριςτικοί πίνακεσ δίνουν τθν τιμι τθσ επόμενθσ κατάςταςθσ κάκε FF ωσ ςυνάρτθςθ τθσ παροφςασ

Διαβάστε περισσότερα

Ζλεγχοι Τποκζςεων. ) δεν ςυνεπάγεται και διαφορά μεταξφ των δφο παραμζτρων και.

Ζλεγχοι Τποκζςεων. ) δεν ςυνεπάγεται και διαφορά μεταξφ των δφο παραμζτρων και. Ζλεγχοι Τποκζςεων 1. Σο Πρόβλθμα του Ελζγχου Τποκζςεων Ασ υποκζςουμε ότι ςχεδιάηονται κάποιεσ κυκλοφοριακζσ ρυκμίςεισ με ςτόχο ο μζςοσ χρόνοσ μετακίνθςθσ των εργαηομζνων που χρθςιμοποιοφν το αυτοκίνθτό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΜΑΘΗΣΕ: ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΠΑΡΑΘΤΡΑ ΑΝΑΣΑΗ ΠΟΤΛΙΟ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ ΠΡΟΔΡΟΜΟΤ ΑΝΑΣΑΙΑ ΠΟΛΤΧΡΟΝΙΑΔΟΤ ΙΩΑΝΝΑ ΠΕΝΓΚΟΤ

ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΜΑΘΗΣΕ: ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΠΑΡΑΘΤΡΑ ΑΝΑΣΑΗ ΠΟΤΛΙΟ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ ΠΡΟΔΡΟΜΟΤ ΑΝΑΣΑΙΑ ΠΟΛΤΧΡΟΝΙΑΔΟΤ ΙΩΑΝΝΑ ΠΕΝΓΚΟΤ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΜΑΘΗΣΕ: ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΠΑΡΑΘΤΡΑ ΑΝΑΣΑΗ ΠΟΤΛΙΟ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ ΠΡΟΔΡΟΜΟΤ ΑΝΑΣΑΙΑ ΠΟΛΤΧΡΟΝΙΑΔΟΤ ΙΩΑΝΝΑ ΠΕΝΓΚΟΤ Οριςμόσ: Με τον όρο αδράνεια ςτθ Φυςικι ονομάηεται θ χαρακτθριςτικι ιδιότθτα των ςωμάτων να αντιςτζκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ. Φιλιοποφλου Ειρινθ

ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ. Φιλιοποφλου Ειρινθ ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ Φιλιοποφλου Ειρινθ Προςθήκη νζων πεδίων Ασ υποκζςουμε ότι μετά τθ δθμιουργία του πίνακα αντιλαμβανόμαςτε ότι ζχουμε ξεχάςει κάποια πεδία. Είναι ζνα πρόβλθμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα

Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα Τα ψθφιακά λογικά κυκλϊματα που μελετιςαμε μζχρι τϊρα ιταν ςυνδυαςτικά κυκλϊματα. Στα ςυνδυαςτικά κυκλϊματα οι ζξοδοι ςε κάκε χρονικι ςτιγμι εξαρτϊνται αποκλειςτικά και μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4.1

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4.1 ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4. Να γίνει πρόγραμμα το οποίο να επιλφει το Διαγώνιο Σφςτθμα: A ι το ςφςτθμα : ι ςε μορφι εξιςώςεων το ςφςτθμα : Αλγόρικμοσ m(). Διαβάηουμε τθν τιμι του ( θ διάςταςθ του Πίνακα Α )..

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις

Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) 19 Μαρτίου 2011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Στθν πιο κάτω εικόνα πρζπει να υπάρχει αρικμόσ ςε κάκε κουκκίδα ϊςτε το άκροιςμα των αρικμϊν ςτα άκρα κάκε ευκφγραμμου τμιματοσ

Διαβάστε περισσότερα

5 ΜΕΘΟΔΟΙ - ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ

5 ΜΕΘΟΔΟΙ - ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ 5 ΜΕΘΟΔΟΙ - ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ Να γραφεί πρόγραμμα, το οποίο κα δίνει τισ τιμζσ 5 και 6 ςε δφο μεταβλθτζσ a και b και κα υπολογίηει και κα εμφανίηει το άκροιςμά τουσ sum. ΛΟΓΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ a 5 b 6 sum a+b sum ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση Συγγραφή:

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηςη τησ Εμφάνιςησ τησ Νόςου Νοςηρότητα : Επίπτωςη, Επιπολαςμόσ. Δρ. Ιωάννθσ Δετοράκθσ

Μέτρηςη τησ Εμφάνιςησ τησ Νόςου Νοςηρότητα : Επίπτωςη, Επιπολαςμόσ. Δρ. Ιωάννθσ Δετοράκθσ Μέτρηςη τησ Εμφάνιςησ τησ Νόςου Νοςηρότητα : Επίπτωςη, Επιπολαςμόσ Δρ. Ιωάννθσ Δετοράκθσ Πληθυςμόσ : Η εξζλιξη τησ νόςου από υγιζσ άτομα ςε άτομα με βαθμό ςοβαρότητασ τησ νόςου που είναι μεταβαλλόμενοσ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΣΤΞΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 3 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ Ν. ΜΤΡΝΘ- ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΤΡΙΔΑΚΘ Λ.

ΑΝΑΠΣΤΞΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 3 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ Ν. ΜΤΡΝΘ- ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΤΡΙΔΑΚΘ Λ. Ερωτήςεισ Προβλήματα Α. Σημειώςτε δεξιά από κάθε πρόταςη το γράμμα Σ αν η πρόταςη είναι ςωςτή και το γράμμα Λ αν είναι λάθοσ. 1. Θ περατότθτα ενόσ αλγορίκμου αναφζρεται ςτο γεγονόσ ότι καταλιγει ςτθ λφςθ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ

ΒΙΟΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΦΥΣΙΚΗ vs ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΒΙΟΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ «Προτείνω να αναπτφξουμε πρώτα αυτό που κα μποροφςε να ζχει τον τίτλο: «ιδζεσ ενόσ απλοϊκοφ φυςικοφ για τουσ οργανιςμοφσ». Κοντολογίσ, τισ ιδζεσ που κα μποροφςαν

Διαβάστε περισσότερα

Η γλώςςα προγραμματιςμού C

Η γλώςςα προγραμματιςμού C Η γλώςςα προγραμματιςμού C Οι εντολζσ επανάλθψθσ (while, do-while, for) Γενικά για τισ εντολζσ επανάλθψθσ Συχνά ςτο προγραμματιςμό είναι επικυμθτι θ πολλαπλι εκτζλεςθ μιασ ενότθτασ εντολϊν, είτε για ζνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Γνωριμία με το λογιςμικό του υπολογιςτι

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Γνωριμία με το λογιςμικό του υπολογιςτι ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Γνωριμία με το λογιςμικό του υπολογιςτι Λογιςμικό (Software), Πρόγραμμα (Programme ι Program), Προγραμματιςτισ (Programmer), Λειτουργικό Σφςτθμα (Operating

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρμογών Σε Προγραμματιςτικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρμογών Σε Προγραμματιςτικό Περιβάλλον Γραπτι Εξζταςθ ςτο μάκθμα Ανάπτυξη Εφαρμογών Σε Προγραμματιςτικό Περιβάλλον Όνομα: Επϊνυμο: Τμιμα: Ημερομθνία: 20/02/11 Θζμα 1 ο Α. Να χαρακτθρίςετε κακεμιά από τισ παρακάτω προτάςεισ ωσ Σωςτι (Σ) ι Λάκοσ

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΤΣΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ A. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου) ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου) 19 Μαρτίου 011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Μια διάβαςθ πεηϊν ζχει άςπρεσ και μαφρεσ λωρίδεσ, πλάτουσ 50 cm. ε ζνα δρόμο θ διάβαςθ ξεκινά και τελειϊνει με άςπρεσ

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότθτεσ πεδίων Γενικζσ.

Ιδιότθτεσ πεδίων Γενικζσ. Οι ιδιότθτεσ των πεδίων διαφζρουν ανάλογα με τον τφπο δεδομζνων που επιλζγουμε. Ορίηονται ςτο κάτω μζροσ του παρακφρου ςχεδίαςθσ του πίνακα, ςτθν καρτζλα Γενικζσ. Ιδιότθτα: Μζγεκοσ πεδίου (Field size)

Διαβάστε περισσότερα

Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ

Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ Πρόλογοσ το άρκρο αυτό κα δοφμε πωσ διαμορφϊνονται κάποιεσ ζννοιεσ όπωσ το εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων, οι ςυνκικεσ κακετότθτασ και παραλλθλίασ διανυςμάτων και ευκειϊν, ο ςυντελεςτισ διευκφνςεωσ διανφςματοσ

Διαβάστε περισσότερα

8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο

8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο κεφάλαιο 8 τριγωνομετρία Α βαςικζσ ζννοιεσ τθν τριγωνομετρία χρθςιμοποιοφμε τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ, οι οποίοι ορίηονται ωσ εξισ: θμω = απζναντι κάκετθ πλευρά υποτείνουςα Γ ςυνω = εφω = προςκείμενθ

Διαβάστε περισσότερα

Αναφορά Εργαςίασ Nim Game

Αναφορά Εργαςίασ Nim Game Αναφορά Εργαςίασ Nim Game Αυτόνομοι Πράκτορεσ (ΠΛΗ 513) Βαγενάσ Σωτιριοσ 2010030034 Ειςαγωγή Για τθν εργαςία του μακιματοσ αςχολικθκα με το board game Nim. Ρρόκειται για ζνα παιχνίδι δφο παιχτϊν (2-player

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματικι Ψυχολογία (ΨΧ66)

Πειραματικι Ψυχολογία (ΨΧ66) Πειραματικι Ψυχολογία (ΨΧ66) Διάλεξη 7 Σεχνικζσ για τθν επίτευξθ ςτακερότθτασ Πζτροσ Ροφςςοσ Μζθοδοι για την επίτευξη του ελζγχου Μζςω του κατάλλθλου ςχεδιαςμοφ του πειράματοσ (ςτόχοσ είναι θ εξάλειψθ

Διαβάστε περισσότερα

Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ

Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ . Ειςαγωγι Ζςτω ότι κζλουμε να ερευνιςουμε εμπειρικά τθ ςχζςθ που υπάρχει ανάμεςα ςτισ δαπάνεσ κατανάλωςθσ και ςτο διακζςιμο ειςόδθμα, των οικογενειϊν. Σφμφωνα με τθν Κεχνςιανι κεωρία, θ κατανάλωςθ αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι

ΗΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ Παράςταςη ςταθεροφ ςημείου Παράςταςη αριθμών κινητοφ ςημείου 2 Παράςταςη ςταθεροφ ςημείου Στθν παράςταςθ αρικμϊν ςτακεροφ ςθμείου (Fixed

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΚΦΕ ΑΝ. ΑΤΤΙΚΗΣ Υπ. Κ. Παπαμιχάλθσ. Μζτρηςη του λόγου γ=c P /C V των αερίων με τη μζθοδο Clement Desormes

Α ΕΚΦΕ ΑΝ. ΑΤΤΙΚΗΣ Υπ. Κ. Παπαμιχάλθσ. Μζτρηςη του λόγου γ=c P /C V των αερίων με τη μζθοδο Clement Desormes Α ΕΚΦΕ ΑΝ. ΑΤΤΙΚΗΣ Υπ. Κ. Παπαμιχάλθσ Μζτρηςη του λόγου γ=c P /C V των αερίων με τη μζθοδο Clement Desormes Στόχοι 1. Ανάλυςθ τθσ λειτουργίασ τθσ πειραματικισ διάταξθσ 2. Εφαρμογι των νόμων τθσ κερμοδυναμικισ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Στο εργαςτιριο αυτό κα δοφμε πωσ μποροφμε να προςομοιϊςουμε μια κίνθςθ χωρίσ τθ χριςθ εξειδικευμζνων εργαλείων, παρά μόνο μζςω ενόσ προγράμματοσ λογιςτικϊν φφλλων, όπωσ είναι το Calc και το Excel. Τα δφο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΩ ΜΕ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αρχεία - Φάκελοι

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΩ ΜΕ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αρχεία - Φάκελοι ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΩ ΜΕ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Αρχείο (File) Φάκελοσ (Folder) Διαχειριςτισ Αρχείων (File Manager) Τφποι Αρχείων Σε τι εξυπθρετεί θ οργάνωςθ των εργαςιϊν μασ ςτουσ υπολογιςτζσ; Πϊσ κα οργανϊςουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτιςεισ & απαντιςεισ για τα ξφλινα πνευςτά

Ερωτιςεισ & απαντιςεισ για τα ξφλινα πνευςτά Τα νύλιμα! ΧΟΡΗΓΟΣ Ερωτιςεισ & απαντιςεισ για τα ξφλινα πνευςτά τα ξφλινα! 1. Γιατί τα λζμε ξφλινα πνευςτά; Πνευςτά ονομάηονται τα όργανα ςτα οποία ο ιχοσ παράγεται μζςα ςε ζνα ςωλινα απ όπου περνάει ο

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΤ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Σ.Σ. Σμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Τπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΣΕ Π.Μ.. «Νέες Σεχνολογίες στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές» Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΘΚΟΣΗΣΑ ΖΗΣΗΗ ΚΑΘ ΠΡΟΦΟΡΑ

ΕΛΑΣΘΚΟΣΗΣΑ ΖΗΣΗΗ ΚΑΘ ΠΡΟΦΟΡΑ ΕΛΑΣΘΚΟΣΗΣΑ ΖΗΣΗΗ ΚΑΘ ΠΡΟΦΟΡΑ 1 ΜΕΡΟ Α. Ειςαγωγή: Ελαςτικότητα Σον χειμϊνα του 1881-2 ο Alfred Marshall κατζβθκε από τθν θλιόλουςτθ ταράτςα του ξενοδοχείου του ςτο Palermo ενκουςιαςμζνοσ γιατί είχε ανακαλφψει

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣ Η» ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΑ ΑΕΠΠ

ΥΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣ Η» ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΑ ΑΕΠΠ ΥΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΟ Μ. Ε. ΚΑΙ ΚΕΝΣΡΟ ΙΔΙΑΙΣΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΩΝ «ΚΤΡΙΣ Η» ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΑ ΘΕΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΑΠΡΙΛΙΟ 2018 ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Γιώργος Πασσαλίδης ΑΕΠΠ ΟΝΟΜΑΣΕΠΩΝΤΜΟ: ΒΑΘΜΟ : ΘΕΜΑ Α Α1. Για κακεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.

1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον

Διαβάστε περισσότερα

Είναι μια μελζτθ αςκενι-μάρτυρα (case-control). Όςοι ςυμμετζχουν ςτθν μελζτθ ζχουν επιλεγεί με βάςθ τθν ζκβαςθ.

Είναι μια μελζτθ αςκενι-μάρτυρα (case-control). Όςοι ςυμμετζχουν ςτθν μελζτθ ζχουν επιλεγεί με βάςθ τθν ζκβαςθ. Ερϊτθςθ 1 Μια μελζτθ πραγματοποιείται για να εξετάςει αν θ μετεμμθνοπαυςιακι ορμονικι κεραπεία ζχει προςτατευτικό ρόλο για τθν πρόλθψθ εμφράγματοσ του μυοκαρδίου. 1013 γυναίκεσ με οξφ ζμφραγμα του μυοκαρδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΓΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΡΕΙΒΑΛΛΟΝ MICRO WORLDS PRO

ΡΟΓΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΡΕΙΒΑΛΛΟΝ MICRO WORLDS PRO ΡΟΓΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΡΕΙΒΑΛΛΟΝ MICRO WORLDS PRO Το Micro Worlds Pro είναι ζνα ολοκλθρωμζνο περιβάλλον προγραμματιςμοφ. Χρθςιμοποιεί τθ γλϊςςα προγραμματιςμοφ Logo (εξελλθνιςμζνθ) Το Micro Worlds Pro περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 5 η : Μερικι Παράγωγοσ Ι Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων

Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων Πανελλόνιεσ εξετϊςεισ Γ Τϊξησ 2011 Ανϊπτυξη Εφαρμογών ςε Προγραμματιςτικό Περιβϊλλον ΘΕΜΑ Α Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων Α1. Σ/Λ 1. Σωςτι 2. Σωςτι 3. Λάκοσ 4. Λάκοσ 5. Λάκοσ Α2. Σ/Λ 1. Σωςτι 2.

Διαβάστε περισσότερα

Δ ιαγώνιςμα ς το μάθημα Ανάπτυξη Εφαρμογών ςε Προγ ραμματιςτικό Περιβάλ λον

Δ ιαγώνιςμα ς το μάθημα Ανάπτυξη Εφαρμογών ςε Προγ ραμματιςτικό Περιβάλ λον Δ ιαγώνιςμα ς το μάθημα Ανάπτυξη Εφαρμογών ςε Προγ ραμματιςτικό Περιβάλ λον Ο ν ο μ α τ ε π ώ ν υ μ ο : _ Θ Ε Μ Α 1 ο Α. Ν α χ α ρ α κ τ θ ρ ι ς τ ο φ ν ο ι α κ ό λ ο υ κ ε σ π ρ ο τ ά ς ε ι σ μ ε τ ο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 4 η : Όρια και Συνζχεια Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Άςκθςθ 1θ: Να γραφεί αλγόρικμοσ που κα δθμιουργεί με τθ βοικεια διπλοφ επαναλθπτικοφ βρόχου, τον ακόλουκο διςδιάςτατο πίνακα:

Άςκθςθ 1θ: Να γραφεί αλγόρικμοσ που κα δθμιουργεί με τθ βοικεια διπλοφ επαναλθπτικοφ βρόχου, τον ακόλουκο διςδιάςτατο πίνακα: 2 ο Σετ Ασκήσεων Δομές Δεδομένων - Πίνακες Άςκθςθ 1θ: Να γραφεί αλγόρικμοσ που κα δθμιουργεί με τθ βοικεια διπλοφ επαναλθπτικοφ βρόχου, τον ακόλουκο διςδιάςτατο πίνακα: 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ε περίπτωςθ που θ διαφορά των δφο ηαριϊν είναι 3 τότε ο παίκτθσ ξαναρίχνει μόνο ζνα ηάρι.

Ε. ε περίπτωςθ που θ διαφορά των δφο ηαριϊν είναι 3 τότε ο παίκτθσ ξαναρίχνει μόνο ζνα ηάρι. 1 ο Σετ Ασκήσεων Δομή Επιλογής - Επανάληψης Άςκθςθ 1θ: Ζνα παιχνίδι με ηάρια παίηεται ωσ εξισ: Α. Ο παίκτθσ αρχικά ποντάρει κάποιο ποςό και ρίχνει δφο ηάρια. Β. Ο παίκτθσ κερδίηει (το ποςό που ζχει ποντάρει)

Διαβάστε περισσότερα

= = 124

= = 124 Λζξεισ Κάκε μακθτισ μζςα ςτθν ομάδα κα πρζπει να ζχει μια αρικμομθχανι. Ζνασ μακθτισ κα διαβάηει φωναχτά τουσ αρικμοφσ. Οι υπόλοιποι μακθτζσ κα τουσ γράφουν ςτθν αρικμομθχανι πατϊντασ κάκε φορά το πλικτρο

Διαβάστε περισσότερα

x n D 2 ENCODER m - σε n (m 2 n ) x 1 Παραδείγματα κωδικοποιθτϊν είναι ο κωδικοποιθτισ οκταδικοφ ςε δυαδικό και ο κωδικοποιθτισ BCD ςε δυαδικό.

x n D 2 ENCODER m - σε n (m 2 n ) x 1 Παραδείγματα κωδικοποιθτϊν είναι ο κωδικοποιθτισ οκταδικοφ ςε δυαδικό και ο κωδικοποιθτισ BCD ςε δυαδικό. Κωδικοποιητές Ο κωδικοποιθτισ (nor) είναι ζνα κφκλωμα το οποίο διακζτει n γραμμζσ εξόδου και το πολφ μζχρι m = 2 n γραμμζσ ειςόδου και (m 2 n ). Οι ζξοδοι παράγουν τθν κατάλλθλθ λζξθ ενόσ δυαδικοφ κϊδικα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ: ΘΕΟΚΛΗΣΩ-ΑΝΣΡΕΑ-ΝΕΦΕΛΗ

ΟΜΑΔΑ: ΘΕΟΚΛΗΣΩ-ΑΝΣΡΕΑ-ΝΕΦΕΛΗ 29/9/2014 το μάκθμα τθσ ευζλικτθσ ηϊνθσ,τα παιδιά χωρίςτθκαν ςε ομάδεσ και ζφτιαξαν τθν δικι τουσ ηωγραφιά χρθςιμοποιϊντασ γεωμετρικά ςχιματα. ΟΜΑΔΑ: ΘΕΟΚΛΗΣΩ-ΑΝΣΡΕΑ-ΝΕΦΕΛΗ ΤΜΜΕΣΡΙΑ: 10 ΚΑΙ 13 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΙΙ

ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΙΙ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΙΙ μέρος Α ΚΟΝΤΟΣ ΟΔΥΣΣΕΑΣ ΠΕ12.04 1 ΚΜ: Κλιματιςτικι μονάδα Ορολογία ΚΚΜ: Κεντρικι κλιματιςτικι μονάδα ΗΚΜ: Ημικεντρικι κλιματιςτικι μονάδα ΤΚΜ: Σοπικι κλιματιςτικι μονάδα Δίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

Δϋ Δθμοτικοφ 12 θ Κυπριακι Μακθματικι Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 2011

Δϋ Δθμοτικοφ 12 θ Κυπριακι Μακθματικι Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 2011 1. Αν τϊρα είναι Απρίλθσ, ποιοσ μινασ κα είναι μετά από 100 μινεσ; Α. Απρίλθσ Β. Αφγουςτοσ. Σεπτζμβρθσ Δ. Μάρτθσ Ε. Ιοφλθσ 2. Ποιο είναι το αποτζλεςμα των πιο κάτω πράξεων; ; Α. 135 Β. 27. 63 Δ. 21 Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόςβαςη και δήλωςη μαθημάτων ςτον Εφδοξο

Πρόςβαςη και δήλωςη μαθημάτων ςτον Εφδοξο Πρόςβαςη και δήλωςη μαθημάτων ςτον Εφδοξο Τι πρζπει να γνωρίηω πριν ξεκινιςω τθν διαδικαςία 1. Να ζχω κωδικοφσ από τον Κζντρο Δικτφου του ΤΕΙ Ακινασ (είναι αυτοί με τουσ οποίουσ ζχω πρόςβαςθ ςτο αςφρματο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β

ΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β 4 o ΔΙΓΩΝΙΜ ΠΡΙΛΙΟ 04: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΠΝΣΗΔΙ ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΔΥΘΥΝΣΗΣ 4 ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΔΝΔΔΙΚΤΙΚΔΣ ΠΝΤΗΣΔΙΣ ΘΔΜ. β. β 3. α 4. γ 5. α.σ β.σ γ.λ δ.σ ε.λ. ΘΔΜ Β Σωςτι είναι θ απάντθςθ γ. Έχουμε ελαςτικι

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R

Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R Ενότητα 5 η : Η Μζθοδοσ Simplex Παρουςίαςη τησ μεθόδου Κων/νοσ Κουνετάσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ Νίκοσ Χατηθςταμοφλου, Υπ. Δρ. Οικονομικισ Επιςτιμθσ

Διαβάστε περισσότερα

Αςκιςεισ ςε (i) Δομζσ Ευρετθρίων και Οργάνωςθ Αρχείων (ii) Κανονικοποίθςθ

Αςκιςεισ ςε (i) Δομζσ Ευρετθρίων και Οργάνωςθ Αρχείων (ii) Κανονικοποίθςθ Αςκιςεισ ςε (i) Δομζσ Ευρετθρίων και Οργάνωςθ Αρχείων (ii) Κανονικοποίθςθ Δεκζμβριοσ 2016 Άςκθςθ 1 Θεωρείςτε ότι κζλουμε να διαγράψουμε τθν τιμι 43 ςτο Β+ δζντρο τθσ Εικόνασ 1. Η διαγραφι αυτι προκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Modellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ

Modellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ Νίκοσ Αναςταςάκθσ 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ Περιγραφή Σο είναι λογιςμικό προςομοιϊςεων που ςτθρίηει τθν λειτουργία του ςε μακθματικά μοντζλα. ε αντίκεςθ με άλλα λογιςμικά (π.χ. Interactive Physics, Crocodile

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του

Αυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Αυτόνομοι Πράκτορες Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Jaohar Osman Η πρόταςθ εργαςίασ που ζκανα είναι το παρακάτω κείμενο : - ξ Aibo αγαπάει πάρα πξλύ ρα κόκαλα και πάμρα ρα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων

Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων 2010-2011 Μάθημα 1 ο 1 Ε. Σςαμούρα Σμήμα Πληροφορικήσ ΑΠΘ Σκοπόσ του 1 ου εργαςτθριακοφ μακιματοσ Σκοπόσ του πρϊτου εργαςτθριακοφ μακιματοσ είναι να μελετιςουμε ερωτιματα επιλογισ

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακά Τηάκια. Πουκεβίλ 2, Ιωάννινα Τθλ. 26510.23822 www.energeiaka-ktiria.gr www.facebook.com/energeiaka.ktiria

Ενεργειακά Τηάκια. Πουκεβίλ 2, Ιωάννινα Τθλ. 26510.23822 www.energeiaka-ktiria.gr www.facebook.com/energeiaka.ktiria Ενεργειακά Τηάκια Πουκεβίλ 2, Ιωάννινα Τθλ. 26510.23822 www.facebook.com/energeiaka.ktiria Σελ. 2 Η ΕΣΑΙΡΕΙΑ Η εταιρεία Ενεργειακά Κτίρια δραςτθριοποιείται ςτθν παροχι ολοκλθρωμζνων υπθρεςιϊν και ςτθν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικός Πειραματισμός ΙΙ ΑΥΞΗΜΕΝΑ ΣΧΕΔΙΑ

Γεωργικός Πειραματισμός ΙΙ ΑΥΞΗΜΕΝΑ ΣΧΕΔΙΑ ΑΥΞΗΜΕΝΑ ΣΧΕΔΙΑ Συχνά ςυμβαίνει ςτα πρϊτα ςτάδια ενόσ βελτιωτικοφ προγράμματοσ να μθν υπάρχει επαρκι ποςότθτα γενετικοφ υλικοφ των νζων ςειρϊν, γεγονόσ που δυςχεράνει τθν πραγματοποίθςθ πειραμάτων αξιολόγθςθσ

Διαβάστε περισσότερα