Digitalne komunikacije Sašo Toma iè

Transcript

1 Digialne komunikacije Sašo Toma iè nizko sio VCO signalni generaor prenosni kanal vzorèevalnik odloèiveno vezje Ljubljana, 212

2 Kazalo 1 Uvod 6 2 Signali Periodični signali Značilne vrednosi periodičnih signalov Korelacija in korelacijska funkcija periodičnih signalov Avokorelacijska funkcija Frekvenčni speker periodičnih signalov Ampliudni in fazni speker periodičnih signalov Močnosni speker periodičnih signalov Parsevalov izrek za periodične signale Energijski signali Enoin impulz Korelacija Korelacijska funkcija Avokorelacijska funkcija Konvolucija Frekvenčni speker energijskih signalov Ampliudni in fazni speker energijskih signalov Energijski speker Parsevalov izrek za energijske signale Nekaj lasnosi Fourierovega ransforma Zakasniev signala Razeg in skrčenje signala Fourierov ransform realnih signalov Fourierov ransform enoinega impulza Fourierov ransform periodičnih signalov Fourierov ransform niza enoinih impulzov Množenje s kompleksnim harmoničnim signalom Množenje z realnim harmoničnim signalom Fourierov ransform korelacijske funkcije Fourierov ransform avokorelacijske funkcije Fourierov ransform konvolucije Fourierov ransform produka

3 3 2.3 Naključni signali Linearni časovno nespremenljivi sisemi Sisemska funkcija Prevajalna funkcija Kavzalni sisemi Idealno nizko sio Močnosni speker pri prenosu Analogen prenos Prenos v osnovnem pasu Prenos v višjih frekvenčnih legah Frekvenčno mešanje Mešanje navzgor Mešanje navzdol Analogni modulacijski posopki Ampliudna modulacija Modulacija z zadušenim nosilcem Enobočna modulacija Fazna modulacija Frekvenčna modulacija Demodulacija FM s fazno ujeo zanko Demodulacija s FM s sukanjem faze in faznim deekorjem Digialni signali Vzorčenje signalov Teorem o vzorčenju Speker digialnih signalov Digialna sia Izvedba digialnih si Adapivna sia Gradienni algoriem LMS algoriem Digialen prenos v osnovnem pasu Inersimbolna inerferenca Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference Nyquisov krierij v časovnem prosoru Nyquisov krierij v frekvenčnem prosoru Najožji prenosni kanal Očesni diagram

4 4 7.5 Opimalno sprejemo sio Izravnava karakerisike kanala Adapiven izravnalnik Adapiven izločevalnik inersimbolne inerference Izravnalnik s prevzorčenjem Speker signala v osnovnem pasu Digialni modulacijski posopki Ampliudna modulacija Kvadraurna ampliudna modulacija Kone modulacije PSK CPM DPSK MSK GMSK Prenos z več nosilci Digialna izvedba prenosa z več nosilci Prenos z razširjenim spekrom Frekvenčno skakanje Neposredno razširjanje s kodnim zaporedjem Prednosi razširjanja spekra Zasebnos Skrios Odpornos proi ozkopasovnim monjam Odpornos na frekvenčni presih Sodosop Frekvenčno deljen sodosop Časovno deljen sodosop Kodno deljen sodosop Ponovna uporaba frekvenc Dinamično zaseganje kanala Mehko prehajanje med celicami Želene lasnosi kod Orogonalnos in nekoreliranos Avokorelacijska funkcija kod Povezava med frekvenčno, časovno in kodno deljenim sodosopom Sodosop na osnovi prenosa z več nosilci Naključno deljen sodosop Prookoli ALOHA

5 Prookoli z zaznavanjem nosilca Zaseganje na osnovi žeona Teorija informacij Verjenos in informacija Verjenos Odvisni simboli in pogojna verjenos Srednja vrednos, srednja kvadraična vrednos in varianca Informacija Enropija Redundanca in irelevanca Vzajemna informacija Digialni kanal Vzajemna enropija Kapaciea digialnega kanala Binarni simerični kanal Gaussov kanal Kapaciea frekvenčno omejenega analognega Gaussovega kanala Spekralna učinkovios in Shannonova meja Kanalsko kodiranje Binarna koda Bipolarna koda Bifazna koda AMI koda HDBn kode Binarne blokovne kode Konovolucijske kode Večnivojske kode Dekodiranje na osnovi največje verjenosi Trdo odločanje Mehko odločanje Vierbi algoriem

6 Uvod 1 V poglavju je predsavljen osnovni elekomunikacijski model. Predsavljeni so osnovni pojmi, ki jih srečamo pri prenosu informacijskih signalov in so naančnje opredeljeni v naslednjih poglavjih. Telekomunikacije so veda o prenosu sporočil na daljavo preko neke prenosne poi oziroma prenosnega medija. Celoen poek prenosa od izvora sporočila do njegovega prejemnika dobro opisuje osnovni elekomunikacijski model, ki je prikazan na sliki 1.1. izvor sporoèila prejemnik sporoèila kodirnik izvora dekodirnik prejemnika kanalski kodirnik kanalski dekodirnik signalni generaor vzorèevalnik modulaor+mešalnik prenosni kanal mešalnik+demodulaor oddajnik prenosna po sprejemnik Slika 1.1 Osnovni elekomunikacijski model. Model opisuje enosmeren prenos sporočil od njegovega izvora do njegovega prejemnika. V odvisnosi od ega, za kakšen prenos gre, so pri dejanski izvedbi lahko nekaeri gradniki ega modela izpuščeni. Osnovni elekomunikacijski model vsebuje večje ševilo gradnikov. V odvisnosi od ega, kakšno vrso sporočil prenašamo, kako jih prenašamo in preko česa jih prenašamo, so lahko v dejanski izvedbi prenosa nekaeri gradniki izpuščeni. Ne glede na o, za kakšen prenos gre, pa so pri vsakem prenosu udeleženi izvor sporočila, prenosni kanal in prejemnik sporočila. 6

7 7 Izvor sporočila je lahko lahko človek, knjiga, računalnik, daljinski upravljalnik ali kakšna druga naprava. Od izvora sporočila je odvisna udi oblika sporočila. Prenosni kanal predsavlja celono po, po kaeri se prenaša sporočilo in vključuje oddajnik, prenosno po in sprejemnik. Oddajnik je naprava, ki sporočilo prevori v fizikalni signal, ki je primeren za prenos po izbrani prenosni poi. V odvisnosi od prenosne poi je a signal lahko elekričen, elekromagneen, opičen ali zvočen. Oddajnik mora bii prilagojen prenosni poi. Prenosna po je lahko prazen prosor, zrak, kovinski vodnik, opično vlakno ali kakšna druga snov med oddajnikom in sprejemnikom, ki s svojimi fizikalnimi lasnosmi omogoča, da se po njej prenašajo signali, večinoma v obliki elkromagnenega, lahko pa udi zvočnega valovanja. Prenosni kanal ne izkorišča nujno vseh sposobnosi prenosne poi za prenos. Iso prenosno po lahko izkorisimo za vzposaviev večjega ševila prenosnih kanalov. Signali se lahko pri prenosu popačijo (spremenijo obliko), hkrai pa se jim na kanalu lahko prišejejo določene monje ali šum, kar lahko zmanjšuje kvalieo prenosa oziroma vnaša napake v prenesena sporočila. Sprejemnik je naprava, ki signal iz prenosne poi prevori v obliko primerno za nadaljnjo obdelavo ali pa kar v sporočilo primerno za prejemnika sporočila. Podobno ko oddajnik mora bii udi sprejemnik prilagojen prenosni poi. Prejemnik sporočila je človek ali naprava, ki ji je sporočilo namenjeno. Da ima prenos sporočila smisel, mora prejemnik sporočila dobii sporočilo v obliki, ki mu je razumljiva. Poleg omenjenih gradnikov so lahko pri prenosu sporočil porebni še drugi gradniki, kar pa je odvisno ako od vrse sporočil ko udi od načina prenosa eh sporočil. Kadar želimo prenašai v višjem frekvenčnem pasu vključimo v prenosni kanal še modulaor, mešalnik in demodulaor. Modulaor je naprava, ki signal iz osnovnega frekvenčnega pasu presavi v višji frekvenčni pas. Na a način se lahko bolje prilagodimo prenosni poi oziroma lahko na isi prenosni poi usvarimo več prenosnih kanalov. Mešalnik je naprava, ki signal iz enega frekvenčnega pasu presavi v drug frekvenčni pas. Presavljanje frekvenčnega pasu po modulaciji lahko močno poenosavi izvedbo samega modulaorja, kadar želimo z isim modulaorjem preslikai v različne frekvenčne pasove oziroma z isim modulaorjem usvarii različne prenosne kanale, ko na primer različne radijske posaje. Demodulaor je naprava, ki iz višjega frekvenčnega pasu signal preslika nazaj v osnovni pas. Posopek demodulacije je inverzen posopku modulacije. Kadar so v prenos vključeni udi modulaor, demodulaor in mešalnik, vse e elemene obravnavamo ko del prenosnega kanala. Sporočila, ki jih želimo prenašai, so lahko v različnih oblikah. Sporočilo je lahko zapisano v signalni obliki (na primer govorni ali video signal) ali pa je zapisano s simboli (na primer črke abecede, ševilke ali binarni simboli v računalniškem zapisu). Kadar je sporočilo v signalni

8 8 Uvod obliki, lahko ak signal prenašamo preko prenosnega kanala neposredno, ako da vodimo signal neposredno na vhod prenosnega kanala. Tak prenos imenujemo udi analogen prenos, ker je signal, ki ga prenašamo analogen izvornemu signalu. Signal ki vsebuje sporočilo lahko prevorimo v niz ševil. Na podoben način lahko v niz ševil prevorimo udi sporočila, ki so zapisana s poljubnimi simboli. V obeh primerih prenašamo preko prenosnega kanala niz ševil (digiov), zao imenujemo ak prenos udi digialen prenos. Pri digialnem prenosu so v prenos običajno vključeni še kodirnik izvora, kanalski kodirnik, signalni generaor, vzorčevalnik, kanalski dekodirnik in dekodirnik prejemnika. Izvorni kodirnik prevori sporočilo iz njegove izvorne oblike v niz ševil neke sandardne oblike, običajno je o kar binaren niz. Kadar je sporočilo zapisano v signalni obliki, moramo signal najprej vzorčii, o je ševilčno zapisai vrednosi signala v določenih časovnih inervalih. Izvorni kodirnik lahko po porebi udi skrči sporočilo, ako, da zmanjša porebno hiros prenosa. Izvorni kodirnik mora bii prilagojen izvoru sporočila. Kanalski kodirnik je naprava, ki niz ševil v sandardni obliki prevori v drug niz ševil, ki je primernejši za prenos po kanalu. Kanalski kodirnik ima lahko vgrajene mehanizme, ki pri sprejemu omogočajo zaznavo ali pa udi odpravo napak, do kaerih lahko pride pri prenosu preko prenosnega Signalni generaor prevori niz ševil na izhodu kanalskega kodirnika v signal, ki je primeren za izbran prenosni kanal na ak način, da je pri sprejemu iz vzorcev ega signala spe mogoče dobii nazaj originalen niz. Vzorčavalnik je naprava, ki izmeri vrednosi signala v določenih časovnih renukih in jih na svoj izhod posreduje v obliki niza ševil. Kanalski dekodirnik ima inverzno funkcijo kanalskega kodirnika. Niz na svojem vhodu prevori nazaj v sandardno obliko, obenem pa lahko zazna ali udi popravi napake, ki so nasale pri prenosu. Kodirnik prejemnika prevori sporočilo, ki je zapisano v sandardni obliki ševilskega niza v obliko, ki je primerna za prejemnika sporočila. Kodirnik prejemnika ima lahko, ni pa o nujno, inverzno funkcijo kodirnika izvora. Kadar zaheva prejemnik sporočila sporočilo zapisano v obliki signala (na primer govorna komunikacija) mora kodirnik prejemnika iz vzorcev signala rekonsruirai originalni signal. Kodirnik prejemnika mora bii prilagojen prejemniku sporočila. Opisani osnovni elekomunikacijski model opisuje zgolj prepros enosmeren prenos preko ene same samega prenosnega medija. V praksi se srečujemo s precej bolj zahevnim prenosom. Prenos je običajno dvosmeren, prenosni medij se lahko na celoni prenosni poi večkra spremeni, v komunikaciji lahko hkrai sodeluje več uporabnikov, več med seboj neodvisnih uporabnikov si lahko deli skupno prenosno po in uporabniki so lahko povezani v komunikacijska omrežja. Pri opisu osnovnega elekomunikacijskega modela smo naleeli na veliko novih pojmov, ki so zapisani v poševnem isku. Vsi i pojmi bodo podrobneje razloženi v nadaljevanju, kjer si bomo

9 9 podrobneje ogledali posamezne gradnike osnovnega elekomunikacijskega modela. Pri obravnavi bomo osnovnemu elekomunikacijskemu modelu sledili od spodaj navzgor. Najprej bomo obravnavali lasnosi signalov. Razumevanje signalov je pomembno zao, da lahko razumemo, kaj se dogaja pri njihovem prenosu preko prenosne poi. Pri prenosni poi, se bomo omejili na opis lasnosi linearnih prenosnih poi, vendar se pri em ne bomo poglabljali v fizikalno ozadje. Oddajniku in sprejemniku ne bomo posvečali večje pozornosi, ker sodi njuna obravnava bolj na področje elekronike. Veliko več pozornosi pa bomo posveili modulacijskim in kodirnim posopkom er drugim posopkom, ki omogočajo izboljšanje kvaliee prenosa in boljše izkoriščanje prenosnih kapacie prenosne poi. Ko smo že omenili, lahko določeno prenosno po uporablja več uporabnikov hkrai, oziroma lahko preko njega usvarimo več prenosnih kanalov, kar imenujemo sodosop do skupnega medija. To je še posebej pomembno pri brezžičnih komunikacijah, kjer si vsi uporabniki delijo skupen prenosni medij - amosfero. Različne načine sodosopa bomo obravnavali v zadnjem poglavju.

10 Signali 2 V poglavju je definiran pojem signalov. Podana so osnovna maemaična orodja za analizo periodičnih, aperiodičnih in naključnih signalov. Definirane so njihove značilne vrednosi: srednja vrednos, energija, moč in varianca er korelacija, korelacijska funkcija in frekvenčni speker signala. Signal je fizikalna veličina, ki se spreminja s časom. To je lahko elekrična napeos, elekrični ok, elekrično polje, magneno polje, priisk in podobno. Kaera od eh veličin bo uporabljena pri prenosu sporočil je odvisno predvsem od fizikalnih lasnosi prenosne poi. Ker se v nadaljevanju ne bomo ukvarjali s fizikalnimi lasnosmi prenosnih poi, emveč zgolj z njihovo sposobnosjo za prenos signalov, nas pri signalih ne bo zanimala njihova fizikalna narava, emveč nas bo zanimala predvsem njihova oblika, o je njihov časovni poek. Zao bomo obravnavali ako imenovane splošne signale, ki jih podajamo brez fizikalnih eno. Splošne signale pišemo ko funkcije časa, ko na primer: x() za signal na vhodu nekega sisema in y() za signal na njegovem izhodu. Signale pogoso predsavljamo grafično. Grafična predsaviev splošnega signala je prikazana na sliki 2.1. Slika 2.1 Grafični prikaz signala 2.1 Periodični signali Periodični signali so signali, pri kaerih se začne njihov časovni poek po določenem času ponavljai. Perioda T signala x() je čas ki preeče med poljubnim renukom in renukom, ko se začne poek signala ponavljai. Grafična predsaviev periodičnega signala je prikazana na sliki

11 2.1 Periodični signali 11 Slika 2.2 Grafična predsaviev periodičnega signala. Na ordinani osi so vrednosi signala, na abscisni osi pa je čas. Po preeku periode T se začne signal ponavljai. Periodični signal je v celoi določen s poekom znoraj ene periode, kar pomeni, da poznamo signal v celonem časovnem področju < <, če poznamo njegov poek znoraj ene periode. Zao pravimo, da je periodični signal deerminisičen, za razliko od naključnih signalov, pri kaerih ne poznamo vnaprej njihovega poeka. Ker že vnaprej poznamo njihov poek, s periodičnimi signali ne moremo prenašai sporočil. Pri prenosu sporočil nasopajo naključni signali, saj ne vemo vnaprej kakšna sporočila se bodo prenašala preko nekega elekomunikacijskega sisema Značilne vrednosi periodičnih signalov Značilne vrednosi so vrednosi, ki ševilko opredeljujejo določene lasnosi. Pri človeku so o na primer saros, eža, višina in podobno. Pomembnejše značilne vrednosi pri signalih so perioda, osnovna frekvenca, srednja vrednos, srednja moč in varianca Perioda T je najmanjše poziivno realno ševilo, za kaero velja: x() = x( + T) R (2.1) Osnovna frekvenca f pove kolikokra v časovni enoi, na primer v eni sekundi, se signal ponovi. Osnovna frekvenca je obrano sorazmerna periodi signala: f = 1 T (2.2) Srednja vrednos ali povprečna vrednos signala je definirana ako, da je ploščina signala pod srednjo vrednosjo enaka ploščini signala nad srednjo vrednosjo, ko je o prikazano na sliki 2.3. Srednjo vrednos x() signala x() s periodo T izračunamo po enačbi: x() = 1 x() d (2.3) T Oznak T na spodnji meji inegrala pomeni inegriracijo preko ene periode signala. Pri elekričnih signalih imenujemo srednjo vrednos udi enosmerna komponena signala. T

12 12 Signali Slika 2.3 Srednja vrednos periodičnega signala. Ploščina signala pod srednjo vrednosjo je enaka ploščini signala nad srednjo vrednosjo. Srednja moč ali povprečna moč. Ker je moč proporcionalna ako kvadrau napeosi ko kvadrau oka, magnenega ali elekričnega polja, definiramo renuno moč splošnih signalov z njihovim kvadraom: p x () = x() 2 (2.4) Povprečno moč periodičnega signala dobimo s povprečenjem renune moči preko ene periode: P x = p x () = 1 x() 2 d (2.5) T Varianca signala. Pogoso nas zanima le povprečna moč izmenične komponene signala, o je signala, ki ga dobimo, če osnovnemu signalu odšejemo njegovo srednjo vrednos. Povprečno moč izmenične komponene imenujemo udi varianca. Pri periodičnih signalih je podana z izrazom: σx 2 = 1 x() x() 2 d (2.6) T Korelacija in korelacijska funkcija periodičnih signalov T T Korelacija signalov. Včasih želimo signale med seboj primerjai. Ko merilo podobnosi med dvema signaloma lahko uporabimo njuno korelacijo. Korelacija signalov x() in y(), ki sa periodična s periodo T, je definirana ko srednja vrednos njunega produka: R xy = x()y() = 1 x()y() d (2.7) T Korelacijo signalov imenujemo udi skalarni produk signalov, ker je rezula ega produka skalar, o je ševilo, in ne signal, ko pri običajnem produku dveh signalov. Kadar je korelacija enaka, pravimo, da sa signala orogonalna (prav nič podobna), po analogiji z vekorji, kjer pravimo, da sa dva vekorja orogonalna, kadar je njun skalarni produk enak. Korelacijska funkcija. Če naredimo korelacijo med prvim signalom x() in za τ časovno zamaknjenim drugim signalom y( + τ) je korelacija odvisna od zamika τ, oziroma je funkcija zamika τ. Dobljeno funkcijo imenujemo korelacijska funkcija. R xy (τ) = x()y( + τ) = 1 x()y( + τ) d (2.8) T T T

13 2.1 Periodični signali 13 Korelacijska funkcija ima največjo vrednos pri isem zamiku τ, pri kaerem sa si signala med seboj najbolj podobna. Kadar je korelacijska funkcija dveh signalov enaka pri vsakem zamiku τ, pravimo, da sa signala med seboj nekorelirana. Primer 2.1 Oglejmo si korelacijo in korelacijsko funkcijo signalov x() = cos(2πf ) in y() = sin(2πf ), kjer je f o osnovna frekvenca in T prerida, orej velja f = 1/T. Njuna korelacija je enaka: R xy = 1 cos(2πf ) sin(2πf ) d = 1 sin(4πf ) d = (2.9) T T 2T T Drugi inegral je očino enak nič, saj inegriramo sinus čez dve celi periodi. Ker je skalarni produk enak sa signala cos(2πf ) in sin(2πf ) med seboj orogonalna, kar pa še ne pomeni, da si med seboj nisa prav nič podobna, da nisa korelirana. Njuna korelacijska funkcija je namreč enaka: R xy (τ) = 1 T T cos(2πf ) sin(2πf ( + τ)) d = 1 2 sin(2πf τ) (2.1) Korelacijska funkcija ima maksimalno vrednos pri τ = T/4, o je akra, ko posane sinus zaradi časovnega premika enak kosinusu Avokorelacijska funkcija Če v korelacijski funkciji (2.8) nadomesimo drugi signal, o je y(), s prvim signalom, o je x(), dobimo avokorelacijsko funkcijo: R xx (τ) = x()x( + τ) = 1 x()x( + τ) d (2.11) T T Avokorelacijska funkcija je orej korelacijska funkcija, ki primerja signal s z njegovo premaknjeno različico. Ker je avokorelacijska funkcija pomembna pri analizi signalov, si oglejmo nekaj njenih lasnosi: 1. Avokorelacijska funkcija periodičnega signala je periodična. Perioda avokorelacijske funkcije je enaka periodi signala: R xx (τ) = R xx (τ + T) (2.12) 2. Avokorelacijska funkcija je soda funkcija: R xx (τ) = R xx ( τ) (2.13) 3. Avokorelacijska funkcija je maksimalna pri vrednosi τ = : R xx () R xx (τ) (2.14) 4. Vrednos avokorelacijske funkcije periodičnega signala pri τ = je enaka povprečni moči signala: R xx () = 1 x 2 () d = x T 2 () (2.15) T

14 14 Signali Frekvenčni speker periodičnih signalov Vsak periodičen signal s končno močjo lahko razvijemo v kompleksno Fourierovo vrso: x() = X k e j2πkf (2.16) k= Zgornja enačba pove, da lahko vsak periodičen signal končne moči zapišemo ko vsoo posameznih spekralnih komponen, o je kompleksnih harmoničnih signalov frekvenc, ki so mnogokraniki osnovne frekvence e j2πkf. Te komponene imenujemo udi harmonske komponene signala in jih izračunamo po enačbi: X k = 1 T T x()e j2πf d (2.17) Pri realnih signalih, x() R, velja, da so vrednosi koeficienov pri negaivnih k enaki konjugirano kompleksnim vrednosim koeficienov pri poziivnih k: X k = Xk (2.18) Posamezno harmonsko komponeno realnega signala dobimo s seševanjem kompleksnih komponen pri poziivni in pripadajoči negaivni frekvenci: x k () = X ke j2πkf + X k e j2πkf (2.19) kjer smo z x k () označili harmonsko komponeno signala pri frekvenci kf. Če sedaj v zgornji enačbi upoševamo enačbo (2.18) in dejsvo da velja: e j2πkf = cos(2πkf ) + j sin(2πkf ) dobimo po krajši izpeljavi: x k () = 2 R(X k ) cos(2πkf ) + 2 I(X k ) sin(2πkf ) (2.2) Vidimo, da je posamezna harmonska komponena sesavljena iz kosinusne in sinusne komponene. Realni del koeficienov X k predsavlja polovico ampliude kosinusnega signala, njihov imaginarni del pa polovico ampliude sinusnega signala pri usrezni frekvenci. Pri realnih signalih je speker pri negaivnih frekvencah samo zrcalna slika spekra pri poziivnih frekvencah. Posamezne harmonske komponene dobimo s seševanjem pripadajočih kompleksnih komponen pri poziivni in pripadajoči negaivni frekvenci. Negaivne frekvence zao nimajo fizikalnega pomena. Primer 2.2 Pravokoen periodičen signal. Naj bo x() pravokoen periodičen signal,ki je prikazan na sliki (2.4). Po enačbi (2.17) lahko izračunamo koeficiene X k : X k = 1 T T/4 T/4 e j2πkf d = sin(k π 2 ) k π 2 (2.21)

15 2.1 Periodični signali 15 x( ) -T T Slika 2.4 Pravokoen periodičen signal Ker je signal x() soda funkcija (o je simerična okrog ordinane osi), jo je mogoče dobii s seševanjem samih kosinusov. Zao so koeficieni realni in nasopajo pri razvoju v Fourierovo vrso samo kosinusi z ampliudami: a k = X k + X k = 2X k Prvih nekaj koeficienov a k različnih od je podanih v abeli 2.1 k a k 1/2 1 2/π 3 2/(3π) 5 2/(5π) 7 2/(7π) Tabela 2.1 Ampliude kosinusnih harmonskih komponen pri razvoju sodega pravokonega signala v Fourierovo vrso. Kako se s seševanjem posameznih harmonskih komponen približujemo pravokonemu signalu je prikazano na sliki = = = = = Slika 2.5 Seševanje harmonskih komponen pravokonega signala

16 16 Signali Ampliudni in fazni speker periodičnih signalov Koeficieni X k pri razvoju signala so v splošnem kompleksni X k = R(X k ) + ji(x[k]) (2.22) in jih lahko pišemo v polarni obliki: X k = A k e jφ k (2.23) Koeficiene A k imenujemo ampliudni speker periodičnega signala. Velja: A Xk = X k = R 2 (X k ) + I 2 (X k ) (2.24) Koeficiene Φ k imenujemo fazni speker periodičnega signala. Velja: Φ Xk = arg(x k ) (2.25) Funkcija arg[x k ] predsavlja ko med realno osjo in kazalcem X k v kompleksni ravnini, ko je o prikazano na sliki??. Definira jo naslednji izraz: ( ) I(Xk ) arcan ; R(X k ) R(X k ) arg(x k ) = ( ) I(Xk ) arcan + π ; R(X k ) < R(X k ) Grafični prikaz polarnega zapisa je podan na sliki 2.6. (2.26) ( Xk) Ak Xk k ( Xk ) Slika 2.6 Kazalec komponene kompleksnega spekra. Dolžina kazalca predsavlja komponeno ampliudnega spekra, ko med kazalcem in realno osjo pa komponeno faznega spekra Močnosni speker periodičnih signalov Po preprosem izračunu ugoovimo, da je moč posamezne spekralne komponene, ko je podana z enačbo 2.2, enaka: x k () = T x 2 k () d = 2 X k 2 = X k 2 + X k 2 (2.27) Polovico moči posamezne realne spekralne komponene prispeva kompleksna komponena pri negaivni frekvenci in polovico komponena pri poziivni frekvenci. Močnosni speker S Xk periodičnega signala zao definiramo s kvadraom absolunih vrednosi kompleksnega spekra: S Xk = X k 2 (2.28)

17 2.2 Energijski signali Parsevalov izrek za periodične signale Moč periodičnega signala je enaka vsoi moči posameznih harmonskih komponen: x 2 () = 1 T T x 2 () d = X k 2 = S Xk (2.29) k= k= V splošnem moč vsoe signalov ni enaka vsoi moči posameznih signalov. To, da se moči posameznih harmonskih komponen seševajo, je posledica dejsva, da so e komponene med seboj orogonalne. To lahko v določenih primerih izredno poenosavi računanje moči signalov. 2.2 Energijski signali Energijski signali so signali, ki imajo končno energijo. Energija signala je značilna vrednos signala. Energija E x signala x() je enaka inegralu renune moči x 2 () in je podana z izrazom: E x = x() 2 d (2.3) Ker imajo energijski signali končno energijo imajo udi omejen čas rajanja. Signale, ki imajo relaivno kraek čas rajanja, imenujemo udi impulzi. Primeri različnih impulzov so prikazani na sliki 2.7. x( ) a b c d Slika 2.7 Primeri impulzov. a - pravokoen impulz, b - moduliran pravokoen impulz, c - Gaussov impulz, d - moduliran Gaussov impulz

18 18 Signali Enoin impulz Enoin impulz δ( j)e neskončno ozek impulz z neskončno ampliudo, ako da je ploščina pod njim enaka 1: ǫ ǫ δ() d = 1 (2.31) kjer je ǫ poljubno majhno poziivno ševilo. Enoin impulz imenujemo udi Diracova funkcija ali δ-impulz. Grafično ga predsavimo z navpično puščico (slika 2.8, desno). 1 T T ( ) T Slika 2.8 Približek enoinega impulza. Z zmanjševanjem časa T se vedno bolj približujemo enoinemu impulzu. Čeprav enoin impulz v naravi ne nasopa, ima zaradi svojih lasnosi pomembno vlogo pri analizi signalov. V naravi se lahko enoinemu impulzu približamo s krakim pravokonim impulzom rajanja T in ampliude 1/ T, ko je o prikazano na sliki 2.8. Pomembna lasnos enoinega impulza je njegova lasnos vzorčenja: x()δ( ) d = x( ) (2.32) Inegral poljubnega signala pomnoženega z za zakasnjenim enoinim impulzom je enaka vrednosi signala ob času Korelacija Korelacija ali skalarni produk signalov x() in y() je definiran ko inegral njunega produka: r xy = x()y() d (2.33) Korelacija je merilo podobnosi dveh signalov. Kadar je korelacija enaka pravimo, da sa signala orogonalna. Grafična predsaviev korelacijske funkcije je prikazana na sliki Korelacijska funkcija Korelacijska funkcija je funkcija, ki jo dobimo, če naredimo korelacijo dveh časovno zamaknjenih signalov: r xy (τ) = x()y( + τ) d (2.34) Korelacijska funkcija je funkcija časovnega zamika τ. Kadar je korelacijska funkcija pri vseh časovnih zamikih enaka, pravimo, da sa signala nekorelirana.

19 2.2 Energijski signali 19 x( ) y( ) x( ).y( ) plošèina = rxy Slika 2.9 Korelacija je enaka ploščini pod krivuljo produka obeh signalov. Kjer imaa oba signala enak predznak je ploščina poziivna, kjer pa imaa nasproen predznak je negaivna. Kadar je negaivna ploščina enaka poziivni, je korelacija enaka in signala sa orogonalna Avokorelacijska funkcija Če v izrazu (2.34) signal y() nadomesimo s signalom x() dobimo avokorelacijsko funkcijo: r xx (τ) = x()x( + τ) d (2.35) Avokorelacijska funkcija je funkcija časovnega zamika τ. Pri avokorelacijski funkciji primerjamo signal z njegovo časovno zamaknjeno različico. Primer avokorelacijske funkcije signala je prikazan na sliki 2.1 x( ) r xx( ) Slika 2.1 Avokorelacijska funkcija je funkcija časovnega zamika τ. Je soda funkcija in ima maksimum pri τ = Oglejmo si nekaj lasnosi avokorelacijske funkcije: 1. Avokorelacijska funkcija je soda funkcija: r xx (τ) = r xx ( τ) (2.36) 2. Avokorelacijska funkcija je maksimalna pri vrednosi τ = : r xx () r xx (τ) (2.37) 3. Vrednos avokorelacijske funkcije pri τ = je enaka energiji signala: r xx () = x 2 () d = E x (2.38)

20 2 Signali Konvolucija Konvolucija signalov x() in y() je korelacija prvega signala s po času premaknjeno in obrnjeno različico drugega signala, pri čemer zamenjamo pomen spremenljivk in τ, ako, da osane korelacija funkcija časa. Korelacija predsavlja nekakšen produk dveh signalov, zao operacijo konvolucije označujem z zvezdico: x() y() == x(τ)x( τ) dτ (2.39) Konvolucija je komuaivna operacija, ako da velja: x() y() = y() x() (2.4) Iz lasnosi vzorčenja, ki jo ima enoin impulz, neposredno sledi: x() δ() = x() (2.41) Enoin predsavlja orej enoo za operacijo konvolucije. Od od izvira udi njegovo ime enoin impulz Frekvenčni speker energijskih signalov Frekvenčni speker energijskih signalov računamo s pomočjo Fourierovega ransforma: X(f) = x()e j2πf d (2.42) Speker signala pri frekvenci f je pravzaprav korelacija ega signala s kompleksnim harmoničnim signalom e j2πf, orej X(f) pove, koliko sa si a dva signala podobna. Za razliko od spekra periodičnih signalov, v kaerem nasopajo samo mnogokraniki osnovne frekvence signala (diskreen speker), lahko v spekru energijskih signalov nasopajo spekralne komponene zvezno pri vseh frekvencah f (zvezen speker). Podobno ko pri periodičnih signalih, dobimo signal s seševanjem vseh spekralnih komponen. Ker je speker zvezen nasopa v enačbi nameso vsoe inegral: x() = X(f)e j2πf df (2.43) Zgornjo enačbo imenujemo udi inverzni Fourierov ransform. Funkciji x() in X(f) imenujemo Fourierov par, kar označujemo z dvojno puščico: x() X(ω) (2.44) V splošnem se bomo držali pravila, da signale označujemo z malimi črkami, za speker pa uporabimo ise velike črke, ako da že iz samih oznak lahko razberemo, da gre za Fourierov par. Fourierov ransform označujemo krajše udi z F: X(ω) = F[x()] (2.45) inverzni Fourierov ransform pa z F 1 : x() = F 1 [X(f)] (2.46)

21 2.2 Energijski signali Ampliudni in fazni speker energijskih signalov Podobno ko pri periodičnih signalih, je ampliudni speker A x (f) signala x() enak absoluni vrednosi njegovega kompleksnega spekra X(f): A x (f) = X(f) (2.47) fazni speker Φ x (f) pa argumenu kompleksnega spekra: Φ x (f) = arg(x(f)) (2.48) Primer 2.3 Ampliudni speker pravokonega impulza. Ko primer si oglejmo izračun ampliudnega spekra pravokonega impulza dolžine T, ki je prikazan na levi srani slike Najprej izračunamo njegov kompleksni speker: X(f) = T e j2πf d = = e j2πft 1 j2πf = = T e jπft ejπft e jπft j2πft = T e jπft sin(πft) πft = (2.49) in nao še njegovo absoluno vrednos, da dobimo ampliudni speker: A x (f) = X(f) = T sin(πft) πft (2.5) Ampliudni speker pravokonega impulza je prikazan na desni srani slike x( ) Ax ( f ) T T T T T T T T f Slika 2.11 Ampliudni speker pravokonega impulza. Speker ima pri frekvenci vrednos T in prvo ničlo pri frekvenci 2/T. Če manjšamo T, se ampliuda zmanjšuje, frekvenčno področje pa se širi Energijski speker Pri energijskih signalih govorimo o energijskem spekru in ne o močnosnem spekru, ko pri periodičnih signalih, ki imajo neskončno energijo in omejeno moč. Energijski speker E x (f) signala x() je enak kvadrau absolune vrednosi njegovega spekra: E x (f) = X(f) 2 (2.51)

22 22 Signali Parsevalov izrek za energijske signale Energija signala je enaka inegralu energijskega spekra: E x = x() 2 d = E x (f) df (2.52) Energijski speker pravokonega impulza je prikazan na sliki Energija signala je enaka ploščini pod krivuljo energijskega spekra. Ex( f ) T T 2 T 2 4 T f Slika 2.12 Energijski speker pravokonega impulza dolžine T. Rumeno obarvana ploščina pod krivuljo je enaka energiji impulza. Večina energije impulza je v frekvenčnem področju med frekvencami in 2/T Nekaj lasnosi Fourierovega ransforma Ker je Fourierov ransform zelo pomembno orodje pri analizi signalov, si oglejmo nekaj njegovih pomembnejših lasnosi. Pri navajanju vseh lasnosi predsavljaa x() in X(f) Fourierov par Zakasniev signala Signal x() zakasnimo za čas. x( ) e j2πf X(ω) (2.53) Pri zakasnivi osane absoluna vrednos Fourierovega ransforma (ampliudni speker) nespremenjena, fazi pa se prišeje faza 2π f, ki se linearno spreminja s frekvenco f Razeg in skrčenje signala Čas množimo z realno z realno konsano a. Če je a < 1 se signal razegne, če pa je a > 1 se signal skrči po časovni osi. Za speker akega signala velja: x(a) 1 a X(f a ) (2.54) Ker se v spekru frekvenca f deli z a, pomeni razeg v časovnem prosoru skrčenje v frekvenčnem prosoru in obrano. Iz ega neposredno sledi, da imajo kraki impulzi širok speker, dolgi impulzi pa ozek speker, ko je o prikazano na sliki 2.13

23 2.2 Energijski signali 23 x( ) Ax( f ) 1 x(2 ) 1 T 1 2 A ( ) x f 2 T 2 f T 2-4 T 4 T f Slika 2.13 Časovno skrčenje signala razširi njegov speker. Ožji impulz ima zao širši speker Fourierov ransform realnih signalov Če je signal x() realen, poem je njegov speker pri negaivnih frekvencah konjugirano kompleksna zrcalna slika spekra pri poziivnih frekvencah: X( f) = X (f) (2.55) zao je ampliudni speker soda funkcija frekvence, fazni speker pa le liha funkcija frekvence. Podobno ko pri periodičnih signalih udi pri energijskih signalih speker pri negaivnih frekvencah nima fizikalnega pomena. Speker pri negaivnih frekvencah je zgolj zrcalna slika spekra pri poziivnih frekvencah Fourierov ransform enoinega impulza Naj bo signal x() enak enoinemu impulzu. Iz lasnosi o vzorčenju neposredno sledi: X(f) = δ()e j2πf d = e = 1 (2.56) Speker enoinega impulza je konsanen oziroma raven, kar pomeni, da vsebuje vse frekvence. Po analogiji z belo svelobo, ki vsebuje vse frekvence, imenujemo ak speker udi bel speker Fourierov ransform periodičnih signalov Čeprav smo speker harmoničnih signalov računali z razvojem v Fourierovo vrso, pa ga lahko izrazimo udi s pomočjo Fourierovega ransforma. Velja: X(f) = X k δ(f kf ) (2.57) k=

24 24 Signali kjer je f osnovna frekvenca signala, X k pa so koeficieni, ki jih dobimo z razvojem v Fourierovo vrso. Posamezne harmonske komponene so u predsavljene z enoinimi impulzi pri usrezni frekvenci. Funkcija X(f) v resnici predsavlja gosoo ampliudnega spekra. Ker so v periodičnih signalih prisone harmonske komponene s očno določenih frekvenc, je gosoa spekra pri eh frekvencah neskončna, kar ponazarjajo enoini impulzi Fourierov ransform niza enoinih impulzov Niz enoinih impulzov, ki so razmaknjeni za čas T je periodičen signal z osnovno frekvenco f = 1/T in ga lahko zapišemo v obliki: x() = δ( nt) (2.58) n= Če izračunamo speker ega signala po enačbi (2.17) dobimo: X k = 1 T (2.59) Signal orej vsebuje vse harmonske komponene z enako ampliudo 1/T. V skladu z izrazom za Fourirov ransform periodičnih signalov (2.57) je orej Fourierov ransform niza enoinih impulzov enak: X(f) = 1 T k= δ(f kf ) (2.6) Niz enoinih impulzov s časovnim razmikom T se s Fourierovim ransformom preslika v niz enoinih impulzov s frekvenčnim razmikom f, ko je o prikazano na sliki x( ) X( f ) -2T -T T 2T -2f -f f 2f f Slika 2.14 Fourierov ransform niza enoinih impulzov je niz enoinih impulzov Množenje s kompleksnim harmoničnim signalom Če signal množimo s kompleksnim harmoničnim signalom s frekvenco f se njegov speker premakne v desno za f : x()e j2πf X(f f ) (2.61) Ker signal po množenju s kompleksnim harmoničnim signalom ni več realen, se udi speker ne zrcali več preko ordinane osi.

25 2.2 Energijski signali Množenje z realnim harmoničnim signalom Če signal x() množimo z realnim harmoničnim signalom s frekvenco f, se njegov premakne levo in desno za frekvenco f, ako da se ohrani simerija spekra preko ordinane osi: x() cos(2πf ) 1 2 (X(f f ) + X(f + f )) (2.62) Na sliki 2.15 je prikazan ampliudni speker impulza, ki ga dobimo, če pravokoni impulz dolžine T množimo s kosinusom frekvence f. x( ) Ax ( f ) T -f f f Slika 2.15 Množenje pravokonega signala s cos(2πf ). Speker pravokonega signala se premakne levo in desno za frekvenco f Fourierov ransform korelacijske funkcije Če sa X(ω) in Y (ω) Fourierova ransforma funkcij x() in y() velja: r xy (τ) X (ω)y (ω) (2.63) Fourierov ransform avokorelacijske funkcije Iz (2.63) neposredno sledi: r xx () X(f) 2 = E x (f) (2.64) kar pomeni, da je gosoa energijskega spekra aperiodičnega signala enaka Fourierovemu ransformu njegove avokorelacijske funkcije Fourierov ransform konvolucije Fourierov ransform konvolucije signalov x() in y() je enak produku Fourierovih ransformov eh signalov X(f) in Y (f): x() y() X(f) Y (f) (2.65) Rečemo lahko, da se konvolucija s Fourierovim ransformom prevori v produk.

26 26 Signali Fourierov ransform produka Fourierov ransform produka signalov x() in y() je enak konvoluciji Fourierovih ransformov eh signalov X(f) in Y (f): x() y() X(f) Y (f) (2.66) Fourierov ransform ransformira produk v konvolucijo. Čeprav običajno govorimo, da Fourierov ransform preslika signal iz časovnega prosora v frekvenčni prosor, se moramo zavedai, da je Fourierov ransform samo orodje za analizo signala. Speker signala je samo ena od lasnosi signala, podobno ko energija signala. Ko izračunamo energijo signala, se signal v ničemer ne spremeni. Na enak način signal osane nespremenjen, ko izračunamo njegov speker. 2.3 Naključni signali Naključni signali so signali, za kaere ne poznamo naančno njihovega poeka,lahko pa poznamo nekaj saisičnih lasnosi. Tipično so o signali, ki jih prenašamo. Za signale, ki jih prenašamo, namreč vnaprej ne poznamo poeka. Če bi ga poznali vnaprej, poem jih ne bi bilo porebno prenašai. Primeri akih signalov so govorni signal, avdio signal, video signal, podakovni signal in podobno. Ker predposavljamo, da časovno niso omejeni, oziroma v praksi lahko rajajo relaivno zelo dolgo z ozirom na hiros s kaero se spreminjajo, njihova energija ni omejena, zao Fourierov ransform akih signalov ne obsaja. Povprečna moč akega signala je dana z izrazom: P x = x() 2 1 = lim T T T/2 T/2 x() 2 d (2.67) Predposavimo, da je moč signala končna. Za ak signal definiramo avokorelacijsko funkcijo: in močnosni speker: 1 R xx (τ) = lim T T S x (f) = T/2 T/2 x(τ)x( + τ) dτ (2.68) R xx (τ)e j2πτ dτ (2.69) Avokorelacijska funkcija govori o em, kako hiro se signal spreminja. Če signal sam sebi ni več podoben, ko ga malo zamaknemo po času, je avokorelacijska funkcija ozka. Iz lasnosi Fourierovega ransforma vemo, da je poem speker signala širok. Skrajni primer dobimo, ko je avokorelacijska funkcija enaka enoinemu impulzu. Takra je močnosni speker neskončno širok in raven. Pravimo, da je speker bel. Močnosni speker lahko izrazimo udi direkno s časovnim signalom ko: 1 T/2 2 S x (f) = lim x()e j2πf d T T T/2 (2.7)

27 2.3 Naključni signali 27 vendar o lahko sorimo šele, ko signal poznamo v celoi. Čas T, ki gre v zgornji enačbi proi neskončnosi, pa je v praksi omejen na rajanje signala. Parsevalov izrek za močnosne signale govori o moči signala in pravi, da je moč signala enaka inegralu močnosnega spekra P x = x( 2 ) = S x (f) df (2.71) oziroma ploščini pod krivuljo močnosnega spekra, ko je o prikazano na sliki Sx( f ) P x = plošèina f Slika 2.16 Parsevalov izrek pravi, da je moč signala P x enaka ploščini pod krivuljo močnosnega spekra S x(f). Signali, ki jih prenašamo v elekomunikacijah so vedno naključni. Če bi vnaprej poznali njihov poek, prenos ne bi imel smisla. Pri elekomunikacijah gre namreč za prenos informacije in, ko bomo spoznali v nadaljevanju, lahko samo naključni signali vsebujejo informacijo.

28 Linearni časovno nespremenljivi sisemi 3 Poglavje obravnava lasnosi linearnih časovno nespremenljivih sisemov. Večino prenosnih poi lahko namreč obravnavamo ko linearne časovno nespremenljive siseme. Frekvenčna sia ali filri, ki prepuščajo določene frekvence, druge pa slabijo, ravno ako spadajo v skupino linearnih časovno nespremenljivih sisemov. Signale prenašamo ko valovanje preko različnih prenosnih poi. Večinoma gre za elekromagneno valovanje, redkeje pa udi za zvočno valovanje. Pri prenosu preko prenosne poi signal spremeni svojo obliko. Pravimo, da se signal popači. V elekomunikacijah se ko prenosne poi v največji meri uporabljajo kovinski vodniki, opična vlakna in prazen prosor oziroma amosfera. Preko vseh eh prenosnih poi se signali prenašajo v obliki elekromagnenega valovanja. Ker nas v okviru e knjige fizikalno dogajanje na sami prenosni poi ne zanima, bomo analizo reducirali na preučevanje odnosa med vzrokom in posledico, o je med vhodnim signalom x() in izhodnim signalom y(). Prenosno po bomo zao predsavili s preprosim sisemom z enim vhodom in enim izhodom, ko je o prikazano na sliki 3.1. prenosna po x( ) y( ) T { } Slika 3.1 Model prenosne poi. Prenosno po predsavimo s sisemom, ki ima en vhod in en izhod. Izhodni signal je enak ransformiranemu, zakasnjenemu in popačenemu, vhodnemu signalu. S T { } je označena ransformacija signala pri prehodu. Če poznamo o ransformacijo T { }, lahko vsakemu vhodnemu signalu določimo izhodni signal: y() = T {x()} (3.1) zao pravimo, da ransformacija T { } v celoi opisuje ak sisem. Velik del prenosnih poi, ki jih uporabljamo v elekomunikacijah, je linearnih in časovno nespremenljivih ali pa jih vsaj v približku lahko obravnavamo ko ake. Sisem je linearen, kadar je ransformacija T { } linearna: T [a 1 x 1 () + a 2 x 2 ()] = a 1 T [x 1 ()] + a 2 T [x 2 ()] (3.2) 28

29 3.1 Sisemska funkcija 29 To pomeni, da je odziv sisema na vsoo dveh signalov enak vsoi ozivov na posamezna signala. Sisem je časovno nespremenljiv, kadar velja: T {x( + )} = y( + ) (3.3) To pomeni, da se sisem s časom ne spreminja in da je njegov odziv vedno enak. 3.1 Sisemska funkcija Označimo s h() odziv sisema na enoin impulz δ(). Odziv na enoin impulz je signal na izhodu sisema, ko na njegov vhod pripeljemo enoin impulz: h() = T {δ()} (3.4) Odziv sisema na enoin impulz imenujemo udi sisemska funkcija, saj v celoi opisuje sisem. Če poznamo sisemsko funkcijo, lahko namreč vsakemu vhodnemu signalu določimo izhodni signal po enačbi: y() = x(τ)h( τ) dτ = x() h() (3.5) oziroma Odziv linearnega, časovno nespremenljivega sisema na poljuben vhodni signal je enak konvoluciji vhodnega signala in sisemske funkcije Prevajalna funkcija Fourierov ransform sisemske funkcije imenujemo prevajalna funkcija: H(f) = F{h() (3.6) Če naredimo Fourierov ransform na obeh sraneh enačbe 3.5, dobimo: Y (f) = X(f) H(f) (3.7) Speker signala se pri prehodu skozi linearen časovno nespremenljiv sisem preproso množi s prevajalno funkcijo sisema. Absoluno vrednos prevajalne funkcije imenujemo udi ampliudna karakerisika sisema: A(f) = H(f) (3.8) Argumen prevajalne funkcije pa imenujemo fazna karakerisika sisema: Φ(f) = arg{h(f)} (3.9) Ampliudni speker signala se pri prehodu skozi sisem množi z ampliudno karakerisiko sisema, faznemu spekru pa se prišeje fazna karakerisika sisema.

30 3 Linearni časovno nespremenljivi sisemi Pri prehodu signala skozi linearen, časovno nespremenljiv sisem, se različne frekvence v signalu različno oslabijo oziroma ojačijo, zasuče pa se jim lahko udi faza. Linearne časovno nespremenljive siseme zao imenujemo udi frekvenčna sia ali filri, saj presejejo oziroma filrirajo različne frekvence Če dva linearna časovno nespremenljiva sisema vežemo v serijo, ko je o prikazano na sliki 3.2 je njuna skupna prevajalna funkcija enaka produku posameznih prevajalnih funkcij: H(f) = H 1 (f) H 2 (f) (3.1) Če naredimo inverzni Fourierov ransform na obeh sraneh enačbe (3.1), dobimo: x( ) H ( f ) H ( f ) y( ) 1 2 H( f ) Slika 3.2 Serijska vezava sisemov. Prevajalna funkcija celonega sisema je enaka produku posameznih prevajalnih funkcij. h() = h 1 () h 2 () (3.11) Skupna sisemska funkcija je enaka konvoluciji posameznih sisemskih funkcij. 3.2 Kavzalni sisemi Kavzalni sisemi so sisemi, pri kaerih je izhod posledica vhoda. Ker posledica ne more prehievai vzroka, pri eh sisemih izhodni signal nasopi kasneje ali kvečjemu sočasno z vhodnim signalom. Sisemsko funkcijo smo definirali ko odziv sisema na enoin impulz. Enoin impulz nasopi v času =, zao odziv nanj ne more nasopii pred em časom. Sisemska funkcija kavzalnega sisema je zao za vse čase < enaka nič. Primer sisemske funkcije kavzalnega sisema je prikazan na sliki 3.3 h( ) Slika 3.3 Sisemska funkcija kavzalnega sisem je enaka nič za vse čase manjše od nič, za čase večje od nič pa je lahko poljubna.

31 3.3 Idealno nizko sio Idealno nizko sio Idealno nizko sio imenujemo sisem ki prepušča vse frekvence do neke mejne frekvence f m, vse frekvence nad o frekvenco pa popolnoma zaduši. Ampliudna karakerisika idelanega sia je prikazana na desni srani slike 3.4. Če predposavimo, da sisem ne suče faze (φ(f) = ) poem dobimo sisemsko funkcijo idealnega nizkega sia z inverznim Fourierovim ransformom njegove ampliudne karakerisike: h() = fm e j2πf sin(2πf m ) df = 2f m f m 2πf m (3.12) Sisemska funkcija idealnega nizkega sia je prikazana na levi srani slike 3.4. Vidimo, da je h( ) A( f ) f m 1 -fm f m f m f Slika 3.4 Sisemska funkcija in ampliudna karakerisika idealnega nizkega sia. Sisemska funkcija ni kavzalna, zao idealno nizko sio ni izvedljivo. sisemska funkcija udi pri časih < različna od nič, orej ni kavzalna. Idealno sio orej ne obsaja. Če sisemsko funkcijo premaknemo v desno (zakasnimo) ne spremenimo ampliudne karakerisike. Vendar bi morali sisemsko funkcijo premaknii neskončno v desno, da bi posal sisem kavzalen. Idealno sio bi imelo ako neskončno zakasniev. Z dodajanjem zakasnive pa se idealnemu nizkemu siu lahko poljubno približamo, saj se odziv za čase manjše od nič z zakasnivijo hiro zmanjšuje. Če ga poem posavimo na nič ne vplivamo bisveno na ampliudno karakerisiko. Več o em je mogoče naji v lierauri o načrovanju si. 3.4 Močnosni speker pri prenosu Naključen signal x() lahko opredelimo z njegovim močnosnim spekrom S x (f). Močnosni speker se pri prehodu signala skozi linearen časovno nespremenljiv sisem množi s kvadraom absolune vrednosi prevajalne funkcije sisema oziroma s kvadraom njegove ampliudne karakerisike: S y (f) = S x (f) H(f) 2 = S x (f)a 2 (f) (3.13)

32 32 Linearni časovno nespremenljivi sisemi V poglavju smo definirali sisemsko in prevajalno funkcijo, ki močno olajšaa analizo sprememb signala pri prenosu. Ne smemo pa pozabii, da imaa sisemska in prevajalna funkcija pomen samo pri linearnih in časovno nespremenljivih sisemih. Pri nelinearnih ali časovno spremenljivih sisemih nimaa pomena. Frekvenčna sia, udi isa izvedena z diskrenimi elemeni (upori, kondenzaorji, uljave) spadajo v skupino linearnih in časovno nespremenljivih sisemov.

33 Analogen prenos 4 Poglavje obravnava prenos signalne oblike v osnovnem pasu in višjih frekvenčnih legah. Predsavljeni so različni modulacijski posopki: ampliudna, kvadraurna, enobočna, frekvenčna in fazna modulacija, usrezni demodulacijski posopki in frekvenčno mešanje signalov. Pri prenosu analognih signalov gre za prenos njihove oblike oziroma njihovega časovnega poeka. Idealno bi bila oblika sprejeega signala popolnoma enaka obliki oddanega signala, lahko pa je signal nekoliko zakasnjen in oslabljen. Signal se pri prenosu preko neidealne prenosne poi spremeni. Govorimo o popačenju signala. Če e spremembe opazujemo v časovnem prosoru, govorimo o časovni disperziji. Če opazujemo v frekvenčnem prosoru, vidimo, da se lahko spremeni ampliudni speker signala (ampliudno popačenje) in fazni speker signala (fazno popačenje). Pri prenosu signala preko linearnega sisema nasopajo samo linearna popačenja. Pri linearnem popačenju v izhodnem signalu nasopajo samo frekvence, ki so prisone v vhodnem signalu. Če je sisem nelinearen se v izhodnem signalu pojavijo udi nove frekvence, o je frekvence, ki niso bile prisone v vhodnem signalu. 4.1 Prenos v osnovnem pasu O prenosu v osnovnem pasu govorimo, kadar prenašamo signal neposredno preko prenosnega medija v nespremenjeni obliki. Tak način prenosa, čeprav vedno redkeje, se uporablja predvsem za prenos govornega signala preko kovinskega vodnika. Speker govornega signala pri elefonski kvaliei zavzema frekvenčni pas med 3 Hz in 3.4 Hz. Pri eh frekvencah je ampliudna karakerisika kovinskega vodnika dokaj ravna. Problem se lahko pojavi pri daljših vodnikih, kjer posane slabljenje pri višjih frekvencah občunejše in pride do ampliudnih popačenj. Govorni signal pa ni občuljiv na fazna popačenja, saj človeško uho ne zaznava faze signala. Ker se je analogni prenos govornega signala že skoraj popolnoma opusil, problemaiki povezani z njim ne bomo posvečali pozornosi. 4.2 Prenos v višjih frekvenčnih legah Večinoma analognih signalov ne prenašamo v osnovnem pasu, emveč jih preslikamo v drugo frekvenčno področje. Na a način lahko bisveno bolje izkoriščamo prenosne poi, saj lahko na isi 33

34 34 Analogen prenos prenosni poi usvarimo več frekvenčno ločenih prenosnih kanalov po kaerih lahko prenašamo med seboj neodvisne signale. Preslikavo signala v višje frekvenčno področje dosežemo z modulacijskimi posopki in frekvenčnim mešanjem. Načelna shema prenosa v višjih frekvenčnih legah je prikazana na sliki 4.1. x( ) ^x ( ) modulaor demodulaor y ( ) y^ vm vm ( ) mešalnik y() mešalnik ^y() oddajnik prenosni medij sprejemnik Slika 4.1 Prenos v višji frekvenčni legi. Z modulaorjem preslikamo signal na vmesno frekvenco nao pa z mešalnikom še na frekvenčni pas za prenos. Pri sprejemu sprejei signal najprej preslikamo nazaj na vmesno frekvenco in nao z demodulaorjem nazaj v osnovni pas. Idealno bi bila na koncu signala x() in ˆx() enaka. 4.3 Frekvenčno mešanje Z mešalnikom na levi srani slike 4.1 preslikamo signal y vm () v signal y() ako, da se njegov speker premakne iz enega frekvenčnega območja v drugo frekvenčno območje. Signal y vm () mora bii ozkopasoven, o pomeni, da je njegov frekvenčni pas omejen na relaivno ozko frekvenčno področje okrog vmesne frekvence f vm. Z mešanjem ga preslikamo v relaivno ozko frekvenčno področje okrog nosilne frekvence f, ko je o prikazano na sliki 4.2 To imenujemo udi mešanje navzgor. Z mešalnikom na desni srani slike signal ŷ() preslikamo iz frekvenčnega področja mešanje navzgor fvm mešanje navzdol f f Slika 4.2 Frekvenčno mešanje navzgor. Z mešanjem presavimo speker signala k višjim frekvencam (mešanje navzgor) ali k nižjim frekvencam (mešanje navzdol). okrog frekvence f nazaj v signal ŷ vm () v frekvenčnem področju okrog frekvence f vm.

35 4.3 Frekvenčno mešanje Mešanje navzgor Mešanje navzgor izvedemo ako, da signal na vmesni frekvenci y vm () množimo s kosinusom razlike med nosilno frekvenco f in vmesno frekvenco f vm : y () = 2 y vm () cos (2π(f f vm )) (4.1) V skladu z lasnosjo Fourierovega ransforma podano z izrazom (2.62), je speker signala y enak: Y (f) = Y vm (f f + f vm ) + Y vm (f + f f vm ) (4.2) Prvi člen vsoe v zgornjem izrazu je speker pri poziivnih frekvencah, drugi del pa je njegova zrcalna slika pri negaivnih frekvencah, ko je o prikazano na sliki fvm fvm f - 2fvm f f Slika 4.3 Mešanje navzgor. Pri množenju s kosinusom frekvence f f vm, se speker okrog frekvence f vm preslika okrog frekvence f, speker okrog frekvence f vm pa okrog frekvence f 2f vm. Ta je odveč, zao porebujemo še pasovno prepusno sio, ki spušča skozi samo korisen del spekra okrog frekvence f. Pri množenju se speker pri poziivnih frekvencah se preslika okrog frekvence f, speker pri negaivnih frekvencah pa okrog frekvence f 2f vm. Slednji je neželen del spekra, zao za množilnikom porebujemo pasovno prepusno sio, ki prepusi želen del spekra, neželenega pa zaduši. Šele signal na izhodu sie je signal y(), ki je rezula mešanja. Načelna vezava mešalnika navzgor je prikazana na sliki 4.4. y () vm y' () pasovno prepusno sio f y () 2 cos(2 ( f - f ) ) vm Slika 4.4 Načelna vezava mešalnika navzgor. Množilniku sledi sio, ki zaduši neželene frekvenčne komponene Mešanje navzdol Pri mešanju navzdol presavimo signal iz frekvenčnega območja okrog frekvence f nazaj na območje okrog vmesne frekvenc f vm. Zao signal ŷ() možimo s kosinusom frekvence f f vm. Za speker signalov edaj velja: ŷ vm () = 2 ŷ() cos(2π(f f vm )) (4.3) Ŷ vm(f) = Ŷ (f + f f vm ) + Ŷ (f f + f vm ) (4.4)

36 36 Analogen prenos Tu je siuacija nekoliko drugačna ko pri mešanju navzgor. Poleg želenega signala so lahko v sprejeem signalu udi neželeni signali, ko na primer druge radijske ali elevizijske posaje, drugi uporabniki mobilnih komunikacij in podobno. Tudi i signali, se ako ko želen signal z množenjem preslikajo, ko je o prikazano na sliki 4.5 -f -f z -f vm fvm fz f f Slika 4.5 Mešanje navzdol. Poleg korisnega signala se preslikajo udi signali na drugih frekvencah. Poseben problem predsavlja zrcalna frekvenca f z, saj se speker okrog e frekvence preslika v iso frekvenčno področje ko speker okrog nosilne frekvence f Signali okrog f (sosedni kanali) se preslikajo okrog f z izven pasu želenega signala, zao jih lahko izločimo s pasovnim siom na vmesni frekvenci. Poseben problem pa predsavlja ako imenovana zrcalna frekvenca f z = f 2f vm, kaji signal s spekrom okrog e frekvence se preslika v iso frekvenčno področje ko želeni signal, zao ga na vmesni frekvenci ne moremo več izločii. Izločimo ga lahko samo s siom pred mešalnikom. Zao je pri mešanju navzdol pred mešanjem nujno vključii sio za izločanje zrcalne frekvence, ko je o prikazano na sliki 4.6 sprejei signal pasovno prepusno sio f ^y () ^y' () vm pasovno prepusno sio f vm ^y () vm 2 cos(2 ( f - f ) ) vm Slika 4.6 Načelna vezava mešalnika navzdol. S siom pred mešalnikom izločimo zrcalno frekvenco, s siom po mešalniku pa izločimo sosednje frekvence (sosedne kanale). Čeprav bi lahko z modulacijo presavili signal v želeno frekvenčno področje, uporabimo mešanje navzgor in navzdol zaradi lažje izvedbe modulacije in demodulacije. Modulacija in demodulacija v em primeru vedno poekaa na isi vmesni frekvenci, medem ko lahko nosilno frekvenco spreminjamo. Tako lahko za različne frekvenčne kanale uporabljamo isi modulaor in demodulaor. Tudi izločanje sosednih kanalov je preprosejše na nižji vmesni frekvenci, ki se ne spreminja. 4.4 Analogni modulacijski posopki Z modulacijskim posopkom preslikamo signal iz osnovnega pasu v neko drugo frekvenčno območje, največkra je o neka vmesna frekvenca, saj za preslikavo v končno frekvenčno po-

37 4.5 Ampliudna modulacija 37 dročje uporabimo mešanje. Z modulacijski posopkom moduliramo (spreminjamo nek parameer) harmonskega nosilca. Običajno privzamemo, da je o kosinusni signal v obliki: A cos(2π f d + φ) (4.5) V zgornji enačbi nasopajo rije parameri, ki jih lahko moduliramo, o so ampliuda A, renuna frekvenca f in fazni zamik φ. Kadar spreminjamo ampliudo, govorimo o ampliudni modulaciji, kadar pa spreminjamo frekvenco ali fazni zamik, pa govorimo o koni modulaciji, o je frekvenčni oziroma fazni modulaciji. Usrezen parameer spreminjamo z modulacijskim signalom x(), o je s signalom, ki ga želimo prenašai. V nadaljevanju bomo predposavili, da je srednja vrednos modulacijskega signala enaka nič: x() = (4.6) in da je normiran po ampliudi ako, da velja: max{ x() } = 1 (4.7) 4.5 Ampliudna modulacija Pri ampliudni modulaciji (AM) sa frekvenca in fazni zamik konsanna. Privzamemo f = f vm in φ =, z modulacijskim signalom pa spreminjamo ampliudo signala: A = A() = 2 (1 + m x()) (4.8) Ker je ampliuda signala vedno poziivna in želimo, da je po obliki enaka modulacijskemu signalu, smo modulacijski signal množili z modulacijskim indeksom m in mu prišeli 1. Modulacijski indeks je ševilo med in 1, oziroma med in 1%. Pri 1% modulaciji, se ampliuda moduliranega signala y() spreminja med 2 in, če pa je modulacijski indeks enak, signala ne moduliramo, saj osaja ampliuda nosilca konsanna in enaka 1. Moduliran signal lahko sedaj zapišemo v obliki: y() = 2 (1 + m x()) cos(2πf vm ) (4.9) Primer ampliudno moduliranega signala je prikazan na sliki 4.7. y () 1+ m x( ) -1- m x( ) Slika 4.7 Ampliudno moduliran signal. Modulacijski indeks je manjši od 1, saj ampliuda ni nikoli enaka nič.

38 38 Analogen prenos V skladu z lasnosjo Fourierovega ransforma (2.62) preslika ampliudna modulacija speker signala iz osnovnega pasu v pas okrog frekvence nosilca f vm. Ker se poleg poziivnih frekvenc preslikajo udi negaivne frekvence, se pasovna širina signala B med frekvenco in mejno frekvenco f m v osnovnem pasu pri modulaciji podvoji. B AM = 2B (4.1) Shemasko je o prikazano na sliki 4.8. ( f ) + mx( f ) Y( f ) = ( f - f ) vm + mx( f - f ) vm -f m f m fvm -f m fvm fvm+f m B BAM Slika 4.8 Speker ampliudne modulacije. Speker modulacijskega signala X(f) se preslika okrog frekvence nosilca. Dobimo levi in desni bočni pas moduliranega signala, zao je pasovna širina signala pri modulaciji podvojena. Enosmerna komponena, ki smo jo prišeli modulacijskemu signalu se preslika v nosilec. Ampliudna modulacija ima predvsem dve slabosi: Pasovna širna signala se pri modulaciji podvoji, zao rabimo za prenos dvakra olikšen frekvenčni pas ko pri prenosu v osnovnem pasu. Veliko moči pri prenosu se porabi za prenos nosilca, ki je prisoen v moduliranem signalu. Ker je nosilec periodičen signal ne prispeva k prenosu signalne oblike, ki je naključna. Trdimo lahko, da gre a moč v izgubo. Ampliudno moduliran signal lahko demoduliramo z deekorjem ovojnice. Prepros deekor ovojnice je prikazan na sliki 4.9. Nazobčanos signala na izhodu deekorja ovojnice povzroča v spekru deekiranega signala visoke frekvenčne komponene, ki jih preproso izločimo z nizkim siom. Če gre za govorni signal, ki ga poslušamo preko zvočnika, eh na zvočniku ni slišai. 4.6 Modulacija z zadušenim nosilcem Pri modulaciji z zadušenim nosilcem (SCAM Suppressed Carrier Ampliude Modulaion) modulacijskemu signalu ne dodajamo enosmerne komponene. Nosilni signal množimo neposredno z modulacijskim signalom: y() = 2 x() cos(2πf vm ) (4.11)

39 4.6 Modulacija z zadušenim nosilcem 39 u vh( ) C R u iz ( ) Slika 4.9 Deekor ovojnice. Kondenzaor C se polni preko diode na maksimalno vrednos signala, poem pa se prazni preko upornosi R. S em se izognemo izgubi moči zaradi nosilca v moduliranem signalu, vendar nam o onemogoča demodulacijo s pomočjo deekcije ovojnice. Ampliuda je namreč enaka absoluni vrednosi modulacijskega signala, ko je o razvidno na sliki 4.1. y () x( ) -x( ) fazni skok 18 o Slika 4.1 Moduliran signal z zadušenim nosilcem. Z deekcijo ovojnice bi dobili absoluno vrednos modulacijskega signala. Vendar nasopi v moduliranem signalu ob prehodu modulacijskega signala skozi nič fazni skok 18, ki ga izkorisimo pri sinhroni demodulaciji. Speker signala se pri SCAM preslika popolnoma enako ko pri AM (slika 4.8). Ker pa v modulacijskem signalu ni enosmerne komponene v moduliranem signalu nosilec ni več prisoen. Pasovna širina se še vedno podvoji: B SCAM = 2B (4.12) SCAM moduliran signal lahko demoduliramo s sinhronim demodulaorjem, ko je o prikazano na sliki 4.11 Pri sinhroni demodulaciji porebujemo nosilni signal, ki naanko usreza signalu, ki smo ga modulirali, ako po ampliudi ko po fazi. Da bi ga lahko pri sprejemu dobili, lahko v moduliran

40 4 Analogen prenos y () x' () nizko sio x () 2 cos(2 f ) vm Slika 4.11 Sinhroni demodulaor. Moduliran signal ponovno množimo z nosilcem. Pri em se speker preslika okrog frekvence nič in okrog dvojne frekvence. Dvojno frekvenco izločimo z nizkim siom. signal dodamo majhen nosilec, ki ga pri sprejemu izločimo s siom, ali pa lahko levo in desno od dodamo dva pilona nosilca iz kaerih je z mešanjem mogoče dobii nosilec. V obeh primerih pa je moč, ki jo za o porebujemo manjša ko pri ampliudni modulaciji. 4.7 Enobočna modulacija Ker sa levi in desni bočni pas pri AM in SCAM le zrcalni sliki (levi so preslikane negaivne, desni pa preslikane poziivne frekvence), zadošča, da prenašamo samo en bočni pas. Tako modulacijo zao imenujemo enobočna modulacija (SSB - Single Side Band). Pri enobočni modulaciji lahko prenašamo levi ali desni bok. Posopka modulacije in demodulacije sa popolnoma enaka pri SCAM, s o razliko, da pri SSB po množenju zadušimo en bok s usreznim siom. y () = 2x() cos(2πf vm ) (4.13) SSB modulacija je pravzaprav ekvivalenna mešanju. Edina razlika je v em, da je pri mešanju vhodni signal ozkopasoven signal na vmesni frekvenci. Zao sa pri mešanju levi ib desni bok razmaknjena in lahko en bok zadušimo z dokaj nezahevnim siom. Enobočnoa modulacija se uporablja predvsem pri prenosu govornega signala, ki zavzema frekvenčno področje med 3 Hz in 3.4 Hz. Pri množenju z nosilcem sa levi in desni bok ako razmaknjena za 6 Hz, ko je o prikazano na sliki ,4 -.3,3 3,4 f vm,6 f [khz] Slika 4.12 Enobočna modulacija govornega signala. Signal moramo modulirai na dokaj nizko vmesno frekvenco, da lahko poem z usreznim siom izločimo samo en bok. Vmesno frekvenco moramo izbrai dovolj nizko, da lahko izločimo en bočni pas, saj je na nizkih frekvencah frekvenčni razmik med bočnima pasovama relaivno precej večji ko na visokih frekvencah. Za prenos pri zelo visokih frekvencah je zao lahko porebno dvakrano mešanje. Pri SSB se pasovna širina signala ne poveča: B SSB = B (4.14)

41 4.8 Fazna modulacija 41 zao rabimo za prenos polovico manjšo pasovno širino ko pri AM oziroma pri SCAM. 4.8 Fazna modulacija Pri fazni modulaciji (PM Phase Modulaion) sa ampliuda in frekvenca konsanni (A = 1, f = f vm ), z modulacijskim signalom pa spreminjamo fazni zamik: φ = φ() = φ x() = 2π m x() (4.15) kjer je m modulacijski indeks fazne modulacije: m = φ 2π (4.16) ker je v zgornji enačbi signal x() normiran, spreminjamo fazo za ± φ oziroma za m period nosilca. Fazno moduliran signal lahko sedaj zapišemo v obliki: y() = cos(2π(f vm + m x())) (4.17) Fazno moduliran signal je prikazan na sliki 4.13 x( ) y () Slika 4.13 Fazno moduliran signal. Faza signala se spreminja s časom. Zaradi spreminjanja faze se spreminja udi renuna frekvenca. Kadar je naklon modulacijskega signala poziiven je frekvenca visoka, kadar pa je negaiven, je frekvenca nizka. Fazna modulacija je nelinearen posopek, zao spekra fazno moduliranega v splošnem ni mogoče določii analiično. Odvisen je ako od pasovne širine signala in modulacijskega indeksa. Pasovno širino fazno moduliranega signala lahko približno ocenimo po enačbi: B PM = 2B(m + 1) (4.18) Speker se z večanjem modulacijskega indeksa širi. Pri fazni modulaciji je modulacijski indeks običajno relaivno majhen (m < 1/2), zao speker fazno moduliranega signala ni bisveno širši od spekra ampliudno moduliranega signala. Pri izvedbi faznega modulaorja lahko upoševamo enakos: cos(2πf vm + φ x()) = cos( φ x()) cos(2πf vm ) sin( φ x()) sin(2πf vm ) (4.19) ko je o prikazano na sliki Demodulacijo fazno moduliranega signala lahko izvedemo s faznim deekorjem. Fazni deekor primerja modulirani signal in za 9 fazno zameknjen nosilec. Oba signala najprej vodimo

42 42 Analogen prenos cos(2 f ) vm cos x( ) y () sin -sin(2 f ) Slika 4.14 Fazni modulaor izveden s pomočjo ako imenovanega kvadraurnega modulaorja. Kosinus in sinus faze množimo z nosilcema, ki sa v kvadrauri, o je orogonalna. vm preko ničelnega komparaorja in ju nao množimo. Če sa nosilec in moduliran signal v fazi, poem sa pravokona signala na vhodu množilnika zamaknejna za 9. Srednja vrednos produka je edaj enaka nič. Ko modulacijskemu signalu spreminjamo fazo, se spreminja udi srednja vrednos signala na izhodu množilnika. Z nizkim siom izločimo visokofrekvenčne komponene, ako da osane le počasi se spreminjajoča srednja vrednos, ki je proporcionalna faznemu zamiku moduliranega signala. Fazni modulaor, modulacijski signal in signali na vhodih in izhodu množilnika so prikazani na slik 4.15 y() nièelni komparaor a( ) c( ) nizko sio ^ x() cos(2 f + /2) vm nièelni komparaor b( ) x() a( ) b( ) c( ) Slika 4.15 Fazni deekor. Za 9 fazno zamaknjen nosilec in fazno moduliran signal vodimo preko komparaorja na množilnik. Nizko sio izloči visokofrekvenčne komponene signala na izhodu množilnika, ako da osane samo nizkofrekvenčna komponena, ki je sorazmerna fazni razliki obeh signalov. S faznim deekorjem lahko deekiramo samo fazne razlike med 9 in 9. Pri demodulaciji s faznim deekorjem zao φ ne presegai presegai 9, oziroma mora bii modulacijski indeks manjši od ene čerine (m < 1/4). Fazno moduliran signal lahko demoduliramo udi s kvadraurnim demodulaorjem, o čemer

43 4.9 Frekvenčna modulacija 43 bo nekoliko več govora pri digialnih modulacijskih posopkih v naslednjem poglavju. 4.9 Frekvenčna modulacija Pri frekvenčni modulaciji (FM) sa ampliuda in fazni zamik konsanna (A = 1, φ = ), z modulacijskim signalom pa spreminjamo renuno frekvenco signala: f() = f vm + fx() = f vm + mbx() (4.2) kjer je m modulacijski indeks frekvenčne modulacije: m = f B Frekvenčno moduliran signal zapišemo v obliki: ( ( y() = cos 2π f vm + mb )) x() d (4.21) (4.22) Kljub emu, da pri fazni modulaciji spreminjamo fazni zamik, pri frekvenčni modulaciji pa renuno frekvenco signala, lahko opazimo, da sa si enačbi za fazno moduliran signal (4.17) in frekvenčno moduliran signal (4.22) zelo podobni. Razlika je predvsem v em, da v drugi nasopa modulacijski signal x() pod inegralom v prvi pa ne. Frekvenčna in fazna modulacija se v bisvu ne razlikujea. Frekvenčno moduliran signal lahko dobimo, če na fazni modulaor pripeljemo inegral modulacijskega signala. Podobno lahko dobimo fazno moduliran signal ako, da na vhod frekvenčnega modulaorja pripeljemo odvod modulacijskega signala. Primer frekvenčno moduliranega signala z isim modulacijskim signalom ko pri fazni modulaciji, je prikazana sliki 4.16 x( ) y () Slika 4.16 Frekvenčno moduliran signal. Pri visokih ampliudah modulacijskega signala je frekvenca moduliranega signala visoka, pri nizkih pa nizka. Podobno ko fazna modulacija je udi frekvenčna modulacija nelinearen proces, zao udi ne moremo analiično določii spekra moduliranega signala, na enak način pa lahko približno ocenimo pasovno širino moduliranega signala: B FM = 2( f + B) = 2B(m + 1) (4.23)

44 44 Analogen prenos Za razliko od fazne modulacije pa je pri frekvenčni modulaciji modulacijski indeks lahko zelo velik (m 1), zao je lahko udi speker bisveno širši ko pri ampliudni modulaciji. Pri velikem modulacijskem indeksu se renuna frekvenca spreminja relaivno počasi, zao lahko ocenimo udi obliko spekra frekvenčno moduliranega signala z velikim modulacijskim indeksom. Pri frekvenčni modulaciji namreč določena ampliuda (renuna vrednos) modulacijskega signala usreza določeni frekvenci v moduliranem signalu. V spekru moduliranega signala bodo imele orej višjo ampliudo frekvenčne komponene, ki usrezajo pogosejšim ampliudam modulacijskega signala. Ampliudni speker frekvenčno moduliranega signala bo zao po obliki približno enak ampliudni porazdelivi modulacijskega signala. Ampliudna porazdeliev signala namreč pove, kako pogoso nasopajo posamezne ampliude v signalu Demodulacija FM s fazno ujeo zanko Demodulacijo frekvenčno moduliranega signala lahko izvedem s fazno ujeo zanko (PLL Phase Locked Loop). Fazno ujeo zanko izvedemo z napeosno krmiljenim oscilaorjem (VCO) v povrani vezavi, ko je o prkazano na sliki y() ( ) nizko sio ^ x() ^ y() VCO Slika 4.17 Fazno ujea zanka je VCO vezan v povrano vezavo. S faznim deekorjem Φ primerjamo fazo frekvenčno moduliranega signala in signala ŷ() na izhodu VCO. S signalom napake, o je razlike med fazama signalov, ǫ() preko nizkega sia krmilimo VCO ako, da faza ŷ() sledi fazi vhodnega signala y(). Pravimo da sa signala fazno zaklenjena. Ko sa signal fazno zaklenjena imaa udi iso renuno frekvenco. Ker je renuna frekvenca ŷ() enaka renuni frekvenci y(), mora bii udi signal ˆx()s kaerim krmilimo VCO enak signalu x(), s kaerim smo krmilili VCO pri modulaciji. Fazni deekor primerja fazi vhodnega frekvenčno moduliranega signala y() in signala na izhodu VCO ŷ(). Razlika v fazi vori signal napake ǫ(), s kaerim krmilimo VCO ako, da zmanjšujemo signal napake. Ko sa fazi obeh signalov enaki, pravimo, da sa signala fazno zaklenjena. Fazno zaklenjena signala imaa enako renuno frekvenco. Ker ima signal ŷ() na izhodu VCO enako renuno frekvenco, ko frekvenčno moduliran signal y(), mora bii signal na vhodu VCO ˆx() enak signalu x() s kaerim smo krmilili VCO pri modulaciji. Pri fazno ujei zanki sa pomembna predvsem dva paramera, o sa območje lovljenja in območje zaklepanja. Območje lovljenja je območje frekvenc vhodnega signala v kaerem se fazno ujea zanka lahko ujame. To območje je odvisno od nizkega sia, ki je vključeno v zanko. Frekvenca signala napake je namreč enaka razliki frekvenc vhodnega signala in signala na izhodu VCO. Če je a frekvenca nad mejno frekvenco nizkega sia (če je razlika frekvenc prevelika), sio zaduši signal napake s

45 4.9 Frekvenčna modulacija 45 kaerim krmilimo VCO, zao ne pride do faznega zaklepanja. Če želimo široko območje lovljenja mora bii orej mejna frekvenca nizkega sia visoka. Po drugi srani pa visoka mejna frekvenca sia omogoča hire spremembe krmilnega signala VCO, kar povzroča hire spremembe faze ali ako imenovano resenje faze. Načrovanje nizkega sia v fazno ujei zanki zao predsavlja kompromis med širino območja lovljenja in resenjem faze. Območje zaklepanja je območje frekvenc vhodnega signala, v kaerem lahko fazno ujea zanka obdrži signala zaklenjena ko sa že zaklenjena. To območje je odvisno predvsem od frekvenčnega območja VCO. Fazno ujea zanka je lahko zaradi povrane vezave nesabilna. Nesabilna je kadar je povrana povezava poziivna (razlika v fazi povzroči še večjo razliko v fazi) in ne negaivna (razlika v fazi povzroči zmanjšanje razlike), ko bi morala bii. Tudi na sabilnos fazno ujee zanke dosežemo z usreznim načrovanjem nizkega sia Demodulacija s FM s sukanjem faze in faznim deekorjem Za demodulacijo FM signala najpogoseje uporabljamo demodulaor, ki emelji na frekvenčno odvisnem sukanju faze moduliranega signala in faznem deekorju, ko je o prikazano na sliki y() ^ x() ( f ) 9 f vm f -9 Slika 4.18 Demodulaor sukanjem faze in faznim deekorjem. Fazo vhodnega signala najprej zasučemo z nihajnim krogom, ki ima v območju okrog cenralne frekvence dokaj linearno fazno karakerisiko. S faznim deekorjem nao primerjamo fazo originalnega in fazno zasukanega signala. Ker je fazni zasuk odvisen od renune frekvence frekvenčno moduliranega signala, je signal na izhodu enak modulacijskemu signalu. Moduliranemu signalu najprej zasučemo fazo sorazmerno s frekvenco in nao primerjamo fazi moduliranega signala in signala z zasukano fazo. Razlika v fazah je enaka renuni frekvenci signala. Za sukanje faze lahko uporabimo kar nihajni krog, ki ima okrog cenralne frekvence dokaj linearno karakerisiko. Frekvenčna modulacija je bisveno manj občuljiva na šum ko ampliudna modulacija, zao se frekvenčna modulacija uporablja, kadar želimo imei kvalieen prenos, npr. pri prenosu radijskih programov. FM radijski programi oddajajo na frekvenčnem področju med 9 Mhz in 11 Mhz, vmesna frekvenca je 1,7 Mhz, posamezni kanali zavzemajo pasovno širino 75 khz in

46 46 Analogen prenos so med seboj razmaknjeni za 1 khz. Čeprav imaa frekvenčna in fazna modulacija širši speker ko ampliudna modulacija, pa je njuna prednos poleg večje odpornosi proi šumu udi v em, da ampliuda signala ne nosi informacije. Zao lahko na oddajniku uporabimo nelinearne ojačevalnike, ki imajo bisveno boljši izkorisek ko linearni.

47 Digialni signali 5 V poglavju so na krako predsavljeni digialni signali oziroma časovni nizi ševil. Predsavljeno je vzorčenje signalov in podan je eorem o vzorčenju. Predsavljeni so posopki za spekralno analizo digialnih signalov. Digialen (ševilski) signal je niz ševilk, ki si sledijo v časovnem zaporedju. Digialne signale označujemo ko funkcije indeksa, ko na primer x[n], y[n]. Indeks n je celo ševilo, ki pove meso določenega ševila v nizu. Ker gre za časovno zaporedje, predsavlja indeks n časovni indeks. Oglae oklepaje uporabljamo, da ločimo digialne signale od analognih signalov, kjer smo uporabljali okrogle oklepaje. Digialen signal lahko predsavlja določene podake, ko so o na primer eksovne daoeke, lahko pa so o vzorci analognega signala. 5.1 Vzorčenje signalov Digialen signal x[n] lahko dobimo z vzorčenjem analognega signala x(). Najpogoseje vzorčimo v enakomernih časovnih inervalih T vz oziroma s konsanno vzorčno frekvenco f vz, kjer velja: f vz = 1 T vz (5.1) Pri enakomernem vzorčenju je digialni signal x[n] enak vrednosim analognega signala x() ob vzorčnih renukih: x[n] = x(n T vz ) (5.2) Vzorčimo lahko različne analogne signale, ko sa o na primer govorni in avdio signal. Vzorčimo jih zao, da jih lahko shranjujemo ali prenašamo digialno. Na zgoščenkah je avdio signal zapisan v digialni obliki. V sodobni elefoniji govorni signal prenašamo digialno. V obeh primerih želimo na koncu iz vzorcev signala rekonsruirai originalni signal, da bi ga lahko predvajali preko zvočnika ali slušalk. V splošnem iz vzorcev signala ne moremo enoumno rekonsruirai originalnega signala, saj vedno obsaja neskončna množica signalov, ki ima ob vzorčnih renukih ise vrednosi. Originalni signal lahko zelo dobro rekonsruiramo iz njegovih vzorcev, če je le frekvenca vzorčenja dovolj visoka glede na hiros s kaero se spreminja signal. Pri visoki vzorčni frekvenci, lahko dobimo dober približek originalnega signala že s preproso linearno inerpolacijo (povezavo po dveh sosednjih vzorcev), ko je o prikazano na sliki

48 48 Digialni signali x( ) x( ) Slika 5.1 Pri prenizki vzorčni frekvenci se signal, ki ga dobimo z linearno inerpolacijo močno razlikuje od originalnega, če pa je vzorčna frekvenca dovolj visoka, dobimo z linearno inerpolacijo dober približek originalnega signala Teorem o vzorčenju Linearna inerpolacija ni najboljši način za rekonsrukcijo signala. Pri linearni inerpolaciji mora bii namreč vzorčna frekvenca relaivno visoka, da bi dobili dober približek originalnega signala. To pomeni, da bi za shranjevanje signala v digialni obliki porebovali veliko pomnilniškega prosora oziroma veliko prenosno hiros za njegov prenos. Poleg ega da linearna inerpolacija samo približek signala in ne omogoča popolne rekonsrukcije. Veliko boljši rezula lahko dobimo s ako imenovano nizkopasovno inerpolacijo. Videli smo, da je porebna hiros vzorčenja odvisna od hirosi spreminjanja signala. Hiros spreminjanja signala lahko omejimo ako, da omejimo njegov speker. Signal se namreč ne more spreminjai hireje ko se spreminja njegova najvišja frekvenčna komponena. Naj bo speker X(f) signala x() frekvenčno omejen z mejno frekvenco f m, kar pomeni da ne vsebuje frekvenčnih komponen nad o frekvenco. Vzorčenje predsavimo ko množenje z vzorčevalno funkcijo v δ (), ki je niz enoinih impulzov, razmaknjenih za T vz : v δ () = n= Z enoinimi impulzi vzorčen signal x δ () je poem enak: kjer so z x[n] označeni vzorci signala x(). δ( nt vz ) (5.3) x δ () = x() v δ () (5.4) Vzorčevalna funkcija je periodičen signal z osnovno frekvenco f vz. V skladu z lasnosjo Fourierovega ransforma (2.6), je njen speker enak: V δ (f) = 1 T vz k= δ(f kf vz ) (5.5) Naredimo Fourierov ransform na obeh sraneh enačbe (5.4) in upoševamo, da je Fourierov ransform produka enak konvoluciji: X δ (f) = X(f) V δ (f) = 1 T vz k= X(f) δ(f kf vz ) (5.6)

49 5.1 Vzorčenje signalov 49 Ker je konvolucija spekra signala s frekvenčno prmaknjenim enoinim impulzom enaka premaknjenemu spekru signala, lahko zapišemo: X δ (f) = 1 T vz k= X(f + kf vz ) (5.7) Pri vzorčenju z enoinimi impulzi se speker originalnega signala preslika okrog mnogokranikov vzorčne frekvence kf vz, ko je o prikazana na sliki 5.2 Vprašanje, ali možno iz vzorcev signala x( ) X( f ) f m f x ( ) X ( f ) fm f 2f 3f vz vz vz f Slika 5.2 Pri vzorčenju z enoinimi impulzi se speker originalnega signala preslika okrog mnogokranikov vzorčne frekvence. Da se preslikani spekri med seboj ne prekrivajo, mora bii vzorčna frekvenca vsaj dvakra višja od mejne frekvence signala. rekonsruirai originalni signal, je ekvivalenno vprašanju, ali je možno iz spekra vzorčenega signala X δ (f) dobii nazaj speker originalnega signala X(f). Če je frekvenca vzorčenja f vz vsaj dvakra višja od mejne frekvence signala f m, poem se ponovljeni spekri med seboj ne prekrivajo in je prva ponoviev spekra okrog frekvence nič enaka spekru originalnega signala. Da bi iz dela vzorčenega signala dobili nazaj originalni signal moramo iz spekra vzorčenega signala odsranii vse ponovive spekra, kar lahko naredimo z idealnim nizkim siom s pasovno širino B = f vz /2. Originalen signal lahko orej rekonsruiramo ako, da najprej iz vzorcev x[n] vorimo vzorčeni signal x δ () in ga nao vodimo na nizko sio, ko je o prikazano na sliki 5.3 x[ n] generaor ( ) x ( ) nizko sio B= f /2 vz ^ x( ) Slika 5.3 Rekonsrukcija signala iz vzorcev. Z generaorjem enoinih impulzov najprej vorimo vzorčeni signal, ki ga vodimo na nizko sio z meno frekvenco f vz/2. Če pri vzorčenju ni prišlo do prekrivanja spekrov (f vz 2f m) poem je rekonsruiran signal ˆx() na izhodu sia enak originalnemu signalu x(). Teorem o vzorčenju. Signal je mogoče popolnoma rekonsruirai iz njegovih vzorcev, če je vzorčna frekvenca vsaj dvakra višja od najvišje frekvence v signalu. Rekonsruiramo ga ako,

50 5 Digialni signali da iz z enoinimi impulzi vzorčenega signala z nizkim siom izločimo vse okrog mnogokranikov vzorčne frekvence preslikane spekre. V praksi mora bii vzorčna frekvenca višja od dvojne mejne frekvence, ker bi drugače porebovali idealno sio, ki pa ni izvedljivo. Govorni signal z mejno frekvenco 3,4 khz na primer vzorčimo z vzorčno frekvenco 8 khz, avdio signal z mejno frekvenco 2 khz pa vzorčimo s vzorčno frekvenco 44,1 khz. 5.2 Speker digialnih signalov V prejšnjem razdelku smo speker z enoinimi impulzi vzorčenega signala izrazili s spekrom originalnega signala. Lahko pa ga izrazimo neposredno z vzorci signala. Vzorčen signal x δ () lahko zapišemo v obliki: x δ () = n= x[n]δ( nt vz ) (5.8) Če naredimo Fourierov ransform na obeh sraneh zgornjega izraza, dobimo: X δ (f) = n= x[n]e 2πnfTvz (5.9) Speker digialnega signala x[n] definiramo ako, da je enak spekru usreznega z enoinimi impulzi vzorčenega signala, le da nameso frekvence f pri diskrenih signalih uporabljamo normirano frekvenco F: Speker X(F) časovno diskrenega signala x[n] je poem enak: F = f f vz = f T vz (5.1) X(F) = X δ (F f vz ) = n= x[n]e 2πnF (5.11) Zgornji izraz imenujemo časovno diskreni Fourierov ransform (TDFT Time Discree Fourier Transform). Speker digialnega signala je periodičen po frekvenci F. Kadar so o vzorci analognega signala predsavlja frekvenca F = 1 vzorčno frekvenco. Ker morajo bii signali pred vzorčenjem frekvenčno omejeni na f m F vz /2, je speker zanimiv le v frekvenčnem področju F, 5. Močnosni speker časovno diskrenega signala je definiran ko TDFT avokorelacijske funkcije R xx [m]: in R xx [m] = lim N 1 2N N n= N x[n]x[n + m] (5.12) S x (F) = TDFT(R xx [m]) (5.13)

51 5.2 Speker digialnih signalov 51 Kadar je časovno diskreni signal periodičen s periodo N, nasopajo v spekru samo mnogokraniki osnovne frekvence F = 1/N. Speker periodičnega časovno diskrenega signala je poem enak: X k = X(kF ) = 1 N N 1 n= Zgornji izraz imenujemo diskreni Fourierov ransform DFT. x[n]e 2πnk/N (5.14) Čeprav je DFT Fourierov ransform periodičnih signalov, se pogoso uporablja udi pri obravnavi aperiodičnih in naključnih signalov. Pri njegovi uporabi se je porebno zavedai, da z njegovo uporabo implicino predposavljamo, da je signal periodičen, orej da se zunaj N vzorcev preko kaerih smo računali DFT, ponavlja. Uporabnos DFT je velika udi zao, ker obsajajo algorimi, ki jih poznamo pod skupnim imenom hiri Fourierov ransform (FFT Fas Fourier Transform), in zmanjšajo ševilo porebnih računskih operacij za izračun DFT. Dolžina N mora bii pri eh algorimih običajno celoševilčna poenca ševila 2: N = 2 M (5.15) Fakor zmanjšanja porebnih računskih operacij je približno enak N/M. Zmanjšanje je zelo občuno pri velikih N oziroma velikih M. Pri M = 1 je fakor približno 12 pri M = 15 pa že več ko dva isoč.

52 Digialna sia 6 V poglavju so na krako digialna sia. Več pozornosi je posvečeno siom s končnim odzivom, ker so a primernejša za adapivne siseme. Predsavljena so adapivna sia in osnovni algorimi za njihovo adapacijo. Predsaviev je omejena samo na lasnosi, ki so porebne za razumevanje v naslednjih poglavjih. Digialna sia so linearni časovno nespremenljivi digialni sisemi. Digialno sio preslika digialen signal x[n] na svojem vhodu v digialen signal y[n] na svojem izhodu, ko je o prikazano na sliki 6.1. Podobno ko pri analognih siih je digialno sio popolnoma določeno s sisemsko x[ n] h[ n] y[ n] Slika 6.1 Digialno sio preslika digialni signal x[n] na svojem vhodu v digialni signal svojem na izhodu. Digialno sio je popolnoma določeno s sisemsko funkcijo h[n]. funkcijo h[n], ki je definirana ko odziv sia na digialen enoin impulz δ[n]: { 1 ; n = δ[n] = (6.1) ; n Izhodni signal signal je poem enak konvoluciji vhodnega signala in sisemske funkcije: y[n] = h[n] x[n] = h[m]x[n m] (6.2) m= Sisemska funkcija kavzalnega sia je enaka za vse n <. Za kavzalna sia je spodnja meja vsoe v zgornjem izrazu enaka m =. Prevajalna funkcija digialnega sia je definirana ko TDFT sisemske funkcije: H(F) = h[n] e j2πfn (6.3) n= Omenii velja, da je prevajalna funkcija H(F) periodična po frekvenci F s periodo enako 1. Zanimivo frekvenčno področje digialnega sisema je na inervalu F, 5, poem pa se karakerisika zrcali in ponavlja, ko je o prikazano na sliki Izvedba digialnih si Ker delajo digialna sia z diigialnimi signali, o je s ševili, predsavlja njihova izvedba izvedbo določenih računskih operacij. Računske operacije lahko izvedemo neposredno z usrezno srojno opremo ali pa z usrezno programsko opremo na računalniku. 52

53 6.1 Izvedba digialnih si 53 X( F) zanimivo frekvenèno podroèje -,5,5 1 1,5 F Slika 6.2 Prevajalna funkcija časovno diskrenega sisema je periodična po frekvenci F s periodo enako 1, ki usreza vzorčni frekvenci signala. Zanimivo frekvenčno področje diskrenih si je na inervalu F, 5, poem pa se začne karakerisika zrcalii in ponavljai. Če je x[n] vhodni signal digialnega sia, računamo izhodni signal po enačbi: N M y[n] = b m x[n m] a m y[n m] (6.4) m= m=1 kjer so b m in a m ueži sia. Z uežmi b m uežimo renuni in preekle vzorce vhodnega signala x[n m] v prvi vsoi z uežmi a m pa preekle vzorce izhodnega signala y[n m] v drugi vsoi. Ker renuni izhodni vzorec ni odvisen samo od vhodnih vzorcev emveč udi od preeklih izhodnih vzorcev, je enačba rekurzivna. Rekurzivni del enačbe predsavlja povrano vezavo, zaradi kaere lahko posane sio nesabilno. Sia, pri kaerih so vsi koeficieni a m enaki, in je renuni izhodni vzorec y[n] odvisen samo od renunega in preeklih vhodnih vzorcev, imenujemo nerekurzivna sia. Taka sia imajo končno dolžino odziva na enoin impulz in jih zao imenujemo udi sia s končnim odzivom (FIR Finie Impulse Response). FIR sia so vedno sabilna, ne glede na izbiro koeficienov b m. Zaradi e lasnosi so zelo uporabna v adapivnih sisemih, ki jih bomo obravnavali v nadaljevanju. Ker se bomo v nadaljevanju srečali samo s FIR sii, si a oglejmo nekoliko naančneje. FIR sio opisuje nerekurzivna enačba: N y[n] = b m x[n m] (6.5) m= Ševilo N, ki pove koliko preeklih vhodnih vzorcev vpliva na renuni izhodni vzorec, imenujemo red sia. Ševilo koeficienov b m je enako N + 1, kar imenujemo udi dolžina FIR sia. Srojna izvedba FIR sia z množilniki, seševalniki in zakasnilnimi D celicami je prikazana na slik 6.3. Vhodni signal x[n] se začasno shrani v D celici in se ob vsakem digialnem aku pomakne v naslednjo celico, ako, da so v zakasnilnih celicah shranjeni preekli vzorci signala. Tako verigo zakasnilnih celic imenujemo udi pomikalni regiser. Z množilniki množimo vzorca shranjene v D celicah z uežmi b m in jih nao s seševalniki sešejemo, da dobimo izhodni signal. Če pripeljemo na vhod akega sia enoin impulz δ[n], dobimo na izhodu sisemsko funkcijo h[n]. Enoin impulz je ima vrednos 1 pri n =, vsi osali vzorci pa so enaki. V času n = dobimo orej na izhodu samo vrednos b, poem se ob digialne aku vrednos 1 pomakne v

54 54 Digialna sia digialni ak x[ n] x[ n-1] x[ n-2] x[ n-3] x[ n-4] D D D D b X b X b X b X b X y[ n] Slika 6.3 Srojna izvedba fir sia 4. reda s seševalniki množilniki in zakasnilnimi D celicami. naslednjo celico, in na izhodu dobimo vrednos b 1. Proces se nadaljuje, dokler 1 ne pride do zadnje D celice in dobimo na izhodu vrednos b N (v primeru na sliki b 4 ), pomikalni regiser pa se ob naslednjem aku izprazni. Vidimo, da je sisemska funkcija FIR sia neposredno določena s koeficieni b m : h[n] = b n ; n N (6.6) Ker poznamo sisemsko funkcijo FIR sia, lahko izračunamo z TDFT izračunamo udi njegovo prevajalno funkcijo H(F): N N H(F) = h[n] e j2πfn = b n e j2πfn (6.7) n= n= Enačbo FIR sia (6.5) lahko zaradi boljše preglednosi zapišemo udi v vekorski obliki. Definiramo solpični vekor ueži: b = b b 1 b 2... b N (6.8) in solpični vekor zadnjega in N preeklih vzorcev signala, ki so shranjeni v pomikalnem regisru: x[n] = x[n] x[n 1] x[n 2]... x[n N] (6.9) Izhodni signal FIR lahko poem izrazim ko skalarni produk obeh vekorjev: y[n] = b T x[n] (6.1)

55 6.2 Adapivna sia Adapivna sia Adapivna sia so sia, ki so sposobna med delovanjem prilagajai svojo karakerisiko okolju v kaerem delujeo, oziroma signalu na svojem vhodu. Karakerisika digialnega sia je odvisna od ueži sia, ako da lahko s spreminjanjem ueži, spreminjamo njegovo karakerisiko. Pri spremembah ueži lahko posane sio nesabilno, zao so za adapivne siseme primernejša FIR sia, ki ne morejo posai nesabilna, ne glede na izbiro ueži. Načelna vezava adapivnega sia je prikazana na sliki 6.4. Na vhod sia pripeljemo signal x[ n] FIR sio b y[ n] adapivni algoriem [ n] d [ n] Slika 6.4 Adapivno sio. Ueži sia b prilagajamo ako, da je signal na izhodu sia y[n] čim bolj podoben referenčnemu signalu d[n]. Ueži prilagajamo z usreznim algorimom, ki minimizira srednjo kvadraično vrednos napake ǫ[n]. x[n]. Želimo, da bi bil izhodni signal y[n] čim bolj podben referenčnemu signalu d[n]. Njuno razliko imenujemo zao signal napake ǫ[n]. Velja: ǫ[n] = d[n] y[n] = d[n] b T x[n] (6.11) Ko krierijsko funkcijo podobnosi ξ vzamemo moč signala napake, ki je enaka srednji kvadraični vrednosi napake: ξ = ǫ 2 [n] = d 2 [n] 2b T p + b T R b (6.12) kjer je p korelacijski vekor vhodnega in referenčnega signala: p = x[n] d[n] (6.13) in R avokorelacijska marika vhodnega signala: R = x[n] x T [n] (6.14) Srednjo kvadraično vrednos napake ξ vzamemo za krierijsko funkcijo, ki jo želimo minimizirai. Ker je ξ kvadrana funkcija ueži b, kar pomeni, ima en sam globalni minimum. Gradien ξ je vekor, ki kaže v smeri maksimalnega naklona krierijske funkcije, in ga dobimo

56 56 Digialna sia z odvajanjem ξ po vseh uežeh: ξ b 1 ξ ξ = ξ b 2 b = ξ b 3... ξ b N Krierijska funkcija bo minimalna, kadar je gradien enak : (6.15) ξ = 2(R b p) = (6.16) Rešiev e enačbe na b da opimalen vekor ueži: b op = R 1 p (6.17) Če bi poznali avokorelacijsko mariko R in korelacijski vekor p, bi lahko izračunali opimalno vrednos vekorja ueži b. Adapivno sio porebujemo akra, kadar ju ne poznamo vnaprej oziroma se spreminjaa med delovanjem Gradienni algoriem Ko smo že omenili ima krierijska funkcija ξ en sam globalni minimum, ko je o za primer FIR sia z dvemi uežmi prikazano na sliki 6.5. b 1 b 1op bop b op b Slika 6.5 Primer krierijske funkcije FIR sia z dvemi uežmi b in b 1. Krierijska funkcija ima globalni minimum pri opimalni vrednosi vekorja b. Pri gradiennem algorimu si izberemo neko začeno uež b in jo nao ieraivno popravljamo ako, da se spuščamo po največji srmini krierijske funkcije ako ko bi ekla voda. Ker

57 6.2 Adapivna sia 57 gradien kaže v smeri največje srmine navzgor, moramo ueži popravljai v nasproni smeri gradiena, po ieraivni enačbi: b m+1 = b m µ ξ (6.18) Na sliki 6.6 je prikazan primer krierijske funkcije za FIR sio z dvemi uežmi v pogledu z vrha navzdol, ako da so vidne izohipse, o je čre ki povezujejo očke z enako vrednosjo krierijske funkcije. Opimalni vrednosi vekorja ueži b op se približujemo po krivulji, ki je ves čas b 1 b b op Slika 6.6 Primer krierijske funkcije FIR sia z dvemi uežmi b in b 1 pogled z vrha navzdol. Izohipse so pri dveh uežeh elipse. Gradien v vsaki očki je pravokoen na izohipso, ki gre skozi o očko. Od začene vrednosi vekorja ueži b popravljamo ueži v nasproni smeri gradiena po krivulji, ki je pravokona na izohipse, proi opimalni vrednosi b op. b pravokona na izohipse. Adapacijski fakor µ določa velikos adapacijskega koraka in s em hiros adapacije. Prevelik adapacijski fakor lahko povzroči, da se z vsakim korakom še bolj oddaljimo od opimalne vrednosi. Posopek posane divergenen. Da bi lahko popravljali ueži v nasproni smeri gradiena ξ, moramo gradien najprej določii. V skladu z izrazom (6.15) moramo pridobii parcialne odvode krierijske funkcije ξ po vseh uežeh. Odvod za k-o uež lahko določimo ako, da uež najprej povečamo za nek b, izmerimo ξ(b k + b), nao jo zmanjšamo za b in izmerimo ξ(b k b). Odvod je poem enak: ξ = ξ(b k + b) ξ(b k b) b k 2 b (6.19) Tak posopek imenujemo perurbacija ueži. Problem je v em, da je krierijska funkcija ξ srednja kvadraična vrednos vrednos napake. Da bi lahko izračunali srednjo vrednos moramo napako ǫ[n] pomerii za veliko, recimo M vzorcev. Ker rabimo v skladu z zgornjo enačbo za izračun gradiena za vsako uež po dve vrednosi ξ in je vseh ueži N, moramo za izračun gradiena napako pomerii za 2N M vzorcev signala, šele poem lahko popravimo ueži. To lahko zelo upočasni posopek adapacije.

58 58 Digialna sia Navedimo sedaj nekaj osnovnih lasnosi gradienega posopka s perurbacijo ueži, ne da bi jih naančno maemaično uemeljevali: S ševilom vzorcev M, ki jih upoševamo pri izračunu ξ povečujemo naančnos izračuna gradienna. Večji M pomeni naančnejši izračun gradiena vendar udi daljši čas računanja in s em počasnejšo adapacijo. Naančno izračunan gradien je zelo pomemben v sacionarnem sanju, ko smo blizu opimalne vrednosi ueži. Ko je vrednos ueži opimalna, bi moral bii gradien enak nič, in ueži se ne bi več spreminjale. Če izračun gradiena ni naančen, dobimo neko vrednos različno od niš, in ueži popravljamo sran od opimalne vrednosi. To poveča šum v signalu. Zaradi perurbacije ueži spreminjamo ueži za ± b udi, ko smo v opimalni vrednosi. Tudi o povečuje šum v signalu. Temu se lahko izognemo ako, da gradien računamo v paralelnem sisemu, kjer spreminjamo ueži, v delujočem sisemu pa jih ne perurbiramo emveč jih samo nasavljamo, ko je gradien izračunan. Z adapacijskim fakorjem µ konroliramo hiros adapacije. Kadar je gradien izračunan nenaančno, moramo imei manjši µ, da v sacionarnem sanju ne bi bili napačni popravki ueži preveliki. Če zmanjšamo M zmanjšamo čas za izračun gradiena, s čimer bi lahko pospešili adapacijo, vendar računamo gradien manj naančno, zao moramo zmanjšai µ, s čimer pa zope upočasnimo adapacijo, ako da osane hiros adapacije prakično nespremenjena. Pri gradiennem posopku ueži ne popravljamo v smeri opimalne vrednosi, emveč se ej vrednosi približujemo po neki krivulji, ki je lahko pri velikem ševilu ueži precej daljša od direkne poi. Na podoben način ko udi reka ne eče proi morju po najkrajši poi. To lahko precej podaljša čas adapacije. Obsajajo veliko ševilo drugih algorimov, ki so računsko zahevnejši, a omogočajo hirejšo adapacijo. Newonov algoriem, na primer, popravlja ueži očno v smeri opimalne vrednosi in omogoča bisveno hirejšo adapacijo, vendar je računsko precej zahevnejši, kar pomeni, da porebujemo bisveno zmoglivejši procesor, za njegovo izvedbo. Opis Newonoonovega algorima presega okvire e knjige LMS algoriem LMS (Leas Mean Square najmanjša kvadraična srednja vrednos) algoriem je izpeljan iz gradiennega algorima. Njegova največja prednos je v njegovi računski nezahevnosi. V prejšnjem razdelku smo ugoovili, da ne spremenimo bisveno šuma v sacionarnem sanju nii hirosi adapacije, če zmanjšamo, če zmanjšamo čas povprečenja M pri izračunu gradiena in hkrai zmanjšamo adapacijski fakor µ. V skrajnem primeru lahko zmanjšamo M na vrednos

59 6.2 Adapivna sia 59 1, kar pomeni, da povprečimo napako samo čez en vzorec, oziroma, da nameso povprečne vrednosi vzamemo kar renuno vrednos kvadraa napake: ξ n = ǫ 2 [n] (6.2) Gradien lahko ako izračunamo iz renune vrednosi napake v vsakem vzorčnem renuku: ξ n = ǫ2 [n] b = 2ǫ[n] ǫ[n] b Če v zgornjo enačbo vsavimo ǫ[n] iz izraza (6.11) in odvajamo dobimo: (6.21) ξ n = 2ǫ[n]x[n] (6.22) Ker računamo gradien po zgornji enačbi v vsakem časovnem renuku, lahko udi v vsakem časovnem renuku popravljamo ueži v nasproni smeri gradiena: b n+1 = b n µ ξ n = b n + 2ǫ[n]x[n] (6.23) Zgornji izraz predsavlja LMS algoriem za popravljanje ueži. Ker smo nameso srednje kvadraične vrednosi napake vzeli kar kvadra renune napake, je lahko izračun gradiena zelo napačen, zao moramo močno zmanjšai adapacijski fakor µ. Ker so napake v izračunu gradiena naključne in vedno v različno smer, se med seboj izničijo in se ueži še vedno spreminjajo proi opimalni vrednosi v okolici krivulje, ki je v smeri pravega gradiena, ko je o prikazano na sliki 6.7. b 1 b b op gradienni aloriem LMS aloriem b Slika 6.7 Pri LMS algorimu se ueži spreminjajo proi opimalni vrednosi po približni krivulji gradiennega posopka. Napake se zaradi različnih smeri napak izničijo. V bisvu se nameso povprečenja srednje vrednosi u povprečijo gradieni. Ker popravljamo ueži v vsakem časovnem renuku, se izkaže, da je pri isem šumu v sacionarnem sanju, kljub porebnemu zmanjšanju adapacijskega fakorja µ, adapacija pri LMS algorimu hirejša ko adapacija pri gradiennem posopku s perurbacijo ueži. Tudi LMS algoriem se da na račun povečane računske zahevnosi predelai ako, da so popravki direkno v smeri opimuma in ne v smeri gradiena.

60 Digialen prenos v osnovnem pasu 7 Poglavje obravnava prenos niza simbolov oziroma niza ševil v osnovnem pasu. Opisan je prenos z impulzi v osnovnem pasu. Definirana je inersimbolna inerferenca in podan Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference. Določena je minimalna pasovna širina, ki je porebna za prenos simbolov v osnovnem pasu brez inersimbolne inerference. Opisani so udi različni posopki za izločanje inersimbolne inerference. Za razliko od analognega prenosa pri digialnem prenosu ne gre za prenos signalne oblike, emveč za gre za prenos niza simbolov. Niz poljubnih simbolov (na primer črk v eksu) pred prenosom prevorimo v ni ševil oziroma v digialen signal. Digialno lahko prenašamo podake med računalniki (podakovni prenos) ali pa vzorce analognih signalov, ko je o primer pri digialnem prenosu govornega signala v digialni elefoniji. Označimo z x[n] digialen signal. Ševila v nizu imajo omejen nabor vrednosi omejeno abecedo. Zavzamejo lahko le vrednosi iz abecede, ko na primer: binaren niz x[n] {, 1} bipolaren niz x[n] { 1, 1} širinivojski niz x[n] { 3, 1, 1, 3} Ker imajo omejeno abecedo imenujemo a ševila udi ševilski simboli. Splošen model nekodiranega digialnega prenosa je prikazan na sliki 7.1. Ta predsavlja del osnovnega komunikacijskega modela s slike 1.1, o je del od izhoda kanalskega kodirnika do vhoda kanalskega dekodirnika. digialni kanal y[ n] signalni generaor diskreni kanal y( ) prenosni y( ) kanal ^ vzorèevalnik ^ v y [ n] odloèiveno vezje ^ y[ n] Slika 7.1 Splošen model nekodiranega digialnega prenosa. Prenosni kanal skupaj s signalnim generaorjem in vzorčevalnikom vorijo ako imenovani diskreni (nezvezen po času) kanal, ki preslika niz simbolov na svojem vhodu v niz simbolov na izhodu. Simboli na izhodu so realna ševila.. Če dodamo diskrenemu kanalu še odločiveno vezje dobimo digialen kanal, ki preslika niz simbolov y[n] v niz sprejeih simbolov ŷ[n], ki predsavljajo odločive o oddanih simbolih, in želimo, da so enaki oddanim simbolom y[n]. 6

61 61 Niz simbolov y[n] s signalnim generaorjem prevorimo v signal y(), ki je primeren za izbran prenosni kanal. V prenosnem kanalu se signal y() popači, poleg ega pa se mu doda šum oziroma monje, ako, da na izhodu signala dobimo približek ega signala ŷ(). Signal y() nao vzorčimo in dobimo niz vzorcev ŷ v [n]. Signalni generaor, prenosni kanal in vzorčevalnik vorijo diskreen kanal. Zaradi popačenja in šuma v prenosnem kanalu so vzorci na izhodu diskrenega kanala realna ševila, ki ne pripadajo več naboru vrednosi oddanih simbolov. Odločiveno vezje se na osnovi vrednosi vzorcev, ki jih dobi iz diskrenega kanala, odloča, kaeri simboli iz abecede so bili oddani. Na osnovi eh odločiev vori sprejei niz ŷ[n]. Diskreen kanal skupaj z odločivenim vezjem vori digialen kanal, ki preslika niz simbolov y[n] na svojem vhodu, v niz simbolov ŷ[n] na svojem izhodu. Medem, ko pri analognem prenosu želimo, da je signal ŷ() čim bolj podoben signalu y(), pa želimo pri digialnem prenosu, da je niz ŷ[n] čim bolj podoben nizu y[n]. Pri prenosu brez napak sa a dva niza enaka. Kvalieo digialnega kanala ocenjujemo s pogososjo simbolnih napak (SER Symbol Error Rae): SER = N n N (7.1) kjer je N n ševilo napačno sprejeih simbolov in N ševilo vseh oddanih simbolov. Kadar gre za binarni ali bipolarni niz je SER enaka pogososi binih napak (BER Bi Error Rae). Pri večnivojskem prenosu se i dve vrednosi lahko razlikujea, o čemer bo več govora kasneje. Digialen prenos v osnovnem pasu večinoma izvajamo s prenosom impulzov v osnovnem pasu. Signalni generaor na sliki 7.1 je v em primeru generaor impulzov. Simboli niza y[n] prihajajo na signalni generaor s simbolno hirosjo f s : f s = 1 T s (7.2) kjer je s T s označen čas med dvema simboloma. Signalni generaor na svojem izhodu vori impulze z ampliudami enakimi vrednosim pripadajočih simbolov y[n] na svojem vhodu. Oblika impulzov je lahko poljubna, zelo pogoso pa se uporabljajo pravokoni impulzi dolžine T s. Signal y() lahko zapišemo ko vsoo časovno zamaknjenih impulzov. Če z g() označimo obliko impulza, lahko zapišemo: y() = N 1 n= y[n] g( n T s ) (7.3) Primeri signala na izhodu signalnega generaorja pri različnih oblikah impulzov so prikazani na sliki 7.2. S krožci so označene vrednosi, ki bi jih dobili v vzorčnih renukih, če na prenosnem kanalu ne bi prišlo do popačenja signala in če ne bi bilo šuma. Zadnji impulz sega čez več simbolnih inervalov T s, zao se prikrie vrednosi zamaknjenih impulzov seševajo. Ker gre impulz ob mnogokranikih T s skozi nič, o ne spremeni vrednosi signala y() ob renukih vzorčenja, ako da imajo vzorci še vedno pravilne vrednosi.

62 62 Digialen prenos v osnovnem pasu g( ) 3 y( ) T s 2T s 3T s 4T s y[ n] Slika 7.2 Primeri impulzov pri prenosu v osnovnem pasu. Impulzi so v splošnem lahko udi daljši od simbolnega časa T s. V em primeru pride do prekrivanja impulzov, vendar so lahko vrednosi v renukih, ko bomo vzorčili signal še vedno pravilne. 7.1 Inersimbolna inerferenca Če bi imeli na voljo idealen prenosni kanal, bi bil signal ŷ() enak oddanemu signalu y(), njegovi vzorci ŷ v [n] pa enaki oddanim simbolom y[n]. Zaradi šuma in popačenja v prenosnem kanalu, pa se vzorci signala razlikujejo od oddanih simbolov. Predposavimo, da je prenosni kanal linearen in časovno nespremenljiv. Prenosni kanal lahko poem opišemo s sisemsko funkcijo h k (). Pri prehodu skozi linearen sisem se impulzi ki jih oddajamo oslabijo razegnejo po času, saj velja: ĝ() = g() h k () (7.4) ko je o za primer pravokonega impulza prikazano na sliki 7.3. Ker pripeljemo v skladu z izrazom (7.3) na vhod prenosnega kanala vsoo impulzov, dobimo na izhodu prenosnega kanala vsoo njihovih odzivov. Pri sprejemu impulze vzorčimo pri njihovi maksimalni vrednosi. Kadar se impulz razeza v čas ko vzorčimo naslednji impulz, se a vrednos prišeje naslednjemu vzorcu in spremeni njegovo vrednos. Ta pojav imenujemo inersimbolna inerferenca.

63 7.2 Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference 63 g( ) hk ( ) ^ g( ) inersimbolna inerferenca T 2T 3T T 2T 3T T 2T 3T s s s s s s s s s Slika 7.3 Popačenje impulza pri prenosu. Impulz se razegne po časovni osi. Pri sprejemu bi ak impulz vzorčili pri njegovi maksimalni vrednosi. Problem je, da se razeza udi v čas, ko bi vzorčili naslednji impulz in pokvari njegov vzorec. Pride do medsebojnega vpliva med oddanimi simboli ali inersimbolne inerference 7.2 Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference Videli smo, da je inersimbolna inerferenca odvisna ako od oblike impulza ko udi od karakerisike prenosnega kanala. Da bi poenosavili analizo, bomo signalni generaor razdelili na dva dela, na generaor ki generira enoine impulze δ( nt s ) in sio za oblikovanje impulzov, ki enoine impulze preoblikuje v impulze želene oblike g( nt s ). Spomnimo se sedaj, da je sisemska funkcija linearnega časovno nespremenljivega sisema definirana ko odziv sisema na enoin impulz. Ker so na vhodu sia za oblikovanje enoini impulzi, na njegovem izhodu pa pričakujemo impulze oblike g(), mora bii sisemska funkcija sia za oblikovanje kar enaka obliki impulza g(). To, da smo razdelili signalni generaor na dva dela, nikakor ne pomeni, da bo njegova izvedba v praksi akšna. Za generacijo pravokonih impulzov seveda ni porebno generirai enoinih impulzov in jih poem preoblikovai emveč jih mnogo laže generiramo neposredno. Celo več, v praksi sploh ni mogoče generirai enoinih impulzov saj imajo neskončno ampliudo in so neskončno ozki. Je pa ak prisop primeren za analizo, saj imamo sedaj na vhodu vedno enake impulze, karakerisiko sia za oblikovanje pa lahko pridružimo karakerisiki prenosnega kanala. Prenosni kanal poleg prenosne poi s sisemsko funkcijo h pp () vsebuje še oddajnik in sprejemnik. Oddajnik in sprejemnik imaa udi svojo frekvenčno karakerisiko, ki ravno ako vpliva na popačenje impulzov in s em na inersimbolno inerferenco. Karakerisiki oddajnika in sprejemnika pri prenosu v osnovnem pasu lahko ponazorimo z oddajnim siom in sprejemnim siom s sisemskima funkcijama h odd () in h spr (). Z upoševanjem vseh zgornjih predposavk, dobimo model sisema za prenos impulzov v osnovnem pasu, ki je prikazan na sliki 7.4 Ker so sio za oblikovanje, oddajno sio, prenosna po in sprejemno sio vezani v serijo, jih lahko nadomesimo z ekvivalennim prenosnim kanalom s sisemsko funkcijo: h epk () = g() h odd () h pp () h spr () (7.5) Na vhodu ekvivalennega prenosnega kanal imamo sedaj niz enoinih impulzov ueženih z simboli y[n]. Vsak od eh impulzov povzroči na izhodu ekvivalennega prenosnega kanala odziv, ki je

64 64 Digialen prenos v osnovnem pasu y[ n] generaor ( ) y ( ) ekvivalenni prenosni kanal g( ) h ( ) h ( ) odd pp h spr ( ) ^ y( ) vzorèevalnik ^ v y [ n] y ( ) inersimbolna inerferenca ^ y( ) h epk ( ) Ts 2Ts + T + 2T s s Slika 7.4 Prenos impulzov v osnovnem pasu. Sio za oblikovanje, oddajno sio, prenosna po in sprejemno sio so vezani v serijo in skupaj vorijo ekvivalenni prenosni kanal s sisemsko funkcijo h epk(). enak sisemski funkciji ega kanala. Vsi i odzivi so med seboj sešei. Signal vzorčimo s simbolno hirosjo f s in z zakasnivijo, ki usreza zakasnivi na kanalu. Če se odziv enega simbola razeza čez vzorčni renuek drugega simbola, povzroča inersimbolno inerferenco. Na sliki 7.4 so rdeče označeni vzorci signala, ki jih dobimo iz vzorčevalnika, rumeno pa vzorci, ki bi jih dobili, če ne bi bilo inersimbolne inerference. Na sliki 7.4 lahko vidimo, da do inersimbolne inerference ne bi prišlo, če bi imel odziv na enoin impulz vrednos v vseh vzorčnih renukih razen v renuku, ko vzorčimo želen simbol. Do podobne ugoovive smo prišli že pri zadnjem impulzu na sliki 7.2, ki se razeza preko več simbolnih inervalov Nyquisov krierij v časovnem prosoru Na osnovi zgornjega razmišljanja lahko zapišemo pogoj za prenos brez inersimbolne inerference ko: { A ; n = h epk ( + nt s ) = (7.6) ; n Ta pogoj imenujemo Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference v časovnem prosoru. Vrednos A je v realnih sisemih običajno manjša od 1 in predsavlja slabljenje sisema, ki pa ni problemaično, saj lahko vključimo usrezen ojačevalnik, oziroma lahko sprejee vzorce množimo z inverzno vrednosjo A. Brez izgube splošnosi lahko posavimo zakasniev =, saj za pravilno nasaviev časa vzorčenja v praksi skrbi sinhronizacijsko vezje. Ob ej predposavki se Nyquisov krierij poenosavi v: { A ; n = h epk (nt s ) = (7.7) ; n kar bomo zaradi preprosejših izrazov uporabljali v nadaljevanju.

65 7.2 Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference 65 Na sliki 7.5 je prikazan primer odziva na ri zaporedne enake enoine impulze, kadra sisemska funkcije ekvivalennega prenosnega kanala izpolnjuje Nyquisov krierij in ne pride do inersimbolne inerference, ko na sliki 7.4. y ( ) ^ y( ) hepk( ) T 2T s s + T + 2T s s Slika 7.5 Primer odziva na ri enake zaporedne simbole, kadar sisemska funkcija izpolnjuje Nyquisov krierij in ni inersimbolne inerference Nyquisov krierij v frekvenčnem prosoru Nyquisov krierij v časovnem prosoru posavlja pogoj za sisemsko funkcijo ekvivalennega prenosnega kanala h epk (). Posavi se vprašanje, kakšen je pogoj, ki ga mora izpolnjevai prevajalna funkcija ekvivalennega prenosnega kanala H epk (f), da ne bi prišlo do inersimbolne inerference. Pogoj (7.7) predpisuje vrednosi h epk () zgolj ob vzorčnih renukih nt s, izven eh renukov pa je lahko njen poek poljuben. Zao ne moremo naredii Fourierovega ransforma ega izraza. Da bi lahko prišli do pogoja v frekvenčnem prosoru, moramo najprej pogoj v časovnem prosoru zapisai nekoliko drugače. Sisemsko funkcijo h epk () vzorčimo vzorčevalno funkcijo v δ (), ko smo jo definirali v (5.3), pri čemer posavimo da je frekvenca vzorčenja f vz enaka simbolni hirosi f s oziroma, da velja T vz = T s. Če sisemska funkcija h epk () izpolnjuje Nyquisov krierij podan z enačbo (7.7), poem je njena vrednos povsod, kjer nasopajo enoini impulzi vzorčevalne funkcije, enaka nič, razen v času =, kjer je ampliuda enaka A, ko je o prikazano na sliki 7.6. Nyquisov krierij h epk( ) x ( ) =. A ( ) - 3Ts - 2Ts -Ts Ts 2Ts 3Ts Slika 7.6 Pri množenju sisemske funkcije, ki izpolnjuje Nyquisov krierij, z nizom enoinih impulzov, dobimo ko rezula enoin impulz v času = v časovnem prosoru lahko sedaj zapišemo ko: h epk () v δ () = A δ() (7.8)

66 66 Digialen prenos v osnovnem pasu Zgornji pogoj je popolnoma ekvivalenen pogoju (eq.nyquisovkrierijcasbrezzakasnive). Zapisan v ej obliki omogoča, da naredimo Fourierov ransform na obeh sraneh enačbe. Na enak način, ko smo v enačbi (5.6) ugoovili, da se pri vzorčenju signala, njegov speker preslika okrog vseh mnogokranikov vzorčne frekvence, lahko ugoovimo, da se pri vzorčenju sisemske funkcije, prevajalna funkcija preslika okrog mnogokranikov vzorčne frekvence. Iz lasnosi Fourierovega ransforma udi vemo, da je Fourierov ransform enoinega impulza enak 1. Če naredimo sedaj Fourierov ransform izraza (7.8), dobimo po preuredivi: H epk (f + kf s ) = AT s (7.9) k= Zgornji izraz imenujemo Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference v frekvenčnem prosoru. Na levi srani enačbe nasopa vsoa za mnogokranike f s zamaknjenih prevajalnih funkcij ekvivalennega prenosnega kanala. Ker se premaknjene funkcije med seboj prekrivajo imenujemo o udi prekria prevajalna funkcija. Na desni srani izraza pa je konsanna vrednos AT s. Če o izrazimo z besedami, se Nyquisov krierij za prenos brez inersimbolne inerference v frekvenčnem prosoru glasi: Da pri digialnem prenosu ne bi prišlo do inersimbolne inerference mora bii prekria prevajalna funkcija ekvivalennega prenosnega kanala konsanna. V ekvivalenni prenosni kanal so vključeni vsi elemeni, ki oblikujejo signal, o so sio za oblikovanje impulzov, oddajno sio, prenosna po in sprejemno sio. Na sliki 7.7 sa prikazana dva primera prevajalnih funkcij. Prevajalna funkcija na levi ne izpolnjuje Nyquisovega krierija, saj prekria prevajalna funkcija (rdeča) ni konsanna, medem ko prevajalna funkcija na desni izpolnjuje Nyquisov krierij. To pomeni, da pride v prvem primeru pri prenosu do inersimbolne inerference, medem, ko je prenos v drugem primeru brez inersimbolne inerference. Na levi srani slike lahko vidimo udi, da je prekria prevajalna funkcija periodična s periodo f s, obenem pa je soda funkcija frekvence. Če je konsanna na inervalu med in f s je konsanna za vse frekvence, orej zadošča, da konsannos preverimo samo na em inervalu, ko je o prikazano na sliki 7.8. Ker se prevajalna funkcija navidezno prepogiba v inerval med in f s jo imenujemo udi prepognjena prevajalna funkcija. 7.3 Najožji prenosni kanal Nyquisov krierij pravi, da je prenos brez inersimbolne inerference akra in le akra, kadar je prekria oziroma prepognjena prevajalna funkcija ekvivalennega prenosnega kanala konsanna. Ta pogoj izpolnjuje veliko ševilo prevajalnih funkcij. Posavi pa se vprašanje kaera od eh ima najmanjšo pasovno širino, o pomeni, da rabimo za prenos najožji frekvenčni pas.

67 7.4 Očesni diagram 67 Hepk ( f ) Hepk ( f ) f - 2 f s - f s fs 2 f s - 2 f s - f s fs 2 f s f Hepk ( f + k fs ) H ( f + k f ) epk s - 2 f s - f s f s 2 f s f - 2 f s - f s f s 2 f s f Slika 7.7 Primera prevajalnih funkcij ekvivalennega prenosnega kanala. Funkcija na levi ne izpolnjuje Nyquisovega krierija, saj prekria prevajalna funkcija ni konsanna. Prevajalna funkcija na desni izpolnjuje Nyquisov krierij in omogoča prenos brez inersimbolne inerference. Iz slike 7.8 ni ežko ugoovii, da bo prepognjena prevajalna funkcija zagoovo konsanna, kadar je prevajalna funkcija ekvivalennega prenosnega kanala konsanna na inervalu med f s /2 in f s /2, zunaj njega pa enaka, kar je karakerisika idealnega nizkega sia. V em primeru namreč sploh ne pride do pregibanja, oziroma se premaknjene prevajalne funkcije ne prekrivajo. Pasovna širina akega sia je enaka: B = f s (7.1) 2 Preproso ugoovimo udi, da je o najmanjša pasovna širina, ki še dopušča prenos brez inersimbolne inerference. Očino je namreč, da prekria prevajalna funkcija ne more bii konsanna, če pasovno širino zmanjšamo pod f s /2. Iz zgornje enačbe poem udi preproso ugoovimo, da je maksimalna simbolna hiros preko kanala s pasovno širino B enaka dvakrani pasovni širini: f s max = 2B (7.11) To pomeni, da je mogoče brez inersimbolne inerference prenašai največ 2 simbola na sekundo na vsak Hz pasovne širine, ki jo imamo na volj za prenos. Teoreično lahko prenašamo brez inersimbolne inerference 2 simbola na sekundo preko vsakega Hz pasovne širine, ki jo imamo na volj za prenos. Vendar je o zgolj eoreična zgornja meja, ki se ji lahko približamo, ne moremo pa je doseči, saj bi za o porebovali idealno nizko sio, ki pa v praksi ni izvedljivo. Pasovna širina, ki jo porebujemo za prenos je zao vedno nekoliko večja od eoreične meje. 7.4 Očesni diagram Ali prihaja pri prenosu do inersimbolne inerference lahko ugoovimo s pomočjo osciloscopa. Preko prenosnega kanala prenašamo naključen niz simbolov y[n]. To so lahko binarni ali pa udi

68 68 Digialen prenos v osnovnem pasu Hepk ( f ) - s 2 f s f s - f fs 2 Slika 7.8 S prekrivanjem premaknjenih prevajalnih funkcij se prevajalna funkcija navidezno prepogiba okrog frekvence f s/2. To imenujemo udi prepognjena prevajalna funkcija. Ker je prekria prevajalna funkcija periodična, zadošča, da preverimo konsannos prepognjene prevajalne funkcije. 2 f s f večnivojski simboli. Na vhod navpične odklonske osi ali udi y osi osciloscopa vodimo signal ŷ() iz izhoda prenosnega prenosnega kanala. Časovno skalo nasavimo ako, da raja en prele žarka med 1,5 in 2 simbolna inervala T s. Časovno bazo prožimo z zunajim signalom, ki je sinhroniziran z digialnim akom oziroma simbolno frekvenco f s. Ker je vhodni niz y[n] naključen, so prehodi med posameznimi nivoji udi naključni. Ker ima zaslon oscilocsopa persisenco lahko naenkra opazujemo večje ševilo preleov žarka, ki usrezajo različnim zaporedjem oddanih simbolov. V a namen lahko uporabimo udi spominski osciloscop, ki na zaslonu ohranja vse preekle prelee, dokler zaslona ne osvežimo. Nekaj primerov zaslonskih slik, ki jih lahko dobimo, je prikazanih na sliki 7.9. Kadar ni inersimbolne inerference nasopajo ob renukih, ko bi signal vzorčili, samo očno določene vrednosi, ki usrezajo vrednosim oddanih simbolov. Na zaslonu dobimo sliko, ki spominja na oko, zao imenujemo o udi očesni diagram. Na sliki 7.9 a je prikazan očesni diagram pi prenosu binarnega niza brez inersimbolne inerference, na sliki 7.9 b pa očesni diagram pri prenosu širinivojskih simbolov brez inersimbolne inerference. V obeh primerih pravimo da so očesa popolnoma odpra. Če pride pri prenosu do inersimbolne inerference se začne oko zapirai. Navpična razdalja med posameznimi nivoji se zmanjšuje. Na sliki 7.9 c je prikazan očesni diagram pri relaivno majhni inersimbolni inerferenci, ki sama po sebi še ne povzroča napak, saj je oko še vedno delno odpro. Je pa ak prenos bolj občuljiv na šum, saj šum dodano zapira oko. Če je inersimbolna inerferenca še večja, se oko popolnoma zapre (slika 7.9 d) in ni več mogoče ločii posameznih nivojev. V em primeru prihaja pri prenosu nujno do napak. Poleg višine odprine očesa je pomembna udi njena širina. Od širine je namreč odvisno, kako naančno je porebno določii vzorčne renuke. Če je oko ožje morajo bii vzorčni renuki bolj naančni, prenos pa je bolj občuljiv na resenje faza, do kaerega pride pri sinhronizaciji digialnega aka.

69 7.5 Opimalno sprejemo sio 69 a b c d Slika 7.9 Primeri očesnih diagramov. a binarno oko brez inersimbolne inerference, b širinivojsko oko brez inersimbolne inerference, c zaradi inersimbolne inerference delno zapro binarno oko, oba nivoja se še ločia in so odločive lahko pravilne, d popolnoma zapro binarno oko, pri odločivah pride nujno do napak 7.5 Opimalno sprejemo sio Doslej smo obravnavali zgolj brezšumen prenos, v praksi pa se korisnemu signalu pri prenosu doda šum, o je naključen signal, ki nasane ko posledica ermičnega gibanja elekronov (ermični šum) ali pa so o signali drugih, moilnih izvorov. Šum se običajno priševa korisemu signalu in govorimo o adiivnem šumu. Šum lahko povzroča napake pri prenosu. Koliko bo eh napak je odvisno od razmerja med močjo signala in močjo šuma (SNR Signal o Noise Raio), in vrse šuma, o čemer bo več govora v naslednjem poglavju. Zaenkra naj zadošča, da želimo imei pri sprejemu čim večje razmerje med signalom in šumom. V modelu za prenos impulzov v osnovnem pasu na sliki 7.4 nasopajo v ekvivalennem prenosnem kanalu ri sia. Z oblikovanjem impulzov in oddajnim siom vplivamo na speker oddajanega signala. Večinoma moramo poskrbei, da prenos poeka v predpisanem frekvenčnem področju in, da je goso speker izven ega področja pod določeno predpisano vrednosjo. Kadar imamo na voljo svojo zasebno prenosno po (najea linija), a vidik ni ako pomemben. Sprejemno sio pa lahko načrujemo ako, da prepušča čim več signala in čim manj šuma in na a način maksimiramo razmerje med signalom in šumom. Sprejemno sio, ki maksimira

70 7 Digialen prenos v osnovnem pasu razmerje med signalom in šumom imenujemo opimalno sprejemno sio. Šum, ki se priševa signalu na prenosnem kanalu ima običajno zelo širok in raven speker o je ako imenovan bel šum. Ker je šum neodvisen od signala je korelacija šuma in signala majhna. Prisonos nekega znanega signala v šumu zao najlaže ugoovimo s korelacijo. Z njo primerjamo šumen signal z znanim signalom. Če v šumu ni znanega signala je korelacija majhna, če pa je znan signal prisoen, je korelacija velika. Če ne vemo očno, v kaerem času nasopa signal, moramo delai korelacijsko funkcijo. Omenimo še, da je sprejem s korelacijo opimalen. Dokaz za o je nekoliko zahevnejši in ga bomo izpusili. Predposavimo sedaj, da smo oddali en sam simbol v oliki enoinega impulza. Zaradi preprosejših izrazov označimo sisemsko funkcijo ekvivalennega prenosnega kanala brez sprejemnega sia s h k (). Velja: h k () = g() h odd () h pp () (7.12) Ker je na vhodu ega kanala enoin impulz je signal na vhodu sprejemnega sia enak odzivu ega dela kanala na enoin impulz, o je njegovi sisemski funkciji h k (). Temu signalu pa bo priše še šum. Da bi najbolje deekirali prisonos signala, želimo na sprejemni srani naredii korelacijsko funkcijo s sprejeega signala s h k (). Spomnimo se sedaj, da je signal na izhodu sia (linearnega časovno nespremenjivega sisema) enak konvoluciji signala in sisemske funkcije sia. Spomnimo se udi, da je konvolucija enaka korelacijski funkciji s časovno obrnjenim signalom, oziroma obrano, korelacijo lahko izračunamo ko konvolucijo s časovno obrnjenim signalom: r xy () = x() y( ) (7.13) V našem primeru o pomeni, da moramo na sprejemu naredii konvolucijo s po času obrnjeno sisemsko funkcijo kanala, o je s h k ( ), oziroma, da mora bii sisemska funkcija opimalnega sprejemnega sia enaka po času obrnjeni sisemski funkciji kanala do ja: h spr op () = h k ( ) (7.14) Naredimo še Fourierov ransform zgornjega izraza in dobimo: H spr op (f) = Hk(f) (7.15) Prevajalna funkcija opimalnega sprejemnega sia je enaka konjugirano kompleksni prevajalni funkciji celonega kanala do sprejemnega sia. Rezula je morda na prvi pogled preseneljiv, saj pravi, da je ampliudna karakerisika sprejemnega sia kar enaka ampliudni karakerisiki kanala, oziroma, da signal še dodano oslabimo očno am, kjer je bil oslabljen že na kanalu. Vendar posane svar bolj razumljiva, če jo pogledamo z drugega zornega koa. Vzemimo, da je karakerisika kanala nizkopasovna, šum pa ko smo že omenili, je širokopasoven, ko je o prikazano na sliki 7.1. Vsako nizko sio, ki oslabi šum izven frekvenčnega pasu signala, izboljša razmerje med signalom in šumom. Opimalno sio pa je prilagojeno spekru signala. V področju, kjer je razmerje med signalom in šumom veliko, prepušča bolj, kjer je majhno pa bolj slabi. Na a način dosežemo še boljše razmerje med signalom in šumom na izhodu ko z neprilagojenim nizkim siom.

71 7.6 Izravnava karakerisike kanala 71 H( f ) 2 opimalno sio neprilagojeno nizko sio moè signala moè šuma f Slika 7.1 Že neprilagojeno nizko sio izboljša razmerje med signalom in šumom, saj zaduši šum pri frekvencah, kjer ni signala. Opimalno sio pa je prilagojeno kanalu in s em spekru sprejeega signala in zao daje še boljše razmerje med signalom in šumom. 7.6 Izravnava karakerisike kanala Ko smo obravnavali opimalno sprejemno sio, smo predposavili, da prenašamo en sam simbol. V resnici prenašamo niz simbolov in lahko pride do inersimbolne inerference. Da do nje ne bi prišlo, mora bii prekria prevajalna funkcija kanala konsanna, česar pa opimalno sprejemno sio ne zagoavlja. Zao je porebno dodai še eno sio, ki bo izravnalo prekrio prevajalno funkcijo kanala. Tako sio imenujemo udi izravnalnik (ang. equalizer). Prevajalna funkcija izravnalnika H eq (f) mor bii enaka inverzni prekrii prevajaln1 funkciji, da bi bil njun produk konsanen. Ker je prekria prevajalna funkcija po frekvenci periodična funkcija, mora bii udi prevajalna funkcija izravnalnika periodična po frekvenci, zao jo izvedemo z digialnim siom po vzorčenju signala. Prevajalna funkcija digialnega izravnalnika mora bii poem enaka: H eq (F) = AT s H epk (f s (F + k)) k= (7.16) Kjer smo upoševali da je F normirana frekvenca in velja f = f s F. Vključiev izravnalnika v sprejemnik je prikazana na sliki Čeprav je v vzorcih signala y v[n] še prisona inersimbolna y[ n] generaor ( ) y ( ) ^ y [ n] y( ) H ( f ) vzorèevalnik v epk Heq ( F ) ^ ^ e y [ n] Slika 7.11 Izravnalnik prekrie prevajalne funkcije ima periodično prevajalno funkcijo, zao ga vključimo ko digialno sio za vzorčevalnikom. inerferenca je v simbolih na izhodu izravnalnika y e [n] ni več, ker je izravnalnik izravnal prekrio prevajalno funkcijo kanala. Če bi v času načrovanja prenosnega sisema poznali prevajalno funkcijo kanala, bi lahko izračunali njegovo prevajalno funkcijo in načrovali digialno sio z usrezno prevajalno funkcijo.

72 72 Digialen prenos v osnovnem pasu Običajno pa ob času načrovanja ne poznamo karakerisike kanala, saj ne vemo očno na kakšen kanalu bo poekal prenos. Enak prenosni sisem lahko priključimo na kanale z zelo različnimi karakerisikami. Karakerisika kovinskega vodnika je na primer odvisna od njegove dolžine, premera vodnika, razdalje med vodniki, izolacije in podobno. Poleg ega se spreminja udi s emperauro, kar pomeni, da se lahko spreminja udi med samim delovanjem sisema. Da bi prišli do referenčnega signala moramo vključii v prenosni sisem še odločiveno vezje, ki smo ga omenili že v modelu digialnega prenosa, ki je prikazan na sliki Adapiven izravnalnik Ker običajno vnaprej ne poznamo karakerisike kanala, preko kaerega bomo prenašali, moramo izvesi izravnalnik adapivno. Izvedemo ga lahko z adapivnim FIR siom, ki smo ga obravnavali v razdelku 6.2. Pri adapivnem siu porebujemo referenčni signal d[n], da lahko poem z usreznim algorimom prilagajamo ueži ako, da je izhodni signal čim bolj podoben referenčnemu signalu oziroma da minimiziramo srednjo kvadraično vrednos napake. Pri izravnalniku na sliki 7.11 smo signal na izhodu izravnalnika označili z ŷ e [n]. Želimo, da je a signal enak signalu y[n], o je signalu ki ga prenašamo. Signal y[n] je orej referenčni signal, vendar ga pri sprejemu nimamo na voljo. Če bi ga imeli na voljo, poem ga pač ne bi bilo porebno prenašai. Da bi lahko pridobili referenčni signal, moramo v sisem vključii še odločiveno vezje, ki smo ga že omenili pri obravnavi modela digialnega prenosa, ki je prikazan na sliki 7.4. Odločiveno vezje se na osnovi signala na svoje vhodu odloča, kaeri simboli so bili oddani, ako, da je, če so e odločive pravilne, signal na njegovem izhodu ŷ[n] enak oddanemu signalu y[n] in lahko služi ko referenčni signal. Vključiev adapivnega izravnalnika na osnovi FIR sia na sprejemni sani je prikazana na sliki Prikazan je samo del sisem za vzorčevalnikom na sliki ^ v y [ n] izravnalnik b ^y n e [ ] odloèiveno vezje ^ y[ n] adapivni algoriem [ n] Slika 7.12 Adapiven izravnalnik na osnovi FIR sia. Ko referenčni signal služi signal ŷ[n] na izhodu odločivenega vezja, ki je približek pravemu referenčnemu signalu y[n], o je signalu, ki ga prenašamo. Če je več odločiev odločivenega vezja pravilnih ko napačnih, se ueži b FIR sia popravljajo v pravi smeri. Pri nekodiranem prenosu je odločiveno vezje prepros večnivojski komparaor, ki sprejei vzorec ŷ e [n] primerja z vrednosi, ki pripadajo abecedi prenašanih simbolov, in se odloči, da je spreje isi simbol iz abecede, ki je po vrednosi najbliže sprejeemu vzorcu. Pri dvonivojskem prenosu y[n] { 1, 1} se na primer odloči, da je sprejei simbol 1, kadar je vzorec večji od

73 7.8 Adapiven izločevalnik inersimbolne inerference 73 nič in -1, kadar je manjši od nič. Kadar imamo kodiran prenos, vsebuje odločiveno vezje udi dekodirnik. O kodiranju in dekodiranju bo več govora v naslednjih poglavjih. Če inersimbolna inerferenca in šum na začeku nisa prevelika, poem je večina odločiev pravilnih že na začeku, ako da se ueži FIR sia b popravljajo proi opimalni vrednosi. S em se zmanjšuje inersimbolna inerferenca, kar še izboljša naslednje odločive. Da bi izločil inersimbolno inerferenco, adapivni izravnalnik izravnava prekrio prevajalno funkcijo ekvivalennega prenosnega kanal. Ker smo v o funkcijo pred em že vključili opimalno sprejemno sio, ki maksimira razmerje med signalom in šumom SNR, izravnalnik o razmerje nekoliko pokvari. Adapivni algoriem prilagaja ueži sia ako, da je srednja kvadraična vrednos napake čim manjša. Napako povzročaa ako inersimbolna inerferenca ko udi šum. Sio se v sacionarnem sanju nasavi ako, da je njuna skupna moč najmanjša, kar je lahko celo nekoliko boljše ko samo izravnava prekrie prevajalne funkcije. 7.8 Adapiven izločevalnik inersimbolne inerference Pri sprejemu se lahko odločimo, da bomo, nameso, da bi izravnavali prekrio prevajalno funkcijo kanala, inersimbolno inerferenco raje odšeli od sprejeega signala. Ker pri em ne spreminjamo prevajalne funkcije, udi ne pokvarimo razmerja med signalom in šumom. Izločevalnik inersimbolne inerference sloni na predposavki, da se kanal spreminja relaivno počasi in, da zao iso zaporedje oddanih simbolov v nekem krajšem časovnem obdobju povzroči vedno iso inersimbolno inerferenco. Če orej poznamo simbole, ki so bili oddani pred renunim simbolom, lahko iz njih izračunamo inersimbolno inerferenco, ki so jo povzročili, in jo odšejemo od sprejeega signala, ko je o prikazano na sliki ^ yv [ n] ^y e[ n] odloèiveno vezje ^ y[ n] adapivni algoriem b izloèevalnik Slika 7.13 Adapiven izločevalnik inersimbolne inerference. Na vhod adapivnega sia vodimo odločive o preeklih sprejeih simbolih ŷ[n]. Če so e odločive pravilne, bomo pravilno izračunali inersimbolno inerferenco, ki jo povzročijo, in jo odšeli od sprejeega signala ŷ v[n] Na vhod adapivnega sia vodimo odločive o ŷ[n]. Ueži adapivnega sia prilagajamo na enak način ko pri izravnalniku, ako da zmanjšujemo razliko med sprejeim signalom ŷ v [n] in referenčnim signalom ŷ[n]. Ta razlika bo najmanjša, kadar od sprejeega signala odšejemo vso

74 74 Digialen prenos v osnovnem pasu inersimbolno inerferenco, ki jo povzročajo simboli na vhodu adapivnega sia. Ker odločive o sprejeem signalu vodimo nazaj na vhod, imenujemo izločevalnik inersimbolne inerference udi izravnalnik z odločivijo v povrani vezavi (DFE Decision Feedback Equalizer). Ker so odločive o sprejeem signalu udi na vhodu FIR sia, povzročijo napačne odločive bisveno večjo napako, ko pri izravnalniku, saj odšejemo napačno izračunano vrednos inersimbolne inerference in jo lahko na a način še povečamo, kar lahko povzroči nove napačne odločive. Ta pojav imenujemo širjenje napake. Da ne bi prišlo do širjenja napake, morajo bii pri izločevalniku inersimbolne inerference razmere na začeku bisveno boljše, ko je o porebno pri izravnalniku. Druga pomanjkljivos izločevalnika inersimbolne inerference je, da je z njim mogoče izločai samo inersimbolno inerferenco, ki so jo povzročili preekli simboli, o kaerih smo se že odločili (kavzalna inersimbolna inerferenca, ne more pa izločai inersimbolne inerference prihodnjih simbolov (nekavzalna inersimbolna inerferenca). Zaradi zakasnive na kanalu lahko prihodnji simboli ravno ako povzročajo inersimbolno inerferenco, ko je o prikazano na slik h epk ( ) nekavzalna inersimbolna inerferenca vzorec simbola kavzalna inersimolna inerferenca -2T - Ts + T + 2T + 3T + 4T + 5T s s s s s s h DFE [ n] 1 b 1 b 2 2 b 3 3 b 4 4 b 5 5 n Slika 7.14 Ker čas vzorčenja prilagodimo zakasnivi na prenosni poi ako, da vzorčimo pri maksimalni vrednosi odziva, lahko inersimbolno inerferenco povzročajo udi simboli, ki jih še nismo vzorčili. To imenujemo nekavzalna inersimbolna inerferenca. Da bi izločili kavzalno inersimbolno inerferenco, morajo bii sisemska funkcija FIR sia h DFE[n] enaka vzorcem kavzalne inersimbolne inerference. V sacionarnem sanju, ko je FIR sio prilagojeno, je sisemska njegova funkcija h DFE [n] enaka vzorcem kavzalne inersimbolne inerference. Ker so pri FIR siu ueži b n enake sisemski funkciji, pomeni, da se ueži nasavijo na vrednosi vzorcev kavzalne inersimbolne inerference, oziroma vrednosi h epk () ob kavzalnih vzorčnih renukih. Ker izločevalnik inersimbolne inerference ni sposoben izločai nekavzalne inersimbolne inerferenca se v praksi pogoso uporablja kombinacija izravnalnika in izločevalnika, ko je o prikazano na sliki 7.15.

75 7.9 Izravnalnik s prevzorčenjem 75 adapivni algoriem [ n] ^ yv [ n] b izravnalnik ^y n e [ ] odloèiveno vezje ^ y[ n] adapivni algoriem b izloèevalnik Slika 7.15 Kombinacija izravnalnika in izločevalnika inersimbolne inerference. 7.9 Izravnalnik s prevzorčenjem Na sprejemni srani smo vključili opimalno sprejemno sio ki maksimira razmerje med signalom in šumom. Njegova prevajalna funkcija mora bii v skladu z izrazom (7.15) enaka konjugirano kompleksni prevajalni funkciji ekvivalennega prenosnega kanala brez sprejemnega sia Hk (f). To je aperiodična funkcija, ki šum v frekvenčnem področju, kjer je moč signala nizka. Po vzorčenju s simbolno frekvenco se področja, kjer ni signala in področja signal prekrijejo in šuma ni več mogoče ločii od signala. Zao moramo opimalno sio izvesi v analogni obliki in ga vključii pred vzorčevalnik. Analogno sio pa ne more bii adapivno in ga ne moremo prilagodii karakerisiki prenosne poi, če e vnaprej ne poznamo. Želeli bi, da je udi o sio adapivno, da bi se lahko prilagodilo kanalu, na kaerega ga priključimo, oziroma da bi se lahko sproi prilagajalo spremembam kanala. Zao mora bii o sio digialno in vključeno za vzorčevalnik. Da pa se po vzorčenju šum in signal ne prekrijea popolnoma, moramo povečai vzorčno frekvenco. Pred vzorčenjem moramo signal omejii z nizkim siom z mejno frekvenco manjšo ali enako f vz /2, da izločimo šum, ki bi se po vzorčenju preslikal v frekvenčni pas signala. Na a način lahko po vzorčenju s prilagojenim siom izločijo šum izven frekevnčnega pasu kanala s ako imenovanim izravnalnikom s prevzorčenjem (ang. fracionally spaced equalizer). Razmere so prikazane na sliki 7.16, kjer je rdeče prikazan močnosni spekre signala, modro pa močnosni speker šuma. Ploščina pod med absciso in krivuljo močnosnega spekra je po Parsevalovem eoremu enaka moči signala. Slika 7.16.a Signal in šum sa pred vzorčenjem omejena na pasovno širino B = 2f s. Slika 7.16.b Pri vzorčenju s simbolno frekvenco f s se signal in šum prekrijea, po izravnavi kanala pa se šum še nekoliko ojači. Slika 7.16.c Če je je vzorčna frekvenca širikra višja (f vz = 4f s ), lahko s prilagojenim siom po vzorčenju izboljšamo razmerje med signalom in šumom. Nao vzamemo vsak čeri vzorec za deekcijo simbolov, kar usreza vzorčenju s simbolno frekvenco f s. Prevajalna funkcija se ponovno prekrije, po izravnavi

76 76 Digialen prenos v osnovnem pasu se razmerje med signalom in šumom nekoliko poslabša, vendar, če primerjamo ploščine pod krivuljo šuma na desni srani slik c in d, vidimo, da je o v drugem primeru bisveno višje. Z dovolj visoko vzorčno frekvenco, pri kaeri zajamemo večino moči signala, se lahko popolnoma približamo opimalnemu siu. Vezava izravnalnika s prevzorčenjem je prikazana na sliki fs 2fs 3fs 4fs a - moènosni speker signala (rdeèa) in šuma (modra) pred vzorèenjem f F F b - moènosni speker po vzorèenju z fs pred in po izravnavi prekrie prevajalne funkcije,5 1 F F c - moènosni speker po vzorèenju z 4 f s in filriranju s prilagojenim digialnim siom pred in po izravnavi prekrie prevajalne funkcije Slika 7.16 Močnosni speker pri vzorčenju s simbolno hirosjo in pri prevzorčenju in filriranju s prilagojenim siom. Vzorčno frekvenco povečamo za fakor k, ako, da velja f vz = kf s. Pred vzorčevalnik vključimo adapivni algoriem b nizko sio vzorèevalnik decimacija odloèiveno y ^ ( ) vezje y f = f /2 f = k f ^[ n m vz vz s y [ n] izravnalnik y [ n] k ] y [ n] y [ n] Slika 7.17 Izravnalnik s prevzorčenjem opravlja hkrai funkcijo opimalnega sia in izravnalnika prekrie prevajalne funkcije nizko sio z mejno frekvenco f m = f vz /2, da izločimo šum nad o frekvenco, ki bi se preslikal nazaj v osnovni pas. Obe sii, o je prilagojeno sio in sio za izravnavo prekrie prevajalne funkcije izvedemo z enim adapivnim FIR siom. Adapivni algoriem namreč minimizira srednjo kvadraično vrednos napake, ki je posledica ako šuma, ko inersimbolne inerference, zao se

77 7.1 Speker signala v osnovnem pasu 77 bodo ueži nasavile ako, da bodo maksimirale razmerje med signalom in šumom. To pa je naanko o kar želimo. Ker imamo na vsak sprejei simbol k vzorcev, vključimo pred odločiveno vezje decimacijo za fakor k, o pomeni, da med dvema vzorcema izpusimo k 1 vzorcev. 7.1 Speker signala v osnovnem pasu Primere različnih signalov pri digialnem prenosu v osnovnem pasu smo si ogledali na začeku poglavja in so prikazani na sliki 7.2. Kakšen je signal je, ki ga dobimo iz signalnega generaorja je močno odvisno od izbrane oblike impulzov. Predposavimo, da so simboli y[n] na vhodu impulznega generaorja med seboj neodvisni oziroma da velja: R yy [m] = y 2 [m]δ[m] (7.17) kar pomeni, da je avokorelacijska funkcija enaka pri vsakem zamiku signala m. Močnosni speker je enak TDFT avokorelacijske funkcije in je orej enak: S y (F) = y 2 [m] (7.18) Speker je konsanen, neodvisen od frekvence F, oziroma bel. Kasneje bomo videli, da lahko speker digialnega signala preoblikujemo z usreznim kodiranjem. Generaor impulzov smo v razdelku 7.2 razdelili na dva dela, na generaor enoinih impulzov in sio za oblikovanje impulzov. Močnosni speker signala na izhodu generaorja enoinih impulzov je poem v skladu z izrazom (5.11) udi bel in enak: S yδ (f) = y 2 [m] (7.19) Na prehodu skozi sio za oblikovanje s sisemsko funkcijo enako obliki impulza g(), se močnosni speker signala množi s kvadraom absolune vrednosi prevajalne funkcije G(f): S y (f) = y 2 [m] G(f) 2 (7.2) kjer je G(f) Fourierov ransform g(). Močnosni speker nekodiranega digialnega signala pri različnih oblikah impulzov je prikazan na sliki Z oddajnim siom lahko speker še dodano oblikujemo, običajno z njim porežemo spekralne komponene, ki so izven frekvenčnega pasu namenjenega za prenos, vendar s em v splošnem vnašamo udi inersimbolno inerferenco.

78 78 Digialen prenos v osnovnem pasu g( ) Sy( f ) g( ) Ts 2Ts 3Ts 4Ts f /2 f Sy( f ) 2f s s s f T 2T 3T 4T s s s s f /2 f 2f s s s 2 f Sy( f ) g( ) T 2T 3T 4T s s s s Sy( f ) f /2 f 2f s s s f g( ) T 2T 3T 4T s s s s f /2 f 2f s s s f Slika 7.18 Močnosni speker digialnega signala pri različnih oblikah impulzov. Z obliko impulza močno vplivamo na speker signala. Pravokoni impulzi, ki so sicer preprosi za izvedbo, imajo relaivno zelo širok speker.

79 Digialni modulacijski posopki 8 Poglavje obravnava digialne modulacijske posopke. Digialni modulacijski posopki so načeloma enaki ko analogni modulacijski posopki, od njih se razlikujejo predvsem v modulacijskem signalu. Predsavljeni so posopki ASK, FSK, PSK, PAM, CPM, QAM, QPSK, MSK, GMSK in OFDM. Vprejšnjem poglavju smo obravnavali digialni prenos v osnovnem pasu. Prenos v višjih frekvenčnih legah izvedemo ako, da ko modulacijski signal v ampliudni, frekvenčni ali fazni modulaciji uporabimo signal, ki ga dobimo iz generaorja impulzov pri prenosu v osnovnem pasu. Kadar so impulzi pravokoni se ampliuda, faza oziroma frekvenca moduliranega signala skokovio spreminjamo, zao govorimo o preklapljanju (ang. shif keying), modulacijski posopki pa se imenujejo ampliudno preklaplanje (ASK Ampliude Shif Keying), frekvenčno preklaplanje (FSK Frequency Shif Keying) ali fazno preklaplanje (PSK - Phase Shif Keying). Kadar oblika impulzov ni pravokona, se omenjene veličine spreminjajo zvezno s časom, ko pri impulzno ampliudni modulaciji (PAM - Pulse Ampliude Modulaion), zvezni fazni modulaciji (CPM Coninuous Phase Modulaion), Modulaciji z minimalnim faznim skokom (MSK Minimum Shif Keying) in Gaussovi MSK (GMSK). Spekralno najučinkoviejši modulacijski posopek je kvadraurna modulacija (QAM - Quadraure Ampliude Modulaion) medem ko kapacieo prenosne poi najbolje izkorišča prenos z več nosilci. Predsavnika akega prenosa sa orogonalni frekvenčni mulipleks (OFDM Orhogonal Frequency Division Muliplex) in diskreni prenos z več nosilci (DMT - Discree Muli Tone). Pred kraice, ki označujejo posamezen modulacijski posopek pogoso pišemo ševilko, ki pove, koliko različnih vrednosi ima lahko posamezen prenašan simbol, ko npr 8PSK, 64QAM in podobno. Poleg omenjenih seveda obsaja še cela vrsa drugih nekoliko modificiraih modulacijskih posopkov, vendar i emeljijo na isih osnovah ko zgoraj omenjeni posopki. Signal z modulacijskim posopkom, podobno ko pri analognem prenosu, najprej frekvenčno presavimo na vmesno frekvenco f vm in nao z mešanjem presavimo v končno frekvenčno lego. Ker se mešanje pri digialnem prenosu v ničemer ne razlikuje od mešanja pri analognem prenosu, ga u ne bomo posebej obravnavali. 79

80 8 Digialni modulacijski posopki 8.1 Ampliudna modulacija Pri impulzno ampliudni modulaciji z nizom impulzov v osnovnem pasu moduliramo ampliudo nosilca: y() = 2x()cos(2πf vm ) (8.1) Vidimo, da je modulacijski posopek popolnoma ekvivalenen ampliudni modulaciji z zadušenim nosilcem (SCAM), le da u modulacijski signal x() ni analogen signal emveč je o niz impulzov, ki smo ga imeli pri prenosu v osnovnem pasu. Če pri prenosu ne želimo imei odvečne moči v nosilcu, signal x() ne sme imei enosmerne komponene, oziroma mora veljai: x() = (8.2) kar pa dosežemo če je digialni signal x[n] ki ga prenašamo enosmerno uravnoežen in velja: x[n] = (8.3) Drug način za dosego isega cilja, kadar x[n] ni uravnoežen je, da uporabimo uravnoežene impulze g() za kaere velja: g() d = (8.4) vendar imajo aki impulzi širši speker. Modulacijo in demodulacijo izvedemo na popolnoma enak način ko pri SCAM. Na sliki 8.1 so prikazani modulirani signali pri različnih vhodnih abecedah in za pravokono in pol sinusno obliko impulzov. g( ) PSK g( ) PAM x[ n] y( ) y( ) y( ) y( ) x[ n] x[ n] y( ) y( ) Slika 8.1 Digialno ampliudno modulirani signali pri pravokonih impulzih (PSK) in pri pol-sinusnem impulzu (PAM) pri različnih abecedah digialnega niza {,1}, {-1,1} in {-3,-1,1,3}

81 8.2 Kvadraurna ampliudna modulacija 81 Kadar so impulzi pravokone oblike imenujemo a posopek ampliudno preklaplanje (ASK) pri drugih oblikah impulzov pa impulzno ampliudna modulacija (PAM). Pri modulaciji se speker iz osnovnega pasu preslika v levi in desni bok okrog nosilca. Pasovna širina se pri em podvoji. Prenos je lahko dvonivojski ali več nivojski. Močnosni speker signala se pri modulaciji preslika levo in desno od nosilne frekvence. Pasovna širina signala se pri em podvoji. Močnosni speker PSK je prikazan na sliki 8.2. Osnovni snop spekra je pri ASK širikra širši od najožjega prenosnega kanala. Speker je prikazan v linearnem in logariemskem merilu - v db. V logariemskem merilu je namreč bisveno bolj viden del spekra izven osnovnega snopa, ki običajno predsavlja monjo v sosednjih kanalih. Vidimo, da sa pri PSK prva sranska snopa oslabljena le za okrog 14 db. Pri PAM s polsinusnimi impulzi je pasovna širina osnovnega snopa nekoliko večja, zao pa je sevanje izven nje bisveno manjše. Z impulzi, ki presegajo dolžino simbolnega inervala T S je možno doseči bisveno večje slabljenje izven pasu prenosa kakor udi bisveno ožjo pasovno širino, ko smo o videli že na sliki S y PSK ( f ) S ( f ) y PAM S y ( f )/ Sy( fvm) Sy( f )/ Sy( fvm) db f db f f vm B f vm Slika 8.2 Močnosni speker PSK in PAM s pol-sinusnimi impulzi. Pasovna širina se pri modulaciji podvoji. Sevanje izven osnovnega snopa pasovne širine B = 2f s je pri PSK dokaj veliko in lahko močno moi sosednje kanale. Zao PSK za prenos, kjer uporabljajo sosednje frekvence drugi uporabniki, ni najprimernejši modulacijski posopek. Pri PAM je osnovni snop nekoliko širši, zao pa je sevanje izven ega pasu precej manjše. 8.2 Kvadraurna ampliudna modulacija Pri kvadraurni ampliudni modulaciji (QAM Quadraure Ampliude Modulaion) moduliramo dva orogonalna nosilca sin(2πf vm ) in cos(2πf vm, vsakega s svojim signalom. Ker sa nosilca orogonalna, ju je mogoče pri demodulaciji zope ločii. Moduliran signal pri kvadraurni

82 82 Digialni modulacijski posopki modulaciji lahko zapišemo v obliki: y() = x i ()cos(2πf vm ) x q () sin(2πf vm ) (8.5) Kjer sa x i () in x q () dva niza impulzov v osnovnem pasu. Za prvega rečemo, da je v fazi (ang. in phase) in za drugega, da je v kvadrauri (ang. quadraure). Kvadraurni modulaor je prikazan na sliki 8.3. cos(2 f ) vm x i [ m] genaor x i( ) impulzov x[ n] S/P 9 o y () x q [ m] genaor impulzov x q ( ) -sin(2 f ) vm Slika 8.3 QAM modulaor. Vhodni niz simbolov x[n] s simbolno hirosjo f s najprej na serijsko paralelnem prevorniku razdelimo v dva niza simbolov x i[n] in x q[n] s polovično simbolno hirosjo. Z generaorjema impulzov nao vorimo signala x i() in x q(), s kaerima moduliramo orogonalna nosilca. Izhodni signal dobimo ko vsoo signalov v obeh vejah. Vhodni niz simbolov x[n] s simbolno hirosjo f s najprej razdelimo v dva niza simbolov x i [n] in x q [n] s polovično simbolno hirosjo f s /2. Nao generiramo impulze, da dobimo signal v fazi x i () ki ga množimo z nosilcem (kosinus) in signal v kvadrauri x q (), ki ga množimo z za 9 o fazno zamaknjenim nosilcem (sinus). Signala v obeh vejah nao sešejemo, da dobimo QAM signal y(). Ker se, ko razdelimo osnovni niz simbolov na dva niza, simbolna frekvenca razpolovi, je pasovna širina signalov x i () in x q () udi za polovico manjša. Pri modulaciji (množenju s sinusom in kosinusom) se pasovna širina zope podvoji. Končna pasovna širina je zao enaka, ko bi bila pri prenosu v osnovnem pasu in polovico manjša ko pri PAM. Pri QAM porebujemo za prenos enako pasovno širino ko pri prenosu v osnovnem pasu. QAM je spekralno najučinkoviejši modulacijski posopek Demodulacijo izvedemo na enak način ko pri SCAM, le da demoduliramo vsako vejo posebej in poem oba niza vzorcev zope združimo v en niz, ko je o prikazano na sliki 8.4. Če je sprejei signal ŷ() enak oddanemu signalu y(), poem jeudi hax[n] enak x[n], saj velja: x i() = 2y() cos(2πf vm ) = 2x i () cos 2 (2πf vm ) 2x q () sin(2πf vm ) cos(2πf vm ) =

83 8.2 Kvadraurna ampliudna modulacija 83 2 cos(2 f ) vm x' ( ) i nizko sio x^ i ( ) vzorèevalnik x^ i [ m] ^ y () o 9 P/S ^ x[ n] nizko vzorèevalnik x sio q' ( ) x^ ( ) x^ [ m] q q -2 sin(2 f ) vm Slika 8.4 QAM demodulaor. Sprejei signal najprej razdelimo v dve veji in vsako vejo sinhrono demoduliramo. Nizko sio izloči komponene, ki nasopijo pri dvakrani nosilni frekvenci. Po vzorčenju oba niza zope združimo s paralelno serijskim prevornikom. = x i () + x i () cos(4πf vm ) x q () sin(4πf vm ) x q() = 2y() sin(2πf vm ) = 2x i () cos(2πf vm )sin(2πf vm ) + 2x q () sin 2 (2πf vm ) = = x q () x q () cos(4πf vm ) + x i () cos(4πf vm ) (8.6) Ker z nizkim siom izločimo speker pri dvojni frekvenci nosilca, osane v obeh rezulaih le prvi člen. QAM signal v izrazu (8.5) laho zapišemo udi v obliki: y() = A y () cos(2πf vm + φ y ()) = R{A y () e jφy() e j2πfvm } (8.7) kjer sa A( y T) in φ y () podana z: A y () = x 2 i () + x2 q() ( ) xq () φ y () = arcan + π x i () 2 (sign(x i()) 1) (8.8) Kompleksen signal, ki nasopa pod znakom za realno vrednos v izrazu (8.7), je, kadar se φ y () ne spreminja, kazalec, ki se vri s frekvenco f vm v kompleksni ravnini. Njegovo kompleksno ampliudo (o je ampliudo in fazo), ki se glede na frekvenco nosilca relaivno počasi spreminjaa, imenujemo udi ekvivalenni signal v osnovnem pasu in ga označimo z y eq (): y eq () = A y ()e jφy() (8.9) Iz zgornjih enačb je razvidno, da je QAM ampliudno fazna modulacija, saj se v odvisnosi od modulacijskih signalov x i () in x q () spreminjaa ako ampliuda A y () ko udi faza φ y () moduliranega signala. Če ni inersimbolne inerference lahko signala x i () in x q () ob vzorčnih renukih zavzamea samo vrednosi iz njune abecede, zao ima udi ekvivalenni signal y eq () ob vzorčnih renukih omejen nabor možnih vrednosi, ki jih lahko predsavimo v kompleksni ravnini, v ako imenovane

84 84 Digialni modulacijski posopki { y ( m T )} =x [ m] eq 3 s q { 1 A y y { yeq( m Ts )} =xi [ m ] -1-3 Slika 8.5 Konsalacijski diagram 16QAM modulacije. Vsaka očke v konsalacijskem diagramu predsavlja par simbolov (x i[n], x q[n]). Realna vrednos je enaka simbolu v fazi, imaginarna pa simbolu v kvadrauri. Oddaljenos od izhodišča je ampliuda, ko med absciso in kazalcem do očke pa faza, ki pripada posameznemu simbolu. konsalacijskem diagramu. Na sliki 8.5 je prikazan primer konsalacijskega diagrama za 16QAM modulacijo. Vsaka očka v diagramu predsavlja dvojico (x i [n], x q [n]) oddanih simbolov, oziroma 4 bie (binarne simbole), saj 16 različnih vrednosi lahko zapišemo s 4 bii. Realna vrednos je enaka x i [n] imaginarna pa x q [n]. Oddaljenos od izhodišča je enaka ampliudi signala, ki pripada posameznemu simbolu, ko med kazalcem do očke in absciso pa je enaka fazi, ki pripada posameznemu simbolu. Ob prenosu se kazalec ekvivalennega signala seli od očke do očke. Kadar so impulzi pravokoni, so i prehodi skokovii, kadar pa so impulzi oblikovani, pa so prehodi zvezni. Kvadra razdalje od izhodišča je proporcionalen energiji signala, ki jo porebujemo za prenos enega simbola, srednja vrednos oddaljenosi pa moči signala, ki ga prenašamo. Ker bolj oddaljeni simboli doprinašajo več k moči signala, je smiselno preoblikovai konsalacijski diagram ako, da je čimbolj okrogle oblike. To je mogoče doseči z usreznim kodiranjem. V praksi so v uporabi različne oblike konsalacijskih diagramov, predvsem pri večnivojski QAM modulaciji, ko na primer pri 256QAM. 8.3 Kone modulacije Pri digialnih modulacijskih posopkih je še nekoliko eže ločevai med frekvenčno in fazno modulacijo ko pri analognih. Tako pri frekvenčni ko pri fazni modulaciji se namreč hkrai spreminjaa renuna frekvenca in renuna faza signala. Al je podaek skri v frekvenci ali fazi

85 8.3 Kone modulacije 85 signala pa ni odvisno samo od modulacijskega posopka emveč udi od kanalskega kodiranja. Z usreznim kodiranjem pred modulacijo lahko fazno modulacijo spremenimo v frekvenčno in obrano PSK PSK (Phase shif keying) je modulacija s skokoviim preklapljanjem faze. Vsakemu simbolu iz abecede pripišemo določeno fazo med in 2π. Fazno modulacijo lahko izvedemo kvadraurnim modulaorjem, ko je o prikazano na sliki Na vejo v fazi vodimo kosinus faze na vejo v kvadrauri pa sinus faze. Fazno modulacijo lahko prikažemo v konsalacijskem diagramu. Vse očke pri fazni modulaciji ležijo na krožnici in so med seboj enako oddaljene. Konsalacijski diagram za 8PSK je prikazan na sliki 8.6. Pri 8PSK so vhodni simboli osem nivojski. Z vsakim simbolom { y ( m T )} =x [ m] eq s 11 q { yeq( m Ts )} =xi [ m ] Slika 8.6 Konsalacijski diagram 8PSK. Vsaka očka v diagramu predsavlja en oddan simbol oziroma ri oddane bie. orej prenašamo ri bie. Običajno pri uporabimo preslikavi biov v simbole Grayevo kodo, kar pomeni, da se sosednja simbola razlikujea samo v enem biu. To pomeni, da napaka za eno fazo pomeni hkrai udi napako enega bie, kar zmanjšuje pogosos bine napake (BER). Demodulacijo lahko izvedemo s QAM demodulaorjem ali faznim deekorjem. PSK izvedeno s kvadraurnim modulaorjem nekaeri imenujejo udi QPSK CPM CPM (Coninuous Phase Modulaion) je modulacijski posopek enak ko PSK, le da se faza med vzorčnimi renuki spreminja zvezno. Nameso pravokonih impulzov v em primeru v QAM modulaorju uporabimo impulze druge oblike. Če želimo, da se ampliuda moduliranega signala ne spreminja oziroma, da je salno enaka ena, mora bii izpolnjen pogoj: x 2 i () + x 2 q() = 1 (8.1)

86 86 Digialni modulacijski posopki ki je vedno izpolnjen, če najprej usvarimo fazni signal φ() in nao signala x i () in x q () po enačbah: x i () = cosφ() x q () = sinφ() (8.11) Konsalacijski diagram 8CPM je enak konsalacijskemu diagramu 8PSK. Razlika je le v prehodih med posameznimi fazami, ki v konsalacijskem diagramu niso vidne DPSK DPSK (Differenial Phase Shif Keying) je modulacija, kjer podaka ne prenašamo z absoluno fazo ampak je podaek v spremembi faze, ko je o prikazano na sliki Slika 8.7 Pri DSPK prenašamo simbole s spremembo faze. Prednos je v em, da pri sprejemu ni porebno poznai absolune faze signala. Zaznai je porebno le spremembe v fazi y( ) o o o o T 2T 3T 4T 5T 6T s s s s s s Slika 8.8 Kadar so prehodi faze med vzorčnimi renuki linearen, dobimo pri diferencialnem kodiranju za vsak vhodni simbol drugačen naklon, oziroma drugo frekvenco. Diferencialna fazna modulacija je zao v resnici frekvenčna modulacija oziroma FSK (Frequency Shif Keying). Tudi pri DPSK je smiselno uporabii Grayevo kodo, da zmanjšamo verjenos bine napake. Če so prehodi med posameznimi fazam niso skokovii, emveč zvezno linearni, ko je o prikazano

87 8.3 Kone modulacije 87 na sliki 8.8, poem je DPSK v resnici frekvenčna modulacija. Odvod faze po času (naklon poeka faze) namreč predsavlja renuno frekvenco. Vsak prehod faze usreza določenemu simbolu, in orej udi vsak simbol predsavlja svojo frekvenco. DPSK z linearnimi prehodi faze med simboli je orej v resnici FSK (Frequency Shif Keying) z zvezno fazo. Ker lahko frekvenco deekiramo brez da bi poznali nosilec, pri DPSK ni porebna sinhronizacija nosilca MSK MSK (Minimum Shif Keying) je širinivojska diferencialna fazna modulacija, kjer pa je preskok faze omejen na 9. Logična 1 je kodirana s faznim skokom 9 in logična s faznim skokom 9, ko je o prikazano na sliki o y( ) o -9 o -18 o T s 2T s 3T s 4T s 5T s 6T s 7T s 8T s 9T s 1T s 11T s Slika 8.9 Fazni poek MSK. Faza se spreminja linearno, ako da v signalu nasopaa samo dve frekvenci. MSK je v bisvu 2FSK z modulacijskim indeksom m =, 5. Ker v faznem diagramu nasopaa samo dva naklona, je o dvonivojska frekvenčna modulacija 2FSK. Pogoso imenujejo MSK udi FFSK (Fas Frequency Shif Keying). Modulacijski indeks, ki je pri digialni frekvenčni modulaciji definiran ko m = f/f s, je pri MSK enak,5. MSK lahko izvedemo s QAM modulaorjem. Ko smo že omenili, pri fazni modulaciji pripeljemo na vejo v fazi I kosinus faze in na vejo v kvadrauri Q sinus faze, ko je o prikazano na sliki x i ( ) xq( ) 1 1 Slika 8.1 Signala, ki ju pripeljemo na QAM modulaor pri MSK modulaciji. Vidimo, da so o za 9 zamaknjeni pol-sinusni impulzi. To omogoča udi prepros izračun močnosnega spekra MSK. Za pol-sinusne impulze in s em udi za MSK je speker prikazan že na desni srani slike 8.2.

88 88 Digialni modulacijski posopki GMSK Lomljen poek faze na MSK signala, ko je prikazan na sliki 8.9 še vedno povzroča sevanje izven prenosnega pasu. Pri GMSK (Gaussian MSK) je fazni poek zglajen z Gaussovim siom, o je siom z Gaussovo sisemsko funkcijo: h() = e (a /Ts)2 (8.12) kjer konsana a določa dolžino odziva oziroma pasovno širino sia. V GSM sandardu je a = 1, 6, kar ugodno vpliva na speker signala, vendar povzroča udi nekaj inersimbolne inerference. Inersimbolno inerferenco lahko vidimo na sliki 8.11, kjer je podana primerjava časovnega poeka faze GMSK signala (modra) s časovnim poekom faze MSK signala. MSK ima ob vzorčnih renukih pravilne faze, pri GMSK pa faze zaradi inersimbolne inerference ob vzorčnih renukih odsopajo od eh vrednosi. Kljub emu pa sa obe frekvenci frekvenčne modulacije dobro ločljivi, kar je razvidno iz naklonov fazne karakerisike med posameznimi simboli. 18 o 9 o y( ) o -18 o T s 2T s 3T s 4T s 5T s 6T s 7T s 8T s 9T s 1T s 11T s Slika 8.11 Časovni poek faze GMSK signala (modra) in MSK signala (rdeča). Ob vzorčnih renukih zaradi inersimbolne inerference GMSK faza odsopa od pravih vrednosi. Modulacijo GMSK signala lahko izvedemo s QAM demodulaorjem. Ker je o frekvenčna modulacija, lahko demoduliramo udi s frekvenčni demodulaorjem, pri kaerem ne porebujemo sinhronizacije nosilca. 8.4 Prenos z več nosilci Kadar karakerisika kanala ni ravna, oziroma prekria prevajalna funkcija ni konsanna, moramo, da ne bi prišlo do inersimbolne inerference, karakerisiko kanala izravnavai z izravnalnikom. Izravnava sicer zagoovi, da ni inersimbolne inerference, vendar obenem pokvari razmerje med signalom in šumom (SNR). Da bi se izognili porebi po izravnavi, lahko frekvenčni pas s pasovno širino B, ki smo ga namenili prenosu, razdelimo na več podkanalov s pasovno širino B, ko je o prikazano na sliki Ker je pasovna širina posameznega podkanala B relaivno majhna, se ampliudna karakerisika v enem podkanalu ne spreminja bisveno in je skoraj konsanna, zao ni porebna izravnava.

89 8.4 Prenos z več nosilci 89 šum B B f Slika 8.12 Pri prenosu z več nosilci razdelimo frekvenčno področje prenosa na veliko ševilo podkanalov. Ampliudna karakerisika znoraj posameznega podkanala je skoraj konsanna. SNR je lahko v vsakem podkanalu drugačno. Vhodni niz simbolov razdelimo na večje ševilo paralelnih nizov in z vsakim nizom moduliramo nosilec, ki pripada usreznemu podkanalu. Ker je v splošnem v vsakem podkanalu SNR drugačno, lahko, da bi bolje izkorisili zmogljivos posameznega podkanala, v vsakem podkanalu uporabimo različen modulacijski posopek z različnim ševilom nivojev. Zaradi velike spekralne učinkoviosi se v a namen najpogoseje uporablja QAM z različnimi konsalacijskimi diagrami. Načelna shema prenosa z več nosilci je prikazana na sliki Na serijsko paralelnem prevorniku vhodni niz simbolov razdelimo na več nizov z nižjo simbolno hirosjo in vsakega vodimo na svoj modulaor. Na sprejemni srani sprejei signal razdelimo v več vej in v vsaki veji demoduliramo s svojim demodulaorjem. Za vsak kanal orej porebujemo modulaor na oddajni modulacija demodulacija QAM modulaor QAM demodulaor QAM modulaor QAM demodulaor x[ n] S/P QAM y () ^ y () QAM modulaor P/S x^ [ n] demodulaor QAM modulaor QAM demodulaor QAM modulaor QAM demodulaor Slika 8.13 Načelna shema prenosa z več nosilci. Za vsak kanal porebujemo svoj modulaor na oddajni srani in demodulaor na sprejemni srani. Tak način izvedbe za veliko ševilo podkanalov ni primeren zaradi prevelike zahevnosi in previsoke cene. in demodulaor na sprejemni srani. Poleg ega porebujemo ako na oddajni ko na sprejemni