Προσχολικά Μαθηματικά

Transcript

1 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Προσχολικά Μαθηματικά Ενότητα 5: Συστήματα Αρίθμησης και σύμβολα αριθμών Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

2 αριθµητικά συστήµατα πιο σωστά: συστήµατα αρίθµησης για να μη μπερδεύονται με τα σύνολα των αριθμών: φυσικοί, ρητοί, πραγματικοί, κτλ. είναι τα συμβολικά συστήματα γραφής των αριθμών. το σύνολο των συμβόλων που χρησιμοποιούνται με συστηματικό τρόπο για την αναπαράσταση των αριθμών τα ίδια σύμβολα συμβολίζουν διαφορετικούς αριθμούς σε διάφορα συστήματα αρίθμησης π.χ., το 11, είναι το 11 στο δεκαδικό, το 3 στο δυαδικό, κοκ ιδανικά ένα σύστημα αρίθμησης μπορεί να αναπαραστήσει όλους τους αριθμούς (ακέραιους, κλάσματα, κτλ) με τα σύμβολά του δίνει σε κάθε αριθμό μία μοναδική αναπαράσταση και με συστηματικότητα αντανακλά την αριθμητική και αλγεβρική δομή των αριθμών π.χ., το 2.31 γράφεται επίσης 2.310, , , κτλ.

3 αρχαίο ελληνικό σύστηµα αρίθµησης Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα αντί για αριθμούς κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μπορούν να κάνουν πολύπλοκους υπολογισμούς με απόλυτη ακρίβεια. α β γ δ ε ϛ ζ η θ για τους αριθμούς αντίστοιχα ι κ λ μ ν ξ ο π ϟ για τους αριθμούς αντίστοιχα ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ για τους αριθμούς Παραδείγματα Το «,δ» σήμαινε 4.000, ενώ το 1823 γραφόταν «,αωκγ» και το «,αζ» σήμαινε Τα ψηφία 1, 2, 3,... που συνηθίζουμε σήμερα ακόμα δεν είχαν εφευρεθεί, αφού πρώτοι τα εφάρμοσαν μεταγενέστερα οι Άραβες βασιζόμενοι στο σύστημα των Ινδών.

4 Text Πολλαπλασιασμός από χειρόγραφο του Ευτόχιου. Αριστερά: αρχαίο Ελληνικό σύστημα, Δεξιά: σημερινή γραφή. 4

5 άλλα αριθµητικά συστήµατα και τα αντίστοιχα σύµβολα

6 Ρωµαϊκό σύστηµα αναπαράστασης αριθµών Χρησιμοποιούνταν ευρέως στην Αρχαία Ρώμη, αλλά επιβιώνει ακόμη και στις μέρες μας σε συγκεκριμένες περιπτώσεις Είναι ένα σύστημα που απεικονίζει τους αριθμούς με συνδυασμούς γραμμάτων του λατινικού αλφάβητου που ανάλογα με τη διάταξη τους, προστίθενται ή αφαιρούνται. Βασίζεται στο αντίστοιχο σύστημα αναπαράστασης των Ετρούσκων. Στην αρχική του μορφή περιελάμβανε 5 γράμματα (I, V, X, L και C). Οι δέκα πρώτοι αριθμοί στο ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών είναι : I=1, II=2, III=3, IV=4, V=5, VI=6, VII=7, VIII=8, IX=9 και Χ=10

7 µοναδιαίο σύστηµα αρίθµησης Το απλούστερο σύστημα αρίθμησης είναι το μοναδιαίο σύστημα αρίθμησης, στo οποίo κάθε φυσικός αριθμός αντιπροσωπεύεται από έναν αντίστοιχο αριθμό συμβόλων

8 το αριθµητικό σύστηµα των Oksapmin Papua New Guinea

9 σύστηµα Braille.

10 αριθµητικά συστήµατα θέσης Τα αριθμητικά συστήματα θέσης ή συστήματα αξίας θέσης ή συστήματα βάσης είναι μια μέθοδος αναπαράστασης/κωδικοποίησης των αριθμητικών συμβόλων που χρησιμοποιούν μία βάση για την ομαδοποίηση των αριθμητικών συμβόλων π.χ., το 10 στο δεκαδικό, το 2 στο δυαδικό, το 60 στο εξηνταδικό,... Διακρίνεται από άλλα συμβολικά συστήματα (όπως το ρωμαϊκό) γιατί κάνει χρήση του ίδιου συμβόλου για τις διαφορετικές τάξεις μεγέθους για παράδειγμα, για τις «μονάδες», «δεκάδες», «εκατοντάδες». Αυτή η πολύ απλουστευμένη αριθμητική οδήγησε στην ταχεία εξάπλωση της συγκεκριμένης σημειογραφίας σε όλο τον κόσμο. Με τη χρήση ενός κόμματος (υποδιαστολή), ο συμβολισμός μπορεί να επεκταθεί για να συμπεριλάβει δεκαδικούς. Το ινδο- αραβικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα παράδειγμα για ένα αριθμητικό συστήματα θέσης με βάση τον αριθμό 10, που λέγεται και δεκαδικό σύστημα.

11 το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης

12 Το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης Είναι ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το δέκα (10). Όπως συμβαίνει με όλα τα συστήματα αρίθμησης, είναι ένα σύστημα που χρησιμοποιεί ο άνθρωπος έτσι ώστε να περιγράψει ποσότητες ή πλήθος αντικειμένων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση για τη δημιουργία των ονομασιών των ποσοτήτων χρησιμοποιούνται δέκα σύμβολα, τα γνωστά μας: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. Για το λόγο αυτό λέγεται "δεκαδικό" και για το λόγο αυτό λέμε ότι έχει βάση το δέκα. οποιαδήποτε αριθμητική τιμή μπορεί να αποτυπωθεί με έναν συνδυασμό των δέκα αυτών ψηφίων π.χ., 2367

13 τα σύµβολα έχουν σχέση µε τον αριθµό των γωνιών???

14 αυτό είναι µύθος Η θεωρία αυτή ωστόσο μπορεί να φαίνεται πολύ λογική, αλλά δεν είναι τίποτα παραπάνω από ένας έξυπνος μύθος! Η αλήθεια είναι ότι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε σήμερα έχουν όντως προέλευση από την Ινδία που στη συνέχεια πέρασε δυτικά στους Άραβες και τον υπόλοιπο κόσμο, όμως τα σύμβολα που χρησιμοποιούσαν - εξέλιξη των οποίων είναι και οι σημερινοί αριθμοί- δεν είχαν να κάνουν με τις γωνίες κάθε συμβόλου. Τα πρώτα ψηφία από τα οποία εξελίχθηκε αργότερα η Ινδο- Αραβική αριθμολογία, εμφανίστηκαν τον 3ο αιώνα π.χ., ενώ το 0 καταγράφηκε το 870 μ.χ. στην Κεντρική Ινδία και νωρίτερα, τον 6ο αιώνα, στην Περσία. Ο άμεσος πρόγονος των αριθμών που χρησιμοποιούνται σήμερα σε όλο τον κόσμο, εμφανίστηκε τον 10ο αιώνα στην περιοχή Maghreb που στην σύγχρονη εποχή αποτελείται από 5 χώρες της βόρειας Αφρικής: Λιβύη, Μαρόκο, Μαυριτανία, Τυνησία, Αλγερία, και την περιοχή Al- Andalus που περιελάμβανε κομμάτια της σημερινής Ισπανίας και Πορτογαλίας. Οι πρώτες αναφορές της Δύσης στα συγκεκριμένα σύμβολα έγιναν το 976 μ.χ. στο βιβλίο Codex Vigilanus, ενώ χρειάστηκαν αρκετοί αιώνες και η πολύτιμη βοήθεια της εκτύπωσης σε χαρτί, μέχρι να καθιερωθούν στην Ευρώπη τον 15ο αιώνα.

15 δεκαδικά συστήµατα αρίθµησης

16 εξέλιξη των αραβικών συµβόλων

17 Θεσιακό σύστηµα αρίθµησης ή σύστημα αρίθμησης με αξία θέσης, είναι το σύστημα αρίθμησης στο οποίο οι αριθμοί παριστάνονται με ορισμένα σύμβολα ή συνδυασμούς τους και η αξία των αριθμών αυτών υπολογίζεται με βάση: την αξία των συμβόλων και τη θέση των συμβόλων π.χ., το 4 και το 3 έχουν άλλη αξία σε στο 34 Για παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα έχουμε τα σύμβολα (0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9) και βάση το 10. Η αξία π.χ. του αριθμού 2674, με βάση την θέση των συμβόλων στον αριθμό, υπολογίζεται ως: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( 7 10 ) + ( 4 1 ).

18 Το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης ως σύστηµα αξίας θέσης Το δεκαδικό σύστημα είναι σύστημα αξίας θέσης με βάση (ή ρίζα) το 10 κι αυτό σημαίνει ότι σε κάθε αριθμό, κάθε ψηφίο του πολλαπλασιάζεται επί το 10 υψωμένο σε δύναμη που αντιστοιχεί στην θέση του ψηφίου αυτού. - δηλαδή ο αριθμός γράφεται μια σειρά συμβόλων που αναπαριστούν τις δεκάδες του αριθμού: δηλ. κάθε αριθμός γράφεται ως: κάποιες μονάδες δηλαδή μηδενικές δεκάδες, και κάποιες δεκάδες, και κάποιες δεκάδες δεκάδες δηλαδή εκατοντάδες, και δεκάδες εκατοντάδες δηλαδή χιλιάδες, κοκ Για παράδειγμα: 83=( ) + ( ) 1245=( ) + ( ) + ( ) + ( )

19 Το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης Το ίδιο ισχύει και για τους δεκαδικούς αριθμούς, αλλά χρησιμοποιούμε αρνητικές δυνάμεις του 10. π.χ. 0,75=( ) + ( ) Έτσι, ένας αριθμός με ακέραιο και δεκαδικό μέρος, έχει ψηφία υψωμένα σε θετικές και αρνητικές δυνάμεις της βάσης 10. π.χ. 134,95=( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )

20 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών το δυαδικό σύστημα αρίθμησης 20

21 το δυαδικό σύστηµα Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης αναπαριστά αριθμητικές τιμές χρησιμοποιώντας δύο σύμβολα, το 0 και το 1. Ονομάζεται δυαδικό επειδή έχει βάση το 2 και άρα η αναπαράσταση της πληροφορίας γίνεται με χρήση δύο συμβόλων. Πιο συγκεκριμένα, το δυαδικό είναι ένα σύστημα αξίας θέσης με βάση το δύο. Κάθε ψηφίο ανήκει σε μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερη κατά ένα από αυτήν του ψηφίου στα δεξιά του. Έτσι, κάθε ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού από δεξιά προς τ' αριστερά δηλώνει μονάδες, δυάδες, τετράδες, οκτάδες κ.ο.κ.

22 Θεσιακό σύστηµα αρίθµησης έτσι, στο δυαδικό σύστημα έχουμε τα σύμβολα (0,1) και βάση το 2. ο αριθμός ομαδοποιείται σε δυάδες για να αναπαρασταθεί συμβολικά: δηλ. σε κάποιες μονάδες δηλαδή σε κάποιες μηδενικές δυάδες, και σε κάποιες δυάδες, και σε κάποιες δυάδες δυάδων δηλαδή τετράδες, και σε κάποιες δυάδες τετράδων δηλαδή οκτάδες, κοκ Η αξία π.χ. του αριθμού (δυαδικός), υπολογίζεται ως: ( ) + ( ) + ( ) = 5 10 (ο αριθμός που προκύπτει είναι στο δεκαδικό σύστημα)

23 στο δυαδικό σύστηµα Ο δυαδικός αριθμός αναπαριστά ποσότητα ίση με 1 μονάδα (1 * 2 0 ), 0 δυάδες (0 * 2 1 ), 1 τετράδα (1 * 2 2 ) και 1 οκτάδα (1 * 2 3 ). Διαβάζεται : "ένα,ένα,μηδέν,ένα με βάση 2". Ισούται δηλαδή με τον αριθμό 13 του δεκαδικού συστήματος

24 Δυαδικό σύστηµα στους υπολογιστές Η αποθήκευση και επεξεργασία των δεδομένων στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές γίνεται ψηφιακά. π.χ., 0: κλείνω το κύκλωμα και περνάει ρεύμα, 1: ανοίγω το κύκλωμα και κόβεται το ρεύμα. Οδηγώντας, την είσοδο ενός λογικού κυκλώματος με τάση ρεύματος μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ +3 Volts) αναπαριστούμε το ψηφίο "1", ενώ οδηγώντας την είσοδο με τάση ρεύματος μικρότερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ +2 Volts) αναπαριστούμε το ψηφίο "0". Λόγω της σχετικά απλής υλοποίησης στα ηλεκτρονικά κυκλώματα το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται εκτεταμένα στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την αναπαράσταση αριθμητικών δεδομένων.

25 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών άλλα συστήµατα αρίθµησης

26 άλλα συστήµατα αρίθµησης Το εξαδικό σύστημα αρίθμησης είναι σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 6, και χρησιμοποιεί τα ψηφία από 0 έως 5. ίδια, το επταδικό σύστημα αρίθμησης είναι σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 7, και χρησιμοποιεί τα ψηφία από 0 έως 6.

27 σκέψου το 27 στο οχταδικό σύστημα είναι το 23 στο δεκαδικό γιατί είναι 2 οχτάδες και 7 μονάδες το 123 στο τετραδικό σύστημα είναι το 27 στο δεκαδικό γιατί είναι 1 δεκαεξάδα 2 τετράδες και 3 μονάδες το 37 στο εξαδικό σύστημα... δεν υπάρχει γιατί το 7 δεν υπάρχει ως σύμβολο στο εξαδικό 27

28 πλεονεκτήµατα συστηµάτων αξίας θέσης Στο αρχ. Ελληνικό σύστημα αρίθμησης και στο Ρωμαϊκό, δεν υπάρχει αξία της θέσης π.χ., το σύμβολο για το 2, όπου κι αν εμφανίζεται σημαίνει το ίδιο Στα συστήματα με αξία θέσης το σύμβολο έχει άλλη αξία ανάλογα με τη θέση του π.χ., στο δεκαδικό σύστημα το 2, στο 12, στο 25, και στο 279 έχει διαφορετική αξία το πρώτο τέτοιο σύστημα ήταν το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλώνιων διατηρείται ακόμα για παράδειγμα στη μέτρηση του χρόνου

29 πλεονεκτήµατα συστηµάτων αξίας θέσης ΙΙ Βοηθάει στη παραγωγή ονομάτων για τους αριθμούς χωρίς να χρειάζεται να απομνημονευτούν άπειρες αριθμολέξεις αν γνωρίζεις τις βασικές αριθμολέξεις μπορείς να φτιάξεις το όνομα κάθε αριθμού από μόνη σου π.χ., 35, 78, 789, 1789, κοκ Τα αριθμητικά συστήματα επιλύουν τα προβλήματα της περιορισμένης ανθρώπινης μνήμης

30 αριθμητικά συστήματα αξίας θέσης και αριθμολέξεις για να κατανοήσεις τη σημασία που έχουν τα αριθμητικά συστήματα όπως το δεκαδικό προσπάθησε να σκεφτείς πως θα ήταν οι αριθμολέξεις σε άλλα αριθμητικά συστήματα όπως για παράδειγμα στο πενταδικό. θα δεις ότι τα αριθμητικά συστήματα θέσης αναπτύσσουν ενδιαφέρουσες κανονικότητες που βοηθούν στην κατανόηση και χρήση των αριθμών από τους ανθρώπους πολύ σημαντικό λόγω των περιορισμών στη μνήμη εργασίας (θυμήσου 7+- 2)

31 πλεονεκτήµατα συστηµάτων αξίας θέσης ΙΙΙ Βοηθάει στη πιο γρήγορη σύγκριση αριθμών π.χ., 45 με 73 ή 48 φαντάσου να έπρεπε να συγκρίνεις στο μοναδιαίο σύστημα: ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιι με ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιι Γρήγοροι υπολογισμοί: στα συστήματα που υπάρχει αξία θέσης οι πράξεις γίνονται σε στήλες

32 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών περί συστηµάτων αρίθµησης

33 τα συστήµατα αρίθµησης: είναι κοινωνικές κατασκευές δεν υπάρχει σημαντικό λόγος γιατί να επιλεγεί το ένα ή το άλλο στα δεκαδικά συστήματα υπάρχουν διαφοροποιήσεις ανά γλώσσα

34 αριθµοί και λέξεις υπάρχουν γλώσσες όπου οι αριθμολέξεις έχουν σχέση με τις ποσότητες που αναπαριστούν π.χ., στα ινδικά η λέξη ένα είναι η λέξη φεγγάρι η λέξη δύο είναι η λέξη μάτια, το τέσσερα είναι το αδερφούς γιατί στην ινδική μυθολογία ο Ράμα έχει τέσσερις αδερφούς, η λέξη επτά είναι το κεφάλι που έχει επτά ανοίγματα, κοκ.

35 απαγγελία και γλώσσα Διαφορετικές γλώσσες υποστηρίζουν ή και δυσκολεύουν τη μάθηση τέτοιων λέξεων ανάλογα αν ακολουθούν κανονικότητες ή όχι και από ποιον αριθμό και πάνω π.χ., Ελληνικά: δώδεκα, δεκατρία... Αγγλικά: twelve, thirteen,. Κινέζικα, Γιαπωνέζικα, Κορεάτικα: 12= δεκαδύο, 22=δύο δέκα δύο αυτές οι διαφορές επιδρούν στις επιδόσεις των μαθητών με τη χρήση των αριθμών

36 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αναγνώριση και γραφή των αριθµών γνωστική τους ανάπτυξη

37 αναγνώριση και γραφή των αριθµών Μέχρι και την πρώτη τάξη του Δημοτικού οι μαθητές συχνά δεν αναγνωρίζουν τα αριθμητικά σύμβολα, ούτε ξέρουν να γράφουν τους αριθμούς έστω κι αν από πολύ πιο νωρίς απαγγέλλουν τη σειρά ακολουθίας των αριθμών και ξέρουν να απαριθμούν αυτή η αναντιστοιχία καλύπτεται γρήγορα γιατί στο σχολείο διδάσκεται η απαγγελία σε συνδυασμό με τα σύμβολα των αριθμών και έτσι γίνεται το γεφύρωμα

38 σύµβολα για τους αριθµούς από τα παιδιά Ζητήθηκε από παιδιά που δεν έχουν διδαχθεί αριθμητικά σύμβολα να στείλουν ένα γραπτό μήνυμα σε συμμαθητή τους που να τους δηλώνουν το πλήθος ενός συνόλου. Πρώτος τύπος συμβόλων: ένα αφηρημένο σχήμα που καμία σχέση δεν είχε με το πλήθος Δεύτερος τύπος συμβόλων: ένα σχέδιο που διατηρούσε σχέση ένα προς ένα με το ζητούμενο πλήθος Τρίτος τύπος συμβόλων: χρήση των γνωστών συμβόλων για τους αριθμούς αλλά ως αντικείμενα κι όχι ως σύμβολα, π.χ., για το 6 έγραφαν 1, 2, 3, 4, 5, 6 που ήταν έξι σύμβολα Τέταρτος τύπος συμβόλων: χρήση των γνωστών συμβόλων ως σύμβολα της αριθμητικής αξίας Μέχρι τα 6 χρόνια έχουν συνήθως εξαφανιστεί οι απαντήσεις του πρώτου τύπου και μέχρι τα 10 χρόνια έχει κυριαρχήσει ο τέταρτος τύπος

39 τρόποι αναγνώρισης του αριθµητικού συµβόλου Τα παιδιά (4.9 χρονών) σχεδίασαν 4 αυτοκινητάκια με τις ρόδες τους. Μετά τους δόθηκε ο αριθμός 16. Κυκλώθηκε το 6 και τα παιδιά ρωτήθηκαν: «τι σχέση έχει αυτό το μέρος του 16 με τις ρόδες που σχεδίασες; μπορείς να μου δείξεις πάνω στο σχέδιό σου;» Μετά κυκλώθηκε το 1 Μετά όλο το 16

40 τρόποι αναγνώρισης του αριθµητικού συµβόλου εμφανίστηκαν 4 επίπεδα κατανόησης του αριθμητικού συμβόλου: ΕΠ1, ο αριθμός ως ταμπέλα: το 6 είναι το κανάλι 6 στην tv ΕΠ2, επιφανειακή σχέση ανάμεσα στον αριθμό και στο σχέδιο: π.χ., ένα παιδί συσχέτισε το χρώμα με το οποίο κυκλώθηκε το 6 με το χρώμα με το οποίο σχεδίασε κάποια αντικείμενα. ΕΠ3: ο μονοψήφιος αριθμός αναπαριστά ποσότητες αλλά δεν έχει γίνει κατανοητός και ο διψήφιος ο διψήφιος δεν έχει νόημα αν χωριστεί το 6 στο 16, αναπαριστά 6 ρόδες και το 1 ένα αυτοκίνητο ΕΠ4: κατανοείται το 16 ως σύμβολο 16 αντικειμένων αλλά όχι το 6 είναι μέρος τους 16 (το μέρος του όλου) Επ4: κατανόηση της αξίας θέσης

41 προϋποθέσεις κατανόησης της αξίας θέσης η κατανόηση της αξίας θέσης προϋποθέτει την υιοθέτηση μιας σειρά κανόνων που κατασκευάζονται προοδευτικά: Ο κανόνας συμβολισμού: το 1 του 16 συμβολίζει δέκα γιατί είναι γραμμένο στη στήλη των δεκάδων Οι αριθμητικές σχέσεις μεταξύ μέρους και όλου: το 1 του 16 συμβολίζει 10 και προσθέτοντας 6 κάνει 16 Ο πολλαπλασιασμός: το 1 του 16 αναπαριστά 10 διότι 1x10=10 Μέχρι και την Γ Δημοτικού οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την αξία θέσης και τη σχέση μέρους όλου στα αριθμητικά σύμβολα

42 προϋποθέσεις κατανόησης της αξίας θέσης Προσθετική ανάλυση/σύνθεση του αριθμού (ή ιεραρχικός εγκλεισμός) ο αριθμός αποτελείται από σύνολο μονάδων π.χ., το 23 είναι εικοσιτρείς μονάδες που μπορούν να ομαδοποιηθούν, π.χ., σε δύο δεκάδες (20 μονάδες) + 3 μονάδες Μέρος του όλου ο μικρότερος αριθμός είναι μέρος του μεγαλύτερου αλλά όχι το αντίστροφο π.χ., το 5 είναι μέρος του 6, το 6 είναι 5 και 1 το 23 περιέχει 2 δεκάδες Διατακτικότητα του αριθμού - Διαδοχή των αριθμών: η λέξη έξι είναι πιο μετά στη διαδοχή των λέξεων από το 5, κι αυτό σημαίνει ότι είναι μεγαλύτερο

43 η έννοια της µονάδας στα συστήµατα αρίθµησης µε αξία θέσης συστήματα αρίθμησης με αξία θέσης σημαίνει την ικανότητα απαρίθμησης μονάδων διαφορετικών μεγεθών (κλάσεων) π.χ., σε μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες η βάση είναι οι µονάδες (µέτρησης) και είναι οµαδοποιήσεις µικρότερων µονάδων π.χ., η δεκάδα είναι μια ομάδα 10 μονάδων Στα αγγλικά αυτή η ομαδοποίηση και η αξία θέσης είναι πιο εμφανής στη γλώσσα three thousand five hundred and sixty- seven και στα γαλλικά στα ελληνικά οι διαφορετικές καταλήξεις των λέξεων ορίζουν τις διαφορετικές δεκάδες, εκατοντάδες, κτλ. π.χ., τριάντα, εξήντα, εβδομήντα τριακόσια, εφτακόσια, κτλ.

44 η έννοια της µονάδας στα συστήµατα αρίθµησης µε αξία θέσης ΙΙ ο 267 είναι πάντα μεγαλύτερος από τον 56? ναι, εφόσον οι αριθμοί αυτοί αναπαριστούν σύνολο μονάδων ίδιας ποιότητας: 267cm είναι λιγότερα από 56m το 267 (σκέτο) είναι πάντα μεγαλύτερο από το 56 (σκέτο) επειδή και τα δύο (σκέτα) συμβολίζουν αριθμό (πλήθος) μονάδων 1 κι άρα μπορούν να συγκριθούν αλλιώς θα έπρεπε να μεταφραστούν στις ίδιες μονάδες για να γίνει η σύγκριση

45 η έννοια της µονάδας στα συστήµατα αρίθµησης µε αξία θέσης ΙΙΙ οι μονάδες βάσης είναι σαν τις μονάδες μέτρησης π.χ., το μέτρο είναι ομαδοποίηση εκατοστών, το κιλό ομαδοποίηση γραμμαρίων, το νόμισμα είναι ομαδοποίηση ευρώ είναι σημαντική η κατανόηση των αντιστοιχίσεων ανάμεσα σε αξία και θέση και η κατανόηση ότι η σύγκριση πρέπει να λαμβάνει υπόψιν τη μονάδα μέτρησης και τη θέση π.χ., 2m είναι μεγαλύτερο από 187cm

46 η γν. ανάπτυξη του αριθµητικού συστήµατος αξίας θέσης Alexander Luria η κατανόηση της δομής του δεκαδικού συστήματος έρχεται μετά την μάθηση της γραφής των αριθμών και σαν αποτέλεσμα αυτής δηλ. γράφοντας το 796 και λέγοντάς το καταλαβαίνουμε τη σημασία του 7 σε αυτή τη θέση ασθενείς με εγκεφαλική βλάβη που είχε επηρεάσει τη γραφή, δεν μπορούσαν να κάνουν και πρόσθεση με διψήφιους παρόλα αυτά αυτή δεν είναι και η μόνη εξήγηση

47 η γν. ανάπτυξη του αριθµητικού συστήµατος αξίας θέσης Terezinha Nunes Μελέτησε παιδιά που δεν έχουν ακόμα διδαχθεί γραφή αριθμών και ενήλικες που δεν είχαν πάει σχολείο και δεν ήξεραν γραφή τους ζήτησε να συγκρίνουν ποσότητες χρημάτων εκφρασμένες σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης (στους ανήλικου δόθηκαν ενώ στου ενήλικες έπρεπε να τα φανταστούν) π.χ., με τι αγόραζες περισσότερα πράγματα με 4 κέρματα του 1c ή με 4 κέρματα 10c? οι ενήλικες πέτυχαν όλοι όπως και ένα πολύ υψηλό ποσοστό των ανήλικων

48 σχέση της προσθετικής σύνθεσης µε γραφή των αριθµών φάνηκε μάλιστα ότι ισχύει το αντίστροφο: για να μπορέσουν οι μαθητές να μάθουν τη γραφή των αριθμών θα πρέπει να έχουν κατανοήσει την προσθετική ανάλυση/σύνθεση των αριθμών δεν υπήρχαν μαθητές που μπορούσαν να γράψουν σωστά αριθμούς (π.χ, το 38) ενώ δεν μπορούσαν να καταλάβουν ότι αποτελείται από 3 δεκάδες και 8 μονάδες Αντίθετα υπήρχαν μαθητές που ενώ καταλάβαιναν την προσθετική ανάλυση/σύνθεση των αριθμών έκαναν λάθη στη γραφή π.χ., το εκατόν είκοσι το έγραφαν το 1161 το έγραφαν Nunes (2008)

49 η γν. ανάπτυξη του αριθµητικού συστήµατος αξίας θέσης Terezinha Nunes επίσης οι συμμετέχοντες μπορούσαν να κάνουν με επιτυχία τα προσθετικά έργα όπου έπρεπε να συνδυάζουν κέρματα για να βγάλουν ένα συγκεκριμένο ποσό. Συμπεράσματα: φάνηκε έτσι ότι η κατανόηση του δεκαδικού συστήματος δεν προϋποθέτει την μάθηση της γραφής των αριθμών η προφορική χρήση των αριθμών και η εξοικείωση με τα νομίσματα βοηθάει τα παιδιά μπορεί να μπορούν να απαριθμήσουν σωστά αλλά αυτό δε σημαίνει ότι έχουν κατανοήσει τη σχετική αξία θέσης των ψηφίων π.χ., λίγα παιδιά κατάφερναν να κατασκευάσουν αριθμούς με διαφορετικές μικρότερες μονάδες έστω κι αν μπορούσαν να απαριθμήσουν σωστά

50 προσθετική ιδιότητα του αριθµού και µερική απαρίθµηση Ρωτάμε το παιδί πόσο κάνουν Ολική απαρίθμηση: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Μερική απαρίθμηση: (ξεκινάω απο το πρώτο, το 3) 4, 5, 6, 7, 8 Ελάχιστη απαρίθμηση: (ξεκινάω απο το μεγαλύτερο ώστε να κάνω τις λιγότερες δυνατές αυξήσεις) 6, 7, 8 η ικανότητα για μερική και ελάχιστη απαρίθμηση που αναπτύσσεται λίγο αργότερα από την ολική, δείχνει ότι το παιδί έχει κατανοήσει την προσθετική ιδιότητα του αριθμού, ότι ένας μικρότερος αριθμός περιέχεται σε έναν μεγαλύτερο

51 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών γραφής των αριθµών

52 ανάπτυξη της γραφής των αριθµών Η γν. ανάπτυξης της γραφής των αριθμών δεν είναι ανάλογη του μεγέθους των αριθμών δηλ. δεν μαθαίνουν πρώτα τους μικρότερους κι ύστερα τους μεγαλύτερους κάποιοι στρόγγυλοι αριθμοί μαθαίνονται πιο γρήγορα, λόγω συχνότερης χρήσης τους στην καθημερινή ζωή π.χ., 10, 60, 100, 1000, σε σχέση με 34, 79, 478

53 ανάπτυξη της γραφής των αριθµών Όταν ζητήθηκε από μικρά παιδιά να παράγουν γραπτούς αριθμούς έκαναν τα παρακάτω λάθη: κάποια παιδιά έγραψαν αριθμούς χρησιμοποιώντας μια ένα προς ένα σχέση των ψηφίων με τα συνθετικά της αριθμητικής λέξης: π.χ., το 25 με δύο ψηφία ενώ το 60 με ένα το συχνότερο λάθος ήταν να γράφονται αριθμοί που αναπαριστούν όλες τις αριθμολέξεις σαν πρόσθεση και όχι σαν σύνθεση π.χ., το 2569 γράφεται ως ή τους αριθμούς χωρίς την ορθή αξία θέσης π.χ., το 74 ως 47

54 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών εφαρµογές στη διδασκαλία

55 εφαρµογές στη διδασκαλία χτίσιμο αριθμών με αντικείμενα που είναι οργανωμένα σε μονάδες, δυάδες, τετράδες, οχτάδες,... μονάδες, 6άδες, 12άδες, 24άδες,... μονάδες, 10δες, 100δες, 1000δες εναλλαγές στα συστήματα από την αναπαράσταση με αντικείμενα στο σύμβολο και αντίστροφα χρήση αλληλοδιδασκαλίας, συνεργατικής, βιωματική μάθηση

56 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών σύμβολο των αριθμών

57 σχέση αριθμού με ποσότητα ας κάνουμε μια αναλογία με τη γλώσσα η λέξη ΜΠΑΛΑ είναι η μπάλα; όχι, είναι ένα σύμβολο που αναπαριστά την μπάλα ούτε η εικόνα της μπάλας είναι η μπάλα πίσω στους αριθμούς κι αυτή η εικόνα είναι μια αναπαράσταση του 8, δεν είναι το 8 το νούμερο 8, αναπαριστά μια ποσότητα 8 57

58 οι διαφορετικές χρήσης του αριθμού ως σύμβολο Ένα νούμερο (π.χ., 8) αναπαριστά ένα αριθμητικό σύμβολο, μία αριθμολέξη, το πλήθος ενός συνόλου διακριτών αντικειμένων (πληθικότητα του αριθμού), μια θέση στην αριθμογραμμή ή στον πινάκα των αριθμών ή τη θέση στην σειρά απαρίθμησης(διατακτικότητα του αριθμού), αναπαριστά το όνομα κάποιου (ονομαστική χρήση του αριθμού), την αξία θέσης ενός αριθμού σε ένα αριθμητικό σύστημα, κοκ. π.χ., Το νούμερο 1 μπορεί ανάλογα με τη θέση του να αναπαριστά μία δεκάδα ή μια εκατοντάδα ή και μία μονάδα Ο Γιώργος, είναι το 2ο παιδί μιας οικογένειας με 4 παιδιά, γεννήθηκε στις 8 9ου του 1989, στις 4:45,στο δωμάτιο 422 (δηλαδή στον 4ο όροφο της κλινικής) με βάρος 2,3kgr και ύψος 35cm. Ένα σημαντικό στοιχείο της αναπαράστασης είναι η κατανόηση των διαφορετικών χρήσεων των αριθμητικών συμβόλων ανάλογα με το πλαίσιο 58

59 διάφορες μορφές του αριθμού 59

60 αναπαραστάσεις του 8 60

61 μορφή του αριθμού } Μορφή του αριθµού είναι οι διαφορετικές αναπαραστάσεις που µπορεί να πάρει ο αριθµός 61

62 αναπαραστάσεις του αριθμού Λεκτικές: τρία Ηχητικές: τρία! Συμβολικές: μελάνι σε χαρτί (3, τρία) Μηχανικές, πλήκτρο 3 σε μία μηχανή Ιστογραμμικές Ισομορφισμός ανάμεσα σε πράξεις με αναπαραστάσεις και 4 4 αριθμητικές πράξεις; Z1 Z2 Z3 Z4 62

63 χαρακτηριστικά της μάθησης στο Νηπιαγωγείο Τα νήπια μαθαίνουν να αναγνωρίζουν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις των ψηφίων. π.χ., το 6 που αναπαριστά πλήθος(π.χ., 6 μολύβια) - πληθικότητα του αριθμού 6 που αναπαριστά θέση στη σειρά των αριθμών (2 μετά το 4) - διατακτικότητα του αριθμού 6 που αναπαριστά όνομα (πχ., η φανέλα με τον αριθμό 6) - ονομαστική χρήση του αριθμού αρχίζουν να κατανοούν ότι η θέση ενός ψηφίου έχει σημασία αλλά μόνο αργότερα κατανοούν εννοιολογικά την αξία θέσης (π.χ., το ρόλο του 1 στο 12 και στο 21). Ακόμα κι αν μετρούν μέχρι και το 30 δεν κατανοούν το 24 ως 2 δεκάδες και 4 μονάδες αλλά ως 24 μονάδες Μπορούν να αναγνωρίσουν τα αριθμητικά σύμβολα μέχρι το 5 και να τα αποτυπώσουν και ίσως και μέχρι το 10 μέχρι το τέλος της χρονιάς. Βέβαια συχνά μπερδεύουν κάποια σύμβολα ειδικά, π.χ., το 2 με το 5, το 6 με το 9 63

64 αριθμητικές αναπαραστάσεις των νηπίων Γράψε τι είναι πάνω στο τραπέζι (είναι π.χ., 3 μολύβια ή 5 σπιτάκια) Ολική αναπαράσταση της ποσότητας (4 ετών περίπου) τόσα σύμβολα (π.χ., γραμμούλες) όσα τα μολύβια, σε ένα προς ένα αντιστοίχηση Αναπαράσταση του ίδιου του αντικειμένου (4 ετών περίπου) ένα σπιτάκι για τα πέντε σπιτάκια Ένα προς ένα αντιστοίχιση με σύμβολα (4-5 ετών περίπου) π.χ., 3 α (ααα) για τρία σπιτάκια Ένα προς ένα αντιστοίχιση με χρήση αριθμητικών συμβόλων (4-5 ετών περίπου) π.χ., 333 ή 123 για 3 σπιτάκια, απόλυτη τιμή (5.5 ετών περίπου) οι αριθμοί 3 ή 5 για τρία ή πέντε σπιτάκια αντίστοιχα Απόλυτη τιμή και αναπαράσταση του ίδιου του αντικειμένου (5.5 ετών περίπου) π.χ., 3 σπιτάκι, ή 5 μολύβι (Sinclair, et al 1983) 64

65 αριθμητικές αναπαραστάσεις των νηπίων Υπάρχει ανάπτυξη από την ολιστική αναπαράσταση της ποσότητας (τα 3 σπιτάκια είναι μια ολότητα (ένα πράγμα) που μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα σύμβολο, σε μία κατανόηση της διακριτότητας (εστίαση σε κάθε αντικείμενο χωριστά) και τέλος σε μεγαλύτερη αφαίρεση όπου το σύμβολο αναπαριστά μόνο την ποσότητα είτε με τα συμβατικά σύμβολα είτε με συνδυασμούς συμβατικών και υποκειμενικών συμβόλων 65

66 αναπαραστάσεις νηπίων 66

67 αναπαραστάσεις νηπίων 2 67

68 δραστηριότητες πέρασμα από παιχνίδια με ζάρια απλά σε ζάρια με αριθμούς και μεικτά ώστε να γίνεται η σύνδεση χρήση μαγνητικών αριθμών που τοποθετούνται πάνω σε μεταλλικά κουτιά για να ορίσουν τον αριθμό των αντικειμένων που έχουν μέσα, (βλ. Hughes, 1986) επέκταση με χρήση συμβόλων πρόσθεσης/ αφαίρεσης πάνω στα κουτιά, π.χ., +1, - 1, (βλ. Hughes, 1986) 68

69 από την αναπαράσταση µε αντικείµενα στο σύµβολο και αντίστροφα

70 από την αναπαράσταση µε σύµβολα σε λέξεις

71 αλλαγή αναπαραστάσεων

72 αλλαγή αναπαραστάσεων

73 αλλαγή αναπαραστάσεων αντιστοιχίστε

74 αλλαγή αναπαραστάσεων αντιστοιχίστε

75 αλλαγή αναπαραστάσεων αντιστοιχίστε

76 πρακτικές διδασκαλίας για την μερική πρόσθεση: μέτρηση από μη- ορατό αριθμό π.χ., μέσα στο κουτί είναι 4 καραμέλες, πάρε άλλες 5 (ορατές), πόσες είναι όλες; τα παιδιά που αποτυγχάνουν απαριθμούν μόνο τα ορατά αντικείμενα (δηλ, θα λέγανε 5 καραμέλες) ή ξεκινούν από το 1 για όλα τα αόρατα και συνεχίζουν με τα ορατά (δηλ, θα λέγανε 6 καραμέλες) σαν στρατηγικές χρησιμοποιούν να κρατήσουν στα δάχτυλά τους τον αόρατο πρώτο προσθετέο και να απαριθμήσουν τον ορατό ή να κουνάν το κεφάλι τους για όσο απαριθμούν τον αόρατο προσθετέο και μετά να συνεχίζουν δυνατά την απαρίθμηση του ορατού

77 συµπεράσµατα η απλή απαρίθμηση με ένα προς ένα αντιστοιχία είναι σημαντική δεξιότητα αλλά δεν είναι ικανή συνθήκη για την κατανόηση του αριθμητικού συστήματος Η κατανόηση ότι ο αριθμός αποτελείται από άθροισμα μονάδων (προσθετική ανάλυση/σύνθεση του αριθμού) είναι προϋπόθεση για να μάθουν τα παιδιά να γράφουν και να διαβάζουν αριθμούς Στην κατανόηση της προσθετικής ανάλυσης/σύνθεσης βοηθάει η ανάπτυξη της στρατηγικής της μερικής απαρίθμησης και της απαρίθμησης και πρόσθεσης αντικειμένων με άγνωστο προσθετέο όταν τα παιδιά μάθουν να γράφουν τους αριθμούς θα αποκτήσουν και νέα εργαλεία για την κατανόηση του αριθμητικού συστήματος ιδιαίτερη σημασία πρέπει να δίνεται στην κατανόηση της έννοιας της μονάδας και τις αλλαγές που επιφέρουν οι αλλαγές στη μονάδα

78 παιχνίδι στη διαδρομή στη διαδρομή ή στο ταξίδι προτείνεται στο παιδί να επιλέξει ένα αντικείμενο και να παρατηρεί πόσα τέτοια βλέπει π.χ., πινακίδες, ποδήλατα, στροφές, κόκκινα αυτοκίνητα, κτλ να σημειώνει σε ένα χαρτί κάθε φορά που συναντά ένα αντικείμενο στο τέλος της διαδρομής να καταμετρήσει όλα τα αντικείμενα να τα καταμετρήσει ομαδοποιώντας τα σε πεντάδες, ή δεκάδες, κοκ ανάλογα το μέγεθος τους road-trip/ 78

79 το καντραν Βασική αναπαράσταση για την αξία θέσης: το καντράν δώστε στα παιδιά να παρατηρήσουν και να παίξουν με το καντράν για να δούνε τις μονάδες να κάνουν κύκλους 0-9 και σε κάθε κύκλο να αυξάνονται κατά 1 οι δεκάδες που επίσης κινούνται κυκλικά 0-9 και σε κάθε κύκλο αυξάνουν τις εκατοντάδες κατά 1 να δούνε τη σημασία του 0 ως τέλος της δεκάδας και αρχής της νέας 79

80 βιβλιογραφία Μαριάννα Τζεκάκη, «Μικρά παιδιά μεγάλα μαθηματικά νοήματα», ψυχολογία Gutenberg Σόνια Καφούση, Χρυσάνθη Σκουρμουδή, «Τα μαθηματικά των παιδιών 4-6 ετών, εκδόσεις Πατάκη. Ζαχάρος, Κ (2007) «Οι Προμαθηματικές έννοιες στην προσχολική εκπαίδευση και η διδασκαλία τους», εκδόσεις Μεταίχμιο Terezinha Nunes & Peter Bryant «Τα παιδιά κάνουν μαθηματικά», ψυχολογία Gutenberg Στέλλα Βοσνιάδου, «Ψυχολογία μαθηματικών» Robert S.Siegler, «Πως σκέφτονται τα παιδιά» Claude Botson et Michele Deliege, «Oι προμαθηματικές διαδικασίες και έννοιες Ευγενία Κολέζα, «Θεωρία και Πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών», εκδόσεις Tόπος. Mar n Hughes, «Τα παιδιά και η έννοια των αριθμών: δυσκολίες στην εκμάθηση των μαθηματικών», εκδόσεις Gutenberg, 1999, Αθήνα