ΑΠΟ τη ΛΟΓΙΚΗ στους ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΟ τη ΛΟΓΙΚΗ στους ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ"

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: , Ιστοσελίδα: ΑΠΟ τη ΛΟΓΙΚΗ στους ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Κατ αρχάς θέλω να δηλώσω ότι αντιμετωπίζω το θέμα από τη σκοπιά της Μαθηματικής Λογικής, και δεν σχολιάζω φιλοσοφικά θέματα, που δεν είναι της αρμοδιότητας μου. Επίσης το παρόν άρθρο δεν έχει την έκταση ενός βιβλίου. Στην αρχαιότητα παρατηρούσαν την εξέλιξη των φαινομένων της Φύσης, και έθεσαν το καίριο ερώτημα εάν η παρατηρούμενη μεταβολή οφειλόταν στο ότι πίσω βρισκόταν μια θεότητα η οποία φρόντιζε ώστε να εξελιχτεί το σύστημα σύμφωνα με τις επιθυμίες της, ή η εξέλιξη αυτή καθοριζόταν από μερικούς νόμους. Στη πρώτη περίπτωση η εξέλιξη προσδιοριζόταν από τις βουλές της θεότητας, ενώ στη δεύτερη υπήρχε μια λογική. Στη δεύτερη αυτή περίπτωση, η μεταβολή μπορεί να περιγράφεται με προσδιοριστικό ή στοχαστικό τρόπο. Τα μαθηματικά όμως της αρχαιότητας ήταν προσδιοριστικά. Αρχικά επικρατούσε η άποψη του μύθου, με το χρόνο όμως άρχισε να επικρατεί η δεύτερη άποψη. Το μεγαλύτερο επίτευγμα των αρχαίων Ελλήνων είναι η Λογική εξήγηση του κόσμου, ήτοι: Η μετάβαση από το μύθο στη λογική Η Λογική αυτή αρχικά αντιμετωπίστηκε με εμπειρικό τρόπο. Δηλαδή, η ύπαρξη της διαπιστώθηκε πειραματικά. Το πρώτο βήμα έγινε από τον Θαλή, ο οποίος αξιοποίησε την εμπειρική αυτή Λογική. Πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι η διαπίστωση ότι υπάρχει Λογική στη Φύση, οδήγησε σε ένα νέο πολιτισμό. Το καίριο όμως ερώτημα που έμεινε να απαντηθεί είναι, από πού προέρχονται οι κανόνες της Λογικής αυτής? Οι κανόνες της αυτοί αξιοποιήθηκαν στην αντιμετώπιση που εισήγαγε ο Θαλής, από πού όμως προέρχονται? Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι το μεγάλο επίτευγμα του Αριστοτέλη. Με το έργο του της «Ταξινόμηση των Ειδών» αντιμετώπισε το πρόβλημα αυτό. Βρέθηκε δε ότι η αριθμητική της Λογικής 1

2 της Φύσης είναι η αριθμητική της ταξινόμησης. Επίσης, βρέθηκε ότι η αριθμητική της ταξινόμησης είναι και αριθμητική της ανθρώπινης σκέψης. Η συμβολή του αυτή θεωρείται η βασικότερη που ποτέ έγινε. Όπως αναφέρθηκε, η πρώτη σημαντική αξιοποίηση της Λογικής της Φύσης έγινε από τον Θαλή, αλλά η οριστική απάντηση δόθηκε από τον Αριστοτέλη. Η συνεισφορά τους αυτή υπήρξε μοναδική. Η επελθούσα μεταβολή οδήγησε, μεταξύ των άλλων, στην ανάπτυξη των επιστημών. Πρέπει δε να τονιστεί ότι, Χωρίς τη λογική συμπεριφορά της Φύσης, επιστήμες δεν υπάρχουν Θα γίνει μια σύντομη ανασκόπηση της διαδικασίας της εύρεσης της, με σημερινά όμως δεδομένα, και θα προβληθεί η σύνδεση της με τους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές (Η/Υ). Η κρατούσα άποψη στην προϊστορική αρχαιότητα ήταν να συλλέγονται εμπειρικές πληροφορίες, και να αποδίδεται η συμπεριφορά της φύσης σε μύθους. Η μεγαλύτερη αλλαγή που ποτέ έγινε στην ανθρώπινη διανόηση ήταν η μετάβαση από τον μύθο στη Λογική. Συνέπεια της μεταβολής αυτής είναι ότι, Τη «Λογική της Φύσης» την εκφράζουμε με τους νόμους της Φύσης Δεν αναμένουμε όμως ότι θα μπορέσουμε να βρούμε όλους τους νόμους της Φύσης. Στοχεύουμε να πετύχουμε τη κατανόηση της συμπεριφοράς της Φύσης από ένα πεπερασμένο σύνολο αξιωμάτων, και τη χρήση της Λογικής. Το γεγονός αυτό εκφράζεται αυστηρά με το ότι: «πεπερασμένο σύνολο αξιωμάτων δεν δημιουργεί στη Φύση πληρότητα». Η πρώτη συμβολή έγινε από τον Θαλή, με την εισαγωγή της «Επιστημονικής μεθοδολογίας», στην οποία γινότανε χρήση της εμπειρικής τότε Λογικής. Ας ξεκινήσουμε όμως με τη διαδικασία που χρησιμοποιείται στην εκπαίδευση. Μαθαίνουμε στο Δημοτικό ότι δεν μπορούμε να αθροίσουμε ποσότητες που αναφέρονται σε διαφορετικά είδη. Η κοινή αριθμητική μπορεί μόνο να αθροίσει ποσότητες που αναφέρονται στo ίδιο είδος. Με βάση τα όσα είπαμε παραπάνω, η περίπτωση των διαφορετικών ειδών πρέπει να αντιμετωπιστεί με μια διαφορετική αριθμητική. Η Φύση αντιμετωπίζει τη περίπτωση αυτή, μια και υπάρχουν σε αυτή πολλά είδη. Έτσι αν θέλουμε μια αριθμητική που να είναι συμβατή με τη Φύση, πρέπει να δούμε πως αυτή αντιμετωπίζει τα διαφορετικά είδη. Την αριθμητική αυτή την ονομάζουμε Μαθηματική Λογική. Στόχος της αριθμητικής αυτής (Μαθηματικής Λογικής) είναι να διαπραγματευτεί εάν δύο ή περισσότερα είδη (πολλές ιδιότητες) ανήκουν στην ίδια ομάδα, και όχι να διαπραγματευτή το πλήθος που θα προκύψει σε κάθε ομάδα. Το τελευταίο ανήκει στη δικαιοδοσία της κοινής αριθμητικής. Επίσης η 2

3 «Λογική της Φύσης» εξειδικεύεται στον άνθρωπο, και αναφέρεται ως «σκέψη». Ένα σημαντικό σημείο είναι ότι: Η Μαθηματική Λογική είναι επίσης και αριθμητική της σκέψης Αυτό συνάγεται και από το ονομαστό βιβλίο του Boole, «The Laws of Thought». Ξεκινούμε το Δημοτικό μαθαίνοντας και αριθμητική. Έτσι πρέπει να δεχτούμε ότι, ο κλάδος των μαθηματικών στον οποίο έχουμε την μεγαλύτερη εμπειρία, είναι ο κλάδος της αριθμητικής. Έχουμε όμως πρόβλημα στο να διεκπεραιώσουμε τη διαδικασία αυτή σε πολύπλοκες καταστάσεις. Η εποχή μας έλυσε το πρόβλημα αυτό. Με τη ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών (Η/Υ) υπάρχει η δυνατότητα διεκπεραίωσης διαδικασιών που πριν από λίγο καιρό φαινόταν ότι ήταν αδύνατο να γίνουν, και γρήγορης διεκπεραίωσης διαδικασιών που μέχρι τώρα ήταν χρονοβόρες. Τελικά οι Η/Υ έκαναν τις μεταβολές που γίνονται στη κοινωνία γρηγορότερες, και έλυσαν επίσης το πρόβλημα που είχαμε. Ένα δε σημαντικό αποτέλεσμα της ύπαρξης των Η/Υ είναι ότι αποτελούν πλέον μονόδρομο στην εκπαιδευτική διαδικασία. Η αριθμητική εκφράζει την συμπεριφορά της Φύσης. Δεν θα αναφερθώ σε αρχέγονες εμπειρίες. Η φιλοσοφία όμως της Φύσης στηρίζεται στη φαινομενολογία της Φύσης, το ίδιο ισχύει και για τις φυσικές επιστήμες. Ο Θαλής ήταν ο πρώτος που αντιλήφθηκε ότι «κάτω από το χάος των περιπτώσεων υπάρχει τάξη». Σύμφωνα με τον Θαλή: η συμπεριφορά της Φύσης μπορεί να περιγραφεί από ορισμένα αξιώματα. Για την εύρεση των αξιωμάτων αυτών, θα πρέπει να μετρηθεί το πλήθος που υπάρχει σε κάθε είδος, και η μέτρηση αυτή οδηγεί στη κοινή αριθμητική. Υπάρχει όμως και κάτι το βασικότερο, που είναι η ταξινόμηση των ειδών σε ομάδες. Άρα πρέπει πρώτα να ταξινομηθούν τα είδη σε ομάδες, και μετά να μετρηθεί το πλήθος που προκύπτει σε κάθε ομάδα. Όλα τα παραπάνω συνδέουν την αριθμητική με τη συμπεριφορά της Φύσης. Ένα άλλο συμπέρασμα είναι ότι, και η πρακτική σκέψη πρέπει να γίνεται σύμφωνα με την αριθμητική. Είναι γενικά αποδεκτό ότι οι υπολογιστές υλοποιούν την αριθμητική. Επομένως για να κατανοήσουμε τη λειτουργία των Η/Υ, θα πρέπει να γνωρίζουμε τους δυνατούς τρόπους αρίθμησης. Ήταν δε ο Αριστοτέλης που πρόβαλε την άποψη ότι πρώτα πρέπει να κατανεμηθούν τα είδη σε ομάδες, και μετά να μετρηθεί το πλήθος που προκύπτει σε κάθε ομάδα. Έχει δε αναλυθεί σε προηγούμενα μου άρθρα ότι στην αριθμητική έχουμε δύο κλάδους: 1. Τη ταξινόμηση των ειδών, και 2. Το πλήθος που προκύπτει σε κάθε ομάδα. Για το προσδιορισμό των ομάδων χρησιμοποιούνται ιδιότητες των ειδών. Έτσι πρέπει να έχει το είδος συγκεκριμένες ιδιότητες για να ενταχθεί σε μια ομάδα. Ο 3

4 υπολογισμός του πλήθους που προκύπτει σε μια ομάδα γίνεται με τη χρήση της κοινής αριθμητικής. Τελικά, τα δύο αυτά κομμάτια έχουν διαφορετική αριθμητική. Το πρώτο υπακούει στη Μαθηματική Λογική, ενώ το δεύτερο στη κοινή αριθμητική. Η κοινή αριθμητική διαπραγματεύεται το πλήθος που προκύπτει σε μια ομάδα, το οποίο εξαρτάται και από τα αξιώματα της ταξινόμησης των ειδών, δηλαδή του τρόπου δημιουργίας των ομάδων. Πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι τα αξιώματα της ταξινόμησης προσδιορίζονται και με την απαίτηση να είναι συμβατά με τη Φύση, και δεν τίθενται κατά το δοκούν. Υπενθυμίζεται ότι η «Λογική της Φύσης» ξεκίνησε ως εμπειρική, επομένως είχε σύνδεση με τη Φύση. Άρα και η Μαθηματική Λογική, που προέκυψε, είναι συμβατή με τη Φύση. Το καίριο εύρημα είναι ότι: Η Μαθηματική Λογική είναι η αριθμητική της ταξινόμησης Η άποψη αυτή γίνεται περισσότερο κατανοητή από τα προηγούμενα μου άρθρα. Η τοποθέτηση αυτή κάνει επίσης πιο σαφή τη σύνδεση της Μαθηματικής Λογικής με τους Η/Υ. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, ήταν ο Θαλής που πρώτος απομακρύνθηκε από το μύθο. Για την επεξεργασία της συσσωρευθήσας εμπειρικής τότε γνώσης εισήγαγε την Επιστημονική Μεθοδολογία. Κεντρικό της σημείο είναι ότι, «για τη περιγραφή της συμπεριφοράς της Φύσης μπορούν να τεθούν μερικά αξιώματα, που βρίσκονται με τη παρατήρηση της Φύσης, και με τα υπόλοιπα να μπορούν να αντιμετωπιστούν με τη χρήση της (εμπειρικής τότε) Λογικής της Φύσης». Η προσέγγιση αυτή δεν προσπαθεί να απαντήσει στο ερώτημα γιατί υπάρχουν τα αξιώματα που βρέθηκαν, και η «Λογική της Φύσης» στόχο έχει να βρει τις συνέπειες τους. Το αποφασιστικό βήμα έγινε από τον Αριστοτέλη, ο οποίος βρήκε την αριθμητική της ΛΟΓΙΚΗΣ της ΦΥΣΗΣ, και έτσι προέκυψε η Μαθηματική Λογική. Μπορεί δε να λεχθεί ότι τη μεθοδολογία που εισήγαγε ο Θαλής, την έκανε αυστηρή ο Αριστοτέλης. Κατ αρχάς πρέπει να αναφερθεί ότι, ο μύθος με διάφορους τρόπους (επίσης μύθους), αντιμετώπισε το πρόβλημα της διαπραγμάτευσης της αρχής. Όμως η διαπραγμάτευση πρέπει να γίνεται με πρακτικό και στέρεο τρόπο, όπως αυτός που χρησιμοποιείται στην αριθμητική. Επίσης, οι νόμοι της Μαθηματικής Λογικής πρέπει να είναι συμβατοί με τη Φύση. Όταν αυτοί δεν είναι, δεν έχουν καμιά αξία, μια και ζούμε στο κόσμο της Φύσης. Πρέπει λοιπόν πρώτα να παρατηρηθεί η Φύση για να μπορέσουμε αποτελεσματικά να προσδιορίσουμε τους νόμους (τις πράξεις) της Μαθηματικής Λογικής. Επομένως, το πρώτο βήμα είναι να παρατηρηθεί η Φύση. Με τη παρατήρηση της Φύσης ασχολήθηκαν οι κορυφαίοι διανοητές που παρουσίασα σε προγενέστερο μου άρθρο. Τις πράξεις της Μαθηματικής Λογικής τις παρουσίασα επίσης σε προγενέστερα μου άρθρα. Στο παρόν άρθρο θα κάνω κυρίως τη σύνδεση της με τους υπολογιστές. Περισσότερο από 2000 χρόνια πριν ο Ηράκλειτος μας είπε ότι: 4

5 Ο θεμελιώδης νόμος της Φύσης είναι η Λογική Το γνωμικό αυτό είναι θεμελιώδες για τη μετάβαση από το μύθο στη «Λογική της Φύσης». Για την ιστορία πρέπει να αναφερθεί ότι ένα κορυφαίο σημείο της φιλοσοφίας του Ηράκλειτου ήταν ότι ο θεμελιώδης νόμος της Φύσης είναι η Λογική. Όπως έλεγε, είναι ο νόμος που συντονίζει τη λειτουργία του κόσμου. Αποκαλούσε τους συμπολίτες του «κοιμισμένους», διότι δεν το έβλεπαν. Επίσης, η Λογική εφαρμόζεται και στους Νόμους μιας πόλης. Το πρώτο που πρέπει να γίνει, για να μπορέσουν να ζήσουν οι άνθρωποι μαζί, είναι να θεσπιστούν αξιόπιστοι Νόμοι. Η μεγαλύτερη διάκριση που υπήρχε στην αρχαία Ελλάδα, ήταν η ανάθεση της συγγραφής των Νόμων μιας πόλης, (ελάχιστοι τιμήθηκαν με αυτή τη διάκριση). Σύμφωνα με τον Ηράκλειτο: «Ο ΛΑΟΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΝΟΜΟ ΟΠΩΣ ΑΚΡΙΒΩΣ ΤΑ ΤΕΙΧΗ». Η «Λογική της Φύσης» όμως έχει τις δικές της πολυπλοκότητες, και δεν είμαστε σίγουροι για τα συμπεράσματα μας. Το πρόβλημα που προέκυψε το έλυσε ένας άλλος φιλόσοφος, ο Πλάτωνας, περισσότερο από 2000 χρόνια πριν, που μας είπε ότι: Τα μαθηματικά δεν κάνουν λάθος Άρα θα πρέπει να επεξεργαστούμε τη «Λογική της Φύσης» με μαθηματικό τρόπο. Συνδυάζοντας τα δύο παραπάνω γνωμικά καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: Η θεμελιώδης επιστήμη είναι η Μαθηματική Λογική Μαθηματική Λογική και μαθηματικά Στη διαπραγμάτευση της συμπεριφοράς ενός συστήματος, σύμφωνα με την επιστημονική μεθοδολογία, υπάρχουν δύο στάδια: αφενός να βρεθούν τα κατάλληλα αξιώματα για τη περιγραφή του, και αφετέρου να βρεθούν οι συνέπειες που δίνουν τα αξιώματα αυτά. Για να αντιμετωπίσουμε το διπλό αυτό πρόβλημα, διαχωρίζουμε το θέμα σε δύο μέρη, το ένα έχει να κάνει με την εύρεση των αξιωμάτων, και το άλλο με την εύρεση των συνεπειών τους. Σημειώστε δε ότι υπάρχει μια εξαίρεση, ο διαχωρισμός αυτός δεν μπορεί να γίνει στη Μαθηματική Λογική, στην οποία δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε την εύρεση των αξιωμάτων της, από τις συνέπειες τους. Με το σκεπτικό αυτό η Μαθηματική Λογική ξεχωρίζει και από τα μαθηματικά, και από τις φυσικές επιστήμες, ήτοι: Αριστοτέλης ο Θεμελιώδης Για το πρόβλημα της εύρεσης των κατάλληλων αξιωμάτων, πρέπει πρώτα να τεθεί σημείο αναφοράς. Το σημείο αναφοράς τέθηκε από τον Γαλιλαίο, ότι δηλαδή 5

6 «σωστό είναι αυτό που δίνει η Φύση». Τελικά, για την εύρεση των κατάλληλων αξιωμάτων, αρμόδια είναι η Φύση και για τούτο πρέπει να γίνει αξιοποίηση των φυσικών επιστημών. Με την αξιοποίηση των φυσικών επιστημών βρίσκουμε τα κατάλληλα αξιώματα για την περιγραφή ενός συστήματος. Δηλαδή βρίσκουμε τα αξιώματα που είναι συμβατά με τη Φύση. Για την εύρεση των συνεπειών των αξιωμάτων χρειαζόμαστε τη Μαθηματική Λογική. Μαθαίνουμε όμως ότι η διαπραγμάτευση των συνεπειών των αξιωμάτων είναι το αντικείμενο των μαθηματικών. Τονίζεται επίσης ότι στην αρχαιότητα προωθούντο έντονα τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά όμως τελικά στοχεύουν αφενός στην ανάπτυξη της Μαθηματικής Λογικής, και αφετέρου, με τη χρήση της, στην εύρεση των συνεπειών των αξιωμάτων τους. Επομένως, το κυρίαρχο στοιχείο των μαθηματικών, για την εύρεση των συνεπειών τους, είναι η Μαθηματική Λογική. Πρέπει δε να επισημανθεί ότι τα αξιώματα της Μαθηματικής Λογικής βρέθηκαν παρατηρώντας τη Φύση. Η Μαθηματική Λογική είναι η αριθμητική της ταξινόμησης, η δε ταξινόμηση γίνεται με βάση χαρακτηριστικές ιδιότητες των ειδών (περιλαμβανομένων των Γεωμετρικών). Η Μαθηματική Λογική χαρακτηρίζεται από την ΑΠΙΣΤΕΥΤΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ. Οι δημιουργούμενες ομάδες ιδιοτήτων, εξαρτώνται από τις ιδιότητες που επιλέγονται. Τα αξιώματα που περιγράφουν ένα σύστημα αντιστοιχούν σε διαφορετικά είδη, και για τη διαπραγμάτευση τους πρέπει να χρησιμοποιηθεί η Μαθηματική Λογική. Τελικά, η αποτελεσματικότητα της Μαθηματικής Λογικής γίνεται και αποτελεσματικότητα των μαθηματικών. Ο Αριστοτέλης βρίσκοντας την αριθμητική της ταξινόμησης, θεμελίωσε με αυστηρό τρόπο τα μαθηματικά. Τελικά μπορούμε να πούμε ότι, βρίσκοντας την αριθμητική της Λογικής της Φύσης, τελικά θεμελίωσε τα αυστηρά μαθηματικά. Έτσι, η Μαθηματική Λογική αποτελεί το θεμέλιο των μαθηματικών. Είναι κοινά αποδεκτό ότι τα μαθηματικά εισάγουν έναν αυστηρό τρόπο σκέψης, δηλαδή έναν αυστηρό τρόπο εύρεσης των συνεπειών των αξιωμάτων τους. Η συμπεριφορά αυτή πηγάζει από τη Μαθηματική Λογική. Τα αξιώματα στα μαθηματικά τίθενται όμως κατά το δοκούν. Στις φυσικές επιστήμες βρίσκονται με την απαίτηση να είναι συμβατά με τη συμπεριφορά της Φύσης. Ξεχνούμε όμως ότι τα μαθηματικά βάζουν τα αξιώματα τους κατά το δοκούν, και μένουμε με τις συνέπειες που αυτά προβλέπουν. Τελικά, τα αξιώματα που θέτει η Φύση βρίσκονται με τη χρήση των φυσικών επιστημών, έτσι πρέπει τα μαθηματικά να παρακολουθούν τη συμπεριφορά της Φύσης. Όταν ένας κλάδος των μαθηματικών δεν αποδίδει σωστά τη Φύση, φταίει ο κλάδος αυτός και ΟΧΙ η Φύση, και θα πρέπει να βρούμε έναν άλλο τρόπο, δηλαδή άλλα αξιώματα, για τη περιγραφή της. Τελικά οι φυσικές επιστήμες παίρνουν από τα μαθηματικά τον αυστηρό τρόπο εύρεσης των συνεπειών των αξιωμάτων τους, και δίνουν σε αυτά τα αξιώματα που θέτει η Φύση. 6

7 Η διαπραγμάτευση των συνεπειών των αξιωμάτων στα τότε μαθηματικά έγινε συστηματικά από τον Ευκλείδη (~300 π.χ.), στο διασημότερο βιβλίο των μαθηματικών, τα «Στοιχεία». Πρέπει δε να τονιστεί ότι το βιβλίο αυτό δεν απέβλεπε στο να αποδείξει τα αξιώματα, παρά μόνο να βρει τις συνέπειες τους. Θα χρησιμοποιηθεί δε ο αυστηρός αυτός τρόπος διαπραγμάτευσης που εισάγουν η Μαθηματική Λογική και τα μαθηματικά, για να διερευνηθεί το θέμα που μας ενδιαφέρει. Περί χρόνου Η σημαντικότερη μεταβλητή είναι για τον άνθρωπο ο χρόνος. Η πεπερασμένη του ζωή εμφανώς το επιδεικνύει. Το γεγονός αυτό το βλέπουμε επίσης συνεχώς. Οι Φαραώ, για να προβάλουν ότι ξεπέρασαν το χρόνο, (για την ακρίβεια, το πεπερασμένο του χρόνου τους), έφτιαξαν τις πυραμίδες. Το μόνο ουσιαστικό αποτέλεσμα της νοοτροπίας τους αυτής, είναι ότι μας άφησαν πλήθος αντικειμένων. Έτσι η επιθυμία τους εκπληρώθηκε, όχι όμως όπως την είχαν σχεδιάσει! Ο χρόνος έχει το δικό του «μπαϊράκι». Ο Ηράκλειτος έλεγε, «Ο χρόνος είναι παιδί που παίζει πεσσούς». Ένα σημαντικό επίσης στοιχείο είναι ότι στις μαθηματικές αποδείξεις συνήθως απουσιάζει ο χρόνος. Μελετούμε δηλαδή τις μόνιμες καταστάσεις, και όχι τις μεταβατικές, όπως π.χ. είναι η φόρτιση ενός πυκνωτή. Αυτό σημαίνει ότι στις αποδείξεις αυτές δεν λαμβάνονται υπόψη τα μεταβατικά φαινόμενα, και δεν υπολογίζεται ο μέσος χρόνος ζωής των φαινομένων αυτών. Σαν παράδειγμα μπορεί να αναφερθεί ότι τα μεταβατικά αυτά φαινόμενα στη περίπτωση του ηλεκτρισμού προκαλούν την εμφάνιση των δυνορρευμάτων, που μπορεί να είναι και έντονα. Επειδή συνήθως δεν τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας, πιστεύουμε ότι δεν υπάρχουν. Αφού τα ανακαλύψαμε, φτιάξαμε τους σταθεροποιητές για να τα εξαλείψουμε. Όμως τα δυνορρεύματα αυτά είναι ο κύριος υπεύθυνος για τη καταστροφή των Η/Υ. Έτσι, όταν στα μαθηματικά ικανοποιηθούν τα αξιώματα που τίθενται, κάποτε θα έρθουν και οι μόνιμες συνέπειες τους. Ο μέσος όμως χρόνος ζωής των μεταβατικών φαινομένων μπορεί σε μερικές περιπτώσεις να είναι μεγαλύτερος και από την ηλικία του σύμπαντος, και άρα οι μόνιμες συνέπειες τους θα αργήσουν να εμφανιστούν, και όχι στη διάρκεια της ζωής ενός ανθρώπου. Το γεγονός αυτό το εκφράζει ο λαός με τη ρήση, «όποιος σπέρνει ανέμους, θερίζει θύελλες». Είναι επομένως πολύ σημαντικό να ξέρουμε τη χρονική εξέλιξη ενός συστήματος. Είναι δε πολύ χρήσιμο να βρούμε τη συμπεριφορά του συστήματος, χωρίς όμως να έχουμε υλοποιήσει τη διαδικασία αυτή στο σύστημα. Ο στόχος αυτός γενικά επιτυγχάνεται με τη χρήση των Η/Υ. Με τον τρόπο αυτό έχουμε τη δυνατότητα, χρησιμοποιώντας εξισώσεις κίνησης, να προσομοιάζουμε συστήματα και να προβλέπουμε τη συμπεριφορά τους. 7

8 Μια σημαντική εφαρμογή της διαδικασίας αυτής έχει να κάνει με τις προσομοιώσεις στην εκπαίδευση. Στη περίπτωση αυτή προκαλούμε, με εικονικό τρόπο, την υλοποίηση μιας διαδικασίας. Η προσομοίωση για να γίνει με Η/Υ απαιτείται η γνώση των εξισώσεων κίνησης της διαδικασίας αυτής. Με τον τρόπο αυτό έχουμε τη δυνατότητα, χρησιμοποιώντας εξισώσεις κίνησης, να προσομοιάζουμε συστήματα. Επομένως, όταν πετύχουμε εικονικά να διεκπεραιώσουμε τη διαδικασία αυτή, έχουμε τη δυνατότητα να προβλέψουμε τη συμπεριφορά της φύσης. Ταξινόμηση των Ειδών Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω, πρώτα πρέπει να κατατάξουμε τα είδη σε ομάδες, και μετά να αριθμήσουμε τα είδη μιας ομάδας. Η αριθμητική που διαπραγματεύεται τη ταξινόμηση των ειδών είναι η Μαθηματική Λογική, η οποία είναι μια άλλη αριθμητική, που οδηγεί σε κανόνες Λογικής. Η ταξινόμηση γίνεται επί τη βάση ιδιοτήτων των ειδών, στοιχειωδών ή όχι. Σε ένα σύνολο αντικειμένων, από τις ιδιότητες αυτές δημιουργούμε τις ομάδες. Βασικό στοιχείο της αριθμητικής αυτής είναι ότι κάθε ιδιότητα εμφανίζεται μια μόνο φορά. Η σύμπτυξη δύο ομάδων προκύπτει από το σύνολο των ιδιοτήτων τους (χωρίς πολλαπλότητα), και η πράξη αυτή ονομάζεται «ένωση» των ομάδων (Συνόλων) αυτών. Οι κοινές τους ιδιότητες δίνονται από τη «τομή» τους. Επίσης, με βάση τα Σύνολα αυτά ορίζεται η πράξη του «Συνεπάγεται». Το θέμα αυτό σχολιάστηκε σε προγενέστερο μου άρθρο: «Από τη κοινή Αριθμητική, στη Λογική: Αριστοτέλης». Οι μαθηματικές πράξεις που εισάγονται για τη διαπραγμάτευση των ιδιοτήτων αυτών, παρουσιάσθηκαν στο προαναφερθέν άρθρο. Οι πράξεις αυτές παρουσιάσθηκαν με πίνακες, που αποτελούν και τo συνηθισμένο τρόπο διαπραγμάτευσης του προτασιακού Λογισμού. Διαφορετικά αξιώματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά είδη, και πρέπει να διαπραγματευτούν με τον λογισμό της ταξινόμησης. Πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι οι ομάδες αντικειμένων (μαθηματικά Σύνολα) είναι μια θεμελιώδης έννοια, που τα μαθηματικά της άρχισαν συστηματικά να αναπτύσσονται από τον 19 ο αιώνα. Στο θέμα αυτό πρωτοπόρος υπήρξε ο Georg Cantor ( ). Θεμελίωσε λοιπόν τα μαθηματικά των Συνόλων, τα οποία είναι κατάλληλα για τη περιγραφή της Ταξινόμησης των Ειδών. Μια σημαντική πράξη στη ταξινόμηση, είναι και το «Συνεπάγεται». Η πράξη του «Συνεπάγεται» πρέπει να στηριχθεί σε ένα νόμο αδιαμφισβήτητης ισχύος. Όταν δε το σύνολο Β είναι υποσύνολο του συνόλου Α, τότε οι ιδιότητες του Α είναι και ιδιότητες του Β. Μια τέτοια σχέση πάντα ισχύει για τυχαία σύνολα A και C, για τα οποία πάντα ισχύει: C A A Χρησιμοποιώντας την σχέση αυτή ως οδηγό, μπορούμε να προσδιορίσουμε τον πίνακα ορισμού του «Συνεπάγεται», και τελικά παίρνουμε την ισοδυναμία: 8

9 ( A B) ( A B). Όπου με την υπερκείμενη μπάρα συμβολίζουμε το Συμπληρωματικό Σύνολο. Έτσι το «Συνεπάγεται» της Μαθηματικής Λογικής προέρχεται από τα μαθηματικά Σύνολα. «Λογικές» γλώσσες προγραμματισμού Με την αριθμητική της ταξινόμησης, που είναι η αριθμητική του Αριστοτέλη, έχουμε την αριθμητική η οποία αποτελεί τη βάση του «Λογικού» προγραμματισμού. Μια εφαρμογή του προγραμματισμού αυτού είναι ότι προσδιορίζεται εάν μια ιδιότητα εμφανίζεται στο σύστημα ή όχι. Μια άλλη εφαρμογή της έχει να κάνει με τις αποδείξεις. Δεν θα κάνω όμως περισσότερο σχολιασμό του προγραμματισμού αυτού. Κοινή αριθμητική Η κοινή αριθμητική αποβλέπει να κάνει την αρίθμηση των ειδών που υπάρχουν σε μια μόνο ομάδα. Ξεκινάμε την στοιχειώδη εκπαίδευση, κάνοντας αριθμητική χρησιμοποιώντας μόνο ακέραιους αριθμούς. Επίσης, οι αρχαίοι Έλληνες έδιναν μεγάλη σημασία στους ακεραίους αριθμούς. Επανερχόμενοι λοιπόν στους ακεραίους, επανερχόμαστε σε γνωστή περιοχή. Κοιτάζοντας τη Φύση, βλέπουμε αυτές που ονομάζουμε «φυσικές ποσότητες», οι οποίες περιγράφονται από τους φυσικούς αριθμούς. Για να υπενθυμίσω τους αριθμούς αυτούς, είναι οι ακέραιοι αριθμοί από ένα και πάνω, δηλαδή 1, 2,. Μπορεί όμως σε μια περίπτωση να μην υπάρχει τίποτα, δηλαδή πρέπει να προσθέσουμε και το μηδέν, έτσι έχουμε τους ακεραίους αριθμούς της αριθμητικής 0, 1, 2,. Όμως το πρόβλημα που προκύπτει είναι που θα βάλουμε την αρχή στις μετρήσεις που κάνουμε. Σε μερικές περιπτώσεις αυτό προσδιορίζεται από τη Φύση, όπως π.χ. στον αριθμό των αντικειμένων. Σε άλλες όμως περιπτώσεις από τον άνθρωπο, όπως π.χ. στη θερμοκρασία. Μερικές δηλαδή θερμοκρασίες είναι μικρότερες από αυτή που ορίζουμε ως μηδενική. Έτσι πρέπει να βάλουμε και τους αρνητικούς αριθμούς. Έτσι καταλήγουμε στους αριθμούς, -2, -1, 0, 1, 2,. Οι αρνητικοί αριθμοί προέρχονται από την αδυναμία μας να καθορίσουμε την αρχή. Σε μια περίπτωση το λύσαμε το πρόβλημα της αρχής, και είναι αυτή των θερμοκρασιών. Βρήκαμε την απόλυτη κλίμακα, και στη κλίμακα αυτή δεν υπάρχουν αρνητικές θερμοκρασίες. Όμως αυτή είναι η εξαίρεση, ο κανόνας είναι ότι δεν μπορούμε να βρούμε την αρχή. Έτσι ικανοποιούμαστε στο να την ορίσουμε κατά το δοκούν. Επίσης ένα ερώτημα που τίθεται είναι εάν μόνο οι ακέραιοι αριθμοί είναι επαρκείς για να περιγράψουν τις φυσικές ποσότητες. Για παράδειγμα βλέπουμε ότι στη Φύση υπάρχουν και οι ενδιάμεσες τιμές, δηλαδή στη θερμοκρασία δεν έχουμε μόνο τις ακέραιες τιμές. Θα πρέπει έτσι να συμπεριλάβουμε και τις ενδιάμεσες τιμές για να περιγράψουμε τη Φύση. 9

10 Πυθαγόρειοι αριθμοί Επιστρέφοντας στους ακεραίους αριθμούς, προσπαθούμε να περιγράψουμε όλες τις ποσότητες που υπάρχουν στη Φύση με τη χρήση του λόγου των αριθμών αυτών. Στη ομάδα αυτή περιλαμβάνονται και οι ακέραιοι αριθμοί, που προκύπτουν όταν ο παρανομαστής γίνει μονάδα. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται ρητοί, και είναι δηλαδή λόγος της μορφής p/q, με p και q ακεραίους. Μπορούμε όμως να περιγράψουμε όλες τις ποσότητες με αυτό τον τρόπο? Οι Πυθαγόρειοι μας λένε πως ΟΧΙ. Είναι αυτοί που βρήκαν την ύπαρξη των άρρητων αριθμών, όπως π.χ. 2, που μπορεί να προέλθει από ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. Δηλαδή, με το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ένα εύκολο τρόπο για να παράγουμε άρρητους αριθμούς. Το ερώτημα που τέθηκε είναι τι είδους αριθμοί είναι αυτοί. Η απάντηση των Πυθαγορείων ήταν ότι δεν μπορούν να εκφραστούν με τη χρήση ακεραίων αριθμών. Η ανακάλυψη τους αυτή είχε καταλυτικές συνέπειες στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Επομένως για να αποδώσουμε τις φυσικές ποσότητες πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και τους αριθμούς αυτούς. Στα μαθηματικά όμως είναι βολικό να χρησιμοποιούμε μόνο ρητούς αριθμούς, και ότι δεν εκφράζεται με αυτούς το παριστούμε συμβολικά. Η αναπαράσταση αυτή ονομάζεται «αναλυτική». Η μέθοδος αυτή επεκτείνεται και στο προγραμματισμό, και ονομάζεται «Συμβολικός προγραμματισμός». Ενδιαφερόμαστε επίσης να έχουμε στον υπολογιστή μια αντιμετώπιση που να είναι ακριβής. Αντιμετώπιση με ακρίβεια μπορούν να έχουν οι αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν με ακεραίους, δηλαδή ως ρητοί αριθμοί. Οι υπολογισμοί που γίνονται με αυτούς τους αριθμούς μπορεί να γίνουν με ακρίβεια. Είδαμε όμως παραπάνω ότι η αναπαράσταση αυτή δεν μπορεί να περιγράψει όλους τους αριθμούς. Το ερώτημα που τίθεται είναι τι γίνεται με τους υπόλοιπους αριθμούς. Τους υπόλοιπους αριθμούς τους αναπαριστούμε «συμβολικά», όπως και στα μαθηματικά, και έτσι προέκυψε ο «Συμβολικός» προγραμματισμός. Με αυτόν το τρόπο δεν γίνεται χρήση δεκαδικών αριθμών, και κάνουμε αυστηρά τις πράξεις. Έτσι, κάθε άρρητος αριθμός παριστάνεται συμβολικά, έχει όμως και μια δεκαδική τιμή με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Στον αριθμητικό προγραμματισμό αποδίδεται ο άρρητος αυτός αριθμός, με πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, και έχει την ακρίβεια που έτσι καθορίζεται. Με τον τρόπο αυτό αναγόμαστε στον αριθμητικό προγραμματισμό. Με την εξάλειψη δε της δεκαδικής τους τιμής, προκύπτουν οι αλγεβρικές ποσότητες. Άρα οι «Συμβολικές» γλώσσες μπορούν να αναχθούν σε «αριθμητικές» και σε «αλγεβρικές». Οι «Συμβολικές» γλώσσες προγραμματισμού συνήθως συνοδεύονται από τις παραπάνω αναφερθείσες δύο αντιμετωπίσεις. Αναμένεται όμως ότι οι «Συμβολικές» αυτές γλώσσες προγραμματισμού να είναι πιο αργές από τις «αριθμητικές». Έτσι καταλήγουμε στο «χρυσό» κανόνα, «ότι κερδίζουμε σε ευκολία το χάνουμε σε ταχύτητα». 10

11 Δεκαδικοί Αριθμοί Μια διαφορετική αναπαράσταση των αριθμών, είναι με τη χρήση των δεκαδικών αριθμών. Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούν μια πλήρη αναπαράσταση, δηλαδή κάθε αριθμός μπορεί να γραφεί με τη χρήση δεκαδικών. Ένας όμως τυχαίος δεκαδικός αριθμός μπορεί να έχει τυχόντα αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Όσον αφορά τους άρρητους αριθμούς, αυτοί έχουν άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, χωρίς περιοδικότητα. Η αρχαιότερη αναπαράσταση των αριθμητικών ποσοτήτων είναι η δεκαδική. Η ιστορία της αναπαράστασης αυτής χάνεται στα βάθη των αιώνων, και δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε την αρχή της. Οι δεκαδικοί αριθμοί μπορεί να έχουν λίγα δεκαδικά ψηφία, όμως γενικά έχουν πολλά, όπως στη περίπτωση των άρρητων αριθμών. Στον αριθμητικό προγραμματισμό, κρατάμε ένα πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, και επομένως οι πράξεις που έτσι εκτελούνται είναι προσεγγιστικές. Η αναπαράσταση αυτή είναι χρονικά προγενέστερη της ανακάλυψης των άρρητων αριθμών, και για την ιστορία αναφέρεται ότι την εποχή εκείνη όλες οι ποσότητες προσεγγιζόταν με δεκαδικούς αριθμούς, με πεπερασμένο όμως αριθμό ψηφίων, χωρίς αρχικά να τίθεται το ερώτημα εάν οι άρρητοι αριθμοί είναι διαφορετικοί. Οι πρώτοι που έθεσαν αυτό το ερώτημα είναι οι Πυθαγόρειοι, οι οποίοι και έδωσαν την απάντηση που ξέρουμε. Την εποχή μας όλα γίνονται με υπολογιστές, οι οποίοι όμως δεν μπορούν να αποδώσουν άπειρα δεκαδικά ψηφία. Δηλαδή, η αναπαράσταση με άπειρα δεκαδικά ψηφία δεν είναι εφικτή. Επομένως, οι υπολογιστές δεν μπορούν να αποδώσουν με ακρίβεια όλους τους δεκαδικούς αριθμούς. Η λύση που δίνεται είναι να προσεγγίζονται οι δεκαδικοί αριθμοί, με πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Με αυτόν τον τρόπο οδηγούμαστε στον αριθμητικό προγραμματισμό. Η λύση δηλαδή που δίνεται στο αριθμητικό προγραμματισμό, είναι να προσεγγίσουμε τη κατάσταση της Φύσης με την επιτρεπτή από τον υπολογιστή δεκαδική ακρίβεια. Έτσι όλοι οι δεκαδικοί αριθμοί με περισσότερα δεκαδικά ψηφία, είτε προέρχονται από ρητούς αριθμούς είτε από άρρητους, προσεγγίζονται, που συνεπάγεται ότι ο αριθμητικός προγραμματισμός είναι προσεγγιστικός. Γλώσσες Προγραμματισμού Θα αναφερθούμε στο προγραμματισμό που σχετίζεται με τη κοινή αριθμητική. Στην κοινή αριθμητική έχουμε τόσο τους ρητούς όσο και τους άρρητους αριθμούς. Οι διαφορετικές αναπαραστάσεις, οδηγούν σε διαφορετικές κατηγορίες γλωσσών προγραμματισμού. 11

12 Αριθμητικές γλώσσες προγραμματισμού Οι αρχαιότερες γλώσσες προγραμματισμού αξιοποιούν τη πεπερασμένη δεκαδική αναπαράσταση, και επομένως είναι αυτό που ονομάζουμε «Αριθμητικές». Το κύριο στοιχείο των γλωσσών αυτών είναι ότι χρησιμοποιούν ένα πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, που τις κάνει προσεγγιστικές. Εάν είχαμε άπειρο αριθμό ψηφίων, θα παίρναμε μια αυστηρή αντιμετώπιση. Όμως αυτό δεν είναι εφικτό στις αριθμητικές γλώσσες, και για την ακριβή αναπαράσταση πρέπει να βρούμε έναν άλλο τρόπο. Η ακρίβεια της «αριθμητικής» αναπαράστασης εξαρτάται επίσης και από τον αριθμό των πράξεων. Το θέμα αυτό αναλύεται διεξοδικά στη βιβλιογραφία. Συμβολικές γλώσσες προγραμματισμού Η επόμενη κατηγορία γλωσσών προγραμματισμού που αναπτύχθηκε, έχει να κάνει με αυτό που ονομάζουμε «Συμβολικό προγραμματισμό». Στο προγραμματισμό αυτόν αξιοποιείται η αναπαράσταση με τη χρήση ρητών αριθμών. Όμως όλοι οι αριθμοί δεν είναι ρητοί, και οι άρρητοι δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως λόγος ακεραίων. Η λύση που δίνεται για τους άρρητους αριθμούς, είναι να αναπαριστάνονται με σύμβολα, έτσι προήλθε το όνομα «Συμβολική». Κεντρικό σημείο των γλωσσών αυτών είναι ότι οι άρρητοι αριθμοί παριστάνονται με σύμβολα, έχουν όμως την αριθμητική τους τιμή. Όταν στα σύμβολα αποδοθούν οι αριθμητικές τους τιμές, με την ακρίβεια του υπολογιστή, προκύπτει η αριθμητική αντιμετώπιση. Από τις «Συμβολικές» γλώσσες είναι επίσης εύκολο να οδηγηθούμε σε αλγεβρικές ποσότητες, που άμεσα προκύπτουν όταν ένα σύμβολο δεν συνοδεύεται με την αριθμητική του τιμή. Έτσι οι γλώσσες αυτές μπορούν εύκολα να μετατραπούν τόσο σε αριθμητικές, όσο και σε αλγεβρικές. Επίσης, κύριο στοιχείο των γλωσσών αυτών είναι ότι μας δίνουν τη δυνατότητα για μια ακριβή αναπαράσταση των ποσοτήτων, και ισοδυναμούν με αυτό που ονομάζουμε στα μαθηματικά «αναλυτική αντιμετώπιση». Μίγμα Γλωσσών Προγραμματισμού Οι γλώσσες που παραπάνω παρουσιάσθηκαν, ενδέχεται στη πράξη να μην εμφανίζονται ξεχωριστά, αλλά για πρακτικούς λόγους να παρουσιάζεται ένα μίγμα αυτών. Το μίγμα αυτό μπορεί να ποικίλη. Έχουμε επίσης και τους διάφορους κατασκευαστές. Τελικά έχουμε στη πράξη την εμφάνιση πολλών περιπτώσεων. Επιμύθιο Η καθιερωμένη συνταγή είναι: όταν ένας κλάδος των μαθηματικών αντιβαίνει στη συμπεριφορά της Φύσης, βρίσκεται άλλος. Η φιλοσοφία των συμβολικών πράξεων εφαρμόζεται και στα μαθηματικά και στον προγραμματισμό. Στα μεν μαθηματικά ονομάζεται «αναλυτική αντιμετώπιση», στον δε προγραμματισμό «Συμβολικός» προγραμματισμός. 12

13 Επίσης, διαφορετικός τρόπος αρίθμησης συνεπάγεται και διαφορετικό προγραμματισμό. Η ταξινόμηση των ειδών σε ομάδες γίνεται με την αριθμητική της Μαθηματικής Λογικής, που δίνει τους κανόνες της Λογικής. Τελικά, ο Δυτικός πολιτισμός στηρίζεται στη Λογική, και όχι στο μύθο Η Μαθηματική Λογική όμως προέρχεται από την αριθμητική της ταξινόμησης. Σε πολλές περιπτώσεις, ο άνθρωπος καταφεύγει στο μύθο. Στη διαδικασία αυτή χρησιμοποιείται ο μύθος για να υποστηριχτεί η πορεία που έχει επιλεγεί. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα: πρέπει ο μύθος πλήρως να εξαφανισθεί? Είναι όπως «Το άλας της Γης». Το λίγο νοστιμεύει το φαγητό, το πολύ όμως το κάνει λύσσα!. Έχουμε μόνο τη Φύση για σύγκριση. Οι Ίωνες φιλόσοφοι ασχολήθηκαν με τη Φύση, από την οποία προήλθε η άποψη της λογικής εξήγησης του κόσμου. Η Μαθηματική Λογική αποτελεί τη κορωνίδα αυτής της αντιμετώπισης. Επίσης: Η σκέψη γίνεται με βάση τη Μαθηματική Λογική Τελειώνω με ένα ποίημα του Καβάφη, (πρωτογράφηκε, με άλλο τίτλο, ~1886, και στη τελική του μορφή το 1911): Γιατί τα σπάσαμε τ αγάλματα των, γιατί τους διώξαμεν απ τους ναούς των, διόλου δεν πέθαναν γι αυτό οι θεοί. Ω γη της Ιωνίας, σένα αγαπούν ακόμη, σένα η ψυχές των ενθυμούνται ακόμη. Σαν ξημερώνει επάνω σου πρωί αυγουστιάτικο την ατμόσφαιρα σου περνά σφρίγος απ την ζωή των. και κάποτ αιθερία εφηβική μορφή, αόριστη, με διάβα γρήγορο, επάνω από τους λόφους σου περνά. Γεώργιος Θεοδώρου 13

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Επιστημονικής Μεθοδολογίας: Θαλής

Περί της Επιστημονικής Μεθοδολογίας: Θαλής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Τελ. +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Επιστημονικής

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής, Αριστοτέλης, και Γαλιλαίος

Θαλής, Αριστοτέλης, και Γαλιλαίος Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 4 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Τηλ.: +30 310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Θαλής, Αριστοτέλης,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ: «ΕΜΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ» ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΡΙΑΜΗ ΒΑΓΙΑ, Β4 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΤΑΒΑΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2016 17 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες

Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες Αριθμοί Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες Τα ερωτηματολόγια δόθηκαν σε ένα δείγμα 54 πρωτοετών φοιτητών του Τμήματος Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Οι φοιτητές / φοιτήτριες δεν είχαν ενημερωθεί για την

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΕΡΛΙΑΟΥΝΤΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ, ΠΕ19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αλγόριθμοι 3. Αλγόριθμοι 2 3. Αλγόριθμοι 3.1 Η έννοια του αλγορίθμου 3.2 Χαρακτηριστικά αλγορίθμου 3.3 Ανάλυση αλγορίθμων

Διαβάστε περισσότερα

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Αβεβαιότητας: Ηράκλειτος

Περί της Αβεβαιότητας: Ηράκλειτος Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Αβεβαιότητας:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. 2. Τι ονομάζουμε επίλυση προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εισαγωγή ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Όπως για όλες τις επιστήμες, έτσι και για την επιστήμη της Πληροφορικής, ο τελικός στόχος της είναι η επίλυση προβλημάτων. Λύνονται όμως όλα τα προβλήματα;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμος. Αλγόριθμο ονομάζουμε τη σαφή και ακριβή περιγραφή μιας σειράς ξεχωριστών οδηγιών βημάτων με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος.

Αλγόριθμος. Αλγόριθμο ονομάζουμε τη σαφή και ακριβή περιγραφή μιας σειράς ξεχωριστών οδηγιών βημάτων με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος. Αλγόριθμος Αλγόριθμο ονομάζουμε τη σαφή και ακριβή περιγραφή μιας σειράς ξεχωριστών οδηγιών βημάτων με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος. Εντολές ή οδηγίες ονομάζονται τα βήματα που αποτελούν έναν αλγόριθμο.

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Έννοια του Αλγορίθμου και στον Προγραμματισμό. Η έννοια του προβλήματος

Εισαγωγή στην Έννοια του Αλγορίθμου και στον Προγραμματισμό. Η έννοια του προβλήματος Εισαγωγή στην Έννοια του Αλγορίθμου και στον Προγραμματισμό Η έννοια του προβλήματος Τι είναι πρόβλημα; ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρόβλημα είναι κάθε κατάσταση που μας απασχολεί και χρήζει αντιμετώπισης,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 1: Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου και στον Προγραμματισμό. Η έννοια του προβλήματος

Κεφ. 1: Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου και στον Προγραμματισμό. Η έννοια του προβλήματος Η έννοια του προβλήματος 1. Αναφέρετε μερικά από τα προβλήματα που συναντάτε στην καθημερινότητά σας. Απλά προβλήματα Ποιο δρόμο θα ακολουθήσω για να πάω στο σχολείο; Πως θα οργανώσω μια εκδρομή; Πως θα

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

1 Ανάλυση Προβλήματος

1 Ανάλυση Προβλήματος 1 Ανάλυση Προβλήματος 1.1 Η Έννοια Πρόβλημα Τι είναι δεδομένο; Δεδομένο είναι οτιδήποτε μπορεί να γίνει αντιληπτό από έναν τουλάχιστον παρατηρητή, με μία από τις πέντε αισθήσεις του. Τι είναι επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000)

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Πρόκειται για την έρευνα που διεξάγουν οι επιστήμονες. Είναι μια πολύπλοκη δραστηριότητα που απαιτεί ειδικό ακριβό

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Α. Θεοδουλίδης Η Μεθοδος των Πεπερασμένων στοιχείων Η Μέθοδος των ΠΣ είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x» 5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ )

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ ) Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ. 25 48) Τι είναι αλγόριθμος; Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Κουλακίδου Π. Ιστορία των Μαθηματικών Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Χ. Χαραλάμπους Εισαγωγή David Hilbert (1862 Königsberg - 1943 Göttingen). Διδακτορικό το 1885 υπό την επίβλεψη του Ferdinand von Lindemann με

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Επιστήμης του ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Περί της Επιστήμης του ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Επιστήμης

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Κ Υ Κ Λ Ο Υ Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Κ Α Ι Υ Π Η Ρ Ε Σ Ι Ω Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Είναι απαραίτητο να πούμε μερικά πράγματα για μια επαναλαμβανόμενη πηγή προβλημάτων και δυσκολιών: τα σημαντικά ψηφία. Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όπου οι αριθμοί και οι σχέσεις μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Κοντογιάννης ΠΕ19

Βασίλειος Κοντογιάννης ΠΕ19 Ενότητα2 Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα Δημιουργία Εφαρμογών 5.1 Πρόβλημα και Υπολογιστής Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Πρόβλημα θεωρείται κάθε ζήτημα που τίθεται προς επίλυση, κάθε κατάσταση που μας απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Τίτλος : Δύο δραστηριότητες σε ευθεία-κύκλο. α) Η «χρυσή ευθεία» β) οι γεωμετρικοί τόποι μιας οικογένειας κύκλων. Τάξη: Δίωρο μάθημα σε μαθητές Β λυκείου σε αίθουσα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Η ανάγκη του ανθρώπου για μετρήσεις οδήγησε αρχικά στην επινόηση των αριθμών Κατόπιν, στην επινόηση συμβόλων για τη παράσταση τους Τέλος, στη δημιουργία των αριθμητικών συστημάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης

Συντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης Συντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης (Coefficient of restitution ή bounciness) Μία έννοια εξαιρετικά σημαντική για όσους φτιάχνουν ασκήσεις στις στιγμιαίες κρούσεις (με ορμές ή/και στροφορμές για την

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση 1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας κατάλληλο υλικό όπως επιφάνειες, κύκλους κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Μπακέττα Βασιλική, Πετροπούλου Γεωργία Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Θεσμικό πλαίσιο στα ΠΠΣ Πειραματική εφαρμογή προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1)

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1) Στοχαστικές Στρατηγικές η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 08-09 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2013/14. Μιχαηλίδου Αγγελική Λάλας Γεώργιος

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2013/14. Μιχαηλίδου Αγγελική Λάλας Γεώργιος ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2013/14 Μιχαηλίδου Αγγελική Λάλας Γεώργιος Περιγραφή Πλαισίου Σχολείο: 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Τμήμα: Β 3 Υπεύθυνος καθηγητής: Δημήτριος Διαμαντίδης Συνοδός: Δημήτριος Πρωτοπαπάς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ: Γ. Προτείνεται να αξιοποιηθούν διδακτικά τα παρακάτω «ψηφιακά δομήματα» από τα εμπλουτισμένα σχ. εγχειρίδια. Προτείνεται να μην

ΤΑΞΗ: Γ. Προτείνεται να αξιοποιηθούν διδακτικά τα παρακάτω «ψηφιακά δομήματα» από τα εμπλουτισμένα σχ. εγχειρίδια. Προτείνεται να μην ΤΑΞΗ: Γ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ: Βιβλίο μαθητή, Μαθηματικά Γ Δημοτικού, 2015, ένα τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά Γ Δημοτικού, 2015, α τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά Γ Δημοτικού, 2015, β τεύχος Τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα