Μαθηματική Εκπαίδευση στην Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία -

Transcript

1 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Μαθηματική Εκπαίδευση στην Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία - Ενότητα: Συστήματα Αρίθμησης και σύμβολα αριθμών Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

2 αριθμητικά συστήματα πιο σωστά: συστήματα αρίθμησης για να μη μπερδεύονται με τα σύνολα των αριθμών: φυσικοί, ρητοί, πραγματικοί, κτλ. είναι τα συμβολικά συστήματα γραφής των αριθμών. το σύνολο των συμβόλων που χρησιμοποιούνται με συστηματικό τρόπο για την αναπαράσταση των αριθμών τα ίδια σύμβολα συμβολίζουν διαφορετικούς αριθμούς σε διάφορα συστήματα αρίθμησης q π.χ., το 11, είναι το 11 στο δεκαδικό, το 3 στο δυαδικό, κοκ ιδανικά ένα σύστημα αρίθμησης μπορεί να αναπαραστήσει όλους τους αριθμούς (ακέραιους, κλάσματα, κτλ) με τα σύμβολά του δίνει σε κάθε αριθμό μία μοναδική αναπαράσταση και με συστηματικότητα αντανακλά την αριθμητική και αλγεβρική δομή των αριθμών q π.χ., το 2.31 γράφεται επίσης 2.310, , , κτλ.

3 αρχαίο ελληνικό σύστημα αρίθμησης Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα αντί για αριθμούς κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μπορούν να κάνουν πολύπλοκους υπολογισμούς με απόλυτη ακρίβεια. q α β γ δ ε ϛ ζ η θ για τους αριθμούς αντίστοιχα q ι κ λ μ ν ξ ο π ϟ για τους αριθμούς αντίστοιχα q ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ για τους αριθμούς Παραδείγματα q Το «,δ» σήμαινε 4.000, ενώ q το 1823 γραφόταν «,αωκγ» και q το «,αζ» σήμαινε Τα ψηφία 1, 2, 3,... που συνηθίζουμε σήμερα ακόμα δεν είχαν εφευρεθεί, αφού πρώτοι τα εφάρμοσαν μεταγενέστερα οι Άραβες βασιζόμενοι στο σύστημα των Ινδών.

4 Text Πολλαπλασιασμός από χειρόγραφο του Ευτόχιου. Αριστερά: αρχαίο Ελληνικό σύστημα, Δεξιά: σημερινή γραφή. 4

5 άλλα αριθμητικά συστήματα και τα αντίστοιχα σύμβολα

6 Ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών Χρησιμοποιούνταν ευρέως στην Αρχαία Ρώμη, αλλά επιβιώνει ακόμη και στις μέρες μας σε συγκεκριμένες περιπτώσεις Είναι ένα σύστημα που απεικονίζει τους αριθμούς με συνδυασμούς γραμμάτων του λατινικού αλφάβητου που ανάλογα με τη διάταξη τους, προστίθενται ή αφαιρούνται. Βασίζεται στο αντίστοιχο σύστημα αναπαράστασης των Ετρούσκων. Στην αρχική του μορφή περιελάμβανε 5 γράμματα q (I, V, X, L και C). Οι δέκα πρώτοι αριθμοί στο ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών είναι : q I=1, II=2, III=3, IV=4, V=5, VI=6, VII=7, VIII=8, IX=9 και Χ=10

7 μοναδιαίο σύστημα αρίθμησης Το απλούστερο σύστημα αρίθμησης είναι το μοναδιαίο σύστημα αρίθμησης, στo οποίo κάθε φυσικός αριθμός αντιπροσωπεύεται από έναν αντίστοιχο αριθμό συμβόλων

8 το αριθμητικό σύστημα των Oksapmi Papua New Guiea

9 σύστημα Braille.

10 αριθμητικά συστήματα θέσης Τα αριθμητικά συστήματα θέσης ή συστήματα αξίας θέσης ή συστήματα βάσης είναι μια μέθοδος αναπαράστασης/κωδικοποίησης των αριθμητικών συμβόλων που χρησιμοποιούν μία βάση για την ομαδοποίηση των αριθμητικών συμβόλων q π.χ., το 10 στο δεκαδικό, το 2 στο δυαδικό, το 60 στο εξηνταδικό,... Διακρίνεται από άλλα συμβολικά συστήματα (όπως το ρωμαϊκό) γιατί κάνει χρήση του ίδιου συμβόλου για τις διαφορετικές τάξεις μεγέθους q για παράδειγμα, για τις «μονάδες», «δεκάδες», «εκατοντάδες». Αυτή η πολύ απλουστευμένη αριθμητική οδήγησε στην ταχεία εξάπλωση της συγκεκριμένης σημειογραφίας σε όλο τον κόσμο. Με τη χρήση ενός κόμματος (υποδιαστολή), ο συμβολισμός μπορεί να επεκταθεί για να συμπεριλάβει δεκαδικούς. Το ινδο-αραβικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα παράδειγμα για ένα αριθμητικό συστήματα θέσης με βάση τον αριθμό 10, που λέγεται και δεκαδικό σύστημα.

11 το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης

12 Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Είναι ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το δέκα (10). Όπως συμβαίνει με όλα τα συστήματα αρίθμησης, είναι ένα σύστημα που χρησιμοποιεί ο άνθρωπος έτσι ώστε να περιγράψει ποσότητες ή πλήθος αντικειμένων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση για τη δημιουργία των ονομασιών των ποσοτήτων χρησιμοποιούνται δέκα σύμβολα, τα γνωστά μας: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. Για το λόγο αυτό λέγεται "δεκαδικό" και για το λόγο αυτό λέμε ότι έχει βάση το δέκα. οποιαδήποτε αριθμητική τιμή μπορεί να αποτυπωθεί με έναν συνδυασμό των δέκα αυτών ψηφίων q π.χ., 2367

13 τα σύμβολα έχουν σχέση με τον αριθμό των γωνιών???

14 αυτό είναι μύθος Η θεωρία αυτή ωστόσο μπορεί να φαίνεται πολύ λογική, αλλά δεν είναι τίποτα παραπάνω από ένας έξυπνος μύθος! Η αλήθεια είναι ότι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε σήμερα έχουν όντως προέλευση από την Ινδία που στη συνέχεια πέρασε δυτικά στους Άραβες και τον υπόλοιπο κόσμο, όμως τα σύμβολα που χρησιμοποιούσαν -εξέλιξη των οποίων είναι και οι σημερινοί αριθμοί- δεν είχαν να κάνουν με τις γωνίες κάθε συμβόλου. Τα πρώτα ψηφία από τα οποία εξελίχθηκε αργότερα η Ινδο-Αραβική αριθμολογία, εμφανίστηκαν τον 3ο αιώνα π.χ., ενώ το 0 καταγράφηκε το 870 μ.χ. στην Κεντρική Ινδία και νωρίτερα, τον 6ο αιώνα, στην Περσία. Ο άμεσος πρόγονος των αριθμών που χρησιμοποιούνται σήμερα σε όλο τον κόσμο, εμφανίστηκε τον 10ο αιώνα στην περιοχή Maghreb που στην σύγχρονη εποχή αποτελείται από 5 χώρες της βόρειας Αφρικής: Λιβύη, Μαρόκο, Μαυριτανία, Τυνησία, Αλγερία, και την περιοχή Al-Adalus που περιελάμβανε κομμάτια της σημερινής Ισπανίας και Πορτογαλίας. Οι πρώτες αναφορές της Δύσης στα συγκεκριμένα σύμβολα έγιναν το 976 μ.χ. στο βιβλίο Codex Vigilaus, ενώ χρειάστηκαν αρκετοί αιώνες και η πολύτιμη βοήθεια της εκτύπωσης σε χαρτί, μέχρι να καθιερωθούν στην Ευρώπη τον 15ο αιώνα.

15 δεκαδικά συστήματα αρίθμησης

16 εξέλιξη των αραβικών συμβόλων

17 Θεσιακό σύστημα αρίθμησης ή σύστημα αρίθμησης με αξία θέσης, είναι το σύστημα αρίθμησης στο οποίο οι αριθμοί παριστάνονται με ορισμένα σύμβολα ή συνδυασμούς τους και η αξία των αριθμών αυτών εξαρτάται από: q q την αξία των συμβόλων και τη θέση των συμβόλων π.χ., το 4 και το 3 έχουν άλλη αξία σε στο 34 Για παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα έχουμε τα σύμβολα (0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9) και βάση το 10. Η αξία π.χ. του αριθμού 2674, με βάση την θέση των συμβόλων στον αριθμό, υπολογίζεται ως: q ( ) + ( ) + ( ) + ( ) q ( ) + ( ) + ( 7 10 ) + ( 4 1 ).

18 Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης ως σύστημα αξίας θέσης Το δεκαδικό σύστημα είναι σύστημα αξίας θέσης με βάση (ή ρίζα) το 10 κι αυτό σημαίνει ότι σε κάθε αριθμό, κάθε ψηφίο του πολλαπλασιάζεται επί το 10 υψωμένο σε δύναμη που αντιστοιχεί στην θέση του ψηφίου αυτού. - δηλαδή ο αριθμός γράφεται μια σειρά συμβόλων που αναπαριστούν τις δεκάδες του αριθμού: δηλ. κάθε αριθμός γράφεται ως: κάποιες μονάδες δηλαδή μηδενικές δεκάδες, και κάποιες δεκάδες, και κάποιες δεκάδες δεκάδες δηλαδή εκατοντάδες, και δεκάδες εκατοντάδες δηλαδή χιλιάδες, κοκ Για παράδειγμα: q 83=( ) + ( ) q 1245=( ) + ( ) + ( ) + ( )

19 Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Το ίδιο ισχύει και για τους δεκαδικούς αριθμούς, αλλά χρησιμοποιούμε αρνητικές δυνάμεις του 10. q π.χ. 0,75=( ) + ( ) Έτσι, ένας αριθμός με ακέραιο και δεκαδικό μέρος, έχει ψηφία υψωμένα σε θετικές και αρνητικές δυνάμεις της βάσης 10. π.χ. q 134,95=( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )

20 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών το δυαδικό σύστημα αρίθμησης 20

21 το δυαδικό σύστημα Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης αναπαριστά αριθμητικές τιμές χρησιμοποιώντας δύο σύμβολα, το 0 και το 1. Ονομάζεται δυαδικό επειδή έχει βάση το 2 και άρα η αναπαράσταση της πληροφορίας γίνεται με χρήση δύο συμβόλων. Πιο συγκεκριμένα, το δυαδικό είναι ένα σύστημα αξίας θέσης με βάση το δύο. Κάθε ψηφίο ανήκει σε μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερη κατά ένα από αυτήν του ψηφίου στα δεξιά του. Έτσι, κάθε ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού από δεξιά προς τ' αριστερά δηλώνει μονάδες, δυάδες, τετράδες, οκτάδες κ.ο.κ.

22 Θεσιακό σύστημα αρίθμησης έτσι, στο δυαδικό σύστημα έχουμε τα σύμβολα 0,1 και βάση το 2. ο αριθμός ομαδοποιείται σε δυάδες για να αναπαρασταθεί συμβολικά: δηλ. σε κάποιες μονάδες (δηλαδή σε κάποιες μηδενικές δυάδες), σε κάποιες δυάδες, σε κάποιες δυάδες δυάδων δηλαδή τετράδες, και σε κάποιες δυάδες τετράδων δηλαδή οκτάδες, κοκ Η αξία π.χ. του αριθμού (δυαδικός), υπολογίζεται ως: q ( ) + ( ) + ( ) = 5 10 (ο αριθμός που προκύπτει είναι στο δεκαδικό σύστημα)

23 στο δυαδικό σύστημα Ο δυαδικός αριθμός αναπαριστά ποσότητα ίση με 1 μονάδα (1 * 2 0 ), 0 δυάδες (0 * 2 1 ), 1 τετράδα (1 * 2 2 ) και 1 οκτάδα (1 * 2 3 ). Διαβάζεται : "ένα,ένα,μηδέν,ένα με βάση 2". Ισούται δηλαδή με τον αριθμό 13 του δεκαδικού συστήματος

24 Δυαδικό σύστημα στους υπολογιστές Η αποθήκευση και επεξεργασία των δεδομένων στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές γίνεται ψηφιακά. q q π.χ., 0: κλείνω το κύκλωμα και περνάει ρεύμα, 1: ανοίγω το κύκλωμα και κόβεται το ρεύμα. Οδηγώντας, την είσοδο ενός λογικού κυκλώματος με τάση ρεύματος μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ +3 Volts) αναπαριστούμε το ψηφίο "1", ενώ οδηγώντας την είσοδο με τάση ρεύματος μικρότερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ +2 Volts) αναπαριστούμε το ψηφίο "0". Λόγω της σχετικά απλής υλοποίησης στα ηλεκτρονικά κυκλώματα το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται εκτεταμένα στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την αναπαράσταση αριθμητικών δεδομένων.

25 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών άλλα συστήματα αρίθμησης

26 άλλα συστήματα αρίθμησης Το εξαδικό σύστημα αρίθμησης είναι σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 6, και χρησιμοποιεί τα ψηφία από 0 έως 5. ίδια, το επταδικό σύστημα αρίθμησης είναι σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 7, και χρησιμοποιεί τα ψηφία από 0 έως 6.

27 σκέψου το 27 στο οχταδικό σύστημα είναι το 23 στο δεκαδικό γιατί είναι 2 οχτάδες και 7 μονάδες το 123 στο τετραδικό σύστημα είναι το 27 στο δεκαδικό γιατί είναι 1 δεκαεξάδα 2 τετράδες και 3 μονάδες το 37 στο εξαδικό σύστημα... δεν υπάρχει γιατί το 7 δεν υπάρχει ως σύμβολο στο εξαδικό 27

28 πλεονεκτήματα συστημάτων αξίας θέσης Στο αρχ. Ελληνικό σύστημα αρίθμησης και στο Ρωμαϊκό, δεν υπάρχει αξία της θέσης q π.χ., το σύμβολο για το 2, όπου κι αν εμφανίζεται σημαίνει το ίδιο Στα συστήματα με αξία θέσης το σύμβολο έχει άλλη αξία ανάλογα με τη θέση του q π.χ., στο δεκαδικό σύστημα το 2, στο 12, στο 25, και στο 279 έχει διαφορετική αξία το πρώτο τέτοιο σύστημα ήταν το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλώνιων q διατηρείται ακόμα για παράδειγμα στη μέτρηση του χρόνου

29 πλεονεκτήματα συστημάτων αξίας θέσης ΙΙ Βοηθάει στη παραγωγή ονομάτων για τους αριθμούς χωρίς να χρειάζεται να απομνημονευτούν άπειρες αριθμολέξεις αν γνωρίζεις τις βασικές αριθμολέξεις μπορείς να φτιάξεις το όνομα κάθε αριθμού από μόνη σου q π.χ., 35, 78, 789, 1789, κοκ Τα αριθμητικά συστήματα επιλύουν τα προβλήματα της περιορισμένης ανθρώπινης μνήμης

30 αριθμητικά συστήματα αξίας θέσης και αριθμολέξεις για να κατανοήσεις τη σημασία που έχουν τα αριθμητικά συστήματα όπως το δεκαδικό προσπάθησε να σκεφτείς πως θα ήταν οι αριθμολέξεις σε άλλα αριθμητικά συστήματα όπως για παράδειγμα στο πενταδικό. θα δεις ότι τα αριθμητικά συστήματα θέσης αναπτύσσουν ενδιαφέρουσες κανονικότητες που βοηθούν στην κατανόηση και χρήση των αριθμών από τους ανθρώπους πολύ σημαντικό λόγω των περιορισμών στη μνήμη εργασίας (θυμήσου 7+-2)

31 πλεονεκτήματα συστημάτων αξίας θέσης ΙΙΙ Βοηθάει στη πιο γρήγορη σύγκριση αριθμών q π.χ., 45 με 73 ή 48 q φαντάσου να έπρεπε να συγκρίνεις στο μοναδιαίο σύστημα: ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιι με ιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιι Γρήγοροι υπολογισμοί: στα συστήματα που υπάρχει αξία θέσης οι πράξεις γίνονται σε στήλες

32 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών περί συστημάτων αρίθμησης

33 τα συστήματα αρίθμησης: είναι κοινωνικές κατασκευές δεν υπάρχει σημαντικό λόγος γιατί να επιλεγεί το ένα ή το άλλο στα δεκαδικά συστήματα υπάρχουν διαφοροποιήσεις ανά γλώσσα

34 αριθμοί και λέξεις υπάρχουν γλώσσες όπου οι αριθμολέξεις έχουν σχέση με τις ποσότητες που αναπαριστούν q π.χ., στα ινδικά η λέξη ένα είναι η λέξη φεγγάρι η λέξη δύο είναι η λέξη μάτια, το τέσσερα είναι το αδερφούς γιατί στην ινδική μυθολογία ο Ράμα έχει τέσσερις αδερφούς, η λέξη επτά είναι το κεφάλι που έχει επτά ανοίγματα, κοκ.

35 απαγγελία και γλώσσα Διαφορετικές γλώσσες υποστηρίζουν ή και δυσκολεύουν τη μάθηση τέτοιων λέξεων ανάλογα αν ακολουθούν κανονικότητες ή όχι και από ποιον αριθμό και πάνω π.χ., q Ελληνικά: δώδεκα, δεκατρία... q Αγγλικά: twelve, thirtee,. q Κινέζικα, Γιαπωνέζικα, Κορεάτικα: 12= δεκαδύο, 22=δύο δέκα δύο αυτές οι διαφορές επιδρούν στις επιδόσεις των μαθητών με τη χρήση των αριθμών

36 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών αναγνώριση και γραφή των αριθμών γνωστική τους ανάπτυξη

37 αναγνώριση και γραφή των αριθμών Μέχρι και την πρώτη τάξη του Δημοτικού οι μαθητές συχνά δεν αναγνωρίζουν τα αριθμητικά σύμβολα, ούτε ξέρουν να γράφουν τους αριθμούς q έστω κι αν από πολύ πιο νωρίς απαγγέλλουν τη σειρά ακολουθίας των αριθμών και ξέρουν να απαριθμούν αυτή η αναντιστοιχία καλύπτεται γρήγορα γιατί στο σχολείο διδάσκεται η απαγγελία σε συνδυασμό με τα σύμβολα των αριθμών και έτσι γίνεται το γεφύρωμα

38 σύμβολα για τους αριθμούς από τα παιδιά Ζητήθηκε από παιδιά που δεν έχουν διδαχθεί αριθμητικά σύμβολα να στείλουν ένα γραπτό μήνυμα σε συμμαθητή τους που να τους δηλώνουν το πλήθος ενός συνόλου. q Πρώτος τύπος συμβόλων: ένα αφηρημένο σχήμα που καμία σχέση δεν είχε με το πλήθος q Δεύτερος τύπος συμβόλων: ένα σχέδιο που διατηρούσε σχέση ένα προς ένα με το ζητούμενο πλήθος q Τρίτος τύπος συμβόλων: χρήση των γνωστών συμβόλων για τους αριθμούς αλλά ως αντικείμενα κι όχι ως σύμβολα, π.χ., για το 6 έγραφαν 1, 2, 3, 4, 5, 6 που ήταν έξι σύμβολα q Τέταρτος τύπος συμβόλων: χρήση των γνωστών συμβόλων ως σύμβολα της αριθμητικής αξίας Μέχρι τα 6 χρόνια έχουν συνήθως εξαφανιστεί οι απαντήσεις του πρώτου τύπου και μέχρι τα 10 χρόνια έχει κυριαρχήσει ο τέταρτος τύπος

39 τρόποι αναγνώρισης του αριθμητικού συμβόλου Τα παιδιά (4.9 χρονών) σχεδίασαν 4 αυτοκινητάκια με τις ρόδες τους. Μετά τους δόθηκε ο αριθμός 16. q Κυκλώθηκε το 6 και τα παιδιά ρωτήθηκαν: «τι σχέση έχει αυτό το μέρος του 16 με τις ρόδες που σχεδίασες; μπορείς να μου δείξεις πάνω στο σχέδιό σου;» q Μετά κυκλώθηκε το 1 q Μετά όλο το 16

40 τρόποι αναγνώρισης του αριθμητικού συμβόλου εμφανίστηκαν 4 επίπεδα κατανόησης του αριθμητικού συμβόλου: q q q q q ΕΠ1, ο αριθμός ως ταμπέλα: το 6 είναι το κανάλι 6 στην tv ΕΠ2, επιφανειακή σχέση ανάμεσα στον αριθμό και στο σχέδιο: π.χ., ένα παιδί συσχέτισε το χρώμα με το οποίο κυκλώθηκε το 6 με το χρώμα με το οποίο σχεδίασε κάποια αντικείμενα. ΕΠ3: ο μονοψήφιος αριθμός αναπαριστά ποσότητες αλλά δεν έχει γίνει κατανοητός και ο διψήφιος ο διψήφιος δεν έχει νόημα αν χωριστεί το 6 στο 16, αναπαριστά 6 ρόδες και το 1 ένα αυτοκίνητο ΕΠ4: κατανοείται το 16 ως σύμβολο 16 αντικειμένων αλλά όχι το 6 είναι μέρος τους 16 (το μέρος του όλου) Επ4: κατανόηση της αξίας θέσης

41 προϋποθέσεις κατανόησης της αξίας θέσης η κατανόηση της αξίας θέσης προϋποθέτει την υιοθέτηση μιας σειρά κανόνων που κατασκευάζονται προοδευτικά: Ο κανόνας συμβολισμού: το 1 του 16 συμβολίζει δέκα γιατί είναι γραμμένο στη στήλη των δεκάδων q Οι αριθμητικές σχέσεις μεταξύ μέρους και όλου: το 1 του 16 συμβολίζει 10 και προσθέτοντας 6 κάνει 16 q Ο πολλαπλασιασμός: το 1 του 16 αναπαριστά 10 διότι 1x10=10 q Μέχρι και την Γ Δημοτικού οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την αξία θέσης και τη σχέση μέρους όλου στα αριθμητικά σύμβολα

42 προϋποθέσεις κατανόησης της αξίας θέσης Προσθετική ανάλυση/σύνθεση του αριθμού (ή ιεραρχικός εγκλεισμός) ο αριθμός αποτελείται από σύνολο μονάδων π.χ., το 23 είναι εικοσιτρείς μονάδες που μπορούν να ομαδοποιηθούν, π.χ., σε δύο δεκάδες (20 μονάδες) + 3 μονάδες Μέρος του όλου ο μικρότερος αριθμός είναι μέρος του μεγαλύτερου αλλά όχι το αντίστροφο π.χ., το 5 είναι μέρος του 6, το 6 είναι 5 και 1 το 23 περιέχει 2 δεκάδες Διατακτικότητα του αριθμού - Διαδοχή των αριθμών: η λέξη έξι είναι πιο μετά στη διαδοχή των λέξεων από το 5, κι αυτό σημαίνει ότι είναι μεγαλύτερο

43 η έννοια της μονάδας στα συστήματα αρίθμησης με αξία θέσης συστήματα αρίθμησης με αξία θέσης σημαίνει την ικανότητα απαρίθμησης μονάδων διαφορετικών μεγεθών (κλάσεων) q π.χ., σε μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες η βάση είναι οι μονάδες (μέτρησης) και είναι ομαδοποιήσεις μικρότερων μονάδων q π.χ., η δεκάδα είναι μια ομάδα 10 μονάδων Στα αγγλικά αυτή η ομαδοποίηση και η αξία θέσης είναι πιο εμφανής στη γλώσσα q three thousad five hudred ad sixty-seve q και στα γαλλικά στα ελληνικά οι διαφορετικές καταλήξεις των λέξεων ορίζουν τις διαφορετικές δεκάδες, εκατοντάδες, κτλ. q π.χ., τριάντα, εξήντα, εβδομήντα q τριακόσια, εφτακόσια, κτλ.

44 η έννοια της μονάδας στα συστήματα αρίθμησης με αξία θέσης ΙΙ ο 267 είναι πάντα μεγαλύτερος από τον 56? ναι, εφόσον οι αριθμοί αυτοί αναπαριστούν σύνολο μονάδων ίδιας ποιότητας: 267cm είναι λιγότερα από 56m το 267 (σκέτο) είναι πάντα μεγαλύτερο από το 56 (σκέτο) επειδή και τα δύο (σκέτα) συμβολίζουν αριθμό (πλήθος) μονάδων 1 κι άρα μπορούν να συγκριθούν αλλιώς θα έπρεπε να μεταφραστούν στις ίδιες μονάδες για να γίνει η σύγκριση

45 η έννοια της μονάδας στα συστήματα αρίθμησης με αξία θέσης ΙΙΙ οι μονάδες βάσης είναι σαν τις μονάδες μέτρησης π.χ., το μέτρο είναι ομαδοποίηση εκατοστών, το κιλό ομαδοποίηση γραμμαρίων, το νόμισμα είναι ομαδοποίηση ευρώ είναι σημαντική η κατανόηση των αντιστοιχίσεων ανάμεσα σε αξία και θέση και η κατανόηση ότι η σύγκριση πρέπει να λαμβάνει υπόψιν τη μονάδα μέτρησης και τη θέση q π.χ., 2m είναι μεγαλύτερο από 187cm

46 η γν. ανάπτυξη του αριθμητικού συστήματος αξίας θέσης Alexader Luria η κατανόηση της δομής του δεκαδικού συστήματος έρχεται μετά την μάθηση της γραφής των αριθμών και σαν αποτέλεσμα αυτής q δηλ. γράφοντας το 796 και λέγοντάς το καταλαβαίνουμε τη σημασία του 7 σε αυτή τη θέση ασθενείς με εγκεφαλική βλάβη που είχε επηρεάσει τη γραφή, δεν μπορούσαν να κάνουν και πρόσθεση με διψήφιους q παρόλα αυτά αυτή δεν είναι και η μόνη εξήγηση

47 η γν. ανάπτυξη του αριθμητικού συστήματος αξίας θέσης Tereziha Nues Μελέτησε παιδιά που δεν έχουν ακόμα διδαχθεί γραφή αριθμών και ενήλικες που δεν είχαν πάει σχολείο και δεν ήξεραν γραφή τους ζήτησε να συγκρίνουν ποσότητες χρημάτων εκφρασμένες σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης (στους ανήλικου δόθηκαν ενώ στου ενήλικες έπρεπε να τα φανταστούν) q π.χ., με τι αγόραζες περισσότερα πράγματα με 4 κέρματα του 1c ή με 4 κέρματα 10c? οι ενήλικες πέτυχαν όλοι όπως και ένα πολύ υψηλό ποσοστό των ανήλικων

48 σχέση της προσθετικής σύνθεσης με γραφή των αριθμών φάνηκε μάλιστα ότι ισχύει το αντίστροφο: για να μπορέσουν οι μαθητές να μάθουν τη γραφή των αριθμών θα πρέπει να έχουν κατανοήσει την προσθετική ανάλυση/σύνθεση των αριθμών δεν υπήρχαν μαθητές που μπορούσαν να γράψουν σωστά αριθμούς (π.χ, το 38) ενώ δεν μπορούσαν να καταλάβουν ότι αποτελείται από 3 δεκάδες και 8 μονάδες Αντίθετα υπήρχαν μαθητές που ενώ καταλάβαιναν την προσθετική ανάλυση/σύνθεση των αριθμών έκαναν λάθη στη γραφή q π.χ., το εκατόν είκοσι το έγραφαν q το 1161 το έγραφαν Nues (2008)

49 η γν. ανάπτυξη του αριθμητικού συστήματος αξίας θέσης Tereziha Nues επίσης οι συμμετέχοντες μπορούσαν να κάνουν με επιτυχία τα προσθετικά έργα όπου έπρεπε να συνδυάζουν κέρματα για να βγάλουν ένα συγκεκριμένο ποσό. Συμπεράσματα: φάνηκε έτσι ότι η κατανόηση του δεκαδικού συστήματος δεν προϋποθέτει την μάθηση της γραφής των αριθμών η προφορική χρήση των αριθμών και η εξοικείωση με τα νομίσματα βοηθάει τα παιδιά μπορεί να μπορούν να απαριθμήσουν σωστά αλλά αυτό δε σημαίνει ότι έχουν κατανοήσει τη σχετική αξία θέσης των ψηφίων q π.χ., λίγα παιδιά κατάφερναν να κατασκευάσουν αριθμούς με διαφορετικές μικρότερες μονάδες έστω κι αν μπορούσαν να απαριθμήσουν σωστά

50 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών γραφής των αριθμών

51 ανάπτυξη της γραφής των αριθμών Η γν. ανάπτυξης της γραφής των αριθμών δεν είναι ανάλογη του μεγέθους των αριθμών q δηλ. δεν μαθαίνουν πρώτα τους μικρότερους κι ύστερα τους μεγαλύτερους κάποιοι στρόγγυλοι αριθμοί μαθαίνονται πιο γρήγορα, λόγω συχνότερης χρήσης τους στην καθημερινή ζωή q π.χ., 10, 60, 100, 1000, σε σχέση με 34, 79, 478

52 ανάπτυξη της γραφής των αριθμών Όταν ζητήθηκε από μικρά παιδιά να παράγουν γραπτούς αριθμούς έκαναν τα παρακάτω λάθη: q κάποια παιδιά έγραψαν αριθμούς χρησιμοποιώντας μια ένα προς ένα σχέση των ψηφίων με τα συνθετικά της αριθμητικής λέξης: q q π.χ., το 25 με δύο ψηφία ενώ το 60 με ένα το συχνότερο λάθος ήταν να γράφονται αριθμοί που αναπαριστούν όλες τις αριθμολέξεις σαν πρόσθεση και όχι σαν σύνθεση π.χ., το 2569 γράφεται ως ή τους αριθμούς χωρίς την ορθή αξία θέσης π.χ., το 74 ως 47

53 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών εφαρμογές στη διδασκαλία

54 εφαρμογές στη διδασκαλία χτίσιμο αριθμών με αντικείμενα που είναι οργανωμένα σε q μονάδες, δυάδες, τετράδες, οχτάδες,... q μονάδες, 6άδες, 12άδες, 24άδες,... q μονάδες, 10δες, 100δες, 1000δες q εναλλαγές στα συστήματα από την αναπαράσταση με αντικείμενα στο σύμβολο και αντίστροφα χρήση αλληλοδιδασκαλίας, συνεργατικής, βιωματική μάθηση

55 συμπεράσματα η απλή απαρίθμηση με ένα προς ένα αντιστοιχία είναι σημαντική δεξιότητα αλλά δεν είναι ικανή συνθήκη για την κατανόηση του αριθμητικού συστήματος Η κατανόηση ότι ο αριθμός αποτελείται από άθροισμα μονάδων (προσθετική ανάλυση/σύνθεση του αριθμού) είναι προϋπόθεση για να μάθουν τα παιδιά να γράφουν και να διαβάζουν αριθμούς Στην κατανόηση της προσθετικής ανάλυσης/σύνθεσης βοηθάει η ανάπτυξη της στρατηγικής της μερικής απαρίθμησης και της απαρίθμησης και πρόσθεσης αντικειμένων με άγνωστο προσθετέο όταν τα παιδιά μάθουν να γράφουν τους αριθμούς θα αποκτήσουν και νέα εργαλεία για την κατανόηση του αριθμητικού συστήματος ιδιαίτερη σημασία πρέπει να δίνεται στην κατανόηση της έννοιας της μονάδας και τις αλλαγές που επιφέρουν οι αλλαγές στη μονάδα

56 παιχνίδι στη διαδρομή στη διαδρομή ή στο ταξίδι προτείνεται στο παιδί να επιλέξει ένα αντικείμενο και να παρατηρεί πόσα τέτοια βλέπει π.χ., πινακίδες, ποδήλατα, στροφές, κόκκινα αυτοκίνητα, κτλ να σημειώνει σε ένα χαρτί κάθε φορά που συναντά ένα αντικείμενο στο τέλος της διαδρομής να καταμετρήσει όλα τα αντικείμενα να τα καταμετρήσει ομαδοποιώντας τα σε πεντάδες, ή δεκάδες, κοκ ανάλογα το μέγεθος τους 56

57 το καντραν Βασική αναπαράσταση για την αξία θέσης: το καντράν δώστε στα παιδιά να παρατηρήσουν και να παίξουν με το καντράν για να δούνε τις μονάδες να κάνουν κύκλους 0-9 και σε κάθε κύκλο να αυξάνονται κατά 1 οι δεκάδες που επίσης κινούνται κυκλικά 0-9 και σε κάθε κύκλο αυξάνουν τις εκατοντάδες κατά 1 να δούνε τη σημασία του 0 ως τέλος της δεκάδας και αρχής της νέας 57

58 βιβλιογραφία Μαριάννα Τζεκάκη, «Μικρά παιδιά μεγάλα μαθηματικά νοήματα», ψυχολογία Guteberg Σόνια Καφούση, Χρυσάνθη Σκουρμουδή, «Τα μαθηματικά των παιδιών 4-6 ετών, εκδόσεις Πατάκη. Ζαχάρος, Κ (2007) «Οι Προμαθηματικές έννοιες στην προσχολική εκπαίδευση και η διδασκαλία τους», εκδόσεις Μεταίχμιο Tereziha Nues & Peter Bryat «Τα παιδιά κάνουν μαθηματικά», ψυχολογία Guteberg Στέλλα Βοσνιάδου, «Ψυχολογία μαθηματικών» Robert S.Siegler, «Πως σκέφτονται τα παιδιά» Claude Botso et Michele Deliege, «Oι προμαθηματικές διαδικασίες και έννοιες Ευγενία Κολέζα, «Θεωρία και Πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών», εκδόσεις Tόπος. Marti Hughes, «Τα παιδιά και η έννοια των αριθμών: δυσκολίες στην εκμάθηση των μαθηματικών», εκδόσεις Guteberg, 1999, Αθήνα